Algoritam rješenja Gaussove metode. Gaussova metoda (sekvencijalna eliminacija nepoznatih)

The online kalkulator pronalazi rešenje za sistem linearne jednačine(SLN) Gaussovom metodom. Dato je detaljno rješenje. Da biste izračunali, odaberite broj varijabli i broj jednačina. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Brojčani prikaz:

Cijeli brojevi i/ili Uobičajeni razlomci
Cijeli brojevi i/ili decimale

Broj mjesta nakon decimalnog separatora

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda tranzicije sa originalnog sistema linearnih jednačina (koristeći ekvivalentne transformacije) na sistem koji je lakše riješiti od originalnog sistema.

Ekvivalentne transformacije sistema linearnih jednačina su:

• zamena dve jednačine u sistemu,
• množenje bilo koje jednačine u sistemu realnim brojem koji nije nula,
• dodajući jednoj jednačini drugu jednačinu pomnoženu proizvoljnim brojem.

Razmotrimo sistem linearnih jednačina:

(1)

Zapišimo sistem (1) u matričnom obliku:

Ax=b

(2)

(3)

A- naziva se matrica koeficijenata sistema, b− desna strana ograničenja, x− vektor varijabli koje treba pronaći. Neka rangira ( A)=str.

Ekvivalentne transformacije ne mijenjaju rang matrice koeficijenata i rang proširene matrice sistema. Skup rješenja sistema se također ne mijenja pod ekvivalentnim transformacijama. Suština Gaussove metode je smanjenje matrice koeficijenata A dijagonalno ili stepenasto.

Hajde da napravimo proširenu matricu sistema:

U sledećoj fazi resetujemo sve elemente kolone 2, ispod elementa. Ako je ovaj element nula, onda se ovaj red zamjenjuje redom koji leži ispod ovog reda i ima element koji nije nula u drugom stupcu. Zatim resetirajte sve elemente kolone 2 ispod vodećeg elementa a 22. Da biste to učinili, dodajte redove 3, ... m sa nizom 2 pomnoženim sa − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, respektivno. Nastavljajući postupak, dobijamo matricu dijagonalnog ili stepenastog oblika. Neka rezultirajuća proširena matrica ima oblik:

(7)

Jer rangA=rang(A|b), tada je skup rješenja (7) ( n−p)− raznolikost. Dakle n−p nepoznanice se mogu birati proizvoljno. Preostale nepoznanice iz sistema (7) izračunavaju se na sljedeći način. Iz posljednje jednačine koju izražavamo x p kroz preostale varijable i umetnuti u prethodne izraze. Dalje, iz pretposljednje jednačine izražavamo x p−1 kroz preostale varijable i ubaciti u prethodne izraze, itd. Razmotrimo Gaussovu metodu na konkretnim primjerima.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina primjenom Gaussove metode

Primjer 1. Pronađite zajednička odluka sistemi linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Označimo sa a ij elementi i-ti red i j th column.

a jedanaest . Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa linijom 1, pomnožene sa -2/3,-1/2, respektivno:

Matrix tip snimanja: Ax=b, Gdje

Označimo sa a ij elementi i-ti red i j th column.

Isključimo elemente 1. kolone matrice ispod elementa a jedanaest . Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa linijom 1, pomnožene sa -1/5, -6/5, respektivno:

Svaki red matrice dijelimo odgovarajućim vodećim elementom (ako vodeći element postoji):

Gdje x 3 , x

Zamjenom gornjih izraza u donje, dobivamo rješenje.

Tada se vektorsko rješenje može predstaviti na sljedeći način:

Gdje x 3 , x 4 su proizvoljni realni brojevi.

Jedna od univerzalnih i efikasnih metoda za rješavanje linearnih algebarskih sistema je Gausova metoda , koji se sastoji u sekvencijalnom uklanjanju nepoznatih.

Podsjetimo da se dva sistema zovu ekvivalentno (ekvivalentno) ako se skupovi njihovih rješenja poklapaju. Drugim riječima, sistemi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog i obrnuto. Ekvivalentni sistemi se dobijaju kada elementarne transformacije jednačine sistema:

množenje obje strane jednačine brojem koji nije nula;

dodavanje nekoj jednačini odgovarajućih delova druge jednačine, pomnoženih brojem koji nije nula;

preuređivanje dve jednačine.

Neka je zadan sistem jednačina

Proces rješavanja ovog sistema Gausovom metodom sastoji se od dvije faze. U prvoj fazi (direktno kretanje) sistem se, koristeći elementarne transformacije, svodi na korak po korak , ili trouglasti um, a u drugoj fazi ( obrnuti hod) postoji sekvencijalno određivanje nepoznatih iz rezultirajućeg sistema koraka, počevši od posljednje varijable broja.

Pretpostavimo da je koeficijent ovog sistema
, inače u sistemu prvi red se može zamijeniti bilo kojim drugim redom tako da koeficijent at bio drugačiji od nule.

Hajde da transformišemo sistem eliminisanjem nepoznatog u svim jednačinama osim prve. Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe sa i dodaj član po član sa drugom jednačinom sistema. Zatim pomnožite obje strane prve jednačine sa i dodajte ga trećoj jednačini sistema. Nastavljajući ovaj proces, dobijamo ekvivalentni sistem

Evo
– nove vrijednosti koeficijenata i slobodnih termina koji se dobijaju nakon prvog koraka.

Slično, s obzirom na glavni element
, isključiti nepoznato iz svih jednačina sistema, osim prve i druge. Nastavimo ovaj proces što je duže moguće, a kao rezultat ćemo dobiti postupni sistem

,

Gdje ,
,…,– glavni elementi sistema
.

Ako se u procesu svođenja sistema na stepenasti oblik pojave jednačine, odnosno jednakosti oblika
, oni se odbacuju jer ih zadovoljava bilo koji skup brojeva
. Ako na
će se pojaviti jednačina oblika, koji nema rješenja, onda to ukazuje na nekompatibilnost sistema.

Tokom obrnutog hoda, prva nepoznata se izražava iz posljednje jednadžbe transformiranog sistema koraka kroz sve ostale nepoznanice
koji se zovu besplatno . Zatim varijabilni izraz iz zadnje jednadžbe sistema se zamjenjuje u pretposljednju jednačinu i iz nje se izražava varijabla
. Varijable se definiraju sekvencijalno na sličan način
. Varijable
, izražene kroz slobodne varijable, se pozivaju osnovni (ovisni). Rezultat je opšte rješenje sistema linearnih jednačina.

Naći privatno rešenje sistemi, slobodni nepoznati
u opštem rešenju se dodeljuju proizvoljne vrednosti i izračunavaju se vrednosti varijabli
.

Tehnički je zgodnije podvrgnuti elementarnim transformacijama ne same sistemske jednačine, već proširenu matricu sistema

.

Gaussova metoda je univerzalna metoda koja vam omogućava da riješite ne samo kvadratne, već i pravokutne sisteme u kojima je broj nepoznatih
nije jednako broju jednačina
.

Prednost ove metode je i to što u procesu rješavanja istovremeno ispitujemo kompatibilnost sistema, budući da je dato proširenu matricu
u stepenastom obliku, lako je odrediti rangove matrice i proširena matrica
i prijavite se Kronecker-Capelli teorem .

Primjer 2.1 Rešite sistem Gaussovom metodom

Rješenje. Broj jednačina
i broj nepoznatih
.

Kreirajmo proširenu matricu sistema dodjeljivanjem koeficijenata desno od matrice besplatni članovi kolone .

Hajde da predstavimo matricu To trouglasti pogled; Da bismo to učinili, dobićemo "0" ispod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali koristeći elementarne transformacije.

Da biste dobili "0" na drugoj poziciji prve kolone, pomnožite prvi red sa (-1) i dodajte ga drugom redu.

Ovu transformaciju zapisujemo kao broj (-1) uz prvi red i označavamo je strelicom koja ide od prvog do drugog reda.

Da biste dobili "0" na trećoj poziciji prve kolone, pomnožite prvi red sa (-3) i dodajte trećem redu; Pokažimo ovu akciju pomoću strelice koja ide od prvog reda do trećeg.

.

U rezultujućoj matrici, upisanoj na drugom mestu u lancu matrica, dobijamo „0“ u drugoj koloni na trećoj poziciji. Da bismo to učinili, pomnožili smo drugi red sa (-4) i dodali ga trećem. U rezultirajućoj matrici pomnožite drugi red sa (-1), a treći podijelite sa (-8). Svi elementi ove matrice koji leže ispod dijagonalnih elemenata su nule.

Jer , sistem je kolaborativan i definisan.

Sistem jednačina koji odgovara poslednjoj matrici ima trouglasti oblik:

Iz posljednje (treće) jednačine
. Zamijenite u drugu jednačinu i dobijete
.

Zamenimo
I
u prvu jednačinu, nalazimo


.

Nastavljamo da razmatramo sisteme linearnih jednačina. Ova lekcija je treća na ovu temu. Ako imate nejasnu ideju o tome što je sustav linearnih jednadžbi općenito, ako se osjećate kao čajnik, onda preporučujem da počnete s osnovama na stranici Dalje, korisno je proučiti lekciju.

Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak „Kralj matematike“. A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, novac ne dobijaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret bio je na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku.

Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:

1) Imati jedinstveno rješenje. 2) Imati beskonačno mnogo rješenja. 3) Nemati rješenja (biti non-joint).

Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! U ovoj lekciji ćemo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje za sistem), a članak je posvećen situacijama tačaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem iz razreda Kako riješiti sistem linearnih jednačina? i riješiti ga Gaussovom metodom.

Prvi korak je zapisivanje proširena sistemska matrica: . Mislim da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.

Referenca : Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru matrica sistema: . Proširena sistemska matrica – ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju: . Radi kratkoće, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom.

Nakon što je proširena sistemska matrica napisana, potrebno je izvršiti neke radnje s njom, koje se još nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Strings matrice Može preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako je matrica (ili se pojavila) proporcionalna (kao poseban slučaj– identične) linije, onda slijedi izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: . Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.

5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Razmotrite našu matricu od praktični primjer: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa –2: , And drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa –2: . Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa –2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.

U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko: Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

“Prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga pomnožim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: »

“Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane “sama po sebi”. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni pod kojim okolnostima ne smijete ništa preuređivati ​​unutar matrica! Vratimo se našem sistemu. Praktično je rasparčano.

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. I opet: zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Svrha elementarnih transformacija – svesti matricu u postupni oblik: . U dizajnu zadatka jednostavnom olovkom označavaju "stepenice", a također zaokružuju brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz „stepeni pogled“ nije sasvim teorijski, u naučnom i edukativna literaturačesto se naziva trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:

Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .

Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju zamijenimo već poznatu vrijednost "y":

Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.

Primjer 1

Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom:

Napišimo proširenu matricu sistema:

Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja: I ponavljam, naš cilj je da dovedemo matricu u postupni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj: Trebao bi skoro uvijek biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tamo obično stavlja jedan. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom uglu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:

Rezultat pišemo u drugom redu:

Na isti način se bavimo i trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3:

Rezultat pišemo u trećem redu:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „unošenja“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:
I već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih proračuna.

U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer što su brojevi manji, to je rješenje jednostavnije:

U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu:

Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2:
Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i izvršite sabiranje.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem linearnih jednačina: Cool.

Sada na scenu stupa obrnuto od Gaussove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat:

Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba: . "Igrek" i "zet" su poznati, samo su male stvari:

Odgovori:

Kao što je više puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to je lako i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se ne poklapa sa mojim procesom odlučivanja, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Gledamo gornju lijevu “stepenicu”. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: (1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).

(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu.

(3) Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.

(4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (ređe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput , ispod, i, shodno tome, , onda sa velikim stepenom verovatnoće možemo reći da je učinjena greška tokom elementarnih transformacija.

Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti hod, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:

Odgovori: .

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja.

U posljednjem dijelu ćemo pogledati neke karakteristike Gaussovog algoritma. Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u sistemskim jednačinama, na primjer: Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam pričao o ovome na času. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, budući da prvi stupac već ima jednu nulu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li tamo biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na gornjoj lijevoj “stepenici” imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - a drugi je dva i šest. A dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Na ovaj način ćemo dobiti tražene nule u prvoj koloni.

Ili nešto ovako uslovni primjer: . Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “korak” jer je 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećem redu dodati drugi red, pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Samouvjereno naučite rješavati sisteme koristeći druge metode (Cramerova metoda, matrična metoda) možete doslovno prvi put - postoji vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste „ubaciti svoje zube u“ i riješiti najmanje 5-10 deset sistema. Stoga u početku može doći do zabune i grešaka u proračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve koji žele složeniji primjer da sami riješe:

Primjer 5

Riješite sistem od 4 linearne jednadžbe sa četiri nepoznate pomoću Gaussove metode.

Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljno proučio ovu stranicu razumjeti algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi, sve je isto - samo ima više akcija.

Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa zajedničkim rešenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje : Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik.
Izvršene osnovne transformacije: (1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1. Pažnja! Ovdje možete biti u iskušenju da oduzmete prvi od trećeg reda; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od greške se znatno povećava. Samo ga savijte! (2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka , da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije. (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5. (4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podeljen sa 14.

Revers:

Odgovori : .

Primjer 4: Rješenje : Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Izvršene konverzije: (1) Drugi red je dodat prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupu”. (2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu.

Sa drugim “korak” sve postaje gore , “kandidati” za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1. (4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3. Potrebna stavka u drugom koraku je primljena. . (5) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 6. (6) Drugi red je pomnožen sa –1, treći red podeljen sa -83.

Revers:

Odgovori :

Primjer 5: Rješenje : Zapišimo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik:

Izvršene konverzije: (1) Prvi i drugi red su zamijenjeni. (2) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –3. (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 4. Drugi red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –1. (4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen na mjesto trećeg reda. (5) Treći red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –5.

Revers:

Odgovori :

Neka je sistem zadan, ∆≠0. (1)
Gaussova metoda je metoda sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih.

Suština Gaussove metode je transformacija (1) u sistem sa trouglastom matricom, iz koje se zatim sekvencijalno (obrnuto) dobijaju vrijednosti svih nepoznatih. Razmotrimo jednu od računskih shema. Ovo kolo se zove jednostruko kolo. Pa pogledajmo ovaj dijagram. Neka 11 ≠0 (vodeći element) podijeli prvu jednačinu sa 11. Dobijamo
(2)
Koristeći jednačinu (2), lako je eliminisati nepoznanice x 1 iz preostalih jednačina sistema (da biste to učinili, dovoljno je oduzeti jednačinu (2) od svake jednačine, prethodno pomnoženu odgovarajućim koeficijentom za x 1) , odnosno u prvom koraku dobijamo
.
Drugim riječima, u koraku 1, svaki element sljedećih redova, počevši od drugog, jednak je razlici između originalnog elementa i proizvoda njegove “projekcije” na prvi stupac i prvi (transformirani) red.
Nakon toga, ostavljajući prvu jednačinu na miru, vršimo sličnu transformaciju nad preostalim jednadžbama sistema dobijenim u prvom koraku: između njih biramo jednačinu s vodećim elementom i uz nju isključujemo x 2 iz preostalih jednačine (korak 2).
Nakon n koraka, umjesto (1), dobijamo ekvivalentni sistem
(3)
Dakle, u prvoj fazi dobijamo trouglasti sistem (3). Ova faza se zove naprijed.
U drugoj fazi (obrnuto), nalazimo sekvencijalno iz (3) vrijednosti x n, x n -1, ..., x 1.
Označimo rezultirajuće rješenje sa x 0 . Tada je razlika ε=b-A x 0 naziva rezidualnim.
Ako je ε=0, tada je pronađeno rješenje x 0 tačno.

Proračuni pomoću Gaussove metode se izvode u dvije faze:

1. Prva faza se zove metoda naprijed. U prvoj fazi, originalni sistem se pretvara u trouglasti oblik.
2. Druga faza se zove obrnuti hod. U drugoj fazi rješava se trouglasti sistem koji je ekvivalentan originalnom.

Koeficijenti a 11, a 22, ... nazivaju se vodeći elementi.
U svakom koraku pretpostavljalo se da je vodeći element različit od nule. Ako to nije slučaj, onda se bilo koji drugi element može koristiti kao vodeći element, kao da preuređuje jednačine sistema.

Svrha Gaussove metode

Gaussova metoda je dizajnirana za rješavanje sistema linearnih jednačina. Odnosi se na metode direktnog rješenja.

Vrste Gausove metode

1. Klasična Gausova metoda;
2. Modifikacije Gaussove metode. Jedna od modifikacija Gausove metode je šema sa izborom glavnog elementa. Karakteristika Gaussove metode sa izborom glavnog elementa je takvo preuređenje jednadžbi tako da se u k-tom koraku vodeći element ispostavi kao najveći element u k-tom stupcu.
3. Jordano-Gaussova metoda;

Razlika između Jordano-Gaussove metode i klasične Gaussova metoda sastoji se u primjeni pravila pravokutnika, kada se smjer traženja rješenja javlja duž glavne dijagonale (transformacija u matricu identiteta). Kod Gaussove metode, smjer traženja rješenja odvija se duž kolona (transformacija u sistem sa trouglastom matricom).
Hajde da ilustrujemo razliku Jordano-Gaussova metoda iz Gausove metode sa primjerima.

Primjer rješenja primjenom Gaussove metode
Rešimo sistem:

Radi lakšeg izračunavanja, zamijenimo redove:

Pomnožimo 2. red sa (2). Dodajte 3. red u 2.

Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u prvi

Iz 1. reda izražavamo x 3:
Iz 2. reda izražavamo x 2:
Iz trećeg reda izražavamo x 1:

Primjer rješenja korištenjem Jordano-Gaussove metode
Rešimo isti SLAE koristeći Jordano-Gaussov metod.

Selektovaćemo sekvencijalno rezolucioni element RE, koji leži na glavnoj dijagonali matrice.
Element rezolucije je jednak (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - razlučujući element (1), A i B - matrični elementi koji formiraju pravougaonik sa elementima STE i RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Element razlučivanja je jednak (3).
Umjesto elementa za rješavanje dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da bismo to učinili, biramo četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju razrješavajući element RE.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Element rezolucije je (-4).
Umjesto elementa za rješavanje dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da bismo to učinili, biramo četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju razrješavajući element RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Odgovori: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementacija Gausove metode

Gausova metoda je implementirana u mnogim programskim jezicima, posebno: Pascal, C++, php, Delphi, a postoji i online implementacija Gausove metode.

Korištenje Gaussove metode

Primjena Gaussove metode u teoriji igara

U teoriji igara, pri pronalaženju maksimalne optimalne strategije igrača, sastavlja se sistem jednačina koji se rješava Gaussovom metodom.

Primjena Gaussove metode u rješavanju diferencijalnih jednadžbi

Da biste pronašli određeno rješenje diferencijalne jednadžbe, prvo pronađite izvode odgovarajućeg stepena za napisano parcijalno rješenje (y=f(A,B,C,D)), koji se zamjenjuju u originalna jednadžba. Sljedeći pronaći varijable A,B,C,D sistem jednačina se sastavlja i rješava Gausovom metodom.

Primjena Jordano-Gaussove metode u linearnom programiranju

IN linearno programiranje, posebno u simpleks metodi, pravilo pravokutnika, koje koristi Jordano-Gaussov metod, koristi se za transformaciju simpleks tablice na svakoj iteraciji.

Definicija i opis Gausove metode

Metoda Gaussove transformacije (takođe poznata kao metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli iz jednačine ili matrice) za rješavanje sistema linearnih jednačina je klasična metoda om sistemskim rješenjima algebarske jednačine(SLAU). Ova klasična metoda se također koristi za rješavanje problema kao što je dobivanje inverzne matrice i određivanje ranga matrice.

Transformacija pomoću Gaussove metode sastoji se od malih (elementarnih) sekvencijalnih promjena u sistemu linearnih algebarskih jednadžbi, što dovodi do eliminacije varijabli iz njega od vrha do dna uz formiranje novog trokutastog sistema jednadžbi koji je ekvivalentan izvornom jedan.

Definicija 1

Ovaj dio rješenja se zove udar naprijed Gaussova rješenja, budući da se cijeli proces odvija od vrha do dna.

Nakon svođenja originalnog sistema jednačina na trouglasti, nalazimo sve sistemske varijable odozdo prema gore (to jest, prve pronađene varijable zauzimaju tačno poslednje linije sistema ili matrice). Ovaj dio rješenja je također poznat kao inverz Gaussovog rješenja. Njegov algoritam je sljedeći: prvo se izračunaju varijable najbliže dnu sistema jednadžbi ili matrice, zatim se rezultirajuće vrijednosti zamjenjuju višim i tako se pronađe druga varijabla itd.

Opis algoritma Gausove metode

Slijed radnji za opće rješenje sistema jednačina pomoću Gaussove metode sastoji se u naizmjeničnom primjeni poteza naprijed i nazad na matricu zasnovanu na SLAE. Neka početni sistem jednačina ima sljedeći oblik:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Za rješavanje SLAE pomoću Gaussove metode potrebno je originalni sistem jednadžbi napisati u obliku matrice:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrica $A$ naziva se glavna matrica i predstavlja koeficijente varijabli zapisanih redom, a $b$ se naziva stupac njegovih slobodnih članova. Matrica $A$, ispisana kroz traku sa kolonom slobodnih pojmova, naziva se proširena matrica:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(niz)$

Sada je potrebno, koristeći elementarne transformacije na sistemu jednadžbi (ili na matrici, pošto je to pogodnije), dovesti ga u sledeći oblik:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(slučajevi)$ (1)

Matrica dobijena iz koeficijenata transformisanog sistema jednačine (1) naziva se matrica koraka, ovako obično izgledaju matrice koraka:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(niz)$

Ove matrice karakterizira sljedeći skup svojstava:

1. Sve njegove nulte linije dolaze iza ne-nula linija
2. Ako je neki red matrice sa brojem $k$ različit od nule, tada prethodni red iste matrice ima manje nula od ovog sa brojem $k$.

Nakon dobivanja matrice koraka, potrebno je zamijeniti rezultirajuće varijable u preostale jednadžbe (počevši od kraja) i dobiti preostale vrijednosti varijabli.

Osnovna pravila i dozvoljene transformacije pri korištenju Gaussove metode

Kada pojednostavljujete matricu ili sistem jednačina pomoću ove metode, trebate koristiti samo elementarne transformacije.

Takve transformacije se smatraju operacijama koje se mogu primijeniti na matricu ili sistem jednačina bez promjene njegovog značenja:

• preuređivanje nekoliko redova,
• dodavanje ili oduzimanje od jednog reda matrice drugog reda iz njega,
• množenje ili dijeljenje niza konstantom koja nije jednaka nuli,
• red koji se sastoji samo od nula, dobijenih u procesu izračunavanja i pojednostavljivanja sistema, mora biti obrisan,
• Također morate ukloniti nepotrebne proporcionalne linije, birajući za sistem jedini s koeficijentima koji su prikladniji i pogodniji za daljnje proračune.

Sve elementarne transformacije su reverzibilne.

Analiza tri glavna slučaja koji se javljaju pri rješavanju linearnih jednadžbi metodom jednostavnih Gaussovih transformacija

Postoje tri slučaja koji se javljaju kada se koristi Gaussova metoda za rješavanje sistema:

1. Kada je sistem nekonzistentan, odnosno nema rješenja
2. Sistem jednadžbi ima rješenje, i to jedinstveno, a broj redova i stupaca koji nisu nula u matrici je jednak jedni drugima.
3. Sistem ima određenu količinu ili set moguća rješenja, a broj redova u njemu manji je od broja kolona.

Ishod rješenja sa nekonzistentnim sistemom

Za ovu opciju, prilikom rješavanja matrična jednačina Gaussov metod karakteriše dobijanje neke linije uz nemogućnost ispunjenja jednakosti. Stoga, ako se pojavi barem jedna netačna jednakost, rezultirajući i originalni sistemi nemaju rješenja, bez obzira na ostale jednačine koje sadrže. Primjer nekonzistentne matrice:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

U posljednjem redu pojavila se nemoguća jednakost: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje

Ovi sistemi, nakon svođenja na matricu koraka i uklanjanja redova sa nulama, imaju isti broj redova i kolona u glavnoj matrici. Evo najjednostavniji primjer ovakav sistem:

$\begin(slučajevi) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(slučajevi)$

Zapišimo to u obliku matrice:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Da bismo prvu ćeliju drugog reda doveli na nulu, pomnožimo gornji red sa $-2$ i oduzmemo ga od donjeg reda matrice, a gornji red ostavimo u originalnom obliku, kao rezultat imamo sljedeće :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Ovaj primjer se može napisati kao sistem:

$\begin(slučajevi) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(slučajevi)$

Niža jednačina daje sljedeću vrijednost za $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Zamijenite ovu vrijednost u gornju jednačinu: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, dobićemo $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Sistem sa mnogo mogućih rješenja

Ovaj sistem karakteriše manji broj značajnih redova od broja kolona u njemu (uzimaju se u obzir redovi glavne matrice).

Varijable u takvom sistemu se dijele na dvije vrste: osnovne i slobodne. Prilikom transformacije takvog sistema, glavne varijable sadržane u njemu moraju se ostaviti u lijevom području do znaka “=”, a preostale varijable se moraju prenijeti u desna strana jednakost.

Takav sistem ima samo određeno opšte rešenje.

Hajde da to sredimo sledeći sistem jednadžbe:

$\begin(slučajevi) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(slučajevi)$

Zapišimo to u obliku matrice:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Naš zadatak je da pronađemo opšte rešenje za sistem. Za ovu matricu, osnovne varijable će biti $y_1$ i $y_3$ (za $y_1$ - pošto je prva, au slučaju $y_3$ - nalazi se iza nula).

Kao bazne varijable biramo upravo one koje su prve u nizu i koje nisu jednake nuli.

Preostale varijable se nazivaju slobodnim, kroz njih moramo izraziti osnovne.

Koristeći takozvani obrnuti potez, analiziramo sistem odozdo prema gore da bismo to uradili, prvo izražavamo $y_3$ iz donjeg reda sistema:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Sada zamjenjujemo izraženi $y_3$ u gornju jednačinu sistema $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Izražavamo $y_1$ u terminima slobodnih varijabli $y_2$ i $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Rešenje je spremno.

Primjer 1

Riješite slough koristeći Gaussovu metodu. Primjeri. Primjer rješavanja sistema linearnih jednadžbi datih matricom 3x3 korištenjem Gaussove metode

$\begin(slučajevi) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(slučajevi)$

Zapišimo naš sistem u obliku proširene matrice:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Sada, radi praktičnosti i praktičnosti, trebate transformirati matricu tako da $1$ bude u gornjem uglu najudaljenije kolone.

Da bismo to učinili, u 1. red moramo dodati liniju iz sredine, pomnoženu sa $-1$, i napisati samu srednju liniju kakva jeste, ispada:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(niz)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(niz) $

Pomnožite gornji i zadnji red sa $-1$, a također zamijenite zadnji i srednji red:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

I podijelite zadnji red sa $3$:

$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(niz)$

Dobijamo sljedeći sistem jednačina, ekvivalentan izvornom:

$\begin(slučajevi) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(slučajevi)$

Iz gornje jednačine izražavamo $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Primjer 2

Primjer rješavanja sistema definiranog korištenjem matrice 4 sa 4 korištenjem Gausove metode

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.

Na početku mijenjamo gornje linije koje slijede da dobijemo $1$ u gornjem lijevom uglu:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.

Sada pomnožite gornju liniju sa $-2$ i dodajte 2. i 3.. Četvrtom dodamo 1. red, pomnožen sa $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(niz)$

Sada na red broj 3 dodajemo red 2 pomnožen sa $4$, a na red 4 dodajemo red 2 pomnožen sa $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(niz)$

Pomnožimo red 2 sa $-1$, a red 4 podijelimo sa $3$ i zamijenimo red 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(niz)$

Sada u zadnji red dodajemo pretposljednji, pomnožen sa $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(niz)$

Rezultujući sistem jednačina rešavamo:

$\begin(slučajevi) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(slučajevi)$