Tangent method halimbawa solusyon. Course work: Paraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation



Mga keyword:

Layunin ng gawain: pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear equation na may isang hindi alam at subukan ang mga ito sa eksperimentong gawain.

Layunin ng trabaho:

1. Pag-aralan espesyal na panitikan at piliin ang pinakanakapangangatwiran na mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation, na nagbibigay-daan sa iyong malalim na pag-aralan at pag-asimila ang paksang ito lahat ng high school graduates.
2. Bumuo ng ilang aspeto ng pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear equation gamit ang ICT.
3. Galugarin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation:

‒ Hakbang na pamamaraan

‒ Paraan ng paghahati

‒ Pamamaraan ni Newton

Panimula.

Kung walang mathematical literacy, imposibleng matagumpay na makabisado ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa physics, chemistry, biology at iba pang mga paksa. Ang buong kumplikado ng mga natural na agham ay binuo at binuo batay sa kaalaman sa matematika. Halimbawa, ang pag-aaral ng ilang mga problemang pangkasalukuyan sa matematikal na pisika ay humahantong sa pangangailangang lutasin ang mga nonlinear na equation. Ang solusyon ng mga nonlinear equation ay kinakailangan sa nonlinear optics, plasma physics, superconductivity theory, at low-temperature physics. Mayroong sapat na dami ng literatura sa paksang ito, ngunit maraming mga aklat-aralin at artikulo ang mahirap maunawaan ng isang mag-aaral sa high school. Tinatalakay ng papel na ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation na maaaring magamit upang malutas ang mga inilapat na problema sa pisika at kimika. Ang isang kawili-wiling aspeto ay ang aplikasyon teknolohiya ng impormasyon sa paglutas ng mga equation at problema sa matematika.

Hakbang na pamamaraan.

Hayaang kailanganin upang malutas ang isang nonlinear equation ng form na F(x)=0. Ipagpalagay din natin na binibigyan tayo ng isang tiyak na agwat ng paghahanap. Kinakailangang hanapin ang pagitan [a,b] ng haba h, na naglalaman ng unang ugat ng equation, simula sa kaliwang hangganan ng pagitan ng paghahanap.

kanin. 1. Hakbang na paraan

Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang gayong problema. Ang pamamaraan ng hakbang ay ang pinakasimpleng pamamaraan ng numero para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ngunit upang makamit ang mataas na katumpakan ay kinakailangan upang makabuluhang bawasan ang hakbang, at ito ay lubos na nagpapataas ng oras ng pagkalkula. Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang ang pamamaraang ito binubuo ng dalawang yugto.

akoyugto. Paghihiwalay ng ugat.

Sa yugtong ito, tinutukoy ang mga seksyon, na ang bawat isa ay naglalaman lamang ng isang ugat ng equation. Mayroong ilang mga opsyon para sa pagpapatupad ng yugtong ito:

• Pinapalitan namin ang mga halaga ng X (mas mabuti na may ilang medyo maliit na hakbang) at tingnan kung saan nagbabago ang pag-andar ng sign. Kung binago ng function ang sign nito, nangangahulugan ito na mayroong ugat sa lugar sa pagitan ng dati at kasalukuyang halaga ng X (kung hindi binabago ng function ang katangian ng pagtaas/pagbaba nito, masasabi nating isa lang ugat sa pagitan na ito).
• Paraan ng graphic. Bumubuo kami ng isang graph at sinusuri kung aling mga pagitan namamalagi ang isang ugat.
• Tuklasin natin ang mga katangian ng isang partikular na function.

IIyugto. Pagpino ng mga ugat.

Sa yugtong ito, nilinaw ang kahulugan ng mga ugat ng equation na natukoy nang mas maaga. Bilang isang tuntunin, ang mga umuulit na pamamaraan ay ginagamit sa yugtong ito. Halimbawa, ang pamamaraan kalahating dibisyon(dichotomies) o pamamaraan ni Newton.

Paraan ng kalahating paghahati

Isang mabilis at medyo simpleng numerical na paraan para sa paglutas ng mga equation, batay sa sequential na pagpapaliit ng pagitan na naglalaman ng tanging ugat ng equation F(x) = 0 hanggang sa ang tinukoy na katumpakan E ay karaniwang ginagamit sa paglutas quadratic equation at mga equation ng mas mataas na antas. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay may isang makabuluhang disbentaha - kung ang segment [a,b] ay naglalaman ng higit sa isang ugat, kung gayon hindi ito makakamit ang magagandang resulta.

kanin. 2. Paraan ng dichotomy

Ang algorithm para sa pamamaraang ito ay ang mga sumusunod:

‒ Tukuyin ang isang bagong approximation ng root x sa gitna ng segment [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Hanapin ang mga halaga ng function sa mga punto a at x: F(a) at F(x).

‒ Suriin ang kundisyon F(a)*F(x)

‒ Pumunta sa hakbang 1 at muling hatiin ang segment sa kalahati. Ipagpatuloy ang algorithm hanggang sa kondisyon |F(x)|

Pamamaraan ni Newton

Ang pinakatumpak sa mga pamamaraan ng numerical na solusyon; angkop para sa paglutas ng napakasalimuot na mga equation, ngunit ito ay kumplikado sa pamamagitan ng pangangailangang kalkulahin ang mga derivatives sa bawat hakbang. ay kung ang x n ay ilang pagtatantya sa ugat ng equation , pagkatapos ay ang susunod na approximation ay tinukoy bilang ang ugat ng padaplis sa function na f(x) na iginuhit sa puntong x n.

Ang tangent equation sa function na f(x) sa punto x n ay may anyo:

Sa tangent equation inilalagay namin ang y = 0 at x = x n +1.

Pagkatapos ang algorithm para sa sunud-sunod na mga kalkulasyon sa pamamaraan ni Newton ay ang mga sumusunod:

Ang convergence ng tangent method ay quadratic, ang order ng convergence ay 2.

Kaya, ang convergence ng Newton's tangent method ay napakabilis.

Nang walang anumang mga pagbabago, ang pamamaraan ay pangkalahatan sa kumplikadong kaso. Kung ang ugat na x i ay isang ugat ng pangalawang multiplicity o mas mataas, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng convergence ay bumaba at nagiging linear.

Kasama sa mga disadvantage ng pamamaraan ni Newton ang lokalidad nito, dahil ginagarantiyahan itong mag-converge para sa isang arbitrary na panimulang pagtatantya lamang kung ang kundisyon ay nasiyahan sa lahat ng dako. , sa kabaligtaran na sitwasyon, ang convergence ay nangyayari lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng ugat.

Ang pamamaraan ni Newton (paraan ng tangent) ay karaniwang ginagamit kapag ang equation f(x) = 0 ay may ugat at ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

1) function y=f(x) tinukoy at tuloy-tuloy sa ;

2) f(a) f(b) (ang function ay kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo ng segment [ a;b]);

3) derivatives f"(x) At f""(x) panatilihin ang tanda sa pagitan [ a;b] (i.e. ang function f(x) tumataas o bumababa sa segment [ a;b], habang pinapanatili ang direksyon ng convexity);

Ang kahulugan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: sa segment [ a;b] napili ang naturang numero x 0 , Kung saan f(x 0) ay may parehong tanda ng f""(x 0), ibig sabihin, ang kondisyon ay nasiyahan f(x 0) f""(x) > 0. Kaya, ang punto na may abscissa ay napili x 0, kung saan ang padaplis sa kurba y=f(x) sa segment [ a;b] ay bumabagtas sa axis baka. Bawat punto x 0 Una, maginhawang pumili ng isa sa mga dulo ng segment.

