Сэдэв 13. Теорем ба нотолгоо
Энэ сэдвээр та нартай танилцах болно өвөрмөц онцлогМатематик нь физик болон бусад шинжлэх ухаантай харьцуулахад зөвхөн батлагдсан үнэн эсвэл хуулийг хүлээн зөвшөөрдөг. Үүнтэй холбогдуулан теоремын тухай ойлголтыг шинжилж, зарим төрлийн теоремууд, тэдгээрийг батлах аргуудыг авч үзэх болно.
09-13-03. Математикийн өвөрмөц онцлог
Онол
1.1. Хэрэв бид математик, физикийг харьцуулж үзвэл эдгээр шинжлэх ухаан хоёулаа ажиглалт, нотолгоог хоёуланг нь ашигладаг. Туршилтын физикийн хажуугаар математикийн теорем гэх мэт зарим өгүүлбэрүүд нь зарим санааг бусдаас дэс дараалан хасаж, физикийн хуулиудад тулгуурлан нотлогддог онолын физик байдаг. Гэсэн хэдий ч физикийн хуулиудбаталгаажсан үед л үнэн гэж хүлээн зөвшөөрнө их тоотуршилтууд. Эдгээр хуулиудыг цаг хугацааны явцад боловсронгуй болгож болно.
Математик нь мөн ажиглалтыг ашигладаг.
Жишээ 1: Үүнийг ажиглаж байна
Бид эхний мянган сондгой натурал тооны нийлбэр нь 1,000,000 гэсэн таамаглал дэвшүүлж болно.
Энэ мэдэгдлийг шууд тооцоолол, зарцуулалтаар баталгаажуулж болно их хэмжээнийцаг.
Бид бас ямар ч гэсэн ерөнхий таамаглал дэвшүүлж болно натурал тооанхны сондгой тоонуудын нийлбэр нь . Бүх натурал тоонуудын багц нь хязгааргүй тул энэ мэдэгдлийг шууд тооцооллоор баталгаажуулах боломжгүй юм. Гэхдээ нотлох боломжтой учраас гаргасан таамаг нь зөв юм.
Жишээ 2. Бид олон гурвалжны өнцгийг хэмжиж чадна..gif" height="20">, хэрэв бид Евклидийн тав дахь постулатыг аксиом болгон авбал үнэн. батлагдсан 7-р ангид.
Жишээ 3. Олон гишүүнт орлуулах
1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын оронд 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 гэсэн анхны тоонуудыг авна. Ямар ч натурал утгын хувьд гэж үзэж болно. квадрат гурвалжинанхны тоо юм. Шалгалт нь энэ нь 1-ээс 39 хүртэлх натурал тоонуудын хувьд үнэн болохыг харуулсан. Гэсэн хэдий ч үр дүн нь нийлмэл тоо учраас буруу таамаглалтай байна:
Теоремын үнэнийг тогтоохын тулд ажиглалтаас илүү нотлох баримтыг ашиглах нь математикийн онцлог шинж юм.
Олон тооны ажиглалтын үндсэн дээр хийсэн дүгнэлт нь зөвхөн математикийн хууль гэж тооцогддог батлагдсан.
1.2. Дүгнэлт, дүгнэлтийн тухай үнэн зөв дүн шинжилгээ хийхгүйгээр зарим дүгнэлтийг бусдаас дэс дараалан гаргаж авсан нотолгоо гэх зөн совингийн ойлголтоор хязгаарлъя. Теоремын үзэл баримтлалд илүү дэлгэрэнгүй дүн шинжилгээ хийцгээе.
Теоремыг ихэвчлэн нотлох баримтаар үнэн нь тогтоогдсон мэдэгдэл гэж нэрлэдэг. Теоремын тухай ойлголт нь нотлох үзэл баримтлалын хамт хөгжиж, боловсронгуй болсон.
Сонгодог утгаараа теоремыг бусдаас зарим санал гарган нотолсон хэллэг гэж ойлгодог. Энэ тохиолдолд заримыг нь сонгох ёстой анхны хуулиудэсвэл аксиомууд, үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрсөн.
Геометрийн аксиомын системийг эртний Грекийн математикч Евклид "Элементүүд" хэмээх алдарт бүтээлдээ анх бүтээжээ. Евклидийн элементүүд дэх аксиомуудыг дагаж, теоремууд ба доор байгуулах бодлого нийтлэг нэрсанал болгож байна. Теоремуудыг хатуу дарааллаар байрлуулсан.
Теорем бүрийг эхлээд хэлж, дараа нь юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг өгүүлдэг. Дараа нь нотлох баримтыг өмнө нь батлагдсан санал, аксиомын бүх ишлэлээр танилцуулна. Заримдаа нотлох баримт нь нотлох шаардлагатай үгсээр төгсдөг. Бүх зүйл рүү орчуулсан Европын хэлүүд 13 номыг багтаасан Евклидийн элементүүд нь 18-р зууныг хүртэл сургууль, их дээд сургуулиудад геометр судлах цорын ганц сурах бичиг хэвээр байв.
1.3. Юу өгөгдсөн, юуг нотлох шаардлагатайг тодорхойлоход хялбар болгохын тулд теоремуудыг if..., тэгвэл... хэлбэрээр томьёолно. Хэрэв, дараа нь хоёрын хоорондох теоремыг томъёолох эхний хэсгийг гэнэ. нөхцөлтеорем ба үүний дараа бичигдсэн хоёр дахь хэсгийг нэрлэнэ дүгнэлттеоремууд.
Теоремын нөхцөл нь өгөгдсөн зүйлийн тайлбарыг агуулдаг бөгөөд дүгнэлт нь нотлох шаардлагатай зүйлсийг агуулдаг.
Заримдаа теоремын энэ хэлбэрийг нэрлэдэг логик хэлбэртеоремууд бөгөөд хэрэв-then хэлбэр гэж товчилно.
Жишээ 4. Дараах теоремыг авч үзье.
Хэрэв тэгш натурал тоо бол сондгой тоо болно.
Энэ теоремд ямар ч тэгш тоог ..gif" width="32 height=19" height="19"> сондгой гэж авна гэсэн нөхцөл бий.
Ихэнхдээ нөхцөл, дүгнэлтийг өөр өөр үг ашиглан бичдэг.
Жишээ 5. Жишээ 1-ийн теоремыг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
Тэгш натурал тоо байг. Дараа нь сондгой тоо байна.
Энэ тохиолдолд хэрэв тэд let гэдэг үгийг ашигладаг бол үгийн оронд, дараа нь үгийн оронд дараа нь үгийг бичнэ.
Жишээ 6. Жишээ 1-ийн теоремыг мөн дараах хэлбэрээр бичиж болно.
Натурал тоо нь тэгш байдгаас үзэхэд .gif" width="13" height="15"> тоо нь сондгой гэсэн үг юм.
Энэ тохиолдолд if гэсэн үгийг орхигдуулж, дараа нь intails гэсэн үгийн оронд хэрэглэнэ.
Заримдаа теоремын өөр төрлийн тэмдэглэгээг ашигладаг.
1.4. Зарим тохиолдолд теоремын нөхцөлийг томъёолохдоо бичдэггүй. Энэ нөхцөл байдал ямар хэлбэртэй байж болох нь текстээс тодорхой болсон үед тохиолддог.
Жишээ 8. Та теоремыг мэднэ: гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог.
Логик хэлбэрээр энэ теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хэрэв та аль нэг гурвалжинд бүх медианыг зурвал эдгээр медианууд нэг цэгт огтлолцоно.
Жишээ 9. Анхны тооны олонлогийн хязгааргүй байдлын теоремыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хэрэв бүх анхны тоонуудын олонлог бол энэ нь хязгааргүй болно.
Математик дахь теоремуудын хоорондын холбоог тогтоохын тулд тусгай хэлийг ашигладаг бөгөөд үүнийг энэ бүлгийн дараагийн догол мөрөнд хэсэгчлэн авч үзэх болно.
Хяналтын асуултууд
1. Математикийн ажиглалтын ямар жишээг та мэдэх вэ?
2. Та геометрийн ямар аксиомуудыг мэдэх вэ?
3. Теоремын аль тэмдэглэгээг теоремын логик хэлбэр гэж нэрлэдэг вэ?
4. Теоремын нөхцөл ямар байх вэ?
5. Теоремын дүгнэлтийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
6. Теорем бичих ямар хэлбэрийг та мэдэх вэ?
Даалгавар, дасгалууд
1. Та ажигласнаар ямар таамаглал дэвшүүлж болох вэ:
a) хоёр зэргэлдээ натурал тооны үржвэр;
б) хоёр зэргэлдээ натурал тооны нийлбэр;
в) дараалсан гурван натурал тооны нийлбэр;
г) гурван сондгой тооны нийлбэр;
г) сүүлийн цифрүүдВ аравтын тэмдэглэгээтоонууд .gif" өргөн "13 өндөр = 15" өндөр "15">;
е) нэг цэгээр дамжин өнгөрөх янз бүрийн шулуун шугамаар хавтгай хуваагдсан хэсгүүдийн тоо;
g) хавтгайг янз бүрийн шулуун шугамаар хуваасан хэсгүүдийн тоо, тэдгээрийн шулуун шугамууд хос хосоороо параллель, огтлолцох .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > хэлбэрийн тоонууд , энд натурал тоо;
г) хоёр иррационал тооны нийлбэр?
3. Мохоо гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүдийг ажигласнаар ямар таамаглал дэвшүүлж болох вэ?
4. Теоремыг логик хэлбэрээр бич.
a) гүдгэрийн дотоод өнцгийн нийлбэр https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
б) дурын хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин ижил төстэй;
в) тэгш байдал ямар ч бүхэл тоонд биелнэ ба ;
г) тэгш өнцөгт гурвалжны суурь руу татсан өндөр нь энэ гурвалжны орой дээрх өнцгийг хоёр хуваасан;
д) сөрөг бус тоонуудын хувьд тэгш бус байдал хангагдсан;
е) тойрог дотор сийлсэн дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын хоёр өнцгийн нийлбэр нь 180;
g) тоо нь оновчтой тоо биш;
h) 10-аас их бүх анхны тоо сондгой;
i) дөрвөлжингийн диагональууд нь огтлолцох цэг дээр тэнцүү, перпендикуляр ба хоёр хуваагдсан;
и) өгөгдсөн тойрогт дүрслэгдсэн бүх дөрвөлжингийн талбай нь хамгийн том талбайтай;
к) тэгш анхны тоо байна;
l) анхны тоог хоёр өөр сондгой натурал тооны нийлбэрээр илэрхийлж болохгүй;
м) эхний натурал тоонуудын шоо нийлбэр нь зарим натурал тооны квадрат юм.
5.* Өмнөх бодлогод өгсөн теорем бүрийг хэд хэдэн өөр хэлбэрээр бич.
Хариултууд ба чиглэлүүд
Даалгавар 1. Та ажигласнаар ямар таамаг дэвшүүлж болох вэ:
a) хоёр зэргэлдээ натурал тооны үржвэр;
б) хоёр зэргэлдээ натурал тооны нийлбэр;
в) дараалсан гурван натурал тооны нийлбэр;
г) гурван сондгой тооны нийлбэр;
г)аравтын тооллын сүүлийн цифрүүдбайгалийн жамаар;
д) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> онгоц хуваагдсан хэсгүүдийн тоо https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" өргөн "17" өндөр "15"> шулуун шугамууд нь хос зэрэгцэн зэрэгцээ, огтлолцдог.gif" өргөн "13 өндөр = 20" өндөр "20"> онгоц хуваагдсан хэсгүүдийн тоо https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> зөвхөн дөрвөн оронтой тоо авах боломжтой:
0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" өндөр "20 src=">.gif" өргөн "13" өндөр="20 src=">.gif" өргөн "13" өндөр "15"> -gon-той тэнцүү байна;
б) дурын хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин ижил төстэй;
в) тэгш байдалямар ч бүхэл тоонд ажилланаТэгээд;
Математикийн мэдэгдлийн нотолгоо нь дүрмээр бол үнэн зөв нь урьд өмнө тогтоогдсон аксиом ба теоремуудыг ашиглан зөв үндэслэлийн гинжин хэлхээ юм. Хэрэв бүх үндэслэлийн үнэн нь дүгнэлтийн үнэнийг илэрхийлж байвал үндэслэлийг зөв гэж нэрлэдэг. \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) мэдэгдлүүд нь байр, \(A\) нь дүгнэлт байг. Үндэслэл нь схемийн дагуу явагдана \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), өөрөөр хэлбэл \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) таамаглалаас \(B\) дүгнэлт гарна. Хэрэв томъёо нь зөв бол энэ үндэслэл \((A_1\Ба A_2\Ба \ldots\Ба A_n)\Баруун сум B\)адилхан үнэн, өөрөөр хэлбэл. Үүнд багтсан мэдэгдлийн аль ч үнэн утгын хувьд үнэн \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Жишээлбэл, дараах диаграммууд нь зөв үндэслэлтэй тохирч байна.
\(\фрак(A\Баруун сум B,A)(B)\)- дүгнэлтийн дүрэм ( modus ponens);
\(\фрак(A\Баруун сум B,B\Баруун сум C)(A \Баруун сум C)\)- силлогизмын дүрэм;
\(\frac(A\Баруун сум B,\l биш)(\l биш)\)- эсрэг заалтын дүрэм.
Эхний болон гурав дахь схемд үндэслэн дараахь үндэслэлийг бий болгосон.
– хэрэв \(n\) натурал тоо 4-т хуваагддаг бол тэгш тоо. \(n\) тоо 4-т хуваагдана.Иймд n тоо тэгш байна;
– хэрэв \(n\) натурал тоо 4-т хуваагддаг бол тэгш тоо. \(n\) тоо сондгой. Тиймээс \(n\) тоо 4-т хуваагддаггүй.
Аль ч натурал тоо \(n\) хувьд энэ хоёр аргумент зөв байна. Үнэн хэрэгтээ \(n=1\) байсан ч гэсэн илт нийцэхгүй байгаа ч гэсэн бид зөв үндэслэлтэй байна: "хэрэв 1-ийн тоо 4-т хуваагддаг бол энэ нь тэгш байна. 1-ийн тоо 4-т хуваагддаг. Тиймээс 1-р тоо тэгш байна, учир нь худал байр сууринаас ямар ч дүгнэлт гаргах боломжтой.
Схемийн дагуу үндэслэлийн жишээг авч үзье \(\фрак(A\Баруун сум B,B)(A):\)
– хэрэв \(n\) натурал тоо 4-т хуваагддаг бол тэгш тоо. \(\) тоо тэгш байна. Тиймээс \(n\) тоо 4-т хуваагдана.
\(n=6\) ба \(n=8\) тус тусад нь бид дараахыг авна:
– хэрэв натурал 6 тоо 4-т хуваагддаг бол тэгш тоо. 6 тоо тэгш байна. Тиймээс 6 тоо нь 4-т хуваагддаг;
– хэрэв натурал 8 тоо 4-т хуваагддаг бол тэгш тоо. 8 тоо тэгш байна. Тиймээс 8-ын тоо 4-т хуваагдана.
Хоёр аргумент хоёулаа буруу, гэхдээ хоёр дахь аргументийн дүгнэлт үнэн (8 тоо нь үнэндээ 4-т хуваагддаг), i.e. схем \(\фрак(A\Баруун сум B,B)(A)\)зөв үндэслэлтэй нийцэхгүй байна.
Ихэнхдээ \(A\Rightarrow B\) хэлбэрийн теоремыг нотлохын оронд анхныхтай дүйцэхүйц өөр мэдэгдлийн үнэнийг нотолдог. Нотлох баримтын ийм хэлбэрийг шууд бус гэж нэрлэдэг. Үүний нэг нь зөрчилдөөнөөр нотлох арга юм. \(A\Rightarrow B\) мэдэгдлийн үнэнийг батлахын тулд бид энэ мэдэгдлийг худал гэж үзэж байна. Энэ таамаглал дээр үндэслэн бид зөрчилдөөнд хүрч, тухайлбал, зарим мэдэгдэл үнэн, үнэн биш гэдгийг нотолж байна. Эндээс бид таамаглал худал, анхны мэдэгдэл үнэн гэж дүгнэж байна.
Тайлбарласан аргыг ашиглан бид мэдэгдлийг нотолж байна:
хэрэв \(n\) сондгой тоо бол \(n^2\) тоо сондгой байна.
Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. \(n^2\) нь тэгш байхаар \(n\) сондгой тоо байг. Тэгвэл нэг талаас \(n^2-n\) ялгаа нь сондгой тоо байх ба нөгөө талаас \(n^2-n=n(n-1)\) гэдэг нь ойлгомжтой. дараалсан хоёр бүхэл тооны үржвэр шиг тэгш. Зөрчилдөөнийг олж авна, тухайлбал: \(n^2-n\) тоо нь нэгэн зэрэг тэгш, сондгой байна. Энэ нь гаргасан таамаглал буруу, тиймээс анхны мэдэгдэл үнэн болохыг баталж байна.
Зөрчилдөөнөөр нотлох гэж үзсэн схем нь цорын ганц биш юм. Зөрчилдөөнөөр нотлох бусад схемүүдийг бас ашигладаг.
\(\frac(A,\lnot B)(\lnot A)\)эсвэл \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Шууд бус нотлох өөр нэг схем (эсрэг заалтын хуулийн дагуу) нь \(A\Rightarrow B\) ба \(B\Rightarrow \lnot A\) гэсэн хоёр мэдэгдлийн тэнцэл дээр суурилдаг. Үнэндээ эдгээр мэдэгдэл хоёулаа үнэн эсвэл хоёулаа худал юм. Жишээлбэл, "хэрэв бороо орж байвал тэнгэрт үүл байна", "тэнгэрт үүл байхгүй бол бороо ороогүй байна" гэсэн үгс хоёулаа үнэн боловч "хэрэв үүлтэй бол тэнгэрт үүлтэй бол" гэсэн үг байдаг. тэнгэр, дараа нь бороо орж байна", "хэрэв бороо ороогүй бол тэнгэрт үүл байхгүй" гэсэн хоёулаа худлаа.
Олон тооны асуудалд та ямар нэгэн натурал тоо \(n\)-ийн хувьд зарим мэдэгдлийн (томьёо) үнэн зөвийг батлах хэрэгтэй. Шууд шалгахНатурал тоонуудын багц хязгааргүй тул n-ийн утга тус бүрийн хувьд ийм мэдэгдэл хийх боломжгүй юм. Ийм мэдэгдлийг (томьёо) нотлохын тулд бид ашигладаг Математик индукцийн арга, мөн чанар нь дараах байдалтай байна. \(A(n)\) бүх \(n\in \mathbb(N)\)-ийн үнэнийг батлах шаардлагатай байг. Үүнийг хийхийн тулд хоёр мэдэгдлийг батлахад хангалттай.
1) \(A(n)\) мэдэгдэл \(n=1\) хувьд үнэн. Баталгаажуулалтын энэ хэсгийг индукцийн суурь гэж нэрлэдэг;
2) дурын натурал тооны \(k\) хувьд \(n=k\) (индуктив таамаглал)-ын хувьд энэ нь үнэн байхаас дараагийн \(n=k+1\) тоонд үнэн байна гэсэн үг. , өөрөөр хэлбэл. \(A(k)\Баруун сум A(k+1)\) . Баталгаажуулалтын энэ хэсгийг индуктив алхам гэж нэрлэдэг.
Хэрэв 1, 2-р цэгүүд батлагдвал \(A(n)\) нь ямар ч натурал тоо \(n\) хувьд үнэн байна гэж дүгнэж болно.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв \(A(1)\) мэдэгдэл үнэн бол (1-р цэгийг үзнэ үү), \(A(2)\) мэдэгдэл мөн үнэн болно (\(n=1\)-ийн 2-р цэгийг үзнэ үү). \(A(2)\) үнэн тул \(A(3)\) нь бас үнэн (\(n=2\)-ийн 2-р цэгийг үзнэ үү) гэх мэт. Ингэснээр та \(A(n)\) үнэн эсэхийг шалгахын зэрэгцээ дурын натурал тоо \(n\) хүрч чадна.
Тайлбар B.6.Хэд хэдэн тохиолдолд тодорхой мэдэгдлийн үнэн зөвийг нотлох шаардлагатай байж болно \(A(n)\) бүх байгалийн \(n\) биш, зөвхөн \(n\geqslant p\), i.e. тодорхой тооноос эхлэн \(p\) . Дараа нь математик индукцийн аргыг дараах байдлаар өөрчилнө.
1) индукцийн суурь: \(A(p)\) -ийн үнэнийг батлах;
2) индукцийн алхам: дурын тогтмол \(k\geqslant p\) хувьд \(A(k)\Баруун сум A(k+1)\)-г нотлох.
1, 2-р цэгүүдээс харахад \(A(n)\) нь бүх натурал тоонуудын хувьд үнэн \(n\geqslant p\) байна.
Жишээ B.16.Дурын натурал тооны \(n\) хувьд \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) тэгш байдлын үнэн зөвийг батал.
Шийдэл.Эхний \(n\) сондгой тооны нийлбэрийг \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) гэж тэмдэглэе. Энэ нь \(A(n):\) "ямар ч \(n\-д \mathbb(N)\) хувьд \(S_n=n^2\) тэгш байдал үнэн болохыг нотлох шаардлагатай. Бид нотлох баримтыг индукцээр хийх болно.
1) \(S_1=1=1^2\) тул \(n=1\)-ийн хувьд \(S_n=n^2\) тэгш байдал үнэн, i.e. \(A(1)\) мэдэгдэл үнэн. Индукцийн үндэс нь батлагдсан.
2) \(k\) нь дурын натурал тоо байг. \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) индукцийн алхамыг хийцгээе. \(A(n)\) мэдэгдлийг \(n=k\) үнэн гэж үзвэл, i.e. \(S_k=k^2\) , \(A(n)\) илэрхийлэл дараагийн натурал тоо \(n=k+1\) хувьд үнэн болохыг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл \(S_(k+) 1)=(k +1)^2\) . Үнэхээр,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k) +1)^2.\)
Тиймээс \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) ба математик индукцийн аргад үндэслэн \(A(n)\) хэллэг нь ямар ч натурал тоо \(n\) хувьд үнэн гэж дүгнэж байна. өөрөөр хэлбэл, \( S_n=n^2\) томъёо нь ямар ч \(n\ in \mathbb(N)\) хувьд үнэн байна.
