FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ

STÁTNÍ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE

VYŠŠÍ ODBORNÉ VZDĚLÁNÍ

"VORONEŽSKÁ STÁTNÍ PEDAGOGICKÁ UNIVERZITA"

KATEDRA AGLEBRA A GEOMETRIE

Komplexní čísla

(vybrané úkoly)

ABSOLVENTSKÁ KVALIFIKAČNÍ PRÁCE

odbornost 050201.65 matematika

(s další specializací 050202.65 informatika)

Vyplnil: student 5. ročníku

fyzikální a matematické

fakulta

Vědecký poradce:

VORONĚŽ – 2008

1. Úvod……………………………………………………...…………..…

2. Komplexní čísla (vybrané problémy)

2.1. Komplexní čísla v algebraický tvar….……...……….….

2.2. Geometrická interpretace komplexních čísel …………………………

2.3. Trigonometrický tvar komplexních čísel

2.4. Aplikace teorie komplexních čísel na řešení rovnic 3. a 4. stupně……………..……………………………………………………………………

2.5. Komplexní čísla a parametry ………………………………………….

3. Závěr……………………………………………………………………………………….

4. Seznam referencí………………………………………………………………………

1. Úvod

Ve školním matematickém učivu je teorie čísel zavedena na příkladech množin přirozených čísel, celých čísel, racionálních, iracionálních, tzn. na množině reálných čísel, jejichž obrázky vyplňují celou číselnou řadu. Ale už v 8. třídě není dostatečná zásoba reálných čísel, řešení kvadratických rovnic se záporným diskriminantem. Proto bylo nutné doplnit zásoby reálných čísel pomocí komplexních čísel, u kterých Odmocnina z záporné číslo má význam.

Volba tématu „Komplexní čísla“ jako téma diplomky kvalifikační práce, spočívá v tom, že pojem komplexní číslo rozšiřuje znalosti studentů o číselných soustavách, o řešení široké třídy problémů algebraického i geometrického obsahu, o řešení algebraické rovnice jakéhokoli stupně a o řešení problémů s parametry.

Tato práce se zabývá řešením 82 problémů.

První část hlavní části „Komplexní čísla“ obsahuje řešení problémů s komplexní čísla v algebraické formě jsou definovány operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, operace konjugace pro komplexní čísla v algebraické formě, mocnina imaginární jednotky, modul komplexního čísla a pravidlo pro extrakci druhé odmocniny z je uvedeno i komplexní číslo.

V druhé části jsou řešeny problémy geometrické interpretace komplexních čísel ve formě bodů nebo vektorů komplexní roviny.

Třetí část zkoumá operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru. Použité vzorce jsou: Moivre a extrahování odmocniny komplexního čísla.

Čtvrtá část je věnována řešení rovnic 3. a 4. stupně.

Při řešení úloh v poslední části „Komplexní čísla a parametry“ jsou použity a konsolidovány informace uvedené v předchozích částech. Řada úloh v kapitole je věnována určování rodin čar v komplexní rovině definované rovnicemi (nerovnicemi) s parametrem. V části cvičení je potřeba řešit rovnice s parametrem (nad polem C). Existují úlohy, kde komplexní proměnná současně splňuje řadu podmínek. Zvláštností řešení úloh v této části je redukce řady z nich na řešení rovnic (nerovnic, soustav) druhého stupně, iracionální, goniometrické s parametrem.

Charakteristickým rysem prezentace materiálu v každé části je počáteční vstup teoretické základy, a následně jejich praktické uplatnění při řešení problémů.

Na konci teze je uveden seznam použité literatury. Většina z nich předkládá dostatečně podrobně a přístupným způsobem teoretický materiál, zvažuje řešení některých problémů a podává praktické úkoly Pro nezávislé rozhodnutí. Speciální pozornost Rád bych odkázal na takové zdroje, jako jsou:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplexní čísla a jejich aplikace: Učebnice. . Materiál učební pomůcka prezentovány formou přednášek a praktických cvičení.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Vybrané problémy a věty elementární matematiky. Aritmetika a algebra. Kniha obsahuje 320 problémů týkajících se algebry, aritmetiky a teorie čísel. Tyto úkoly se svým charakterem výrazně liší od standardních školních úkolů.

