Budowa prymitywów graficznych. Modele matematyczne powierzchni i obiektów

Nazwy pięciu wypukłych wielościanów foremnych to czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Wielościany noszą imię Platona, który w op. Timajos (IV w. p.n.e.) nadał im mistycyzm. oznaczający; były znane przed Platonem... Encyklopedia matematyczna

To samo co zwykłe wielościany... Duży Encyklopedia radziecka

- ... Wikipedii

Fedonie, czyli O nieśmiertelności duszy, nazwany na cześć ucznia Sokratesa, Fedona (patrz), dialog Platona jest jednym z najwybitniejszych. Jest to jedyny dialog Platona wymieniony przez Arystotelesa i jeden z nielicznych, który uznawany jest za autentyczny przez... ...

słownik encyklopedyczny F. Brockhausa i I.A. Efron

Jeden z najlepszych dialogów artystycznych i filozoficznych Platona, uznany za autentyczny jednomyślnym werdyktem nauki starożytnej i nowożytnej. W najnowszej krytyce platońskiej spierali się jedynie o czas jej powstania: niektórzy stawiali... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efron

Idee filozoficzne w pismach Platona- w skrócie dziedzictwo filozoficzne Platona jest obszerne, składa się z 34 dzieł, które prawie w całości zachowały się i dotarły do ​​nas. Utwory te pisane są głównie w formie dialogu, a głównym bohaterem w nich jest w przeważającej mierze... ... Mały tezaurus filozofii światowej

Dodekahedron Regularny wielościan, czyli bryła platońska, to wielościan wypukły o największej możliwej symetrii. Wielościan nazywa się foremnym, jeśli: jest wypukły, a wszystkie jego ściany są równymi wielokątami foremnymi w każdym z jego... ... Wikipedia

Bryły platońskie, wielościany wypukłe, których wszystkie ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, a wszystkie kąty wielościenne w wierzchołkach są regularne i równe (ryc. 1a, 1e). W przestrzeni euklidesowej E 3 znajduje się pięć P. m., dane o których podano w ... Encyklopedia matematyczna

DUSZA- [Grecki ψυχή] wraz z ciałem tworzy kompozycję osoby (patrz artykuły Dychotomizm, Antropologia), będąc jednocześnie niezależną zasadą; W obrazie człowieka zawarty jest obraz Boga (według niektórych Ojców Kościoła; według innych obraz Boga zawarty jest we wszystkim... ... Encyklopedia ortodoksyjna

Książki

• Timaeus (wyd. 2011), Platon. Timajos Platona jest jedynym systematycznym zarysem kosmologii Platona, który dotychczas pojawiał się jedynie w formie rozproszonej i przypadkowej. To stworzyło chwałę Tymeusza przez...
• Pytania do dyskusji na temat duszy. Studia 6, Aquinas F.. Gatunek „kwestii dysputacyjnych” (quaestiones disputatae) to szczególny gatunek scholastyczny stosowany na średniowiecznych uniwersytetach. „Kwestie dyskusyjne o duszy” są jednym z ...

Kierownik: Rustamova R. M.

Figury obrotu brył platońskich

Problem badawczy: czy obrót brył platońskich zawsze daje dobrze znane figury obrotu: stożek, walec, kula.

Przedmiot badań: wiele przestrzennych brył i figur.

Przedmiot badań: Bryły platońskie.

Cel badania: identyfikować grupy figur obrotowych wielościanów foremnych (bryły platońskie).

Hipoteza:Jeśli znajdziesz osie symetrii w bryłach platońskich, to obracając się wokół tych osi, możesz uzyskać dobrze znane figury obrotu. Cele badań:

1. Zbadaj bryły platońskie i ich właściwości.
2. Eksperymentalnie przetestuj rotację wielościanów foremnych (brył platońskich), zmieniając ich osie obrotu.
3. Znajdź i zidentyfikuj osie obrotu brył platońskich, które pozwalają tym ciałom „przekształcić się” w identyczne figury obrotowe.
4. Wyznacz grupy figur obrotowych otrzymanych przez obrót brył platońskich.

Etapy badań:

Pierwszy etap ma charakter teoretyczny. Na tym etapie zajmowałem się ciałami stałymi Platona i ich właściwościami.

Druga faza- eksperymentalny. Polegał on na doświadczeniu dotyczącym rotacji brył platońskich poprzez wybór osi obrotu wielościanów foremnych

Trzeci etap - finał. Poświęcono temu uogólnienie wyników eksperymentu, tworząc grupy identycznych figur obrotowych, uzyskanych poprzez obrót wielościanów foremnych

Figury obrotowe: stożek, walec, hiperboloida jednoarkuszowa.

Bryły platońskie: czworościan, ośmiościan, sześcian (sześcian), dwudziestościan, dwunastościan.

Sześcian i dwudziestościan mają wspólne osie symetrii: linię prostą przechodzącą przez przeciwne wierzchołki; dla dwudziestościanu i dwunastościanu jest to linia prosta przechodząca przez środki przeciwległych ścian, na której uzyskuje się identyczne figury obrotu.

W konsekwencji dla czworościanu wybieramy osie obrotu: linię prostą przechodzącą przez wierzchołek czworościanu ze środkiem przeciwległej ściany; prostą przechodzącą przez środki przeciwległych krawędzi. Wszystkie bryły platońskie, z wyjątkiem czworościanu, mają te same osie obrotu: linię prostą przechodzącą przez przeciwne wierzchołki; linia prosta przechodząca przez środki przeciwległych ścian; linia prosta przechodząca przez środki dwóch przeciwległych krawędzi.

Jeśli linia prosta (tworząca powierzchnię) jest prostopadła do osi obrotu, wówczas uzyskuje się płaszczyznę.

Jeśli linia prosta (tworząca powierzchnię) jest równoległa do osi obrotu, wówczas uzyskuje się powierzchnię cylindryczną.

Jeżeli linia prosta (tworząca powierzchnię) przecina oś obrotu, wówczas uzyskuje się powierzchnię stożkową.

Jeżeli linia prosta (tworząca powierzchnię) przecina się z osią obrotu, wówczas uzyskuje się jednoarkuszowy hiperboloid obrotu.

Obracając bryły platońskie, można uzyskać te same wartości obrotu:

• podczas obrotu czworościanu i ośmiościanu figura obrotu to hiperboloida z pojedynczym arkuszem, a także dwa stożki o wspólnej podstawie;
• podczas obrotu dwudziestościanu i dwunastościanu– układ dwóch ściętych stożków i jednoarkuszowego hiperboloidu;
• po obrocie dwudziestościanu i sześcianu- układ dwóch stożków i hiperboloidy jednoarkuszowej.

GEOMETRIA BRYŁ PLATOŃSKICH

zmiana od 24.06.2013 - (dodano)

Pięć głównych brył platońskich to: ośmiościan, czworościan gwiaździsty, sześcian, dwunastościan, dwudziestościan.

Każdy z wzorów geometrycznych, czy to jądro atomowe, mikroklastry, sieć globalna, czy odległości między planetami, gwiazdami, galaktykami, jest jednym z pięciu głównych „Biał platońskich”.

Dlaczego podobne wzorce występują tak często w przyrodzie? Jedna z pierwszych wskazówek: matematycy wiedzieli, że te kształty mają więcej „symetrii” niż jakakolwiek trójwymiarowa geometria, jaką moglibyśmy stworzyć.

Z książki Roberta Lawlora „Święta Geometria” możemy się dowiedzieć, że Hindusi zredukowali geometrię brył platońskich do struktury oktawowej, którą widzimy dla dźwięku i światła (nuty i kolory). Grecki matematyk i filozof Pitagoras, poprzez proces sukcesywnego dzielenia częstotliwości przez pięć, opracował najpierw osiem „czystych” tonów oktawowych, znanych jako skala diatoniczna. Wziął jednostrunowy „monochord” i zmierzył dokładne długości fal podczas grania różnych nut. Pitagoras pokazał, że częstotliwość (lub tempo wibracji) każdej nuty można przedstawić jako stosunek dwóch części struny lub dwóch liczb, stąd termin „stosunek diatoniczny”.

W poniższej tabeli wymieniono geometrie w określonej kolejności, odnosząc je do numeru helisy fi(). Daje to pełny i kompletny obraz tego, jak różne wibracje współdziałają ze sobą. Polega ona na przypisaniu krawędziom sześcianu długości równej „ 1 " Następnie porównujemy krawędzie wszystkich innych kształtów z tą wartością, niezależnie od tego, czy są większe, czy mniejsze. Wiemy, że w bryłach platońskich każda ściana ma ten sam kształt, każdy kąt jest identyczny, każdy węzeł jest w tej samej odległości od każdego innego węzła i każda linia ma tę samą długość.

1 Kula (bez ścian) 2 Dwudziestościan środkowy 1/phi 2 3 Ośmiościan 1/ √2 4-gwiazdkowy czworościan √2 5 Kostka 1 6 Dodekaedr 1/phi 7 Dwudziestościan phi 8 Kula (bez ścian)

Pomoże to zrozumieć, jak za pomocą wibracji spirali phi bryły platońskie stopniowo przenikają do siebie.

WIELOWYMIAROWOŚĆ WSZECHŚWIATA

Sama koncepcja połączenia geometrii platońskich z wyższymi płaszczyznami powstaje, ponieważ naukowcy wiedzą: musi tam być geometria; znaleźli to w równaniach. Aby zapewnić „więcej miejsca” na pojawienie się niewidocznych dodatkowych osi w „ukrytych” zakrętach o 90°, wymagane są geometrie platońskie. W metodzie analizy danych każda ściana kształtu geometrycznego reprezentuje inną oś lub płaszczyznę, w której może się obracać. Kiedy zaczynamy przyglądać się pracom Fullera i Jenny, widzimy, że koncepcja innych płaszczyzn istniejących w „ukrytych” zakrętach o 90° jest po prostu błędnym wyjaśnieniem opartym na braku wiedzy na temat „świętych” powiązań między geometrią i wibracje.

Jest bardzo prawdopodobne, że tradycyjni naukowcy nigdy nie zrozumieją, że w starożytnych kulturach mogło istnieć „brakujące połączenie”, które znacząco upraszcza i ujednolica wszystkie współczesne teorie fizyki przestrzeni. Choć może wydawać się niewiarygodne, że „prymitywna” kultura miałaby dostęp do tego typu informacji, dowody są jasne. Przeczytaj klasyczną książkę Prasad, bo teraz możesz zobaczyć, że kosmologia wedyjska ma mistrzostwo naukowe.

Jak myślisz, co widzisz? - to eksplodująca gwiazda z wyrzuconym z niej pyłem... Ale wyraźnie widać tu jakiś rodzaj pola energetycznego, które tworzy strukturę pyłu podczas jego rozszerzania się, tworząc bardzo precyzyjny wzór geometryczny:

Problem w tym, że typowe pola magnetyczne w tradycyjnych modelach fizycznych po prostu nie pozwalają na taką precyzję geometryczną. Naukowcy naprawdę nie wiedzą, jak rozumieć takie rzeczy!

Poniższe zdjęcie przedstawia NOWĄ mgławicę, która jest idealnym „kwadratem”. Jest to jednak nadal myślenie dwuwymiarowe. Czym jest kwadrat w trzech wymiarach?
Oczywiście sześcian!

Obserwowana w świetle podczerwonym mgławica przypomina gigantyczne świecące pudełko na niebie z jasnym białym jądrem wewnętrznym. Umierająca Gwiazda MWC 922 znajduje się w centrum układu i wyrzuca swoje wnętrzności w przestrzeń kosmiczną z przeciwnych biegunów. Po wyemitowaniu większości swojej materii w przestrzeń kosmiczną MWC 922 zapadnie się w gęste ciało gwiazdowe zwane białym karłem, ukryte w obłokach gruzu.

