Ինչպես ապացուցել թեորեմներն ու հատկությունները: Ինչպես կատարել մաթեմատիկական ապացույցներ

Թեմա 13. Թեորեմներ և ապացույցներ

Այս թեմայում դուք կծանոթանաք տարբերակիչ հատկանիշՄաթեմատիկան, համեմատած ֆիզիկայի և այլ գիտությունների հետ, ճանաչում է միայն այն ճշմարտությունները կամ օրենքները, որոնք ապացուցված են։ Այս առումով կվերլուծվի թեորեմ հասկացությունը և կդիտարկվեն թեորեմների որոշ տեսակներ և դրանց ապացուցման մեթոդներ:

09-13-03. Մաթեմատիկայի տարբերակիչ առանձնահատկությունը

Տեսություն

1.1. Եթե ​​համեմատենք մաթեմատիկան և ֆիզիկան, ապա այս երկու գիտություններն էլ օգտագործում են ինչպես դիտարկումներ, այնպես էլ ապացույցներ: Փորձարարական ֆիզիկայի հետ մեկտեղ կա տեսական ֆիզիկա, որտեղ որոշ պնդումներ, ինչպես մաթեմատիկայի թեորեմները, ապացուցվում են ֆիզիկական օրենքների հիման վրա՝ հաջորդաբար որոշ դրույթներ մյուսներից բխելով։ Այնուամենայնիվ ֆիզիկական օրենքներճշմարիտ են ճանաչվում միայն այն ժամանակ, երբ դրանք հաստատվում են մեծ թվովփորձարկումներ. Այս օրենքները կարող են ճշգրտվել ժամանակի ընթացքում:

Մաթեմատիկան օգտագործում է նաև դիտարկումներ։

Օրինակ 1. Դիտարկելով, որ

կարող ենք ենթադրել, որ առաջին հազար կենտ բնական թվերի գումարը 1000000 է։

Այս հայտարարությունը կարելի է ստուգել ուղղակի հաշվարկներով, ծախսերով մեծ գումարժամանակ.

Կարող ենք նաև ընդհանուր ենթադրություն անել, որ ցանկացած բնական թիվսկզբնական կենտ թվերի գումարը . Այս պնդումը չի կարող ստուգվել ուղղակի հաշվարկներով, քանի որ բոլոր բնական թվերի բազմությունը անսահման է։ Այնուամենայնիվ, արված ենթադրությունը ճիշտ է, քանի որ այն կարող է ապացուցվել:

Օրինակ 2. Մենք կարող ենք չափել բազմաթիվ եռանկյունների անկյուններ..gif" height="20">, ճիշտ է, եթե որպես աքսիոմ վերցնենք Էվկլիդեսի հինգերորդ պոստուլատը: ապացուցված 7-րդ դասարանում.

Օրինակ 3. Փոխարինումը բազմանդամի մեջ

1-ից 10 բնական թվերի փոխարեն ստանում ենք 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151 պարզ թվերը։ Կարելի է ենթադրել, որ ցանկացած բնական արժեքի համար։ քառակուսի եռանկյունպարզ թիվ է: Ստուգումը ցույց տվեց, որ դա իսկապես ճիշտ է ցանկացած բնական թվի համար՝ 1-ից մինչև 39: Այնուամենայնիվ, ենթադրությունը սխալ է, քանի որ արդյունքը բաղադրյալ թիվ է.

Թեորեմների ճշմարտացիությունը հաստատելու համար ապացուցման, այլ ոչ թե դիտարկման օգտագործումը մաթեմատիկայի բնորոշ հատկանիշն է:

Նույնիսկ բազմաթիվ դիտարկումների հիման վրա արված եզրակացությունը մաթեմատիկական օրենք է համարվում միայն այն դեպքում, երբ այն ապացուցված.

1.2. Եկեք սահմանափակվենք ապացույցի ինտուիտիվ հայեցակարգով, որպես որոշ դատողությունների հաջորդական ածանցում ուրիշներից՝ առանց եզրակացության կամ եզրակացության հայեցակարգի ճշգրիտ վերլուծության: Եկեք ավելի մանրամասն վերլուծենք թեորեմի հայեցակարգը:

Թեորեմը սովորաբար կոչվում է այն պնդումը, որի ճշմարտացիությունը հաստատվում է ապացույցով: Թեորեմի հայեցակարգը զարգացավ և զտվեց ապացուցման հասկացության հետ մեկտեղ։

Դասական իմաստով թեորեմը հասկացվում է որպես հայտարարություն, որն ապացուցվում է ուրիշներից որոշ դրույթներ բխելով: Այս դեպքում որոշները պետք է ընտրվեն սկզբնական օրենքներըկամ աքսիոմներ, որոնք ընդունվում են առանց ապացույցների։

Երկրաչափության աքսիոմների համակարգը առաջին անգամ կառուցվել է հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսի կողմից իր հայտնի «Էլեմենտներ» աշխատության մեջ։ Հետևելով Էվկլիդեսի տարրերի աքսիոմներին, թեորեմներ և խնդիրներ՝ տակ կառուցելու համար ընդհանուր անունառաջարկում է. Թեորեմները դասավորված են խիստ հաջորդականությամբ։

Յուրաքանչյուր թեորեմ նախ ասվում է, հետո նշվում է, թե ինչ է տրված և ինչ է պետք ապացուցել։ Այնուհետև ապացույցը ներկայացվում է նախկինում ապացուցված դրույթների և աքսիոմների բոլոր հղումներով: Երբեմն ապացույցն ավարտվում է այն խոսքերով, որոնք պահանջվում էին ապացուցել։ Թարգմանված է ամեն ինչի Եվրոպական լեզուներԷվկլիդեսի տարրերը, որը ներառում էր 13 գիրք, մինչև 18-րդ դարը մնաց միակ դասագիրքը, որն օգտագործվում էր դպրոցներում և համալսարաններում երկրաչափություն ուսումնասիրելու համար։

1.3. Տրվածը և ապացուցման կարիքը պարզելու համար թեորեմները ձևակերպվում են, եթե..., ապա.... Թեորեմի ձևակերպման առաջին մասը, եթե և ապա, կոչվում է. վիճակթեորեմ, իսկ երկրորդ մասը, որը գրված է դրանից հետո, կոչվում է եզրակացությունթեորեմներ.

Թեորեմի պայմանները պարունակում են տրվածի նկարագրություն, իսկ եզրակացությունը պարունակում է ապացուցման կարիք:

Երբեմն թեորեմի այս ձևը կոչվում է տրամաբանական ձևթեորեմներ և կրճատվում է որպես եթե-ապա ձև:

Օրինակ 4. Դիտարկենք հետևյալ թեորեմը.

Եթե ​​զույգ բնական թիվ է, ապա այն կենտ թիվ է։

Այս թեորեմում պայմանն այն է, որ ցանկացած զույգ թիվ ընդունվի ..gif" width="32 height=19" height="19"> կենտ:

Հաճախ պայմանը և եզրակացությունը գրվում են տարբեր բառերով:

Օրինակ 5. Օրինակ 1-ի թեորեմը կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

Թող լինի զույգ բնական թիվ: Այնուհետև կենտ թիվ է:

Այս դեպքում բառի փոխարեն եթե օգտագործում են let բառը, իսկ բառի փոխարեն ապա գրում են այն ժամանակ բառը։

Օրինակ 6. Օրինակ 1-ի թեորեմը կարող է գրվել նաև հետևյալ ձևով.

Բնական թվի զույգ լինելուց հետևում է, որ .gif" width="13" height="15"> թիվը ենթադրում է, որ թիվը կենտ է։

Տվյալ դեպքում, եթե բառը բաց է թողնվում, իսկ բառի փոխարեն օգտագործվում է այնուհետև նշանակում է բառը:

Երբեմն օգտագործվում են թեորեմների նշման այլ տեսակներ։

1.4. Որոշ դեպքերում թեորեմի պայմանները չեն գրվում դրա ձևակերպման մեջ։ Դա տեղի է ունենում, երբ տեքստից պարզ է դառնում, թե ինչ ձև կարող է ունենալ այս պայմանը:

Օրինակ 8. Դուք գիտեք թեորեմը. Եռանկյան միջինները հատվում են մեկ կետում:

Տրամաբանական ձևով այս թեորեմը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Եթե ​​գծեք բոլոր միջնագծերը ցանկացած եռանկյունու մեջ, ապա այդ միջնագծերը կհատվեն մեկ կետում:

Օրինակ 9. Պարզ թվերի բազմության անվերջության թեորեմը կարելի է գրել այսպես.

Եթե ​​բոլոր պարզ թվերի բազմությունն է, ապա այն անսահման է:

Մաթեմատիկայի թեորեմների միջև կապեր հաստատելու համար օգտագործվում է հատուկ լեզու, որը մասամբ կքննարկվի այս գլխի հաջորդ պարբերություններում:

Վերահսկիչ հարցեր

1. Մաթեմատիկայի դիտարկումների ի՞նչ օրինակներ գիտեք:

2. Երկրաչափության ի՞նչ աքսիոմներ գիտեք:

3. Թեորեմի ո՞ր նշումն է կոչվում թեորեմի տրամաբանական ձև:

4. Ո՞րն է թեորեմի պայմանը:

5. Ի՞նչ է կոչվում թեորեմի եզրակացությունը:

6. Թեորեմների գրման ի՞նչ ձեւեր գիտեք:

Առաջադրանքներ և վարժություններ

1. Ի՞նչ ենթադրություններ կարող եք անել՝ դիտարկելով.

ա) երկու հարակից բնական թվերի արտադրյալը.

բ) երկու կից բնական թվերի գումարը.

գ) երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը.

դ) երեք կենտ թվերի գումարը.

դ) վերջին թվերըՎ տասնորդական նշումթվեր .gif" width="13 height=15" height="15">;

զ) մասերի թիվը, որոնց հարթությունը բաժանված է մեկ կետով անցնող տարբեր ուղիղ գծերով.

է) մասերի թիվը, որոնց հարթությունը բաժանվում է տարբեր ուղիղ գծերով, որոնցից ուղիղները զույգերով զուգահեռ են և հատվում են .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > ձևի թվեր, որտեղ բնական թիվ է.

դ) երկու իռացիոնալ թվերի գումարը.

3. Ի՞նչ ենթադրություն կարող ես անել՝ դիտարկելով բութ եռանկյունների շուրջ շրջագծված շրջանների կենտրոնները:

4. Թեորեմը գրի՛ր տրամաբանական ձևով.

ա) ուռուցիկի ներքին անկյունների գումարը https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;

բ) ցանկացած երկու ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյուններ նման են.

գ) հավասարությունը պահպանվում է ցանկացած ամբողջ թվի և .

դ) դեպի իր հիմքի վրա գծված հավասարաչափ եռանկյան բարձրությունը կիսում է այս եռանկյան գագաթի անկյունը.

ե) ցանկացած ոչ բացասական թվերի համար, և անհավասարությունը բավարարված է.

զ) շրջանագծի մեջ ներգծված քառանկյան երկու հակադիր անկյունների գումարը 180 է.

է) թիվը ռացիոնալ թիվ չէ.

ը) 10-ից մեծ բոլոր պարզ թվերը կենտ են.

թ) քառակուսու անկյունագծերը հատման կետում հավասար են, ուղղահայաց և կիսով չափ.

ժ) տրված շրջանագծի մեջ ներգծված բոլոր քառանկյուններից քառակուսին ունի ամենամեծ մակերեսը.

ժա) կա զույգ պարզ թիվ.

ժբ) ոչ մի պարզ թիվ չի կարող ներկայացվել որպես երկու տարբեր կենտ բնական թվերի գումար.

ժգ) առաջին բնական թվերի խորանարդների գումարը որոշ բնական թվի քառակուսին է:

5.* Նախորդ խնդրի մեջ տրված թեորեմներից յուրաքանչյուրը գրի՛ր մի քանի տարբեր ձևերով։

Պատասխաններ և ուղղություններ

Առաջադրանք 1. Ի՞նչ ենթադրություններ կարող եք անել՝ դիտարկելով.

ա) երկու հարակից բնական թվերի արտադրյալը.

բ) երկու կից բնական թվերի գումարը.

գ) երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը.

դ) երեք կենտ թվերի գումարը.

դ)վերջին թվանշանները տասնորդական նշումովբնական հետ;

ե) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> մասերի քանակը, որոնց բաժանված է ինքնաթիռը https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> ուղիղ գծերը զույգ-զույգ զուգահեռ են և հատվում են.gif" width="13 height=20" height="20"> մասերի քանակը, որոնց բաժանված է ինքնաթիռը https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> կարելի է ստանալ ընդամենը չորս նիշ.

0, 1, 5, 6; ե)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" width="20 src=">.gif" ="13" height="15"> -gon-ը հավասար է;

բ) ցանկացած երկու ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյուններ նման են.

գ) հավասարությունաշխատում է ցանկացած ամբողջ թվի համարԵվ;

Մաթեմատիկական պնդումների ապացույցը, որպես կանոն, աքսիոմների և թեորեմների օգտագործմամբ ճիշտ պատճառաբանությունների շղթա է, որի վավերականությունը նախկինում հաստատված է։ Պատճառաբանությունը կոչվում է ճիշտ, եթե բոլոր նախադրյալների ճշմարտացիությունը ենթադրում է եզրակացության ճշմարտացիություն: Թող \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) հայտարարությունները լինեն նախադրյալներ, իսկ \(A\) պնդումը լինի եզրակացություն: Պատճառաբանությունն իրականացվում է ըստ սխեմայի \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), այսինքն. \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) ենթադրություններից հետևում է \(B\) եզրակացությունը. Այս պատճառաբանությունը ճիշտ է, եթե բանաձեւը \((A_1\And A_2\And \ldots\And A_n)\Աջ սլաք B\)նույնապես ճիշտ է, այսինքն. ճշմարիտ է դրանում ներառված պնդումների ցանկացած ճշմարտության արժեքների համար \(A_1, A_2,\ldots, A_n, B\):

Օրինակ՝ հետևյալ դիագրամները համապատասխանում են ճիշտ պատճառաբանությանը.

\(\frac(A\Rightarrow B,A)(B)\)- եզրակացության կանոն ( մոդուս պոնենս);

\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- սիլլոգիզմի կանոնը;

\(\frac(A\Rightarrow B,\lnot B)(\lnot A)\)- հակադրման կանոն.

Առաջին և երրորդ սխեմաների հիման վրա կառուցվում է հետևյալ պատճառաբանությունը.

– եթե \(n\) բնական թիվը բաժանվում է 4-ի, ապա այն զույգ է: \(n\) թիվը բաժանվում է 4-ի: Հետևաբար, n թիվը զույգ է.

– եթե \(n\) բնական թիվը բաժանվում է 4-ի, ապա այն զույգ է: \(n\) թիվը կենտ է: Հետևաբար, \(n\) թիվը չի բաժանվում 4-ի։

Երկու արգումենտներն էլ ճիշտ են \(n\) ցանկացած բնական թվերի համար: Փաստորեն, նույնիսկ \(n=1\) դեպքում, չնայած ակնհայտ անհամապատասխանությանը, մենք ունենք ճիշտ պատճառաբանություն. «եթե 1 թիվը բաժանվում է 4-ի, ապա այն զույգ է: թիվ 1 զույգ է», քանի որ կեղծ տարածքներից կարելի է ցանկացած եզրակացություն անել:

Դիտարկենք ըստ սխեմայի պատճառաբանության օրինակ \(\frac(A\Աջ սլաք B,B)(A):\)

– եթե \(n\) բնական թիվը բաժանվում է 4-ի, ապա այն զույգ է: \(\) թիվը զույգ է։ Այսպիսով, \(n\) թիվը բաժանվում է 4-ի։

Համապատասխանաբար \(n=6\) և \(n=8\) համար մենք ստանում ենք.

– եթե բնական թիվը 6-ը բաժանվում է 4-ի, ապա այն զույգ է: 6 թիվը զույգ է։ Հետևաբար 6 թիվը բաժանվում է 4-ի;

– եթե բնական թիվը 8-ը բաժանվում է 4-ի, ապա այն զույգ է: 8 թիվը զույգ է։ Այսպիսով, 8 թիվը բաժանվում է 4-ի։

Երկու փաստարկներն էլ սխալ են, թեև երկրորդ փաստարկի եզրակացությունը ճիշտ է (8 թիվը իրականում բաժանվում է 4-ի), այսինքն. սխեման \(\frac(A\Աջ սլաք B,B)(A)\)չի համապատասխանում ճիշտ պատճառաբանությանը.

Հաճախ \(A\Rightarrow B\) ձևի թեորեմն ապացուցելու փոխարեն նրանք ապացուցում են սկզբնականին համարժեք այլ պնդումների ճշմարտացիությունը։ Ապացույցների նման ձևերը կոչվում են անուղղակի: Դրանցից մեկը հակասության միջոցով ապացուցման մեթոդն է։ \(A\Rightarrow B\) պնդման ճշմարտացիությունն ապացուցելու համար ենթադրում ենք, որ այս պնդումը կեղծ է: Ելնելով այս ենթադրությունից՝ մենք հանգում ենք հակասության, այն է՝ ապացուցում ենք, որ որոշ պնդումներ ճշմարիտ են և միևնույն ժամանակ՝ ոչ ճիշտ: Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ ենթադրությունը կեղծ է, իսկ սկզբնական հայտարարությունը ճիշտ է:

Օգտագործելով նկարագրված մեթոդը, մենք ապացուցում ենք հայտարարությունը.

եթե \(n\)-ը կենտ թիվ է, ապա \(n^2\) թիվը կենտ է։

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. Թող լինի \(n\) կենտ թիվ, որ \(n^2\) թիվը լինի զույգ: Այնուհետև մի կողմից \(n^2-n\) տարբերությունը կլինի կենտ թիվ, իսկ մյուս կողմից \(n^2-n=n(n-1)\) թիվը ակնհայտ է. զույգ, ինչպես երկու հաջորդական ամբողջ թվերի արտադրյալը: Ստացվում է հակասություն, այն է՝ \(n^2-n\) թիվը միաժամանակ զույգ է և կենտ։ Սա ապացուցում է, որ արված ենթադրությունը սխալ է, և, հետևաբար, սկզբնական հայտարարությունը ճշմարիտ է:

Հակասությամբ ապացուցման դիտարկված սխեման միակը չէ։ Օգտագործվում են նաև հակասություններով ապացուցելու այլ սխեմաներ.

\(\frac(A,\lnot B)(\lnot A)\)կամ \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .

Անուղղակի ապացույցի մեկ այլ սխեման (ըստ հակադրման օրենքի) հիմնված է երկու պնդումների համարժեքության վրա՝ \(A\Rightarrow B\) և \(B\Rightarrow \lnot A\) . Իրոք, այս պնդումները կամ ճիշտ են, կամ երկուսն էլ կեղծ: Օրինակ՝ «եթե անձրև է գալիս, ուրեմն երկնքում ամպեր կան» և «եթե երկնքում ամպեր չկան, ուրեմն անձրև չի գալիս» արտահայտությունները երկուսն էլ ճիշտ են, բայց «եթե երկնքում ամպեր կան». երկինք, ուրեմն անձրև է գալիս» և «եթե անձրև չի գալիս, ուրեմն երկնքում ամպեր չկան» երկուսն էլ կեղծ են:

Բազմաթիվ խնդիրների դեպքում դուք պետք է ապացուցեք որոշ հայտարարության (բանաձևի) վավերականությունը ցանկացած բնական թվի համար \(n\): Ուղղակի ստուգումՆման պնդումները n-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար անհնար են, քանի որ բնական թվերի բազմությունը անվերջ է: Նման պնդումները (բանաձևերը) ապացուցելու համար մենք օգտագործում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդ, որի էությունը հետեւյալն է. Թող անհրաժեշտ լինի ապացուցել \(A(n)\) պնդման ճշմարտացիությունը բոլոր \(n\in \mathbb(N)\) համար: Դա անելու համար բավական է ապացուցել երկու պնդում.

1) \(A(n)\) պնդումը ճշմարիտ է \(n=1\)-ի համար: Ապացույցի այս մասը կոչվում է ինդուկցիայի հիմք;

2) ցանկացած բնական թվի համար \(k\) այն փաստից, որ պնդումը ճշմարիտ է \(n=k\) համար (ինդուկտիվ ենթադրություն) հետևում է, որ այն ճիշտ է հաջորդ \(n=k+1\) թվի համար: , այսինքն. \(A(k)\Աջ սլաք A(k+1)\) . Ապացույցի այս մասը կոչվում է ինդուկտիվ քայլ։

Եթե ​​1-ին, 2-րդ կետերն ապացուցված են, կարող ենք եզրակացնել, որ \(A(n)\) պնդումը ճիշտ է ցանկացած \(n\) բնական թվի համար:

Փաստորեն, եթե \(A(1)\) պնդումը ճշմարիտ է (տես կետ 1), ապա \(A(2)\) պնդումը նույնպես ճիշտ է (տե՛ս կետ 2-ը \(n=1\)-ի համար): Քանի որ \(A(2)\)-ը ճշմարիտ է, ապա \(A(3)\)-ը նույնպես ճիշտ է (տե՛ս կետ 2-ը \(n=2\)) և այլն: Այսպիսով, դուք կարող եք հասնել ցանկացած բնական թվի \(n\)՝ միաժամանակ համոզվելով, որ \(A(n)\)-ը ճիշտ է:

Ծանոթագրություն Բ.6.Մի շարք դեպքերում կարող է անհրաժեշտ լինել ապացուցել որոշակի \(A(n)\) հայտարարության վավերականությունը ոչ բոլոր բնական \(n\), այլ միայն \(n\geqslant p\) համար, այսինքն. սկսած ինչ-որ ֆիքսված թվից \(p\) . Այնուհետև մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը փոփոխվում է հետևյալ կերպ.

1) ինդուկցիայի հիմքը. ապացուցել \(A(p)\)-ի ճշմարտացիությունը;

2) ինդուկցիոն քայլ. ապացուցել \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) ցանկացած ֆիքսված \(k\geqslant p\) համար:

1, 2 կետերից հետևում է, որ \(A(n)\) պնդումը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար \(n\geqslant p\) .

Օրինակ Բ.16.Ապացուցեք \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) հավասարության վավերականությունը \(n\) ցանկացած բնական թվի համար:

Լուծում.Առաջին \(n\) կենտ թվերի գումարը նշանակենք \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\)-ով: Պահանջվում է ապացուցել \(A(n):\) «Հավասարությունը \(S_n=n^2\) ճշմարիտ է ցանկացած \(n\in \mathbb(N)\)» պնդումը: Ապացույցը կիրականացնենք ինդուկցիայի միջոցով։

1) Քանի որ \(S_1=1=1^2\) , ապա \(n=1\)-ի համար \(S_n=n^2\) հավասարությունը ճիշտ է, այսինքն. \(A(1)\) պնդումը ճշմարիտ է: Ինդուկցիայի հիմքն ապացուցված է։

2) Թող \(k\) լինի ցանկացած բնական թիվ: Եկեք կատարենք ինդուկցիոն քայլը \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Ենթադրելով, որ \(A(n)\) պնդումը ճշմարիտ է \(n=k\) համար, այսինքն. \(S_k=k^2\) , ապացուցենք, որ \(A(n)\) պնդումը ճիշտ է հաջորդ \(n=k+1\) բնական թվի համար, այսինքն՝ \(S_(k+): 1)=(k +1)^2\) . Իսկապես,

\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)

Հետևաբար \(A(k)\Աջ սլաք A(k+1)\) և մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի հիման վրա մենք եզրակացնում ենք, որ \(A(n)\) պնդումը ճիշտ է ցանկացած \(n\) բնական թվի համար, այսինքն, \( S_n=n^2\) բանաձևը ճշմարիտ է ցանկացած \(n\in \mathbb(N)\) համար:

Օրինակ Բ.17.\(n\) թվերի փոխարկումը առաջին \(n\) բնական թվերի բազմությունն է՝ վերցված ինչ-որ հերթականությամբ։ Ապացուցեք, որ տարբեր փոխարկումների թիվը հավասար է \(n!\)-ի: \(n!\) արտահայտությունը (կարդացեք «\(n\) factorial») հավասար է \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). \(n\) թվերի \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) և \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) երկու փոխարկումները համարվում են հավասար, եթե \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), և եթե հավասարություններից գոնե մեկը խախտվում է, ապա փոխարկումները համարվում են տարբեր։

Լուծում.Ապացուցումն իրականացնենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

1) \(n=1\)-ի համար կա միայն մեկ փոխակերպում \((1)\), այսինքն. \(1!=1\) և պնդումը ճշմարիտ է:

2) Ենթադրենք, որ ցանկացած \(k\) համար փոխատեղումների թիվը հավասար է \(k!\)-ի: Ապացուցենք, որ \((k+1)\) թվերի փոխարկումների թիվը հավասար է \((k+1)!\)-ի: Փաստորեն, եկեք ամրագրենք \((k+1)\) թիվը \((k+1)\) թվերի փոխակերպման ցանկացած վայրում, իսկ առաջին \(k\) բնական թվերը տեղադրենք մնացած \. (k\) տեղերը . Այդպիսի փոխակերպումների թիվը հավասար է \(k\) թվերի փոխարկումների թվին, այսինքն. \(k!\) ինդուկտիվ վարկածով։ Քանի որ \((k+1)\) թիվը կարող է տեղադրվել փոխակերպման ցանկացած (k+1) տեղերում, մենք եզրակացնում ենք, որ \((k+1)\) թվերի տարբեր փոխարկումների թիվը հավասար է։ դեպի \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Այսպիսով, ենթադրելով, որ հայտարարությունը ճշմարիտ է \(n=k\)-ի համար, հնարավոր եղավ ապացուցել, որ այն ճիշտ է \(n=k+1\)-ի համար:

1-ին և 2-րդ կետերից հետևում է, որ պնդումը ճշմարիտ է \(n\) ցանկացած բնական թվի համար:

Ծանոթագրություն Բ.7.Մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ ուսումնասիրվում են թեորեմների ստացման ֆորմալ մեթոդները՝ օգտագործելով ճիշտ պատճառաբանության բազմաթիվ օրինաչափություններ: Որպես կանոն, այս մեթոդները առաջացնում են թեորեմների միայն նոր ձևակերպումներ, որոնք արտացոլում են հին բովանդակությունը։ Հետեւաբար, զարգացման համար մաթեմատիկական տեսությունդրանք անարդյունավետ են: Սակայն ցանկացած մաթեմատիկական խնդիր ուսումնասիրելիս պետք է պահպանել մաթեմատիկական տրամաբանության օրենքները և ճիշտ դատողությունների սխեմաները։

Javascript-ն անջատված է ձեր դիտարկիչում:
Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները:

Ինչպե՞ս ապացուցել թեորեմները:

Թեորեմի ապացուցման ընթացակարգը միայն բարդ է թվում։ Բավական է կարողանալ տրամաբանորեն մտածել, ունենալ անհրաժեշտ գիտելիքներ այս գիտական ​​առարկայից, և թեորեմն ապացուցելը ձեզ համար դժվար չի լինի։ Կարևոր է բոլոր գործողությունները հստակ կատարել ճիշտ հաջորդականությամբ:

Որոշ գիտություններում, օրինակ՝ հանրահաշիվը և երկրաչափությունը, ամենակարևոր հմտություններից են թեորեմներն ապացուցելու կարողությունը։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ ապացուցված թեորեմները հետագայում օգտակար կլինեն խնդիրների լուծման համար: Պետք է ոչ միայն սովորել ապացուցման ալգորիթմը, այլև կարողանալ հասկանալ դրա էությունը։ Եկեք պարզենք, թե ինչպես ապացուցել թեորեմները:

Թեորեմների ապացույց

Նախ անհրաժեշտ է նկարել, այն պետք է լինի պարզ և կոկիկ: Դրանից հետո դուք պետք է նշեք դրա վրա նշված պայմանները: «Տրված» սյունակում դուք պետք է գրեք բոլոր այն քանակությունները, որոնք դուք ի սկզբանե գիտեք և ինչ պետք է ապացուցեք: Դրանից հետո դուք կարող եք շարունակել ապացույցը: Ըստ էության, դա տրամաբանորեն կառուցված մտքերի շղթա է, որը թույլ է տալիս ցույց տալ, որ հայտարարությունը ճշմարիտ է: Թեորեմի ապացուցումը ներառում է այլ թեորեմների, աքսիոմների, հակասությունների օգտագործում և այլն:

Այսպիսով, թեորեմի ապացույցը գործողությունների որոշակի հաջորդականություն է, որը թույլ է տալիս ստանալ մի պնդում, որի ճշմարտացիությունը հնարավոր չէ վիճարկել: Որպես կանոն, ապացուցման ժամանակ ամենադժվարը հենց տրամաբանական պատճառաբանության հաջորդականության որոնումն է։ Եթե ​​դա հաջողվի, ապա դուք կկարողանաք ապացուցել, թե ինչ է պահանջվում ձեզանից։

Ինչպես առանց դժվարության ապացուցել թեորեմները երկրաչափության մեջ

Ձեր առաջադրանքը պարզեցնելու համար կարող եք թեորեմը բաժանել մասերի և ապացուցել դրանցից յուրաքանչյուրը առանձին, ինչը, ի վերջո, ձեզ կտանի արդյունքի։ Որոշ դեպքերում արդյունավետ է օգտագործել «ապացույցը հակասության միջոցով» մեթոդը: Այնուհետև դուք պետք է սկսեք «ենթադրել հակառակը» բառերով: Պետք է բացատրել, թե ինչու այս դեպքումայս կամ այն ​​եզրակացությունը անհնար է. Դուք պետք է ավարտեք «այսպես, սկզբնական հայտարարությունը ճշմարիտ է» բառերով: Թեորեմն ապացուցված է»։

Նույնիսկ ավելի շատ օգտակար տեղեկատվություներկրաչափության մասին կարելի է գտնել բաժնում:

Հանրահաշիվը պարբերաբար պետք է ապացուցի թեորեմները: Ապացուցված թեորեմը կօգնի ձեզ լուծելու. Ուստի չափազանց կարևոր է ոչ թե մեխանիկորեն անգիր անել ապացույցը, այլ հասկանալ թեորեմի էությունը, որպեսզի հետո գործնականում առաջնորդվես դրանով։

Նախ, գծեք թեորեմի հստակ և կոկիկ դիագրամ: Նշեք այն լատինատառերովայն, ինչ դուք արդեն գիտեք: «Տրված» սյունակում գրեք բոլոր հայտնի քանակությունները: Հաջորդը, «Ապացույց» սյունակում ձևակերպեք, թե ինչն ապացուցել: Այժմ մենք կարող ենք սկսել ապացույցը: Դա տրամաբանական մտքերի շղթա է, որի արդյունքում ցուցադրվում է հայտարարության ճշմարտացիությունը։ Թեորեմն ապացուցելիս կարող եք (և երբեմն նույնիսկ անհրաժեշտ է) օգտագործել տարբեր դրույթներ, աքսիոմներ, հակասություններով և նույնիսկ նախկինում ապացուցված այլ թեորեմներ։

Այսպիսով, ապացույցը գործողությունների հաջորդականություն է, որի արդյունքում դուք ստանում եք անհերքելի. Թեորեմն ապացուցելու ամենամեծ դժվարությունը տրամաբանական պատճառաբանությունների ճիշտ հաջորդականությունը գտնելն է, որը կհանգեցնի ապացուցման անհրաժեշտության որոնմանը:

Թեորեմը բաժանեք մասերի և, ապացուցելով այն առանձին, ի վերջո կհասնեք ցանկալի արդյունքի։ Օգտակար է տիրապետել «հակասությամբ ապացուցելու» հմտությանը, որոշ դեպքերում սա թեորեմն ապացուցելու ամենահեշտ ձևն է։ Նրանք. սկսեք ձեր ապացույցը «ենթադրել հակառակը» բառերով և աստիճանաբար ապացուցեք, որ դա չի կարող լինել: Ավարտեք ապացույցը «հետևաբար, սկզբնական հայտարարությունը ճշմարիտ է: Թեորեմն ապացուցված է»։

Ֆրանսուա Վիետը հայտնի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս է։ Վիետայի թեորեմը թույլ է տալիս պարզեցված սխեմայի միջոցով լուծել քառակուսի հավասարումներ, ինչը արդյունքում խնայում է հաշվարկների վրա ծախսվող ժամանակը։ Բայց թեորեմի էությունը ավելի լավ հասկանալու համար պետք է թափանցել ձեւակերպման էության մեջ եւ ապացուցել այն։

Վիետայի թեորեմա

Այս տեխնիկայի էությունը արմատներ գտնելն է առանց դիսկրիմինանտի օգնության: x2 + bx + c = 0 ձևի հավասարման համար, որտեղ կան երկու տարբեր իրական արմատներ, երկու պնդում ճշմարիտ են:

Առաջին պնդումը նշում է, որ այս հավասարման արմատների գումարը հավասար է x փոփոխականի գործակցի արժեքին (այս դեպքում դա b է), բայց հակառակ նշան. Տեսողականորեն այն ունի հետևյալ տեսքը՝ x1 + x2 = −b:

Երկրորդ պնդումն այլևս կապված չէ գումարի, այլ այս նույն երկու արմատների արտադրյալի հետ։ Այս արտադրյալը հավասարվում է ազատ գործակցին, այսինքն. գ. Կամ, x1 * x2 = c. Այս երկու օրինակներն էլ լուծված են համակարգում։

Վիետայի թեորեմը մեծապես պարզեցնում է լուծումը, բայց ունի մեկ սահմանափակում. Քառակուսային հավասարումը, որի արմատները կարելի է գտնել այս տեխնիկայի միջոցով, պետք է կրճատվի: Վերոնշյալ հավասարման մեջ a գործակիցը՝ x2-ի դիմաց, հավասար է մեկի։ Ցանկացած հավասարում կարելի է բերել նմանատիպ ձևի՝ արտահայտությունը բաժանելով առաջին գործակցի վրա, բայց ոչ միշտ. այս գործողությունըռացիոնալ.

Թեորեմի ապացույց

Սկզբից պետք է հիշել, թե ավանդույթի համաձայն ինչպես է ընդունված արմատներ փնտրել քառակուսային հավասարում. Գտնվում են առաջին և երկրորդ արմատները, այն է՝ x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2: Ընդհանուր առմամբ այն բաժանվում է 2ա-ի, սակայն, ինչպես արդեն նշվեց, թեորեմը կարող է կիրառվել միայն a=1-ի դեպքում։

Վիետայի թեորեմից հայտնի է, որ արմատների գումարը հավասար է մինուս նշանով երկրորդ գործակցին։ Սա նշանակում է, որ x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b:

Նույնը վերաբերում է անհայտ արմատների արտադրյալին՝ x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4: Իր հերթին D = b2-4c (կրկին a=1-ով): Ստացվում է, որ արդյունքը հետևյալն է՝ x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Տրված պարզ ապացույցից կարելի է միայն մեկ եզրակացություն անել՝ Վիետայի թեորեմն ամբողջությամբ հաստատված է։

Երկրորդ ձևակերպում և ապացույց

Վիետայի թեորեմն այլ մեկնաբանություն ունի. Ավելի ճիշտ՝ մեկնաբանություն չէ, այլ ձեւակերպում։ Փաստն այն է, որ եթե բավարարված են նույն պայմանները, ինչ առաջին դեպքում՝ կան երկու տարբեր իրական արմատներ, ապա թեորեմը կարելի է գրել այլ բանաձեւով։

Այս հավասարությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2): Եթե ​​P(x) ֆունկցիան հատվում է x1 և x2 երկու կետերում, ապա այն կարելի է գրել P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x): Այն դեպքում, երբ P-ն ունի երկրորդ աստիճան, և դա հենց այն է, ինչի սկզբնական արտահայտությունն ունի, ապա R-ն պարզ թիվ է, այն է՝ 1։ Այս պնդումը ճիշտ է այն պատճառով, որ հակառակ դեպքում հավասարությունը չի պահպանվի։ Փակագծերը բացելիս x2 գործակիցը չպետք է լինի մեկից մեծ, իսկ արտահայտությունը պետք է մնա քառակուսի։

Ոչ միայն յուրաքանչյուր դպրոցական, այլեւ յուրաքանչյուր իրեն հարգող կրթված մարդպետք է իմանա, թե ինչ է թեորեմը և թեորեմների ապացույցը: Թերևս այդպիսի հասկացություններ չեն գտնվի իրական կյանք, բայց դրանք անպայման կօգնեն կերտել մեծ քանակությամբ գիտելիքներ, ինչպես նաև եզրակացություններ անել։ Այդ իսկ պատճառով այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թեորեմների ապացուցման մեթոդներին, ինչպես նաև կծանոթանանք Պյութագորասի հայտնի թեորեմին։

Ի՞նչ է թեորեմը:

Եթե ​​դիտարկենք դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթաց, ապա շատ հաճախ այն պարունակում է այնպիսի գիտական ​​տերմիններ, ինչպիսիք են թեորեմը, աքսիոմը, սահմանումը և ապացույցը: Ծրագրում նավարկելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս սահմանումներից յուրաքանչյուրին: Այժմ մենք կանդրադառնանք, թե ինչ է թեորեմը և թեորեմների ապացույցը:

Այսպիսով, թեորեմը որոշակի պնդում է, որը պահանջում է ապացույց: Հաշվի առեք այս հայեցակարգըանհրաժեշտ է աքսիոմին զուգահեռ, քանի որ վերջինս ապացույց չի պահանջում։ Դրա սահմանումն արդեն իսկ ճշմարիտ է, ուստի այն ընկալվում է որպես պարզ:

Թեորեմների կիրառման շրջանակը

Սխալ է կարծել, թե թեորեմներն օգտագործվում են միայն մաթեմատիկայում։ Իրականում սա հեռու է դեպքից։ Օրինակ, ֆիզիկայում պարզապես անհավանական թվով թեորեմներ կան, որոնք թույլ են տալիս մանրամասնորեն և բոլոր կողմերից ուսումնասիրել որոշ երևույթներ և հասկացություններ։ Սա ներառում է Ամպերի, Շտայների և շատ ուրիշների թեորեմները։ Նման թեորեմների ապացույցները թույլ են տալիս լավ հասկանալ իներցիայի, ստատիկական, դինամիկայի և ֆիզիկայի շատ այլ հասկացությունների պահերը։

Թեորեմների օգտագործումը մաթեմատիկայի մեջ

Դժվար է պատկերացնել այնպիսի գիտություն, ինչպիսին մաթեմատիկան է, առանց թեորեմների և ապացույցների: Օրինակ, եռանկյունի թեորեմների ապացույցները թույլ են տալիս մանրամասն ուսումնասիրել նկարի բոլոր հատկությունները։ Ի վերջո, շատ կարևոր է հասկանալ հավասարաչափ եռանկյունու հատկությունները և շատ այլ բաներ:

Տարածքի թեորեմի ապացույցը թույլ է տալիս հասկանալ որոշ տվյալների հիման վրա ձևի մակերեսը հաշվարկելու ամենահեշտ ձևը: Ի վերջո, ինչպես գիտեք, կան մեծ թվով բանաձևեր, որոնք նկարագրում են, թե ինչպես գտնել եռանկյունու տարածքը: Բայց դրանք օգտագործելուց առաջ շատ կարևոր է ապացուցել, որ դա հնարավոր է և ռացիոնալ կոնկրետ դեպքում:

Ինչպես ապացուցել թեորեմները

Յուրաքանչյուր ուսանող պետք է իմանա, թե ինչ է թեորեմը և թեորեմների ապացույցը։ Իրականում ցանկացած հայտարարություն ապացուցելն այնքան էլ հեշտ չէ։ Դա անելու համար դուք պետք է աշխատեք շատ տվյալների հետ և կարողանաք տրամաբանական եզրակացություններ անել: Իհարկե, եթե գիտական ​​որոշակի առարկայի վերաբերյալ տեղեկատվության լավ իմացություն ունեք, ապա թեորեմն ապացուցելը ձեզ համար դժվար չի լինի։ Հիմնական բանը ապացուցման ընթացակարգն իրականացնել որոշակի տրամաբանական հաջորդականությամբ։

Որպեսզի սովորեք, թե ինչպես ապացուցել թեորեմները գիտական ​​առարկաներում, ինչպիսիք են երկրաչափությունը և հանրահաշիվը, դուք պետք է լավ գիտելիքներ ունենաք, ինչպես նաև իմանաք ապացուցման ալգորիթմը: Եթե ​​դուք տիրապետում եք այս ընթացակարգին, ապա հետագայում մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելը ձեզ համար դժվար չի լինի։

Ինչ պետք է իմանաք թեորեմի ապացուցման մասին

Ի՞նչ է թեորեմը և թեորեմների ապացույցները: Սա հարց է, որը հուզում է շատերին ժամանակակից հասարակություն. Շատ կարևոր է սովորել, թե ինչպես ապացուցել մաթեմատիկական թեորեմները, սա կօգնի ձեզ կառուցել տրամաբանական շղթաներև հանգել որոշակի եզրակացության.

Այսպիսով, թեորեմը ճիշտ ապացուցելու համար շատ կարևոր է ճիշտ գծագրել։ Այն ցուցադրում է բոլոր տվյալները, որոնք նշված են պայմանում: Շատ կարևոր է նաև գրել բոլոր այն տեղեկությունները, որոնք տրվել են առաջադրանքում: Սա կօգնի ձեզ ճիշտ վերլուծել առաջադրանքը և հասկանալ, թե կոնկրետ ինչ քանակություններ են տրված դրանում: Եվ միայն նման ընթացակարգերից հետո մենք կարող ենք սկսել ինքնին ապացուցումը: Դա անելու համար հարկավոր է տրամաբանորեն կառուցել մտքերի շղթա՝ օգտագործելով այլ թեորեմներ, աքսիոմներ կամ սահմանումներ: Ապացույցի արդյունքը պետք է լինի արդյունք, որի ճշմարտացիությունը կասկածից վեր է:

Թեորեմների ապացուցման հիմնական ուղիները

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում թեորեմն ապացուցելու երկու եղանակ կա. Ամենից հաճախ խնդիրներն օգտագործում են ուղղակի մեթոդը, ինչպես նաև հակասության միջոցով ապացուցելու մեթոդը։ Առաջին դեպքում պարզապես վերլուծում են առկա տվյալները եւ դրանց հիման վրա անում համապատասխան եզրակացություններ։ Շատ հաճախ օգտագործվում է նաև հակառակ մեթոդը. Տվյալ դեպքում մենք ենթադրում ենք հակառակ պնդումը և ապացուցում դրա կեղծ լինելը։ Ելնելով դրանից՝ մենք ստանում ենք հակառակ արդյունքը և ասում, որ մեր դատողությունը սխալ է եղել, ինչը նշանակում է, որ պայմանում նշված տեղեկատվությունը ճիշտ է։

Իրականում մաթեմատիկական շատ խնդիրներ կարող են ունենալ մեկից ավելի լուծումներ: Օրինակ, Ֆերմայի թեորեմն ունի մի քանի ապացույց. Իհարկե, որոշները դիտարկվում են միայն մեկ ձևով, բայց, օրինակ, Պյութագորասի թեորեմում դրանցից մի քանիսը կարելի է դիտարկել միանգամից։

Ինչ է Պյութագորասի թեորեմը

Իհարկե, յուրաքանչյուր դպրոցական գիտի, որ Պյութագորասի թեորեմը հատկապես վերաբերում է ուղղանկյուն եռանկյունին: Եվ դա հնչում է այսպես. «Հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին»: Չնայած այս թեորեմի անվանը, այն հայտնաբերել է ոչ թե ինքը՝ Պյութագորասը, այլ նրանից շատ առաջ։ Այս հայտարարությունը ապացուցելու մի քանի եղանակ կա, և մենք կանդրադառնանք դրանցից մի քանիսին:

Ըստ գիտական ​​տվյալների, հենց սկզբում դիտարկվել է հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն: Հետո նրա բոլոր կողմերից հրապարակներ կառուցվեցին։ Հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսին բաղկացած կլինի միմյանց հավասար չորս եռանկյուններից: Մինչդեռ կողմերի վրա կառուցված գործիչները բաղկացած կլինեն միայն երկու նույն եռանկյուններից: Պյութագորասի թեորեմի այս ապացույցը ամենապարզն է։

Դիտարկենք այս թեորեմի ևս մեկ ապացույց. Այն պահանջում է օգտագործել գիտելիքներ ոչ միայն երկրաչափությունից, այլեւ հանրահաշիվից։ Այս թեորեմն այս կերպ ապացուցելու համար մենք պետք է կառուցենք չորս նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ և դրանց կողմերը պիտակավորենք որպես a, b և c:

Մենք պետք է կառուցենք այս եռանկյունները այնպես, որ մենք ավարտենք երկու քառակուսի: Արտաքինը կունենա կողմեր ​​(a+b), իսկ ներքինը՝ c. Ներքին քառակուսու մակերեսը գտնելու համար մենք պետք է գտնենք c*c արտադրյալը: Բայց մեծ քառակուսու մակերեսը գտնելու համար հարկավոր է գումարել փոքր քառակուսիների տարածքները և ավելացնել ստացվածի մակերեսները ուղղանկյուն եռանկյուններ. Այժմ հանրահաշվական որոշ գործողություններ կատարելուց հետո կարող ենք ստանալ հետևյալ բանաձևը.

a 2 + b 2 = c 2

Իրականում թեորեմների ապացուցման մեթոդների հսկայական քանակ կա։ Ուղղահայաց, եռանկյունի, քառակուսի կամ ցանկացած այլ ձև և դրանց հատկությունները կարելի է ուսումնասիրել տարբեր թեորեմների և ապացույցների միջոցով: Պյութագորասի թեորեմը միայն հաստատում է դա։

Եզրակացության փոխարեն

Շատ կարևոր է թեորեմները ձևակերպել, ինչպես նաև դրանք ճիշտ ապացուցել։ Իհարկե, նման ընթացակարգը բավականին բարդ է, քանի որ այն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է ոչ միայն մեծ քանակությամբ տեղեկատվության հետ աշխատելու հնարավորություն, այլև տրամաբանական շղթաներ կառուցել: Մաթեմատիկան շատ է հետաքրքիր գիտ, որը ոչ վերջ ունի, ոչ ծայր։

Սկսեք ուսումնասիրել այն, և դուք ոչ միայն կբարձրացնեք ձեր ինտելեկտի մակարդակը, այլև հսկայական գումար կստանաք հետաքրքիր տեղեկություններ. Սկսեք ձեր կրթությունն այսօր: Հասկանալով թեորեմի ապացույցների հիմնական սկզբունքները, դուք կկարողանաք ձեր ժամանակը ծախսել մեծ օգուտներով: