Paraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear equation c. Paglutas ng mga sistema ng nonlinear steady-state equation gamit ang Newton-Raphson method

Ang pamamaraan ni Newton (kilala rin bilang ang tangent method) ay isang umuulit na numerical na paraan para sa paghahanap ng ugat (zero) ng isang ibinigay na function. Ang pamamaraan ay unang iminungkahi ng Ingles na physicist, mathematician at astronomer na si Isaac Newton (1643-1727), kung saan ang pangalan ay naging tanyag.

Ang pamamaraan ay inilarawan ni Isaac Newton sa manuskrito na De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Tungkol sa pagsusuri sa pamamagitan ng mga equation ng walang katapusang serye), na tinutugunan noong 1669 kay Barrow, at sa gawaing De metodis fluxionum et serierum infinitarum (Latin: Ang paraan ng fluxions at infinite series) o Geometria analytica ( lat.Analytical geometry) sa mga nakolektang gawa ni Newton, na isinulat noong 1671. Gayunpaman, ang paglalarawan ng pamamaraan ay naiiba nang malaki mula sa kasalukuyang presentasyon: Inilapat ni Newton ang kanyang pamamaraan nang eksklusibo sa mga polynomial. Hindi niya kinakalkula ang sunud-sunod na pagtatantya ng x n, ngunit isang pagkakasunud-sunod ng mga polynomial at bilang resulta ay nakakuha ng tinatayang solusyon ng x.

Ang pamamaraan ay unang inilathala sa treatise na Algebra ni John Wallis noong 1685, kung saan ang kahilingan ay inilarawan ito ni Newton mismo. Noong 1690, inilathala ni Joseph Raphson ang isang pinasimpleng paglalarawan sa kanyang akdang Analysis aequationum universalis (lat. Pangkalahatang pagsusuri mga equation). Itinuring ni Raphson ang pamamaraan ni Newton bilang purong algebraic at limitado ang paggamit nito sa mga polynomial, ngunit inilarawan niya ang pamamaraan sa mga tuntunin ng sunud-sunod na pagtatantya x n sa halip na ang mas mahirap na maunawaan ang pagkakasunud-sunod ng mga polynomial na ginamit ni Newton.

Sa wakas, noong 1740, ang pamamaraan ni Newton ay inilarawan ni Thomas Simpson bilang isang first-order iterative method para sa paglutas nonlinear equation gamit ang derivative gaya ng ipinakita dito. Sa parehong publikasyon, ginawang pangkalahatan ni Simpson ang pamamaraan sa kaso ng isang sistema ng dalawang equation at binanggit na ang pamamaraan ni Newton ay maaari ding ilapat upang malutas ang mga problema sa pag-optimize sa pamamagitan ng paghahanap ng zero ng derivative o gradient.

Alinsunod sa pamamaraang ito, ang gawain ng paghahanap ng ugat ng isang function ay nabawasan sa gawain ng paghahanap ng punto ng intersection sa x-axis ng tangent na naka-plot sa graph ng function.

Fig.1 . graph ng pagbabago ng function

Ang isang tangent na linya na iginuhit sa anumang punto sa graph ng isang function ay tinutukoy ng derivative ng function na ito sa puntong isinasaalang-alang, na kung saan ay tinutukoy ng tangent ng angle α (). Ang punto ng intersection ng tangent na may abscissa axis ay tinutukoy batay sa sumusunod na relasyon sa kanang tatsulok: padaplis ng anggulosa isang kanang tatsulok ay tinutukoy ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi ng tatsulok. Kaya, sa bawat hakbang, ang isang tangent sa graph ng function ay binuo sa punto ng susunod na pagtatantya. . Point ng intersection ng tangent sa axis baka ay ang susunod na punto ng diskarte. Alinsunod sa pamamaraan na isinasaalang-alang, ang pagkalkula ng tinatayang halaga ng ugat sai-Isinasagawa ang mga pag-ulit ayon sa pormula:

Ang slope ng tuwid na linya ay nababagay sa bawat hakbang sa pinakamahusay na posibleng paraan, gayunpaman, dapat mong bigyang-pansin ang katotohanan na ang algorithm ay hindi isinasaalang-alang ang curvature ng graph at, samakatuwid, sa panahon ng proseso ng pagkalkula ay nananatiling hindi alam. saang direksyon maaaring lumihis ang graph.

Ang kondisyon para sa pagtatapos ng umuulit na proseso ay ang katuparan ng sumusunod na kondisyon:

saan ˗ pinahihintulutang pagkakamali sa pagtukoy ng ugat.

Ang pamamaraan ay may quadratic convergence. Ang quadratic rate ng convergence ay nangangahulugan na ang bilang ng mga tamang palatandaan sa approximation ay dumoble sa bawat pag-ulit.

Pagkatwiran sa matematika

Hayaang maibigay ang isang tunay na function, na tinukoy at tuloy-tuloy sa lugar na isinasaalang-alang. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang tunay na ugat ng function na pinag-uusapan.

Ang derivation ng equation ay batay sa pamamaraan mga simpleng pag-ulit, ayon sa kung saan ang equation ay nabawasan sa isang katumbas na equation para sa anumang function. Ipakilala natin ang konsepto ng isang contraction mapping, na tinutukoy ng kaugnayan .

Para sa pinakamahusay na convergence ng pamamaraan, ang kundisyon ay dapat masiyahan sa punto ng susunod na pagtatantya. Nangangahulugan ang pangangailangang ito na ang ugat ng function ay dapat tumutugma sa extremum ng function.

Derivative ng contraction mapay tinukoy bilang mga sumusunod:

Ipahayag natin ang variable mula sa expression na itonapapailalim sa naunang tinanggap na pahayag na kapag kinakailangan upang matiyak ang kondisyon . Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang expression para sa pagtukoy ng variable:

Isinasaalang-alang ito, ang compression function ay ang mga sumusunod:

Kaya, ang algorithm para sa paghahanap ng isang numerical na solusyon sa equation ay nabawasan sa isang umuulit na pamamaraan ng pagkalkula:

Algorithm para sa paghahanap ng ugat ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraan

1. Itakda ang panimulang punto ng tinatayang halaga ng ugat ng function, pati na rin ang error sa pagkalkula (maliit na positibong numero) at ang unang hakbang sa pag-ulit ().

2. Kalkulahin ang tinatayang halaga ng ugat ng function alinsunod sa formula:

3. Sinusuri namin ang tinatayang halaga ng ugat para sa tinukoy na katumpakan, sa kaso ng:

Kung ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkasunod na pagtatantya ay nagiging mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan, pagkatapos ay ang umuulit na proseso ay magtatapos.

Kung ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkasunod na pagtatantya ay hindi umabot sa kinakailangang katumpakan, kinakailangan na ipagpatuloy ang proseso ng umuulit at pumunta sa hakbang 2 ng algorithm na isinasaalang-alang.

Halimbawa ng paglutas ng mga equation

sa pamamagitan ng pamamaraanNewton para sa isang equation na may isang variable

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang paglutas ng isang nonlinear equation gamit ang pamamaraanNewton para sa isang equation na may isang variable. Ang ugat ay dapat mahanap nang may katumpakan bilang unang pagtatantya.

Opsyon para sa paglutas ng isang nonlinear equation sa isang software packageMathCADipinakita sa Figure 3.

Ang mga resulta ng pagkalkula, lalo na ang dinamika ng mga pagbabago sa tinatayang halaga ng ugat, pati na rin ang mga pagkakamali sa pagkalkula depende sa hakbang ng pag-ulit, ay ipinakita sa graphical na anyo (tingnan ang Fig. 2).

Fig.2. Mga resulta ng pagkalkula gamit ang pamamaraan ni Newton para sa isang equation na may isang variable

Upang matiyak ang tinukoy na katumpakan kapag naghahanap ng tinatayang halaga ng ugat ng equation sa hanay, kinakailangang magsagawa ng 4 na pag-ulit. Sa huling hakbang sa pag-ulit, ang tinatayang halaga ng ugat ng nonlinear equation ay tutukuyin ng value: .

Fig.3 . Listahan ng programa saMathCad

Mga pagbabago sa pamamaraan ni Newton para sa isang equation na may isang variable

Mayroong ilang mga pagbabago ng pamamaraan ni Newton na naglalayong gawing simple ang proseso ng pagtutuos.

Pinasimpleng pamamaraan ni Newton

Alinsunod sa pamamaraan ni Newton, kinakailangang kalkulahin ang derivative ng function na f(x) sa bawat hakbang ng pag-ulit, na humahantong sa pagtaas ng mga gastos sa pagkalkula. Upang bawasan ang mga gastos na nauugnay sa pagkalkula ng derivative sa bawat hakbang sa pagkalkula, maaari mong palitan ang derivative f’(x n) sa point x n sa formula ng derivative f’(x 0) sa point x 0. Alinsunod sa paraan ng pagkalkula na ito, ang tinatayang halaga ng ugat ay tinutukoy ng sumusunod na formula:Binagong pamamaraan ni Newton

Paraan ng pagkakaiba ni Newton

Bilang resulta, ang tinatayang halaga ng ugat ng function na f(x) ay matutukoy sa pamamagitan ng pagpapahayag ng paraan ng pagkakaiba ng Newton:

Dalawang-hakbang na pamamaraan ni Newton

Alinsunod sa pamamaraan ni Newton, kinakailangang kalkulahin ang derivative ng function na f(x) sa bawat hakbang ng pag-ulit, na hindi palaging maginhawa at kung minsan ay halos imposible. Ang pamamaraang ito nagbibigay-daan sa derivative ng isang function na mapalitan ng difference ratio (tinatayang halaga):

Bilang resulta, ang tinatayang halaga ng ugat ng function na f(x) ay matutukoy ng sumusunod na expression:

saan

Fig.5 . Dalawang hakbang na pamamaraan ni Newton

Ang secant na paraan ay isang dalawang-hakbang na pamamaraan, iyon ay, isang bagong pagtatantyatinutukoy ng dalawang naunang pag-ulit At . Dapat tukuyin ng pamamaraan ang dalawang paunang pagtatantya At . Ang convergence rate ng pamamaraan ay magiging linear.

• Bumalik
• Pasulong

Upang maidagdag ang iyong komento sa artikulo, mangyaring magparehistro sa site.

2. Pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation.

Ang pamamaraang ito ay may mas mabilis na convergence kaysa sa simpleng paraan ng pag-ulit. Ang pamamaraan ni Newton para sa sistema ng mga equation (1.1) ay batay sa paggamit ng pagpapalawak ng function

, Saan
(2.1)

sa seryeng Taylor, na may mga terminong naglalaman ng pangalawa o higit pa mataas na utos itinatapon ang mga derivatives. Ang diskarte na ito ay nagpapahintulot sa solusyon ng isang nonlinear system (1.1) na mapalitan ng solusyon ng isang bilang ng mga linear system.

Kaya, malulutas natin ang system (1.1) sa pamamagitan ng pamamaraan ni Newton. Sa rehiyon D, pumili ng anumang punto
at tawagin itong zero approximation sa eksaktong solusyon ng orihinal na sistema. Ngayon palawakin natin ang mga function (2.1) sa isang serye ng Taylor sa isang lugar ng point . Magkakaroon

kasi ang mga kaliwang bahagi ng (2.2) ay dapat maglaho ayon sa (1.1), pagkatapos ay ang kanang bahagi ng (2.2) ay dapat ding maglaho. Samakatuwid, mula sa (2.2) mayroon kami

Dapat kalkulahin ang lahat ng bahagyang derivatives sa (2.3) sa puntong .

(2.3) ay isang sistema ng linear algebraic equation kaugnay sa mga hindi alam Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pamamaraan ng Cramer kung ang pangunahing determinant nito ay nonzero at ang mga dami ay matatagpuan

Ngayon ay maaari nating pinuhin ang zero approximation sa pamamagitan ng pagbuo ng unang approximation gamit ang mga coordinate

mga.
. (2.6)

Alamin natin kung ang approximation (2.6) ay nakuha nang may sapat na antas ng katumpakan. Upang gawin ito, suriin natin ang kundisyon

,
(2.7)

saan isang paunang natukoy na maliit na positibong numero (ang katumpakan kung saan dapat lutasin ang system (1.1). Kung nasiyahan ang kundisyon (2.7), pipiliin namin ang (2.6) bilang tinatayang solusyon sa system (1.1) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon (2.7), pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod na pagkilos. Sa system (2.3), sa halip na
kunin natin ang updated values

, (2.8)

mga. gawin natin ang mga sumusunod na aksyon

. (2.9)

Pagkatapos nito, ang system (2.3) ay magiging isang sistema ng mga linear algebraic equation para sa mga dami Matapos matukoy ang mga dami na ito, ang susunod na pangalawang pagtataya
sa solusyon ng system (1.1) nakita namin gamit ang mga formula

Ngayon tingnan natin ang kondisyon (2.7)

Kung matugunan ang kundisyong ito, kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagkuha sa pangalawang pagtatantya bilang isang tinatayang solusyon sa system (1.1)
. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay magpapatuloy kami sa pagbuo ng susunod na pagtatantya, pagkuha sa (2.3)
Kinakailangang bumuo ng mga pagtatantya hanggang sa hindi nasiyahan ang kundisyon.

Ang mga gumaganang pormula ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng sistema (1.1) ay maaaring isulat sa anyo.

Compute sequence

Dito
ay ang solusyon sa sistema

Bumuo tayo ng algorithm ng pagkalkula gamit ang mga formula (2.11)-(2.13).

1. Pumili tayo ng zero approximation na kabilang sa rehiyon D.

2. Sa sistema ng linear algebraic equation (2.13) itinakda namin
,A .

3. Lutasin natin ang sistema (2.13) at hanapin ang mga dami
.

4. Sa mga formula (2.12) inilalagay namin
at kalkulahin ang mga bahagi ng susunod na pagtatantya.

5. Suriin natin ang kundisyon (2.7) para sa: (Tingnan ang algorithm para sa pagkalkula ng maximum ng ilang dami.)

6. Kung matugunan ang kundisyong ito, kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagpili ng approximation bilang tinatayang solusyon sa system (1.1). Kung hindi matugunan ang kundisyong ito, magpatuloy sa hakbang 7.

7. Ilagay natin
para sa lahat .

8. Isagawa natin ang hakbang 3, paglalagay
.

Sa geometriko, ang algorithm na ito ay maaaring isulat bilang:

Algorithm. Pagkalkula ng maximum ng ilang dami.

Halimbawa. Isaalang-alang natin ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation.

Lutasin gamit ang pamamaraan ni Newton hanggang sa katumpakan ang sumusunod na sistema nonlinear equation

, (2.14)

Dito
. Piliin natin ang zero approximation
, na kabilang sa domain D. Bumuo tayo ng isang sistema ng mga linear algebraic equation (2.3). Magiging kamukha niya

(2.15)

Tukuyin natin

Ating lutasin ang system (2.15) na may paggalang sa mga hindi alam
, halimbawa ang paraan ng Cramer. Sinusulat namin ang mga formula ng Cramer sa form

(2.17)

kung saan ang pangunahing determinant ng system (2.15)

(2.18)

at ang auxiliary determinants ng system (2.15) ay may anyo

.

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga sa (2.16) at hanapin ang mga bahagi ng unang pagtatantya
sa solusyon ng system (2.15).

Suriin natin ang kondisyon

, (2.19)

kung matugunan ang kundisyong ito, pagkatapos ay kumpletuhin namin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagkuha sa unang pagtatantya bilang isang tinatayang solusyon sa system (2.15), ibig sabihin.
. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon (2.19), pagkatapos ay itinakda namin
,
at tayo ay magtatayo bagong sistema linear algebraic equation (2.15). Nang malutas ito, nakita namin ang pangalawang pagtatantya
. Suriin natin ito sa . Kung nasiyahan ang kundisyong ito, pipili kami bilang tinatayang solusyon sa system (2.15)
. Kung hindi nasiyahan ang kundisyon sa, itinakda namin
,
at buuin ang sumusunod na sistema (2.15) upang mahanap
atbp.

Mga gawain

Ang lahat ng mga gawain ay nangangailangan ng:

Gumuhit ng isang programa para sa numerical na pagpapatupad ng pamamaraan ayon sa iminungkahing algorithm.

Kumuha ng mga resulta ng pagkalkula.

Suriin ang iyong mga resulta.

Isang sistema ng dalawang nonlinear equation ang ibinigay.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Kabanata 3. Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs).

Layunin ng trabaho. Panimula sa ilang tinatayang pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE at ang kanilang numerical na pagpapatupad sa isang PC.

Mga panimulang pahayag. Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE ay karaniwang nahahati sa dalawa malalaking grupo. Kasama sa unang pangkat ang mga pamamaraan na karaniwang tinatawag na tumpak. Ang mga pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa amin na maghanap para sa anumang sistema eksaktong mga halaga hindi alam pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, na ang bawat isa ay eksaktong ginanap.

Kasama sa pangalawang grupo ang lahat ng mga pamamaraan na hindi tumpak. Ang mga ito ay tinatawag na iterative, o numerical, o approximate. Ang eksaktong solusyon, kapag gumagamit ng mga naturang pamamaraan, ay nakuha bilang isang resulta ng isang walang katapusang proseso ng mga pagtatantya. Ang isang kaakit-akit na tampok ng naturang mga pamamaraan ay ang kanilang pagwawasto sa sarili at kadalian ng pagpapatupad sa isang PC.

Isaalang-alang natin ang ilang tinatayang pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE at bumuo ng mga algorithm para sa kanilang numerical na pagpapatupad. Makakakuha kami ng tinatayang solusyon ng SLAE na may katumpakan na , kung saan mayroong napakaliit na positibong numero.

1. Paraan ng pag-ulit.

Hayaang ibigay ang SLAE sa form

(1.1)

Ang sistemang ito ay maaaring isulat sa matrix form

, (1.2)

saan
- matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa system (1.1),
- hanay ng mga libreng miyembro,
- hanay ng mga hindi alam ng system (1.1).

. (1.3)

Lutasin natin ang system (1.1) gamit ang paraan ng pag-ulit. Upang gawin ito, gagawin namin ang mga sumusunod na hakbang.

Una. Piliin natin ang zero approximation

(1.4)

sa eksaktong solusyon (1.3) ng system (1.1). Ang mga bahagi ng zero approximation ay maaaring maging anumang numero. Ngunit mas maginhawang kumuha ng alinman sa mga zero para sa mga bahagi ng zero approximation
, o mga libreng tuntunin ng system (1.1)

Pangalawa. Pinapalitan namin ang mga bahagi ng zero approximation sa kanang bahagi system (1.1) at kalkulahin

(1.5)

Ang mga dami sa kaliwa sa (1.5) ay mga bahagi ng unang pagtataya
Ang mga aksyon na nagresulta sa unang pagtatantya ay tinatawag na pag-ulit.

Pangatlo. Suriin natin ang zero at unang pagtatantya para sa

(1.6)

Kung ang lahat ng kundisyon (1.6) ay natutugunan, kung gayon para sa tinatayang solusyon ng system (1.1) pipiliin namin ang alinman , o hindi mahalaga, dahil sila ay naiiba sa bawat isa nang hindi hihigit sa at tapusin natin ang mga kalkulasyon. Kung hindi matugunan ang kahit isa sa mga kundisyon (1.6), pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa susunod na aksyon.

Pang-apat. Gawin natin ang susunod na pag-ulit, i.e. sa kanang bahagi ng system (1.1) pinapalitan namin ang mga bahagi ng unang pagtatantya at kinakalkula ang mga bahagi ng pangalawang pagtatantya
, Saan

Panglima. Suriin natin
at sa , i.e. Suriin natin ang kundisyon (1.6) para sa mga pagtatantya na ito. Kung natutugunan ang lahat ng kundisyon (1.6), para sa tinatayang solusyon ng system (1.1) pipiliin natin ang alinman , o hindi mahalaga, dahil nagkakaiba sila sa isa't isa nang hindi hihigit sa . Kung hindi, bubuo kami ng susunod na pag-ulit sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga bahagi ng pangalawang pagtataya sa kanang bahagi ng system (1.1).

Kailangang buuin ang mga pag-ulit hanggang sa dalawang magkatabing pagtatantya
at mag-iiba sa isa't isa nang hindi hihigit sa .

Ang gumaganang pormula ng pamamaraan ng pag-ulit para sa paglutas ng sistema (1.1) ay maaaring isulat bilang

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng formula (1.7) ay maaaring ang mga sumusunod.

Ang mga sapat na kondisyon para sa convergence ng paraan ng pag-ulit para sa system (1.1) ay may anyo

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Simpleng paraan ng pag-ulit.

Hayaang ibigay ang sistema ng linear algebraic equation (SLAE) sa anyo

(2.1)

Upang malutas ang system (2.1) gamit ang simpleng paraan ng pag-ulit, kailangan muna itong bawasan sa anyo

(2.2)

Sa system (2.2) Ang -th equation ay ang -th equation ng system (2.1), na naresolba na may kinalaman sa -th na hindi alam (
).

Ang pamamaraan para sa paglutas ng sistema (2.1), na binubuo ng pagbabawas nito sa sistema (2.2) na sinusundan ng paglutas ng sistema (2.2) gamit ang paraan ng pag-ulit, ay tinatawag na simpleng paraan ng pag-ulit para sa sistema (2.1).

Kaya, ang mga gumaganang formula ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa paglutas ng system (2.1) ay magkakaroon ng form

(2.3)

Ang mga pormula (2.3) ay maaaring isulat sa anyo

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1) ayon sa mga formula (2.4) ay maaaring ang mga sumusunod.

Ang algorithm na ito ay maaaring isulat sa geometriko.

Ang mga sapat na kondisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit para sa system (2.1) ay may anyo

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Nakatigil na paraan ng Seidel.

Ang paraan ng Seidel para sa paglutas ng mga SLAE ay naiiba sa paraan ng pag-ulit sa pagkakaroon ng nahanap na ilang approximation para sa -th na bahagi, agad naming ginagamit ito upang mahanap ang susunod
,
, …, -ika bahagi. Ang diskarte na ito ay nagbibigay-daan para sa higit pa mataas na bilis convergence ng Seidel method kumpara sa iteration method.

Hayaang ibigay ang SLAE sa form

(3.1)

Hayaan
- zero approximation sa eksaktong solusyon
mga sistema (3.1). At hayaan itong matagpuan ika-approximation
. Tukuyin natin ang mga bahagi
ika-approximation gamit ang mga formula

(3.2)

Ang mga formula (3.2) ay maaaring isulat sa compact form

,
,
(3.3)

Ang algorithm para sa numerical na pagpapatupad ng Seidel method para sa paglutas ng system (3.1) gamit ang mga formula (3.3) ay maaaring ang mga sumusunod.

1. Pumili tayo, halimbawa,
,

2. Ilagay natin ang .

3. Magkalkula tayo para sa lahat.

4. Susuriin namin ang mga kondisyon para sa lahat
.

5. Kung matugunan ang lahat ng kundisyon sa talata 4, pipiliin namin ang alinman o bilang isang tinatayang solusyon sa system (3.1) at kumpletuhin ang mga kalkulasyon. Kung hindi matugunan ang kahit isang kundisyon sa hakbang 4, magpatuloy sa hakbang 6.

6. Ibaba natin ito at magpatuloy sa hakbang 3.

Ang algorithm na ito ay maaaring isulat sa geometriko.

Ang sapat na kondisyon para sa convergence ng Seidel method para sa system (3.1) ay may anyo
, .

4. Non-stationary na paraan ng Seidel.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng SLAE (3.1) ay nagbibigay ng mas mataas na bilis ng convergence ng Seidel method.

Hayaan natin kahit papaano hanapin ang mga bahagi ng ika-approximation at ang ika-approximation para sa system (3.1).

Kalkulahin natin ang vector ng pagwawasto

Kalkulahin natin ang mga halaga

, (4.2)

Ayusin natin ang mga dami
, sa pababang pagkakasunud-sunod.

Sa parehong pagkakasunud-sunod, muling isinulat namin ang mga equation sa system (3.1) at ang mga hindi alam sa system na ito: Linearalgebra At nonlinear ... PamamahalaPara sa laboratoryo gumaganaSa pamamagitan ng ... metodolohikal mga tagubilin Para sapraktikalgumaganaSa pamamagitan ng Para samga mag-aaral ...

Pang-edukasyon na panitikan (natural na agham at teknikal) 2000-2011 OP cycle – 10 taon CD cycle – 5 taon

Panitikan

... NaturalMga agham sa pangkalahatan 1. Astronomy [Text]: manwal Para sa ... Numericalparaan: Linearalgebra At nonlinear ... PamamahalaPara sa laboratoryo gumaganaSa pamamagitan ng ... metodolohikal mga tagubilin Para sapraktikalgumaganaSa pamamagitan ng disiplina "Transport Economics" Para samga mag-aaral ...

- natural na agham (1)

Pagtuturo

... pamamahalaPara samga mag-aaral at mga guro, nilayon Para sa gamitin hindi lamang para sa pag-aaral paraantrabaho... produksyon praktikal kasanayan gamit ang totoong data. Methodical mga rekomendasyon Sa pamamagitan ng katuparan ng pagsubok trabahoSa pamamagitan ng ito...

- natural na agham - pisikal at matematikal na agham - kemikal na agham - agham sa lupa (geodetic geophysical geological at geographical sciences)

Dokumento

... Para samga mag-aaralnatural- ... gumaganaSa pamamagitan ng disiplina "Genetics at pagpili", na nakatuon sa kasalukuyang mga problema ito Mga agham. Systematized na independyente Trabahomga mag-aaralSa pamamagitan ng teoretikal at praktikal ... linear, nonlinear, dynamic. Lahat paraan ...

- natural na agham - pisikal at matematikal na agham - kemikal na agham - earth sciences (geodetic geophysical geological at geographical sciences) (7)

Listahan ng mga aklat-aralin

Determinant ni Eremin linear At nonlinearalgebra : linear At nonlinear programming: bago paraan/ Eremin, Mikhail... Para samga mag-aaral at mga guro ng geological specialty sa mga unibersidad. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktikalpamamahalaSa pamamagitan ng ...



Mga keyword:

Layunin ng gawain: pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation sa isang hindi alam at subukan ang mga ito sa eksperimentong gawain.

Layunin ng trabaho:

1. Pag-aralan espesyal na panitikan at piliin ang pinakanakapangangatwiran na mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi linear na equation, na nagbibigay-daan sa iyong malalim na pag-aralan at pag-asimila ang paksang ito lahat ng high school graduates.
2. Bumuo ng ilang aspeto ng pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear equation gamit ang ICT.
3. Galugarin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation:

‒ Hakbang na pamamaraan

‒ Paraan ng paghahati

‒ Pamamaraan ni Newton

Panimula.

Kung walang mathematical literacy, imposibleng matagumpay na makabisado ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa physics, chemistry, biology at iba pang mga paksa. Ang buong kumplikado ng mga natural na agham ay binuo at binuo batay sa kaalaman sa matematika. Halimbawa, ang pag-aaral ng ilang mga problemang pangkasalukuyan sa matematikal na pisika ay humahantong sa pangangailangang lutasin ang mga nonlinear na equation. Ang solusyon ng mga nonlinear equation ay kinakailangan sa nonlinear optics, plasma physics, superconductivity theory, at low-temperature physics. Mayroong sapat na dami ng literatura sa paksang ito, ngunit maraming mga aklat-aralin at artikulo ang mahirap maunawaan ng isang mag-aaral sa high school. Tinatalakay ng papel na ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation na maaaring magamit upang malutas ang mga inilapat na problema sa pisika at kimika. Ang isang kawili-wiling aspeto ay ang aplikasyon teknolohiya ng impormasyon sa paglutas ng mga equation at problema sa matematika.

Hakbang na pamamaraan.

Hayaang kailanganin upang malutas ang isang nonlinear equation ng form na F(x)=0. Ipagpalagay din natin na binibigyan tayo ng isang tiyak na agwat ng paghahanap. Kinakailangang hanapin ang pagitan [a,b] ng haba h, na naglalaman ng unang ugat ng equation, simula sa kaliwang hangganan ng pagitan ng paghahanap.

kanin. 1. Hakbang na paraan

Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang gayong problema. Ang pamamaraan ng hakbang ay ang pinakasimpleng pamamaraan ng numero para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ngunit upang makamit ang mataas na katumpakan ay kinakailangan upang makabuluhang bawasan ang hakbang, at ito ay lubos na nagpapataas ng oras ng pagkalkula. Algorithm para sa paglutas ng mga equation gamit ang ang pamamaraang ito binubuo ng dalawang yugto.

akoyugto. Paghihiwalay ng ugat.

Sa yugtong ito, ang mga seksyon ay tinutukoy, ang bawat isa ay naglalaman lamang ng isang ugat ng equation. Mayroong ilang mga opsyon para sa pagpapatupad ng yugtong ito:

• Pinapalitan namin ang mga halaga ng X (mas mabuti na may ilang medyo maliit na hakbang) at tingnan kung saan nagbabago ang sign ng function. Kung binago ng function ang sign nito, nangangahulugan ito na mayroong ugat sa lugar sa pagitan ng dati at kasalukuyang halaga ng X (kung hindi binabago ng function ang katangian ng pagtaas/pagbaba nito, masasabi nating isa lang ugat sa pagitan na ito).
• Paraan ng graphic. Bumubuo kami ng isang graph at sinusuri kung aling mga pagitan namamalagi ang isang ugat.
• Tuklasin natin ang mga katangian ng isang partikular na function.

IIyugto. Pagpino ng mga ugat.

Sa yugtong ito, nilinaw ang kahulugan ng mga ugat ng equation na natukoy kanina. Bilang isang tuntunin, ang mga umuulit na pamamaraan ay ginagamit sa yugtong ito. Halimbawa, ang pamamaraan kalahating dibisyon(dichotomies) o pamamaraan ni Newton.

Paraan ng kalahating paghahati

Isang mabilis at medyo simpleng numerical na paraan para sa paglutas ng mga equation, batay sa sequential na pagpapaliit ng pagitan na naglalaman ng tanging ugat ng equation F(x) = 0 hanggang sa ang tinukoy na katumpakan E ay karaniwang ginagamit sa paglutas quadratic equation at mga equation ng mas mataas na antas. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay may isang makabuluhang disbentaha - kung ang segment [a,b] ay naglalaman ng higit sa isang ugat, kung gayon hindi ito makakamit ang magagandang resulta.

kanin. 2. Paraan ng dichotomy

Ang algorithm para sa pamamaraang ito ay ang mga sumusunod:

‒ Tukuyin ang isang bagong approximation ng root x sa gitna ng segment [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Hanapin ang mga halaga ng function sa mga punto a at x: F(a) at F(x).

‒ Suriin ang kundisyon F(a)*F(x)

‒ Pumunta sa hakbang 1 at muling hatiin ang segment sa kalahati. Ipagpatuloy ang algorithm hanggang sa kondisyon |F(x)|

Pamamaraan ni Newton

Ang pinakatumpak sa mga pamamaraan ng numerical na solusyon; angkop para sa paglutas ng napakasalimuot na mga equation, ngunit ito ay kumplikado sa pamamagitan ng pangangailangang kalkulahin ang mga derivatives sa bawat hakbang. ay kung ang x n ay ilang pagtatantya sa ugat ng equation , pagkatapos ay ang susunod na approximation ay tinukoy bilang ang ugat ng padaplis sa function na f(x) na iginuhit sa puntong x n.

Ang tangent equation sa function na f(x) sa punto x n ay may anyo:

Sa tangent equation inilalagay namin ang y = 0 at x = x n +1.

Pagkatapos ang algorithm para sa sunud-sunod na mga kalkulasyon sa pamamaraan ni Newton ay ang mga sumusunod:

Ang convergence ng tangent method ay quadratic, ang order ng convergence ay 2.

Kaya, ang convergence ng Newton's tangent method ay napakabilis.

Nang walang anumang mga pagbabago, ang pamamaraan ay pangkalahatan sa kumplikadong kaso. Kung ang ugat na x i ay isang ugat ng pangalawang multiplicity o mas mataas, kung gayon ang pagkakasunud-sunod ng convergence ay bumaba at nagiging linear.

Kasama sa mga disadvantage ng pamamaraan ni Newton ang lokalidad nito, dahil ginagarantiyahan itong mag-converge para sa isang arbitrary na panimulang pagtatantya lamang kung ang kundisyon ay nasiyahan sa lahat ng dako. , sa kabaligtaran na sitwasyon, ang convergence ay nangyayari lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng ugat.

Ang pamamaraan ng Newton (paraan ng tangent) ay karaniwang ginagamit kapag ang equation f(x) = 0 ay may ugat at ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

1) function y=f(x) tinukoy at tuloy-tuloy sa ;

2) f(a) f(b) (ang function ay kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo ng segment [ a;b]);

3) derivatives f"(x) At f""(x) panatilihin ang tanda sa pagitan [ a;b] (i.e. ang function f(x) tumataas o bumababa sa segment [ a;b], habang pinapanatili ang direksyon ng convexity);

Ang kahulugan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: sa segment [ a;b] napili ang naturang numero x 0 , Kung saan f(x 0) ay may parehong tanda ng f""(x 0), ibig sabihin, ang kondisyon ay nasiyahan f(x 0) f""(x) > 0. Kaya, ang punto na may abscissa ay napili x 0, kung saan ang padaplis sa kurba y=f(x) sa segment [ a;b] ay bumabagtas sa axis baka. Bawat punto x 0 Una, maginhawang pumili ng isa sa mga dulo ng segment.

Isaalang-alang natin ang algorithm na ito gamit ang isang partikular na halimbawa.

Bigyan tayo ng pagtaas ng tungkulin y = f(x) =x 2– 2, tuloy-tuloy sa segment (0;2), at pagkakaroon f "(x) =2x>0 At f ""(x) = 2> 0.

Sa aming kaso, ang tangent equation ay may anyo: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). SA bilang point x 0 pinipili namin ang point B 1 (b; f(b)) = (2,2). Gumuhit ng tangent sa function y = f(x) sa punto B 1, at tukuyin ang punto ng intersection ng tangent at axis baka tuldok x 1. Nakukuha namin ang equation ng unang tangent: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Baka: x 1 =

kanin. 3. Konstruksyon ng unang tangent sa graph ng function na f(x)

y=f(x) baka sa pamamagitan ng punto x 1, nakuha namin ang punto B 2 =(1.5; 0.25). Gumuhit muli ng tangent sa function y = f(x) sa punto B 2, at tukuyin ang punto ng intersection ng padaplis at baka tuldok x 2.

Equation ng pangalawang tangent: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25. Intersection point ng tangent at axis Baka: x 2 =.

Pagkatapos ay nakita namin ang intersection point ng function y=f(x) at isang patayo na iginuhit sa axis baka sa pamamagitan ng punto x 2, makakakuha tayo ng punto B 3 at iba pa.

kanin. 4. Konstruksyon ng ikalawang tangent sa graph ng function na f(x)

Ang unang pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

= 1.5.

Ang pangalawang pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

=

Ang ikatlong pagtatantya ng ugat ay tinutukoy ng formula:

Sa gayon ,i Ang ika-approximation ng ugat ay tinutukoy ng formula:

Ang mga kalkulasyon ay isinasagawa hanggang sa ang mga decimal na lugar na kinakailangan sa sagot ay tumugma, o ang tinukoy na katumpakan e ay nakakamit - hanggang sa ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. |xi-xi-1|

Sa aming kaso, ihambing natin ang pagtatantya na nakuha sa ikatlong hakbang sa tunay na sagot. Gaya ng nakikita mo, nasa ikatlong hakbang na kami nakatanggap ng error na mas mababa sa 0.000002.

Paglutas ng equation gamit ang CADMathCAD

Para sa pinakasimpleng equation ng form f(x) = 0 ang solusyon sa MathCAD ay matatagpuan gamit ang function ugat.

ugat(f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - nagbabalik ng halaga X 1 , na kabilang sa segment [ a, b ] , kung saan ang expression o function f (X ) napupunta sa 0. Ang parehong mga argumento sa function na ito ay dapat na mga scalar. Ang function ay nagbabalik ng isang scalar.

kanin. 5. Paglutas ng isang nonlinear equation sa MathCAD (root function)

Kung ang isang error ay nangyari bilang isang resulta ng paglalapat ng function na ito, ito ay maaaring mangahulugan na ang equation ay walang mga ugat, o ang mga ugat ng equation ay matatagpuan malayo mula sa unang approximation, ang expression ay may lokal na max At min sa pagitan ng paunang pagtatantya at mga ugat.

Upang maitatag ang sanhi ng error, kinakailangan upang suriin ang graph ng function f(x). Makakatulong ito upang malaman ang pagkakaroon ng mga ugat ng equation f(x) = 0 at, kung mayroon sila, tinatayang matukoy ang kanilang mga halaga. Kung mas tumpak ang napiling paunang pagtatantya ng ugat, mas mabilis na mahahanap ang eksaktong halaga nito.

Kung hindi alam ang paunang pagtatantya, ipinapayong gamitin ang function lutasin . Bukod dito, kung ang equation ay naglalaman ng ilang mga variable, kailangan mong ipahiwatig pagkatapos keyword solve ay isang listahan ng mga variable kung saan nalutas ang equation.

kanin. 6. Paglutas ng isang nonlinear equation sa MathCAD (solve function)

Konklusyon

Sinuri ng pag-aaral kung paano mga pamamaraan sa matematika, at paglutas ng mga equation gamit ang programming sa CAD system na MathCAD. Iba't ibang pamamaraan may kanilang mga pakinabang at disadvantages. Dapat tandaan na ang paggamit ng isang partikular na pamamaraan ay nakasalalay sa mga paunang kondisyon ng ibinigay na equation. Ang mga equation na iyon na maaaring malutas nang maayos sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng factorization, atbp., na kilala sa paaralan, ay hindi makatuwiran upang malutas ang higit pa. sa mga kumplikadong paraan. Ang mga inilapat na problema sa matematika na mahalaga para sa pisika at kimika at nangangailangan ng mga kumplikadong pagpapatakbo ng computational kapag ang paglutas ng mga equation ay matagumpay na nalutas, halimbawa, gamit ang programming. Mahusay na lutasin ang mga ito gamit ang pamamaraan ni Newton.

Upang linawin ang mga ugat, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng parehong equation. Ang pananaliksik na ito ang naging batayan ng gawaing ito. Kasabay nito, madaling makita kung aling pamamaraan ang pinakamatagumpay kapag nilutas ang bawat yugto ng equation, at kung aling paraan ang mas mahusay na hindi gamitin sa yugtong ito.

Ang pinag-aralan na materyal, sa isang banda, ay nakakatulong upang mapalawak at mapalalim ang kaalaman sa matematika at magtanim ng interes sa matematika. Sa kabilang banda, mahalaga na malutas ang mga tunay na problema sa matematika para sa mga nagpaplanong makakuha ng mga propesyon sa teknikal at engineering. kaya lang gawaing ito bagay para sa karagdagang edukasyon(halimbawa, sa isang institusyong mas mataas na edukasyon).

Panitikan:

1. Mityakov S. N. Informatics. Kumplikado mga materyales na pang-edukasyon. - N. Novgorod: Nizhny Novgorod. estado tech. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Ang teorya ng mga sumasanga na solusyon ng mga nonlinear na equation. M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral ng mga teknikal na kolehiyo - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Mathematics: pagtuturo. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. encyclopedic Dictionary batang mathematician. - M.: Pedagogy, 1989.
6. Korn G., Korn T. Handbook ng matematika para sa mga siyentipiko at inhinyero. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mas mataas na matematika batay sa Mathcad. Pangkalahatang kurso. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Numerical na pamamaraan batay sa Mathcad. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Mga keyword: nonlinear equation, applied mathematics, CAD MathCAD, Newton's method, step method, dichotomy method..

Anotasyon: Ang artikulo ay nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation, kabilang ang paggamit ng MathCAD computer-aided design system. Ang pamamaraan ng hakbang, mga halves at mga pamamaraan ng Newton ay isinasaalang-alang, ang mga detalyadong algorithm para sa paglalapat ng mga pamamaraang ito ay ibinigay, at paghahambing na pagsusuri ang mga tinukoy na pamamaraan.

Halimbawa:

Itakda natin ang gawaing hahanapin wasto mga ugat ng equation na ito.

At tiyak na mayroon! - mula sa mga artikulo tungkol sa mga function graph At equation ng mas mataas na matematika alam na alam mo kung ano ang schedule polynomial function kakaibang degree intersects ang axis ng hindi bababa sa isang beses, samakatuwid ang aming equation ay may kahit na isang tunay na ugat. Isa. O dalawa. O tatlo.

Una, ito ay nagmamakaawa na suriin ang pagkakaroon makatwiran mga ugat. Ayon kay kaukulang teorama, tanging ang mga numerong 1, –1, 3, –3 ang maaaring mag-claim ng “title” na ito, at sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ay madaling matiyak na wala sa mga ito ang “nababagay”. Kaya, nananatili ang mga hindi makatwirang halaga. Ang (mga) hindi makatwirang ugat ng isang polynomial na degree 3 ay matatagpuan eksakto (ipahayag sa pamamagitan ng mga radikal) sa tulong ng tinatawag na Mga formula ng Cardano , gayunpaman, ang pamamaraang ito ay medyo mahirap. Ngunit para sa mga polynomial ng ika-5 at mas mataas na antas ay walang pangkalahatang analytical na pamamaraan, at, bilang karagdagan, sa pagsasanay mayroong maraming iba pang mga equation kung saan eksaktong mga halaga imposibleng makakuha ng mga tunay na ugat (bagaman mayroon sila).

Gayunpaman, sa inilapat (halimbawa, engineering) mga problema, higit pa sa katanggap-tanggap na gumamit ng tinatayang mga halaga na kinakalkula na may tiyak na katumpakan.

Itakda natin ang katumpakan para sa ating halimbawa. Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang GANITONG tinatayang halaga ng ugat (ugat) kung saan kami Kami ay ginagarantiyahan na mali ng hindi hihigit sa 0.001 (isang libo) .

Ito ay ganap na malinaw na ang solusyon ay hindi maaaring magsimula "nang random" at samakatuwid sa unang hakbang ang mga ugat magkahiwalay. Ang paghiwalayin ang isang ugat ay nangangahulugan ng paghahanap ng sapat na maliit (karaniwang solong) segment kung saan kabilang ang ugat na ito, at kung saan walang ibang mga ugat. Ang pinakasimple at pinaka-accessible graphical na paraan ng paghihiwalay ng ugat. Buuin natin punto sa punto graph ng isang function :

Mula sa pagguhit ay sumusunod na ang equation, tila, ay may isang tunay na ugat na kabilang sa segment. Sa dulo ng agwat na ito ang function tumatagal ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan: , at mula sa katotohanan pagpapatuloy ng function sa segment makikita agad elementarya na paraan root refinement: hatiin ang pagitan sa kalahati at piliin ang segment sa mga dulo kung saan tumatagal ang function iba't ibang palatandaan. SA sa kasong ito halatang segment ito. Hinahati namin ang nagresultang agwat sa kalahati at muling piliin ang segment na "iba't ibang tanda". At iba pa. Ang ganitong mga sunud-sunod na aksyon ay tinatawag mga pag-ulit. Sa kasong ito, dapat itong isagawa hanggang sa ang haba ng segment ay maging mas mababa sa dalawang beses ang katumpakan ng pagkalkula, at ang gitna ng huling "different-sign" na segment ay dapat piliin bilang ang tinatayang halaga ng ugat.

Ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay nakatanggap ng natural na pangalan - paraan ng kalahating paghahati. At ang kawalan ng pamamaraang ito ay bilis. Dahan-dahan. Ang bagal. Magkakaroon ng masyadong maraming mga pag-ulit bago namin makamit ang kinakailangang katumpakan. Sa pag-unlad teknolohiya ng kompyuter Ito, siyempre, ay hindi isang problema, ngunit iyon ang para sa matematika, upang maghanap ng mga pinaka-makatwirang solusyon.

At isa sa higit pa mabisang paraan ang paghahanap ng tinatayang halaga ng ugat ay tumpak padaplis na paraan. Ang maikling geometric na kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod: una, gamit ang isang espesyal na pamantayan (higit pa tungkol diyan mamaya) isa sa mga dulo ng segment ang napili. Ang pagtatapos na ito ay tinatawag na inisyal approximation ng ugat, sa ating halimbawa: . Ngayon gumuhit kami ng tangent sa graph ng function sa abscissa (asul na tuldok at lila na tangent):

Ang tangent na ito ay tumawid sa x-axis sa dilaw na punto, at tandaan na sa unang hakbang ay halos "tamaan natin ang ugat"! Ito ay magiging una diskarte sa ugat. Susunod, ibababa namin ang dilaw na patayo sa graph ng function at "kumuha" sa orange point. Muli kaming gumuhit ng isang tangent sa pamamagitan ng orange point, na mag-intersect sa axis kahit na mas malapit sa ugat! At iba pa. Hindi mahirap unawain na gamit ang padaplis na paraan, lumalapit tayo sa layunin sa pamamagitan ng mga paglundag, at literal na aabutin ang ilang mga pag-ulit upang makamit ang katumpakan.

Dahil ang padaplis ay tinukoy sa pamamagitan ng derivative ng function, pagkatapos ang araling ito ay napunta sa seksyong "Derivatives" bilang isa sa mga aplikasyon nito. At nang hindi nag-detalye teoretikal na pagbibigay-katwiran ng pamamaraan, isasaalang-alang ko ang teknikal na bahagi ng isyu. Sa pagsasagawa, ang problemang inilarawan sa itaas ay nangyayari nang humigit-kumulang sa sumusunod na pormulasyon:

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paggamit graphic na pamamaraan hanapin ang pagitan kung saan matatagpuan ang tunay na ugat ng equation. Gamit ang pamamaraan ni Newton, kumuha ng tinatayang halaga ng ugat na may katumpakan na 0.001

Narito ang isang "matipid na bersyon" ng gawain, kung saan ang pagkakaroon ng isang wastong ugat ay agad na nakasaad.

Solusyon: sa unang hakbang ang ugat ay dapat na ihiwalay sa graphically. Magagawa ito sa pamamagitan ng pag-plot (tingnan ang mga guhit sa itaas), ngunit ang diskarteng ito ay may ilang mga disadvantages. Una, hindi katotohanan na simple ang graph (hindi namin alam in advance), A software– hindi ito laging nasa kamay. At pangalawa (corollary from 1st), na may malaking posibilidad na ang resulta ay hindi kahit isang eskematiko na pagguhit, ngunit isang magaspang na pagguhit, na, siyempre, ay hindi maganda.

Buweno, bakit kailangan natin ng mga hindi kinakailangang paghihirap? Isipin natin ang equation sa anyo, MAINGAT na bumuo ng mga graph at markahan ang ugat sa drawing (“X” coordinate ng punto ng intersection ng mga graph):

Malinaw na kalamangan ang pamamaraang ito ay ang mga graph ng mga function na ito ay binuo sa pamamagitan ng kamay nang mas tumpak at mas mabilis. Oo nga pala, tandaan mo yan tuwid tumawid kubiko parabola sa isang punto, na nangangahulugan na ang iminungkahing equation ay mayroon lamang isang tunay na ugat. Magtiwala, ngunit i-verify ;-)

Kaya, ang aming "kliyente" ay kabilang sa segment at "sa pamamagitan ng mata" ay humigit-kumulang katumbas ng 0.65-0.7.

Sa pangalawang hakbang kailangang pumili paunang pagtataya ugat Kadalasan ito ay isa sa mga dulo ng segment. Ang paunang pagtatantya ay dapat matugunan susunod na kondisyon:

Hanapin natin una At pangalawa nagmula na mga function :

at suriin ang kaliwang dulo ng segment:

Kaya, ang zero ay "hindi magkasya."

Sinusuri ang kanang dulo ng segment:

- Maayos ang lahat! Pinipili namin bilang paunang pagtatantya.

Sa ikatlong hakbang Naghihintay sa atin ang daan patungo sa ugat. Ang bawat kasunod na root approximation ay kinakalkula batay sa nakaraang data gamit ang sumusunod paulit-ulit mga formula:

Nagtatapos ang proseso kapag natugunan ang kundisyon, kung saan mayroong paunang natukoy na katumpakan ng pagkalkula. Bilang resulta, ang "nth" approximation ay kinuha bilang tinatayang halaga ng ugat: .

Susunod ay ang mga karaniwang kalkulasyon:

(karaniwang ginagawa ang rounding sa 5-6 decimal place)

Dahil ang nakuha na halaga ay mas malaki kaysa sa , magpatuloy kami sa 1st approximation ng root:

Kinakalkula namin:

, kaya kailangang lumipat sa 2nd approximation:

Pumunta tayo sa susunod na round:

, sa gayon, ang mga pag-ulit ay nakumpleto, at ang 2nd approximation ay dapat kunin bilang ang tinatayang halaga ng ugat, na, alinsunod sa ibinigay na katumpakan, ay dapat bilugan sa isang libo:

Sa pagsasagawa, ito ay maginhawa upang ipasok ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan upang medyo paikliin ang entry, ang isang bahagi ay madalas na tinutukoy ng:

Kung maaari, mas mahusay na isagawa ang mga kalkulasyon sa kanilang sarili sa Excel - ito ay mas maginhawa at mas mabilis:

Sagot: tumpak sa 0.001

Paalalahanan ko kayo na ang pariralang ito ay nagpapahiwatig ng katotohanang nagkamali kami sa aming pagtatasa tunay na kahulugan ugat ng hindi hihigit sa 0.001. Ang mga may pagdududa ay maaaring pumili ng microcalculator at muling palitan ang tinatayang halaga na 0.674 in kaliwang bahagi mga equation

Ngayon, "i-scan" natin ang kanang column ng talahanayan mula sa itaas hanggang sa ibaba at mapansin na ang mga halaga ay patuloy na bumababa sa ganap na halaga. Ang epektong ito ay tinatawag convergence isang paraan na nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang ugat na may arbitraryong mataas na katumpakan. Ngunit hindi palaging nangyayari ang convergence - ito ay sinisiguro isang bilang ng mga kondisyon, tungkol sa kung saan ako nanatiling tahimik. Sa partikular, dapat na ang segment kung saan nakahiwalay ang ugat sapat na maliit– kung hindi, ang mga halaga ay random na magbabago at hindi namin makumpleto ang algorithm.

Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Suriin na ang mga tinukoy na kundisyon ay natutugunan (tingnan ang link sa itaas), at, kung kinakailangan, bawasan ang segment. Kaya, medyo nagsasalita, kung sa nasuri na halimbawa ang agwat ay hindi angkop para sa amin, dapat nating isaalang-alang, halimbawa, ang segment. Sa pagsasagawa, nakatagpo ako ng mga ganitong kaso, at talagang nakakatulong ang diskarteng ito! Ang parehong ay dapat gawin kung ang parehong dulo ng "malawak" na bahagi ay hindi nakakatugon sa kondisyon (ibig sabihin, wala sa mga ito ang angkop bilang isang paunang pagtatantya).

Ngunit kadalasan ang lahat ay gumagana tulad ng orasan, bagaman hindi walang mga pitfalls:

Halimbawa 2

Tukuyin nang graphic ang bilang ng mga tunay na ugat ng equation, paghiwalayin ang mga ugat na ito at, gamit ang pamamaraan ni Newton, hanapin ang tinatayang halaga ng mga ugat na may katumpakan.

Ang kondisyon ng problema ay naging kapansin-pansing mas mahigpit: una, naglalaman ito ng isang malakas na pahiwatig na ang equation ay walang isang ugat, pangalawa, ang kinakailangan para sa katumpakan ay tumaas, at pangatlo, sa graph ng function. mas mahirap makayanan.

At samakatuwid solusyon Magsimula tayo sa isang nakakatipid na trick: isipin ang equation sa form at gumuhit ng mga graph:


Mula sa pagguhit ay sumusunod na ang aming equation ay may dalawang tunay na ugat:

Ang algorithm, tulad ng naiintindihan mo, ay kailangang "i-crank" nang dalawang beses. Ngunit ito ay para lamang sa mga pinakamalalang kaso kung minsan, kailangan mong suriin ang 3-4 na mga ugat.

1) Paggamit ng pamantayan Alamin natin kung aling dulo ng segment ang pipiliin bilang paunang pagtatantya ng unang ugat. Paghahanap ng mga derivatives ng mga function :

Pagsubok sa kaliwang dulo ng segment:

- dumating up!

Kaya, ay isang paunang pagtatantya.

Pipino natin ang ugat gamit ang pamamaraan ni Newton gamit ang paulit-ulit na formula:
- hanggang sa fraction modulo ay hindi bababa sa kinakailangang katumpakan:

At dito ang salitang "module" ay nakakakuha ng di-ilusyon na kahalagahan, dahil ang mga halaga ay negatibo:


Para sa parehong dahilan, ang espesyal na atensyon ay dapat bayaran kapag lumilipat sa bawat susunod na pagtatantya:

Sa kabila ng sapat mataas na pangangailangan sa katumpakan, natapos muli ang proseso sa ika-2 pagtatantya: , samakatuwid:

Tumpak sa 0.0001

2) Hanapin natin ang tinatayang halaga ng ugat.

Sinusuri namin ang kaliwang dulo ng segment para sa mga kuto:

, samakatuwid, hindi ito angkop bilang isang paunang pagtatantya.