Chociaż jest całkiem możliwe, że eksplozja gwiazdy przemieszcza się tylko w jednym kierunku, tworząc bardziej kształt piramidy, to co widzisz, to idealny sześcian w przestrzeni. Ponieważ wszystkie cztery boki sześcianu mają tę samą długość i tworzą względem siebie idealny kąt 90°, a sześcian ma uporządkowane „stopnie”, które widzieliśmy na poprzednim obrazie, naukowcy są całkowicie zaskoczeni. Kostka ma jeszcze WIĘCEJ SYMETrii niż „prostokątna” mgławica!

Takie wzory pojawiają się nie tylko w bezmiarze przestrzeni. Powstają także na najmniejszym poziomie atomów i cząsteczek, na przykład w sześciennej strukturze zwykłej soli kuchennej lub chlorek sodu. An Pang Tsaya (Japonia) sfotografował kwazikryształy stopu aluminium, miedzi i żelaza w postaci dwunastościanu oraz stopu aluminium, niklu i kobaltu w postaci dziesięciokątnego (dziesięciościennego) pryzmatu (patrz zdjęcie). Problemem jest nie można stworzyć takich kryształów, używając pojedynczych, połączonych ze sobą atomów.

Innym przykładem jest kondensat Bosego-Einsteina. Krótko mówiąc, kondensat Bosego-Einsteina to duża grupa atomów, która zachowuje się jak pojedyncza „cząstka”, w której każdy atom składowy zajmuje jednocześnie całą przestrzeń i cały czas w całej strukturze. Według pomiarów wszystkie atomy wibrują z tą samą częstotliwością, poruszają się z tą samą prędkością i znajdują się w tym samym obszarze przestrzeni. To paradoksalne, ale różne części systemu działają jak jedna całość, tracąc wszelkie oznaki indywidualności. Jest to dokładnie właściwość wymagana dla „nadprzewodnika”. Zazwyczaj kondensaty Bosego-Einsteina mogą tworzyć się w ekstremalnie niskich temperaturach. Jednak to właśnie te procesy obserwujemy w mikroklasterach i kwazikryształach, pozbawionych indywidualnej tożsamości atomowej.

Innym podobnym procesem jest działanie światła laserowego, zwanego światłem „spójnym”. Wszystko w przestrzeni i czasie wiązka lasera zachowuje się jak pojedynczy „foton”, czyli nie ma możliwości rozdzielenia poszczególnych fotonów w wiązce lasera.

Co więcej, pod koniec lat sześćdziesiątych XX wieku zasugerował to angielski fizyk Herbert Fröhlich systemy żywe często zachowują się jak kondensaty Bosego-Einsteina, tylko na dużą skalę.

Zdjęcia mgławicy stanowią oszałamiający, widoczny dowód na to, że w grę wchodzi geometria. O większą rolę w siłach wszechświata, niż większość ludzi mogłaby sądzić. Nasi naukowcy mogą jedynie mieć trudności ze zrozumieniem tego zjawiska w ramach istniejących tradycyjnych modeli.

Stachow A.P.

„Kod Da Vinci”, bryły platońskie i archimedesowe, kwazikryształy, fulereny, siatki Penrose’a i artystyczny świat Matki Tei Krashek

adnotacja

Twórczość słoweńskiej artystki Matyushki Teji Kraška jest mało znana rosyjskojęzycznemu czytelnikowi. Jednocześnie na Zachodzie nazywany jest „wschodnioeuropejskim Escherem” i „słoweńskim darem” dla światowej wspólnoty kulturalnej. Jej kompozycje artystyczne inspirowane są najnowszymi odkryciami nauki (fullereny, kwazikryształy Dana Shechtmana, płytki Penrose'a), które z kolei opierają się na wielokątach foremnych i półregularnych (bryły platońskie i archimedesowe), złotym podziale i liczbach Fibonacciego.

Czym jest Kod Da Vinci?

Z pewnością każda osoba nie raz zastanawiała się nad pytaniem, dlaczego Natura jest w stanie stworzyć tak niesamowite harmonijne struktury, które zachwycają i zachwycają oko. Dlaczego artyści, poeci, kompozytorzy, architekci tworzą niesamowite dzieła sztuki z stulecia na wiek. Jaki jest sekret ich Harmonii i jakie prawa leżą u podstaw tych harmonijnych stworzeń?

Poszukiwanie tych praw, „Praw Harmonii Wszechświata”, rozpoczęło się w starożytnej nauce. To właśnie w tym okresie historii ludzkości naukowcy dokonali wielu niesamowitych odkryć, które przenikają całą historię nauki. Pierwsza z nich słusznie uważana jest za wspaniałą matematyczną proporcję wyrażającą Harmonię. Nazywa się to inaczej: „złota proporcja”, „złota liczba”, „złota średnia”, „złoty podział” i nawet „boska proporcja” Złoty podział nazywane również liczba PHI na cześć wielkiego starożytnego greckiego rzeźbiarza Fidiasza, który używał tej liczby w swoich rzeźbach.

Thriller „Kod Da Vinci”, napisany przez popularnego angielskiego pisarza Dana Browna, stał się bestsellerem XXI wieku. Ale co oznacza Kod Da Vinci? Istnieją różne odpowiedzi na to pytanie. Wiadomo, że słynna „Złota Sekcja” była przedmiotem szczególnej uwagi i fascynacji Leonarda da Vinci. Co więcej, sama nazwa „Złota Sekcja” została wprowadzona do kultury europejskiej przez Leonarda da Vinci. Z inicjatywy Leonarda słynny włoski matematyk i mnich naukowy Luca Pacioli, przyjaciel i doradca naukowy Leonarda da Vinci, opublikował książkę „Divina Proportione”, pierwsze w literaturze światowej dzieło matematyczne dotyczące Złotego Podziału, które autor nazwał „Boskim Proporcja". Wiadomo również, że sam Leonardo zilustrował tę słynną książkę, rysując do niej 60 wspaniałych rysunków. To właśnie te fakty, niezbyt dobrze znane ogółowi środowiska naukowego, dają nam prawo do wysunięcia hipotezy, że „Kod Da Vinci” to nic innego jak „Złoty Podział”. A potwierdzenie tej hipotezy można znaleźć w wykładzie dla studentów na Uniwersytecie Harvarda, o którym wspomina główny bohater książki „Kod Da Vinci” prof. Langdona:

„Pomimo swego niemal mistycznego pochodzenia, numer PHI odegrał na swój sposób wyjątkową rolę. Rola cegły w fundamencie budowy wszelkiego życia na ziemi. Wszystkie rośliny, zwierzęta, a nawet istoty ludzkie mają fizyczne proporcje w przybliżeniu równe pierwiastkowi stosunku liczby PHI do 1. Ta wszechobecność PHI w przyrodzie... wskazuje na połączenie wszystkich żywych istot. Wcześniej wierzono, że liczba PHI została z góry ustalona przez Stwórcę wszechświata. Starożytni naukowcy nazywali jeden przecinek sześćset osiemnaście tysięcznych „boską proporcją”.

Zatem słynna liczba niewymierna PHI = 1,618, którą Leonardo da Vinci nazwał „złotym podziałem”, jest „Kodem Da Vinci”!

Kolejnym matematycznym odkryciem nauki starożytnej jest regularne wielościany które zostały nazwane „Białe platońskie” I „wielościany półregularne”, zwany „Białe Archimedesa”. To właśnie te niesamowicie piękne przestrzenne figury geometryczne leżą u podstaw dwóch największych odkryć naukowych XX wieku – kwazikryształy(autorem odkrycia jest izraelski fizyk Dan Shekhtman) i fulereny(Nagroda Nobla 1996). Te dwa odkrycia są najbardziej znaczącym potwierdzeniem faktu, że to właśnie Złota Proporcja jest Uniwersalnym Kodem Natury („Kod Da Vinci”), na którym leży Wszechświat.

Odkrycie kwazikryształów i fulerenów zainspirowało wielu współczesnych artystów do stworzenia dzieł przedstawiających w artystycznej formie najważniejsze odkrycia fizyczne XX wieku. Jednym z tych artystów jest artysta słoweński Matka Teia Krashek. Artykuł wprowadza w artystyczny świat Matki Teii Krashek przez pryzmat najnowszych odkryć naukowych.

Bryły platońskie

Osoba wykazuje zainteresowanie wielokątami foremnymi i wielościanami przez całą swoją świadomą aktywność - od dwuletnie dziecko od zabawy drewnianymi kostkami po dojrzałego matematyka. Niektóre z ciał regularnych i półregularnych występują w przyrodzie w postaci kryształów, inne - w postaci wirusów, które można badać za pomocą mikroskopu elektronowego.

Co to jest wielościan foremny? Wielościan foremny to taki wielościan, którego wszystkie ściany są sobie równe (lub przystające) i jednocześnie są wielokątami foremnymi. Ile jest wielościanów foremnych? Na pierwszy rzut oka odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta – wielokątów foremnych jest tyle, ile ich jest. Jednak tak nie jest. W Elementach Euklidesa znajdujemy rygorystyczny dowód na to, że istnieje tylko pięć wypukłych wielościanów foremnych, a ich ściany mogą być tylko trzema typami wielokątów foremnych: trójkąty, kwadraty I pięciokąty (zwykłe pięciokąty).

Wiele książek poświęconych jest teorii wielościanów. Jedną z najbardziej znanych jest książka angielskiego matematyka M. Wennigera „Modele wielościanów”. Książka ta została opublikowana w tłumaczeniu rosyjskim przez wydawnictwo Mir w 1974 roku. Motto do książki to wypowiedź Bertranda Russella: „Matematyka posiada nie tylko prawdę, ale i piękno wysokie – piękno wyostrzone i surowe, wzniośle czyste i dążące do prawdziwej doskonałości, charakterystyczne tylko dla największych przykładów sztuki”.

Książkę rozpoczyna opis tzw regularne wielościany, czyli wielościany utworzone przez najprostsze wielokąty foremne tego samego typu. Te wielościany są zwykle nazywane Bryły platońskie(ryc. 1) , nazwany na cześć starożytnego greckiego filozofa Platona, który używał w swoim kształcie wielościanów foremnych kosmologia.

Obrazek 1. Bryły platońskie: (a) ośmiościan („Ogień”), (b) sześcian lub sześcian („Ziemia”),

(c) ośmiościan („Powietrze”), (d) dwudziestościan („Woda”), (e) dwunastościan („Umysł Uniwersalny”)

Zaczniemy nasze rozważania od regularne wielościany, których twarze są trójkąty równoboczne. Pierwszy jest czworościan(Rys. 1-a). W czworościanie trzy trójkąty równoboczne spotykają się w jednym wierzchołku; jednocześnie ich podstawy tworzą nowy trójkąt równoboczny. Czworościan ma najmniejszą liczbę ścian spośród brył platońskich i jest trójwymiarowym odpowiednikiem płaskiego trójkąta foremnego, który ma najmniejszą liczbę boków spośród wielokątów foremnych.

Nazywa się następne ciało utworzone przez trójkąty równoboczne oktaedr(Rys. 1-b). W ośmiościanie cztery trójkąty spotykają się w jednym wierzchołku; rezultatem jest piramida o czworokątnej podstawie. Jeśli połączysz dwie takie piramidy z ich podstawami, otrzymasz symetryczne ciało z ośmioma trójkątnymi ścianami – oktaedr.

Teraz możesz spróbować połączyć pięć trójkątów równobocznych w jednym punkcie. Rezultatem będzie figura o 20 trójkątnych twarzach - dwudziestościan(Rys. 1-d).

Następny poprawna forma wielokąt - kwadrat. Jeśli połączymy w jednym punkcie trzy kwadraty, a następnie dodamy jeszcze trzy, otrzymamy idealny kształt z sześcioma bokami zwanymi Prostopadłościan Lub sześcian(ryc. 1-c).

Wreszcie istnieje inna możliwość zbudowania wielościanu foremnego, polegająca na wykorzystaniu następującego wielokąta foremnego - Pięciokąt. Jeśli zbierzemy 12 pięciokątów w taki sposób, że w każdym punkcie spotykają się trzy pięciokąty, otrzymamy kolejną bryłę platońską, zwaną dwunastościan(Rys. 1-d).

Następnym foremnym wielokątem jest sześciokąt. Jeśli jednak połączymy w jednym punkcie trzy sześciokąty, otrzymamy powierzchnię, czyli z sześciokątów nie da się zbudować trójwymiarowej figury. Wszelkie inne regularne wielokąty znajdujące się nad sześciokątem w ogóle nie mogą tworzyć brył. Z tych rozważań wynika, że ​​istnieje tylko pięć wielościanów foremnych, których ścianami mogą być jedynie trójkąty równoboczne, kwadraty i pięciokąty.

Pomiędzy wszystkimi są niesamowite geometryczne powiązania regularne wielościany. Na przykład, sześcian(Rys. 1-b) i oktaedr(ryc. 1-c) są podwójne, tj. są uzyskiwane od siebie, jeśli środki ciężkości ścian jednej zostaną przyjęte jako wierzchołki drugiej i odwrotnie. Podobnie dualny dwudziestościan(Rys. 1-d) i dwunastościan(Rys. 1-d) . Czworościan(Rys. 1-a) jest podwójny sam w sobie. Z sześcianu dwunastościan otrzymujemy budując „dachy” na jego ścianach (metoda euklidesowa); wierzchołkami czworościanu są dowolne cztery wierzchołki sześcianu, które nie sąsiadują ze sobą parami wzdłuż krawędzi, czyli wszystkie inne wielościany foremne mogą być otrzymane z sześcianu. Zaskakujący jest sam fakt istnienia zaledwie pięciu prawdziwie foremnych wielościanów – w końcu na płaszczyźnie jest nieskończenie wiele wielokątów foremnych!

Charakterystyka numeryczna brył platońskich

Główne cechy liczbowe Bryły platońskie to liczba boków twarzy M, liczba ścian spotykających się w każdym wierzchołku, M, liczba twarzy G, liczba wierzchołków W, liczba żeber R i liczbę kątów płaskich U na powierzchni wielościanu Euler odkrył i udowodnił słynną formułę

B P + G = 2,

łącząca liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian dowolnego wielościanu wypukłego. Powyższe charakterystyki liczbowe podano w tabeli. 1.

Tabela 1

Charakterystyka numeryczna brył platońskich

Wielościan	Liczba boków krawędzi M	Liczba ścian spotykających się w wierzchołku N	Liczba twarzy	Liczba wierzchołków	Liczba żeber	Liczba kątów płaskich na powierzchni
Czworościan
Sześcian (sześcian)
Dwudziestościan
Dwunastościan

Złoty podział w dwunastościanie i dwudziestościanie

Szczególne miejsce wśród nich zajmuje dwunastościan i jego dwudziestościan podwójny (rys. 1-d, e). Bryły platońskie. Przede wszystkim należy podkreślić, że geometria dwunastościan I dwudziestościan bezpośrednio związane ze złotym podziałem. Rzeczywiście, krawędzie dwunastościan(Rys. 1-e) są pięciokąty, tj. pięciokąty regularne oparte na złotym podziale. Jeśli przyjrzysz się uważnie dwudziestościan(ryc. 1-d), wówczas widać, że na każdym z jego wierzchołków zbiega się pięć trójkątów, których zewnętrzne boki tworzą pięciokąt. Już same te fakty wystarczą, aby nas przekonać, że złoty podział odgrywa znaczącą rolę w projektowaniu tych dwóch Bryły platońskie.

Istnieją jednak głębsze matematyczne dowody na zasadniczą rolę, jaką odgrywa złoty podział dwudziestościan I dwunastościan. Wiadomo, że ciała te mają trzy specyficzne sfery. Pierwsza (wewnętrzna) kula jest wpisana w ciało i dotyka jego powierzchni. Oznaczmy promień tej wewnętrznej kuli przez R ja. Druga lub środkowa kula dotyka jej żeber. Oznaczmy promień tej kuli przez Rm. Wreszcie trzecia (zewnętrzna) sfera jest opisana wokół ciała i przechodzi przez jego wierzchołki. Oznaczmy jego promień przez Rc. W geometrii udowodniono, że wartości promieni wskazanych kul dla dwunastościan I dwudziestościan, mający krawędź o jednostkowej długości, wyraża się złotą proporcją t (tabela 2).

Tabela 2

Złoty podział w sferach dwunastościanu i dwudziestościanu

Dwudziestościan
Dwunastościan

Należy pamiętać, że stosunek promieni = jest taki sam jak dla dwudziestościan, i dla dwunastościan. Zatem jeśli dwunastościan I dwudziestościan mają identyczne wpisane kule, to ich opisane sfery również są sobie równe. Dowód tego matematycznego wyniku podano w Początki Euklides.

W geometrii znane są inne zależności dwunastościan I dwudziestościan, potwierdzając ich związek ze złotym podziałem. Na przykład, jeśli weźmiemy dwudziestościan I dwunastościan o długości krawędzi równej jeden, a następnie obliczyć ich pole zewnętrzne i objętość, a następnie wyrazić je za pomocą złotej proporcji (tabela 3).

Tabela 3

Złoty podział w obszarze zewnętrznym i objętości dwunastościanu i dwudziestościanu

	Dwudziestościan	Dwunastościan
Obszar zewnętrzny

Zatem istnieje ogromna liczba zależności uzyskanych przez starożytnych matematyków, co dokładnie potwierdza ten niezwykły fakt Złoty podział to główna proporcja dwunastościanu i dwudziestościanu, a fakt ten jest szczególnie interesujący z punktu widzenia tzw „doktryna dwunastościenno-ikozaedryczna” któremu przyjrzymy się poniżej.

Kosmologia Platona

Wielościany foremne omówione powyżej nazywane są Bryły platońskie, gdyż zajmowały ważne miejsce w filozoficznej koncepcji budowy wszechświata Platona.

Platon (427-347 p.n.e.)

Cztery wielościany uosabiały w nim cztery esencje, czyli „elementy”. Czworościan symbolizowane Ogień, ponieważ jego górna część jest skierowana do góry; Dwudziestościan — Woda, ponieważ jest to najbardziej „opływowy” wielościan; Sześcian — Ziemia, jako najbardziej „stabilny” wielościan; Oktaedr — Powietrze, jako najbardziej „przewiewny” wielościan. Piąty wielościan Dwunastościan, ucieleśniony „wszystkie rzeczy”, „Umysł Uniwersalny”, symbolizował cały wszechświat i był brany pod uwagę główna figura geometryczna wszechświata.

Starożytni Grecy za podstawę wszechświata uważali harmonijne relacje, dlatego cztery ich żywioły łączyła następująca proporcja: ziemia/woda = powietrze/ogień. Atomy „elementów” zostały dostrojone przez Platona w doskonałych współbrzmieniach, niczym cztery struny liry. Pamiętajmy, że współbrzmienie to przyjemne współbrzmienie. W związku z tymi ciałami należałoby powiedzieć, że taki układ elementów, na który składały się cztery elementy - ziemia, woda, powietrze i ogień, został kanonizowany przez Arystotelesa. Elementy te przez wiele stuleci pozostawały czterema kamieniami węgielnymi wszechświata. Całkiem możliwe jest utożsamienie ich z czterema znanymi nam stanami materii: stałym, ciekłym, gazowym i plazmowym.

W ten sposób starożytni Grecy kojarzyli ideę „od końca do końca” harmonii istnienia z jej ucieleśnieniem w bryłach platońskich. Wpłynął także wpływ słynnego greckiego myśliciela Platona Początki Euklides. Książka ta, będąca przez wieki jedynym podręcznikiem geometrii, opisuje „idealne” linie i „idealne” figury. Najbardziej „idealna” linia to prosty, a najbardziej „idealnym” wielokątem jest wielokąt foremny, mający równe strony i równe kąty. Można rozważyć najprostszy wielokąt foremny trójkąt równoboczny, ponieważ ma najmniejszą liczbę boków, która może ograniczać część płaszczyzny. zastanawiam się, co Początki Euklides zaczyna od opisu konstrukcji zwykły trójkąt i zakończyć badaniem pięciu Bryły platońskie. Zauważ, że Bryły platońskie poświęcona jest ostatnia, czyli 13. księga Rozpoczął się Euklides. Swoją drogą ten fakt, czyli umiejscowienie teorii wielościanów foremnych w ostatniej (czyli jakby najważniejszej) książce Rozpoczął się Euklidesa, dała początek starożytnemu greckiemu matematykowi Proklosowi, który był komentatorem Euklidesa, do wysunięcia interesującej hipotezy na temat prawdziwych celów, jakie przyświecały Euklidesowi, tworząc jego Początki. Według Proklusa Euklides stworzył Początki nie w celu przedstawienia geometrii jako takiej, ale przedstawienia kompletnej, usystematyzowanej teorii konstrukcji figur „idealnych”, w szczególności pięciu Bryły platońskie, podkreślając jednocześnie niektóre z najnowszych osiągnięć matematyki!

To nie przypadek, że jeden z autorów odkrycia fulerenów, noblista Harold Kroto, w swoim noblowskim wykładzie rozpoczyna swoją opowieść o symetrii jako „podstawie naszego postrzegania świata fizycznego” i jej „roli w próbach wyjaśnienia to kompleksowo” właśnie z Bryły platońskie i „elementy wszystkich rzeczy”: „Koncepcja symetrii strukturalnej sięga czasów starożytnych…” Najbardziej słynne przykłady można oczywiście znaleźć w dialogu Platona Timaeus, gdzie w rozdziale 53, dotyczącym żywiołów, pisze: „Po pierwsze, dla wszystkich jest jasne (!), oczywiście, że ogień i ziemia, woda i powietrze są ciałami , a każde ciało jest solidne” (!!) Platon omawia problemy chemii w języku tych czterech żywiołów i łączy je z czterema bryłami platońskimi (wówczas tylko czterema, aż do czasu, gdy Hipparch odkrył piątą – dwunastościan). Choć na pierwszy rzut oka taka filozofia może wydawać się nieco naiwna, wskazuje na głębokie zrozumienie tego, jak w rzeczywistości działa Natura.

Bryły Archimedesa

Półregularne wielościany

Znanych jest wiele doskonalszych ciał, tzw półregularne wielościany Lub Ciała Archimedesa. Mają również wszystkie kąty wielościenne równe, a wszystkie ściany są wielokątami foremnymi, ale kilku różnych typów. Istnieje 13 wielościanów półregularnych, których odkrycie przypisuje się Archimedesowi.

Archimedes (287 p.n.e. – 212 p.n.e.)

Pęczek Bryły Archimedesa można podzielić na kilka grup. Pierwszy z nich składa się z pięciu wielościanów, z których otrzymano Bryły platońskie w wyniku ich obcięcie. Ciało obcięte to ciało z odciętą górną częścią. Dla Bryły platońskie obcięcie można wykonać w taki sposób, aby zarówno powstałe nowe ściany, jak i pozostałe części starych, były wielokątami foremnymi. Np, czworościan(Rys. 1-a) można obciąć tak, aby jego cztery trójkątne ściany zamieniły się w cztery sześciokątne i dodano do nich cztery regularne trójkątne ściany. W ten sposób można uzyskać pięć Bryły Archimedesa: ścięty czworościan, ścięty sześcian (sześcian), ścięty ośmiościan, ścięty dwunastościan I ścięty dwudziestościan(ryc. 2).

