3. ORTALARIN BƏRABƏRLİYİ HAQQINDA HİPOTEZİNİN YOXLANMASI
Nümunələrlə təmsil olunan iki göstəricinin ortasının əhəmiyyətli dərəcədə fərqli olması təklifini yoxlamaq üçün istifadə olunur. Testin üç növü var: biri əlaqəli nümunələr üçün, ikisi əlaqəsiz nümunələr üçün (eyni və fərqli fərqlərlə). Nümunələr əlaqəli deyilsə, o zaman hansı meyardan istifadə edəcəyinizi müəyyən etmək üçün əvvəlcə dispersiyaların bərabərliyi hipotezini yoxlamaq lazımdır. Dispersiyaların müqayisəsi vəziyyətində olduğu kimi, problemi həll etməyin 2 yolu var ki, biz bunu bir nümunə ilə nəzərdən keçirəcəyik.
NÜMUNƏ 3. İki şəhərdə əmtəə satışının sayı haqqında məlumatlar var. Şəhərlərdə məhsul satışlarının orta sayının fərqli olduğuna dair statistik fərziyyəni 0,01 əhəmiyyətlilik səviyyəsində sınayın.
| 23 | 25 | 23 | 22 | 23 | 24 | 28 | 16 | 18 | 23 | 29 | 26 | 31 | 19 |
| 22 | 28 | 26 | 26 | 35 | 20 | 27 | 28 | 28 | 26 | 22 | 29 |
Biz Data Analizi paketindən istifadə edirik. Meyarın növündən asılı olaraq üçdən biri seçilir: “Vasitələr üçün qoşalaşmış iki nümunəli t-testi” - əlaqəli nümunələr üçün və “Bərabər dispersiyaya malik iki nümunəli t-testi” və ya “İki nümunəli t-testi” müxtəlif variasiyalar” - əlaqəsi kəsilmiş nümunələr üçün. Açılan pəncərədə "Dəyişən İnterval 1" və "Dəyişən İnterval 2" sahələrinə eyni fərqlərlə test çağırın (məlumatlar varsa, müvafiq olaraq A1-N1 və A2-L2); etiketlər, sonra “Etiketlər”in yanındakı qutuyu işarələyin (onlar bizdə yoxdur, ona görə də qeyd qutusu işarələnmir). Sonra, "Alfa" sahəsinə əhəmiyyət səviyyəsini daxil edin - 0.01. “Hipotetik orta fərq” sahəsi boş qalıb. "Çıxış Seçimləri" bölməsində "Çıxış intervalı" nın yanında bir işarə qoyun və kursoru yazının qarşısında görünən sahəyə qoyaraq B7 xanasında sol düyməni basın. Nəticə bu xanadan başlayaraq çıxacaq. "OK" düyməsini sıxmaqla nəticələr cədvəli görünür. B, C və D sütunlarının enini artırmaqla B və C, C və D, D və E sütunları arasında sərhədi köçürün ki, bütün etiketlər uyğun olsun. Prosedura nümunənin əsas xüsusiyyətlərini, t-statistikasını, kritik dəyərlər bu statistika və kritik səviyyələrəhəmiyyəti "P(T<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.
Bərabər dispersiyaya malik iki nümunəli t-testi |
||
| Orta | 23,57142857 | 26,41666667 |
| Dispersiya | 17,34065934 | 15,35606061 |
| Müşahidələr | 14 | 12 |
| Birləşdirilmiş Variasiya | 16,43105159 | |
| Hipotetik orta fərq | 0 | |
| df | 24 | |
| t-statistika | -1,784242592 | |
| P (T<=t) одностороннее | 0,043516846 | |
| t tənqidi birtərəfli | 2,492159469 | |
| P (T<=t) двухстороннее | 0,087033692 | |
| t kritik ikitərəfli | 2,796939498 | |
3 saylı laboratoriya işi
Cütlənmiş Xətti REQRESSİYA
Məqsəd: Kompüterdən istifadə etməklə cüt reqressiyanın xətti tənliyinin qurulması üsullarını mənimsəmək, reqressiya tənliyinin əsas xarakteristikalarını əldə etməyi və təhlil etməyi öyrənmək.
Nümunədən istifadə edərək reqressiya tənliyinin qurulması metodologiyasını nəzərdən keçirək.
NÜMUNƏ. x i və y i amillərinin nümunələri verilmişdir. Bu nümunələrdən istifadə edərək ỹ = ax + b xətti reqressiya tənliyini tapın. Cütlük korrelyasiya əmsalını tapın. A = 0,05 əhəmiyyət səviyyəsində reqressiya modelinin adekvatlığını yoxlayın.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Y | 6,7 | 6,3 | 4,4 | 9,5 | 5,2 | 4,3 | 7,7 | 7,1 | 7,1 | 7,9 |
Reqressiya tənliyinin a və b əmsallarını tapmaq üçün SLOPE və INTERCEPT funksiyalarından, “Statistika” kateqoriyalarından istifadə edin. A5-də “a=” imzasını daxil edirik və bitişik B5 xanasına TİLT funksiyasını daxil edirik, kursoru “İz_dəyəri_y” sahəsinə yerləşdiririk və B2-K2 xanalarına siçan ilə dövrə vuraraq keçid qoyuruq. Nəticə 0,14303-dür. İndi b əmsalını tapaq. A6-da “b=” imzasını, B6-da isə TILT funksiyaları ilə eyni parametrlərlə CUT funksiyasını daxil edirik. Nəticə 5.976364-dür. buna görə də xətti reqressiya tənliyi y=0,14303x+5,976364-dir.
Gəlin reqressiya tənliyini quraq. Bunu etmək üçün cədvəlin üçüncü sətirinə verilmiş X (birinci sətir) – y(x 1) nöqtələrində funksiyanın qiymətlərini daxil edirik. Bu dəyərləri əldə etmək üçün Statistika kateqoriyasının TREND funksiyasından istifadə edin. A3-də “Y(X)” imzasını daxil edirik və kursoru B3-ə yerləşdirərək TREND funksiyasını çağırırıq. “From_value_y” və “From_value_x” sahələrində B2-K2 və B1-K1-ə keçid veririk. “New_value_x” sahəsində biz də B1-K1-ə keçid daxil edirik. “Sabit” sahəsinə reqressiya tənliyi y=ax+b formasına malikdirsə 1, y=ax olarsa 0 daxil edin. Bizim vəziyyətimizdə birinə daxil oluruq. TREND funksiyası massivdir, ona görə də onun bütün dəyərlərini göstərmək üçün B3-K3 sahəsini seçin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini basın. Nəticə verilmiş nöqtələrdə reqressiya tənliyinin dəyərləridir. Biz cədvəl qururuq. Kursoru istənilən boş xanaya qoyun, diaqram ustasına zəng edin, "Kəskinləşdirilmiş" kateqoriyasını, qrafikin növünü - nöqtəsiz xətti seçin (aşağı sağ küncdə), "Növbəti" düyməsini basın, B3-K3 linkini daxil edin. "Diaqnostika" sahəsi. "Sıra" sekmesine keçin və "X Dəyərləri" sahəsinə B1-K1 keçidini daxil edin, "Bitir" düyməsini basın. Nəticə düz reqressiya xəttidir. Eksperimental məlumatların və reqressiya tənliklərinin qrafiklərinin necə fərqləndiyini görək. Bunu etmək üçün kursoru istənilən boş xanaya qoyun, diaqram ustasına zəng edin, "Qrafik" kateqoriyası, qrafik növü - nöqtələrlə kəsik xətt (yuxarı soldan ikinci), "Növbəti" düyməsini basın, "Range" sahəsinə bir işarə daxil edin. ikinci və üçüncü sətirlərə keçid B2- K3. "Sıra" sekmesine keçin və "X oxu etiketləri" sahəsinə B1-K1 keçidini daxil edin, "Bitir" düyməsini basın. Nəticə iki xəttdir (Mavi – orijinal, qırmızı – reqressiya tənliyi). Görünür ki, xətlər bir-birindən az fərqlənir.
| a= | 0,14303 |
| b= | 5,976364 |
r xy korrelyasiya əmsalını hesablamaq üçün PEARSON funksiyasından istifadə edin. Qrafiki elə yerləşdiririk ki, onlar 25-ci sətirdən yuxarı yerləşsinlər və A25-də “Korrelyasiya” imzasını qoyuruq, B25-də biz PEARSON funksiyasını çağırırıq, onun sahələrinə “Masiv 2” B1 mənbə məlumatlarına keçid daxil edirik. -K1 və B2-K2. nəticə 0,993821-dir. təyin əmsalı R xy korrelyasiya əmsalının kvadratıdır r xy . A26-da biz “Qeyd”i imzalayırıq, B26-da isə “=B25*B25” düsturu yazırıq. Nəticə 0,265207-dir.
Bununla belə, Excel-də xətti reqressiyanın bütün əsas xüsusiyyətlərini hesablayan bir funksiya var. Bu LINEST funksiyasıdır. Kursoru B28-ə qoyun və “Statistika” kateqoriyası olan LINEST funksiyasını çağırın. “From_value_y” və “From_value_x” sahələrində B2-K2 və B1-K1-ə keçid veririk. “Sabit” sahəsi TREND funksiyası ilə eyni mənanı daşıyır; Bizim vəziyyətimizdə birini ora qoyuruq. Funksiya 2 sütun və 5 sətirdən ibarət massivi qaytarır. Daxil etdikdən sonra siçan ilə B28-C32 xanasını seçin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini basın. Nəticə, rəqəmlərin aşağıdakı mənasını verən dəyərlər cədvəlidir:
əmsalı a | əmsalı b |
| Standart səhv m o | Standart səhv m h |
| Təyin əmsalı R xy | Standart sapma |
| F - statistika | Sərbəstlik dərəcələri n-2 |
| Kvadratların reqressiya cəmi S n 2 | Kvadratların qalıq cəmi S n 2 |
| 0,14303 | 5,976364 |
| 0,183849 | 0,981484 |
| 0,070335 | 1,669889 |
| 0,60525 | 8 |
| 1,687758 | 22,30824 |
Nəticənin təhlili: birinci sətirdə - reqressiya tənliyinin əmsalları, onları hesablanmış SLOPE və INTERCEPT funksiyaları ilə müqayisə edin. İkinci sətir əmsalların standart səhvləridir. Əgər onlardan biri mütləq qiymətdə əmsalın özündən böyükdürsə, o zaman əmsal sıfır hesab olunur. Determinasiya əmsalı amillər arasında əlaqənin keyfiyyətini xarakterizə edir. Nəticədə 0,070335 dəyəri faktorlar arasında çox yaxşı əlaqəni göstərir, F - statistika reqressiya modelinin adekvatlığı haqqında fərziyyəni yoxlayır. Bu rəqəm kritik dəyərlə müqayisə edilməlidir, onu əldə etmək üçün E33-də “F-kritik” imzasını, F33-də isə arqumentləri müvafiq olaraq “0.05” (əhəmiyyət səviyyəsi), “1” daxil etdiyimiz FRIST funksiyasını daxil edirik. (əmsalların sayı X) və "8" (sərbəstlik dərəcələri).
| F-kritik | 5,317655 |
Görünür ki, F-statistik F-kritikindən azdır, bu isə reqressiya modelinin adekvat olmadığını bildirir. Sonuncu sətir kvadratların reqressiya cəmini göstərir 
və kvadratların qalıq cəmi . Reqressiya cəminin (reqressiya ilə izah olunur) qalıqdan (təsadüfi amillərin yaratdığı reqressiya ilə izah olunmur) çox böyük olması vacibdir. Bizim vəziyyətimizdə bu şərt yerinə yetirilmir ki, bu da zəif reqressiyadan xəbər verir.
Nəticə: İşim zamanı kompüterdən istifadə etməklə cüt reqressiyanın xətti tənliyinin qurulması üsullarını mənimsədim, reqressiya tənliyinin əsas xarakteristikalarını əldə etməyi və təhlil etməyi öyrəndim.
4 saylı laboratoriya işi
QEYRİ REQRESSİYA
Məqsəd: kompüterdən (daxili xətti modellər) istifadə edərək qeyri-xətti cüt reqressiya tənliklərinin əsas növlərinin qurulması üsullarını mənimsəmək, reqressiya tənliklərinin keyfiyyət göstəricilərini əldə etməyi və təhlil etməyi öyrənmək.
Qeyri-xətti modellərin verilənlərin transformasiyasından (daxili xətti modellər) istifadə edərək xətti modellərə endirilməsi halını nəzərdən keçirək.
NÜMUNƏ. x n y n (f = 1,2,…,10) nümunəsi üçün y = f(x) reqressiya tənliyini qurun. f(x) kimi dörd növ funksiyanı nəzərdən keçirin - xətti, güc, eksponensial və hiperbola:
y = Ax + B; y = Balta B; y = Ae Bx; y = A/x + B.
Onların A və B əmsallarını tapmaq və keyfiyyət göstəricilərini müqayisə etdikdən sonra asılılığı ən yaxşı təsvir edən funksiyanı seçmək lazımdır.
| Mənfəət Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| Mənfəət X | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
İmzalarla birlikdə məlumatları cədvələ daxil edək (A1-K2 xanaları). Konvertasiya edilmiş məlumatları daxil etmək üçün cədvəlin altında üç sətri boş buraxaq, 1-dən 5-ə qədər rəqəmlər boyunca sol boz haşiyəni sürüşdürərək ilk beş sətri seçin və fonun rənglənməsi üçün rəng (açıq - sarı və ya çəhrayı) seçin. hüceyrələr. Sonra, A6-dan başlayaraq xətti reqressiya parametrlərini göstəririk. Bunun üçün A6 xanasına “Xətti” yazın və B6 bitişik xanasına LINEST funksiyasını daxil edin. “Izv_value_x” sahələrində B2-K2 və B1-K1-ə keçid veririk, sonrakı iki sahə birin qiymətini alır. Sonra, aşağıdakı sahəni 5 sətirdə və sola 2 sətirdə dairə edin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini basın. Nəticə reqressiya parametrləri olan bir cədvəldir, onlardan yuxarıdan üçüncüsü olan birinci sütundakı təyin əmsalı ən çox maraq doğurur. Bizim vəziyyətimizdə R 1 = 0,951262-ə bərabərdir. Modelin adekvatlığını yoxlamağa imkan verən F-meyarının dəyəri F 1 = 156.1439
(dördüncü sıra, birinci sütun). Reqressiya tənliyidir
y = 12,96 x +6,18 (a və b əmsalları B6 və C6 xanalarında verilmişdir).
| Xətti | 12,96 | -6,18 |
| 1,037152 | 1,60884 | |
| 0,951262 | 2,355101 | |
| 156,1439 | 8 | |
| 866,052 | 44,372 |
Gəlin digər reqressiyalar üçün də oxşar xüsusiyyətləri müəyyən edək və determinasiya əmsallarının müqayisəsi nəticəsində ən yaxşı reqressiya modelini tapacağıq. Hiperbolik reqressiyanı nəzərdən keçirək. Onu əldə etmək üçün məlumatları transformasiya edirik. Üçüncü sətirdə A3 xanasına “1/x” imzasını, B3 xanasına isə “=1/B2” düsturunu daxil edirik. Gəlin bu xananı B3-K3 sahəsinə avtomatik dolduraq. Reqressiya modelinin xüsusiyyətlərini əldə edək. A12 xanasına "Hiperbola" imzasını və bitişik LINEST funksiyasını daxil edirik. “From_value_y” və “From_value_x2” sahələrində B1-K1-ə və x – B3-K3 arqumentinin çevrilmiş məlumatlarına keçid veririk, növbəti iki sahə birinin qiymətini alır. Sonra, 5 sətir və 2 sətir altındakı sahəni sola çevirin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini basın. Reqressiya parametrlərinin cədvəlini alırıq. -də təyin əmsalı bu halda R 2 = 0,475661-ə bərabərdir ki, bu da xətti reqressiya vəziyyətindən xeyli pisdir. F-statistik F2 = 7,257293-dir. Reqressiya tənliyi y = -6,25453x 18,96772-dir.
| Hiperbola | -6,25453 | 18,96772 |
| 2,321705 | 3,655951 | |
| 0,475661 | 7,724727 | |
| 7,257293 | 8 | |
| 433,0528 | 477,3712 |
Eksponensial reqressiyanı nəzərdən keçirək. Onu xəttiləşdirmək üçün tənliyi əldə edirik, burada ỹ = ln y, ã = b, = ln a. Görünür ki, məlumatların çevrilməsi lazımdır - y-ni ln y ilə əvəz edin. Kursoru A4 xanasına qoyun və “ln y” başlığını qoyun. Kursoru B4-ə qoyun və LN düsturunu daxil edin (“Riyazi” kateqoriyası). Arqument olaraq B1-ə istinad edirik. Avtomatik doldurmadan istifadə edərək, düsturu dördüncü sıraya qədər B4-K4 xanalarına uzatırıq. Bundan sonra, F6 xanasında "Exponent" imzasını qoyuruq və bitişik G6-da LİST funksiyasını daxil edirik, bunun arqumentləri B4-K4 dəyişdirilmiş məlumatları olacaq ("Ölçülən_dəyər_y" sahəsində), qalan sahələr isə xətti reqressiya halında olduğu kimi (B2-K2, on bir). Sonra G6-H10 xanalarını dairə edin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini basın. Nəticə R 3 = 0,89079, F 3 = 65,25304-dür ki, bu da çox yaxşı reqressiya olduğunu göstərir. Reqressiya tənliyinin əmsallarını tapmaq üçün b = ã; kursoru J6-ya qoyun və “a=” başlığını, qonşu K6-da isə “=EXP(H6) düsturu, J7-də “b=”, K7-də isə “=G6” düsturu veririk. Reqressiya tənliyi y = 0,511707· e 6,197909 x-dir.
| Sərgi iştirakçısı | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |
| 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | ||
| 0,89079 | 0,512793 | ||||
| 65,25304 | 8 | ||||
| 17,15871 | 2,103652 |
Güc reqressiyasını nəzərdən keçirək. Onu xəttiləşdirmək üçün ỹ = ã tənliyini alırıq, burada ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a. Görünür ki, verilənləri çevirmək lazımdır - y-ni ln y ilə və x-i ln x ilə əvəz etmək. Artıq ln y ilə xəttimiz var. Gəlin x dəyişənlərini çevirək. A5 xanasına “ln x” imzasını, B5 xanasına isə LN düsturunu (“Riyazi” kateqoriyası) daxil edirik. Arqument olaraq B2-yə istinad edirik. Avtomatik doldurmadan istifadə edərək, düsturu beşinci sıraya qədər B5-K5 xanalarına qədər genişləndiririk. Sonra, F12 xanasında "Güc" imzasını qoyduq və bitişik G12-də LİST funksiyasını daxil edirik, arqumentləri B4-K4 ("From_value_y" sahəsində) və B5-K5 (daxilində) çevrilmiş məlumatlar olacaq. “From_value_x” sahəsi), qalan sahələr birdir. Sonra G12-H16 xanalarını azad edin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düyməsini basın. Nəticə R 4 = 0,997716, F 4 = 3494,117-dir ki, bu da yaxşı reqressiyanı göstərir. Reqressiya tənliyinin əmsallarını tapmaq üçün b = ã; kursoru J12-ə qoyun və “a=” başlığını, qonşu K12-də isə “=EXP(H12) düsturunu, J13-də “b=” başlığını, K13-də isə “=G12” düsturu veririk. Reqressiya tənliyi y = 4,90767/x+ 7,341268-dir.
| Güc | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |
| 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | ||
| 0,997716 | 0,074163 | ||||
| 3494,117 | 8 | ||||
| 19,21836 | 0,044002 |
Bütün tənliklərin məlumatları adekvat şəkildə təsvir edib-etmədiyini yoxlayaq. Bunun üçün hər bir kriteriyanın F-statistikasını kritik dəyərlə müqayisə etmək lazımdır. Onu əldə etmək üçün A21-də “F-kritik” imzasını, B21-də isə arqumentləri daxil etdiyimiz FRIST funksiyasını müvafiq olaraq “0.05” (əhəmiyyət səviyyəsi), “1” (x-də X faktorlarının sayı) daxil edirik. sətir “Əhəmiyyət səviyyəsi 1”) və “ 8” (azadlıq dərəcəsi 2 = n – 2). Nəticə 5,317655-dir. F – kritik F – statistikadan böyükdür, yəni model adekvatdır. Qalan reqressiyalar da adekvatdır. Hansı modelin məlumatları ən yaxşı təsvir etdiyini müəyyən etmək üçün biz hər bir model üçün təyinetmə indekslərini müqayisə edirik R 1, R 2, R 3, R 4. Ən böyüyü R4 = 0,997716-dır. Bu o deməkdir ki, eksperimental məlumatlar y = 4.90767/x + 7.341268 ilə daha yaxşı təsvir edilmişdir.
Nəticə: İşim zamanı kompüterdən istifadə etməklə qeyri-xətti qoşa reqressiya tənliklərinin əsas növlərinin qurulması üsullarını mənimsədim (daxili xətti modellər), reqressiya tənliklərinin keyfiyyət göstəricilərini əldə etməyi və təhlil etməyi öyrəndim.
| Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| X | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | 2,5 |
| 1/x | 4 | 2 | 1,333333 | 1 | 0,8 | 0,666667 | 0,571429 | 0,5 | 0,444444 | 0,4 |
| ln y | -1,20397 | 0,182322 | 1,029619 | 1,648659 | 2,0918641 | 2,397895 | 2,821379 | 2,827314 | 3,206803 | 3,380995 |
| ln x | -1,38629 | -0,69315 | -0,28768 | 0 | 0,2231436 | 0,405465 | 0,559616 | 0,693147 | 0,81093 | 0,916291 |
| Xətti | 12,96 | -6,18 | Sərgi iştirakçısı | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |||
| 1,037152 | 1,60884 | 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | |||||
| 0,951262 | 2,355101 | 0,89079 | 0,512793 | |||||||
| 156,1439 | 8 | 65,25304 | 8 | |||||||
| 866,052 | 44,372 | 17,15871 | 2,103652 | |||||||
| Hiperbola | -6,25453 | 18,96772 | Güc | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |||
| 2,321705 | 3,655951 | 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | |||||
| 0,475661 | 7,724727 | 0,997716 | 0,074163 | |||||||
| 7,257293 | 8 | 3494,117 | 8 | |||||||
| 433,0528 | 477,3712 | 19,21836 | 0,044002 | |||||||
| F - kritik | 5,317655 | |||||||||
5 saylı laboratoriya işi
POLİNOMIAL REQRESSİYA
Məqsəd: Eksperimental məlumatlardan istifadə edərək y = ax 2 + bx + c şəklində reqressiya tənliyini qurun.
TƏRƏFLƏR:
Müəyyən bir məhsulun y i məhsuldarlığının torpağa verilən mineral gübrələrin miqdarından x i asılılığı nəzərə alınır. Bu asılılığın kvadratik olduğu güman edilir. ỹ = ax 2 + bx + c şəklində olan reqressiya tənliyini tapmaq lazımdır.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
Bu məlumatları A1-K2 xanalarında imzalarla birlikdə elektron cədvələ daxil edək. Gəlin bir qrafik quraq. Bunu etmək üçün məlumatı Y (B2-K2 xanaları) dairəsinə çəkin, diaqram sihirbazına zəng edin, "Qrafik" diaqram tipini seçin, qrafik növü - nöqtəli qrafik (yuxarı soldan ikinci), "Növbəti" düyməsini basın, “Serial” sekmesinde və “ X oxu etiketləri”ndə B2-K2-yə keçid yaradın, “Bitir” düyməsini basın. Qrafik 2 dərəcə y = ax 2 + bx + c çoxhədli ilə yaxınlaşdırıla bilər. a, b, c əmsallarını tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etməlisiniz:
Gəlin məbləğləri hesablayaq. Bunun üçün A3 xanasına “X^2” imzasını daxil edin və B3 xanasına “= B1*B1” düsturunu daxil edin və Avtomatik doldurmadan istifadə edərək onu bütün B3-K3 sətirinə köçürün. A4 xanasına “X^3” imzasını daxil edirik və B4-də “=B1*B3” düsturu və Avtomatik doldurma onu bütün B4-K4 xəttinə köçürür. A5 xanasına “X^4” daxil edirik, B5-də isə “=B4*B1” düsturu, xətti avtomatik doldururuq. A6 xanasına “X*Y” daxil edirik, B8-də isə “=B2*B1” düsturu, xətti avtomatik doldururuq. A7 xanasına “X^2*Y” daxil edirik, B9-da isə “=B3*B2” düsturu, xətti avtomatik doldururuq. İndi məbləğləri hesablayırıq. Başlığa klikləyərək və rəng seçərək L sütununu fərqli rənglə vurğulayın. Kursoru L1 xanasına qoyun və birinci cərgənin cəmini hesablamaq üçün ∑ işarəsi ilə avtomatik yekun düyməsini sıxın. Avtomatik doldurmadan istifadə edərək düsturu L1-710 xanalarına köçürüürük.
İndi tənliklər sistemini həll edirik. Bunun üçün sistemin əsas matrisini təqdim edirik. A13 xanasına “A=” imzasını, B13-D15 matris xanalarına isə cədvəldə əks olunan keçidləri daxil edirik.
| B | C | D | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
Tənliklər sisteminin sağ tərəflərini də təqdim edirik. G13-də “B=” imzasını, H13-H15-də isə müvafiq olaraq “=L7”, “=L6”, “=L2” xanalarına keçidləri daxil edirik. Sistemi matris üsulu ilə həll edirik. Ali riyaziyyatdan məlumdur ki, həll A -1 B-ə bərabərdir. Tərs matrisi tapın. Bunu etmək üçün J13 xanasına “A arr” imzasını daxil edin. və kursoru K13-ə yerləşdirərək MOBR düsturunu təyin edin (“Riyazi” kateqoriyası). Array arqumenti olaraq biz B13:D15 xanalarına istinad veririk. Nəticə də 4x4 matris olmalıdır. Onu əldə etmək üçün K13-M15 xanalarını siçanla dairəyə çəkin, onları seçin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini sıxın. Nəticə A -1 matrisidir. İndi bu matrisin və B sütununun hasilini tapaq (H13-H15 xanaları). A18 xanasına “Əmsallar” imzasını daxil edirik və B18-də MULTIPLE funksiyasını (“Riyazi” kateqoriyası) təyin edirik. “Masiv 1” funksiyasının arqumentləri A-1 matrisinə keçiddir (K13-M15 xanaları) və “Masiv 2” sahəsində B sütununa (H13-H16 xanaları) keçid veririk. Sonra B18-B20 seçin və F2 və Ctrl+Shift+Enter düymələrini basın. Alınan massiv a, b, c reqressiya tənliyinin əmsallarıdır. Nəticədə y = 1.201082x 2 – 5.619177x + 78.48095 formasının reqressiya tənliyini alırıq.
İlkin verilənlərin və reqressiya tənliyi əsasında alınanların qrafiklərini quraq. Bunun üçün A8 xanasına “Reqressiya” imzasını daxil edin və B8-ə “=$B$18*B3+$B$19*B1+$B$20” düsturunu daxil edin. Avtomatik doldurmadan istifadə edərək düsturu B8-K8 xanalarına köçürürük. Qrafik yaratmaq üçün B8-K8 xanalarını seçin və Ctrl düyməsini basıb saxlayın, həmçinin B2-M2 xanalarını seçin. Diaqram sihirbazına zəng edin, "Qrafik" növünü seçin, diaqram növü - nöqtələri olan qrafik (yuxarı soldan ikinci), "Növbəti" düyməsini basın, "Series" sekmesine keçin və "X-axis labels" sahəsində B2-M2-ə bir keçid, "Hazır" düyməsini basın. Döngələrin demək olar ki, üst-üstə düşdüyünü görmək olar.
NƏTİCƏ: iş prosesində eksperimental məlumatlar əsasında y = ax 2 + bx + c şəklində reqressiya tənliyini qurmağı öyrəndim.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| Reqressiya. | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| A= | 15333 | 2025 | 285 | B= | 52162,1 | A Arr. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| Əmsal | 1,201082 | a | |||||||||||
| 5,619177 | |||||||||||||
5 noyabr 2012 5 noyabr 2012 5 noyabr 2012 5 noyabr 2012 Mühazirə 6. İki nümunənin müqayisəsi 6-1. Vasitələrin bərabərliyi fərziyyəsi. Cütlənmiş nümunələr 6-2 vasitə fərqi üçün etibarlılıq intervalı. Cütlənmiş nümunələr 6-3. Dispersiyaların bərabərliyi fərziyyəsi 6-4. Səhmlərin bərabərliyi fərziyyəsi 6-5. Proporsiyalardakı fərq üçün inam intervalı
2 İvanov O.V., 2005 Bu mühazirədə... Əvvəlki mühazirədə biz iki ümumi populyasiyanın orta göstəricilərinin bərabərliyi haqqında fərziyyəni sınaqdan keçirdik və qurduq. etimad intervalı müstəqil nümunələr üçün vasitələr fərqi üçün. İndi biz vasitələrin bərabərliyi fərziyyəsinin sınaqdan keçirilməsi meyarını nəzərdən keçirəcəyik və qoşalaşmış (asılı) nümunələr vəziyyətində vasitələr fərqi üçün inam intervalı quracağıq. Sonra 6-3-cü bölmədə dispersiyaların bərabərliyi fərziyyəsi, 6-4-cü bölmədə səhmlərin bərabərliyi hipotezi yoxlanılacaq. Nəhayət, nisbətlərdəki fərq üçün inam intervalı qururuq.
5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il Vasitələrin bərabərliyi hipotezi. Qoşalaşmış nümunələr Problemin ifadəsi Hipotezlər və statistika Hərəkətlərin ardıcıllığı Nümunə
4 İvanov O.V., 2005 Cütlənmiş nümunələr. Problemin təsviri Bizdə olanlar 1. İki ümumi populyasiyadan alınan iki sadə təsadüfi nümunə. Nümunələr qoşalaşmışdır (asılı). 2. Hər iki nümunənin ölçüsü n 30-dur. Əgər belə deyilsə, onda hər iki nümunə normal paylanmış populyasiyalardan götürülür. İstədiyimiz, iki populyasiyanın vasitələri arasındakı fərq haqqında fərziyyəni yoxlamaqdır:
5 İvanov O.V., 2005 Cütlənmiş nümunələr üçün statistika Fərziyyəni yoxlamaq üçün statistikadan istifadə olunur: bir cütdə iki dəyər arasındakı fərq haradadır - qoşalaşmış fərqlər üçün ümumi orta - qoşalaşmış fərqlər üçün seçmə orta - standart sapma nümunə üçün fərqlər - cütlərin sayı
6 İvanov O.V., 2005 Nümunə. Tələbələrin hazırlığı 15 tələbədən ibarət qrup təlimdən əvvəl və sonra sınaq imtahanı keçirdi. Test nəticələri cədvəldədir. Təlimin tələbələrin hazırlığına 0,05 əhəmiyyət səviyyəsində təsirinin olmaması üçün qoşalaşmış nümunələr üçün fərziyyəni yoxlayaq. Həll. Fərqləri və onların kvadratlarını hesablayaq. StudentBeforeAfter Σ= 21 Σ= 145
7 İvanov O.V., 2005 Həll addımı 1. Əsas və alternativ fərziyyələr: 2-ci addım. Əhəmiyyət səviyyəsi =0,05 təyin edilmişdir. Addım 3. df = 15 – 1=14 üçün cədvəldən istifadə edərək t = 2.145 kritik qiymətini tapırıq və kritik bölgəni yazırıq: t > 2.145. 2.145."> 2.145."> 2.145." title="7 Ivanov O.V., 2005 Həll addımı 1. Əsas və alternativ fərziyyələr: Addım 2. Əhəmiyyət səviyyəsi = 0.05 təyin edilmişdir. Addım 3. Df üçün cədvəl üzrə = 15 – 1=14 kritik qiyməti t = 2.145 tapırıq və kritik bölgəni yazırıq: t > 2.145."> title="7 İvanov O.V., 2005 Həll addımı 1. Əsas və alternativ fərziyyələr: 2-ci addım. Əhəmiyyət səviyyəsi =0,05 təyin edilmişdir. Addım 3. df = 15 – 1=14 üçün cədvəldən istifadə edərək t = 2.145 kritik qiymətini tapırıq və kritik bölgəni yazırıq: t > 2.145."> !}
9 Ivanov O.V., 2005 Həll Statistikası dəyəri alır: Addım 5. Alınan dəyəri kritik bölgə ilə müqayisə edin. 1.889 
5 noyabr 2012 5 noyabr 2012 5 noyabr 2012 5 noyabr 2012 Vasitələr fərqi üçün inam intervalı. Qoşalaşmış nümunələr Problemin ifadəsi Etibar intervalının qurulması üsulu Nümunə
11 İvanov O.V., 2005 Problemin təsviri Bizdə olanlar İki ümumi populyasiyadan n ölçülü iki təsadüfi qoşalaşmış (asılı) nümunəmiz var. Ümumi populyasiyalar 1, 1 və 2, 2 parametrləri ilə normal paylanma qanununa malikdir və ya hər iki nümunənin həcmi 30-dur. Bizim istədiyimiz iki ümumi populyasiya üçün qoşalaşmış fərqlərin orta qiymətini qiymətləndirməkdir. Bunu etmək üçün, formada orta üçün etimad intervalı qurun:
5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il Dispersiyaların bərabərliyi hipotezi Problemin ifadəsi Hipotezlər və statistika Hərəkətlərin ardıcıllığı Misal
15 İvanov O.V., 2005 Tədqiqat zamanı... Tədqiqatçıya tədqiq olunan iki populyasiyanın dispersiyalarının bərabər olması ehtimalını yoxlamaq lazım gələ bilər. Bu ümumi əhalinin olduğu halda normal paylanma, bunun üçün Fisher kriteriyası da adlanan F-testi var. Tələbədən fərqli olaraq, Fişer pivə zavodunda işləməyib.
16 İvanov O.V., 2005 Problemin təsviri Bizdə olanlar 1. Normal paylanmış iki populyasiyadan alınmış iki sadə təsadüfi nümunə. 2. Nümunələr müstəqildir. Bu o deməkdir ki, nümunə subyektləri arasında heç bir əlaqə yoxdur. İstədiyimiz əhali fərqlərinin bərabərliyi hipotezini yoxlamaqdır:
23 İvanov O.V., 2005 Nümunə Tibb tədqiqatçısı siqaret çəkən və çəkməyən xəstələrin ürək döyüntüləri arasında fərqin olub olmadığını yoxlamaq istəyir (dəqiqədə döyüntülərin sayı). Təsadüfi seçilmiş iki qrupun nəticələri aşağıda göstərilmişdir. α = 0,05-dən istifadə edərək, həkimin haqlı olub olmadığını öyrənin. Siqaret çəkənlər Siqaret çəkməyənlər
24 İvanov O.V., 2005 Həll mərhələsi 1. Əsas və alternativ fərziyyələr: Mərhələ 2. Əhəmiyyətlilik səviyyəsi =0,05 təyin edilmişdir. Addım 3. 25 say və məxrəc 17-nin sərbəstlik dərəcələrinin sayı üçün cədvəldən istifadə edərək, f = 2.19 kritik qiymətini və kritik bölgəni tapırıq: f > 2.19. Addım 4. Nümunədən istifadə edərək statistik dəyəri hesablayırıq: 2.19. Addım 4. Nümunədən istifadə edərək statistik dəyəri hesablayırıq: "> 
5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il Bərabər paylar hipotezi Problemin ifadəsi Hipotezlər və statistika Hərəkətlərin ardıcıllığı Misal
27 İvanov O.V., 2005 Sual Sosiologiya fakültəsinin təsadüfi seçilmiş 100 tələbəsindən 43-ü xüsusi kurslarda iştirak edir. İqtisadiyyat üzrə təsadüfi seçilmiş 200 tələbədən 90-ı xüsusi kurslarda iştirak edir. Xüsusi kurslara gedən tələbələrin nisbəti sosiologiya və iqtisadiyyat fakültələri arasında fərqlənirmi? Görünür, o, əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənmir. Bunu necə yoxlaya bilərəm? Xüsusi kurslarda iştirak edənlərin payı atribut payıdır. 43 - "uğurların" sayı. 43/100 - uğurun payı. Terminologiya Bernoulli sxemindəki kimidir.
28 İvanov O.V., 2005 Problemin təsviri Bizdə olanlar 1. Normal paylanmış iki populyasiyadan alınmış iki sadə təsadüfi nümunə. Nümunələr müstəqildir. 2. Nümunələr üçün np 5 və nq 5 yerinə yetirilir, bu o deməkdir ki, nümunənin ən azı 5 elementi öyrənilən xarakterik qiymətə malikdir, ən azı 5 isə yoxdur. İstədiyimiz, iki ümumi populyasiyada bir xüsusiyyətin paylarının bərabərliyi haqqında fərziyyəni yoxlamaqdır:
31 İvanov O.V., 2005 Nümunə. İki fakültənin xüsusi kursları Sosiologiya fakültəsinin təsadüfi seçilmiş 100 tələbəsindən 43-ü xüsusi kurslarda iştirak edir. İqtisadiyyat üzrə təhsil alan 200 tələbədən 90-ı xüsusi kurslarda iştirak edir. Əhəmiyyətlilik səviyyəsində = 0,05, bu iki fakültədə xüsusi kurslarda iştirak edən tələbələrin nisbəti arasında fərq olmadığı fərziyyəsini yoxlayın. 33 İvanov O.V., 2005 Həll addımı 1. Əsas və alternativ fərziyyələr: Mərhələ 2. Əhəmiyyət səviyyəsi =0,05 təyin edilir. Addım 3. Normal paylanma cədvəlindən istifadə edərək z = – 1.96 və z = 1.96 kritik dəyərləri tapırıq və kritik bölgəni qururuq: z 1.96. Addım 4. Nümunə əsasında statistikanın dəyərini hesablayırıq.
34 İvanov O.V., 2005 Həll addımı 5. Alınan dəyəri kritik bölgə ilə müqayisə edin. Nəticə statistik dəyər kritik bölgəyə düşmədi. Addım 6. Nəticəni tərtib edin. Əsas fərziyyəni rədd etmək üçün heç bir səbəb yoxdur. Xüsusi kurslarda iştirak edənlərin payı statistik cəhətdən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənmir.
5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il 5 noyabr 2012-ci il Proporsiyalar fərqi üçün inam intervalı Problemin ifadəsi Etibar intervalının qurulması üsulu Misal
İki müstəqil nümunəni nəzərdən keçirin x 1, x 2, ….., x n və y 1, y 2, …, y n, normal populyasiyalardan bərabər dispersiyaya malik, seçmə ölçüləri müvafiq olaraq n və m olan və μ x, μ y ortalamaları ilə və dispersiya σ 2 məlum deyil. H 0: μ x = μ y əsas hipotezini rəqib H 1: μ x μ y ilə yoxlamaq tələb olunur.
Məlum olduğu kimi, seçmə orta göstəriciləri aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olacaq: ~N(μ x, σ 2 /n), ~N(μ y, σ 2 /m).
Onların fərqi orta ilə normal bir dəyərdir 
və variasiya, belə ki
~ 
(23).
Bir anlığa H 0 əsas hipotezinin düzgün olduğunu fərz edək: μ x – μ y =0. Sonra 
və dəyəri onun standart sapmasına bölərək standart normal sl-ni alırıq. Ölçü 
~N(0,1).
Əvvəllər qeyd olunub ki böyüklük 
qanuna uyğun olaraq (n-1)-ci sərbəstlik dərəcəsi ilə bölüşdürülür, a 
- qanuna əsasən (m-1) sərbəstlik dərəcələri ilə. Bu iki məbləğin müstəqilliyini nəzərə alsaq, onların olduğunu görürük ümumi miqdar 
qanuna uyğun olaraq n+m-2 sərbəstlik dərəcəsi ilə paylanır.
7-ci addımı xatırlayaraq, fraksiyanın olduğunu görürük 
ν=m+n-2 sərbəstlik dərəcəsi ilə t-paylanmasına (Tələbə) tabe olur: Z=t. Bu fakt yalnız H 0 hipotezi doğru olduqda baş verir.
ξ və Q ifadələri ilə əvəz edərək, Z üçün genişləndirilmiş düstur alırıq:
(24)
Kriteriya statistikası adlanan növbəti Z dəyəri aşağıdakı hərəkətlər ardıcıllığı ilə qərar qəbul etməyə imkan verir:
1. t ν paylanma əyrisi altında β=1–α sahələrini ehtiva edən D=[-t β,ν , +t β,ν ] sahəsi müəyyən edilmişdir (Cədvəl 10).
2. Z statistikasının Z eksperimental dəyəri (24) düsturundan istifadə etməklə hesablanır ki, bunun üçün xüsusi nümunələrin x 1 və y 1 qiymətləri, habelə onların seçmə vasitələri X 1 və Y 1 əvəzinə əvəz olunur. .
3. Əgər D üzərində Z varsa, onda H 0 fərziyyəsinin eksperimental məlumatlara zidd olmadığı hesab edilir və qəbul edilir.
Əgər D üzərində Z varsa, onda H 1 hipotezi qəbul edilir.
Əgər H 0 fərziyyəsi doğrudursa, onda Z orta hesabla məlum olan t ν -paylanmasına tabe olur və yüksək ehtimalla β = 1–α H 0 fərziyyəsinin qəbulu D-regionuna düşür. Z on-un müşahidə edilmiş eksperimental qiyməti D-ə düşdükdə. Biz bunu H 0 fərziyyəsinin xeyrinə sübut hesab edirik.
Z 0 n D-dən kənarda olduqda (necə deyərlər, K kritik bölgəsində yerləşir), bu, H 1 fərziyyəsi doğrudursa, təbiidir, lakin H 0 doğrudursa, onda biz H 0 hipotezini yalnız qəbul etməklə rədd edə bilərik. H 1.
Misal 31.
İki növ benzin müqayisə edilir: A və B. Eyni gücə malik 11 avtomobildə A və B markalı benzin bir dəfə dairəvi şassidə sınaqdan keçirilib və onun üçün B benzini haqqında məlumat yoxdur.
100 km-ə benzin sərfiyyatı
Cədvəl 12
| i | ||||||||||||
| X i | 10,51 | 11,86 | 10,5 | 9,1 | 9,21 | 10,74 | 10,75 | 10,3 | 11,3 | 11,8 | 10,9 | n=11 |
| U i | 13,22 | 13,0 | 11,5 | 10,4 | 11,8 | 11,6 | 10,64 | 12,3 | 11,1 | 11,6 | - | m=10 |
A və B markalı benzinlərin istehlakında fərq məlum deyil və eyni olduğu güman edilir. α=0,05 əhəmiyyətlilik səviyyəsində bu benzin növlərinin həqiqi orta məsrəflərinin μ A və μ B eyni olduğu fərziyyəsini qəbul etmək mümkündürmü?
Həll. H 0 hipotezinin sınaqdan keçirilməsi: μ A -μ B = 0 rəqibi ilə. H 1:μ 1 μ 2 aşağıdakıları edin:
1. Nümunə vasitələrini və Q kvadratik kənarlaşmaların cəmini tapın.
;
;
2. Z statistikasının eksperimental qiymətini hesablayın
3. t-paylanmanın 10-cu cədvəlindən ν=m+n–2=19 və β=1–α=0,95 sərbəstlik dərəcələrinin sayı üçün t β,ν həddi tapırıq. Cədvəl 10-da t 0,95,20 =2,09 və t 0,95,15 =2,13, lakin t 0,95,19 deyil. İnterpolyasiya ilə t 0,95,19 =2,09+ =2,10 tapırıq.
4. D və ya K sahəsindən hansının Zon nömrəsinin olduğunu yoxlayın. Zona=-2,7 D=[-2,10; -2.10].
Müşahidə olunan Z on qiyməti kritik bölgədə, K = R\D olduğu üçün onu atırıq. H 0 və H 1 hipotezini qəbul edin. Bu halda onların fərqinin əhəmiyyətli olduğunu deyirlər. Əgər bu nümunənin bütün şərtləri altında yalnız Q dəyişsəydi, məsələn, Q ikiqat artsaydı, nəticəmiz dəyişəcəkdi. Q-nun ikiqat artması Zonun dəyərinin bir faktorla azalmasına gətirib çıxaracaq və sonra Zon sayı icazə verilən D bölgəsinə düşəcək, beləliklə H 0 hipotezi sınaqdan keçəcək və qəbul ediləcək. Bu halda və arasında uyğunsuzluq μ A μ B olması ilə deyil, verilənlərin təbii səpələnməsi ilə izah ediləcəkdir.
Hipotezlərin yoxlanılması nəzəriyyəsi çox genişdir, fərziyyələr paylanma qanununun növü, nümunələrin homojenliyi, növbəti kəmiyyətlərin müstəqilliyi və s.
MEYARI c 2 (PEARSON)
Sadə bir fərziyyəni yoxlamaq üçün praktikada ən ümumi meyar. Dağıtım qanunu bilinməyəndə tətbiq edilir. Üzərində n olan təsadüfi X dəyişənini nəzərdən keçirək müstəqil testlər. realizasiya x 1 , x 2 ,...,x n alınır. Bu təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu haqqında fərziyyəni yoxlamaq lazımdır.
Sadə bir fərziyyə halını nəzərdən keçirək. Sadə bir fərziyyə nümunənin normal paylanmış (məlum olan) populyasiyaya uyğunluğunu yoxlayır. Nümunələrə uyğun olaraq tikirik variasiya seriyası x (1) , x (2) , ..., x (n) . Aralığı alt intervallara bölürük. Bu intervallar r olsun. Onda yoxlanılan fərziyyə doğru olarsa, sınaq nəticəsində X-in Di, i=1 ,..., r intervalına düşmə ehtimalını tapacağıq.
Kriteriya ehtimal sıxlığının doğruluğunu yox, rəqəmlərin doğruluğunu yoxlayır
Hər bir Di intervalı ilə biz təsadüfi bir hadisə A i - bu intervalda bir vuruşu əlaqələndiririk (Di-də onun həyata keçirilməsinin nəticəsinin X-də sınaq nəticəsində vurulan vuruş). Təsadüfi dəyişənləri təqdim edək. m i, A i hadisəsinin baş verdiyi n testdən testlərin sayıdır. m i binom qanununa görə paylanır və fərziyyə doğrudursa
Dm i =np i (1-p i)
c 2 meyarının forması var 
p 1 +p 2 +...+p r =1
m 1 +m 2 +...+m r =n
Əgər yoxlanılan fərziyyə düzgündürsə, onda m i n sınaqdan hər birində pi ehtimalı olan hadisənin baş vermə tezliyini təmsil edir, ona görə də m i-ni npi nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş binom qanununa tabe olan təsadüfi dəyişən kimi nəzərdən keçirə bilərik. n böyük olduqda, tezliyin eyni parametrlərlə asimptotik olaraq normal paylandığını güman edə bilərik. Əgər fərziyyə doğrudursa, onların asimptotik olaraq normal paylanacağını gözləmək lazımdır
əlaqə ilə bağlıdır
Nümunə məlumatları m 1 +m 2 +...+m r ilə nəzəri np 1 +np 2 +...+np r arasındakı uyğunsuzluğun ölçüsü kimi dəyəri nəzərə alın.
c 2 - asimptotik normal kəmiyyətlərin kvadratlarının cəmi xətti asılılıq. Biz əvvəllər oxşar halla qarşılaşmışıq və bilirik ki, xətti əlaqənin olması sərbəstlik dərəcələrinin sayının bir azaldılmasına səbəb olub.
Əgər yoxlanılan fərziyyə düzgündürsə, onda c 2 meyarı r-1 sərbəstlik dərəcələri ilə c 2 paylanmasına n®¥ kimi meyl edən paylanmaya malikdir.
Fərziyyənin yalan olduğunu fərz edək. Sonra cəmi şərtlərin artması tendensiyası var, yəni. fərziyyə səhvdirsə, bu məbləğ c 2 böyük dəyərlərinin müəyyən bir bölgəsinə düşəcəkdir. Kriteriya kimi kriteriyanın müsbət dəyərlərinin bölgəsini alırıq
| |
Naməlum paylanma parametrləri halında, hər bir parametr Pearson kriteriyası üçün sərbəstlik dərəcələrinin sayını bir azaldır.
8.1. Asılı və müstəqil nümunələr anlayışı.
Hipotezin yoxlanılması üçün meyarın seçilməsi
ilk növbədə nəzərdən keçirilən nümunələrin asılı və ya müstəqil olması ilə müəyyən edilir. Müvafiq tərifləri təqdim edək.
Def. Nümunələr çağırılır müstəqil, əgər birinci nümunədə vahidlərin seçilməsi proseduru ikinci nümunədə vahidlərin seçilməsi proseduru ilə heç bir şəkildə əlaqəli deyilsə.
İki müstəqil nümunəyə yuxarıda eyni müəssisədə (eyni sənayedə və s.) işləyən kişi və qadınların nümunələri misal ola bilər.
Qeyd edək ki, iki nümunənin müstəqilliyi heç də bu nümunələrin müəyyən növ oxşarlığına (onların homojenliyinə) heç bir tələbin olmaması demək deyil. Beləliklə, kişilərin və qadınların gəlir səviyyəsini öyrənərkən, biz çətin ki, kişilərin Moskva iş adamları arasından, qadınların isə Avstraliyanın aborigenlərindən seçildiyi bir vəziyyətə yol verək. Qadınlar həm də moskvalı və üstəlik, “işgüzar qadın” olmalıdırlar. Amma burada söhbət nümunələrin asılılığından deyil, həm sosioloji məlumatların toplanması, həm də təhlili zamanı təmin edilməli olan obyektlərin öyrənilən populyasiyasının homojenliyi tələbindən gedir.
Def. Nümunələr çağırılır asılı və ya qoşalaşmış,əgər bir nümunənin hər bir vahidi ikinci nümunənin konkret vahidi ilə “əlaqəlidirsə”.
Asılı nümunələrə nümunə versək, bu son tərif yəqin ki, daha aydın olacaq.
Tutaq ki, atanın sosial statusunun, orta hesabla, oğlunun sosial statusundan aşağı olub-olmadığını öyrənmək istəyirik (biz inanırıq ki, biz bu kompleksi ölçə bilərik və birmənalı şəkildə başa düşülə bilərik). sosial xüsusiyyətlərşəxs). Aydın görünür ki, belə bir vəziyyətdə respondentləri (ata, oğul) seçmək və birinci nümunənin hər bir elementinin (atalardan biri) ikinci nümunənin müəyyən bir elementinə (onun oğlu). Bu iki nümunə asılı adlandırılacaq.
8.2. Müstəqil nümunələr üçün hipotez testi
üçün müstəqil nümunələr üçün kriteriyanın seçimi öyrənilən nümunələr üçün nəzərdən keçirilən xarakteristikanın ümumi dispersiyalarının s 1 2 və s 2 2-ni bilməyimizdən asılıdır. Nümunə dispersiyalarının ümumi olanlarla üst-üstə düşdüyünü fərz edərək, bu problemi həll olunmuş hesab edəcəyik. Bu vəziyyətdə meyar dəyərdir:
Ümumi fərqlərin (və ya onlardan ən azı birinin) bizə məlum olmadığı vəziyyəti müzakirə etməyə keçməzdən əvvəl aşağıdakıları qeyd edirik.
(8.1) kriteriyasından istifadə məntiqi “Ki-kvadrat” meyarını (7.2) nəzərdən keçirərkən təsvir etdiyimizə bənzəyir. Yalnız bir əsas fərq var. (7.2) meyarının mənası haqqında danışarkən biz ümumi əhalimizdən “çıxarılan” sonsuz sayda n ölçülü nümunələri nəzərdən keçirdik. Burada (8.1) meyarının mənasını təhlil edərək, sonsuz ədədi nəzərdən keçirməyə keçirik. buxar n 1 və n 2 ölçülü nümunələr. Hər bir cüt üçün (8.1) formasının statistikası hesablanır. Bu cür statistikanın əldə edilmiş dəyərlərinin cəmi, qeydimizə uyğun olaraq, normal paylanmaya uyğundur (razılaşdığımız kimi, z hərfi normal paylanmaya uyğun gələn meyarları ifadə etmək üçün istifadə olunur).
Beləliklə, əgər ümumi dispersiyalar bizə məlum deyilsə, onda biz onların əvəzinə onların seçmə qiymətləndirmələrindən s 1 2 və s 2 2 istifadə etməyə məcbur oluruq. Lakin bu halda normal paylanma Tələbə paylanması ilə əvəz edilməlidir - z t ilə əvəz edilməlidir (riyazi gözlənti üçün etimad intervalı qurularkən oxşar vəziyyətdə olduğu kimi). Bununla belə, kifayət qədər böyük seçmə ölçüləri ilə (n 1, n 2 ³ 30), artıq bildiyimiz kimi, Tələbə paylanması praktiki olaraq normal ilə üst-üstə düşür. Başqa sözlə, böyük nümunələr üçün kriteriyadan istifadə etməyə davam edə bilərik:
Fərqlər bilinməyəndə və ən azı bir nümunənin ölçüsü kiçik olduqda vəziyyət daha mürəkkəbdir. Sonra başqa bir faktor meydana çıxır. Kriteriyanın növü, təhlil edilən iki nümunədə nəzərdən keçirilən xarakteristikanın naməlum dispersiyalarını bərabər hesab edə bildiyimizdən asılıdır. Bunu tapmaq üçün hipotezi yoxlamaq lazımdır:
H 0: s 1 2 = s 2 2. (8.3)
Bu fərziyyəni yoxlamaq üçün meyardan istifadə olunur
Bu meyardan istifadənin xüsusiyyətləri haqqında danışarıq aşağıda və indi biz riyazi gözləntilərin bərabərliyi haqqında fərziyyələri yoxlamaq üçün istifadə olunan meyarın seçilməsi alqoritmini müzakirə etməyə davam edəcəyik.
Əgər (8.3) fərziyyə rədd edilirsə, onda bizi maraqlandıran meyar aşağıdakı formanı alır:
(8.5)
(yəni, o, böyük nümunələr üçün istifadə edilən (8.2) meyardan müvafiq statistikanın normal paylanmaya malik olmaması, Tələbə paylanması ilə fərqlənir). Əgər fərziyyə (8.3) qəbul edilirsə, istifadə olunan meyarın növü dəyişir:
(8.6)
İki müstəqil nümunənin təhlili əsasında ümumi riyazi gözləntilərin bərabərliyi haqqında fərziyyəni yoxlamaq üçün meyarın necə seçildiyini ümumiləşdirək.
məlumdur
naməlum
nümunə ölçüsü böyükdür
H 0: s 1 = s 2 rədd edildi
Qəbul edildi
8.3. Asılı nümunələr üçün hipotez testi
Gəlin asılı nümunələri nəzərdən keçirməyə keçək. Rəqəmlərin ardıcıllığı olsun
X 1, X 2, …, X n;
Y 1 , Y 2 , … , Y n –
bunlar iki asılı nümunənin elementləri üçün sözügedən təsadüfi təsadüfi ədədin dəyərləridir. Qeydi təqdim edək:
D i = X i - Y i , i = 1, ... , n.
üçün asılı hipotezi yoxlamağa imkan verən nümunə meyar
göstərildiyi kimi:
Nəzərə alın ki, s D üçün indicə verilmiş ifadə yeni ifadədən başqa bir şey deyil məşhur formula, standart kənarlaşmanı ifadə edir. Bu vəziyyətdə biz D i dəyərlərinin standart sapmasından danışırıq. Bənzər bir düstur praktikada tez-tez daha sadə (müvafiq arifmetik ortadan nəzərə alınan dəyərin dəyərlərinin kvadrat sapmalarının cəminin "baş-üstə" hesablanması ilə müqayisədə) dispersiyanın hesablanması üsulu kimi istifadə olunur.
Yuxarıdakı düsturları etimad intervalının qurulması prinsiplərini müzakirə edərkən istifadə etdiyimiz düsturlarla müqayisə etsək, asılı nümunələr üçün vasitələrin bərabərliyi fərziyyəsinin sınaqdan keçirilməsinin mahiyyət etibarilə riyazi gözləntilərin bərabərliyini yoxlamaq olduğunu görmək asandır. D i dəyərləri sıfıra qədər. Böyüklük
D i üçün standart kənarlaşmadır. Buna görə də, indicə təsvir edilən t n -1 meyarının qiyməti mahiyyətcə standart kənarlaşmanın bir hissəsi kimi ifadə edilən D i dəyərinə bərabərdir. Yuxarıda dediyimiz kimi (etibar intervallarının qurulması üsullarını müzakirə edərkən) bu göstərici nəzərə alınan Di dəyərinin ehtimalını qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər. Fərq ondadır ki, yuxarıda biz normal paylanmış sadə arifmetik ortadan danışırdıq, burada isə orta fərqlərdən danışırıq, belə ortaların Tələbə paylanması var. Lakin nümunə arifmetik ortanın sıfırdan kənara çıxma ehtimalı arasındakı əlaqə haqqında əsaslandırma riyazi gözlənti, sıfıra bərabərdir) neçə vahidlə bu sapma qüvvədə qalacaq.
Misal. Şəhərin mikrorayonlarından birində apteklərin müəyyən dövr ərzində gəlirləri 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (şərti vahidlər). Qonşu mikrorayonda isə eyni vaxtda 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Hər iki nümunə üçün orta, düzəldilmiş dispersiya və standart kənarlaşmanı hesablayın. Variasiya diapazonunu, orta mütləq (xətti) kənarlaşmanı, dəyişmə əmsalını, xətti əmsal variasiyalar, rəqs əmsalı.
Fərz edək ki, bu təsadüfi dəyər normal paylanmaya malikdir, ümumi orta üçün inam intervalını təyin edin (hər iki halda).
Fisher testindən istifadə edərək bərabərlik fərziyyəsini yoxlayın ümumi fərqlər. Tələbə testindən istifadə edərək ümumi vasitələrin bərabərliyi haqqında fərziyyəni yoxlayın (alternativ fərziyyə onların bərabərsizliyi haqqındadır).
Bütün hesablamalarda əhəmiyyət səviyyəsi α = 0,05-dir.
Kalkulyatordan istifadə edərək həlli həyata keçiririk Dispersiyaların bərabərliyi fərziyyəsini sınayırıq.
1. Birinci nümunə üçün variasiya göstəricilərini tapın.
| x | |x - x av | | (x - x orta) 2 |
| 98 | 127.3 | 16205.29 |
| 128 | 97.3 | 9467.29 |
| 192 | 33.3 | 1108.89 |
| 205 | 20.3 | 412.09 |
| 219 | 6.3 | 39.69 |
| 223 | 2.3 | 5.29 |
| 260 | 34.7 | 1204.09 |
| 264 | 38.7 | 1497.69 |
| 266 | 40.7 | 1656.49 |
| 398 | 172.7 | 29825.29 |
| 2253 | 573.6 | 61422.1 |
.
Variasiya göstəriciləri.
.
R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
Orta xətti kənarlaşma
Seriyanın hər bir dəyəri digərindən orta hesabla 57,36 ilə fərqlənir
Dispersiya
Qərəzsiz dispersiya qiymətləndiricisi
.
Seriyanın hər bir dəyəri 225,3 orta qiymətdən orta hesabla 78,37 ilə fərqlənir.
.
.
Dəyişmə əmsalı
v>30% olduğundan, lakin v və ya
Salınma əmsalı
.
.
Tələbə cədvəlindən istifadə edərək biz tapırıq:
T cədvəli (n-1;α/2) = T cədvəli (9;0.025) = 2.262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
2. İkinci nümunə üçün variasiya göstəricilərini tapın.
Gəlin sıranı sıralayaq. Bunun üçün onun dəyərlərini artan qaydada sıralayırıq.
Göstəricilərin hesablanması üçün cədvəl.
| x | |x - x av | | (x - x orta) 2 |
| 223 | 76.57 | 5863.18 |
| 240 | 59.57 | 3548.76 |
| 263 | 36.57 | 1337.47 |
| 266 | 33.57 | 1127.04 |
| 286 | 13.57 | 184.18 |
| 335 | 35.43 | 1255.18 |
| 484 | 184.43 | 34013.9 |
| 2097 | 439.71 | 47329.71 |
Dağıtım seriyasını qiymətləndirmək üçün aşağıdakı göstəriciləri tapırıq:
Dağıtım mərkəzinin göstəriciləri.
Sadə arifmetik orta
Variasiya göstəriciləri.
Mütləq variasiyalar.
Dəyişiklik diapazonu əsas seriya xarakteristikasının maksimum və minimum dəyərləri arasındakı fərqdir.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
Orta xətti kənarlaşma- tədqiq olunan əhalinin bütün vahidlərinin fərqlərini nəzərə almaq üçün hesablanmışdır.
Seriyanın hər bir dəyəri digərindən orta hesabla 62,82 ilə fərqlənir
Dispersiya- onun orta dəyəri ətrafında dispersiya ölçüsünü xarakterizə edir (dispersiya ölçüsü, yəni ortadan kənarlaşma).
Qərəzsiz dispersiya qiymətləndiricisi- dispersiyanın ardıcıl qiymətləndirilməsi (düzəliş edilmiş dispersiya).
Standart sapma.
Seriyanın hər bir dəyəri 299,57 orta qiymətindən orta hesabla 82,23 ilə fərqlənir.
Standart kənarlaşmanın qiymətləndirilməsi.
Nisbi Variasiya Tədbirləri.
Variasiyanın nisbi göstəricilərinə aşağıdakılar daxildir: rəqs əmsalı, xətti dəyişmə əmsalı, nisbi xətti yayınma.
Dəyişmə əmsalı- populyasiya dəyərlərinin nisbi dispersiyasının ölçüsü: bu dəyərin orta dəyərinin hansı nisbətinin onun orta dispersiya olduğunu göstərir.
v ≤ 30% olduğundan, populyasiya homojendir və variasiya zəifdir. Əldə edilən nəticələrə etibar etmək olar.
Xətti dəyişmə əmsalı və ya Nisbi xətti kənarlaşma- mütləq kənarlaşmalar əlamətinin orta qiymətinin orta qiymətə nisbətini xarakterizə edir.
Salınma əmsalı- xarakteristikanın ekstremal qiymətlərinin orta ətrafında nisbi dəyişməsini əks etdirir.
Əhali mərkəzinin interval qiymətləndirilməsi.
Ümumi orta üçün etimad intervalı.
Tələbə paylama cədvəlindən istifadə edərək t kp dəyərini təyin edin
Tələbə cədvəlindən istifadə edərək biz tapırıq:
T cədvəli (n-1;α/2) = T cədvəli (6;0.025) = 2.447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
0,95 ehtimalı ilə, daha böyük bir nümunə ölçüsü ilə orta qiymətin tapılan intervaldan kənara çıxmayacağını ifadə etmək olar.
Dispersiyaların bərabərliyi fərziyyəsini yoxlayırıq:
H 0: D x = D y ;
H 1: D x Fisher kriteriyasının müşahidə edilən qiymətini tapaq:
s y 2 > s x 2 olduğundan, s b 2 = s y 2, s m 2 = s x 2
Sərbəstlik dərəcələrinin sayı:
f 1 = n y – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = n x – 1 = 10 – 1 = 9
Fisher-Snedecor paylanmasının α = 0,05 əhəmiyyət səviyyəsində və verilmiş sərbəstlik dərəcələrində kritik nöqtələr cədvəlindən istifadə edərək F cr (6;9) = 3,37 tapırıq.
Çünki F obs. Ümumi vasitələrin bərabərliyi ilə bağlı fərziyyəni yoxlayırıq:
Tələbə kriteriyasının eksperimental qiymətini tapaq:
Sərbəstlik dərəcələrinin sayı f = n x + n y – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
Tələbə paylama cədvəlindən istifadə edərək t kp dəyərini təyin edin
Tələbə cədvəlindən istifadə edərək biz tapırıq:
T cədvəli (f;α/2) = T cədvəli (15;0,025) = 2,131
α = 0,05 əhəmiyyətlilik səviyyəsində və müəyyən sayda sərbəstlik dərəcəsində Tələbə paylanmasının kritik nöqtələri cədvəlindən istifadə edərək tcr = 2,131 tapırıq.
Çünki t obs.
