Más de una manera sencilla. Para hacer esto, elimine z entre paréntesis. Obtendrás: z(аz + b) = 0. Los factores se pueden escribir: z=0 y az + b = 0, ya que ambos pueden resultar en cero. En la notación az + b = 0, movemos el segundo hacia la derecha con diferente signo. De aquí obtenemos z1 = 0 y z2 = -b/a. Éstas son las raíces del original.
Si hay No ecuación completa forma az² + c = 0, en en este caso se encuentran simplemente transfiriendo el término libre a lado derecho ecuaciones También cambia su signo. El resultado será az² = -с. Exprese z² = -c/a. Saca la raíz y escribe dos soluciones: una raíz cuadrada positiva y otra negativa.
nota
Si hay coeficientes fraccionarios en la ecuación, multiplica la ecuación completa por el factor apropiado para eliminar las fracciones.
El conocimiento de cómo resolver ecuaciones cuadráticas es necesario tanto para los escolares como para los estudiantes, a veces esto también puede ayudar a un adulto en la vida cotidiana; Existen varios métodos de solución específicos.
Resolver ecuaciones cuadráticas
Ecuación cuadrática de la forma a*x^2+b*x+c=0. El coeficiente x es la variable deseada, a, b, c son coeficientes numéricos. Recuerde que el signo “+” puede cambiar a un signo “-”.Para resolver esta ecuación es necesario utilizar el teorema de Vieta o encontrar el discriminante. El método más común es encontrar el discriminante, ya que para algunos valores de a, b, c no es posible utilizar el teorema de Vieta.
Para encontrar el discriminante (D), necesitas escribir la fórmula D=b^2 - 4*a*c. El valor D puede ser mayor, menor o igual a cero. Si D es mayor o menor que cero, entonces habrá dos raíces; si D = 0, entonces solo queda una raíz más precisamente, podemos decir que D en este caso tiene dos raíces equivalentes; Sustituya los coeficientes conocidos a, b, c en la fórmula y calcule el valor.
Una vez que haya encontrado el discriminante, use las fórmulas para encontrar x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, donde sqrt es una función que significa sacar la raíz cuadrada de un número dado. Después de calcular estas expresiones, encontrarás dos raíces de tu ecuación, después de lo cual la ecuación se considerará resuelta.
Si D es menor que cero, entonces todavía tiene raíces. Esta sección prácticamente no se estudia en la escuela. Los estudiantes universitarios deben tener en cuenta que debajo de la raíz aparece un número negativo. Se deshacen de él resaltando la parte imaginaria, es decir, -1 bajo la raíz siempre es igual al elemento imaginario “i”, que se multiplica por la raíz con el mismo número positivo. Por ejemplo, si D=sqrt(-20), después de la transformación resulta D=sqrt(20)*i. Después de esta transformación, la resolución de la ecuación se reduce al mismo hallazgo de raíces descrito anteriormente.
El teorema de Vieta consiste en seleccionar los valores de x(1) y x(2). Se utilizan dos ecuaciones idénticas: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Y muy punto importante es el signo delante del coeficiente b, recuerda que este signo es opuesto al de la ecuación. A primera vista, parece que calcular x(1) y x(2) es muy sencillo, pero a la hora de resolver te encontrarás con el hecho de que tendrás que seleccionar los números.
Elementos para resolver ecuaciones cuadráticas.
De acuerdo con las reglas de las matemáticas, algunas se pueden factorizar: (a+x(1))*(b-x(2))=0, si lograste transformar esta ecuación cuadrática de manera similar usando fórmulas matemáticas, entonces siéntete libre de escribe la respuesta. x(1) y x(2) serán iguales a los coeficientes adyacentes entre paréntesis, pero con signo opuesto.Además, no te olvides de las ecuaciones cuadráticas incompletas. Es posible que le falten algunos de los términos; de ser así, entonces todos sus coeficientes son simplemente iguales a cero. Si no hay nada delante de x^2 o x, entonces los coeficientes a y b son iguales a 1.
Ecuación cuadrática: ¡fácil de resolver! *En adelante denominado “KU”. Amigos, parecería que no podría haber nada más sencillo en matemáticas que resolver tal ecuación. Pero algo me dijo que mucha gente tiene problemas con él. Decidí ver cuántas impresiones bajo demanda emite Yandex al mes. Esto es lo que pasó, mira:
¿Qué significa? Esto significa que unas 70.000 personas al mes buscan esta informacion, ¿qué tiene que ver este verano con eso y qué pasará entre año escolar— Habrá el doble de solicitudes. Esto no es sorprendente, porque aquellos chicos y chicas que se graduaron de la escuela hace mucho tiempo y se están preparando para el examen están buscando esta información, y los escolares también se esfuerzan por refrescar su memoria.
A pesar de que hay muchos sitios que te dicen cómo resolver esta ecuación, decidí contribuir y publicar el material también. En primer lugar, me gustaría que los visitantes vinieran a mi sitio basándose en esta solicitud; en segundo lugar, en otros artículos, cuando surja el tema "KU", proporcionaré un enlace a este artículo; En tercer lugar, te contaré un poco más sobre su solución de lo que suele publicarse en otros sitios. ¡Empecemos! El contenido del artículo:
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:
donde los coeficientes a,byc son números arbitrarios, con a≠0.
EN curso escolar el material se presenta en la siguiente forma: las ecuaciones se dividen condicionalmente en tres clases:
1. Tienen dos raíces.
2. *Tiene una sola raíz.
3. No tienen raíces. Vale la pena señalar aquí especialmente que no tienen raíces reales.
¿Cómo se calculan las raíces? ¡Justo!
Calculamos el discriminante. Debajo de esta palabra “terrible” se esconde una fórmula muy simple:
Las fórmulas raíz son las siguientes:
*Es necesario saberse estas fórmulas de memoria.
Puedes anotar y resolver inmediatamente:
Ejemplo:
1. Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces.
2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz.
3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Veamos la ecuación:
Por en esta ocasión, cuando el discriminante es cero, el curso escolar dice que el resultado es una raíz, aquí es igual a nueve. Todo es correcto, es así, pero...
Esta idea es algo incorrecta. De hecho, hay dos raíces. Sí, sí, no te sorprendas, obtienes dos raíces iguales y, para ser matemáticamente precisos, entonces la respuesta debería escribir dos raíces:
x 1 = 3 x 2 = 3
Pero esto es así: una pequeña digresión. En la escuela puedes escribirlo y decir que hay una raíz.
Ahora el siguiente ejemplo:
Como sabemos, la raíz de numero negativo no se extrae, por lo que no hay solución en este caso.
Ese es todo el proceso de decisión.
Función cuadrática.
Esto muestra cómo se ve la solución geométricamente. Es extremadamente importante comprender esto (en el futuro, en uno de los artículos analizaremos en detalle la solución a la desigualdad cuadrática).
Esta es una función de la forma:
donde x e y son variables
a, b, c – números dados, con a ≠ 0
La gráfica es una parábola:
Es decir, resulta que resolviendo una ecuación cuadrática con “y” igual a cero, encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Puede haber dos de estos puntos (el discriminante es positivo), uno (el discriminante es cero) y ninguno (el discriminante es negativo). Detalles sobre función cuadrática puedes ver Artículo de Inna Feldman.
Veamos ejemplos:
Ejemplo 1: resolver 2x 2 +8 X–192=0
a=2b=8c= –192
re=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Respuesta: x 1 = 8 x 2 = –12
*Fue posible dividir inmediatamente los lados izquierdo y derecho de la ecuación entre 2, es decir, simplificarla. Los cálculos serán más fáciles.
Ejemplo 2: Decidir x2–22 x+121 = 0
a=1b=–22c=121
D = segundo 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Encontramos que x 1 = 11 y x 2 = 11
Está permitido escribir x = 11 en la respuesta.
Respuesta: x = 11
Ejemplo 3: Decidir x2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = segundo 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
El discriminante es negativo, no hay solución en números reales.
Respuesta: no hay solución
El discriminante es negativo. ¡Hay una solucion!
Aquí hablaremos de resolver la ecuación en el caso de que se obtenga un discriminante negativo. ¿Sabes algo sobre números complejos? No entraré en detalles aquí sobre por qué y dónde surgieron y cuál es su papel específico y su necesidad en matemáticas. Este es un tema para un artículo extenso y separado;
El concepto de número complejo.
Un poco de teoría.
Un número complejo z es un número de la forma
z = a + bi
donde a y b son números reales, i es la llamada unidad imaginaria.
a+bi – este es un NÚMERO ÚNICO, no una suma.
La unidad imaginaria es igual a la raíz de menos uno:
Ahora considere la ecuación:
Obtenemos dos raíces conjugadas.
Ecuación cuadrática incompleta.
Consideremos casos especiales, es decir, cuando el coeficiente “b” o “c” es igual a cero (o ambos son iguales a cero). Se pueden resolver fácilmente sin problemas discriminatorios.
Caso 1. Coeficiente b = 0.
La ecuación se convierte en:
Transformemos:
Ejemplo:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Caso 2. Coeficiente c = 0.
La ecuación se convierte en:
Transformemos y factoricemos:
*El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.
Ejemplo:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0
x1 = 0x2 = 5
Caso 3. Coeficientes b = 0 y c = 0.
Aquí está claro que la solución de la ecuación siempre será x = 0.
Propiedades útiles y patrones de coeficientes.
Hay propiedades que te permiten resolver ecuaciones con coeficientes grandes.
AX 2 + bx+ C=0 la igualdad se mantiene
a + b+ c = 0, Eso
- si para los coeficientes de la ecuación AX 2 + bx+ C=0 la igualdad se mantiene
a+ c =b, Eso
Estas propiedades ayudan a resolver cierto tipo de ecuación.
Ejemplo 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
La suma de las probabilidades es 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, lo que significa
Ejemplo 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
La igualdad se mantiene a+ c =b, Medio
Regularidades de coeficientes.
1. Si en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 el coeficiente “b” es igual a (a 2 +1), y el coeficiente “c” es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raíces son iguales
hacha 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Ejemplo. Considere la ecuación 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Si en la ecuación ax 2 – bx + c = 0 el coeficiente “b” es igual a (a 2 +1), y el coeficiente “c” es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raíces son iguales
hacha 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Ejemplo. Considere la ecuación 15x 2 –226x +15 = 0.
x1 = 15x2 = 1/15.
3. Si en la ecuación. ax 2 + bx – c = 0 coeficiente “b” es igual a (a 2 – 1), y coeficiente “c” es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raices son iguales
hacha 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Ejemplo. Considere la ecuación 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Si en la ecuación ax 2 – bx – c = 0 el coeficiente “b” es igual a (a 2 – 1), y el coeficiente c es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raíces son iguales
hacha 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Ejemplo. Considere la ecuación 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Teorema de Vieta.
El teorema de Vieta lleva el nombre del famoso matemático francés Francois Vieta. Usando el teorema de Vieta, podemos expresar la suma y el producto de las raíces de un KU arbitrario en términos de sus coeficientes.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
En total, el número 14 da solo 5 y 9. Estas son raíces. Con cierta habilidad, utilizando el teorema presentado, podrás resolver oralmente muchas ecuaciones cuadráticas a la vez.
El teorema de Vieta, además. Es conveniente porque después de resolver una ecuación cuadrática de la forma habitual (mediante un discriminante), se pueden verificar las raíces resultantes. Recomiendo hacer esto siempre.