(A)	(B)	(W)

(G)	(mi)

Rysunek 2. Bryły Archimedesa: (a) czworościan ścięty, (b) sześcian ścięty, (c) ośmiościan ścięty, (d) dwunastościan ścięty, (e) dwudziestościan ścięty

W swoim wykładzie noblowskim amerykański naukowiec Smalley, jeden z autorów eksperymentalnego odkrycia fulerenów, mówi o Archimedesie (287-212 p.n.e.) jako o pierwszym badaczu wielościanów ściętych, w szczególności: ścięty dwudziestościan, jednak z zastrzeżeniem, że być może Archimedes przypisuje sobie to i być może dwudziestościany zostały obcięte na długo przed nim. Wystarczy wspomnieć te znalezione w Szkocji i datowane na około 2000 rok p.n.e. setki kamiennych przedmiotów (najwyraźniej do celów rytualnych) w postaci kul i przeróżnych wielościany(ciała ograniczone ze wszystkich stron płaską powierzchnią krawędzie), w tym dwudziestościany i dwunastościany. Oryginalne dzieło Archimedesa niestety nie zachowało się, a jego rezultaty dotarły do ​​nas, jak to się mówi, „z drugiej ręki”. W okresie renesansu wszystko Bryły Archimedesa jeden po drugim zostały „odkryte” na nowo. Przecież Kepler w 1619 roku w swojej książce „Harmonia świata” („Harmonice Mundi”) podał kompleksowy opis całego zbioru brył Archimedesa - wielościanów, których każda ściana reprezentuje regularny wielokąt, i wszystkich szczyty znajdują się w równoważnej pozycji (jak atomy węgla w cząsteczce C60). Bryły Archimedesa składają się z co najmniej dwóch różnych typów wielokątów, a nie z pięciu Bryły platońskie, którego wszystkie ściany są identyczne (jak na przykład w cząsteczce C20).

Rysunek 3. Konstrukcja dwudziestościanu ściętego Archimedesa
z dwudziestościanu platońskiego

Jak więc projektować Dwudziestościan ścięty Archimedesa z Dwudziestościan platoński? Odpowiedź ilustruje rysunek. 3. Rzeczywiście, jak widać z tabeli. 1, 5 ścian zbiega się w dowolnym z 12 wierzchołków dwudziestościanu. Jeśli w każdym wierzchołku odetnie się płaszczyzną 12 części dwudziestościanu, wówczas powstanie 12 nowych ścian pięciokątnych. Razem z istniejącymi 20 ścianami, które po takim wycięciu zmieniły się z trójkątnego na sześciokątny, utworzą one 32 ściany dwudziestościanu ściętego. W tym przypadku będzie 90 krawędzi i 60 wierzchołków.

Inna grupa Bryły Archimedesa składa się z dwóch ciał zwanych quasi-regularne wielościany. Cząstka „quasi” podkreśla, że ​​ściany tych wielościanów są wielokątami foremnymi tylko dwóch typów, przy czym każda ściana jednego typu jest otoczona wielokątami innego typu. Te dwa ciała nazywane są rombikuboośmiościan I ikozydodekaedr(ryc. 4).

Rysunek 5. Bryły Archimedesa: (a) rombokubooktaedr, (b) rombikozydodekaedr

Wreszcie istnieją dwie modyfikacje tzw. „snub” - jedna dla kostki ( kostka odrzucona), drugi dla dwunastościanu ( zadarty dwunastościan) (ryc. 6).

(A)	(B)

Rysunek 6. Bryły Archimedesa: (a) sześcian zadarty, (b) dwunastościan zadarty

We wspomnianej już książce Wennigera „Models of Polyhedra” (1974) czytelnik może znaleźć 75 różne modele regularne wielościany. „Teoria wielościanów, w szczególności wielościanów wypukłych, to jeden z najbardziej fascynujących rozdziałów geometrii” taka jest opinia rosyjskiego matematyka L.A. Lyusternak, który wiele zrobił w tej dziedzinie matematyki. Rozwój tej teorii wiąże się z nazwiskami wybitnych naukowców. Johannes Kepler (1571-1630) wniósł ogromny wkład w rozwój teorii wielościanów. Pewnego razu napisał szkic „O płatku śniegu”, w którym poczynił następującą uwagę: „Wśród ciał regularnych pierwszym, początkiem i przodkiem pozostałych jest sześcian, a jego małżonkiem, jeśli mogę tak powiedzieć, jest ośmiościan, gdyż ośmiościan ma tyle kątów, ile sześcian ma twarze”. Kepler był pierwszym, który opublikował pełna lista trzynaście Bryły Archimedesa i nadał im imiona, pod którymi są dziś znani.

Kepler jako pierwszy badał tzw wielościany gwiazdowe, które w przeciwieństwie do brył Platona i Archimedesa są foremnymi wielościanami wypukłymi. Na początku ubiegłego wieku francuski matematyk i mechanik L. Poinsot (1777-1859), którego prace geometryczne dotyczyły wielościanów gwiaździstych, rozwinął dzieło Keplera i odkrył istnienie dwóch kolejnych typów wielościanów foremnych niewypukłych. Tak więc dzięki pracom Keplera i Poinsota poznano cztery typy takich postaci (ryc. 7). W 1812 r. O. Cauchy udowodnił, że nie ma innych regularnych wielościanów gwiaździstych.

Rysunek 7. Regularne wielościany gwiaździste (bryły Poinsota)

Wielu czytelników może zapytać: „Po co w ogóle badać wielościany foremne? Jaki jest z nich pożytek? Można odpowiedzieć na to pytanie: „Jaki jest pożytek z muzyki lub poezji? Czy wszystko, co piękne, jest przydatne? Modele wielościanów pokazane na ryc. 1-7 przede wszystkim robią na nas wrażenie estetyczne i mogą służyć jako dekoracje dekoracyjne. Ale w rzeczywistości powszechne pojawienie się wielościanów foremnych w strukturach naturalnych spowodowało ogromne zainteresowanie tą gałęzią geometrii nowoczesna nauka.

Tajemnica kalendarza egipskiego

Co to jest kalendarz?

Rosyjskie przysłowie mówi: „Czas jest okiem historii”. Wszystko, co istnieje we Wszechświecie: Słońce, Ziemia, gwiazdy, planety, światy znane i nieznane oraz wszystko, co istnieje w naturze rzeczy żywych i nieożywionych, wszystko ma wymiar czasoprzestrzenny. Czas mierzy się obserwując okresowo powtarzające się procesy o określonym czasie trwania.

Już w starożytności ludzie zauważyli, że dzień zawsze ustępuje nocy, a pory roku mijają w ściśle określonej kolejności: po zimie przychodzi wiosna, po wiośnie lato, po lecie przychodzi jesień. W poszukiwaniu rozwiązania tych zjawisk człowiek zwrócił uwagę na ciała niebieskie - Słońce, Księżyc, gwiazdy - i ścisłą okresowość ich ruchów po niebie. Były to pierwsze obserwacje, które poprzedziły narodziny jednej z najstarszych nauk – astronomii.

Astronomia opiera pomiar czasu na ruchu ciał niebieskich, który odzwierciedla trzy czynniki: obrót Ziemi wokół własnej osi, obrót Księżyca wokół Ziemi i ruch Ziemi wokół Słońca. Różne koncepcje czasu zależą od tego, na którym z tych zjawisk opiera się pomiar czasu. Astronomia wie gwiezdny czas, słoneczny czas, lokalny czas, talia czas, urlop macierzyński czas, atomowy czas itp.

Słońce, podobnie jak wszystkie inne źródła światła, uczestniczy w ruchu po niebie. Oprócz codziennego ruchu Słońce ma tak zwany ruch roczny, a cała ścieżka rocznego ruchu Słońca po niebie nazywa się ekliptyka. Jeśli np. o określonej godzinie wieczornej zauważymy położenie konstelacji, a następnie powtarzamy tę obserwację co miesiąc, wówczas pojawi się przed nami inny obraz nieba. Wygląd gwiaździstego nieba zmienia się w sposób ciągły: każda pora roku ma swój własny wzór wieczornych konstelacji i każdy taki wzór powtarza się co roku. W rezultacie po roku Słońce powraca na swoje pierwotne miejsce względem gwiazd.

Dla ułatwienia orientacji w gwiaździstym świecie astronomowie podzielili całe niebo na 88 konstelacji. Każdy z nich ma swoją nazwę. Spośród 88 konstelacji szczególne miejsce w astronomii zajmują te, przez które przechodzi ekliptyka. Konstelacje te, oprócz własnych nazw, mają również ogólną nazwę - zodiak(od greckiego słowa „zoop” zwierzę), a także powszechnie znane na całym świecie symbole (znaki) i różne alegoryczne obrazy zawarte w systemach kalendarzowych.

Wiadomo, że w procesie poruszania się po ekliptyce Słońce przecina 13 konstelacji. Jednak astronomowie uznali za konieczne podzielenie ścieżki Słońca nie na 13, ale na 12 części, łącząc konstelacje Skorpiona i Wężownika w jedną pod Nazwa zwyczajowa Skorpion (dlaczego?).

Zagadnieniami pomiaru czasu zajmuje się specjalna nauka zwana chronologia. Leży u podstaw wszystkich systemów kalendarzowych stworzonych przez ludzkość. Jednym z nich było tworzenie kalendarzy w czasach starożytnych najważniejsze zadania astronomia.

Co to jest „kalendarz” i jakie istnieją jego typy? systemy kalendarzowe? Słowo kalendarz pochodzi od słowa łacińskiego kalendarz, co dosłownie oznacza „księgę długów”; w takich księgach wskazano pierwsze dni każdego miesiąca - Kalendy, w którym w starożytnym Rzymie dłużnicy płacili odsetki.

Od czasów starożytnych w krajach Azji Wschodniej i Południowo-Wschodniej przy sporządzaniu kalendarzy bardzo ważne nadał okresowość ruchom Słońca, Księżyca, a także Jowisz I Saturn, dwie gigantyczne planety Układ Słoneczny. Istnieją podstawy, aby sądzić, że idea tworzenia Kalendarz Jowiszowy z niebiańską symboliką 12-letniego cyklu zwierzęcego związanego z rotacją Jowisz wokół Słońca, co powoduje całkowity obrót wokół Słońca w ciągu około 12 lat (11,862 lat). Z drugiej strony druga gigantyczna planeta Układu Słonecznego to Saturn dokonuje całkowitej rewolucji wokół Słońca w ciągu około 30 lat (29,458 lat). Chcąc zharmonizować cykle ruchu planet-olbrzymów, starożytni Chińczycy wpadli na pomysł wprowadzenia 60-letniego cyklu Układu Słonecznego. Podczas tego cyklu Saturn wykonuje 2 pełne obroty wokół Słońca, a Jowisz 5.

Tworząc kalendarze roczne wykorzystuje się zjawiska astronomiczne: zmianę dnia i nocy, zmianę fazy księżyca i zmiana pór roku. Wykorzystanie różnych zjawisk astronomicznych doprowadziło do powstania trzech typów kalendarzy wśród różnych ludów: księżycowy, w oparciu o ruch Księżyca, słoneczny, w oparciu o ruch Słońca i księżycowo-słoneczny.

Struktura kalendarza egipskiego

Jednym z pierwszych kalendarzy słonecznych był Egipcjanin, powstały w IV tysiącleciu p.n.e. Oryginalny egipski rok kalendarzowy składał się z 360 dni. Rok dzielił się na 12 miesięcy po dokładnie 30 dni każdy. Jednak później odkryto, że ta długość roku kalendarzowego nie odpowiada rokowi astronomicznemu. A potem Egipcjanie dodali do roku kalendarzowego jeszcze 5 dni, które jednak nie były dniami miesiąca. To był 5 wakacje, łącząc sąsiednie lata kalendarzowe. Zatem rok kalendarzowy egipski miał następującą strukturę: 365 = 12`30 + 5. Należy pamiętać, że kalendarz egipski jest prototypem kalendarza współczesnego.