2. Komplexní čísla (vybrané problémy)

2.1. Komplexní čísla v algebraickém tvaru

Řešení mnoha problémů v matematice a fyzice spočívá v řešení algebraických rovnic, tzn. rovnice tvaru

,

kde a0, a1, …, an jsou reálná čísla. Proto je studium algebraických rovnic jedním z nich kritické problémy v matematice. Například kvadratická rovnice s negativní diskriminant. Nejjednodušší takovou rovnicí je rovnice

.

Aby tato rovnice měla řešení, je nutné rozšířit množinu reálných čísel přidáním kořene rovnice

.

Označme tento kořen pomocí

. Tedy podle definice, resp.

proto,

. nazývaná pomyslná jednotka. S jeho pomocí a pomocí dvojice reálných čísel se sestaví vyjádření tvaru.

Výsledný výraz byl nazýván komplexními čísly, protože obsahoval reálné i imaginární části.

Komplexní čísla jsou tedy vyjádřením tvaru

, a jsou reálná čísla a je určitým symbolem, který splňuje podmínku . Číslo se nazývá reálná část komplexního čísla a číslo je jeho imaginární částí. K jejich označení se používají symboly .

Komplexní čísla formuláře

jsou reálná čísla, a proto množina komplexních čísel obsahuje množinu reálných čísel.

Komplexní čísla formuláře

se nazývají čistě imaginární. Dvě komplexní čísla tvaru a se říká, že jsou si rovna, pokud jsou jejich reálné a imaginární části stejné, tzn. pokud rovnost , .

Algebraický zápis komplexních čísel umožňuje operace s nimi podle obvyklých pravidel algebry.

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. Pro přehlednost vyřešme následující problém:

Vypočítejte \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\], pokud \

Nejprve si dejte pozor na to, že jedno číslo je uvedeno v algebraickém tvaru, druhé v goniometrickém tvaru. Je třeba jej zjednodušit a převést do následující podoby

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Výraz \ říká, že nejprve provedeme násobení a zvýšení na 10. mocninu pomocí Moivreho vzorce. Tento vzorec je formulován pro trigonometrický tvar komplexního čísla. Dostaneme:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Podle pravidel pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru uděláme následující:

V našem případě:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Upravením zlomku \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] dojdeme k závěru, že můžeme „otočit“ 4 otáčky \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odpověď: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Tato rovnice může být vyřešena jiným způsobem, který se scvrkává na převedení 2. čísla do algebraického tvaru, pak provedení násobení v algebraickém tvaru, převedení výsledku do goniometrického tvaru a použití Moivreova vzorce:

Kde mohu vyřešit systém rovnic s komplexními čísly online?

Systém rovnic můžete vyřešit na našem webu https://site. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Na našem webu si také můžete prohlédnout video návod a naučit se rovnici řešit. A pokud máte další otázky, můžete je položit v naší skupině VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.

Chcete-li vyřešit problémy s komplexními čísly, musíte porozumět základním definicím. Hlavním cílem tohoto přehledového článku je vysvětlit, co jsou komplexní čísla, a představit metody řešení základních problémů s komplexními čísly. Komplexní číslo se tedy bude nazývat číslem formuláře z = a + bi, Kde a, b- reálná čísla, která se nazývají reálná a imaginární část komplexního čísla a označují a = Re(z), b=Im(z).
i nazývaná pomyslná jednotka. i2 = -1. Zejména jakékoli reálné číslo lze považovat za komplexní: a = a + 0i, kde a je skutečné. Li a = 0 A b ≠ 0, pak se číslo obvykle nazývá čistě imaginární.

Nyní si představíme operace s komplexními čísly.
Uvažujme dvě komplexní čísla z 1 = a 1 + b 1 i A z2 = a2 + b2 i.

Uvažujme z = a + bi.

Množina komplexních čísel rozšiřuje množinu reálných čísel, která zase rozšiřuje množinu racionální čísla atd. Tento řetězec investic je vidět na obrázku: N – celá čísla, Z - celá čísla, Q - racionální, R - reálná, C - komplexní.

Reprezentace komplexních čísel

Algebraický zápis.

Zvažte komplexní číslo z = a + bi, tato forma zápisu komplexního čísla se nazývá algebraický. Tuto formu záznamu jsme již podrobně rozebrali v předchozí části. Následující vizuální kresba se používá poměrně často

Trigonometrický tvar.

Z obrázku je vidět, že číslo z = a + bi se dá napsat jinak. To je zřejmé a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, tedy z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se nazývá argument komplexního čísla. Tato reprezentace komplexního čísla se nazývá trigonometrický tvar. Trigonometrická forma zápisu je někdy velmi výhodná. Například je vhodné jej použít k umocnění komplexního čísla na celočíselnou mocninu, jmenovitě pokud z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Že z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, tento vzorec se nazývá Moivreův vzorec.

Demonstrativní forma.

Uvažujme z = rcos(φ) + rsin(φ)i- komplexní číslo v goniometrickém tvaru, zapište ho v jiném tvaru z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, poslední rovnost vyplývá z Eulerova vzorce, takže dostáváme nová uniforma zápis komplexních čísel: z = re iφ, který se nazývá orientační. Tato forma zápisu je také velmi vhodná pro zvýšení komplexního čísla na mocninu: z n = r n e inφ, Tady n nemusí být nutně celé číslo, ale může to být libovolné reálné číslo. Tato forma zápisu se poměrně často používá k řešení problémů.

Základní věta vyšší algebry

Představme si, že máme kvadratickou rovnici x 2 + x + 1 = 0. Je zřejmé, že diskriminant této rovnice je záporný a nemá žádné skutečné kořeny, ale ukázalo se, že tato rovnice má dva různé komplexní kořeny. Základní věta vyšší algebry tedy říká, že každý polynom stupně n má alespoň jeden komplexní kořen. Z toho vyplývá, že každý polynom stupně n má právě n komplexních kořenů, vezmeme-li v úvahu jejich násobnost. Tato věta je velmi důležitým výsledkem v matematice a je široce používána. Jednoduchý důsledek této věty je, že existuje přesně n různé kořeny stupeň n jednoty.

Hlavní typy úkolů

Tato část se bude zabývat hlavními typy jednoduché úkoly na komplexní čísla. Obvykle lze problémy zahrnující komplexní čísla rozdělit do následujících kategorií.

• Provádění jednoduchých aritmetických operací na komplexních číslech.
• Hledání kořenů polynomů v komplexních číslech.
• Zvyšování komplexních čísel na mocniny.
• Získávání odmocnin z komplexních čísel.
• Použití komplexních čísel k řešení jiných problémů.

Nyní uvažujme obecné technikyřešení těchto problémů.

Nejjednodušší aritmetické operace s komplexními čísly se provádějí podle pravidel popsaných v první části, ale pokud jsou komplexní čísla prezentována v goniometrických nebo exponenciálních tvarech, pak je v tomto případě můžete převést do algebraické formy a provádět operace podle známých pravidel.

Hledání kořenů polynomů obvykle spočívá v hledání kořenů kvadratická rovnice. Předpokládejme, že máme kvadratickou rovnici, pokud je její diskriminant nezáporný, pak její kořeny budou reálné a lze je najít podle známého vzorce. Pokud je diskriminant záporný, tzn. D = -1∙a 2, Kde A je určité číslo, pak může být diskriminant reprezentován jako D = (ia) 2, tedy √D = i|a| a poté můžete použít známý vzorec pro kořeny kvadratické rovnice.

Příklad. Vraťme se ke kvadratické rovnici uvedené výše x 2 + x + 1 = 0.
diskriminační - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Nyní můžeme snadno najít kořeny:

Zvýšení komplexních čísel na mocniny lze provést několika způsoby. Pokud potřebujete zvýšit komplexní číslo v algebraickém tvaru na malou mocninu (2 nebo 3), můžete to udělat přímým násobením, ale pokud je mocnina větší (v problémech je často mnohem větší), musíte zapište toto číslo v goniometrických nebo exponenciálních tvarech a použijte již známé metody.

Příklad. Uvažujme z = 1 + i a uveďme jej na desátou mocninu.
Zapišme z v exponenciálním tvaru: z = √2 e iπ/4.
Pak z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vraťme se k algebraickému tvaru: z 10 = -32i.

Extrahování odmocnin z komplexních čísel je inverzní operace umocňování, a proto se provádí podobným způsobem. K extrakci odmocnin se často používá exponenciální forma zápisu čísla.

Příklad. Pojďme najít všechny kořeny stupně 3 jednoty. K tomu najdeme všechny kořeny rovnice z 3 = 1, budeme hledat kořeny v exponenciálním tvaru.
Dosadíme do rovnice: r 3 e 3iφ = 1 nebo r 3 e 3iφ = e 0 .
Tedy: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, tedy φ = 2πk/3.
Různé kořeny se získají při φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Proto 1, e i2π/3, e i4π/3 jsou kořeny.
Nebo v algebraické podobě:

Poslední typ problémů zahrnuje obrovskou škálu problémů a neexistují žádné obecné metody pro jejich řešení. Uveďme si jednoduchý příklad takové úlohy:

Najděte částku sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Přestože formulace tohoto problému nezahrnuje komplexní čísla, lze jej s jejich pomocí snadno vyřešit. K jeho vyřešení se používají následující reprezentace:


Pokud nyní tuto reprezentaci dosadíme do součtu, pak se problém zredukuje na sečtení obvyklé geometrické posloupnosti.

Závěr

Komplexní čísla jsou v matematice široce používána, tento přehledový článek zkoumal základní operace s komplexními čísly, popsal několik typů standardních problémů a stručně popsal obecné metody jejich řešení, pro podrobnější studium schopností komplexních čísel se doporučuje použít odbornou literaturu.

Literatura

Výrazy, rovnice a soustavy rovnic
s komplexními čísly

Dnes si v hodinách procvičíme typické operace s komplexními čísly a také si osvojíme techniku ​​řešení výrazů, rovnic a soustav rovnic, které tato čísla obsahují. Tento workshop je pokračováním lekce, a proto pokud se v tématu dobře neorientujete, přejděte prosím na výše uvedený odkaz. Pro připravenější čtenáře doporučuji, abyste se hned zahřáli:

Příklad 1

Zjednodušte výraz , Pokud . Reprezentujte výsledek v goniometrickém tvaru a vykreslete jej do komplexní roviny.

Řešení: takže musíte zlomek nahradit „strašným“ zlomkem, provést zjednodušení a převést výsledek komplexní číslo PROTI trigonometrický tvar . Plus kresba.

Jaký je nejlepší způsob, jak formalizovat rozhodnutí? S "důmyslným" algebraický výraz Je lepší to pochopit krok za krokem. Za prvé je pozornost méně rozptýlena a za druhé, pokud není úkol přijat, bude mnohem snazší najít chybu.

1) Nejprve zjednodušíme čitatele. Dosadíme do něj hodnotu, otevřeme závorky a upravíme účes:

...Ano, takový Quasimodo vzešel z komplexních čísel...

Připomínám, že při transformacích se používají úplně jednoduché věci - pravidlo násobení polynomů a rovnost, která se již stala banální. Hlavní je být opatrný a nenechat se zmást znameními.

2) Nyní přichází na řadu jmenovatel. Pokud , pak:

Všimněte si, v jaké neobvyklé interpretaci se používá vzorec čtvercového součtu . Případně můžete provést přeuspořádání zde podvzorec Výsledky budou přirozeně stejné.

3) A nakonec celý výraz. Pokud , pak:

Chcete-li se zlomku zbavit, vynásobte čitatel a jmenovatel sdruženým výrazem jmenovatele. Zároveň pro účely aplikace vzorce čtvercového rozdílu musí nejprve (a už je to nutnost!) dejte zápornou skutečnou část na 2. místo:

A teď hlavní pravidlo:

NESPĚCHÁME! Je lepší hrát na jistotu a udělat krok navíc.
Ve výrazech, rovnicích a soustavách s komplexními čísly, troufalé slovní výpočty napínavější než kdy jindy!

V posledním kroku došlo k dobrému snížení a to je jen skvělé znamení.

Poznámka : přísně vzato, zde došlo k dělení komplexního čísla komplexním číslem 50 (to si pamatujte). O této nuanci jsem dosud mlčel a budeme o tom mluvit o něco později.

Označme náš úspěch písmenem

Uveďme získaný výsledek v trigonometrickém tvaru. Obecně řečeno, zde se můžete obejít bez výkresu, ale protože je to vyžadováno, je poněkud racionálnější to udělat hned teď:

Vypočítejme modul komplexního čísla:

Pokud kreslíte na stupnici 1 jednotky. = 1 cm (2 buňky notebooku), pak lze získanou hodnotu snadno zkontrolovat pomocí běžného pravítka.

Pojďme najít argument. Protože se číslo nachází ve 2. souřadnicové čtvrtině, pak:

Úhel lze snadno zkontrolovat pomocí úhloměru. To je nepochybná výhoda kresby.

Tedy: – požadovaný počet v trigonometrickém tvaru.

Pojďme zkontrolovat:
, což bylo to, co bylo potřeba ověřit.

Je vhodné najít pomocí neznámých hodnot sinus a kosinus trigonometrická tabulka .

Odpovědět:

Podobný příklad pro nezávislé řešení:

Příklad 2

Zjednodušte výraz , Kde . Nakreslete výsledné číslo na komplexní rovinu a zapište ho v exponenciálním tvaru.

Pokuste se nepřeskočit tutoriály. Mohou se zdát jednoduché, ale bez tréninku je „dostat se do louže“ nejen snadné, ale velmi snadné. Proto to „dostaneme do rukou“.

Problém má často více než jedno řešení:

Příklad 3

Spočítejte, pokud,

Řešení: v první řadě si dejte pozor na původní podmínku - jedno číslo je uvedeno v algebraickém a druhé v goniometrickém tvaru a dokonce i se stupni. Okamžitě to přepišme do známější podoby: .

Jakou formou by měly být výpočty provedeny? Výraz samozřejmě zahrnuje první násobení a další zvýšení na 10. mocninu Moivreův vzorec , který je formulován pro trigonometrický tvar komplexního čísla. Zdá se tedy logičtější převést první číslo. Pojďme najít jeho modul a argument:

Používáme pravidlo pro násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
pokud, tak

Když zlomek uděláme správně, dojdeme k závěru, že můžeme „otočit“ 4 otáčky ( rád.):

Druhé řešení je převést 2. číslo do algebraického tvaru , proveďte násobení v algebraickém tvaru, převeďte výsledek do goniometrického tvaru a použijte Moivreův vzorec.

Jak vidíte, existuje jedna akce „navíc“. Ti, kteří si přejí, mohou rozhodnutí dokončit a ujistit se, že výsledky jsou stejné.

Podmínka neříká nic o tvaru konečného komplexního čísla, takže:

Odpovědět:

Ale „pro krásu“ nebo na vyžádání, výsledek není těžké si představit v algebraické podobě:

Na vlastní pěst:

Příklad 4

Zjednodušte výraz

Zde si musíme připomenout akce s tituly , i když jeden užitečné pravidlo V návodu to není, tady je: .

