Keling, kalkulyator yordamida quyidagi ma'lumotlar (jadvalga qarang) asosida trend tenglamasining parametrlarini batafsil hisoblash misolini ko'rsatamiz.
Chiziqli trend tenglamasi y = at + b.
1. Usul yordamida tenglamaning parametrlarini toping eng kichik kvadratlar
.
Eng kichik kvadratlar tenglamalari tizimi:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)): y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
Bizning ma'lumotlarimiz uchun tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:
12a 0 + 78a 1 = 567,8
78a 0 + 650a 1 = 4602,3
Birinchi tenglamadan biz 0 ni ifodalaymiz va uni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz
Biz 0 = 6,37, 1 = 5,88 ni olamiz
Eslatma: № 6 y(t) ustunining qiymatlari olingan trend tenglamasi asosida hisoblanadi. Masalan, t = 1: y(1) = 6,37*1 + 5,88 = 12,26
Trend tenglamasi
y = 6,37 t + 5,88Mutlaq yaqinlashish xatosidan foydalanib, trend tenglamasining sifatini baholaylik.
Xato 15% dan ortiq bo'lgani uchun bu tenglamani trend sifatida ishlatish tavsiya etilmaydi.
O'rtacha qiymatlar: 
Dispersiya 
Standart og'ish
Elastiklik koeffitsienti 
Elastiklik koeffitsienti 1 dan kichik. Shuning uchun agar X 1% ga o'zgartirilsa, Y 1% dan kam o'zgaradi. Boshqacha qilib aytganda, X ning Y ga ta'siri sezilarli emas.
Aniqlash koeffitsienti 
bular. 82,04% hollarda ma'lumotlar o'zgarishiga ta'sir qiladi. Boshqacha qilib aytganda, trend tenglamasini tanlashning aniqligi yuqori
2. Trend tenglamasi parametrlarini baholashning aniqligini tahlil qilish..
Tenglama xato dispersiyasi.
bu erda m = 1 - trend modelidagi ta'sir etuvchi omillar soni.
Tenglamaning standart xatosi.
3. Koeffitsientlarga oid gipotezalarni tekshirish chiziqli tenglama trend.
1) t-statistika. Talaba t testi.
Talabalar jadvalidan foydalanib, biz Tjadvalni topamiz
T jadvali (n-m-1;a/2) = (10;0,025) = 2,228
>
a 0 koeffitsientining statistik ahamiyati tasdiqlangan. Parametr bahosi 0 muhim va vaqt qatori tendentsiyaga ega.
a 1 koeffitsientining statistik ahamiyati tasdiqlanmagan.
Trend tenglama koeffitsientlari uchun ishonch oralig'i.
95% ishonchliligi bilan quyidagi tendentsiya koeffitsientlarining ishonch oraliqlarini aniqlaymiz:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Chunki 0 (nol) nuqta ichkarida joylashgan ishonch oralig'i, keyin a 0 koeffitsientining intervalli bahosi statistik jihatdan ahamiyatsiz.
2) F-statistika. Fisher mezoni. 
Fkp = 4.84
F > Fkp bo'lgani uchun determinatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega
Qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasini tekshirish.
Qurilish sifati uchun muhim shart regressiya modeli OLSga ko'ra, tasodifiy og'ishlar qiymatlarining boshqa barcha kuzatishlardagi og'ishlar qiymatlaridan mustaqilligi. Bu har qanday og'ishlar va, xususan, qo'shni og'ishlar o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'qligini ta'minlaydi.
Avtokorrelyatsiya (ketma-ket korrelyatsiya) vaqt (vaqt qatori) yoki fazoda (oʻzaro qator) tartiblangan kuzatilgan koʻrsatkichlar oʻrtasidagi korrelyatsiya sifatida aniqlanadi. Vaqt seriyalari ma'lumotlaridan foydalanganda regressiya tahlilida qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi (diferanslar) keng tarqalgan va kesma ma'lumotlardan foydalanganda juda kam uchraydi.
Iqtisodiy muammolarda bu ko'proq uchraydi ijobiy avtokorrelyatsiya, dan ko'ra salbiy avtokorrelyatsiya. Ko'pgina hollarda, ijobiy avtokorrelyatsiya yo'nalish bilan bog'liq doimiy ta'sir qilish modelda hisobga olinmagan ba'zi omillar.
Salbiy avtokorrelyatsiya aslida ijobiy og'ishdan keyin salbiy va aksincha, degan ma'noni anglatadi. Mavsumiy ma'lumotlarga (qish-yoz) ko'ra, alkogolsiz ichimliklarga bo'lgan talab va daromad o'rtasidagi bir xil bog'liqlik hisobga olinsa, bu holat yuzaga kelishi mumkin.
Orasida avtokorrelyatsiyani keltirib chiqaradigan asosiy sabablar, quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin:
1. Spetsifikatsiyadagi xatolar. Modeldagi biron bir muhim tushuntirish o'zgaruvchisini hisobga olmaslik yoki bog'liqlik shaklini noto'g'ri tanlash odatda kuzatuv nuqtalarining regressiya chizig'idan tizimli og'ishlariga olib keladi, bu esa avtokorrelyatsiyaga olib kelishi mumkin.
2. Inertsiya. Ko'pchilik iqtisodiy ko'rsatkichlar(inflyatsiya, ishsizlik, yalpi ichki mahsulot va boshqalar) tadbirkorlik faoliyatining to'lqinlanishi bilan bog'liq bo'lgan ma'lum bir tsiklik xususiyatga ega. Shuning uchun ko'rsatkichlarning o'zgarishi bir zumda sodir bo'lmaydi, lekin ma'lum bir inertsiyaga ega.
3. O‘rgimchak to‘ri effekti. Ko'pgina ishlab chiqarish va boshqa sohalarda iqtisodiy ko'rsatkichlar iqtisodiy sharoitlarning o'zgarishiga kechikish (vaqtning kechikishi) bilan javob beradi.
4. Ma'lumotlarni tekislash. Ko'pincha ma'lum bir uzoq vaqt uchun ma'lumotlar uning tarkibiy oraliqlari bo'yicha ma'lumotlarni o'rtacha hisoblash yo'li bilan olinadi. Bu ko'rib chiqilayotgan davr ichida sodir bo'lgan tebranishlarning ma'lum bir tekislanishiga olib kelishi mumkin, bu esa o'z navbatida avtokorrelyatsiyani keltirib chiqarishi mumkin.
Avtokorrelyatsiyaning oqibatlari shunga o'xshash heteroskedastiklik: t- va F-statistik ma'lumotlardan regressiya koeffitsienti va aniqlash koeffitsientining ahamiyatini aniqlaydigan xulosalar noto'g'ri bo'lishi mumkin.
Avtokorrelyatsiyani aniqlash
1. Grafik usul
Avtokorrelyatsiyani grafik jihatdan aniqlashning bir qancha variantlari mavjud. Ulardan biri e i og'ishlarni ularni olish momentlari bilan bog'laydi i. Bunday holda, abscissa o'qi yoki statistik ma'lumotlarni olish vaqtini ko'rsatadi, yoki tartib raqam kuzatishlar va ordinata bo'ylab - og'ishlar e i (yoki og'ishlarni baholash).
Agar og'ishlar o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik mavjud bo'lsa, u holda avtokorrelyatsiya sodir bo'ladi, deb taxmin qilish tabiiydir. Qaramlikning yo'qligi, ehtimol, avtokorrelyatsiyaning yo'qligini ko'rsatadi.
Agar siz e i ning e i-1 ga bog'liqligini chizsangiz, avtokorrelyatsiya aniqroq bo'ladi
Durbin-Watson testi.
Ushbu mezon avtokorrelyatsiyani aniqlash uchun eng mashhur hisoblanadi.
Regressiya tenglamalarini statistik tahlil qilganda, dastlabki bosqichda ko'pincha bitta shartning maqsadga muvofiqligi tekshiriladi: bir-biridan og'ishlarning statistik mustaqilligi shartlari. Bunday holda, qo'shni qiymatlarning o'zaro bog'liqligi e i tekshiriladi.
| y | y(x) | e i = y-y(x) | e 2 | (e i - e i-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
Og'ishlarning korrelyatsiyasini tahlil qilish uchun foydalaning Durbin-Watson statistikasi:
D 1 va d 2 kritik qiymatlari zaruriy ahamiyat darajasi a, kuzatishlar soni n = 12 va tushuntirish o'zgaruvchilari soni m = 1 uchun maxsus jadvallar asosida aniqlanadi.
Agar quyidagi shart bajarilsa, avtokorrelyatsiya bo'lmaydi:
d 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Jadvallarga murojaat qilmasdan, siz taxminiy qoidadan foydalanishingiz mumkin va agar 1,5 bo'lsa, qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi yo'q deb taxmin qilishingiz mumkin.< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков yo'q.
Ishonchliroq xulosa qilish uchun jadval qiymatlariga murojaat qilish tavsiya etiladi.
n=12 va k=1 (5% ahamiyatlilik darajasi) uchun Durbin-Uotson jadvalidan foydalanib, quyidagilarni topamiz: d 1 = 1,08; d2 = 1,36.
1.08 dan boshlab< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков yo'q.
Geteroskdastlikni tekshirish.
1) Qoldiqlarni grafik tahlil qilish orqali.
Bunday holda, X tushuntirish o'zgaruvchisining qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chiziladi va e i yoki ularning kvadratlari e 2 i ordinatalar o'qi bo'ylab chiziladi.
Agar og'ishlar o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik mavjud bo'lsa, u holda heteroskedastlik yuzaga keladi. Qaramlikning yo'qligi, ehtimol, heteroskedastlikning yo'qligini ko'rsatadi.
2) Testdan foydalanish daraja korrelyatsiyasi Spearman.
Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsienti.
Y xususiyat va X omilga darajalar beraylik. d 2 kvadratlar ayirmasi yig‘indisini toping.
Formuladan foydalanib, biz Spearman darajasining korrelyatsiya koeffitsientini hisoblaymiz. 
| t | e i | daraja X, d x | daraja e i , d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | t jadvali (n-m-1;a/2) = (10;0,05/2) = 2,228
Ko'pincha tendentsiya ko'rinadi chiziqli bog'liqlik o'rganilayotgan turdagi
bu erda y - qiziqish o'zgaruvchisi (masalan, unumdorlik) yoki bog'liq o'zgaruvchi;
x - prognoz davridagi yilning pozitsiyasini (ikkinchi, uchinchi va hokazo) yoki mustaqil o'zgaruvchini aniqlaydigan raqam.
Ikki parametr orasidagi munosabatni chiziqli yaqinlashtirganda, chiziqli funktsiyaning empirik koeffitsientlarini topish uchun eng kichik kvadratlar usuli qo'llaniladi. Usulning mohiyati shundan iborat chiziqli funksiya"Eng yaxshi moslik" o'lchangan parametrning kvadrat og'ishlari yig'indisining minimaliga mos keladigan grafik nuqtalaridan o'tadi. Bu holat quyidagicha ko'rinadi:
bu erda n - o'rganilayotgan populyatsiyaning hajmi (kuzatish birliklari soni).
Guruch. 5.3. Eng kichik kvadratlar usuli yordamida trend yaratish
b va a konstantalarining qiymatlari yoki X o'zgaruvchining koeffitsienti va tenglamaning erkin muddati quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Jadvalda 5.1 ma'lumotlardan chiziqli tendentsiyani hisoblash misolini ko'rsatadi.
5.1-jadval. Chiziqli trendni hisoblash
Tebranishlarni yumshatish usullari.
Agar qo'shni qiymatlar o'rtasida kuchli tafovutlar mavjud bo'lsa, regressiya usuli bilan olingan tendentsiyani tahlil qilish qiyin. Prognozlashda, agar seriya qo'shni qiymatlardagi o'zgarishlarning katta tarqalishiga ega bo'lgan ma'lumotlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, siz ularni ma'lum qoidalarga muvofiq tekislashingiz va keyin prognozdagi ma'noni izlashingiz kerak. Tebranishlarni tekislash usuliga
o'z ichiga oladi: harakatlanuvchi o'rtacha usuli (n-nuqta o'rtacha hisoblanadi), eksponensial tekislash usuli. Keling, ularga qaraylik.
Harakatlanuvchi o'rtacha usuli (MAM).
MSS trendni ta'kidlash uchun bir qator qiymatlarni tekislash imkonini beradi. Bu usul belgilangan qiymatlar sonining o'rtacha (odatda arifmetik o'rtacha) qiymatini oladi. Misol uchun, uch nuqtali harakatlanuvchi o'rtacha. Yanvar, fevral va mart oylari (10 + 12 + 13) ma'lumotlaridan tuzilgan dastlabki uchta qiymat olinadi va o'rtacha 35: 3 = 11,67 deb aniqlanadi.
Olingan 11,67 qiymati diapazonning markaziga joylashtiriladi, ya'ni. fevral chizig'iga ko'ra. Keyin biz "bir oyga siljiymiz" va fevraldan aprelgacha (12 + 13 + 16) ikkinchi uchta raqamni olamiz va o'rtacha 41 ga teng: 3 = 13,67 ni hisoblaymiz va shu tarzda biz ma'lumotlarni qayta ishlaymiz. butun seriya. Olingan o'rtacha ko'rsatkichlar tendentsiya va uning yaqinlashuvini yaratish uchun ma'lumotlarning yangi qatorini ifodalaydi. Harakatlanuvchi o'rtachani hisoblash uchun qancha ko'p ball olinadi, tebranishlarni tekislash shunchalik kuchli bo'ladi. MBA dan trend konstruktsiyasiga misol jadvalda keltirilgan. 5.2 va rasmda. 5.4.
5.2-jadval. Uch nuqtali harakatlanuvchi o'rtacha usuli yordamida trendni hisoblash
Harakatlanuvchi o'rtacha usuli bilan olingan dastlabki ma'lumotlar va ma'lumotlardagi tebranishlarning tabiati rasmda ko'rsatilgan. 5.4. Dastlabki qiymatlar seriyasi (3-seriya) va uch nuqtali harakatlanuvchi o'rtacha (4-seriya) grafiklarini taqqoslashdan ko'rinib turibdiki, tebranishlarni yumshatish mumkin. Qanaqasiga kattaroq raqam nuqtalar harakatlanuvchi o'rtacha hisoblash diapazonida ishtirok etadi, tendentsiya qanchalik aniq namoyon bo'ladi (1-qator). Ammo diapazonni kengaytirish tartibi yakuniy qiymatlar sonining qisqarishiga olib keladi va bu prognozning aniqligini pasaytiradi.
Prognozlar dastlabki ma'lumotlar yoki harakatlanuvchi o'rtacha qiymatlar asosida regressiya chizig'ini baholash asosida amalga oshirilishi kerak.
Guruch. 5.4. Yil oylari bo'yicha sotish hajmining o'zgarishi tabiati:
dastlabki ma'lumotlar (3-qator); harakatlanuvchi o'rtacha ko'rsatkichlar (4-qator); eksponensial tekislash(2-qator); regressiya usuli bilan tuzilgan tendentsiya (1-qator)
Eksponensial tekislash usuli.
Seriya qiymatlarining tarqalishini kamaytirishning muqobil yondashuvi eksponensial tekislash usulidan foydalanishdir. Usul "eksponensial tekislash" deb nomlanadi, chunki o'tmishdagi davrlarning har bir qiymati bir omilga (1 - a) kamayadi.
