ത്രികോണമിതിയിലും സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിലും ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, കൂടാതെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ സംയോജനത്തിനുള്ള ഡിറിച്ലെറ്റ് വ്യവസ്ഥകളും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും. കൂടാതെ, സിഗ്നൽ സ്പെക്ട്രത്തിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തി പോലുള്ള ഒരു ആശയത്തിൻ്റെ വിശദീകരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വസിക്കും, ഇത് സ്പെക്ട്രൽ വിശകലനത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവുമായി പരിചയപ്പെടുമ്പോൾ പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.
ആനുകാലിക സിഗ്നൽ. ത്രികോണമിതി ഫോറിയർ പരമ്പര
ഒരു കാലയളവ് c ഉപയോഗിച്ച് ആവർത്തിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ സമയത്തിൻ്റെ ഒരു ആനുകാലിക സിഗ്നൽ ഉണ്ടാകട്ടെ, അതായത്. , ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യ എവിടെയാണ്.
ഉദാഹരണമായി, ചിത്രം 1, c ദൈർഘ്യമുള്ള ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള പൾസുകളുടെ ഒരു ക്രമം കാണിക്കുന്നു, ഇത് c കാലയളവിനൊപ്പം ആവർത്തിക്കുന്നു.
ചിത്രം 1. ആനുകാലിക ക്രമം
ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള പൾസുകൾ
ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ ഗതിയിൽ നിന്ന്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം അറിയപ്പെടുന്നു
ഒന്നിലധികം ആവൃത്തികളിൽ, rad/s ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഡിറിച്ലെറ്റ് വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു കാലഘട്ടത്തോടുകൂടിയ ആനുകാലിക സിഗ്നലുകളുടെ വിഘടനത്തിന് ഇത് ഒരു യാഥാസ്ഥിതിക അടിസ്ഥാനമായി മാറുന്നു. ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഒത്തുചേരലിനുള്ള ഡിറിച്ലെറ്റ് വ്യവസ്ഥകൾക്ക് സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു ആനുകാലിക സിഗ്നൽ വ്യക്തമാക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയും വേണം:
ഉദാഹരണത്തിന്, ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം 
ഫംഗ്ഷൻ കാരണം Dirichlet വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള വിച്ഛേദനങ്ങൾ ഉണ്ട്, ഇവിടെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. അതിനാൽ പ്രവർത്തനം പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല ഫോറിയറിന് സമീപം. നിങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണവും നൽകാം 
, ഇത് പരിമിതമാണ്, മാത്രമല്ല ഡിറിച്ലെറ്റ് വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല, കാരണം പൂജ്യത്തോടടുക്കുമ്പോൾ ഇതിന് അനന്തമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
ചിത്രം 2. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് :
a - രണ്ട് ആവർത്തന കാലഘട്ടങ്ങൾ; ബി - സമീപത്ത്
ചിത്രം 2a ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ട് ആവർത്തന കാലയളവുകൾ കാണിക്കുന്നു , കൂടാതെ ചിത്രം 2b - യുടെ സമീപത്തുള്ള പ്രദേശം. പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുമ്പോൾ, ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ ആവൃത്തി അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്നതായി കാണാൻ കഴിയും, കൂടാതെ അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസിന് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അത് കഷണങ്ങളായി ഏകതാനമല്ല.
പ്രായോഗികമായി അനന്തമായ കറൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ വോൾട്ടേജ് മൂല്യങ്ങളുള്ള സിഗ്നലുകൾ ഇല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. തരത്തിൻ്റെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബാധകമായ പ്രശ്നങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ല. എല്ലാ യഥാർത്ഥ ആനുകാലിക സിഗ്നലുകളും ഡിറിച്ലെറ്റ് അവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, കൂടാതെ ഫോമിൻ്റെ അനന്തമായ ത്രികോണമിതി ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും:
എക്സ്പ്രഷനിൽ (2), കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ആവർത്തന സിഗ്നലിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ഘടകം വ്യക്തമാക്കുന്നു.
സിഗ്നൽ തുടർച്ചയായുള്ള എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും, ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് (2) തന്നിരിക്കുന്ന സിഗ്നലിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലേക്കും, ആദ്യ തരം നിർത്തലാക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ - ശരാശരി മൂല്യത്തിലേക്കും, ഇടത്തേക്കുള്ള പരിധികൾ എവിടെയാണ്, ഒപ്പം യഥാക്രമം നിർത്തലാക്കൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ വലതുവശത്ത്.
ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ ഗതിയിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്നത്, ഒരു അനന്തമായ തുകയ്ക്ക് പകരം ആദ്യ പദങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയുടെ ഉപയോഗം, സിഗ്നലിൻ്റെ ഏകദേശ പ്രതിനിധാനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:
അതിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ശരാശരി ചതുര പിശക് ഉറപ്പാക്കുന്നു. ഫോറിയർ സീരീസ് പദങ്ങളുടെ വ്യത്യസ്‌ത സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ആനുകാലിക ചതുര തരംഗ ട്രെയിനിൻ്റെയും ആനുകാലിക റാംപ് തരംഗത്തിൻ്റെയും ഏകദേശ കണക്ക് ചിത്രം 3 വ്യക്തമാക്കുന്നു.
ചിത്രം 3. വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഫോറിയർ സീരീസ് ഉപയോഗിച്ചുള്ള സിഗ്നലുകളുടെ ഏകദേശ കണക്ക്:
a - ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പൾസുകൾ; b - sawtooth സിഗ്നൽ
സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ ഫോറിയർ സീരീസ്
മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ, Dirichlet വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ആനുകാലിക സിഗ്നലിൻ്റെ വികാസത്തിനായി ഞങ്ങൾ ത്രികോണമിതി ഫോറിയർ സീരീസ് പരിശോധിച്ചു. യൂലറുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് കാണിക്കാം:
തുടർന്ന് ത്രികോണമിതി ഫോറിയർ സീരീസ് (2) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ (4):
അങ്ങനെ, ഒരു ആനുകാലിക സിഗ്നലിനെ പോസിറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസികൾക്കായുള്ള ഗുണകങ്ങളുള്ള ആവൃത്തികളിൽ കറങ്ങുന്ന ഒരു സ്ഥിരമായ ഘടകത്തിൻ്റെയും സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകളുടെയും ആകെത്തുകയും നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികളിൽ കറങ്ങുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം.
പോസിറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസികൾ ഉപയോഗിച്ച് കറങ്ങുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ എക്സ്പോണൻഷ്യലുകൾക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:
അതുപോലെ, നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ എക്സ്പോണൻഷ്യലുകൾക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ ഇവയാണ്:
എക്സ്പ്രഷനുകൾ (6) ഉം (7) ഒത്തുചേരുന്നു, കൂടാതെ, സ്ഥിരമായ ഘടകം പൂജ്യം ആവൃത്തിയിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ എക്സ്പോണൻഷ്യലിലൂടെയും എഴുതാം:
അങ്ങനെ, (5) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ (6)-(8) മൈനസ് അനന്തതയിൽ നിന്ന് അനന്തതയിലേക്ക് സൂചികയിലാക്കുമ്പോൾ ഒരൊറ്റ തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
(2) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു യഥാർത്ഥ സിഗ്നലിനായി പരമ്പരയുടെ (2) ഗുണകങ്ങളും യഥാർത്ഥമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, (9) പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജന ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഒരു യഥാർത്ഥ സിഗ്നലിനെ ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു.
സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ ഫോറിയർ പരമ്പരയുടെ ചില വിശദീകരണങ്ങൾ
മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ത്രികോണമിതി ഫോറിയർ സീരീസിൽ നിന്ന് (2) ഫോറിയർ ശ്രേണിയിലേക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ (9) മാറ്റം വരുത്തി. തൽഫലമായി, യഥാർത്ഥ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ആനുകാലിക സിഗ്നലുകൾ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുപകരം, സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണകങ്ങളോടുകൂടിയ ഒരു വികാസം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു, മാത്രമല്ല വികാസത്തിൽ നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികൾ പോലും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു! ഈ പ്രശ്നം പലപ്പോഴും തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, ചില വിശദീകരണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്.
ആദ്യം, സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നത് ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനേക്കാൾ എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, കോംപ്ലക്സ് എക്സ്പോണൻ്റുകളെ ഗുണിക്കുമ്പോഴും ഹരിക്കുമ്പോഴും, ഘാതകങ്ങൾ കൂട്ടി (കുറയ്ക്കുക) മതിയാകും, അതേസമയം ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനും ഹരിക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകളെ, സങ്കീർണ്ണമായവയെപ്പോലും വേർതിരിക്കുന്നതും സംയോജിപ്പിക്കുന്നതും, ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളേക്കാൾ എളുപ്പമാണ്, അത് വ്യത്യസ്‌തമാക്കുകയും സംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ നിരന്തരം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു (സൈൻ കോസൈനായി മാറുന്നു, തിരിച്ചും).
സിഗ്നൽ ആനുകാലികവും യഥാർത്ഥവുമാണെങ്കിൽ, ത്രികോണമിതി ഫോറിയർ സീരീസ് (2) കൂടുതൽ വ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, കാരണം എല്ലാ വിപുലീകരണ ഗുണകങ്ങളും യഥാർത്ഥമായി തുടരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരാൾക്ക് പലപ്പോഴും സങ്കീർണ്ണമായ ആനുകാലിക സിഗ്നലുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, മോഡുലേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോഴും ഡീമോഡുലേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോഴും, സങ്കീർണ്ണമായ എൻവലപ്പിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രേച്ചർ പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ത്രികോണമിതി ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും , വിപുലീകരണങ്ങളും (2) സങ്കീർണ്ണമാകും, അതേസമയം സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ (9) ഫോറിയർ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥവും സങ്കീർണ്ണവുമായ ഇൻപുട്ട് സിഗ്നലുകൾക്ക് ഒരേ വിപുലീകരണ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. .
അവസാനമായി, (9) ൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികളുടെ വിശദീകരണത്തിൽ വസിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ ചോദ്യം പലപ്പോഴും തെറ്റിദ്ധാരണ ഉണ്ടാക്കുന്നു. IN ദൈനംദിന ജീവിതംഞങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസികൾ നേരിടുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ ഒരിക്കലും നമ്മുടെ റേഡിയോയെ നെഗറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസിയിലേക്ക് ട്യൂൺ ചെയ്യില്ല. മെക്കാനിക്സിൽ നിന്നുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സാമ്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഒരു നിശ്ചിത ആവൃത്തിയിൽ സ്വതന്ത്രമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്ന ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലം ഉണ്ടാകട്ടെ. ഒരു പെൻഡുലത്തിന് നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തിയിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ? തീർച്ചയായും ഇല്ല. നെഗറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസിയിൽ പ്രക്ഷേപണം ചെയ്യുന്ന റേഡിയോ സ്റ്റേഷനുകൾ ഇല്ലാത്തതുപോലെ, ഒരു പെൻഡുലത്തിൻ്റെ ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ആവൃത്തി നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല. എന്നാൽ ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലം ഒരു ഏകമാന വസ്തുവാണ് (പെൻഡുലം ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നു).
മെക്കാനിക്സിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു സാമ്യവും നമുക്ക് നൽകാം: ആവൃത്തിയിൽ കറങ്ങുന്ന ഒരു ചക്രം. ചക്രം, പെൻഡുലത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, കറങ്ങുന്നു, അതായത്. ചക്രത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് ഒരു തലത്തിൽ നീങ്ങുന്നു, മാത്രമല്ല ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നില്ല. അതിനാൽ, ചക്രത്തിൻ്റെ ഭ്രമണം അദ്വിതീയമായി വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഭ്രമണ വേഗത ക്രമീകരിക്കുന്നത് പര്യാപ്തമല്ല, കാരണം ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ദിശയും സജ്ജമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇതുകൊണ്ടാണ് നമുക്ക് ഫ്രീക്വൻസി ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുന്നത്.
അതിനാൽ, ചക്രം ഒരു കോണീയ ഫ്രീക്വൻസി റാഡ് / സെ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ കറങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, ചക്രം പോസിറ്റീവ് ആവൃത്തിയിൽ കറങ്ങുന്നതായി ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു, ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ, ഭ്രമണ ആവൃത്തി നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ, ഒരു റൊട്ടേഷൻ കമാൻഡിന്, ഒരു നെഗറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസി അസംബന്ധമായി മാറുകയും ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ദിശയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ട ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം. ഒരു ഏകമാന വസ്തുവിൻ്റെ ആന്ദോളനം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലം) ചിത്രം 4 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ഭ്രമണങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
ചിത്രം 4. ഒരു സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലത്തിൻ്റെ ആന്ദോളനം
രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ഭ്രമണങ്ങളുടെ ആകെത്തുക
സങ്കീർണ്ണമായ വിമാനത്തിൽ
പെൻഡുലം ഹാർമോണിക് നിയമമനുസരിച്ച് ഒരു ആവൃത്തിയിൽ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ടിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യുന്നു. പെൻഡുലത്തിൻ്റെ ചലനം ഒരു തിരശ്ചീന വെക്റ്ററായി കാണിക്കുന്നു. മുകളിലെ വെക്റ്റർ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ പോസിറ്റീവ് ഫ്രീക്വൻസിയിൽ (എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ) കറങ്ങുന്നു, താഴെയുള്ള വെക്റ്റർ നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തിയിൽ (ഘടികാരദിശയിൽ) കറങ്ങുന്നു. ത്രികോണമിതി കോഴ്സിൽ നിന്നുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന ബന്ധം ചിത്രം 4 വ്യക്തമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു:
അങ്ങനെ, സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിലുള്ള (9) ഫോറിയർ സീരീസ് പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയായി ആനുകാലിക ഏകമാന സിഗ്നലുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതേ സമയം, ഒരു യഥാർത്ഥ സിഗ്നലിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, (9) അനുസരിച്ച്, നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികൾക്കുള്ള വിപുലീകരണ ഗുണകങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആവൃത്തികൾക്കുള്ള അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളുമായി സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനമാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സിഗ്നലിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഗുണകങ്ങളുടെ ഈ ഗുണം നിലനിൽക്കുന്നില്ല, മാത്രമല്ല സങ്കീർണ്ണവുമാണ്.
ആനുകാലിക സിഗ്നലുകളുടെ സ്പെക്ട്രം
സിഗ്നലിൻ്റെ സ്പെക്ട്രം നിർണ്ണയിക്കുന്ന അനുബന്ധ കോംപ്ലക്സ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുള്ള റാഡ്/സിയുടെ ഗുണിതങ്ങളിൽ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് ആവൃത്തികളിൽ കറങ്ങുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകളുടെ ആകെത്തുകയായി ഒരു ആനുകാലിക സിഗ്നലിനെ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതാണ് സങ്കീർണ്ണ രൂപത്തിലുള്ള ഫോറിയർ സീരീസ്. കോംപ്ലക്സ് ഗുണകങ്ങളെ യൂലറുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം, എവിടെയാണ് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് സ്പെക്ട്രം, a ആണ് ഘട്ടം സ്പെക്ട്രം.
ആനുകാലിക സിഗ്നലുകൾ ഒരു നിശ്ചിത ഫ്രീക്വൻസി ഗ്രിഡിൽ മാത്രം ഒരു നിരയിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ആനുകാലിക സിഗ്നലുകളുടെ സ്പെക്ട്രം രേഖയാണ് (വ്യതിരിക്തമായത്).
ചിത്രം 5. ഒരു ആവർത്തന ശ്രേണിയുടെ സ്പെക്ട്രം
ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പൾസുകൾ:
a - ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് സ്പെക്ട്രം; b - ഘട്ടം സ്പെക്ട്രം
സി, പൾസ് ദൈർഘ്യം സി, പൾസ് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് ബി എന്നിവയിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പൾസുകളുടെ ആനുകാലിക ശ്രേണിയുടെ (ചിത്രം 1 കാണുക) ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡിൻ്റെയും ഘട്ടം സ്പെക്ട്രത്തിൻ്റെയും ഒരു ഉദാഹരണം ചിത്രം 5 കാണിക്കുന്നു.
കാലയളവ് 2π ഉള്ള ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണി.
ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിച്ച് പഠിക്കാൻ ഫോറിയർ സീരീസ് നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. ഇതര വൈദ്യുതധാരകളും വോൾട്ടേജുകളും, സ്ഥാനചലനങ്ങളും, ക്രാങ്ക് മെക്കാനിസങ്ങളുടെ വേഗതയും ത്വരിതവും, ശബ്ദ തരംഗങ്ങളും സാധാരണമാണ്. പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾഎഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രയോഗം.
-π ≤x≤ π എന്ന ഇടവേളയിലെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ള എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും കൺവേർജൻ്റ് ത്രികോണമിതി ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് വിപുലീകരണം ഒത്തുചേരുന്നു):
sinx, cosx എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക വഴിയുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് (=സാധാരണ) നൊട്ടേഷൻ
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
ഇവിടെ a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. യഥാർത്ഥ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്, അതായത്.
എവിടെ, -π മുതൽ π വരെയുള്ള ശ്രേണിക്ക്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫോറിയർ ശ്രേണിയുടെ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:
a o, a n, b n എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങൾ, അവ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, പരമ്പര (1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഫോറിയറിന് അടുത്ത്, f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പരമ്പര (1) ന്, (a 1 cosx+b 1 sinx) എന്ന പദം ആദ്യത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാന ഹാർമോണിക്,
ഒരു പരമ്പര എഴുതാനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം acosx+bsinx=csin(x+α) എന്ന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o ഒരു സ്ഥിരാങ്കമായാൽ, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 എന്നത് വിവിധ ഘടകങ്ങളുടെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളാണ്, ഇത് a n = arctg a n ന് തുല്യമാണ്. /ബി എൻ.
പരമ്പര (1) ന്, (a 1 cosx+b 1 sinx) അല്ലെങ്കിൽ c 1 sin(x+α 1) എന്ന പദം ആദ്യത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാന ഹാർമോണിക്,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) അല്ലെങ്കിൽ c 2 sin(2x+α 2) എന്ന് വിളിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തെ ഹാർമോണിക്ഇത്യാദി.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സിഗ്നലിനെ കൃത്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് സാധാരണയായി അനന്തമായ പദങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പല പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിലും ആദ്യത്തെ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ മാത്രം പരിഗണിച്ചാൽ മതിയാകും.
കാലയളവ് 2π ഉള്ള നോൺ-പീരിയോഡിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്.
ആനുകാലികമല്ലാത്ത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വികാസം.
f(x) ഫംഗ്ഷൻ ആനുകാലികമല്ലെങ്കിൽ, x-ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കുമായി അത് ഒരു ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. എന്നിരുന്നാലും, 2π വീതിയുടെ ഏത് ശ്രേണിയിലും ഒരു ഫംഗ്ഷനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് നിർവചിക്കാൻ സാധിക്കും.
ഒരു നോൺ-പീരിയോഡിക് ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയാൽ, ഒരു നിശ്ചിത പരിധിക്കുള്ളിൽ f(x) മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ആ ശ്രേണിക്ക് പുറത്ത് 2π ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ 2π കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമായതിനാൽ, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കുമായി ഇത് ഒരു ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, f(x)=x ഫംഗ്ഷൻ ആനുകാലികമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, o മുതൽ 2π വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫോറിയർ സീരീസായി വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് 2π കാലയളവുള്ള ഒരു ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു (ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ).
f(x)=x പോലുള്ള ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക്, ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലെയും ഫൂറിയർ ശ്രേണിയുടെ തുക f(x) മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ഇത് പോയിൻ്റുകൾക്ക് f(x) ന് തുല്യമല്ല. പരിധിക്ക് പുറത്ത്. 2π ശ്രേണിയിൽ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങളുടെ അതേ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്ഷനുകൾ.
അവർ ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) പറയുന്നു പോലും, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും f(-x)=f(x) ആണെങ്കിൽ. ഇരട്ട ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും y-അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ് (അതായത്, അവ മിറർ ഇമേജുകളാണ്). ഇരട്ട ഫംഗ്ഷനുകളുടെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ: y=x2, y=cosx.
y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് അവർ പറയുന്നു വിചിത്രമായ, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും f(-x)=-f(x) ആണെങ്കിൽ. വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയിലാണ്.
പല ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
കോസൈനുകളിൽ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് വിപുലീകരണം.
2π പിരീഡ് ഉള്ള ഒരു ഇരട്ട ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫൂറിയർ സീരീസിൽ (എക്സ്) കോസൈൻ പദങ്ങൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ (അതായത്, സൈൻ പദങ്ങളൊന്നുമില്ല) കൂടാതെ സ്ഥിരമായ ഒരു പദം ഉൾപ്പെട്ടേക്കാം. അതിനാൽ,
ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ്,
2π കാലയളവുള്ള f(x) വിചിത്രമായ ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയിൽ സൈനുകളുമായുള്ള പദങ്ങൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ (അതായത്, അതിൽ കോസൈനുകളുമായുള്ള പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല).
അതിനാൽ,
ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ്,
പകുതി സൈക്കിളിൽ ഫോറിയർ സീരീസ്.
ഒരു ശ്രേണിയ്‌ക്കായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, 0 മുതൽ π വരെ പറയുക, 0 മുതൽ 2π വരെയല്ല, അത് സൈനുകളിലോ കോസൈനുകളിലോ മാത്രമേ ഒരു ശ്രേണിയിൽ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോറിയർ പരമ്പരയെ വിളിക്കുന്നു പകുതി സൈക്കിളിൽ ഫോറിയറിന് സമീപം.
നിങ്ങൾക്ക് വിഘടനം ലഭിക്കണമെങ്കിൽ കോസൈനുകളാൽ ഹാഫ് സൈക്കിൾ ഫോറിയർ 0 മുതൽ π വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലുള്ള f(x) ഫംഗ്ഷനുകൾ, അപ്പോൾ ഒരു ഇരട്ട ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ. x=0 മുതൽ x=π വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ നിർമ്മിച്ച f(x)=x ഫംഗ്ഷൻ ചുവടെയുണ്ട്. എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് പ്രവർത്തനം പോലും f(x) അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമമിതി, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ AB രേഖ വരയ്ക്കുക. താഴെ. കണക്കാക്കിയ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാൽ ലഭിക്കും ത്രികോണാകൃതി 2π കാലയളവുള്ള ആനുകാലികമാണ്, തുടർന്ന് അവസാന ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കാണിക്കുക. ചിത്രത്തിൽ. താഴെ. കോസൈനുകളിൽ നമുക്ക് ഫോറിയർ വികാസം ലഭിക്കേണ്ടതിനാൽ, മുമ്പത്തെപ്പോലെ, ഞങ്ങൾ ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങൾ a o, n എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നു.
നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കണമെങ്കിൽ ഫ്യൂറിയർ ഹാഫ് സൈക്കിൾ സൈൻ വിപുലീകരണംഫംഗ്ഷനുകൾ f(x) 0 മുതൽ π വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ, അപ്പോൾ ഒരു വിചിത്രമായ ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ. x=0 മുതൽ x=π വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ നിർമ്മിച്ച f(x)=x ഫംഗ്ഷൻ ചുവടെയുണ്ട്. വിചിത്രമായ ഫംഗ്ഷൻ ഉത്ഭവത്തിൻ്റെ സമമിതിയായതിനാൽ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഞങ്ങൾ ലൈൻ സിഡി നിർമ്മിക്കുന്നു. കണക്കാക്കിയ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സോടൂത്ത് സിഗ്നൽ 2π കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അന്തിമ ഗ്രാഫിന് ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപമുണ്ട്. സൈനുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് അർദ്ധചക്രത്തിൻ്റെ ഫോറിയർ വികാസം ലഭിക്കേണ്ടതിനാൽ, മുമ്പത്തെപ്പോലെ, ഞങ്ങൾ ഫ്യൂറിയർ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നു. ബി
അനിയന്ത്രിതമായ ഇടവേളയ്ക്കുള്ള ഫൊറിയർ സീരീസ്.
L കാലയളവിനൊപ്പം ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വികാസം.
ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം x L കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ f(x) ആവർത്തിക്കുന്നു, അതായത്. f(x+L)=f(x). 2π കാലയളവുള്ള മുമ്പ് പരിഗണിച്ച ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് L കാലയളവിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്കുള്ള മാറ്റം വളരെ ലളിതമാണ്, കാരണം ഇത് വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയും.
-L/2≤x≤L/2 എന്ന ശ്രേണിയിൽ f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ u അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അങ്ങനെ f(x) ഫംഗ്‌ഷന് u-യുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 2π കാലയളവ് ലഭിക്കും. u=2πx/L ആണെങ്കിൽ, u=-π എന്നതിന് x=-L/2 ഉം u=π എന്നതിന് x=L/2 ഉം. കൂടാതെ f(x)=f(Lu/2π)=F(u) എന്ന് അനുവദിക്കുക. ഫോറിയർ സീരീസ് F(u) ന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
(ഇൻ്റഗ്രേഷൻ്റെ പരിധികൾ L ൻ്റെ ഏത് ഇടവേളയും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 മുതൽ L വരെ)
L≠2π ഇടവേളയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള അർദ്ധചക്രത്തിലുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്.
u=πх/L എന്നതിന് പകരമായി, x=0 മുതൽ x=L വരെയുള്ള ഇടവേള u=0 മുതൽ u=π വരെയുള്ള ഇടവേളയുമായി യോജിക്കുന്നു. തത്ഫലമായി, ഫംഗ്ഷൻ കോസൈനുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സൈനുകളിൽ മാത്രം ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്. വി പകുതി സൈക്കിളിൽ ഫോറിയർ സീരീസ്.
0 മുതൽ L വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലുള്ള കോസൈൻ വികാസത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
, എവിടെ
.
ഇടവേളയിലെ (-l;l) ഫംഗ്ഷൻ f(x) ൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ത്രികോണമിതി പരമ്പരയാണ്: 
, എവിടെ
.
ഉദ്ദേശം. ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർഫംഗ്ഷൻ f(x) ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുന്നതിനാണ് രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.
മൊഡ്യൂളോ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി (ഉദാഹരണത്തിന് |x|), ഉപയോഗിക്കുക കോസൈൻ വിപുലീകരണം.
ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ:
മോഡുലോ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി, കോസൈൻ വിപുലീകരണം ഉപയോഗിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, |x| ഒരു മൊഡ്യൂൾ ഇല്ലാതെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. x.ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് കഷണങ്ങളായി തുടർച്ചയായ, കഷണങ്ങളായി ഏകതാനമായതും ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതും (- എൽ;എൽ) ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു.
ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ആകെത്തുക എസ്(x) :
- പിരീഡ് 2 ഉള്ള ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ് എൽ. R, u(x+T)=u(x) എന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ എല്ലാ x-നും വേണ്ടിയാണെങ്കിൽ, u(x) എന്ന ഫംഗ്ഷനെ, T (അല്ലെങ്കിൽ T- ആനുകാലികം) ഉള്ള പീരിയോഡിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- ഇടവേളയിൽ (- എൽ;എൽ) ഫംഗ്ഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എഫ്(x), ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ
- ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർത്തലാക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ (ആദ്യത്തെ തരം, ഫംഗ്ഷൻ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ). എഫ്(x) കൂടാതെ ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു:
ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസിലേക്ക് വികസിക്കുന്നുവെന്ന് അവർ പറയുന്നു (- എൽ;എൽ):
.
എങ്കിൽ എഫ്(x) ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷനുകൾ പോലും അതിൻ്റെ വികാസത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു, അതായത് ബി എൻ=0.
എങ്കിൽ എഫ്(x) ഒരു വിചിത്രമായ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അപ്പോൾ വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാത്രമേ അതിൻ്റെ വികാസത്തിൽ പങ്കെടുക്കൂ, അതായത് ഒരു എൻ=0
ഫോറിയറിന് സമീപം
പ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0; എൽ) ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ കോസൈനുകൾ വഴി
വരിയെ വിളിക്കുന്നു: 
, എവിടെ 
.
ഫോറിയറിന് സമീപം
പ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0; എൽ) ഒന്നിലധികം കമാനങ്ങളുടെ സൈനുകൾക്കൊപ്പം
വരിയെ വിളിക്കുന്നു: 
, എവിടെ 
.
ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ കോസൈനുകൾക്ക് മേലെയുള്ള ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ആകെത്തുക പിരീഡ് 2 ഉള്ള ഒരു ഇരട്ട ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ്. എൽ, യോജിക്കുന്നു എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0; എൽ) തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ.
ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകൾക്ക് മേലെയുള്ള ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ആകെത്തുക, പിരീഡ് 2 ഉള്ള ഒരു വിചിത്രമായ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ്. എൽ, യോജിക്കുന്നു എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0; എൽ) തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ.
ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുള്ള ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിക്ക് അദ്വിതീയതയുടെ സ്വഭാവമുണ്ട്, അതായത്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാതെ മറ്റേതെങ്കിലും വിധത്തിൽ വികാസം നേടുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗുണകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ ഗുണകങ്ങൾ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. .
ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക f(x)=1:
a) ഇടവേളയിൽ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഫോറിയർ പരമ്പരയിൽ(-π ;π);
b) ഇടവേളയിൽ ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകൾക്കൊപ്പം ഒരു ശ്രേണിയിൽ(0;π); തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോറിയർ സീരീസ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക
പരിഹാരം:
a) ഇടവേളയിലെ (-π;π) ഫോറിയർ സീരീസ് വിപുലീകരണത്തിന് ഈ രൂപമുണ്ട്: 
,
കൂടാതെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ബി എൻ=0, കാരണം ഈ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്; അങ്ങനെ,
നാം അംഗീകരിച്ചാൽ സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടും എന്ന് വ്യക്തം
എ 0 =2, എ 1 =എ 2 =എ 3 =…=0
അദ്വിതീയ സ്വത്ത് കാരണം, ഇവ ആവശ്യമായ ഗുണകങ്ങളാണ്. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വിഘടനം: 
അല്ലെങ്കിൽ 1=1 മാത്രം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സീരീസ് അതിൻ്റെ ഫംഗ്ഷനുമായി ഒരേപോലെ ചേരുമ്പോൾ, ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗ്രാഫ്, മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുമായി യോജിക്കുന്നു.
ബി) ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (0; π) ഇടവേളയിലെ വികാസത്തിന് ഈ രൂപമുണ്ട്:
ഗുണകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, അതിനാൽ തുല്യത ഒരേപോലെ നിലനിൽക്കും. ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:
അങ്ങനെ, പോലും എൻ (എൻ=2കെ) നമുക്ക് ഉണ്ട് ബി എൻ=0, ഒറ്റയ്ക്ക് ( എൻ=2കെ-1) - 
ഒടുവിൽ, 
.
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോറിയർ സീരീസ് അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം (മുകളിൽ കാണുക).
ഒന്നാമതായി, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുകയുടെ വിചിത്രത പ്രയോജനപ്പെടുത്തി, ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് സമമിതിയായി തുടരുന്നു: 
മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും ഞങ്ങൾ ആനുകാലിക രീതിയിൽ തുടരുന്നു: 
അവസാനമായി, ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾ ശരാശരി (വലത്, ഇടത് പരിധികൾക്കിടയിൽ) മൂല്യങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കുന്നു: 
ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക 
ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകൾക്കൊപ്പം ഇടവേളയിൽ (0;6).
പരിഹാരം: ആവശ്യമായ വിപുലീകരണത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്:
സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും രണ്ടും മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ പ്രവൃത്തികൾ പാപംവ്യത്യസ്‌ത ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ നിന്ന്, n (സ്വാഭാവികം!) ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി, ഇടതുവശത്തുള്ള സൈനുകളുടെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ആണോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കണം. വലത് ഭാഗങ്ങൾസമത്വം:
അല്ലെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന് n =18. ഇതിനർത്ഥം അത്തരമൊരു പദം വലതുവശത്ത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഗുണകം ഇടതുവശത്തുള്ള ഗുണകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം: ബി 18 =1;
അല്ലെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന് n =4. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ബി 4 =-5.
അതിനാൽ, ഗുണകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ ആവശ്യമുള്ള വിപുലീകരണം നേടാൻ കഴിയും:
ഫെഡറൽ സ്റ്റേറ്റ് ബജറ്റ് വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസം
"വോൾഗ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി
ടെലികമ്മ്യൂണിക്കേഷനും ഇൻഫോർമാറ്റിക്സും"
ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് വിഭാഗം
O.V.STAROZHILOVA
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക അധ്യായങ്ങൾ
പ്രോട്ടോക്കോൾ നമ്പർ 45, തീയതി മാർച്ച് 10, 2017
സ്റ്റാറോജിലോവ, ഒ.വി.
സി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക അധ്യായങ്ങൾ: പാഠപുസ്തകം //Starozhilova O.V.. – സമാറ: PGUTI, 2017. –221 പേ.
ട്യൂട്ടോറിയൽഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക ശാഖകളെ സ്പർശിക്കുന്നു: ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയും ഓട്ടോമാറ്റ സിദ്ധാന്തവും, പ്രൊപ്പോസിഷണൽ ബീജഗണിതം, പ്രൊപ്പോസിഷണൽ കാൽക്കുലസ്, അൽഗോരിതം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ, റിഗ്രഷൻ വിശകലനം, ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ രീതികൾ.
03/09/02 ദിശയിൽ പഠിക്കുന്ന യൂണിവേഴ്സിറ്റി വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും മാസ്റ്റർമാർക്കും " വിവര സംവിധാനങ്ങളും സാങ്കേതികവിദ്യകളും", ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക അധ്യായങ്ങൾ സ്വന്തമായി പഠിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർ.
കോഴ്‌സിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക വൈദഗ്ദ്ധ്യം പരിശോധിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന നിയന്ത്രണ ചോദ്യങ്ങളോടെയാണ് ഓരോ വിഭാഗവും അവസാനിക്കുന്നത്, ഇതിനായി ധാരാളം ജോലികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര തീരുമാനംപരിശോധിക്കാനുള്ള ഉത്തരങ്ങളും.
മാനുവലിൽ ഒരു ലബോറട്ടറി സമുച്ചയവും കംപ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സ് രീതികളുടെ സോഫ്‌റ്റ്‌വെയർ നിർവ്വഹണത്തിന് ഊന്നൽ നൽകുന്ന നിരവധി എഞ്ചിനീയറിംഗ് പ്രശ്‌നങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
സ്റ്റാറോജിലോവ ഒ.വി., 2017
അധ്യായം 1 ഹാർമോണിക് അനാലിസിസ് 6
1.1 ശബ്ദ സ്ട്രിംഗ് പ്രശ്നം 7
1.2 പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റങ്ങൾ 8
1.3 ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ത്രികോണമിതി സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് 10
1.4 മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് 13 ലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിപുലീകരണം
1.5 ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫോറിയർ സീരീസ് വിപുലീകരണം 17
1.6 ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് 18
1.7 ഏത് കാലയളവിലെയും ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് 21
1.8 ഫ്യൂറിയർ ഇൻ്റഗ്രൽ 27
1.9 ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കുള്ള ഫ്യൂറിയർ ഇൻ്റഗ്രൽ 29
1.10 സങ്കീർണ്ണമായ രൂപംഫ്യൂറിയർ ഇൻ്റഗ്രൽ 30
1.11 ഫ്യൂറിയർ രൂപാന്തരം 32
അധ്യായം 2 ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയും IV 33
2.1 യുക്തി വികസനത്തിൻ്റെ ഘട്ടങ്ങൾ 34
2.2 പ്രൊപ്പോസിഷണൽ ലോജിക് 38
2.3ലോജിക്കൽ കണക്റ്റീവുകൾ 40
2.4 ലോജിക്കൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ 41
2.5 പ്രൊപ്പോസിഷണൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ അക്ഷരമാല 42
2.6 സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 42
2.7 പ്രൊപ്പോസിഷണൽ ലോജിക്കിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ 44
2.8 ഔപചാരിക സിദ്ധാന്തങ്ങൾ. ഹാച്ച്ബിലിറ്റി. വ്യാഖ്യാനം 46
2.9 ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി 47
2.10 പ്രൊപ്പോസിഷണൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (PS) 52
2.11 ഉപസംഹാര നിയമങ്ങൾ 53
2.12 ഉരുത്തിരിഞ്ഞ അനുമാന നിയമങ്ങൾ 56
2.13 പ്രൊപ്പോസിഷണൽ ലോജിക്കിൽ ഒരു നിഗമനം നിർമ്മിക്കുന്നു 62
2.14 ബീജഗണിതവും പ്രൊപ്പോസിഷണൽ കാൽക്കുലസും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം 66
അധ്യായം 3 റിഗ്രഷൻ അനാലിസിസ് പ്രശ്നങ്ങൾ 70
3.1 രീതി കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾ 74
3.2 ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ വിശകലനം 76
3.3 റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ എസ്റ്റിമേഷൻ 79
3.4 ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ 83
3.5 സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മോഡൽ LR 85-ൻ്റെ മുൻവ്യവസ്ഥകൾ
3.6 റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൻ്റെ പ്രശ്നങ്ങൾ 86
3.7 മൾട്ടിവാരിയേറ്റ് നോർമൽ റിഗ്രഷൻ മോഡൽ 90
3.8 ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനം 92
ടെസ്റ്റ് ചോദ്യങ്ങൾ 94
അധ്യായം 4 പൊതുവായ രൂപീകരണവും തീരുമാനമെടുക്കൽ പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ തരങ്ങളും 95
4.1 ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപീകരണം 97
4.2 പ്രാദേശികവും ആഗോളവുമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ TF 99
4.3 രീതികൾ നിരുപാധികമായ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ 102
4.4 കോർഡിനേറ്റ് ഡിസെൻ്റ് രീതി 102
4.5 റോസെൻബ്രോക്ക് രീതി 105
4.6 കോൺഫിഗറേഷൻ രീതി 105
4.7 ക്രമരഹിതമായ തിരയൽ രീതികൾ 108
4.8 ന്യൂട്ടൻ്റെ രീതി 112
അധ്യായം 5 ഫോറിയർ ട്രാൻസ്ഫോം 114
5.1 ഫ്യൂറിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഏകദേശം 114
5.2 ഫോറിയർ ട്രാൻസ്ഫോർമർ 117
5.3 ഫാസ്റ്റ് ഫോറിയർ ട്രാൻസ്ഫോർമർ 120
ലബോറട്ടറി കോംപ്ലക്സ് 123
ഹാർമോണിക്, സ്പെക്ട്രൽ വിശകലനം 123
വിഷയം 1. "പ്രൊപ്പോസിഷണൽ ലോജിക്" 131
വിഷയം LP 133 എന്നതിനായുള്ള വ്യക്തിഗത അസൈൻമെൻ്റുകളുടെ വകഭേദങ്ങൾ
വിഷയം 2. ലീനിയർ പെയർവൈസ് റിഗ്രഷൻ 140
ലബോറട്ടറി ജോലി № 1 141
LR സമവാക്യം 141-ൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 2 144
സാമ്പിൾ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 144 കണക്കാക്കുന്നു
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 3 145
ജോടിയാക്കിയ LR 145 ൻ്റെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 4 147
ജോടിയാക്കിയ LR ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള Excel പ്രവർത്തനങ്ങൾ 147
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 5 149
ജോടിയാക്കിയ LR ഫംഗ്ഷൻ 149-ന് വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ നിർമ്മാണം
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 6 151
ഫിഷർ മാനദണ്ഡം 151 ഉപയോഗിച്ച് എൽആർ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കുന്നു
വിഷയം 3 നോൺ-ലീനിയർ പെയർവൈസ് റിഗ്രഷൻ 153
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 7 153
153 ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ നിർമ്മിക്കുന്നു
ട്രെൻഡ്‌ലൈൻ കമാൻഡുകൾ ചേർക്കുക 153
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 8 158
മികച്ച നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു 158
വിഷയം 4. ലീനിയർ ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ 161
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 9 162
LMR ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ 162
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 10 166
റിഗ്രഷൻ മോഡിൽ പ്രാധാന്യ പരിശോധന 166
വിഷയം 5. നോൺ-ലീനിയർ മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ 175
ലബോറട്ടറി വർക്ക് നമ്പർ 11 175
കോബ്-ഡഗ്ലസ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ 175
ടെസ്റ്റ് № 1 179
ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ 179
ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 2 181
ബഹുവചനം ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ 181
ഒരു നിരുപാധികമായ എക്സ്ട്രീം തിരയുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ 185
ഫംഗ്ഷൻ 185-ൻ്റെ ഗ്രാഫിക്കൽ വിശകലനം
ഏകമാന തിരയൽ പ്രശ്നം 187
സ്വെൻ്റെ അൽഗോരിതം 190
ബ്രൂട്ട് ഫോഴ്സ് രീതി 193
ബിറ്റ്വൈസ് തിരയൽ രീതി 195
ദ്വിതീയ രീതി. 198
ഫിബൊനാച്ചി രീതി 201
സുവർണ്ണ അനുപാത രീതി 205
മിഡ്‌പോയിൻ്റ് രീതി 210
ന്യൂട്ടൻ്റെ രീതി 214
സാഹിത്യം 218
അധ്യായം 1 ഹാർമോണിക് അനാലിസിസ്
നിർവ്വചനംഹാർമോണിക് വിശകലനം-വൈബ്രേഷനുകളെ ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതശാഖ.
ആനുകാലിക (അതായത്, കൃത്യസമയത്ത് ആവർത്തിക്കുന്ന) പ്രതിഭാസങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനം സമയത്തിൻ്റെ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനത്താൽ വിവരിക്കപ്പെടുന്നു ടി:
Ø നിർവ്വചനംആനുകാലിക പ്രവർത്തനം- ഒരു നിശ്ചിത പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ വിളിക്കുമ്പോൾ മൂല്യം മാറാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കാലഘട്ടംപ്രവർത്തനങ്ങൾ.
രണ്ട് കാലഘട്ടങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും വീണ്ടും ഒരു കാലയളവ് ആയതിനാൽ, ഒരു കാലഘട്ടത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഗുണിതം ഒരു കാലയളവ് ആയതിനാൽ, ഓരോ ആവർത്തന പ്രവർത്തനത്തിനും അനന്തമായ കാലയളവുകൾ ഉണ്ട്.
ഒരു ആവർത്തന പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ കാലയളവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് തുടർച്ചയായതും സ്ഥിരാങ്കത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണെങ്കിൽ, അതിന് ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് ഉണ്ട് ടി; അതേ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മറ്റേതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ കാലയളവ് ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും കെ.ടി, എവിടെ k =±1, ±2,....
ഒരേ കാലയളവിലുള്ള ആവർത്തന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഉൽപ്പന്നം, ഘടകഭാഗം എന്നിവ ഒരേ കാലയളവിലുള്ള ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.
ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലും പൊതുവെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലന വേളയിൽ, ഒരു ഫങ്ഷണൽ സീരീസ് എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു, അതിൻ്റെ പ്രധാന പ്രത്യേക കേസുമായി പ്രവർത്തിച്ചു - പവർ സീരീസ്. വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട മറ്റൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം (ഫിസിക്കൽ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ ഉൾപ്പെടെ) പ്രത്യേക കേസ്ഫങ്ഷണൽ സീരീസ് - ത്രികോണമിതി പരമ്പര.
Ø നിർവ്വചനം പ്രവർത്തന ശ്രേണി -രൂപത്തിൻ്റെ പരമ്പര
ഒരു വേരിയബിളിനെയോ നിരവധി വേരിയബിളുകളെയോ ആശ്രയിച്ചുള്ള ഫംഗ്ഷനുകൾ എവിടെയാണ്.
ഓരോ നിശ്ചിത മൂല്യത്തിനും, ഫങ്ഷണൽ സീരീസ് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയായി മാറുന്നു
അത് ഒത്തുചേരാം അല്ലെങ്കിൽ വ്യതിചലിച്ചേക്കാം.
Ø നിർവ്വചനം ഫങ്ഷണൽ സീരീസ് കൺവേർജൻസ് പോയിൻ്റ്- ഫങ്ഷണൽ സീരീസ് കൂടിച്ചേരുന്ന പോയിൻ്റ്.
Ø നിർവ്വചനംഒത്തുചേരലിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണത്തെ വിളിക്കുന്നു പരമ്പരയുടെ ഒത്തുചേരൽ മേഖല.
ഇത് സാധ്യമാണോ ഈ പ്രവർത്തനംഒരു ത്രികോണമിതി പരമ്പരയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത്. ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? ഒരു എൻഒപ്പം ബി എൻഎല്ലാവർക്കും തുല്യത എന്ന നിലയിലാണ്
പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുക വ്യക്തമായും ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ്. ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാത്രമേ ഒരു ത്രികോണമിതി ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം എഫ്.
കൂടാതെ, രണ്ട് ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ കാലയളവിന് തുല്യമായ ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, അവ എല്ലായിടത്തും ഒത്തുചേരുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേള പരിശോധിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും, ഉദാഹരണത്തിന്, .
1.1 ശബ്ദ സ്ട്രിംഗ് പ്രശ്നം
18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഉയർന്നുവന്ന സൗണ്ടിംഗ് സ്ട്രിംഗ് പ്രശ്‌നമാണ് ത്രികോണമിതി പരമ്പരകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലേക്ക് നയിച്ചത്.
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകുമ്പോൾ, ഒത്തുചേരുന്ന ഒരു ത്രികോണമിതി പരമ്പര കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ, അതിൻ്റെ ആകെത്തുക ഫംഗ്ഷൻ. അതിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിലൂടെ ഒരു ത്രികോണമിതി പരമ്പരയിലേക്ക് സംയോജിച്ച് തിരയാൻ കഴിയും.
സമാനമായ ഒരു ടാസ്ക് ആയിരുന്നു പവർ സീരീസ്, അത് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പരമ്പര ഒരു ടെയ്‌ലർ പരമ്പരയാണ്.
1.2 പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റങ്ങൾ
ഗണിത ഭൗതികശാസ്ത്ര സമവാക്യങ്ങളുടെ അതിർത്തി മൂല്യ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫ്യൂറിയർ രീതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ചിട്ടയായ പഠനം ആരംഭിച്ചു. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രധാന പ്രശ്‌നങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വിഘടിപ്പിക്കുന്ന പ്രശ്‌നമാണ്. എഫ്(x) ഫോമിൻ്റെ ഒരു ശ്രേണിയിൽ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റം എവിടെയാണ്.
Ø നിർവ്വചനംപ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഓർത്തോഗണൽന്, നിറവേറ്റിയാൽ:
q ഉദാഹരണം , 
- ഫംഗ്ഷനുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്, കാരണം 
q ഉദാഹരണം on നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഏതൊരു ഫംഗ്ഷനും ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.
Ø നിർവ്വചനംഅനന്തമായ പ്രവർത്തന സംവിധാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഓർത്തോഗണൽഎങ്കിൽ ഓൺ
q ഉദാഹരണംഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ അനന്തമായ ഒരു സിസ്റ്റം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റം രൂപപ്പെടുത്തുന്നില്ല
q ഉദാഹരണം -ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തന സംവിധാനംഅതിന് ഓർത്തോഗണൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുന്നു.
, 
, 
.
Ø നിർവ്വചനംലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സിസ്റ്റം അനുവദിക്കുക. വരി
അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളെ എവിടെയാണ് വിളിക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റം അനുസരിച്ച് പരസ്പരം അടുത്തത്.
Ø നിർവ്വചനംഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ത്രികോണമിതി സിസ്റ്റം അനുസരിച്ചുള്ള ശ്രേണി
വിളിച്ചു ത്രികോണമിതി പരമ്പര.
ü അഭിപ്രായംഒരു ത്രികോണമിതി പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുക ഓരോ ബിന്ദുവിലും കൂടിച്ചേരുകയാണെങ്കിൽ, അത് ആനുകാലികമാണ്, കാരണം , കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, തുടർന്ന് തുല്യതയിൽ 
ഒന്നും മാറില്ല, അതിനാൽ ആനുകാലികമായി.
ü അഭിപ്രായംസെഗ്‌മെൻ്റിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും അല്ല , കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം മാറ്റുന്നതിലൂടെ അത് പഠിച്ച കേസിലേക്ക് ചുരുക്കാം.
ü അഭിപ്രായംകാലയളവുള്ള ഒരു ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ ഇല്ലെങ്കിൽ, അത് ഒരു ത്രികോണമിതി ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കും
q സിദ്ധാന്തംഒരു സംഖ്യ പരമ്പര കൂടിച്ചേരുകയാണെങ്കിൽ, ത്രികോണമിതി പരമ്പര
മുഴുവൻ അച്ചുതണ്ടിലും സമ്പൂർണ്ണമായും ഏകതാനമായും ഒത്തുചേരുന്നു.
തെളിവ്
അതിനാൽ,
സീരീസ് - തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണമിതി പരമ്പരയെ വലുതാക്കുന്നു, വീർസ്ട്രാസിൻ്റെ ടെസ്റ്റ് അനുസരിച്ച്, ഒരേപോലെ ഒത്തുചേരുന്നു.
കേവലമായ ഒത്തുചേരൽ വ്യക്തമാണ്.
1.3 ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ത്രികോണമിതി സംവിധാനത്തിനായുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്
ജീൻ ബാപ്റ്റിസ്റ്റ് ജോസഫ് ഫോറിയർ 1768 - 1830 - ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ.
ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുന്നു
, 
, 
, 
,
q സിദ്ധാന്തംഎല്ലാവർക്കും തുല്യതയുണ്ടെങ്കിൽ
ത്രികോണമിതി പരമ്പര മുഴുവൻ അച്ചുതണ്ടിലും ഏകീകൃതമായി ഒത്തുചേരുന്നു, തുടർന്ന് ഈ ശ്രേണിയുടെ ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു
, 
,
തെളിവ്
സീരീസ് മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും ഏകീകൃതമായി ഒത്തുചേരുന്നു, അതിൻ്റെ നിബന്ധനകൾ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ ആകെത്തുക തുടർച്ചയായതാണ് കൂടാതെ ശ്രേണിയുടെ ടേം-ബൈ-ടേം ഏകീകരണം സാധ്യമാണ്
ഓരോ അവിഭാജ്യവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കാരണം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ത്രികോണമിതി സിസ്റ്റം ഓർത്തോഗണൽ ആണ്, തുടർന്ന്
അത് തെളിയിക്കാൻ, രണ്ട് വശങ്ങളും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
ഇത് പരമ്പരയുടെ ഏകീകൃത സംയോജനത്തെ തടസ്സപ്പെടുത്തില്ല.
പരമ്പരയുടെ ഏകീകൃത ഒത്തുചേരൽ കാരണം
പരമ്പരയുടെ ഏകീകൃതമായ ഒത്തുചേരൽ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
ന് സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ത്രികോണമിതി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി കാരണം
, 
, ഒപ്പം നിന്ന് 
അവിഭാജ്യമായത്,
, അത്, മുതലായവ.
അത് ഓർക്കാം
ഈ സമത്വങ്ങളുടെ സാധുത ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗം മുതൽ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് വരെ പിന്തുടരുന്നു.
എന്നതിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ü അഭിപ്രായംഏത് ഇടവേളയിലും സിദ്ധാന്തം സാധുവായി തുടരുന്നു, കൂടാതെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ യഥാക്രമം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.
Ø നിർവ്വചനംത്രികോണമിതി പരമ്പര
,
ആരുടെ ഗുണകങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു
, ,
,
വിളിച്ചു ഫോറിയറിന് സമീപംപ്രവർത്തനത്തിനായി, ഗുണകങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങൾ.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് ആണെങ്കിൽ f(x)അതിൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഒത്തുചേരുന്നു, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് പറയുന്നു f(x) ഒരു ഫോറിയർ സീരീസിലേക്ക് വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ü അഭിപ്രായംഎല്ലാ ത്രികോണമിതി പരമ്പരകളും ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസല്ല, അത് മുഴുവൻ സംഖ്യാരേഖയിൽ കൂടിച്ചേർന്നാലും.
ഏകീകൃതമല്ലാത്ത ഒരു ഏകീകൃത ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക തുടർച്ചയായതും സംയോജിപ്പിക്കാനാവാത്തതുമാകാം, അതിനാൽ ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.
ü അഭിപ്രായംഫങ്ഷണൽ സീരീസിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്.
1.4 ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വിപുലീകരിക്കുന്നതിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ
Ø നിർവ്വചനംചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ കഷണങ്ങളായി ഏകതാനമായി,ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിനെ പരിമിതമായ പോയിൻ്റുകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ x 1 , x 2 , ..., x n-1ഇടവേളകളിലേക്ക് ( എ,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,ബി) അതിനാൽ ഓരോ ഇടവേളകളിലും പ്രവർത്തനം ഏകതാനമാണ്, അതായത്, അത് ഒന്നുകിൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല.
ü അഭിപ്രായംനിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കഷണങ്ങളായി ഏകതാനമാണെങ്കിൽ [ എ,ബി], അപ്പോൾ അതിന് ആദ്യത്തെ തരത്തിലുള്ള വിച്ഛേദങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ.
Ø നിർവ്വചനംചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു കഷണങ്ങളായി മിനുസമാർന്ന, ഓരോ പരിമിതമായ ഇടവേളയിലും അതിനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും പരമാവധി 1-ആം തരത്തിലുള്ള ഡിസ്കോൺറ്റിന്യൂറ്റി പോയിൻ്റുകളുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം ഉണ്ടെങ്കിൽ.
q സിദ്ധാന്തം (ഡിറിച്ലെറ്റ് അവസ്ഥഫ്യൂറിയർ സീരീസിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിഘടിപ്പിക്കാനുള്ള മതിയായ വ്യവസ്ഥ: ഒരു കാലയളവുള്ള ഒരു ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ വ്യവസ്ഥകളിലൊന്ന് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ:
തുടർന്ന് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുവേണ്ടി നിർമ്മിച്ച ഫോറിയർ സീരീസ് എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഒത്തുചേരുന്നു
സംഖ്യയിലേക്ക് ഒത്തുചേരുകയും ചെയ്യുന്നു 
അതിൻ്റെ നിർത്തലാക്കലിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക ഫംഗ്ഷൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്
പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അവയെ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു. ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് വൈദ്യുതധാരകളും വോൾട്ടേജുകളും, സ്ഥാനചലനങ്ങളും, ക്രാങ്ക് മെക്കാനിസങ്ങളുടെ വേഗതയും ത്വരിതവും, ശബ്ദ തരംഗങ്ങളും എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ സാധാരണ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.
-π ≤x≤ π എന്ന ഇടവേളയിലെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ള എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും കൺവേർജൻ്റ് ത്രികോണമിതി ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് വിപുലീകരണം ഒത്തുചേരുന്നു):
sinx, cosx എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക വഴിയുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് (=സാധാരണ) നൊട്ടേഷൻ
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
ഇവിടെ a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. യഥാർത്ഥ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്, അതായത്.
എവിടെ, -π മുതൽ π വരെയുള്ള ശ്രേണിക്ക്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫോറിയർ ശ്രേണിയുടെ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:
a o, a n, b n എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങൾ, അവ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, പരമ്പര (1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഫോറിയറിന് അടുത്ത്, f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പരമ്പര (1) ന്, (a 1 cosx+b 1 sinx) എന്ന പദം ആദ്യത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാന ഹാർമോണിക്,
ഒരു പരമ്പര എഴുതാനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം acosx+bsinx=csin(x+α) എന്ന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o ഒരു സ്ഥിരാങ്കമായാൽ, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 എന്നത് വിവിധ ഘടകങ്ങളുടെ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുകളാണ്, ഇത് a n = arctg a n ന് തുല്യമാണ്. /ബി എൻ.
പരമ്പര (1) ന്, (a 1 cosx+b 1 sinx) അല്ലെങ്കിൽ c 1 sin(x+α 1) എന്ന പദം ആദ്യത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാന ഹാർമോണിക്,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) അല്ലെങ്കിൽ c 2 sin(2x+α 2) എന്ന് വിളിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തെ ഹാർമോണിക്ഇത്യാദി.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സിഗ്നലിനെ കൃത്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് സാധാരണയായി അനന്തമായ പദങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പല പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിലും ആദ്യത്തെ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ മാത്രം പരിഗണിച്ചാൽ മതിയാകും.
കാലയളവ് 2π ഉള്ള നോൺ-പീരിയോഡിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്.
ആനുകാലികമല്ലാത്ത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വിപുലീകരണം ഫ്യൂറിയർ സീരീസിലേക്ക്.
f(x) ഫംഗ്ഷൻ ആനുകാലികമല്ലെങ്കിൽ, x-ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കുമായി അത് ഒരു ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. എന്നിരുന്നാലും, 2π വീതിയുടെ ഏത് ശ്രേണിയിലും ഒരു ഫംഗ്ഷനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് നിർവചിക്കാൻ സാധിക്കും.
ഒരു നോൺ-പീരിയോഡിക് ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയാൽ, ഒരു നിശ്ചിത പരിധിക്കുള്ളിൽ f(x) മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ആ ശ്രേണിക്ക് പുറത്ത് 2π ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ 2π കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമായതിനാൽ, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കുമായി ഇത് ഒരു ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, f(x)=x ഫംഗ്ഷൻ ആനുകാലികമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, o മുതൽ 2π വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫോറിയർ സീരീസായി വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് 2π കാലയളവുള്ള ഒരു ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു (ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ).
f(x)=x പോലുള്ള ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക്, ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലെയും ഫൂറിയർ ശ്രേണിയുടെ തുക f(x) മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ഇത് പോയിൻ്റുകൾക്ക് f(x) ന് തുല്യമല്ല. പരിധിക്ക് പുറത്ത്. 2π ശ്രേണിയിൽ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങളുടെ അതേ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്ഷനുകൾ.
അവർ ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) പറയുന്നു പോലും, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും f(-x)=f(x) ആണെങ്കിൽ. ഇരട്ട ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും y-അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ് (അതായത്, അവ മിറർ ഇമേജുകളാണ്). ഇരട്ട ഫംഗ്ഷനുകളുടെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ: y=x2, y=cosx.
y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് അവർ പറയുന്നു വിചിത്രമായ, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും f(-x)=-f(x) ആണെങ്കിൽ. വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയിലാണ്.
പല ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
കോസൈനുകളിൽ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് വിപുലീകരണം.
2π പിരീഡ് ഉള്ള ഒരു ഇരട്ട ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫൂറിയർ സീരീസിൽ (എക്സ്) കോസൈൻ പദങ്ങൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ (അതായത്, സൈൻ പദങ്ങളൊന്നുമില്ല) കൂടാതെ സ്ഥിരമായ ഒരു പദം ഉൾപ്പെട്ടേക്കാം. അതിനാൽ,
ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ്,
2π കാലയളവുള്ള f(x) വിചിത്രമായ ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ ശ്രേണിയിൽ സൈനുകളുമായുള്ള പദങ്ങൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ (അതായത്, അതിൽ കോസൈനുകളുമായുള്ള പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല).
അതിനാൽ,
ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ്,
പകുതി സൈക്കിളിൽ ഫോറിയർ സീരീസ്.
ഒരു ശ്രേണിയ്‌ക്കായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, 0 മുതൽ π വരെ പറയുക, 0 മുതൽ 2π വരെയല്ല, അത് സൈനുകളിലോ കോസൈനുകളിലോ മാത്രമേ ഒരു ശ്രേണിയിൽ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോറിയർ പരമ്പരയെ വിളിക്കുന്നു പകുതി സൈക്കിളിൽ ഫോറിയറിന് സമീപം.
നിങ്ങൾക്ക് വിഘടനം ലഭിക്കണമെങ്കിൽ കോസൈനുകളാൽ ഹാഫ് സൈക്കിൾ ഫോറിയർ 0 മുതൽ π വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലുള്ള f(x) ഫംഗ്ഷനുകൾ, അപ്പോൾ ഒരു ഇരട്ട ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ. x=0 മുതൽ x=π വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ നിർമ്മിച്ച f(x)=x ഫംഗ്ഷൻ ചുവടെയുണ്ട്. ഇരട്ട ഫംഗ്ഷൻ f(x) അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സമമിതിയായതിനാൽ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഞങ്ങൾ ലൈൻ AB വരയ്ക്കുന്നു. താഴെ. കണക്കാക്കിയ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണാകൃതി 2π കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അന്തിമ ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ചിത്രത്തിൽ. താഴെ. കോസൈനുകളിൽ നമുക്ക് ഫോറിയർ വികാസം ലഭിക്കേണ്ടതിനാൽ, മുമ്പത്തെപ്പോലെ, ഞങ്ങൾ ഫ്യൂറിയർ ഗുണകങ്ങൾ a o, n എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നു.
നിങ്ങൾക്ക് 0 മുതൽ π വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ f(x) ഫംഗ്ഷനുകൾ ലഭിക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു വിചിത്രമായ ആനുകാലിക ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ. x=0 മുതൽ x=π വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ നിർമ്മിച്ച f(x)=x ഫംഗ്ഷൻ ചുവടെയുണ്ട്. വിചിത്രമായ ഫംഗ്ഷൻ ഉത്ഭവത്തിൻ്റെ സമമിതിയായതിനാൽ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഞങ്ങൾ ലൈൻ സിഡി നിർമ്മിക്കുന്നു. കണക്കാക്കിയ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സോടൂത്ത് സിഗ്നൽ 2π കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അന്തിമ ഗ്രാഫിന് ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപമുണ്ട്. സൈനുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് അർദ്ധചക്രത്തിൻ്റെ ഫോറിയർ വികാസം ലഭിക്കേണ്ടതിനാൽ, മുമ്പത്തെപ്പോലെ, ഞങ്ങൾ ഫ്യൂറിയർ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നു. ബി
അനിയന്ത്രിതമായ ഇടവേളയ്ക്കുള്ള ഫൊറിയർ സീരീസ്.
L കാലയളവിനൊപ്പം ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വികാസം.
x L കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് f(x) ആവർത്തന പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കുന്നു, അതായത്. f(x+L)=f(x). 2π കാലയളവുള്ള മുമ്പ് പരിഗണിച്ച ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് L കാലയളവിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്കുള്ള മാറ്റം വളരെ ലളിതമാണ്, കാരണം ഇത് വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയും.
-L/2≤x≤L/2 എന്ന ശ്രേണിയിൽ f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ u അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അങ്ങനെ f(x) ഫംഗ്‌ഷന് u-യുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 2π കാലയളവ് ലഭിക്കും. u=2πx/L ആണെങ്കിൽ, u=-π എന്നതിന് x=-L/2 ഉം u=π എന്നതിന് x=L/2 ഉം. കൂടാതെ f(x)=f(Lu/2π)=F(u) എന്ന് അനുവദിക്കുക. ഫോറിയർ സീരീസ് F(u) ന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ്,
എന്നിരുന്നാലും, മിക്കപ്പോഴും മുകളിലുള്ള ഫോർമുല x-നെ ആശ്രയിക്കുന്നതിൽ കലാശിക്കുന്നു. u=2πx/L ആയതിനാൽ, അതിൻ്റെ അർത്ഥം du=(2π/L)dx ആണ്, ഏകീകരണത്തിൻ്റെ പരിധി -L/2 മുതൽ L/2 വരെ - π മുതൽ π വരെ. തൽഫലമായി, x-നെ ആശ്രയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോറിയർ ശ്രേണിക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്
-L/2 മുതൽ L/2 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്,
(ഇൻ്റഗ്രേഷൻ്റെ പരിധികൾ L ൻ്റെ ഏത് ഇടവേളയും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 മുതൽ L വരെ)
L≠2π ഇടവേളയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള അർദ്ധചക്രത്തിലുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്.
u=πх/L എന്നതിന് പകരമായി, x=0 മുതൽ x=L വരെയുള്ള ഇടവേള u=0 മുതൽ u=π വരെയുള്ള ഇടവേളയുമായി യോജിക്കുന്നു. തത്ഫലമായി, ഫംഗ്ഷൻ കോസൈനുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സൈനുകളിൽ മാത്രം ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്. വി പകുതി സൈക്കിളിൽ ഫോറിയർ സീരീസ്.
0 മുതൽ L വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലുള്ള കോസൈൻ വികാസത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