MÉTODO DE TRANSPORTE
Con este método, el coeficiente “a” se multiplica por el término libre, como si se “arrojara” sobre él, por eso se llama método de "transferencia". Este método se utiliza cuando puedes encontrar fácilmente las raíces de la ecuación usando el teorema de Vieta y, lo más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.
Si A± b+c≠ 0, entonces se utiliza la técnica de transferencia, por ejemplo:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Usando el teorema de Vieta en la ecuación (2), es fácil determinar que x 1 = 10 x 2 = 1
Las raíces resultantes de la ecuación deben dividirse por 2 (ya que las dos fueron “arrojadas” de x 2), obtenemos
x1 = 5x2 = 0,5.
¿Cuál es el fundamento? Mira lo que está pasando.
Los discriminantes de las ecuaciones (1) y (2) son iguales:
Si miras las raíces de las ecuaciones, solo obtienes diferentes denominadores, y el resultado depende precisamente del coeficiente de x 2:
El segundo (modificado) tiene raíces que son 2 veces más grandes.
Por tanto, dividimos el resultado por 2.
*Si volvemos a tirar los tres, dividiremos el resultado entre 3, etc.
Respuesta: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Cuadrados. ur-ie y examen estatal unificado.
Te contaré brevemente su importancia: DEBES PODER DECIDIR rápidamente y sin pensar, necesitas saber de memoria las fórmulas de raíces y discriminantes. Muchos de los problemas incluidos en las tareas del Examen Estatal Unificado se reducen a resolver una ecuación cuadrática (incluidas las geométricas).
¡Algo digno de mención!
1. La forma de escribir una ecuación puede ser “implícita”. Por ejemplo, es posible la siguiente entrada:
15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.
Necesitas traerlo a vista estándar(para no confundirse a la hora de decidir).
2. Recuerde que x es una cantidad desconocida y puede denotarse con cualquier otra letra: t, q, p, h y otras.
Este tema puede parecer difícil al principio debido a que muchos no tan fórmulas simples. Las ecuaciones cuadráticas no sólo tienen notaciones largas, sino que las raíces también se encuentran a través del discriminante. En total se obtienen tres nuevas fórmulas. No es muy fácil de recordar. Esto sólo es posible después de resolver dichas ecuaciones con frecuencia. Entonces todas las fórmulas serán recordadas por sí mismas.
Vista general de una ecuación cuadrática.
Aquí proponemos su notación explícita, cuando se escribe primero el grado mayor y luego en orden descendente. A menudo hay situaciones en las que los términos son inconsistentes. Entonces es mejor reescribir la ecuación en orden descendente del grado de la variable.
Introduzcamos algo de notación. Se presentan en la siguiente tabla.
Si aceptamos estas notaciones, todas las ecuaciones cuadráticas se reducen a la siguiente notación.
Además, el coeficiente a ≠ 0. Designemos esta fórmula como la número uno.
Cuando se da una ecuación, no está claro cuántas raíces habrá en la respuesta. Porque siempre es posible una de tres opciones:
- la solución tendrá dos raíces;
- la respuesta será un número;
- la ecuación no tendrá raíces en absoluto.
Y hasta que se tome una decisión, es difícil entender qué opción aparecerá en un caso particular.
Tipos de registros de ecuaciones cuadráticas.
Puede haber diferentes entradas en las tareas. No siempre se verán así formula general ecuación cuadrática. A veces faltarán algunos términos. Lo que se escribió arriba es la ecuación completa. Si eliminas el segundo o tercer término, obtienes algo más. Estos registros también se llaman ecuaciones cuadráticas, solo que incompletos.
Además, sólo pueden desaparecer los términos con coeficientes “b” y “c”. El número "a" no puede ser igual a cero bajo ninguna circunstancia. Porque en este caso la fórmula se convierte en ecuación lineal. Las fórmulas para la forma incompleta de las ecuaciones serán las siguientes:
Entonces, solo hay dos tipos; además de las completas, también existen las ecuaciones cuadráticas incompletas. Sea la primera fórmula la número dos y la segunda el tres.
Discriminante y dependencia del número de raíces de su valor.
Necesitas conocer este número para poder calcular las raíces de la ecuación. Siempre se puede calcular, sin importar cuál sea la fórmula de la ecuación cuadrática. Para calcular el discriminante, debes usar la igualdad escrita a continuación, que tendrá el número cuatro.
Después de sustituir los valores de los coeficientes en esta fórmula, puede obtener números con diferentes signos. Si la respuesta es sí, entonces la respuesta a la ecuación es dos. varias raíces. Si el número es negativo, no habrá raíces en la ecuación cuadrática. Si es igual a cero, solo habrá una respuesta.
¿Cómo resolver una ecuación cuadrática completa?
De hecho, ya se ha comenzado a considerar esta cuestión. Porque primero necesitas encontrar un discriminante. Una vez que se determina que existen raíces de la ecuación cuadrática y se conoce su número, es necesario utilizar fórmulas para las variables. Si hay dos raíces, entonces debes aplicar la siguiente fórmula.
Como contiene un signo “±”, habrá dos valores. La expresión bajo el signo de la raíz cuadrada es el discriminante. Por tanto, la fórmula se puede reescribir de otra manera.
Fórmula número cinco. Del mismo registro se desprende claramente que si el discriminante es igual a cero, entonces ambas raíces tomarán los mismos valores.
Si aún no se ha resuelto la resolución de ecuaciones cuadráticas, entonces es mejor anotar los valores de todos los coeficientes antes de aplicar las fórmulas discriminantes y variables. Posteriormente este momento no causará dificultades. Pero al principio hay confusión.
¿Cómo resolver una ecuación cuadrática incompleta?
Aquí todo es mucho más sencillo. Ni siquiera son necesarias fórmulas adicionales. Y los que ya han sido escritos para el discriminante y el desconocido no serán necesarios.
Primero, veamos la ecuación incompleta número dos. En esta igualdad es necesario sacar la incógnita de entre paréntesis y resolver la ecuación lineal, que quedará entre paréntesis. La respuesta tendrá dos raíces. El primero es necesariamente igual a cero, porque hay un multiplicador formado por la propia variable. El segundo se obtendrá resolviendo una ecuación lineal.
La ecuación incompleta número tres se resuelve moviendo el número del lado izquierdo de la igualdad hacia la derecha. Luego debes dividir por el coeficiente frente a la incógnita. Ya solo queda extraer la raíz cuadrada y recuerda anotarla dos veces con signos opuestos.
A continuación se muestran algunas acciones que te ayudarán a aprender a resolver todo tipo de igualdades que se convierten en ecuaciones cuadráticas. Ayudarán al alumno a evitar errores por falta de atención. Estas deficiencias pueden provocar malas calificaciones al estudiar el extenso tema "Ecuaciones cuadráticas (8º grado)". Posteriormente, no será necesario realizar estas acciones constantemente. Porque aparecerá una habilidad estable.
- Primero necesitas escribir la ecuación en forma estándar. Es decir, primero el término con el mayor grado de la variable, luego, sin grado, y por último, solo un número.
- Si aparece un signo menos antes del coeficiente "a", esto puede complicar el trabajo de un principiante que estudia ecuaciones cuadráticas. Es mejor deshacerse de él. Para ello, toda igualdad debe multiplicarse por “-1”. Esto significa que todos los términos cambiarán de signo al contrario.
- Se recomienda deshacerse de las fracciones de la misma forma. Simplemente multiplica la ecuación por el factor apropiado para que los denominadores se cancelen.
Ejemplos
Se requiere resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
x2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x2 + 8 + 3x = 0;
12x + x2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
La primera ecuación: x 2 − 7x = 0. Está incompleta, por lo tanto se resuelve como se describe para la fórmula número dos.
Después de sacarlo de paréntesis, resulta: x (x - 7) = 0.
La primera raíz toma el valor: x 1 = 0. La segunda se encontrará a partir de la ecuación lineal: x - 7 = 0. Es fácil ver que x 2 = 7.
Segunda ecuación: 5x 2 + 30 = 0. Nuevamente incompleta. Sólo se resuelve como se describe para la tercera fórmula.
Después de mover 30 al lado derecho de la ecuación: 5x 2 = 30. Ahora necesitas dividir entre 5. Resulta: x 2 = 6. Las respuestas serán los números: x 1 = √6, x 2 = - √6.
La tercera ecuación: 15 − 2x − x 2 = 0. Aquí y más, la resolución de ecuaciones cuadráticas comenzará reescribiéndolas en forma estándar: − x 2 − 2x + 15 = 0. Ahora es el momento de usar la segunda aviso util y multiplica todo por menos uno. Resulta x 2 + 2x - 15 = 0. Usando la cuarta fórmula, necesitas calcular el discriminante: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Es un número positivo. De lo dicho anteriormente, resulta que la ecuación tiene dos raíces. Deben calcularse utilizando la quinta fórmula. Resulta que x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Entonces x 1 = 3, x 2 = - 5.
La cuarta ecuación x 2 + 8 + 3x = 0 se transforma en esta: x 2 + 3x + 8 = 0. Su discriminante es igual a este valor: -23. Como este número es negativo, la respuesta a esta tarea será la siguiente entrada: "No hay raíces".
La quinta ecuación 12x + x 2 + 36 = 0 debe reescribirse de la siguiente manera: x 2 + 12x + 36 = 0. Después de aplicar la fórmula del discriminante, se obtiene el número cero. Esto significa que tendrá una raíz, a saber: x = -12/ (2 * 1) = -6.
La sexta ecuación (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) requiere transformaciones, que consisten en traer términos similares abriendo primero los paréntesis. En lugar de la primera habrá la siguiente expresión: x 2 + 2x + 1. Después de la igualdad, aparecerá esta entrada: x 2 + 3x + 2. Después de contar los términos similares, la ecuación tomará la forma: x 2 - x = 0. Se ha vuelto incompleto. Algo parecido a esto ya se ha comentado un poco más arriba. Las raíces de esto serán los números 0 y 1.
Consideremos el problema. La base del rectángulo es 10 cm mayor que su altura y su área es 24 cm². Encuentra la altura del rectángulo. Dejar X centímetros es la altura del rectángulo, entonces su base es igual a ( X+10) cm. El área de este rectángulo es X(X+ 10) cm². Según las condiciones del problema. X(X+ 10) = 24. Abriendo los corchetes y moviendo el número 24 con el signo opuesto hacia lado izquierdo ecuaciones, obtenemos: X² + 10 X-24 = 0. Al resolver este problema se obtuvo una ecuación que se llama cuadrática.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
hacha ²+ bx+c= 0
Dónde a B C- números dados, y A≠ 0, y X- desconocido.
Impares a B C La ecuación cuadrática generalmente se llama: a— el primer coeficiente o el más alto, b- segundo coeficiente, C- un miembro gratuito. Por ejemplo, en nuestro problema, el coeficiente principal es 1, el segundo coeficiente es 10 y el término libre es -24. Resolver muchos problemas de matemáticas y física se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas
Completar ecuaciones cuadráticas. El primer paso es llevar la ecuación dada a la forma estándar. hacha²+ bx+ c = 0. Volvamos a nuestro problema, en el que la ecuación se puede escribir como X(X+ 10) = 24 llevémoslo a la forma estándar, abra los corchetes X² + 10 X- 24 = 0, resolvemos esta ecuación usando la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática general.
La expresión bajo el signo raíz en esta fórmula se llama discriminante D = b² - 4 C.A
Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces diferentes, que se pueden encontrar usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz.
Si D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Sustituyamos los valores en nuestra fórmula. A= 1, b= 10, C= -24.
obtenemos D>0, por lo tanto obtenemos dos raíces.
Consideremos un ejemplo donde D=0, bajo esta condición debería haber una raíz.
25X² — 30 X+ 9 = 0
Considere un ejemplo donde D<0, при этом условии решения не должно быть.
2X² + 3 X+ 4 = 0
El número bajo el signo de la raíz (discriminante) es negativo; escribimos la respuesta de la siguiente manera: la ecuación no tiene raíces reales.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
Ecuación cuadrática hacha² + bx+ C= 0 se llama incompleto si al menos uno de los coeficientes b o C igual a cero. Una ecuación cuadrática incompleta es una ecuación de uno de los siguientes tipos:
hacha² = 0,
hacha² + C= 0, C≠ 0,
hacha² + bx= 0, b≠ 0.
Veamos algunos ejemplos y resolvamos la ecuación.
Dividiendo ambos lados de la ecuación por 5 se obtiene la ecuación. X² = 0, la respuesta tendrá una raíz X= 0.
Considere una ecuación de la forma
3X² - 27 = 0
Dividiendo ambos lados por 3 obtenemos la ecuación X² - 9 = 0, o se puede escribir X² = 9, la respuesta tendrá dos raíces X= 3 y X= -3.
Considere una ecuación de la forma
2X² + 7 = 0
Dividiendo ambos lados por 2 obtenemos la ecuación X² = -7/2. Esta ecuación no tiene raíces reales, ya que X² ≥ 0 para cualquier número real X.
Considere una ecuación de la forma
3X² + 5 X= 0
Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos X(3X+ 5) = 0, la respuesta tendrá dos raíces X= 0, X=-5/3.
Lo más importante a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas es llevar la ecuación cuadrática a una forma estándar, memorizar la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática general y no confundirse con los signos.
Continuando con el tema “Resolver ecuaciones”, el material de este artículo le presentará las ecuaciones cuadráticas.
Veamos todo en detalle: la esencia y notación de una ecuación cuadrática, definamos los términos que la acompañan, analicemos el esquema para resolver ecuaciones completas e incompletas, nos familiaricemos con la fórmula de raíces y el discriminante, establezcamos conexiones entre raíces y coeficientes. y por supuesto daremos una solución visual a ejemplos prácticos.
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Ecuación cuadrática, sus tipos.
Definición 1Ecuación cuadrática es una ecuación escrita como a x 2 + b x + c = 0, Dónde X– variable, a, b y C– algunos números, mientras a no es cero.
A menudo, las ecuaciones cuadráticas también se denominan ecuaciones de segundo grado, ya que en esencia una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado.
Pongamos un ejemplo para ilustrar la definición dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.
Definición 2
Números a, b y C son los coeficientes de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, mientras que el coeficiente a se llama el primero, o mayor, o coeficiente en x 2, b - el segundo coeficiente, o coeficiente en X, A C llamado miembro gratuito.
Por ejemplo, en la ecuación cuadrática 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 el coeficiente principal es 6, el segundo coeficiente es − 2 , y el término libre es igual a − 11 . Prestemos atención al hecho de que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, entonces se utiliza una forma corta de la forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, pero no 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Aclaremos también este aspecto: si los coeficientes a y/o b igual 1 o − 1 , entonces es posible que no participen explícitamente en la redacción de la ecuación cuadrática, lo que se explica por las peculiaridades de escribir los coeficientes numéricos indicados. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 − y + 7 = 0 el coeficiente principal es 1 y el segundo coeficiente es − 1 .
Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.
Según el valor del primer coeficiente, las ecuaciones cuadráticas se dividen en reducidas y no reducidas.
Definición 3
Ecuación cuadrática reducida es una ecuación cuadrática donde el coeficiente principal es 1. Para otros valores del coeficiente principal, la ecuación cuadrática no está reducida.
Pongamos ejemplos: ecuaciones cuadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 se reducen, en cada una de las cuales el coeficiente principal es 1.
9 x 2 - x - 2 = 0- ecuación cuadrática no reducida, donde el primer coeficiente es diferente de 1 .
Cualquier ecuación cuadrática no reducida se puede convertir en una ecuación reducida dividiendo ambos lados por el primer coeficiente (transformación equivalente). La ecuación transformada tendrá las mismas raíces que la ecuación no reducida dada o tampoco tendrá ninguna raíz.
La consideración de un ejemplo específico nos permitirá demostrar claramente la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.
Ejemplo 1
Dada la ecuación 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Es necesario convertir la ecuación original a la forma reducida.
Solución
Según el diagrama anterior, dividimos ambas partes. ecuación original por el coeficiente más alto 6. Entonces obtenemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, y esto es lo mismo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 y además: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aquí: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Se obtiene así una ecuación equivalente a la dada.
Respuesta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.
Pasemos a la definición de ecuación cuadrática. En él especificamos que un ≠ 0. Una condición similar es necesaria para la ecuación. a x 2 + b x + c = 0 era precisamente cuadrado, ya que en un = 0 esencialmente se transforma en una ecuación lineal segundo x + c = 0.
En el caso de que los coeficientes b Y C son iguales a cero (lo cual es posible, tanto individualmente como en conjunto), la ecuación cuadrática se llama incompleta.
Definición 4
Ecuación cuadrática incompleta- tal ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, donde al menos uno de los coeficientes b Y C(o ambos) es cero.
Ecuación cuadrática completa– una ecuación cuadrática en la que todos los coeficientes numéricos no son iguales a cero.
Analicemos por qué los tipos de ecuaciones cuadráticas reciben exactamente estos nombres.
Cuando b = 0, la ecuación cuadrática toma la forma a x 2 + 0 x + c = 0, que es lo mismo que a x 2 + c = 0. En c = 0 la ecuación cuadrática se escribe como a x 2 + b x + 0 = 0, que es equivalente a x 2 + b x = 0. En segundo = 0 Y c = 0 la ecuación tomará la forma a x 2 = 0. Las ecuaciones que obtuvimos difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. En realidad, este hecho dio el nombre a este tipo de ecuación: incompleta.
Por ejemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 y − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 son ecuaciones cuadráticas completas; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – ecuaciones cuadráticas incompletas.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
La definición dada anteriormente permite distinguir los siguientes tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
- a x 2 = 0, esta ecuación corresponde a los coeficientes segundo = 0 y c = 0;
- a · x 2 + c = 0 en b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 en c = 0.
Consideremos secuencialmente la solución de cada tipo de ecuación cuadrática incompleta.
Solución de la ecuación a x 2 =0
Como se mencionó anteriormente, esta ecuación corresponde a los coeficientes b Y C, igual a cero. La ecuacion a x 2 = 0 se puede convertir en una ecuación equivalente x2 = 0, que obtenemos dividiendo ambos lados de la ecuación original por el número a, no igual a cero. El hecho obvio es que la raíz de la ecuación x2 = 0 esto es cero porque 0 2 = 0 . Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede explicarse por las propiedades del grado: para cualquier número pag, no es igual a cero, la desigualdad es verdadera pag 2 > 0, de lo que se deduce que cuando pag ≠ 0 igualdad pag 2 = 0 nunca se logrará.
Definición 5
Por tanto, para la ecuación cuadrática incompleta a x 2 = 0 existe una raíz única x = 0.
Ejemplo 2
Por ejemplo, resolvamos una ecuación cuadrática incompleta. − 3 x 2 = 0. Es equivalente a la ecuación x2 = 0, su única raíz es x = 0, entonces la ecuación original tiene una raíz única: cero.
Brevemente, la solución se escribe de la siguiente manera:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Resolviendo la ecuación a x 2 + c = 0
La siguiente en la fila es la solución de ecuaciones cuadráticas incompletas, donde b = 0, c ≠ 0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 + c = 0. Transformemos esta ecuación moviendo un término de un lado de la ecuación al otro, cambiando el signo al opuesto y dividiendo ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero:
- transferir C al lado derecho, lo que da la ecuación una x 2 = - c;
- dividir ambos lados de la ecuación por a, terminamos con x = - c a .
Nuestras transformaciones son equivalentes; en consecuencia, la ecuación resultante también es equivalente a la original, y este hecho permite sacar conclusiones sobre las raíces de la ecuación. De cuáles son los valores a Y C el valor de la expresión - c a depende: puede tener un signo menos (por ejemplo, si un = 1 Y c = 2, entonces - c a = - 2 1 = - 2) o un signo más (por ejemplo, si un = - 2 Y c = 6, entonces - c a = - 6 - 2 = 3); no es cero porque c ≠ 0. Detengámonos con más detalle en situaciones en las que - c a< 0 и - c a > 0 .
En el caso cuando - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pag la igualdad p 2 = - c a no puede ser cierta.
Todo es diferente cuando - c a > 0: recuerda la raíz cuadrada, y resultará obvio que la raíz de la ecuación x 2 = - c a será el número - c a, ya que - c a 2 = - c a. No es difícil entender que el número - - c a es también la raíz de la ecuación x 2 = - c a: de hecho, - - c a 2 = - c a.
La ecuación no tendrá otras raíces. Podemos demostrar esto usando el método de la contradicción. Para empezar, definamos las notaciones para las raíces encontradas arriba como x1 Y −x1. Supongamos que la ecuación x 2 = - c a también tiene raíz x2, que es diferente de las raíces x1 Y −x1. Sabemos que sustituyendo en la ecuación X sus raíces, transformamos la ecuación en una igualdad numérica justa.
Para x1 Y −x1 escribimos: x 1 2 = - c a , y para x2- x 2 2 = - c a . Basándonos en las propiedades de las igualdades numéricas, restamos una igualdad correcta término por término de otra, lo que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Usamos las propiedades de las operaciones con números para reescribir la última igualdad como (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se sabe que el producto de dos números es cero si y sólo si al menos uno de los números es cero. De lo anterior se deduce que x 1 − x 2 = 0 y/o x1 + x2 = 0, que es lo mismo x2 = x1 y/o x 2 = - x 1. Surgió una contradicción obvia, porque al principio se acordó que la raíz de la ecuación x2 difiere de x1 Y −x1. Entonces, hemos demostrado que la ecuación no tiene más raíces que x = - c a y x = - - c a.
Resumamos todos los argumentos anteriores.
Definición 6
Ecuación cuadrática incompleta a x 2 + c = 0 es equivalente a la ecuación x 2 = - c a, la cual:
- no tendrá raíces en - c a< 0 ;
- tendrá dos raíces x = - c a y x = - - c a para - c a > 0.
Demos ejemplos de resolución de ecuaciones. a x 2 + c = 0.
Ejemplo 3
Dada una ecuación cuadrática 9 x 2 + 7 = 0. Es necesario encontrar una solución.
Solución
Movamos el término libre al lado derecho de la ecuación, entonces la ecuación tomará la forma 9 x 2 = − 7.
Dividamos ambos lados de la ecuación resultante por 9
, llegamos a x 2 = - 7 9 . En el lado derecho vemos un número con un signo menos, lo que significa: la ecuación dada no tiene raíces. Entonces la ecuación cuadrática original incompleta 9 x 2 + 7 = 0 no tendrá raíces.
Respuesta: la ecuacion 9 x 2 + 7 = 0 no tiene raíces.
Ejemplo 4
La ecuación debe ser resuelta. − x 2 + 36 = 0.
Solución
Movamos 36 hacia el lado derecho: − x 2 = − 36.
Dividamos ambas partes por − 1
, obtenemos x2 = 36. En el lado derecho hay un número positivo, del cual podemos concluir que
x = 36 o
x = - 36 .
Extraigamos la raíz y anotemos el resultado final: ecuación cuadrática incompleta − x 2 + 36 = 0 tiene dos raíces x=6 o x = - 6.
Respuesta: x=6 o x = - 6.
Solución de la ecuación a x 2 +b x=0
Analicemos el tercer tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando c = 0. Para encontrar una solución a una ecuación cuadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usaremos el método de factorización. Factoricemos el polinomio que está en el lado izquierdo de la ecuación, quitando el factor común de paréntesis X. Este paso permitirá transformar la ecuación cuadrática incompleta original en su equivalente x (a x + b) = 0. Y esta ecuación, a su vez, equivale a un conjunto de ecuaciones x = 0 Y ax + b = 0. La ecuacion ax + b = 0 lineal y su raíz: x = − segundo un.
Definición 7
Por tanto, la ecuación cuadrática incompleta a x 2 + b x = 0 tendrá dos raíces x = 0 Y x = − segundo un.
Reforcemos el material con un ejemplo.
Ejemplo 5
Es necesario encontrar una solución a la ecuación 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Solución
lo sacaremos X fuera de los corchetes obtenemos la ecuación x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta ecuación es equivalente a las ecuaciones x = 0 y 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ahora debes resolver la ecuación lineal resultante: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Escriba brevemente la solución de la ecuación de la siguiente manera:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 o x = 3 3 7
Respuesta: x = 0, x = 3 3 7.
Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Para encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz:
Definición 8
x = - b ± D 2 · a, donde re = segundo 2 − 4 a c– el llamado discriminante de una ecuación cuadrática.
Escribir x = - b ± D 2 · a esencialmente significa que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Sería útil comprender cómo se derivó esta fórmula y cómo aplicarla.
Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Enfrentémonos a la tarea de resolver una ecuación cuadrática. a x 2 + b x + c = 0. Realicemos una serie de transformaciones equivalentes:
- dividir ambos lados de la ecuación por un número a, distinto de cero, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- resaltemos cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación resultante:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c un
Después de esto, la ecuación tomará la forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Ahora es posible trasladar los dos últimos términos al lado derecho, cambiando el signo al contrario, tras lo cual obtenemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Finalmente, transformamos la expresión escrita al lado derecho de la última igualdad:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Así, llegamos a la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , equivalente a la ecuación original a x 2 + b x + c = 0.
Examinamos la solución de tales ecuaciones en los párrafos anteriores (resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas). La experiencia ya adquirida permite sacar una conclusión sobre las raíces de la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:
- con b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- cuando b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 la ecuación es x + b 2 · a 2 = 0, entonces x + b 2 · a = 0.
Desde aquí la única raíz x = - b 2 · a es obvia;
- para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, se cumplirá lo siguiente: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , que es lo mismo que x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , es decir la ecuación tiene dos raíces.
Es posible concluir que la presencia o ausencia de raíces de la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (y por tanto de la ecuación original) depende del signo de la expresión b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 escrito en el lado derecho. Y el signo de esta expresión viene dado por el signo del numerador, (denominador 4 un 2 siempre será positivo), es decir, el signo de la expresión segundo 2 - 4 a c. Esta expresión segundo 2 - 4 a c se da el nombre: el discriminante de la ecuación cuadrática y la letra D se define como su designación. Aquí puede escribir la esencia del discriminante: basándose en su valor y signo, pueden concluir si la ecuación cuadrática tendrá raíces reales y, de ser así, cuál es el número de raíces: una o dos.
Volvamos a la ecuación x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Reescribámoslo usando notación discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Formulemos nuevamente nuestras conclusiones:
Definición 9
- en D< 0 la ecuación no tiene raíces reales;
- en D=0 la ecuación tiene una sola raíz x = - b 2 · a ;
- en D > 0 la ecuación tiene dos raíces: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 o x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Según las propiedades de los radicales, estas raíces se pueden escribir en la forma: x = - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. Y, cuando abrimos los módulos y llevamos las fracciones a un denominador común, obtenemos: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Entonces, el resultado de nuestro razonamiento fue la derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminante D calculado por la fórmula re = segundo 2 − 4 a c.
Estas fórmulas permiten determinar ambas raíces reales cuando el discriminante es mayor que cero. Cuando el discriminante es cero, la aplicación de ambas fórmulas dará como única solución la misma raíz a la ecuación cuadrática. En el caso de que el discriminante sea negativo, si intentamos utilizar la fórmula para la raíz de una ecuación cuadrática, nos enfrentaremos a la necesidad de extraer Raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos llevará más allá de los números reales. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tendrá raíces reales, pero es posible un par de raíces conjugadas complejas, determinadas por las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.
Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.
Es posible resolver una ecuación cuadrática usando inmediatamente la fórmula de la raíz, pero esto generalmente se hace cuando es necesario encontrar raíces complejas.
En la mayoría de los casos, esto generalmente significa buscar no raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. Entonces lo óptimo, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, es determinar primero el discriminante y asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, concluiremos que la ecuación no tiene raíces reales), y luego proceder a calcular el valor de las raíces.
El razonamiento anterior permite formular un algoritmo para resolver una ecuación cuadrática.
Definición 10
Para resolver una ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, necesario:
- según la fórmula re = segundo 2 − 4 a c encontrar el valor discriminante;
- en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- para D = 0, encuentre la única raíz de la ecuación usando la fórmula x = - b 2 · a;
- para D > 0, determine dos raíces reales de la ecuación cuadrática usando la fórmula x = - b ± D 2 · a.
Tenga en cuenta que cuando el discriminante es cero, puede usar la fórmula x = - b ± D 2 · a, dará el mismo resultado que la fórmula x = - b 2 · a.
Veamos ejemplos.
Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.
Demos soluciones a ejemplos para diferentes valores del discriminante.
Ejemplo 6
Necesitamos encontrar las raíces de la ecuación. x 2 + 2 x - 6 = 0.
Solución
Anotemos los coeficientes numéricos de la ecuación cuadrática: a = 1, b = 2 y c = - 6. A continuación procedemos según el algoritmo, es decir. Empecemos a calcular el discriminante, por el que sustituiremos los coeficientes a, b Y C en la fórmula discriminante: re = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Entonces obtenemos D > 0, lo que significa que la ecuación original tendrá dos raíces reales.
Para encontrarlos utilizamos la fórmula raíz x = - b ± D 2 · a y, sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos: x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifiquemos la expresión resultante quitando el factor del signo de la raíz y luego reduciendo la fracción:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7
Respuesta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .
Ejemplo 7
Necesidad de resolver una ecuación cuadrática. − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Solución
Definamos el discriminante: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Con este valor del discriminante, la ecuación original tendrá una sola raíz, determinada por la fórmula x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3,5
Respuesta: x = 3,5.
Ejemplo 8
La ecuación debe ser resuelta. 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Solución
Los coeficientes numéricos de esta ecuación serán: a = 5, b = 6 y c = 2. Usamos estos valores para encontrar el discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. El discriminante calculado es negativo, por lo que la ecuación cuadrática original no tiene raíces reales.
En el caso de que la tarea sea indicar raíces complejas, aplicamos la fórmula de la raíz, realizando acciones con números complejos:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 yo 10 o x = - 6 - 2 yo 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i o x = - 3 5 - 1 5 · i.
Respuesta: no hay raíces reales; las raíces complejas son las siguientes: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
EN currículum escolar No existe un requisito estándar para buscar raíces complejas, por lo tanto, si durante la solución se determina que el discriminante es negativo, inmediatamente se anota la respuesta de que no existen raíces reales.
Fórmula raíz para segundos coeficientes pares
La fórmula raíz x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permite obtener otra fórmula, más compacta, que permite encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas con coeficiente par para x ( o con un coeficiente de la forma 2 · n, por ejemplo, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Muestremos cómo se deriva esta fórmula.
Enfrentémonos a la tarea de encontrar una solución a la ecuación cuadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedemos según el algoritmo: determinamos el discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), y luego usamos la fórmula raíz:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Denotemos la expresión n 2 − a · c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 · n tomará la forma:
x = - n ± D 1 a, donde D 1 = n 2 − a · c.
Es fácil ver que D = 4 · D 1, o D 1 = D 4. En otras palabras, D 1 es una cuarta parte del discriminante. Obviamente, el signo de D 1 es el mismo que el signo de D, lo que significa que el signo de D 1 también puede servir como indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.
Definición 11
Por tanto, para encontrar una solución a una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente de 2 n, es necesario:
- encontrar D 1 = n 2 − a · c ;
- en D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- cuando D 1 = 0, determine la única raíz de la ecuación usando la fórmula x = - n a;
- para D 1 > 0, determine dos raíces reales usando la fórmula x = - n ± D 1 a.
Ejemplo 9
Es necesario resolver la ecuación cuadrática 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.
Solución
Podemos representar el segundo coeficiente de la ecuación dada como 2 · (− 3) . Luego reescribimos la ecuación cuadrática dada como 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, donde a = 5, n = − 3 y c = − 32.
Calculemos la cuarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. El valor resultante es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales. Determinemoslos usando la fórmula raíz correspondiente:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 o x = - 2
Sería posible realizar cálculos utilizando la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso la solución sería más engorrosa.
Respuesta: x = 3 1 5 o x = - 2 .
Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas
A veces es posible optimizar la forma de la ecuación original, lo que simplificará el proceso de cálculo de las raíces.
Por ejemplo, la ecuación cuadrática 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 es claramente más conveniente de resolver que 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.
Más a menudo, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se lleva a cabo multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, arriba mostramos una representación simplificada de la ecuación 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenida dividiendo ambos lados por 100.
Esta transformación es posible cuando los coeficientes de la ecuación cuadrática no son números coprimos. Luego normalmente dividimos ambos lados de la ecuación por el máximo común divisor. valores absolutos sus coeficientes.
Como ejemplo, usamos la ecuación cuadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Determinemos el MCD de los valores absolutos de sus coeficientes: MCD (12, 42, 48) = MCD(MCD (12, 42), 48) = MCD (6, 48) = 6. Dividamos ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6 y obtengamos la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.
Al multiplicar ambos lados de una ecuación cuadrática, normalmente te deshaces de los coeficientes fraccionarios. En este caso, se multiplican por el mínimo común múltiplo de los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si cada parte de la ecuación cuadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 se multiplica por MCM (6, 3, 1) = 6, entonces se escribirá en más en forma sencilla x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Finalmente, observamos que casi siempre nos deshacemos del menos en el primer coeficiente de una ecuación cuadrática cambiando los signos de cada término de la ecuación, lo que se logra multiplicando (o dividiendo) ambos lados por − 1. Por ejemplo, de la ecuación cuadrática − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puedes pasar a su versión simplificada 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Relación entre raíces y coeficientes
La fórmula para las raíces de ecuaciones cuadráticas, que ya conocemos, x = - b ± D 2 · a, expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes numéricos. Depender de esta fórmula, tenemos la oportunidad de especificar otras dependencias entre las raíces y los coeficientes.
La fórmula más famosa y aplicable es el teorema de Vieta:
x 1 + x 2 = - b a y x 2 = c a.
En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es el segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, es posible determinar inmediatamente que la suma de sus raíces es 7 3 y el producto de las raíces es 22 3.
También puedes encontrar otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Por ejemplo, la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática se puede expresar en términos de coeficientes:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
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