Prilikom odlučivanja razne zadatke fizike, hemije, matematike i dr egzaktne naukečesto korišteni matematički modeli u obliku jednadžbi koje povezuju jednu ili više nezavisnih varijabli, nepoznatu funkciju ovih varijabli i derivate (ili diferencijale) ove funkcije. Ova vrsta jednadžbe se nazivaju diferencijalnim.
Ako postoji samo jedna nezavisna varijabla, tada se jednačina naziva običnom; ako postoje dvije ili više nezavisnih varijabli, tada se jednačina naziva parcijalna diferencijalna jednadžba. Da bi se stekli visokokvalifikovani specijalisti na svim univerzitetima na kojima se izučavaju tačne discipline, potreban je kurs diferencijalnih jednačina. Za neke studente teorija je teška, praksa je borba, za druge su i teorija i praksa teške. Ako analizirate diferencijalne jednadžbe iz praktične perspektive, onda da biste ih izračunali trebate biti dobri u integraciji i uzimanju izvoda. Sve ostale transformacije svode se na nekoliko shema koje se mogu razumjeti i proučavati. U nastavku ćemo proučiti osnovne definicije i metodu za rješavanje jednostavnog DR.

Teorija diferencijalnih jednadžbi

definicija: Obična diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu x, funkciju y(x), njene izvode y"(x), y n (x) i ima opšti oblikF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Diferencijalna jednadžba(DR) se naziva ili obična diferencijalna jednačina ili parcijalna diferencijalna jednačina. Red diferencijalne jednadžbe je određena redoslijedom najvišeg izvoda (n), koji je uključen u ovu diferencijalnu jednačinu.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja sadrži onoliko konstanti koliko je redoslijed diferencijalne jednadžbe, a čijom zamjenom u datu diferencijalnu jednadžbu postaje identitet, odnosno ima oblik y=f(x, C 1, C 2 , ..., C n).
Opće rješenje koje nije riješeno u odnosu na y(x) i ima oblik F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 naziva se opšti integral diferencijalne jednačine.
Rješenje pronađeno iz općeg za fiksne vrijednosti konstanti C 1 , C 2 , …, C n se naziva privatno rješenje diferencijalne jednadžbe.
Poziva se simultana specifikacija diferencijalne jednadžbe i odgovarajućeg broja početnih uslova Cauchy problem.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Obična diferencijalna jednadžba prvog reda naziva jednačina oblika
F(x, y, y")=0. (1)
Integral jednačine(1) naziva se relacija oblika F (x,y)=0 ako je svaka kontinuirano diferencirana funkcija implicitno specificirana njome rješenje jednadžbe (1).
Jednačina koja ima oblik (1) i ne može se svesti na jednostavan pogled se zove jednačina, neodlučivo u odnosu na izvod. Ako se može napisati u formi
y" = f(x,y), onda se zove riješena jednačina za izvod.
Cauchyjev problem za jednačinu prvog reda sadrži samo jedan početni uslov i ima oblik:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Jednačine oblika
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
gdje su varijable x i y "simetrične": možemo pretpostaviti da je x nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla, ili obrnuto, y je nezavisna varijabla, a x zavisna varijabla, tzv. jednadžba u simetričnom obliku.
Geometrijsko značenje diferencijalne jednadžbe prvog reda
y"=f(x,y) (3)
je kako slijedi.
Ova jednačina uspostavlja vezu (zavisnost) između koordinata tačke (x;y) i ugaonog koeficijenta y" tangente na integralnu krivu koja prolazi kroz ovu tačku. Dakle, jednačina y"= f(x,y) je set upute (polje smjernica) na kartezijanskoj oksi ravni.
Krivulja konstruisana u tačkama u kojima je pravac polja isti naziva se izoklina. Izokline se mogu koristiti za aproksimaciju konstrukcije integralnih krivulja. Jednačina izokline se može dobiti tako što se izvod izjednači sa konstantom y"=C
f(x, y)=C - izoklina jednadžba..
Integralna linija jednadžbe(3) naziva se graf rješenja ove jednačine.
Obične diferencijalne jednadžbe čija se rješenja mogu analitički specificirati y=g(x) nazivaju se integrabilne jednačine.
Jednačine oblika
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
su pozvani jednadžbe sa zasebnim zamjenjivim.
Od njih ćemo započeti naše upoznavanje s diferencijalnim jednadžbama. Proces pronalaženja rješenja za DR se zove integracija diferencijalne jednadžbe.

Odvojene jednačine varijabli

Primjer 1. Pronađite rješenje jednačine y"=x .
Provjerite rješenje.
Rješenje: Napišite jednačinu u diferencijalima
dy/dx=x ili dy=x*dx.
Nađimo integral desne i lijeve strane jednačine
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
Ovo je DR integral.
Provjerimo njegovu ispravnost i izračunamo derivaciju funkcije
y"=1/2*2x+0=x.
Kao što vidite, dobili smo originalni DR, tako da su proračuni tačni.
Upravo smo pronašli rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda. Ovo je tačno jednostavnije jednačine, što se može zamisliti.

Primjer 2. Naći opći integral diferencijalne jednadžbe
(x+1)y"=y+3
Rješenje: Zapišimo originalnu jednačinu u diferencijalima
(x+1)dy=(y+3)dx.
Rezultirajuća jednačina se svodi na DR sa odvojenim varijablama

Sve što je preostalo je uzeti integral obje strane

Koristeći tabelarne formule nalazimo
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Ako izložimo oba dijela, dobićemo
y+3=e ln|x+1|+C ili y=e ln|x+1|+C -3.
Ova notacija je tačna, ali nije kompaktna.
U praksi se koristi drugačija tehnika; pri izračunavanju integrala konstanta se upisuje pod logaritmom
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
U skladu sa svojstvima logaritma, ovo vam omogućava da skupite posljednja dva člana
ln|y+3|=ln(C|x+1|).
Sada prilikom izlaganja rješavanje diferencijalne jednadžbe bit će kompaktan i lak za čitanje
y=S|x+1|+3
Zapamtite ovo pravilo; u praksi se koristi kao standard za proračun.

Primjer 3. Riješite diferencijalnu jednačinu
y"=-y*sin(x).
Rješenje: Hajde da to zapišemo jednadžba u diferencijalima
dy/dx= y*sin(x)
ili nakon preuređivanja faktora u formu odvojene jednačine
dy/ y=-sin(x)dx.
Ostaje da se integriše jednačina
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Pogodno je unijeti konstantu pod logaritmom, pa čak i sa negativnom vrijednošću, tako da se može prenijeti na lijeva strana dobiti
ln|S*y|=cos(x).
Razotkrivanje oba dijela zavisnosti
S*y=exp(cos(x)).
Ovo je ono što je. Možete ga ostaviti kako jeste ili ga možete trajno prenijeti desna strana

Proračuni nisu komplikovani; u većini slučajeva, integrali se mogu pronaći i pomoću tabelarnih formula za integraciju.

Primjer 4. Riješite Cauchyjev problem
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Rješenje: Ovdje se preliminarne transformacije više neće odvijati. Međutim, jednadžba je linearna i prilično jednostavna. U takvim slučajevima morate uvesti novu varijablu
z=y+x.
Sjećajući se da je y=y(x) pronađimo izvod od z.
z"= y"+1,
odakle izražavamo stari derivat
y"= z"-1.
Zamenimo sve ovo u originalnu jednačinu
z"-1=z ili z"=z+1.
Hajde da to zapišemo diferencijalna jednadžba kroz diferencijale
dz=(z+1)dx.
Odvajanje varijabli u jednačini

Sve što ostaje je izračunati jednostavne integrale koje svako može učiniti

Izlažemo zavisnost da bismo se riješili logaritma funkcije
z+1=e x+C ili z=e x+1 -1
Ne zaboravite se vratiti na završenu zamjenu.
z=x+y= e x+S -1,
napiši odavde zajednička odluka diferencijalna jednadžba
y= e x+C -x-1.
Pronađite rješenje za Cauchyjev problem u DR in u ovom slučaju nije teško. Zapisujemo Cauchyjev uslov
y(1)=e 3 -2
i zamijenimo rješenjem koje smo upravo pronašli
e 1 + C -1-1 = e 3 -2.
Odavde dobijamo uslov za izračunavanje konstante
1+C=3; C=3-1=2.
Sada možemo pisati rješenje Cauchyjevog problema (djelomično rješenje DR)
y= e x+2 -x-1.
Ako znate dobro da se integrišete, a dobro vam ide i sa derivatima, onda vam tema diferencijalnih jednačina neće biti prepreka u obrazovanju.
U daljnjem proučavanju, morat ćete proučiti nekoliko važnih dijagrama kako biste mogli razlikovati jednadžbe i znati koja zamjena ili tehnika funkcionira u svakom slučaju.
Nakon ovoga čekaju vas homogena i nehomogena DR, diferencijalne jednadžbe prvog i višeg reda. Da vas ne opterećujemo teorijom, u narednim lekcijama daćemo samo tip jednadžbi i kratku šemu za njihovo izračunavanje. Možete pročitati cijelu teoriju iz metodološke preporuke da učim kurs" Diferencijalne jednadžbe" (2014) autori Bokalo Nikolaj Mihajlovič, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. Možete koristiti druge izvore koji sadrže objašnjenja teorije diferencijalnih jednadžbi koje razumijete. Gotovi primjeri za diferencijal. jednačine preuzete iz programa za matematičare LNU im. I. Frank.
Znamo kako riješiti diferencijalne jednadžbe i pokušat ćemo lak način usadite ovo znanje u vas.

Diferencijalna jednadžba (DE) - ovo je jednačina,
gdje su nezavisne varijable, y je funkcija i parcijalni izvod.

Obična diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima samo jednu nezavisnu varijablu, .

Parcijalna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba koja ima dvije ili više nezavisnih varijabli.

Riječi "obični" i "parcijalni derivati" mogu se izostaviti ako je jasno koja se jednačina razmatra. U nastavku se razmatraju obične diferencijalne jednadžbe.

Red diferencijalne jednadžbe je red najviše derivacije.

Evo primjera jednačine prvog reda:

Evo primjera jednadžbe četvrtog reda:

Ponekad se diferencijalna jednadžba prvog reda piše u terminima diferencijala:

U ovom slučaju, varijable x i y su jednake. To jest, nezavisna varijabla može biti ili x ili y. U prvom slučaju, y je funkcija od x. U drugom slučaju, x je funkcija od y. Ako je potrebno, ovu jednačinu možemo svesti na oblik koji eksplicitno uključuje izvod y′.
Podijelimo ovu jednačinu sa dx dobijamo:
.
Budući da i , Iz toga slijedi
.

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi

Derivati ​​iz elementarne funkcije izražavaju se kroz elementarne funkcije. Integrali elementarnih funkcija često se ne izražavaju u terminima elementarnih funkcija. Sa diferencijalnim jednadžbama situacija je još gora. Kao rezultat rješenja možete dobiti:

• eksplicitna zavisnost funkcije od varijable;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe je funkcija y = u (x), koji je definiran, n puta diferencibilan, i .

• implicitna zavisnost u obliku jednačine tipa Φ (x, y) = 0 ili sistemi jednačina;

  Integral diferencijalne jednadžbe je rješenje diferencijalne jednadžbe koja ima implicitni oblik.

• zavisnost izražena kroz elementarne funkcije i integrale od njih;

  Rješavanje diferencijalne jednadžbe u kvadraturama - ovo je pronalaženje rješenja u obliku kombinacije elementarnih funkcija i njihovih integrala.

• rješenje se ne može izraziti kroz elementarne funkcije.

Kako se rješavanje diferencijalnih jednadžbi svodi na izračunavanje integrala, rješenje uključuje skup konstanti C 1, C 2, C 3, ... C n. Broj konstanti je jednak redu jednačine. Parcijalni integral diferencijalne jednadžbe je opšti integral za date vrijednosti konstanti C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Reference:
V.V. Stepanov, Kurs diferencijalnih jednačina, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Obična diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, nepoznatu funkciju ove varijable i njene derivate (ili diferencijale) različitih redova.

Red diferencijalne jednadžbe naziva se red najviše izvedenice sadržane u njemu.

Osim običnih, proučavaju se i parcijalne diferencijalne jednadžbe. To su jednadžbe koje se odnose na nezavisne varijable, nepoznatu funkciju ovih varijabli i njene parcijalne derivacije u odnosu na iste varijable. Ali mi ćemo samo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe i stoga ćemo, radi sažetosti, izostaviti riječ „običan“.

Primjeri diferencijalnih jednadžbi:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Jednačina (1) je četvrtog reda, jednačina (2) je trećeg reda, jednačine (3) i (4) su drugog reda, jednačina (5) je prvog reda.

Diferencijalna jednadžba n red ne mora nužno sadržavati eksplicitnu funkciju, sve njene derivate od prvog do n-ti red i nezavisna varijabla. Ne može eksplicitno sadržavati derivate određenih redova, funkciju ili nezavisnu varijablu.

Na primjer, u jednačini (1) očito nema izvoda trećeg i drugog reda, kao ni funkcije; u jednačini (2) - izvod drugog reda i funkcija; u jednačini (4) - nezavisna varijabla; u jednačini (5) - funkcije. Samo jednadžba (3) sadrži eksplicitno sve izvode, funkciju i nezavisnu varijablu.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe svaka funkcija se poziva y = f(x), kada se zameni u jednačinu pretvara se u identitet.

Proces nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se njegov integracija.

Primjer 1. Pronađite rješenje diferencijalne jednadžbe.

Rješenje. Zapišimo ovu jednačinu u obliku . Rješenje je pronaći funkciju iz njenog izvoda. Originalna funkcija, kao što je poznato iz integralnog računa, je antiderivat za, tj.

To je ono što je rješenje ove diferencijalne jednadžbe . Presvlačenje u njemu C, dobićemo različita rješenja. Otkrili smo da postoji beskonačan broj rješenja diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe n th red je njegovo rješenje, izraženo eksplicitno u odnosu na nepoznatu funkciju i sadrži n nezavisne proizvoljne konstante, tj.

Rješenje diferencijalne jednadžbe u primjeru 1 je općenito.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se rješenje u kojem su proizvoljne konstante date određene numeričke vrijednosti.

Primjer 2. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje za .

Rješenje. Integrirajmo obje strane jednačine broj puta jednak redu diferencijalne jednačine.

,

.

Kao rezultat toga, dobili smo generalno rješenje -

date diferencijalne jednadžbe trećeg reda.

Hajde sada da pronađemo određeno rešenje pod određenim uslovima. Da biste to učinili, zamijenite njihove vrijednosti umjesto proizvoljnih koeficijenata i dobijete

.

Ako je, pored diferencijalne jednadžbe, početni uvjet dat u obliku , tada se takav problem naziva Cauchy problem . Zamijenite vrijednosti i u opšte rješenje jednadžbe i pronađite vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim određeno rješenje jednadžbe za pronađenu vrijednost C. Ovo je rješenje za Cauchyjev problem.

Primjer 3. Riješite Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu iz Primjera 1 podložna .

Rješenje. Zamijenimo vrijednosti iz početnog stanja u opšte rješenje y = 3, x= 1. Dobijamo

Zapisujemo rješenje Cauchyjevog problema za ovu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi, čak i onih najjednostavnijih, zahtijeva dobru integraciju i vještine izvođenja, uključujući složene funkcije. To se može vidjeti u sljedećem primjeru.

Primjer 4. Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Rješenje. Jednačina je napisana u takvom obliku da možete odmah integrirati obje strane.

.

Primjenjujemo metodu integracije promjenom varijable (supstitucijom). Neka bude onda.

Obavezno uzeti dx a sada - pažnja - to radimo prema pravilima diferencijacije složene funkcije, budući da x i postoji složena funkcija("jabuka" - ekstrakcija kvadratni korijen ili, šta je isto - dizanje na stepen "pola", a "mleveno meso" je sam izraz ispod korena):

Nalazimo integral:

Vraćanje na varijablu x, dobijamo:

.

Ovo je opšte rešenje ove diferencijalne jednačine prvog stepena.

Za rješavanje diferencijalnih jednačina bit će potrebne ne samo vještine iz prethodnih odjeljaka više matematike, već i vještine iz osnovne, odnosno školske matematike. Kao što je već spomenuto, u diferencijalnoj jednadžbi bilo kojeg reda možda ne postoji nezavisna varijabla, tj. x. Znanje o proporcijama iz škole koje nije zaboravljeno (međutim, u zavisnosti od koga) iz škole će pomoći u rješavanju ovog problema. Ovo je sljedeći primjer.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja.
Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama

Diferencijalne jednadžbe (DE). Ove dvije riječi obično užasavaju prosječnu osobu. Čini se da su diferencijalne jednadžbe nešto nedovoljno i teško za savladavanje za mnoge učenike. Uuuuuu... diferencijalne jednadžbe, kako da preživim sve ovo?!

Ovo mišljenje i ovaj stav je u osnovi pogrešan, jer u stvari DIFERENCIJALNE JEDNAČINE - JEDNOSTAVNO JE I ZABAVNO. Šta treba da znate i umete da uradite da biste naučili kako da rešavate diferencijalne jednadžbe? Da biste uspješno proučavali difuzije, morate biti dobri u integraciji i razlikovanju. Što se bolje proučavaju teme Derivat funkcije jedne varijable I Neodređeni integral, lakše će biti razumjeti diferencijalne jednačine. Reći ću više, ako imate više ili manje pristojne vještine integracije, onda je tema skoro savladana! Što više integrala razne vrste znate kako se odlučiti - tim bolje. Zašto? Moraćete mnogo da integrišete. I razlikovati. Također toplo preporučujem naučite da pronađete.

U 95% slučajeva u testovi Postoje 3 vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda: odvojive jednačine koje ćemo pogledati u ovoj lekciji; homogene jednačine I linearne nehomogene jednadžbe. Za one koji počinju proučavati difuzore, savjetujem vam da lekcije čitate upravo ovim redoslijedom, a nakon što proučite prva dva članka, neće vam škoditi da učvrstite svoje vještine u dodatnoj radionici - jednačine koje se svode na homogene.

Postoje još rjeđi tipovi diferencijalnih jednadžbi: totalne diferencijalne jednadžbe, Bernoullijeve jednadžbe i neke druge. Najvažnije od posljednje dvije vrste su jednadžbe u totalnim diferencijalima, jer pored ove diferencijalne jednačine razmatram novi materijal – djelomična integracija.

Ako imate još samo dan ili dva, To za ultrabrzu pripremu Tu je blitz kurs u pdf formatu.

Dakle, orijentiri su postavljeni - idemo:

Prvo, sjetimo se uobičajenih algebarskih jednadžbi. Sadrže varijable i brojeve. Najjednostavniji primjer: . Šta znači riješiti običnu jednačinu? To znači pronalaženje skup brojeva, koji zadovoljavaju ovu jednačinu. Lako je primijetiti da dječja jednačina ima jedan korijen: . Iz zabave, provjerimo i zamijenimo pronađeni korijen u našu jednadžbu:

– dobijena je tačna jednakost, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Difuzori su dizajnirani na skoro isti način!

Diferencijalna jednadžba prva narudžba V opšti slučaj sadrži:
1) nezavisna varijabla;
2) zavisna varijabla (funkcija);
3) prvi izvod funkcije: .

U nekim jednačinama prvog reda možda nema “x” i/ili “y”, ali to nije značajno - bitan da odem u kontrolnu sobu bio prvi derivat, i nije imao derivati ​​višeg reda – , itd.

Šta znači ? Rješavanje diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje skup svih funkcija, koji zadovoljavaju ovu jednačinu. Takav skup funkcija često ima oblik (- proizvoljna konstanta), koji se zove opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite diferencijalnu jednačinu

Puna municija. Gdje početi rješenje?

Prije svega, trebate prepisati derivat u malo drugačijem obliku. Podsjećamo na glomaznu oznaku koja se mnogima od vas vjerojatno činila smiješnom i nepotrebnom. To je ono što vlada u difuzerima!

U drugom koraku, da vidimo da li je to moguće odvojene varijable?Šta znači odvojiti varijable? grubo govoreći, na lijevoj strani moramo da odemo samo "grci", A na desnoj strani organizovati samo "X". Podjela varijabli vrši se „školskim“ manipulacijama: stavljanjem iz zagrada, prijenosom pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, prijenosom faktora iz dijela u dio prema pravilu proporcije itd.

Diferencijali su i potpuni multiplikatori i aktivni učesnici u neprijateljstvima. U primjeru koji se razmatra, varijable se lako odvajaju bacanjem faktora prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene. Na lijevoj strani su samo "Y", na desnoj - samo "X".

Sljedeća faza - integracija diferencijalne jednadžbe. Jednostavno, stavljamo integrale na obje strane:

Naravno, moramo uzeti integrale. U ovom slučaju su tabelarno:

Kao što se sjećamo, svakom antiderivatu je dodijeljena konstanta. Ovdje postoje dva integrala, ali dovoljno je jednom napisati konstantu (pošto je konstanta + konstanta i dalje jednaka drugoj konstanti). U većini slučajeva se postavlja na desnu stranu.

Strogo govoreći, nakon što se uzmu integrali, diferencijalna jednačina se smatra riješenom. Jedino što naše “y” nije izraženo kroz “x”, odnosno predstavljeno je rješenje u implicitnom formu. Rješenje diferencijalne jednadžbe u implicitnom obliku se zove opšti integral diferencijalne jednadžbe. To jest, ovo je opšti integral.

Odgovor u ovom obliku je sasvim prihvatljiv, ali postoji li bolja opcija? Hajde da pokušamo da dobijemo zajednička odluka.

molim te zapamtite prvu tehniku, vrlo je čest i često se koristi u praktični zadaci: ako se logaritam pojavi na desnoj strani nakon integracije, tada je u mnogim slučajevima (ali ne uvijek!) također preporučljivo napisati konstantu ispod logaritma.

To je, UMJESTO unosi su obično napisani .

Zašto je to potrebno? I kako bi se lakše izrazio "igre". Korištenje svojstva logaritma . U ovom slučaju:

Sada se logaritmi i moduli mogu ukloniti:

Funkcija je predstavljena eksplicitno. Ovo je generalno rješenje.

Odgovori: zajednička odluka: .

Odgovore na mnoge diferencijalne jednadžbe je prilično lako provjeriti. U našem slučaju to se radi prilično jednostavno, uzimamo pronađeno rješenje i razlikujemo ga:

Zatim zamjenjujemo derivat u originalnu jednačinu:

– dobije se tačna jednakost, što znači da opšte rješenje zadovoljava jednačinu, što je i trebalo provjeriti.

Dajući konstantu različite vrijednosti, možete dobiti beskonačan broj privatna rješenja diferencijalna jednadžba. Jasno je da bilo koja od funkcija , itd. zadovoljava diferencijalnu jednačinu.

Ponekad se naziva opće rješenje porodica funkcija. U ovom primjeru, opće rješenje - ovo je porodica linearne funkcije, tačnije, porodica direktne proporcionalnosti.

Nakon detaljnog pregleda prvog primjera, prikladno je odgovoriti na nekoliko naivnih pitanja o diferencijalnim jednadžbama:

1)U ovom primjeru uspjeli smo razdvojiti varijable. Može li se to uvijek uraditi? Ne, ne uvek. A još češće, varijable se ne mogu odvojiti. Na primjer, u homogene jednadžbe prvog reda, prvo ga morate zamijeniti. U drugim vrstama jednadžbi, na primjer, u linearnoj nehomogenoj jednadžbi prvog reda, trebate koristiti razne tehnike i metode za pronalaženje generalnog rješenja. Jednačine sa odvojivim varijablama, koje razmatramo u prvoj lekciji - najjednostavniji tip diferencijalne jednadžbe.

2) Da li je uvijek moguće integrirati diferencijalnu jednačinu? Ne, ne uvek. Vrlo je lako smisliti „fensi“ jednačinu koja se ne može integrirati; osim toga, postoje integrali koji se ne mogu uzeti. Ali slični DE se mogu riješiti približno korištenjem posebne metode. D’Alembert i Cauchy garantuju... ...uh, lurkmore.da bih sada puno čitao, zamalo sam dodao "sa drugog svijeta."

3) U ovom primjeru dobili smo rješenje u obliku općeg integrala . Da li je uvek moguće naći opšte rešenje iz opšteg integrala, odnosno eksplicitno izraziti „y“? Ne, ne uvek. Na primjer: . Pa, kako se ovde može izraziti "grčki"?! U takvim slučajevima odgovor treba napisati kao opšti integral. Osim toga, ponekad je moguće pronaći opće rješenje, ali je napisano toliko glomazno i ​​nespretno da je bolje ostaviti odgovor u obliku općeg integrala

4) ...možda je to za sada dovoljno. U prvom primjeru na koji smo naišli Drugi važna tačka , ali da ne bi pokrila "lutke" lavinom nove informacije, ostaviću to do sledeće lekcije.

Nećemo žuriti. Još jedan jednostavan daljinski upravljač i još jedno tipično rješenje:

Primjer 2

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet

Rješenje: prema stanju, morate pronaći privatno rešenje DE koji zadovoljava dati početni uslov. Ova formulacija pitanja se još naziva Cauchy problem.

Prvo pronalazimo opšte rešenje. U jednadžbi nema varijable "x", ali to ne bi trebalo da zbuni, glavna stvar je da ima prvi izvod.

Izvod prepisujemo u traženom obliku:

Očigledno, varijable se mogu razdvojiti, dječaci lijevo, djevojčice desno:

Integrirajmo jednačinu:

Dobija se opšti integral. Ovdje sam nacrtao konstantu sa zvjezdicom, činjenica je da će se vrlo brzo pretvoriti u drugu konstantu.

Sada pokušavamo da transformišemo opšti integral u opšte rešenje (izrazite „y” eksplicitno). Prisjetimo se dobrih starih stvari iz škole: . U ovom slučaju:

Konstanta u indikatoru izgleda nekako nekosher, pa se obično spušta na zemlju. Detaljno, ovako se to dešava. Koristeći svojstvo stupnjeva, funkciju prepisujemo na sljedeći način:

Ako je konstanta, onda je i neka konstanta, označimo je slovom:

Zapamtite da je „rušenje“ konstante druga tehnika, koji se često koristi pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

Dakle, opšte rešenje je: . Ovo je lijepa porodica eksponencijalnih funkcija.

U završnoj fazi potrebno je pronaći određeno rješenje koje zadovoljava zadati početni uvjet. Ovo je takođe jednostavno.

Šta je zadatak? Treba se pokupiti takav vrijednost konstante tako da je uvjet zadovoljen.

Može se formatirati na različite načine, ali ovo će vjerovatno biti najjasniji način. U opštem rješenju, umjesto “X” zamjenjujemo nulu, a umjesto “Y” zamjenjujemo dvojku:



To je,

Standardna verzija dizajna:

Sada zamjenjujemo pronađenu vrijednost konstante u opšte rješenje:
– ovo je konkretno rješenje koje nam je potrebno.

Odgovori: privatno rješenje:

Hajde da proverimo. Provjera privatnog rješenja uključuje dvije faze:

Prvo morate provjeriti da li pronađeno rješenje zaista zadovoljava početni uvjet? Umjesto "X" zamjenjujemo nulu i vidimo šta se dešava:
- da, zaista, primljena je dvojka, što znači da je početni uslov ispunjen.

Druga faza je već poznata. Uzimamo rezultirajuće određeno rješenje i nalazimo izvod:

Zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

– dobija se tačna jednakost.

Zaključak: konkretno rješenje je pronađeno ispravno.

Pređimo na smislenije primjere.

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Izvod prepisujemo u obliku koji nam je potreban:

Procjenjujemo da li je moguće odvojiti varijable? Može. Drugi član pomjeramo na desnu stranu sa promjenom predznaka:

I prenosimo množitelje prema pravilu proporcije:

Varijable su razdvojene, integrirajmo oba dijela:

Moram vas upozoriti da se približava sudnji dan. Ako niste dobro učili neodređeni integrali, riješili nekoliko primjera, onda nema kuda - sada ćete ih morati savladati.

Integral lijeve strane je lako pronaći; integralom kotangensa se bavimo koristeći standardnu ​​tehniku ​​koju smo pogledali u lekciji Integracija trigonometrijskih funkcija prošle godine:

Na desnoj strani imamo logaritam, a prema mojoj prvoj tehničkoj preporuci i konstantu treba upisati ispod logaritma.

Sada pokušavamo da pojednostavimo opšti integral. Pošto imamo samo logaritme, sasvim je moguće (i neophodno) ih se riješiti. Korišćenjem poznata svojstva Logaritme „pakujemo“ što je više moguće. Zapisat ću to vrlo detaljno:

Ambalaža je gotova da bude barbarski otrcana:

Da li je moguće izraziti "igru"? Može. Potrebno je kvadrirati oba dijela.

Ali ne morate ovo da radite.

Treći tehnički savjet: ako je za dobijanje opšteg rešenja potrebno da se podigne na stepen ili da se ukorijeni, onda U većini slučajeva trebali biste se suzdržati od ovih radnji i ostaviti odgovor u obliku opšteg integrala. Činjenica je da će opće rješenje izgledati jednostavno strašno - s velikim korijenjem, znakovima i drugim smećem.

Stoga odgovor zapisujemo u obliku opšteg integrala. Smatra se dobrom praksom da se prikaže u obliku , odnosno na desnoj strani, ako je moguće, ostavite samo konstantu. Nije potrebno ovo raditi, ali uvijek je korisno ugoditi profesoru ;-)

odgovor: opšti integral:

! Bilješka: Opšti integral bilo koje jednačine može se napisati na više načina. Dakle, ako se vaš rezultat ne poklapa sa prethodno poznatim odgovorom, to ne znači da ste pogrešno riješili jednačinu.

Opšti integral je također prilično lako provjeriti, glavna stvar je moći pronaći derivat funkcije specificirane implicitno. Hajde da razlikujemo odgovor:

Oba člana množimo sa:

I podijeli sa:

Originalna diferencijalna jednadžba je tačno dobijena, što znači da je opšti integral ispravno pronađen.

Primjer 4

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za nezavisna odluka.

Da vas podsjetim da se algoritam sastoji od dvije faze:
1) pronalaženje opšteg rešenja;
2) pronalaženje traženog konkretnog rješenja.

Provjera se također vrši u dva koraka (vidi uzorak u primjeru br. 2), potrebno je:
1) osigurati da određeno rješenje zadovoljava početni uslov;
2) provjeriti da li određeno rješenje općenito zadovoljava diferencijalnu jednačinu.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 5

Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe , zadovoljavajući početni uslov. Izvršite provjeru.

Rješenje: Prvo, hajde da nađemo opšte rešenje.Ova jednačina već sadrži gotove diferencijale i stoga je rešenje pojednostavljeno. Odvajamo varijable:

Integrirajmo jednačinu:

Integral na lijevoj strani je tabelarni, integral na desnoj strani je uzet metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak:

Dobijen je opšti integral, da li je moguće uspešno izraziti opšte rešenje? Može. Na obje strane vješamo logaritme. Budući da su pozitivni, znakovi modula su nepotrebni:

(Nadam se da svi razumiju transformaciju, takve stvari bi već trebale biti poznate)

Dakle, generalno rješenje je:

Nađimo određeno rješenje koje odgovara datom početnom stanju.
U opštem rješenju, umjesto “X” zamjenjujemo nulu, a umjesto “Y” zamjenjujemo logaritam od dva:

Poznatiji dizajn:

Pronađenu vrijednost konstante zamjenjujemo u opšte rješenje.

odgovor: privatno rješenje:

Provjera: Prvo, hajde da provjerimo je li ispunjen početni uvjet:
- sve je dobro.

Sada provjerimo da li pronađeno određeno rješenje uopće zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Pronalaženje derivata:

Pogledajmo originalnu jednačinu: – predstavlja se u diferencijalima. Postoje dva načina za provjeru. Moguće je izraziti diferencijal od pronađene derivacije:

Zamijenimo pronađeno partikularno rješenje i rezultirajući diferencijal u originalnu jednačinu :

Koristimo osnovni logaritamski identitet:

Dobije se tačna jednakost, što znači da je određeno rješenje ispravno pronađeno.

Druga metoda provjere je preslikana i poznatija: iz jednačine Izrazimo derivaciju, da bismo to učinili, podijelimo sve dijelove sa:

I u transformirani DE zamjenjujemo dobijeno parcijalno rješenje i pronađeni izvod. Kao rezultat pojednostavljenja, trebalo bi dobiti i ispravnu jednakost.

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednačinu. Odgovor predstaviti u obliku opšteg integrala.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Koje poteškoće čekaju pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi s odvojivim varijablama?

1) Nije uvijek očigledno (posebno za “čajnik”) da se varijable mogu odvojiti. Hajde da razmotrimo uslovni primjer: . Ovdje trebate izvaditi faktore iz zagrada: i razdvojiti korijene: . Jasno je šta dalje.

2) Poteškoće sa samom integracijom. Integrali često nisu najjednostavniji i ako postoje nedostaci u vještini pronalaženja neodređeni integral, onda će to biti teško s mnogo difuzora. Osim toga, logika „pošto je diferencijalna jednadžba jednostavna, neka su barem integrali složeniji“ popularna je među kompajlerima zbirki i priručnika za obuku.

3) Transformacije sa konstantom. Kao što su svi primijetili, konstantom u diferencijalnim jednadžbama može se rukovati prilično slobodno, a neke transformacije početniku nisu uvijek jasne. Pogledajmo još jedan uslovni primjer: . Preporučljivo je pomnožiti sve pojmove sa 2: . Rezultirajuća konstanta je također neka vrsta konstante, koja se može označiti sa: . Da, a pošto je na desnoj strani logaritam, preporučljivo je prepisati konstantu u obliku druge konstante: .

Problem je u tome što se često ne zamaraju indeksima i koriste isto slovo. Kao rezultat toga, zapisnik odluke ima sljedeći oblik:

Kakva jeres? Tu su greške! Strogo govoreći, da. Međutim, sa suštinske tačke gledišta, nema grešaka, jer se kao rezultat transformacije varijabilne konstante ipak dobija promenljiva konstanta.

Ili drugi primjer, pretpostavimo da se u toku rješavanja jednadžbe dobije opći integral. Ovaj odgovor izgleda ružno, pa je preporučljivo promijeniti predznak svakog pojma: . Formalno, tu je još jedna greška - trebalo bi da bude napisano sa desne strane. Ali neformalno se podrazumijeva da je “minus ce” još uvijek konstanta ( koji jednako lako može poprimiti bilo koje značenje!), tako da stavljanje "minusa" nema smisla i možete koristiti isto slovo.

Pokušat ću izbjeći nemaran pristup, i dalje dodijeliti različite indekse konstantama prilikom njihovog pretvaranja.

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednačinu. Izvršite provjeru.

Rješenje: Ova jednadžba omogućava odvajanje varijabli. Odvajamo varijable:

Hajde da integrišemo:

Ovdje nije potrebno definirati konstantu kao logaritam, jer od toga neće biti ništa korisno.

odgovor: opšti integral:

Provjera: diferencirajte odgovor (implicitna funkcija):

Riješimo se razlomaka množenjem oba člana sa:

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je opći integral ispravno pronađen.

Primjer 8

Pronađite određeno rješenje DE.
,

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Jedini nagovještaj je da ćete ovdje dobiti opći integral, i, tačnije rečeno, morate pokušati pronaći ne određeno rješenje, već parcijalni integral. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U nekim problemima fizike nije moguće uspostaviti direktnu vezu između veličina koje opisuju proces. Ali moguće je dobiti jednakost koja sadrži derivate funkcija koje se proučavaju. Tako nastaju diferencijalne jednadžbe i potreba za njihovim rješavanjem kako bi se pronašla nepoznata funkcija.

Ovaj članak je namijenjen onima koji se suočavaju s problemom rješavanja diferencijalne jednadžbe u kojoj je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable. Teorija je strukturirana na takav način da se bez znanja o diferencijalnim jednadžbama možete nositi sa svojim zadatkom.

Svaka vrsta diferencijalne jednadžbe povezana je s metodom rješenja s detaljnim objašnjenjima i rješenjima tipičnih primjera i problema. Sve što trebate učiniti je odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe vašeg problema, pronaći sličan analizirani primjer i izvršiti slične radnje.

Da biste uspješno riješili diferencijalne jednadžbe, trebat će vam i sposobnost pronalaženja skupova antiderivata ( neodređeni integrali) razne funkcije. Ako je potrebno, preporučujemo da pogledate odjeljak.

Prvo ćemo razmotriti tipove običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti s obzirom na derivaciju, zatim ćemo prijeći na ODE drugog reda, zatim ćemo se zadržati na jednadžbama višeg reda i završiti sa sistemima diferencijalne jednadžbe.

Podsjetimo da ako je y funkcija argumenta x.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika.

Zapišimo nekoliko primjera takvog daljinskog upravljača .

Diferencijalne jednadžbe može se riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem obje strane jednakosti sa f(x) . U ovom slučaju dolazimo do jednačine koja će biti ekvivalentna originalnoj za f(x) ≠ 0. Primjeri takvih ODE-a su .

Ako postoje vrijednosti argumenta x kod kojih funkcije f(x) i g(x) istovremeno nestaju, tada se pojavljuju dodatna rješenja. Dodatna rješenja jednadžbe dati x su bilo koje funkcije definirane za ove vrijednosti argumenata. Primjeri takvih diferencijalnih jednadžbi uključuju:

Diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

LDE sa konstantnim koeficijentima je vrlo čest tip diferencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje nije posebno teško. Prvo se pronađu korijeni karakteristična jednačina . Za različite p i q moguća su tri slučaja: korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti realni i različiti, realni i podudarni ili kompleksne konjugate. Ovisno o vrijednostima korijena karakteristične jednadžbe, opće rješenje diferencijalne jednadžbe zapisuje se kao , ili , odnosno.

Na primjer, razmotrite linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Korijeni njegove karakteristične jednadžbe su k 1 = -3 i k 2 = 0. Korijeni su realni i različiti, stoga opšte rješenje LODE sa konstantnim koeficijentima ima oblik


Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LDDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima y traži se u obliku sume općeg rješenja odgovarajućeg LDDE i posebno rješenje za original nehomogena jednačina, to je, . Prethodni paragraf je posvećen pronalaženju opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima. A određeno rješenje je određeno ili metodom neizvesni koeficijenti za određeni oblik funkcije f(x) na desnoj strani originalna jednadžba, ili metodom variranja proizvoljnih konstanti.

Kao primjere LDDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima navodimo


Da biste razumjeli teoriju i upoznali se sa detaljnim rješenjima primjera, nudimo vam na stranici linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) i linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe (LNDE) drugog reda.

Poseban slučaj diferencijalnih jednadžbi ovog tipa su LODE i LDDE sa konstantnim koeficijentima.

Opšte rješenje LODE-a na određenom segmentu predstavljeno je linearnom kombinacijom dva linearno nezavisnih parcijalnih rješenja y 1 i y 2 ove jednadžbe, tj. .

Glavna poteškoća leži upravo u pronalaženju linearno nezavisnih parcijalnih rješenja diferencijalne jednadžbe ovog tipa. Obično se biraju određena rješenja sledeće sisteme linearno nezavisne funkcije:


Međutim, određena rješenja nisu uvijek predstavljena u ovom obliku.

Primjer LOD-a je .

Opće rješenje LDDE traži se u obliku , gdje je opće rješenje odgovarajućeg LDDE, a partikularno rješenje originalne diferencijalne jednadžbe. Upravo smo pričali o pronalaženju, ali se može odrediti korištenjem metode variranja proizvoljnih konstanti.

Može se navesti primjer LNDU .

Diferencijalne jednadžbe višeg reda.

Diferencijalne jednadžbe koje dopuštaju redukciju po redu.

Red diferencijalne jednadžbe , koji ne sadrži željenu funkciju i njene derivate do k-1 reda, može se svesti na n-k zamjenom .

U ovom slučaju, originalna diferencijalna jednadžba će se svesti na . Nakon pronalaženja njenog rješenja p(x), ostaje da se vratimo na zamjenu i odredimo nepoznatu funkciju y.

Na primjer, diferencijalna jednadžba nakon zamjene, postat će jednačina sa odvojivim varijablama, a njen redoslijed će se smanjiti sa treće na prvu.