Մենք կդիտարկենք Ֆուրիեի շարքի արտահայտությունները եռանկյունաչափական և բարդ ձևով, ինչպես նաև ուշադրություն կդարձնենք Ֆուրիեի շարքի կոնվերգենցիայի Դիրիխլեի պայմաններին: Բացի այդ, մենք մանրամասնորեն կանդրադառնանք այնպիսի հասկացության բացատրությանը, ինչպիսին է ազդանշանային սպեկտրի բացասական հաճախականությունը, որը հաճախ դժվարանում է ծանոթանալ սպեկտրային վերլուծության տեսությանը:
Պարբերական ազդանշան. Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք
Թող լինի շարունակական ժամանակի պարբերական ազդանշան, որը կրկնվում է c կետով, այսինքն. , որտեղ կա կամայական ամբողջ թիվ:
Որպես օրինակ, Նկար 1-ը ցույց է տալիս c տևողության ուղղանկյուն իմպուլսների հաջորդականությունը, որը կրկնվում է c կետով:
Նկար 1. Պարբերական հաջորդականություն
ուղղանկյուն իմպուլսներ
Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքից հայտնի է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համակարգը
Բազմաթիվ հաճախականություններով, որտեղ rad/s-ը ամբողջ թիվ է, այն կազմում է օրթոնորմալ հիմք պարբերական ազդանշանների տարրալուծման համար՝ Դիրիխլեի պայմանները բավարարող ժամանակաշրջանով: Դիրիխլեի պայմանները Ֆուրիեի շարքի կոնվերգենցիայի համար պահանջում են, որ հատվածի վրա նշվի պարբերական ազդանշան և բավարարի հետևյալ պայմանները.
Օրինակ՝ պարբերական ֆունկցիան 
չի բավարարում Դիրիխլեի պայմանները, քանի որ ֆունկցիան ունի երկրորդ տեսակի ընդհատումներ և ընդունում է անսահման արժեքներ՝ ժամը , որտեղ կամայական ամբողջ թիվ է: Այսպիսով, գործառույթը չի կարող ներկայացված լինել Ֆուրիեի մոտ. Կարող եք նաև ֆունկցիայի օրինակ բերել 
, որը սահմանափակ է, բայց նաև չի բավարարում Դիրիխլեի պայմաններին, քանի որ այն ունի անսահման թվով ծայրահեղ կետեր, երբ մոտենում է զրոյին։ Ֆունկցիայի գրաֆիկ ցույց է տրված Նկար 2-ում:
Նկար 2. Ֆունկցիայի գրաֆիկ :
ա - կրկնության երկու շրջան; բ - մոտակայքում
Նկար 2ա-ում ներկայացված է ֆունկցիայի երկու կրկնության ժամանակաշրջան , իսկ Նկար 2b-ում` տարածքը մոտակայքում: Կարելի է տեսնել, որ երբ այն մոտենում է զրոյին, տատանումների հաճախականությունը անսահմանորեն մեծանում է, և նման ֆունկցիան չի կարող ներկայացվել Ֆուրիեի շարքով, քանի որ այն մաս-մաս միապաղաղ չէ։
Հարկ է նշել, որ գործնականում անսահման հոսանքի կամ լարման արժեքներով ազդանշաններ չկան: Գործառույթներ տիպի անսահման թվով ծայրահեղություններով նույնպես չեն առաջանում կիրառական խնդիրների դեպքում: Բոլոր իրական պարբերական ազդանշանները բավարարում են Դիրիխլեի պայմանները և կարող են ներկայացվել ձևի անսահման եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքով.
Արտահայտության մեջ (2) գործակիցը նշում է պարբերական ազդանշանի մշտական բաղադրիչը:
Բոլոր կետերում, որտեղ ազդանշանը շարունակական է, Ֆուրիեի շարքը (2) համընկնում է տվյալ ազդանշանի արժեքներին, իսկ առաջին տեսակի անդադար կետերում` միջին արժեքին, որտեղ և կան սահմանները դեպի ձախ և համապատասխանաբար անջատման կետի աջ կողմում։
Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում հայտնի է նաև, որ կտրված Ֆուրիեի շարքի օգտագործումը, որն անսահման գումարի փոխարեն պարունակում է միայն առաջին անդամները, հանգեցնում է ազդանշանի մոտավոր ներկայացմանը.
Որում ապահովված է նվազագույն միջին քառակուսի սխալը: Նկար 3-ը ցույց է տալիս պարբերական քառակուսի ալիքի գնացքի և պարբերական թեքահարթակի ալիքի մոտարկումը Ֆուրիեի շարքի տերմինների տարբեր թվեր օգտագործելիս:
Նկար 3. Ազդանշանների մոտարկում՝ օգտագործելով կտրված Ֆուրիեի շարքը.
ա - ուղղանկյուն իմպուլսներ; բ - սղոցային ազդանշան
Ֆուրիեի շարքը բարդ ձևով
Նախորդ բաժնում մենք ուսումնասիրեցինք եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը Դիրիխլեի պայմանները բավարարող կամայական պարբերական ազդանշանի ընդլայնման համար: Օգտվելով Էյլերի բանաձևից՝ մենք կարող ենք ցույց տալ.
Այնուհետև եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը (2) հաշվի առնելով (4):
Այսպիսով, պարբերական ազդանշանը կարող է ներկայացվել հաստատուն բաղադրիչի և բարդ էքսպոնենցիալների գումարով, որոնք պտտվում են հաճախականություններով՝ դրական հաճախականությունների համար գործակիցներով և բացասական հաճախականություններով պտտվող բարդ էքսպոնենցիալների համար։
Դիտարկենք դրական հաճախականություններով պտտվող բարդ էքսպոնենցիալների գործակիցները.
Նմանապես, բացասական հաճախականություններով պտտվող բարդ էքսպոնենցիալների գործակիցներն են.
Արտահայտությունները (6) և (7) համընկնում են, բացի այդ, հաստատուն բաղադրիչը կարող է գրվել նաև զրոյական հաճախականությամբ բարդ էքսպոնենցիալով.
Այսպիսով, (5) հաշվի առնելով (6)-(8)-ը կարող է ներկայացվել որպես մեկ գումար, երբ ինդեքսավորվում է մինուս անսահմանությունից մինչև անվերջություն.
(2) արտահայտությունից հետևում է, որ իրական ազդանշանի համար (2) շարքի գործակիցները նույնպես իրական են։ Այնուամենայնիվ, (9) իրական ազդանշանը կապում է բարդ զուգորդված գործակիցների մի շարքի հետ, որոնք կապված են ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական հաճախականությունների հետ:
Ֆուրիեի շարքի որոշ բացատրություններ բարդ ձևով
Նախորդ բաժնում մենք եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքից (2) անցում կատարեցինք Ֆուրիեի շարքին բարդ ձևով (9): Արդյունքում, իրական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիման վրա պարբերական ազդանշանները քայքայելու փոխարեն, մենք ստացանք ընդլայնում բարդ էքսպոնենցիալների հիման վրա, բարդ գործակիցներով, և ընդարձակման մեջ հայտնվեցին նույնիսկ բացասական հաճախականություններ: Քանի որ այս հարցը հաճախ սխալ է ընկալվում, որոշակի պարզաբանում է անհրաժեշտ։
Նախ, բարդ ցուցիչների հետ աշխատելը շատ դեպքերում ավելի հեշտ է, քան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ աշխատելը: Օրինակ, կոմպլեքս ցուցիչները բազմապատկելիս և բաժանելիս բավական է պարզապես ավելացնել (հանել) ցուցիչները, մինչդեռ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները բազմապատկելու և բաժանելու բանաձևերն ավելի ծանր են։
Էքսպոնենցիալների, նույնիսկ բարդի տարբերակումը և ինտեգրումը նույնպես ավելի հեշտ է, քան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, որոնք անընդհատ փոխվում են տարբերվելիս և ինտեգրվելիս (սինուսը վերածվում է կոսինուսի և հակառակը):
Եթե ազդանշանը պարբերական է և իրական, ապա եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը (2) ավելի պարզ է թվում, քանի որ բոլոր ընդլայնման գործակիցները և մնում են իրական: Այնուամենայնիվ, հաճախ պետք է գործ ունենալ բարդ պարբերական ազդանշանների հետ (օրինակ, երբ մոդուլավորումը և դեմոդուլացումը օգտագործվում է բարդ ծրարի քառակուսային պատկերը): Այս դեպքում, երբ օգտագործվում է եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը, բոլոր գործակիցները և ընդլայնումները (2) կդառնան բարդ, մինչդեռ Ֆուրիեի շարքը կոմպլեքս ձևով (9) օգտագործելիս նույն ընդլայնման գործակիցները կօգտագործվեն ինչպես իրական, այնպես էլ բարդ մուտքային ազդանշանների համար: .
Եվ վերջապես, հարկ է կանգ առնել (9-ում) հայտնված բացասական հաճախականությունների բացատրության վրա։ Այս հարցը հաճախ թյուրիմացություն է առաջացնում։ IN Առօրյա կյանքմենք չենք հանդիպում բացասական հաճախականությունների։ Օրինակ, մենք երբեք չենք կարգավորում մեր ռադիոն բացասական հաճախականությամբ: Դիտարկենք մեխանիկայի հետևյալ անալոգիան. Թող լինի մեխանիկական զսպանակավոր ճոճանակ, որն ազատորեն տատանվում է որոշակի հաճախականությամբ: Կարո՞ղ է ճոճանակը տատանվել բացասական հաճախականությամբ: Իհարկե ոչ. Ինչպես բացասական հաճախականություններով հեռարձակվող ռադիոկայաններ չկան, այնպես էլ ճոճանակի տատանումների հաճախականությունը չի կարող բացասական լինել։ Բայց զսպանակային ճոճանակը միաչափ առարկա է (ճոճանակը տատանվում է մեկ ուղիղ գծով):
Մեխանիկայից կարող ենք տալ նաև մեկ այլ անալոգիա՝ անիվ, որը պտտվում է . Անիվը, ի տարբերություն ճոճանակի, պտտվում է, այսինքն. Անիվի մակերևույթի մի կետը շարժվում է հարթության մեջ և պարզապես չի տատանվում մեկ ուղիղ գծով: Հետևաբար, անիվի պտույտը եզակիորեն նշելու համար պտտման արագությունը սահմանելը բավարար չէ, քանի որ անհրաժեշտ է նաև սահմանել պտտման ուղղությունը: Հենց սա է պատճառը, որ մենք կարող ենք օգտագործել հաճախականության նշանը:
Այսպիսով, եթե անիվը պտտվում է ռադ/վ անկյունային հաճախականությամբ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա համարում ենք, որ անիվը պտտվում է դրական հաճախականությամբ, իսկ եթե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա պտտման հաճախականությունը բացասական կլինի։ Այսպիսով, ռոտացիայի հրամանի համար բացասական հաճախականությունը դադարում է անհեթեթ լինել և ցույց է տալիս պտտման ուղղությունը:
Եվ հիմա ամենակարևորը, որ մենք պետք է հասկանանք. Միաչափ օբյեկտի (օրինակ՝ զսպանակային ճոճանակի) տատանումը կարող է ներկայացվել որպես Նկար 4-ում ներկայացված երկու վեկտորների պտույտների գումար։
Նկար 4. Զսպանակային ճոճանակի տատանում
որպես երկու վեկտորների պտույտների գումար
բարդ հարթության վրա
Ճոճանակը տատանվում է բարդ հարթության իրական առանցքի երկայնքով՝ ներդաշնակության օրենքի համաձայն։ Ճոճանակի շարժումը ցուցադրվում է հորիզոնական վեկտորի տեսքով: Վերին վեկտորը բարդ հարթության վրա պտտվում է դրական հաճախականությամբ (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ), իսկ ստորին վեկտորը պտտվում է բացասական հաճախականությամբ (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ): Նկար 4-ը հստակ ցույց է տալիս եռանկյունաչափության դասընթացի հայտնի կապը.
Այսպիսով, Ֆուրիեի շարքը բարդ ձևով (9) ներկայացնում է պարբերական միաչափ ազդանշաններ՝ որպես դրական և բացասական հաճախականություններով պտտվող բարդ հարթության վրա գտնվող վեկտորների գումար։ Միևնույն ժամանակ, նկատենք, որ իրական ազդանշանի դեպքում, համաձայն (9) բացասական հաճախությունների ընդլայնման գործակիցները բարդ են՝ դրական հաճախությունների համապատասխան գործակիցներին: Կոմպլեքս ազդանշանի դեպքում գործակիցների այս հատկությունը չի պահպանվում այն պատճառով, որ դրանք նույնպես բարդ են։
Պարբերական ազդանշանների սպեկտրը
Ֆուրիեի շարքը կոմպլեքս տեսքով պարբերական ազդանշանի տարրալուծումն է բարդ էքսպոնենցիալների գումարի, որոնք պտտվում են դրական և բացասական հաճախականություններով ռադ/գ-ի բազմապատիկներով՝ համապատասխան բարդ գործակիցներով, որոնք որոշում են ազդանշանի սպեկտրը: Կոմպլեքս գործակիցները կարող են ներկայացվել Էյլերի բանաձևի միջոցով, որտեղ ամպլիտուդի սպեկտրն է, a-ն փուլային սպեկտրն է:
Քանի որ պարբերական ազդանշանները անընդմեջ դրված են միայն ֆիքսված հաճախականության ցանցի վրա, պարբերական ազդանշանների սպեկտրը գծային է (դիսկրետ):
Նկար 5. Պարբերական հաջորդականության սպեկտրը
ուղղանկյուն իմպուլսներ.
ա - ամպլիտուդային սպեկտր; բ - փուլային սպեկտր
Նկար 5-ը ցույց է տալիս ուղղանկյուն իմպուլսների պարբերական հաջորդականության ամպլիտուդի և ֆազային սպեկտրի օրինակ (տե՛ս Նկար 1) c-ում, զարկերակային տեւողությունը c եւ իմպուլսի ամպլիտուդ B:
2π պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարք:
Ֆուրիեի շարքը թույլ է տալիս ուսումնասիրել պարբերական ֆունկցիաները՝ դրանք տարրալուծելով բաղադրիչների։ Բնորոշ են փոփոխական հոսանքները և լարումները, տեղաշարժերը, կռունկի մեխանիզմների և ձայնային ալիքների արագությունն ու արագացումը. գործնական օրինակներպարբերական ֆունկցիաների կիրառումը ինժեներական հաշվարկներում։
Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ -π ≤x≤ π միջակայքում գործնական նշանակության բոլոր ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել կոնվերգենտ եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (շարքը համարվում է կոնվերգենտ, եթե մասնակի գումարների հաջորդականությունը կազմված է իր անդամներից։ համընկնում է):
Ստանդարտ (=սովորական) նշում sinx-ի և cosx-ի գումարի միջոցով
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
որտեղ a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. իրական հաստատուններ են, այսինքն.
Որտեղ -π-ից π միջակայքի համար Ֆուրիեի շարքի գործակիցները հաշվարկվում են բանաձևերով.
Կոչվում են a o, a n և b n գործակիցները Ֆուրիեի գործակիցները, և եթե դրանք կարելի է գտնել, ապա կոչվում է շարք (1): Ֆուրիեի կողքին, F(x) ֆունկցիային համապատասխան: (1) շարքի համար (a 1 cosx+b 1 sinx) տերմինը կոչվում է առաջին կամ հիմնարար ներդաշնակություն,
Շարք գրելու մեկ այլ եղանակ է օգտագործել acosx+bsinx=csin(x+α) հարաբերությունը:
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Այնտեղ, որտեղ a o-ն հաստատուն է, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2-ը տարբեր բաղադրիչների ամպլիտուդներն են և հավասար է a n =arctg a n-ի: /b n.
(1) շարքի համար (a 1 cosx+b 1 sinx) կամ c 1 sin(x+α 1) տերմինը կոչվում է առաջին կամ. հիմնարար ներդաշնակություն,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) կամ c 2 sin(2x+α 2) կոչվում է. երկրորդ հարմոնիկեւ այլն։
Բարդ ազդանշանը ճշգրիտ ներկայացնելու համար սովորաբար պահանջվում է անսահման թվով տերմիններ: Այնուամենայնիվ, շատ գործնական խնդիրներում բավական է դիտարկել միայն առաջին մի քանի տերմինները:
2π պարբերությամբ ոչ պարբերական ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարք:
Ոչ պարբերական ֆունկցիաների ընդլայնում։
Եթե f(x) ֆունկցիան ոչ պարբերական է, նշանակում է, որ այն չի կարող ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքի մեջ x-ի բոլոր արժեքների համար: Այնուամենայնիվ, հնարավոր է սահմանել Ֆուրիեի շարք, որը ներկայացնում է ֆունկցիա 2π լայնության ցանկացած տիրույթում:
Հաշվի առնելով ոչ պարբերական ֆունկցիան, նոր ֆունկցիա կարող է կառուցվել՝ ընտրելով f(x) արժեքները որոշակի միջակայքում և կրկնելով դրանք այդ միջակայքից դուրս՝ 2π ընդմիջումներով: Քանի որ նոր ֆունկցիան պարբերական է 2π պարբերությամբ, այն կարող է ընդլայնվել դեպի Ֆուրիեի շարք՝ x-ի բոլոր արժեքների համար: Օրինակ՝ f(x)=x ֆունկցիան պարբերական չէ։ Այնուամենայնիվ, եթե անհրաժեշտ է այն ընդլայնել Ֆուրիեի շարքի մեջ o-ից 2π միջակայքում, ապա այս միջակայքից դուրս կառուցվում է 2π պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա (ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում):
Ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար, ինչպիսիք են f(x)=x-ը, Ֆուրիեի շարքի գումարը հավասար է f(x) արժեքին տվյալ տիրույթի բոլոր կետերում, բայց այն հավասար չէ f(x)-ի կետերի համար: շրջանակից դուրս: 2π միջակայքում ոչ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը գտնելու համար օգտագործվում է Ֆուրիեի գործակիցների նույն բանաձևը։
Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ:
Ասում են y=f(x) ֆունկցիան նույնիսկ, եթե f(-x)=f(x) x-ի բոլոր արժեքների համար: Զույգ ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ սիմետրիկ են y առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ հայելային պատկերներ են)։ Զույգ ֆունկցիաների երկու օրինակ՝ y=x2 և y=cosx:
Ասում են, որ y=f(x) ֆունկցիան տարօրինակ,եթե f(-x)=-f(x) x-ի բոլոր արժեքների համար: Կենտ ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ սիմետրիկ են ծագման վերաբերյալ:
Շատ ֆունկցիաներ ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:
Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը կոսինուսներում.
2π պարբերությամբ զույգ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն կոսինուս անդամներ (այսինքն՝ առանց սինուսի անդամներ) և կարող է ներառել հաստատուն անդամ։ Հետևաբար,
որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,
2π պարբերություն ունեցող f(x) կենտ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն սինուսներով անդամներ (այսինքն, այն չի պարունակում կոսինուսներով անդամներ)։
Հետևաբար,
որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,
Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով.
Եթե ֆունկցիան սահմանվում է տիրույթի համար, ասենք 0-ից մինչև π, և ոչ միայն 0-ից մինչև 2π, այն կարող է ընդլայնվել շարքով միայն սինուսներում կամ միայն կոսինուսներում: Ստացված Ֆուրիեի շարքը կոչվում է Ֆուրիեի մոտ կես ցիկլով:
Եթե ցանկանում եք ստանալ տարրալուծումը Կիսաշրջանային Ֆուրիեն ըստ կոսինուսների f(x) ֆունկցիաները 0-ից π միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել զույգ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f(x)=x ֆունկցիան՝ կառուցված x=0-ից x=π միջակայքի վրա: Քանի որ նույնիսկ գործառույթսիմետրիկ f(x) առանցքի նկատմամբ, գծեք AB ուղիղ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. ստորև. Եթե ենթադրենք, որ դիտարկվող միջակայքից դուրս ստացված եռանկյունաձև ձևպարբերական է 2π պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկը նման է, ցույց տալ. Նկ. ստորև. Քանի որ մենք պետք է ստանանք Ֆուրիեի ընդլայնումը կոսինուսներում, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցները a o և a n.
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ստանալ Ֆուրիեի կես ցիկլային սինուսի ընդլայնում f(x) ֆունկցիաները 0-ից π միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել կենտ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f(x)=x ֆունկցիան՝ կառուցված x=0-ից x=π միջակայքի վրա: Քանի որ կենտ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, մենք կառուցում ենք CD տողը, ինչպես ցույց է տրված Նկ. Եթե ենթադրենք, որ դիտարկվող միջակայքից դուրս ստացվող սղոցային ազդանշանը պարբերական է 2π պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկն ունի Նկ. Քանի որ մենք պետք է ստանանք կիսաշրջանի Ֆուրիեի ընդլայնումը սինուսներով, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցը: բ
Ֆուրիեի շարքը կամայական ինտերվալի համար:
Պարբերական ֆունկցիայի ընդլայնում L պարբերությամբ։
Պարբերական ֆունկցիա f(x) կրկնվում է, երբ x-ն ավելանում է L-ով, այսինքն. f(x+L)=f(x): Նախկինում դիտարկված 2π պարբերություն ունեցող ֆունկցիաներից անցումը L պարբերություն ունեցող ֆունկցիաներին բավականին պարզ է, քանի որ այն կարելի է կատարել փոփոխականի փոփոխության միջոցով։
F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը գտնելու համար -L/2≤x≤L/2 միջակայքում, ներմուծում ենք նոր փոփոխական u, որպեսզի f(x) ֆունկցիան u-ի նկատմամբ ունենա 2π պարբերություն: Եթե u=2πx/L, ապա x=-L/2 u=-π-ի համար և x=L/2 u=π-ի համար: Թողեք նաև f(x)=f(Lu/2π)=F(u): Ֆուրյեի F(u) շարքն ունի ձև
(Ինտեգրման սահմանները կարող են փոխարինվել L երկարության ցանկացած միջակայքով, օրինակ՝ 0-ից L)
L≠2π ինտերվալում նշված ֆունկցիաների համար կես ցիկլի վրա Ֆուրիեի շարքը:
u=πх/L փոխարինման համար x=0-ից x=L միջակայքը համապատասխանում է u=0-ից u=π միջակայքին։ Հետևաբար, ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել շարքի միայն կոսինուսներում կամ միայն սինուսներում, այսինքն. Վ Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով.
Կոսինուսի ընդլայնումը 0-ից L միջակայքում ունի ձև
, Որտեղ
.
F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը (-l;l) միջակայքի վրա եռանկյունաչափական շարք է հետևյալ ձևի. 
, Որտեղ
.
Նպատակը. Առցանց հաշվիչնախագծված է f(x) ֆունկցիան ընդլայնելու Ֆուրիեի շարքի մեջ:
Մոդուլային ֆունկցիաների համար (օրինակ՝ |x|) օգտագործեք կոսինուսի ընդլայնում.
Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:
Մոդուլային ֆունկցիաների համար օգտագործեք կոսինուսի ընդլայնում: Օրինակ՝ |x|-ի համար անհրաժեշտ է մուտքագրել ֆունկցիա առանց մոդուլի, այսինքն. x.Ֆուրիեի շարքը մաս-մաս շարունակական, մաս-մաս միատոն և սահմանափակված ինտերվալի վրա (- լ;լ) ֆունկցիան համընկնում է ամբողջ թվային տողի վրա:
Ֆուրիեի S(x) շարքի գումարը.
- 2-րդ կետով պարբերական ֆունկցիա է լ. U(x) ֆունկցիան կոչվում է T պարբերակով պարբերական (կամ T-պարբերական), եթե R շրջանի բոլոր x-երի համար u(x+T)=u(x):
- ընդմիջումով (- լ;լ) համընկնում է ֆունկցիայի հետ զ(x), բացառությամբ ընդմիջման կետերի
- ֆունկցիայի անջատման (առաջին տեսակի, քանի որ ֆունկցիան սահմանափակված է) կետերում զ(x) և միջակայքի վերջում վերցնում է միջին արժեքներ.
Նրանք ասում են, որ ֆունկցիան ընդարձակվում է Ֆուրիեի շարքի միջակայքում (- լ;լ):
.
Եթե զ(x) զույգ ֆունկցիա է, ապա դրա ընդլայնմանը մասնակցում են միայն զույգ ֆունկցիաները, այսինքն b n=0.
Եթե զ(x) կենտ ֆունկցիա է, ապա դրա ընդլայնմանը մասնակցում են միայն կենտ ֆունկցիաները, այսինքն a n=0
Ֆուրիեի մոտ
գործառույթները զ(x) միջակայքի վրա (0; լ) բազմակի աղեղների կոսինուսներով
շարքը կոչվում է. 
, Որտեղ 
.
Ֆուրիեի մոտ
գործառույթները զ(x) միջակայքի վրա (0; լ) բազմակի աղեղների սինուսների երկայնքով
շարքը կոչվում է. 
, Որտեղ 
.
Ֆուրիեի շարքի գումարը բազմակի աղեղների կոսինուսների վրա 2 պարբերությամբ զույգ պարբերական ֆունկցիա է լ, համընկնում է զ(x) միջակայքի վրա (0; լ) շարունակականության կետերում:
Ֆուրիեի շարքի գումարը բազմակի աղեղների սինուսների վրա 2 պարբերությամբ կենտ պարբերական ֆունկցիա է լ, համընկնում է զ(x) միջակայքի վրա (0; լ) շարունակականության կետերում:
Ֆուրիեի շարքը տվյալ ինտերվալի վրա տրված ֆունկցիայի համար ունի եզակիության հատկություն, այսինքն՝ եթե ընդլայնումը ստացվում է այլ կերպ, քան բանաձևերը, օրինակ՝ ընտրելով գործակիցները, ապա այդ գործակիցները համընկնում են բանաձևերից հաշվարկված գործակիցների հետ։ .
Օրինակ թիվ 1. Ընդլայնել ֆունկցիան f(x)=1:
ա) ամբողջական Ֆուրիեի շարքում միջակայքում(-π ;π);
բ) մի շարք միջակայքում գտնվող բազմաթիվ աղեղների սինուսների երկայնքով(0;π); գծագրեք ստացված Ֆուրիեի շարքը
Լուծում:
ա) Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը (-π;π) միջակայքի վրա ունի ձև. 
,
և բոլոր գործակիցները b n=0, քանի որ այս ֆունկցիան հավասար է; Այսպիսով,
Ակնհայտ է, որ հավասարությունը կբավարարվի, եթե ընդունենք
Ա 0 =2, Ա 1 =Ա 2 =Ա 3 =…=0
Ելնելով եզակիության հատկությունից՝ սրանք պահանջվող գործակիցներն են։ Այսպիսով, պահանջվող տարրալուծումը. 
կամ պարզապես 1=1:
Այս դեպքում, երբ շարքը նույնականորեն համընկնում է իր ֆունկցիայի հետ, Ֆուրիեի շարքի գրաֆիկը համընկնում է ամբողջ թվային տողի ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ։
բ) (0;π) միջակայքի ընդլայնումը բազմակի աղեղների սինուսներով ունի ձև.
Ակնհայտորեն անհնար է ընտրել գործակիցներն այնպես, որ հավասարությունը պահպանվի նույնությամբ: Գործակիցները հաշվարկելու համար օգտագործենք բանաձևը.
Այսպիսով, նույնիսկ համար n (n=2կ) մենք ունենք b n=0, կենտ համար ( n=2կ-1) - 
Վերջապես, 
.
Եկեք գծենք ստացված Ֆուրիեի շարքը՝ օգտագործելով դրա հատկությունները (տե՛ս վերևում):
Նախ և առաջ մենք կառուցում ենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը տվյալ ինտերվալի վրա։ Այնուհետև, օգտվելով շարքի գումարի տարօրինակությունից, մենք սիմետրիկորեն շարունակում ենք գրաֆիկը դեպի սկզբնաղբյուր. 
Մենք պարբերաբար շարունակում ենք ամբողջ թվային տողի երկայնքով. 
Եվ վերջապես, ընդմիջման կետերում մենք լրացնում ենք միջին (աջ և ձախ սահմանների միջև) արժեքները. 
Օրինակ թիվ 2. Ընդլայնել գործառույթը 
բազմակի աղեղների սինուսների երկայնքով (0;6) միջակայքի վրա:
ԼուծումՊահանջվող ընդլայնումն ունի հետևյալ ձևը.
Քանի որ հավասարության և ձախ և աջ կողմերը պարունակում են միայն գործառույթները մեղքտարբեր արգումենտներից դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք n-ի ցանկացած արժեքի համար (բնական!) սինուսների արգումենտները ձախ և ճիշտ մասերհավասարություն:
կամ , որից n =18: Սա նշանակում է, որ նման տերմինը պարունակվում է աջ կողմում, և դրա գործակիցը պետք է համընկնի ձախ կողմի գործակցի հետ. բ 18 =1;
կամ , որից n =4: Նշանակում է, բ 4 =-5.
Այսպիսով, ընտրելով գործակիցները, հնարավոր եղավ ստանալ ցանկալի ընդլայնումը.
Դաշնային պետական բյուջե ուսումնական հաստատություն բարձրագույն կրթություն
«ՎՈԼԳԱՅԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ
ՀԵՌԱԿԱՊ ԵՎ ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱ»
Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին
Օ.Վ.ՍՏԱՐՈԺԻԼՈՎԱ
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՀԱՏՈՒԿ ԳԼՈՒԽՆԵՐ
արձանագրությունը, 10.03.2017թ
Ստարոժիլովա, Օ.Վ.
C Մաթեմատիկայի հատուկ գլուխներԴասագիրք //Starozhilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 p.
Ուսուցողականանդրադառնում է մաթեմատիկայի հատուկ ճյուղերին՝ մաթեմատիկական տրամաբանություն և ավտոմատների տեսություն, դրույթային հանրահաշիվ, առաջադրանքների հաշվարկ, ալգորիթմների տեսության տարրեր, ռեգրեսիոն վերլուծություն, օպտիմալացման մեթոդներ։
03/09/02 ուղղությամբ սովորող համալսարանականների և մագիստրոսների համար. Տեղեկատվական համակարգեր և տեխնոլոգիաներ», ովքեր ցանկանում են ինքնուրույն ուսումնասիրել մաթեմատիկայի հատուկ գլուխներ։
Յուրաքանչյուր բաժին ավարտվում է հսկիչ հարցերով, որոնք կօգնեն ստուգել դասընթացի տեսական տիրապետումը, պարունակում է մեծ թվով առաջադրանքներ անկախ որոշումև պատասխանները ստուգելու համար:
Ձեռնարկը պարունակում է լաբորատոր համալիր և մի շարք ինժեներական խնդիրներ՝ շեշտը դնելով հաշվողական մաթեմատիկայի մեթոդների ծրագրային ապահովման վրա:
Starozhilova O.V., 2017 թ
Գլուխ 1 Հարմոնիկ վերլուծություն 6
1.1 Ձայնային լարային խնդիր 7
1.2 Ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգեր 8
1.3 Ֆուրյեի շարքը ֆունկցիաների եռանկյունաչափական համակարգի համար 10
1.4 Բավարար պայմաններֆունկցիայի ընդլայնում Ֆուրիեի շարքում 13
1.5 Ոչ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի ընդլայնում 17
1.6 Ֆուրիեի շարք զույգ և կենտ ֆունկցիաների համար 18
1.7 Ֆուրիեի շարք ցանկացած ժամանակաշրջանի ֆունկցիաների համար 21
1.8 Ֆուրիեի ինտեգրալ 27
1.9 Ֆուրիեի ինտեգրալ զույգ և կենտ ֆունկցիաների համար 29
1.10 Բարդ ձևՖուրիեի ինտեգրալ 30
1.11 Ֆուրիեի փոխակերպում 32
Գլուխ 2 Մաթեմատիկական տրամաբանություն և IV 33
2.1 Տրամաբանության զարգացման փուլեր 34
2.2 Առաջարկային տրամաբանություն 38
2.3 Տրամաբանական միացումներ 40
2.4 Տրամաբանական գործողություններ 41
2.5 Առաջարկային հաշվարկի այբուբեն 42
2.6 Բանաձևեր 42
2.7 Առաջարկային տրամաբանության օրենքներ 44
2.8 Ֆորմալ տեսություններ. Hatchability. Մեկնաբանություն 46
2.9 Աքսիոմատիկ մեթոդ 47
2.10 Առաջարկային հաշվարկի աքսիոմների համակարգ (ՊՀ) 52
2.11 Եզրակացության կանոններ 53
2.12 Ստացված եզրակացության կանոններ 56
2.13 Եզրակացության կառուցում դրույթային տրամաբանության մեջ 62
2.14 Հանրահաշվի և դրույթային հաշվարկի կապը 66
Գլուխ 3 Ռեգրեսիայի վերլուծության խնդիրներ 70
3.1 Մեթոդ նվազագույն քառակուսիները 74
3.2 Գծային ռեգրեսիոն վերլուծություն 76
3.3 Ռեգրեսիոն մոդելի գնահատում 79
3.4 Գծային ռեգրեսիայի մեթոդի կիրառման խնդիրներ 83
3.5 LR 85 վիճակագրական մոդելի նախադրյալները
3.6 Ռեգրեսիոն վերլուծության հիմնախնդիրներ 86
3.7 Բազմաչափ նորմալ ռեգրեսիոն մոդել 90
3.8 Կախյալ փոփոխականի փոփոխություն 92
Թեստային հարցեր 94
Գլուխ 4 Որոշումների կայացման խնդիրների ընդհանուր ձևակերպումը և տեսակները 95
4.1 Օպտիմալացման խնդրի մաթեմատիկական ձևակերպում 97
4.2 Տեղական և համաշխարհային նվազագույն TF 99
4.3 Մեթոդներ անվերապահ օպտիմալացում 102
4.4 Կոորդինատային ծագման մեթոդ 102
4.5 Ռոզենբրոկ մեթոդ 105
4.6 Կազմաձևման մեթոդ 105
4.7 Պատահական որոնման մեթոդներ 108
4.8 Նյուտոնի մեթոդ 112
Գլուխ 5 Ֆուրիեի փոխակերպում 114
5.1 Ֆուրյե ֆունկցիայի մոտավորություն 114
5.2 Ֆուրիեի փոխակերպում 117
5.3 Արագ Ֆուրիեի փոխակերպում 120
ԼԱԲՈՐԱՏՈՐԻԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼԻՐ 123
Հարմոնիկ և սպեկտրալ վերլուծություն 123
Թեմա 1. «Առաջադրական տրամաբանություն» 131
LP 133 թեմայի անհատական առաջադրանքների տարբերակներ
Թեմա 2. Գծային զույգական ռեգրեսիա 140
Լաբորատոր աշխատանք № 1 141
LR 141 հավասարման գործակիցների հաշվարկ
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 2 144
Ընտրանքային հարաբերակցության գործակիցի հաշվարկ 144
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 3 145
Զուգակցված LR 145-ի շեղումների գնահատումների հաշվարկ
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 4 147
Excel գործառույթներ զուգակցված LR գործակիցների համար 147
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 5 149
Զուգակցված LR ֆունկցիայի 149-ի միջակայքի գնահատման կառուցում
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 6 151
Ստուգելով LR հավասարման նշանակությունը՝ օգտագործելով Fisher 151 չափանիշը
Թեմա 3 Ոչ գծային զույգական ռեգրեսիա 153
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 7 153
Ոչ գծային ռեգրեսիայի կառուցում՝ օգտագործելով 153
Ավելացնել Trendline հրամաններ 153
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 8 158
Լավագույն ոչ գծային ռեգրեսիայի ընտրություն 158
Թեմա 4. Գծային բազմակի ռեգրեսիա 161
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 9 162
LMR գործակիցների հաշվարկ 162
Լաբորատոր աշխատանք թիվ 10 166
Նշանակության փորձարկում ռեգրեսիոն ռեժիմում 166
Թեմա 5. Ոչ գծային բազմակի ռեգրեսիա 175
Թիվ 11 175 լաբորատոր աշխատանք
Կոբ-Դուգլասի ֆունկցիայի հաշվարկ 175
Փորձարկում № 1 179
Զուգակցված ռեգրեսիա 179
Թեստ թիվ 2 181
Հոգնակի գծային ռեգրեսիա 181
Անվերապահ ծայրահեղության որոնման թվային մեթոդներ 185
185 ֆունկցիայի գրաֆիկական վերլուծություն
Միաչափ որոնման խնդիր 187
Սվենի ալգորիթմ 190
Կոպիտ ուժի մեթոդ 193
Bitwise որոնման մեթոդ 195
Դիխոտոմիայի մեթոդ. 198 թ
Ֆիբոնաչի մեթոդ 201
Ոսկե հարաբերակցության մեթոդ 205
Միջին կետի մեթոդ 210
Նյուտոնի մեթոդ 214
Գրականություն 218
Գլուխ 1 Հարմոնիկ վերլուծություն
ՍահմանումՀարմոնիկ վերլուծություն -մաթեմատիկայի ճյուղ, որը կապված է տատանումների ներդաշնակ թրթիռների տարրալուծման հետ։
Պարբերական (այսինքն՝ ժամանակի ընթացքում կրկնվող) երևույթներն ուսումնասիրելիս մենք դիտարկում ենք պարբերական գործառույթներ.
Օրինակ՝ ներդաշնակ տատանումը նկարագրվում է ժամանակի պարբերական ֆունկցիայով տ:
Ø ՍահմանումՊարբերական ֆունկցիա- ֆունկցիա, որի արժեքը չի փոխվում, երբ կանչվում է որոշակի ոչ զրոյական թիվ ժամանակաշրջանգործառույթները։
Քանի որ երկու ժամանակաշրջանների գումարը և տարբերությունը կրկին ժամանակաշրջան է, և, հետևաբար, պարբերության ցանկացած բազմապատիկ նույնպես ժամանակաշրջան է, ապա յուրաքանչյուր պարբերական ֆունկցիա ունի անսահման թվով պարբերություններ:
Եթե պարբերական ֆունկցիան ունի իրական ժամանակաշրջան, շարունակական է և տարբերվում է հաստատունից, ապա այն ունի ամենափոքր դրական պարբերությունը Տ; Նույն ֆունկցիայի ցանկացած այլ իրական ժամանակաշրջան կունենա ձևը կՏ, Որտեղ k =±1, ±2,....
Նույն պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաների գումարը, արտադրյալը և գործակիցը նույն պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա են:
Պարբերական ֆունկցիաները չափազանց կարևոր դեր են խաղում տատանումների տեսության և ընդհանրապես մաթեմատիկական ֆիզիկայի մեջ։ Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում մենք ծանոթացանք ֆունկցիոնալ շարքի հայեցակարգին, աշխատեցինք դրա կարևոր հատուկ դեպքի հետ. հզորության շարք. Դիտարկենք ևս մեկ շատ կարևոր (ներառյալ ֆիզիկական կիրառությունների համար) հատուկ դեպքֆունկցիոնալ շարք - եռանկյունաչափական շարք:
Ø Սահմանում Ֆունկցիոնալ տիրույթ -ձևի շարքը
որտեղ կան ֆունկցիաներ՝ կախված մեկ փոփոխականից կամ մի քանի փոփոխականից:
Յուրաքանչյուր ֆիքսված արժեքի համար ֆունկցիոնալ շարքը վերածվում է թվային շարքի
որոնք կարող են համընկնել կամ շեղվել:
Ø Սահմանում Ֆունկցիոնալ շարքի կոնվերգենցիայի կետ- կետը, որտեղ ֆունկցիոնալ շարքը համընկնում է:
Ø ՍահմանումԲոլոր կոնվերգենցիայի կետերի բազմությունը կոչվում է շարքի կոնվերգենցիայի շրջան.
դա հնարավոր է այս գործառույթըներկայացնել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով, այսինքն. հնարավո՞ր է գտնել գործակիցները: a nԵվ b nայնպես, որ բոլորի համար լինի հավասարություն
Շարքի գումարն ակնհայտորեն պարբերական ֆունկցիա է։ Սա նշանակում է, որ միայն պարբերական ֆունկցիաները կարող են ընդլայնվել եռանկյունաչափական շարքի զ.
Բացի այդ, պարզ է, որ եթե երկու պարբերական ֆունկցիաներ համընկնում են մի միջակայքում, որի երկարությունը հավասար է պարբերությանը, ապա դրանք համընկնում են ամենուր։ Հետևաբար, բավական է ստուգել երկարության որոշակի ընդմիջում, օրինակ, .
1.1 Ձայնային լարային խնդիր
Եռանկյունաչափական շարքերի ուսումնասիրությունը հանգեցրեց 18-րդ դարում առաջադրված հնչյունային լարային խնդրին:
Տրվելով ֆունկցիա՝ հնարավո՞ր է գտնել եռանկյունաչափական շարք, որը համընկնում է և որպես գումար ունի ֆունկցիան: Պետք է սահմանափակումներ մտցնել դրա վրա, որպեսզի հնարավոր լինի փնտրել դրան համընկնող եռանկյունաչափական շարք։
Նմանատիպ խնդիր էր հզորության շարք, եթե լուծելի է, ապա այդպիսի շարքը Թեյլորի շարք է։
1.2 Ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգեր
Ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգերի համակարգված ուսումնասիրությունը սկսվել է մաթեմատիկական ֆիզիկայի հավասարումների սահմանային խնդիրների լուծման Ֆուրիեի մեթոդի հետ կապված։ Ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգերի տեսության հիմնական խնդիրներից մեկը ֆունկցիայի տարրալուծման խնդիրն է. զ(x) ձևի մի շարքում, որտեղ ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգ է:
Ø ՍահմանումՖունկցիաները կոչվում են ուղղանկյունվրա, եթե կատարվում է՝
ք Օրինակ , 
- ֆունկցիաները ուղղանկյուն են, քանի որ 
ք Օրինակ on-ը ուղղահայաց է ցանկացած ֆունկցիայի վրա, որը սահմանված է:
Ø ՍահմանումԳործառույթների անսահման համակարգ է կոչվում ուղղանկյունեթե
ք ՕրինակԳործառույթների անսահման համակարգը չի կազմում ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգ
ք Օրինակ -եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համակարգկազմում է իրեն ուղղահայաց ֆունկցիաների համակարգ։
, 
, 
.
Ø ՍահմանումԹույլ տվեք կամայական ֆունկցիաների համակարգին ուղղանկյուն: Շարք
որտեղ կոչվում են կամայական թվային գործակիցներ իրար կողքի՝ ըստ ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգի։
Ø ՍահմանումՇարք՝ ըստ ֆունկցիաների եռանկյունաչափական համակարգի
կանչեց եռանկյունաչափական շարք.
ü ՄեկնաբանությունԵթե յուրաքանչյուր կետում համընկնող եռանկյունաչափական շարքի գումարն է, ապա այն պարբերական է, քանի որ , պարբերական ֆունկցիաներ են ժամանակով, ապա հավասարության մեջ 
ոչինչ չի փոխվի, հետևաբար՝ պարբերական։
ü ՄեկնաբանությունԵթե տրված է հատվածի վրա, բայց ոչ, ապա կոորդինատների սկզբնաղբյուրը տեղափոխելով այն կարող է կրճատվել մինչև ուսումնասիրված դեպք:
ü ՄեկնաբանությունԵթե ժամանակաշրջան ունեցող պարբերական ֆունկցիան , ապա այն ընդլայնվում է եռանկյունաչափական շարքի
ք ԹեորեմԵթե թվերի շարքը համընկնում է, ապա եռանկյունաչափական շարքը
բացարձակ և միատեսակ զուգակցվում է ամբողջ առանցքի երկայնքով:
Ապացույց
Հետևաբար,
շարք - մեծացնում է տրված եռանկյունաչափական շարքը և, ըստ Վայերշտրասի թեստի, համընկնում է միատեսակ:
Բացարձակ կոնվերգենցիան ակնհայտ է.
1.3 Ֆուրյեի շարքը ֆունկցիաների եռանկյունաչափական համակարգի համար
Ժան Բատիստ Ժոզեֆ Ֆուրիե 1768 – 1830 - ֆրանսիացի մաթեմատիկոս։
Ֆուրիեի շարքի գործակիցները հաշվարկելու համար հաշվարկում ենք ինտեգրալները
, 
, 
, 
,
ք ԹեորեմԵթե բոլորի համար լինի հավասարություն
և եռանկյունաչափական շարքը հավասարաչափ զուգակցվում է ամբողջ առանցքի վրա, այնուհետև որոշվում են այս շարքի գործակիցները.
, 
,
Ապացույց
Շարքը միատեսակ զուգակցվում է ամբողջ թվային տողի վրա, դրա անդամները շարունակական ֆունկցիաներ են, այնուհետև դրա գումարը նույնպես շարունակական է, և շարքի ժամկետ առ տերմին ինտեգրումը հնարավոր է ներսում։
Յուրաքանչյուր ինտեգրալ հավասար է զրոյի, քանի որ ֆունկցիաների եռանկյունաչափական համակարգը ուղղանկյուն է , և ապա
Դա ապացուցելու համար բազմապատկեք երկու կողմերը
Սա չի խաթարի շարքի միատեսակ մերձեցումը:
Շարքի միատեսակ կոնվերգենցիայի շնորհիվ
և սա նշանակում է շարքի միատեսակ կոնվերգենցիա:
Ինտեգրվելով, մենք ունենք
Գործառույթների եռանկյունաչափական համակարգի ուղղանկյունության շնորհիվ վրա
, 
, և սկսած 
ինտեգրալը ժամը,
, դա և այլն:
Հիշենք դա
Այս հավասարումների վավերականությունը բխում է ինտեգրանդում եռանկյունաչափական բանաձևերի կիրառումից։
Բանաձևն ապացուցված է նույն կերպ.
ü ՄեկնաբանությունԹեորեմը գործում է ցանկացած միջակայքում, և ինտեգրման սահմանները փոխարինվում են համապատասխանաբար և համապատասխանաբար:
Ø ՍահմանումԵռանկյունաչափական շարք
,
որոնց գործակիցները որոշվում են բանաձևերով
, ,
,
կանչեց Ֆուրիեի մոտֆունկցիայի համար, և գործակիցները կոչվում են Ֆուրիեի գործակիցները.
Եթե ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը f(x)համընկնում է իր շարունակականության բոլոր կետերում, ապա ասում ենք, որ ֆունկցիան f(x)-ը ընդլայնվում է Ֆուրիեի շարքի մեջ:
ü ՄեկնաբանությունԱմեն եռանկյունաչափական շարք չէ, որ Ֆուրիեի շարք է, նույնիսկ եթե այն համընկնում է ամբողջ թվային տողի վրա:
Ոչ միատեսակ կոնվերգենտ շարքի գումարը կարող է լինել ընդհատվող և ոչ ինտեգրելի, ուստի Ֆուրիեի գործակիցների որոշումը անհնար է:
ü ՄեկնաբանությունՖուրիեի շարքը ֆունկցիոնալ շարքերի հատուկ դեպք է:
1.4 Ֆուրյեի շարքում ֆունկցիայի ընդլայնման համար բավարար պայմաններ
Ø ՍահմանումՖունկցիան կոչվում է հատվածով միապաղաղ,եթե այս հատվածը կարելի է բաժանել վերջավոր թվով կետերի x 1, x 2, ..., x n-1ընդմիջումներով ( ա,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,բ) այնպես, որ ինտերվալներից յուրաքանչյուրի վրա ֆունկցիան միապաղաղ լինի, այսինքն՝ կամ չի մեծանում, կամ չի նվազում։
ü ՄեկնաբանությունՍահմանումից հետևում է, որ եթե ֆունկցիան մասամբ միապաղաղ է և սահմանափակված է [. ա,բ], ապա այն ունի միայն առաջին տեսակի ընդհատումներ։
Ø ՍահմանումՖունկցիան կոչվում է մաս-մաս հարթ, եթե յուրաքանչյուր վերջավոր ինտերվալի վրա այն և նրա ածանցյալն ունեն առավելագույնը 1-ին տեսակի դադարման կետեր։
ք Թեորեմ (Դիրիխլեի պայմանԲավարար պայման Ֆուրիեի շարքում ֆունկցիայի տարրալուծման համար. Եթե պարբերական ֆունկցիան բավարարում է պայմաններից մեկին.
ապա այս ֆունկցիայի համար կառուցված Ֆուրիեի շարքը համընկնում է բոլոր կետերում
և համընկնում է թվի հետ 
իր ընդհատման յուրաքանչյուր կետում:
Ստացված շարքի գումարը հավասար է ֆունկցիայի արժեքին ֆունկցիայի շարունակականության կետերում
Գործառույթներ՝ տարրալուծելով դրանք բաղադրիչների։ Փոփոխական հոսանքները և լարումները, տեղաշարժերը, կռունկի մեխանիզմների և ձայնային ալիքների արագությունն ու արագացումը ինժեներական հաշվարկներում պարբերական ֆունկցիաների օգտագործման բնորոշ գործնական օրինակներ են:
Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը հիմնված է այն ենթադրության վրա, որ -π ≤x≤ π միջակայքում գործնական նշանակության բոլոր ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել կոնվերգենտ եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (շարքը համարվում է կոնվերգենտ, եթե մասնակի գումարների հաջորդականությունը կազմված է իր անդամներից։ համընկնում է):
Ստանդարտ (=սովորական) նշում sinx-ի և cosx-ի գումարի միջոցով
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
որտեղ a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. իրական հաստատուններ են, այսինքն.
Որտեղ -π-ից π միջակայքի համար Ֆուրիեի շարքի գործակիցները հաշվարկվում են բանաձևերով.
Կոչվում են a o, a n և b n գործակիցները Ֆուրիեի գործակիցները, և եթե դրանք կարելի է գտնել, ապա կոչվում է շարք (1): Ֆուրիեի կողքին, F(x) ֆունկցիային համապատասխան: (1) շարքի համար (a 1 cosx+b 1 sinx) տերմինը կոչվում է առաջին կամ հիմնարար ներդաշնակություն,
Շարք գրելու մեկ այլ եղանակ է օգտագործել acosx+bsinx=csin(x+α) հարաբերությունը:
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Այնտեղ, որտեղ a o-ն հաստատուն է, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2-ը տարբեր բաղադրիչների ամպլիտուդներն են և հավասար է a n =arctg a n-ի: /b n.
(1) շարքի համար (a 1 cosx+b 1 sinx) կամ c 1 sin(x+α 1) տերմինը կոչվում է առաջին կամ. հիմնարար ներդաշնակություն,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) կամ c 2 sin(2x+α 2) կոչվում է. երկրորդ հարմոնիկեւ այլն։
Բարդ ազդանշանը ճշգրիտ ներկայացնելու համար սովորաբար պահանջվում է անսահման թվով տերմիններ: Այնուամենայնիվ, շատ գործնական խնդիրներում բավական է դիտարկել միայն առաջին մի քանի տերմինները:
2π պարբերությամբ ոչ պարբերական ֆունկցիաների Ֆուրիեի շարք:
Ոչ պարբերական ֆունկցիաների ընդլայնում Ֆուրիեի շարքերում:
Եթե f(x) ֆունկցիան ոչ պարբերական է, նշանակում է, որ այն չի կարող ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքի մեջ x-ի բոլոր արժեքների համար: Այնուամենայնիվ, հնարավոր է սահմանել Ֆուրիեի շարք, որը ներկայացնում է ֆունկցիա 2π լայնության ցանկացած տիրույթում:
Հաշվի առնելով ոչ պարբերական ֆունկցիան, նոր ֆունկցիա կարող է կառուցվել՝ ընտրելով f(x) արժեքները որոշակի միջակայքում և կրկնելով դրանք այդ միջակայքից դուրս՝ 2π ընդմիջումներով: Քանի որ նոր ֆունկցիան պարբերական է 2π պարբերությամբ, այն կարող է ընդլայնվել դեպի Ֆուրիեի շարք՝ x-ի բոլոր արժեքների համար: Օրինակ՝ f(x)=x ֆունկցիան պարբերական չէ։ Այնուամենայնիվ, եթե անհրաժեշտ է այն ընդլայնել Ֆուրիեի շարքի մեջ o-ից 2π միջակայքում, ապա այս միջակայքից դուրս կառուցվում է 2π պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա (ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում):
Ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար, ինչպիսիք են f(x)=x-ը, Ֆուրիեի շարքի գումարը հավասար է f(x) արժեքին տվյալ տիրույթի բոլոր կետերում, բայց այն հավասար չէ f(x)-ի կետերի համար: շրջանակից դուրս: 2π միջակայքում ոչ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը գտնելու համար օգտագործվում է Ֆուրիեի գործակիցների նույն բանաձևը։
Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ:
Ասում են y=f(x) ֆունկցիան նույնիսկ, եթե f(-x)=f(x) x-ի բոլոր արժեքների համար: Զույգ ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ սիմետրիկ են y առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ հայելային պատկերներ են)։ Զույգ ֆունկցիաների երկու օրինակ՝ y=x2 և y=cosx:
Ասում են, որ y=f(x) ֆունկցիան տարօրինակ,եթե f(-x)=-f(x) x-ի բոլոր արժեքների համար: Կենտ ֆունկցիաների գրաֆիկները միշտ սիմետրիկ են ծագման վերաբերյալ:
Շատ ֆունկցիաներ ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:
Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը կոսինուսներում.
2π պարբերությամբ զույգ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն կոսինուս անդամներ (այսինքն՝ առանց սինուսի անդամներ) և կարող է ներառել հաստատուն անդամ։ Հետևաբար,
որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,
2π պարբերություն ունեցող f(x) կենտ պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է միայն սինուսներով անդամներ (այսինքն, այն չի պարունակում կոսինուսներով անդամներ)։
Հետևաբար,
որտեղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,
Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով.
Եթե ֆունկցիան սահմանվում է տիրույթի համար, ասենք 0-ից մինչև π, և ոչ միայն 0-ից մինչև 2π, այն կարող է ընդլայնվել շարքով միայն սինուսներում կամ միայն կոսինուսներում: Ստացված Ֆուրիեի շարքը կոչվում է Ֆուրիեի մոտ կես ցիկլով:
Եթե ցանկանում եք ստանալ տարրալուծումը Կիսաշրջանային Ֆուրիեն ըստ կոսինուսների f(x) ֆունկցիաները 0-ից π միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել զույգ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f(x)=x ֆունկցիան՝ կառուցված x=0-ից x=π միջակայքի վրա: Քանի որ զույգ ֆունկցիան սիմետրիկ է f(x) առանցքի նկատմամբ, մենք գծում ենք AB ուղիղ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. ստորև. Եթե ենթադրենք, որ դիտարկված միջակայքից դուրս ստացված եռանկյունաձև ձևը պարբերական է 2π պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը. Նկ. ստորև. Քանի որ մենք պետք է ստանանք Ֆուրիեի ընդլայնումը կոսինուսներում, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցները a o և a n.
Եթե անհրաժեշտ է ստանալ f(x) ֆունկցիաները 0-ից π միջակայքում, ապա անհրաժեշտ է կառուցել կենտ պարբերական ֆունկցիա։ Նկ. Ստորև բերված է f(x)=x ֆունկցիան՝ կառուցված x=0-ից x=π միջակայքի վրա: Քանի որ կենտ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, մենք կառուցում ենք CD տողը, ինչպես ցույց է տրված Նկ. Եթե ենթադրենք, որ դիտարկվող միջակայքից դուրս ստացվող սղոցային ազդանշանը պարբերական է 2π պարբերությամբ, ապա վերջնական գրաֆիկն ունի Նկ. Քանի որ մենք պետք է ստանանք կիսաշրջանի Ֆուրիեի ընդլայնումը սինուսներով, ինչպես նախկինում, մենք հաշվարկում ենք Ֆուրիեի գործակիցը: բ
Ֆուրիեի շարքը կամայական ինտերվալի համար:
Պարբերական ֆունկցիայի ընդլայնում L պարբերությամբ։
F(x) պարբերական ֆունկցիան կրկնվում է, երբ x-ն ավելանում է L-ով, այսինքն. f(x+L)=f(x): Նախկինում դիտարկված 2π պարբերություն ունեցող ֆունկցիաներից անցումը L պարբերություն ունեցող ֆունկցիաներին բավականին պարզ է, քանի որ այն կարելի է կատարել փոփոխականի փոփոխության միջոցով։
F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը գտնելու համար -L/2≤x≤L/2 միջակայքում, ներմուծում ենք նոր փոփոխական u, որպեսզի f(x) ֆունկցիան u-ի նկատմամբ ունենա 2π պարբերություն: Եթե u=2πx/L, ապա x=-L/2 u=-π-ի համար և x=L/2 u=π-ի համար: Թողեք նաև f(x)=f(Lu/2π)=F(u): Ֆուրյեի F(u) շարքն ունի ձև
Որտե՞ղ են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,
Այնուամենայնիվ, ավելի հաճախ վերը նշված բանաձեւը հանգեցնում է կախվածության x-ից: Քանի որ u=2πx/L նշանակում է du=(2π/L)dx, իսկ ինտեգրման սահմաններն են -L/2-ից մինչև L/2՝ - π-ի փոխարեն π-ի փոխարեն: Հետևաբար, x-ից կախվածության Ֆուրիեի շարքն ունի ձև
որտեղ -L/2-ից L/2 միջակայքում գտնվում են Ֆուրիեի շարքի գործակիցները,
(Ինտեգրման սահմանները կարող են փոխարինվել L երկարության ցանկացած միջակայքով, օրինակ՝ 0-ից L)
L≠2π ինտերվալում նշված ֆունկցիաների համար կես ցիկլի վրա Ֆուրիեի շարքը:
u=πх/L փոխարինման համար x=0-ից x=L միջակայքը համապատասխանում է u=0-ից u=π միջակայքին։ Հետևաբար, ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել շարքի միայն կոսինուսներում կամ միայն սինուսներում, այսինքն. Վ Ֆուրիեի շարքը կես ցիկլով.
Կոսինուսի ընդլայնումը 0-ից L միջակայքում ունի ձև