A ještě jedna důležitá poznámka: příklad lze řešit ve dvou stylech. První možností je pracovat s dvačísla a být v pohodě se zlomky. Druhou možností je reprezentovat každé číslo jako podíl dvou čísel: A zbavit se čtyřpatrové struktury . Z formálního hlediska je jedno, jak se rozhodnete, ale je tu podstatný rozdíl! Dobře si promyslete:
je komplexní číslo;
je podíl dvou komplexních čísel ( a ), ale v závislosti na kontextu můžete také říci toto: číslo reprezentované jako podíl dvou komplexních čísel.

Rychlé řešení a odpověď na konci lekce.

Výrazy jsou dobré, ale rovnice jsou lepší:

Rovnice s komplexními koeficienty

Jak se liší od "obyčejné" rovnice? šance =)

Ve světle výše uvedeného komentáře začněme tímto příkladem:

Příklad 5

Vyřešte rovnici

A bezprostřední preambule „v patách“: zpočátku pravá část rovnice je umístěna jako podíl dvou komplexních čísel (a 13), a proto by bylo špatné přepisovat podmínku číslem (ačkoli to nezpůsobí chybu). Tento rozdíl je mimochodem jasněji viditelný ve zlomku - pokud, relativně vzato, pak je tato hodnota primárně chápána jako "plný" komplexní kořen rovnice, a ne jako dělitel čísla a zvláště ne jako část čísla!

Řešení, v zásadě lze také uspořádat krok za krokem, ale v v tomto případě hra nestojí za svíčku. Počátečním úkolem je zjednodušit vše, co neobsahuje neznámé „z“, čímž se rovnice zredukuje do tvaru:

S jistotou zjednodušujeme střední zlomek:

Výsledek přeneseme na pravou stranu a najdeme rozdíl:

Poznámka : a opět upozorňuji na smysluplnou pointu - zde jsme neodečítali číslo od čísla, ale přivedli zlomky na společného jmenovatele! Je třeba poznamenat, že již v průběhu řešení není zakázáno pracovat s čísly: , nicméně v uvažovaném příkladu je tento styl spíše škodlivý než užitečný =)

Podle pravidla proporce vyjadřujeme „zet“:

Nyní můžete opět dělit a násobit konjugátem, ale podezřele podobná čísla v čitateli a jmenovateli naznačují další krok:

Odpovědět:

Pro kontrolu dosadíme výslednou hodnotu do levá strana původní rovnice a udělejme pár zjednodušení:

– získá se pravá strana původní rovnice, tedy kořen je nalezen správně.

...teď, ​​teď... najdu pro vás něco zajímavějšího... tady to máte:

Příklad 6

Vyřešte rovnici

Tato rovnice se redukuje na tvar , což znamená, že je lineární. Myslím, že nápověda je jasná – jděte do toho!

Samozřejmě... jak můžeš žít bez něj:

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

Na lekci Komplexní čísla pro figuríny dozvěděli jsme se, že kvadratická rovnice s reálnými koeficienty může mít konjugované komplexní kořeny, načež vyvstává logická otázka: proč vlastně samotné koeficienty nemohou být komplexní? Dovolte mi formulovat obecný případ:

Kvadratická rovnice s libovolnými komplexními koeficienty (z nichž 1 nebo 2 nebo všechny tři mohou být zejména platné) Má to dva a jen dva komplexní kořen (možná jeden nebo oba platné). Zároveň kořeny (skutečné i s nenulovou imaginární částí) může se shodovat (být násobkem).

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty je řešena pomocí stejného schématu jako "školní" rovnice , s některými rozdíly v technice výpočtu:

Příklad 7

Najděte kořeny kvadratické rovnice

Řešení: imaginární jednotka je na prvním místě a v zásadě se jí můžete zbavit (vynásobením obou stran) k tomu však není žádná zvláštní potřeba.

Pro usnadnění zapisujeme koeficienty:

Neztraťme „mínus“ bezplatného člena! ...To nemusí být každému jasné - přepíšu rovnici standardní forma :

Spočítejme si diskriminant:

A zde je hlavní překážka:

aplikace obecný vzorec extrakce kořenů (viz poslední odstavec článku Komplexní čísla pro figuríny ) komplikovaný vážnými obtížemi spojenými s radikálním argumentem komplexních čísel (podívej se sám). Existuje však i jiný, „algebraický“ způsob! Kořen budeme hledat ve tvaru:

Udělejme čtverec na obě strany:

Dvě komplexní čísla jsou si rovna, pokud se jejich skutečná a imaginární část rovnají. Tak dostáváme následující systém:

Systém se snáze řeší výběrem (důkladnější způsob je vyjádřit z 2. rovnice - dosadit do 1., získat a vyřešit bikvadratickou rovnici). Za předpokladu, že autorem problému není monstrum, předkládáme hypotézu, že a jsou celá čísla. Z 1. rovnice vyplývá, že „x“ modulo více než "Y". Pozitivní produkt nám navíc říká, že neznámí jsou stejného znaménka. Na základě výše uvedeného a se zaměřením na 2. rovnici zapíšeme všechny dvojice, které se s ní shodují:

Je zřejmé, že 1. rovnici soustavy splňují poslední dvě dvojice, tedy:

Průběžná kontrola by neuškodila:

což bylo to, co bylo potřeba zkontrolovat.

Můžete si vybrat jako „pracovní“ kořen žádný význam. Je jasné, že je lepší vzít verzi bez „proti“:

Nacházíme kořeny, mimochodem nezapomínáme, že:

Odpovědět:

Zkontrolujme, zda nalezené kořeny splňují rovnici :

1) Nahradíme:

opravdová rovnost.

2) Nahradíme:

opravdová rovnost.

Řešení bylo tedy nalezeno správně.

Na základě problému, o kterém jsme právě diskutovali:

Příklad 8

Najděte kořeny rovnice

Je třeba poznamenat, že druhá odmocnina z čistě komplexníčísla lze snadno extrahovat pomocí obecného vzorce , Kde , takže v ukázce jsou uvedeny obě metody. Druhá užitečná poznámka se týká skutečnosti, že předběžná extrakce odmocniny konstanty řešení vůbec nezjednodušuje.

Nyní si můžete odpočinout - v tomto příkladu vám unikne mírné zděšení :)

Příklad 9

Vyřešte rovnici a zkontrolujte

Řešení a odpovědi na konci lekce.

Poslední odstavec článku je věnován

soustava rovnic s komplexními čísly

Uvolněme se a...nenapínajme se =) Uvažujme nejjednodušší případ – soustavu dvou lineární rovnice se dvěma neznámými:

Příklad 10

Řešte soustavu rovnic. Prezentujte odpověď v algebraické a exponenciální formě, znázorněte kořeny v kresbě.

Řešení: podmínka sama o sobě naznačuje, že systém má jedinečné řešení, to znamená, že musíme najít dvě čísla, která vyhovují ke každému rovnice systému.

Systém lze skutečně řešit „dětským“ způsobem (vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé ) , nicméně použití je mnohem pohodlnější Cramerovy vzorce . Pojďme počítat hlavní determinant systémy:

, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Opakuji, že je lepší nespěchat a rozepsat kroky co nejpodrobněji:

Čitatele a jmenovatele vynásobíme imaginární jednotkou a dostaneme 1. odmocninu:

Rovněž:

Získají se odpovídající pravé strany atd.

Udělejme nákres:

Představme si kořeny v exponenciální formě. Chcete-li to provést, musíte najít jejich moduly a argumenty:

1) – arkustangens „dva“ se počítá „špatně“, takže to necháme takto: