ഗ്രാഫിക് പ്രിമിറ്റീവുകളുടെ നിർമ്മാണം. ഉപരിതലങ്ങളുടെയും വസ്തുക്കളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകകൾ

ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, ക്യൂബ്, ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ, ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ, ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ എന്നിവയാണ് അഞ്ച് കോൺവെക്സ് റെഗുലർ പോളിഹെഡ്രയുടെ പേരുകൾ. ഓപ്പിലെ പ്ലാറ്റോയുടെ പേരിലാണ് പോളിഹെഡ്ര അറിയപ്പെടുന്നത്. ടിമേയസ് (ബിസി നാലാം നൂറ്റാണ്ട്) അവർക്ക് മിസ്റ്റിസിസം നൽകി. അർത്ഥം; പ്ലേറ്റോയ്ക്ക് മുമ്പ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്ന... മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര പോലെ തന്നെ... വലിയ സോവിയറ്റ് വിജ്ഞാനകോശം

- ... വിക്കിപീഡിയ

സോക്രട്ടീസിൻ്റെ വിദ്യാർത്ഥിയായ ഫേഡോയുടെ പേരിലുള്ള ഫേഡോ അഥവാ ആത്മാവിൻ്റെ അമർത്യതയെക്കുറിച്ച്, പ്ലേറ്റോയുടെ സംഭാഷണം ഏറ്റവും ശ്രദ്ധേയമായ ഒന്നാണ്. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ പേരിട്ടിരിക്കുന്ന പ്ലേറ്റോയുടെ ഒരേയൊരു ഡയലോഗാണിത്, കൂടാതെ ആധികാരികമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ചുരുക്കം ചിലതിൽ ഒന്നാണ്... ...

വിജ്ഞാനകോശ നിഘണ്ടുഎഫ്. ബ്രോക്ക്ഹോസും ഐ.എ. എഫ്രോൺ

പ്ലേറ്റോയുടെ ഏറ്റവും മികച്ച കലാപരവും ദാർശനികവുമായ സംഭാഷണങ്ങളിൽ ഒന്ന്, പുരാതന കാലത്തെയും ആധുനിക ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും ഏകകണ്ഠമായ വിധിയാൽ ആധികാരികമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടു. ഏറ്റവും പുതിയ പ്ലാറ്റോണിക് വിമർശനത്തിൽ, അത് എഴുതിയ സമയത്തെക്കുറിച്ച് മാത്രമാണ് അവർ വാദിച്ചത്: ചിലർ ... എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു എഫ്.എ. ബ്രോക്ക്ഹോസും ഐ.എ. എഫ്രോൺ

പ്ലേറ്റോയുടെ രചനകളിലെ ദാർശനിക ആശയങ്ങൾ- ചുരുക്കത്തിൽ, പ്ലേറ്റോയുടെ ദാർശനിക പൈതൃകം വിപുലമാണ്, അതിൽ 34 കൃതികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ ഏതാണ്ട് പൂർണ്ണമായും സംരക്ഷിക്കപ്പെടുകയും നമ്മിലേക്ക് ഇറങ്ങുകയും ചെയ്തു. ഈ കൃതികൾ പ്രധാനമായും സംഭാഷണ രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി നടൻഅവയിൽ ഭൂരിഭാഗവും ... ... ലോക തത്ത്വചിന്തയുടെ ചെറിയ തെസോറസ്

ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ റെഗുലർ പോളിഹെഡ്രോൺ അല്ലെങ്കിൽ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്, സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ സമമിതിയുള്ള ഒരു കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രോണാണ്. ഒരു പോളിഹെഡ്രോണിനെ റെഗുലർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: അത് കുത്തനെയുള്ളതാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും അതിൻ്റെ ഓരോന്നിലും തുല്യ റെഗുലർ ബഹുഭുജങ്ങളാണെങ്കിൽ... ... വിക്കിപീഡിയ

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്‌സ്, കോൺവെക്‌സ് പോളിഹെഡ്ര, ഇവയുടെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും ഒരേ പതിവ് ബഹുഭുജങ്ങളാണ്, കൂടാതെ ലംബങ്ങളിലെ എല്ലാ പോളിഹെഡ്രൽ കോണുകളും ക്രമവും തുല്യവുമാണ് (ചിത്രം 1a 1e). യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസ് E 3 ൽ അഞ്ച് പിഎം ഉണ്ട്, അവയിൽ ഡാറ്റ നൽകിയിരിക്കുന്നു ... മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

ആത്മാവ്- [ഗ്രീക്ക് ψυχή], ശരീരവുമായി ചേർന്ന്, ഒരു വ്യക്തിയുടെ ഘടന രൂപപ്പെടുത്തുന്നു (ഡിക്കോടോമിസം, നരവംശശാസ്ത്രം എന്ന ലേഖനങ്ങൾ കാണുക), ഒരു സ്വതന്ത്ര തത്വമാണെങ്കിലും; മനുഷ്യൻ്റെ പ്രതിച്ഛായയിൽ ദൈവത്തിൻ്റെ പ്രതിച്ഛായ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (ചില സഭാപിതാക്കന്മാരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ; മറ്റുള്ളവരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ദൈവത്തിൻ്റെ പ്രതിച്ഛായ എല്ലാത്തിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ... ... ഓർത്തഡോക്സ് എൻസൈക്ലോപീഡിയ

പുസ്തകങ്ങൾ

• ടിമേയസ് (2011 എഡി.), പ്ലേറ്റോ. പ്ലേറ്റോയുടെ പ്രപഞ്ചശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഏക വ്യവസ്ഥാപിത രൂപരേഖയാണ് പ്ലേറ്റോയുടെ ടിമേയസ്, ഇതുവരെ ചിതറിയതും ക്രമരഹിതവുമായ രൂപത്തിൽ മാത്രം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഇത് ടിമേയസിൻ്റെ മഹത്വം സൃഷ്ടിച്ചു ...
• ആത്മാവിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ചാ ചോദ്യങ്ങൾ. പഠനങ്ങൾ 6, അക്വിനാസ് എഫ്.. മധ്യകാല സർവ്വകലാശാലകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക സ്കോളാസ്റ്റിക് വിഭാഗമാണ് 'തർക്കപരമായ ചോദ്യങ്ങൾ' (ചോദ്യങ്ങൾ തർക്കവിഷയം).

തല: റുസ്തമോവ ആർ.എം.

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ കണക്കുകൾ

ഗവേഷണ പ്രശ്നം: പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ഭ്രമണം എല്ലായ്പ്പോഴും അറിയപ്പെടുന്ന ഭ്രമണ രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു: കോൺ, സിലിണ്ടർ, പന്ത്.

പഠന വിഷയം:നിരവധി സ്ഥലങ്ങളും രൂപങ്ങളും.

പഠന വിഷയം:പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്.

പഠനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശം:സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ (പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ) ഭ്രമണ രൂപങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകൾ തിരിച്ചറിയുക.

അനുമാനം:പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിൽ നിങ്ങൾ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഈ അക്ഷങ്ങൾക്ക് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് അറിയപ്പെടുന്ന ഭ്രമണ കണക്കുകൾ ലഭിക്കും. ഗവേഷണ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

1. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും പഠിക്കുക.
2. സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ (പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്) ഭ്രമണം പരീക്ഷണാത്മകമായി പരിശോധിക്കുക, അവയുടെ ഭ്രമണ അക്ഷങ്ങൾ മാറ്റുക.
3. ഈ ശരീരങ്ങളെ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ സമാന രൂപങ്ങളിലേക്ക് "പരിവർത്തനം" ചെയ്യാൻ അനുവദിക്കുന്ന പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുകൾ കണ്ടെത്തുകയും തിരിച്ചറിയുകയും ചെയ്യുക.
4. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന റൊട്ടേഷൻ ഫിഗറുകളുടെ ഗ്രൂപ്പുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഗവേഷണ ഘട്ടങ്ങൾ:

ആദ്യ ഘട്ടം സൈദ്ധാന്തികമാണ്.ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഞാൻ പ്ലേറ്റോയുടെ ഖരവസ്തുക്കളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും പഠിച്ചു.

രണ്ടാം ഘട്ടം- പരീക്ഷണാത്മക.സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അക്ഷങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പരീക്ഷണം ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

മൂന്നാം ഘട്ടം - ഫൈനൽ.പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നതിന് ഇത് നീക്കിവച്ചിട്ടുണ്ട്, സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയെ കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച സമാന ഭ്രമണ രൂപങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകൾ രൂപീകരിച്ചു

ഭ്രമണത്തിൻ്റെ കണക്കുകൾ: കോൺ, സിലിണ്ടർ, ഒറ്റ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡ്.

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്: ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ, ഹെക്സാഹെഡ്രോൺ (ക്യൂബ്), ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ.

ക്യൂബിനും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിനും സമമിതിയുടെ പൊതുവായ അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്: വിപരീത ലംബങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ; ഐക്കോസഹെഡ്രോണിനും ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിനും, ഇത് എതിർ മുഖങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ്, അതിൽ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ സമാന രൂപങ്ങൾ ലഭിക്കും.

തൽഫലമായി, ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിനായി ഞങ്ങൾ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അക്ഷങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു: എതിർ മുഖത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ശീർഷകത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ; എതിർ അരികുകളുടെ മധ്യബിന്ദുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ. ടെട്രാഹെഡ്രോൺ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾക്കും ഒരേ ഭ്രമണ അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്: വിപരീത ശീർഷകങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ; എതിർ മുഖങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ; രണ്ട് വിപരീത അരികുകളുടെ മധ്യബിന്ദുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ.

നേർരേഖ (ഉപരിതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്) ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അക്ഷത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, ഒരു തലം ലഭിക്കും.

നേർരേഖ (ഉപരിതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്) ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, ഒരു സിലിണ്ടർ ഉപരിതലം ലഭിക്കും.

ഒരു നേർരേഖ (ഉപരിതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്) ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു കോണാകൃതിയിലുള്ള ഉപരിതലം ലഭിക്കും.

ഭ്രമണത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുമായി ഒരു നേർരേഖ (ഉപരിതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്) വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഒരൊറ്റ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡ് ലഭിക്കും.

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ തിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഭ്രമണ കണക്കുകൾ ലഭിക്കും:

• ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഒക്ടാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഭ്രമണത്തിൽഭ്രമണത്തിൻ്റെ ചിത്രം ഒരു ഒറ്റ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡും ഒരു പൊതു അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് കോണുകളും ആണ്;
• ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഭ്രമണത്തിൽ- രണ്ട് വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ കോണുകളുടെയും ഒരു ഒറ്റ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡിൻ്റെയും ഒരു സംവിധാനം;
• ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ക്യൂബിൻ്റെയും ഭ്രമണത്തിൽ- രണ്ട് കോണുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം, ഒരു ഒറ്റ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡ്.

പ്ലാറ്റോണിയൻ സോളിഡുകളുടെ ജ്യാമിതി

മാറ്റം 06/24/2013 മുതൽ - (ചേർത്തു)

പ്രധാന അഞ്ച് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ ഇവയാണ്: ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ, സ്റ്റാർ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, ക്യൂബ്, ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ, ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ.

ഓരോ ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണുകളും, അത് ആറ്റോമിക് ന്യൂക്ലിയസ്, മൈക്രോക്ലസ്റ്ററുകൾ, ഗ്ലോബൽ ലാറ്റിസ്, അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രഹങ്ങൾ, നക്ഷത്രങ്ങൾ, ഗാലക്സികൾ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരം എന്നിവ അഞ്ച് പ്രധാന "പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിൽ" ഒന്നാണ്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് സമാനമായ പാറ്റേണുകൾ പ്രകൃതിയിൽ പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നത്? ആദ്യ സൂചനകളിൽ ഒന്ന്: നമുക്ക് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏതൊരു ത്രിമാന ജ്യാമിതിയെക്കാളും ഈ രൂപങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ "സമമിതി" ഉണ്ടെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു.

റോബർട്ട് ലോലറുടെ പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് "വിശുദ്ധ ജ്യാമിതി"ഹിന്ദുക്കൾ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ജ്യാമിതികളെ ശബ്ദത്തിനും വെളിച്ചത്തിനുമായി (കുറിപ്പുകളും നിറങ്ങളും) കാണുന്ന ഒക്ടേവ് ഘടനയിലേക്ക് ചുരുക്കിയതായി നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും തത്ത്വചിന്തകനുമായ പൈതഗോറസ്, ആവൃത്തികളെ അഞ്ചായി വിഭജിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിലൂടെ, ഡയറ്റോണിക് സ്കെയിൽ എന്നറിയപ്പെടുന്ന എട്ട് "ശുദ്ധമായ" ഒക്ടേവ് ടോണുകൾ ആദ്യം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. അവൻ ഒറ്റ-സ്ട്രിംഗ് "മോണോകോർഡ്" എടുത്ത് വ്യത്യസ്ത നോട്ടുകൾ പ്ലേ ചെയ്യുമ്പോൾ കൃത്യമായ തരംഗദൈർഘ്യം അളന്നു. ഓരോ കുറിപ്പിൻ്റെയും ആവൃത്തി (അല്ലെങ്കിൽ വൈബ്രേഷൻ നിരക്ക്) സ്ട്രിംഗിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്ന് പൈതഗോറസ് കാണിച്ചു, അതിനാൽ "ഡയറ്റോണിക് അനുപാതം" എന്ന പദം.

താഴെയുള്ള പട്ടിക ജ്യാമിതികളെ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ക്രമത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു, അവയെ ഹെലിക്സ് നമ്പറുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു fi(). വ്യത്യസ്ത വൈബ്രേഷനുകൾ എങ്ങനെ ഒരുമിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ പൂർണ്ണവും പൂർണ്ണവുമായ ചിത്രം ഇത് നൽകുന്നു. ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ അരികുകൾക്ക് തുല്യമായ നീളം നൽകുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഇത് 1 " മറ്റെല്ലാ ആകൃതികളുടെയും അരികുകൾ ഈ മൂല്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു, അവ വലുതായാലും ചെറുതായാലും. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിൽ, എല്ലാ മുഖവും ഒരേ ആകൃതിയാണെന്നും എല്ലാ കോണുകളും സമാനമാണെന്നും ഓരോ നോഡും മറ്റെല്ലാ നോഡുകളിൽ നിന്നും ഒരേ അകലമാണെന്നും ഓരോ വരിയും ഒരേ നീളമാണെന്നും നമുക്കറിയാം.

1 ഗോളം (മുഖങ്ങളില്ല) 2 സെൻട്രൽ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ 1/ഫി 2 3 ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ 1/ √2 4 നക്ഷത്ര ടെട്രാഹെഡ്രോൺ √2 5 ക്യൂബ് 1 6 ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ 1/ഫി 7 ഐകോസഹെഡ്രോൺ ഫൈ 8 ഗോളം (മുഖങ്ങളില്ല)

ഫൈ സർപ്പിളത്തിൻ്റെ വൈബ്രേഷനുകളുടെ സഹായത്തോടെ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ എങ്ങനെ ക്രമേണ പരസ്പരം ഒഴുകുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കും.

പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ബഹുമുഖത

ഉയർന്ന തലങ്ങളുമായുള്ള പ്ലാറ്റോണിക് ജ്യാമിതികളുടെ കണക്ഷൻ എന്ന ആശയം ഉയർന്നുവരുന്നത് ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അറിയാവുന്നതിനാലാണ്: അവിടെ ജ്യാമിതി ഉണ്ടായിരിക്കണം; അവർ അത് സമവാക്യങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തി. "മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന" 90° തിരിവുകളിൽ അദൃശ്യമായ അധിക അക്ഷങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിന് "കൂടുതൽ ഇടം" നൽകുന്നതിന്, പ്ലാറ്റോണിക് ജ്യാമിതികൾ ആവശ്യമാണ്. ഡാറ്റ വിശകലനം ചെയ്യുന്ന രീതിയിൽ, ഓരോ വശവും ജ്യാമിതീയ രൂപംഭ്രമണം ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന മറ്റൊരു അക്ഷത്തെയോ തലത്തെയോ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഫുള്ളറുടെയും ജെന്നിയുടെയും ജോലികൾ നോക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, "മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന" 90 ° തിരിവുകളിൽ നിലവിലുള്ള മറ്റ് വിമാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ജ്യാമിതി തമ്മിലുള്ള "പവിത്രമായ" ബന്ധങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവില്ലായ്മയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള തെറ്റായ വിശദീകരണമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. വൈബ്രേഷനും.

പുരാതന സംസ്കാരങ്ങൾക്ക് ബഹിരാകാശ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ എല്ലാ ആധുനിക സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും ഗണ്യമായി ലഘൂകരിക്കുകയും ഏകീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു "നഷ്‌ടമായ ബന്ധം" ഉണ്ടായിരുന്നിരിക്കാമെന്ന് പരമ്പരാഗത ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഒരിക്കലും മനസ്സിലാകില്ല. ഒരു "ആദിമ" സംസ്കാരത്തിന് ഇത്തരത്തിലുള്ള വിവരങ്ങളിലേക്ക് പ്രവേശനം ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് അവിശ്വസനീയമായി തോന്നിയേക്കാമെങ്കിലും, തെളിവുകൾ വ്യക്തമാണ്. പ്രസാദിൻ്റെ ക്ലാസിക് പുസ്തകം വായിക്കുക, വൈദിക പ്രപഞ്ചശാസ്ത്രത്തിന് ശാസ്ത്രീയ പാണ്ഡിത്യം ഉണ്ടെന്ന് ഇപ്പോൾ കാണാൻ കഴിയും.

നിങ്ങൾ എന്താണ് കാണുന്നതെന്ന് കരുതുന്നു? - ഇതൊരു പൊട്ടിത്തെറിക്കുന്ന നക്ഷത്രമാണ്, അതിൽ നിന്ന് പൊടി പുറത്തേക്ക് പുറന്തള്ളപ്പെടുന്നു... എന്നാൽ ഇവിടെ വ്യക്തമായും ചിലതരം ഊർജ്ജ മണ്ഡലം ഉണ്ട്, അത് വളരെ കൃത്യമായ ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണിലേക്ക് വികസിക്കുമ്പോൾ പൊടിയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

പ്രശ്നം അത് സാധാരണമാണ് കാന്തികക്ഷേത്രങ്ങൾപരമ്പരാഗത ഭൗതിക മാതൃകകൾ അത്തരം ജ്യാമിതീയ കൃത്യത അനുവദിക്കുന്നില്ല. അത്തരം കാര്യങ്ങൾ എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കണമെന്ന് ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ശരിക്കും അറിയില്ല!

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പുതിയ നെബുലയാണ്, അത് തികഞ്ഞ "ചതുരം" ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഇപ്പോഴും ദ്വിമാന ചിന്തയാണ്. ത്രിമാനത്തിലുള്ള ഒരു ചതുരം എന്താണ്?
തീർച്ചയായും, ഒരു ക്യൂബ്!

ഇൻഫ്രാറെഡ് പ്രകാശത്തിൽ നിരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ, നീഹാരികയ്ക്ക് വെളുത്ത നിറത്തിലുള്ള അകക്കാമ്പുള്ള ആകാശത്തിലെ ഒരു ഭീമാകാരമായ തിളങ്ങുന്ന ബോക്‌സിനോട് സാമ്യമുണ്ട്. മരിക്കുന്ന നക്ഷത്രം MWC 922 സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്ത് ഇരിക്കുകയും എതിർ ധ്രുവങ്ങളിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ കുടലുകൾ ബഹിരാകാശത്തേക്ക് തുപ്പുകയും ചെയ്യുന്നു. MWC 922 അതിൻ്റെ ഭൂരിഭാഗം വസ്തുക്കളും ബഹിരാകാശത്തേക്ക് പുറന്തള്ളുമ്പോൾ, അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ മേഘങ്ങളിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന വെളുത്ത കുള്ളൻ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഇടതൂർന്ന നക്ഷത്ര ശരീരത്തിലേക്ക് അത് തകരും.

നക്ഷത്രത്തിൻ്റെ സ്ഫോടനം ഒരു ദിശയിൽ മാത്രമേ സഞ്ചരിക്കൂ, കൂടുതൽ പിരമിഡൽ ആകൃതി സൃഷ്ടിക്കുന്നത് വിദൂരമായി സാധ്യമാണെങ്കിലും, നിങ്ങൾ കാണുന്നത് ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു തികഞ്ഞ ക്യൂബാണ്. ക്യൂബിൻ്റെ നാല് വശങ്ങളും ഒരേ നീളവും പരസ്പരം 90° കോണുകളും ആയതിനാൽ, ക്യൂബിന് മുമ്പത്തെ ചിത്രത്തിൽ നമ്മൾ കണ്ട ഘടനാപരമായ "പടികൾ" ഉള്ളതിനാൽ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ പൂർണ്ണമായും അമ്പരന്നു. ക്യൂബിന് "ചതുരാകൃതിയിലുള്ള" നെബുലയേക്കാൾ കൂടുതൽ സമമിതിയുണ്ട്!

അത്തരം പാറ്റേണുകൾ ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ വിശാലതയിൽ മാത്രമല്ല ദൃശ്യമാകുന്നത്. അവ ആറ്റങ്ങളുടെയും തന്മാത്രകളുടെയും ഏറ്റവും ചെറിയ തലത്തിലും ഉയർന്നുവരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, സാധാരണ ടേബിൾ ഉപ്പിൻ്റെ ക്യൂബിക് ഘടനയിൽ അല്ലെങ്കിൽ സോഡിയം ക്ലോറൈഡ്. ഒരു പാങ് ത്സയ (ജപ്പാൻ) ഒരു അലൂമിനിയം-കോപ്പർ-ഇരുമ്പ് അലോയ് ഒരു ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ രൂപത്തിലും ഒരു അലുമിനിയം-നിക്കൽ-കൊബാൾട്ട് അലോയ് ഒരു ദശാംശ (പത്ത്-വശങ്ങളുള്ള) പ്രിസത്തിൻ്റെ രൂപത്തിലും ഉള്ള ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ ഫോട്ടോ എടുത്തു (ഫോട്ടോ കാണുക). പ്രശ്നം അതാണ് പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒറ്റ ആറ്റങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലുള്ള പരലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയില്ല.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണമാണ് ബോസ്-ഐൻസ്റ്റീൻ കണ്ടൻസേറ്റ്. ചുരുക്കത്തിൽ, ബോസ്-ഐൻസ്റ്റീൻ കണ്ടൻസേറ്റ് എന്നത് ഒരൊറ്റ "കണിക" പോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു വലിയ ആറ്റമാണ്. ഓരോ ഘടക ആറ്റവും ഒരേസമയം മുഴുവൻ ഘടനയിലും എല്ലാ സ്ഥലവും എല്ലാ സമയവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. എല്ലാ ആറ്റങ്ങളും ഒരേ ആവൃത്തിയിൽ വൈബ്രേറ്റുചെയ്യാനും ഒരേ വേഗതയിൽ നീങ്ങാനും ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ ഒരേ പ്രദേശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യാനും അളക്കുന്നു. ഇത് വിരോധാഭാസമാണ്, പക്ഷേ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങൾ ഒരൊറ്റ മൊത്തത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, വ്യക്തിത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും നഷ്ടപ്പെടുന്നു. ഇത് കൃത്യമായി ഒരു "സൂപ്പർ കണ്ടക്ടറിന്" ആവശ്യമായ വസ്തുവാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, വളരെ താഴ്ന്ന ഊഷ്മാവിൽ ബോസ്-ഐൻസ്റ്റീൻ കണ്ടൻസേറ്റുകൾ ഉണ്ടാകാം. എന്നിരുന്നാലും, വ്യക്തിഗത ആറ്റോമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ഇല്ലാത്ത മൈക്രോക്ലസ്റ്ററുകളിലും ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളിലും നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നത് കൃത്യമായി ഈ പ്രക്രിയകളാണ്.

സമാനമായ മറ്റൊരു പ്രക്രിയയാണ് "കോഹറൻ്റ്" ലൈറ്റ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന ലേസർ ലൈറ്റിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ്. എല്ലാം സ്ഥലത്തും സമയത്തും ലേസർ ബീം ഒരു "ഫോട്ടോൺ" പോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു ലേസർ ബീമിൽ വ്യക്തിഗത ഫോട്ടോണുകളെ വേർതിരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

കൂടാതെ, 1960-കളുടെ അവസാനത്തിൽ, ഇംഗ്ലീഷ് ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെർബർട്ട് ഫ്രോഹ്ലിച്ച് നിർദ്ദേശിച്ചു. ബോസ്-ഐൻസ്റ്റീൻ കണ്ടൻസേറ്റുകൾ പോലെയാണ് ജീവിത വ്യവസ്ഥകൾ പലപ്പോഴും പെരുമാറുന്നത്, വലിയ തോതിൽ മാത്രം.

നെബുലയുടെ ഫോട്ടോകൾ ജ്യാമിതി പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിന് അതിശയകരമായ ദൃശ്യമായ തെളിവുകൾ നൽകുന്നു. ഒപ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ശക്തികളിൽ മിക്ക ആളുകളും വിശ്വസിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വലിയ പങ്ക്. നിലവിലുള്ള പരമ്പരാഗത മാതൃകകളുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ നിന്ന് ഈ പ്രതിഭാസത്തെ മനസ്സിലാക്കാൻ നമ്മുടെ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് പോരാടാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ.

സ്റ്റാഖോവ് എ.പി.

"ദ ഡാവിഞ്ചി കോഡ്", പ്ലാറ്റോണിക്, ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡ്‌സ്, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ, ഫുല്ലെറൻസ്, പെൻറോസ് ലാറ്റിസുകൾ, മദർ ടിയ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ കലാലോകം

വ്യാഖ്യാനം

സ്ലോവേനിയൻ കലാകാരനായ മത്യുഷ്ക തേജ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ സൃഷ്ടികൾ റഷ്യൻ സംസാരിക്കുന്ന വായനക്കാർക്ക് അത്ര പരിചിതമല്ല. അതേ സമയം, പടിഞ്ഞാറ് അതിനെ "കിഴക്കൻ യൂറോപ്യൻ എഷർ" എന്നും ലോക സാംസ്കാരിക സമൂഹത്തിന് "സ്ലൊവേനിയൻ സമ്മാനം" എന്നും വിളിക്കുന്നു. അവളുടെ കലാപരമായ കോമ്പോസിഷനുകൾ ഏറ്റവും പുതിയ ശാസ്ത്രീയ കണ്ടെത്തലുകളിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ടതാണ് (ഫുല്ലറീൻസ്, ഡാൻ ഷെക്റ്റ്മാൻ ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ, പെൻറോസ് ടൈലുകൾ), അവ ക്രമവും അർദ്ധനിയന്ത്രണവും ഉള്ള ബഹുഭുജങ്ങൾ (പ്ലാറ്റോണിക്, ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡുകൾ), ഗോൾഡൻ റേഷ്യോ, ഫിബൊനാച്ചി സംഖ്യകൾ എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

എന്താണ് ഡാവിഞ്ചി കോഡ്?

കണ്ണിനെ ആനന്ദിപ്പിക്കുകയും ആനന്ദിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന അതിശയകരമായ യോജിപ്പുള്ള ഘടനകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ പ്രകൃതിക്ക് കഴിയുന്നത് എന്തുകൊണ്ടെന്ന ചോദ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഓരോ വ്യക്തിയും ഒന്നിലധികം തവണ ചിന്തിച്ചിട്ടുണ്ട്. എന്തുകൊണ്ടാണ് കലാകാരന്മാർ, കവികൾ, സംഗീതസംവിധായകർ, വാസ്തുശില്പികൾ നൂറ്റാണ്ടുകൾ മുതൽ നൂറ്റാണ്ട് വരെ അതിശയകരമായ കലാസൃഷ്ടികൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത്. അവരുടെ ഐക്യത്തിൻ്റെ രഹസ്യം എന്താണ്, ഈ യോജിപ്പുള്ള സൃഷ്ടികൾക്ക് എന്ത് നിയമങ്ങളാണ് അടിവരയിടുന്നത്?

ഈ നിയമങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയൽ, "പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ഹാർമണി നിയമങ്ങൾ" പുരാതന ശാസ്ത്രത്തിൽ ആരംഭിച്ചു. മനുഷ്യചരിത്രത്തിൻ്റെ ഈ കാലഘട്ടത്തിലാണ് ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ചരിത്രത്തിലും വ്യാപിക്കുന്ന നിരവധി അത്ഭുതകരമായ കണ്ടെത്തലുകളിലേക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞർ എത്തിയത്. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് ഹാർമണി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അത്ഭുതകരമായ ഗണിത അനുപാതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഇതിനെ വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കുന്നു: "സുവർണ്ണ അനുപാതം", "സ്വർണ്ണ സംഖ്യ", "സുവർണ്ണ ശരാശരി", "സുവർണ്ണ വിഭാഗം"പോലും "ദിവ്യ അനുപാതം" സുവർണ്ണ അനുപാതംഎന്നും വിളിച്ചു PHI യുടെ എണ്ണംപുരാതന ഗ്രീക്ക് ശില്പിയായ ഫിദിയാസിൻ്റെ ബഹുമാനാർത്ഥം, തൻ്റെ ശിൽപങ്ങളിൽ ഈ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ചു.

പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് എഴുത്തുകാരൻ ഡാൻ ബ്രൗൺ എഴുതിയ "ദ ഡാവിഞ്ചി കോഡ്" എന്ന ത്രില്ലർ ഇരുപത്തിയൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ബെസ്റ്റ് സെല്ലറായി മാറി. എന്നാൽ ഡാവിഞ്ചി കോഡ് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഈ ചോദ്യത്തിന് വ്യത്യസ്ത ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്. പ്രസിദ്ധമായ "ഗോൾഡൻ സെക്ഷൻ" ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ ശ്രദ്ധയ്ക്കും ആകർഷണത്തിനും വിഷയമായിരുന്നുവെന്ന് അറിയാം. കൂടാതെ, "ഗോൾഡൻ സെക്ഷൻ" എന്ന പേര് യൂറോപ്യൻ സംസ്കാരത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നത് ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയാണ്. ലിയോനാർഡോയുടെ മുൻകൈയിൽ, പ്രശസ്ത ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ശാസ്ത്ര സന്യാസിയും, ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ സുഹൃത്തും ശാസ്ത്ര ഉപദേഷ്ടാവുമായ ലൂക്കാ പാസിയോലി, സുവർണ്ണ വിഭാഗത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ലോക സാഹിത്യത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്ര കൃതിയായ "ദിവിന പ്രൊപ്പോർഷൻ" എന്ന പുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതിനെ രചയിതാവ് "ദൈവം" എന്ന് വിളിച്ചു. അനുപാതം". ലിയോനാർഡോ തന്നെ ഈ പ്രസിദ്ധമായ പുസ്തകം ചിത്രീകരിച്ചതായും അതിനായി 60 അതിശയകരമായ ഡ്രോയിംഗുകൾ വരച്ചതായും അറിയാം. "ഡാവിഞ്ചി കോഡ്" എന്നത് "ഗോൾഡൻ റേഷ്യോ" എന്നതിലുപരി മറ്റൊന്നുമല്ല എന്ന അനുമാനം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാൻ നമുക്ക് അവകാശം നൽകുന്നത് പൊതു ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് അത്ര അറിയാത്ത ഈ വസ്തുതകളാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥിരീകരണം ഹാർവാർഡ് സർവകലാശാലയിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഒരു പ്രഭാഷണത്തിൽ കാണാം, അത് അനുസ്മരിക്കുന്നു പ്രധാന കഥാപാത്രം"ഡാവിഞ്ചി കോഡ്" എന്ന പുസ്തകങ്ങൾ പ്രൊഫ. ലാംഗ്ഡൺ:

“ഏതാണ്ട് നിഗൂഢമായ ഉത്ഭവം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, PHI നമ്പർ അതിൻ്റേതായ രീതിയിൽ ഒരു പ്രത്യേക പങ്ക് വഹിച്ചു. ഭൂമിയിലെ എല്ലാ ജീവജാലങ്ങളെയും കെട്ടിപ്പടുക്കുന്നതിനുള്ള അടിത്തറയിൽ ഒരു ഇഷ്ടികയുടെ പങ്ക്. എല്ലാ സസ്യങ്ങൾക്കും മൃഗങ്ങൾക്കും മനുഷ്യർക്കും പോലും PHI സംഖ്യയുടെ 1 എന്ന അനുപാതത്തിൻ്റെ മൂലത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമായ ഭൗതിക അനുപാതങ്ങൾ ഉണ്ട്. പ്രകൃതിയിൽ PHI യുടെ ഈ സർവ്വവ്യാപിത്വം... എല്ലാ ജീവജാലങ്ങളുടെയും ബന്ധത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. PHI നമ്പർ പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ സ്രഷ്ടാവ് മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചതാണെന്ന് മുമ്പ് വിശ്വസിച്ചിരുന്നു. പുരാതന കാലത്തെ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു പോയിൻ്റ് അറുനൂറ്റി പതിനെട്ടായിരത്തെ "ദിവ്യ അനുപാതം" എന്ന് വിളിച്ചു.

അങ്ങനെ, ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചി "ഗോൾഡൻ റേഷ്യോ" എന്ന് വിളിച്ച പ്രസിദ്ധമായ യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയായ PHI = 1.618 ആണ് "ഡാവിഞ്ചി കോഡ്"!

പുരാതന ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു ഗണിത കണ്ടുപിടുത്തമാണ് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രപേരിട്ടിരുന്നത് "പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്"ഒപ്പം "സെമിറെഗുലർ പോളിഹെഡ്ര", വിളിച്ചു "ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡ്സ്".ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഏറ്റവും വലിയ രണ്ട് ശാസ്ത്ര കണ്ടുപിടുത്തങ്ങൾക്ക് അടിവരയിടുന്നത് അതിശയകരമാംവിധം മനോഹരമായ ഈ സ്പേഷ്യൽ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളാണ് - ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ(കണ്ടെത്തലിൻ്റെ രചയിതാവ് ഇസ്രായേലി ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡാൻ ഷെഖ്ത്മാൻ ആണ്) കൂടാതെ ഫുല്ലറീൻസ്(നൊബേൽ സമ്മാനം 1996). പ്രപഞ്ചത്തിന് അടിവരയിടുന്ന യൂണിവേഴ്സൽ കോഡ് ഓഫ് നേച്ചർ ("ഡാവിഞ്ചി കോഡ്") സുവർണ്ണ അനുപാതമാണ് എന്ന വസ്തുതയുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്ഥിരീകരണമാണ് ഈ രണ്ട് കണ്ടെത്തലുകൾ.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഭൗതിക കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ കലാരൂപത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കുന്ന സൃഷ്ടികൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെയും ഫുള്ളറിനുകളുടെയും കണ്ടെത്തൽ നിരവധി സമകാലിക കലാകാരന്മാരെ പ്രചോദിപ്പിച്ചു. ഈ കലാകാരന്മാരിൽ ഒരാൾ സ്ലോവേനിയൻ കലാകാരനാണ് അമ്മ തിയ ക്രാഷെക്.ഈ ലേഖനം ഏറ്റവും പുതിയ ശാസ്ത്ര കണ്ടെത്തലുകളുടെ പ്രിസത്തിലൂടെ മദർ ടിയ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ കലാലോകത്തെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്

ഒരു വ്യക്തി തൻ്റെ മുഴുവൻ ബോധപൂർവമായ പ്രവർത്തനത്തിലുടനീളം സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളിലും പോളിഹെഡ്രോണുകളിലും താൽപ്പര്യം കാണിക്കുന്നു - മുതൽ രണ്ടു വയസ്സുള്ള കുട്ടിതടി സമചതുര ഉപയോഗിച്ച് കളിക്കുന്നത് മുതൽ മുതിർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ വരെ. ചില പതിവ്, അർദ്ധ-റെഗുലർ ബോഡികൾ പ്രകൃതിയിൽ ക്രിസ്റ്റലുകളുടെ രൂപത്തിലാണ് സംഭവിക്കുന്നത്, മറ്റുള്ളവ - ഇലക്ട്രോൺ മൈക്രോസ്കോപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുന്ന വൈറസുകളുടെ രൂപത്തിൽ.

എന്താണ് ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ? ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പോളിഹെഡ്രോണാണ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ യോജിച്ചതാണ്) അതേ സമയം സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളാണ്. എത്ര സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകളുണ്ട്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം വളരെ ലളിതമാണ് - ഉള്ളതുപോലെ സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, അങ്ങനെയല്ല. യൂക്ലിഡിൻ്റെ മൂലകങ്ങളിൽ അഞ്ച് കോൺവെക്സ് റെഗുലർ പോളിഹെഡ്രകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിൻ്റെ കർശനമായ തെളിവ് നമുക്ക് കാണാം, അവയുടെ മുഖങ്ങൾ മൂന്ന് തരം സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ മാത്രമായിരിക്കും: ത്രികോണങ്ങൾ, ചതുരങ്ങൾഒപ്പം പെൻ്റഗണുകൾ (പതിവ് പെൻ്റഗണുകൾ).

പല പുസ്തകങ്ങളും പോളിഹെഡ്രയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എം വെന്നിഗറിൻ്റെ "മോഡൽസ് ഓഫ് പോളിഹെഡ്ര" എന്ന പുസ്തകമാണ് ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായത്. 1974-ൽ മിർ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് റഷ്യൻ വിവർത്തനത്തിൽ ഈ പുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. പുസ്തകത്തിൻ്റെ എപ്പിഗ്രാഫ് ബെർട്രാൻഡ് റസ്സലിൻ്റെ ഒരു പ്രസ്താവനയാണ്: "ഗണിതത്തിന് സത്യം മാത്രമല്ല, ഉയർന്ന സൗന്ദര്യവും ഉണ്ട് - മൂർച്ചയുള്ളതും കർക്കശവുമായ സൗന്ദര്യം, അത്യധികം ശുദ്ധവും യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണതയ്ക്കായി പരിശ്രമിക്കുന്നതുമാണ്, ഇത് കലയുടെ ഏറ്റവും വലിയ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ മാത്രം സവിശേഷതയാണ്."

എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുടെ വിവരണത്തോടെയാണ് പുസ്തകം ആരംഭിക്കുന്നത് സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര, അതായത്, ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളാൽ രൂപംകൊണ്ട പോളിഹെഡ്ര. ഈ പോളിഹെഡ്രകളെ സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്(ചിത്രം 1) , പുരാതന ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകനായ പ്ലേറ്റോയുടെ പേരിലാണ് അദ്ദേഹം ഈ പേര് നൽകിയത് പ്രപഞ്ചശാസ്ത്രം.

ചിത്രം 1.പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്: (എ) ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ ("തീ"), (ബി) ഹെക്സാഹെഡ്രോൺ അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബ് ("ഭൂമി"),

(സി) ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ (“വായു”), (ഡി) ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ (“ജലം”), (ഇ) ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ (“യൂണിവേഴ്സൽ മൈൻഡ്”)

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പരിഗണന ആരംഭിക്കും സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര, ഇവയുടെ മുഖങ്ങൾ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ.ആദ്യത്തേത് ടെട്രാഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം.1-എ). ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിൽ, മൂന്ന് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഒരു ശീർഷത്തിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു; അതേ സമയം, അവയുടെ അടിത്തറകൾ ഒരു പുതിയ സമഭുജ ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ മുഖങ്ങളാണുള്ളത്, സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ വശങ്ങളുള്ള ഒരു പരന്ന സാധാരണ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ത്രിമാന അനലോഗ് ആണ് ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്.

സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന അടുത്ത ശരീരത്തെ വിളിക്കുന്നു അഷ്ടതലം(ചിത്രം.1-ബി). ഒരു അഷ്ടതലത്തിൽ, നാല് ത്രികോണങ്ങൾ ഒരു ശീർഷത്തിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു; ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അടിത്തറയുള്ള ഒരു പിരമിഡാണ് ഫലം. അത്തരം രണ്ട് പിരമിഡുകളെ അവയുടെ അടിത്തറയുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും സമമിതി ശരീരംഎട്ട് ത്രികോണ മുഖങ്ങളോടെ - അഷ്ടതലം.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അഞ്ച് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഫലം 20 ത്രികോണ മുഖങ്ങളുള്ള ഒരു രൂപമായിരിക്കും - ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം.1-ഡി).

അടുത്തത് ശരിയായ രൂപംബഹുഭുജം - സമചതുരം Samachathuram.ഒരു പോയിൻ്റിൽ മൂന്ന് ചതുരങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിച്ച് മൂന്ന് ചതുരങ്ങൾ കൂടി ചേർത്താൽ, ആറ് വശങ്ങളുള്ള ഒരു പൂർണ്ണ രൂപം നമുക്ക് ലഭിക്കും ഷഡ്ഭുജംഅഥവാ ക്യൂബ്(ചിത്രം 1-സി).

അവസാനമായി, ഇനിപ്പറയുന്ന സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഉപയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ നിർമ്മിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു സാധ്യതയുണ്ട് - പെൻ്റഗൺ. ഓരോ പോയിൻ്റിലും മൂന്ന് പെൻ്റഗണുകൾ കൂടിച്ചേരുന്ന തരത്തിൽ 12 പെൻ്റഗണുകൾ ശേഖരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് മറ്റൊരു പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ് ലഭിക്കും. ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം.1-ഡി).

അടുത്ത സാധാരണ ബഹുഭുജമാണ് ഷഡ്ഭുജം. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ മൂന്ന് ഷഡ്ഭുജങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു ഉപരിതലം ലഭിക്കും, അതായത്, ഷഡ്ഭുജങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു ത്രിമാന രൂപം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഒരു ഷഡ്ഭുജത്തിന് മുകളിലുള്ള മറ്റേതൊരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിനും ഖരപദാർഥങ്ങൾ രൂപപ്പെടാൻ കഴിയില്ല. ഈ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന്, അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, അവയുടെ മുഖങ്ങൾ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളും ചതുരങ്ങളും പെൻ്റഗണുകളും മാത്രമായിരിക്കും.

എല്ലാം തമ്മിൽ അതിശയകരമായ ജ്യാമിതീയ ബന്ധങ്ങളുണ്ട് സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്യൂബ്(Fig.1-b) കൂടാതെ അഷ്ടതലം(ചിത്രം 1-സി) ഇരട്ടയാണ്, അതായത്. ഒന്നിൻ്റെ മുഖത്തിൻ്റെ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രങ്ങൾ മറ്റൊന്നിൻ്റെ ലംബങ്ങളായും തിരിച്ചും എടുത്താൽ പരസ്പരം ലഭിക്കും. അതുപോലെ ഇരട്ട ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ(Fig.1-d) കൂടാതെ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം.1-ഇ) . ടെട്രാഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം 1-എ) സ്വയം ദ്വിതീയമാണ്. ഒരു ക്യൂബിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ മുഖങ്ങളിൽ "മേൽക്കൂരകൾ" നിർമ്മിച്ച് ഒരു ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ ലഭിക്കുന്നു (യൂക്ലിഡിയൻ രീതി) ക്യൂബിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും നാല് ലംബങ്ങൾ, അതായത് മറ്റെല്ലാ സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകളും ആകാം. ക്യൂബിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചത്. അഞ്ച് യഥാർത്ഥ പോളിഹെഡ്രകളുടെ അസ്തിത്വം ആശ്ചര്യകരമാണ് - എല്ലാത്തിനുമുപരി, വിമാനത്തിൽ അനന്തമായ നിരവധി സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുണ്ട്!

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ

പ്രധാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്മുഖത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് m,ഓരോ ശീർഷത്തിലും കണ്ടുമുട്ടുന്ന മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം, m,മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം ജി, ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം IN,വാരിയെല്ലുകളുടെ എണ്ണം ആർഒപ്പം പരന്ന കോണുകളുടെ എണ്ണവും യുഒരു പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ, യൂലർ പ്രസിദ്ധമായ ഫോർമുല കണ്ടെത്തുകയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തു

ബി പി + ജി = 2,

ഏതെങ്കിലും കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെയും അരികുകളുടെയും മുഖങ്ങളുടെയും എണ്ണം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിലുള്ള സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. 1.

പട്ടിക 1

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ

പോളിഹെഡ്രോൺ	എഡ്ജ് വശങ്ങളുടെ എണ്ണം എം	ഒരു ശീർഷത്തിൽ കണ്ടുമുട്ടുന്ന മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം എൻ	മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം	ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം	വാരിയെല്ലുകളുടെ എണ്ണം	ഉപരിതലത്തിൽ പരന്ന കോണുകളുടെ എണ്ണം
ടെട്രാഹെഡ്രോൺ
ഹെക്സാഹെഡ്രോൺ (ക്യൂബ്)
ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ
ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ

ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിലും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിലും സുവർണ്ണ അനുപാതം

ഡോഡെകാഹെഡ്രോണും അതിൻ്റെ ഡ്യുവൽ ഐക്കോസഹെഡ്രോണും (ചിത്രം 1-ഡി, ഇ) ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്. ഒന്നാമതായി, ജ്യാമിതീയത ഊന്നിപ്പറയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഐക്കോസഹെഡ്രോൺസുവർണ്ണ അനുപാതവുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, അരികുകൾ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ(Fig.1-d) ആകുന്നു പെൻ്റഗണുകൾ, അതായത്. സുവർണ്ണ അനുപാതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സാധാരണ പെൻ്റഗണുകൾ. നിങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി നോക്കിയാൽ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം 1-ഡി), അപ്പോൾ അതിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷകങ്ങളിലും അഞ്ച് ത്രികോണങ്ങൾ കൂടിച്ചേരുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, അവയുടെ പുറം വശങ്ങൾ രൂപംകൊള്ളുന്നു പഞ്ചഭുജം. ഇവ രണ്ടിൻ്റെയും രൂപകൽപ്പനയിൽ സുവർണ്ണ അനുപാതം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ ഈ വസ്തുതകൾ മാത്രം മതി. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്.

എന്നാൽ സുവർണ്ണ അനുപാതം വഹിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന പങ്കിന് ആഴത്തിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര തെളിവുകളുണ്ട് ഐക്കോസഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ. ഈ ശരീരങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് പ്രത്യേക ഗോളങ്ങളുണ്ടെന്ന് അറിയാം. ആദ്യത്തെ (ആന്തരിക) ഗോളം ശരീരത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യുകയും അതിൻ്റെ മുഖങ്ങളിൽ സ്പർശിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ ആന്തരിക ഗോളത്തിൻ്റെ ആരം നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം Ri. രണ്ടാമത്തെ അല്ലെങ്കിൽ മധ്യ ഗോളം അതിൻ്റെ വാരിയെല്ലുകളിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ ഗോളത്തിൻ്റെ ആരം സൂചിപ്പിക്കാം Rm.അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ (ബാഹ്യ) ഗോളം ശരീരത്തിന് ചുറ്റും വിവരിക്കുകയും അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് അതിൻ്റെ ആരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം ആർ സി. ജ്യാമിതിയിൽ, സൂചിപ്പിച്ച ഗോളങ്ങളുടെ ആരങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, യൂണിറ്റ് നീളത്തിൻ്റെ ഒരു അഗ്രം ഉള്ളത്, t എന്ന സുവർണ്ണ അനുപാതത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (പട്ടിക 2).

പട്ടിക 2

ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഗോളങ്ങളിൽ സുവർണ്ണ അനുപാതം

ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ
ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ

ആരം = എന്നതിൻ്റെ അനുപാതം ഇതിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, കൂടാതെ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ. അങ്ങനെ, എങ്കിൽ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഐക്കോസഹെഡ്രോൺഒരേ പോലെയുള്ള ആലേഖനം ചെയ്ത ഗോളങ്ങൾ ഉണ്ട്, അപ്പോൾ അവയുടെ ചുറ്റളവിലുള്ള ഗോളങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്. ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര ഫലത്തിൻ്റെ തെളിവ് നൽകിയിരിക്കുന്നു തുടക്കംയൂക്ലിഡ്.

ജ്യാമിതിയിൽ, മറ്റ് ബന്ധങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, സുവർണ്ണ അനുപാതവുമായുള്ള അവരുടെ ബന്ധം സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഎഡ്ജ് നീളം ഒന്നിന് തുല്യമായി, അവയുടെ ബാഹ്യ വിസ്തീർണ്ണവും വോളിയവും കണക്കാക്കുക, തുടർന്ന് അവ സ്വർണ്ണ അനുപാതത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (പട്ടിക 3).

പട്ടിക 3

ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ബാഹ്യ ഏരിയയിലും വോളിയത്തിലും സുവർണ്ണ അനുപാതം

	ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ	ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ
ബാഹ്യ പ്രദേശം

അങ്ങനെ, പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ലഭിച്ച ധാരാളം ബന്ധങ്ങളുണ്ട്, അത് കൃത്യമായി സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെയും പ്രധാന അനുപാതമാണ് സുവർണ്ണ അനുപാതം, ഈ വസ്തുത വിളിക്കപ്പെടുന്നവരുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പ്രത്യേകിച്ചും രസകരമാണ് "ഡോഡെകഹെഡ്രൽ-ഐക്കോസഹെഡ്രൽ സിദ്ധാന്തം",ഞങ്ങൾ താഴെ നോക്കും.

പ്ലേറ്റോയുടെ പ്രപഞ്ചശാസ്ത്രം

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയെ വിളിക്കുന്നു പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ഘടനയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്ലേറ്റോയുടെ ദാർശനിക ആശയത്തിൽ അവർ ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം നേടിയതിനാൽ.

പ്ലേറ്റോ (427-347 ബിസി)

നാല് പോളിഹെഡ്രോണുകൾ അതിൽ നാല് സത്തകൾ അല്ലെങ്കിൽ "ഘടകങ്ങൾ" വ്യക്തിപരമാക്കി. ടെട്രാഹെഡ്രോൺപ്രതീകാത്മകമായി തീ, അതിൻ്റെ മുകൾഭാഗം മുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നതിനാൽ; ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ — വെള്ളം, അത് ഏറ്റവും "സ്ട്രീംലൈൻഡ്" പോളിഹെഡ്രോൺ ആയതിനാൽ; ക്യൂബ് — ഭൂമി, ഏറ്റവും "സ്ഥിരമായ" പോളിഹെഡ്രോൺ ആയി; ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ — വായു, ഏറ്റവും "വായു" പോളിഹെഡ്രോൺ ആയി. അഞ്ചാമത്തെ ബഹുമുഖം ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ, "ഉള്ളതെല്ലാം", "യൂണിവേഴ്‌സൽ മൈൻഡ്" എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ഇത് മുഴുവൻ പ്രപഞ്ചത്തെയും പ്രതീകപ്പെടുത്തുകയും പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്തു പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ പ്രധാന ജ്യാമിതീയ രൂപം.

പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർ യോജിപ്പുള്ള ബന്ധങ്ങളെ പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമായി കണക്കാക്കി, അതിനാൽ അവയുടെ നാല് ഘടകങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന അനുപാതത്തിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ഭൂമി / വെള്ളം = വായു / തീ. "മൂലകങ്ങളുടെ" ആറ്റങ്ങൾ പ്ലേറ്റോ ഒരു ലൈറിൻ്റെ നാല് തന്ത്രികൾ പോലെ തികഞ്ഞ വ്യഞ്ജനാക്ഷരങ്ങളിൽ ട്യൂൺ ചെയ്തു. വ്യഞ്ജനം ഒരു സുഖകരമായ വ്യഞ്ജനാക്ഷരമാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഈ ശരീരങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഭൂമി, വെള്ളം, വായു, തീ എന്നീ നാല് ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ അത്തരമൊരു സംവിധാനം അരിസ്റ്റോട്ടിൽ കാനോനൈസ് ചെയ്തുവെന്ന് പറയുന്നത് ഉചിതമായിരിക്കും. ഈ മൂലകങ്ങൾ നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ നാല് മൂലക്കല്ലുകളായി തുടർന്നു. ഖര, ദ്രാവകം, വാതകം, പ്ലാസ്മ എന്നിങ്ങനെ നമുക്ക് അറിയാവുന്ന ദ്രവ്യത്തിൻ്റെ നാല് അവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയെ തിരിച്ചറിയുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്.

അങ്ങനെ, പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ "അവസാനം-അവസാനം" ഐക്യം എന്ന ആശയത്തെ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിലെ അതിൻ്റെ മൂർത്തീഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി. പ്രശസ്ത ഗ്രീക്ക് ചിന്തകനായ പ്ലേറ്റോയുടെ സ്വാധീനവും ബാധിച്ചു തുടക്കംയൂക്ലിഡ്. നൂറ്റാണ്ടുകളായി ജ്യാമിതിയിലെ ഏക പാഠപുസ്തകമായിരുന്ന ഈ പുസ്തകം "അനുയോജ്യമായ" വരികളും "ആദർശ" കണക്കുകളും വിവരിക്കുന്നു. ഏറ്റവും "അനുയോജ്യമായ" വരിയാണ് ഋജുവായത്, ഏറ്റവും "അനുയോജ്യമായ" ബഹുഭുജമാണ് സാധാരണ ബഹുഭുജം,ഉള്ളത് തുല്യ വശങ്ങൾതുല്യ കോണുകളും. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാധാരണ ബഹുഭുജം പരിഗണിക്കാം സമഭുജത്രികോണം,വിമാനത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം പരിമിതപ്പെടുത്താൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ വശങ്ങളുള്ളതിനാൽ. എന്താണെന്ന് ഞാൻ അത്ഭുതപ്പെടുന്നു തുടക്കംനിർമ്മാണത്തിൻ്റെ വിവരണത്തോടെയാണ് യൂക്ലിഡ് ആരംഭിക്കുന്നത് സാധാരണ ത്രികോണംഅഞ്ചിൻ്റെ പഠനത്തോടെ അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യും പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്.ശ്രദ്ധിക്കുക, അത് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്ഫൈനൽ, അതായത്, 13-ാമത്തെ പുസ്തകം സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു തുടങ്ങിയൂക്ലിഡ്. വഴിയിൽ, ഈ വസ്തുത, അതായത്, അവസാന (അതായത്, ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് പോലെ) പുസ്തകത്തിൽ സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം. തുടങ്ങിയൂക്ലിഡ്, യൂക്ലിഡിൻ്റെ വ്യാഖ്യാതാവായിരുന്ന പ്രാചീന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പ്രോക്ലസിനെ സൃഷ്ടിച്ചു, യൂക്ലിഡ് തൻ്റെ സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ പിന്തുടരുന്ന യഥാർത്ഥ ലക്ഷ്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് രസകരമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ടുവച്ചു. തുടക്കം. പ്രോക്ലസ് അനുസരിച്ച്, യൂക്ലിഡ് സൃഷ്ടിച്ചു തുടക്കംജ്യാമിതിയെ അവതരിപ്പിക്കാൻ വേണ്ടിയല്ല, മറിച്ച് "അനുയോജ്യമായ" രൂപങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ വ്യവസ്ഥാപിത സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നതിന്, പ്രത്യേകിച്ച് അഞ്ച് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്, ഒരേസമയം ചിലത് എടുത്തുകാണിക്കുന്നു ഏറ്റവും പുതിയ നേട്ടങ്ങൾഗണിതം!

ഫുള്ളറിനുകളുടെ കണ്ടുപിടുത്തത്തിൻ്റെ രചയിതാക്കളിൽ ഒരാളായത് യാദൃശ്ചികമല്ല. നോബൽ സമ്മാന ജേതാവ്ഹരോൾഡ് ക്രോട്ടോ, തൻ്റെ നോബൽ പ്രഭാഷണത്തിൽ, "ഭൗതിക ലോകത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ ധാരണയുടെ അടിസ്ഥാനം" എന്നും "സമഗ്രമായി വിശദീകരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങളിൽ അതിൻ്റെ പങ്ക്" എന്നും സമമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള തൻ്റെ സംസാരം ആരംഭിക്കുന്നു. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്കൂടാതെ "എല്ലാ വസ്തുക്കളുടെയും ഘടകങ്ങൾ": "ഘടനാപരമായ സമമിതി എന്ന ആശയം പുരാതന കാലം മുതലുള്ളതാണ് ..." മിക്കതും പ്രശസ്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾതീർച്ചയായും, പ്ലേറ്റോയുടെ ഡയലോഗ് ടിമേയസിൽ കാണാം, അവിടെ 53-ാം വിഭാഗത്തിൽ, ഘടകങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, അദ്ദേഹം എഴുതുന്നു: “ആദ്യം, എല്ലാവർക്കും വ്യക്തമാണ് (!), തീർച്ചയായും, തീയും ഭൂമിയും വെള്ളവും വായുവും ശരീരങ്ങളാണെന്ന് , ഓരോ ശരീരവും ഖരമാണ്” (!!) പ്ലേറ്റോ ഈ നാല് മൂലകങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ രസതന്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുകയും അവയെ നാല് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (അക്കാലത്ത് ഹിപ്പാർക്കസ് അഞ്ചാമത്തേത് - ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ). ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ അത്തരമൊരു തത്ത്വചിന്ത കുറച്ച് നിഷ്കളങ്കമായി തോന്നാമെങ്കിലും, പ്രകൃതി യഥാർത്ഥത്തിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ആഴത്തിലുള്ള ധാരണയെ ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരവസ്തുക്കൾ

സെമിറെഗുലർ പോളിഹെഡ്ര

കൂടുതൽ തികഞ്ഞ ശരീരങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു, വിളിക്കപ്പെടുന്നു സെമിറെഗുലർ പോളിഹെഡ്രഅഥവാ ആർക്കിമീഡിയൻ ശരീരങ്ങൾ.അവയ്ക്ക് എല്ലാ പോളിഹെഡ്രൽ കോണുകളും തുല്യമാണ്, എല്ലാ മുഖങ്ങളും സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളാണ്, എന്നാൽ പലതും വത്യസ്ത ഇനങ്ങൾ. 13 അർദ്ധ റെഗുലർ പോളിഹെഡ്രകൾ ഉണ്ട്, ഇവയുടെ കണ്ടെത്തൽ ആർക്കിമിഡീസാണ്.

ആർക്കിമിഡീസ് (ബിസി 287 - ബിസി 212)

ഒരു കൂട്ടം ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരവസ്തുക്കൾപല ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് അഞ്ച് പോളിഹെഡ്രകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അവയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്അവരുടെ ഫലമായി വെട്ടിച്ചുരുക്കൽ.മുകൾഭാഗം മുറിച്ചുമാറ്റിയ ശരീരമാണ് വെട്ടിമുറിച്ച ശരീരം. വേണ്ടി പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പുതിയ മുഖങ്ങളും പഴയവയുടെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളും സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളാകുന്ന വിധത്തിൽ വെട്ടിച്ചുരുക്കൽ നടത്താം. ഉദാ, ടെട്രാഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം 1-എ) വെട്ടിച്ചുരുക്കാൻ കഴിയും, അങ്ങനെ അതിൻ്റെ നാല് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള മുഖങ്ങൾ നാല് ഷഡ്ഭുജാകൃതികളായി മാറുന്നു, കൂടാതെ നാല് സാധാരണ ത്രികോണ മുഖങ്ങൾ അവയിൽ ചേർക്കുന്നു. ഇങ്ങനെ അഞ്ചെണ്ണം ലഭിക്കും ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരവസ്തുക്കൾ: വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഹെക്സാഹെഡ്രോൺ (ക്യൂബ്), വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ അഷ്ടതലം, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഒപ്പം വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം 2).

(എ)	(ബി)	(വി)

(ജി)	(ഡി)

ചിത്രം 2. ആർക്കിമീഡിയൻ സോളിഡുകൾ: (എ) വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, (ബി) വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ക്യൂബ്, (സി) വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ, (ഡി) വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ, (ഇ) വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ

തൻ്റെ നൊബേൽ പ്രഭാഷണത്തിൽ, അമേരിക്കൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ സ്മാലി, ഫുള്ളറീനുകളുടെ പരീക്ഷണാത്മക കണ്ടെത്തലിൻ്റെ രചയിതാക്കളിൽ ഒരാളാണ്, ആർക്കിമിഡീസിനെ (ബിസി 287-212) വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പോളിഹെഡ്രയുടെ ആദ്യത്തെ ഗവേഷകനായി, പ്രത്യേകിച്ച്, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, എന്നിരുന്നാലും, ആർക്കിമിഡീസ് ഇതിനുള്ള ക്രെഡിറ്റ് എടുത്തേക്കാം എന്ന മുന്നറിയിപ്പോടെ, ഒരുപക്ഷേ, ഐക്കോസഹെഡ്രോണുകൾ അദ്ദേഹത്തിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ വെട്ടിച്ചുരുക്കപ്പെട്ടു. സ്‌കോട്ട്‌ലൻഡിൽ കണ്ടെത്തിയവയും ബിസി 2000-നടുത്തുമുള്ളവയും പരാമർശിച്ചാൽ മതി. നൂറുകണക്കിന് ശിലാ വസ്തുക്കൾ (പ്രത്യക്ഷമായും ആചാരപരമായ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്) ഗോളാകൃതിയിലും വിവിധ രൂപത്തിലും ബഹുമുഖം(ശരീരങ്ങൾ എല്ലാ വശങ്ങളിലും പരന്നതാണ് അറ്റങ്ങൾ), ഐക്കോസഹെഡ്രോണുകളും ഡോഡെകാഹെഡ്രോണുകളും ഉൾപ്പെടെ. ആർക്കിമിഡീസിൻ്റെ യഥാർത്ഥ കൃതി, നിർഭാഗ്യവശാൽ, അതിജീവിച്ചിട്ടില്ല, അതിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ "സെക്കൻഡ്-ഹാൻഡ്" എന്ന് അവർ പറയുന്നതുപോലെ നമ്മിലേക്ക് വന്നു. നവോത്ഥാന കാലത്ത് എല്ലാം ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരവസ്തുക്കൾഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി വീണ്ടും "കണ്ടെത്തപ്പെട്ടു". എല്ലാത്തിനുമുപരി, 1619-ൽ കെപ്ലർ തൻ്റെ "വേൾഡ് ഹാർമണി" ("ഹാർമോണീസ് മുണ്ടി") എന്ന പുസ്തകത്തിൽ ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റിൻ്റെയും സമഗ്രമായ വിവരണം നൽകി - പോളിഹെഡ്ര, അതിൻ്റെ ഓരോ മുഖവും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. സാധാരണ ബഹുഭുജം, കൂടാതെ എല്ലാം കൊടുമുടികൾതത്തുല്യ സ്ഥാനത്താണ് (C 60 തന്മാത്രയിലെ കാർബൺ ആറ്റങ്ങൾ പോലെ). ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരപദാർത്ഥങ്ങളിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു വിവിധ തരംബഹുഭുജങ്ങൾ, 5 ന് വിപരീതമായി പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്, ഇവയുടെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും സമാനമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന് C 20 തന്മാത്രയിലെന്നപോലെ).

ചിത്രം 3. ആർക്കിമിഡിയൻ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ നിർമ്മാണം
പ്ലാറ്റോണിക് ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൽ നിന്ന്

അപ്പോൾ എങ്ങനെ ഡിസൈൻ ചെയ്യാം ആർക്കിമിഡീസ് വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺനിന്ന് പ്ലാറ്റോണിക് ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ? ഉത്തരം ചിത്രം ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. 3. തീർച്ചയായും, പട്ടികയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. 1, 5 മുഖങ്ങൾ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ 12 ലംബങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു. ഓരോ ശീർഷത്തിലും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ 12 ഭാഗങ്ങൾ ഒരു തലം ഉപയോഗിച്ച് മുറിച്ചാൽ, 12 പുതിയ പെൻ്റഗണൽ മുഖങ്ങൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു. ത്രികോണാകൃതിയിൽ നിന്ന് ഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലേക്ക് മാറിയ, നിലവിലുള്ള 20 മുഖങ്ങൾക്കൊപ്പം, അവ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ 32 മുഖങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 90 അരികുകളും 60 ലംബങ്ങളും ഉണ്ടാകും.

മറ്റൊരു കൂട്ടർ ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരവസ്തുക്കൾഎന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് ശരീരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു അർദ്ധ-റെഗുലർബഹുമുഖം. ഈ പോളിഹെഡ്രയുടെ മുഖങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളാണെന്ന് "അർദ്ധ" കണിക ഊന്നിപ്പറയുന്നു, ഒരു തരത്തിൻ്റെ ഓരോ മുഖവും മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളാൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് ശരീരങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു rhombicuboctahedronഒപ്പം ഐക്കോസിഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ(ചിത്രം 4).

ചിത്രം 5. ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡ്‌സ്: (എ) റോംബോക്യുബോക്റ്റാഹെഡ്രോൺ, (ബി) റോംബികോസിഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ

അവസാനമായി, "സ്നബ്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് പരിഷ്കാരങ്ങളുണ്ട് - ഒന്ന് ക്യൂബിന് ( സ്നബ് ക്യൂബ്), മറ്റൊന്ന് ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിനുള്ള ( സ്നബ് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ) (ചിത്രം 6).

(എ)	(ബി)

ചിത്രം 6.ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡുകൾ: (എ) സ്‌നബ് ക്യൂബ്, (ബി) സ്‌നബ് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ

വെന്നിഗർ എഴുതിയ "മോഡൽസ് ഓഫ് പോളിഹെഡ്ര" (1974) എന്ന പുസ്തകത്തിൽ വായനക്കാരന് 75 എണ്ണം കണ്ടെത്താനാകും. വിവിധ മോഡലുകൾസാധാരണ പോളിഹെഡ്ര. "പോളിഹെഡ്രയുടെ സിദ്ധാന്തം, പ്രത്യേകിച്ച് കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്ര, ജ്യാമിതിയിലെ ഏറ്റവും ആകർഷകമായ അധ്യായങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്"റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ L.A യുടെ അഭിപ്രായമാണിത്. ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ വളരെയധികം കാര്യങ്ങൾ ചെയ്തിട്ടുള്ള ല്യൂസ്റ്റർനാക്ക്. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനം മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ജോഹന്നാസ് കെപ്ലർ (1571-1630) പോളിഹെഡ്ര സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികാസത്തിന് വലിയ സംഭാവന നൽകി. ഒരു സമയത്ത് അദ്ദേഹം "സ്നോഫ്ലേക്കിനെക്കുറിച്ച്" ഒരു രേഖാചിത്രം എഴുതി, അതിൽ അദ്ദേഹം ഇനിപ്പറയുന്ന പരാമർശം നടത്തി: "സാധാരണ ശരീരങ്ങളിൽ, ബാക്കിയുള്ളവയുടെ ആദ്യവും തുടക്കവും പൂർവ്വികനും ക്യൂബാണ്, ഞാൻ അങ്ങനെ പറഞ്ഞാൽ, ജീവിതപങ്കാളി അഷ്ടതലമാണ്, കാരണം ക്യൂബിന് എത്ര മുഖങ്ങളുണ്ടോ അത്രയും കോണുകൾ അഷ്ടഹെഡ്രോണിനുണ്ട്."കെപ്ലറാണ് ആദ്യം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് മുഴുവൻ പട്ടികപതിമൂന്ന് ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരവസ്തുക്കൾഅവർ ഇന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പേരുകൾ നൽകി.

വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെക്കുറിച്ച് ആദ്യമായി പഠിച്ചത് കെപ്ലറാണ് നക്ഷത്ര പോളിഹെഡ്ര,പ്ലാറ്റോണിക്, ആർക്കിമീഡിയൻ ഖരപദാർത്ഥങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സാധാരണ കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രയാണ്. കഴിഞ്ഞ നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ, ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും മെക്കാനിക്കുമായ എൽ. പോയിൻസോട്ട് (1777-1859), സ്റ്റെലേറ്റ് പോളിഹെഡ്രയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ കൃതികൾ കെപ്ലറിൻ്റെ പ്രവർത്തനം വികസിപ്പിക്കുകയും രണ്ട് തരം സാധാരണ നോൺ-കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രയുടെ അസ്തിത്വം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്തു. അതിനാൽ, കെപ്ലറിൻ്റെയും പോയിൻസോട്ടിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിന് നന്ദി, അത്തരം നാല് തരം കണക്കുകൾ അറിയപ്പെട്ടു (ചിത്രം 7). 1812-ൽ ഒ.കൗച്ചി, മറ്റ് സാധാരണ നക്ഷത്രങ്ങളുള്ള പോളിഹെഡ്രകൾ ഇല്ലെന്ന് തെളിയിച്ചു.

ചിത്രം 7.റെഗുലർ സ്റ്റെലേറ്റഡ് പോളിഹെഡ്ര (പോയിൻസോട്ട് സോളിഡ്സ്)

പല വായനക്കാർക്കും ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരിക്കാം: “എന്തുകൊണ്ടാണ് സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര പഠിക്കുന്നത്? അവയുടെ പ്രയോജനം എന്താണ്? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും: “സംഗീതത്തിൻ്റെയോ കവിതയുടെയോ പ്രയോജനം എന്താണ്? മനോഹരമായ എല്ലാം ഉപയോഗപ്രദമാണോ? ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പോളിഹെഡ്രയുടെ മാതൃകകൾ. 1-7, എല്ലാറ്റിനുമുപരിയായി, ഞങ്ങളിൽ ഒരു സൗന്ദര്യാത്മക മതിപ്പ് ഉണ്ടാക്കുക, അലങ്കാര അലങ്കാരങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, സ്വാഭാവിക ഘടനകളിൽ സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ വ്യാപകമായ രൂപം, ജ്യാമിതിയുടെ ഈ ശാഖയിൽ വളരെയധികം താൽപ്പര്യത്തിന് കാരണമായി. ആധുനിക ശാസ്ത്രം.

ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടറിൻ്റെ രഹസ്യം

എന്താണ് കലണ്ടർ?

ഒരു റഷ്യൻ പഴഞ്ചൊല്ല് പറയുന്നു: "സമയം ചരിത്രത്തിൻ്റെ കണ്ണാണ്." പ്രപഞ്ചത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്ന എല്ലാം: സൂര്യൻ, ഭൂമി, നക്ഷത്രങ്ങൾ, ഗ്രഹങ്ങൾ, അറിയപ്പെടുന്നതും അജ്ഞാത ലോകങ്ങൾ, കൂടാതെ പ്രകൃതിയിൽ നിലനിൽക്കുന്നതും ജീവനുള്ളതും നിർജീവവുമായ എല്ലാത്തിനും ഒരു സ്ഥല-സമയ മാനമുണ്ട്. ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിലെ ഇടയ്ക്കിടെ ആവർത്തിക്കുന്ന പ്രക്രിയകൾ നിരീക്ഷിച്ചാണ് സമയം അളക്കുന്നത്.

പുരാതന കാലങ്ങളിൽ പോലും, പകൽ എല്ലായ്പ്പോഴും രാത്രിയിലേക്ക് വഴിമാറുന്നുവെന്നും സീസണുകൾ കർശനമായ ക്രമത്തിലാണ് കടന്നുപോകുന്നതെന്നും ആളുകൾ ശ്രദ്ധിച്ചു: ശീതകാലത്തിനുശേഷം വസന്തം വരുന്നു, വസന്തത്തിന് ശേഷം വേനൽക്കാലം വരുന്നു, വേനൽക്കാലത്തിന് ശേഷം ശരത്കാലം വരുന്നു. ഈ പ്രതിഭാസങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം തേടി, മനുഷ്യൻ ആകാശഗോളങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധിച്ചു - സൂര്യൻ, ചന്ദ്രൻ, നക്ഷത്രങ്ങൾ - ആകാശത്തുടനീളമുള്ള അവയുടെ ചലനങ്ങളുടെ കർശനമായ ആനുകാലികത. ഏറ്റവും പുരാതന ശാസ്ത്രങ്ങളിലൊന്നായ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പിറവിക്ക് മുമ്പുള്ള ആദ്യത്തെ നിരീക്ഷണങ്ങളായിരുന്നു ഇത്.

ജ്യോതിശാസ്ത്രം സമയം അളക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമായി ചലനത്തെ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആകാശഗോളങ്ങൾ, ഇത് മൂന്ന് ഘടകങ്ങളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു: ഭൂമിയുടെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണം, ഭൂമിക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ചന്ദ്രൻ്റെ വിപ്ലവം, സൂര്യനുചുറ്റും ഭൂമിയുടെ ചലനം. ഈ പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ ഏതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് സമയം അളക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും സമയത്തിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത ആശയങ്ങൾ. ജ്യോതിശാസ്ത്രം അറിയാം നക്ഷത്രംസമയം, തെളിഞ്ഞതായസമയം, പ്രാദേശികമായസമയം, അരക്കെട്ട്സമയം, പ്രസവാവധിസമയം, ആറ്റോമികസമയം മുതലായവ.

സൂര്യൻ, മറ്റെല്ലാ പ്രകാശങ്ങളെയും പോലെ, ആകാശത്തുടനീളമുള്ള ചലനത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. ദൈനംദിന ചലനത്തിന് പുറമേ, സൂര്യന് വാർഷിക ചലനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ആകാശത്തിലൂടെയുള്ള സൂര്യൻ്റെ വാർഷിക ചലനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ പാതയും വിളിക്കുന്നു. ക്രാന്തിവൃത്തം.ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത സായാഹ്ന മണിക്കൂറിൽ നക്ഷത്രരാശികളുടെ സ്ഥാനം ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുകയും തുടർന്ന് എല്ലാ മാസവും ഈ നിരീക്ഷണം ആവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ആകാശത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു ചിത്രം നമ്മുടെ മുന്നിൽ ദൃശ്യമാകും. നക്ഷത്രനിബിഡമായ ആകാശത്തിൻ്റെ രൂപം തുടർച്ചയായി മാറുന്നു: ഓരോ സീസണിനും അതിൻ്റേതായ സായാഹ്ന നക്ഷത്രരാശികളുണ്ട്, അത്തരം ഓരോ പാറ്റേണും എല്ലാ വർഷവും ആവർത്തിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഒരു വർഷത്തിനുശേഷം, സൂര്യൻ നക്ഷത്രങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ച് അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനത്തേക്ക് മടങ്ങുന്നു.

നക്ഷത്രനിബിഡമായ ലോകത്തിലെ ഓറിയൻ്റേഷൻ എളുപ്പത്തിനായി, ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർ മുഴുവൻ ആകാശത്തെയും 88 നക്ഷത്രസമൂഹങ്ങളായി വിഭജിച്ചു. അവയിൽ ഓരോന്നിനും അതിൻ്റേതായ പേരുണ്ട്. 88 രാശികളിൽ, ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം ക്രാന്തിവൃത്തം കടന്നുപോകുന്നവയാണ്. ഈ നക്ഷത്രരാശികൾക്ക്, അവയുടെ ശരിയായ പേരുകൾക്ക് പുറമേ, ഒരു പൊതുനാമവും ഉണ്ട് - രാശിചക്രം("സൂപ്പ്" = മൃഗം എന്ന ഗ്രീക്ക് പദത്തിൽ നിന്ന്), അതുപോലെ ലോകമെമ്പാടും വ്യാപകമായി അറിയപ്പെടുന്ന ചിഹ്നങ്ങളും (അടയാളങ്ങളും) കലണ്ടർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിവിധ സാങ്കൽപ്പിക ചിത്രങ്ങളും.

ക്രാന്തിവൃത്തത്തിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ സൂര്യൻ 13 രാശികളെ മറികടക്കുന്നതായി അറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർ സൂര്യൻ്റെ പാതയെ 13 ആയല്ല, 12 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കണമെന്ന് കണ്ടെത്തി, സ്കോർപ്പിയോ, ഒഫിയൂച്ചസ് എന്നീ നക്ഷത്രരാശികളെ സംയോജിപ്പിച്ച് ഒരൊറ്റ ഭാഗമാക്കി. പൊതുവായ പേര്സ്കോർപിയോ (എന്തുകൊണ്ട്?).

സമയം അളക്കുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് ഒരു പ്രത്യേക ശാസ്ത്രമാണ് കാലഗണന.മനുഷ്യരാശി സൃഷ്ടിച്ച എല്ലാ കലണ്ടർ സമ്പ്രദായങ്ങൾക്കും ഇത് അടിവരയിടുന്നു. പുരാതന കാലത്ത് കലണ്ടറുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത് അതിലൊന്നാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ജോലികൾജ്യോതിശാസ്ത്രം.

എന്താണ് ഒരു "കലണ്ടർ", ഏതൊക്കെ തരങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്? കലണ്ടർ സംവിധാനങ്ങൾ? വാക്ക് കലണ്ടർലാറ്റിൻ പദത്തിൽ നിന്നാണ് വരുന്നത് കലണ്ടറിയം, അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ "കടപുസ്തകം" എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്; അത്തരം പുസ്തകങ്ങളിൽ ഓരോ മാസത്തിൻ്റെയും ആദ്യ ദിവസങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - കലണ്ട്സ്,അതിൽ പുരാതന റോമിലെ കടക്കാർ പലിശ നൽകി.

കലണ്ടറുകൾ കംപൈൽ ചെയ്യുമ്പോൾ കിഴക്കൻ, തെക്കുകിഴക്കൻ ഏഷ്യൻ രാജ്യങ്ങളിൽ പുരാതന കാലം മുതൽ വലിയ പ്രാധാന്യംസൂര്യൻ്റെയും ചന്ദ്രൻ്റെയും ചലനങ്ങൾക്കും ആനുകാലികത നൽകി വ്യാഴംഒപ്പം ശനി, രണ്ട് ഭീമൻ ഗ്രഹങ്ങൾ സൗരയൂഥം. സൃഷ്ടിക്കുക എന്ന ആശയം വിശ്വസിക്കാൻ കാരണമുണ്ട് ജോവിയൻ കലണ്ടർഭ്രമണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട 12 വർഷത്തെ മൃഗചക്രത്തിൻ്റെ ആകാശ പ്രതീകാത്മകതയോടെ വ്യാഴംസൂര്യനുചുറ്റും, ഏകദേശം 12 വർഷത്തിനുള്ളിൽ (11.862 വർഷം) സൂര്യനുചുറ്റും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, സൗരയൂഥത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ ഭീമൻ ഗ്രഹമാണ് ശനിഏകദേശം 30 വർഷത്തിനുള്ളിൽ (29.458 വർഷം) സൂര്യനുചുറ്റും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഭീമാകാരമായ ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലന ചക്രങ്ങളെ സമന്വയിപ്പിക്കാൻ ആഗ്രഹിച്ച പുരാതന ചൈനക്കാർ സൗരയൂഥത്തിൻ്റെ 60 വർഷത്തെ ചക്രം അവതരിപ്പിക്കുക എന്ന ആശയം കൊണ്ടുവന്നു. ഈ ചക്രത്തിൽ, ശനി സൂര്യനുചുറ്റും 2 പൂർണ്ണ വിപ്ലവങ്ങളും വ്യാഴം 5 വിപ്ലവങ്ങളും നടത്തുന്നു.

വാർഷിക കലണ്ടറുകൾ സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ, ജ്യോതിശാസ്ത്ര പ്രതിഭാസങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: രാവും പകലും മാറ്റം, മാറ്റം ചാന്ദ്ര ഘട്ടങ്ങൾസീസണുകളുടെ മാറ്റവും. വിവിധ ജ്യോതിശാസ്ത്ര പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ ഉപയോഗം വിവിധ ആളുകൾക്കിടയിൽ മൂന്ന് തരം കലണ്ടറുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു: ചാന്ദ്ര,ചന്ദ്രൻ്റെ ചലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, തെളിഞ്ഞതായ,സൂര്യൻ്റെ ചലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒപ്പം ലൂണിസോളാർ.

ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടറിൻ്റെ ഘടന

ആദ്യത്തെ സോളാർ കലണ്ടറുകളിൽ ഒന്ന് ഈജിപ്ഷ്യൻ 4-ആം സഹസ്രാബ്ദ ബിസിയിൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടു. യഥാർത്ഥ ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടർ വർഷം 360 ദിവസങ്ങൾ അടങ്ങിയതാണ്. കൃത്യമായി 30 ദിവസങ്ങൾ വീതമുള്ള 12 മാസങ്ങളായി വർഷത്തെ വിഭജിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, കലണ്ടർ വർഷത്തിൻ്റെ ഈ ദൈർഘ്യം ജ്യോതിശാസ്ത്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് പിന്നീട് കണ്ടെത്തി. ഈജിപ്തുകാർ കലണ്ടർ വർഷത്തിലേക്ക് 5 ദിവസങ്ങൾ കൂടി ചേർത്തു, എന്നിരുന്നാലും, അത് മാസത്തിലെ ദിവസങ്ങളല്ല. 5 ആയിരുന്നു അവധി ദിവസങ്ങൾ, അയൽ കലണ്ടർ വർഷങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടർ വർഷത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടന ഉണ്ടായിരുന്നു: 365 = 12ґ 30 + 5. ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടർ ആധുനിക കലണ്ടറിൻ്റെ പ്രോട്ടോടൈപ്പാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈജിപ്തുകാർ കലണ്ടർ വർഷത്തെ 12 മാസങ്ങളായി വിഭജിച്ചത്? എല്ലാത്തിനുമുപരി, വർഷത്തിൽ വ്യത്യസ്ത മാസങ്ങളുള്ള കലണ്ടറുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മായൻ കലണ്ടറിൽ, വർഷം പ്രതിമാസം 20 ദിവസങ്ങളുള്ള 18 മാസങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടറിനെ സംബന്ധിച്ച അടുത്ത ചോദ്യം: എന്തുകൊണ്ടാണ് ഓരോ മാസത്തിനും കൃത്യമായി 30 ദിവസം (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ദിവസങ്ങൾ) ഉള്ളത്? ഈജിപ്ഷ്യൻ സമയ അളക്കൽ സമ്പ്രദായത്തെക്കുറിച്ചും ചില ചോദ്യങ്ങൾ ഉന്നയിക്കാം, പ്രത്യേകിച്ചും സമയത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് സംബന്ധിച്ച് മണിക്കൂർ, മിനിറ്റ്, സെക്കൻഡ്.പ്രത്യേകിച്ചും, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ് മണിക്കൂർ യൂണിറ്റ് ഒരു ദിവസത്തിലേക്ക് കൃത്യമായി 24 തവണ യോജിക്കുന്ന രീതിയിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തത്, അതായത്, എന്തുകൊണ്ട് 1 ദിവസം = 24 (2½ 12) മണിക്കൂർ? അടുത്തത്: എന്തുകൊണ്ട് 1 മണിക്കൂർ = 60 മിനിറ്റ്, 1 മിനിറ്റ് = 60 സെക്കൻഡ്? കോണീയ അളവുകളുടെ യൂണിറ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനും ഇതേ ചോദ്യങ്ങൾ ബാധകമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും: എന്തുകൊണ്ടാണ് സർക്കിളിനെ 360° ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതായത്, എന്തുകൊണ്ട് 2p =360° =12ґ 30°? ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് മറ്റുള്ളവയും ചേർക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും: ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞർ 12 ഉണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കുന്നത് ഉചിതമാണെന്ന് കണ്ടെത്തിയത് എന്തുകൊണ്ട്? രാശിചക്രംഅടയാളങ്ങൾ, വാസ്തവത്തിൽ, ക്രാന്തിവൃത്തത്തിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുമ്പോൾ, സൂര്യൻ 13 നക്ഷത്രരാശികളെ മറികടക്കുന്നു? മറ്റൊരു "വിചിത്രമായ" ചോദ്യം: എന്തുകൊണ്ടാണ് ബാബിലോണിയൻ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിന് അസാധാരണമായ ഒരു അടിത്തറയുള്ളത് - നമ്പർ 60?

ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടറും ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടറും സമയവും കോണീയ മൂല്യങ്ങളും അളക്കുന്നതിനുള്ള ഈജിപ്ഷ്യൻ സംവിധാനങ്ങളും വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, നാല് അക്കങ്ങൾ അതിശയകരമായ സ്ഥിരതയോടെ ആവർത്തിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി: 12, 30, 60 കൂടാതെ അവയിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സംഖ്യ 360 = 12ґ 30. ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഈജിപ്ഷ്യൻ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഈ സംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗത്തിന് ലളിതവും യുക്തിസഹവുമായ വിശദീകരണം നൽകാൻ കഴിയുന്ന എന്തെങ്കിലും അടിസ്ഥാന ശാസ്ത്ര ആശയം ഉണ്ടോ?

ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി തിരിയാം ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1-ഡി. ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ എല്ലാ ജ്യാമിതീയ അനുപാതങ്ങളും സുവർണ്ണ അനുപാതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം.

ഈജിപ്തുകാർക്ക് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ അറിയാമായിരുന്നോ? പുരാതന ഈജിപ്തുകാർക്ക് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നുവെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രകാരന്മാർ സമ്മതിക്കുന്നു. എന്നാൽ സാധാരണ അഞ്ച് പോളിഹെഡ്രകളും അവർക്ക് അറിയാമോ? ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഐക്കോസഹെഡ്രോൺഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളവ ഏതൊക്കെയാണ്? പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പ്രോക്ലസ് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ നിർമ്മാണത്തിന് പൈതഗോറസ് കാരണമായി പറയുന്നു. എന്നാൽ പല ഗണിത സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഫലങ്ങളും (പ്രത്യേകിച്ച് പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം) പൈതഗോറസ് ഈജിപ്തിലേക്കുള്ള തൻ്റെ വളരെ നീണ്ട "ബിസിനസ് യാത്രയിൽ" പുരാതന ഈജിപ്തുകാരിൽ നിന്ന് കടമെടുത്തു (ചില വിവരങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, പൈതഗോറസ് ഈജിപ്തിൽ 22 വർഷം താമസിച്ചു!). അതിനാൽ, പൈതഗോറസ് പുരാതന ഈജിപ്തുകാരിൽ നിന്നും (ഒരുപക്ഷേ പുരാതന ബാബിലോണിയക്കാരിൽ നിന്നും, ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പൈതഗോറസ് ജീവിച്ചിരുന്നതിനാൽ, സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് കടമെടുത്തിട്ടുണ്ടാകാമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. പുരാതന ബാബിലോൺ 12 വയസ്സ്). എന്നാൽ ഈജിപ്തുകാർക്ക് അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നതിന് കൂടുതൽ ശക്തമായ തെളിവുകളുണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ച്, ബ്രിട്ടീഷ് മ്യൂസിയത്തിൽ ടോളമിക് കാലഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഡൈ ഉണ്ട്, അതിൻ്റെ ആകൃതിയുണ്ട് ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, അതായത്, "പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്", ഡ്യുവൽ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ. ഈ വസ്തുതകളെല്ലാം നമുക്ക് അനുമാനം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാനുള്ള അവകാശം നൽകുന്നു ഈജിപ്തുകാർക്ക് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ അറിയാമായിരുന്നു.ഇത് അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് വളരെ യോജിപ്പുള്ള ഒരു സംവിധാനം പിന്തുടരുന്നു, ഇത് ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടറിൻ്റെ ഉത്ഭവവും അതേ സമയം സമയ ഇടവേളകളും ജ്യാമിതീയ കോണുകളും അളക്കുന്ന ഈജിപ്ഷ്യൻ സമ്പ്രദായത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവവും വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

മുമ്പ്, ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിന് അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ 12 മുഖങ്ങളും 30 അരികുകളും 60 പരന്ന കോണുകളും ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചു (പട്ടിക 1). ഈജിപ്തുകാർക്ക് അറിയാമായിരുന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺഅതിൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ 12, 30. 60 ആണ്, അപ്പോൾ അതേ സംഖ്യകൾ സൗരയൂഥത്തിൻ്റെ ചക്രങ്ങളെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ അവർ എന്താണ് അത്ഭുതപ്പെടുത്തിയത്, അതായത്, വ്യാഴത്തിൻ്റെ 12-വർഷ ചക്രം, ശനിയുടെ 30 വർഷത്തെ ചക്രം, ഒടുവിൽ, സൗരയൂഥത്തിൻ്റെ 60 വർഷത്തെ വേനൽക്കാല ചക്രം. അങ്ങനെ, അത്തരം ഒരു തികഞ്ഞ സ്പേഷ്യൽ ചിത്രം തമ്മിലുള്ള ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ, സൗരയൂഥത്തിനും ആഴത്തിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ബന്ധമുണ്ട്! പുരാതന ശാസ്ത്രജ്ഞരാണ് ഈ നിഗമനം നടത്തിയത്. ഇത് വസ്തുതയിലേക്ക് നയിച്ചു ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺപ്രതീകാത്മകമായ "പ്രധാന വ്യക്തി" ആയി സ്വീകരിച്ചു പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ഹാർമണി. ഈജിപ്തുകാർ അവരുടെ എല്ലാ പ്രധാന സംവിധാനങ്ങളും (കലണ്ടർ സിസ്റ്റം, ടൈം മെഷർമെൻ്റ് സിസ്റ്റം, ആംഗിൾ മെഷർമെൻ്റ് സിസ്റ്റം) സംഖ്യാ പാരാമീറ്ററുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടണമെന്ന് തീരുമാനിച്ചു. ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ! പൂർവ്വികരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ക്രാന്തിവൃത്തത്തിലൂടെയുള്ള സൂര്യൻ്റെ ചലനം കർശനമായി വൃത്താകൃതിയിലായതിനാൽ, രാശിചക്രത്തിൻ്റെ 12 അടയാളങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത്, കൃത്യം 30 ° ആയിരുന്നു, ഈജിപ്തുകാർ സൂര്യൻ്റെ വാർഷിക ചലനത്തെ അതിശയകരമാംവിധം മനോഹരമായി ഏകോപിപ്പിച്ചു. ക്രാന്തിവൃത്തത്തിൽ അവയുടെ കലണ്ടർ വർഷത്തിൻ്റെ ഘടനയോടൊപ്പം: രാശിചക്രത്തിൻ്റെ രണ്ട് അയൽ രാശികൾക്കിടയിലുള്ള ക്രാന്തിവൃത്തത്തിൽ സൂര്യൻ്റെ ചലനവുമായി ഒരു മാസം പൊരുത്തപ്പെടുന്നു!മാത്രമല്ല, സൂര്യൻ്റെ ചലനം ഒരു ഡിഗ്രി ഈജിപ്ഷ്യൻ കലണ്ടർ വർഷത്തിലെ ഒരു ദിവസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു! ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്രാന്തിവൃത്തം യാന്ത്രികമായി 360° ആയി വിഭജിക്കപ്പെട്ടു. ഓരോ ദിവസവും രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച്, ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിനെ പിന്തുടർന്ന്, ഈജിപ്തുകാർ ദിവസത്തിൻ്റെ ഓരോ പകുതിയും 12 ഭാഗങ്ങളായി (12 മുഖങ്ങൾ) വിഭജിച്ചു. ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ) അതുവഴി അവതരിപ്പിച്ചു മണിക്കൂർ- സമയത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട യൂണിറ്റ്. ഒരു മണിക്കൂറിനെ 60 മിനിറ്റായി വിഭജിക്കുന്നു (ഉപരിതലത്തിൽ 60 തലം കോണുകൾ ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ), ഈജിപ്തുകാർ ഈ രീതിയിൽ അവതരിപ്പിച്ചു മിനിറ്റ്- സമയത്തിൻ്റെ അടുത്ത പ്രധാന യൂണിറ്റ്. അതേ രീതിയിൽ അവർ അവതരിപ്പിച്ചു എനിക്ക് ഒരു നിമിഷം തരൂ- ആ കാലയളവിലെ സമയത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ യൂണിറ്റ്.

അങ്ങനെ, തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺപ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ പ്രധാന "ഹാർമോണിക്" വ്യക്തിയെന്ന നിലയിൽ, ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ 12, 30, 60 ൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ കർശനമായി പിന്തുടർന്ന്, ഈജിപ്തുകാർക്ക് വളരെ യോജിച്ച കലണ്ടറും സമയവും കോണീയ മൂല്യങ്ങളും അളക്കുന്നതിനുള്ള സംവിധാനങ്ങളും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. ഈ സംവിധാനങ്ങൾ സുവർണ്ണ അനുപാതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അവരുടെ "ഹാർമണി സിദ്ധാന്തവുമായി" പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കാരണം ഈ അനുപാതമാണ് അടിവരയിടുന്നത്. ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ.

താരതമ്യത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന ആശ്ചര്യകരമായ നിഗമനങ്ങൾ ഇവയാണ്: ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺസൗരയൂഥത്തോടൊപ്പം. നമ്മുടെ അനുമാനം ശരിയാണെങ്കിൽ (ആരെങ്കിലും അതിനെ നിരാകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കട്ടെ), അനേക സഹസ്രാബ്ദങ്ങളായി മനുഷ്യരാശി ജീവിക്കുന്നു. സുവർണ്ണ അനുപാതത്തിൻ്റെ അടയാളത്തിന് കീഴിൽ! ഓരോ തവണയും ഞങ്ങളുടെ വാച്ചിൻ്റെ ഡയൽ നോക്കുമ്പോൾ, അത് സംഖ്യാ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ ഉപയോഗത്തിലും നിർമ്മിച്ചതാണ് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ 12, 30, 60, ഞങ്ങൾ പ്രധാന "മിസ്റ്ററി ഓഫ് ദി യൂണിവേഴ്സ്" - സുവർണ്ണ അനുപാതം, അത് പോലും അറിയാതെ സ്പർശിക്കുന്നു!

ഡാൻ ഷെക്ത്മാൻ്റെ ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ

1984 നവംബർ 12-ന്, ഇസ്രായേൽ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡാൻ ഷെക്റ്റ്മാൻ എഴുതിയ ഫിസിക്കൽ റിവ്യൂ ലെറ്റേഴ്സ് എന്ന പ്രശസ്ത ജേണലിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഒരു ചെറിയ പ്രബന്ധം അസാധാരണമായ ഗുണങ്ങളുള്ള ഒരു ലോഹസങ്കരത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിന് പരീക്ഷണാത്മക തെളിവുകൾ നൽകി. ഇലക്ട്രോൺ ഡിഫ്രാക്ഷൻ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പഠിച്ചപ്പോൾ, ഈ അലോയ് ഒരു ക്രിസ്റ്റലിൻ്റെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും കാണിച്ചു. അതിൻ്റെ ഡിഫ്രാക്ഷൻ പാറ്റേൺ ഒരു ക്രിസ്റ്റൽ പോലെ തിളങ്ങുന്നതും പതിവായി അകലത്തിലുള്ളതുമായ ഡോട്ടുകൾ ചേർന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ജ്യാമിതീയ കാരണങ്ങളാൽ ക്രിസ്റ്റലിൽ കർശനമായി നിരോധിച്ചിരിക്കുന്ന "ഐക്കോസഹെഡ്രൽ" അല്ലെങ്കിൽ "പെൻ്റംഗണൽ" സമമിതിയുടെ സാന്നിധ്യം ഈ ചിത്രത്തിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്. അത്തരം അസാധാരണമായ ലോഹസങ്കരങ്ങളാണ് വിളിച്ചിരുന്നത് ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ.ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള മറ്റ് പല ലോഹസങ്കരങ്ങളും കണ്ടെത്തി. അവയിൽ പലതും ഉണ്ടായിരുന്നു, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലിൻ അവസ്ഥ ഒരാൾ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലും വളരെ സാധാരണമായി മാറി.

ഇസ്രായേലി ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡാൻ ഷെക്റ്റ്മാൻ

ക്വാസിക്രിസ്റ്റൽ എന്ന ആശയം അടിസ്ഥാന താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്, കാരണം അത് ഒരു ക്രിസ്റ്റലിൻ്റെ നിർവചനം സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും പൂർത്തിയാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം പഴയ ആശയത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു " ഘടനാപരമായ യൂണിറ്റ്, ബഹിരാകാശത്ത് കർശനമായി ആനുകാലികമായി ആവർത്തിക്കുന്നു”, പ്രധാന ആശയം ദീർഘദൂര ക്രമം.പ്രശസ്ത ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡി. ഗ്രേഷ്യയുടെ "ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ" എന്ന ലേഖനത്തിൽ ഊന്നിപ്പറഞ്ഞതുപോലെ, “ഈ ആശയം ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിയുടെ വികാസത്തിലേക്ക് നയിച്ചു, പുതുതായി കണ്ടെത്തിയ സമ്പത്ത്, ഞങ്ങൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ തുടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ധാതുക്കളുടെ ലോകത്ത് അതിൻ്റെ പ്രാധാന്യം ഗണിതത്തിലെ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളോട് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിന് തുല്യമായി കണക്കാക്കാം."

എന്താണ് ക്വാസിക്രിസ്റ്റൽ? അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്, അത് എങ്ങനെ വിവരിക്കാം? മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അനുസരിച്ച് ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിയുടെ അടിസ്ഥാന നിയമംക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയിൽ കർശന നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ക്ലാസിക്കൽ ആശയങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു സെല്ലിൽ നിന്ന് അനന്തമായി ഒരു ക്രിസ്റ്റൽ രചിക്കപ്പെടുന്നു, അത് യാതൊരു നിയന്ത്രണവുമില്ലാതെ മുഴുവൻ വിമാനത്തെയും കർശനമായി (മുഖാമുഖം) "കവർ" ചെയ്യണം.

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, വിമാനത്തിൻ്റെ ഇടതൂർന്ന പൂരിപ്പിക്കൽ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താം ത്രികോണങ്ങൾ(ചിത്രം 7-എ), ചതുരങ്ങൾ(Fig.7-b) കൂടാതെ ഷഡ്ഭുജങ്ങൾ(ചിത്രം.7-ഡി). ഉപയോഗിച്ച് പെൻ്റഗണുകൾ (പെൻ്റഗണുകൾ) അത്തരം പൂരിപ്പിക്കൽ അസാധ്യമാണ് (ചിത്രം 7-സി).

എ)	b)	വി)	ജി)

ചിത്രം 7.ത്രികോണങ്ങൾ (എ), ചതുരങ്ങൾ (ബി), ഷഡ്ഭുജങ്ങൾ (ഡി) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് വിമാനത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രമായ പൂരിപ്പിക്കൽ നടത്താം.

അലൂമിനിയത്തിൻ്റെയും മാംഗനീസിൻ്റെയും അസാധാരണമായ അലോയ്, ക്വാസിക്രിസ്റ്റൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന് മുമ്പ് നിലനിന്നിരുന്ന പരമ്പരാഗത ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫിയുടെ കാനോനുകളായിരുന്നു ഇവ. സെക്കൻഡിൽ 10 6 കെ എന്ന നിരക്കിൽ ഉരുകുന്നതിൻ്റെ അൾട്രാ ഫാസ്റ്റ് കൂളിംഗ് വഴിയാണ് അത്തരമൊരു അലോയ് രൂപപ്പെടുന്നത്. മാത്രമല്ല, അത്തരമൊരു അലോയ്‌യുടെ ഡിഫ്രാക്ഷൻ പഠന സമയത്ത്, സ്‌ക്രീനിൽ ഒരു ഓർഡർ ചെയ്ത പാറ്റേൺ ദൃശ്യമാകുന്നു, ഇത് ഒരു ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ സമമിതിയുടെ സവിശേഷതയാണ്, ഇതിന് പ്രശസ്തമായ വിലക്കപ്പെട്ട 5-ആം ഓർഡർ സമമിതി അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്.

അടുത്ത കുറച്ച് വർഷങ്ങളിൽ ലോകമെമ്പാടുമുള്ള നിരവധി ശാസ്ത്ര ഗ്രൂപ്പുകൾ ഈ അസാധാരണ അലോയ് പഠിച്ചു ഇലക്ട്രോൺ മൈക്രോസ്കോപ്പികൂടുതല് വ്യക്തത. അവയെല്ലാം പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യമായ ഏകതാനത സ്ഥിരീകരിച്ചു, അതിൽ 5-ആം ക്രമ സമമിതി ആറ്റങ്ങളുടെ അളവുകളോട് (പത്തിരുപത് നാനോമീറ്ററുകൾ) മാക്രോസ്കോപ്പിക് പ്രദേശങ്ങളിൽ സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടു.

ആധുനിക വീക്ഷണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലിൻ്റെ ക്രിസ്റ്റൽ ഘടന ലഭിക്കുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന മാതൃക വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഈ മാതൃക ഒരു "അടിസ്ഥാന ഘടകം" എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഈ മാതൃക അനുസരിച്ച്, അലൂമിനിയം ആറ്റങ്ങളുടെ ആന്തരിക ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ മാംഗനീസ് ആറ്റങ്ങളുടെ ഒരു ബാഹ്യ ഐക്കോസഹെഡ്രോണാൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഐക്കോസഹെഡ്രോണുകൾ മാംഗനീസ് ആറ്റങ്ങളുടെ ഒക്ടാഹെഡ്രയാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന മൂലകത്തിൽ 42 അലുമിനിയം ആറ്റങ്ങളും 12 മാംഗനീസ് ആറ്റങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ദൃഢീകരണ പ്രക്രിയയിൽ, "അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളുടെ" ദ്രുതഗതിയിലുള്ള രൂപീകരണം സംഭവിക്കുന്നു, അവ കർക്കശമായ ഒക്ടാഹെഡ്രൽ "പാലങ്ങൾ" വഴി പരസ്പരം വേഗത്തിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ മുഖങ്ങൾ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് ഓർക്കുക. ഒക്ടാഹെഡ്രൽ മാംഗനീസ് പാലം രൂപപ്പെടുന്നതിന്, അത്തരം രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ (ഓരോ സെല്ലിലും ഒന്ന്) പരസ്പരം അടുത്ത് വരികയും സമാന്തരമായി അണിനിരക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇതിൻ്റെ ഫലമായി ശാരീരിക പ്രക്രിയകൂടാതെ "ഐക്കോസഹെഡ്രൽ" സമമിതിയുള്ള ഒരു ക്വാസിക്രിസ്റ്റലിൻ ഘടന രൂപപ്പെടുന്നു.

സമീപ ദശകങ്ങളിൽ, പല തരത്തിലുള്ള ക്വാസിക്രിസ്റ്റലിൻ അലോയ്‌കൾ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. "ഐക്കോസഹെഡ്രൽ" സമമിതി (5-ആം ഓർഡർ) ഉള്ളവയ്ക്ക് പുറമേ, ദശാംശ സമമിതിയും (10-ആം ക്രമം), ഡോഡെകഗണൽ സമമിതിയും (12-ആം ക്രമം) ഉള്ള അലോയ്കളും ഉണ്ട്. ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ ഭൗതിക ഗുണങ്ങൾ അടുത്തകാലത്താണ് പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്.

ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ കണ്ടെത്തലിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യം എന്താണ്? മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ഗ്രേഷ്യയുടെ ലേഖനത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, « മെക്കാനിക്കൽ ശക്തിക്വാസിക്രിസ്റ്റലിൻ അലോയ്കൾ കുത്തനെ വർദ്ധിക്കുന്നു; ആനുകാലികതയുടെ അഭാവം പരമ്പരാഗത ലോഹങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിലെ മാന്ദ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു... ഈ ഗുണത്തിന് വലിയ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുണ്ട്: ഐക്കോസഹെഡ്രൽ ഘട്ടത്തിൻ്റെ ഉപയോഗം ചെറിയ കണികകൾ അവതരിപ്പിച്ച് പ്രകാശവും വളരെ ശക്തമായ ലോഹസങ്കരങ്ങളും ലഭിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കും. അലൂമിനിയം മാട്രിക്സിലേക്ക് ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ.

ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ കണ്ടെത്തലിൻ്റെ രീതിശാസ്ത്രപരമായ പ്രാധാന്യം എന്താണ്? ഒന്നാമതായി, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ കണ്ടെത്തൽ "ഡോഡെകഹെഡ്രൽ-ഐക്കോസഹെഡ്രൽ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ" മഹത്തായ വിജയത്തിൻ്റെ നിമിഷമാണ്, അത് പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ചരിത്രത്തിലും വ്യാപിക്കുകയും ആഴമേറിയതും ഉപയോഗപ്രദവുമായ ശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളുടെ ഉറവിടവുമാണ്. രണ്ടാമതായി, ധാതുക്കളുടെ ലോകം തമ്മിലുള്ള അതിരുകടന്ന വിഭജനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പരമ്പരാഗത ആശയം ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ നശിപ്പിച്ചു, അതിൽ "പെൻ്റഗണൽ" സമമിതി നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ "പെൻ്റഗണൽ" സമമിതി ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഒന്നാണ് ജീവിക്കുന്ന പ്രകൃതിയുടെ ലോകം. ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ പ്രധാന അനുപാതം "സുവർണ്ണ അനുപാതം" ആണെന്ന് നാം മറക്കരുത്. ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ കണ്ടെത്തൽ മറ്റൊരു ശാസ്ത്രീയ സ്ഥിരീകരണമാണ്, ഒരുപക്ഷേ, ഇത് "സുവർണ്ണ അനുപാതം" ആണ്, അത് ജീവജാലങ്ങളുടെ ലോകത്തും ധാതുക്കളുടെ ലോകത്തും പ്രകടമാണ്, അതാണ് പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ പ്രധാന അനുപാതം.

പെൻറോസ് ടൈലുകൾ

ഡാൻ ഷെഖ്ത്മാൻ ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ അസ്തിത്വത്തിന് പരീക്ഷണാത്മക തെളിവ് നൽകിയപ്പോൾ ഐക്കോസഹെഡ്രൽ സമമിതി, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ പ്രതിഭാസത്തിന് സൈദ്ധാന്തിക വിശദീകരണം തേടുന്ന ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞർ, ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ റോജർ പെൻറോസ് 10 വർഷം മുമ്പ് നടത്തിയ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര കണ്ടെത്തലിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു. ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ ഒരു "ഫ്ലാറ്റ് അനലോഗ്" എന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു പെൻറോസ് ടൈലുകൾ, "കട്ടിയുള്ള", "നേർത്ത" റോംബസുകളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന, "സ്വർണ്ണ വിഭാഗത്തിൻ്റെ" അനുപാതങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്ന അപെരിയോഡിക് റെഗുലർ ഘടനകളാണ്. കൃത്യമായി പെൻറോസ് ടൈലുകൾഈ പ്രതിഭാസം വിശദീകരിക്കാൻ ക്രിസ്റ്റലോഗ്രാഫർമാർ സ്വീകരിച്ചു ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ. അതേ സമയം വേഷവും പെൻറോസ് വജ്രങ്ങൾത്രിമാന സ്ഥലത്ത് കളിക്കാൻ തുടങ്ങി ഐക്കോസഹെഡ്രോണുകൾ, അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ഇടതൂർന്ന പൂരിപ്പിക്കൽ നടത്തുന്നു.

ചിത്രത്തിലെ പെൻ്റഗണിനെ നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം. 8.

ചിത്രം 8.പെൻ്റഗൺ

അതിൽ ഡയഗണലുകൾ വരച്ച ശേഷം, യഥാർത്ഥ പെൻ്റഗണിനെ മൂന്ന് തരം ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. മധ്യഭാഗത്ത് ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാൽ രൂപംകൊണ്ട ഒരു പുതിയ പെൻ്റഗൺ ഉണ്ട്. കൂടാതെ, ചിത്രത്തിലെ പെൻ്റഗൺ. 8 ൽ നിറമുള്ള അഞ്ച് ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു മഞ്ഞ, കൂടാതെ അഞ്ച് ഐസോസിലിസ് ത്രികോണങ്ങൾ ചുവപ്പ് നിറത്തിലാണ്. മഞ്ഞ ത്രികോണങ്ങൾ "സ്വർണ്ണം" ആണ്, കാരണം ഹിപ്പിൻ്റെ അടിഭാഗത്തിൻ്റെ അനുപാതം സുവർണ്ണ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്; അവയ്ക്ക് അഗ്രഭാഗത്ത് 36° നിശിതകോണുകളും അടിഭാഗത്ത് 72° തീവ്രമായ കോണുകളുമുണ്ട്. ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളും "സ്വർണ്ണം" ആണ്, കാരണം ഇടുപ്പിൻ്റെ അടിഭാഗത്തിൻ്റെ അനുപാതം സ്വർണ്ണ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്; അവയ്ക്ക് അഗ്രഭാഗത്ത് 108° ചരിഞ്ഞ കോണും അടിഭാഗത്ത് 36° നിശിതകോണും ഉണ്ട്.

ഇനി നമുക്ക് രണ്ട് മഞ്ഞ ത്രികോണങ്ങളെയും രണ്ട് ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളെയും അവയുടെ അടിത്തറയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാം. തൽഫലമായി, നമുക്ക് രണ്ടെണ്ണം ലഭിക്കും "സ്വർണ്ണ" റോംബസ്. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് (മഞ്ഞ) 36 ° ൻ്റെ നിശിത കോണും 144 ° (ചിത്രം 9) കോണും ഉണ്ട്.

(എ)	(ബി)

ചിത്രം 9."ഗോൾഡൻ" റോംബസ്: a) "നേർത്ത" റോംബസ്; (ബി) "കട്ടിയുള്ള" റോംബസ്

ചിത്രത്തിൽ ഡയമണ്ട്. ഞങ്ങൾ അതിനെ 9 എന്ന് വിളിക്കും നേർത്ത റോംബസ്,ചിത്രത്തിലെ റോംബസും. 9-ബി - കട്ടിയുള്ള റോംബസ്.

ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ റോജേഴ്സ് പെൻറോസ് ചിത്രത്തിൽ "സ്വർണ്ണ" വജ്രങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു. 9 "ഗോൾഡൻ" പാർക്കറ്റിൻ്റെ നിർമ്മാണത്തിനായി, അതിനെ വിളിച്ചിരുന്നു പെൻറോസ് ടൈലുകൾ.ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന കട്ടിയുള്ളതും നേർത്തതുമായ വജ്രങ്ങളുടെ സംയോജനമാണ് പെൻറോസ് ടൈലുകൾ. 10.

ചിത്രം 10. പെൻറോസ് ടൈലുകൾ

അത് ഊന്നിപ്പറയേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് പെൻറോസ് ടൈലുകൾ"പെൻ്റഗണൽ" സമമിതി അല്ലെങ്കിൽ 5-ആം ക്രമ സമമിതി ഉണ്ട്, കട്ടിയുള്ള റോംബസുകളുടെ എണ്ണവും നേർത്തവയും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സ്വർണ്ണ അനുപാതത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു!

ഫുള്ളറീൻസ്

ഇനി നമുക്ക് മറ്റൊരു മികച്ച കാര്യത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം ആധുനിക കണ്ടെത്തൽരസതന്ത്ര മേഖലയിൽ. ഈ കണ്ടുപിടിത്തം നടന്നത് 1985-ലാണ്, അതായത് ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾക്ക് വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം. നമ്മൾ "ഫുല്ലറീൻസ്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്. "fullerenes" എന്ന പദം C 60, C 70, C 76, C 84 തരം അടഞ്ഞ തന്മാത്രകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിൽ എല്ലാ കാർബൺ ആറ്റങ്ങളും ഗോളാകൃതിയിലോ ഗോളാകൃതിയിലോ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഈ തന്മാത്രകളിൽ, ഒരു ഗോളത്തിൻ്റെയോ ഗോളത്തിൻ്റെയോ ഉപരിതലത്തെ മൂടുന്ന സാധാരണ ഷഡ്ഭുജങ്ങളുടെ അല്ലെങ്കിൽ പെൻ്റഗണുകളുടെ ലംബങ്ങളിലാണ് കാർബൺ ആറ്റങ്ങൾ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഫുള്ളറീനുകൾക്കിടയിലെ കേന്ദ്ര സ്ഥാനം C 60 തന്മാത്രയാണ്, ഇത് ഏറ്റവും വലിയ സമമിതിയും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലമായി ഏറ്റവും വലിയ സ്ഥിരതയുമാണ്. ഈ ടയർ ആകൃതിയിലുള്ള തന്മാത്രയിൽ സോക്കർ പന്ത്സാധാരണ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഘടന (ചിത്രം 2-ഇ, ചിത്രം 3), കാർബൺ ആറ്റങ്ങൾ 20 സാധാരണ ഷഡ്ഭുജങ്ങളുടെയും 12 സാധാരണ പെൻ്റഗണുകളുടെയും ലംബങ്ങളിൽ ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള പ്രതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ ഓരോ ഷഡ്ഭുജവും മൂന്ന് ഷഡ്ഭുജങ്ങൾക്കും മൂന്ന് പെൻ്റഗണുകൾക്കും അതിർത്തി നൽകുന്നു. , ഓരോ പെൻ്റഗണും ഷഡ്ഭുജങ്ങളുടെ അതിർത്തികൾ.

അമേരിക്കൻ വാസ്തുശില്പിയായ ബക്ക്മിൻസ്റ്റർ ഫുള്ളറുടെ പേരിൽ നിന്നാണ് "ഫുല്ലറീൻ" എന്ന പദം ഉത്ഭവിച്ചത്, കെട്ടിടങ്ങളുടെ താഴികക്കുടങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ അത്തരം ഘടനകൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു (വെട്ടിയ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ മറ്റൊരു ഉപയോഗം!).

അടിസ്ഥാന ഭൗതികശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിൽ നിന്ന് ഉയർന്നുവരുന്ന "മനുഷ്യനിർമ്മിത" ഘടനകളാണ് "ഫുല്ലറീനുകൾ". ശാസ്ത്രജ്ഞരായ ജി. ക്രോട്ടോയും ആർ. സ്മാലിയും (ഈ കണ്ടുപിടുത്തത്തിന് 1996-ൽ നോബൽ സമ്മാനം ലഭിച്ചു) ആണ് അവ ആദ്യമായി സമന്വയിപ്പിച്ചത്. എന്നാൽ പ്രീകാംബ്രിയൻ കാലഘട്ടത്തിലെ പാറകളിൽ അവ അപ്രതീക്ഷിതമായി കണ്ടെത്തി, അതായത്, ഫുള്ളറീനുകൾ "മനുഷ്യനിർമ്മിതം" മാത്രമല്ല, പ്രകൃതിദത്ത രൂപീകരണങ്ങളും ആയി മാറി. ഫുള്ളറീനുകൾ ഇപ്പോൾ ലബോറട്ടറികളിൽ തീവ്രമായി പഠിക്കുന്നു. വിവിധ രാജ്യങ്ങൾ, അവയുടെ രൂപീകരണം, ഘടന, ഗുണങ്ങൾ, പ്രയോഗത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ മേഖലകൾ എന്നിവയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ സ്ഥാപിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. ഫുള്ളറിൻ കുടുംബത്തിലെ ഏറ്റവും പൂർണ്ണമായി പഠിച്ച പ്രതിനിധി ഫുള്ളറിൻ-60 (സി 60) (ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ ബക്ക്മിൻസ്റ്റർ ഫുള്ളറീൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഫുള്ളറീൻ സി 70, സി 84 എന്നിവയും അറിയപ്പെടുന്നു. ഹീലിയം അന്തരീക്ഷത്തിൽ ഗ്രാഫൈറ്റ് ബാഷ്പീകരിക്കുന്നതിലൂടെ ഫുള്ളറിൻ സി 60 ലഭിക്കും. ഇത് ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. 10% കാർബൺ അടങ്ങിയ, ബെൻസീനിൽ ലയിക്കുമ്പോൾ, പൊടി ഒരു ചുവന്ന ലായനി നൽകുന്നു, അതിൽ നിന്ന് C 60 പരലുകൾ വളരുന്നു, കൂടാതെ അസാധാരണമായ രാസ ഗുണങ്ങളുമുണ്ട്. ഭൌതിക ഗുണങ്ങൾ. അതെ, എപ്പോൾ ഉയർന്ന രക്തസമ്മർദ്ദം 60 മുതൽ അത് വജ്രം പോലെ കഠിനമാകും. അതിൻ്റെ തന്മാത്രകൾ ഒരു സ്ഫടിക ഘടന ഉണ്ടാക്കുന്നു, തികച്ചും മിനുസമാർന്ന പന്തുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതുപോലെ, മുഖം കേന്ദ്രീകരിച്ചുള്ള ക്യൂബിക് ലാറ്റിസിൽ സ്വതന്ത്രമായി കറങ്ങുന്നു. ഈ പ്രോപ്പർട്ടിക്ക് നന്ദി, C 60 ഒരു സോളിഡ് ലൂബ്രിക്കൻ്റായി ഉപയോഗിക്കാം. ഫുള്ളറിനുകൾക്ക് കാന്തിക, അതിചാലക ഗുണങ്ങളുമുണ്ട്.

റഷ്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞരായ എ.വി. എലെറ്റ്സ്കിയും ബി.എം. "ഉസ്പെക്കി ഫിസിഷെസ്കിഖ് നൗക്ക്" (1993, വാല്യം 163, നമ്പർ 2) എന്ന ജേണലിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച "ഫുല്ലറെൻസ്" എന്ന തൻ്റെ ലേഖനത്തിൽ സ്മിർനോവ് ശ്രദ്ധിക്കുക. "fullerenes, അതിൻ്റെ അസ്തിത്വം സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു 80-കളുടെ മധ്യത്തിൽ, ഒപ്പം കാര്യക്ഷമമായ സാങ്കേതികവിദ്യ 1990 ൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ഒറ്റപ്പെടൽ ഇപ്പോൾ ഡസൻ കണക്കിന് ശാസ്ത്ര ഗ്രൂപ്പുകളുടെ തീവ്രമായ ഗവേഷണ വിഷയമായി മാറിയിരിക്കുന്നു. ഈ പഠനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ ആപ്ലിക്കേഷൻ സ്ഥാപനങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി നിരീക്ഷിക്കുന്നു. കാർബണിൻ്റെ ഈ പരിഷ്‌ക്കരണം ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് നിരവധി ആശ്ചര്യങ്ങൾ സമ്മാനിച്ചതിനാൽ, അടുത്ത ദശകത്തിൽ ഫുള്ളറീൻ പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രവചനങ്ങളും സാധ്യമായ അനന്തരഫലങ്ങളും ചർച്ച ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിശൂന്യമാണ്, എന്നാൽ പുതിയ ആശ്ചര്യങ്ങൾക്ക് ഒരാൾ തയ്യാറാകണം.

സ്ലോവേനിയൻ കലാകാരനായ മത്യുഷ്ക തേജ ക്രാസെക്കിൻ്റെ കലാലോകം

മാറ്റ്ജൂസ്ക തേജ ക്രാസെക്ക് കോളേജ് ഓഫ് വിഷ്വൽ ആർട്സിൽ നിന്ന് (ലുബ്ലിയാന, സ്ലോവേനിയ) പെയിൻ്റിംഗിൽ ബിഎ നേടി, കൂടാതെ ഒരു ഫ്രീലാൻസ് ആർട്ടിസ്റ്റുമാണ്. ലുബ്ലിയാനയിൽ താമസിക്കുകയും ജോലി ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. അവളുടെ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രവർത്തനം കലയ്ക്കും ശാസ്ത്രത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഒരു പാലം എന്ന നിലയിൽ സമമിതിയിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. അവളുടെ കലാസൃഷ്ടികൾ പലരിലും അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട് അന്താരാഷ്ട്ര പ്രദർശനങ്ങൾഎന്നിവയിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു അന്താരാഷ്ട്ര മാസികകൾ(ലിയോനാർഡോ ജേണൽ, ലിയോനാർഡോ ഓൺലൈൻ).

എം.ടി. 2005 ലെ ലുബ്ലിയാനയിലെ 'കാലിഡോസ്കോപ്പിക് സുഗന്ധങ്ങൾ' എന്ന തൻ്റെ എക്സിബിഷനിൽ ക്രാസെക്ക്

മദർ ടിയ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ കലാപരമായ സർഗ്ഗാത്മകത വിവിധ തരത്തിലുള്ള സമമിതികൾ, പെൻറോസ് ടൈലുകൾ, റോംബസുകൾ, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ, സമമിതിയുടെ പ്രധാന ഘടകമായ സുവർണ്ണ അനുപാതം, ഫിബൊനാച്ചി സംഖ്യകൾ മുതലായവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പ്രതിഫലനം, ഭാവന, അവബോധം എന്നിവയുടെ സഹായത്തോടെ അവൾ ശ്രമിക്കുന്നു. പുതിയ ബന്ധങ്ങൾ, ഘടനയുടെ പുതിയ തലങ്ങൾ, പുതിയത് എന്നിവ തിരഞ്ഞെടുക്കുക പല തരംഈ ഘടകങ്ങളിലും ഘടനകളിലും ക്രമം. അവളുടെ കൃതികളിൽ, സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപകരണമായി അവൾ കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു കലാസൃഷ്ടി, ഇത് ശാസ്ത്രവും ഗണിതവും കലയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ്.

ചിത്രത്തിൽ. 11 ടി.എമ്മിൻ്റെ ഘടന കാണിക്കുന്നു. ക്രാഷെക് ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ സ്പഷ്ടമായി അസ്ഥിരമായ രചനയിൽ പെൻറോസ് ഡയമണ്ടിൻ്റെ വശത്തെ നീളത്തിനായി ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകളിലൊന്ന് (ഉദാഹരണത്തിന്, 21 സെൻ്റീമീറ്റർ) തിരഞ്ഞെടുത്താൽ, കോമ്പോസിഷനിലെ ചില സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ നീളം എങ്ങനെ ഒരു ഫിബൊനാച്ചി സീക്വൻസ് ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നിരീക്ഷിക്കാനാകും.

ചിത്രം 11.മദർ ടിയ ക്രാഷെക് "ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകൾ", ക്യാൻവാസ്, 1998.

കലാകാരൻ്റെ കലാപരമായ കോമ്പോസിഷനുകളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യ ഷെക്റ്റ്മാൻ ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾക്കും പെൻറോസ് ലാറ്റിസുകൾക്കും സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 12).

(എ)	(ബി)

(വി)	(ജി)

ചിത്രം 12.തിയാ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ ലോകം: (എ) ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകളുടെ ലോകം. കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, 1996.
(ബി) നക്ഷത്രങ്ങൾ. കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, 1998 (സി) 10/5. ക്യാൻവാസ്, 1998 (ഗ്രാം) ക്വാസി-ക്യൂബ്. ക്യാൻവാസ്, 1999

മദർ തിയ ക്രാഷെക്, ക്ലിഫോർഡ് പിക്കോവർ എന്നിവരുടെ ബയോജെനിസിസ്, 2005 (ചിത്രം 13) രചനയിൽ പെൻറോസ് വജ്രങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു ദശാംശമുണ്ട്. പെട്രോസിൻ്റെ റോംബസുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിരീക്ഷിക്കാവുന്നതാണ്; തൊട്ടടുത്തുള്ള ഓരോ രണ്ട് പെൻറോസ് വജ്രങ്ങളും ഒരു പെൻ്റഗണൽ നക്ഷത്രമായി മാറുന്നു.

ചിത്രം 13.അമ്മ തിയാ ക്രാഷെക്കും ക്ലിഫോർഡ് പിക്കോവറും. ബയോജനസിസ്, 2005.

ചിത്രത്തിൽ ഡബിൾ സ്റ്റാർ GA(ചിത്രം 14) പെൻറോസ് ടൈലുകൾ എങ്ങനെ സംയോജിപ്പിച്ച് ഒരു ദശാംശ അടിത്തറയുള്ള ഹൈപ്പർഡൈമൻഷണൽ വസ്തുവിൻ്റെ ദ്വിമാന പ്രതിനിധാനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. പെയിൻ്റിംഗ് ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ, ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചി നിർദ്ദേശിച്ച കർക്കശമായ എഡ്ജ് രീതിയാണ് കലാകാരൻ ഉപയോഗിച്ചത്. പെൻറോസ് റോംബസുകളുടെ വ്യക്തിഗത അരികുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന ധാരാളം പെൻ്റഗണുകളും പെൻ്റക്കിളുകളും ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് ചിത്രത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനിൽ കാണാൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നത് ഈ ചിത്രീകരണ രീതിയാണ്. കൂടാതെ, ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനിൽ, അടുത്തുള്ള 10 പെൻറോസ് റോംബസുകളുടെ അരികുകളാൽ രൂപപ്പെട്ട ഒരു ദശാംശം ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, ഈ ചിത്രത്തിൽ, മദർ ടീയ ക്രാഷെക് ഒരു പുതിയ സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ കണ്ടെത്തി, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രകൃതിയിൽ നിലവിലുണ്ട്.

ചിത്രം 14.അമ്മ തിയ ക്രാഷെക്. ഡബിൾ സ്റ്റാർ GA

ക്രാഷെക്കിൻ്റെ "സ്റ്റാർസ് ഫോർ ഡൊണാൾഡ്" (ചിത്രം 15) എന്ന രചനയിൽ, പെൻറോസ് റോംബസുകൾ, പെൻ്റഗ്രാമുകൾ, പെൻ്റഗണുകൾ എന്നിവയുടെ അനന്തമായ ഇടപെടൽ നമുക്ക് നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് രചനയുടെ കേന്ദ്ര ബിന്ദുവിലേക്ക് കുറയുന്നു. സുവർണ്ണ അനുപാത അനുപാതങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത സ്കെയിലുകളിൽ പല തരത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 15.മദർ തിയാ ക്രാഷെക് "സ്റ്റാർസ് ഫോർ ഡൊണാൾഡ്", കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, 2005.

മദർ ടിയ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ കലാപരമായ രചനകൾ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും കലയുടെയും പ്രതിനിധികളിൽ നിന്ന് വലിയ ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു. അവളുടെ കലയെ മൗറിറ്റ്സ് എഷറിൻ്റെ കലയുമായി തുല്യമാക്കുന്നു, സ്ലോവേനിയൻ കലാകാരനെ "കിഴക്കൻ യൂറോപ്യൻ എഷർ" എന്നും ലോക കലയ്ക്കുള്ള "സ്ലൊവേനിയൻ സമ്മാനം" എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സ്റ്റാഖോവ് എ.പി. "ദ ഡാവിഞ്ചി കോഡ്", പ്ലാറ്റോണിക്, ആർക്കിമിഡിയൻ സോളിഡുകൾ, ക്വാസിക്രിസ്റ്റലുകൾ, ഫുല്ലെറൻസ്, പെൻറോസ് ലാറ്റിസുകൾ, മദർ ടെയ ക്രാഷെക്കിൻ്റെ കലാപരമായ ലോകം // "അക്കാദമി ഓഫ് ട്രിനിറ്റേറിയനിസം", എം., എൽ നമ്പർ 77-6567, പബ് 12511, 07. 2005

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡ്സ്

സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ ഞെട്ടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ സംഖ്യയുണ്ട്, എന്നാൽ വളരെ എളിമയുള്ള ഈ സ്ക്വാഡിന് വിവിധ ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ ആഴങ്ങളിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിഞ്ഞു.

എൽ കരോൾ

മനുഷ്യൻ എപ്പോഴും പോളിഹെഡ്രയിൽ താൽപ്പര്യം കാണിച്ചിട്ടുണ്ട്. ചില പതിവ്, അർദ്ധ-റെഗുലർ ബോഡികൾ പ്രകൃതിയിൽ ക്രിസ്റ്റലുകളുടെ രൂപത്തിലാണ് സംഭവിക്കുന്നത്, മറ്റുള്ളവ - ഇലക്ട്രോൺ മൈക്രോസ്കോപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുന്ന വൈറസുകളുടെ രൂപത്തിൽ. എന്താണ് പോളിഹെഡ്രോൺ? ഒരു പോളിഹെഡ്രോൺ എന്നത് പരിമിതമായ എണ്ണം പരന്ന ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ശേഖരത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ഭാഗമാണ്.

"അനുയോജ്യമായ" അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളിൽ, അതായത് തുല്യ വശങ്ങളും തുല്യ കോണുകളുമുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളിൽ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് വളരെക്കാലമായി താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാധാരണ ബഹുഭുജത്തെ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമായി കണക്കാക്കാം, കാരണം ഇതിന് വിമാനത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം പരിമിതപ്പെടുത്താൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ വശങ്ങളുണ്ട്. സമഭുജ ത്രികോണത്തോടൊപ്പം നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ പൊതുവായ ചിത്രം ഇവയാണ്: ചതുരം (നാല് വശങ്ങൾ), പഞ്ചഭുജം (അഞ്ച് വശങ്ങൾ), ഷഡ്ഭുജം (ആറ് വശങ്ങൾ), അഷ്ടഭുജം (എട്ട് വശങ്ങൾ), ദശാംശം (പത്ത് വശങ്ങൾ) മുതലായവ. വ്യക്തമായും, സൈദ്ധാന്തികമായി ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതായത്, സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.

എന്താണ് ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ? ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പോളിഹെഡ്രോണാണ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ യോജിച്ചതാണ്) അതേ സമയം സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളാണ്. എത്ര സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകളുണ്ട്? യൂക്ലിഡിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ XIII പുസ്തകത്തിൽ, സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര അല്ലെങ്കിൽ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾക്കായി സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ടിമേയസ് എന്ന സംഭാഷണത്തിൽ പ്ലേറ്റോ അവ ചർച്ചചെയ്യുന്നു), അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിൻ്റെ കർശനമായ തെളിവ് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അവയുടെ മുഖങ്ങൾ മൂന്ന് തരം സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ മാത്രമായിരിക്കും: ത്രികോണങ്ങൾ, ചതുരങ്ങൾ, പെൻ്റഗണുകൾ.

കൃത്യമായി അഞ്ച് കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്ര ഉണ്ടെന്നതിൻ്റെ തെളിവ് വളരെ ലളിതമാണ്.

വ്യക്തമായും, ഒരു പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷകവും മൂന്നോ അതിലധികമോ മുഖങ്ങളുടേതാകാം. ആദ്യം, പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ മുഖങ്ങൾ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളായിരിക്കുമ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക. ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആന്തരിക കോൺ 60 ° ആയതിനാൽ, ഒരു തലത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന അത്തരം മൂന്ന് കോണുകൾ 180 ° വരെ കൂട്ടിച്ചേർക്കും. നമ്മൾ ഇപ്പോൾ ഈ കോണുകൾ അകത്തെ വശങ്ങളിൽ വളച്ച് പുറം വശങ്ങളിൽ ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിച്ചാൽ, നമുക്ക് ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഒരു പോളിഹെഡ്രൽ കോർണർ ലഭിക്കും - ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോൺ, ഓരോ ശീർഷത്തിലും മൂന്ന് സാധാരണ ത്രികോണ മുഖങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടുന്നു. കൂടെ മൂന്ന് സാധാരണ ത്രികോണങ്ങൾ പൊതുവായ ടോപ്പ്ടെട്രാഹെഡ്രോൺ ശീർഷത്തിൻ്റെ വികസനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ വെർട്ടെക്സ് വികസനത്തിലേക്ക് മറ്റൊരു ത്രികോണം ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആകെ 240 ° ആണ്. ഇത് അഷ്ടഹെഡ്രോണിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ വികാസമാണ്. അഞ്ചാമത്തെ ത്രികോണം ചേർക്കുന്നത് 300 ° കോണിൽ നൽകും - ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ വികസനം നമുക്ക് ലഭിക്കും. മറ്റൊരു, ആറാമത്തെ ത്രികോണം ചേർത്താൽ, കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 360° ആയി മാറുന്നു - ഈ വികസനം, വ്യക്തമായും, ഏതെങ്കിലും കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രോണുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ഇനി നമുക്ക് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മുഖങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. മൂന്ന് ചതുര മുഖങ്ങളുടെ വികാസത്തിന് 3 x 90° = 270° കോണുണ്ട് - ഇത് ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ ശീർഷകം സൃഷ്ടിക്കുന്നു, ഇതിനെ ഹെക്‌സാഹെഡ്രോൺ എന്നും വിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു ചതുരം ചേർക്കുന്നത് കോണിനെ 360° ആയി വർദ്ധിപ്പിക്കും - ഈ വികസനം ഏതെങ്കിലും കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രോണുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

മൂന്ന് പെൻ്റഗോണൽ മുഖങ്ങൾ 3 x 108° = 324° സ്കാൻ ആംഗിൾ നൽകുന്നു - ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ശീർഷകം. നമ്മൾ മറ്റൊരു പെൻ്റഗൺ ചേർത്താൽ, നമുക്ക് 360°യിൽ കൂടുതൽ ലഭിക്കും.

ഷഡ്ഭുജങ്ങൾക്ക്, ഇതിനകം മൂന്ന് മുഖങ്ങൾ 3 x 120° = 360° സ്കാൻ ആംഗിൾ നൽകുന്നു, അതിനാൽ ഷഡ്ഭുജ മുഖങ്ങളുള്ള സാധാരണ കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്രോൺ ഇല്ല. മുഖത്തിന് ഇതിലും കൂടുതൽ കോണുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സ്കാനിന് അതിലും വലിയ ആംഗിൾ ഉണ്ടാകും. ആറോ അതിലധികമോ കോണുകളുള്ള മുഖങ്ങളുള്ള സാധാരണ കോൺവെക്സ് പോളിഹെഡ്ര ഇല്ലെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ത്രികോണ മുഖങ്ങളുള്ള ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ, ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, ചതുര മുഖങ്ങളുള്ള ക്യൂബ് (ഹെക്‌സാഹെഡ്രോൺ), പഞ്ചഭുജ മുഖങ്ങളുള്ള ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ എന്നിങ്ങനെ അഞ്ച് കുത്തനെയുള്ള സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂവെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്.

അഞ്ച് സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര അല്ലെങ്കിൽ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ പ്ലേറ്റോയുടെ കാലത്തിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ ഉപയോഗത്തിലുണ്ടായിരുന്നു. പ്ലേറ്റോയ്ക്ക് 1000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പെങ്കിലും ബ്രിട്ടനിലെ നിയോലിത്തിക്ക് ജനങ്ങൾക്ക് അവരെ അറിയാമായിരുന്നുവെന്ന് കേറ്റ് ക്രിച്ച്ലോ തൻ്റെ ടൈം സ്റ്റാൻഡ്‌സ് സ്റ്റിൽ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകൾ നൽകുന്നു. ഓക്‌സ്‌ഫോർഡിലെ ആഷ്‌മോലിയൻ മ്യൂസിയത്തിൽ സൂക്ഷിച്ചിരിക്കുന്ന ഗോളാകൃതിയിലുള്ള നിരവധി കല്ലുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഈ അവകാശവാദം. കൈയ്യിൽ ഒതുങ്ങുന്ന വലിപ്പമുള്ള ഈ കല്ലുകൾ, ക്യൂബ്, ടെട്രാഹെഡ്രോൺ, ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ, ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ, ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ എന്നിവയുടെ ജ്യാമിതീയമായി കൃത്യമായ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളാൽ പൊതിഞ്ഞിരുന്നു, കൂടാതെ ക്യൂബോക്ടാഹെഡ്രോൺ, ഐകോഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ എന്നിവ പോലുള്ള ചില അധിക സംയുക്തവും വ്യാജ-പതിവ് ഖര പദാർത്ഥങ്ങളും. ക്രിച്‌ലോ പറയുന്നു: “നമുക്ക് ഉള്ളത് നിസ്സംശയമായും ബിരുദത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന വസ്തുക്കളാണ് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കഴിവുകൾ, നിയോലിത്തിക്ക് മനുഷ്യനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ചില പുരാവസ്തു ഗവേഷകരോ ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രകാരന്മാരോ ഇതുവരെ നിഷേധിച്ചിട്ടുണ്ട്."

പ്ലേറ്റോയുടെ സമകാലികനായ ഏഥൻസിലെ തിയേറ്ററ്റസ് (ബിസി 417-369), സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിവരണവും അവയിൽ അഞ്ചെണ്ണം ഉണ്ടെന്നതിൻ്റെ ആദ്യത്തെ അറിയപ്പെടുന്ന തെളിവും നൽകി.

പ്ലേറ്റോയുടെ മറ്റ് കൃതികളിൽ ഏറ്റവും ശക്തമായ പൈതഗോറിയൻ സ്വഭാവമുള്ള ടിമേയസിൽ, ലോകത്തിലെ നാല് അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങൾ ഭൂമി, വായു, തീ, വെള്ളം എന്നിവയാണെന്നും ഈ മൂലകങ്ങൾ ഓരോന്നും സ്ഥലവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണെന്നും അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിക്കുന്നു. കണക്കുകൾ. പാരമ്പര്യം ക്യൂബിനെ ഭൂമിയുമായും ടെട്രാഹെഡ്രോണിനെ അഗ്നിയുമായും ഒക്ടാഹെഡ്രോണിനെ വായുവുമായും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിനെ വെള്ളവുമായും ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. പ്രപഞ്ചം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിൽ സ്രഷ്ടാവ് ഉപയോഗിച്ച "ഒരു നിശ്ചിത അഞ്ചാമത്തെ ഘടന" പ്ലേറ്റോ പരാമർശിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ അഞ്ചാമത്തെ മൂലകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: ഈതർ. പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ സംഘാടകനായ പ്ലേറ്റോ, അടിസ്ഥാന രൂപങ്ങളുടെയും സംഖ്യകളുടെയും സഹായത്തോടെ ഈ മൂലകങ്ങളുടെ പ്രാകൃത അരാജകത്വത്തിൽ നിന്ന് ക്രമം സ്ഥാപിച്ചു. കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾക്കായി സംഖ്യയും രൂപവും അനുസരിച്ച് ക്രമീകരിക്കുന്നു ഉയർന്ന തലംഭൗതിക പ്രപഞ്ചത്തിലെ അഞ്ച് മൂലകങ്ങളുടെ വിധിക്കപ്പെട്ട ക്രമീകരണത്തിലേക്ക് നയിച്ചു. അടിസ്ഥാന രൂപങ്ങളും സംഖ്യകളും പിന്നീട് ഉയർന്നതും താഴ്ന്നതുമായ ലോകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വിഭജന രേഖയായി പ്രവർത്തിക്കാൻ തുടങ്ങി. തങ്ങളാലും മറ്റ് ഘടകങ്ങളുമായുള്ള സാമ്യത്താലും ഭൗതിക ലോകത്തെ രൂപപ്പെടുത്താനുള്ള കഴിവ് അവർക്കുണ്ടായിരുന്നു.

ക്ലാസിക്കൽ പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച്, ഒരേ അഞ്ച് സാധാരണ ശരീരങ്ങൾ, ഒമ്പത് കേന്ദ്രീകൃത പന്തുകളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന തരത്തിലാണ് വരച്ചിരിക്കുന്നത്, കൂടാതെ ഓരോ ശരീരവും ഒരു ഗോളവുമായി സമ്പർക്കം പുലർത്തുന്നു, അത് അതിനുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അടുത്ത ശരീരത്തിന് ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ കോമ്പോസിഷൻ നിരവധി സുപ്രധാന ബന്ധങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ഒരു അച്ചടക്കത്തിൽ നിന്ന് കടമെടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു കോർപ്പോ സുതാര്യമായ, സുതാര്യമായ വസ്തുക്കളാൽ നിർമ്മിച്ചതും മറ്റൊന്നിനുള്ളിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതുമായ ഗോളങ്ങളുടെ ധാരണയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ലിയോനാർഡോയും ബ്രൂണൂലെഷിയും ഉൾപ്പെടെ നവോത്ഥാനത്തിലെ പല മഹാപുരുഷന്മാർക്കും ഫ്രാ ലൂക്കാ പാസിയോലി ഈ നിർദ്ദേശം നൽകി.

അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ "ലോകത്തിൻ്റെ രഹസ്യം" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ (മിസ്റ്റീരിയം കോസ്മോഗ്രാഫിക്കം), അത് 1596-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അഞ്ച് പ്ലാറ്റോണിക് ഖരപദാർഥങ്ങളും അക്കാലത്ത് കണ്ടെത്തിയ സൗരയൂഥത്തിലെ ആറ് ഗ്രഹങ്ങളും തമ്മിൽ ബന്ധമുണ്ടെന്ന് ജോഹന്നാസ് കെപ്ലർ അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു. ഈ അനുമാനം അനുസരിച്ച്, ശനിയുടെ ഭ്രമണപഥത്തിൻ്റെ ഗോളത്തിലേക്ക് ഒരു ക്യൂബ് ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്, അതിൽ വ്യാഴത്തിൻ്റെ ഭ്രമണപഥത്തിൻ്റെ ഗോളം യോജിക്കുന്നു. ചൊവ്വയുടെ ഭ്രമണപഥത്തിൻ്റെ ഗോളത്തിന് സമീപം വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ടെട്രാഹെഡ്രോൺ അതിലേക്ക് യോജിക്കുന്നു. ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ ചൊവ്വയുടെ ഭ്രമണപഥത്തിൻ്റെ ഗോളത്തിലേക്ക് യോജിക്കുന്നു, അതിൽ ഭൂമിയുടെ ഭ്രമണപഥത്തിൻ്റെ ഗോളം യോജിക്കുന്നു. ഐക്കോസഹെഡ്രോണിന് ചുറ്റും ഇത് വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ ശുക്രൻ്റെ പരിക്രമണപഥത്തിൻ്റെ ഗോളം ആലേഖനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഈ ഗ്രഹത്തിൻ്റെ ഗോളം ഒക്ടാഹെഡ്രോണിന് ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ ബുധൻ്റെ ഗോളം യോജിക്കുന്നു. സൗരയൂഥത്തിൻ്റെ ഈ മാതൃകയെ കെപ്ലറുടെ "കോസ്മിക് കപ്പ്" എന്നാണ് വിളിച്ചിരുന്നത്. കെപ്ലറിൻ്റെ മാതൃകയും പരിക്രമണപഥങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ അളവുകളും തമ്മിലുള്ള പൊരുത്തക്കേട് (നിരവധി ശതമാനം ക്രമത്തിൽ) "ദ്രവ്യത്തിൻ്റെ സ്വാധീനം" എന്ന് I. കെപ്ലർ വിശദീകരിച്ചു.

20-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചു ഇലക്ട്രോൺ ഷെൽ മോഡൽറോബർട്ട് മൂൺ, ഇത് ചന്ദ്ര സിദ്ധാന്തം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. പ്രോട്ടോണുകളുടെയും ന്യൂട്രോണുകളുടെയും ജ്യാമിതീയ ക്രമീകരണം ചന്ദ്രൻ ശ്രദ്ധിച്ചു ആറ്റോമിക് ന്യൂക്ലിയസ്നെസ്റ്റഡ് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ലംബങ്ങളുടെ സ്ഥാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ജെ കെപ്ലറുടെ മിസ്റ്റീരിയം കോസ്‌മോഗ്രാഫിക്കത്തിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ടതാണ് ഈ ആശയം.

പോളിഹെഡ്രയ്ക്ക് യൂലറുടെ ഫോർമുലയുണ്ട്:

F + V = E + 2

ഈ ഫോർമുലയിൽ എഫ്- മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം, വി- ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഇ- വാരിയെല്ലുകളുടെ എണ്ണം. പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ഈ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ അളവ് സവിശേഷതകൾ

അരികുകൾ, ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ ഗോളങ്ങളുടെ വ്യാസം, സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയുടെ വിസ്തീർണ്ണം, വോള്യങ്ങൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള പ്രധാന ബന്ധങ്ങൾ അവിവേക സംഖ്യകളിലൂടെയാണ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്. താഴെയുള്ള പട്ടിക അഞ്ച് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിൽ ഓരോന്നിനും അരികിലെ നീളവും ചുറ്റപ്പെട്ട ഗോളത്തിൻ്റെ വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കാണിക്കുന്നു.

ലഭിക്കുന്ന ഓരോ ഫലവും ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്, അത് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രം കണ്ടെത്താനാകും സ്ക്വയർ റൂട്ട്. വിശുദ്ധ ഗണിതത്തിൽ പ്രധാനപ്പെട്ടതും സവിശേഷവുമായ സംഖ്യകൾ ഇവിടെ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് നാം കാണുന്നു.

ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെയും ജ്യാമിതി സുവർണ്ണ അനുപാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ മുഖങ്ങൾ പെൻ്റഗണുകളാണ്, അതായത് സുവർണ്ണ അനുപാതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സാധാരണ പെൻ്റഗണുകൾ. നിങ്ങൾ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിനെ സൂക്ഷ്മമായി നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷത്തിലും അഞ്ച് ത്രികോണങ്ങൾ കൂടിച്ചേരുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, അതിൻ്റെ പുറം വശങ്ങൾ ഒരു പെൻ്റഗണായി മാറുന്നു. ഈ രണ്ട് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ സുവർണ്ണ അനുപാതം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ ഈ വസ്തുതകൾ മാത്രം മതി. ഈ രണ്ട് രൂപങ്ങളും പരസ്പരം വിപരീതമാണ്: രണ്ടിനും 30 അരികുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഐക്കോസഹെഡ്രോണിന് 20 മുഖങ്ങളും 12 ലംബങ്ങളും ഉണ്ട്, ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിന് 12 മുഖങ്ങളും 20 ലംബങ്ങളുമുണ്ട്. അഷ്ടഹെഡ്രോണും ഷഡ്ഭുജവും പരസ്പരം വിപരീതമാണ്, കൂടാതെ തിയേറ്റഹെഡ്രോൺ സ്വയം.

എല്ലാം തമ്മിൽ അതിശയകരമായ ജ്യാമിതീയ ബന്ധങ്ങളുണ്ട് സാധാരണ പോളിഹെഡ്ര. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്യൂബ്ഒപ്പം അഷ്ടതലംഇരട്ടയാണ്, അതായത്, ഒന്നിൻ്റെ മുഖത്തിൻ്റെ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രങ്ങൾ മറ്റൊന്നിൻ്റെ ലംബങ്ങളായും തിരിച്ചും എടുത്താൽ അവ പരസ്പരം ലഭിക്കും. അതുപോലെ ഇരട്ട ഐക്കോസഹെഡ്രോൺഒപ്പം ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ. ടെട്രാഹെഡ്രോൺതനിക്കുതന്നെ ഇരട്ട. ഒരു ക്യൂബിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ മുഖങ്ങളിൽ "മേൽക്കൂരകൾ" നിർമ്മിച്ച് ഒരു ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ ലഭിക്കുന്നു (യൂക്ലിഡിയൻ രീതി) ക്യൂബിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും നാല് ലംബങ്ങൾ, അതായത് മറ്റെല്ലാ സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകളും ആകാം. ക്യൂബിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചത്.

ഐക്കോസഹെഡ്രോണിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് റോബർട്ട് ലോലർ തൻ്റെ കൃതിയിൽ കാണിക്കുന്നു. അദ്ദേഹം എഴുതുന്നു: “ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ എല്ലാ ആന്തരിക ശീർഷങ്ങളെയും ഓരോന്നിൽ നിന്നും മൂന്ന് വരകൾ വരച്ച്, ഓരോ ശീർഷത്തെയും അതിൻ്റെ എതിർവശവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ച്, രണ്ട് മുകളിലെ ലംബങ്ങളിൽ നിന്ന് രണ്ട് വിപരീതങ്ങളിലേക്ക് നാല് വരകൾ വരയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇവ വരികൾ മധ്യഭാഗത്ത് കണ്ടുമുട്ടുന്നു, ഞങ്ങൾ, പറഞ്ഞതിന് അനുസൃതമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ സ്വാഭാവികമായും ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ അരികുകൾ നിർമ്മിക്കും. ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആന്തരിക വരികൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ ഈ നിർമ്മാണം യാന്ത്രികമായി സംഭവിക്കുന്നു. ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ സൃഷ്ടിച്ച ശേഷം, ഒരു ക്യൂബ് നിർമ്മിക്കാൻ നമുക്ക് അതിൻ്റെ ആറ് ലംബങ്ങളും മധ്യഭാഗവും ഉപയോഗിക്കാം. ക്യൂബിൻ്റെ ഡയഗണലുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു നക്ഷത്രാകൃതിയിലുള്ളതോ പരസ്പരം പിണഞ്ഞതോ ആയ ടെട്രാഹെഡ്രോൺ നിർമ്മിക്കാം. ക്യൂബിനൊപ്പം നക്ഷത്ര ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെ കവലകൾ ആലേഖനം ചെയ്ത അഷ്ടഹെഡ്രോൺ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള കൃത്യമായ സ്ഥാനം നൽകുന്നു. തുടർന്ന്, അഷ്ടാഹെഡ്രോണിൽ തന്നെ, ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആന്തരിക വരകളും അഷ്ടഹെഡ്രോണിൻ്റെ ലംബങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, രണ്ടാമത്തെ ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ ലഭിക്കും. വിത്ത് മുതൽ വിത്ത് വരെ അഞ്ച് ഘട്ടങ്ങളായുള്ള മുഴുവൻ ചക്രത്തിലൂടെയും ഞങ്ങൾ കടന്നുപോയി. അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനന്തമായ ഒരു ശ്രേണിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ടെട്രാഹെഡ്രോൺ

സാധാരണ പോളിഹെഡ്രയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ടെട്രാഹെഡ്രോൺ ആണ്. പ്ലേറ്റോയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് തീയുടെ മൂലകവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, "അഗ്നി" പ്ലാസ്മയുടെ അവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ മുഖങ്ങളാണുള്ളത്, സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ വശങ്ങളുള്ള ഒരു പരന്ന സാധാരണ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ത്രിമാന അനലോഗ് ആണ് ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്. അതിൻ്റെ നാല് മുഖങ്ങളും സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളാണ്. ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം വേർതിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് നാല്. അതിൻ്റെ ഓരോ ലംബവും മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളുടെ ശീർഷകമാണ്. ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെ എല്ലാ പോളിഹെഡ്രൽ കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്. ഓരോ ശീർഷകത്തിലെയും തലം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180° ആണ്. അങ്ങനെ, ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് 4 മുഖങ്ങളും 4 ലംബങ്ങളും 6 അരികുകളും ഉണ്ട്.

ഒക്ടാഹെഡ്രോൺ

എട്ട് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ചേർന്നതാണ് അഷ്ടതലം. പ്ലേറ്റോയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് വായുവിൻ്റെ മൂലകവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, "വായു" എന്നത് ദ്രവ്യത്തിൻ്റെ വാതകാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ ഓരോ ലംബവും നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെ ശീർഷകമാണ്. എതിർ മുഖങ്ങൾ സമാന്തര തലങ്ങളിൽ കിടക്കുന്നു. ഓരോ ശീർഷകത്തിലെയും തലം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 240° ആണ്. അങ്ങനെ, ഒക്ടാഹെഡ്രോണിന് 8 മുഖങ്ങളും 6 ലംബങ്ങളും 12 അരികുകളും ഉണ്ട്.

ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ

ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ അഞ്ച് പ്ലാറ്റോണിക് ഖരവസ്തുക്കളിൽ ഒന്നാണ്, ടെട്രാഹെഡ്രോണിനും ഒക്ടാഹെഡ്രോണിനും അടുത്തത്. പ്ലേറ്റോയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് ജലത്തിൻ്റെ മൂലകവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, "ജലം" ദ്രവ്യത്തിൻ്റെ ദ്രാവകാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇരുപത് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ചേർന്നതാണ് ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ. അതിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷകവും അഞ്ച് ത്രികോണങ്ങളുടെ ശീർഷകമാണ്. ഓരോ ശിഖരത്തിലെയും തലം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 300° ആണ്. അങ്ങനെ, ഐക്കോസഹെഡ്രോണിന് 20 മുഖങ്ങളും 12 ലംബങ്ങളും 30 അരികുകളും ഉണ്ട്.

ഷഡ്ഭുജം

ഒരു ഹെക്‌സഹെഡ്രോൺ അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബ് ആറ് ചതുരങ്ങൾ കൊണ്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. പ്ലേറ്റോയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് ഭൂമിയുടെ മൂലകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, "ഭൂമി" എന്നത് ദ്രവ്യത്തിൻ്റെ ഖരാവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷകവും മൂന്ന് ചതുരങ്ങളുടെ ശീർഷകമാണ്. ഓരോ ശീർഷകത്തിലെയും തലം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 270° ആണ്. അങ്ങനെ, ഒരു ക്യൂബിന് 6 മുഖങ്ങളും 8 ലംബങ്ങളും 12 അരികുകളും ഉണ്ട്.

ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ

പന്ത്രണ്ട് സമഭുജ പഞ്ചഭുജങ്ങൾ കൊണ്ടാണ് ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. പ്ലേറ്റോയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് അഞ്ചാമത്തെ മൂലകവുമായി യോജിക്കുന്നു - ഈതർ. അതിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷകവും മൂന്ന് പെൻ്റഗണുകളുടെ ശീർഷകമാണ്. ഓരോ ശിഖരത്തിലെയും തലം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 324° ആണ്. അങ്ങനെ, ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിന് 12 മുഖങ്ങളും 20 ലംബങ്ങളും 30 അരികുകളും ഉണ്ട്.

സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾ ജീവനുള്ള പ്രകൃതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു. ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ, ഏണസ്റ്റ് ഹെക്കൽ ( ഏണസ്റ്റ് ഹേക്കൽ) വിവിധ സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകൾക്ക് സമാനമായ അസ്ഥികൂട രൂപങ്ങളുള്ള നിരവധി ജീവികളെ വിവരിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്: സർക്കോപോറസ് ഒക്ടാഹെഡ്രസ്, സർക്കോഗോണിയ ഐക്കോസഹെദ്ര, ലിത്തോകുബസ് ജ്യാമിതീയവും സർക്കോറെഗ്മ ഡോഡെകഹെദ്രയും. ഈ ജീവികളുടെ അസ്ഥികൂട രൂപങ്ങൾ അവയുടെ പേരുകളിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു.

ഏകകോശ ജീവിയായ ഫിയോഡേറിയയുടെ അസ്ഥികൂടം ( സർക്കോഗോണിയകോസഹെദ്ര) ഒരു ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആകൃതിയിലാണ്. മിക്ക ഫിയോഡേറിയകളും കടലിൻ്റെ ആഴങ്ങളിൽ വസിക്കുകയും പവിഴ മത്സ്യങ്ങളുടെ ഇരയായി സേവിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ ഏറ്റവും ലളിതമായ മൃഗം സ്വയം സംരക്ഷിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു: അസ്ഥികൂടത്തിൻ്റെ 12 കൊടുമുടികളിൽ നിന്ന് 12 പൊള്ളയായ സൂചികൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. സൂചികളുടെ അറ്റത്ത് ബാർബുകൾ ഉണ്ട്, അത് സൂചി സംരക്ഷണത്തിൽ കൂടുതൽ ഫലപ്രദമാക്കുന്നു.

നിരവധി വൈറസുകൾ, ഉദാ. ഹെർപ്പസ്, ഒരു സാധാരണ ഐക്കോസഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആകൃതിയുണ്ട്. ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രോട്ടീൻ ഉപയൂണിറ്റുകളിൽ നിന്നാണ് വൈറൽ ഘടനകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഈ ഘടനകളെ പുനർനിർമ്മിക്കുന്നതിന് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ രൂപമാണ് ഐക്കോസഹെഡ്രോൺ.

പല ധാതുക്കളുടെയും ക്രിസ്റ്റൽ ലാറ്റിസുകൾക്ക് പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകളുടെ ആകൃതിയുണ്ട്.

സൾഫ്യൂറിക് ആസിഡ്, ഇരുമ്പ്, പ്രത്യേക തരം സിമൻ്റ് എന്നിവയുടെ ഉത്പാദനം സൾഫറസ് പൈറൈറ്റ് ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല ( ഫെഎസ്). ഇതിൻ്റെ പരലുകൾ രാസവസ്തുഒരു ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആകൃതിയുണ്ട്. ധാതു സിൽവൈറ്റിന് ഒരു ക്യൂബ് ആകൃതിയിലുള്ള ക്രിസ്റ്റൽ ലാറ്റിസ് ഉണ്ട്. പൈറൈറ്റ് പരലുകൾക്ക് ഡോഡെകാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ആകൃതിയുണ്ട്, അതേസമയം കുപ്രൈറ്റ് അഷ്ടഹെഡ്രോണുകളുടെ ആകൃതിയിൽ പരലുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.

വിശുദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നും പ്രകൃതി ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നും പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ പഠനത്തിന് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു വസ്തുവാണ്. എല്ലായിടത്തും പ്ലാറ്റോണിക് സോളിഡുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, വൈറസുകൾ മുതൽ, അവയിൽ പലതും ഐക്കോസഹെഡ്രൽ ആകൃതിയിലാണ്, സൗരയൂഥം പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ മാക്രോസ്ട്രക്ചറുകൾ വരെ.

ആൻ്റൺ മുഖിൻ

നോട്ട്ബുക്കുകൾ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് ചെക്കോവ് ആൻ്റൺ പാവ്ലോവിച്ച്

ശരീരത്തിൻ്റെ ഭാഗം. 2 [അമ്മ ദയനീയമായപ്പോൾ, ബാല്യത്തിൽ ഒരു രോഗിയെപ്പോലെ പ്രധാനപുരോഹിതൻ കരയുന്നു; പൊതുവായ ആത്മീയ പ്രണാമത്തിൽ നിന്ന് ഞാൻ കരഞ്ഞു, ജനക്കൂട്ടം കരഞ്ഞു. അവൻ വിശ്വസിച്ചു, തൻ്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള ഒരു വ്യക്തിക്ക് ആക്‌സസ് ചെയ്യാവുന്ന [നൽകിയ (?)] എല്ലാം നേടി, എന്നിട്ടും അവൻ്റെ ആത്മാവ് വേദനിക്കുന്നു: എല്ലാം വ്യക്തമല്ല, മറ്റെന്തെങ്കിലും

പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് എല്ലാം നിയന്ത്രണത്തിലാണ്: ആരാണ് നിങ്ങളെ നിരീക്ഷിക്കുന്നത്, എങ്ങനെ രചയിതാവ് ഗാർഫിങ്കൽ സിമിയോൺ

അൺമാജിനബിൾ ഫ്യൂച്ചർ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് ക്രീഗർ ബോറിസ്

ബന്ദികൾ സ്വന്തം ശരീരംആരോഗ്യത്തിൻ്റെയും ക്ഷേമത്തിൻ്റെയും അവസ്ഥയിൽ, ഒരു വ്യക്തി സ്വന്തം ശരീരത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് പൂർണ്ണമായും മറക്കുന്നു. തണുപ്പ്, ചൂട്, വിശപ്പ് തുടങ്ങിയ വികാരങ്ങൾ പോലെയുള്ള വേദനയും അസ്വസ്ഥതയുടെ മറ്റ് പ്രകടനങ്ങളും അവനെ അലട്ടുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ജീവിതത്തിൻ്റെ യാഥാർത്ഥ്യബോധം ന്യായമാണ്

"മാട്രിക്സ്" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് തത്വശാസ്ത്രം ഇർവിൻ വില്യം എഴുതിയത്

ശരീരങ്ങൾ, മനസ്സുകൾ, ലിംഗങ്ങൾ "മാട്രിക്സ്" ൻ്റെ "നക്ഷത്രങ്ങൾ" ഒരു നിശ്ചിത മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച് കാണപ്പെടുന്നു. വെർച്വൽ ലോകത്ത്, അവരുടെ മാംസം മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു സമാനമായ സുഹൃത്ത്തിളങ്ങുന്ന കറുത്ത തുകൽ അല്ലെങ്കിൽ ലാറ്റക്സ് കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച സ്യൂട്ടുകളിൽ പരസ്പരം. "അസ്തിത്വം" മാംസം, ഗോർ, പുതിയ രക്തം എന്നിവയാൽ നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. അത്തരം

ജപ്പാൻ ഫേസസ് ഓഫ് ടൈം എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന്. ഒരു ആധുനിക ഇൻ്റീരിയറിലെ മാനസികതയും പാരമ്പര്യങ്ങളും. രചയിതാവ് പ്രസോൾ അലക്സാണ്ടർ ഫെഡോറോവിച്ച്

ബോഡി ഡൈനാമിക്‌സിന് ചുറ്റുമുള്ള അധ്യായം 17 - ജാപ്പനീസ് ചലനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ, കാലാവസ്ഥ, ഭക്ഷണക്രമം, ജീവിതശൈലി, യൂറോപ്പിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ജാപ്പനീസ് ശരീരഘടനയും ചലനങ്ങളുടെ സ്വഭാവവും നൂറ്റാണ്ടുകളായി രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രദേശത്ത് ഇനിയും പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യപ്പെടാത്ത ധാരാളം ഉണ്ട്, അതിനാൽ നമുക്ക് അത് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം

മറ്റുള്ളവരുടെ പാഠങ്ങൾ - 2008 എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് ഗോലുബിറ്റ്സ്കി സെർജി മിഖൈലോവിച്ച്

നഗ്നശരീരത്തിൻ്റെ സൗന്ദര്യശാസ്ത്രം ചരിത്രപരമായി, പല വശങ്ങളോടുള്ള ജാപ്പനീസ് മനോഭാവം രൂപംമനുഷ്യരും യൂറോപ്യന്മാരിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തരായിരുന്നു. നഗ്നശരീരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും ശ്രദ്ധേയമാണ്. യൂറോപ്യൻ സംസ്കാരത്തിൽ, നഗ്നത രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനുവദനീയമാണ്: by

സാഹിത്യ പത്രം 6300 (നമ്പർ 45 2010) എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് സാഹിത്യ പത്രം

വിശ്രമിച്ച ശരീരഭാഷ 2008 ഓഗസ്റ്റ് 8-ലെ "ബിസിനസ് മാഗസിൻ" നമ്പർ 15-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അസോസിയേറ്റഡ് പ്രസ്സ്, ജൂലൈ 4, 2008: “റഫ്കോ ഇൻകോർപ്പറേഷൻ്റെ മുൻ മേധാവി ഫിലിപ്പ് ബെന്നറ്റ്, ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ ഒരു സ്ഥാപനത്തിൻ്റെ തകർച്ചയിലേക്ക് നയിച്ച സാമ്പത്തിക തട്ടിപ്പിന് 16 വർഷത്തെ തടവിന് ശിക്ഷിക്കപ്പെട്ടു.

ചൈനക്കാരെ എങ്ങനെ തോൽപ്പിക്കാം എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് മാസ്ലോവ് അലക്സി അലക്സാണ്ട്രോവിച്ച്

ബിബ്ലിയോമാനിയാക് ശരീരത്തിൻ്റെ രഹസ്യങ്ങൾ. മോസ്കോ വായിക്കുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ ഡസൻ രഹസ്യങ്ങൾ പുസ്തകം എ.എ. കാമെൻസ്കി, എം.വി. മസ്ലോവ, എ.വി. ഗ്രാഫ്. ഹോർമോണുകൾ ലോകത്തെ ഭരിക്കുന്നു: ജനപ്രിയ എൻഡോക്രൈനോളജി. - എം.: AST-PRESS, 2010. - 192 പേജ്.: അസുഖം. - (ശാസ്ത്രവും സമാധാനവും). - 5000 കോപ്പികൾ. ഇപ്പോൾ അധികം പ്രചാരത്തിലുള്ള ശാസ്ത്ര സാഹിത്യങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നില്ല.

ക്രിട്ടിക്ക് ഓഫ് ഇംപ്യൂർ റീസൺ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് സിലേവ് അലക്സാണ്ടർ യൂറിവിച്ച്

സ്വയം പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന്. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് ശൈലിയിലേക്ക് രചയിതാവ് ഖകമാഡ ഐറിന മിത്സുവോന

യഥാർത്ഥ ശരീരങ്ങൾ സംക്ഷിപ്തമായി പറഞ്ഞാൽ: സത്യം അറിഞ്ഞാൽ മാത്രം പോരാ, നിങ്ങൾ അത് നിങ്ങളുടെ ശരീരത്തിൽ ജീവിക്കണം. അങ്ങനെ ശരീരം യഥാർത്ഥമായി പെരുമാറുന്നു. ഇത് പ്രത്യേക വിഷയങ്ങളിൽ-വിഷയങ്ങളിൽ പ്രത്യേകം പഠിപ്പിക്കണം. എല്ലാവർക്കും അറിയാം, ആരും ഇല്ല

ദി ഫിഫ്ത് ഡിമെൻഷൻ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന്. സമയത്തിൻ്റെയും സ്ഥലത്തിൻ്റെയും അതിർത്തിയിൽ [ശേഖരം] രചയിതാവ് ബിറ്റോവ് ആൻഡ്രി

അധ്യായം 4. ശരീരത്തിൻ്റെ ആത്മീയവൽക്കരണം ശരീരത്തെ വ്യത്യസ്തമായി പരിഗണിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് അവനെ ദൈവമാക്കാനും നിങ്ങളുടെ ജീവിതം അവനുവേണ്ടി സമർപ്പിക്കാനും കഴിയും. ജെയ്ൻ ഫോണ്ട തൻ്റെ ഓർമ്മക്കുറിപ്പുകളിൽ ഇതിനെക്കുറിച്ച് എഴുതി. എയ്‌റോബിക്‌സ് സൃഷ്ടിച്ച ശേഷം, ഭക്ഷണക്രമവും ഫിറ്റ്‌നസും ഉപയോഗിച്ച് അവൾ സ്വയം പീഡിപ്പിച്ചു, അവളുടെ മനസ്സിനെ വിനാശകരമായ അവസ്ഥയിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു. എന്നതിൽ സാധ്യമാണ്

പിക്ചേഴ്സ് ഓഫ് പാരീസ് എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന്. വോളിയം II രചയിതാവ് മെർസിയർ ലൂയിസ്-സെബാസ്റ്റ്യൻ

സൂക്ഷ്മ ശരീരങ്ങൾ(വ്യക്തിപരമായി) 1964 ൽ, ചിത്രീകരണം കഴിഞ്ഞയുടനെ, ലെനിൻഗ്രാഡ് കലാകാരൻ ഗാഗ കോവെൻചുക്ക് നികിത സെർജിവിച്ചിനെ സ്വപ്നം കണ്ടു. അവർ മെട്രോയിൽ കണ്ടുമുട്ടി. ഗാഗ വളരെ സന്തോഷവാനായിരുന്നു. "എന്തുകൊണ്ട് അങ്ങനെ? - അദ്ദേഹം ഉടനെ സഹതാപം പ്രകടിപ്പിച്ചു. “എല്ലാം വളരെ നന്നായി പോകുന്നു!” നികിത സെർജിവിച്ച് ഹ്രസ്വമായി പറഞ്ഞു:

കൊത്തുപണിയും യന്ത്രങ്ങളും (ശേഖരം) എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് രചയിതാവ് ബേക്കോവ് എഡ്വേർഡ് അർതുറോവിച്ച്

226. കോർപ്പസ് ക്രിസ്റ്റിയുടെ പെരുന്നാൾ (57) കോർപ്പസ് ക്രിസ്റ്റി ദിനം എല്ലാ കത്തോലിക്കാ അവധി ദിവസങ്ങളിലും ഏറ്റവും ഗംഭീരമാണ്. ഈ ദിവസം, പാരീസ് വൃത്തിയും സന്തോഷവും സുരക്ഷിതവും ഗംഭീരവുമാണ്. ഈ ദിവസം, പള്ളികളിൽ എത്ര വെള്ളി സാധനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ആർക്കും കാണാൻ കഴിയും, സ്വർണ്ണവും വജ്രവും പരാമർശിക്കേണ്ടതില്ല, പള്ളി എത്ര ആഡംബരമാണെന്ന്.

റഷ്യ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന്. ഇതുവരെ സന്ധ്യ ആയിട്ടില്ല രചയിതാവ് മുഖിൻ യൂറി ഇഗ്നാറ്റിവിച്ച്

ബോഡി കൾട്ട് ബോഡി ബിൽഡിംഗ് (ഇംഗ്ലീഷിൽ നിന്ന് - ബോഡി, ബിൽഡിംഗ് - കൺസ്ട്രക്ഷൻ, അതായത് ബോഡി-ബിൽഡിംഗ് - ബോഡി ബിൽഡിംഗ്, ബോഡി ബിൽഡിംഗ്), അല്ലെങ്കിൽ ബോഡി ബിൽഡിംഗ് (ഫ്രഞ്ച് സംസ്കാരത്തിൽ നിന്ന് - പോഷണം, ബിൽഡിംഗ്) എന്നത് ശാരീരിക വ്യായാമങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം മാത്രമല്ല. പണിയുന്നു പേശി പിണ്ഡംഒപ്പം,

ദി ഷോക്ക് ഡോക്ട്രിൻ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് [ദുരന്ത മുതലാളിത്തത്തിൻ്റെ ഉദയം] നവോമി ക്ലീൻ എഴുതിയത്

ശരീരത്തിൽ നിന്ന് ആത്മാവിൻ്റെ പുറപ്പാട്, ഒരു വ്യക്തി മരണാവസ്ഥയിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, തലച്ചോറിനെ രക്ഷിക്കാൻ ശരീരം എല്ലാം ചെയ്യുന്നു എന്നത് നിങ്ങളെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തില്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. അതായത്, ശരീരത്തിന് രക്തം നഷ്ടപ്പെട്ടാൽ, ശരീരം (ആത്മാവ്) എല്ലാ അവയവങ്ങളെയും രക്ത വിതരണത്തിൽ നിന്ന് വിച്ഛേദിക്കുകയും ശേഷിക്കുന്ന രക്തം ഒരു വൃത്തത്തിൽ മാത്രം പ്രചരിക്കുകയും ചെയ്യും:

രചയിതാവിൻ്റെ പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന്

ശരീരത്തിലേക്കുള്ള ഷോക്ക് പ്രതിരോധം വർദ്ധിച്ചു, അധിനിവേശക്കാർ കൂടുതലായി ഷോക്ക് ഇൻ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് പ്രതികരിച്ചു പുതിയ രൂപം. രാത്രി വൈകിയോ അതിരാവിലെയോ പട്ടാളക്കാർ വാതിലുകൾ പൊട്ടിത്തെറിക്കുകയും ഇരുട്ടുമുറികളിലേക്ക് വിളക്കുകൾ തെളിക്കുകയും നിലവിളികൾ കൊണ്ട് വീടു നിറയ്ക്കുകയും ചെയ്യും, അവയിൽ ചിലത് പ്രദേശവാസികൾക്ക് മാത്രമേ പുറത്തുവരാൻ കഴിയൂ.