বৈচিত্র্য গণনা কিভাবে. মাইক্রোসফ্ট এক্সেলে বৈচিত্র্য গণনা করা হচ্ছে

এর মধ্যে গণনা করা যাকমাইক্রোসফটএক্সেলভিন্নতা এবং আদর্শ চ্যুতিনমুনা এর ভিন্নতাও গণনা করা যাক আমার স্নাতকের, যদি এর বিতরণ জানা যায়।

প্রথমে বিবেচনা করা যাক বিচ্ছুরণ, তারপর আদর্শ চ্যুতি.

নমুনা বৈচিত্র্য

নমুনা বৈচিত্র্য (নমুনা ভিন্নতা,নমুনাভিন্নতা) সাপেক্ষে অ্যারেতে মানের বিস্তারকে চিহ্নিত করে।

সমস্ত 3টি সূত্র গাণিতিকভাবে সমতুল্য।

প্রথম সূত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে নমুনা বৈচিত্র্যঅ্যারের প্রতিটি মানের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি গড় থেকে, নমুনার আকার বিয়োগ 1 দ্বারা বিভক্ত।

ভিন্নতা নমুনা DISP() ফাংশন ব্যবহৃত হয়, ইংরেজি। VAR নাম, যেমন VARiance MS EXCEL 2010 সংস্করণ থেকে, এটির অ্যানালগ DISP.V(), ইংরেজি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে। নাম VARS, অর্থাৎ নমুনা VARiance। উপরন্তু, MS EXCEL 2010-এর সংস্করণ থেকে শুরু করে, একটি ফাংশন রয়েছে DISP.Г(), ইংরেজি। VARP নাম, অর্থাৎ জনসংখ্যা VARiance, যা গণনা করে বিচ্ছুরণজন্য জনসংখ্যা . পুরো পার্থক্যটি হর-এ নেমে আসে: DISP.V() এর মতো n-1-এর পরিবর্তে, DISP.G() হর-এ শুধু n আছে। MS EXCEL 2010-এর আগে, VAR() ফাংশনটি জনসংখ্যার ভিন্নতা গণনা করতে ব্যবহৃত হত।

নমুনা বৈচিত্র্য
=QUADROTCL(নমুনা)/(COUNT(নমুনা)-1)
=(সমষ্টি(নমুনা)-COUNT(নমুনা)*গড়(নমুনা)^2)/ (COUNT(নমুনা)-1)- স্বাভাবিক সূত্র
=SUM((নমুনা -গড়(নমুনা)^2)/ (COUNT(নমুনা)-1) –

নমুনা বৈচিত্র্য 0 এর সমান, শুধুমাত্র যদি সমস্ত মান একে অপরের সমান হয় এবং সেই অনুযায়ী সমান হয় গড় মূল্য. সাধারণত, বড় মান ভিন্নতা, অ্যারেতে মানের বিস্তার তত বেশি।

নমুনা বৈচিত্র্যহয় পয়েন্ট অনুমান ভিন্নতার্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণ যা থেকে এটি তৈরি করা হয়েছিল নমুনা. নির্মাণ সম্পর্কে আস্থা অন্তর মূল্যায়ন করার সময় ভিন্নতানিবন্ধে পড়া যেতে পারে।

একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ

হিসাব করতে বিচ্ছুরণএলোমেলো পরিবর্তনশীল, আপনি এটি জানতে হবে.

জন্য ভিন্নতাএলোমেলো পরিবর্তনশীল X প্রায়ই Var(X) নির্দেশিত হয়। বিচ্ছুরণগড় E(X) থেকে বিচ্যুতির বর্গক্ষেত্রের সমান: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

বিচ্ছুরণসূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

যেখানে x i হল সেই মান যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিতে পারে, এবং μ হল গড় মান (), p(x) হল সম্ভাব্যতা যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি x মান নেবে।

যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে বিচ্ছুরণসূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

মাত্রা ভিন্নতামূল মান পরিমাপের এককের বর্গক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি নমুনার মানগুলি অংশ ওজন পরিমাপ (কেজিতে) প্রতিনিধিত্ব করে, তবে প্রকরণের মাত্রা হবে কেজি 2। এটি ব্যাখ্যা করা কঠিন হতে পারে, তাই মানগুলির বিস্তারকে চিহ্নিত করতে, এর বর্গমূলের সমান একটি মান ভিন্নতা – আদর্শ চ্যুতি.

কিছু বৈশিষ্ট্য ভিন্নতা:

Var(X+a)=Var(X), যেখানে X হল একটি এলোমেলো চলক এবং a হল একটি ধ্রুবক।

Var(aХ)=a 2 Var(X)

Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

এই বিচ্ছুরণ সম্পত্তি ব্যবহার করা হয় লিনিয়ার রিগ্রেশন সম্পর্কে নিবন্ধ.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), যেখানে X এবং Y হল র্যান্ডম ভেরিয়েবল, Cov(X;Y) হল এই র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সমপরিমাণ।

যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাধীন হয়, তাহলে তারা সহবাস 0 এর সমান, এবং তাই Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)। বিচ্ছুরণের এই বৈশিষ্ট্যটি ডেরিভেশনে ব্যবহৃত হয়।

আমাদের জন্য যে দেখান স্বাধীন পরিমাণ Var(X-Y)=Var(X+Y)। প্রকৃতপক্ষে, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 Var(Y) = Var(X)+Var(Y) = Var(X+Y)। এই বিচ্ছুরণ সম্পত্তি নির্মাণ ব্যবহার করা হয়.

নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি

নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিএকটি নমুনার মানগুলি তাদের তুলনায় কতটা ব্যাপকভাবে ছড়িয়ে ছিটিয়ে রয়েছে তার একটি পরিমাপ।

এ-প্রিয়রি, আদর্শ চ্যুতিএর বর্গমূলের সমান ভিন্নতা:

আদর্শ চ্যুতিমধ্যে মানগুলির মাত্রা বিবেচনা করে না নমুনা, কিন্তু শুধুমাত্র তাদের চারপাশে মানগুলির বিচ্ছুরণের মাত্রা গড়. এটা বোঝানোর জন্য একটা উদাহরণ দেওয়া যাক।

আসুন 2টি নমুনার জন্য আদর্শ বিচ্যুতি গণনা করি: (1; 5; 9) এবং (1001; 1005; 1009)। উভয় ক্ষেত্রেই, s=4। এটা স্পষ্ট যে অ্যারের মানগুলির সাথে মানক বিচ্যুতির অনুপাত নমুনার মধ্যে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। এই ধরনের ক্ষেত্রে এটি ব্যবহার করা হয় প্রকরণের সহগ(প্রকরণের সহগ, সিভি) - অনুপাত আদর্শ চ্যুতিগড় থেকে পাটিগণিত, শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

গণনার জন্য MS EXCEL 2007 এবং পূর্ববর্তী সংস্করণে নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিফাংশন =STDEVAL() ব্যবহৃত হয়, ইংরেজি। নাম STDEV, যেমন আদর্শ চ্যুতি। MS EXCEL 2010 এর সংস্করণ থেকে, এটির অ্যানালগ =STDEV.B() , ইংরেজি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে। নাম STDEV.S, i.e. নমুনা স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন।

উপরন্তু, MS EXCEL 2010-এর সংস্করণ থেকে শুরু করে, এখানে একটি ফাংশন STANDARDEV.G(), ইংরেজি। নাম STDEV.P, i.e. জনসংখ্যা স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন, যা গণনা করে আদর্শ চ্যুতিজন্য জনসংখ্যা. পুরো পার্থক্যটি হর-এ নেমে আসে: STANDARDEV.V() এর মতো n-1-এর পরিবর্তে, STANDARDEVAL.G() হর-এ শুধু n আছে।

আদর্শ চ্যুতিনীচের সূত্রগুলি ব্যবহার করে সরাসরি গণনা করা যেতে পারে (উদাহরণ ফাইল দেখুন)
=ROOT(QUADROTCL(নমুনা)/(COUNT(নমুনা)-1))
=রুট((সমষ্টি(নমুনা)-COUNT(নমুনা)*গড়(নমুনা)^2)/(কাউন্ট(নমুনা)-1))

বিক্ষিপ্ত অন্যান্য ব্যবস্থা

SQUADROTCL() ফাংশন এর সাথে গণনা করে তাদের থেকে মানগুলির বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির সমষ্টি গড়. এই ফাংশনটি সূত্রের মতো একই ফলাফল দেবে =DISP.G( নমুনা)*চেক( নমুনা) , কোথায় নমুনা- নমুনা মান () এর একটি বিন্যাস ধারণকারী একটি পরিসরের একটি রেফারেন্স। QUADROCL() ফাংশনে গণনা সূত্র অনুযায়ী করা হয়:

SROTCL() ফাংশন একটি ডেটা সেটের বিস্তারের একটি পরিমাপও। ফাংশন SROTCL() গড় গণনা করে পরম মানথেকে মূল্যবোধের বিচ্যুতি গড়. এই ফাংশন সূত্র হিসাবে একই ফলাফল প্রদান করবে =SUMPRODUCT(ABS(নমুনা-গড়(নমুনা)))/COUNT(নমুনা), কোথায় নমুনা- নমুনা মানগুলির একটি বিন্যাস ধারণকারী একটি ব্যাপ্তির একটি লিঙ্ক৷

SROTCL () ফাংশনে গণনা সূত্র অনুযায়ী করা হয়:

.

বিপরীতভাবে, যদি একটি অ-নেতিবাচক হয় a.e. ফাংশন যেমন , তারপর একটি একেবারে অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা পরিমাপ আছে যেমন এটি এর ঘনত্ব।

Lebesgue integral এ পরিমাপ প্রতিস্থাপন:

,

কোথায় কোন বোরেল ফাংশন যা সম্ভাব্যতা পরিমাপের ক্ষেত্রে একত্রিত হয়।

বিচ্ছুরণ, বিচ্ছুরণের প্রকার এবং বৈশিষ্ট্য বিচ্ছুরণের ধারণা

পরিসংখ্যানে বিচ্ছুরণপাটিগণিত গড় থেকে চারিত্রিক বর্গক্ষেত্রের স্বতন্ত্র মানের আদর্শ বিচ্যুতি হিসাবে পাওয়া যায়। প্রাথমিক তথ্যের উপর নির্ভর করে, এটি সহজ এবং ওজনযুক্ত বৈচিত্র সূত্র ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়:

1. সরল পার্থক্য(অসংগঠিত ডেটার জন্য) সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

2. ওয়েটেড ভ্যারিয়েন্স (প্রকরণ সিরিজের জন্য):

যেখানে n হচ্ছে ফ্রিকোয়েন্সি (ফ্যাক্টর X এর পুনরাবৃত্তিযোগ্যতা)

বৈচিত্র খোঁজার একটি উদাহরণ

এই পৃষ্ঠাটি বৈচিত্র খোঁজার একটি আদর্শ উদাহরণ বর্ণনা করে, আপনি এটি খোঁজার জন্য অন্যান্য সমস্যাগুলিও দেখতে পারেন

উদাহরণ 1. গোষ্ঠী, গোষ্ঠীর গড়, আন্তঃগোষ্ঠী এবং মোট বৈচিত্র্য নির্ধারণ

উদাহরণ 2. একটি গ্রুপিং টেবিলে প্রকরণ এবং প্রকরণের সহগ খুঁজে বের করা

উদাহরণ 3. এর মধ্যে ভিন্নতা খুঁজে বের করা বিচ্ছিন্ন সিরিজ

উদাহরণ 4. নিম্নলিখিত তথ্য 20 জন ছাত্রের একটি দলের জন্য উপলব্ধ চিঠিপত্র বিভাগ. গড়তে হবে ব্যবধান সিরিজএকটি বৈশিষ্ট্যের বন্টন, বৈশিষ্ট্যের গড় মান গণনা করুন এবং এর বৈচিত্র অধ্যয়ন করুন

এর একটি ব্যবধান গ্রুপিং তৈরি করা যাক. সূত্রটি ব্যবহার করে ব্যবধানের পরিসীমা নির্ধারণ করা যাক:

যেখানে X max হল গ্রুপিং বৈশিষ্ট্যের সর্বোচ্চ মান; X মিনিট - গ্রুপিং বৈশিষ্ট্যের ন্যূনতম মান; n - বিরতির সংখ্যা:

আমরা n=5 গ্রহণ করি। ধাপটি হল: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

এর একটি অন্তর্বর্তী গ্রুপিং তৈরি করা যাক

আরও গণনার জন্য, আমরা একটি সহায়ক টেবিল তৈরি করব:

X"i - ব্যবধানের মাঝামাঝি। (উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানের মাঝখানে 159 – 165.6 = 162.3)

আমরা ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় সূত্র ব্যবহার করে শিক্ষার্থীদের গড় উচ্চতা নির্ধারণ করি:

আসুন সূত্রটি ব্যবহার করে বৈচিত্র নির্ধারণ করি:

সূত্র এই মত রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে প্রকরণ সমান বিকল্পগুলির বর্গক্ষেত্রের গড় এবং বর্গক্ষেত্র এবং গড়ের মধ্যে পার্থক্য।

মধ্যে পার্থক্য ভিন্নতা সিরিজ সঙ্গে সমান বিরতিতেবিচ্ছুরণের দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য (ব্যবধানের মান দ্বারা সমস্ত বিকল্পকে ভাগ করে) ব্যবহার করে মুহুর্তের পদ্ধতি দ্বারা নিম্নলিখিত উপায়ে গণনা করা যেতে পারে। পার্থক্য নির্ণয় করা, মুহুর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা হয়, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা কম শ্রমসাধ্য:

যেখানে আমি ব্যবধানের মান; A হল একটি প্রচলিত শূন্য, যার জন্য সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ ব্যবধানের মাঝখানে ব্যবহার করা সুবিধাজনক; m1 হল প্রথম অর্ডার মোমেন্টের বর্গ; m2 - দ্বিতীয় আদেশের মুহূর্ত

বিকল্প বৈশিষ্ট্য বৈচিত্র্য (যদি একটি পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্য এমনভাবে পরিবর্তন হয় যে শুধুমাত্র দুটি পারস্পরিক একচেটিয়া বিকল্প থাকে, তাহলে এই ধরনের পরিবর্তনশীলতাকে বিকল্প বলা হয়) সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

এই বিচ্ছুরণ সূত্রে q = 1- p প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

ভিন্নতার প্রকারভেদ

মোট বৈচিত্র্যএই ভিন্নতা সৃষ্টিকারী সমস্ত কারণের প্রভাবে সমগ্র জনসংখ্যা জুড়ে একটি বৈশিষ্ট্যের ভিন্নতা পরিমাপ করে। এটি x এর সামগ্রিক গড় মান থেকে একটি চরিত্রগত x এর পৃথক মানের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান এবং এটিকে সরল প্রকরণ বা ওজনযুক্ত প্রকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য র‍্যান্ডম প্রকরণকে চিহ্নিত করে, যেমন পরিবর্তনের অংশ যা হিসাববিহীন কারণের প্রভাবের কারণে হয় এবং ফ্যাক্টর-অ্যাট্রিবিউটের উপর নির্ভর করে না যা গ্রুপের ভিত্তি তৈরি করে। এই ধরনের বিচ্ছুরণ গোষ্ঠীর গাণিতিক গড় থেকে গ্রুপ X-এর মধ্যে অ্যাট্রিবিউটের পৃথক মানের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান এবং সাধারণ বিচ্ছুরণ বা ওজনযুক্ত বিচ্ছুরণ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে।

এইভাবে, দলের মধ্যে পার্থক্য পরিমাপএকটি গোষ্ঠীর মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তন এবং সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

যেখানে xi হল গ্রুপ গড়; ni হল গ্রুপের ইউনিটের সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, একটি কর্মশালায় শ্রম উত্পাদনশীলতার স্তরের উপর শ্রমিকদের যোগ্যতার প্রভাব অধ্যয়নের কাজ করার জন্য অন্তর্গোষ্ঠীর বৈচিত্রগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন সমস্ত সম্ভাব্য কারণগুলির (সরঞ্জামের প্রযুক্তিগত অবস্থা, প্রাপ্যতা) দ্বারা সৃষ্ট প্রতিটি গোষ্ঠীর আউটপুটে তারতম্য দেখায় সরঞ্জাম এবং উপকরণ, কর্মীদের বয়স, শ্রমের তীব্রতা, ইত্যাদি।), যোগ্যতা বিভাগের পার্থক্য ব্যতীত (একটি গ্রুপের মধ্যে সমস্ত কর্মীদের একই যোগ্যতা রয়েছে)।

গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্যের গড় এলোমেলো পরিবর্তনকে প্রতিফলিত করে, অর্থাৎ, গ্রুপিং ফ্যাক্টর বাদ দিয়ে অন্যান্য সমস্ত কারণের প্রভাবে ঘটে যাওয়া প্রকরণের সেই অংশ। এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

আন্তঃগ্রুপ বৈচিত্র্যফলস্বরূপ বৈশিষ্ট্যের পদ্ধতিগত পরিবর্তনকে চিহ্নিত করে, যা ফ্যাক্টর-অ্যাট্রিবিউটের প্রভাবের কারণে হয় যা গ্রুপের ভিত্তি তৈরি করে। এটি সামগ্রিক গড় থেকে গোষ্ঠীর বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান। সূত্র ব্যবহার করে আন্তঃগোষ্ঠী বৈচিত্র্য গণনা করা হয়:

এই পৃষ্ঠাটি বর্ণনা করে আদর্শ উদাহরণভিন্নতা খুঁজে বের করার জন্য, আপনি এটি খুঁজে পেতে অন্যান্য সমস্যাগুলিও দেখতে পারেন

উদাহরণ 1. গোষ্ঠী, গোষ্ঠীর গড়, আন্তঃগোষ্ঠী এবং মোট বৈচিত্র্য নির্ধারণ

উদাহরণ 2. একটি গ্রুপিং টেবিলে প্রকরণ এবং প্রকরণের সহগ খুঁজে বের করা

উদাহরণ 3. একটি পৃথক সিরিজে বৈচিত্র্য খুঁজে বের করা

উদাহরণ 4. নিম্নলিখিত তথ্য 20 জন চিঠিপত্রের ছাত্রদের জন্য উপলব্ধ। বৈশিষ্ট্যের বিতরণের একটি ব্যবধান সিরিজ তৈরি করা, বৈশিষ্ট্যের গড় মান গণনা করা এবং এর বিচ্ছুরণ অধ্যয়ন করা প্রয়োজন।

এর একটি ব্যবধান গ্রুপিং তৈরি করা যাক. সূত্রটি ব্যবহার করে ব্যবধানের পরিসীমা নির্ধারণ করা যাক:

যেখানে X max হল গ্রুপিং বৈশিষ্ট্যের সর্বোচ্চ মান;
X মিনিট - গ্রুপিং বৈশিষ্ট্যের সর্বনিম্ন মান;
n - বিরতির সংখ্যা:

আমরা n=5 গ্রহণ করি। ধাপটি হল: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

এর একটি অন্তর্বর্তী গ্রুপিং তৈরি করা যাক

আরও গণনার জন্য, আমরা একটি সহায়ক টেবিল তৈরি করব:

X"i - ব্যবধানের মাঝামাঝি। (উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানের মাঝখানে 159 – 165.6 = 162.3)

আমরা ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় সূত্র ব্যবহার করে শিক্ষার্থীদের গড় উচ্চতা নির্ধারণ করি:

আসুন সূত্রটি ব্যবহার করে বৈচিত্র নির্ধারণ করি:

সূত্র এই মত রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে প্রকরণ সমান বিকল্পগুলির বর্গক্ষেত্রের গড় এবং বর্গক্ষেত্র এবং গড়ের মধ্যে পার্থক্য।

প্রকরণ সিরিজে বিচ্ছুরণমোমেন্টের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমান ব্যবধানের সাথে বিচ্ছুরণের দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে নিম্নলিখিত উপায়ে গণনা করা যেতে পারে (ব্যবধানের মান দ্বারা সমস্ত বিকল্পকে ভাগ করে)। পার্থক্য নির্ণয় করা, মুহুর্তের পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা কম শ্রমসাধ্য:

যেখানে আমি ব্যবধানের মান;
A হল একটি প্রচলিত শূন্য, যার জন্য সর্বোচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি সহ ব্যবধানের মাঝখানে ব্যবহার করা সুবিধাজনক;
m1 হল প্রথম অর্ডার মোমেন্টের বর্গ;
m2 - দ্বিতীয় আদেশের মুহূর্ত

বিকল্প বৈশিষ্ট্য বৈচিত্র্য (যদি একটি পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার মধ্যে একটি চরিত্রগত পরিবর্তন এমনভাবে হয় যে শুধুমাত্র দুটি পারস্পরিক একচেটিয়া বিকল্প থাকে, তাহলে এই ধরনের পরিবর্তনশীলতাকে বিকল্প বলা হয়) সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

এই বিচ্ছুরণ সূত্রে q = 1- p প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

ভিন্নতার প্রকারভেদ

মোট বৈচিত্র্যএই ভিন্নতা ঘটায় এমন সমস্ত কারণের প্রভাবে সমগ্র জনসংখ্যা জুড়ে একটি বৈশিষ্ট্যের ভিন্নতা পরিমাপ করে। এটি x এর সামগ্রিক গড় মান থেকে একটি চরিত্রগত x এর পৃথক মানের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান এবং এটিকে সরল প্রকরণ বা ওজনযুক্ত প্রকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য র‍্যান্ডম প্রকরণকে চিহ্নিত করে, যেমন বৈচিত্র্যের অংশ যা হিসাববিহীন কারণের প্রভাবের কারণে হয় এবং ফ্যাক্টর-অ্যাট্রিবিউটের উপর নির্ভর করে না যা গ্রুপের ভিত্তি তৈরি করে। এই ধরনের বিচ্ছুরণ গোষ্ঠীর গাণিতিক গড় থেকে গ্রুপ X-এর মধ্যে অ্যাট্রিবিউটের পৃথক মানের বিচ্যুতির গড় বর্গক্ষেত্রের সমান এবং সাধারণ বিচ্ছুরণ বা ওজনযুক্ত বিচ্ছুরণ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে।

এইভাবে, দলের মধ্যে পার্থক্য পরিমাপএকটি গোষ্ঠীর মধ্যে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তন এবং সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

যেখানে xi হল গ্রুপ গড়;
ni হল গ্রুপের ইউনিটের সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, কর্মশালায় শ্রম উত্পাদনশীলতার স্তরের উপর কর্মীদের যোগ্যতার প্রভাব অধ্যয়ন করার সমস্যায় যে অন্তঃগোষ্ঠীর বৈচিত্রগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন তা প্রতিটি গ্রুপের আউটপুটে বৈচিত্র দেখায়। সম্ভাব্য কারণ(সরঞ্জামের প্রযুক্তিগত অবস্থা, সরঞ্জাম এবং উপকরণের প্রাপ্যতা, কর্মীদের বয়স, শ্রমের তীব্রতা ইত্যাদি), যোগ্যতা বিভাগের পার্থক্য ব্যতীত (একটি গোষ্ঠীর মধ্যে, সমস্ত কর্মীদের একই যোগ্যতা রয়েছে)।

সমগ্র জনসংখ্যা জুড়ে একটি বৈশিষ্ট্যের বৈচিত্র অধ্যয়নের পাশাপাশি, জনসংখ্যা যে সমস্ত গোষ্ঠীতে বিভক্ত, সেইসাথে গোষ্ঠীগুলির মধ্যে বৈশিষ্ট্যের পরিমাণগত পরিবর্তনগুলি চিহ্নিত করা প্রায়ই প্রয়োজন। পরিবর্তনের এই অধ্যয়নটি গণনা এবং বিশ্লেষণের মাধ্যমে অর্জন করা হয় বিভিন্ন ধরনেরভিন্নতা
মোট, আন্তঃগ্রুপ এবং ইন্ট্রাগ্রুপ ভ্যারিয়েন্স আছে.
মোট প্রকরণ σ 2এই ভিন্নতা সৃষ্টিকারী সমস্ত কারণের প্রভাবের অধীনে সমগ্র জনসংখ্যা জুড়ে একটি বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তন পরিমাপ করে।

ইন্টারগ্রুপ ভ্যারিয়েন্স (δ) পদ্ধতিগত পরিবর্তনকে চিহ্নিত করে, যেমন অধ্যয়ন করা বৈশিষ্ট্যের মূল্যের পার্থক্য যা ফ্যাক্টর বৈশিষ্ট্যের প্রভাবে উদ্ভূত হয় যা গ্রুপের ভিত্তি তৈরি করে। এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
.

গ্রুপের মধ্যে পার্থক্য (σ)এলোমেলো প্রকরণ প্রতিফলিত করে, যেমন পরিবর্তনের অংশ যা হিসাববিহীন কারণের প্রভাবের অধীনে ঘটে এবং ফ্যাক্টর-অ্যাট্রিবিউটের উপর নির্ভর করে না যা গ্রুপের ভিত্তি তৈরি করে। এটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
.

গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্যের গড়: .

3 ধরনের বিচ্ছুরণ সংযোগকারী একটি আইন আছে। মোট ভ্যারিয়েন্স হল গ্রুপের ভিতরের এবং গ্রুপের মধ্যে ভ্যারিয়েন্সের গড় যোগফলের সমান: .
এই অনুপাত বলা হয় বৈচিত্র যোগ করার নিয়ম.

বিশ্লেষণে একটি বহুল ব্যবহৃত সূচক হল মোট প্রকরণের মধ্যে-গোষ্ঠীর বৈচিত্র্যের অনুপাত। একে বলে পরীক্ষামূলক সহগ নির্ধারণের (η 2): .
নির্ণয়ের অভিজ্ঞতামূলক সহগের বর্গমূল বলা হয় অভিজ্ঞতামূলক পারস্পরিক সম্পর্ক অনুপাত (η):
.
এটি বৈশিষ্ট্যের প্রভাবকে চিহ্নিত করে যা ফলাফলের বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তনের উপর গোষ্ঠীর ভিত্তি তৈরি করে। অভিজ্ঞতামূলক পারস্পরিক সম্পর্ক অনুপাত 0 থেকে 1 পর্যন্ত।
আসুন আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণ ব্যবহার করে এর ব্যবহারিক ব্যবহার প্রদর্শন করি (সারণী 1)।

উদাহরণ নং 1। সারণি 1 - NPO "সাইক্লোন" এর একটি কর্মশালায় দুই দলের কর্মীদের শ্রম উৎপাদনশীলতা

আসুন সামগ্রিক এবং গোষ্ঠীর উপায় এবং বৈচিত্রগুলি গণনা করি:

ইন্ট্রাগ্রুপ এবং ইন্টারগ্রুপ ভ্যারিয়েন্সের গড় গণনা করার জন্য প্রাথমিক ডেটা টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে। 2.
টেবিল ২
কর্মীদের দুই দলের জন্য গণনা এবং δ 2।

শ্রমিক দল	শ্রমিকের সংখ্যা, মানুষ	গড়, শিশু/শিফ্ট	বিচ্ছুরণ
কারিগরি প্রশিক্ষণ সম্পন্ন	5	95	42,0
যারা কারিগরি প্রশিক্ষণ শেষ করেননি	5	81	231,2
সকল শ্রমিক	10	88	185,6

আসুন সূচকগুলি গণনা করি। গোষ্ঠীর মধ্যে পার্থক্যের গড়:
.
আন্তঃগ্রুপ বৈচিত্র্য

মোট বৈচিত্র্য:
সুতরাং, অভিজ্ঞতামূলক পারস্পরিক সম্পর্ক অনুপাত: .

পরিমাণগত বৈশিষ্ট্যের তারতম্যের পাশাপাশি গুণগত বৈশিষ্ট্যের তারতম্যও লক্ষ্য করা যায়। প্রকরণের এই অধ্যয়নটি নিম্নলিখিত ধরণের বৈচিত্রগুলি গণনা করে অর্জন করা হয়:

শেয়ারের অন্তর্গত গ্রুপ বিচ্ছুরণ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

কোথায় n i- পৃথক গ্রুপে ইউনিট সংখ্যা।
সমগ্র জনসংখ্যার অধ্যয়নকৃত বৈশিষ্ট্যের ভাগ, যা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
তিনটি প্রকারভেদ একে অপরের সাথে সম্পর্কিত:
.

বৈচিত্র্যের এই সম্পর্কটিকে বৈশিষ্ট্য ভাগের বৈচিত্র্যের যোগের উপপাদ্য বলা হয়।

যাইহোক, এলোমেলো পরিবর্তনশীল অধ্যয়ন করার জন্য এই বৈশিষ্ট্যটি একা যথেষ্ট নয়। কল্পনা করা যাক দুই শ্যুটার একটি লক্ষ্যবস্তুতে গুলি করছে। একজন নিখুঁতভাবে গুলি করে এবং কেন্দ্রের কাছাকাছি আঘাত করে, অন্যটি... শুধু মজা করছে এবং লক্ষ্যও করে না। কিন্তু মজার ব্যাপার হলো সে গড়ফলাফল প্রথম শ্যুটার হিসাবে ঠিক একই হবে! এই পরিস্থিতিটি প্রচলিতভাবে নিম্নলিখিত র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা চিত্রিত করা হয়েছে:

"স্নাইপার" গাণিতিক প্রত্যাশা সমান, তবে, "আকর্ষণীয় ব্যক্তি" এর জন্য: - এটিও শূন্য!

সুতরাং, কতদূর পরিমাপ করা প্রয়োজন বিক্ষিপ্তলক্ষ্য কেন্দ্রের সাথে সম্পর্কিত বুলেট (এলোমেলো পরিবর্তনশীল মান) গাণিতিক প্রত্যাশা) ভালো এবং বিক্ষিপ্তল্যাটিন থেকে অনুবাদ করা ছাড়া অন্য কোন উপায় নেই বিচ্ছুরণ .

আসুন দেখি কিভাবে এই সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যটি পাঠের 1 ম অংশ থেকে উদাহরণগুলির একটি ব্যবহার করে নির্ধারণ করা হয়:

সেখানে আমরা এই গেমটির একটি হতাশাজনক গাণিতিক প্রত্যাশা পেয়েছি, এবং এখন আমাদের এর বৈচিত্র্য গণনা করতে হবে, যা দ্বারা প্রকাশমাধ্যম ।

গড় মূল্যের তুলনায় জয়/পরাজয় কতদূর "বিক্ষিপ্ত" তা খুঁজে বের করা যাক। স্পষ্টতই, এর জন্য আমাদের গণনা করতে হবে পার্থক্যমধ্যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল মানএবং তার গাণিতিক প্রত্যাশা:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

এখন মনে হচ্ছে আপনার ফলাফলগুলি যোগ করা দরকার, তবে এই উপায়টি উপযুক্ত নয় - এই কারণে যে বাম দিকের ওঠানামা ডানদিকে ওঠানামার সাথে একে অপরকে বাতিল করবে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি "অপেশাদার" শ্যুটার (উপরের উদাহরণ)পার্থক্য হবে , এবং যোগ করা হলে তারা শূন্য দেবে, তাই আমরা তার শুটিংয়ের বিচ্ছুরণের কোন অনুমান পাব না।

এই সমস্যা কাছাকাছি পেতে আপনি বিবেচনা করতে পারেন মডিউলপার্থক্য, কিন্তু প্রযুক্তিগত কারণে তারা বর্গ করা হয় যখন পদ্ধতি রুট হয়েছে. একটি টেবিলে সমাধানটি তৈরি করা আরও সুবিধাজনক:

এবং এখানে এটি গণনা করতে begs ওজনযুক্ত গড়বর্গীয় বিচ্যুতির মান। এটা কি? এটা তাদের প্রত্যাশিত মান, যা বিক্ষিপ্তকরণের একটি পরিমাপ:

– সংজ্ঞাভিন্নতা সংজ্ঞা থেকে এটা অবিলম্বে স্পষ্ট যে পার্থক্য নেতিবাচক হতে পারে না- অনুশীলনের জন্য নোট নিন!

আসুন মনে রাখবেন কিভাবে প্রত্যাশিত মান খুঁজে বের করতে হয়। বর্গের পার্থক্যগুলিকে সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার দ্বারা গুণ করুন (সারণী ধারাবাহিকতা):
- রূপকভাবে বলতে গেলে, এটি "ট্র্যাকশন ফোর্স",
এবং ফলাফল সংক্ষিপ্ত করুন:

আপনি কি মনে করেন না যে জয়ের তুলনায় ফলাফলটি খুব বড় হতে চলেছে? এটা ঠিক - আমরা এটিকে স্কোয়ার করেছি, এবং আমাদের গেমের মাত্রায় ফিরে যেতে, আমাদের নিষ্কাশন করতে হবে বর্গমূল. এই পরিমাণ বলা হয় আদর্শ চ্যুতি এবং গ্রীক অক্ষর "সিগমা" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

এই মান কখনও কখনও বলা হয় আদর্শ চ্যুতি .

এর অর্থ কি? যদি আমরা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দ্বারা গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বাম এবং ডানে বিচ্যুত হই:

- তাহলে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে সম্ভাব্য মানগুলি এই ব্যবধানে "ঘনবদ্ধ" হবে। আমরা আসলে যা পর্যবেক্ষণ করি:

যাইহোক, এটি ঘটে যে বিক্ষিপ্তকরণ বিশ্লেষণ করার সময় একজন প্রায় সর্বদা বিচ্ছুরণের ধারণার সাথে কাজ করে। আসুন গেমের সাথে সম্পর্কিত এর অর্থ কী তা খুঁজে বের করা যাক। যদি তীরগুলির ক্ষেত্রে আমরা লক্ষ্যের কেন্দ্রের সাপেক্ষে হিটের "নির্ভুলতা" সম্পর্কে কথা বলি, তবে এখানে বিচ্ছুরণ দুটি জিনিসকে চিহ্নিত করে:

প্রথমত, এটা স্পষ্ট যে বাজি বাড়লে বিচ্ছুরণও বাড়ে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা 10 গুণ বৃদ্ধি করি, তাহলে গাণিতিক প্রত্যাশা 10 গুণ বৃদ্ধি পাবে এবং বৈচিত্র্য 100 গুণ বৃদ্ধি পাবে (যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত পরিমাণ). কিন্তু খেয়াল করুন খেলার নিয়ম নিজেরাই বদলায়নি! শুধুমাত্র হার পরিবর্তিত হয়েছে, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আমরা 10 রুবেল বাজি ধরার আগে, এখন 100।

দ্বিতীয়, আরও আকর্ষণীয় বিষয় হল যে বৈচিত্র্য খেলার শৈলীকে চিহ্নিত করে। মানসিকভাবে খেলার বাজি ঠিক করুন কিছু নির্দিষ্ট স্তরে, এবং আসুন দেখি কি কি:

একটি কম বৈচিত্র্য খেলা একটি সতর্ক খেলা. খেলোয়াড় সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য স্কিম বেছে নেওয়ার প্রবণতা রাখে, যেখানে সে একবারে খুব বেশি হারে/জয় না। উদাহরণস্বরূপ, রুলেটে লাল/কালো সিস্টেম (নিবন্ধের উদাহরণ 4 দেখুন এলোমেলো ভেরিয়েবল) .

উচ্চ বৈচিত্র্য খেলা. তাকে প্রায়ই ডাকা হয় বিচ্ছুরিতখেলা এটি একটি দুঃসাহসিক বা আক্রমণাত্মক খেলার শৈলী, যেখানে খেলোয়াড় "অ্যাড্রেনালিন" স্কিম বেছে নেয়। এর অন্তত মনে রাখা যাক "মার্টিঙ্গেল", যেখানে ঝুঁকির পরিমাণ আগের পয়েন্টের "শান্ত" গেমের চেয়ে বেশি মাত্রার অর্ডার।

জুজু পরিস্থিতি নির্দেশক: তথাকথিত আছে টাইটখেলোয়াড়দের যারা সতর্ক এবং "অশান্ত" হতে থাকে তাদের উপর গেমিং মানে (ব্যাঙ্করোল). আশ্চর্যের বিষয় নয়, তাদের ব্যাঙ্করোল উল্লেখযোগ্যভাবে ওঠানামা করে না (কম বৈচিত্র্য)। বিপরীতে, যদি একজন খেলোয়াড়ের উচ্চ বৈচিত্র্য থাকে, তবে সে একজন আগ্রাসী। তিনি প্রায়শই ঝুঁকি নেন, বড় বাজি করেন এবং হয় একটি বিশাল ব্যাঙ্ক ভাঙতে পারেন বা স্মিথেরিনদের কাছে হেরে যেতে পারেন।

ফরেক্সে একই জিনিস ঘটে, এবং আরও অনেক - উদাহরণ প্রচুর আছে।

তদুপরি, সমস্ত ক্ষেত্রে গেমটি পেনি বা হাজার হাজার ডলারের জন্য খেলা হয় কিনা তা বিবেচ্য নয়। প্রতিটি স্তরের নিম্ন- এবং উচ্চ-বিচ্ছুরণকারী খেলোয়াড় রয়েছে। ভাল, জন্য গড় জয়, যেমন আমরা মনে রাখি, "উত্তর" প্রত্যাশিত মান.

আপনি সম্ভবত লক্ষ্য করেছেন যে বৈচিত্র্য খুঁজে পাওয়া একটি দীর্ঘ এবং শ্রমসাধ্য প্রক্রিয়া। কিন্তু গণিত উদার:

বৈচিত্র খোঁজার জন্য সূত্র

এই সূত্রপ্রকরণের সংজ্ঞা থেকে সরাসরি উদ্ভূত হয়েছে, এবং আমরা অবিলম্বে এটি ব্যবহার করি। আমি উপরের আমাদের গেমের সাথে সাইনটি কপি করব:

এবং গাণিতিক প্রত্যাশা পাওয়া গেছে।

চলুন দ্বিতীয় উপায়ে ভিন্নতা গণনা করা যাক। প্রথমে, আসুন গাণিতিক প্রত্যাশা খুঁজে বের করি - এলোমেলো চলকের বর্গ। দ্বারা গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ধারণ:

ভিতরে এক্ষেত্রে:

সুতরাং, সূত্র অনুযায়ী:

তারা বলে, পার্থক্য অনুভব করুন। এবং অনুশীলনে, অবশ্যই, সূত্রটি ব্যবহার করা ভাল (যদি না শর্তটি অন্যথায় প্রয়োজন হয়)।

আমরা সমাধান এবং ডিজাইন করার কৌশল আয়ত্ত করি:

উদাহরণ 6

এর গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং প্রমিত বিচ্যুতি খুঁজুন।

এই টাস্ক সর্বত্র পাওয়া যায়, এবং, একটি নিয়ম হিসাবে, অর্থপূর্ণ অর্থ ছাড়া যায়।
আপনি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা সহ একটি পাগলাগারে আলোকিত সংখ্যা সহ বেশ কয়েকটি আলোর বাল্ব কল্পনা করতে পারেন :)

সমাধান: একটি সারণীতে মৌলিক গণনার সারসংক্ষেপ করা সুবিধাজনক। প্রথমত, আমরা উপরের দুই লাইনে প্রাথমিক তথ্য লিখি। তারপরে আমরা সঠিক কলামে পণ্যগুলি, তারপরে এবং অবশেষে যোগফল গণনা করি:

আসলে, প্রায় সবকিছু প্রস্তুত। তৃতীয় লাইনটি একটি প্রস্তুত গাণিতিক প্রত্যাশা দেখায়: .

আমরা সূত্র ব্যবহার করে বৈচিত্র গণনা করি:

এবং অবশেষে, আদর্শ বিচ্যুতি:
- ব্যক্তিগতভাবে, আমি সাধারণত 2 দশমিক স্থানে রাউন্ড করি।

সমস্ত গণনা ক্যালকুলেটরে করা যেতে পারে, বা আরও ভাল - এক্সেলে:

এখানে ভুল করা কঠিন :)

উত্তর:

যারা ইচ্ছুক তারা তাদের জীবনকে আরও সহজ করতে পারে এবং আমার সুবিধা নিতে পারে ক্যালকুলেটর (ডেমো), যা শুধুমাত্র তাত্ক্ষণিকভাবে সমাধান করবে না এই কাজটি, কিন্তু নির্মাণ করা হবে বিষয়ভিত্তিক গ্রাফিক্স (আমরা শীঘ্রই সেখানে পৌঁছব). প্রোগ্রাম হতে পারে লাইব্রেরি থেকে ডাউনলোড করুন- আপনি যদি অন্তত একটি ডাউনলোড করে থাকেন শিক্ষাগত উপাদান, অথবা পান অন্য উপায়. প্রকল্প সমর্থন করার জন্য ধন্যবাদ!

জন্য কাজ একটি দম্পতি স্বাধীন সিদ্ধান্ত:

উদাহরণ 7

সংজ্ঞা দ্বারা পূর্ববর্তী উদাহরণে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ গণনা করুন।

এবং একটি অনুরূপ উদাহরণ:

উদাহরণ 8

একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল তার বন্টন আইন দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়:

হ্যাঁ, এলোমেলো পরিবর্তনশীল মানগুলি বেশ বড় হতে পারে (বাস্তব কাজের উদাহরণ), এবং এখানে, যদি সম্ভব হয়, এক্সেল ব্যবহার করুন। যেমন, উপায় দ্বারা, উদাহরণ 7-এ এটি দ্রুত, আরও নির্ভরযোগ্য এবং আরও উপভোগ্য।

পৃষ্ঠার নীচে সমাধান এবং উত্তর।

পাঠের 2য় অংশের শেষে, আমরা আরও একটি দেখব সাধারণ কাজ, কেউ এমনকি বলতে পারে, একটি ছোট রিবাস:

উদাহরণ 9

একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল শুধুমাত্র দুটি মান নিতে পারে: এবং , এবং . সম্ভাব্যতা, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং পার্থক্য জানা যায়।

সমাধান: একটা অজানা সম্ভাবনা দিয়ে শুরু করা যাক। যেহেতু একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল মাত্র দুটি মান নিতে পারে, তাই সংশ্লিষ্ট ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতার যোগফল হল:

এবং তারপর থেকে.

যা বাকি আছে তা হল খুঁজে বের করা..., এটা বলা সহজ :) কিন্তু ওহ, এখানে আমরা যাই। গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা অনুসারে:
- বিকল্প পরিচিত পরিমাণ:

- এবং এই সমীকরণ থেকে আর কিছুই চেপে যাওয়া যাবে না, আপনি এটিকে স্বাভাবিক দিক থেকে পুনরায় লিখতে পারেন:

বা:

সম্পর্কিত পরবর্তী কার্যক্রম, আমি মনে করি আপনি অনুমান করতে পারেন. আসুন সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি:

দশমিক- এটি, অবশ্যই, একটি সম্পূর্ণ অসম্মান; উভয় সমীকরণ 10 দ্বারা গুণ করুন:

এবং 2 দ্বারা ভাগ করুন:

এটা তুলনামূলক ভাল। 1 ম সমীকরণ থেকে আমরা প্রকাশ করি:
(এটাই সহজ উপায়)- ২য় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

আমরা নির্মাণ করছি বর্গক্ষেত্রএবং সরলীকরণ করা:

গুন করা:

ফলাফল ছিল দ্বিঘাত সমীকরণ, আমরা এটি বৈষম্যমূলক খুঁজে পাই:
- দারুণ!

এবং আমরা দুটি সমাধান পেতে পারি:

1) যদি , যে ;

2) যদি , যে.

মানগুলির প্রথম জোড়া শর্তটি সন্তুষ্ট করে। একটি উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সবকিছু সঠিক, তবে, তবুও, আসুন বন্টন আইনটি লিখি:

এবং একটি চেক সম্পাদন করুন, যথা, প্রত্যাশা খুঁজুন: