Ի՞նչ արժեքներ կարող է վերցնել լոգարիթմը: Հզորության շարքի ընդլայնում

առնչությամբ

կարող է դրվել մյուս երկու թվերից որևէ մեկը գտնելու առաջադրանք: Եթե ​​տրված են a-ն և ապա N-ը, ապա դրանք հայտնաբերվում են ըստ աստիճանի: Եթե ​​N-ը և ապա a-ն տրված են՝ վերցնելով x աստիճանի արմատը (կամ բարձրացնելով այն հզորության): Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ տրված a-ին և N-ին, մենք պետք է գտնենք x-ը:

Թող N թիվը լինի դրական. a թիվը լինի դրական և ոչ հավասար մեկին.

Սահմանում. N թվի լոգարիթմը a հիմքի նկատմամբ այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել a-ն՝ N թիվը ստանալու համար. լոգարիթմը նշվում է

Այսպիսով, հավասարության մեջ (26.1) ցուցիչը գտնվում է որպես N-ի լոգարիթմ՝ a հիմքի նկատմամբ: Գրառումներ

ունեն նույն իմաստը. Հավասարությունը (26.1) երբեմն կոչվում է լոգարիթմների տեսության հիմնական նույնականացում. իրականում այն ​​արտահայտում է լոգարիթմ հասկացության սահմանումը։ Ըստ այս սահմանումը a լոգարիթմի հիմքը միշտ դրական է և տարբերվում է միասնությունից. N լոգարիթմական թիվը դրական է: Բացասական թվերն ու զրոն լոգարիթմ չունեն։ Կարելի է ապացուցել, որ տրված հիմքով ցանկացած թիվ ունի հստակ սահմանված լոգարիթմ։ Հետևաբար, հավասարությունը ենթադրում է: Նկատի ունեցեք, որ պայմանն այստեղ էական է, հակառակ դեպքում եզրակացությունը արդարացված չէր, քանի որ հավասարությունը ճշմարիտ է x-ի և y-ի ցանկացած արժեքի համար:

Օրինակ 1. Գտեք

Լուծում. Թիվ ստանալու համար դուք պետք է 2-րդ հիմքը բարձրացնեք ուժի, հետևաբար:

Նման օրինակները լուծելիս կարող եք նշումներ կատարել հետևյալ ձևով.

Օրինակ 2. Գտեք .

Լուծում. Մենք ունենք

Օրինակներ 1-ում և 2-ում մենք հեշտությամբ գտանք ցանկալի լոգարիթմը` ներկայացնելով լոգարիթմի թիվը որպես ռացիոնալ ցուցիչով բազայի հզորություն: IN ընդհանուր դեպք, օրինակ, համար և այլն, դա հնարավոր չէ անել, քանի որ լոգարիթմն ունի իռացիոնալ արժեք։ Ուշադրություն դարձնենք այս հայտարարության հետ կապված մեկ խնդրի. 12-րդ պարբերությունում մենք տվել ենք տվյալ դրական թվի ցանկացած իրական հզորության որոշման հնարավորության հայեցակարգը։ Սա անհրաժեշտ էր լոգարիթմների ներդրման համար, որոնք, ընդհանուր առմամբ, կարող են լինել իռացիոնալ թվեր։

Դիտարկենք լոգարիթմների որոշ հատկություններ:

Հատկություն 1. Եթե թիվը և հիմքը հավասար են, ապա լոգարիթմը հավասար է մեկի, և հակառակը, եթե լոգարիթմը հավասար է մեկին, ապա թիվը և հիմքը հավասար են։

Ապացույց. Թող Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ունենք և որտեղից

Եվ հակառակը, թող Հետո ըստ սահմանման

Հատկություն 2. Մեկից ցանկացած հիմքի լոգարիթմը հավասար է զրոյի:

Ապացույց. Լոգարիթմի սահմանմամբ (ցանկացած դրական հիմքի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի, տես (10.1)): Այստեղից

Ք.Ե.Դ.

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. եթե , ապա N = 1: Իսկապես, մենք ունենք .

Նախքան լոգարիթմների հաջորդ հատկությունը ձևակերպելը, եկեք համաձայնենք ասել, որ երկու a և b թվեր գտնվում են երրորդ c թվի նույն կողմում, եթե երկուսն էլ մեծ են c-ից կամ փոքր են c-ից: Եթե ​​այս թվերից մեկը մեծ է c-ից, իսկ մյուսը փոքր է c-ից, ապա մենք կասենք, որ դրանք գտնվում են c-ի հակառակ կողմերում:

Հատկություն 3. Եթե թիվն ու հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում, ապա լոգարիթմը դրական է. Եթե ​​թիվը և հիմքը գտնվում են մեկի հակառակ կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է:

3-ի հատկության ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ a-ի հզորությունը մեկից մեծ է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը դրական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ աստիճանը բացասական է։ Հզորությունը մեկից փոքր է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը բացասական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ ցուցանիշը դրական է:

Կան չորս դեպքեր, որոնք պետք է դիտարկել.

Մենք կսահմանափակվենք դրանցից առաջինը վերլուծելով, մնացածը ընթերցողն ինքնուրույն կքննարկի։

Թող հավասարության մեջ ցուցիչը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ հավասար զրոյի, հետևաբար, այն դրական է, այսինքն, ինչպես պահանջվում է ապացուցել:

Օրինակ 3. Պարզի՛ր, թե ստորև բերված լոգարիթմներից որոնք են դրական, որոնք՝ բացասական.

Լուծում, ա) քանի որ 15 թիվը և 12 հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում.

բ) քանի որ 1000-ը և 2-ը գտնվում են միավորի մի կողմում. այս դեպքում կարևոր չէ, որ բազան ավելի մեծ լինի, քան լոգարիթմական թիվը.

գ) քանի որ 3.1-ը և 0.8-ը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում.

G) ; Ինչո՞ւ։

դ) ; Ինչո՞ւ։

Հետևյալ 4-6 հատկությունները հաճախ անվանում են լոգարիթմացման կանոններ. դրանք թույլ են տալիս, իմանալով որոշ թվերի լոգարիթմները, գտնել դրանցից յուրաքանչյուրի արտադրյալի լոգարիթմները, քանորդը և աստիճանը։

Հատկություն 4 (արտադրանքի լոգարիթմի կանոն): Մի քանի դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմ ըստ այս հիմքը գումարին հավասարայս թվերի լոգարիթմները նույն հիմքի վրա:

Ապացույց. Թող տրված թվերը դրական լինեն։

Նրանց արտադրյալի լոգարիթմի համար մենք գրում ենք հավասարությունը (26.1), որը սահմանում է լոգարիթմը.

Այստեղից մենք կգտնենք

Համեմատելով առաջին և վերջին արտահայտությունների ցուցիչները՝ ստանում ենք պահանջվող հավասարությունը.

Նշենք, որ պայմանը էական է. Երկու բացասական թվերի արտադրյալի լոգարիթմը իմաստ ունի, բայց այս դեպքում մենք ստանում ենք

Ընդհանուր առմամբ, եթե մի քանի գործոնների արտադրյալը դրական է, ապա դրա լոգարիթմը հավասար է այդ գործոնների բացարձակ արժեքների լոգարիթմների գումարին:

Հատկություն 5 (քանորդների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն). Դրական թվերի քանորդի լոգարիթմը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լոգարիթմների տարբերությանը, վերցված նույն հիմքին: Ապացույց. Մենք հետևողականորեն գտնում ենք

Ք.Ե.Դ.

Հատկություն 6 (հզորության լոգարիթմի կանոն): Ցանկացած դրական թվի հզորության լոգարիթմը հավասար է այդ թվի լոգարիթմին՝ բազմապատկելով ցուցիչով։

Ապացույց. Եկեք նորից գրենք հիմնական ինքնությունը (26.1) համարի համար.

Ք.Ե.Դ.

Հետևանք. Դրական թվի արմատի լոգարիթմը հավասար է արմատականի լոգարիթմին, որը բաժանվում է արմատի ցուցիչի վրա.

Այս եզրակացության վավերականությունը կարելի է ապացուցել՝ պատկերացնելով, թե ինչպես և օգտագործելով հատկությունը 6:

Օրինակ 4. Վերցրեք լոգարիթմը a-ի հիմքում.

ա) (ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները b, c, d, e դրական են);

բ) (ենթադրվում է, որ):

Լուծում, ա) Այս արտահայտության մեջ հարմար է գնալ կոտորակային հզորությունների.

Ելնելով (26.5)-(26.7) հավասարություններից՝ այժմ կարող ենք գրել.

Նկատում ենք, որ թվերի լոգարիթմների վրա կատարվում են ավելի պարզ գործողություններ, քան բուն թվերը՝ թվերը բազմապատկելիս գումարվում են դրանց լոգարիթմները, բաժանելիս՝ հանվում և այլն։

Այդ իսկ պատճառով լոգարիթմներն օգտագործվում են հաշվողական պրակտիկայում (տես պարագրաֆ 29):

Լոգարիթմի հակադարձ գործողությունը կոչվում է հզորացում, այն է՝ հզորացումն այն գործողությունն է, որով թիվն ինքնին հայտնաբերվում է տվյալ թվի լոգարիթմից։ Ըստ էության, ուժեղացումն այդպես չէ հատուկ գործողությունԴա հանգում է նրան, որ հիմքը բարձրացվի մինչև հզորություն (հավասար է թվի լոգարիթմին): «Հզորացում» տերմինը կարելի է հոմանիշ համարել «ցուցաբերություն» տերմինի հետ։

Հզորացնելիս պետք է օգտագործել լոգարիթմացման կանոններին հակադարձ կանոնները. լոգարիթմների գումարը փոխարինել արտադրյալի լոգարիթմով, լոգարիթմների տարբերությունը գործակիցի լոգարիթմով և այլն։ Մասնավորապես, եթե առջևում կա գործակից։ լոգարիթմի նշանի, ապա հզորացման ժամանակ այն պետք է տեղափոխվի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող ցուցիչ աստիճանների։

Օրինակ 5. Գտե՛ք N, եթե հայտնի է, որ

Լուծում. Հզորացման նոր ձևակերպված կանոնի հետ կապված՝ մենք այս հավասարության աջ կողմում գտնվող լոգարիթմների նշանների դիմաց կանգնած 2/3 և 1/3 գործակիցները կտեղափոխենք այս լոգարիթմների նշանների տակ գտնվող ցուցիչներ. մենք ստանում ենք

Այժմ լոգարիթմների տարբերությունը փոխարինում ենք քանորդի լոգարիթմով.

Այս հավասարումների շղթայում վերջին կոտորակը ստանալու համար մենք ազատեցինք նախորդ կոտորակը հայտարարի իռացիոնալությունից (կետ 25):

Հատկություն 7. Եթե հիմքը մեկից մեծ է, ապա ավելի մեծ թիվունի ավելի մեծ լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվն ունի ավելի փոքր), եթե հիմքը մեկից փոքր է, ապա ավելի մեծ թիվը ունի ավելի փոքր լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվը՝ ավելի մեծ)։

Այս հատկությունը ձևակերպված է նաև որպես կանոն անհավասարությունների լոգարիթմներ վերցնելու համար, որոնց երկու կողմերը դրական են.

Մեկից մեծ հիմքի վրա անհավասարությունների լոգարիթմավորման դեպքում անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ մեկից փոքր հիմքի վրա լոգարիթմավորման դեպքում անհավասարության նշանը փոխվում է հակառակի (տես նաև պարբերություն 80):

Ապացույցը հիմնված է 5 և 3 հատկությունների վրա: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ Եթե , ապա և, հաշվի առնելով լոգարիթմները, մենք ստանում ենք.

(a-ն և N/M-ը գտնվում են միասնության նույն կողմում): Այստեղից

Հետևյալ դեպքում ընթերցողն ինքնուրույն կհասկանա դա:

Հրահանգներ

Գրի՛ր տրված լոգարիթմական արտահայտությունը. Եթե ​​արտահայտությունն օգտագործում է 10-ի լոգարիթմը, ապա դրա նշումը կրճատվում է և ունի հետևյալ տեսքը. lg b-ն է. տասնորդական լոգարիթմ. Եթե ​​լոգարիթմը հիմք ունի e թիվը, ապա գրի՛ր արտահայտությունը՝ ln b – բնական լոգարիթմ: Հասկանալի է, որ ցանկացածի արդյունքը այն հզորությունն է, որով պետք է բարձրացվի բազային թիվը՝ b թիվը ստանալու համար:

Երկու ֆունկցիաների գումարը գտնելիս պարզապես անհրաժեշտ է դրանք մեկ առ մեկ տարբերակել և ավելացնել արդյունքները՝ (u+v)" = u"+v";

Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալը գտնելիս անհրաժեշտ է առաջին ֆունկցիայի ածանցյալը բազմապատկել երկրորդով և ավելացնել երկրորդ ֆունկցիայի ածանցյալը՝ բազմապատկված առաջին ֆունկցիայով՝ (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է շահաբաժնի ածանցյալի արտադրյալից հանել բաժանարարի ածանցյալի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է դիվիդենտի ֆունկցիայի վրա և բաժանել. այս ամենը բաժանարար ֆունկցիայի քառակուսիով: (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Եթե ​​տրվում է բարդ գործառույթ, ապա անհրաժեշտ է բազմապատկել-ի ածանցյալը ներքին գործառույթըիսկ արտաքինի ածանցյալը։ Թող y=u(v(x)), ապա y"(x)=y"(u)*v"(x):

Օգտագործելով վերը ստացված արդյունքները, դուք կարող եք տարբերակել գրեթե ցանկացած գործառույթ: Այսպիսով, եկեք դիտենք մի քանի օրինակ.

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Կան նաև խնդիրներ՝ կապված որոշակի կետում ածանցյալի հաշվարկման հետ: Թող տրվի y=e^(x^2+6x+5) ֆունկցիան, պետք է գտնել ֆունկցիայի արժեքը x=1 կետում։
1) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6):

2) Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը տրված կետ y"(1)=8*e^0=8

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Օգտակար խորհուրդ

Իմացեք տարրական ածանցյալների աղյուսակը: Սա զգալիորեն կխնայի ժամանակը:

Աղբյուրներ:

• հաստատունի ածանցյալ

Այսպիսով, ո՞րն է տարբերությունը իռացիոնալ հավասարման և ռացիոնալ հավասարման միջև: Եթե ​​անհայտ փոփոխականը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա հավասարումը համարվում է իռացիոնալ։

Հրահանգներ

Նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը երկու կողմերի կառուցման մեթոդն է հավասարումներքառակուսու մեջ: Այնուամենայնիվ. սա բնական է, առաջին բանը, որ դուք պետք է անեք, ձերբազատվեք նշանից: Այս մեթոդը տեխնիկապես դժվար չէ, բայց երբեմն այն կարող է հանգեցնել անախորժությունների: Օրինակ, հավասարումը v(2x-5)=v(4x-7): Երկու կողմերը քառակուսի դնելով ստանում եք 2x-5=4x-7: Նման հավասարումը լուծելը դժվար չէ. x=1. Բայց թիվ 1 չի տրվի հավասարումներ. Ինչո՞ւ։ Փոխարինեք մեկը հավասարման մեջ x-ի արժեքի փոխարեն, իսկ աջ և ձախ կողմերում կլինեն անիմաստ արտահայտություններ, այսինքն: Այս արժեքը վավեր չէ քառակուսի արմատի համար: Հետևաբար, 1-ը կողմնակի արմատ է, և, հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի:

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծվում է դրա երկու կողմերը քառակուսելու մեթոդով: Եվ լուծելով հավասարումը, անհրաժեշտ է կտրել օտար արմատներ. Դա անելու համար գտած արմատները փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ:

Մտածեք ևս մեկին:
2х+vх-3=0
Իհարկե, այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով նույն հավասարումը, ինչ նախորդը։ Տեղափոխել միացությունները հավասարումներ, որոնք քառակուսի արմատ չունեն, in աջ կողմայնուհետև օգտագործեք քառակուսի մեթոդը: լուծել ստացված ռացիոնալ հավասարումը և արմատները. Բայց նաև մեկ այլ, ավելի էլեգանտ: Մուտքագրեք նոր փոփոխական; vх=y. Համապատասխանաբար կստանաք 2y2+y-3=0 ձևի հավասարում։ Այսինքն՝ սովորական քառակուսի հավասարում. Գտեք դրա արմատները; y1=1 և y2=-3/2: Հաջորդը, լուծեք երկուսը հավասարումներ vх=1; vх=-3/2. Երկրորդ հավասարումը չունի արմատներ, մենք գտնում ենք, որ x=1. Մի մոռացեք ստուգել արմատները:

Ինքնությունը լուծելը բավականին պարզ է. Դա անելու համար անհրաժեշտ է իրականացնել նույնական փոխակերպումներ՝ մինչև սահմանված նպատակին հասնելը։ Այսպիսով, ամենապարզների օգնությամբ թվաբանական գործողություններխնդիրը կլուծվի.

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - թուղթ;
• - գրիչ:

Հրահանգներ

Նման փոխակերպումներից ամենապարզը հանրահաշվական կրճատ բազմապատկումներն են (օրինակ՝ գումարի քառակուսին (տարբերություն), քառակուսիների տարբերություն, գումար (տարբերություն), գումարի խորանարդ (տարբերություն))։ Բացի այդ, կան շատ եռանկյունաչափական բանաձևեր, որոնք ըստ էության նույն ինքնություններն են։

Իրոք, երկու անդամների գումարի քառակուսին հավասար է առաջինի քառակուսուն գումարած առաջինի երկրորդի արտադրյալի կրկնապատիկը և գումարած երկրորդի քառակուսին, այսինքն՝ (a+b)^2= (a+): բ)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Պարզեցրեք երկուսն էլ

Լուծման ընդհանուր սկզբունքներ

Կրկնել դասագրքի համաձայն մաթեմատիկական վերլուծությունկամ բարձրագույն մաթեմատիկա, ինչ է որոշակի ինտեգրալը: Ինչպես հայտնի է, լուծումը որոշակի ինտեգրալկա ֆունկցիա, որի ածանցյալը տալիս է ինտեգրանդ։ Այս գործառույթըկոչվում է հակաածանցյալ: Այս սկզբունքի հիման վրա կառուցվում են հիմնական ինտեգրալները։
Ինտեգրանդի ձևով որոշի՛ր, թե աղյուսակի ինտեգրալներից որն է տեղավորվում այս դեպքում. Միշտ չէ, որ դա հնարավոր է անմիջապես որոշել: Հաճախ աղյուսակային ձևը նկատելի է դառնում միայն մի քանի փոխակերպումից հետո՝ ինտեգրանդը պարզեցնելու համար։

Փոփոխական փոխարինման մեթոդ

Եթե ​​ինտեգրման ֆունկցիան է եռանկյունաչափական ֆունկցիա, որի արգումենտը պարունակում է մի քանի բազմանդամ, ապա փորձեք օգտագործել փոփոխականի փոխարինման մեթոդը։ Դա անելու համար ինտեգրանդի արգումենտում բազմանդամը փոխարինեք ինչ-որ նոր փոփոխականով: Հիմնվելով նոր և հին փոփոխականների փոխհարաբերությունների վրա՝ որոշեք ինտեգրման նոր սահմանները: Տարբերակելով այս արտահայտությունը՝ գտե՛ք նոր դիֆերենցիալը . Այսպիսով, դուք կստանաք նախորդ ինտեգրալի նոր ձև, մոտ կամ նույնիսկ համապատասխան աղյուսակային:

Երկրորդ տեսակի ինտեգրալների լուծում

Եթե ​​ինտեգրալը երկրորդ տեսակի ինտեգրալ է՝ ինտեգրանդի վեկտորային ձև, ապա ձեզ հարկավոր է օգտագործել այս ինտեգրալներից սկալյարի անցնելու կանոնները։ Նման կանոններից է Օստրոգրադսկի-Գաուս հարաբերությունը։ Այս օրենքը մեզ թույլ է տալիս որոշակի վեկտորային ֆունկցիայի ռոտորային հոսքից անցնել եռակի ինտեգրալ՝ տվյալ վեկտորային դաշտի դիվերգենցիայի վրա։

Ինտեգրման սահմանների փոխարինում

Հակածանցյալը գտնելուց հետո անհրաժեշտ է փոխարինել ինտեգրման սահմանները։ Նախ, վերին սահմանի արժեքը փոխարինեք հակաածանցյալի արտահայտությամբ: Դուք կստանաք որոշակի թիվ: Այնուհետև ստացված թվից հանեք ստորին սահմանից ստացված մեկ այլ թիվ հակաածանցյալի մեջ: Եթե ​​ինտեգրման սահմաններից մեկն անսահմանությունն է, ապա այն հակաածանցյալ ֆունկցիայի մեջ փոխարինելիս պետք է գնալ սահմանին և գտնել այն, ինչին ձգտում է արտահայտությունը։
Եթե ​​ինտեգրալը երկչափ կամ եռաչափ է, ապա դուք պետք է երկրաչափորեն ներկայացնեք ինտեգրման սահմանները՝ հասկանալու համար, թե ինչպես գնահատել ինտեգրալը: Իսկապես, ասենք, եռաչափ ինտեգրալի դեպքում, ինտեգրման սահմանները կարող են լինել ամբողջական հարթություններ, որոնք սահմանափակում են ինտեգրվող ծավալը։

Բնական լոգարիթմի հիմնական հատկությունները, գրաֆիկը, սահմանման տիրույթը, արժեքների բազմությունը, հիմնական բանաձևերը, ածանցյալը, ինտեգրալը, ընդլայնումը հզորության շարքև ln x ֆունկցիայի ներկայացում կոմպլեքս թվերի միջոցով:

Սահմանում

Բնական լոգարիթմ y = ֆունկցիան է n x, էքսպոնենցիալի հակադարձը, x = e y, և լոգարիթմն է e թվի հիմքի նկատմամբ. ln x = log e x.

Բնական լոգարիթմը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայի մեջ, քանի որ դրա ածանցյալն ունի ամենապարզ ձևը. (ln x)′ = 1/ x.

Հիմնված սահմանումներ, բնական լոգարիթմի հիմքը թիվն է ե:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = ֆունկցիայի գրաֆիկը n x.

Բնական լոգարիթմի գրաֆիկ (գործառույթներ y = n x) ստացվում է էքսպոնենցիալ գրաֆիկից հայելային արտացոլմամբ y = x ուղիղ գծի նկատմամբ։

Բնական լոգարիթմը սահմանվում է x փոփոխականի դրական արժեքների համար: Այն միապաղաղ աճում է իր սահմանման տիրույթում:

Ժամը x → 0 բնական լոգարիթմի սահմանը մինուս անսահմանությունն է (-∞):

Որպես x → + ∞, բնական լոգարիթմի սահմանը գումարած անսահմանություն է (+ ∞): Մեծ x-ի դեպքում լոգարիթմը բավականին դանդաղ է աճում: Ցանկացած հզորության գործառույթ x a-ն a դրական ցուցիչով աճում է ավելի արագ, քան լոգարիթմը:

Բնական լոգարիթմի հատկությունները

Սահմանման տիրույթ, արժեքների հավաքածու, ծայրահեղություն, աճ, նվազում

Բնական լոգարիթմը միապաղաղ աճող ֆունկցիա է, ուստի այն չունի ծայրահեղություններ: Բնական լոգարիթմի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

ln x արժեքներ

ln 1 = 0

Բնական լոգարիթմների հիմնական բանաձևերը

Հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումից բխող բանաձևեր.

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը և դրա հետևանքները

Հիմքի փոխարինման բանաձև

Ցանկացած լոգարիթմ կարող է արտահայտվել բնական լոգարիթմներով՝ օգտագործելով բազային փոխարինման բանաձևը.

Այս բանաձեւերի ապացույցները ներկայացված են «Լոգարիթմ» բաժնում:

Հակադարձ ֆունկցիա

Բնական լոգարիթմի հակադարձը ցուցիչն է:

Եթե, ապա

Եթե, ապա։

Ածանցյալ ln x

Բնական լոգարիթմի ածանցյալ.
.
x մոդուլի բնական լոգարիթմի ածանցյալը.
.
n-րդ կարգի ածանցյալ.
.
Բաղադրման բանաձևեր > > >

Անբաժանելի

Ինտեգրալը հաշվարկվում է մասերի ինտեգրմամբ.
.
Այսպիսով,

Արտահայտություններ՝ օգտագործելով բարդ թվեր

Դիտարկենք z բարդ փոփոխականի ֆունկցիան.
.
Արտահայտենք բարդ փոփոխականը զմոդուլի միջոցով rև փաստարկ φ :
.
Օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները, մենք ունենք.
.
Կամ
.
φ փաստարկը եզակիորեն սահմանված չէ: Եթե ​​դնեք
, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է,
նույն թիվը կլինի տարբեր n-ի համար:

Հետևաբար, բնական լոգարիթմը, որպես բարդ փոփոխականի ֆունկցիա, միարժեք ֆունկցիա չէ։

Հզորության շարքի ընդլայնում

Երբ ընդլայնումը տեղի է ունենում.

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Ք.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.

Ի՞նչ է լոգարիթմը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Ի՞նչ է լոգարիթմը: Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները: Այս հարցերը շփոթեցնում են շատ շրջանավարտների։ Ավանդաբար լոգարիթմների թեման համարվում է բարդ, անհասկանալի և սարսափելի։ Հատկապես լոգարիթմներով հավասարումներ։

Սա բացարձակապես ճիշտ չէ: Բացարձակապես! Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ: Այժմ, ընդամենը 10-20 րոպեում դուք.

1. Հասկացեք ինչ է լոգարիթմը.

2. Սովորեք լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումների մի ամբողջ դաս: Նույնիսկ եթե դուք ոչինչ չեք լսել նրանց մասին:

3. Սովորեք հաշվարկել պարզ լոգարիթմներ:

Ընդ որում, դրա համար անհրաժեշտ կլինի իմանալ միայն բազմապատկման աղյուսակը և ինչպես կարելի է թիվը հասցնել ուժի...

Ինձ թվում է, որ դուք կասկածներ ունեք... Դե, լավ, նշեք ժամը։ Գնա՛

Նախ, ձեր գլխում լուծեք այս հավասարումը.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Այս հոդվածի ուշադրության կենտրոնում է լոգարիթմ. Այստեղ կտանք լոգարիթմի սահմանումը, ցույց կտանք ընդունված նշումը, բերենք լոգարիթմների օրինակներ և կխոսենք բնական և տասնորդական լոգարիթմների մասին։ Դրանից հետո մենք կքննարկենք հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Էջի նավարկություն.

Լոգարիթմի սահմանում

Լոգարիթմի հայեցակարգն առաջանում է խնդիր լուծելիս որոշակի իմաստովհակադարձ, երբ պետք է գտնել ցուցիչը հայտնի արժեքաստիճան և հայտնի հիմք:

Բայց բավական նախաբաններ, ժամանակն է պատասխանել «ինչ է լոգարիթմը» հարցին: Տանք համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Բ-ի լոգարիթմը a հիմքից, որտեղ a>0, a≠1 և b>0 այն ցուցանիշն է, որի վրա պետք է բարձրացնել a թիվը՝ արդյունքում b ստանալու համար:

Այս փուլում մենք նշում ենք, որ ասված «լոգարիթմ» բառը պետք է անմիջապես առաջացնի երկու հաջորդական հարց՝ «ինչ թիվ» և «ինչի հիման վրա»: Այլ կերպ ասած, պարզապես չկա լոգարիթմ, այլ կա միայն թվի լոգարիթմ ինչ-որ բազայի նկատմամբ:

Միանգամից մտնենք լոգարիթմի նշում b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա սովորաբար նշվում է որպես log a b: B թվի լոգարիթմը e հիմքի վրա և լոգարիթմը 10 հիմքի վրա ունեն իրենց հատուկ նշանակումները համապատասխանաբար lnb և logb, այսինքն՝ գրում են ոչ թե log e b, այլ lnb, և ոչ թե log 10 b, այլ lgb։

Այժմ մենք կարող ենք տալ.
Եվ գրառումները իմաստ չունի, քանի որ դրանցից առաջինում լոգարիթմի նշանի տակ կա բացասական թիվ, երկրորդում հիմքում բացասական թիվ է, իսկ երրորդում՝ լոգարիթմի նշանի տակ բացասական թիվ, իսկ հիմքում՝ միավոր։

Հիմա անդրադառնանք լոգարիթմների ընթերցման կանոններ. Log a b-ն ընթերցվում է որպես «b-ի լոգարիթմը a հիմքին»: Օրինակ, log 2 3-ը երեքի լոգարիթմն է 2-րդ հիմքի, և երկու կետի լոգարիթմն է երկու երրորդից մինչև 2-րդ հիմքը: Քառակուսի արմատհինգից. E հիմքի լոգարիթմը կոչվում է բնական լոգարիթմ, իսկ lnb նշումը կարդում է «b-ի բնական լոգարիթմ»։ Օրինակ, ln7-ը յոթի բնական լոգարիթմն է, և մենք այն կկարդանք որպես pi-ի բնական լոգարիթմ: Բազային 10 լոգարիթմը ունի նաև հատուկ անուն. տասնորդական լոգարիթմ, իսկ lgb-ն կարդացվում է որպես «b-ի տասնորդական լոգարիթմ»։ Օրինակ՝ lg1-ը մեկի տասնորդական լոգարիթմն է, իսկ lg2.75-ը՝ յոթ հինգ հարյուրերորդական երկու կետի տասնորդական լոգարիթմը։

Առանձին-առանձին արժե անդրադառնալ a>0, a≠1 և b>0 պայմաններին, որոնց տակ տրված է լոգարիթմի սահմանումը։ Եկեք բացատրենք, թե որտեղից են գալիս այդ սահմանափակումները։ Այս կոչվող ձևի հավասարությունը, որն ուղղակիորեն բխում է վերևում տրված լոգարիթմի սահմանումից, կօգնի մեզ դա անել:

Սկսենք a≠1-ից: Քանի որ մեկը ցանկացած հզորության հավասար է մեկի, հավասարությունը կարող է ճշմարիտ լինել միայն b=1, բայց log 1 1-ը կարող է լինել ցանկացած իրական թիվ: Այս երկիմաստությունից խուսափելու համար ենթադրվում է a≠1:

Հիմնավորենք ա>0 պայմանի նպատակահարմարությունը։ a=0-ի դեպքում լոգարիթմի սահմանմամբ կունենայինք հավասարություն, որը հնարավոր է միայն b=0-ով։ Բայց այդ դեպքում log 0 0-ը կարող է լինել ցանկացած ոչ զրոյական իրական թիվ, քանի որ զրոյական ցանկացած ոչ զրոյական հզորության զրոյական է: a≠0 պայմանը թույլ է տալիս խուսափել այս երկիմաստությունից: Իսկ երբ Ա<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Վերջապես, b>0 պայմանը բխում է a>0 անհավասարությունից, քանի որ , և a դրական հիմք ունեցող հզորության արժեքը միշտ դրական է:

Այս կետը եզրափակելու համար ասենք, որ լոգարիթմի նշված սահմանումը թույլ է տալիս անմիջապես նշել լոգարիթմի արժեքը, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը հիմքի որոշակի հզորություն է: Իրոք, լոգարիթմի սահմանումը մեզ թույլ է տալիս պնդել, որ եթե b=a p, ապա a հիմքի վրա b թվի լոգարիթմը հավասար է p-ի: Այսինքն, հավասարության գրանցամատյանը a a p =p ճիշտ է: Օրինակ, մենք գիտենք, որ 2 3 =8, ապա log 2 8=3: Այս մասին ավելի շատ կխոսենք հոդվածում: