Düşünürəm ki, biz diferensial tənliklər kimi şərəfli riyazi alətin tarixindən başlamalıyıq. Bütün diferensial və inteqral hesablamalar kimi, bu tənliklər də 17-ci əsrin sonlarında Nyuton tərəfindən icad edilmişdir. O, bu xüsusi kəşfini o qədər vacib hesab etdi ki, hətta bu gün belə tərcümə edilə bilən bir mesajı şifrələdi: "Təbiətin bütün qanunları diferensial tənliklərlə təsvir edilmişdir." Bu, mübaliğə kimi görünə bilər, amma həqiqətdir. İstənilən fizikanın, kimyanın, biologiyanın qanunlarını bu tənliklərlə təsvir etmək olar.

Riyaziyyatçılar Eyler və Laqranj diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin inkişafına və yaradılmasına böyük töhfə vermişlər. Artıq 18-ci əsrdə onlar indi ali universitet kurslarında öyrəndiklərini kəşf etdilər və inkişaf etdirdilər.

Diferensial tənliklərin öyrənilməsində yeni mərhələ Henri Puankare sayəsində başladı. O, mürəkkəb dəyişənin funksiyaları nəzəriyyəsi ilə birləşərək topologiyanın - kosmos və onun xassələri elminin təməlinə mühüm töhfə verən “diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsini” yaratdı.

Diferensial tənliklər nədir?

Bir çox insanlar bir ifadədən qorxur, lakin bu məqalədə adından göründüyü qədər mürəkkəb olmayan bu çox faydalı riyazi aparatın bütün mahiyyətini ətraflı təsvir edəcəyik. Birinci dərəcəli diferensial tənliklər haqqında danışmağa başlamaq üçün əvvəlcə bu təriflə mahiyyətcə əlaqəli olan əsas anlayışlarla tanış olmalısınız. Və biz diferensialdan başlayacağıq.

Diferensial

Bir çox insanlar bu anlayışı məktəbdən bəri bilirlər. Bununla belə, gəlin buna daha yaxından nəzər salaq. Bir funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Onu o qədər artıra bilərik ki, onun istənilən seqmenti düz xətt şəklini alsın. Bir-birinə sonsuz yaxın olan iki nöqtəni götürək. Onların koordinatları (x və ya y) arasındakı fərq sonsuz kiçik olacaqdır. O, diferensial adlanır və dy (y-nin diferensialı) və dx (x-in diferensialı) işarələri ilə işarələnir. Diferensialın sonlu kəmiyyət olmadığını başa düşmək çox vacibdir və bu, onun mənası və əsas funksiyasıdır.

İndi biz diferensial tənlik anlayışını izah etməkdə bizə faydalı olacaq növbəti elementi nəzərdən keçirməliyik. Bu törəmədir.

törəmə

Yəqin ki, hamımız bu anlayışı məktəbdə eşitmişik. Törəmə funksiyanın artma və ya azalma sürətinə deyilir. Ancaq bu tərifdən çox şey anlaşılmaz olur. Gəlin törəməni diferensiallar vasitəsilə izah etməyə çalışaq. Üzərində olan iki nöqtə ilə funksiyanın sonsuz kiçik seqmentinə qayıdaq minimum məsafə bir birindən. Lakin bu məsafədə belə funksiya müəyyən qədər dəyişməyi bacarır. Və bu dəyişikliyi təsvir etmək üçün onlar diferensialların nisbəti kimi yazıla bilən törəmə ilə çıxış etdilər: f(x)"=df/dx.

İndi törəmənin əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirməyə dəyər. Onlardan yalnız üçü var:

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi törəmələrin cəmi və ya fərqi kimi göstərilə bilər: (a+b)"=a"+b" və (a-b)"=a"-b".
2. İkinci xassə vurma ilə bağlıdır. Məhsulun törəməsi bir funksiyanın hasilinin və digər funksiyanın törəməsinin cəmidir: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Fərqin törəməsi aşağıdakı bərabərlik kimi yazıla bilər: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Bütün bu xassələr birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həlli yollarını tapmaq üçün bizim üçün faydalı olacaqdır.

Qismən törəmələr də var. Tutaq ki, x və y dəyişənlərindən asılı olan z funksiyamız var. Bu funksiyanın qismən törəməsini hesablamaq üçün, məsələn, x-ə münasibətdə, y dəyişənini sabit kimi götürmək və sadəcə olaraq diferensiallaşdırmaq lazımdır.

İnteqral

Digər vacib anlayış inteqraldır. Əslində, bu, törəmənin tam əksidir. Bir neçə növ inteqral var, lakin ən sadə diferensial tənlikləri həll etmək üçün bizə ən mənasız olanlar lazımdır.

Beləliklə, tutaq ki, f-nin x-dən bir qədər asılılığı var. Ondan inteqral alırıq və törəməsi ilkin funksiyaya bərabər olan F(x) funksiyasını (çox vaxt antitörəmə adlanır) alırıq. Beləliklə, F(x)"=f(x). Buradan da belə nəticə çıxır ki, törəmənin inteqralı ilkin funksiyaya bərabərdir.

Diferensial tənlikləri həll edərkən inteqralın mənasını və funksiyasını başa düşmək çox vacibdir, çünki həllini tapmaq üçün onları çox tez-tez götürməli olacaqsınız.

Tənliklər təbiətindən asılı olaraq dəyişir. Növbəti bölmədə biz birinci dərəcəli diferensial tənliklərin növlərinə baxacağıq, sonra isə onların həlli yollarını öyrənəcəyik.

Diferensial tənliklərin sinifləri

"Diffurs" onlarda iştirak edən törəmələrin sırasına görə bölünür. Beləliklə, birinci, ikinci, üçüncü və daha çox sıra var. Onları da bir neçə sinfə bölmək olar: adi və qismən törəmələr.

Bu yazıda birinci dərəcəli adi diferensial tənliklərə baxacağıq. Biz də aşağıdakı bölmələrdə nümunələr və onların həlli yollarını müzakirə edəcəyik. Biz yalnız ODE-ləri nəzərdən keçirəcəyik, çünki bunlar ən çox yayılmış tənlik növləridir. Adi olanlar alt növlərə bölünür: ayrıla bilən dəyişənlərlə, homojen və heterojen. Sonra, onların bir-birindən necə fərqləndiyini öyrənəcək və onları necə həll edəcəyinizi öyrənəcəksiniz.

Bundan əlavə, bu tənliklər birləşdirilə bilər ki, birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemi ilə nəticələnək. Bu cür sistemləri də nəzərdən keçirəcəyik və onları necə həll edəcəyimizi öyrənəcəyik.

Niyə biz yalnız birinci sifarişi nəzərdən keçiririk? Çünki sadə bir şeydən başlamaq lazımdır və diferensial tənliklərlə bağlı hər şeyi bir məqalədə təsvir etmək sadəcə mümkün deyil.

Ayrılan tənliklər

Bunlar bəlkə də ən sadə birinci dərəcəli diferensial tənliklərdir. Bunlara aşağıdakı kimi yazıla bilən misallar daxildir: y"=f(x)*f(y). Bu tənliyi həll etmək üçün törəməni diferensialların nisbəti kimi təqdim etmək üçün düstur lazımdır: y"=dy/dx. Ondan istifadə edərək aşağıdakı tənliyi əldə edirik: dy/dx=f(x)*f(y). İndi həll üsuluna keçə bilərik standart nümunələr: dəyişənləri hissələrə bölək, yəni y dəyişəni olan hər şeyi dy-nin yerləşdiyi hissəyə köçürük və x dəyişəni ilə də eyni şeyi edək. Hər iki tərəfin inteqrallarını götürməklə həll olunan dy/f(y)=f(x)dx formasının tənliyini alırıq. İnteqral aldıqdan sonra təyin edilməli olan sabit haqqında unutmayın.

