तर्क में निष्कर्ष. निगमनात्मक तर्क

बूलियन प्रकार बूलियन प्रकार के मान 1 बाइट पर कब्जा करते हैं और पूर्वनिर्धारित स्थिरांक True (सही) और गलत (गलत) द्वारा निर्दिष्ट दो मानों में से एक लेते हैं। तार्किक प्रकार के लिए स्थिर तरीकों को परिभाषित किया गया है: boolean.Parse(s) - एक फ़ंक्शन जो एक स्ट्रिंग को परिवर्तित करता है

26. तार्किक विश्लेषण

26. तार्किक विश्लेषण बस। साइट। बस साइट। यह स्थान है.दोपहर.लगभग.लगभग दोपहर. यही तो समय है.मुसाफिरों का झगड़ा.मुसाफिरों का झगड़ा. यह कार्रवाई है. जवान आदमी. टोपी. लंबी पतली गर्दन, सिर पर चोटी बांधे टोपी पहने एक युवक। यह

तार्किक तरीका

भाग एक। निगमनात्मक और प्रशंसनीय तर्क

अध्याय 1। तर्क का विषय और कार्य

1.1. एक विज्ञान के रूप में तर्क

तर्क सबसे प्राचीन विज्ञानों में से एक है, तर्क के रूपों और तरीकों के बारे में पहली शिक्षा सभ्यताओं में उत्पन्न हुई प्राचीन पूर्व(चीन, भारत)। तर्क के सिद्धांत और तरीके पश्चिमी संस्कृति में मुख्य रूप से प्राचीन यूनानियों के प्रयासों से आए। विकसित राजनीतिक जीवनग्रीक शहर-राज्यों में, स्वतंत्र नागरिकों की जनता पर प्रभाव के लिए विभिन्न दलों का संघर्ष, संपत्ति और अदालतों के माध्यम से उत्पन्न होने वाले अन्य संघर्षों को हल करने की इच्छा - इन सबके लिए लोगों को समझाने, विभिन्न मामलों में अपनी स्थिति की रक्षा करने की क्षमता की आवश्यकता थी। लोकप्रिय मंच, में सरकारी संस्थान, अदालत की सुनवाई, आदि।

अनुनय, बहस करने की कला, किसी की राय का यथोचित बचाव करने का कौशल और तर्क और विवाद के दौरान प्रतिद्वंद्वी पर आपत्ति जताने की कला को प्राचीन बयानबाजी के ढांचे के भीतर विकसित किया गया था, जो वक्तृत्व में सुधार पर केंद्रित था, और एरिस्टिक्स, तर्क के बारे में एक विशेष शिक्षण था। बयानबाजी के पहले शिक्षकों ने अनुनय के कौशल, तर्क के तरीकों और सार्वजनिक भाषण के निर्माण, मोड़ के बारे में ज्ञान का प्रसार और विकास करने के लिए बहुत कुछ किया। विशेष ध्यानइसके भावनात्मक, मनोवैज्ञानिक, नैतिक और वक्तृत्व संबंधी पहलुओं और विशेषताओं पर। हालाँकि, बाद में, जब बयानबाजी के स्कूलों का नेतृत्व सोफिस्टों द्वारा किया जाने लगा, तो उन्होंने अपने छात्रों को तर्क के माध्यम से सत्य की तलाश नहीं करने, बल्कि किसी भी कीमत पर मौखिक प्रतियोगिता जीतने के लिए सिखाने की कोशिश की। इन उद्देश्यों के लिए, जानबूझकर की गई तार्किक त्रुटियों का व्यापक रूप से उपयोग किया गया, जिसे बाद में जाना जाने लगा कुतर्क,साथ ही प्रतिद्वंद्वी का ध्यान भटकाने, सुझाव देने, विवाद को मुख्य विषय से गौण मुद्दों पर स्थानांतरित करने आदि के लिए विभिन्न मनोवैज्ञानिक तरकीबें और तकनीकें।

महान प्राचीन दार्शनिक सुकरात, प्लेटो और अरस्तू ने अलंकार में इस प्रवृत्ति का दृढ़ता से विरोध किया, जिन्होंने अनुनय का मुख्य साधन वक्तृत्व भाषण में निहित निर्णयों की वैधता, तर्क की प्रक्रिया में उनका सही संबंध माना, अर्थात्। दूसरों से कुछ निर्णय निकालना। यह तर्क के विश्लेषण के लिए था कि अरस्तू (IV शताब्दी ईसा पूर्व) ने तर्क की पहली प्रणाली बनाई, जिसे कहा जाता है syllogics.यह कटौतीत्मक तर्क का सबसे सरल, लेकिन साथ ही सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला रूप है, जिसमें तार्किक कटौती के नियमों के अनुसार परिसर से निष्कर्ष (निष्कर्ष) प्राप्त किया जाता है। ध्यान दें कि शब्द कटौतीलैटिन से अनुवादित का अर्थ है निष्कर्ष।

इसे समझाने के लिए, आइए हम प्राचीन न्यायशास्त्र की ओर मुड़ें:

सभी लोग नश्वर हैं.

काई इंसान है.____________

इसलिए, काई नश्वर है।

यहां, अन्य न्यायशास्त्रों की तरह, वस्तुओं और घटनाओं के एक निश्चित वर्ग के बारे में सामान्य ज्ञान से लेकर विशेष और व्यक्तिगत ज्ञान तक का अनुमान लगाया जाता है। आइए हम तुरंत इस बात पर जोर दें कि अन्य मामलों में कटौती विशेष से विशेष या सामान्य से सामान्य की ओर की जा सकती है।

मुख्य बात जो सभी निगमनात्मक अनुमानों को एकजुट करती है वह यह है कि निष्कर्ष अनुमान के तार्किक नियमों के अनुसार परिसर से निकलता है और एक विश्वसनीय, उद्देश्यपूर्ण चरित्र रखता है। दूसरे शब्दों में, निष्कर्ष तर्क करने वाले विषय की इच्छा, इच्छाओं और प्राथमिकताओं पर निर्भर नहीं करता है। यदि आप ऐसे किसी निष्कर्ष के परिसर को स्वीकार करते हैं, तो आपको इसके निष्कर्ष को भी स्वीकार करना होगा।

अक्सर यह भी कहा जाता है कि निगमनात्मक अनुमानों की परिभाषित विशेषता निष्कर्ष की तार्किक रूप से आवश्यक प्रकृति, उसका विश्वसनीय सत्य है। दूसरे शब्दों में, ऐसे अनुमानों में परिसर का सत्य मूल्य पूरी तरह से निष्कर्ष में स्थानांतरित हो जाता है। यही कारण है कि निगमनात्मक तर्क में सबसे बड़ी प्रेरक शक्ति होती है और इसका उपयोग व्यापक रूप से न केवल गणित में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है, बल्कि जहां भी विश्वसनीय निष्कर्षों की आवश्यकता होती है, वहां भी किया जाता है।