Жишээ B.17.\(n\) тооны сэлгэлт нь тодорхой дарааллаар авсан эхний \(n\) натурал тоонуудын багц юм. Янз бүрийн сэлгэцийн тоо \(n!\) -тэй тэнцүү болохыг батал. \(n!\) илэрхийлэл ("\(n\) факториал"-ыг уншина уу) нь тэнцүү байна \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Хэрэв \(n\) тоонуудын \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) ба \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) хоёр солилтыг тэнцүү гэж үзнэ. \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), мөн тэгш байдлын дор хаяж нэг нь зөрчигдсөн бол сэлгэлтийг өөр гэж үзнэ.
Шийдэл.Математик индукцийн аргыг ашиглан нотолгоог хийцгээе.
1) \(n=1\)-ийн хувьд зөвхөн нэг солих \((1)\ байна, i.e. \(1!=1\) бөгөөд мэдэгдэл үнэн байна.
2) Аливаа \(k\)-ийн хувьд сэлгэлтийн тоо \(k!\) -тэй тэнцүү байна гэж бодъё. \((k+1)\) тооны сэлгэлтийн тоо \((k+1)!\) -тэй тэнцүү болохыг баталцгаая. Уг нь \((k+1)\) тоог \((k+1)\) тоонуудын орлуулалтын дурын газарт засаад, үлдсэн \(k+1)\) натурал тоог эхний \(k\) тоонд байрлуулъя. (k\) газар. Ийм сэлгэлтийн тоо нь \(k\) тооны сэлгэцийн тоотой тэнцүү, i.e. \(k!\) индуктив таамаглалаар. \((k+1)\) тоог сэлгэлтийн аль ч (k+1) газарт байрлуулж болох тул \((k+1)\) тоонуудын өөр өөр сэлгэлтийн тоо тэнцүү байна гэж бид дүгнэж байна. \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) руу. Ингээд \(n=k\) -ийн хувьд уг мэдэгдлийг үнэн гэж үзвэл \(n=k+1\) -ийн хувьд үнэн болохыг батлах боломжтой болсон.
1 ба 2-р цэгээс харахад энэхүү мэдэгдэл нь дурын натурал тоо \(n\)-ийн хувьд үнэн байх болно.
Тайлбар B.7.Олон тооны зөв үндэслэлийг ашиглан теоремуудыг гаргах албан ёсны аргуудыг математик логик судалдаг. Дүрмээр бол эдгээр аргууд нь зөвхөн хуучин агуулгыг тусгасан теоремуудын шинэ томъёоллыг бий болгодог. Тиймээс хөгжлийн төлөө математикийн онолтэд үр дүнгүй байдаг. Гэсэн хэдий ч математикийн аливаа асуудлыг судлахдаа математик логикийн хууль, зөв үндэслэлийн схемийг дагаж мөрдөх ёстой.
Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.Тооцоолол хийхийн тулд та ActiveX хяналтыг идэвхжүүлэх ёстой!
Теоремыг хэрхэн батлах вэ?
Теоремыг батлах журам нь зөвхөн төвөгтэй мэт санагддаг. Логиктой сэтгэх чадвартай, энэ шинжлэх ухааны чиглэлээр шаардлагатай мэдлэгтэй байх нь хангалттай бөгөөд теоремыг батлах нь танд хэцүү биш байх болно. Бүх үйлдлийг зөв дарааллаар тодорхой гүйцэтгэх нь чухал юм.
Зарим шинжлэх ухаанд, жишээлбэл, алгебр, геометрийн хувьд хамгийн чухал ур чадваруудын нэг бол теоремыг батлах чадвар юм. Энэ нь батлагдсан теоремууд дараа нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно гэсэнтэй холбоотой юм. Та зөвхөн нотлох алгоритмыг сурахаас гадна түүний мөн чанарыг ойлгох чадвартай байх хэрэгтэй. Теоремуудыг хэрхэн батлахыг олж мэдье.
Теоремын баталгаа
Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй, энэ нь тодорхой, цэвэрхэн байх ёстой. Үүний дараа та үүн дээр заасан нөхцлийг тэмдэглэх хэрэгтэй. "Өгөгдсөн" баганад та эхлээд мэдэж байсан бүх хэмжигдэхүүнүүд болон нотлох шаардлагатай зүйлсээ бичих хэрэгтэй. Үүний дараа та нотлох баримтаа үргэлжлүүлж болно. Үндсэндээ энэ нь мэдэгдэл үнэн гэдгийг харуулах боломжийг олгодог логикоор хийгдсэн бодлын хэлхээ юм. Теоремыг батлахад бусад теорем, аксиом, зөрчилдөөнийг ашиглах гэх мэт орно.
Тиймээс теоремын баталгаа нь үнэнийг маргах боломжгүй мэдэгдлийг олж авах боломжийг олгодог тодорхой дараалсан үйлдлийн дараалал юм. Дүрмээр бол нотлох явцад хамгийн хэцүү зүйл бол логик үндэслэлийн дарааллыг эрэлхийлэх явдал юм. Хэрэв энэ нь амжилттай болвол та өөрөөсөө юу шаардаж байсныг нотлох боломжтой болно.
Геометрийн теоремуудыг хүндрэлгүйгээр хэрхэн батлах вэ
Даалгавраа хялбарчлахын тулд та теоремыг хэсэг болгон хувааж, тус бүрийг тусад нь нотлох боломжтой бөгөөд энэ нь таныг эцсийн үр дүнд хүргэх болно. Зарим тохиолдолд "зөрчилдөөнөөр нотлох" аргыг хэрэглэх нь үр дүнтэй байдаг. Дараа нь та "эсрэгээр нь төсөөлье" гэсэн үгээр эхлэх хэрэгтэй. Яагаад гэдгийг нь тайлбарлах ёстой энэ тохиолдолднэг эсвэл өөр дүгнэлт хийх боломжгүй юм. "Тиймээс анхны мэдэгдэл үнэн байх болно" гэсэн үгээр дуусгах хэрэгтэй. Теорем нь батлагдсан."
Өшөө илүү хэрэгтэй мэдээлэлгеометрийн талаар хэсгээс олж болно.
Алгебр нь теоремуудыг үе үе батлах шаардлагатай болдог. Батлагдсан теорем нь танд шийдвэрлэхэд тусална. Тиймээс нотолгоог механикаар цээжлэх биш, харин теоремын мөн чанарыг ойлгох нь туйлын чухал бөгөөд ингэснээр та үүнийг практикт удирдан чиглүүлэх боломжтой болно.
Эхлээд теоремын тодорхой, цэвэр диаграммыг зур. Үүнийг тэмдэглэ латин үсгээрчи аль хэдийн мэддэг зүйл. "Өгөгдсөн" баганад мэдэгдэж буй бүх хэмжигдэхүүнийг бичнэ үү. Дараа нь "Нотлох" баганад юу нотлохоо томъёол. Одоо бид нотлох баримтыг эхлүүлж болно. Энэ бол логик бодлын гинжин хэлхээ бөгөөд үүний үр дүнд мэдэгдлийн үнэнийг харуулдаг. Теоремыг батлахдаа та ашиглаж болно (заримдаа бүр хэрэгтэй). янз бүрийн заалтууд, аксиомууд, зөрчилдөөн, тэр ч байтугай өмнө нь батлагдсан бусад теоремууд.
Тиймээс нотлох баримт бол үйлдлүүдийн дараалал бөгөөд үүний үр дүнд та үгүйсгэх аргагүй юм. Теоремыг батлахад тулгардаг хамгийн том бэрхшээл бол нотлох шаардлагатай зүйлийг хайхад хүргэдэг логик үндэслэлийн дарааллыг яг таг олох явдал юм.
Теоремыг хэсэг болгон хувааж, тусад нь нотолж, эцэст нь хүссэн үр дүндээ хүрнэ. "Зөрчилдөөнөөр нотлох" ур чадварыг эзэмших нь ашигтай бөгөөд зарим тохиолдолд энэ нь теоремыг батлах хамгийн хялбар арга юм. Тэдгээр. нотлох баримтаа "эсрэгээр нь төсөөлье" гэсэн үгээр эхэлж, энэ нь боломжгүй гэдгийг аажмаар нотлох. Нотлох баримтаа “Тиймээс анхны мэдэгдэл үнэн байна. Теорем нь батлагдсан."
Франсуа Виет бол Францын алдарт математикч юм. Виетийн теорем нь хялбаршуулсан схемийг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь тооцоололд зарцуулсан цагийг хэмнэдэг. Гэхдээ теоремын мөн чанарыг илүү сайн ойлгохын тулд томъёоллын мөн чанарт нэвтэрч, үүнийг батлах хэрэгтэй.
Вьетагийн теорем
Энэ аргын мөн чанар нь ялгаварлагчийн тусламжгүйгээр үндсийг олох явдал юм. Хоёр өөр бодит язгууртай x2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийн хувьд хоёр мэдэгдэл үнэн болно.Эхний мэдэгдэлд энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь x хувьсагчийн коэффициентийн утгатай тэнцүү байна (энэ тохиолдолд энэ нь b), гэхдээ эсрэг тэмдэг. Харагдах байдал нь дараах байдалтай байна: x1 + x2 = −b.
Хоёр дахь мэдэгдэл нь нийлбэртэй холбоотой байхаа больсон, харин эдгээр хоёр ижил язгуурын үржвэртэй холбоотой байна. Энэ бүтээгдэхүүн нь чөлөөт коэффициенттэй тэнцүү байна, i.e. в. Эсвэл, x1 * x2 = c. Эдгээр хоёр жишээг системд шийддэг.
Виетийн теорем нь шийдлийг маш хялбаршуулсан боловч нэг хязгаарлалттай. Энэ аргыг ашиглан үндсийг нь олох боломжтой квадрат тэгшитгэлийг багасгах шаардлагатай. Дээрх тэгшитгэлд x2-ийн урд байгаа a коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Илэрхийллийг эхний коэффициентээр хуваах замаар аливаа тэгшитгэлийг ижил төстэй хэлбэрт оруулж болно, гэхдээ үргэлж биш энэ ажиллагааоновчтой.
Теоремын баталгаа
Эхлэхийн тулд бид уламжлал ёсоор үндэс хайх нь заншилтай байдгийг санах хэрэгтэй квадрат тэгшитгэл. Эхний болон хоёр дахь үндэс олддог, тухайлбал: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Ерөнхийдөө энэ нь 2a-д хуваагддаг боловч аль хэдийн дурдсанчлан теоремыг зөвхөн a=1 үед л хэрэглэж болно.Виетийн теоремоос харахад язгууруудын нийлбэр нь хасах тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. Энэ нь x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b гэсэн үг юм.
