Гэр Шүдний эмчилгээ Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох онлайн график. Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо

Шүдний эмчилгээ

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох онлайн график. Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо

Сэдэв: "Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг ашиглан тооцоолох тодорхой интеграл»

Хичээлийн төрөл:нэгтгэсэн.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

цувралаас муруй трапецийг тодорхойлох чадварыг нэгтгэх геометрийн хэлбэрүүдмуруйн трапецын талбайг тооцоолох дадлага хийх;

гурван хэмжээст дүрсийн тухай ойлголттой танилцах;

хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах;

хөгжлийг дэмжих логик сэтгэлгээ, чадварлаг математикийн яриа, зураг зурахдаа нарийвчлал;

хичээлийн сонирхлыг төлөвшүүлэх, математикийн үзэл баримтлал, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Группээс мэндчилж байна. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Эрт урьд цагт бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн амьдарч байжээ. Нэгэн хүн мэргэн хүн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг батлахыг хүссэн юм. Алгандаа эрвээхэй бариад: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн үү эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр: "Амьд нь хэлвэл би түүнийг ална, үхсэн нь хэлвэл би түүнийг суллана" гэж боддог. Мэргэн бодсоны эцэст: "Бүх зүйл чиний гарт байна" гэж хариулав.

Тиймээс өнөөдөр үр бүтээлтэй ажиллаж, мэдлэгийн шинэ нөөцийг эзэмшиж, олж авсан ур чадвар, чадвараа ирээдүйн амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа хэрэгжүүлцгээе "Бүх зүйл таны гарт".

II. Өмнө нь судалсан материалыг давтах.

Өмнө нь судалсан материалын гол санааг санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд "Хасах" даалгаврыг гүйцээцгээе илүүц үг”.

(Оюутнууд нэмэлт үг хэлдэг.)

Зөв "Диференциал".Үлдсэн үгсийг нэг гэж нэрлэхийг хичээ ерөнхий утгаараа. (Интеграл тооцоо.)

Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая.

Дасгал хийх.Цоорхойг нөхөх. (Оюутан гарч ирээд маркераар шаардлагатай үгсийг бичнэ.)

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

Ньютон-Лейбницийн томьёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нар гаргаж авсан. Математик бол байгалиасаа ярьдаг хэл учраас энэ нь гайхмаар зүйл биш юм.

Энэ томъёог практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашигладаг талаар авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл:Координатын хавтгайд функцүүдийн графикийг байгуулъя . Зургийн олох шаардлагатай хэсгийг сонгоцгооё.

III. Шинэ материал сурах.

Дэлгэц дээр анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зураг дээр юу харагдаж байна вэ? (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

Хоёр дахь зураг дээр юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг тэгш үү? (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

Сансарт, дэлхий дээр, дотор Өдөр тутмын амьдралБид зөвхөн хавтгай дүрстэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрстэй тулгардаг, гэхдээ ийм биетүүдийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээ нь: гариг, сүүлт од, солир гэх мэт эзэлхүүн.

Хүмүүс байшин барихдаа ч, нэг савнаас нөгөө сав руу ус асгахдаа ч эзэлхүүний талаар боддог. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, техник гарч ирэх ёстой байсан бөгөөд тэдгээр нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан нь өөр асуудал юм.

1612 он бол алдарт одон орон судлаач Иоганнес Кеплерийн амьдарч байсан Австрийн Линц хотын оршин суугчдын хувьд, ялангуяа усан үзмийн хувьд маш их үр өгөөжтэй жил байв. Хүмүүс дарсны торх бэлтгэж, түүний хэмжээг хэрхэн бодитоор тодорхойлохыг мэдэхийг хүсч байв.

Ийнхүү Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь 17-р зууны сүүлийн улиралд оргилдоо хүрсэн бүхэл бүтэн судалгааны урсгалын эхлэлийг тавьсан юм. I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбниц дифференциал ба интегралын тооцоо. Энэ үеэс эхлэн хувьсагчийн математик математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг.

Өнөөдөр та бид хоёр ийм практик үйл ажиллагаанд оролцох болно, тиймээс

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох."

Хувьсгалын биетийн тодорхойлолтыг та хийх замаар сурах болно дараагийн даалгавар.

"Лабиринт".

Дасгал хийх.Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

IVЭзлэхүүнийг тооцоолох.

Тодорхой интеграл ашиглан та тодорхой биеийн эзэлхүүнийг, тухайлбал эргэлтийн биеийг тооцоолж болно.

Хувьсгалт бие нь муруй трапецийг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан бие юм (Зураг 1, 2).

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолно:

1. OX тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруй трапецын эргэлт op-amp-ийн тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Оюутнууд үндсэн томъёог дэвтэрт бичдэг.

Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлүүдийг тайлбарлана.

1. Шулуунаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецын ординатын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Шийдэл.

Хариулт: 1163 см3.

2. Парабол трапецийг х тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. y = , x = 4, y = 0.

Шийдэл.

В. Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

A) тодорхойгүй интеграл,

B) функц,

B) ялгах.

7. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Д/З. Шинэ материалыг нэгтгэх

Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох, эргэлтээр бий болсондэлбээ, x тэнхлэгийг тойрон y = x2, y2 = x.

Функцийн графикуудыг байгуулъя. y = x2, y2 = x. y2 = x графикийг у = хэлбэрт шилжүүлье.

Бидэнд V = V1 - V2 байна. Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё:

Дүгнэлт:

Тодорхой интеграл нь математикийн судалгааны тодорхой үндэс суурь бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд орлуулашгүй хувь нэмэр оруулдаг.

"Интеграл" сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.

Хөгжил орчин үеийн шинжлэх ухаанинтегралыг ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Үүнтэй холбогдуулан дундаж үзүүлэлтийн хүрээнд судалж эхлэх шаардлагатай байна тусгай боловсрол!

VI. Дүгнэлт.(Тайлбарын хамт.)

Агуу хавчХайям - математикч, яруу найрагч, гүн ухаантан. Тэр биднийг хувь заяаныхаа эзэн байхыг уриалдаг. Ингээд түүний уран бүтээлээс түүвэрлэн сонсоё.

Энэ амьдрал нэг хором гэж чи хэлдэг.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.

Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Түүнээс гадна тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ юм эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: та шийдэх чадвартай байх ёстой тодорхойгүй интегралууд дунд зэргийн төвөгтэй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл . Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байх болно). Та арга зүйн материалын тусламжтайгаар чадварлаг, хурдан график зурах аргыг эзэмшиж чадна . Гэхдээ үнэндээ би зургийн ач холбогдлын талаар хэд хэдэн удаа хичээл дээр ярьж байсан. .

Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг; тодорхой интеграл ашиглан та зургийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. бие болон бусад олон зүйл. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Заримыг төсөөлөөд үз дээ хавтгай дүрскоординатын хавтгай дээр. Танилцуулсан уу? ... Хэн юу бэлэглэсэн юм бол... =))) Бид аль хэдийн талбайг нь олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ зургийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно.

– x тэнхлэгийн эргэн тойронд; – ордны тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёр тохиолдлыг авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж очно дүрсийн талбайг олох асуудал , мөн би тэнхлэгийн дагуу хоёр дахь аргаар талбайг хэрхэн олохыг танд хэлье. Материал нь сэдэвт сайн нийцэж байгаа тул энэ нь урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлдэг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй. Зургийг хэрхэн илүү үр дүнтэй, хурдан дуусгах талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанарууд Тэгээд Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Энэ бол хятадын сануулга бөгөөд энэ мөчид би цаашид ярихгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Эргэлтийн үр дүнд үр дүн нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй бага зэрэг өндгөвч хэлбэртэй нисдэг таваг юм. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номыг харахаас залхуурсан тул бид цааш явлаа.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

Томъёонд интегралын өмнө тоо байх ёстой. Ийм зүйл тохиолдсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээд талын параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

IN практик даалгавархавтгай дүрс нь заримдаа тэнхлэгийн доор байрлаж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат: иймээс Хувьсгалын биеийн эзлэхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Хариултдаа та хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр, шоо метр, шоо километр гэх мэт байж болно, энэ бол таны төсөөлж буй хэдэн ногоон эрчүүдийг нисдэг таваганд хийж чадна.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр ,,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгээ тойрон эргэвэл дөрвөн булантай сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэе.

Дугуйлсан зургийг анхаарч үзээрэй ногоон. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ нь сонин байна энэ тохиолдолдТаслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан уусмалыг шалгаж болно.

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Хүмүүс номонд Перелман (тэр биш) анзаарсан ботьтай холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг. Хөгжилтэй геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд дурдахад, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 метр квадрат хэмжээтэй нэг өрөөнд шингэн зүйл уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд бичсэн тэр ном нь хошин шогийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, асуудлын анхны, стандарт бус шийдлүүдийг эрэлхийлж, сургадаг. Би саяхан зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, би үүнийг санал болгож байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй юм. Үгүй ээ, надад чөлөөт цаг, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээг санал болгож байна гэж инээмсэглэх шаардлагагүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол, энд.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл интеграцийн практикт бэлэн хязгаарыг өгсөн болно. Мөн графикуудыг зөв зурахыг хичээ. тригонометрийн функцууд, хэрэв аргумент нь хоёр хуваагдвал:, дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Дор хаяж 3-4 оноо олохыг хичээ тригонометрийн хүснэгтийн дагуу мөн зургийг илүү нарийвчлалтай бөглөнө үү. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. Ординатын тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь туршилтын ажилд нэлээд түгээмэл зочин юм. Замдаа үүнийг анхаарч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудал Хоёрдахь арга нь тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх бөгөөд энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийн замыг олоход тань туслах болно. Үүнд амьдралын бодит утга учир бас бий! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд, боловсон хүчнийг оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Жишээ 5

,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол. 2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь цэгийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд Заавалэхнийхийг нь унш!

Шийдэл:Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зураг зурцгаая:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг зааж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талдаа" байдаг өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг ангид хэлэлцсэн "ердийн" аргаар олж болно Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Түүнчлэн, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно: - сегмент дээр ; - сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэл яагаад муу байна вэ? Нэгдүгээрт, бид хоёр интеграл авсан. Хоёрдугаарт, интеграл нь үндэс бөгөөд интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш бөгөөд үүнээс гадна интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг алуурчин биш, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байж магадгүй тул би асуудлын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгосон.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Урвуу функцууд руу хэрхэн орох вэ? Товчхондоо та “x”-ийг “y”-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг харцгаая:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод салбараас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар энэ нь илүү хялбар байдаг:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Түүгээр ч барахгүй сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зүгээр л захидал, өөр юу ч биш.

! Тайлбар: Тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх хязгаарыг тогтоох шаардлагатайхатуу доороос дээш !

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцчлалыг хэрхэн гүйцэтгэсэн болохыг анхаарна уу, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интеграл функцийг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно:

Тиймээс цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үр дүн нь тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "хөлөөх эрвээхэй" юм.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ хэмжээг үүгээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үүссэн хувьсгалын биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөр дэх томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн захидалд.

Гэхдээ миний саяхан ярьсан интеграцийн давуу талыг олоход илүү хялбар байдаг , эхлээд интегралыг 4-р зэрэглэлд хүргэхээс илүү.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ
тодорхой интеграл ашиглах уу?

Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг; тодорхой интеграл ашиглан та зургийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. эргэлт болон бусад олон. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. Танилцуулсан уу? ... Хэн юу бэлэглэсэн юм бол... =))) Бид аль хэдийн талбайг нь олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ зургийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно.

- абсцисса тэнхлэгийн эргэн тойронд;
- ордны тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёр тохиолдлыг авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж очно дүрсийн талбайг олох асуудал, мөн би тэнхлэгийн дагуу хоёр дахь аргаар талбайг хэрхэн олохыг танд хэлье. Материал нь сэдэвт сайн нийцэж байгаа тул энэ нь урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлье.

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Шийдэл: Талбайг олох асуудлын нэгэн адил, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлдэг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай бөгөөд тэгшитгэл нь тэнхлэгийг зааж өгдөг гэдгийг мартаж болохгүй. Зургийг хэрхэн илүү үр дүнтэй, хурдан дуусгах талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанаруудМөн . Энэ бол Хятадын сануулга, цаашлаад энэ цаг мөчидБи дахиж зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг бөгөөд үр дүнд нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй, бага зэрэг өндгөвч хэлбэртэй нисдэг таваг гарч ирнэ. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номонд байгаа зүйлийг тодруулахаас залхуурсан тул бид цаашаа явлаа.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Дууссан зургаас "a" болон "be" гэсэн интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоохыг таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгайн дүрс нь дээд талд байгаа параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ бол томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат: , тэгэхээр интеграл нь үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь маш логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Өмнө дурьдсанчлан интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

, , шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр , , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё биеийн эзэлхүүний ялгаа.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл, та бас бага зэрэг жижиг зүсэгдсэн конус авах болно. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн хэмжээ:

Хариулт:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэр нь өөрөө ихэвчлэн богино хэлбэрээр бичигдсэн байдаг.

Одоо жаахан амарч, геометрийн хуурмаг байдлын талаар танд хэлье.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (өөр) номонд анзаарсан байдаг Хөгжилтэй геометр. Шийдвэрлэсэн асуудалд байгаа хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд дурдахад, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 метр квадрат хэмжээтэй нэг өрөөнд шингэн зүйл уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүх тохиолдлууд нь хамтлагт тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл, нэгтгэх бэлэн хязгаар нь үнэндээ өгсөн байна. Тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурж, хичээлийн материалыг танд сануулъя графикийн геометрийн хувиргалт: хэрэв аргументыг хоёр хуваавал: , дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олохыг зөвлөж байна тригонометрийн хүснэгтийн дагуузургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. Ординат тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох ажил нь бас нэлээд байнгын зочин юм. туршилтууд. Замдаа үүнийг анхаарч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалХоёрдахь арга нь тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх бөгөөд энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийн замыг олоход тань туслах болно. Үүнд амьдралын бодит утга учир бас бий! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд, боловсон хүчнийг оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлэв. Энэ завшааныг ашиглаад би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашигладаг =).

Би үүнийг хүн бүрт, бүр бүрэн дамми хүртэл зөвлөж байна. Түүнчлэн, хоёр дахь догол мөрөнд сурсан материал нь давхар интегралыг тооцоолоход үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно..

, , , шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь зүйлийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд эхний зүйлийг заавал уншаарай!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зураг зурцгаая:

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг ангид хэлэлцсэн "ердийн" аргаар олж болно Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнчлэн, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэл яагаад муу байна вэ? Нэгдүгээрт, бид хоёр интеграл авсан. Хоёрдугаарт, интеграл дотор үндэс байдаг бөгөөд интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш бөгөөд үүнээс гадна та интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг алуурчин биш, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байж магадгүй тул би асуудлын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгосон.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод салбараас гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар энэ нь илүү хялбар байдаг:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Энэ тохиолдолд сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зүгээр л захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу: Тэнхлэгийн дагуух интеграцийн хязгаарыг тогтоох хэрэгтэй хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интеграл функцийг олж авсан бөгөөд энэ нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолъё.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно:

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, тайрсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйн эзлэхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашигладаг.

Өмнөх догол мөр дэх томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн захидалд.

Хариулт:

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлбэл та огт өөр эргэлттэй, өөр эзэлхүүнтэй биеийг олж авах болно гэдгийг анхаарна уу.

Шугаман болон тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагч дээр нэгтгэх замаар эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Сонирхсон хүмүүс зургийн талбайг "ердийн" аргаар олж, 1) цэгийг шалгаж болно. Гэхдээ давтан хэлэхэд, хэрэв та тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтгай дүрсийг эргүүлбэл, та өөр эзэлхүүнтэй огт өөр эргэлтийн биеийг авах болно, дашрамд хэлэхэд, зөв хариулт (мөн асуудлыг шийдэх дуртай хүмүүст).

Даалгаврын санал болгож буй хоёр цэгийн бүрэн шийдэл нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Тийм ээ, эргэлтийн бие болон интеграцийн хязгаарыг ойлгохын тулд толгойгоо баруун тийш хазайхаа бүү мартаарай!

Би нийтлэлээ дуусгах гэж байсан ч өнөөдөр тэд ординатын тэнхлэгийг тойрсон эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олох сонирхолтой жишээг авчирлаа. Шинэ:

болон муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Замдаа бид бусад функцүүдийн графиктай танилцаж байна. Энэ бол сонирхолтой график юм жигд функц ….

Дээд талын хагас хавтгайд байрлах муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн эргэлтийн биеийг T гэж үзье. хязгаарлагдмал тэнхлэгабсцисса, шулуун x=a ба x=b ба график тасралтгүй функц y=f(x) .

Энэ мөн гэдгийг баталцгаая эргэлтийн биеийг шоо болгон, эзэлхүүнийг томъёогоор илэрхийлнэ

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Эхлээд бид эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр Oyz хавтгайг \Pi гэж сонговол энэ хувьсгалын бие тогтмол болохыг баталж байна. Ойз хавтгайгаас x зайд байрлах хэсэг нь f(x) радиустай тойрог бөгөөд түүний S(x) талбай нь \pi f^2(x)-тай тэнцүү болохыг анхаарна уу (Зураг 46). Иймд f(x)-ийн тасралтгүй байдлын улмаас S(x) функц тасралтгүй байна. Дараа нь, хэрэв S(x_1)\leqslant S(x_2), тэгвэл энэ нь гэсэн үг. Харин Ойз хавтгай дээрх хэсгүүдийн проекцууд нь О төвтэй f(x_1) ба f(x_2) радиустай тойрог бөгөөд f(x_1)\leqslant f(x_2) f(x_1) радиустай тойрог f(x_2) радиустай тойрогт агуулагдаж байна гэсэн үг.

Тэгэхээр хувьсгалын бие тогтмол байдаг. Тиймээс үүнийг куб болгож, эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолно

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Хэрэв муруй шугаман трапецийг y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) муруйгаар доороос дээш болон хоёуланг нь хязгаарласан бол

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Эргэдэг дүрсийн хил хязгаарыг өгсөн тохиолдолд эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолоход (3) томъёог ашиглаж болно. параметрийн тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд та тодорхой интеграл тэмдгийн дор хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглах ёстой.

Зарим тохиолдолд эргэлтийн биеийг шулуун дугуй цилиндрт биш, харин өөр төрлийн дүрс болгон задлах нь тохиромжтой байдаг.

Жишээлбэл, олъё муруй трапецийг ординатын тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүн. Эхлээд y# өндөртэй тэгш өнцөгтийг эргүүлснээр олж авсан эзэлхүүнийг олъё, түүний суурь дээр хэрчим байрладаг. Энэ хэмжээ нь хоёр шулуун дугуй цилиндрийн эзэлхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Гэхдээ одоо шаардлагатай эзлэхүүнийг дээрээс болон доороос дараах байдлаар тооцож байгаа нь тодорхой байна.

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Эндээс амархан дагалддаг ордны тэнхлэгийг тойрон эргэх биеийн эзэлхүүний томъёо:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Жишээ 4. R радиустай бөмбөгний эзэлхүүнийг олъё.

Шийдэл.Ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр бид R радиустай тойргийг төв нь эх дээр нь авч үзэх болно. Үхрийн тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг энэ тойрог нь бөмбөг үүсгэдэг. Тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=R^2 тул y^2=R^2-x^2 болно. Ординат тэнхлэгтэй харьцуулахад тойргийн тэгш хэмийг харгалзан бид эхлээд шаардлагатай эзэлхүүний хагасыг олно.

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\баруун))\баруун|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Тиймээс бүх бөмбөгний эзэлхүүн тэнцүү байна \frac(4)(3)\pi R^3.

Жишээ 5.Өндөр нь h ба суурийн радиус r байх конусын эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл.Үхрийн тэнхлэг нь h өндөртэй давхцах координатын системийг сонгоцгооё (Зураг 47), конусын оройг координатын эхлэл болгон авъя. Дараа нь OA шулуун шугамын тэгшитгэлийг y=\frac(r)(h)\,x хэлбэрээр бичнэ.

Томъёо (3) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\баруун|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Жишээ 6.Астроидын х тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг олъё \эхлэх(тохиолдол)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\төгсгөл(тохиолдол)(Зураг 48).

Шийдэл.Асроид бүтээцгээе. Ординат тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай астроидийн дээд хэсгийн хагасыг авч үзье. Томьёог (3) ашиглан тодорхой интеграл тэмдгийн дор хувьсагчийг өөрчилснөөр бид шинэ t хувьсагчийн интеграцийн хязгаарыг олно.

Хэрэв x=a\cos^3t=0 бол t=\frac(\pi)(2) , хэрэв x=a\cos^3t=a бол t=0 болно. y^2=a^2\sin^6t гэж үзвэл ба dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, бид авах:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Астроидын эргэлтээс үүссэн бүх биеийн эзэлхүүн байх болно \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Жишээ 7.Х тэнхлэг ба циклоидын эхний нумаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын ординатын тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг олъё. \эхлэх(тохиолдлууд)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\төгсгөл(тохиолдлууд).

Шийдэл.Томъёог (4) ашиглацгаая: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, t хувьсагч 0-ээс 2\pi хүртэл өөрчлөгдөхөд циклоидын эхний нум үүсдэгийг харгалзан хувьсагчийг интеграл тэмдгийн дор орлуулна. Тиймээс,

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\баруун))\баруун|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\баруун)= 6\pi^3a^3. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолол хийхийн тулд та ActiveX хяналтыг идэвхжүүлэх ёстой!

Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг олохын тулд интеграл ашиглана

Математикийн практик ач тус нь ямар ч биш байгаатай холбоотой юм

Математикийн тусгай мэдлэг нь төхөөрөмжийн зарчим, орчин үеийн технологийн ашиглалтыг ойлгоход хэцүү болгодог. Хүн бүр амьдралынхаа туршид нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийх, түгээмэл хэрэглэгддэг тоног төхөөрөмжийг ашиглах, лавлах номноос шаардлагатай томъёог олох, асуудлыг шийдвэрлэх энгийн алгоритмуудыг бий болгох шаардлагатай болдог. IN орчин үеийн нийгэмулам олон мэргэжил шаардаж байна өндөр түвшинболовсрол нь математикийн шууд хэрэглээтэй холбоотой. Ийнхүү математик нь оюутны хувьд мэргэжлийн чухал хичээл болж хувирдаг. Алгоритм сэтгэлгээг бий болгоход математик тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажиллах, шинэ алгоритм барих чадварыг хөгжүүлдэг.

Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолоход интеграл ашиглах сэдвийг судалж байхдаа би сонгох ангийн оюутнуудад "Интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүн" сэдвийг авч үзэхийг санал болгож байна. Энэ сэдвийг авч үзэх арга зүйн зөвлөмжийг доор харуулав.

1. Хавтгай дүрсний талбай.

Алгебрийн хичээлээс бид практик шинж чанартай асуудлууд нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг бий болгосныг бид мэднэ..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=". >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" өргөн "127" өндөр "25 src=">.

y=f(x) хугархай шугам, Ox тэнхлэг, x=a, x=b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецийг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тооцоолно. томъёог ашиглан

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" өргөн "352" өндөр "283 src=">Y

3.Цилиндрийн эзэлхүүн.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусыг эргүүлэх замаар олж авдаг зөв гурвалжин AC хөл дээр байрлах Үхрийн тэнхлэгийг тойруулан ABC(C=90).

AB сегмент нь y=kx+c шулуун шугам дээр байрладаг бөгөөд https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> байна.

a=0, b=H (H нь конусын өндөр), дараа нь Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" гэж үзье. ">.

5.Таслагдсан конусын эзэлхүүн.

Тэгш өнцөгт трапец хэлбэрийн ABCD (CDOx) -ийг Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр таслагдсан конусыг олж авч болно.

AB хэрчим нь y=kx+c шулуун дээр байрладаг ба энд , c=r.

Шулуун шугам нь А (0;r) цэгийг дайран өнгөрдөг тул.

Тиймээс шулуун шугам нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> шиг харагдаж байна.

a=0, b=H (H нь таслагдсан конусын өндөр), дараа нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" гэж бичнэ. ="> = .

6. Бөмбөгний эзлэхүүн.

Бөмбөгийг Ox тэнхлэгийн эргэн тойронд төвтэй (0;0) тойрог эргүүлэх замаар олж авч болно. Ox тэнхлэгээс дээш байрлах хагас тойрог нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" өргөн "13" өндөр "16 src=">x R.