Mövzu 13. Teoremlər və sübutlar
Bu mövzuda siz tanış olacaqsınız fərqləndirici xüsusiyyət Riyaziyyat, fizika və digər elmlərlə müqayisədə, yalnız sübut edilmiş həqiqətləri və ya qanunları tanıyır. Bununla əlaqədar olaraq teorem anlayışı təhlil ediləcək və teoremlərin bəzi növləri və onların sübutu üsulları nəzərdən keçiriləcəkdir.
09-13-03. Riyaziyyatın fərqli xüsusiyyəti
Nəzəriyyə
1.1. Riyaziyyat və fizikanı müqayisə etsək, bu elmlərin hər ikisi həm müşahidələrdən, həm də sübutlardan istifadə edir. Eksperimental fizika ilə yanaşı, bəzi müddəaların riyaziyyatdakı teoremlər kimi bəzi müddəaları digərlərindən ardıcıl çıxararaq fiziki qanunlar əsasında sübut olunduğu nəzəri fizika var. Lakin fiziki qanunlar yalnız təsdiq edildikdə doğru kimi tanınır böyük rəqəm təcrübələr. Bu qanunlar zamanla təkmilləşdirilə bilər.
Riyaziyyat da müşahidələrdən istifadə edir.
Misal 1: Bunu müşahidə etmək
ilk min tək natural ədədlərin cəminin 1.000.000 olduğunu fərz edə bilərik.
Bu ifadə birbaşa hesablamalar, xərcləmələrlə təsdiqlənə bilər böyük məbləğ vaxt.
Biz də hər hansı bir ümumi fərziyyə edə bilərik natural ədəd ilkin tək ədədlərin cəmi . Bu ifadəni birbaşa hesablamalarla yoxlamaq mümkün deyil, çünki bütün natural ədədlərin çoxluğu sonsuzdur. Lakin irəli sürülən fərziyyə doğrudur, çünki sübut oluna bilər.
Nümunə 2. Bir çox üçbucaqların bucaqlarını ölçə bilərik..gif" height="20">, əgər Evklidin beşinci postulatını aksiom kimi götürsək doğrudur. sübut edilmişdir 7-ci sinifdə.
Misal 3. Çoxhədliyə əvəz edilməsi
1-dən 10-a qədər olan natural ədədlər əvəzinə 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 sadə ədədləri alırıq. Hər hansı natural qiymət üçün belə güman etmək olar. kvadrat üçbucaqlı sadə ədəddir. Yoxlama göstərdi ki, bu, həqiqətən də, 1-dən 39-a qədər istənilən natural ədəd üçün doğrudur. Bununla belə, fərziyyə yanlışdır, çünki nəticə mürəkkəb ədəddir:
Teoremlərin həqiqətini müəyyən etmək üçün müşahidədən çox sübutdan istifadə riyaziyyatın əlamətdar xüsusiyyətidir.
Hətta çoxsaylı müşahidələr əsasında çıxarılan nəticə yalnız o zaman riyazi qanun sayılır sübut edilmişdir.
1.2. Nəticə və ya nəticə çıxarma anlayışının dəqiq təhlilini aparmadan bəzi mühakimələrin digərlərindən ardıcıl çıxarılması kimi intuitiv sübut anlayışı ilə məhdudlaşaq. Teorem anlayışını daha ətraflı təhlil edək.
Bir teorem adətən doğruluğu sübutla müəyyən edilən müddəa adlanır. Teorem anlayışı sübut anlayışı ilə birlikdə inkişaf etmiş və təkmilləşmişdir.
Klassik mənada teorem bəzi müddəaları digərlərindən çıxarmaqla sübut edilən müddəa kimi başa düşülür. Bu vəziyyətdə bəziləri seçilməlidir ilkin qanunlar və ya aksiomalar, sübut olmadan qəbul edilir.
Həndəsədə aksiomlar sistemi ilk dəfə qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid tərəfindən məşhur “Elementlər” əsərində qurulmuşdur. Evklidin Elementlərindəki aksiomlardan sonra teoremlər və altında qurmaq üçün problemlər ümumi ad təklif edir. Teoremlər ciddi ardıcıllıqla düzülür.
Hər bir teorem əvvəlcə ifadə edilir, sonra nəyin verildiyi və nəyin isbat edilməli olduğu bildirilir. Sonra sübut əvvəllər sübut edilmiş müddəalara və aksiomalara bütün istinadlarla təqdim olunur. Bəzən sübut isbat edilməsi tələb olunan sözlərlə bitir. Hər şeyə tərcümə olunur Avropa dilləri 13 kitabdan ibarət Evklidin elementləri 18-ci əsrə qədər məktəblərdə və universitetlərdə həndəsə öyrənmək üçün istifadə edilən yeganə dərslik olaraq qaldı.
1.3. Nəyin verildiyini və nəyin sübut edilməli olduğunu müəyyən etməyi asanlaşdırmaq üçün teoremlər if..., onda... şəklində tərtib edilir. vəziyyət teorem və ondan sonra yazılan ikinci hissə adlanır nəticə teoremlər.
Teoremin şərtləri verilənin təsvirini, nəticədə isə sübut edilməli olanları ehtiva edir.
Bəzən teoremin bu forması deyilir məntiqi forma teoremlərdir və əgər-onda forması kimi qısaldılır.
Misal 4. Aşağıdakı teoremi nəzərdən keçirək.
Əgər cüt natural ədəddirsə, o, tək ədəddir.
Bu teoremdə şərt budur ki, istənilən cüt ədəd ..gif" width="32 height=19" height="19"> tək götürülür.
Çox vaxt şərt və nəticə müxtəlif sözlərdən istifadə etməklə yazılır.
Nümunə 5. Nümunə 1-dəki teorem aşağıdakı formada yazıla bilər:
Cüt natural ədəd olsun. Sonra tək rəqəmdir.
Bu zaman söz əvəzinə let sözünü işlədirlərsə, sözün yerinə isə sonra sözünü yazırlar.
Nümunə 6. Nümunə 1-dəki teorem aşağıdakı formada da yazıla bilər:
Natural ədədin cüt olmasından belə çıxır ki, .gif" width="13" height="15"> ədədi ədədin tək olduğunu bildirir.
Bu zaman if sözü çıxarılır və sonra sözünün yerinə sonra sözü işlənir.
Bəzən teoremlərin qeydinin başqa növlərindən istifadə olunur.
1.4. Bəzi hallarda teoremin şərtləri onun tərtibində yazılmır. Bu, mətndən bu şərtin hansı formada ola biləcəyi aydın olduqda baş verir.
Misal 8. Siz teoremi bilirsiniz: üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir.
Məntiqi formada bu teoremi aşağıdakı kimi yazmaq olar:
Əgər hər hansı üçbucaqda bütün medianları çəkirsinizsə, onda bu medianlar bir nöqtədə kəsişəcək.
Nümunə 9. Sadə ədədlər çoxluğunun sonsuzluğu haqqında teoremi belə yazmaq olar:
Əgər bütün sadə ədədlər çoxluğudursa, o, sonsuzdur.
Riyaziyyatda teoremlər arasında əlaqə yaratmaq üçün bu fəslin sonrakı paraqraflarında qismən müzakirə ediləcək xüsusi bir dil istifadə olunur.
Nəzarət sualları
1. Riyaziyyatda hansı müşahidə nümunələrini bilirsiniz?
2. Həndəsənin hansı aksiomalarını bilirsiniz?
3. Teoremin hansı qeydi teoremin məntiqi forması adlanır?
4. Teoremin şərti nədir?
5. Teoremin nəticəsi nə adlanır?
6. Teoremlərin yazılmasının hansı formalarını bilirsiniz?
Tapşırıqlar və məşqlər
1. Müşahidə etməklə hansı fərziyyələr irəli sürə bilərsiniz:
a) iki bitişik natural ədədin hasili;
b) iki bitişik natural ədədin cəmi;
c) ardıcıl üç natural ədədin cəmi;
d) üç tək ədədin cəmi;
d) son rəqəmlər V onluq notasiyasıədədlər .gif" eni="13 hündürlük=15" hündürlük="15">;
f) təyyarənin bir nöqtədən keçən müxtəlif düz xətlərlə bölündüyü hissələrin sayı;
g) təyyarənin müxtəlif düz xətlərlə bölündüyü hissələrin sayı, bunlardan düz xətlər cüt-cüt paraleldir və kəsişir .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > formanın ədədləri , burada natural ədəddir;
d) iki irrasional ədədin cəmi?
3. Küt üçbucaqlar ətrafında dairəvi dairələrin mərkəzlərini müşahidə etməklə hansı fərziyyəni irəli sürə bilərsiniz?
4. Teoremi məntiqi formada yazın:
a) qabarıqlığın daxili bucaqlarının cəmi https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) istənilən iki düz ikitərəfli üçbucaq oxşardır;
c) bərabərlik istənilən tam ədədlər üçün yerinə yetirilir və ;
d) ikitərəfli üçbucağın əsasına çəkilmiş hündürlüyü bu üçbucağın təpəsindəki bucağı ikiyə bölür;
e) hər hansı qeyri-mənfi ədədlər üçün və bərabərsizlik ödənilir;
f) dairəyə daxil edilmiş dördbucaqlının iki əks bucağının cəmi 180-dir;
g) ədəd rasional ədəd deyil;
h) 10-dan böyük olan bütün sadə ədədlər təkdir;
i) kvadratın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində bərabər, perpendikulyar və ikiyə bölünür;
j) verilmiş dairəyə daxil edilmiş bütün dördbucaqlılardan kvadrat ən böyük sahəyə malikdir;
k) cüt sadə ədəd var;
l) heç bir sadə ədəd iki müxtəlif tək natural ədədin cəmi kimi təqdim edilə bilməz;
m) ilk natural ədədlərin kublarının cəmi hansısa natural ədədin kvadratıdır.
5.* Əvvəlki məsələdə verilmiş teoremlərin hər birini bir neçə müxtəlif formada yazın.
Cavablar və istiqamətlər
Tapşırıq 1. Müşahidə etməklə hansı fərziyyələr irəli sürə bilərsiniz:
a) iki bitişik natural ədədin hasili;
b) iki bitişik natural ədədin cəmi;
c) ardıcıl üç natural ədədin cəmi;
d) üç tək ədədin cəmi;
d)onluq qeyddə son rəqəmlərtəbii ilə;
e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" eni="9 hündürlük=20" hündürlük="20"> təyyarənin bölündüyü hissələrin sayı https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" eni="17" hündürlük="15"> düz xətlər cüt-cüt paraleldir və kəsişir.gif" eni="13 hündürlük=20" hündürlük="20"> təyyarənin bölündüyü hissələrin sayı https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> yalnız dörd rəqəm əldə edilə bilər:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" eni ="13" hündürlük="15"> -gon bərabərdir;
b) istənilən iki düz ikitərəfli üçbucaq oxşardır;
c) bərabərlikistənilən tam ədədlər üçün işləyirVə;
Riyazi müddəanın sübutu, bir qayda olaraq, doğruluğu əvvəllər müəyyən edilmiş aksioma və teoremlərdən istifadə edərək düzgün mülahizə zənciridir. Bütün mülahizələrin həqiqəti nəticənin həqiqətini nəzərdə tutursa, əsaslandırma düzgün adlanır. \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) müddəaları əsas, \(A\) ifadəsi isə nəticə olsun. Əsaslandırma sxemə uyğun olaraq həyata keçirilir \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), yəni. \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) fərziyyələrindən \(B\) nəticə çıxır. Bu əsaslandırma düzgündürsə düstur \((A_1\Və A_2\Və \ldots\Və A_n)\Rightarrow B\) eyni dərəcədə doğrudur, yəni. ona daxil edilmiş ifadələrin hər hansı həqiqət dəyərləri üçün doğrudur \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Məsələn, aşağıdakı diaqramlar düzgün əsaslandırmaya uyğundur:
\(\frac(A\Sağ ox B,A)(B)\)- nəticə çıxarma qaydası ( modus ponens);
\(\frac(A\Sağ ox B,B\Sağ ox C)(A \Sağ ox C)\)- sillogizm qaydası;
\(\frac(A\Sağ ox B,\l deyil B)(\l deyil)\)- ziddiyyət qaydası.
Birinci və üçüncü sxemlərə əsasən aşağıdakı əsaslandırma qurulur:
– əgər \(n\) natural ədədi 4-ə bölünürsə, o, cütdür. \(n\) ədədi 4-ə bölünür. Deməli, n ədədi cütdür;
– əgər \(n\) natural ədədi 4-ə bölünürsə, o, cütdür. \(n\) ədədi təkdir. Buna görə \(n\) ədədi 4-ə bölünmür.
Hər iki arqument istənilən natural ədədlər üçün düzgündür \(n\) . Əslində, \(n=1\) ilə belə, görünən uyğunsuzluğa baxmayaraq, düzgün mülahizəmiz var: “əgər 1 rəqəmi 4-ə bölünürsə, deməli cütdür. 1 rəqəmi 4-ə bölünür. 1 nömrə cütdür, çünki yalandan hər hansı bir nəticə çıxarmaq üçün istifadə edilə bilər.
Sxem üzrə əsaslandırma nümunəsini nəzərdən keçirək \(\frac(A\Sağ ox B,B)(A):\)
– əgər \(n\) natural ədədi 4-ə bölünürsə, o, cütdür. \(\) ədədi cütdür. Buna görə \(n\) ədədi 4-ə bölünür.
\(n=6\) və \(n=8\) üçün müvafiq olaraq əldə edirik:
– 6 natural ədədi 4-ə bölünürsə, cütdür. 6 rəqəmi cütdür. Buna görə də 6 rəqəmi 4-ə bölünür;
– 8 natural ədədi 4-ə bölünürsə, cütdür. 8 rəqəmi cütdür. Buna görə də 8 rəqəmi 4-ə bölünür.
Hər iki arqument yanlışdır, baxmayaraq ki, ikinci arqumentin nəticəsi doğrudur (8 rəqəmi əslində 4-ə bölünür), yəni. sxem \(\frac(A\Sağ ox B,B)(A)\) düzgün mülahizələrə uyğun gəlmir.
Çox vaxt \(A\Rightarrow B\) formasının teoremini sübut etmək əvəzinə, ilkin müddəa ilə bərabər olan başqa bir müddəanın həqiqətini sübut edirlər. Belə sübut formaları dolayı adlanır. Bunlardan biri də ziddiyyətlə isbat üsuludur. \(A\Rightarrow B\) müddəasının doğruluğunu sübut etmək üçün bu müddəanın yalan olduğunu fərz edirik. Bu fərziyyəyə əsaslanaraq biz bir ziddiyyətə gəlirik, yəni bəzi müddəaların eyni zamanda doğru və doğru olmadığını sübut edirik. Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, fərziyyə yanlışdır və ilkin ifadə doğrudur.
Təsvir edilən metoddan istifadə edərək ifadəni sübut edirik:
əgər \(n\) tək ədəddirsə, \(n^2\) ədədi təkdir.
Bunun əksini fərz edək, yəni. Tək ədəd \(n\) olsun ki, \(n^2\) ədədi cüt olsun. Onda, bir tərəfdən \(n^2-n\) fərqi tək ədəd olacaq, digər tərəfdən isə \(n^2-n=n(n-1)\) açıqdır. hətta, iki ardıcıl tam ədədlərin hasili kimi. Bir ziddiyyət əldə edilir, yəni: \(n^2-n\) ədədi eyni zamanda cüt və təkdir. Bu, irəli sürülən fərziyyənin yanlış olduğunu və buna görə də ilkin ifadənin doğru olduğunu sübut edir.
Ziddiyyətlə sübutun nəzərdən keçirilən sxemi tək deyil. Ziddiyyətlə sübut üçün digər sxemlərdən də istifadə olunur:
\(\frac(A,\lnot B)(\lnot A)\) və ya \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Dolayı sübutun başqa bir sxemi (ziddiyyət qanununa görə) iki ifadənin ekvivalentliyinə əsaslanır \(A\Rightarrow B\) və \(B\Rightarrow \lnot A\) . Həqiqətən, bu ifadələr ya doğrudur, ya da hər ikisi yanlışdır. Məsələn, “yağış yağırsa, deməli, səmada buludlar var” və “səmada bulud yoxdursa, deməli, yağış yağmır” ifadələrinin hər ikisi doğrudur, lakin “əgər bulud varsa səma, deməli yağış yağır” və “yağış yağmırsa, deməli səmada bulud yoxdur” hər ikisi yalandır.
Bir çox məsələlərdə hər hansı natural ədəd üçün hansı ifadənin (düsturun) düzgünlüyünü sübut etmək lazımdır \(n\) . Birbaşa yoxlama Natural ədədlər çoxluğu sonsuz olduğu üçün n-in hər bir qiyməti üçün belə ifadələr mümkün deyil. Bu cür ifadələri (düsturları) sübut etmək üçün istifadə edirik riyazi induksiya üsulu, mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Hamı üçün \(A(n)\) ifadəsinin doğruluğunu sübut etmək lazım olsun \(n\in \mathbb(N)\) . Bunun üçün iki ifadəni sübut etmək kifayətdir:
1) \(A(n)\) ifadəsi \(n=1\) üçün doğrudur. Sübutun bu hissəsi induksiyanın əsası adlanır;
2) hər hansı \(k\) natural ədədi üçün mülahizənin \(n=k\) üçün doğru olmasından (induktiv fərziyyə) belə nəticə çıxır ki, o, növbəti ədəd üçün doğrudur \(n=k+1\) , yəni. \(A(k)\Sağ ox A(k+1)\) . Sübutun bu hissəsi induktiv addım adlanır.
Əgər 1, 2-ci bəndlər sübut olunarsa, belə nəticəyə gələ bilərik ki, \(A(n)\) ifadəsi istənilən \(n\) natural ədədi üçün doğrudur.
Əslində, \(A(1)\) müddəası doğrudursa (1-ci bəndə bax), o zaman \(A(2)\) müddəası da doğrudur (\(n=1\) üçün 2-ci bəndə baxın). \(A(2)\) doğru olduğundan, \(A(3)\) də doğrudur (\(n=2\) üçün 2-ci bəndə baxın) və s. Beləliklə, \(A(n)\) doğruluğuna əmin olaraq istənilən \(n\) natural ədədinə çata bilərsiniz.
Qeyd B.6. Bir sıra hallarda müəyyən mülahizənin doğruluğunu sübut etmək lazım gələ bilər \(A(n)\) bütün təbii \(n\) üçün deyil, yalnız \(n\geqslant p\), yəni. bəzi sabit nömrədən başlayaraq \(p\) . Sonra riyazi induksiya metodu aşağıdakı kimi dəyişdirilir:
1) induksiyanın əsası: \(A(p)\) -in doğruluğunu sübut edin;
2) induksiya addımı: hər hansı sabit \(k\geqslant p\) üçün \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) sübut edin.
1, 2-ci bəndlərdən belə çıxır ki, \(A(n)\) ifadəsi bütün natural ədədlər üçün doğrudur \(n\geqslant p\) .
Misal B.16.İstənilən natural ədəd üçün \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) bərabərliyinin doğruluğunu sübut edin \(n\) .
Həll.İlk \(n\) tək ədədlərin cəmini \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) ilə işarə edək. \(A(n):\) “\(S_n=n^2\) bərabərliyi istənilən \(n\in \mathbb(N)\) üçün doğrudur” ifadəsini sübut etmək tələb olunur. Sübutunu induksiya ilə həyata keçirəcəyik.
1) \(S_1=1=1^2\) olduğundan, \(n=1\) üçün \(S_n=n^2\) bərabərliyi doğrudur, yəni. \(A(1)\) ifadəsi doğrudur. İnduksiyanın əsası sübut edilmişdir.
2) \(k\) istənilən natural ədəd olsun. Gəlin induksiya addımını yerinə yetirək \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . \(A(n)\) ifadəsinin \(n=k\) üçün doğru olduğunu fərz etsək, yəni. \(S_k=k^2\) , gəlin sübut edək ki, \(A(n)\) ifadəsi növbəti natural ədəd üçün doğrudur \(n=k+1\) , yəni \(S_(k+) 1)=(k +1)^2\) . Həqiqətən,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k) +1)^2.\)
Buna görə də \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) və riyazi induksiya metoduna əsaslanaraq belə nəticəyə gəlirik ki, \(A(n)\) ifadəsi istənilən \(n\) natural ədədi üçün doğrudur, yəni \( S_n=n^2\) düsturu istənilən \(n\in \mathbb(N)\) üçün doğrudur.
Misal B.17.\(n\) ədədlərin dəyişdirilməsi müəyyən ardıcıllıqla götürülmüş ilk \(n\) natural ədədlər toplusudur. Müxtəlif dəyişdirmələrin sayının \(n!\) -ə bərabər olduğunu sübut edin. \(n!\) ifadəsi ("\(n\) faktorial" oxuyun) bərabərdir \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). \(n\) ədədlərinin \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) və \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) iki dəyişməsi bərabər hesab edilir, əgər \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), və bərabərliklərdən ən azı biri pozulursa, dəyişdirmələr fərqli hesab olunur.
Həll. Riyazi induksiya metodundan istifadə edərək sübutu həyata keçirək.
1) \(n=1\) üçün yalnız bir permutasiya \((1)\ var, yəni. \(1!=1\) və ifadə doğrudur.
2) Tutaq ki, hər hansı \(k\) üçün dəyişdirmələrin sayı \(k!\) -ə bərabərdir. Sübut edək ki, \((k+1)\) ədədlərinin dəyişmələrinin sayı \((k+1)!\) -ə bərabərdir. Əslində, gəlin \((k+1)\) ədədini \((k+1)\) ədədlərinin dəyişdirilməsinin istənilən yerinə təyin edək və ilk \(k\) natural ədədləri yerdə qalan \\ yerləşdirək. (k\) yerlər. Belə dəyişdirmələrin sayı \(k\) ədədlərin dəyişmələrinin sayına bərabərdir, yəni. \(k!\) induktiv fərziyyə ilə. \((k+1)\) ədədi permutasiyada (k+1) yerlərin hər hansı birinə yerləşdirilə bildiyindən belə nəticəyə gəlirik ki, \((k+1)\) ədədlərinin müxtəlif dəyişdirmələrinin sayı bərabərdir. üçün \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Beləliklə, ifadənin \(n=k\) üçün doğru olduğunu fərz etsək, bunun \(n=k+1\) üçün doğru olduğunu sübut etmək mümkün oldu.
1 və 2-ci bəndlərdən belə çıxır ki, müddəa istənilən natural ədəd üçün doğrudur \(n\) .
Qeyd B.7. Düzgün mülahizələrin çoxsaylı nümunələrindən istifadə edərək teoremlərin alınmasının formal üsulları riyazi məntiqdə öyrənilir. Bir qayda olaraq, bu üsullar köhnə məzmunu əks etdirən teoremlərin yalnız yeni formulalarını yaradır. Buna görə də inkişaf üçün riyazi nəzəriyyə onlar səmərəsizdirlər. Lakin hər hansı riyazi məsələ öyrənilərkən riyazi məntiq qanunlarına və düzgün mülahizə sxemlərinə əməl edilməlidir.
Javascript brauzerinizdə deaktiv edilib.Hesablamaları yerinə yetirmək üçün ActiveX nəzarətlərini aktivləşdirməlisiniz!
Teoremləri necə sübut etmək olar?
Teoremin sübutu proseduru yalnız mürəkkəb görünür. Məntiqi düşünməyi bacarmaq, bu elmi fənn üzrə lazımi biliyə sahib olmaq kifayətdir və teoremi sübut etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Bütün hərəkətləri düzgün ardıcıllıqla aydın şəkildə yerinə yetirmək vacibdir.
Bəzi elmlərdə, məsələn, cəbr və həndəsədə ən vacib bacarıqlardan biri teoremləri sübut etmək bacarığıdır. Bu, sübut edilmiş teoremlərin sonradan problemlərin həllində faydalı olacağı ilə bağlıdır. Siz təkcə sübut alqoritmini öyrənməklə kifayətlənməli, həm də onun mahiyyətini dərk edə bilməlisiniz. Teoremləri necə sübut edəcəyimizi anlayaq.
Teoremlərin sübutu
Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz, aydın və səliqəli olmalıdır. Bundan sonra, üzərində göstərilən şərtləri qeyd etməlisiniz. "Verilmiş" sütununda əvvəlcə bildiyiniz bütün kəmiyyətləri və nəyi sübut etməli olduğunuzu yazmalısınız. Bundan sonra sübuta davam edə bilərsiniz. Əslində, bu, bir ifadənin doğru olduğunu göstərməyə imkan verən məntiqi şəkildə qurulmuş düşüncələr zənciridir. Teoremin sübutu digər teoremlərdən, aksiomlardan, ziddiyyətlərdən istifadədən və s.
Beləliklə, teoremin sübutu həqiqəti mübahisə edilə bilməyən bir ifadəni əldə etməyə imkan verən müəyyən hərəkətlər ardıcıllığıdır. Bir qayda olaraq, sübut zamanı ən çətin şey məhz məntiqi əsaslandırma ardıcıllığının axtarışıdır. Əgər bu uğur qazanarsa, o zaman sizdən nə tələb olunduğunu sübut edə biləcəksiniz.
Həndəsədə teoremləri çətinlik çəkmədən necə sübut etmək olar
Tapşırığınızı sadələşdirmək üçün teoremi hissələrə bölə və hər birini ayrıca sübut edə bilərsiniz ki, bu da sizi nəticəyə aparacaq. Bəzi hallarda “ziddiyyətlə sübut” metodundan istifadə etmək effektivdir. Sonra "əksini qəbul et" sözləri ilə başlamaq lazımdır. Bunun səbəbini izah etmək lazımdır bu halda bu və ya digər nəticə çıxarmaq mümkün deyil. “Əsl ifadə doğrudur” sözləri ilə bitirməlisiniz. Teorem sübut olunub”.
Daha da çox faydalı məlumat həndəsə bölməsində tapa bilərsiniz.
Cəbr vaxtaşırı teoremləri sübut etməlidir. Təsdiqlənmiş teorem həll etməkdə sizə kömək edəcəkdir. Buna görə də, sübutu mexaniki olaraq yadda saxlamaq deyil, teoremin mahiyyətini başa düşmək son dərəcə vacibdir ki, sonra praktikada onu rəhbər tuta biləsiniz.
Əvvəlcə teoremin aydın və səliqəli diaqramını çəkin. Onu qeyd edin latın hərfləri ilə nə bilirsən. Bütün məlum kəmiyyətləri “Verilmiş” sütununa yazın. Sonra, "Sübut et" sütununda nəyi sübut edəcəyinizi formalaşdırın. İndi sübut etməyə başlaya bilərik. Bu, məntiqi düşüncələr zənciridir, nəticədə ifadənin həqiqəti göstərilir. Bir teoremi sübut edərkən, istifadə edə bilərsiniz (və bəzən hətta lazımdır). müxtəlif müddəalar, aksiomlar, ziddiyyətlər və hətta əvvəllər sübut edilmiş digər teoremlər.
Beləliklə, sübut hərəkətlər ardıcıllığıdır ki, bunun nəticəsində danılmaz bir nəticə əldə edirsiniz. Bir teoremin sübutunda ən böyük çətinlik, sübut edilməli olanın axtarışına səbəb olacaq məntiqi mülahizə ardıcıllığını dəqiq tapmaqdır.
Teoremi hissələrə bölün və onu ayrıca sübut edərək, istədiyiniz nəticəyə gələcəksiniz. “Ziddiyyətlə sübut” bacarığına yiyələnmək faydalıdır; bəzi hallarda bu, teoremi sübut etməyin ən asan yoludur. Bunlar. sübutunuzu “əksini fərz edin” sözləri ilə başlayın və tədricən bunun mümkün olmadığını sübut edin. Sübutunu “buna görə də ilkin ifadə doğrudur. Teorem sübut olunub”.
Fransua Viet məşhur fransız riyaziyyatçısıdır. Vyeta teoremi sadələşdirilmiş sxemdən istifadə edərək kvadrat tənlikləri həll etməyə imkan verir ki, bu da nəticədə hesablamalara sərf olunan vaxta qənaət edir. Amma teoremin mahiyyətini daha yaxşı başa düşmək üçün tərtibin mahiyyətinə nüfuz edib onu sübut etmək lazımdır.
Vyeta teoremi
Bu texnikanın mahiyyəti diskriminantın köməyi olmadan kökləri tapmaqdır. İki fərqli həqiqi kökün olduğu x2 + bx + c = 0 formasının tənliyi üçün iki ifadə doğrudur.Birinci ifadədə deyilir ki, bu tənliyin köklərinin cəmi x dəyişəninin əmsalının dəyərinə bərabərdir (bu halda b-dir), lakin əks işarə. Vizual olaraq belə görünür: x1 + x2 = −b.
İkinci ifadə artıq cəmi ilə deyil, bu iki eyni kökün hasili ilə bağlıdır. Bu məhsul sərbəst əmsala bərabərdir, yəni. c. Və ya x1 * x2 = c. Bu misalların hər ikisi sistemdə həll olunur.
Vyeta teoremi həlli çox sadələşdirir, lakin bir məhdudiyyətə malikdir. Kökləri bu texnika ilə tapıla bilən kvadratik tənliyi azaltmaq lazımdır. Yuxarıdakı tənlikdə x2-nin qarşısında olan a əmsalı birə bərabərdir. İstənilən tənliyi ifadəni birinci əmsala bölmək yolu ilə oxşar formaya gətirmək olar, lakin həmişə deyil bu əməliyyat rasional.
Teoremin sübutu
Başlamaq üçün, ənənəyə görə, kök axtarmağın necə adət olduğunu xatırlamalıyıq kvadrat tənlik. Birinci və ikinci köklər tapılır, yəni: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Ümumiyyətlə, o, 2a-ya bölünür, lakin artıq qeyd edildiyi kimi, teorem yalnız a=1 olduqda tətbiq oluna bilər.Vyeta teoremindən məlum olur ki, köklərin cəmi mənfi işarəli ikinci əmsala bərabərdir. Bu o deməkdir ki, x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Eyni şey naməlum köklərin hasilinə də aiddir: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Öz növbəsində, D = b2-4c (yenə a=1 ilə). Belə çıxır ki, nəticə belədir: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Verilən sadə sübutdan yalnız bir nəticə çıxarmaq olar: Vyeta teoremi tamamilə təsdiqlənir.
İkinci tərtib və sübut
Vyeta teoreminin başqa bir şərhi var. Daha dəqiq desək, bu, təfsir deyil, təfsirdir. Məsələ burasındadır ki, əgər birinci halda olduğu kimi eyni şərtlər yerinə yetirilirsə: iki fərqli həqiqi kök varsa, teorem başqa düsturla da yazıla bilər.Bu bərabərlik belə görünür: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Əgər P(x) funksiyası x1 və x2 iki nöqtəsində kəsişirsə, o zaman onu P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) kimi yazmaq olar. Əgər P ikinci dərəcəyə malikdirsə və ilkin ifadə məhz belə görünürsə, o zaman R sadə ədəddir, yəni 1. Bu müddəa ona görə doğrudur ki, əks halda bərabərlik təmin edilməyəcək. Mötərizələri açarkən x2 əmsalı birdən çox olmamalıdır və ifadə kvadrat olaraq qalmalıdır.
Təkcə hər məktəbli yox, həm də özünə hörmət edən hər bir uşaq təhsilli insan teorem və teoremlərin sübutunun nə olduğunu bilməlidir. Bəlkə də belə anlayışlara rast gəlinməyəcək həqiqi həyat, lakin onlar mütləq bir çox biliyin strukturlaşdırılmasına kömək edəcək, həmçinin nəticə çıxaracaqlar. Məhz buna görə də bu məqalədə biz teoremlərin sübut üsullarına baxacağıq, həmçinin məşhur Pifaqor teoremi ilə tanış olacağıq.
Teorem nədir?
Məktəb riyaziyyatı kursunu nəzərdən keçirsək, onda çox vaxt teorem, aksiom, tərif və sübut kimi elmi terminləri ehtiva edir. Proqramda naviqasiya etmək üçün bu təriflərin hər biri ilə tanış olmalısınız. İndi teorem və teoremlərin sübutunun nə olduğuna baxacağıq.
Beləliklə, teorem sübut tələb edən müəyyən bir ifadədir. düşünün bu konsepsiya aksioma ilə paralel olaraq zəruridir, çünki sonuncu sübut tələb etmir. Onun tərifi artıq doğrudur, ona görə də təbii qəbul edilir.
Teoremlərin tətbiq dairəsi
Teoremlərdən yalnız riyaziyyatda istifadə olunduğunu düşünmək səhvdir. Əslində, bu vəziyyətdən uzaqdır. Məsələn, fizikada sadəcə olaraq inanılmaz sayda teoremlər var ki, onlar bizə müəyyən hadisələri və anlayışları ətraflı və hər tərəfdən araşdırmağa imkan verir. Buraya Amper, Steiner və bir çox başqalarının teoremləri daxildir. Bu cür teoremlərin sübutları ətalət anlarını, statikanı, dinamikanı və fizikanın bir çox başqa anlayışlarını yaxşı başa düşməyə imkan verir.
Riyaziyyatda teoremlərdən istifadə
Riyaziyyat kimi bir elmi teoremlər və sübutlar olmadan təsəvvür etmək çətindir. Məsələn, üçbucaq teoremlərinin sübutları fiqurun bütün xassələrini ətraflı öyrənməyə imkan verir. Axı, ikitərəfli üçbucağın xüsusiyyətlərini və bir çox başqa şeyi başa düşmək çox vacibdir.
Sahə teoreminin sübutu bəzi məlumatlar əsasında formanın sahəsini hesablamağın ən asan yolunu başa düşməyə imkan verir. Axı, bildiyiniz kimi, üçbucağın sahəsini necə tapmağı təsvir edən çox sayda düstur var. Ancaq onlardan istifadə etməzdən əvvəl bunun müəyyən bir vəziyyətdə mümkün və rasional olduğunu sübut etmək çox vacibdir.
Teoremləri necə sübut etmək olar
Hər bir tələbə teoremin nə olduğunu və teoremlərin isbatını bilməlidir. Əslində hər hansı bir ifadəni sübut etmək o qədər də asan deyil. Bunun üçün çoxlu verilənlərlə işləməli və məntiqi nəticələr çıxara bilməlisiniz. Təbii ki, əgər müəyyən elmi intizam üzrə məlumatı yaxşı bilirsinizsə, onda teoremi sübut etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Əsas odur ki, sübut prosedurunu müəyyən məntiqi ardıcıllıqla həyata keçirək.
Həndəsə və cəbr kimi elmi fənlərdə teoremlərin necə isbat ediləcəyini öyrənmək üçün kifayət qədər biliyə sahib olmaq, eləcə də sübut alqoritminin özünü bilmək lazımdır. Əgər bu proseduru mənimsəsəniz, sonra riyazi məsələlərin həlli sizin üçün çətin olmayacaq.
Teorem isbatı haqqında nə bilmək lazımdır
Teorem və teoremlərin sübutu nədir? Bu bir çox insanı narahat edən sualdır müasir cəmiyyət. Riyazi teoremləri necə sübut etməyi öyrənmək çox vacibdir, bu, qurmağınıza kömək edəcəkdir məntiqi zəncirlər və müəyyən bir nəticəyə gəlmək.
Deməli, teoremi düzgün isbat etmək üçün düzgün rəsm çəkmək çox vacibdir. Şərtdə göstərilən bütün məlumatları göstərir. Tapşırıqda verilən bütün məlumatları yazmaq da çox vacibdir. Bu, tapşırığı düzgün təhlil etməyə və orada hansı miqdarların verildiyini dəqiq başa düşməyə kömək edəcəkdir. Və yalnız belə prosedurlardan sonra sübutun özündən başlaya bilərik. Bunun üçün başqa teoremlərdən, aksiomlardan və ya təriflərdən istifadə edərək məntiqi olaraq fikirlər silsiləsi qurmaq lazımdır. Sübutun nəticəsi, həqiqəti şübhə doğurmayan bir nəticə olmalıdır.
Teoremləri sübut etməyin əsas yolları
Məktəbdə riyaziyyat kursunda teoremi sübut etməyin iki yolu var. Çox vaxt problemlər birbaşa metoddan, eləcə də ziddiyyətlə sübut üsulundan istifadə edir. Birinci halda, onlar sadəcə olaraq mövcud məlumatları təhlil edir və onların əsasında müvafiq nəticələr çıxarırlar. Əks üsul da çox tez-tez istifadə olunur. Bu halda biz əks ifadəni fərz edirik və onun yalan olduğunu sübut edirik. Buna əsaslanaraq, əks nəticə əldə edirik və deyirik ki, mühakiməmiz düzgün olmayıb, yəni şərtdə göstərilən məlumat düzgündür.
Əslində, bir çox riyazi problemlərin birdən çox həlli ola bilər. Məsələn, Fermat teoreminin bir neçə sübutu var. Əlbəttə ki, bəziləri yalnız bir şəkildə nəzərdən keçirilir, lakin məsələn, Pifaqor teoremində onlardan bir neçəsini bir anda nəzərdən keçirmək olar.
Pifaqor teoremi nədir
Əlbəttə, hər bir məktəbli bilir ki, Pifaqor teoremi xüsusi olaraq düzbucaqlı üçbucağa aiddir. Və belə səslənir: "Hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir." Bu teorem adına baxmayaraq, onu Pifaqor özü deyil, ondan çox əvvəl kəşf etmişdir. Bu ifadəni sübut etməyin bir neçə yolu var və biz onlardan bəzilərinə baxacağıq.
Elmi məlumatlara görə, başlanğıcda bərabərtərəfli düzbucaqlı üçbucaq nəzərdə tutulurdu. Sonra onun hər tərəfində meydanlar tikildi. Hipotenuza üzərində qurulmuş kvadrat bir-birinə bərabər olan dörd üçbucaqdan ibarət olacaqdır. Yan tərəflərdə qurulan fiqurlar eyni üçbucaqlardan yalnız ikisindən ibarət olacaq. Pifaqor teoreminin bu sübutu ən sadədir.
Bu teoremin başqa bir sübutunu nəzərdən keçirək. Bu, təkcə həndəsədən deyil, həm də cəbrdən biliklərdən istifadə etməyi tələb edir. Bu teoremi bu şəkildə sübut etmək üçün dörd oxşar düzbucaqlı üçbucaq qurmaq və onların tərəflərini a, b və c kimi etiketləmək lazımdır.
Bu üçbucaqları elə qurmalıyıq ki, nəticədə iki kvadrat olsun. Xarici tərəfin (a+b) tərəfləri, daxili tərəfin isə c tərəfləri olacaq. Daxili kvadratın sahəsini tapmaq üçün c*c məhsulunu tapmalıyıq. Ancaq böyük bir kvadratın sahəsini tapmaq üçün kiçik kvadratların sahələrini toplamaq və nəticədə meydana gələn sahələri əlavə etmək lazımdır. düz üçbucaqlar. İndi bəzi cəbri əməliyyatları yerinə yetirdikdən sonra aşağıdakı düsturu əldə edə bilərik:
a 2 + b 2 = c 2
Əslində, teoremləri sübut etmək üçün çox sayda üsul var. Perpendikulyar, üçbucaq, kvadrat və ya hər hansı digər formalar və onların xassələri müxtəlif teoremlərdən və sübutlardan istifadə etməklə araşdırıla bilər. Pifaqor teoremi yalnız bunu təsdiqləyir.
Nəticə əvəzinə
Teoremləri tərtib etməyi bacarmaq, eləcə də onları düzgün sübut etmək çox vacibdir. Əlbəttə ki, belə bir prosedur olduqca mürəkkəbdir, çünki onu həyata keçirmək üçün yalnız böyük miqdarda məlumatla işləmək deyil, həm də məntiqi zəncirlər qurmaq lazımdır. Riyaziyyat çox maraqlı elm, nə ucu, nə də kənarı var.
Onu öyrənməyə başlayın və nəinki zəka səviyyənizi artıracaqsınız, həm də böyük məbləğ qazanacaqsınız maraqlı məlumatlar. Təhsilinizə bu gün başlayın. Teorem sübutlarının əsas prinsiplərini başa düşməklə, vaxtınızı böyük fayda ilə keçirə biləcəksiniz.