Үл мэдэгдэх үндэсийн үржвэрийн хувьд мөн адил байна: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Хариуд нь D = b2-4c (дахин a=1). Үр дүн нь: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Өгөгдсөн энгийн нотолгооноос зөвхөн нэг дүгнэлтийг гаргаж болно: Виетийн теорем бүрэн батлагдсан.
Хоёр дахь томъёолол ба нотолгоо
Виетийн теорем өөр тайлбартай. Илүү нарийвчлалтай хэлэхэд энэ нь тайлбар биш, харин томъёолол юм. Баримт нь хэрэв эхний тохиолдолтой ижил нөхцөл хангагдсан бол: хоёр өөр бодит үндэс байгаа бол теоремыг өөр томъёогоор бичиж болно.Энэ тэгш байдал дараах байдалтай байна: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Хэрэв P(x) функц нь x1 ба x2 гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцдог бол P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) гэж бичиж болно. Хэрэв P нь 2-р зэрэгтэй бөгөөд анхны илэрхийлэл нь яг иймэрхүү харагдаж байвал R нь анхны тоо, тухайлбал 1. Тэгэхгүй бол тэгш байдал биелэхгүй тул энэ мэдэгдэл үнэн болно. Хаалт нээх үед x2 коэффициент нь нэгээс ихгүй байх ёстой бөгөөд илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэвээр байх ёстой.
Сургуулийн хүүхэд бүр төдийгүй өөрийгөө хүндэлдэг боловсролтой хүнтеорем, теоремын баталгаа гэж юу байдгийг мэдэх ёстой. Магадгүй ийм ойлголт олдохгүй байх жинхэнэ амьдрал, гэхдээ тэд маш их мэдлэгийг бүтэцжүүлэх, түүнчлэн дүгнэлт хийхэд туслах нь гарцаагүй. Тийм ч учраас энэ нийтлэлд бид теоремыг батлах аргуудыг авч үзэхээс гадна алдарт Пифагорын теоремтой танилцах болно.
Теорем гэж юу вэ?
Хэрэв бид сургуулийн математикийн хичээлийг авч үзвэл энэ нь ихэвчлэн теорем, аксиом, тодорхойлолт, нотолгоо гэх мэт шинжлэх ухааны нэр томъёог агуулдаг. Хөтөлбөрийг удирдахын тулд та эдгээр тодорхойлолт бүртэй танилцах хэрэгтэй. Одоо бид теорем ба теоремын баталгаа гэж юу болохыг авч үзэх болно.
Тэгэхээр теорем бол нотлох баримт шаарддаг тодорхой мэдэгдэл юм. Санаж үз энэ үзэл баримтлалаксиомтой зэрэгцээ шаардлагатай, учир нь сүүлийнх нь нотлох баримт шаарддаггүй. Тодорхойлолт нь аль хэдийн үнэн тул үүнийг энгийн гэж үздэг.
Теоремуудын хэрэглээний хамрах хүрээ
Теоремуудыг зөвхөн математикт ашигладаг гэж бодох нь эндүүрэл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь үүнээс хол байна. Жишээлбэл, физикийн шинжлэх ухаанд зарим үзэгдэл, ойлголтыг нарийвчлан, бүх талаас нь судлах боломжийг олгодог маш олон тооны теоремууд байдаг. Үүнд Ампер, Штайнер болон бусад олон теоремууд орно. Ийм теоремуудын нотолгоо нь инерцийн момент, статик, динамик болон физикийн бусад олон ойлголтыг сайн ойлгох боломжийг олгодог.
Математикт теоремуудыг ашиглах
Математик шиг шинжлэх ухааныг теорем, нотолгоогүйгээр төсөөлөхөд бэрх. Жишээлбэл, гурвалжингийн теоремуудын нотолгоо нь зургийн бүх шинж чанарыг нарийвчлан судлах боломжийг танд олгоно. Эцсийн эцэст, тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд болон бусад олон зүйлийг ойлгох нь маш чухал юм.
Талбайн теоремын нотолгоо нь зарим өгөгдөл дээр үндэслэн хэлбэрийн талбайг тооцоолох хамгийн хялбар аргыг ойлгох боломжийг танд олгоно. Эцсийн эцэст, та бүхний мэдэж байгаагаар гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг тодорхойлсон олон тооны томъёо байдаг. Гэхдээ тэдгээрийг ашиглахаасаа өмнө энэ нь тодорхой тохиолдолд боломжтой бөгөөд оновчтой гэдгийг батлах нь маш чухал юм.
Теоремыг хэрхэн батлах вэ
Оюутан бүр теорем гэж юу болох, теоремын баталгааг мэддэг байх ёстой. Үнэн хэрэгтээ аливаа мэдэгдлийг батлах нь тийм ч хялбар биш юм. Үүнийг хийхийн тулд та маш их өгөгдөлтэй ажиллах, логик дүгнэлт хийх чадвартай байх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та тодорхой шинжлэх ухааны чиглэлээр мэдээлэл сайн мэддэг бол теоремыг батлах нь танд хэцүү биш байх болно. Хамгийн гол нь нотлох процедурыг тодорхой логик дарааллаар гүйцэтгэх явдал юм.
Геометр, алгебр зэрэг шинжлэх ухааны салбарт теоремуудыг хэрхэн батлах талаар сурахын тулд сайн мэдлэгтэй байхаас гадна нотлох алгоритмыг өөрөө мэддэг байх шаардлагатай. Хэрэв та энэ процедурыг эзэмшсэн бол дараа нь математикийн асуудлыг шийдэх нь танд хэцүү биш байх болно.
Теоремыг батлах талаар юу мэдэх хэрэгтэй вэ
Теорем ба теоремын баталгаа гэж юу вэ? Энэ бол олон хүмүүсийн санааг зовоож буй асуулт юм орчин үеийн нийгэм. Математик теоремуудыг хэрхэн батлах талаар сурах нь маш чухал бөгөөд энэ нь танд бүтээхэд тусална логик гинжтэгээд тодорхой дүгнэлтэд хүрнэ.
Тиймээс теоремыг зөв батлахын тулд зөв зураг зурах нь маш чухал юм. Энэ нь нөхцөл байдалд заасан бүх өгөгдлийг харуулна. Мөн даалгаварт өгсөн бүх мэдээллийг бичих нь маш чухал юм. Энэ нь даалгаврыг зөв задлан шинжилж, түүнд ямар хэмжигдэхүүнийг яг таг ойлгоход тусална. Ийм журмын дараа л бид нотлох баримтаа өөрөө эхлүүлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та бусад теорем, аксиом эсвэл тодорхойлолтыг ашиглан бодлын хэлхээг логикоор бий болгох хэрэгтэй. Нотолгооны үр дүн нь үнэн нь эргэлзээгүй үр дүн байх ёстой.
Теоремыг батлах үндсэн аргууд
Сургуулийн математикийн хичээл дээр теоремыг батлах хоёр арга байдаг. Ихэнх тохиолдолд асуудал нь шууд арга, түүнчлэн зөрчилдөөнөөр нотлох аргыг ашигладаг. Эхний тохиолдолд тэд байгаа өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийж, түүнд үндэслэн зохих дүгнэлтийг гаргадаг. Эсрэг аргыг бас ихэвчлэн ашигладаг. Энэ тохиолдолд бид эсрэг заалтыг таамаглаж, энэ нь худал гэдгийг нотолж байна. Үүний үндсэн дээр бид эсрэг үр дүнд хүрч, бидний дүгнэлт буруу байсан гэж хэлэх нь нөхцөл байдалд заасан мэдээлэл зөв гэсэн үг юм.
Үнэн хэрэгтээ математикийн олон асуудал нэгээс олон шийдэлтэй байж болно. Жишээлбэл, Фермагийн теорем хэд хэдэн баталгаатай. Мэдээжийн хэрэг, заримыг нь зөвхөн нэг аргаар авч үздэг, гэхдээ жишээлбэл, Пифагорын теоремоор тэдгээрийн хэд хэдэнийг нэг дор авч үзэж болно.
Пифагорын теорем гэж юу вэ
Мэдээжийн хэрэг, Пифагорын теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжинд онцгой хамааралтай гэдгийг сургуулийн хүүхэд бүр мэддэг. Энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна: "Гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна." Энэ теоремын нэрийг үл харгалзан үүнийг Пифагор өөрөө нээсэн биш, харин түүнээс нэлээд эрт нээгдсэн. Энэ мэдэгдлийг батлах хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд бид тэдгээрийн заримыг нь авч үзэх болно.
Шинжлэх ухааны мэдээллээр бол хамгийн эхэнд тэгш талт гурвалжинг авч үзсэн. Дараа нь түүний бүх тал дээр талбайнууд баригдсан. Гипотенуз дээр баригдсан дөрвөлжин нь хоорондоо тэнцүү дөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Хажуу талдаа барьсан дүрсүүд нь зөвхөн хоёр ижил гурвалжингаас бүрдэнэ. Пифагорын теоремын энэхүү баталгаа нь хамгийн энгийн зүйл юм.
Энэ теоремын өөр нэг баталгааг авч үзье. Энэ нь зөвхөн геометрээс гадна алгебрийн мэдлэгийг ашиглахыг шаарддаг. Энэ теоремыг ийм байдлаар батлахын тулд бид ижил төстэй дөрвөн тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулж, тэдгээрийн талуудыг a, b, c гэж тэмдэглэх хэрэгтэй.
Бид эдгээр гурвалжингуудыг хоёр квадраттай болгохын тулд бүтээх хэрэгтэй. Гаднах тал нь (a+b) талуудтай, харин дотоод тал нь c байна. Дотор квадратын талбайг олохын тулд бид c*c бүтээгдэхүүнийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ том дөрвөлжингийн талбайг олохын тулд жижиг квадратуудын талбайг нэмж, үүссэн талбайн талбайг нэмэх хэрэгтэй. зөв гурвалжин. Одоо зарим алгебрийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэсний дараа бид дараах томъёог олж авах боломжтой.
a 2 + b 2 = c 2
Үнэн хэрэгтээ теоремыг батлах асар олон тооны аргууд байдаг. Перпендикуляр, гурвалжин, дөрвөлжин эсвэл бусад хэлбэр, тэдгээрийн шинж чанарыг янз бүрийн теорем, нотолгоо ашиглан шалгаж болно. Пифагорын теорем үүнийг л баталж байна.
Дүгнэлтийн оронд
Теоремуудыг томъёолж, зөв нотлох чадвартай байх нь маш чухал юм. Мэдээжийн хэрэг, ийм журам нь нэлээд төвөгтэй тул үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд зөвхөн их хэмжээний мэдээлэлтэй ажиллах чадвартай байхаас гадна логик хэлхээг бий болгох шаардлагатай. Математик маш их сонирхолтой шинжлэх ухаан, энэ нь төгсгөл, ирмэггүй.
Үүнийг судалж эхэл, тэгвэл та оюун ухааныхаа түвшинг нэмэгдүүлээд зогсохгүй асар их зүйлийг олж авах болно сонирхолтой мэдээлэл. Өнөөдөр боловсролоо эхлүүлээрэй. Теоремын баталгааны үндсэн зарчмуудыг ойлгосноор та цагаа маш их ашиг тустай өнгөрөөх боломжтой болно.