Hər hansı bir “diffure” həlli x-in y-dən (bizim vəziyyətimizdə) asılılığının funksiyasıdır və ya ədədi şərt varsa, nömrə şəklində cavabdır. Xüsusi bir nümunədən istifadə edərək bütün həll prosesinə baxaq:

Dəyişənləri müxtəlif istiqamətlərə köçürək:

İndi inteqralları götürək. Onların hamısını xüsusi inteqral cədvəlində tapmaq olar. Və əldə edirik:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Tələb olunarsa, “y”-ni “x” funksiyası kimi ifadə edə bilərik. İndi deyə bilərik ki, şərt göstərilmədikdə diferensial tənliyimiz həll olunur. Şərt müəyyən edilə bilər, məsələn, y(n/2)=e. Sonra biz sadəcə olaraq bu dəyişənlərin qiymətlərini həlldə əvəz edirik və sabitin qiymətini tapırıq. Bizim nümunəmizdə 1-dir.

Birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər

İndi daha çətin hissəyə keçək. Homojen birinci dərəcəli diferensial tənliklər yazıla bilər ümumi görünüş belə: y"=z(x,y). Qeyd etmək lazımdır ki düzgün funksiya iki dəyişən üzrə homojendir və onu iki asılılığa bölmək olmaz: x-dən z və y-dən z. Tənliyin homojen olub olmadığını yoxlamaq olduqca sadədir: biz x=k*x və y=k*y əvəzini edirik. İndi bütün k-ni azaldırıq. Bütün bu hərflər azaldılıbsa, o zaman tənlik homojendir və onu etibarlı şəkildə həll etməyə başlaya bilərsiniz. İrəliyə baxaraq deyək: bu misalların həlli prinsipi də çox sadədir.

Əvəz etməliyik: y=t(x)*x, burada t x-dən də asılı olan müəyyən funksiyadır. Onda törəməni ifadə edə bilərik: y"=t"(x)*x+t. Bütün bunları bizimlə əvəz etmək orijinal tənlik və onu sadələşdirərək, ayrıla bilən t və x dəyişənləri ilə nümunə alırıq. Onu həll edib t(x) asılılığını alırıq. Biz onu aldıqda, sadəcə olaraq y=t(x)*x-i əvvəlki əvəzimizlə əvəz edirik. Onda y-nin x-dən asılılığını alırıq.

Daha aydın olması üçün bir misala baxaq: x*y"=y-x*e y/x .

Dəyişdirmə ilə yoxlanarkən hər şey azalır. Bu o deməkdir ki, tənlik həqiqətən homojendir. İndi haqqında danışdığımız başqa bir əvəz edirik: y=t(x)*x və y"=t"(x)*x+t(x). Sadələşdirildikdən sonra aşağıdakı tənliyi əldə edirik: t"(x)*x=-e t. Əldə edilən nümunəni ayrılmış dəyişənlərlə həll edirik və alırıq: e -t =ln(C*x). Bizə sadəcə əvəz etmək qalır. t y/x ilə (axı, əgər y =t*x, onda t=y/x) və biz cavabı alırıq: e -y/x =ln(x*C).

Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər

Başqa bir geniş mövzuya baxmağın vaxtı gəldi. Birinci dərəcəli qeyri-homogen diferensial tənlikləri təhlil edəcəyik. Onlar əvvəlki ikisindən nə ilə fərqlənir? Gəlin bunu anlayaq. Ümumi formada birinci tərtibli xətti diferensial tənlikləri aşağıdakı kimi yazmaq olar: y" + g(x)*y=z(x). z(x) və g(x) sabit kəmiyyətlər ola biləcəyini aydınlaşdırmağa dəyər.

İndi bir misal: y" - y*x=x 2 .

İki həll yolu var və biz hər ikisinə ardıcıllıqla baxacağıq. Birincisi, ixtiyari sabitlərin dəyişdirilməsi üsuludur.

Tənliyi bu şəkildə həll etmək üçün əvvəlcə bərabərləşdirməlisiniz sağ tərəf sıfıra çevirin və hissələri köçürdükdən sonra aşağıdakı formanı alacaq nəticə tənliyini həll edin:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

İndi C 1 sabitini tapmalı olduğumuz v(x) funksiyası ilə əvəz etməliyik.

Törəməni əvəz edək:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Və bu ifadələri orijinal tənliyə əvəz edin:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Sol tərəfdə iki müddətin ləğv edildiyini görə bilərsiniz. Əgər hansısa misalda bu baş verməyibsə, deməli səhv bir şey etmisiniz. Davam edək:

v"*e x2/2 = x 2 .

İndi dəyişənləri ayırmağımız lazım olan adi tənliyi həll edirik:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

İnteqralı çıxarmaq üçün burada hissələr üzrə inteqrasiya tətbiq etməli olacağıq. Ancaq bu, məqaləmizin mövzusu deyil. Əgər maraqlanırsınızsa, bu cür hərəkətləri özünüz necə yerinə yetirəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Bu çətin deyil və kifayət qədər bacarıq və qayğı ilə çox vaxt çəkmir.

Qeyri-bircins tənliklərin həllinin ikinci üsuluna: Bernulli üsuluna keçək. Hansı yanaşmanın daha sürətli və asan olduğuna qərar vermək sizin ixtiyarınızdadır.

Deməli, bu üsuldan istifadə edərək tənliyi həll edərkən əvəzetmə aparmalıyıq: y=k*n. Burada k və n bəzi x-asılı funksiyalardır. Onda törəmə belə görünəcək: y"=k"*n+k*n". Hər iki əvəzetməni tənlikdə əvəz edirik:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Qruplaşdırma:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

İndi mötərizədə olanları sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır. İndi iki nəticə tənliyini birləşdirsək, həll edilməli olan birinci dərəcəli diferensial tənliklər sistemini alırıq:

Birinci bərabərliyi adi tənlik kimi həll edirik. Bunu etmək üçün dəyişənləri ayırmaq lazımdır:

İnteqralı götürüb alırıq: ln(n)=x 2 /2. Sonra n ifadə etsək:

İndi ortaya çıxan bərabərliyi sistemin ikinci tənliyinə əvəz edirik:

k"*e x2/2 =x 2 .

Və transformasiya edərək, birinci üsulda olduğu kimi eyni bərabərliyi əldə edirik:

dk=x 2 /e x2/2 .

Biz də sökməyəcəyik əlavə tədbirlər. İlk növbədə birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin əhəmiyyətli çətinliklərə səbəb olduğunu söyləmək lazımdır. Bununla belə, mövzunu daha dərindən araşdırdıqca, daha yaxşı və daha yaxşı işləməyə başlayır.

Diferensial tənliklər harada istifadə olunur?

Diferensial tənliklər fizikada çox fəal istifadə olunur, çünki demək olar ki, bütün əsas qanunlar yazılmışdır diferensial forma, və gördüyümüz düsturlar bu tənliklərin həllidir. Kimyada onlar eyni səbəbdən istifadə olunur: fundamental qanunlar onların köməyi ilə əldə edilir. Biologiyada diferensial tənliklərdən yırtıcı və yırtıcı kimi sistemlərin davranışını modelləşdirmək üçün istifadə olunur. Onlar, məsələn, mikroorqanizmlərin koloniyasının çoxalma modellərini yaratmaq üçün də istifadə edilə bilər.

Diferensial tənliklər sizə həyatda necə kömək edə bilər?

Bu sualın cavabı sadədir: heç də yox. Əgər siz alim və ya mühəndis deyilsinizsə, deməli, onların sizin üçün faydalı olma ehtimalı azdır. Lakin üçün ümumi inkişaf Diferensial tənliyin nə olduğunu və necə həll edildiyini bilmək zərər vermir. Və sonra oğul və ya qızın sualı "diferensial tənlik nədir?" sizi çaşdırmayacaq. Yaxşı, əgər alim və ya mühəndissinizsə, o zaman özünüz bu mövzunun hər hansı bir elmdə əhəmiyyətini başa düşürsünüz. Ancaq ən vacibi odur ki, indi "birinci dərəcəli diferensial tənliyi necə həll etmək olar?" hər zaman cavab verə bilərsiniz. Razılaşın, insanların anlamaqdan belə qorxduğu bir şeyi başa düşmək həmişə xoşdur.

Təhsildə əsas problemlər

Bu mövzunu başa düşməkdə əsas problem funksiyaların inteqrasiyası və diferensiallaşdırılmasında zəif bacarıqdır. Əgər törəmələri və inteqralları qəbul etməkdə pissinizsə, o zaman öyrənməyə və mənimsəməyə dəyər müxtəlif üsullar inteqrasiya və fərqləndirmə və yalnız bundan sonra məqalədə təsvir olunan materialı öyrənməyə başlayın.

Bəzi insanlar dx-in daşına biləcəyini biləndə təəccüblənirlər, çünki əvvəllər (məktəbdə) dy/dx kəsirinin bölünməz olduğu bildirilirdi. Burada törəmə haqqında ədəbiyyatı oxumaq və bunun tənlikləri həll edərkən manipulyasiya edilə bilən sonsuz kiçik kəmiyyətlərin nisbəti olduğunu başa düşmək lazımdır.

Bir çox insanlar birinci dərəcəli diferensial tənliklərin həllinin çox vaxt alına bilməyən bir funksiya və ya inteqral olduğunu dərhal dərk etmir və bu yanlış təsəvvür onlara çoxlu problem yaradır.

Daha yaxşı başa düşmək üçün başqa nə öyrənə bilərsiniz?

Xüsusi dərsliklərlə, məsələn, riyazi analiz qeyri-riyaziyyat ixtisaslarının tələbələri üçün. Sonra daha xüsusi ədəbiyyata keçə bilərsiniz.

Diferensial tənliklərə əlavə olaraq, inteqral tənliklərin də olduğunu söyləməyə dəyər, buna görə də hər zaman səy göstərməli və öyrənmək üçün bir şeyiniz olacaq.

Nəticə

Ümid edirik ki, bu məqaləni oxuduqdan sonra diferensial tənliklərin nə olduğu və onları necə düzgün həll etmək barədə bir fikriniz var.

İstənilən halda riyaziyyat bizə müəyyən mənada həyatda faydalı olacaq. Məntiqi və diqqəti inkişaf etdirir, onsuz hər bir insan əlsizdir.

Mühazirə qeydləri

diferensial tənliklər

Diferensial tənliklər

Giriş

Müəyyən hadisələri öyrənərkən çox vaxt prosesi y=f(x) və ya F(x;y)=0 tənliyindən istifadə etməklə təsvir etmək mümkün olmayan vəziyyət yaranır. Dəyişən x və naməlum funksiyaya əlavə olaraq bu funksiyanın törəməsi tənliyə daxil olur.

Tərif: x dəyişənini, naməlum y(x) funksiyasını və onun törəmələrini birləşdirən tənliyə deyilir. diferensial tənlik. Ümumiyyətlə, diferensial tənlik belə görünür:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Tərif: Diferensial tənliyin sırası ona daxil olan ən yüksək törəmənin sırasıdır.

-1-ci dərəcəli diferensial tənlik

-3-cü dərəcəli diferensial tənlik

Tərif: Diferensial tənliyin həlli tənliyə əvəz edildikdə onu eyniliyə çevirən funksiyadır.

Diferensial tənliklər 1ci sifariş

Tərif: Formanın tənliyi =f(x;y) və ya F(x;y); )=01-ci dərəcəli diferensial tənlik adlanır.

Tərif: 1-ci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli y=γ(x;c) funksiyasıdır, burada (c –const) tənliyə əvəz edildikdə onu eyniliyə çevirir. Həndəsi olaraq müstəvidə ümumi həll c parametrindən asılı olaraq inteqral əyrilər ailəsinə uyğun gəlir.

Tərif: Müstəvidə koordinatları (x 0 ; y 0) olan nöqtədən keçən inteqral əyri ilkin şərti ödəyən diferensial tənliyin xüsusi həllinə uyğundur:

1-ci dərəcəli diferensial tənliyin həllinin yeganəliyinin mövcudluğu haqqında teorem

1-ci dərəcəli diferensial tənlik verilmişdir
və f(x;y) funksiyası XOY müstəvisinin bəzi D bölgəsində, sonra M 0 (x 0 ;y 0) nöqtəsi vasitəsilə qismən törəmələrlə birlikdə fasiləsizdir. D ilkin y(x 0)=y 0 şərtinə uyğun gələn diferensial tənliyin xüsusi həllinə uyğun gələn yeganə əyridən keçir.

Bir inteqral əyri müstəvidə koordinatları verilmiş nöqtədən keçir.

Əgər ala bilmirsənsə ümumi qərar açıq formada 1-ci dərəcəli diferensial tənlik, yəni.
, onda dolayı şəkildə əldə edilə bilər:

F(x; y; c) =0 – gizli forma

Bu formada ümumi həll adlanır ümumi inteqral diferensial tənlik.

1-ci dərəcəli diferensial tənliyə münasibətdə 2 problem qoyulur:

1) Ümumi həlli tapın (ümumi inteqral)

2) Verilmiş ilkin şərti ödəyən xüsusi həlli (qismən inteqral) tapın. Bu məsələ diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi adlanır.

Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər

Formanın tənlikləri:
ayrıla bilən dəyişənlərə malik diferensial tənlik adlanır.

Əvəz edək

dx ilə çarpın

dəyişənləri ayıraq

bölün

Qeyd: zaman xüsusi halı nəzərə almaq lazımdır

dəyişənlər ayrılır

tənliyin hər iki tərəfini inteqral edək

- ümumi qərar

Ayrılan dəyişənləri olan diferensial tənlik aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Təcrid olunmuş hal
!

Tənliyin hər iki tərəfini birləşdirək:

1)

2)
Başlanğıc şərtlər:

I dərəcəli homojen diferensial tənliklər

Tərif: Funksiya
əgər n düzənli homojen adlanır

Nümunə: - nizamın bircinsli funksiyası=2

Tərif: 0 sıralı homojen funksiya adlanır homojen.

Tərif: Diferensial tənlik
əgər homojen adlanır
- homojen funksiya, yəni.

Beləliklə, homojen diferensial tənliyi aşağıdakı kimi yazmaq olar:

Əvəzetmədən istifadə , burada t dəyişən x funksiyasıdır, homojen diferensial tənlik ayrıla bilən dəyişənləri olan tənliyə endirilir.

- tənliyə əvəz edin

Dəyişənlər ayrılıb, gəlin tənliyin hər iki tərəfini inteqrasiya edək

Əvəz etməklə tərs əvəzləmə edək , biz gizli formada ümumi həlli əldə edirik.

Homojen diferensial tənlik diferensial formada yazıla bilər.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, burada M(x;y) və N(x;y) eyni tərtibli homojen funksiyalardır.

dx-ə bölün və ifadə edin

1)

a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) şəklində olan birinci dərəcəli tənliyə xətti diferensial tənlik deyilir. Əgər b(x) ≡ 0 olarsa, tənlik homojen, əks halda - heterojen. Xətti diferensial tənlik üçün mövcudluq və təklik teoremi daha spesifik formaya malikdir.

Xidmətin məqsədi. Həllini yoxlamaq üçün onlayn kalkulyatordan istifadə etmək olar homojen və qeyri-homogen xətti diferensial tənliklər y"+y=b(x) formasındadır.

=

y=u*v dəyişən əvəzindən istifadə edin
İxtiyari sabitin dəyişməsi metodundan istifadə edin
y üçün xüsusi bir həll tapın( ) = .

Həlli əldə etmək üçün orijinal ifadə aşağıdakı formaya endirilməlidir: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Məsələn, y"-exp(x)=2*y üçün y"-2 *y=exp(x) olacaq.

Teorem. [α,β] intervalında a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) kəsimli, ∀x∈[α,β] üçün a 1 ≠0 olsun. Onda hər hansı (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] nöqtəsi üçün y(x 0) = y 0 şərtini ödəyən və bütün [α intervalında təyin olunan tənliyin unikal həlli var. ,β].
a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 olan homojen xətti diferensial tənliyi nəzərdən keçirək.
Dəyişənləri ayıraraq, alırıq və ya hər iki tərəfi inteqrasiya edirik, exp(x) = e x qeydi nəzərə alınmaqla sonuncu münasibət formada yazılır

İndi C sabitinin əvəzinə C(x) funksiyasının, yəni formada əvəz olunduğu tənliyin göstərilən formada həllini tapmağa çalışaq.

Lazımi çevrilmələrdən sonra bu həlli orijinal ilə əvəz edirik Sonuncuları birləşdirərək, bizdə var

burada C 1 yeni bir sabitdir. Əldə edilən ifadəni C(x) ilə əvəz edərək, nəhayət, orijinal xətti tənliyin həllini əldə edirik
.

Misal. y" + 2y = 4x tənliyini həll edin. Müvafiq bircins y" + 2y = 0 tənliyini nəzərdən keçirin. Onu həll edərək y = Ce -2 x alırıq. Biz indi y = C(x)e -2 x şəklində ilkin tənliyin həllini axtarırıq. y və y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x-i orijinal tənliyə əvəz etsək, C"(x) = 4xe 2 x olur, buradan C(x) = 2xe 2 x olur. - e 2 x + C 1 və y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x ilkin tənliyin ümumi həllidir bu həll, y 1 (. x) = 2x-1 - qüvvənin təsiri altında cismin hərəkəti b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - cismin düzgün hərəkəti.

Nümunə № 2. y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həllini tapın.
Bu homojen bir tənlik deyil. Dəyişənlərin dəyişməsini edək: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x və ya u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Həll iki mərhələdən ibarətdir:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. u=0 bərabərləşdirin, 3v tan(3x)+v" = 0 üçün həll tapın.
Onu formada təqdim edək: v" = -3v tg(3x)

İnteqrasiya edərək əldə edirik:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v bilmək şərti ilə u-nu tapın: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
İnteqrasiya edərək əldə edirik:
y=u v şərtindən alırıq:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) və ya y = C cos(3x)-cos(2x) çarpayı(3x)

Təhsil müəssisəsi "Belarus Dövləti

Kənd Təsərrüfatı Akademiyası”

Ali riyaziyyat kafedrası

BİRİNCİ TƏRƏBLİ DİFERFENSİAL TƏNLƏR

Mühasibat tələbələri üçün mühazirə qeydləri

qiyabi təhsil forması (NISPO)

Qorki, 2013

Birinci dərəcəli diferensial tənliklər

Diferensial tənlik anlayışı. Ümumi və xüsusi həllər

Müxtəlif hadisələri tədqiq edərkən çox vaxt müstəqil dəyişənlə arzu olunan funksiyanı birbaşa birləşdirən qanun tapmaq mümkün olmur, lakin istənilən funksiya ilə onun törəmələri arasında əlaqə yaratmaq mümkündür.

Müstəqil dəyişəni, istənilən funksiyanı və onun törəmələrini birləşdirən əlaqə deyilir diferensial tənlik :

Burada x- müstəqil dəyişən, y- tələb olunan funksiya,
- arzu olunan funksiyanın törəmələri. Bu halda (1) münasibətinin ən azı bir törəməsi olmalıdır.

Diferensial tənliyin sırası tənliyə daxil olan ən yüksək törəmənin sırası adlanır.

Diferensial tənliyi nəzərdən keçirək

. (2)

Bu tənliyə yalnız birinci dərəcəli törəmə daxil olduğu üçün ona deyilir birinci dərəcəli diferensial tənlikdir.

Əgər (2) tənliyi törəmə ilə bağlı həll oluna bilər və formada yazılır

, (3)

onda belə tənliyə normal formada birinci dərəcəli diferensial tənlik deyilir.

Bir çox hallarda formanın tənliyini nəzərdən keçirmək məqsədəuyğundur

adlanır diferensial formada yazılmış birinci dərəcəli diferensial tənlik.

Çünki
, onda (3) tənliyi formada yazıla bilər
və ya
, saya bildiyimiz yer
Və
. Bu o deməkdir ki, (3) tənliyi (4) tənliyinə çevrilir.

(4) tənliyini formada yazaq
. Sonra
,
,
, saya bildiyimiz yer
, yəni. (3) formalı tənlik alınır. Beləliklə, (3) və (4) tənlikləri ekvivalentdir.

Diferensial tənliyin həlli (2) və ya (3) hər hansı funksiya adlanır
, onu (2) və ya (3) tənliyinə əvəz edərkən onu eyniliyə çevirir:

və ya
.

Diferensial tənliyin bütün həll yollarının tapılması prosesi onun adlanır inteqrasiya , və həll qrafiki
diferensial tənlik deyilir inteqral əyri bu tənlik.

Diferensial tənliyin həlli gizli formada alınarsa
, sonra çağırılır inteqral bu diferensial tənliyin.

Ümumi həll birinci dərəcəli diferensial tənliyin formasının funksiyalar ailəsidir
, ixtiyari sabitdən asılı olaraq İLƏ, hər biri ixtiyari sabitin hər hansı icazə verilən qiyməti üçün verilmiş diferensial tənliyin həllidir İLƏ. Beləliklə, diferensial tənliyin sonsuz sayda həlli var.

Şəxsi qərar diferensial tənlik ixtiyari sabitin xüsusi qiyməti üçün ümumi həll düsturundan alınan həlldir İLƏ, o cümlədən
.

Koşi məsələsi və onun həndəsi şərhi

(2) tənliyinin sonsuz sayda həlli var. Şəxsi adlanan bu dəstdən bir həll seçmək üçün bəzi əlavə şərtlər təyin etməlisiniz.

Verilmiş şəraitdə (2) tənliyinin konkret həllinin tapılması məsələsi adlanır Cauchy problemi . Bu problem diferensial tənliklər nəzəriyyəsində ən vacib məsələlərdən biridir.

Koşi problemi aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: (2) tənliyinin bütün həlləri arasında belə bir həll tapın
, funksiyası olan
verilmiş ədədi qiyməti alır , əgər müstəqil dəyişəndirsə x verilmiş ədədi qiyməti alır , yəni.

,
, (5)

Harada D– funksiyanın təyini sahəsi
.

Məna çağırdı funksiyanın ilkin qiyməti , A – müstəqil dəyişənin ilkin qiyməti . Şərt (5) çağırılır ilkin vəziyyət və ya Cauchy vəziyyəti .

Həndəsi nöqteyi-nəzərdən (2) diferensial tənliyi üçün Koşi məsələsi aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər: (2) tənliyinin inteqral əyriləri çoxluğundan verilmiş nöqtədən keçəni seçin
.

Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər

Diferensial tənliklərin ən sadə növlərindən biri istənilən funksiyanı ehtiva etməyən birinci dərəcəli diferensial tənlikdir:

. (6)

Bunu nəzərə alaraq
, tənliyini formada yazırıq
və ya
. Son tənliyin hər iki tərəfini birləşdirərək, əldə edirik:
və ya

. (7)

Beləliklə, (7) (6) tənliyinin ümumi həllidir.

Misal 1 . Diferensial tənliyin ümumi həllini tapın
.

Həll . Tənliyi formada yazaq
və ya
. Əldə edilən tənliyin hər iki tərəfini inteqral edək:
,
. Nəhayət yazacağıq
.

Misal 2 . Tənliyin həllini tapın
bunu nəzərə alaraq
.

Həll . Tənliyin ümumi həllini tapaq:
,
,
,
. Şərtlə
,
. Ümumi həll yolu ilə əvəz edək:
və ya
. İxtiyari sabitin tapılmış qiymətini ümumi həll üçün düsturla əvəz edirik:
. Bu, verilmiş şərti ödəyən diferensial tənliyin xüsusi həllidir.

tənlik

(8)

Zəng etdi tərkibində müstəqil dəyişən olmayan birinci dərəcəli diferensial tənlik . Gəlin onu formada yazaq
və ya
. Son tənliyin hər iki tərəfini inteqral edək:
və ya
- (8) tənliyinin ümumi həlli.

Misal . Tənliyin ümumi həllini tapın
.

Həll . Bu tənliyi aşağıdakı formada yazaq:
və ya
. Sonra
,
,
,
. Beləliklə,
bu tənliyin ümumi həllidir.

Formanın tənliyi

(9)

dəyişənlərin ayrılmasından istifadə edərək inteqrasiya edir. Bunun üçün tənliyi formada yazırıq
, və sonra vurma və bölmə əməliyyatlarından istifadə edərək onu elə bir formaya gətiririk ki, bir hissə yalnız funksiyanı ehtiva edir. X və diferensial dx, ikinci hissədə isə funksiyası saat və diferensial dy. Bunun üçün tənliyin hər iki tərəfini vurmaq lazımdır dx və bölün
. Nəticədə tənliyi əldə edirik

, (10)

hansı dəyişənlər X Və saat ayrıldı. (10) tənliyinin hər iki tərəfini inteqral edək:
. Nəticədə yaranan əlaqə (9) tənliyinin ümumi inteqralıdır.

Misal 3 . Tənliyi inteqrasiya edin
.

Həll . Gəlin tənliyi çevirək və dəyişənləri ayıraq:
,
. Gəlin inteqrasiya edək:
,
və ya bu tənliyin ümumi inteqralıdır.
.

Tənlik formada verilsin

Bu tənlik adlanır ayrıla bilən dəyişənlərlə birinci dərəcəli diferensial tənlik simmetrik formada.

Dəyişənləri ayırmaq üçün tənliyin hər iki tərəfini bölmək lazımdır
:

. (12)

Nəticədə yaranan tənlik deyilir ayrılmış diferensial tənlik . (12) tənliyini inteqral edək:

.(13)

(13) əlaqəsi (11) diferensial tənliyin ümumi inteqralıdır.

Misal 4 . Diferensial tənliyi inteqral edin.

Həll . Tənliyi formada yazaq

və hər iki hissəyə bölün
,
. Nəticə tənlik:
ayrılmış dəyişən tənlikdir. Gəlin onu birləşdirək:

,
,

,
. Son bərabərlik bu diferensial tənliyin ümumi inteqralıdır.

Misal 5 . Diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın
, şərti təmin edir
.

Həll . Bunu nəzərə alaraq
, tənliyini formada yazırıq
və ya
. Dəyişənləri ayıraq:
. Bu tənliyi birləşdirək:
,
,
. Nəticədə yaranan əlaqə bu tənliyin ümumi inteqralıdır. Şərtlə
. Onu ümumi inteqrala əvəz edək və tapaq İLƏ:
,İLƏ=1. Sonra ifadə
verilmiş diferensial tənliyin qismən həllidir, qismən inteqral kimi yazılmışdır.

Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər

tənlik

(14)

çağırdı birinci tərtib xətti diferensial tənlik . Naməlum funksiya
və onun törəməsi bu tənliyə xətti olaraq daxil olur və funksiyalar
Və
davamlı.

Əgər
, sonra tənlik

(15)

çağırdı xətti homojen . Əgər
, onda (14) tənliyi çağırılır xətti qeyri-bərabər .

(14) tənliyinin həllini tapmaq üçün adətən istifadə olunur əvəzetmə üsulu (Bernoulli) , mahiyyəti aşağıdakı kimidir.

Biz (14) tənliyinin həllini iki funksiyanın hasili şəklində axtaracağıq

, (16)

Harada
Və
- bəziləri davamlı funksiyalar. Əvəz edək
və törəmə
tənliyə (14):

Funksiya vşərti ödəyəcək şəkildə seçəcəyik
. Sonra
. Beləliklə, (14) tənliyinin həllini tapmaq üçün diferensial tənliklər sistemini həll etmək lazımdır

Sistemin birinci tənliyi xətti homojen tənlikdir və dəyişənlərin ayrılması üsulu ilə həll edilə bilər:
,
,
,
,
. Funksiya kimi
homojen tənliyin qismən həlllərindən birini götürə bilərsiniz, yəni. saat İLƏ=1:
. Sistemin ikinci tənliyini əvəz edək:
və ya
.Sonra
. Beləliklə, birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin ümumi həlli formaya malikdir
.

Misal 6 . Tənliyi həll edin
.

Həll . Tənliyin həllini formada axtaracağıq
. Sonra
. tənliyə əvəz edək:

və ya
. Funksiya v bərabərliyi təmin edən şəkildə seçin
. Sonra
. Gəlin bu tənliklərdən birincisini dəyişənlərin ayrılması metodundan istifadə edərək həll edək:
,
,
,
,. Funksiya vİkinci tənliyi əvəz edək:
,
,
,
. Bu tənliyin ümumi həlli belədir
.

Biliyin özünə nəzarəti üçün suallar

Diferensial tənlik nədir?

Diferensial tənliyin sırası necədir?

Hansı diferensial tənliyə birinci dərəcəli diferensial tənlik deyilir?

Birinci dərəcəli diferensial tənlik diferensial formada necə yazılır?

Diferensial tənliyin həlli nədir?

İnteqral əyri nədir?

Birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli nədir?

Diferensial tənliyin qismən həllinə nə deyilir?

Birinci dərəcəli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi necə tərtib olunur?

Koşi məsələsinin həndəsi şərhi necədir?

Simmetrik formada ayrıla bilən dəyişənlərlə diferensial tənliyi necə yazmaq olar?

Hansı tənliyə birinci dərəcəli xətti diferensial tənlik deyilir?

Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyi hansı üsulla həll etmək olar və bu metodun mahiyyəti nədir?

Müstəqil iş üçün tapşırıqlar

Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənlikləri həll edin:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Birinci dərəcəli xətti diferensial tənlikləri həll edin:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Birinci dərəcəli diferensial tənliklər. Həll nümunələri.
Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər

Diferensial tənliklər (DE). Bu iki söz adətən adi insanı dəhşətə gətirir. Diferensial tənliklər bir çox tələbələr üçün qadağanedici və çətin bir şey kimi görünür. Uuuuuu... diferensial tənliklər, bütün bunlara necə dözüm?!

Bu fikir və bu münasibət kökündən yanlışdır, çünki əslində DIFFERENTİAL TƏNLƏR - SADE VƏ HƏTTA ƏYLƏNMƏLİDİR. Diferensial tənliklərin həllini öyrənmək üçün nəyi bilmək və bacarmaq lazımdır? Diffuzları müvəffəqiyyətlə öyrənmək üçün siz inteqrasiya və fərqləndirməkdə yaxşı olmalısınız. Mövzular nə qədər yaxşı öyrənilir Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi Və Qeyri-müəyyən inteqral, diferensial tənlikləri başa düşmək bir o qədər asan olacaq. Daha çox deyəcəyəm, əgər sizin az-çox layiqli inteqrasiya bacarığınız varsa, demək olar ki, mövzu mənimsənilib! Daha çox inteqral müxtəlif növlər necə qərar verəcəyinizi bilirsiniz - bir o qədər yaxşıdır. Niyə? Çox inteqrasiya etməli olacaqsınız. Və fərqləndirin. Həmçinin çox tövsiyə edirəm tapmağı öyrənin.

95% hallarda testlər Birinci dərəcəli diferensial tənliyin 3 növü var: ayrıla bilən tənliklər bu dərsdə baxacağımız; homojen tənliklər Və xətti qeyri-homogen tənliklər. Diffuzorları öyrənməyə başlayanlar üçün dərsləri tam olaraq bu ardıcıllıqla oxumağı məsləhət görürəm və ilk iki məqaləni öyrəndikdən sonra əlavə seminarda bacarıqlarınızı möhkəmləndirməyiniz zərər verməz - homojenə endirilən tənliklər.

Diferensial tənliklərin daha nadir növləri var: ümumi diferensial tənliklər, Bernoulli tənlikləri və digərləri. Son iki növdən ən vacibi tənliklərdir tam diferensiallar, çünki bu uzaqdan idarəetməyə əlavə olaraq düşünürəm yeni material – qismən inteqrasiya.

Yalnız bir və ya iki gününüz varsa, Bu ultra sürətli hazırlıq üçün var blits kursu pdf formatında.

Beləliklə, nişanlar təyin olundu - gedək:

Əvvəlcə adi cəbri tənlikləri xatırlayaq. Onların tərkibində dəyişənlər və rəqəmlər var. Ən sadə misal: . Adi tənliyi həll etmək nə deməkdir? Bu tapmaq deməkdir nömrələr toplusu, bu tənliyi təmin edən. Uşaqların tənliyinin tək kökə malik olduğunu görmək asandır: . Sadəcə əylənmək üçün tapılan kökü yoxlayaq və tənliyimizə əvəz edək:

– düzgün bərabərlik əldə edilir, yəni həll düzgün tapılıb.

Diffuzorlar təxminən eyni şəkildə hazırlanmışdır!

Diferensial tənlik ilk sifariş V ümumi hal ehtiva edir:
1) müstəqil dəyişən;
2) asılı dəyişən (funksiya);
3) funksiyanın birinci törəməsi: .

Bəzi 1-ci dərəcəli tənliklərdə "x" və/yaxud "y" olmaya bilər, lakin bu əhəmiyyətli deyil - vacibdir nəzarət otağına getmək idi birinci törəmə və yox idi daha yüksək dərəcəli törəmələr – və s.

Nə deməkdir? Diferensial tənliyin həlli tapmaq deməkdir bütün funksiyalar toplusu, bu tənliyi təmin edən. Belə funksiyalar toplusu tez-tez adlanan formaya (– ixtiyari sabit) malikdir diferensial tənliyin ümumi həlli.

Misal 1

Diferensial tənliyi həll edin

Tam sursat. Haradan başlamaq lazımdır həll?

İlk növbədə, törəməni bir az fərqli formada yenidən yazmalısınız. Çoxlarınızın gülünc və lazımsız göründüyü çətin təyinatı xatırlayırıq. Diffuzorlarda belə qaydalar var!

İkinci addımda bunun mümkün olub olmadığını görək ayrı dəyişənlər? Dəyişənləri ayırmaq nə deməkdir? Kobud desək, sol tərəfdə tərk etməliyik yalnız "yunanlar", A sağ tərəfdə təşkil etmək yalnız "X". Dəyişənlərin bölünməsi "məktəb" manipulyasiyalarından istifadə etməklə həyata keçirilir: onları mötərizədən çıxarmaq, işarənin dəyişdirilməsi ilə terminləri hissədən hissəyə köçürmək, nisbət qaydasına uyğun olaraq amilləri hissədən hissəyə köçürmək və s.

Diferensiallar və tam çarpan və döyüş əməliyyatlarının fəal iştirakçılarıdır. Baxılan misalda dəyişənlər nisbət qaydasına uyğun olaraq amilləri silməklə asanlıqla ayrılır:

Dəyişənlər ayrılır. Sol tərəfdə yalnız "Y" var, sağ tərəfdə - yalnız "X" var.

Növbəti mərhələ - diferensial tənliyin inteqrasiyası. Çox sadədir, hər iki tərəfə inteqrallar qoyuruq:

Təbii ki, biz inteqralları götürməliyik. IN bu halda onlar cədvəllidir:

Xatırladığımız kimi, hər hansı bir antitörəmə sabit təyin olunur. Burada iki inteqral var, lakin sabiti bir dəfə yazmaq kifayətdir (sabit + sabit hələ də başqa bir sabitə bərabər olduğundan). Əksər hallarda sağ tərəfə yerləşdirilir.

Düzünü desək, inteqrallar alındıqdan sonra diferensial tənlik həll olunmuş hesab olunur. Yeganə odur ki, bizim “y” “x” vasitəsilə ifadə olunmur, yəni həll təqdim olunur gizli şəkildə forma. Diferensial tənliyin gizli formada həlli adlanır diferensial tənliyin ümumi inteqralı. Yəni bu ümumi inteqraldır.

Bu formada cavab olduqca məqbuldur, lakin daha yaxşı variant varmı? almağa çalışaq ümumi qərar.

Zəhmət olmasa, ilk texnikanı xatırlayın, çox yayılmışdır və tez-tez istifadə olunur praktiki tapşırıqlar: əgər inteqraldan sonra sağ tərəfdə loqarifm görünürsə, onda bir çox hallarda (lakin həmişə deyil!) loqarifmin altında sabitin yazılması da məsləhətdir..

Yəni, ƏVƏZİNƏ girişlər adətən yazılır .

Bu niyə lazımdır? Və "oyunu" ifadə etməyi asanlaşdırmaq üçün. Loqarifmlərin xassəsindən istifadə . Bu halda:

İndi loqarifmlər və modullar çıxarıla bilər:

Funksiya açıq şəkildə təqdim olunur. Bu ümumi həll yoludur.

Cavab verin: ümumi qərar: .

Bir çox diferensial tənliklərin cavablarını yoxlamaq kifayət qədər asandır. Bizim vəziyyətimizdə bu olduqca sadədir, tapılan həlli götürürük və onu fərqləndiririk:

Sonra törəməni orijinal tənliyə əvəz edirik:

– düzgün bərabərlik əldə edilir, bu o deməkdir ki, ümumi həll tənliyi təmin edir, yoxlanılması lazım olan budur.

Sabit fərqli dəyərlər verməklə sonsuz sayda əldə edə bilərsiniz özəl həllər diferensial tənlik. Aydındır ki, funksiyaların hər hansı biri , və s. diferensial tənliyi ödəyir.

Bəzən ümumi həll adlanır funksiyalar ailəsi. Bu nümunədə ümumi həll - bu ailədir xətti funksiyalar, daha doğrusu, düz mütənasiblik ailəsi.

Birinci nümunəni hərtərəfli nəzərdən keçirdikdən sonra diferensial tənliklərlə bağlı bir neçə sadəlövh suala cavab vermək məqsədəuyğundur:

1)Bu nümunədə biz dəyişənləri ayıra bildik. Bunu həmişə etmək olarmı? Xeyr həmişə deyil. Və daha tez-tez dəyişənlər ayrıla bilməz. Məsələn, in homojen birinci dərəcəli tənliklər, əvvəlcə onu əvəz etməlisiniz. Digər növ tənliklərdə, məsələn, birinci dərəcəli xətti qeyri-bərabər tənlikdə istifadə etməlisiniz. müxtəlif texnikalar və ümumi həll yolunun tapılması üsulları. Birinci dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz ayrıla bilən dəyişənli tənliklər - ən sadə növü diferensial tənliklər.

2) Diferensial tənliyi inteqral etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr həmişə deyil. İnteqrasiya edilə bilməyən "xülya" tənliyi ilə çıxış etmək çox asandır, əlavə olaraq alına bilməyən inteqrallar var; Ancaq oxşar DE-lər təxminən istifadə edərək həll edilə bilər xüsusi üsullar. D'Alembert və Cauchy zəmanət verirlər... ...uf, daha çox oxumaq üçün, az qala “o biri dünyadan” əlavə etdim.

3) Bu nümunədə biz ümumi inteqral şəklində bir həll əldə etdik . Ümumi inteqraldan ümumi həll tapmaq, yəni “y”-ni açıq şəkildə ifadə etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr həmişə deyil. Misal üçün: . Yaxşı, burada “yunan”ı necə ifadə edə bilərsiniz?! Belə hallarda cavab ümumi inteqral kimi yazılmalıdır. Bundan əlavə, bəzən ümumi həll yolu tapmaq olur, lakin o qədər çətin və yöndəmsiz yazılır ki, cavabı ümumi inteqral şəklində buraxmaq daha yaxşıdır.

4) ...bəlkə bu, hələlik kifayətdir. Qarşılaşdığımız ilk nümunədə Başqa biri mühüm məqam , lakin “dummies”ləri uçqunla örtməmək üçün yeni məlumatlar, növbəti dərsə qədər buraxacağam.

Tələsməyək. Başqa bir sadə uzaqdan idarəetmə və başqa bir tipik həll:

Misal 2

İlkin şərti ödəyən diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın

Həll: şərtə görə tapmaq lazımdır özəl həll Verilmiş ilkin şərti təmin edən DE. Sualın bu formalaşdırılmasına da deyilir Cauchy problemi.

Əvvəlcə ümumi bir həll tapırıq. Tənlikdə “x” dəyişəni yoxdur, lakin bu, çaşdırılmamalıdır, əsas odur ki, onun ilk törəməsi var.

Törəməni tələb olunan formada yenidən yazırıq:

Aydındır ki, dəyişənlər ayrıla bilər, oğlanlar sola, qızlar sağa:

Tənliyi inteqrasiya edək:

Ümumi inteqral alınır. Burada ulduz işarəsi ilə bir sabit çəkdim, fakt odur ki, çox tezliklə başqa bir sabitə çevriləcək.

İndi biz ümumi inteqralı ümumi həllə çevirməyə çalışırıq (“y” hərfini açıq şəkildə ifadə edin). Məktəbdən köhnə yaxşı şeyləri xatırlayaq: . Bu halda:

Göstəricidəki sabit bir şəkildə qeyri-müəyyən görünür, buna görə də ümumiyyətlə yerə endirilir. Təfərrüatlı olaraq, bu belə olur. Dərəcələrin xassəsindən istifadə edərək funksiyanı aşağıdakı kimi yenidən yazırıq:

Əgər sabitdirsə, onda da bir qədər sabitdir, gəlin onu hərflə təyin edək:

Unutmayın ki, bir sabiti “yıxmaq” deməkdir ikinci texnika, diferensial tənliklərin həlli zamanı tez-tez istifadə olunur.

Beləliklə, ümumi həll yolu budur: . Bu eksponensial funksiyaların gözəl ailəsidir.

Son mərhələdə, verilmiş ilkin şərti təmin edən xüsusi bir həll tapmaq lazımdır. Bu da sadədir.

Tapşırıq nədir? Almaq lazımdır bu cürşərtin ödənilməsi üçün sabitin qiyməti.

Müxtəlif yollarla formatlana bilər, lakin bu, yəqin ki, ən aydın yol olacaq. Ümumi həlldə "X" əvəzinə sıfır, "Y" əvəzinə iki əvəz edirik:



Yəni,

Standart dizayn versiyası:

İndi sabitin tapılmış qiymətini ümumi həlldə əvəz edirik:
– bu, bizə lazım olan xüsusi həlldir.

Cavab verin: şəxsi həll:

yoxlayaq. Şəxsi həllin yoxlanılması iki mərhələdən ibarətdir:

Əvvəlcə yoxlamaq lazımdır ki, tapılan xüsusi həll həqiqətən ilkin şərtə cavab verirmi? “X” əvəzinə sıfırı əvəz edirik və nə baş verdiyini görürük:
– bəli, həqiqətən iki aldınız, yəni ilkin şərt yerinə yetirilib.

İkinci mərhələ artıq tanışdır. Nəticədə xüsusi həlli götürürük və törəməni tapırıq:

Orijinal tənliyi əvəz edirik:

– düzgün bərabərlik əldə edilir.

Nəticə: xüsusi həll düzgün tapıldı.

Gəlin daha mənalı nümunələrə keçək.

Misal 3

Diferensial tənliyi həll edin

Həll: Törəməni bizə lazım olan formada yenidən yazırıq:

Dəyişənləri ayırmağın mümkün olub olmadığını qiymətləndiririk? Bacarmaq. İkinci termini işarə dəyişikliyi ilə sağ tərəfə keçiririk:

Və çarpanları nisbət qaydasına uyğun olaraq köçürürük:

Dəyişənlər ayrılıb, gəlin hər iki hissəni birləşdirək:

Sizi xəbərdar etməliyəm, qiyamət günü yaxınlaşır. Əgər yaxşı oxumamısansa qeyri-müəyyən inteqrallar, bir neçə nümunəni həll etdiniz, onda getmək üçün heç bir yer yoxdur - indi onları mənimsəməli olacaqsınız.

Sol tərəfin inteqralını tapmaq asandır; biz dərsdə baxdığımız standart texnikadan istifadə edərək kotangentin inteqralı ilə məşğul oluruq Triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası keçən il:

Sağ tərəfdə loqarifmimiz var və mənim ilk texniki tövsiyəmə görə, sabit də loqarifmin altına yazılmalıdır.

İndi ümumi inteqralı sadələşdirməyə çalışırıq. Bizdə yalnız loqarifmlər olduğundan, onlardan qurtulmaq olduqca mümkündür (və zəruridir). İstifadə etməklə məlum xassələri Biz loqarifmləri mümkün qədər “paketləyirik”. Bunu ətraflı yazacam:

Qablaşdırma vəhşicəsinə cırıq-cırıq olmaq üçün tamamlandı:

“Oyunu” ifadə etmək olarmı? Bacarmaq. Hər iki hissəni kvadrat etmək lazımdır.

Ancaq bunu etmək lazım deyil.

Üçüncü texniki məsləhət:ümumi həlli əldə etmək üçün gücə yüksəltmək və ya kök salmaq lazımdırsa, onda Əksər hallarda bu hərəkətlərdən çəkinməli və cavabı ümumi inteqral şəklində buraxmalısınız. Fakt budur ki, ümumi həll sadəcə dəhşətli görünəcək - böyük köklər, işarələr və digər zibillərlə.

Buna görə də cavabı ümumi inteqral şəklində yazırıq. Bunu şəklində təqdim etmək yaxşı təcrübə hesab olunur , yəni sağ tərəfdə, mümkünsə, yalnız bir sabit buraxın. Bunu etmək lazım deyil, amma professoru məmnun etmək həmişə faydalıdır ;-)

Cavab:ümumi inteqral:

! Qeyd: İstənilən tənliyin ümumi inteqralı birdən çox şəkildə yazıla bilər. Beləliklə, əgər nəticəniz əvvəllər məlum olan cavabla üst-üstə düşmürsə, bu, tənliyi səhv həll etdiyiniz demək deyil.

Ümumi inteqralı yoxlamaq da kifayət qədər asandır, əsas odur ki, tapa biləsən dolaylı olaraq müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsi. Cavabı fərqləndirək:

Hər iki şərti aşağıdakılarla çarpırıq:

Və bölün:

Orijinal diferensial tənlik tam olaraq alındı, bu da ümumi inteqralın düzgün tapılması deməkdir.

Misal 4

İlkin şərti ödəyən diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın. Yoxlayın.

Bu bir nümunədir müstəqil qərar.

Nəzərinizə çatdırım ki, alqoritm iki mərhələdən ibarətdir:
1) ümumi həll yolu tapmaq;
2) tələb olunan konkret həllin tapılması.

Yoxlama həmçinin iki mərhələdə aparılır (Nümunə 2-də nümunəyə baxın), sizə lazımdır:
1) tapılan xüsusi həllin ilkin şərti təmin etdiyinə əmin olun;
2) müəyyən bir həllin ümumiyyətlə diferensial tənliyi təmin etdiyini yoxlayın.

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Misal 5

Diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın , ilkin şərti təmin edir. Yoxlayın.

Həll:Əvvəlcə ümumi həll tapaq. Dəyişənləri ayırırıq:

Tənliyi inteqrasiya edək:

Soldakı inteqral cədvəllidir, sağdakı inteqral alınır funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi üsulu:

Ümumi inteqral alındı, ümumi həlli uğurla ifadə etmək mümkündürmü? Bacarmaq. Hər iki tərəfə loqarifmlər asırıq. Onlar müsbət olduğundan, modul işarələri lazımsızdır:

(Ümid edirəm hər kəs transformasiyanı başa düşür, belə şeylər artıq bilinməlidir)

Beləliklə, ümumi həll yolu budur:

Verilmiş ilkin şərtə uyğun olan xüsusi həlli tapaq.
Ümumi həlldə “X” əvəzinə sıfırı, “Y” əvəzinə isə ikinin loqarifmini əvəz edirik:

Daha çox tanış dizayn:

Sabitin tapılmış qiymətini ümumi həlldə əvəz edirik.

Cavab:Şəxsi həll:

Yoxlayın: Əvvəlcə ilkin şərtin yerinə yetirildiyini yoxlayaq:
-hər şey yaxşıdır.

İndi tapılan xüsusi həllin diferensial tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayaq. Törəməni tapmaq:

Orijinal tənliyə baxaq: – diferensiallarda təqdim olunur. Yoxlamağın iki yolu var. Tapılmış törəmədən diferensial ifadə etmək olar:

Tapılan xüsusi həlli və əldə edilən diferensialı ilkin tənliyə əvəz edək :

Əsas loqarifmik eyniliyi istifadə edirik:

Düzgün bərabərlik əldə edilir, yəni xüsusi həll düzgün tapılıb.

Yoxlamanın ikinci üsulu aynalı və daha tanışdır: tənlikdən Törəməni ifadə edək, bunun üçün bütün parçaları aşağıdakılara bölürük:

Və çevrilmiş DE-də əldə edilmiş qismən məhlulu və tapılmış törəməni əvəz edirik. Sadələşdirmələr nəticəsində düzgün bərabərlik də əldə edilməlidir.

Misal 6

Diferensial tənliyi həll edin. Cavabı ümumi inteqral şəklində təqdim edin.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir, tam həll və dərsin sonunda cavab verin.

Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənlikləri həll edərkən sizi hansı çətinliklər gözləyir?

1) Dəyişənlərin ayrıla biləcəyi həmişə aydın deyil (xüsusən də “çaydan” üçün). Gəlin nəzərdən keçirək şərti nümunə: . Burada amilləri mötərizədən çıxarmaq lazımdır: və kökləri ayırmaq: . Bundan sonra nə edəcəyi aydındır.

2) inteqrasiyanın özü ilə bağlı çətinliklər. İnteqrallar çox vaxt ən sadə deyil və tapmaq bacarıqlarında qüsurlar varsa qeyri-müəyyən inteqral, onda bir çox diffuzorlarla çətin olacaq. Bundan əlavə, "diferensial tənlik sadə olduğundan, heç olmasa inteqrallar daha mürəkkəb olsun" məntiqi kolleksiyalar və təlim kitabçalarının tərtibçiləri arasında məşhurdur.

3) Sabitlə çevrilmələr. Hər kəsin qeyd etdiyi kimi, diferensial tənliklərdəki sabitlər kifayət qədər sərbəst idarə oluna bilər və bəzi çevrilmələr yeni başlayanlar üçün həmişə aydın olmur. Başqa bir şərti nümunəyə baxaq: . İçindəki bütün şərtləri 2-yə vurmaq məsləhətdir: . Yaranan sabit də bir növ sabitdir, onu aşağıdakılarla işarələmək olar: . Bəli və sağ tərəfdə loqarifm olduğundan, sabiti başqa bir sabit şəklində yenidən yazmaq məsləhətdir: .

Problem ondadır ki, onlar tez-tez indekslərlə narahat olmurlar və eyni hərfi istifadə edirlər. Nəticədə qərar protokolu aşağıdakı formanı alır:

Hansı bidət? Orada səhvlər var! Düzünü desək, bəli. Lakin substantiv nöqteyi-nəzərdən heç bir səhv yoxdur, çünki dəyişən sabitin çevrilməsi nəticəsində yenə də dəyişən sabit alınır.

Və ya başqa misal, tutaq ki, tənliyin həlli zamanı ümumi inteqral alınır. Bu cavab çirkin görünür, ona görə də hər bir terminin işarəsini dəyişdirmək məsləhətdir: . Formal olaraq, burada başqa bir səhv var - sağda yazılmalıdır. Lakin qeyri-rəsmi olaraq “mənfi ce”in hələ də sabit olduğu nəzərdə tutulur ( asanlıqla hər hansı bir məna götürə bilər!), buna görə də "mənfi" qoymağın mənası yoxdur və eyni hərfi istifadə edə bilərsiniz.

Mən diqqətsiz yanaşmadan qaçmağa çalışacağam və yenə də onları çevirərkən sabitlərə müxtəlif indekslər təyin edəcəyəm.

Misal 7

Diferensial tənliyi həll edin. Yoxlayın.

Həll: Bu tənlik dəyişənlərin ayrılmasına imkan verir. Dəyişənləri ayırırıq:

Gəlin inteqrasiya edək:

Burada sabiti loqarifm kimi təyin etmək lazım deyil, çünki bundan faydalı heç nə olmayacaq.

Cavab:ümumi inteqral:

Yoxlayın: Cavabı fərqləndirin (qeyri-müəyyən funksiya):

Hər iki şərti aşağıdakılarla çarparaq fraksiyalardan xilas oluruq:

Orijinal diferensial tənlik alındı ​​ki, bu da ümumi inteqralın düzgün tapılması deməkdir.

Misal 8

DE-nin xüsusi həllini tapın.
,

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Yeganə ipucu budur ki, burada ümumi bir inteqral əldə edəcəksiniz və daha doğrusu, müəyyən bir həll tapmaq üçün cəhd etməlisiniz, amma qismən inteqral. Tam həll və dərsin sonunda cavab.