Důvody výskytu cizích kořenů při řešení rovnic. Základní metody řešení rovnic

Rozsudek v trestním řízení, stejně jako rozhodnutí v civilním řízení, se vynáší jménem

1) Prezident Ruská federace

2) Ruská federace

3) Vláda Ruské federace

4) Federální shromáždění Ruské federace

Vysvětlení.

Podle odstavce 28 Čl. V § 5 trestního řádu je výrokem rozhodnutí o nevině nebo vině obžalovaného a o uložení trestu nebo propuštění od trestu, které činí soud prvního stupně nebo odvolací. Kromě těch, které jsou uvedeny ve verdiktu, mohou být vyřešeny další otázky stanovené Trestním řádem Ruské federace. Verdikt je aktem spravedlnosti, ztělesněním autority soudnictví. Všechny soudy Ruské federace vynášejí rozsudky jménem Ruské federace.

Odpověď: 2

Kdo je osoba poškozená trestným činem?

1) podezřelý

2) obžalovaní

3) oběti

Vysvětlení.

Podezřelý - osoba zadržená pro podezření ze spáchání trestného činu, nebo osoba, které bylo uplatněno preventivní opatření před podáním obvinění.

Obžalovaný je obviněný, proti kterému byla věc přijata k řízení soudu. Osoba, vůči níž byl vynesen rozsudek, se nazývá odsouzeným - je-li rozsudek vinen, nebo zproštěn - pokud rozsudek není vinný (článek 46, část 2 trestního řádu).

Žalobce je účastníkem občanskoprávního řízení, na obranu jehož subjektivních práv a (nebo) chráněných zájmů bylo občanskoprávní řízení zahájeno.

Správná odpověď je uvedena pod číslem 3.

Odpověď: 3

Obor: Právo. Vlastnosti trestního řízení

Poté, co je trestní případ předložen soudu, stává se obviněným

1) podezřelý

2) obžalovaní

3) zločinec

4) odsouzen

Vysvětlení.

Podezřelý - stále ve vyšetřování

Trestní – když je vina zcela prokázána

Odsoudit - po vynesení rozsudku soudem

Správná odpověď je uvedena pod číslem 2.

Odpověď: 2

Obor: Právo. Vlastnosti trestního řízení

Jakou situaci upravuje trestní právo?

1) byla porušena pravidla požární bezpečnosti

2) byl podán nárok na nezákonné propuštění

3) je podána žádost o zřízení opatrovnictví nad občanem D., který byl soudem prohlášen za nezpůsobilého

4) úmyslně způsobil těžkou újmu na zdraví

Vysvětlení.

Trestní právo je právní odvětví, které upravuje společenské vztahy související s pácháním trestných činů, ukládáním trestu a uplatňováním jiných opatření trestně právní povahy, zakládajícími důvody pro trestní stíhání nebo zproštění trestní odpovědnosti a trestu.

Odpověď: 4

Obor: Právo. Vlastnosti trestního řízení

Účast porotců v soudních řízeních v Ruské federaci je zajištěna při posuzování probíhajících případů

1) administrativní

2) rozhodčí řízení

3) civilní

4) kriminální

Vysvětlení.

Porota je instituce soudního systému, která se skládá z poroty vybraných namátkovým výběrem pouze pro daný případ a rozhodujících skutkových otázkách a jednoho profesionálního soudce, který rozhoduje otázky právní. Poroty projednávají v první instanci trestní případy zahrnující obvinění, obvykle těžké zločiny. V některých zemích, včetně Ruska, jsou soudní procesy před porotou možné pouze v rámci trestního řízení. V některých státech USA a některých zemích mohou poroty rozhodovat pouze jednomyslně. V ostatních - prostou nebo kvalifikovanou většinou. (V Ruské federaci rozhoduje porota většinou hlasů.) Také v některých zemích porota vydává doporučení týkající se použití trestu smrti nebo přítomnosti polehčujících okolností. O otázce volby trestu však vždy rozhoduje pouze soudce. (Výjimkou jsou Spojené státy americké, v případě případu s možností trestu smrti je rozhodnutí poroty neuplatňovat trest smrti konečné a nelze se proti němu odvolat.)

Správná odpověď je uvedena pod číslem 4.

Odpověď: 4

Obor: Právo. Vlastnosti trestního řízení

Porušení důvěrnosti korespondence, telefonických rozhovorů a telegrafních zpráv bez právního důvodu je trestné ze zákona

1) kriminální

2) administrativní

3) civilní

4) práce

Vysvětlení.

Trestní právo je právní odvětví skládající se z právních norem, které určují, které společensky nebezpečné činy jsou považovány za trestné a jaké tresty za ně lze uložit. Porušení důvěrnosti korespondence, telefonických rozhovorů a telegrafních zpráv bez právního důvodu je trestné podle trestního práva.

Správná odpověď je označena pod číslem: 1.

Jméno: Sociální studia - Expresní lektor pro přípravu na Jednotnou státní zkoušku - Právo.

Tato kniha je tréninkový manuál pro rychlé a účinná přípravaškoláků a uchazečů o Jednotnou státní zkoušku (USE) ze společenských věd, která svým obsahem odpovídá státní norma společenskovědní vzdělání. Příručka má napomoci systematizaci, prohlubování a zobecňování znalostí v obsahovém bloku „Právo“ kurzu společenských věd.

Tato příručka je určena pro sebetréninkškoláků a uchazečů o Jednotnou státní zkoušku.
Obsahuje zadání pro obsahový blok „Právo“ kurzu společenských věd. Každé části předchází teoretický materiál, podaný stručnou a přístupnou formou, například ve formě diagramů a tabulek.
Školicí úkoly odpovídají formátu jednotné státní zkoušky a jsou zaměřeny na rozvoj dovedností rychlého a kompetentního řešení testů. Na konci knihy jsou uvedeny odpovědi na všechny navržené úkoly, které vám umožní objektivně posoudit úroveň přípravy na zkoušku.

Předmluva. 4
PRÁVO
Teoretický materiál (expresní kurz). 11
Téma 1. Právo v systému společenských norem. 11
Téma 2. Právní systém: hlavní odvětví, instituce, vztahy. 22
Téma 3. Prameny práva. 26
Téma 4. Právní úkony. 28
Téma 5. Právní vztahy. 32
Téma 6. Přestupky. 36
Téma 7. Ústava Ruské federace. 39
Téma 8. Veřejné a soukromé právo. 50
Téma 9. Právní odpovědnost a její druhy. 51
Téma 10. Základní pojmy a normy státního, správního, občanského, pracovního a trestního práva v Ruské federaci. 57
Téma 11. Právní základ manželství a rodinu. 96
Téma 12. Mezinárodní dokumenty o lidských právech. 106
Téma 13. Systém soudní ochrany lidských práv. 109
Téma 14. Základy ústavního systému Ruské federace. 112
Téma 15. Federace, její subjekty. 116
Téma 16. Zákonodárné, výkonné a soudní orgány v Ruské federaci. 122
Téma 17. Institut předsednictví. 135
Téma 18. Orgány činné v trestním řízení. 140
Téma 19. Mezinárodní ochrana lidských práv v době míru a války. 144
Téma 20. Právní kultura. 150
Tréninkové úkoly. 157
Část 1(A). 157
Část 2 (B). 169
Část 3 (C). 178
Odpovědi na výcvikové úkoly. 181
Část 1(A). 181
Část 1(B). 183
Část 3 (C). 184
Literatura. 190

Zdarma ke stažení e-kniha ve vhodném formátu, sledujte a čtěte:
Stáhněte si knihu Sociální studia - Expresní tutor pro přípravu na Jednotnou státní zkoušku - Právo - Baranov P.A., Vorontsov A.V. - fileskachat.com, rychlé a bezplatné stažení.

Stáhnout pdf
Tuto knihu si můžete zakoupit níže nejlepší cena se slevou s doručením po celém Rusku.

§ 1. ZTRACENÉ A VYLOŽENÉ KOŘENY PŘI ŘEŠENÍ ROVNIC (V PŘÍKLADU)

REFERENČNÍ MATERIÁL

1. Dvě věty v § 3 kapitoly VII hovořily o tom, jaké akce na rovnicích neporušují jejich ekvivalenci.

2. Uvažujme nyní takové operace s rovnicemi, které mohou vést k nové rovnici, která se nerovná původní rovnici. Místo obecných úvah se omezíme na zvažování pouze konkrétních příkladů.

3. Příklad 1. Je dána rovnice Otevřete závorky v této rovnici a přeneste všechny členy do levá strana a vyřešit kvadratickou rovnici. Jeho kořeny jsou

Pokud zmenšíte obě strany rovnice společným faktorem, dostanete rovnici, která se nerovná původní, protože má pouze jeden kořen

Zmenšení obou stran rovnice faktorem obsahujícím neznámou tedy může vést ke ztrátě kořenů rovnice.

4. Příklad 2. Tato rovnice má jeden kořen. Odmocnime obě strany této rovnice a dostaneme dva kořeny.

Vidíme, že nová rovnice není ekvivalentní původní rovnici Kořen je kořenem rovnice, která po umocnění obou stran vede k rovnici

5. Cizí kořeny se také mohou objevit, když jsou obě strany rovnice vynásobeny faktorem obsahujícím neznámou, pokud tento faktor zmizí pro reálné hodnoty x.

Příklad 3. Pokud do té doby vynásobíme obě strany rovnice, dostaneme novou rovnici, která po převedení členu z pravé strany na levou a jeho rozkladu dostane rovnici z obou

Kořen nesplňuje rovnici, která má pouze jeden kořen

Proto docházíme k závěru: při umocnění obou stran rovnice (obecně, sudý stupeň), stejně jako při vynásobení faktorem obsahujícím neznámo a mizejícím pro skutečné hodnoty neznámého se mohou objevit cizí kořeny.

Všechny zde vyjádřené úvahy o problému ztráty a výskytu cizích kořenů rovnice platí stejně pro všechny rovnice (algebraické, trigonometrické atd.).

6. Rovnice se nazývá algebraická, pokud se s neznámou provádějí pouze algebraické operace - sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování s přirozeným exponentem (a počet takových operací je konečný).

Tedy například rovnice

jsou algebraické a rovnice

Téma goniometrické rovnice začíná školní přednáškou, která je strukturována formou heuristického rozhovoru. Přednáška probírá teoretický materiál a příklady řešení všech typických problémů podle plánu:

• Nejjednodušší goniometrické rovnice.
• Základní metody řešení goniometrických rovnic.
• Homogenní rovnice.

V následujících lekcích začíná samostatný rozvoj dovedností, založený na uplatňování principu společné činnosti učitele a žáka. Nejprve jsou stanoveny cíle pro studenty, tzn. je určeno, kdo nechce vědět víc, než vyžaduje státní norma, a kdo je připraven udělat víc.

Konečná diagnóza je vytvořena s přihlédnutím k diferenciaci úrovní, což umožňuje studentům vědomě určit minimální znalosti, které jsou nutné k získání známky „3“. Na základě toho jsou vybírány víceúrovňové materiály k diagnostice znalostí studentů. Taková práce umožňuje individuální přístup ke studentům, včetně všech v vědomých učebních činnostech, rozvíjení schopností sebeorganizace a sebevzdělávání a zajištění přechodu k aktivnímu, samostatnému myšlení.

Seminář je veden po procvičení základních dovedností řešení goniometrických rovnic. Několik lekcí před seminářem dostávají studenti otázky, které budou diskutovány v průběhu semináře.

Seminář se skládá ze tří částí.

1. Úvodní část pokrývá veškerou teoretickou látku včetně úvodu do problémů, které nastanou při řešení složitých rovnic.

2. Druhá část pojednává o řešení rovnic tvaru:

• a cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• rovnic řešitelné snížením stupně.

Tyto rovnice používají univerzální substituci, vzorce pro snížení stupně a metodu pomocných argumentů.

3. Třetí část pojednává o problémech ztráty kořenů a získávání cizích kořenů. Ukazuje, jak vybrat kořeny.

Žáci pracují ve skupinách. K řešení příkladů jsou povoláni dobře vyškolení kluci, kteří umí látku ukázat a vysvětlit.

Seminář je určen pro dobře připraveného studenta, protože... řeší otázky poněkud přesahující rámec programového materiálu. Zahrnuje rovnice složitějšího tvaru a zejména řeší problémy, se kterými se setkáváme při řešení složitých goniometrických rovnic.

Seminář se konal pro žáky 10.–11. ročníku. Každý student měl možnost rozšířit a prohloubit své znalosti na toto téma, porovnat úroveň svých znalostí nejen s požadavky na absolventa školy, ale i s požadavky na vstup do V.U.Z.

SEMINÁŘ

Podrobit:"Řešení goniometrických rovnic"

cíle:

• Zobecnit znalosti o řešení goniometrických rovnic všech typů.
• Zaměření na problémy: ztráta kořenů;

cizí kořeny; kořenový výběr.

PRŮBĚH LEKCE.

I. Úvodní část

• 1. Základní metody řešení goniometrických rovnic
• Faktorizace.
• Zavedení nové proměnné.

Funkčně-grafická metoda.

• 2. Některé typy goniometrických rovnic. Rovnice, které se redukují na kvadratické rovnice

, vzhledem k cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• Jsou řešeny zavedením nové proměnné.

Homogenní rovnice prvního a druhého stupně Rovnice prvního stupně:

Asinx + Bcosx = 0 dělíme cos x, dostaneme Atg x + B = 0 Rovnice druhého stupně:

Když 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 dělíme cos 2 x, dostaneme Atg 2 x + Btgx + C = 0

Řeší se faktorizací a zavedením nové proměnné.

• Platí všechny metody.

Downgrade:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Řešeno metodou faktorizace.

• 2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. Rovnice formuláře:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Redukováno na čtverec s ohledem na t = sinx + cosx;

sin2x = t 2 – 1.

• 3. Vzorce.
• x + 2n; Kontrola je nutná!

Klesající výkon: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; hřích 2 x = (1 – cos 2x): 2

Metoda pomocných argumentů.

Nahraďme Acosx + Bsinx za Csin (x + ), kde sin = a/C; cos=v/c;

• – pomocný argument.
• 4. Pravidla.
• Pokud vidíte čtverec, snižte stupeň.

Pokud vidíte kus, zadejte částku.

• Pokud vidíte částku, pracujte. 5. Ztráta kořenů, extra kořeny.

• Ztráta kořenů: dělit g(x); nebezpečné vzorce (univerzální substituce). Těmito operacemi zužujeme rozsah definice.

Přebytečné kořeny: zvýšeny na rovnoměrnou sílu;

vynásobte g(x) (zbavte se jmenovatele).

1) Těmito operacemi rozšiřujeme rozsah definice.

II. Příklady goniometrických rovnic

1. Rovnice tvaru Asinx + Bcosx = C

Univerzální substituce.O.D.Z. x – libovolný.

3 hřích 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n; u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Odpověď: x = arctan(–1/3) + k, kZ. x = /2 + n, n Z.

2) Funkčně-grafická metoda. O.D.Z. x – libovolný.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Nakreslete funkce: y = sinx, y = cosx + 1.

Odpověď: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, kZ.

3) Zavedení pomocného argumentu. O.D.Z.: x – libovolný.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, protože (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, pak existuje takové, že hřích = 8/17,

cos = 15/17, což znamená sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Odpověď: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Snížení pořadí: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). hřích 2 3x + hřích 2 4x + hřích 2 6x + hřích 2 7x = 2. O.D.Z.: x – libovolný.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Odpověď: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, kZ, x = /2 + m, mZ.

Na

k = 1 a m = 0 k = 4 a m = 1.

série jsou stejné.

3. Redukce na homogenitu. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – libovolný.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nelze dělit cos 2 x, protože ztrácíme kořeny.
cos 2 x = 0 splňuje rovnici.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Odpověď: x = /2 + k, kZ, x = –/6 + n, nZ

4. Rovnice tvaru: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – libovolný.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5 t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Odpověď: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorizace.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, bez kořenů.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Odpověď: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problémy vznikající při řešení goniometrických rovnic

1. Ztráta kořenů: dělení g(x); Používáme nebezpečné vzorce.

1) Najděte chybu.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 vzorec.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 děleno 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Ztracené kořeny sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Správné řešení: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

hřích 2 x/2 = 0 x = 2k, kZ.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Cizí kořeny: zbavíme se jmenovatele; zvýšit na rovnoměrnou sílu.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k/6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 hřích 2/3 = 3/2 neuspokojit. O.D.Z. 2. n = 1 hřích 2 = 0 uspokojit O.D.Z. 3. n = 2 hřích 2/3 = –3/2 uspokojit O.D.Z.

II. x = (–1) k/6 + k, k Z 1.k = 0 hřích 2/6 = 3/2 nevyhovují O.D.Z. 2. k = 1 hřích 2*5/6 = –3/2 uspokojit O.D.Z.

Odpověď: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Při řešení rovnic se nejčastěji používají následující transformace:

Jiné proměny

Do seznamu uvedeného v předchozím odstavci jsme záměrně nezahrnuli takové transformace, jako je zvýšení obou stran rovnice na stejnou přirozenou mocninu, logaritmus, potencování obou stran rovnice, extrahování kořene stejného stupně z obou stran rovnice. rovnice, uvolnění vnější funkce a další. Faktem je, že tyto transformace nejsou tak obecné: transformace z výše uvedeného seznamu se používají k řešení rovnic všech typů a právě uvedené transformace se používají k řešení určitých typů rovnic (iracionální, exponenciální, logaritmické atd.). Jsou podrobně diskutovány v rámci odpovídajících metod řešení odpovídajících typů rovnic. Zde jsou odkazy na jejich podrobný popis:

• Zvyšování obou stran rovnice na stejnou přirozenou sílu.
• Logaritmy obou stran rovnice.
• Potencování obou stran rovnice.
• Vyjmutí odmocniny stejné mocniny z obou stran rovnice.
• Nahrazení výrazu odpovídající jedné z částí původní rovnice výrazem z jiné části původní rovnice.

Uvedené odkazy obsahují komplexní informace o uvedených transformacích. V tomto článku se jim proto již nebudeme věnovat. Všechny následující informace platí pro transformace ze seznamu základních transformací.

Jaký je výsledek transformace rovnice?

Provedení všech výše uvedených transformací může dát buď rovnici, která má stejné kořeny jako původní rovnice, nebo rovnici, jejíž kořeny obsahují všechny kořeny původní rovnice, ale která může mít i jiné kořeny, nebo rovnici, jejíž kořeny nebudou zahrnují všechny kořeny transformované rovnice. V následujících odstavcích rozebereme, které z těchto transformací a za jakých podmínek vedou ke kterým rovnicím. To je nesmírně důležité vědět pro úspěšné řešení rovnic.

Ekvivalentní transformace rovnic

Zvláště zajímavé jsou transformace rovnic, jejichž výsledkem jsou ekvivalentní rovnice, tedy rovnice, které mají stejnou sadu kořenů jako původní rovnice. Takové transformace se nazývají ekvivalentní transformace. Ve školních učebnicích není odpovídající definice výslovně uvedena, ale lze ji snadno vyčíst z kontextu:

Definice

Ekvivalentní transformace rovnic jsou transformace, které dávají ekvivalentní rovnice.

Proč jsou tedy ekvivalentní transformace zajímavé? Faktem je, že pokud je s jejich pomocí možné dospět z řešené rovnice k docela jednoduché ekvivalentní rovnici, pak řešení této rovnice poskytne požadované řešení původní rovnice.

Z transformací uvedených v předchozím odstavci nejsou všechny vždy ekvivalentní. Některé transformace jsou ekvivalentní pouze za určitých podmínek. Udělejme seznam výroků, které určují, které transformace a za jakých podmínek jsou ekvivalentními transformacemi rovnice. K tomu si vezmeme za základ výše uvedený seznam a k transformacím, které nejsou vždy ekvivalentní, přidáme podmínky, které jim ekvivalenci dají. Zde je seznam:

• Nahrazení výrazu na levé nebo pravé straně rovnice výrazem, který nemění proměnné rovnice, je ekvivalentní transformací rovnice.

Pojďme si vysvětlit, proč tomu tak je. K tomu vezmeme rovnici s jednou proměnnou (podobné uvažování lze provést pro rovnice s více proměnnými) tvaru A(x)=B(x), výrazy na její levé a pravé straně jsme označili jako A( x) a B(x), v tomto pořadí. Nechť je výraz C(x) shodně roven výrazu A(x) a ODZ proměnné x rovnice C(x)=B(x) se shoduje s ODZ proměnné x pro původní rovnici. Dokažme, že transformace rovnice A(x)=B(x) na rovnici C(x)=B(x) je ekvivalentní transformací, to znamená, že dokážeme, že rovnice A(x)=B (x) a C(x) =B(x) jsou ekvivalentní.

K tomu stačí ukázat, že jakýkoli kořen původní rovnice je kořenem rovnice C(x)=B(x) a jakýkoli kořen rovnice C(x)=B(x) je kořenem. původní rovnice.

Začneme prvním dílem. Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x), pak když ji dosadíme za x, dostaneme správnou číselnou rovnost A(q)=B(q) . Protože výrazy A(x) a C(x) jsou shodně stejné a výraz C(q) dává smysl (vyplývá to z podmínky, že OD pro rovnici C(x)=B(x) se shoduje s OD pro původní rovnice), pak platí číselná rovnost A(q)=C(q). Dále použijeme vlastnosti číselných rovností. Díky vlastnosti symetrie lze rovnost A(q)=C(q) přepsat jako C(q)=A(q) . Pak, kvůli vlastnosti tranzitivity, rovnosti C(q)=A(q) a A(q)=B(q) implikují rovnost C(q)=B(q). To dokazuje, že q je kořenem rovnice C(x)=B(x) .

Druhá část a s ní celé tvrzení jako celek je doloženo naprosto analogicky.

Podstata analyzované ekvivalentní transformace je následující: umožňuje pracovat odděleně s výrazy na levé a pravé straně rovnic a nahradit je shodně stejnými výrazy na původní ODZ proměnných.

Nejtriviálnější příklad: součet čísel na pravé straně rovnice x=2+1 můžeme nahradit její hodnotou, čímž vznikne ekvivalentní rovnice tvaru x=3. Výraz 2+1 jsme totiž nahradili shodně rovným výrazem 3 a ODZ rovnice se nezměnila. Další příklad: na levé straně rovnice 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 můžeme a na pravé – , což nás přivede k ekvivalentní rovnici 3·x+ 6 = 5 x + 3. Výsledná rovnice je skutečně ekvivalentní, protože jsme nahradili výrazy shodně stejnými výrazy a zároveň jsme získali rovnici, která má OD, který se shoduje s OD pro původní rovnici.

• Přidání stejného čísla na obě strany rovnice nebo odečtení stejného čísla od obou stran rovnice je ekvivalentní transformace rovnice.

Dokažme, že přidáním stejného čísla c na obě strany rovnice A(x)=B(x) dostaneme ekvivalentní rovnici A(x)+c=B(x)+c a že odečtením od obou stran rovnice A(x) =B(x) stejného čísla c dává ekvivalentní rovnici A(x)−c=B(x)−c.

Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x), pak platí rovnost A(q)=B(q). Vlastnosti číselných rovností nám umožňují přičíst na obě strany skutečné číselné rovnosti nebo odečíst stejné číslo od jejích částí. Označme toto číslo jako c, pak platí rovnosti A(q)+c=B(q)+c a A(q)−c=B(q)−c. Z těchto rovností vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)+c=B(x)+c a rovnice A(x)−c=B(x)−c.

Teď zpět. Nechť q je kořenem rovnice A(x)+c=B(x)+c a rovnice A(x)−c=B(x)−c, pak A(q)+c=B(q) +c a A(q)−c=B(q)−c. Víme, že odečtením stejného čísla od obou stran skutečné numerické rovnosti vznikne skutečná numerická rovnost. Víme také, že přidáním správné číselné rovnosti na obě strany získáme správnou číselnou rovnost. Odečteme číslo c od obou stran správné číselné rovnosti A(q)+c=B(q)+c a k oběma stranám rovnosti A(x)−c=B(x) přičteme číslo c. −c. To nám dá správné číselné rovnosti A(q)+c−c=B(q)+c−c a A(q)−c+c=B(q)+c−c, z čehož usuzujeme, že A (q) = B(q) . Z poslední rovnosti vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)=B(x) .

To dokazuje původní tvrzení jako celek.

Uveďme příklad takové transformace rovnic. Vezměme rovnici x−3=1 a transformujme ji přidáním čísla 3 na obě strany, čímž dostaneme rovnici x−3+3=1+3, která je ekvivalentní té původní. Je jasné, že ve výsledné rovnici lze provádět operace s čísly, jak jsme probrali v předchozí položce seznamu, ve výsledku máme rovnici x=4. Provedením ekvivalentních transformací jsme tedy náhodně vyřešili rovnici x−3=1, jejím kořenem je číslo 4. Uvažovaná ekvivalentní transformace se velmi často používá k odstranění identických číselných členů nacházejících se v různé části rovnic Například jak v levé, tak v pravé části rovnice x 2 +1=x+1 existuje stejný člen 1, odečtením čísla 1 od obou stran rovnice se dostanete na ekvivalentní rovnici x 2 +1−1=x+1−1 a poté na ekvivalentní rovnice x 2 =x, a tak se zbavit těchto stejných členů.

• Přičtení na obě strany rovnice nebo odečtení od obou stran rovnice výrazu, pro který není ODZ užší než ODZ pro původní rovnici, je ekvivalentní transformací.

Pojďme toto tvrzení dokázat. To znamená, že dokážeme, že rovnice A(x)=B(x) a A(x)+C(x)=B(x)+C(x) jsou ekvivalentní za předpokladu, že ODZ pro výraz C(x) ) již není , než ODZ pro rovnici A(x)=B(x) .

Nejprve dokazujeme jeden pomocný bod. Dokažme, že za zadaných podmínek jsou rovnice ODZ před a po transformaci stejné. ODZ pro rovnici A(x)+C(x)=B(x)+C(x) lze skutečně považovat za průsečík ODZ pro rovnici A(x)=B(x) a ODZ pro výraz C(x). Z toho a ze skutečnosti, že ODZ pro výraz C(x) není podmínkou užší než ODZ pro rovnici A(x)=B(x), vyplývá, že ODZ pro rovnice A(x)= B(x) a A (x)+C(x)=B(x)+C(x) jsou stejné.

Nyní prokážeme ekvivalenci rovnic A(x)=B(x) a A(x)+C(x)=B(x)+C(x), za předpokladu, že rozsahy přijatelných hodnot pro tyto rovnice jsou stejné. Důkaz ekvivalence rovnic A(x)=B(x) a A(x)−C(x)=B(x)−C(x) za zadané podmínky neuvedeme, protože je podobná .

Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x), pak platí číselná rovnost A(q)=B(q). Protože ODZ rovnic A(x)=B(x) a A(x)+C(x)=B(x)+C(x) jsou stejné, pak výraz C(x) dává smysl v x =q, což znamená, že C(q) je nějaké číslo. Pokud přidáme C(q) na obě strany správné číselné rovnosti A(q)=B(q), dostaneme správnou číselnou nerovnost A(q)+C(q)=B(q)+C(q ), z čehož vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Zadní. Nechť q je kořenem rovnice A(x)+C(x)=B(x)+C(x), pak A(q)+C(q)=B(q)+C(q) je a skutečná číselná rovnost. Víme, že odečtením stejného čísla od obou stran skutečné numerické rovnosti vznikne skutečná numerická rovnost. Odečtěte C(q) od obou stran rovnosti A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , dostanete A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) a dále A(q)=B(q) . Proto je q kořenem rovnice A(x)=B(x) .

Dotyčné tvrzení je tedy zcela prokázáno.

Uveďme příklad této transformace. Vezměme rovnici 2 x+1=5 x+2. K oběma stranám můžeme přidat např. výraz −x−1. Přidáním tohoto výrazu se nezmění ODZ, což znamená, že taková transformace je ekvivalentní. V důsledku toho získáme ekvivalentní rovnici 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Tuto rovnici lze dále transformovat: otevřete závorky a zmenšete podobné výrazy na její levé a pravé straně (viz první položka v seznamu). Po provedení těchto akcí získáme ekvivalentní rovnici x=4·x+1. Často zvažovaná transformace rovnic se používá k odstranění identických členů, které jsou současně na levé a pravé straně rovnice.

• Pokud přesunete člen v rovnici z jedné části do druhé a změníte znaménko tohoto členu na opačné, dostanete rovnici ekvivalentní dané rovnici.

Toto tvrzení je důsledkem předchozích.

Ukažme si, jak se tato ekvivalentní transformace rovnice provádí. Vezměme rovnici 3·x−1=2·x+3. Posuňme pojem např. 2x z pravé strany doleva a změňme jeho znaménko. V tomto případě dostaneme ekvivalentní rovnici 3·x−1−2·x=3. Můžete také posunout mínus jedna z levé strany rovnice doprava a změnit znaménko na plus: 3 x−2 x=3+1. Konečně, uvedení podobných členů nás vede k ekvivalentní rovnici x=4.

• Násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem je ekvivalentní transformace.

Dejme důkaz.

Nechť A(x)=B(x) je nějaká rovnice a c je nějaké číslo odlišné od nuly. Dokažme, že vynásobení nebo dělení obou stran rovnice A(x)=B(x) číslem c je ekvivalentní transformací rovnice. Abychom to mohli udělat, dokážeme, že rovnice A(x)=B(x) a A(x) c=B(x) c, stejně jako rovnice A(x)=B(x) a A(x) :c= B(x):c - ekvivalent. To lze provést takto: dokažte, že jakýkoli kořen rovnice A(x)=B(x) je kořenem rovnice A(x) c=B(x) c a kořenem rovnice A(x) :c=B(x) :c a pak dokažte, že jakýkoli kořen rovnice A(x) c=B(x) c , stejně jako jakýkoli kořen rovnice A(x):c=B(x):c je kořenem rovnice A(x) =B(x) . Pojďme na to.

Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x) . Pak platí číselná rovnost A(q)=B(q). Když jsme studovali vlastnosti numerických rovnosti, zjistili jsme, že vynásobení nebo dělení obou stran skutečné numerické rovnosti stejným číslem jiným než nula vede ke skutečné numerické rovnosti. Vynásobením obou stran rovnosti A(q)=B(q) c získáme správnou číselnou rovnost A(q) c=B(q) c, z níž vyplývá, že q je kořenem rovnice A( x) c= B(x)-c. A vydělením obou stran rovnosti A(q)=B(q) c získáme správnou číselnou rovnost A(q):c=B(q):c, z níž vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x):c =B(x):c.

Nyní jiným směrem. Nechť q je kořenem rovnice A(x) c=B(x) c. Pak A(q)·c=B(q)·c je skutečná číselná rovnost. Podělením obou jeho částí nenulovým číslem c získáme správnou číselnou rovnost A(q)·c:c=B(q)·c:c a dále A(q)=B(q) . Z toho vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)=B(x) . Jestliže q je kořenem rovnice A(x):c=B(x):c . Potom A(q):c=B(q):c je skutečná číselná rovnost. Vynásobením obou jeho částí nenulovým číslem c získáme správnou číselnou rovnost A(q):c·c=B(q):c·c a dále A(q)=B(q) . Z toho vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)=B(x) .

Výrok byl prokázán.

Uveďme příklad této transformace. S jeho pomocí se můžete například zbavit zlomků v rovnici. Chcete-li to provést, můžete vynásobit obě strany rovnice 12. Výsledkem je ekvivalentní rovnice tvaru , kterou lze následně převést na ekvivalentní rovnici 7 x−3=10, která ve svém zápisu neobsahuje zlomky.

• Násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným výrazem, jehož OD není užší než OD původní rovnice a nezaniká OD původní rovnice, je ekvivalentní transformace.

Pojďme toto tvrzení dokázat. Abychom to udělali, dokážeme, že pokud ODZ pro výraz C(x) není užší než ODZ pro rovnici A(x)=B(x), a C(x) nezmizí na ODZ pro rovnici A(x)=B(x) , pak rovnice A(x)=B(x) a A(x) C(x)=B(x) C(x), stejně jako rovnice A(x) =B(x) a A(x):C(x)=B(x):C(x) - ekvivalent.

Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x) . Pak A(q)=B(q) je skutečná číselná rovnost. Z toho, že ODZ pro výraz C(x) není stejná ODZ pro rovnici A(x)=B(x), vyplývá, že výraz C(x) dává smysl, když x=q. To znamená, že C(q) je nějaké číslo. Navíc C(q) je nenulové, což vyplývá z podmínky, že výraz C(x) nezaniká. Pokud obě strany rovnosti A(q)=B(q) vynásobíme nenulovým číslem C(q), dostaneme správnou číselnou rovnost A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , z čehož vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Pokud obě strany rovnosti A(q)=B(q) vydělíme nenulovým číslem C(q), dostaneme správnou číselnou rovnost A(q):C(q)=B(q): C(q) , z čehož vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Zadní. Nechť q je kořenem rovnice A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Pak A(q)·C(q)=B(q)·C(q) je skutečná číselná rovnost. Všimněte si, že ODZ pro rovnici A(x) C(x)=B(x) C(x) je stejná jako ODZ pro rovnici A(x)=B(x) (zdůvodnili jsme to v jednom z předchozí odstavce aktuální seznam). Protože C(x) podle podmínky nezaniká na ODZ pro rovnici A(x)=B(x), pak C(q) je nenulové číslo. Vydělením obou stran rovnosti A(q)·C(q)=B(q)·C(q) nenulovým číslem C(q) získáme správnou číselnou rovnost A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) a dále A(q)=B(q). Z toho vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)=B(x) . Jestliže q je kořen rovnice A(x):C(x)=B(x):C(x) . Pak A(q):C(q)=B(q):C(q) je skutečná číselná rovnost. Vynásobením obou stran rovnosti A(q):C(q)=B(q):C(q) nenulovým číslem C(q) získáme správnou číselnou rovnost A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) a dále A(q)=B(q). Z toho vyplývá, že q je kořenem rovnice A(x)=B(x) .

Výrok byl prokázán.

Pro názornost uvádíme příklad provedení rozložené transformace. Vydělme obě strany rovnice x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) výrazem x 2 +1. Tato transformace je ekvivalentní, protože výraz x 2 +1 nezaniká na OD pro původní rovnici a OD tohoto výrazu není užší než OD pro původní rovnici. V důsledku této transformace získáme ekvivalentní rovnici x 3 · (x 2 +1): (x 2 +1) = 8 · (x 2 +1): (x 2 +1), kterou lze dále transformovat na ekvivalentní rovnici x 3 =8.

Transformace vedoucí ke korolárním rovnicím

V předchozím odstavci jsme zkoumali, které transformace ze seznamu základních transformací a za jakých podmínek jsou ekvivalentní. Nyní se podívejme, které z těchto transformací a za jakých podmínek vedou ke korolárním rovnicím, tedy k rovnicím, které obsahují všechny kořeny transformované rovnice, ale kromě nich mohou mít i jiné kořeny - cizí kořeny pro původní rovnici.

Transformace vedoucí ke důsledkovým rovnicím jsou žádané ne méně než ekvivalentní transformace. Pokud se s jejich pomocí podaří získat rovnici, která je z hlediska řešení celkem jednoduchá, pak její řešení a následné odstranění cizích kořenů dá řešení původní rovnice.

Všimněte si, že všechny ekvivalentní transformace lze považovat za speciální případy transformací, které vedou ke důsledkovým rovnicím. Je to pochopitelné, protože existuje ekvivalentní rovnice speciální případ důsledkové rovnice. Ale z praktického hlediska je užitečnější vědět, že uvažovaná transformace je přesně ekvivalentní a nevede k důsledkové rovnici. Pojďme si vysvětlit, proč tomu tak je. Pokud víme, že transformace je ekvivalentní, pak výsledná rovnice rozhodně nebude mít kořeny mimo původní rovnici. A transformace vedoucí k důsledkové rovnici může být příčinou objevení se cizích kořenů, což nás zavazuje v budoucnu provést další akci - prosévat cizí kořeny. Proto se v této části článku zaměříme na transformace, v jejichž důsledku se pro původní rovnici mohou objevit cizí kořeny. A je opravdu důležité umět rozlišit takové transformace od ekvivalentních transformací, abychom jasně pochopili, kdy je nutné odfiltrovat cizí kořeny a kdy to není nutné.

Pojďme analyzovat celý seznam základních transformací rovnic uvedených ve druhém odstavci tohoto článku, abychom našli transformace, v jejichž důsledku se mohou objevit cizí kořeny.

• Nahrazení výrazů na levé a pravé straně rovnice identicky stejnými výrazy.

Prokázali jsme, že tato transformace je ekvivalentní, pokud její provedení nezmění ODZ. A pokud se změní DL, co se stane? Zúžení ODZ může vést ke ztrátě kořenů, více o tom promluvíme si v dalším odstavci. A s expanzí ODZ se mohou objevit cizí kořeny. Není těžké to ospravedlnit. Uveďme odpovídající zdůvodnění.

Nechť výraz C(x) je takový, že je shodně roven výrazu A(x) a OD pro rovnici C(x)=B(x) je širší než OD pro rovnici A(x)=B (x). Dokažme, že rovnice C(x)=B(x) je důsledkem rovnice A(x)=B(x), a že mezi kořeny rovnice C(x)=B(x) může být být kořeny, které jsou cizí rovnici A( x)=B(x) .

Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x) . Pak A(q)=B(q) je skutečná číselná rovnost. Protože ODZ pro rovnici C(x)=B(x) je širší než ODZ pro rovnici A(x)=B(x), pak je výraz C(x) definován jako x=q. Potom, vezmeme-li v úvahu identickou rovnost výrazů C(x) a A(x) , dojdeme k závěru, že C(q)=A(q) . Z rovností C(q)=A(q) a A(q)=B(q) díky vlastnosti tranzitivity vyplývá rovnost C(q)=B(q). Z této rovnosti vyplývá, že q je kořenem rovnice C(x)=B(x) . To dokazuje, že za zadaných podmínek je rovnice C(x)=B(x) důsledkem rovnice A(x)=B(x) .

Zbývá dokázat, že rovnice C(x)=B(x) může mít kořeny odlišné od kořenů rovnice A(x)=B(x). Dokažme, že libovolný kořen rovnice C(x)=B(x) z ODZ pro rovnici A(x)=B(x) je kořenem rovnice A(x)=B(x). Cesta p je kořenem rovnice C(x)=B(x), patřící do ODZ pro rovnici A(x)=B(x). Pak C(p)=B(p) je skutečná číselná rovnost. Protože p patří k ODZ pro rovnici A(x)=B(x), pak výraz A(x) je definován pro x=p. Z toho a ze shodné rovnosti výrazů A(x) a C(x) vyplývá, že A(p)=C(p) . Z rovnosti A(p)=C(p) a C(p)=B(p) díky vlastnosti tranzitivity vyplývá, že A(p)=B(p), což znamená, že p je kořenem rovnice A(x)= B(x) . To dokazuje, že jakýkoli kořen rovnice C(x)=B(x) z ODZ pro rovnici A(x)=B(x) je kořenem rovnice A(x)=B(x). Jinými slovy, na ODZ pro rovnici A(x)=B(x) nemohou být kořeny rovnice C(x)=B(x), což jsou cizí kořeny pro rovnici A(x)=B( x). Ale podle podmínky je ODZ pro rovnici C(x)=B(x) širší než ODZ pro rovnici A(x)=B(x). A to umožňuje existenci čísla r, které patří do ODZ pro rovnici C(x)=B(x) a nepatří do ODZ pro rovnici A(x)=B(x), což je kořen. rovnice C(x)=B(x). To znamená, že rovnice C(x)=B(x) může mít kořeny, které jsou cizí rovnici A(x)=B(x), a všechny budou patřit do množiny, do které ODZ pro rovnici A (x)=B je rozšířeno (x), když se v něm nahradí výraz A(x) shodně shodným výrazem C(x).

Nahrazení výrazů na levé a pravé straně rovnice identicky stejnými výrazy, v důsledku čehož se ODZ rozšiřuje, do obecný případ vede k důsledkové rovnici (to znamená, že může vést k objevení se cizích kořenů) a pouze v konkrétním případě vede k ekvivalentní rovnici (pokud výsledná rovnice nemá kořeny mimo původní rovnici).

Uveďme příklad provedení analyzované transformace. Nahrazení výrazu na levé straně rovnice shodně s ní rovnající se výrazem x·(x−1) vede k rovnici x·(x−1)=0, v tomto případě dochází k expanzi ODZ - k ní se přičte číslo 0. Výsledná rovnice má dva kořeny 0 a 1 a dosazením těchto kořenů do původní rovnice se ukáže, že 0 je cizí kořen pro původní rovnici a 1 je kořen původní rovnice. Dosazení nuly do původní rovnice totiž dává nesmyslný výraz , protože obsahuje dělení nulou a dosazení jedničky dává správnou číselnou rovnost , což je stejné jako 0=0 .

Všimněte si, že podobná transformace podobné rovnice do rovnice (x−1)·(x−2)=0, v důsledku čehož se ODZ také rozšiřuje, nevede ke vzniku vnějších kořenů. Oba kořeny výsledné rovnice (x−1)·(x−2)=0 - čísla 1 a 2 jsou totiž kořeny původní rovnice, což lze snadno ověřit kontrolou substitucí. Těmito příklady jsme ještě jednou chtěli zdůraznit, že nahrazení výrazu na levé nebo pravé straně rovnice shodně stejným výrazem, který rozšiřuje ODZ, nemusí nutně vést k výskytu cizích kořenů. Ale také to může vést k jejich vzhledu. Pokud tedy k takové transformaci došlo v procesu řešení rovnice, je nutné provést kontrolu, aby bylo možné identifikovat a odfiltrovat cizí kořeny.

Nejčastěji se rovnice ODZ může rozšířit a objevit se cizí kořeny v důsledku nahrazení rozdílu stejných výrazů nebo součtu výrazů nulou opačné znaky, z důvodu nahrazení nulou součinů s jedním nebo více nulovými faktory, z důvodu redukce zlomků a z důvodu využití vlastností odmocnin, mocnin, logaritmů atd.

• Přidání stejného čísla na obě strany rovnice nebo odečtení stejného čísla od obou stran rovnice.

Výše jsme ukázali, že tato transformace je vždy ekvivalentní, to znamená, že vede k ekvivalentní rovnici. Jdeme dál.

• Přidání stejného výrazu na obě strany rovnice nebo odečtení stejného výrazu z obou stran rovnice.

V předchozím odstavci jsme přidali podmínku, že ODZ pro sčítaný nebo odečítaný výraz by neměla být užší než ODZ pro transformovanou rovnici. Tato podmínka učinila dotyčnou transformaci ekvivalentní. Zde jsou argumenty podobné těm, které jsou uvedeny na začátku tohoto odstavce článku ohledně skutečnosti, že ekvivalentní rovnice je speciálním případem rovnice důsledků a že znalosti o ekvivalenci transformace jsou prakticky užitečnější než znalosti o stejné rovnici. transformace, ale z hlediska toho, že vede k důsledkové rovnici.

Je možné v důsledku přidání stejného výrazu nebo odečtení stejného výrazu od obou stran rovnice získat rovnici, která bude mít kromě všech kořenů původní rovnice ještě nějaké další kořeny? Ne, to nejde. Pokud ODZ pro výraz, který se sčítá nebo odečítá, není užší než ODZ pro původní rovnici, pak jako výsledek sčítání nebo odčítání bude získána ekvivalentní rovnice. Pokud je ODZ pro výraz, který se sčítá nebo odečítá, užší než ODZ pro původní rovnici, může to vést ke ztrátě kořenů, a nikoli k objevení se cizích kořenů. Více si o tom povíme v dalším odstavci.

• Přenesení členu z jedné části rovnice do druhé se znaménkem změněným na opačné.

Tato transformace rovnice je vždy ekvivalentní. Z výše uvedených důvodů tedy nemá smysl jej považovat za transformaci vedoucí k rovnici-důsledku.

• Násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným číslem.

V předchozím odstavci jsme dokázali, že pokud se násobení nebo dělení obou stran rovnice provádí nenulovým číslem, pak se jedná o ekvivalentní transformaci rovnice. Proto opět nemá smysl hovořit o něm jako o transformaci vedoucí k důsledkové rovnici.

Zde však stojí za to věnovat pozornost výhradě k rozdílu od nuly čísla, kterým se obě strany rovnice násobí nebo dělí. Pro rozdělení je tato klauzule jasná - s primární třídy uvědomili jsme si to Nelze dělit nulou. Proč tato věta pro násobení? Zamysleme se nad tím, k čemu dojde vynásobením obou stran rovnice nulou. Pro názornost si vezměme konkrétní rovnici, například 2 x+1=x+5. Jedná se o lineární rovnici, která má jediný kořen, kterým je číslo 4. Zapišme rovnici, kterou získáme vynásobením obou stran této rovnice nulou: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Je zřejmé, že kořenem této rovnice je libovolné číslo, protože když do této rovnice místo proměnné x dosadíte libovolné číslo, dostanete správnou číselnou rovnost 0=0. To znamená, že v našem příkladu vynásobení obou stran rovnice nulou vedlo k výsledné rovnici, která způsobila výskyt nekonečného počtu vnějších kořenů pro původní rovnici. Kromě toho stojí za zmínku, že v tomto případě obvyklé metody screeningu cizích kořenů nezvládají svůj úkol. To znamená, že provedená transformace je pro řešení původní rovnice nepoužitelná. A to je typická situace pro uvažovanou transformaci. To je důvod, proč se k řešení rovnic nepoužívá transformace, jako je násobení obou stran rovnice nulou. Ještě se musíme podívat na tuto transformaci a další transformace, které by se neměly používat k řešení rovnic v posledním odstavci.

• Násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným výrazem.

V předchozím odstavci jsme dokázali, že tato transformace je ekvivalentní, pokud jsou splněny dvě podmínky. Pojďme si je připomenout. První podmínka: OD pro tento výraz by nemělo být užší než OD pro původní rovnici. Druhá podmínka: výraz, kterým se provádí násobení nebo dělení, nesmí zaniknout na ODZ pro původní rovnici.

Změňme první podmínku, to znamená, že budeme předpokládat, že OD pro výraz, kterým plánujeme vynásobit nebo vydělit obě strany rovnice, je užší než OD pro původní rovnici. Výsledkem takové transformace bude rovnice, pro kterou bude ODZ užší než ODZ pro původní rovnici. Takové transformace mohou vést ke ztrátě kořenů, budeme o nich mluvit v dalším odstavci.

Co se stane, když odstraníme druhou podmínku o nenulových hodnotách výrazu, kterým se obě strany rovnice vynásobí nebo vydělí ODZ pro původní rovnici?

Vydělením obou stran rovnice stejným výrazem, který zmizí o OD pro původní rovnici, vznikne rovnice, jejíž OD je užší než OD pro původní rovnici. Ve skutečnosti z něj vypadnou čísla, čímž se výraz, kterým bylo dělení provedeno, změní na nulu. To může vést ke ztrátě kořenů.

Co takhle vynásobit obě strany rovnice stejným výrazem, který zmizí na ODZ pro původní rovnici? Lze ukázat, že když se obě strany rovnice A(x)=B(x) vynásobí výrazem C(x), pro který není ODZ užší než ODZ pro původní rovnici, a který zmizí o ODZ pro původní rovnici, rovnice je získána je důsledkem toho, že kromě všech kořenů rovnice A(x)=B(x) může mít i další kořeny. Udělejme to, zejména proto, že tento odstavec článku je přesně věnován transformacím vedoucím ke korolárním rovnicím.

Nechť výraz C(x) je takový, že ODZ pro něj není užší než ODZ pro rovnici A(x)=B(x) a zmizí na ODZ pro rovnici A(x)=B(x ). Dokažme, že v tomto případě je rovnice A(x)·C(x)=B(x)·C(x) důsledkem rovnice A(x)=B(x) .

Nechť q je kořenem rovnice A(x)=B(x) . Pak A(q)=B(q) je skutečná číselná rovnost. Protože ODZ pro výraz C(x) není užší než ODZ pro rovnici A(x)=B(x), pak je výraz C(x) definován jako x=q, což znamená, že C(q) je určité číslo. Vynásobením obou stran skutečné číselné rovnosti libovolným číslem získáte skutečnou číselnou rovnost, proto A(q)·C(q)=B(q)·C(q) je skutečnou číselnou rovností. To znamená, že q je kořenem rovnice A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . To dokazuje, že jakýkoli kořen rovnice A(x)=B(x) je kořenem rovnice A(x) C(x)=B(x) C(x), což znamená, že rovnice A(x) C(x)=B(x)·C(x) je důsledkem rovnice A(x)=B(x) .

Všimněte si, že za specifikovaných podmínek může mít rovnice A(x)·C(x)=B(x)·C(x) kořeny, které jsou cizí původní rovnici A(x)=B(x). Jsou to všechna čísla z ODZ pro původní rovnici, která změní výraz C(x) na nulu (všechna čísla, která změní výraz C(x) na nulu, jsou kořeny rovnice A(x) C(x)=B (x) C(x) , protože jejich dosazením do uvedené rovnice vznikne správná číselná rovnost 0=0 ), které však nejsou kořeny rovnice A(x)=B(x) . Rovnice A(x)=B(x) a A(x)·C(x)=B(x)·C(x) za specifikovaných podmínek budou ekvivalentní, když všechna čísla z ODZ pro rovnici A(x) )=B (x) , které způsobí, že výraz C(x) zmizí, jsou kořeny rovnice A(x)=B(x) .

Takže vynásobení obou stran rovnice stejným výrazem, pro který ODZ není užší než ODZ pro původní rovnici, a který zmizí o ODZ pro původní rovnici, v obecném případě vede k důsledkové rovnici, která to může vést ke vzniku cizích kořenů.

Pro ilustraci uveďme příklad. Vezměme rovnici x+3=4. Jeho jediným kořenem je číslo 1. Vynásobme obě strany této rovnice stejným výrazem, který zaniká o ODZ pro původní rovnici, například x·(x−1) . Tento výraz zmizí při x=0 a x=1. Vynásobením obou stran rovnice tímto výrazem dostaneme rovnici (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Výsledná rovnice má dva kořeny: 1 a 0. Číslo 0 je cizí kořen pro původní rovnici, která se objevila jako výsledek transformace.

Transformace, které mohou vést ke ztrátě kořenů

Některé konverze za určitých podmínek mohou vést ke ztrátě kořenů. Například při dělení obou stran rovnice x·(x−2)=x−2 stejným výrazem x−2 se kořen ztratí. V důsledku takové transformace skutečně získáme rovnici x=1 s jediným kořenem, což je číslo 1, a původní rovnice má dva kořeny 1 a 2.

Je nutné jasně pochopit, kdy se kořeny ztrácejí v důsledku transformací, aby nedošlo ke ztrátě kořenů při řešení rovnic. Pojďme na to přijít.

V důsledku těchto transformací může dojít ke ztrátě kořenů právě tehdy, když se ODZ pro transformovanou rovnici ukáže být užší než ODZ pro původní rovnici.

K prokázání tohoto tvrzení je třeba doložit dva body. Nejprve je nutné dokázat, že pokud dojde v důsledku naznačených transformací rovnice k zúžení ODZ, pak může dojít ke ztrátě kořenů. A za druhé je třeba zdůvodnit, že pokud v důsledku těchto transformací dojde ke ztrátě kořenů, pak je ODZ pro výslednou rovnici užší než ODZ pro rovnici původní.

Pokud je ODZ pro rovnici získanou v důsledku transformace užší než ODZ pro původní rovnici, pak přirozeně nemůže být kořenem rovnice ani jeden kořen původní rovnice umístěný mimo ODZ pro výslednou rovnici. získané jako výsledek transformace. To znamená, že všechny tyto kořeny se ztratí při přechodu z původní rovnice na rovnici, pro kterou je ODZ užší než ODZ pro původní rovnici.

Teď zpět. Dokažme, že pokud v důsledku těchto transformací dojde ke ztrátě kořenů, pak je ODZ pro výslednou rovnici užší než ODZ pro rovnici původní. To lze provést opačnou metodou. Předpoklad, že v důsledku těchto transformací dochází ke ztrátě kořenů, ale nedochází k zúžení ODZ, je v rozporu s tvrzeními prokázanými v předchozích odstavcích. Z těchto tvrzení totiž vyplývá, že pokud při provádění naznačených transformací nedojde k zúžení ODZ, pak se získají buď ekvivalentní rovnice, nebo rovnice důsledků, což znamená, že nemůže dojít ke ztrátě kořenů.

Důvodem možné ztráty kořenů při provádění základních transformací rovnic je tedy zúžení ODZ. Je jasné, že při řešení rovnic bychom neměli ztrácet kořeny. Zde přirozeně vyvstává otázka: „Co dělat, abychom při transformaci rovnic neztratili kořeny“? Na to odpovíme v dalším odstavci. Nyní si projdeme seznam základních transformací rovnic, abychom se podrobněji podívali, které transformace mohou vést ke ztrátě kořenů.

• Nahrazení výrazů na levé a pravé straně rovnice identicky stejnými výrazy.

Pokud nahradíte výraz na levé nebo pravé straně rovnice identicky stejným výrazem, jehož ODZ je užší než ODZ původní rovnice, povede to ke zúžení ODZ a v důsledku toho budou kořeny může být ztraceno. Nejčastěji dochází k nahrazení výrazů na levé nebo pravé straně rovnic shodně stejnými výrazy, prováděné na základě některých vlastností odmocnin, mocnin, logaritmů a některých trigonometrické vzorce. Například nahrazení výrazu na levé straně rovnice identicky stejným výrazem zúží ODZ a vede ke ztrátě kořene −16. Podobně nahrazení výrazu na levé straně rovnice stejně stejným výrazem vede k rovnici, jejíž ODZ je užší než ODZ původní rovnice, což má za následek ztrátu kořene −3.

• Přidání stejného čísla na obě strany rovnice nebo odečtení stejného čísla od obou stran rovnice.

Tato transformace je ekvivalentní, proto při její implementaci nelze ztratit kořeny.

• Přidání stejného výrazu na obě strany rovnice nebo odečtení stejného výrazu z obou stran rovnice.

Pokud přidáte nebo odečtete výraz, jehož ODZ je užší než ODZ pro původní rovnici, povede to ke zúžení ODZ a v důsledku toho k možné ztrátě kořenů. Stojí za to mít to na paměti. Zde však stojí za zmínku, že v praxi je obvykle nutné uchýlit se k přidávání nebo odečítání výrazů, které jsou přítomny v záznamu původní rovnice, což nevede ke změně ODZ a nevede ke ztrátě kořenů.

• Přenesení členu z jedné části rovnice do druhé se znaménkem změněným na opačné.

Tato transformace rovnice je ekvivalentní, proto v důsledku její implementace nedochází ke ztrátě kořenů.

• Násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným číslem jiným než nula.

Tato transformace je také ekvivalentní a díky ní nedochází ke ztrátě kořenů.

• Násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným výrazem.

Tato transformace může vést ke zúžení OD ve dvou případech: když je OD pro výraz, kterým se násobení nebo dělení provádí, užší než OD pro původní rovnici, a když se dělení provádí výrazem, který se stává nula na OD pro původní rovnici. Všimněte si, že v praxi obvykle není nutné uchýlit se k násobení a dělení obou stran rovnice výrazem s užším VA. Musíte se ale vypořádat s dělením výrazem, který se pro původní rovnici změní na nulu. Existuje metoda, která vám umožní vyrovnat se se ztrátou kořenů při takovém dělení, o tom budeme hovořit v dalším odstavci tohoto článku.

Jak se vyhnout ztrátě kořenů?

Pokud použijete pouze transformace z do transformačních rovnic a zároveň neumožníte zúžení ODZ, ke ztrátě kořenů nedojde.

Znamená to, že nelze provést žádné další transformace rovnic? Ne, to neznamená. Pokud vymyslíte nějakou jinou transformaci rovnice a plně ji popíšete, tedy naznačíte, kdy k tomu vede ekvivalentní rovnice, kdy - k rovnicím-důsledkům, a kdy to může vést ke ztrátě kořenů, pak by to klidně mohlo být přijato.

Měli bychom úplně opustit reformy, které by zužovaly DPD? Neměl bys to dělat. Nebylo by na škodu ponechat si ve svém arzenálu transformace, ve kterých vypadne konečný počet čísel z ODZ pro původní rovnici. Proč by se takové transformace neměly vzdát? Protože existuje metoda, jak se v takových případech vyhnout ztrátě kořenů. Spočívá v samostatné kontrole čísel vypadávajících z ODZ, zda mezi nimi nejsou kořeny původní rovnice. Můžete to zkontrolovat dosazením těchto čísel do původní rovnice. Ty z nich, které po dosazení dávají správnou číselnou rovnost, jsou kořeny původní rovnice. Je třeba je zahrnout do odpovědi. Po takové kontrole můžete bezpečně provést plánovanou transformaci bez obav ze ztráty kořenů.

Typická transformace, ve které je ODZ pro rovnici zúžena na několik čísel, je vydělit obě strany rovnice stejným výrazem, který se v několika bodech stane nulou od ODZ pro původní rovnici. Tato transformace je základem metody řešení reciproké rovnice. Používá se ale i k řešení jiných typů rovnic. Uveďme příklad.

Rovnici lze vyřešit zavedením nové proměnné. Chcete-li zavést novou proměnnou, musíte vydělit obě strany rovnice 1+x. Ale s takovým dělením může dojít ke ztrátě kořene, protože ačkoli ODZ pro výraz 1+x není užší než ODZ pro původní rovnici, výraz 1+x se stane nulou v x=−1 a toto číslo patří do ODZ pro původní rovnici. To znamená, že kořen −1 může být ztracen. Chcete-li eliminovat ztrátu kořene, měli byste samostatně zkontrolovat, zda −1 je kořen původní rovnice. Chcete-li to provést, můžete do původní rovnice dosadit −1 a uvidíte, jakou dostanete rovnost. V našem případě substituce dává rovnost, která je stejná jako 4=0. Tato rovnost je nepravdivá, což znamená, že −1 není kořenem původní rovnice. Po takové kontrole můžete provést zamýšlené dělení obou stran rovnice 1 + x, aniž byste se museli obávat, že může dojít ke ztrátě kořenů.

Na závěr tohoto odstavce se ještě jednou vraťme k rovnicím z předchozího odstavce a. Transformace těchto rovnic na základě identit a vede k zúžení ODZ a to má za následek ztrátu kořenů. V tuto chvíli jsme si řekli, že abychom neztratili kořeny, musíme opustit reformy, které zužují DZ. To znamená, že tyto transformace musí být opuštěny. Ale co máme dělat? Je možné provádět transformace, které nejsou založeny na identitách a , kvůli kterému dochází ke zúžení ODZ, a na základě identit a . V důsledku přechodu z původních rovnic a na rovnice a nedochází k zúžení ODZ, což znamená, že nedojde ke ztrátě kořenů.

Zde zvláště poznamenáváme, že při nahrazování výrazů identicky stejnými výrazy musíte pečlivě zajistit, aby výrazy byly přesně identicky stejné. Například v rov. je nemožné nahradit výraz x+3 výrazem, aby se zjednodušil vzhled levé strany to , protože výrazy x+3 a nejsou shodně stejné, protože jejich hodnoty se v x+3 neshodují<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Transformace rovnic, které by se neměly používat

Transformace uvedené v tomto článku jsou pro praktické potřeby obvykle dostačující. To znamená, že byste se neměli příliš obtěžovat vymýšlením dalších transformací, je lepší se zaměřit na správné použití již osvědčených.

Literatura

1. Mordkovich A.G. Algebra a počátky matematické analýzy. 11. třída. Ve 2 hodinách 1. část. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algebra a začátek matematické analýzy. 10. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce: základní a profilové. úrovně / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 2010.- 368 s.: il.-ISBN 978-5-09-022771-1.