Isaalang-alang natin ang algorithm na ito gamit ang isang partikular na halimbawa.

Bigyan tayo ng pagtaas ng tungkulin y = f(x) =x 2– 2, tuloy-tuloy sa segment (0;2), at pagkakaroon f "(x) =2x>0 At f ""(x) = 2> 0.

Sa aming kaso, ang tangent equation ay may anyo: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). SA bilang point x 0 pipiliin namin ang point B 1 (b; f(b)) = (2,2). Gumuhit ng tangent sa function y = f(x) sa punto B 1, at tukuyin ang punto ng intersection ng tangent at axis baka tuldok x 1. Nakukuha namin ang equation ng unang tangent: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Baka: x 1 =

kanin. 3. Konstruksyon ng unang tangent sa graph ng function na f(x)

y=f(x) baka sa pamamagitan ng punto x 1, nakuha namin ang punto B 2 =(1.5; 0.25). Gumuhit muli ng tangent sa function y = f(x) sa punto B 2, at tukuyin ang punto ng intersection ng padaplis at baka tuldok x 2.

Equation ng pangalawang tangent: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25. Intersection point ng tangent at axis Baka: x 2 =.

Pagkatapos ay makikita natin ang intersection point ng function y=f(x) at isang patayo na iginuhit sa axis baka sa pamamagitan ng punto x 2, makakakuha tayo ng punto B 3 at iba pa.

kanin. 4. Konstruksyon ng ikalawang tangent sa graph ng function na f(x)

Ang unang pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

= 1.5.

Ang pangalawang pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

=

Ang ikatlong pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

Sa gayon ,i Ang ika-approximation ng ugat ay tinutukoy ng formula:

Isinasagawa ang mga kalkulasyon hanggang sa ang mga decimal na lugar na kailangan sa sagot ay tumugma, o ang tinukoy na katumpakan e ay nakakamit - hanggang sa ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. |xi-xi-1|

Sa aming kaso, ihambing natin ang pagtatantya na nakuha sa ikatlong hakbang sa tunay na sagot. Gaya ng nakikita mo, nasa ikatlong hakbang na kami nakatanggap ng error na mas mababa sa 0.000002.

Paglutas ng isang equation gamit ang CADMathCAD

Para sa pinakasimpleng equation ng form f(x) = 0 ang solusyon sa MathCAD ay matatagpuan gamit ang function ugat.

ugat(f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - nagbabalik ng halaga X 1 , na kabilang sa segment [ a, b ] , kung saan ang expression o function f (X ) napupunta sa 0. Ang parehong mga argumento sa function na ito ay dapat na mga scalar. Ang function ay nagbabalik ng isang scalar.

kanin. 5. Paglutas ng isang nonlinear equation sa MathCAD (root function)

Kung ang isang error ay nangyari bilang isang resulta ng paglalapat ng function na ito, ito ay maaaring mangahulugan na ang equation ay walang mga ugat, o ang mga ugat ng equation ay matatagpuan malayo mula sa unang approximation, ang expression ay may lokal na max At min sa pagitan ng paunang pagtatantya at mga ugat.

Upang maitatag ang sanhi ng error, kinakailangan upang suriin ang graph ng function f(x). Makakatulong ito upang malaman ang pagkakaroon ng mga ugat ng equation f(x) = 0 at, kung mayroon sila, tinatayang matukoy ang kanilang mga halaga. Kung mas tumpak na napili ang paunang pagtatantya ng ugat, mas mabilis na mahahanap ang eksaktong halaga nito.

Kung hindi alam ang paunang pagtatantya, ipinapayong gamitin ang function lutasin . Bukod dito, kung ang equation ay naglalaman ng ilang mga variable, kailangan mong ipahiwatig pagkatapos keyword solve ay isang listahan ng mga variable kung saan nalutas ang equation.

kanin. 6. Paglutas ng isang nonlinear equation sa MathCAD (solve function)

Konklusyon

Sinuri ng pag-aaral kung paano mga pamamaraan sa matematika, at paglutas ng mga equation gamit ang programming sa CAD system na MathCAD. Iba't ibang pamamaraan may kanilang mga pakinabang at disadvantages. Dapat tandaan na ang paggamit ng isang partikular na pamamaraan ay nakasalalay sa mga paunang kondisyon ng ibinigay na equation. Ang mga equation na iyon na maaaring malutas nang maayos sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng factorization, atbp., na kilala sa paaralan, ay hindi makatuwiran upang malutas ang higit pa. sa mga kumplikadong paraan. Ang mga inilapat na problema sa matematika na mahalaga para sa pisika at kimika at nangangailangan ng mga kumplikadong pagpapatakbo ng computational kapag ang paglutas ng mga equation ay matagumpay na nalutas, halimbawa, gamit ang programming. Mahusay na lutasin ang mga ito gamit ang pamamaraan ni Newton.

Upang linawin ang mga ugat, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng parehong equation. Ang pananaliksik na ito ang naging batayan ng gawaing ito. Kasabay nito, madaling makita kung aling pamamaraan ang pinakamatagumpay kapag nilutas ang bawat yugto ng equation, at kung aling paraan ang mas mahusay na hindi gamitin sa yugtong ito.

Ang pinag-aralan na materyal, sa isang banda, ay nakakatulong upang mapalawak at mapalalim ang kaalaman sa matematika at magtanim ng interes sa matematika. Sa kabilang banda, mahalaga na malutas ang mga tunay na problema sa matematika para sa mga nagpaplanong makakuha ng mga propesyon sa teknikal at engineering. kaya lang gawaing ito bagay para sa karagdagang edukasyon(halimbawa, sa isang institusyong mas mataas na edukasyon).

Panitikan:

1. Mityakov S. N. Informatics. Kumplikado mga materyales na pang-edukasyon. - N. Novgorod: Nizhny Novgorod. estado tech. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Ang teorya ng mga sumasanga na solusyon ng mga nonlinear na equation. M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral ng mga teknikal na kolehiyo - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Mathematics: pagtuturo. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. encyclopedic Dictionary batang mathematician. - M.: Pedagogy, 1989.
6. Korn G., Korn T. Handbook ng matematika para sa mga siyentipiko at inhinyero. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mas mataas na matematika batay sa Mathcad. Pangkalahatang kurso. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Numerical na pamamaraan batay sa Mathcad. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Mga keyword: nonlinear equation, applied mathematics, CAD MathCAD, Newton's method, step method, dichotomy method..

Anotasyon: Ang artikulo ay nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation, kabilang ang paggamit ng MathCAD computer-aided design system. Ang pamamaraan ng hakbang, mga halves at mga pamamaraan ng Newton ay isinasaalang-alang, ang mga detalyadong algorithm para sa paglalapat ng mga pamamaraang ito ay ibinigay, at paghahambing na pagsusuri ang mga tinukoy na pamamaraan.

Ang pamamaraan ni Newton (kilala rin bilang ang tangent method) ay isang umuulit na numerical na paraan para sa paghahanap ng ugat (zero) ng isang ibinigay na function. Ang pamamaraan ay unang iminungkahi ng Ingles na physicist, mathematician at astronomer na si Isaac Newton (1643-1727), kung saan ang pangalan ay naging tanyag.

Ang pamamaraan ay inilarawan ni Isaac Newton sa manuskrito na De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Tungkol sa pagsusuri sa pamamagitan ng mga equation ng walang katapusan na serye), na tinutugunan noong 1669 kay Barrow, at sa gawaing De metodis fluxionum et serierum infinitarum (Latin: Ang paraan ng fluxions at infinite series) o Geometria analytica ( lat.Analytical geometry) sa mga nakolektang gawa ni Newton, na isinulat noong 1671. Gayunpaman, ang paglalarawan ng pamamaraan ay naiiba nang malaki mula sa kasalukuyang presentasyon: Inilapat ni Newton ang kanyang pamamaraan nang eksklusibo sa mga polynomial. Hindi niya kinakalkula ang sunud-sunod na pagtatantya ng x n, ngunit isang pagkakasunud-sunod ng mga polynomial at bilang resulta ay nakakuha ng tinatayang solusyon ng x.

Ang pamamaraan ay unang inilathala sa treatise na Algebra ni John Wallis noong 1685, kung saan ang kahilingan ay maikling inilarawan ni Newton mismo. Noong 1690, inilathala ni Joseph Raphson ang isang pinasimpleng paglalarawan sa kanyang akdang Analysis aequationum universalis (lat. Pangkalahatang pagsusuri mga equation). Itinuring ni Raphson ang pamamaraan ni Newton bilang purong algebraic at limitado ang paggamit nito sa mga polynomial, ngunit inilarawan niya ang pamamaraan sa mga tuntunin ng sunud-sunod na pagtatantya x n sa halip na ang mas mahirap na maunawaan ang pagkakasunud-sunod ng mga polynomial na ginamit ni Newton.

Sa wakas, noong 1740, ang pamamaraan ni Newton ay inilarawan ni Thomas Simpson bilang isang first-order iterative method para sa paglutas ng mga nonlinear equation gamit ang mga derivatives gaya ng nakabalangkas dito. Sa parehong publikasyon, ginawang pangkalahatan ni Simpson ang pamamaraan sa kaso ng isang sistema ng dalawang equation at binanggit na ang pamamaraan ni Newton ay maaari ding ilapat upang malutas ang mga problema sa pag-optimize sa pamamagitan ng paghahanap ng zero ng derivative o gradient.

Alinsunod sa pamamaraang ito, ang gawain ng paghahanap ng ugat ng isang function ay nabawasan sa gawain ng paghahanap ng punto ng intersection sa x-axis ng tangent na naka-plot sa graph ng function.

Fig.1 . graph ng pagbabago ng function

Ang isang tangent na linya na iginuhit sa anumang punto sa graph ng isang function ay tinutukoy ng derivative ng function na ito sa puntong isinasaalang-alang, na kung saan ay tinutukoy ng tangent ng anggulo α (). Ang punto ng intersection ng tangent na may abscissa axis ay tinutukoy batay sa sumusunod na relasyon sa kanang tatsulok: padaplis ng anggulosa isang kanang tatsulok ay tinutukoy ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ng tatsulok. Kaya, sa bawat hakbang, ang isang tangent sa graph ng function ay binuo sa punto ng susunod na pagtatantya. . Point ng intersection ng tangent sa axis baka ang susunod na approach point. Alinsunod sa pamamaraan na isinasaalang-alang, ang pagkalkula ng tinatayang halaga ng ugat sai-Isinasagawa ang mga pag-ulit ayon sa pormula:

Ang slope ng tuwid na linya ay nababagay sa bawat hakbang sa pinakamahusay na posibleng paraan, gayunpaman, dapat mong bigyang-pansin ang katotohanan na ang algorithm ay hindi isinasaalang-alang ang curvature ng graph at, samakatuwid, sa panahon ng proseso ng pagkalkula ay nananatiling hindi alam. kung saang direksyon maaaring lumihis ang graph.

Ang kondisyon para sa pagtatapos ng umuulit na proseso ay ang katuparan ng sumusunod na kondisyon:

saan ˗ pinahihintulutang pagkakamali sa pagtukoy ng ugat.

Ang pamamaraan ay may quadratic convergence. Ang quadratic rate ng convergence ay nangangahulugan na ang bilang ng mga tamang palatandaan sa approximation ay dumoble sa bawat pag-ulit.

Pagkatwiran sa matematika

Hayaang maibigay ang isang tunay na function, na tinukoy at tuloy-tuloy sa lugar na isinasaalang-alang. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang tunay na ugat ng function na pinag-uusapan.

Ang derivation ng equation ay batay sa pamamaraan mga simpleng pag-ulit, ayon sa kung saan ang equation ay nabawasan sa isang katumbas na equation para sa anumang function. Ipakilala natin ang konsepto ng isang contraction mapping, na tinutukoy ng kaugnayan .

Para sa pinakamahusay na convergence ng pamamaraan, ang kundisyon ay dapat masiyahan sa punto ng susunod na pagtatantya. Nangangahulugan ang pangangailangang ito na ang ugat ng function ay dapat tumutugma sa extremum ng function.

Derivative ng contraction mapay tinukoy bilang mga sumusunod:

Ipahayag natin ang variable mula sa expression na itonapapailalim sa naunang tinanggap na pahayag na kapag kinakailangan upang matiyak ang kondisyon . Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang expression para sa pagtukoy ng variable:

Isinasaalang-alang ito, ang compression function ay ang mga sumusunod:

Kaya, ang algorithm para sa paghahanap ng isang numerical na solusyon sa equation ay nabawasan sa isang umuulit na pamamaraan ng pagkalkula:

Algorithm para sa paghahanap ng ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan

1. Itakda ang panimulang punto ng tinatayang halaga ng ugat ng function, pati na rin ang error sa pagkalkula (maliit na positibong numero) at ang paunang hakbang sa pag-ulit ().

2. Kalkulahin ang tinatayang halaga ng ugat ng function alinsunod sa formula:

3. Sinusuri namin ang tinatayang halaga ng ugat para sa tinukoy na katumpakan, sa kaso ng:

Kung ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkasunod na pagtatantya ay nagiging mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan, pagkatapos ay ang umuulit na proseso ay magtatapos.

Kung ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkasunod na pagtatantya ay hindi umabot sa kinakailangang katumpakan, kinakailangan na ipagpatuloy ang proseso ng umuulit at pumunta sa hakbang 2 ng algorithm na isinasaalang-alang.

Halimbawa ng paglutas ng mga equation

sa pamamagitan ng pamamaraanNewton para sa isang equation na may isang variable

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang paglutas ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraanNewton para sa isang equation na may isang variable. Ang ugat ay dapat mahanap nang may katumpakan bilang unang pagtatantya.

Opsyon para sa paglutas ng isang nonlinear equation sa isang software packageMathCADipinakita sa Figure 3.

Ang mga resulta ng pagkalkula, lalo na ang dinamika ng mga pagbabago sa tinatayang halaga ng ugat, pati na rin ang mga pagkakamali sa pagkalkula depende sa hakbang ng pag-ulit, ay ipinakita sa graphical na anyo (tingnan ang Fig. 2).

Fig.2. Mga resulta ng pagkalkula gamit ang pamamaraan ni Newton para sa isang equation na may isang variable

Upang matiyak ang tinukoy na katumpakan kapag naghahanap ng tinatayang halaga ng ugat ng equation sa hanay, kinakailangang magsagawa ng 4 na pag-ulit. Sa huling hakbang ng pag-ulit, ang tinatayang halaga ng ugat ng nonlinear equation ay tutukuyin ng value: .

Fig.3 . Listahan ng programa saMathCad

Mga pagbabago sa pamamaraan ni Newton para sa isang equation na may isang variable

Mayroong ilang mga pagbabago ng pamamaraan ni Newton na naglalayong gawing simple ang proseso ng pagkalkula.

Pinasimpleng pamamaraan ni Newton

Alinsunod sa pamamaraan ni Newton, kinakailangang kalkulahin ang derivative ng function na f(x) sa bawat hakbang ng pag-ulit, na humahantong sa pagtaas ng mga gastos sa pagkalkula. Upang bawasan ang mga gastos na nauugnay sa pagkalkula ng derivative sa bawat hakbang sa pagkalkula, maaari mong palitan ang derivative f’(x n) sa point x n sa formula ng derivative f’(x 0) sa point x 0. Alinsunod sa pamamaraan ng pagkalkula na ito, ang tinatayang halaga ng ugat ay tinutukoy ng sumusunod na formula:Binagong pamamaraan ni Newton

Paraan ng pagkakaiba ni Newton

Bilang resulta, ang tinatayang halaga ng ugat ng function na f(x) ay matutukoy sa pamamagitan ng pagpapahayag ng paraan ng pagkakaiba ng Newton:

Dalawang-hakbang na pamamaraan ni Newton

Alinsunod sa pamamaraan ni Newton, kinakailangang kalkulahin ang derivative ng function na f(x) sa bawat hakbang ng pag-ulit, na hindi palaging maginhawa at kung minsan ay halos imposible. Ang pamamaraang ito pinapayagan ang derivative ng isang function na mapalitan ng difference ratio (tinatayang halaga):

Bilang resulta, ang tinatayang halaga ng ugat ng function na f(x) ay matutukoy ng sumusunod na expression:

saan

Fig.5 . Dalawang hakbang na pamamaraan ni Newton

Ang secant na paraan ay isang dalawang-hakbang na pamamaraan, iyon ay, isang bagong approximationtinutukoy ng dalawang naunang pag-ulit At . Dapat tukuyin ng pamamaraan ang dalawang paunang pagtatantya At . Ang convergence rate ng pamamaraan ay magiging linear.

• Bumalik
• Pasulong

Upang maidagdag ang iyong komento sa artikulo, mangyaring magparehistro sa site.

2. Pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation.

Ang pamamaraang ito ay may mas mabilis na convergence kaysa sa simpleng paraan ng pag-ulit. Ang pamamaraan ni Newton para sa sistema ng mga equation (1.1) ay batay sa paggamit ng pagpapalawak ng function

, Saan
(2.1)

sa seryeng Taylor, na may mga terminong naglalaman ng pangalawa o higit pa mataas na utos itinatapon ang mga derivatives. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa paglutas ng isa nonlinear na sistema(1.1) ay pinalitan ng solusyon ng isang bilang ng mga linear system.

Kaya, malulutas natin ang system (1.1) sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton. Sa rehiyon D, pumili ng anumang punto
at tawagin itong zero approximation sa eksaktong solusyon ng orihinal na sistema. Ngayon palawakin natin ang mga function (2.1) sa isang serye ng Taylor sa isang lugar ng point . Magkakaroon

kasi ang kaliwang bahagi ng (2.2) ay dapat maglaho ayon sa (1.1), pagkatapos ay ang kanang bahagi ng (2.2) ay dapat ding maglaho. Samakatuwid, mula sa (2.2) mayroon kami

Dapat kalkulahin ang lahat ng bahagyang derivatives sa (2.3) sa puntong .

(2.3) ay isang sistema ng linear algebraic equation kaugnay sa mga hindi alam Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pamamaraan ng Cramer kung ang pangunahing determinant nito ay nonzero at ang mga dami ay matatagpuan

Ngayon ay maaari nating pinuhin ang zero approximation sa pamamagitan ng pagbuo ng unang approximation gamit ang mga coordinate

mga.
. (2.6)

Alamin natin kung ang approximation (2.6) ay nakuha nang may sapat na antas ng katumpakan. Upang gawin ito, suriin natin ang kundisyon

,
(2.7)

saan isang paunang natukoy na maliit na positibong numero (ang katumpakan kung saan dapat lutasin ang system (1.1). Kung nasiyahan ang kundisyon (2.7), pipiliin namin ang (2.6) bilang tinatayang solusyon sa system (1.1) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon (2.7), pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod na pagkilos. Sa system (2.3), sa halip na
kunin natin ang updated values

, (2.8)

mga. gawin natin ang mga sumusunod na aksyon

. (2.9)

Pagkatapos nito, ang system (2.3) ay magiging isang sistema ng mga linear algebraic equation para sa mga dami Matapos matukoy ang mga dami na ito, ang susunod na pangalawang pagtataya
sa solusyon ng system (1.1) nakita namin gamit ang mga formula

Ngayon tingnan natin ang kondisyon (2.7)

Kung matugunan ang kundisyong ito, kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagkuha sa pangalawang pagtatantya bilang isang tinatayang solusyon sa system (1.1)
. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay magpapatuloy kami sa pagbuo ng susunod na pagtatantya, pagkuha sa (2.3)
Kinakailangang bumuo ng mga pagtatantya hanggang sa hindi nasiyahan ang kundisyon.

Ang mga gumaganang pormula ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng sistema (1.1) ay maaaring isulat sa anyo.

Compute sequence

Dito
ay ang solusyon sa sistema

Bumuo tayo ng algorithm ng pagkalkula gamit ang mga formula (2.11)-(2.13).

1. Pumili tayo ng zero approximation na kabilang sa rehiyon D.

2. Sa sistema ng linear algebraic equation (2.13) itinakda namin
,A .

3. Lutasin natin ang sistema (2.13) at hanapin ang mga dami
.

4. Sa mga formula (2.12) inilalagay namin
at kalkulahin ang mga bahagi ng susunod na pagtatantya.

5. Suriin natin ang kundisyon (2.7) para sa: (Tingnan ang algorithm para sa pagkalkula ng maximum ng ilang dami.)

6. Kung matugunan ang kundisyong ito, kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpili ng approximation bilang tinatayang solusyon sa system (1.1). Kung hindi matugunan ang kundisyong ito, magpatuloy sa hakbang 7.

7. Ilagay natin
para sa lahat .

8. Isagawa natin ang hakbang 3, paglalagay
.

Sa geometriko, ang algorithm na ito ay maaaring isulat bilang:

Algorithm. Pagkalkula ng maximum ng ilang dami.

Halimbawa. Isaalang-alang natin ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation.

Lutasin gamit ang pamamaraan ni Newton hanggang sa katumpakan ang sumusunod na sistema nonlinear equation

, (2.14)

Dito
. Piliin natin ang zero approximation
, na kabilang sa domain D. Bumuo tayo ng isang sistema ng mga linear algebraic equation (2.3). Magiging kamukha niya

(2.15)

Tukuyin natin

Ating lutasin ang system (2.15) na may paggalang sa mga hindi alam
, halimbawa ang paraan ng Cramer. Sinusulat namin ang mga formula ng Cramer sa form

(2.17)

kung saan ang pangunahing determinant ng system (2.15)

(2.18)

at ang auxiliary determinants ng system (2.15) ay may anyo

.

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga sa (2.16) at hanapin ang mga bahagi ng unang pagtatantya
sa solusyon ng system (2.15).

Suriin natin ang kondisyon

, (2.19)

kung matugunan ang kundisyong ito, pagkatapos ay kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagkuha sa unang pagtatantya bilang isang tinatayang solusyon sa system (2.15), ibig sabihin.
. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon (2.19), pagkatapos ay itinakda namin
,
at tayo ay magtatayo bagong sistema linear algebraic equation (2.15). Nang malutas ito, nakita namin ang pangalawang pagtatantya
. Suriin natin ito sa . Kung nasiyahan ang kundisyong ito, pipiliin namin bilang tinatayang solusyon sa system (2.15)
. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon sa, itinakda namin
,
at buuin ang sumusunod na sistema (2.15) upang mahanap
atbp.

Mga gawain

Ang lahat ng mga gawain ay nangangailangan ng:

Gumuhit ng isang programa para sa numerical na pagpapatupad ng pamamaraan ayon sa iminungkahing algorithm.

Kumuha ng mga resulta ng pagkalkula.

Suriin ang iyong mga resulta.

Ang isang sistema ng dalawang nonlinear equation ay ibinigay.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Kabanata 3. Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs).

Layunin ng trabaho. Panimula sa ilang tinatayang pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE at ang kanilang numerical na pagpapatupad sa isang PC.

Mga paunang pahayag. Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE ay karaniwang nahahati sa dalawa malalaking grupo. Kasama sa unang pangkat ang mga pamamaraan na karaniwang tinatawag na tumpak. Ang mga pamamaraan na ito ay nagpapahintulot sa amin na maghanap para sa anumang sistema eksaktong mga halaga hindi alam pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, na ang bawat isa ay eksaktong ginagawa.

Kasama sa pangalawang grupo ang lahat ng mga pamamaraan na hindi tumpak. Ang mga ito ay tinatawag na iterative, o numerical, o approximate. Ang eksaktong solusyon, kapag gumagamit ng mga naturang pamamaraan, ay nakuha bilang isang resulta ng isang walang katapusang proseso ng mga pagtatantya. Ang isang kaakit-akit na tampok ng naturang mga pamamaraan ay ang kanilang pagwawasto sa sarili at kadalian ng pagpapatupad sa isang PC.

Isaalang-alang natin ang ilang tinatayang pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE at bumuo ng mga algorithm para sa kanilang numerical na pagpapatupad. Makakakuha kami ng tinatayang solusyon ng SLAE na may katumpakan na , kung saan mayroong napakaliit na positibong numero.

1. Paraan ng pag-ulit.

Hayaang ibigay ang SLAE sa form

(1.1)

Ang sistemang ito ay maaaring isulat sa matrix form

, (1.2)

saan
- matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa system (1.1),
- hanay ng mga libreng miyembro,
- hanay ng mga hindi alam ng system (1.1).

. (1.3)

Lutasin natin ang system (1.1) gamit ang paraan ng pag-ulit. Upang gawin ito, gagawin namin ang mga sumusunod na hakbang.

Una. Piliin natin ang zero approximation

(1.4)

sa eksaktong solusyon (1.3) ng system (1.1). Ang mga bahagi ng zero approximation ay maaaring maging anumang numero. Ngunit mas maginhawang kumuha ng alinman sa mga zero para sa mga bahagi ng zero approximation
, o mga libreng tuntunin ng system (1.1)

Pangalawa. Pinapalitan namin ang mga bahagi ng zero approximation sa kanang bahagi system (1.1) at kalkulahin

(1.5)

Ang mga dami sa kaliwa sa (1.5) ay mga bahagi ng unang pagtatantya
Ang mga aksyon na nagresulta sa unang pagtatantya ay tinatawag na pag-ulit.

Pangatlo. Suriin natin ang zero at unang pagtatantya para sa

(1.6)

Kung ang lahat ng kundisyon (1.6) ay natutugunan, kung gayon para sa tinatayang solusyon ng system (1.1) pipiliin namin ang alinman , o hindi mahalaga, dahil nagkakaiba sila sa isa't isa nang hindi hihigit sa at tapusin natin ang mga kalkulasyon. Kung hindi matugunan ang kahit isa sa mga kundisyon (1.6), pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa susunod na aksyon.

Pang-apat. Gawin natin ang susunod na pag-ulit, i.e. sa kanang bahagi ng system (1.1) pinapalitan namin ang mga bahagi ng unang pagtatantya at kinakalkula ang mga bahagi ng pangalawang pagtatantya
, Saan

Panglima. Suriin natin
at sa , i.e. Suriin natin ang kundisyon (1.6) para sa mga pagtatantya na ito. Kung natutugunan ang lahat ng kundisyon (1.6), para sa tinatayang solusyon ng system (1.1) pipiliin natin ang alinman , o hindi mahalaga, dahil nagkakaiba sila sa isa't isa nang hindi hihigit sa . Kung hindi, bubuo kami ng susunod na pag-ulit sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga bahagi ng pangalawang pagtataya sa kanang bahagi ng system (1.1).

Kailangang buuin ang mga pag-ulit hanggang sa dalawang magkatabing pagtatantya
at mag-iiba sa isa't isa nang hindi hihigit sa .

Ang gumaganang pormula ng pamamaraan ng pag-ulit para sa paglutas ng sistema (1.1) ay maaaring isulat bilang

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng formula (1.7) ay maaaring ang mga sumusunod.

Ang mga sapat na kondisyon para sa convergence ng paraan ng pag-ulit para sa system (1.1) ay may anyo

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Simpleng paraan ng pag-ulit.

Hayaang ibigay ang sistema ng linear algebraic equation (SLAE) sa anyo

(2.1)

Upang malutas ang system (2.1) gamit ang simpleng paraan ng pag-ulit, kailangan muna itong bawasan sa anyo

(2.2)

Sa system (2.2) Ang -th equation ay ang -th equation ng system (2.1), na naresolba na may kinalaman sa -th na hindi alam (
).

Ang pamamaraan para sa paglutas ng sistema (2.1), na binubuo ng pagbabawas nito sa sistema (2.2) na sinusundan ng paglutas ng sistema (2.2) gamit ang paraan ng pag-ulit, ay tinatawag na simpleng paraan ng pag-ulit para sa sistema (2.1).

Kaya, ang mga gumaganang formula ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa paglutas ng system (2.1) ay magkakaroon ng form

(2.3)

Ang mga pormula (2.3) ay maaaring isulat sa anyo

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1) ayon sa mga formula (2.4) ay maaaring ang mga sumusunod.

Ang algorithm na ito ay maaaring isulat sa geometriko.

Ang mga sapat na kondisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1) ay may anyo

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Nakatigil na paraan ng Seidel.

Ang paraan ng Seidel para sa paglutas ng mga SLAE ay naiiba sa paraan ng pag-ulit sa pagkakaroon ng nahanap na ilang approximation para sa -th na bahagi, agad naming ginagamit ito upang mahanap ang susunod
,
, …, -ika bahagi. Ang diskarte na ito ay nagbibigay-daan para sa higit pa mataas na bilis convergence ng Seidel method kumpara sa iteration method.

Hayaang ibigay ang SLAE sa form

(3.1)

Hayaan
- zero approximation sa eksaktong solusyon
mga sistema (3.1). At hayaan itong matagpuan ika-approximation
. Tukuyin natin ang mga bahagi
ika-approximation gamit ang mga formula

(3.2)

Ang mga formula (3.2) ay maaaring isulat sa compact form

,
,
(3.3)

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng Seidel method para sa paglutas ng system (3.1) gamit ang mga formula (3.3) ay maaaring ang mga sumusunod.

1. Pumili tayo, halimbawa,
,

2. Ilagay natin ang .

3. Magkalkula tayo para sa lahat.

4. Susuriin namin ang mga kondisyon para sa lahat
.

5. Kung natutugunan ang lahat ng kundisyon sa talata 4, pipiliin namin ang alinman o bilang isang tinatayang solusyon sa system (3.1) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon. Kung hindi matugunan ang kahit isang kundisyon sa hakbang 4, magpatuloy sa hakbang 6.

6. Ibaba natin ito at magpatuloy sa hakbang 3.

Ang algorithm na ito ay maaaring isulat sa geometriko.

Ang sapat na kondisyon para sa convergence ng Seidel method para sa system (3.1) ay may anyo
, .

4. Non-stationary na paraan ng Seidel.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng SLAE (3.1) ay nagbibigay ng mas mataas na bilis ng convergence ng Seidel method.

Hayaan natin kahit papaano hanapin ang mga bahagi ng ika-approximation at ang ika-approximation para sa system (3.1).

Kalkulahin natin ang vector ng pagwawasto

Kalkulahin natin ang mga halaga

, (4.2)

Ayusin natin ang mga dami
, sa pababang pagkakasunud-sunod.

Sa parehong pagkakasunud-sunod, muling isinulat namin ang mga equation sa system (3.1) at ang mga hindi alam sa system na ito: Linearalgebra At nonlinear ... PamamahalaPara sa laboratoryo gumaganaSa pamamagitan ng ... metodolohikal mga tagubilin Para sapraktikalgumaganaSa pamamagitan ng Para samga mag-aaral ...

Pang-edukasyon na panitikan (natural na agham at teknikal) 2000-2011 OP cycle – 10 taon CD cycle – 5 taon

Panitikan

... NaturalMga agham sa pangkalahatan 1. Astronomy [Text]: manwal Para sa ... Numericalparaan: Linearalgebra At nonlinear ... PamamahalaPara sa laboratoryo gumaganaSa pamamagitan ng ... metodolohikal mga tagubilin Para sapraktikalgumaganaSa pamamagitan ng disiplina "Transport Economics" Para samga mag-aaral ...

- natural na agham (1)

Pagtuturo

... pamamahalaPara samga mag-aaral at mga guro, nilayon Para sa gamitin hindi lamang para sa pag-aaral paraantrabaho... produksyon praktikal kasanayan gamit ang totoong data. Metodo mga rekomendasyon Sa pamamagitan ng katuparan ng pagsubok trabahoSa pamamagitan ng ito...

- natural na agham - pisikal at matematikal na agham - kemikal na agham - agham sa lupa (geodetic geophysical geological at geographical sciences)

Dokumento

... Para samga mag-aaralnatural- ... gumaganaSa pamamagitan ng disiplina "Genetics at pagpili", na nakatuon sa kasalukuyang mga problema ito Mga agham. Systematized na independyente Trabahomga mag-aaralSa pamamagitan ng teoretikal at praktikal ... linear, nonlinear, dynamic. Lahat paraan ...

- natural na agham - pisikal at matematikal na agham - kemikal na agham - earth sciences (geodetic geophysical geological at geographical sciences) (7)

Listahan ng mga aklat-aralin

Determinant ni Eremin linear At nonlinearalgebra : linear At nonlinear programming: bago paraan/ Eremin, Mikhail... Para samga mag-aaral at mga guro ng geological specialty sa mga unibersidad. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktikalpamamahalaSa pamamagitan ng ...

Paglutas ng mga nonlinear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton

Upang malutas ang mga problema sa kuryente, mayroong ilang mga pagbabago sa pamamaraan. Ginagawa nilang posible na mapataas ang bilis ng convergence ng umuulit na proseso at bawasan ang oras ng pagkalkula.

Mga pangunahing kaalaman dignidad paraan - ito ay may mabilis na convergence.

Ideya ng pamamaraan ay binubuo ng sunud-sunod na kapalit sa bawat pag-ulit ng pagkalkula ng orihinal na nonlinear system ng mga equation na may ilang auxiliary linear system ng mga equation, ang solusyon kung saan ay nagbibigay-daan sa amin upang makuha ang susunod na approximation ng mga hindi alam, mas malapit sa nais na solusyon ( linearization).

Isaalang-alang ang nonlinear equation sa pangkalahatang pananaw:

Ang kinakailangang solusyon sa equation ay ang punto kung saan ang kurba ay nagsalubong sa x-axis.

Itinakda namin ang paunang pagtatantya ng hindi alam x (0). Tukuyin ang halaga ng function sa puntong ito w(x(0)) at gumuhit ng tangent sa curve sa punto B. Ang punto ng intersection ng tangent na ito sa x-axis ay tumutukoy sa susunod na pagtatantya ng hindi alam x (1) atbp.

Palawakin natin ang equation (1) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto x (0). Isaalang-alang natin ang mga termino ng pagpapalawak na naglalaman lamang ng 1st derivative:

(2)

x – x (0) = Δx- susog sa hindi alam. Kung tutukuyin natin ito, matutukoy natin ang susunod na pagtatantya.

Mula sa (2) tinutukoy namin ang pag-amyenda (3)

Pagkatapos ay ang sumusunod na pagtatantya: (5)

Katulad na nakukuha natin Upang-e mga pagtatantya:

Ito paulit-ulit na pormula ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation. Pinapayagan ka nitong matukoy ang mga susunod na pagtatantya ng mga hindi alam.

Ang formula (6) ay maaaring makuha sa ibang paraan mula sa figure:

Ang umuulit na proseso ay nagtatagpo kung ito ay bumababa at lumalapit 0 . Ang resulta ay makakamit kung .

Komentaryo sa geometric na interpretasyon

Ang umuulit na hakbang ng pamamaraan ay binabawasan upang palitan ang kurba ng isang tuwid na linya, na inilalarawan ng kaliwang bahagi ng equation (2). Ito ay padaplis sa kurba sa punto. Ang prosesong ito ay tinatawag na linearization. Intersection point ng tangent sa curve na may axis X nagbibigay ng isa pang approximation ng hindi alam. Samakatuwid ang pamamaraang ito ay tinatawag padaplis na paraan.

Halimbawa:

Halimbawa:

Upang matukoy sa pamamaraang ito ang lahat ng mga ugat ng isang nonlinear equation, kinakailangan upang matukoy sa anumang paraan tinatayang lokasyon ng mga ugat na ito at magtakda ng mga paunang pagtatantya malapit sa kanila.

Isang simpleng paraan upang matukoy ang lugar kung saan matatagpuan ang mga ugat tabulasyon.

Ang proseso ng pag-ulit ni Newton hindi nagtatagpo, kung ang mga unang pagtatantya ay pinili upang:

Ang proseso ay alinman sa hindi nagtatagpo o nagtatagpo nang napakahina.

Paraan ng Newton-Raphson para sa paglutas ng SNAU

Ipinakita ni Raphson na iminungkahi ng paulit-ulit na pamamaraan ni Newton para sa paglutas isa nonlinear mga equation, maaaring magamit upang malutas mga sistema nonlinear equation.

Kasabay nito, upang malutas ang mga sistema ng mga nonlinear na equation, kinakailangan na isaalang-alang ang isang set (vector) sa halip na isang hindi alam. hindi kilala:

sa halip na isang natitirang equation, isinasaalang-alang namin vector ng mga nalalabi equation ng system:

Isang derivative sa (6) ang pinapalitan matrix ng mga derivatives. Ang operasyon ng paghahati sa (6) ay pinapalitan ng multiplikasyon ng reverse matrix ng mga derivatives. Sa kasong ito, ang Newton-Raphson method ay naiiba sa Newton method sa paglipat mula sa one-dimensional na problema patungo sa multidimensional.

Isaalang-alang natin ang sistema ng tunay na nonlinear algebraic equation:

(7)

Maaari itong isulat sa matrix form:

saan X= x 2 – vector – column ng mga hindi alam;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – function ng vector.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Hayaan - paunang pagtatantya ng mga hindi alam. Palawakin natin ang bawat equation ng system (7) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X (0), ibig sabihin, magsasagawa kami ng tinatayang pagpapalit ng orihinal na nonlinear na mga equation na may mga linear na kung saan ang 1st derivative lamang ang napanatili (linearization). Bilang resulta, ang sistema ng mga equation (7) ay nasa anyo:

(9)

Bilang resulta nakuha namin sistema ng mga linear na equation(linearized system), kung saan ang mga hindi alam ay ang mga pagwawasto . Ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa sistemang ito ay ang mga unang derivatives ng mga equation w j ng orihinal na nonlinear system para sa lahat ng hindi alam Xi.. Bumubuo sila ng isang matrix ng mga coefficient - Jacobi matrix:

=

Ang bawat row ng matrix ay binubuo ng mga unang derivatives ng susunod na equation ng nonlinear system na may paggalang sa lahat ng hindi alam.

Isulat natin ang linearized system (9) sa matrix form:

(10)

Narito ang vector ng mga nalalabi ng mga equation ng orihinal na sistema. Ang mga elemento nito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam sa mga equation ng nonlinear system;

- Jacobian matrix. Ang mga elemento nito ay ang unang partial derivatives ng lahat ng equation ng orihinal na sistema na may paggalang sa lahat ng hindi alam;

- vector ng pagwawasto sa mga ninanais na hindi alam. Sa bawat pag-ulit maaari itong isulat:

Ang System (10), na isinasaalang-alang ang tinanggap na notasyon, ay maaaring isulat:

(12)

Ang sistemang ito linear tungkol sa mga susog ΔХ (k).

Ang System (13) ay isang linearized na sistema ng mga equation na pumapalit sa orihinal na SNAU sa bawat hakbang ng umuulit na proseso.

Ang system (13) ay nalutas sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan, bilang isang resulta, nakita namin ang vector ng pagwawasto. Pagkatapos mula sa (11) mahahanap natin susunod na paglapit hindi alam:

yun. bawat umuulit na hakbang Ang proseso ay binubuo sa paglutas ng linear system (13) at pagtukoy sa susunod na approximation mula sa (14).

Mula sa (11) at (12) maaari nating makuha ang pangkalahatan formula ng pag-ulit(sa anyong matrix), na naaayon sa pamamaraang Newton–Raphson:

(15)

Ito ay may istraktura na naaayon sa formula (6).

Ang formula (15) ay ginagamit sa mga praktikal na kalkulasyon bihira, dahil dito kinakailangan na baligtarin ang Jacobian matrix (ng malaking sukat) sa bawat pag-ulit ng mga kalkulasyon. Sa totoong mga kalkulasyon, ang mga pagwawasto ay tinutukoy bilang isang resulta ng paglutas ng linear system (13).

Kontrol sa pagkumpleto Ginagawa namin ang umuulit na proseso gamit ang vector ng mga nalalabi:

Ang kundisyong ito ay dapat masiyahan para sa mga nalalabi lahat mga equation ng system.

Algorithm para sa paglutas ng SNAU gamit ang Newton-Raphson method

1. Tinutukoy ang vector ng mga unang pagtatantya ng mga hindi alam.

Pagtatakda ng katumpakan ng pagkalkula є , iba pang mga parameter ng pagkalkula

2. Pagpapasiya ng mga nalalabi ng mga nonlinear na equation sa approximation point;

2.3. Pagpapasiya ng mga elemento ng Jacobian matrix sa punto ng susunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

2.4. Solusyon ng linearized system (13) sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan. Pagpapasiya ng mga pagbabago sa mga hindi alam.

2.5. Pagpapasiya ng susunod na pagtatantya ng mga hindi alam alinsunod sa (14).

2.6. Pagsubaybay sa pagkumpleto ng proseso ng pag-ulit alinsunod sa (16). Kung hindi natugunan ang kundisyon, bumalik sa hakbang 2.

Halimbawa:

Lutasin ang SLAE gamit ang Newton-Raphson method:

(solusyon X 1 = X 2 =2)

Isulat natin ang mga equation sa anyo ng mga nalalabi:

Tinukoy namin ang mga elemento ng Jacobian matrix:

Jacobian matrix:

Ipatupad natin ang Newton-Raphson method algorithm:

1) Unang pag-ulit:

Mga paunang pagtatantya

Mga nalalabi

Jacobian matrix:

Linearized na sistema ng mga equation:

1st approximation ng mga hindi alam:

2) Pangalawang pag-ulit

3) Ikatlong pag-ulit:

… ……… …… …… …… ……..

Paglutas ng mga sistema ng steady-state equation gamit ang Newton-Raphson method

Ang nonlinear equation ng steady state sa anyo ng power balance para sa th node ay may anyo:

(17)

Ito ay isang equation na may mga kumplikadong hindi alam at coefficient. Para sa mga naturang equation ng form (17) ito ay posible na magpasya gamit ang pamamaraang Newton-Raphson, binago ang mga ito: pinaghihiwalay ang tunay at haka-haka na mga bahagi. Bilang resulta nito, bawat kumplikadong equation ang form (17) ay nahahati sa dalawang tunay na equation na tumutugma sa balanse ng aktibo at reaktibong kapangyarihan sa node:

Narito ang mga tinukoy na kapangyarihan sa node;

Hindi kilalang mga bahagi ng boltahe sa mga node. Kailangan sila

tinutukoy bilang isang resulta ng pagkalkula.

Sa kanang bahagi ng mga equation (18) ay ang kinakalkula na kabuuang kapangyarihan ng mga daloy sa mga sanga na papalapit sa th node.

Isulat natin ang mga equation na ito (18) sa anyo mga nalalabi:

Ang mga nalalabi ng mga equation (19) ay tumutugma sa kinakalkula kawalan ng timbang aktibo at reaktibong kapangyarihan sa ika-node.

Inilalarawan ng mga nalalabi ang knot mode і at mga nonlinear na function ng hindi kilalang mga boltahe sa mga node. Ito ay kinakailangan na -> 0.

Lutasin natin ang system sa pamamagitan ng Newton-Raphson method 2n mga equation ng form (19), iyon ay, upang malutas ang problema ng pagkalkula ng matatag na estado ng isang de-koryenteng network gamit ang pamamaraang Newton-Raphson, kailangan mo:

1) bumuo ng isang sistema 2n mga equation ng form (19) para sa lahat ng node ng electrical network, maliban sa pagbabalanse ng mga;

2) ayusin ang umuulit na proseso ng pamamaraang Newton-Raphson

upang malutas ang sistemang ito ng mga equation. Bilang resulta ng desisyon

nakukuha namin ang mga kinakailangang bahagi ng stress sa mga node.

Isulat natin ang sistemang ito ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

(20)

Nakakuha kami ng isang sistema ng 2 nonlinear mga natitirang equation na may 2 hindi alam, na. Ang hindi kilalang mga bahagi sa loob nito ay ang mga bahagi ng boltahe - mga module at anggulo.

Upang malutas ang system (20) gamit ang Newton-Raphson method, kailangan mong isulat pantulong linearized na sistema ng mga equation ng form (13), paglutas kung saan sa bawat pag-ulit, tinutukoy namin ang mga pagwawasto sa mga hindi alam:

(21)

Isinasaalang-alang ang tinanggap na notasyon, ang system (21) ay maaaring isulat:

(22)

nasaan ang Jacobi matrix, ang mga elemento nito ay partial derivatives ng mga equation ng system (20) na may paggalang sa lahat ng hindi alam - mga bahagi ng stress

Vector ng mga residual ng mga equation ng system (20). Ang kanilang mga halaga ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam sa mga equation;

Vector ng mga pagwawasto sa mga hindi alam:

; ΔӨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Upang matukoy ang mga elemento ng Jacobian matrix na ginagamit namin analytic differentiation, ibig sabihin. Pinag-iiba namin ang bawat equation ng system (20) ayon sa mga kinakailangang dami – anggulo at stress module. Upang mabuo ang Jacobian matrix, kailangan mong kumuha ng analytical expression para sa mga derivatives ng mga sumusunod uri ng hayop:

1) Derivative ng natitirang equation para sa aktibong kapangyarihan ng th node na may paggalang sa anggulo ng boltahe ng parehong node: ;

2) Derivative ng natitirang equation para sa aktibong kapangyarihan ng th node na may paggalang sa anggulo ng boltahe ng katabing j- ika node: ;

3) Derivative ng natitirang bahagi ng aktibong kapangyarihan ng th node modulo ang boltahe ng parehong node: ;

4) Derivative ng natitirang bahagi ng aktibong kapangyarihan ng th node modulo ang boltahe ng katabing node: ;

Apat pang uri ng derivatives ang tinutukoy na katulad - derivatives mula sa mga equation ng natitirang reactive power ng th node para sa lahat ng hindi alam:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Isinasaalang-alang ang mga derivatives na ito, ang Jacobi matrix ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo:

(23)

Tukuyin natin analytical expression para sa mga derivatives, pinag-iiba ang mga equation ng system (20) na may paggalang sa hindi kilalang mga dami. Magkamukha sila:

(24)

Jacobian matrix V pangkalahatang kaso- isang parisukat na matrix, simetriko, na may sukat , ang mga elemento nito ay mga partial derivatives ng mga residual ng mga equation (power imbalance) na may paggalang sa lahat ng hindi alam.

Kung ang mga node ay hindi magkakaugnay, kung gayon ang kaukulang mga derivative ng matrix, ang Jacobian matrix, na matatagpuan sa labas ng dayagonal, ay magiging katumbas ng zero (katulad ng conductivity matrix) - dahil sa kaukulang mga formula (24) mutual conductivity y ij ay isang salik ng at. y ij =0.

Ang bawat hilera ng matrix ay derivatives ng susunod na equation ng system (20).

Ang pagkakaroon ng mga espesyal na node sa na-modelong network diagram (suporta at pagbabalanse ng mga node, FM node) ay nakakaapekto istraktura sistema ng mga equation ng steady state at sa istraktura ng Jacobian matrix:

1. Para sa mga node na may pag-aayos ng modyul mga boltahe (FM), kung saan ang ibinigay at hindi alam ay at , mula sa Jacobian matrix hindi kasama linya ng mga derivatives (mula noong Q i ay hindi tinukoy, kung gayon ang equation ng balanse ng reaktibong kapangyarihan (18), (19) ay hindi maaaring iguhit) at ang column ng mga derivatives (dahil ang module ng boltahe U i ay kilala at ito ay hindi kasama sa listahan ng mga hindi alam).

2. Para sa suporta at pagbabalanse ng mga node, ang mga kaukulang row at column ng matrix ay hindi kasama;

3. Kung ang mga node ay hindi direktang konektado, ang mga kaukulang derivatives sa matrix ay katumbas ng zero.

Ang Jacobian matrix ay maaaring nahahati sa apat harangan:

1) - derivatives ng imbalance equation aktibo kapangyarihan (20) sa pamamagitan ng mga sulok stress;

2) - derivatives ng imbalance equation aktibo kapangyarihan sa pamamagitan ng mga module stress;

3) - derivatives ng imbalance equation reaktibo kapangyarihan (20) sa pamamagitan ng mga sulok stress;

4) - derivatives ng imbalance equation reaktibo kapangyarihan sa pamamagitan ng mga module stress.

Ito ay mga matrix-cell ng mga partial derivatives ng mga imbalances ng aktibo at reaktibong kapangyarihan sa hindi kilalang mga anggulo at mga module ng boltahe. Sa pangkalahatan, ito ay mga square matrice ng dimensyon n×n.

Isinasaalang-alang ito, ang Jacobian matrix ay maaaring katawanin bilang harangan matrice:

saan subvector ng hindi kilalang dami.

Isinasaalang-alang ito, Pagkatapos ang linearized na sistema ng mga equation (22) ay maaaring isulat sa anyo:

. (25)

Paglutas nito linear na sistema mga equation (sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan) sa

Para sa bawat pag-ulit ng pamamaraan, nakakahanap kami ng mga pagwawasto sa mga hindi alam, at pagkatapos

regular papalapit hindi alam:

(26)

Ang susunod na pagtatantya ng mga hindi alam ay maaari ding makuha gamit ang formula ng pag-ulit Paraang Newton-Raphson, katulad ng (15):

- · (27)

Nangangailangan ito ng pagbaligtad sa Jacobian matrix sa bawat pag-ulit - isang masalimuot na operasyon sa pagtutuos.

Algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng steady-state equation sa pamamagitan ng Newton-Raphson method

1. Pagtatakda ng mga paunang halaga ng hindi kilalang mga boltahe. Bilang mga paunang pagtatantya tinatanggap namin ang: , i.e. na-rate na mga boltahe ng mga node;

2. Pagtatakda ng mga kundisyon sa pagkalkula: katumpakan ε , maximum na bilang ng mga pag-ulit, mga coefficient ng accelerating, atbp.

3. Pagpapasiya ng mga nalalabi ng mga equation alinsunod sa mga equation (20) na may sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

4. Pagpapasiya ng mga elemento ng Jacobi matrix alinsunod sa (24) na may sunud-sunod na pagtatantya ng mga hindi alam;

5. Paglutas ng linearized na sistema ng mga equation (25) at pagtukoy ng mga pagwawasto sa mga hindi alam;

6. Pagpapasiya ng mga susunod na pagtatantya ng mga hindi alam alinsunod sa (26);

7. Sinusuri ang pagkumpleto ng proseso ng pag-ulit:

Ang mga natitirang halaga ng mga equation para sa lahat ng mga node ay dapat na mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan.

Kung ang kundisyon ay hindi natugunan, pagkatapos ay bumalik sa punto 3 at ulitin ang pagkalkula gamit ang mga bagong pagtatantya ng mga hindi alam.

May numero mga pagbabago sa pamamaraang Newton-Raphson. Kasama ang:

1. Binagong paraan ng Newton-Raphson.

Ang Jacobian matrix ay kinakalkula nang isang beses para sa mga paunang halaga ng mga hindi alam. Sa mga kasunod na pag-ulit ito ay tinatanggap pare-pareho. Ito ay makabuluhang binabawasan ang dami ng pag-compute sa bawat pag-ulit, ngunit pinapataas ang bilang ng mga pag-ulit.

2. Divided Newton-Raphson method.

Ang mga derivatives ng form ay napakaliit at ang kanilang mga halaga ay maaaring balewalain. Bilang resulta, dalawang bloke ang nananatili sa Jacobian matrix - ang ika-1 at ika-4, at ang sistema (25), na binubuo ng mga equation nagkakawatak-watak sa dalawang malayang sistema ng dimensyon. Ang bawat isa sa mga sistemang ito ay nalutas nang hiwalay mula sa isa pa. Ito ay humahantong sa isang pagbawas sa dami ng mga kalkulasyon at ang kinakailangang memorya ng computer.