Tema 13. Teoremas y demostraciones.
En este tema se familiarizará con rasgo distintivo Las matemáticas, en comparación con la física y otras ciencias, reconocen sólo aquellas verdades o leyes que han sido probadas. En este sentido, se analizará el concepto de teorema y se considerarán algunos tipos de teoremas y métodos para demostrarlos.
13-09-03. Característica distintiva de las matemáticas.
Teoría
1.1. Si comparamos las matemáticas y la física, ambas ciencias utilizan tanto observaciones como evidencia. Junto con la física experimental, existe la física teórica, en la que algunos enunciados, como los teoremas en matemáticas, se prueban sobre la base de leyes físicas deduciendo secuencialmente unas proposiciones a partir de otras. Sin embargo leyes fisicas Se reconocen como verdaderas sólo cuando se confirman. un número grande experimentos. Estas leyes pueden perfeccionarse con el tiempo.
Las matemáticas también utilizan observaciones.
Ejemplo 1: Observar que
Podemos suponer que la suma de los primeros mil números naturales impares es 1.000.000.
Esta afirmación puede verificarse mediante cálculos directos, gastos gran cantidad tiempo.
También podemos hacer la suposición general de que para cualquier número natural la suma de los números impares iniciales es . Esta afirmación no puede verificarse mediante cálculos directos, porque el conjunto de todos los números naturales es infinito. Sin embargo, la suposición hecha es correcta porque puede demostrarse.
Ejemplo 2. Podemos medir los ángulos de muchos triángulos..gif" height="20">, es cierto si tomamos como axioma el quinto postulado de Euclides. probado en el 7mo grado.
Ejemplo 3. Sustituyendo en un polinomio
en lugar de los números naturales del 1 al 10, obtenemos los números primos 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Se puede suponer que para cualquier valor natural trinomio cuadrático es un número primo. La verificación mostró que esto es cierto para cualquier número natural del 1 al 39. Sin embargo, la suposición es incorrecta, ya que el resultado es un número compuesto:
El uso de la prueba en lugar de la observación para establecer la verdad de los teoremas es el sello distintivo de las matemáticas.
Una conclusión hecha sobre la base de incluso numerosas observaciones se considera una ley matemática sólo cuando probado.
1.2. Limitémonos al concepto intuitivo de prueba como la derivación secuencial de unos juicios de otros, sin realizar un análisis preciso del concepto de inferencia o inferencia. Analicemos el concepto de teorema con más detalle.
Se suele denominar teorema a un enunciado cuya verdad se establece mediante prueba. El concepto de teorema se desarrolló y se perfeccionó junto con el concepto de prueba.
En el sentido clásico, un teorema se entiende como un enunciado que se demuestra derivando unas proposiciones de otras. En este caso, se deben seleccionar algunos. leyes iniciales o axiomas, que se aceptan sin prueba.
El sistema de axiomas en geometría fue construido por primera vez por el antiguo matemático griego Euclides en su famosa obra Elementos. Siguiendo los axiomas de los Elementos de Euclides, teoremas y problemas para construir bajo nombre común ofertas. Los teoremas están ordenados en estricta secuencia.
Primero se enuncia cada teorema, luego se establece lo que se da y lo que hay que demostrar. Luego se presenta la prueba con todas las referencias a proposiciones y axiomas previamente probados. A veces la prueba termina con las palabras que era necesario demostrar. Traducido a todo lenguas europeas Los Elementos de Euclides, que incluían 13 libros, siguieron siendo hasta el siglo XVIII el único libro de texto utilizado para estudiar geometría en escuelas y universidades.
1.3. Para que sea más fácil identificar lo que está dado y lo que necesita ser demostrado, los teoremas se formulan en la forma si..., entonces.... La primera parte de la formulación del teorema entre si y entonces se llama condición teorema, y la segunda parte, que se escribe después de eso, se llama conclusión teoremas
Las condiciones del teorema contienen una descripción de lo que se da y la conclusión contiene lo que debe demostrarse.
A veces esta forma del teorema se llama forma lógica teoremas, y se abrevia como la forma si-entonces.
Ejemplo 4. Considere el siguiente teorema.
Si es un número natural par, entonces es un número impar.
En este teorema, la condición es que cualquier número par se tome ..gif" width="32 height=19" height="19"> impar.
A menudo, la condición y la conclusión se escriben utilizando palabras diferentes.
Ejemplo 5. El teorema del ejemplo 1 se puede escribir de la siguiente forma:
Sea un número natural par. Entonces es un número impar.
En este caso, en lugar de la palabra si usan la palabra dejar, y en lugar de la palabra entonces escriben la palabra entonces.
Ejemplo 6. El teorema del Ejemplo 1 también se puede escribir de la siguiente forma:
Del hecho de que el número natural es par, se deduce que el número .gif" width="13" height="15"> implica que el número es impar.
En este caso, se omite la palabra si y en lugar de la palabra entonces se utiliza la palabra implica.
A veces se utilizan otros tipos de notación de teoremas.
1.4. En algunos casos, las condiciones del teorema no están escritas en su formulación. Esto sucede cuando del texto se desprende claramente qué forma puede adoptar esta condición.
Ejemplo 8. Conoces el teorema: las medianas de un triángulo se cortan en un punto.
En forma lógica, este teorema se puede escribir de la siguiente manera:
Si dibujas todas las medianas en cualquier triángulo, estas medianas se cruzarán en un punto.
Ejemplo 9. El teorema sobre el infinito del conjunto de números primos se puede escribir como:
Si es el conjunto de todos los números primos, entonces es infinito.
Para establecer conexiones entre teoremas en matemáticas, se utiliza un lenguaje especial, que se discutirá parcialmente en los párrafos siguientes de este capítulo.
Preguntas de control
1. ¿Qué ejemplos de observaciones en matemáticas conoces?
2. ¿Qué axiomas de geometría conoces?
3. ¿Qué notación del teorema se llama forma lógica del teorema?
4. ¿Cuál es la condición del teorema?
5. ¿Cómo se llama la conclusión del teorema?
6. ¿Qué formas de escribir teoremas conoces?
Tareas y ejercicios.
1. ¿Qué suposiciones puedes hacer al observar:
a) el producto de dos números naturales adyacentes;
b) la suma de dos números naturales adyacentes;
c) la suma de tres números naturales consecutivos;
d) la suma de tres números impares;
d) últimos dígitos V notación decimal números .gif" ancho="13 alto=15" alto="15">;
f) el número de partes en las que divide el plano varias rectas que pasan por un punto;
g) el número de partes en que se divide el plano por varias rectas, de las cuales las rectas son paralelas por pares y se cortan .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > números de la forma , donde es un número natural;
d) la suma de dos números irracionales?
3. ¿Qué suposición puedes hacer al observar los centros de círculos circunscritos alrededor de triángulos obtusos?
4. Escribe el teorema en forma lógica:
a) la suma de los ángulos internos del convexo https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
b) dos triángulos isósceles rectángulos cualesquiera son semejantes;
c) la igualdad es válida para cualquier número entero y ;
d) la altura de un triángulo isósceles trazado hasta su base biseca el ángulo en el vértice de este triángulo;
e) para cualquier número no negativo y se satisface la desigualdad;
f) la suma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en un círculo es 180;
g) el número no es un número racional;
h) todos los números primos mayores que 10 son impares;
i) las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectarias en el punto de intersección;
j) de todos los cuadriláteros inscritos en un círculo dado, el cuadrado tiene el área más grande;
k) existe un número primo par;
l) ningún número primo puede representarse como la suma de dos números naturales impares diferentes;
m) la suma de los cubos de los primeros números naturales es el cuadrado de algún número natural.
5.* Escribe cada uno de los teoremas dados en el problema anterior en varias formas diferentes.
Respuestas e indicaciones
Tarea 1. ¿Qué suposiciones puedes hacer al observar:
a) el producto de dos números naturales adyacentes;
b) la suma de dos números naturales adyacentes;
c) la suma de tres números naturales consecutivos;
d) la suma de tres números impares;
d)últimos dígitos en notación decimalcon naturales;
mi) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" ancho="9 altura=20" altura="20"> Número de partes en las que se divide el avión. https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" ancho="17" alto="15"> las rectas son paralelas por pares y se cortan.gif" ancho="13 alto=20" alto="20"> Número de partes en las que se divide el avión. https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> solo se pueden obtener cuatro dígitos:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" ancho ="13" altura="15"> -gon es igual a;
b) dos triángulos isósceles rectángulos cualesquiera son semejantes;
c) igualdadfunciona para cualquier número enteroY;
La prueba de un enunciado matemático, por regla general, es una cadena de razonamiento correcto utilizando axiomas y teoremas, cuya validez ha sido previamente establecida. Un razonamiento se considera correcto si la verdad de todas las premisas implica la verdad de la conclusión. Sean los enunciados \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) premisas y el enunciado \(A\) la conclusión. El razonamiento se realiza según el esquema. \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), es decir. de los supuestos \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) se sigue la conclusión \(B\). Este razonamiento es correcto si la fórmula \((A_1\Y A_2\Y \ldots\Y A_n)\Rightarrow B\) idénticamente cierto, es decir verdadero para cualquier valor de verdad de las declaraciones incluidas en él \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Por ejemplo, los siguientes diagramas corresponden a un razonamiento correcto:
\(\frac(A\Flecha derecha B,A)(B)\)- regla de inferencia ( modus ponens);
\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- la regla del silogismo;
\(\frac(A\Rightarrow B,\lno B)(\lno A)\)- regla de contraposición.
Con base en el primer y tercer esquema se construye el siguiente razonamiento:
– si un número natural \(n\) es divisible por 4, entonces es par. El número \(n\) es divisible por 4. Por lo tanto, el número n es par;
– si un número natural \(n\) es divisible por 4, entonces es par. El número \(n\) es impar. Por lo tanto, el número \(n\) no es divisible por 4.
Ambos argumentos son correctos para cualquier número natural \(n\) . De hecho, incluso con \(n=1\), a pesar de la aparente inconsistencia, tenemos el razonamiento correcto: “si el número 1 es divisible por 4, entonces es par. El número 1 es divisible por 4. Por lo tanto, el número 1 es divisible por 4. el número 1 es par”, ya que a partir de premisas falsas se pueden utilizar premisas falsas para sacar conclusiones.
Consideremos un ejemplo de razonamiento según el esquema. \(\frac(A\Flecha derecha B,B)(A):\)
– si un número natural \(n\) es divisible por 4, entonces es par. El número \(\) es par. Por lo tanto, el número \(n\) es divisible por 4.
Para \(n=6\) y \(n=8\), respectivamente, obtenemos:
– si el número natural 6 es divisible por 4, entonces es par. El número 6 es par. Por tanto, el número 6 es divisible por 4;
– si el número natural 8 es divisible por 4, entonces es par. El número 8 es par. Por tanto, el número 8 es divisible por 4.
Ambos argumentos son incorrectos, aunque la conclusión del segundo argumento es verdadera (el número 8 en realidad es divisible por 4), es decir esquema \(\frac(A\Flecha derecha B,B)(A)\) no corresponde a un razonamiento correcto.
A menudo, en lugar de demostrar un teorema de la forma \(A\Rightarrow B\), prueban la verdad de algún otro enunciado equivalente al original. Estas formas de evidencia se denominan indirectas. Uno de ellos es el método de prueba por contradicción. Para probar la verdad del enunciado \(A\Rightarrow B\), asumimos que este enunciado es falso. Con base en este supuesto, llegamos a una contradicción, es decir, demostramos que algún enunciado es verdadero y no verdadero al mismo tiempo. De esto concluimos que la suposición es falsa y la afirmación original es verdadera.
Usando el método descrito, probamos la afirmación:
si \(n\) es un número impar, entonces el número \(n^2\) es impar.
Supongamos lo contrario, es decir. Sea un número impar \(n\) tal que el número \(n^2\) sea par. Entonces, por un lado, la diferencia \(n^2-n\) será un número impar, y por otro lado, el número \(n^2-n=n(n-1)\) es obviamente par, como el producto de dos números enteros consecutivos. Se obtiene una contradicción, a saber: el número \(n^2-n\) es par e impar al mismo tiempo. Esto prueba que la suposición hecha es incorrecta y por tanto la afirmación original es verdadera.
El esquema de prueba por contradicción considerado no es el único. También se utilizan otros esquemas de prueba por contradicción:
\(\frac(A,\lno B)(\lno A)\) o \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Otro esquema de prueba indirecta (según la ley de contraposición) se basa en la equivalencia de dos enunciados \(A\Rightarrow B\) y \(B\Rightarrow \lnot A\) . De hecho, estas afirmaciones son ambas verdaderas o ambas falsas. Por ejemplo, las afirmaciones “si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo” y “si no hay nubes en el cielo, entonces no está lloviendo” son ciertas, pero las afirmaciones “si hay nubes en el cielo cielo, entonces está lloviendo” y “si no está lloviendo, entonces no hay nubes en el cielo”, ambas son falsas.
En muchos problemas, es necesario demostrar la validez de algún enunciado (fórmula) para cualquier número natural \(n\). cheque directo Tales afirmaciones para cada valor de n son imposibles, ya que el conjunto de números naturales es infinito. Para probar tales declaraciones (fórmulas) utilizamos método de inducción matemática, cuya esencia es la siguiente. Sea necesario probar la verdad del enunciado \(A(n)\) para todo \(n\in \mathbb(N)\) . Para ello basta con probar dos afirmaciones:
1) la afirmación \(A(n)\) es verdadera para \(n=1\) . Esta parte de la prueba se llama base de inducción;
2) para cualquier número natural \(k\) del hecho de que la afirmación es verdadera para \(n=k\) (supuesto inductivo) se deduce que es verdadera para el siguiente número \(n=k+1\) , es decir. . \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Esta parte de la demostración se llama paso inductivo.
Si se prueban los puntos 1, 2, podemos concluir que el enunciado \(A(n)\) es verdadero para cualquier número natural \(n\).
De hecho, si el enunciado \(A(1)\) es verdadero (ver punto 1), entonces el enunciado \(A(2)\) también es verdadero (ver punto 2 para \(n=1\)). Dado que \(A(2)\) es verdadero, entonces \(A(3)\) también es verdadero (consulte el punto 2 para \(n=2\)), etc. De esta manera, puedes llegar a cualquier número natural \(n\) mientras te aseguras de que \(A(n)\) sea verdadero.
Nota B.6. En varios casos, puede ser necesario probar la validez de una determinada afirmación \(A(n)\) no para todos los \(n\) naturales, sino sólo para \(n\geqslant p\), es decir a partir de algún número fijo \(p\) . Luego el método de inducción matemática se modifica de la siguiente manera:
1) base de inducción: demostrar la verdad de \(A(p)\) ;
2) paso de inducción: demuestre \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) para cualquier \(k\geqslant p\) fijo.
De los puntos 1, 2 se deduce que la afirmación \(A(n)\) es verdadera para todos los números naturales \(n\geqslant p\) .
Ejemplo B.16. Demuestre la validez de la igualdad \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) para cualquier número natural \(n\) .
Solución. Denotemos la suma de los primeros \(n\) números impares por \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Se requiere probar el enunciado \(A(n):\) "la igualdad \(S_n=n^2\) es verdadera para cualquier \(n\in \mathbb(N)\) ". Realizaremos la demostración por inducción.
1) Dado que \(S_1=1=1^2\) , entonces para \(n=1\) la igualdad \(S_n=n^2\) es verdadera, es decir la afirmación \(A(1)\) es verdadera. La base de la inducción ha sido probada.
2) Sea \(k\) cualquier número natural. Realicemos el paso de inducción \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Suponiendo que la afirmación \(A(n)\) es verdadera para \(n=k\), es decir \(S_k=k^2\) , demostremos que el enunciado \(A(n)\) es verdadero para el siguiente número natural \(n=k+1\) , es decir, \(S_(k+ 1)=(k +1)^2\) . En realidad,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Por lo tanto \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) y basándonos en el método de inducción matemática concluimos que el enunciado \(A(n)\) es verdadero para cualquier número natural \(n\) , es decir, la fórmula \( S_n=n^2\) es verdadera para cualquier \(n\in \mathbb(N)\) .
Ejemplo B.17. Una permutación de \(n\) números es un conjunto de los primeros \(n\) números naturales, tomados en algún orden. Demuestre que el número de permutaciones diferentes es igual a \(n!\) . La expresión \(n!\) (léase "\(n\) factorial") es igual a \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Dos permutaciones \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) y \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) de \(n\) números se consideran iguales si \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), y si se viola al menos una de las igualdades, las permutaciones se consideran diferentes.
Solución. Realicemos la demostración mediante el método de inducción matemática.
1) Para \(n=1\) solo hay una permutación \((1)\), es decir, \(1!=1\) y la afirmación es verdadera.
2) Supongamos que para cualquier \(k\) el número de permutaciones es igual a \(k!\) . Demostremos que el número de permutaciones de \((k+1)\) números es igual a \((k+1)!\) . De hecho, fijemos el número \((k+1)\) en cualquier lugar de la permutación de \((k+1)\) números, y coloquemos los primeros \(k\) números naturales en los \ restantes. (k\) lugares . El número de tales permutaciones es igual al número de permutaciones de \(k\) números, es decir \(k!\) por hipótesis inductiva. Dado que el número \((k+1)\) podría colocarse en cualquiera de los (k+1) lugares de la permutación, concluimos que el número de permutaciones diferentes de \((k+1)\) números es igual a \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Por lo tanto, suponiendo que la afirmación es verdadera para \(n=k\) , fue posible demostrar que es verdadera para \(n=k+1\) .
De los puntos 1 y 2 se deduce que la afirmación es verdadera para cualquier número natural \(n\) .
Nota B.7. En lógica matemática se estudian métodos formales para derivar teoremas utilizando múltiples patrones de razonamiento correcto. Como regla general, estos métodos generan sólo nuevas formulaciones de teoremas que reflejan el contenido antiguo. Por lo tanto, para el desarrollo teoría matemática son ineficaces. Sin embargo, al estudiar cualquier problema matemático se deben observar las leyes de la lógica matemática y los esquemas del razonamiento correcto.
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¿Cómo demostrar teoremas?
El procedimiento para demostrar el teorema parece complicado. Basta con poder pensar lógicamente, tener los conocimientos necesarios en esta disciplina científica y demostrar el teorema no te resultará difícil. Es importante realizar todas las acciones con claridad y en la secuencia correcta.
En algunas ciencias, por ejemplo, álgebra y geometría, una de las habilidades más importantes es la capacidad de demostrar teoremas. Esto se debe al hecho de que los teoremas probados serán útiles posteriormente para resolver problemas. No sólo es necesario aprender el algoritmo de prueba, sino también poder comprender su esencia. Averigüemos cómo probar teoremas.
Prueba de teoremas
Primero necesitas hacer un dibujo; debe ser claro y ordenado. Después de eso, debe marcar las condiciones especificadas en él. En la columna "Dado" debes anotar todas las cantidades que conoces inicialmente y lo que necesitas demostrar. Después de esto, puedes continuar con la prueba. Esencialmente, es una cadena de pensamientos construidos lógicamente que le permiten demostrar que una afirmación es verdadera. Demostrar un teorema implica el uso de otros teoremas, axiomas, el uso de contrafácticos, etc.
Entonces, la prueba de un teorema es una determinada secuencia de acciones que permite obtener un enunciado cuya verdad no puede ser cuestionada. Por regla general, lo más difícil durante una demostración es precisamente la búsqueda de una secuencia de razonamiento lógico. Si esto tiene éxito, podrá demostrar lo que se le pidió.
Cómo demostrar teoremas en geometría sin dificultad.
Para simplificar tu tarea, puedes dividir el teorema en partes y demostrar cada una de ellas por separado, lo que finalmente te llevará al resultado. En algunos casos, resulta eficaz utilizar el método de “prueba por contradicción”. Entonces debes comenzar con las palabras "suponer lo contrario". Habría que explicar por qué en este caso una u otra conclusión es imposible. Debe terminar con las palabras “para que la afirmación original sea verdadera. El teorema ha sido demostrado."
Aún más información útil sobre geometría se puede encontrar en la sección.
El álgebra periódicamente tiene que demostrar teoremas. El teorema probado te ayudará a resolverlo. Por lo tanto, es extremadamente importante no memorizar la demostración mecánicamente, sino comprender la esencia del teorema, para luego poder guiarse por él en la práctica.
Primero, dibuja un diagrama claro y ordenado del teorema. Márcalo en con letras latinas lo que ya sabes. Escriba todas las cantidades conocidas en la columna "Dada". A continuación, en la columna "Probar", formule qué probar. Ahora podemos comenzar la prueba. Es una cadena de pensamientos lógicos, como resultado de los cuales se muestra la verdad de una afirmación. Al demostrar un teorema, puedes (y a veces incluso necesitas) usar varias disposiciones, axiomas, por contradicción, e incluso otros teoremas previamente demostrados.
Por tanto, la prueba es una secuencia de acciones como resultado de las cuales se obtiene algo innegable. La mayor dificultad para demostrar un teorema es encontrar exactamente la secuencia de razonamiento lógico que conducirá a la búsqueda de lo que se necesita demostrar.
Divida el teorema en partes y, demostrándolo por separado, eventualmente llegará al resultado deseado. Es útil dominar la habilidad de “demostrar por contradicción”; en algunos casos, esta es la forma más fácil de demostrar un teorema. Aquellos. Comience su prueba con las palabras "suponga lo contrario" y demuestre gradualmente que esto no puede ser. Termine la prueba con “por lo tanto, la afirmación original es verdadera. El teorema ha sido demostrado."
Francois Viète es un famoso matemático francés. El teorema de Vieta le permite resolver ecuaciones cuadráticas utilizando un esquema simplificado, lo que como resultado ahorra tiempo dedicado a los cálculos. Pero para comprender mejor la esencia del teorema, es necesario profundizar en la esencia de la formulación y demostrarla.
teorema de vieta
La esencia de esta técnica es encontrar raíces sin la ayuda de un discriminante. Para una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0, donde hay dos raíces reales diferentes, dos afirmaciones son verdaderas.La primera afirmación establece que la suma de las raíces de esta ecuación es igual al valor del coeficiente de la variable x (en este caso es b), pero con signo opuesto. Visualmente se ve así: x1 + x2 = −b.
La segunda afirmación ya no está relacionada con la suma, sino con el producto de estas mismas dos raíces. Este producto se equipara al coeficiente libre, es decir C. O bien, x1 * x2 = c. Ambos ejemplos se resuelven en el sistema.
El teorema de Vieta simplifica enormemente la solución, pero tiene una limitación. Se debe reducir una ecuación cuadrática cuyas raíces se puedan encontrar usando esta técnica. En la ecuación anterior, el coeficiente a, el que está delante de x2, es igual a uno. Cualquier ecuación se puede llevar a una forma similar dividiendo la expresión por el primer coeficiente, pero no siempre esta operacion racional.
Prueba del teorema
Para empezar conviene recordar que, según la tradición, se acostumbra buscar raíces ecuación cuadrática. Se encuentran la primera y segunda raíces, a saber: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. En general es divisible por 2a, pero, como ya se mencionó, el teorema sólo se puede aplicar cuando a=1.Del teorema de Vieta se sabe que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo menos. Esto significa que x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Lo mismo ocurre con el producto de raíces desconocidas: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. A su vez, D = b2-4c (nuevamente con a=1). Resulta que el resultado es: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
De la sencilla demostración dada sólo se puede sacar una conclusión: el teorema de Vieta está completamente confirmado.
Segunda formulación y prueba.
El teorema de Vieta tiene otra interpretación. Para ser más precisos, no se trata de una interpretación, sino de una formulación. El caso es que si se cumplen las mismas condiciones que en el primer caso: hay dos raíces reales diferentes, entonces el teorema se puede escribir mediante otra fórmula.Esta igualdad se ve así: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Si la función P(x) se cruza en dos puntos x1 y x2, entonces se puede escribir como P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). En el caso de que P tenga un segundo grado, y así es exactamente como se ve la expresión original, entonces R es un número primo, es decir, 1. Esta afirmación es cierta porque de lo contrario la igualdad no se cumplirá. El coeficiente x2 al abrir los corchetes no debe ser mayor que uno y la expresión debe permanecer cuadrada.
No sólo todos los escolares, sino también todos los que se precian. persona educada Debe saber qué es un teorema y una demostración de teoremas. Quizás tales conceptos no se encuentren en vida real, pero definitivamente ayudarán a estructurar muchos conocimientos, así como a sacar conclusiones. Es por eso que en este artículo veremos métodos para demostrar teoremas y también nos familiarizaremos con el famoso teorema de Pitágoras.
¿Qué es un teorema?
Si consideramos un curso escolar de matemáticas, muy a menudo contiene términos científicos como teorema, axioma, definición y demostración. Para navegar por el programa, necesita familiarizarse con cada una de estas definiciones. Ahora veremos qué es un teorema y una demostración de teoremas.
Entonces, un teorema es una determinada afirmación que requiere demostración. Considerar este concepto necesario en paralelo con el axioma, ya que este último no requiere prueba. Su definición ya es cierta, por lo que se da por sentado.
Ámbito de aplicación de los teoremas.
Es un error pensar que los teoremas sólo se utilizan en matemáticas. De hecho, esto está lejos de ser el caso. Por ejemplo, en física existe una cantidad increíble de teoremas que nos permiten examinar ciertos fenómenos y conceptos en detalle y desde todos los lados. Esto incluye los teoremas de Ampere, Steiner y muchos otros. Las demostraciones de estos teoremas permiten tener una buena comprensión de los momentos de inercia, la estática, la dinámica y muchos otros conceptos de la física.
Usando teoremas en matemáticas
Es difícil imaginar una ciencia como las matemáticas sin teoremas y demostraciones. Por ejemplo, las pruebas de teoremas de triángulos le permiten estudiar en detalle todas las propiedades de la figura. Después de todo, es muy importante comprender las propiedades de un triángulo isósceles y muchas otras cosas.
La demostración del teorema del área le permite comprender la forma más sencilla de calcular el área de una forma basándose en algunos datos. Después de todo, como sabes, existe una gran cantidad de fórmulas que describen cómo encontrar el área de un triángulo. Pero antes de utilizarlos, es muy importante demostrar que esto es posible y racional en un caso particular.
Cómo demostrar teoremas
Todo estudiante debe saber qué es un teorema y la demostración de los teoremas. De hecho, probar cualquier afirmación no es tan fácil. Para ello es necesario trabajar con una gran cantidad de datos y poder sacar conclusiones lógicas. Por supuesto, si tiene un buen conocimiento de la información sobre una determinada disciplina científica, demostrar el teorema no le resultará difícil. Lo principal es realizar el procedimiento de prueba en una secuencia lógica determinada.
Para aprender a demostrar teoremas en disciplinas científicas como la geometría y el álgebra, es necesario tener una buena cantidad de conocimientos, además de conocer el algoritmo de demostración en sí. Si domina este procedimiento, no le resultará difícil resolver problemas matemáticos más adelante.
Lo que necesitas saber sobre la demostración de teoremas
¿Qué es un teorema y demostraciones de teoremas? Ésta es una cuestión que preocupa a muchas personas en sociedad moderna. Es muy importante aprender a demostrar teoremas matemáticos, esto te ayudará a construir cadenas lógicas y llegar a una conclusión determinada.
Entonces, para demostrar el teorema correctamente, es muy importante hacer el dibujo correcto. Muestra todos los datos que se especificaron en la condición. También es muy importante anotar toda la información que se proporcionó en la tarea. Esto le ayudará a analizar correctamente la tarea y comprender exactamente qué cantidades se dan en ella. Y sólo después de tales procedimientos podemos comenzar la prueba misma. Para hacer esto, es necesario construir lógicamente una cadena de pensamientos utilizando otros teoremas, axiomas o definiciones. El resultado de la prueba debe ser un resultado cuya verdad esté fuera de toda duda.
Formas básicas de demostrar teoremas.
En un curso escolar de matemáticas, hay dos formas de demostrar un teorema. La mayoría de las veces, en los problemas se utiliza el método directo, así como el método de prueba por contradicción. En el primer caso, simplemente analizan los datos disponibles y, a partir de ellos, sacan las conclusiones adecuadas. También se utiliza con mucha frecuencia el método opuesto. En este caso, asumimos la afirmación contraria y demostramos que es falsa. En base a esto, obtenemos el resultado opuesto y decimos que nuestro juicio fue incorrecto, lo que significa que la información especificada en la condición es correcta.
De hecho, muchos problemas matemáticos pueden tener más de una solución. Por ejemplo, el teorema de Fermat tiene varias demostraciones. Por supuesto, algunos se consideran de una sola manera, pero, por ejemplo, en el teorema de Pitágoras, se pueden considerar varios de ellos a la vez.
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
Por supuesto, todo escolar sabe que el teorema de Pitágoras se aplica específicamente a un triángulo rectángulo. Y suena así: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". A pesar del nombre de este teorema, no fue descubierto por el propio Pitágoras, sino mucho antes que él. Hay varias formas de probar esta afirmación y veremos algunas de ellas.
Según datos científicos, al principio se consideró un triángulo rectángulo equilátero. Luego se construyeron plazas en todos sus lados. Un cuadrado construido sobre la hipotenusa estará formado por cuatro triángulos iguales entre sí. Mientras que las figuras construidas en los lados consistirán en solo dos triángulos iguales. Esta demostración del teorema de Pitágoras es la más sencilla.
Consideremos otra prueba de este teorema. Requiere utilizar conocimientos no sólo de geometría, sino también de álgebra. Para demostrar este teorema de esta manera, necesitamos construir cuatro triángulos rectángulos similares y etiquetar sus lados como a, by c.
Necesitamos construir estos triángulos de tal manera que terminemos con dos cuadrados. El exterior tendrá lados (a+b), pero el interior tendrá c. Para encontrar el área del cuadrado interior, necesitamos encontrar el producto c*c. Pero para encontrar el área de un cuadrado grande, debes sumar las áreas de cuadrados pequeños y sumar las áreas del resultado. triángulos rectángulos. Ahora, luego de realizar algunas operaciones algebraicas, podemos obtener la siguiente fórmula:
un 2 + segundo 2 = c 2
De hecho, existe una gran cantidad de métodos para demostrar teoremas. Las formas perpendiculares, triangulares, cuadradas o de cualquier otra índole y sus propiedades se pueden examinar utilizando varios teoremas y demostraciones. El teorema de Pitágoras no hace más que confirmarlo.
En lugar de una conclusión
Es muy importante poder formular teoremas y también demostrarlos correctamente. Por supuesto, este procedimiento es bastante complejo, ya que para implementarlo es necesario no solo poder operar con una gran cantidad de información, sino también construir cadenas lógicas. Las matemáticas son muy ciencia interesante, que no tiene fin ni borde.
Empieza a estudiarlo y no sólo aumentarás tu nivel de inteligencia, sino que también ganarás una gran cantidad. información interesante. Comience con su educación hoy. Al comprender los principios básicos de la demostración de teoremas, podrá aprovechar su tiempo con gran beneficio.