अक्सर पाठ्यपुस्तकों में लॉजिक्सदृढ़ निश्चय वाला सही सोच के नियमों या सही निष्कर्षों के सिद्धांतों और तरीकों के बारे में एक विज्ञान के रूप में।हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस प्रकार की सोच को सही माना जाता है, परिभाषा के पहले भाग में एक छिपी हुई तनातनी शामिल है, क्योंकि यह अंतर्निहित रूप से माना जाता है कि ऐसी शुद्धता तर्क के नियमों का पालन करके प्राप्त की जाती है। दूसरे भाग में, तर्क के विषय को अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया है, क्योंकि तर्क का मुख्य कार्य अनुमानों के विश्लेषण तक कम हो गया है, अर्थात। दूसरों से कुछ निर्णय प्राप्त करने के तरीकों की पहचान करना। यह नोटिस करना आसान है कि जब वे सही अनुमानों के बारे में बात करते हैं, तो उनका तात्पर्य अंतर्निहित या स्पष्ट रूप से निगमनात्मक तर्क से होता है। इसमें ठीक यही है कि परिसर से निष्कर्षों की तार्किक व्युत्पत्ति के लिए पूरी तरह से निश्चित नियम हैं, जिनसे हम बाद में और अधिक विस्तार से परिचित होंगे। अक्सर निगमनात्मक तर्क को इस आधार पर औपचारिक तर्क के साथ भी पहचाना जाता है कि उत्तरार्द्ध निर्णय की विशिष्ट सामग्री से अमूर्तता में अनुमान के रूपों का अध्ययन करता है। हालाँकि, यह दृष्टिकोण तर्क के अन्य तरीकों और रूपों को ध्यान में नहीं रखता है जो प्रकृति का अध्ययन करने वाले प्रायोगिक विज्ञान और सामाजिक जीवन के तथ्यों और परिणामों के आधार पर सामाजिक-आर्थिक और मानव विज्ञान दोनों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। और रोजमर्रा के व्यवहार में, हम अक्सर सामान्यीकरण करते हैं और विशेष मामलों के अवलोकन के आधार पर धारणाएँ बनाते हैं।

इस प्रकार का तर्क, जिसमें किसी विशेष मामले के शोध और सत्यापन के आधार पर, बिना अध्ययन किए गए मामलों के बारे में या समग्र रूप से कक्षा की सभी घटनाओं के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है, कहलाता है आगमनात्मक.अवधि प्रेरणमतलब मार्गदर्शनऔर ऐसे तर्क के सार को अच्छी तरह से व्यक्त करता है। वे आम तौर पर वस्तुओं और घटनाओं के एक निश्चित वर्ग के सदस्यों की एक निश्चित संख्या के गुणों और संबंधों का अध्ययन करते हैं। परिणामी सामान्य संपत्ति या संबंध फिर अज्ञात सदस्यों या संपूर्ण वर्ग को हस्तांतरित कर दिया जाता है। जाहिर है, इस तरह के निष्कर्ष को विश्वसनीय रूप से सच नहीं माना जा सकता है, क्योंकि वर्ग के अज्ञात सदस्यों के बीच, और विशेष रूप से पूरे वर्ग में, ऐसे सदस्य हो सकते हैं जिनके पास कथित सामान्य संपत्ति नहीं है। इसलिए, प्रेरण के निष्कर्ष विश्वसनीय नहीं हैं, बल्कि केवल संभाव्य हैं। अक्सर ऐसे निष्कर्षों को प्रशंसनीय, काल्पनिक या अनुमानात्मक भी कहा जाता है, क्योंकि वे सत्य की प्राप्ति की गारंटी नहीं देते, बल्कि केवल उसी की ओर संकेत करते हैं। उनके पास है अनुमानी(खोज) प्रकृति में विश्वसनीय होने के बजाय, इसे साबित करने के बजाय सत्य की खोज करने में मदद करती है। आगमनात्मक तर्क के साथ, इसमें सादृश्य और सांख्यिकीय सामान्यीकरण द्वारा निष्कर्ष भी शामिल हैं।

विशेष फ़ीचरऐसे गैर-निगमनात्मक तर्क का अर्थ यह है कि उनमें निष्कर्ष तार्किक रूप से अनुसरण नहीं करता है, अर्थात। कटौती के नियमों के अनुसार, परिसर से. परिसर केवल एक या दूसरे स्तर तक निष्कर्ष की पुष्टि करते हैं, इसे अधिक या कम संभावित या प्रशंसनीय बनाते हैं, लेकिन इसकी विश्वसनीय सत्यता की गारंटी नहीं देते हैं। इस आधार पर, संभाव्य तर्क को कभी-कभी स्पष्ट रूप से कम करके आंका जाता है, गौण, सहायक माना जाता है और यहां तक ​​कि तर्क से बाहर भी रखा जाता है।

गैर-निगमनात्मक और विशेष रूप से आगमनात्मक तर्क के प्रति यह रवैया मुख्य रूप से निम्नलिखित कारणों से समझाया गया है:

सबसे पहले, और यह मुख्य बात है, आगमनात्मक निष्कर्षों की समस्याग्रस्त, संभाव्य प्रकृति और उपलब्ध डेटा पर परिणामों की संबंधित निर्भरता, परिसर से अविभाज्यता और निष्कर्षों की अपूर्णता। आख़िरकार, जैसे-जैसे नया डेटा उपलब्ध होता है, ऐसे निष्कर्षों की संभावना भी बदल जाती है।

दूसरे, परिसर और तर्क के निष्कर्ष के बीच संभाव्य तार्किक संबंध का आकलन करने में व्यक्तिपरक पहलुओं की उपस्थिति। ये आधार, जैसे तथ्य और साक्ष्य, एक व्यक्ति को विश्वसनीय लग सकते हैं, लेकिन दूसरे को नहीं। एक का मानना ​​है कि वे निष्कर्ष का पुरजोर समर्थन करते हैं, दूसरे की राय इसके विपरीत है। निगमनात्मक अनुमान में ऐसी असहमति उत्पन्न नहीं होती।

तीसरा, प्रेरण के प्रति यह रवैया ऐतिहासिक परिस्थितियों द्वारा भी समझाया गया है। जब आगमनात्मक तर्क पहली बार सामने आया, तो इसके रचनाकारों, विशेष रूप से एफ. बेकन, का मानना ​​था कि इसके सिद्धांतों, या नियमों की मदद से, लगभग पूरी तरह से यांत्रिक तरीके से प्रयोगात्मक विज्ञान में नए सत्य की खोज करना संभव था। "विज्ञान की खोज का हमारा मार्ग," उन्होंने लिखा, "प्रतिभा की तीक्ष्णता और शक्ति पर बहुत कम प्रभाव छोड़ता है, लेकिन उन्हें लगभग बराबर कर देता है। जैसे एक सीधी रेखा खींचने या एक पूर्ण वृत्त का वर्णन करने में, हाथ की दृढ़ता, कौशल और परीक्षण का मतलब है बहुत, यदि आप केवल अपने हाथ से कार्य करते हैं, तो इसका कोई मतलब नहीं है या यदि आप कम्पास और रूलर का उपयोग करते हैं तो इसका कोई मतलब नहीं है। हमारी पद्धति का यही मामला है।" बोला जा रहा है आधुनिक भाषाआगमनात्मक तर्क के रचनाकारों ने अपने सिद्धांतों को खोज के एल्गोरिदम के रूप में माना। विज्ञान के विकास के साथ, यह और अधिक स्पष्ट हो गया कि ऐसे नियमों (या एल्गोरिदम) की मदद से प्रयोगात्मक रूप से देखी गई घटनाओं और उन्हें चिह्नित करने वाली मात्राओं के बीच केवल सबसे सरल अनुभवजन्य कनेक्शन की खोज करना संभव है। द ओपनिंग जटिल संबंधऔर गहरे सैद्धांतिक कानूनों के लिए अनुभवजन्य और सभी साधनों और तरीकों के उपयोग की आवश्यकता होती है सैद्धांतिक अनुसंधान, अधिकतम आवेदनवैज्ञानिकों की मानसिक और बौद्धिक क्षमताएं, उनका अनुभव, अंतर्ज्ञान और प्रतिभा। और यह खोज के लिए यांत्रिक दृष्टिकोण के प्रति नकारात्मक दृष्टिकोण को जन्म नहीं दे सका, जो पहले आगमनात्मक तर्क में मौजूद था।

चौथा, निगमनात्मक तर्क के रूपों का विस्तार, संबंधपरक तर्क का उद्भव और, विशेष रूप से, अनुप्रयोग गणितीय तरीकेकटौती के विश्लेषण के लिए, जिसकी परिणति प्रतीकात्मक (या गणितीय) तर्क के निर्माण में हुई, जिसने बड़े पैमाने पर निगमनात्मक तर्क की उन्नति में योगदान दिया।

यह सब यह स्पष्ट करता है कि क्यों वे अक्सर तर्क को निगमनात्मक अनुमान के तरीकों, नियमों और कानूनों के विज्ञान या तार्किक अनुमान के सिद्धांत के रूप में परिभाषित करना पसंद करते हैं। लेकिन हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रेरण, सादृश्य और सांख्यिकी हैं महत्वपूर्ण तरीकों सेसत्य की अनुमानी खोज, और इसलिए वे तर्क के तर्कसंगत तरीकों के रूप में कार्य करते हैं। आख़िरकार, सत्य की खोज यादृच्छिक रूप से, परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से की जा सकती है, लेकिन यह विधि बेहद अप्रभावी है, हालाँकि इसका उपयोग कभी-कभी किया जाता है। विज्ञान इसका सहारा बहुत कम ही लेता है, क्योंकि यह एक संगठित, लक्षित और व्यवस्थित खोज पर ध्यान केंद्रित करता है।

यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य सत्य (अनुभवजन्य और सैद्धांतिक कानून, सिद्धांत, परिकल्पना और सामान्यीकरण), जो निगमनात्मक निष्कर्षों के परिसर के रूप में उपयोग किए जाते हैं, निगमनात्मक रूप से स्थापित नहीं किए जा सकते हैं। लेकिन इस पर आपत्ति हो सकती है कि वे आगमनात्मक रूप से नहीं खुलते। हालाँकि, चूंकि आगमनात्मक तर्क सत्य की खोज पर केंद्रित है, इसलिए यह अनुसंधान का एक अधिक उपयोगी अनुमानी साधन साबित होता है। बेशक, धारणाओं और परिकल्पनाओं के परीक्षण के दौरान, कटौती का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से उनसे परिणाम निकालने के लिए। इसलिए, कटौती को प्रेरण का विरोध नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वैज्ञानिक ज्ञान की वास्तविक प्रक्रिया में वे एक-दूसरे की परिकल्पना और पूरक होते हैं।

इसलिए, तर्क को तर्क के तर्कसंगत तरीकों के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो कटौती के नियमों के विश्लेषण (परिसर से निष्कर्ष निकालना) और संभाव्य या प्रशंसनीय निष्कर्ष (परिकल्पना, सामान्यीकरण, धारणा) की पुष्टि की डिग्री के अध्ययन दोनों को कवर करता है। , वगैरह।)।

पारंपरिक तर्क, जो अरस्तू की तार्किक शिक्षाओं के आधार पर बनाया गया था, बाद में एफ. बेकन द्वारा तैयार किए गए आगमनात्मक तर्क के तरीकों द्वारा पूरक किया गया और जे.एस. द्वारा व्यवस्थित किया गया। मिलेम. यह वह तर्क है जिसे नाम के तहत स्कूलों और विश्वविद्यालयों में लंबे समय से पढ़ाया जाता रहा है औपचारिक तर्क.

उद्भव गणितीय तर्कपारंपरिक तर्क में मौजूद निगमनात्मक और गैर-निगमनात्मक तर्कों के बीच संबंध को मौलिक रूप से बदल दिया। यह बदलाव कटौती के पक्ष में किया गया था. प्रतीकीकरण और गणितीय तरीकों के उपयोग के लिए धन्यवाद, निगमनात्मक तर्क ने स्वयं एक सख्ती से औपचारिक चरित्र प्राप्त कर लिया है। वास्तव में, इस तरह के तर्क पर विचार करना काफी वैध है गणित का मॉडलनिगमनात्मक तर्क। इसलिए, इसे अक्सर औपचारिक तर्क के विकास में एक आधुनिक चरण माना जाता है, लेकिन वे यह जोड़ना भूल जाते हैं कि हम निगमनात्मक तर्क के बारे में बात कर रहे हैं।

यह भी अक्सर कहा जाता है कि गणितीय तर्क तर्क-वितर्क की प्रक्रिया को गणना की विभिन्न प्रणालियों के निर्माण तक सीमित कर देता है और इस प्रकार सोचने की प्राकृतिक प्रक्रिया को गणना से बदल देता है। हालाँकि, मॉडल हमेशा सरलीकरण से जुड़ा होता है, इसलिए यह मूल को प्रतिस्थापित नहीं कर सकता है। दरअसल, गणितीय तर्क मुख्य रूप से केंद्रित है गणितीय प्रमाणइसलिए, परिसर (या तर्क) की प्रकृति, उनकी वैधता और स्वीकार्यता से सार निकाला जाता है। वह ऐसे परिसरों को दिया गया या पहले से सिद्ध मानती है।

इस बीच, तर्क की वास्तविक प्रक्रिया में, तर्क, चर्चा, विवाद में, परिसर का विश्लेषण और मूल्यांकन एक विशेष प्राप्त करता है महत्वपूर्ण. तर्क-वितर्क के दौरान, आपको कुछ थीसिस और कथन सामने रखने होंगे, उनके बचाव में ठोस तर्क ढूंढने होंगे, उन्हें सही और पूरक करना होगा, प्रतितर्क देना होगा, आदि। यहां हमें तर्क के अनौपचारिक और गैर-निगमनात्मक तरीकों की ओर मुड़ना होगा, विशेष रूप से तथ्यों के आगमनात्मक सामान्यीकरण, सादृश्य द्वारा निष्कर्ष, सांख्यिकीय विश्लेषण आदि।

तर्क को तर्कसंगत तर्क विधियों का विज्ञान मानते हुए, हमें सोच के अन्य रूपों - अवधारणाओं और निर्णयों के बारे में नहीं भूलना चाहिए, जिनके साथ कोई भी तर्क पाठ्यपुस्तक शुरू होती है। लेकिन निर्णय, और विशेष रूप से अवधारणाएँ, तर्क में सहायक भूमिका निभाती हैं। उनकी सहायता से, निष्कर्षों की संरचना और निर्णयों का संबंध स्पष्ट होता है विभिन्न प्रकार केतर्क। अवधारणाओं को किसी भी निर्णय की संरचना में एक विषय के रूप में शामिल किया जाता है, यानी, विचार की वस्तु, और एक विधेय - विषय की विशेषता वाले संकेत के रूप में, अर्थात्, विचार की वस्तु में एक निश्चित संपत्ति की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर जोर देना . अपनी प्रस्तुति में, हम आम तौर पर स्वीकृत परंपरा का पालन करते हैं और अवधारणाओं और निर्णयों के विश्लेषण के साथ चर्चा शुरू करते हैं, और फिर तर्क के निगमनात्मक और गैर-निगमनात्मक तरीकों को अधिक विस्तार से कवर करते हैं। वह अध्याय जहां प्रस्तावों का विश्लेषण किया जाता है, प्रस्तावात्मक कलन के तत्वों की जांच करता है, जो आमतौर पर गणितीय तर्क में किसी भी पाठ्यक्रम के लिए शुरुआती बिंदु होते हैं।

विधेय तर्क के तत्वों को अगले अध्याय में शामिल किया गया है, जहां श्रेणीबद्ध न्यायशास्त्र के सिद्धांत को एक विशेष मामले के रूप में माना जाता है। आधुनिक रूपगैर-निगमनात्मक तर्क को स्पष्ट रूप से संभाव्यता की तार्किक और सांख्यिकीय व्याख्या के बीच स्पष्ट अंतर के बिना नहीं समझा जा सकता है, क्योंकि नीचे से संभावनाजो सबसे अधिक बार निहित होता है वह सटीक रूप से इसकी सांख्यिकीय व्याख्या है, जिसका तर्क में सहायक अर्थ होता है। इस संबंध में, संभाव्य तर्क पर अध्याय में, हम विशेष रूप से संभाव्यता की दो व्याख्याओं के बीच अंतर को स्पष्ट करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं और तार्किक संभाव्यता की विशेषताओं को अधिक विस्तार से समझाते हैं।

इस प्रकार, पुस्तक में प्रस्तुति की संपूर्ण प्रकृति पाठक को इस तथ्य की ओर उन्मुख करती है कि कटौती और प्रेरण, विश्वसनीयता और संभाव्यता, सामान्य से विशेष और विशेष से सामान्य तक विचार की गति बहिष्कृत नहीं है, बल्कि पूरक है एक दूसरे में सामान्य प्रक्रियातर्कसंगत तर्क का उद्देश्य सत्य को खोजना और उसे साबित करना दोनों है।

बुनियादी अवधारणाओं के गुणों का पता चलता है अभिगृहीत- बिना सबूत के प्रस्ताव स्वीकार।

उदाहरण के लिए, स्कूल ज्यामिति में स्वयंसिद्ध बातें हैं: "किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं और केवल एक" या "एक सीधी रेखा एक विमान को दो आधे विमानों में विभाजित करती है।"

किसी भी गणितीय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों की प्रणाली, बुनियादी अवधारणाओं के गुणों को प्रकट करते हुए, उनकी परिभाषाएँ देती है। ऐसी परिभाषाएँ कहलाती हैं स्वयंसिद्ध.

सिद्ध की जाने वाली अवधारणाओं के गुणों को कहा जाता है प्रमेयों, नतीजे, संकेत, सूत्र, नियम।

प्रमेय सिद्ध करें एमें- इसका मतलब तार्किक तरीके से यह स्थापित करना है कि जब भी कोई संपत्ति संतुष्ट होती है ए, संपत्ति का निष्पादन किया जाएगा में।

सबूतगणित में वे किसी दिए गए सिद्धांत के प्रस्तावों का एक सीमित अनुक्रम कहते हैं, जिनमें से प्रत्येक या तो एक स्वयंसिद्ध है या तार्किक अनुमान के नियमों के अनुसार इस अनुक्रम के एक या अधिक प्रस्तावों से निकाला जाता है।

प्रमाण का आधार तर्क है - तार्किक संचालनजिसके परिणामस्वरूप अर्थ में परस्पर जुड़े एक या अधिक वाक्यों से नवीन ज्ञान युक्त वाक्य की प्राप्ति होती है।

उदाहरण के तौर पर, एक स्कूली बच्चे के तर्क पर विचार करें जिसे संख्या 7 और 8 के बीच "इससे कम" संबंध स्थापित करने की आवश्यकता है। छात्र कहता है: "7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

आइए जानें कि इस तर्क में प्राप्त निष्कर्ष किन तथ्यों पर आधारित है।

ऐसे दो तथ्य हैं: पहला: यदि संख्या एगिनती करते समय संख्याओं को पहले बुलाया जाता है बी, वह ए< बी. दूसरा: गिनती करते समय 7 को 8 से पहले कहा जाता है।

पहला वाक्य है सामान्य चरित्र, चूँकि इसमें एक सामान्य परिमाणक होता है - इसे सामान्य आधार कहा जाता है। दूसरा वाक्य विशिष्ट संख्या 7 और 8 से संबंधित है - इसे निजी आधार कहा जाता है। दो पार्सल से प्राप्त हुआ नया तथ्य: 7 < 8, его называют заключением.

परिसर और निष्कर्ष के बीच एक निश्चित संबंध है, जिसके कारण वे एक तर्क बनाते हैं।

वह तर्क जिसमें परिसर और निष्कर्ष के बीच निहितार्थ संबंध होता है, कहलाता है निगमनात्मक

तर्कशास्त्र में, "तर्क" शब्द के स्थान पर "अनुमान" शब्द का अधिक प्रयोग किया जाता है।

अनुमान- यह कुछ मौजूदा ज्ञान के आधार पर नया ज्ञान प्राप्त करने का एक तरीका है।

एक अनुमान में परिसर और एक निष्कर्ष शामिल होते हैं।

पार्सल- इनमें प्रारंभिक ज्ञान होता है।

निष्कर्ष- यह एक कथन है जिसमें मूल से प्राप्त नया ज्ञान शामिल है।

एक नियम के रूप में, निष्कर्ष को "इसलिए", "साधन" शब्दों का उपयोग करके परिसर से अलग किया जाता है। परिसर के साथ अनुमान आर 1, आर 2, …, पी.एनऔर निष्कर्ष आरहम इसे इस रूप में लिखेंगे: या (आर 1, आर 2, …, рn) आर।

उदाहरण निष्कर्ष: ए) संख्या ए =बी।संख्या बी = सी. इसलिए, संख्या ए = सी.

ख) यदि भिन्न में अंश, हर से कम है, तो भिन्न उचित है। अंश में अंश, हर से छोटा है (5<6) . इसलिए, अंश - सही।

ग) यदि वर्षा होती है, तो आकाश में बादल छा जाते हैं। आसमान में बादल हैं इसलिए बारिश हो रही है.

निष्कर्ष सही या ग़लत हो सकते हैं.

अनुमान कहा जाता है सहीयदि इसकी संरचना के अनुरूप और परिसर के संयोजन का प्रतिनिधित्व करने वाला सूत्र, एक निहितार्थ संकेत द्वारा निष्कर्ष से जुड़ा हुआ है, तो समान रूप से सत्य है।

उसके लिए यह निर्धारित करने के लिए कि क्या निष्कर्ष सही है, निम्नलिखित के रूप में आगे बढ़ें:

1) सभी परिसरों और निष्कर्षों को औपचारिक बनाना;

2) निष्कर्ष के साथ निहितार्थ चिह्न द्वारा जुड़े परिसरों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक सूत्र लिखें;

3) इस सूत्र के लिए एक सत्य तालिका बनाएं;

4) यदि सूत्र सर्वथा सत्य है, तो निष्कर्ष सही है; यदि नहीं, तो निष्कर्ष गलत है।

तर्कशास्त्र में, यह माना जाता है कि किसी निष्कर्ष की सत्यता उसके स्वरूप से निर्धारित होती है और यह उसमें शामिल कथनों की विशिष्ट सामग्री पर निर्भर नहीं करती है। और तर्क में, नियम प्रस्तावित किए जाते हैं, जिनका पालन करके कोई भी निगमनात्मक निष्कर्ष निकाल सकता है। ये नियम कहलाते हैं अनुमान के नियमया निगमनात्मक तर्क के पैटर्न।

ऐसे कई नियम हैं, लेकिन सबसे अधिक इस्तेमाल निम्नलिखित हैं:

1. - निष्कर्ष का नियम;

2. - नकार का नियम;

3. - न्यायशास्त्र का नियम.

चलो हम देते है उदाहरण से निष्कर्ष निकाले गएनियम निष्कर्ष:"अगर किसी नंबर की रिकॉर्डिंग एक्सएक संख्या के साथ समाप्त होता है 5, वह नंबर एक्सद्वारा विभाजित 15. एक संख्या लिखना 135 एक संख्या के साथ समाप्त होता है 5 . इसलिए, संख्या 135 द्वारा विभाजित 5 ».

इस निष्कर्ष में सामान्य आधार कथन "यदि" है ओह),वह बी(एक्स)", कहाँ ओह)- यह "संख्या का रिकॉर्ड" है एक्सएक संख्या के साथ समाप्त होता है 5 ", ए बी(एक्स)- "संख्या एक्सद्वारा विभाजित 5 " एक विशेष आधार एक कथन है जो सामान्य आधार की स्थिति से प्राप्त होता है
एक्स = 135(वे। ए(135)). निष्कर्ष एक कथन है जो से व्युत्पन्न होता है बी(एक्स)पर एक्स = 135(वे। वी(135)).

चलो हम देते है नियम के अनुसार निकाले गए निष्कर्ष का उदाहरण नकारात्मक:"अगर किसी नंबर की रिकॉर्डिंग एक्सएक संख्या के साथ समाप्त होता है 5, वह नंबर एक्सद्वारा विभाजित 5 . संख्या 177 से विभाज्य नहीं है 5 . इसलिए यह किसी संख्या के साथ समाप्त नहीं होता है 5 ».

हम देखते हैं कि इस निष्कर्ष में सामान्य आधार पिछले एक जैसा ही है, और विशेष कथन "संख्या" का खंडन है 177 द्वारा विभाजित 5 "(अर्थात।)। निष्कर्ष वाक्य "एक संख्या लिखना" का निषेध है 177 एक संख्या के साथ समाप्त होता है 5 "(अर्थात।)।

अंत में, आइए विचार करें पर आधारित एक अनुमान का उदाहरण न्यायवाक्य नियम: "यदि संख्या एक्सएकाधिक 12, तो यह एक गुणक है 6. यदि संख्या एक्सएकाधिक 6 , तो यह एक गुणज है 3 . इसलिए, यदि संख्या एक्सएकाधिक 12, तो यह एक गुणक है 3 ».

इस निष्कर्ष के दो आधार हैं: “यदि ओह),वह बी(एक्स)" और अगर बी(एक्स),वह सी(एक्स)", जहां A(x) "संख्या है एक्सएकाधिक 12 », बी(एक्स)- "संख्या एक्सएकाधिक 6 " और सी(एक्स)- "संख्या एक्सएकाधिक 3 " निष्कर्ष एक कथन है "यदि"। ओह),वह सी(एक्स)».

आइए जाँचें कि क्या निम्नलिखित निष्कर्ष सही हैं:

1) यदि एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो उसके विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं। एबीसीडी- रोम्बस इसलिए, इसके विकर्ण परस्पर लंबवत हैं।

2) यदि संख्या विभाज्य है 4 , फिर इसे विभाजित किया जाता है 2 . संख्या 22 द्वारा विभाजित 2 . इसलिए, इसे विभाजित किया गया है 4.

3) सभी पेड़ पौधे हैं। चीड़ एक पेड़ है. इसका मतलब यह है कि चीड़ एक पौधा है।

4) इस कक्षा के सभी छात्र थिएटर गए। पेट्या थिएटर में नहीं थी। इसलिए, पेट्या इस कक्षा की छात्रा नहीं है।

5) यदि किसी भिन्न का अंश, हर से कम है, तो भिन्न सही है। यदि कोई भिन्न उचित है, तो वह 1 से कम है। इसलिए, यदि किसी भिन्न का अंश, हर से कम है, तो भिन्न 1 से कम है।

समाधान: 1) अनुमान की सत्यता के प्रश्न को हल करने के लिए आइए हम इसके तार्किक स्वरूप की पहचान करें। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: सी(एक्स)- "चतुर्भुज" एक्स- रोम्बस", बी(एक्स)- “चतुष्कोण में एक्सविकर्ण परस्पर लंबवत हैं।" तब पहला आधार इस प्रकार लिखा जा सकता है:
सी(एक्स) बी(एक्स),दूसरा - सीए),और निष्कर्ष बी ० ए)।

इस प्रकार इस अनुमान का स्वरूप इस प्रकार है: . इसका निर्माण निष्कर्ष के नियम के अनुसार किया गया है। अत: यह तर्क सही है।

2) आइए संकेतन का परिचय दें: ओह)- "संख्या एक्सद्वारा विभाजित 4 », बी(एक्स)- "संख्या एक्सद्वारा विभाजित 2 " फिर हम पहला आधार लिखते हैं: ओह)बी(एक्स),दूसरा बी ० ए),और निष्कर्ष यह है ए(ए).निष्कर्ष इस प्रकार होगा: .

ज्ञात लोगों में ऐसा कोई तार्किक रूप नहीं है। यह देखना आसान है कि दोनों आधार सत्य हैं और निष्कर्ष ग़लत है।

इसका मतलब यह है कि यह तर्क ग़लत है.

3) आइए कुछ संकेतन का परिचय दें। होने देना ओह)- "अगर एक्सपेड़", बी(एक्स) - « एक्सपौधा"। फिर पार्सल फॉर्म लेगा: ओह)बी(एक्स), ए(ए),और निष्कर्ष बी ० ए)।हमारा निष्कर्ष इस रूप में बनाया गया है: - निष्कर्ष के नियम.

इसका मतलब है कि हमारा तर्क सही ढंग से संरचित है।

4) चलो ओह) - « एक्स- हमारी कक्षा के छात्र, बी(एक्स)- “छात्र एक्सथिएटर गया।" तब पार्सल इस प्रकार होंगे: ओह)बी(एक्स),, और निष्कर्ष।

यह निष्कर्ष निषेध के नियम पर आधारित है:

- इसका मतलब यह सही है.

5) आइए अनुमान के तार्किक रूप की पहचान करें। होने देना ए(एक्स) -"एक अंश का अंश एक्सहर से कम।" बी(एक्स) - "अंश एक्स- सही।" सी(एक्स)- "अंश" एक्सकम 1 " फिर पार्सल फॉर्म लेगा: ओह)बी(एक्स), बी(एक्स) सी(एक्स),और निष्कर्ष ओह)सी(एक्स).

हमारे निष्कर्ष का निम्नलिखित तार्किक रूप होगा: - न्यायशास्त्र का नियम.

इसका मतलब यह है कि यह निष्कर्ष सही है.

तर्कशास्त्र में, अनुमानों की सत्यता की जांच करने के विभिन्न तरीकों पर विचार किया जाता है, जिनमें शामिल हैं यूलर सर्कल का उपयोग करके अनुमानों की शुद्धता का विश्लेषण।इसे निम्नानुसार किया जाता है: निष्कर्ष सेट-सैद्धांतिक भाषा में लिखा गया है; यूलर सर्कल पर परिसरों को सच मानते हुए चित्रित करें; वे यह देखना चाहते हैं कि निष्कर्ष सदैव सत्य है या नहीं। यदि हां, तो वे कहते हैं कि अनुमान सही ढंग से बनाया गया है। यदि कोई रेखाचित्र संभव हो जिससे यह स्पष्ट हो कि निष्कर्ष गलत है तो वे कहते हैं कि निष्कर्ष गलत है।

तालिका 9

आइए हम दिखाते हैं कि अनुमान के नियम के अनुसार किया गया अनुमान निगमनात्मक होता है। सबसे पहले, आइए इस नियम को सेट-सैद्धांतिक भाषा में लिखें।

पैकेट ओह)बी(एक्स)के रूप में लिखा जा सकता है प्रादेशिक सेनाटीवी, कहाँ प्रादेशिक सेनाऔर टीवी- प्रस्तावात्मक रूपों का सत्य सेट ओह)और बी(x).

निजी पार्सल ए(ए)मतलब कि एटीए,और निष्कर्ष बी ० ए)पता चलता है कि एटी.वी.

अनुमान नियम के अनुसार निर्मित संपूर्ण अनुमान सेट-सैद्धांतिक भाषा में इस प्रकार लिखा जाएगा: .

चावल। 58.

उदाहरण।

1. क्या यह निष्कर्ष सही है कि "यदि कोई संख्या किसी संख्या में समाप्त होती है"? 5, तो वह संख्या विभाज्य है 5. संख्या 125 द्वारा विभाजित 5. इसलिए, संख्या लिख ​​रहे हैं 125 एक संख्या के साथ समाप्त होता है 5 »?

समाधान:यह निष्कर्ष योजना के अनुसार बनाया गया है , जो मेल खाता है . ऐसी कोई योजना हमें ज्ञात नहीं है। आइए जानें कि क्या यह निगमनात्मक अनुमान का नियम है?

आइए यूलर सर्कल का उपयोग करें। सेट-सैद्धांतिक भाषा में

परिणामी नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

. आइए हम यूलर सर्कल पर सेटों को चित्रित करें प्रादेशिक सेनाऔर टीवीऔर तत्व को निरूपित करें एबहुतों से टी.वी.

यह पता चला है कि इसे एक सेट में समाहित किया जा सकता है टीए,या उसका नहीं हो सकता (चित्र 59)। तर्क में, यह माना जाता है कि ऐसी योजना निगमनात्मक अनुमान का नियम नहीं है, क्योंकि यह निष्कर्ष की सत्यता की गारंटी नहीं देती है।

यह निष्कर्ष सही नहीं है, क्योंकि यह एक ऐसी योजना के अनुसार बनाया गया है जो तर्क की सत्यता की गारंटी नहीं देता है।

चावल। 59.

ख) सभी क्रियाएँ प्रश्न का उत्तर देती हैं "क्या करें?" या "मुझे क्या करना चाहिए?" शब्द "कॉर्नफ्लावर" इनमें से किसी भी प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। इसलिए, "कॉर्नफ्लावर" एक क्रिया नहीं है।

समाधान:ए) आइए इस निष्कर्ष को सेट-सैद्धांतिक भाषा में लिखें। आइए हम इसे निरूपित करें ए- शिक्षा संकाय के कई छात्र, के माध्यम से में- कई छात्र जो शिक्षक हैं, के माध्यम से साथ- कई छात्र 20 वर्ष से अधिक उम्र के हैं।

तब निष्कर्ष यह रूप लेगा: .

यदि हम इन सेटों को वृत्तों पर चित्रित करें, तो 2 स्थितियाँ संभव हैं:

1) सेट ए, बी, सीप्रतिच्छेद;

2) सेट मेंअनेकों के साथ मेल खाता है साथऔर ए,और बहुत कुछ एकाटती है में, लेकिन साथ प्रतिच्छेद नहीं करता साथ।

ख)आइए हम इसे निरूपित करें एकई क्रियाएँ, और के माध्यम से मेंबहुत सारे शब्द हैं जो इस प्रश्न का उत्तर देते हैं कि "क्या करें?" या "मुझे क्या करना चाहिए?"

तब निष्कर्ष इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 1। छात्र से यह समझाने के लिए कहा जाता है कि संख्या 23 को 20 + 3 के योग के रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है। वह कारण बताता है: “संख्या 23 दो अंकों की है। किसी भी दो अंकीय संख्या को अंकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, 23 = 20 + 3।"

इस निष्कर्ष में पहला और दूसरा वाक्य परिसर हैं, और सामान्य प्रकृति का एक कथन यह है कि "किसी भी दो अंकों की संख्या को अंकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है," और दूसरा विशेष है, यह केवल संख्या 23 की विशेषता बताता है - यह दो अंकों का है. निष्कर्ष - यह वाक्य जो "इसलिए" शब्द के बाद आता है - प्रकृति में भी निजी है, क्योंकि यह विशिष्ट संख्या 23 को संदर्भित करता है।

अनुमान, जो आमतौर पर प्रमेयों को सिद्ध करने में उपयोग किए जाते हैं, तार्किक निहितार्थ की अवधारणा पर आधारित होते हैं। इसके अलावा, तार्किक निहितार्थ की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रस्तावित चर के सभी मूल्यों के लिए जिनके लिए प्रारंभिक कथन (आधार) सत्य हैं, प्रमेय का निष्कर्ष भी सत्य है। ऐसे निष्कर्ष निगमनात्मक होते हैं।

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण में, दिया गया अनुमान निगमनात्मक है।

उदाहरण 2. प्राथमिक स्कूली बच्चों को गुणन के क्रमविनिमेय गुण से परिचित कराने की एक तकनीक इस प्रकार है। विभिन्न दृश्य सामग्री का उपयोग करते हुए, स्कूली बच्चे, शिक्षक के साथ मिलकर, यह स्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, 6 3 = 36, 52 = 25. फिर, प्राप्त समानताओं के आधार पर, वे निष्कर्ष निकालते हैं: सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एऔर बीसमानता सत्य है अब = बा.

इस निष्कर्ष में, परिसर पहली दो समानताएँ हैं। उनका दावा है कि ऐसी संपत्ति विशिष्ट प्राकृतिक संख्याओं के लिए होती है। इस उदाहरण में निष्कर्ष एक सामान्य कथन है - प्राकृतिक संख्याओं के गुणन का क्रमविनिमेय गुण।

इस निष्कर्ष में, एक विशेष प्रकृति का परिसर यह दर्शाता है कुछप्राकृतिक संख्याओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से उत्पाद नहीं बदलता है। और इस आधार पर यह निष्कर्ष निकाला गया कि सभी प्राकृतिक संख्याओं में यह गुण होता है। ऐसे अनुमानों को अपूर्ण प्रेरण कहा जाता है।

वे। कुछ प्राकृत संख्याओं के लिए यह तर्क दिया जा सकता है कि योग उनके गुणनफल से कम है। इसका मतलब यह है कि इस तथ्य के आधार पर कि कुछ संख्याओं में यह गुण होता है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी प्राकृतिक संख्याओं में यह गुण होता है:

यह उदाहरण सादृश्य तर्क का एक उदाहरण है।

अंतर्गत समानताएक अनुमान को समझें जिसमें दो वस्तुओं की कुछ विशेषताओं में समानता और उनमें से एक में एक अतिरिक्त विशेषता की उपस्थिति के आधार पर दूसरी वस्तु में उसी विशेषता की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

सादृश्य द्वारा एक निष्कर्ष एक धारणा, एक परिकल्पना की प्रकृति में है, और इसलिए या तो प्रमाण या खंडन की आवश्यकता है।

निष्कर्ष निकालते समय, तार्किक संयोजकों को शुरू करने और हटाने के नियमों को उसी तरह प्रस्तुत करना सुविधाजनक होता है जैसे अनुमान के नियम:

नियम 1।यदि परिसर $F_1$ और $F_2$ का अर्थ "और" है, तो उनका संयोजन सत्य है, अर्थात।

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

यह प्रविष्टि, यदि परिसर $F_1$ और $F_2$ सत्य हैं, तो निष्कर्ष में संयोजन के तार्किक संयोजन को पेश करने की संभावना प्रदान करता है; यह नियम स्वयंसिद्ध A5 के समान है (देखें);

नियम 2.यदि $(F_1\&F_2)$ का मान "और" है, तो उपसूत्र $F_1$ और $F_2$ सत्य हैं, अर्थात।

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: और \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

यह संकेतन, यदि $(F_1\&F_2)$ सत्य है, तो निष्कर्ष में संयोजन के तार्किक संयोजक को हटाने और उपसूत्रों $F_1$ और $F_2$ के वास्तविक मूल्यों पर विचार करने की संभावना प्रदान करता है; यह नियम अभिगृहीत A3 और A4 के समान है;

नियम 3.यदि $F_1$ का मान "और" है, और $(F_1\&F_2)$ का मान "l" है, तो उपसूत्र $F_2$ गलत है, यानी।

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

यह प्रविष्टि, यदि $(F_1\&F_2)$ गलत है और एक उपसूत्र सत्य है, तो निष्कर्ष में संयोजन के तार्किक संयोजन को हटाने और दूसरे उपसूत्र के मान को गलत मानने की संभावना प्रदान करता है;

नियम 4.यदि कम से कम एक आधार $F_1$ या $F_2$ सत्य है, तो उनका विच्छेदन सत्य है, अर्थात।

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: या \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

यह संकेतन, यदि कम से कम एक उपसूत्र $F_1$ या $F_2$ सत्य है, तो निष्कर्ष में विच्छेदन के तार्किक संयोजक को पेश करने की संभावना प्रदान करता है; यह नियम अभिगृहीत A6 और A7 के समान है;

नियम 5.यदि $(F_1\vee F_2)$ का मान "और" है और $F_1$ या $F_2$ में से एक उपसूत्र का मान "l" है, तो दूसरा उपसूत्र $F_2$ या $F_1$ सत्य है, अर्थात।

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: या \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right . \!\!F_2 )( (F_1)$$

यह संकेतन, यदि $(F_1\vee F_2)$ सत्य है, तो निष्कर्ष में विच्छेदन के तार्किक संयोजक को हटाने और उपसूत्रों $F_1$ या $F_2$ के वास्तविक मूल्यों पर विचार करने की संभावना प्रदान करता है;

नियम 6.यदि उपसूत्र $F_2$ का मान "और" है, तो उपसूत्र $F_1$ के किसी भी मान के लिए सूत्र $(F_1\rightarrow F_2)$ सत्य है, अर्थात।

$$\frac(F_2)( (F_1\दायाँ तीर F_2))$$

यह अंकन, $F_2$ के वास्तविक मूल्य के साथ, उपसूत्र $F_1$ ("किसी भी चीज़ से सत्य") के किसी भी मूल्य के लिए तार्किक संयोजक के निष्कर्ष में निहितार्थ पेश करने की संभावना प्रदान करता है; यह नियम अभिगृहीत 1 के समान है;

नियम 7.यदि उपसूत्र $F_1$ का मान "l" है, तो उपसूत्र $F_2$ के किसी भी मान के लिए सूत्र $(F_1\rightarrow F_2)$ सत्य है, अर्थात।

$$\frac(\left\rcil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

यह संकेतन, यदि $F_1$ का मान गलत है, तो उपसूत्र $F_2$ ("झूठे से कुछ भी") के किसी भी मूल्य के लिए तार्किक संयोजक के निष्कर्ष में निहितार्थ पेश करने की संभावना प्रदान करता है;

नियम 8.यदि सूत्र $(F_1\rightarrow F_2)$ का मान "और" है, तो सूत्र $(\left\rcil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ सत्य है, अर्थात

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

यह प्रविष्टि, $(F_1\rightarrow F_2)$ के वास्तविक मूल्य के साथ, उनके मूल्यों को बदलने के साथ-साथ निहितार्थ के ध्रुवों की अदला-बदली की संभावना निर्धारित करती है; यह विरोधाभास का नियम है;

नियम 9.यदि सूत्र $(F_1\राइटएरो F_2)$ का मान "और" है, तो सूत्र $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ $F_3$ के किसी भी मान के लिए सत्य है, अर्थात।

$$\frac((F_1\राइटएरो F_2) )(((F_1\vee F_3)\राइटएरो (F_2\vee F_3)) $$

यह प्रविष्टि, $(F_1\rightarrow F_2)$ के वास्तविक मान के साथ, निहितार्थ के प्रत्येक ध्रुव पर सूत्र $F_3$ के किसी भी मान के लिए विच्छेदन ऑपरेशन करने की क्षमता निर्धारित करती है; यह नियम अभिगृहीत A11 के समान है।

नियम 10.यदि सूत्र $(F_1\rightarrow F_2)$ का मान "और" है, तो सूत्र $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ $F_3$ के किसी भी मान के लिए सत्य है, अर्थात।

$$\frac((F_1\दायां तीर F_2) )(((F_1\&F_3)\दायां तीर (F_2\&F_3))$$

यह प्रविष्टि, $(F_1\rightarrow F_2)$ के वास्तविक मान के साथ, निहितार्थ के प्रत्येक ध्रुव पर सूत्र $F_3$ के किसी भी मान के लिए संयोजन संचालन करने की क्षमता निर्धारित करती है; यह नियम स्वयंसिद्ध A10 के समान है।

नियम 11.यदि सूत्र $(F_1\दाहिने तीर F_2)$ और $(F_2\दाहिने तीर F_3)$ का मान "और" है, तो सूत्र $(F_1\दाहिने तीर F_3)$ सत्य है, अर्थात।

$$\frac((F_1\दायां तीर F_2); (F_2\दायां तीर F_3) )((F_1\दायां तीर F_3))$$

यह प्रविष्टि, $(F_1\rightarrow F_2)$ और $(F_2\rightarrow F_3)$ के वास्तविक मान के साथ, निहितार्थ $(F_1\rightarrow F_3)$ (syllogism का नियम) बनाने की संभावना प्रदान करती है; यह नियम अभिगृहीत A2 के समान है;

नियम 12.यदि सूत्र $F_1$ और $(F_1\rightarrow F_2)$ का मान "और" है, तो सूत्र $F_2$ सत्य है, अर्थात।

$$\frac(F_1; (F_1\दायाँ तीर F_2) )( F_2)$$

यह प्रविष्टि, आधार $F_1$ का सही मूल्य और निहितार्थ $(F_1\rightarrow F_2)$ को देखते हुए, आपको निहितार्थ के तार्किक संयोजक को हटाने और निष्कर्ष $F_2$ का सही मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देती है;

नियम 13.यदि सूत्र $\left\rcil\right हैं। \!\!F_2 और (F_1\rightarrow F_2)$ का अर्थ "और" है, तो सूत्र $\left\rceil\right सत्य है। \!\!F_1$, अर्थात्।

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

इस प्रविष्टि को आधार $\left\rceil\right का सही मान दिया गया है। \!\!F_2$ और निहितार्थ $(F_1\rightarrow F_2)$ आपको निहितार्थ के तार्किक संयोजक को हटाने और निष्कर्ष $\left\rceil\right का सही मूल्य निर्धारित करने की अनुमति देता है। \!\!F_1$;

नियम 14.यदि सूत्र $(F_1\rightarrow F_2)$ और $(F_2\rightarrow F_1)$ का मान "और" है, तो सूत्र $(F_1\leftrightarrow F_2)$ सत्य है, यानी।

$$\frac((F_1\दायां तीर F_2); (F_2\दायां तीर F_1) )( (F_1\बाएंदायां तीर F_2))$$

यह प्रविष्टि, $(F_1\rightarrow F_2)$ और $(F_2\rightarrow F_1)$ के वास्तविक मान के साथ, आपको एक तार्किक तुल्यता संयोजक प्रस्तुत करने और सूत्र $(F_1\leftrightarrow F_2)$ का मान निर्धारित करने की अनुमति देती है;

नियम 15.यदि सूत्र $(F_1\leftrightarrow F_2)$ का मान "और" है, तो सूत्र $(F_1\rightarrow F_2)$ और $(F_2\rightarrow F_1)$ सत्य हैं, अर्थात।

$$\frac((F_1\बाएंदायां तीर F_2) )( (F_1\दायां तीर F_2) ) \: और \: \frac((F_1\बाएंदायां तीर F_2) )( (F_2\दायां तीर F_1) )$$

यह प्रविष्टि, $(F_1\leftrightarrow F_2)$ के वास्तविक मान के साथ, आपको तुल्यता के तार्किक संयोजन को हटाने और सूत्रों $(F_1\rightarrow F_2)$ और $(F_2\rightarrow F_1) का सही मान निर्धारित करने की अनुमति देती है। $.