Har bir tekislangan qiymat quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
St =aYt +(1−a)St−1,
bu erda St - joriy tekislangan qiymat;
Yt – vaqt seriyasining joriy qiymati; St – 1 – oldingi tekislangan qiymat; a - tekislash doimiysi, 0 ≤ a ≤ 1.
Qanaqasiga kamroq qiymat doimiy a bo'lsa, u ma'lum vaqt qatoridagi trend o'zgarishlariga shunchalik sezgir emas.
2-bobda vaqt seriyasi tendentsiyasi kontseptsiyasi muhokama qilindi, ya'ni. o'rganilayotgan ko'rsatkichning rivojlanish dinamikasining tendentsiyalari. Ushbu bobning maqsadi bunday tendentsiyalarning asosiy turlarini, ularning tendentsiya chizig'i tenglamasida ko'proq yoki kamroq to'liqlik darajasida aks ettirilgan xususiyatlarini ko'rib chiqishdir. Shuni ta'kidlab o'tamizki, oddiy mexanika tizimlaridan farqli o'laroq, murakkab ijtimoiy, iqtisodiy, biologik va texnik tizimlar ko'rsatkichlarining o'zgarishi tendentsiyalari faqat u yoki bu tenglama, trend chizig'i bilan qandaydir yaqinlashish bilan aks ettiriladi.
Ushbu bobda matematikada ma'lum bo'lgan barcha chiziqlar va ularning tenglamalari ko'rib chiqilmaydi, balki ularning nisbatan sodda shakllari to'plamigina ko'rib chiqiladi, biz ularni amalda uchraydigan ko'pchilik vaqt seriyalarining tendentsiyalarini ko'rsatish va tahlil qilish uchun etarli deb hisoblaymiz. Bunday holda, har doim trendni juda yaqin ifodalaydigan bir nechta turdagi chiziqlardan oddiyroq chiziqni tanlash tavsiya etiladi. Ushbu "oddiylik printsipi" trend chizig'i tenglamasi qanchalik murakkab bo'lsa, undagi parametrlar soni qanchalik ko'p bo'lsa, teng darajada yaqinlashish bilan ushbu parametrlarning ishonchli bahosini berish shunchalik qiyin bo'lishi bilan asoslanadi. qator darajalarining cheklangan soniga asoslangan va bu parametrlarni baholashda xato qanchalik katta bo'lsa, bashorat qilingan darajalardagi xatolar.
4.1. To'g'ri chiziqli tendentsiya va uning xususiyatlari
Eng oddiy turi Trend chizig'i - bu chiziqli (ya'ni birinchi darajali) trend tenglamasi bilan tavsiflangan to'g'ri chiziq:
Qayerda 
-
tekislangan, ya'ni. tebranishlardan mahrum, i raqami bilan yillar davomida trend darajalari;
A- boshlang'ich sifatida qabul qilingan moment yoki vaqt davri uchun o'rtacha tekislangan darajaga son jihatdan teng bo'lgan tenglamaning erkin muddati, ya'ni. Uchun
t = 0;
b - vaqt birligi o'zgarishida ketma-ket darajalarning o'rtacha o'zgarishi;
ti - vaqt seriyasining darajalari bog'liq bo'lgan lahzalar yoki vaqt davrlari raqamlari (yil, chorak, oy, sana).
Vaqt birligida ketma-ket darajalarning o'rtacha o'zgarishi chiziqli tendentsiyaning asosiy parametri va doimiysi hisoblanadi. Shu sababli, ushbu turdagi tendentsiya darajalardagi taxminan bir xil o'zgarishlar tendentsiyasini ko'rsatish uchun mos keladi: teng vaqt oralig'ida teng o'rtacha mutlaq o'sish yoki darajalarning mutlaq pasayishi. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, bunday dinamika tez-tez uchraydi. Ketma-ket darajalarining deyarli bir xil mutlaq o'zgarishlarining sababi quyidagilardan iborat: qishloq xo'jaligi hosildorligi, viloyat, shahar aholisi, aholi daromadlari miqdori, har qanday oziq-ovqat mahsulotining o'rtacha iste'moli kabi ko'plab hodisalar. va hokazo, ko'p sonli turli omillarga bog'liq. Ulardan ba'zilari o'rganilayotgan hodisaning tez o'sishiga, boshqalari - sekinroq o'sishiga, boshqalari - darajalarning pasayishiga va boshqalarga ta'sir qiladi. Omillarning ko'p yo'nalishli va har xil tezlashtirilgan (sekinlashtirilgan) kuchlarining ta'siri o'zaro o'rtacha, qisman bekor qilinadi va ularning ta'siri natijasi bir xil tendentsiyaga yaqin xususiyatga ega bo'ladi. Shunday qilib, dinamikaning (yoki turg'unlikning) yagona tendentsiyasi o'rganilayotgan ko'rsatkichning o'zgarishiga ko'p sonli omillarning ta'sirini qo'shish natijasidir.
To'g'ri chiziqli tendentsiyaning grafik tasviri to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi to'g'ri chiziq bo'lib, ikkala o'qda chiziqli (arifmetik) masshtabga ega. Chiziqli tendentsiyaga misol rasmda keltirilgan. 4.1.
Darajalardagi mutlaq o'zgarishlar yillar davomida bir xil bo'lmagan, ammo umumiy tendentsiya ish bilan band bo'lganlar sonining qisqarishi bo'ldi. milliy iqtisodiyot chiziqli tendentsiya bilan juda yaxshi aks ettirilgan. Uning parametrlari bobda hisoblanadi. 5 (5.3-jadval).
To'g'ri chiziq ko'rinishidagi tendentsiyaning asosiy xususiyatlari quyidagilardan iborat:
Teng vaqt oralig'ida teng o'zgarishlar;
Agar o'rtacha mutlaq o'sish ijobiy qiymat bo'lsa, unda nisbiy o'sish yoki o'sish sur'atlari asta-sekin kamayadi;
Agar o'rtacha mutlaq o'zgarish manfiy bo'lsa, u holda nisbiy o'zgarishlar yoki pasayish tezligi mos ravishda asta-sekin ortadi mutlaq qiymat oldingi darajaga tushish;
Agar tendentsiya darajalarni pasaytirish tomon bo'lsa va o'rganilayotgan qiymat ta'rifi bo'yicha ijobiy bo'lsa, u holda o'rtacha o'zgarish b o'rtachadan ortiq bo'lishi mumkin emas A;
Lineer tendentsiya bilan, tezlashtirish, ya'ni. ketma-ket davrlardagi mutlaq o'zgarishlarning farqi nolga teng.
Chiziqli tendentsiyaning xususiyatlari Jadvalda ko'rsatilgan. 4.1. Trend tenglamasi: 
= 100 +20 *ti.
Darajaning pasayish tendentsiyasi mavjud bo'lganda dinamika ko'rsatkichlari jadvalda keltirilgan. 4.2.
4.1-jadval
Dinamik ko'rsatkichlar darajani oshirishga chiziqli tendentsiyaga ega 
= 100 +20 *ti.
|
Davr raqami ti |
|
Tariflar (zanjir), % |
Tezlashtirish |
|
4.2-jadval
Lineer pasayish tendentsiyasiga ega dinamik ko'rsatkichlar: 
= 200 -20 *ti.
|
Davr raqami ti |
|
Oldingi davrga nisbatan mutlaq o'zgarish |
Oldingi davrga nisbatan stavka, % |
Tezlashtirish |
(9.29) formulaga muvofiq chiziqli tendentsiya parametrlari teng a = 1894/11 = 172,2 ts / ga; b= 486/110 = 4,418 ts / ga. Chiziqli trend tenglamasi quyidagi shaklga ega:
y = 172,2 + 4,418t, Qayerda t = 1987 yilda 0 Bu shuni anglatadiki, o'rtacha haqiqiy va tenglashtirilgan daraja davrning o'rtasiga to'g'ri keladi, ya'ni. 1991 yilga kelib, yiliga 172 ts/ga teng bo'lib, o'rtacha yillik o'sish yiliga 4,418 s/ga;
(9.23) ga muvofiq parabolik tendentsiyaning parametrlari teng b = 4,418; a = 177,75; c =-0,5571. Parabolik tendentsiya tenglamasi shaklga ega ũ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t 2; t 1991 yilda = 0. Bu hosildorlikning mutlaq o'sishi yiliga o'rtacha 2·0,56 ts/ga sekinlashishini bildiradi. Mutlaq o'sishning o'zi endi parabolik tendentsiyaning doimiysi emas, balki davr uchun o'rtacha qiymatdir. Boshlanish nuqtasi sifatida olingan yilda ya'ni. 1991 yil, tendentsiya ordinatasi 77,75 s/ga bo'lgan nuqtadan o'tadi; Parabolik tendentsiyaning erkin muddati davr uchun o'rtacha daraja emas. Eksponensial trend parametrlari (9.32) va (9.33) ln formulalari yordamida hisoblanadi. A= 56,5658/11 = 5,1423; kuchayib boradi, biz olamiz A= 171,1; ln k= 2,853:110 = 0,025936; kuchayib boradi, biz olamiz k = 1,02628.
Eksponensial trend tenglamasi: y = 171,1 1,02628 t.
Bu davr uchun o'rtacha yillik hosildorlik darajasi 102,63% ni tashkil etganligini anglatadi. K nuqtada boshlang'ich nuqta sifatida tendentsiya ordinatasi 171,1 s/ga bo'lgan nuqtadan o'tadi.
Trend tenglamalari yordamida hisoblangan darajalar jadvalning oxirgi uchta ustuniga yoziladi. 9.5. Ushbu ma'lumotlardan ko'rinib turibdiki. Har uch turdagi tendentsiyalar uchun darajalarning hisoblangan qiymatlari unchalik farq qilmaydi, chunki parabolaning tezlashishi ham, eksponensialning o'sish tezligi ham kichikdir. Parabola sezilarli farqga ega - darajalarning o'sishi 1995 yildan beri to'xtadi, chiziqli tendentsiya bilan darajalar o'sishda davom etadi va eksponent tendentsiya bilan ularning tezligi tezlashadi. Shuning uchun, kelajak uchun prognozlar uchun bu uchta tendentsiya teng emas: parabolani kelgusi yillarga ekstrapolyatsiya qilishda, jadvaldan ko'rinib turganidek, darajalar to'g'ri chiziqdan va eksponentdan keskin farqlanadi. 9.6. Ushbu jadvalda bir xil uchta tendentsiya uchun Statgraphics dasturidan foydalangan holda kompyuterda yechimning chop etilishi ko'rsatilgan. Ularning bepul shartlari va yuqorida keltirilganlari o'rtasidagi farq dastur yillarni o'rtadan emas, balki boshidan raqamlashi bilan izohlanadi, shuning uchun tendentsiyalarning erkin shartlari 1986 yilga to'g'ri keladi, buning uchun t = 0. bosma nashrdagi eksponensial tenglama logarifmik shaklda qoldiriladi. Prognoz 5 yil oldindan tuziladi, ya'ni. 2001 yilgacha. Parabola tenglamasida koordinatalarning kelib chiqishi (vaqt ko'rsatkichi) o'zgarganda, o'rtacha mutlaq o'sish, parametr b. chunki salbiy tezlashuv natijasida o'sish har doim pasayadi va uning maksimal darajasi davr boshida bo'ladi. Parabolaning yagona doimiysi tezlanishdir.
"Ma'lumotlar" qatori asl seriyalarning darajalarini ko'rsatadi; "Prognoz xulosasi" prognoz ma'lumotlarining qisqacha mazmunini anglatadi. Quyidagi qatorlarda to'g'ri chiziq tenglamalari, parabolalar, ko'rsatkichlar - logarifmik shaklda mavjud. ME ustuni asl seriya darajalari va tendentsiya darajalari o'rtasidagi o'rtacha farqni bildiradi (moslashtirilgan). To'g'ri chiziq va parabola uchun bu nomuvofiqlik har doim nolga teng. Eksponent darajalari asl seriya darajasidan o'rtacha 0,48852 ga past. Haqiqiy tendentsiya eksponent bo'lsa, aniq moslik mumkin; V Ushbu holatda Tasodifiy yo'q, lekin farq kichik. MAE grafigi dispersiyadir s 2 - 9.7-bandda ko'rib chiqilgan tendentsiyaga nisbatan haqiqiy darajalarning o'zgaruvchanligi o'lchovi. MAE ustuni - mutlaq qiymat bo'yicha darajalarning trenddan o'rtacha chiziqli og'ishi (5.8-bandga qarang); ustun MARE - foiz sifatida nisbiy chiziqli og'ish. Bu erda ular tanlangan trend turiga moslik ko'rsatkichlari sifatida taqdim etiladi. Parabola kichikroq dispersiya va og'ish moduliga ega: 1986 - 1996 yillar uchun. haqiqiy darajalarga yaqinroq. Ammo trend turini tanlashni faqat ushbu mezonga qisqartirish mumkin emas. Darhaqiqat, o'sishning sekinlashishi katta salbiy og'ish, ya'ni 1996 yilda hosil yetishmovchiligi natijasidir.
Jadvalning ikkinchi yarmi yillar davomida uch turdagi tendentsiyalar uchun hosildorlik darajasining prognozi; kelib chiqishidan t = 12, 13, 14, 15 va 16 (1986). 16-yilgacha bo'lgan eksponensial uchun bashorat qilingan darajalar to'g'ri chiziqqa qaraganda ancha yuqori emas. Parabolik tendentsiya darajalari pasayib, boshqa tendentsiyalardan tobora ko'proq ajralib bormoqda.
Jadvalda ko'rinib turganidek. 9.4, trend parametrlarini hisoblashda asl seriyalarning darajalari turli og'irliklar - qiymatlar bilan kiritilgan. tp va ularning kvadratlari. Demak, darajadagi tebranishlarning tendentsiya parametrlariga ta'siri qaysi yil sonida hosil yili yoki ozg'in yil borligiga bog'liq. Agar nol raqam bilan bir yil ichida keskin og'ish sodir bo'lsa ( t i = 0), u holda trend parametrlariga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi, lekin seriyaning boshi va oxiriga tegsa, kuchli ta'sir ko'rsatadi. Binobarin, bitta analitik moslashuv tendentsiya parametrlarini tebranishlar ta'siridan to'liq ozod etmaydi va kuchli tebranishlar bilan ular juda buzilishi mumkin, bu bizning misolimizdagi parabola bilan sodir bo'ldi. Tebranishlarning trend parametrlariga buzuvchi ta'sirini yanada bartaraf etish uchun qo'llash kerak bir nechta toymasin tekislash usuli.
Ushbu uslub shundan iboratki, trend parametrlari butun seriya uchun darhol hisoblanmaydi, lekin sirpanish usuli, birinchi uchun birinchi T vaqt yoki lahzalar davrlari, so'ngra 2-chi davr uchun t + 1, 3-dan (t + 2) daraja va boshqalar. Agar seriyaning boshlang'ich darajalari soni teng bo'lsa P, va parametrlarni hisoblash uchun har bir toymasin taglikning uzunligi tengdir T, u holda bunday harakatlanuvchi bazalar soni t yoki ulardan aniqlanadigan individual parametr qiymatlari:
L = n + 1 - T.
Yuqoridagi hisob-kitoblardan ko'rinib turibdiki, siljishli bir nechta tekislash texnikasidan foydalanish faqat seriyadagi etarlicha katta miqdordagi, odatda 15 yoki undan ko'p darajalar bilan mumkin. Keling, misol sifatida 1-jadvaldagi ma'lumotlardan foydalanib, ushbu texnikani ko'rib chiqaylik. 9.4 - yoqilg'i bo'lmagan tovarlar narxlari dinamikasi rivojlanayotgan davlatlar, bu yana o'quvchiga kichik ishtirok etish imkonini beradi ilmiy tadqiqot. Xuddi shu misoldan foydalanib, biz 9.10-bo'limda prognozlash texnikasini davom ettiramiz.
Agar seriyamizdagi parametrlarni 11 yillik davrlarda (11 darajada) hisoblasak, u holda t= 17 + 1 - 11 = 7. Ko'p surma tekislashning ma'nosi shundaki, parametrlarni hisoblash uchun asosning ketma-ket siljishi bilan uning uchlari va o'rtasida bo'ladi. turli darajalar turli belgi va kattalikdagi tendentsiyadan og'ishlar bilan. Shuning uchun, bazadagi ba'zi o'zgarishlar bilan parametrlar ortiqcha baholanadi, boshqalari bilan ular kam baholanadi va keyinchalik hisob-kitob bazasining barcha siljishlari bo'yicha parametr qiymatlarining o'rtacha hisoblanishi bilan, buzilishlarni o'zaro bekor qilish sodir bo'ladi. darajadagi tebranishlar bo'yicha trend parametrlari.
Ko'p siljishli tekislash nafaqat trend parametrlarining aniqroq va ishonchli bahosini olish imkonini beradi, balki trend tenglamasi turini to'g'ri tanlashni ham nazorat qiladi. Agar harakatlanuvchi bazalar yordamida hisoblanganda yetakchi trend parametri, uning konstantasi tasodifiy o‘zgarmasligi, balki muntazam ravishda o‘z qiymatini sezilarli darajada o‘zgartirishi aniqlansa, bu trend turi noto‘g‘ri tanlanganligini anglatadi, bu parametr doimiy emas. .
Ko'p marta tenglashtirishda bo'sh muddatga kelsak, uning qiymatini barcha bazaviy siljishlar bo'yicha o'rtacha sifatida hisoblashning hojati yo'q va shunchaki noto'g'ri, chunki bu usul yordamida dastlabki seriyaning individual darajalari hisob-kitobga kiritiladi. turli og'irliklarga ega bo'lgan o'rtacha ko'rsatkichlar va tenglashtirilgan darajalar yig'indisi asl seriyaning shartlari yig'indisi bilan farqlanadi. Trendning erkin muddati - bu davr uchun darajaning o'rtacha qiymati, agar vaqt davr o'rtasidan hisoblangan bo'lsa. Agar birinchi darajali bo'lsa, boshidan hisoblashda t i= 1, bepul muddat quyidagilarga teng bo'ladi: a 0 = u̅ - b((N-1)/2). Trend parametrlarini hisoblash uchun harakatlanuvchi bazaning uzunligi sathlardagi tebranishlarni etarli darajada yumshatish uchun kamida 9-11 darajani tanlash tavsiya etiladi. Agar dastlabki qator juda uzun bo'lsa, taglik uning uzunligidan 0,7 - 0,8 gacha bo'lishi mumkin. Uzoq muddatli (tsiklik) tebranishlarning tendentsiya parametrlariga ta'sirini bartaraf etish uchun bazaviy siljishlar soni tebranish siklining uzunligiga teng yoki ko'p bo'lishi kerak. Keyin bazaning boshlanishi va oxiri ketma-ket tsiklning barcha bosqichlarini "o'tadi" va parametrni barcha siljishlar bo'yicha o'rtacha hisoblaganda, uning tsiklik tebranishlardan buzilishlari bir-birini bekor qiladi. Yana bir usul - harakatlanuvchi taglikning uzunligini tsikl uzunligiga teng ravishda olish, shuning uchun bazaning boshlanishi va asosning oxiri doimo tebranish davrining bir xil fazasiga to'g'ri keladi.
Chunki jadvalga ko'ra. 9.4, tendentsiya chiziqli shaklga ega ekanligi allaqachon aniqlangan, biz o'rtacha yillik mutlaq o'sishni hisoblaymiz, ya'ni parametr. b chiziqli tendentsiya tenglamalari 11 yillik asoslarda toymasin (9.7-jadvalga qarang). Shuningdek, u 9.7-bandda o'zgaruvchanlikni keyingi o'rganish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlarni hisoblashni o'z ichiga oladi. Keling, toymasin tayanchlar yordamida bir nechta tekislash texnikasini batafsil ko'rib chiqaylik. Parametrni hisoblaylik b barcha ma'lumotlar bazalari uchun:
To'g'ri chiziqni nazariy darajalarning faraziy funktsiyasi sifatida olib, biz ikkinchisining parametrlarini aniqlaymiz:
Ushbu tizimni quyidagi formulalar yordamida hal qilish mumkin:
Demak, kerakli trend tenglamasi: 
. Olingan tenglamaga 1, 2, 3, 4, 5 qiymatlarini qo'yib, biz seriyaning nazariy darajalarini aniqlaymiz (4.3-jadvalning oxirgi ustuniga qarang). Empirik va nazariy darajalarning qiymatlarini taqqoslab, biz ularning yaqin ekanligini ko'ramiz, ya'ni. Aytishimiz mumkinki, topilgan tenglama darajalar o'zgarishining asosiy tendentsiyasini aniq chiziqli funktsiya sifatida juda muvaffaqiyatli tavsiflaydi.
Agar vaqt ketma-ket o'rtasidan hisoblansa, normal tenglamalar tizimi soddalashtiriladi. Masalan, qachon darajalarning toq soni o'rta nuqta (yil, oy) nol sifatida qabul qilinadi. Keyin oldingi davrlar mos ravishda -1, -2, -3 va hokazo, o'rtachadan keyingi davrlar esa mos ravishda - +1, +2, +3 va boshqalar bilan belgilanadi. Darajalar soni teng bo'lganda, vaqtning ikkita o'rta momenti (davrlari) mos ravishda -1 va +1, keyingi va oldingi barchalari esa ikkita intervalda belgilanadi: 
va hokazo.
Vaqtni hisoblashning ushbu tartibi bilan (qatorning o'rtasidan) normal tenglamalar tizimi quyidagi ikkita tenglamaga soddalashtiriladi, ularning har biri mustaqil ravishda hal qilinadi:
Muhim Vaqt seriyalari modelini qurishda mavsumiy va tsiklik tebranishlar hisobga olinadi. Modeldagi mavsumiy va tsiklik tebranishlarni hisobga olishning eng oddiy usuli mavsumiy/tsiklik komponentning qiymatlarini hisoblash va qo'shimcha va multiplikativ vaqt seriyasi modelini qurishdir.
Umumiy shakl qo'shimcha model quyidagicha: Y=T+S+E. Ushbu model ketma-ketlikning har bir vaqt darajasi tendentsiya yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkinligini taxmin qiladi T, mavsumiy S va tasodifiy komponent. Multiplikativ modelning umumiy ko'rinishi quyidagicha ko'rinadi: Y=T∙S∙E.
Ikki modeldan birini tanlash mavsumiy tebranishlar strukturasini tahlil qilishga asoslanadi. Agar tebranishlarning amplitudasi taxminan doimiy bo'lsa, qo'shimcha vaqt seriyasi modeli tuziladi, unda mavsumiy komponentning qiymatlari turli davrlar uchun doimiy deb hisoblanadi. Agar mavsumiy tebranishlarning amplitudasi oshsa yoki kamaysa, multiplikativ vaqt seriyasi modeli quriladi, bu seriya darajalarini mavsumiy komponentning qiymatlariga bog'liq qiladi.
Qo'shimcha va multiplikativ modellarni qurish hisoblashga to'g'ri keladi T, S, E har bir satr darajasi uchun. Modelni yaratish bosqichlari quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:
1. Harakatlanuvchi o'rtacha usuli yordamida dastlabki qatorni tekislash
2. Mavsumiy komponent qiymatlarini hisoblash S.
3. Seriyaning boshlang'ich darajalaridan mavsumiy komponentni yo'q qilish va qo'shimchada moslashtirilgan ma'lumotlarni olish ( T+E) yoki multiplikativ ( T∙E) modellar.
4. Analitik tekislash ( T+E) yoki ( T∙E) va qiymatlarni hisoblash T olingan tendentsiya tenglamasidan foydalanish.
5. Modeldan olingan qiymatlarni hisoblash ( T+E) yoki ( T∙E).
6. Mutlaq va/yoki hisoblash nisbiy xatolar. Agar olingan qiymatlar avtokorrelyatsiyani o'z ichiga olmasa, ular seriyaning asl darajalarini almashtirishi va keyinchalik xatolarning vaqt qatoridan foydalanishi mumkin. E asl seriyalar va boshqa vaqt seriyalari o'rtasidagi munosabatlarni tahlil qilish.
O'rganilayotgan vaqt qatorida davriy tebranishlar mavjud emas deb faraz qilib, munosabatlarni tahlil qilishning boshqa usullarini ko'rib chiqaylik. Keling, biz seriyalar orasidagi bog'liqlikni o'rganyapmiz deb faraz qilaylik X Va da. Ushbu qaramlikni miqdoriy tavsiflash uchun biz foydalanamiz chiziqli koeffitsient korrelyatsiyalar. Agar ko'rib chiqilayotgan vaqt seriyalari tendentsiyada bo'lsa, mutlaq qiymat korrelyatsiya koeffitsienti yuqori bo'ladi. Biroq, bu shuni anglatmaydi X sabab da. Bu holda yuqori korrelyatsiya koeffitsienti buning natijasidir X Va da vaqtga bog'liq yoki trendni o'z ichiga oladi. Bunda sabab-natija bog'liqligi bo'yicha bir-biri bilan mutlaqo bog'liq bo'lmagan qatorlar bir xil yoki qarama-qarshi tendentsiyaga ega bo'lishi mumkin. Masalan, 1970-1990 yillarda Rossiya Federatsiyasida universitet bitiruvchilari soni va dam olish uylari soni o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti 0,8 ni tashkil etdi. Biroq, bu dam olish uylari soni bitiruvchilar sonining ko'payishiga yordam beradi yoki aksincha, degani emas.
O'rganilayotgan qatorlar orasidagi sabab-natija munosabatlarini tavsiflovchi korrelyatsiya koeffitsientlarini olish uchun har bir qatorda bitta tendentsiya bilan bartaraf etiladigan tendentsiya mavjudligidan kelib chiqadigan noto'g'ri korrelyatsiya deb ataladigan narsadan xalos bo'lish kerak. usullaridan.
Faraz qilaylik, ikkita vaqt seriyasi uchun x t Va y t juftlik regressiya tenglamasi tuziladi chiziqli regressiya turi: 
. Bu vaqt qatorlarining har birida trendning mavjudligi bog'liqligini bildiradi y t va mustaqil x t Model o'zgaruvchilari modelda bevosita hisobga olinmagan vaqt omili tomonidan ta'sirlanadi. Vaqt omilining ta'siri vaqtning joriy va oldingi nuqtalari uchun qoldiq qiymatlari o'rtasidagi korrelyatsiyada ifodalanadi, bu qoldiqlardagi avtokorrelyatsiya deb ataladi.
Qoldiqlardagi avtokorrelyatsiya OLS ning asosiy shartlaridan biri - regressiya tenglamasidan olingan qoldiqlarning tasodifiy ekanligi haqidagi farazning buzilishidir. Biri mumkin bo'lgan usullar Bu muammoning yechimi umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar usulidan foydalanishdir.
Trendni yo'q qilish uchun ikkita usul guruhi qo'llaniladi:
Asl seriyalar darajalarini tendentsiyalarni o'z ichiga olmaydigan yangi o'zgaruvchilarga aylantirishga asoslangan usullar (ketma-ket farqlar usuli va tendentsiyalardan chetga chiqish usuli);
Vaqt omilining modelning bog'liq va mustaqil o'zgaruvchilariga ta'sirini bartaraf etishda vaqt seriyalarining boshlang'ich darajalari o'rtasidagi munosabatlarni o'rganishga asoslangan usullar (vaqt omilini vaqt seriyalari uchun regressiya modeliga kiritish).
Har birida trend komponenti mavjud bo'lgan ikkita vaqt seriyasi va bo'lsin T va tasodifiy komponent. Ushbu seriyalarning har birining analitik moslashuvi mos keladigan trend tenglamalarining parametrlarini topishga va trend va mos keladiganlar tomonidan hisoblangan darajalarni aniqlashga imkon beradi. Ushbu hisoblangan qiymatlar trend komponentining taxmini sifatida qabul qilinishi mumkin T har bir qator. Shuning uchun, trendning ta'sirini seriya darajalarining hisoblangan qiymatlarini haqiqiylardan ayirish orqali yo'q qilish mumkin. Ushbu protsedura modeldagi har bir vaqt seriyasi uchun amalga oshiriladi. Seriyalar o'rtasidagi munosabatlarni keyingi tahlil qilish boshlang'ich darajalardan emas, balki tendentsiyadan og'ish va . Aynan shu narsa trenddan chetlanish usuli.
Ba'zi hollarda, trendni yo'q qilish uchun vaqt seriyasini analitik tarzda tekislash o'rniga, oddiyroq usuldan foydalanish mumkin. – ketma-ket farqlar usuli. Vaqt seriyasi kuchli chiziqli tendentsiyani o'z ichiga olgan bo'lsa, uni ketma-ketlikning boshlang'ich darajalarini zanjirlangan mutlaq o'sishlar (birinchi farqlar) bilan almashtirish orqali yo'q qilish mumkin.
Koeffitsient b- vaqtga bog'liq bo'lmagan doimiy. Kuchli chiziqli tendentsiya mavjud bo'lganda, iste'folar juda kichik va OLS taxminlariga ko'ra, tabiatda tasodifiydir. Shuning uchun, ketma-ketlik darajalari orasidagi birinchi farqlar vaqt o'zgaruvchisiga bog'liq emas, ular keyingi tahlil uchun ishlatilishi mumkin;
Agar vaqt qatorida ikkinchi tartibli parabola ko'rinishidagi trend mavjud bo'lsa, uni yo'q qilish uchun qatorning boshlang'ich darajalarini ikkinchi farqlar bilan almashtirish mumkin: .
Vaqt seriyasining tendentsiyasi eksponensial yoki kuch qonuni tendentsiyasiga mos keladigan bo'lsa, ketma-ket farq usuli qo'llanilmasligi kerak. original darajalar qator, lekin ularning logarifmlariga.
Model ko'rinishi: 
vaqt omilini o'z ichiga olgan modellar guruhiga ham tegishli. Ushbu modelning tendentsiyalardan va ketma-ket farqlardan chetga chiqish usullaridan afzalligi shundaki, u bizga asl ma'lumotlardagi barcha ma'lumotlarni hisobga olish imkonini beradi, chunki qiymatlar va asl vaqt seriyasining darajalari hisoblanadi. Bundan tashqari, model kuzatuvlar sonining yo'qolishiga olib keladigan ketma-ket farqlar usulidan farqli o'laroq, ko'rib chiqilayotgan davr uchun barcha ma'lumotlar to'plamidan foydalangan holda quriladi. Ushbu modelning parametrlari oddiy eng kichik kvadratlar bilan aniqlanadi.
Misol. 4.4-jadvaldagi dastlabki ma’lumotlar asosida trend tenglamasini tuzamiz.
4.4-jadval
Yakuniy iste'mol xarajatlari va umumiy daromad (shartli birliklar)
Oddiy tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:
Dastlabki ma'lumotlardan foydalanib, biz kerakli qiymatlarni hisoblaymiz va ularni tizimga almashtiramiz:
Regressiya tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega.
Tenglama parametrlarining talqini quyidagicha: u umumiy daromadning 1 birlikka oshishi bilan tavsiflanadi. Yakuniy iste'mol xarajatlari doimiy tendentsiyani hisobga olgan holda, o'rtacha 0,49 so'mga oshadi. Parametr shuni anglatadiki, umumiy daromaddan tashqari barcha omillarning yakuniy iste'mol xarajatlariga ta'siri uning o'rtacha yillik mutlaq 0,63 kubometrga oshishiga olib keladi.
Quyidagi shakldagi regressiya tenglamasini ko'rib chiqing: 
. Vaqtning har bir lahzasi uchun komponentlarning qiymati yoki sifatida aniqlanadi. Vaqt seriyasi sifatida qoldiqlar ketma-ketligini hisobga olsak, ularning vaqtga bog'liqligini chizishingiz mumkin. OLSning taxminlariga ko'ra, qoldiqlar tasodifiy bo'lishi kerak (4.4-rasm).
Guruch. 4.4 Tasodifiy qoldiqlar
Biroq, vaqt qatorlarini modellashda ko'pincha qoldiqlarda tendentsiya yoki tsiklik tebranishlar mavjud bo'lgan holatlar mavjud (4.5-rasm). Bu qoldiqlarning har bir keyingi qiymati avvalgilariga bog'liqligini ko'rsatadi. Bunday holda, ular qoldiqlarda avtokorrelyatsiya mavjudligi haqida gapirishadi.
a) b)
Guruch. 4.5 pasayish tendentsiyasi ( A) va tsiklik tebranishlar ( b)
qoldiqlarda
Tasodifiy komponentning avtokorrelyatsiyasi- tasodifiy komponentning joriy va oldingi qiymatlarining korrelyatsiyaga bog'liqligi. Tasodifiy komponentlar avtokorrelyatsiyasining oqibatlari:
Regressiya koeffitsientlari samarasiz bo'ladi;
Regressiya koeffitsientlarining standart xatolari kam baholanadi va qiymatlar t- mezonlar ortiqcha baholangan.
Qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasini aniqlash uchun qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasini aniqlashning ikkita eng keng tarqalgan usuli ma'lum. Birinchi usul - qoldiqlarni vaqtga nisbatan grafigi va avtokorrelyatsiya mavjudligi yoki yo'qligini vizual ravishda aniqlash. Ikkinchi usul - bu gipotezani sinab ko'rish uchun asos bo'lgan Durbin-Vatson testidan foydalanish:
H0 (asosiy gipoteza): avtokorrelyatsiya yo'q;
H1 va H2 (muqobil farazlar): qoldiqlarda mos ravishda ijobiy yoki salbiy avtokorrelyatsiya mavjud.
Asosiy gipotezani tekshirish uchun Durbin-Watson test statistikasi qo'llaniladi:
Qayerda.
Katta namunalarda d≈2(1-), Qayerda - 1-tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsienti.
.
Agar qoldiqlarda to'liq ijobiy avtokorrelyatsiya mavjud bo'lsa va =1, keyin d=0; agar qoldiqlarda to'liq salbiy avtokorrelyatsiya mavjud bo'lsa, u holda = -1 va d=4; agar qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi bo'lmasa, u holda = 0, keyin d=2. Shuning uchun, 0.
Pastki va yuqori kritik chegaralarni aniqlash uchun maxsus statistik jadvallar mavjud d-statistika –dL Va d U. Ularga qarab belgilanadi n, mustaqil o'zgaruvchilar soni k va ahamiyatlilik darajasi.
Agar dob ‹d L, keyin H1 gipotezasi qabul qilinadi: ijobiy avtokorrelyatsiya.
Agar d va ‹d obs ‹2,
Agar 2‹d obs‹4-d va, keyin H0 gipotezasi qabul qilinadi: avtokorrelyatsiya yo'q.
Agar d obs ›4-d L , keyin H2 gipotezasi qabul qilinadi: salbiy avtokorrelyatsiya.
Agar 4-d va ‹d obs ‹4-d L , Va d L ‹d obs ‹d va, keyin noaniqlik holati mavjud.
0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4
Guruch. 4.6 Qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi mavjudligi haqidagi gipotezani tekshirish algoritmi
Durbin-Watson testini qo'llashda cheklovlar mavjud. Bu mustaqil o'zgaruvchilar sifatida olingan xarakteristikaning kechikkan qiymatlarini o'z ichiga olgan modellar uchun qo'llanilmaydi, ya'ni. avtoregressiv modellar uchun. Texnika faqat birinchi darajali qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasini aniqlashga qaratilgan. Kattaroq namunalar bilan ishlashda natijalar ishonchliroq bo'ladi.
Qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi mavjud bo'lgan hollarda parametr baholarini aniqlash a, b umumlashtirilgan usuldan foydalaning Ketma-ketlikdan iborat MNC Keyingi qadamlar:
1. Asl o'zgaruvchilarni o'zgartiring y t Va x t aqlga
2. Tenglamaga odatiy eng kichik kvadratlar usulini qo'llash 
, Qayerda 
parametr baholarini aniqlash va b.
4. Yozing asl tenglama .
Vaqt ma'lumotlaridan foydalangan holda qurilgan ekonometrik modellar orasida dinamik modellar ajralib turadi.
Ekonometrik model - bu dinamik , agar ichida bu daqiqa vaqt t u vaqtning joriy va oldingi nuqtalariga taalluqli uning tarkibiy o'zgaruvchilari qiymatlarini hisobga oladi, ya'ni. bu model vaqtning har bir nuqtasida o'rganilayotgan o'zgaruvchilarning dinamikasini aks ettiradi.
Dinamik ekonometrik modellarning ikkita asosiy turi mavjud. Birinchi turdagi model avtoregressiv modellarni va taqsimlangan kechikish modellarini o'z ichiga oladi, bunda o'zgaruvchining o'tgan davrlardagi qiymati (kechiktirilgan o'zgaruvchilar) bevosita modelga kiritiladi. Ikkinchi turdagi modellar dinamik axborotni bilvosita hisobga oladi. Ushbu modellar natijaning kutilgan va istalgan darajasini yoki bir vaqtning o'zida omillardan birini tavsiflovchi o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi. t.
Taqsimlangan kechikish modeli shaklga ega:
Tarqalgan kechikish va avtoregressiv modellarni qurish o'ziga xos xususiyatlarga ega. Birinchidan, avtoregressiv modellarning parametrlarini va ko'p hollarda taqsimlangan kechikish modellarini baholash an'anaviy OLS yordamida amalga oshirilmaydi, chunki uning binolari buzilgan va maxsus statistik usullarni talab qiladi. Ikkinchidan, tadqiqotchilar optimal kechikish qiymatini tanlash va uning tuzilishini aniqlash muammosini hal qilishlari kerak. Nihoyat, uchinchidan, taqsimlangan kechikish modellari va avtoregressiv modellar o'rtasida ma'lum munosabat mavjud va ba'zi hollarda bir turdagi modeldan ikkinchisiga o'tish kerak.
Maksimal kechikish qiymati chekli degan faraz ostida taqsimlangan kechikishli modelni ko'rib chiqamiz:
Bu model, agar bir vaqtning o'zida, deydi t mustaqil o'zgaruvchi o'zgaradi x, keyin bu o'zgarish o'zgaruvchining qiymatlariga ta'sir qiladi y davomida l vaqt ichida keyingi daqiqalar.
Regressiya koeffitsienti b 0 o'zgaruvchi bilan x t o'rtacha mutlaq o'zgarishni xarakterlaydi y t o'zgarganda x t 1 birlik uchun Vaqtning ma'lum bir nuqtasida uning o'lchovi t, omilning kechikkan qiymatlarining ta'sirini hisobga olmagan holda x. Bu koeffitsient deyiladi qisqa muddatli multiplikator.
Ayni damda t+1 omil o'zgaruvchisining ta'siri x t natija bo'yicha y t bo'ladi ( b 0 +b 1) an'anaviy birliklar; bir vaqtning o'zida t+2 bu ta'sir summa bilan tavsiflanishi mumkin ( b 0 +b 1 +b 2) va hokazo. Shu tarzda olingan miqdorlar deyiladi oraliq multiplikatorlar.
Kechikishning cheklangan qiymatini hisobga olsak, o'zgaruvchining o'zgarishini aytishimiz mumkin x t bir vaqtning o'zida t 1 an'anaviy birlik orqali natijaning umumiy o'zgarishiga olib keladi l vaqt ichida lahzalar (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).
Keling, quyidagi belgini kiritamiz: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l). Hajmi b chaqirdi uzoq muddatli multiplikator, bu uzoq muddatda mutlaq o'zgarishni ko'rsatadi t+l natija y 1 birlikning o'zgarishi ta'sir qiladi. omil a x.
Miqdorlar 
chaqiriladi nisbiy koeffitsientlar taqsimlangan kechikish modellari. Agar barcha koeffitsientlar bo'lsa b j bir xil belgilarga ega
Bu .
Nisbiy koeffitsientlar - mos keladigan koeffitsientlar uchun og'irliklar b j. Ularning har biri ma'lum bir vaqtning o'zida hosil bo'lgan xarakteristikaning umumiy o'zgarishi ulushini o'lchaydi t+j.
Miqdorlarni bilish, standart formulalar yordamida siz yana ikkitasini aniqlashingiz mumkin muhim xususiyatlar modellar ko'p regressiya: o'rtacha va o'rtacha kechikishlar qiymati.
O'rtacha kechikish o'rtacha og'irlikdagi arifmetik formuladan foydalangan holda hisoblab chiqilgan:
va omilning o'zgarishi ta'sirida natija o'zgaradigan o'rtacha davrni ifodalaydi x hozirda t. Agar o'rtacha kechikish qiymati kichik bo'lsa, bu juda tez javobni ko'rsatadi y o'zgartirish uchun x. O'rtacha kechikishning yuqori qiymati omilning natijaga ta'siri ichida sezilishini ko'rsatadi uzoq muddat vaqt.
Median kechikish (L Me) - Bu qaysi davr uchun kechikish qiymati. Bu vaqtdan boshlab vaqt oralig'i t omilning natijaga umumiy ta'sirining yarmi amalga oshiriladi.
Taqsimlangan kechikishli model parametrlarini tahlil qilish uchun yuqorida ko'rsatilgan usullar faqat o'rganilayotgan omilning joriy va kechikish qiymatlari uchun barcha koeffitsientlar bir xil belgilarga ega bo'lgan taqdirdagina amal qiladi. Ushbu taxmin iqtisodiy nuqtai nazardan to'liq oqlanadi: bir xil omilning natijaga ta'siri, bu xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlarning mustahkamligi yoki yaqinligi o'lchanadigan vaqt oralig'idan qat'i nazar, bir tomonlama bo'lishi kerak. Biroq, amalda, parametrlari bir xil belgilarga ega bo'lgan statistik ahamiyatga ega modelni olish, ayniqsa katta kechikish bilan. l, nihoyatda qiyin.
Bunday modellarga an'anaviy eng kichik kvadratlarni qo'llash ko'p hollarda qiyin quyidagi sabablar:
Mustaqil o'zgaruvchining joriy va kechiktirilgan qiymatlari, qoida tariqasida, bir-biri bilan chambarchas bog'liq, shuning uchun model parametrlarini baholash yuqori multikollinearlik sharoitida amalga oshiriladi;
Katta kechikish bilan model qurilgan kuzatuvlar soni kamayadi va uning omil xarakteristikalari soni ortadi, bu esa modeldagi erkinlik darajalari sonining yo'qolishiga olib keladi;
Tarqalgan kechikish modellarida ko'pincha qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi muammosi paydo bo'ladi.
Taqsimlangan kechikish modelida bo'lgani kabi, b 0 Ushbu modelda qisqa muddatli o'zgarishlarni tavsiflaydi y t o'zgarishlar ta'siri ostida x t 1 birlik uchun Biroq, avtoregressiv modeldagi oraliq va uzoq muddatli multiplikatorlar biroz farq qiladi. Vaqtiga qadar t+1 natija y t bir vaqtning o'zida o'rganilayotgan omilning o'zgarishi ta'sirida o'zgargan t yoqilgan b 0 birliklar va y t +1- vaqtning darhol oldingi nuqtasida o'zgarishi ta'siri ostida 1 dan birliklar. Shunday qilib, o'sha paytdagi natijaning umumiy mutlaq o'zgarishi t+1 bo'ladi b 0 s 1. Xuddi o'sha paytda t+2 natijaning mutlaq o'zgarishi bo'ladi b 0 s 1 2 birliklar va boshqalar. Shuning uchun avtoregressiv modeldagi uzoq muddatli multiplikatorni qisqa muddatli va oraliq multiplikatorlarning yig'indisi sifatida hisoblash mumkin:
Avtoregressiv model koeffitsientlarini bunday talqin qilish va uzoq muddatli multiplikatorni hisoblash, qaram o'zgaruvchining joriy qiymatining kelajakdagi qiymatlariga ta'sirida cheksiz kechikish mavjudligiga asoslanadi.
Misol. Aytaylik, mintaqadagi iste'mol va daromad ko'rsatkichlari dinamikasi to'g'risidagi ma'lumotlarga asoslanib, yil davomida aholi jon boshiga o'rtacha iste'mol hajmining (C, million rubl) aholi jon boshiga o'rtacha umumiy miqdoriga bog'liqligini tavsiflovchi avtoregressiya modeli olindi. yillik daromad (Y, million rubl) va o'tgan yil iste'mol hajmi:
.
Qisqa muddatli multiplikator 0,85 ga teng. Ushbu modelda u qisqa muddatda iste'mol qilishning chegaraviy moyilligini ifodalaydi. Shunday qilib, aholi jon boshiga o'rtacha umumiy daromad 1 million rublga o'sdi. o'sha yili iste'molning o'rtacha 850 ming rublga oshishiga olib keladi. Ushbu modelda iste'molga uzoq muddatli marjinal moyillik quyidagicha belgilanishi mumkin
.
Uzoq muddatli istiqbolda aholi jon boshiga umumiy daromadning o'rtacha 1 million rublga o'sishi. iste'molning o'rtacha 944 ming rublga oshishiga olib keladi. Iste'molga marjinal moyillikning oraliq ko'rsatkichlari tegishli davrlar uchun zarur bo'lgan qisman miqdorlarni hisoblash yo'li bilan aniqlanishi mumkin. Misol uchun, bir vaqtning o'zida t+1 olamiz:
Bu shuni anglatadiki, aholi jon boshiga o'rtacha umumiy daromadning o'sishi joriy davr 1 million rubl uchun. iste'molning o'rtacha 935 ming rublga oshishiga olib keladi. keyingi davrda.