Powstaje pytanie: dlaczego Egipcjanie podzielili rok kalendarzowy na 12 miesięcy? Przecież istniały kalendarze z różną liczbą miesięcy w roku. Na przykład w kalendarzu Majów rok składał się z 18 miesięcy po 20 dni w miesiącu. Kolejne pytanie dotyczące kalendarza egipskiego: dlaczego każdy miesiąc miał dokładnie 30 dni (a dokładniej dni)? Pewne pytania można postawić także odnośnie egipskiego systemu pomiaru czasu, w szczególności odnośnie wyboru takich jednostek czasu jak godzina, minuta, sekunda. W szczególności pojawia się pytanie: dlaczego wybrano jednostkę godzinową tak, aby pasowała dokładnie 24 razy w ciągu doby, czyli dlaczego 1 dzień = 24 (2½ 12) godzin? Dalej: dlaczego 1 godzina = 60 minut i 1 minuta = 60 sekund? Te same pytania dotyczą wyboru jednostek wielkości kątowych, w szczególności: dlaczego okrąg dzieli się na 360°, czyli dlaczego 2p = 360° = 12-30°? Do tych pytań dochodzą inne, w szczególności: dlaczego astronomowie uznali za celowe wierzyć, że jest ich 12 zodiak znaki, chociaż w rzeczywistości Słońce w czasie swego ruchu po ekliptyce przecina 13 konstelacji? I jeszcze jedno „dziwne” pytanie: dlaczego babiloński system liczbowy miał bardzo nietypową podstawę - liczbę 60?

Związek kalendarza egipskiego z charakterystyką liczbową dwunastościanu

Analizując kalendarz egipski, a także egipskie systemy pomiaru czasu i wartości kątowych, stwierdzamy, że z zadziwiającą stałością powtarzają się cztery liczby: 12, 30, 60 i wyprowadzona z nich liczba 360 = 12-30. Powstaje pytanie: czy czy istnieje zatem jakaś fundamentalna koncepcja naukowa, która mogłaby dostarczyć prostego i logicznego wyjaśnienia użycia tych liczb w systemach egipskich?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, zwróćmy się jeszcze raz do dwunastościan, pokazany na ryc. 1-d. Przypomnijmy, że wszystkie stosunki geometryczne dwunastościanu opierają się na złotym podziale.

Czy Egipcjanie znali dwunastościan? Historycy matematyki przyznają, że starożytni Egipcjanie posiadali wiedzę o wielościanach foremnych. Ale czy znali w szczególności wszystkie pięć wielościanów foremnych? dwunastościan I dwudziestościan Jakie są najtrudniejsze? Starożytny grecki matematyk Proclus przypisuje Pitagorasowi konstrukcję wielościanów foremnych. Jednak wiele twierdzeń i wyników matematycznych (w szczególności twierdzenie Pitagorasa) Pitagoras pożyczył od starożytnych Egipcjan podczas swojej bardzo długiej „podróży służbowej” do Egiptu (według niektórych informacji Pitagoras mieszkał w Egipcie przez 22 lata!). Można zatem przypuszczać, że Pitagoras mógł także zapożyczyć wiedzę o wielościanach foremnych od starożytnych Egipcjan (i być może od starożytnych Babilończyków, gdyż według legendy Pitagoras żył w starożytny Babilon 12 lat). Istnieją jednak inne, bardziej przekonujące dowody na to, że Egipcjanie posiadali informacje o wszystkich pięciu regularnych wielościanach. W szczególności w British Museum znajduje się kostka z epoki ptolemejskiej, która ma ten kształt dwudziestościan, czyli „bryła platońska”, podwójna dwunastościan. Wszystkie te fakty dają nam prawo do wysunięcia hipotezy, że Dwunastościan był znany Egipcjanom. A jeśli tak jest, to z hipotezy tej wynika bardzo harmonijny układ, który pozwala wyjaśnić pochodzenie kalendarza egipskiego, a zarazem pochodzenie egipskiego systemu pomiaru odstępów czasowych i kątów geometrycznych.

Wcześniej ustaliliśmy, że dwunastościan ma na swojej powierzchni 12 ścian, 30 krawędzi i 60 kątów płaskich (tabela 1). Opiera się na hipotezie, którą znali Egipcjanie dwunastościan a jego charakterystyka liczbowa to 12, 30,60. Jakie więc było ich zdziwienie, gdy odkryli, że te same liczby wyrażają cykle Układu Słonecznego, a mianowicie 12-letni cykl Jowisza, 30-letni cykl Saturna i, wreszcie 60-letni cykl letni Układu Słonecznego. Zatem pomiędzy tak idealną figurą przestrzenną jak dwunastościan i Układ Słoneczny, istnieje głębokie matematyczne powiązanie! Do takiego wniosku doszli starożytni naukowcy. Doprowadziło to do tego, że dwunastościan został przyjęty jako „główna postać”, która symbolizowała Harmonia Wszechświata. A potem Egipcjanie zdecydowali, że wszystkie ich główne systemy (system kalendarzowy, system pomiaru czasu, system pomiaru kąta) powinny odpowiadać parametrom numerycznym dwunastościan! Ponieważ według starożytnych ruch Słońca wzdłuż ekliptyki był ściśle kołowy, zatem wybierając 12 znaków Zodiaku, których odległość w łuku wynosiła dokładnie 30°, Egipcjanie zaskakująco pięknie koordynowali roczny ruch Słońca wzdłuż ekliptyki ze strukturą roku kalendarzowego: jeden miesiąc odpowiadał ruchowi Słońca wzdłuż ekliptyki pomiędzy dwoma sąsiednimi znakami zodiaku! Co więcej, ruch Słońca o jeden stopień odpowiadał jednemu dniu w egipskim roku kalendarzowym! W tym przypadku ekliptyka została automatycznie podzielona na 360°. Podzieliwszy każdy dzień na dwie części, zgodnie z dwunastościanem, Egipcjanie podzielili następnie każdą połowę dnia na 12 części (12 twarzy dwunastościan) i tym samym wprowadzone godzina- najważniejsza jednostka czasu. Podzielenie jednej godziny na 60 minut (60 kątów płaszczyzny na powierzchni dwunastościan), wprowadzili w ten sposób Egipcjanie minuta– kolejna ważna jednostka czasu. W ten sam sposób, w jaki przedstawili daj mi sekundę- najmniejsza jednostka czasu dla tego okresu.

Zatem wybór dwunastościan jako główna „harmoniczna” figura wszechświata i ściśle przestrzegając liczbowych cech dwunastościanu 12, 30, 60, Egipcjanom udało się zbudować niezwykle harmonijny kalendarz, a także systemy pomiaru czasu i wartości kątowych. Systemy te były w pełni zgodne ze swoją „Teorią Harmonii”, opartą na złotej proporcji, gdyż to właśnie ta proporcja leży u podstaw dwunastościan.

Oto zaskakujące wnioski, jakie płyną z porównania: dwunastościan z układem słonecznym. A jeśli nasza hipoteza jest słuszna (niech ktoś spróbuje ją obalić), to wynika z tego, że ludzkość od wielu tysiącleci żyje pod znakiem złotego podziału! I za każdym razem, gdy patrzymy na tarczę naszego zegarka, który również opiera się na wykorzystaniu cech numerycznych dwunastościan 12, 30 i 60 dotykamy głównej „Tajemnicy Wszechświata” - złotego podziału, nawet o tym nie wiedząc!

Kwazikryształy autorstwa Dana Shekhtmana

12 listopada 1984 roku w prestiżowym czasopiśmie Physical Review Letters krótki artykuł izraelskiego fizyka Dana Shechtmana dostarczył eksperymentalnych dowodów na istnienie stopu metalu o wyjątkowych właściwościach. Stop ten, badany metodami dyfrakcji elektronów, wykazywał wszystkie cechy kryształu. Jego wzór dyfrakcyjny składa się z jasnych i regularnie rozmieszczonych punktów, podobnie jak kryształ. Jednak obraz ten charakteryzuje się obecnością symetrii „dwudziestościennej” lub „pięciokątnej”, która jest surowo zabroniona w krysztale ze względów geometrycznych. Takie niezwykłe stopy nazywano kwazikryształy. W niecały rok odkryto wiele innych stopów tego typu. Było ich tak wiele, że stan quasikrystaliczny okazał się znacznie bardziej powszechny, niż można było sobie wyobrazić.

Izraelski fizyk Dan Shechtman

Koncepcja kwazikryształu ma fundamentalne znaczenie, ponieważ uogólnia i uzupełnia definicję kryształu. Teoria oparta na tej koncepcji zastępuje odwieczną ideę „ jednostka strukturalna, powtarzający się w przestrzeni w sposób ściśle okresowy” – koncepcja kluczowa zamówienie dalekiego zasięgu. Jak podkreślono w artykule „Kwasikryształy” słynnego fizyka D. Gratii, „Ta koncepcja doprowadziła do rozwoju krystalografii, której nowo odkryte bogactwa dopiero zaczynamy odkrywać. Jego znaczenie w świecie minerałów można porównywać z dodaniem w matematyce pojęcia liczb niewymiernych do liczb wymiernych.

Co to jest kwazikryształ? Jakie ma właściwości i jak można go opisać? Jak wspomniano powyżej, zgodnie z podstawowe prawa krystalografii Na strukturę kryształu nałożone są ścisłe ograniczenia. Według klasycznych koncepcji kryształ składa się w nieskończoność z pojedynczej komórki, która powinna szczelnie (twarzą w twarz) „zakrywać” całą płaszczyznę bez żadnych ograniczeń.

Jak wiadomo, gęste wypełnienie płaszczyzny można przeprowadzić za pomocą trójkąty(ryc. 7-a), kwadraty(Rys. 7-b) i sześciokąty(Rys. 7-d). Używając pięciokąty (Pięciokąty) takie wypełnienie jest niemożliwe (ryc. 7-c).

A)	B)	V)	G)

Rysunek 7. Gęste wypełnienie płaszczyzny można wykonać za pomocą trójkątów (a), kwadratów (b) i sześciokątów (d)

Takie były kanony tradycyjnej krystalografii, która istniała przed odkryciem niezwykłego stopu aluminium i manganu, zwanego kwazikryształem. Taki stop powstaje w wyniku ultraszybkiego chłodzenia stopu z szybkością 10,6 K na sekundę. Ponadto podczas badania dyfrakcyjnego takiego stopu na ekranie pojawia się uporządkowany wzór charakterystyczny dla symetrii dwudziestościanu, który ma słynne zabronione osie symetrii piątego rzędu.

Kilka grup naukowych na całym świecie przez kilka następnych lat badało ten niezwykły stop mikroskopia elektronowa wysoka rozdzielczość. Wszystkie potwierdziły idealną jednorodność substancji, w której zachowana została symetria piątego rzędu w obszarach makroskopowych o wymiarach bliskich atomom (kilkadziesiąt nanometrów).

Według współczesnych poglądów opracowano następujący model otrzymywania struktury krystalicznej kwazikryształu. Model ten opiera się na koncepcji „elementu podstawowego”. Zgodnie z tym modelem dwudziestościan wewnętrzny złożony z atomów glinu jest otoczony dwudziestościanem zewnętrznym złożonym z atomów manganu. Dwudziestościany są połączone ośmiościanami atomów manganu. „Element podstawowy” zawiera 42 atomy glinu i 12 atomów manganu. Podczas procesu krzepnięcia następuje szybkie powstawanie „elementów podstawowych”, które szybko łączą się ze sobą sztywnymi „mostkami” oktaedrycznymi. Przypomnijmy, że ściany dwudziestościanu są trójkątami równobocznymi. Aby powstał oktaedryczny mostek manganowy, konieczne jest, aby dwa takie trójkąty (po jednym w każdej komórce) zbliżyły się do siebie i ułożyły równolegle. W wyniku takiego procesu fizycznego powstaje struktura kwazikrystaliczna o symetrii „ikozaedrycznej”.

W ostatnich dziesięcioleciach odkryto wiele rodzajów stopów kwazikrystalicznych. Oprócz stopów o symetrii „ikosedrycznej” (5. rząd) istnieją również stopy o symetrii dziesięciokątnej (10. rząd) i dwunastokątnej (12. rząd). Badania właściwości fizycznych kwazikryształów zaczęto badać dopiero niedawno.

Jakie jest praktyczne znaczenie odkrycia kwazikryształów? Jak zauważono we wspomnianym powyżej artykule Gratii, „wytrzymałość mechaniczna stopów kwazikrystalicznych gwałtownie wzrasta; brak okresowości prowadzi do spowolnienia propagacji dyslokacji w porównaniu do metali konwencjonalnych... Właściwość ta ma ogromne znaczenie praktyczne: zastosowanie fazy ikozaedrycznej umożliwi uzyskanie lekkich i bardzo mocnych stopów poprzez wprowadzenie małych cząstek kwazikryształów w osnowę aluminiową.”

Jakie znaczenie metodologiczne ma odkrycie kwazikryształów? Przede wszystkim odkrycie kwazikryształów jest momentem wielkiego triumfu „doktryny dodekaedryczno-ikozaedrycznej”, która przenika całą historię nauk przyrodniczych i jest źródłem głębokich i użytecznych idei naukowych. Po drugie, kwazikryształy zburzyły tradycyjną ideę nieprzezwyciężalnego podziału między światem minerałów, w którym zakazana była „pięciokątna” symetria, a światem żywej przyrody, gdzie „pięciokątna” symetria jest jedną z najczęstszych. I nie powinniśmy zapominać, że główną proporcją dwudziestościanu jest „złoty podział”. A odkrycie kwazikryształów jest kolejnym naukowym potwierdzeniem, że być może to właśnie „złota proporcja”, przejawiająca się zarówno w świecie żywej przyrody, jak i w świecie minerałów, czyli główna proporcja Wszechświata.

Płytki Penrose'a

Kiedy Dan Shekhtman dał eksperymentalny dowód na istnienie kwazikryształów z symetria ikozaedryczna fizycy poszukujący teoretycznego wyjaśnienia zjawiska kwazikryształów zwrócili uwagę na matematyczne odkrycie dokonane 10 lat wcześniej przez angielskiego matematyka Rogera Penrose'a. Jako „płaski analog” kwazikryształów wybraliśmy Płytki Penrose'a, które są aperiodycznymi, regularnymi strukturami utworzonymi z „grubych” i „cienkich” rombów, zachowujących proporcje „złotego podziału”. Dokładnie Płytki Penrose'a zostały przyjęte przez krystalografów w celu wyjaśnienia tego zjawiska kwazikryształy. Jednocześnie rola Diamenty Penrose'a w przestrzeni trzech wymiarów zaczęło grać dwudziestościany, za pomocą którego dokonuje się gęstego wypełnienia przestrzeni trójwymiarowej.

Przyjrzyjmy się bliżej pięciokątowi na ryc. 8.

Cyfra 8. Pięciokąt

Po narysowaniu w nim przekątnych oryginalny pięciokąt można przedstawić jako zbiór trzech rodzajów figur geometrycznych. W centrum znajduje się nowy pięciokąt utworzony przez punkty przecięcia przekątnych. Ponadto Pentagon na ryc. 8 zawiera pięć pokolorowanych trójkątów równoramiennych żółty i pięć trójkątów równoramiennych w kolorze czerwonym. Żółte trójkąty są „złote”, ponieważ stosunek bioder do podstawy jest równy złotemu podziałowi; mają ostre kąty 36° na wierzchołku i ostre kąty 72° u podstawy. Czerwone trójkąty są również „złote”, ponieważ stosunek bioder do podstawy jest równy złotemu podziałowi; mają kąt rozwarty 108° na wierzchołku i kąt ostry 36° u podstawy.

Połączmy teraz dwa żółte trójkąty i dwa czerwone trójkąty ich podstawami. W rezultacie otrzymujemy dwa „złoty” romb. Pierwszy z nich (żółty) ma kąt ostry 36° i kąt rozwarty 144° (ryc. 9).

(A)	(B)

Rysunek 9.” Złote” romby: a) „cienkie” romby; (b) „gruby” romb

Diament na ryc. Nazwiemy to 9 cienki romb, i romb na ryc. 9-b – gruby romb.

Angielski matematyk i fizyk Rogers Penrose użył „złotych” diamentów na ryc. 9 na budowę „złotego” parkietu, który tzw Płytki Penrose'a. Płytki Penrose to połączenie grubych i cienkich diamentów, jak pokazano na ryc. 10.

Rysunek 10. Płytki Penrose

Warto to podkreślić Płytki Penrose'a mają symetrię „pięciokątną” lub symetrię piątego rzędu, a stosunek liczby grubych rombów do cienkich dąży do złotej proporcji!

Fulereny

Porozmawiajmy teraz o kolejnym wybitnym współczesnym odkryciu w dziedzinie chemii. Odkrycia tego dokonano w 1985 roku, czyli kilka lat po kwazikryształach. Mówimy o tzw. „fullerenach”. Termin „fullereny” odnosi się do zamkniętych cząsteczek typu C 60, C 70, C 76, C 84, w których wszystkie atomy węgla są rozmieszczone na kulistej lub sferoidalnej powierzchni. W tych cząsteczkach atomy węgla są rozmieszczone na wierzchołkach regularnych sześciokątów lub pięciokątów pokrywających powierzchnię kuli lub sferoidy. Centralne miejsce wśród fulerenów zajmuje cząsteczka C 60, która charakteryzuje się największą symetrią, a co za tym idzie największą stabilnością. W tej cząsteczce w kształcie opony piłka nożna i mając strukturę regularnego ściętego dwudziestościanu (ryc. 2-e i ryc. 3), atomy węgla są rozmieszczone na kulistej powierzchni w wierzchołkach 20 sześciokątów foremnych i 12 pięciokątów foremnych, tak że każdy sześciokąt graniczy z trzema sześciokątami i trzema pięciokątami , a każdy pięciokąt graniczy z sześciokątami.

Termin „fulleren” wywodzi się od nazwiska amerykańskiego architekta Buckminstera Fullera, który, jak się okazuje, wykorzystywał takie konstrukcje przy konstruowaniu kopuł budynków (kolejne zastosowanie dwudziestościanu ściętego!).

„Fullereny” to zasadniczo struktury „stworzone przez człowieka”, powstałe w wyniku podstawowych badań fizycznych. Jako pierwsi zsyntetyzowali je naukowcy G. Croto i R. Smalley (za to odkrycie otrzymali w 1996 roku Nagrodę Nobla). Ale nieoczekiwanie odkryto je w skałach okresu prekambryjskiego, to znaczy fulereny okazały się nie tylko formacjami „sztucznymi”, ale i naturalnymi. Obecnie fulereny są intensywnie badane w laboratoriach różnych krajów, próbując ustalić warunki ich powstawania, strukturę, właściwości i możliwe obszary zastosowań. Najlepiej zbadanym przedstawicielem rodziny fulerenów jest fuleren-60 (C 60) (czasami nazywany fulerenem Buckminster. Znane są również fulereny C 70 i C 84. Fuleren C 60 otrzymuje się przez odparowanie grafitu w atmosferze helu. W wyniku tego powstaje drobny, przypominający sadzę proszek, zawierający 10% węgla, po rozpuszczeniu w benzenie daje czerwony roztwór, z którego wyrastają kryształy C 60. Fulereny mają niezwykłe właściwości chemiczne i właściwości fizyczne. Tak kiedy wysokie ciśnienie krwi Od 60 staje się twardy jak diament. Jego cząsteczki tworzą krystaliczną strukturę, jakby składającą się z idealnie gładkich kulek, swobodnie obracających się w sześciennej siatce skupionej na ścianie. Dzięki tej właściwości C 60 może być stosowany jako smar stały. Fulereny mają także właściwości magnetyczne i nadprzewodzące.

Rosyjscy naukowcy A.V. Eletsky i B.M. Smirnow w swoim artykule „Fullerenes”, opublikowanym w czasopiśmie „Uspekhi Fizicheskikh Nauk” (1993, tom 163, nr 2), zauważa, że „fullereny, których istnienie zostało ustalone w połowie lat 80-tych i wydajna technologia którego izolacja została opracowana w 1990 roku, stała się obecnie przedmiotem intensywnych badań kilkudziesięciu grup naukowych. Wyniki tych badań są ściśle monitorowane przez firmy aplikacyjne. Ponieważ ta modyfikacja węgla przyniosła naukowcom wiele niespodzianek, nierozsądne byłoby omawianie prognoz i możliwych konsekwencji badań fulerenów w następnej dekadzie, ale należy być przygotowanym na nowe niespodzianki.”

Artystyczny świat słoweńskiej artystki Matyushki Teji Kraška

Matjuska Teja Krasek uzyskała tytuł licencjata z malarstwa w Wyższej Szkole Sztuk Wizualnych (Lublana, Słowenia) i jest niezależną artystką. Mieszka i pracuje w Lublanie. Jej prace teoretyczne i praktyczne skupiają się na symetrii jako koncepcji pomostowej pomiędzy sztuką i nauką. Jej prace były prezentowane na wielu wystawach wystawy międzynarodowe i publikowane w czasopismach międzynarodowych (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

MT Krašek na wystawie „Kalejdoskopowe zapachy”, Lublana, 2005

Twórczość artystyczna Matki Tei Krashek związana jest z różnymi rodzajami symetrii, płytkami i rombami Penrose'a, kwazikryształami, złotym podziałem jako głównym elementem symetrii, liczbami Fibonacciego itp. Za pomocą refleksji, wyobraźni i intuicji próbuje wybierz nowe relacje, nowe poziomy struktury, nowe i Różne rodzaje porządek w tych elementach i strukturach. W swojej pracy szeroko wykorzystuje grafikę komputerową jako bardzo przydatne narzędzie do tworzenia dzieł sztuki, będących łącznikiem nauki, matematyki i sztuki.

Na ryc. 11 przedstawia skład T.M. Krashek powiązany z liczbami Fibonacciego. Jeśli na długość boku diamentu Penrose'a w tej namacalnie niestabilnej kompozycji wybierzemy jedną z liczb Fibonacciego (na przykład 21 cm), możemy zaobserwować, jak długości niektórych odcinków kompozycji tworzą ciąg Fibonacciego.

Rysunek 11. Matka Teia Krashek „Liczby Fibonacciego”, płótno, 1998.

Duża część kompozycji artystycznych artysty poświęcona jest kwazikryształom Shechtmana i sieciom Penrose'a (ryc. 12).

(A)	(B)

(W)	(G)

Rysunek 12.Świat Tei Krashek: (a) Świat kwazikryształów. Grafika komputerowa, 1996.
(b) Gwiazdy. Grafika komputerowa, 1998 (c) 5.10. Płótno, 1998 (d) Quasi-sześcian. Płótno, 1999

Kompozycja Matki Thei Krashek i Clifforda Pickovera Biogenesis, 2005 (ryc. 13) przedstawia dziesięciokąt złożony z diamentów Penrose. Można zaobserwować zależności pomiędzy rombami Petrose'a; Każde dwa sąsiednie diamenty Penrose'a tworzą pięciokątną gwiazdę.

Rysunek 13. Matka Theia Krashek i Clifford Pickover. Biogeneza, 2005.

Na obrazie Podwójna Gwiazda GA(Rysunek 14) widzimy, jak płytki Penrose łączą się, tworząc dwuwymiarową reprezentację potencjalnie hiperwymiarowego obiektu o dziesięciokątnej podstawie. Artysta przedstawiając obraz zastosował metodę sztywnych krawędzi zaproponowaną przez Leonarda da Vinci. To właśnie ten sposób przedstawiania pozwala zobaczyć w rzucie obrazu na płaszczyznę dużą liczbę pięciokątów i pentagramów, które tworzą rzuty poszczególnych krawędzi rombów Penrose'a. Dodatkowo w rzucie obrazu na płaszczyznę widzimy dziesięciokąt utworzony przez krawędzie 10 sąsiadujących ze sobą rombów Penrose'a. Zasadniczo na tym zdjęciu Matka Teia Krashek znalazła nowy wielościan foremny, który prawdopodobnie faktycznie istnieje w naturze.

Rysunek 14. Matka Teia Krashek. Podwójna Gwiazda GA

W kompozycji Krasheka „Gwiazdy dla Donalda” (ryc. 15) możemy zaobserwować niekończące się oddziaływanie rombów, pentagramów, pięciokątów Penrose'a, malejących w kierunku centralnego punktu kompozycji. Złote proporcje są reprezentowane na wiele różnych sposobów w różnych skalach.

Rysunek 15. Matka Theia Krashek „Gwiazdy dla Donalda”, grafika komputerowa, 2005.

Twórczość artystyczna Matki Tei Krashek cieszyła się dużym zainteresowaniem przedstawicieli nauki i sztuki. Jej twórczość utożsamiana jest ze sztuką Mauritsa Eschera, a słoweńska artystka nazywana jest „Escherem wschodnioeuropejskim” i „słoweńskim darem” dla sztuki światowej.

Stachow A.P. „Kod Da Vinci”, Bryły platońskie i archimedesowe, kwazikryształy, fulereny, siatki Penrose’a i świat artystyczny Matki Tei Krashek // „Akademia Trynitaryzmu”, M., El nr 77-6567, wyd. 12561, 07.11. 2005

Bryły platońskie

Liczba regularnych wielościanów jest szokująco mała, ale temu bardzo skromnemu składowi udało się dotrzeć w głąb różnych nauk.

L. Carrolla

Człowiek zawsze wykazywał zainteresowanie wielościanami. Niektóre z ciał regularnych i półregularnych występują w przyrodzie w postaci kryształów, inne - w postaci wirusów, które można badać za pomocą mikroskopu elektronowego. Co to jest wielościan? Wielościan to część przestrzeni ograniczona zbiorem skończonej liczby płaskich wielokątów.

Naukowcy od dawna interesują się wielokątami „idealnymi”, czyli foremnymi, czyli wielokątami o równych bokach i równych kątach. Najprostszy wielokąt foremny można uznać za trójkąt równoboczny, ponieważ ma najmniejszą liczbę boków, które mogą ograniczać część płaszczyzny. Ogólny obraz interesujących nas wielokątów foremnych, wraz z trójkątem równobocznym, to: kwadrat (cztery boki), pięciokąt (pięć boków), sześciokąt (sześć boków), ośmiokąt (osiem boków), dziesięciokąt (dziesięć boków) itp. Oczywiście teoretycznie Nie ma ograniczeń co do liczby boków wielokąta foremnego, to znaczy liczba wielokątów foremnych jest nieskończona.

Co to jest wielościan foremny? Wielościan foremny to taki wielościan, którego wszystkie ściany są sobie równe (lub przystające) i jednocześnie są wielokątami foremnymi. Ile jest wielościanów foremnych? W XIII księdze Elementów Euklidesa, poświęconej wielościanom foremnym, czyli bryłom platońskim (Platon omawia je w dialogu Timaeus), znajdujemy ścisły dowód na to, że istnieje tylko pięć wielościanów foremnych, a ich ściany mogą być tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkąty, kwadraty i pięciokąty.

Dowód na to, że istnieje dokładnie pięć foremnych wielościanów wypukłych, jest bardzo prosty.

Oczywiście każdy wierzchołek wielościanu może należeć do trzech lub więcej ścian. Najpierw rozważmy przypadek, gdy ściany wielościanu są trójkątami równobocznymi. Ponieważ kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego wynosi 60°, suma trzech takich kątów umieszczonych na płaszczyźnie daje 180°. Jeśli teraz zegniemy te rogi wzdłuż wewnętrznych boków i skleimy je razem wzdłuż zewnętrznych boków, otrzymamy wielościenny róg czworościanu - wielościan foremny, w każdym wierzchołku, którego spotykają się trzy regularne trójkątne ściany. Trzy regularne trójkąty z wspólny szczyt nazywa się rozwojem wierzchołka czworościanu. Jeśli dodasz kolejny trójkąt do rozwinięcia wierzchołka, suma wyniesie 240°. To jest rozwój wierzchołka ośmiościanu. Dodanie piątego trójkąta da kąt 300° - otrzymamy rozwinięcie wierzchołka dwudziestościanu. Jeśli dodamy kolejny, szósty trójkąt, suma kątów wyniesie 360° - to rozwinięcie oczywiście nie może odpowiadać żadnemu wielościanowi wypukłemu.

Przejdźmy teraz do kwadratowych twarzy. Rozwinięcie trzech kwadratowych ścian ma kąt 3 x 90° = 270° - tworzy to wierzchołek sześcianu, zwanego także sześcianem. Dodanie kolejnego kwadratu zwiększy kąt do 360° – takie rozwinięcie nie odpowiada już żadnemu wielościanowi wypukłemu.

Trzy pięciokątne ściany dają kąt skanowania 3 x 108° = 324° – wierzchołek dwunastościanu. Jeśli dodamy kolejny pięciokąt, otrzymamy więcej niż 360°.

W przypadku sześciokątów już trzy ściany dają kąt skanowania 3 x 120° = 360°, więc nie ma regularnego wielościanu wypukłego o ścianach sześciokątnych. Jeśli twarz ma jeszcze więcej kątów, skan będzie miał jeszcze większy kąt. Oznacza to, że nie ma regularnych wielościanów wypukłych o ścianach mających sześć lub więcej kątów.

Jesteśmy zatem przekonani, że istnieje tylko pięć wypukłych wielościanów foremnych - czworościan, ośmiościan i dwudziestościan o ścianach trójkątnych, sześcian (sześcian) o ścianach kwadratowych i dwunastościan o ścianach pięciokątnych.

Pięć regularnych wielościanów, czyli brył platońskich, było w użyciu i znanych na długo przed czasami Platona. Kate Crichlow w swojej książce Time Stands Still podaje przekonujące dowody na to, że neolityczni mieszkańcy Wielkiej Brytanii znali je co najmniej 1000 lat przed Platonem. Twierdzenie to opiera się na obecności szeregu kulistych kamieni znajdujących się w Muzeum Ashmolean w Oksfordzie. Kamienie te, zwymiarowane tak, aby mieściły się w dłoni, zostały pokryte geometrycznie precyzyjnymi kulistymi figurami sześcianu, czworościanu, oktaedru, dwudziestościanu i dwunastościanu, a także dodatkowymi bryłami złożonymi i pseudoregularnymi, takimi jak prostopadłościan i ikododekaedr. Critchlow mówi: „Mamy obiekty, które niewątpliwie wskazują stopień zdolności matematyczne, któremu niektórzy archeolodzy i historycy matematyki dotychczas zaprzeczali w odniesieniu do człowieka neolitycznego”.

Teajtet z Aten (417–369 p.n.e.), współczesny Platonowi, podał matematyczny opis wielościanów foremnych i pierwszy znany dowód na to, że jest ich dokładnie pięć.

W Tymeuszu, który ma najsilniejszy charakter pitagorejski ze wszystkich innych dzieł Platona, stwierdza on, że czterema podstawowymi żywiołami świata są ziemia, powietrze, ogień i woda, i że każdy z tych elementów jest powiązany z jednym z elementów przestrzennych. figurki. Tradycja kojarzy sześcian z ziemią, czworościan z ogniem, ośmiościan z powietrzem, a dwudziestościan z wodą. Platon wspomina o „pewnej piątej strukturze”, którą posłużył się stwórca przy tworzeniu wszechświata. W ten sposób dwunastościan został powiązany z piątym elementem: eterem. Organizator wszechświata, Platon, z prymitywnego chaosu tych elementów ustanowił porządek za pomocą podstawowych form i liczb. Układanie według liczby i kształtu, aby uzyskać więcej wysoki poziom doprowadziło do przeznaczenia pięciu elementów we wszechświecie fizycznym. Podstawowe formy i liczby zaczęły wówczas pełnić funkcję linii podziału pomiędzy wyższym i niższym światem. Same w sobie i dzięki analogii z innymi żywiołami posiadały zdolność kształtowania świata materialnego.

Tych samych pięć ciał regularnych, zgodnie z tradycją klasyczną, narysowano w taki sposób, że są one zawarte w dziewięciu koncentrycznych kulach, a każde ciało styka się z kulą, która jest opisana wokół kolejnego ciała znajdującego się w jego wnętrzu. Kompozycja ta wykazuje wiele ważnych relacji i jest zapożyczona z dyscypliny zwanej ciało przezroczyste, odnoszące się do percepcji kul wykonanych z przezroczystego materiału i umieszczonych jedna w drugiej. Ta instrukcja została przekazana przez Fra Luca Paccioli wielu wielkim ludziom renesansu, w tym Leonardo i Brunulleschi.

W swojej książce „Tajemnica świata” (Mysterium Cosmographicum), opublikowany w 1596 r. Johannes Kepler zasugerował, że istnieje związek między pięcioma bryłami platońskimi a odkrytymi wówczas sześcioma planetami Układu Słonecznego. Zgodnie z tym założeniem w kulę orbity Saturna można wpisać sześcian, w który mieści się kula orbity Jowisza. Pasuje do niego z kolei czworościan opisany w pobliżu sfery orbity Marsa. Dwunastościan wpasowuje się w kulę orbity Marsa, w którą wpasowuje się kula orbity Ziemi. I jest opisany w pobliżu dwudziestościanu, w który wpisana jest kula orbity Wenus. Sfera tej planety opisana jest wokół ośmiościanu, w który wpasowuje się kula Merkurego. Ten model Układu Słonecznego nazwano „Kosmicznym Pucharem” Keplera. Rozbieżność pomiędzy modelem Keplera a rzeczywistymi wymiarami orbit (rzędu kilku procent) I. Kepler wyjaśnił jako „wpływ materii”.

W XX wieku w teorii używano brył platońskich model powłoki elektronowej Roberta Moona, znana również jako teoria Księżyca. Moon zauważył, że geometryczny układ protonów i neutronów w jądrze atomowym jest powiązany z położeniem wierzchołków zagnieżdżonych brył platońskich. Koncepcja ta została zainspirowana Mysterium Cosmographicum J. Keplera.

Istnieje wzór Eulera na wielościany:

F + V = mi + 2

W tej formule F– liczba twarzy, V– liczba wierzchołków, mi– liczba żeber. Te charakterystyki liczbowe brył platońskich podano w tabeli.

Ilościowe cechy brył platońskich

Ważne zależności pomiędzy krawędziami, średnicami sfer wpisanych i opisanych, polami i objętościami wielościanów foremnych wyrażane są za pomocą liczb niewymiernych. Poniższa tabela przedstawia stosunek długości krawędzi do średnicy kuli opisanej dla każdej z pięciu brył platońskich.

Każdy uzyskany wynik jest liczbą niewymierną, którą można znaleźć jedynie poprzez ekstrakcję pierwiastek kwadratowy. Widzimy, że pojawiają się tu liczby ważne i szczególne w świętej matematyce.

Geometria dwunastościanu i dwudziestościanu jest powiązana ze złotym podziałem. Rzeczywiście ściany dwunastościanu są pięciokątami, czyli pięciokątami foremnymi opartymi na złotym podziale. Jeśli przyjrzysz się uważnie dwudziestościanowi, zobaczysz, że na każdym wierzchołku dwudziestościanu spotyka się pięć trójkątów, których zewnętrzne boki tworzą pięciokąt. Same te fakty wystarczą, aby nas przekonać, że złoty podział odgrywa znaczącą rolę w projektowaniu tych dwóch brył platońskich. Te dwie figury są względem siebie odwrotne: obie składają się z 30 krawędzi, ale mimo to dwudziestościan ma 20 ścian i 12 wierzchołków, a dwunastościan ma 12 ścian i 20 wierzchołków. Również odwrotne względem siebie są ośmiościan i sześcian oraz teatraścian sam w sobie.

Pomiędzy wszystkimi są niesamowite geometryczne powiązania regularne wielościany. Na przykład, sześcian I oktaedr są podwójne, to znaczy są uzyskiwane od siebie, jeśli środki ciężkości ścian jednej zostaną przyjęte jako wierzchołki drugiej i odwrotnie. Podobnie dualny dwudziestościan I dwunastościan. Czworościan podwójny wobec siebie. Z sześcianu dwunastościan otrzymujemy budując „dachy” na jego ścianach (metoda euklidesowa); wierzchołkami czworościanu są dowolne cztery wierzchołki sześcianu, które nie sąsiadują ze sobą parami wzdłuż krawędzi, czyli wszystkie inne wielościany foremne mogą być otrzymane z sześcianu.

Robert Lawlor w swojej pracy pokazuje, że bryły platońskie można konstruować w oparciu o dwudziestościan. Pisze: „Jeśli połączymy wszystkie wewnętrzne wierzchołki dwudziestościanu, rysując z każdego z nich po trzy linie łączące każdy wierzchołek z przeciwległym, a następnie z dwóch górnych wierzchołków poprowadzimy cztery linie do dwóch przeciwległych, tak że te linie spotykając się w środku, postępując zgodnie z tym, co zostało powiedziane, w naturalny sposób skonstruujemy krawędzie dwunastościanu. Konstrukcja ta zachodzi automatycznie w momencie przecięcia wewnętrznych linii dwudziestościanu. Po utworzeniu dwunastościanu możemy po prostu wykorzystać sześć jego wierzchołków i środek do zbudowania sześcianu. Korzystając z przekątnych sześcianu, możemy zbudować czworościan w kształcie gwiazdy lub spleciony. Przecięcia czworościanu gwiaździstego z sześcianem dają nam dokładne położenie do skonstruowania ośmiościanu wpisanego. Następnie w samym oktaedrze, wykorzystując wewnętrzne linie dwudziestościanu i wierzchołki ośmiościanu, uzyskuje się drugi dwudziestościan. Przeszliśmy przez cały pełny cykl, pięć etapów od nasionka do nasionka. A takie działania stanowią nieskończoną sekwencję.

Czworościan

Najprostszym wielościanem foremnym jest czworościan. Dla Platona odpowiada żywiołowi Ognia. W fizyce „ogień” można powiązać ze stanem plazmy. Czworościan ma najmniejszą liczbę ścian spośród brył platońskich i jest trójwymiarowym odpowiednikiem płaskiego trójkąta foremnego, który ma najmniejszą liczbę boków spośród wielokątów foremnych. Jego cztery ściany to trójkąty równoboczne. Cztery to najmniejsza liczba krawędzi oddzielających część przestrzeni trójwymiarowej. Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech trójkątów. Wszystkie kąty wielościenne czworościanu są sobie równe. Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 180°. Zatem czworościan ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi.

Oktaedr

Ośmiościan składa się z ośmiu trójkątów równobocznych. Dla Platona odpowiada żywiołowi Powietrza. W fizyce „powietrze” można powiązać z gazowym stanem materii. Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem czterech trójkątów. Przeciwległe ściany leżą w równoległych płaszczyznach. Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 240°. Zatem ośmiościan ma 8 ścian, 6 wierzchołków i 12 krawędzi.

Dwudziestościan

Dwudziestościan jest jedną z pięciu brył platońskich, zaraz po czworościanie i ośmiościanie. Dla Platona odpowiada żywiołowi Wody. W fizyce „wodę” można powiązać z ciekłym stanem materii. Dwudziestościan składa się z dwudziestu trójkątów równobocznych. Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem pięciu trójkątów. Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 300°. Zatem dwudziestościan ma 20 ścian, 12 wierzchołków i 30 krawędzi.

Prostopadłościan

Sześcian lub sześcian składa się z sześciu kwadratów. Dla Platona odpowiada żywiołowi Ziemi. W fizyce „ziemia” może być skorelowana ze stanem stałym materii. Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech kwadratów. Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 270°. Zatem sześcian ma 6 ścian, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

Dwunastościan

Dwunastościan składa się z dwunastu pięciokątów równobocznych. Dla Platona odpowiada to piątemu elementowi – eterowi. Każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech pięciokątów. Suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 324°. Zatem dwunastościan ma 12 ścian, 20 wierzchołków i 30 krawędzi.

Regularne wielościany występują w żywej przyrodzie. Na początku XX wieku Ernst Haeckel ( Ernsta Haeckela) opisał szereg organizmów, których kształty szkieletu przypominają różne regularne wielościany. Na przykład: Circoporus ośmiościan, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometryczny i Circorrhegma dodecahedra. Kształty szkieletowe tych organizmów znajdują odzwierciedlenie w ich nazwach.

Szkielet organizmu jednokomórkowego Feodaria ( Circogoniaikosaedry) ma kształt dwudziestościanu. Większość feodariów żyje w głębinach morskich i jest ofiarą ryb koralowych. Ale najprostsze zwierzę próbuje się chronić: z 12 szczytów szkieletu wyłania się 12 pustych igieł. Na końcach igieł znajdują się kolce, dzięki którym igła jest jeszcze skuteczniejsza w ochronie.

Wiele wirusów, np. opryszczka, mają kształt dwudziestościanu foremnego. Struktury wirusowe zbudowane są z powtarzających się podjednostek białek, a dwudziestościan jest najbardziej odpowiednim kształtem do odtwarzania tych struktur.

Sieci krystaliczne wielu minerałów mają kształt brył platońskich.

Produkcja kwasu siarkowego, żelaza i specjalnych rodzajów cementu nie może obyć się bez pirytów siarkowych ( FeS). Kryształy tego substancja chemiczna mają kształt dwunastościanu. Sylwit mineralny ma sieć krystaliczną w kształcie sześcianu. Kryształy pirytu mają kształt dwunastościanu, natomiast kupryt tworzy kryształy w kształcie ośmiościanu.

Bryły platońskie są bardzo ważnym przedmiotem badań, zarówno z punktu widzenia świętej matematyki, jak i z punktu widzenia nauk przyrodniczych. Bryły platońskie pojawiają się wszędzie, od wirusów, z których wiele ma kształt ikozaedry, po złożone makrostruktury, takie jak Układ Słoneczny.

Antona Muchina

Z książki Notatniki autor Czechow Antoni Pawłowicz

część ciała. 2 [Arcykapłan płacze jak chory w dzieciństwie, gdy litowała się nad nim matka; Płakałem po prostu z powodu ogólnego duchowego pokłonu, płakał tłum. Wierzył, osiągnął wszystko, co było [dane (?)] dostępne osobie na jego stanowisku, ale nadal bolała go dusza: nie wszystko było jasne, coś innego

Z książki Wszystko jest pod kontrolą: kto cię obserwuje i jak autor Garfinkel Symeon

Z książki Niewyobrażalna przyszłość autor Krieger Borys

Zakładnicy własne ciało W stanie zdrowia i dobrego samopoczucia człowiek całkowicie zapomina o istnieniu własnego ciała. Nie przeszkadza mu ból i inne przejawy dyskomfortu, takie jak uczucie zimna, gorąca, głodu i inne. Jednak poczucie realności życia jest sprawiedliwe

Z książki „Matrix” jako filozofia przez Irwina Williama

CIAŁA, UMYSŁY, PŁEĆ „Gwiazdy” „Matrixa” wyglądają według pewnego standardu. W wirtualnym świecie ich ciało jest ukryte pod spodem podobny przyjaciel na siebie w garniturach z błyszczącej czarnej skóry lub lateksu. „Istnienie” jest wypełnione mięsem, krwią i świeżą krwią. Taki

Z książki Japonia Oblicza czasu. Mentalność i tradycje w nowoczesnym wnętrzu. autor Prasol Aleksander Fiodorowicz

Rozdział 17 WOKÓŁ DYNAMIKI CIAŁA - CECHY RUCHÓW JAPOŃSKICH Klimat, dieta i styl życia, odmienny od europejskiego, przez wieki kształtowały japońską sylwetkę i charakter ruchów. W tej dziedzinie jest jeszcze wiele nieodkrytych, więc spróbujmy to rozgryźć

Z książki Lekcje innych ludzi - 2008 autor Golubitsky Siergiej Michajłowicz

ESTETYKA NAGIEGO CIAŁA Historycznie rzecz biorąc, japońskie podejście do wielu aspektów wygląd ludzie również bardzo różnili się od Europejczyków. Jest to szczególnie widoczne w odniesieniu do nagiego ciała. W kulturze europejskiej nagość jest dozwolona w dwóch przypadkach: wg

Z książki Gazeta Literacka 6300 (nr 45 2010) autor Gazeta Literacka

Swobodna mowa ciała Opublikowano w czasopiśmie „Business Magazine” nr 15 z dnia 8 sierpnia 2008. Associated Press, 4 lipca 2008 r.: „Philip Bennett, były szef Refco Inc., został skazany na 16 lat więzienia za oszustwa finansowe, które doprowadziły do ​​upadku jednego z największych na świecie

Z książki Jak pokonać Chińczyków autor Masłow Aleksiej Aleksandrowicz

Tajemnice ciała Bibliomaniak. Książka kilkanaście Tajemnic ciała CZYTANIE MOSKWA A.A. Kamensky, M.V. Masłowa, A.V. Wykres. Hormony rządzą światem: popularna endokrynologia. – M.: AST-PRESS, 2010. – 192 s.: il. – (Nauka i pokój). – 5000 egzemplarzy. Obecnie ukazuje się niewiele literatury popularnonaukowej,

Z książki Krytyka nieczystego rozumu autor Silaev Aleksander Juriewicz

Z książki Przewidywanie siebie. Od obrazu do stylu autor Khakamada Irina Mitsuovna

Prawdziwe ciała Krótko mówiąc: nie wystarczy znać prawdę, trzeba nią żyć w swoim ciele. Aby ciało zachowywało się naprawdę. A tego trzeba uczyć osobno, na specjalnych przedmiotach-dyscyplinach. Wszyscy wiedzą, nikt

Z książki Piąty wymiar. Na granicy czasu i przestrzeni [kolekcja] autor Bitov Andrey

Rozdział 4. Uduchowienie ciała Ciało można traktować różnie. Możesz go ubóstwiać i poświęcić mu swoje życie. Pisała o tym w swoich wspomnieniach Jane Fonda. Tworząc aerobik, torturowała się dietami i fitnessem, doprowadzając swoją psychikę do wyniszczającego stanu. Możliwe o godz

Z książki Obrazy Paryża. Tom II autor Mercier Louis-Sebastien

Subtelne ciała(osobiście) W 1964 r., zaraz po zdjęciach, leningradzka artystka Gaga Kovenchuk marzyła o Nikicie Siergiejewiczu. Poznali się w metrze. Gaga była bardzo szczęśliwa. "Jak to? – od razu wyraził współczucie. „Wszystko szło tak dobrze!” Nikita Siergiejewicz mówił krótko:

Z książki Murarstwo i maszyny (kolekcja) autor Bajkow Eduard Arturowicz

226. Święto Bożego Ciała (57) Boże Ciało jest najbardziej uroczystym ze wszystkich świąt katolickich. Tego dnia Paryż jest czysty, wesoły, bezpieczny, wspaniały. W tym dniu można zobaczyć, ile srebrnych rzeczy znajduje się w kościołach, nie mówiąc już o złocie i diamentach, jak luksusowy jest kościół

Z książki Rosja. Jeszcze nie wieczór autor Muchin Jurij Ignatiewicz

Kult ciała Kulturystyka (od angielskiego body – body andbuilding – konstrukcja, czyli Body-Building – bodybuilding, bodybuilding) czy kulturystyka (od francuskiego kulturisme – pielęgnowanie, budowanie) to nie tylko system ćwiczeń fizycznych, które promują budowanie masa mięśniowa I,

Z książki Doktryna szoku [Narodziny kapitalizmu katastroficznego] autorstwa Naomi Klein

Exodus duszy z ciała Myślę, że nie będzie dla Was zaskoczeniem, że gdy człowiek jest w stanie śmierci, ciało robi wszystko, aby ocalić mózg. Oznacza to, że jeśli ciało utraci krew, wówczas ciało (Duch) odetnie wszystkie narządy od dopływu krwi, a pozostałą krew będzie krążyć tylko po okręgu:

Z książki autora

Wstrząs ciała Opór narastał, a okupanci w odpowiedzi coraz częściej stosowali szok w nowej formie. Późną nocą lub wczesnym rankiem żołnierze wpadali do drzwi, zapalali latarnie w ciemnych pokojach i wypełniali dom krzykami, z których miejscowi mogli usłyszeć tylko kilka