Analitik tekislash usuli ketma-ket darajalarning vaqt o'zgaruvchisiga bog'liqligini tavsiflovchi regressiya tenglamasini qurishdan iborat.
Xizmat maqsadi. Xizmat sizga onlayn rejimda to'g'ridan-to'g'ri veb-saytda y t seriyasini analitik moslashtirishni amalga oshirishga, Durbin-Uotson testi yordamida qoldiqlarning heteroskedastikligi va avtokorrelyatsiyasini tekshirishga imkon beradi (to'g'ri chiziqni analitik tekislash misoliga qarang).
Ko'rsatmalar. Ma'lumotlar miqdorini (qatorlar sonini) belgilang, Keyingiga bosing. Olingan yechim Word faylida saqlanadi.
Chiziqli bo'lmagan bog'liqliklarni chiziqli foydalanishga olib kelish tekislash usuli(linearizatsiya).
| y = f(x) | Konvertatsiya | Linearizatsiya usuli |
| y = b x a | Y = log(y); X = log(x) | Logarifm |
| y = b e ax | Y = log(y); X = x | Birlashtirilgan |
| y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | O'zgaruvchilarni almashtirish |
| y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | O'zgaruvchilarni almashtirish. Misol |
| y = aln(x)+b | Y = y; X = log(x) | Birlashtirilgan |
| y = a + bx + cx 2 | x 1 = x; x 2 = x 2 | O'zgaruvchilarni almashtirish |
| y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x 1 = x; x 2 = x 2; x 3 = x 3 | O'zgaruvchilarni almashtirish |
| y = a + b/x | x 1 = 1/x | O'zgaruvchilarni almashtirish |
| y = a + sqrt(x)b | x 1 = sqrt(x) | O'zgaruvchilarni almashtirish |
IN umumiy holat analitik moslashtirish uchun usul qo'llaniladi eng kichik kvadratlar:
Oddiy vazifa. Analitik moslashtirish va ifodalash umumiy tendentsiya tegishli analitik tenglama bilan savdo uyining chakana savdo aylanmasini ishlab chiqish. Vaqt seriyasining analitik (darajali) darajalarini hisoblang va ularni haqiqiy ma'lumotlar bilan birga grafikda chizing.
Misol. SD uchun turar-joy binolari va yotoqxonalarni ishga tushirish bo'yicha ma'lumotlar mavjud, ming m 2. Turar-joy binolari va yotoqxonalarni ishga tushirish tezligi dinamikasini tahlil qilish uchun quyidagilarni hisoblang:
- mutlaq o'sish, o'sish sur'atlari va o'sish sur'atlari yil va 1998 yilga kelib, o'sishning bir foizini mutlaq mazmuni. Olingan ko'rsatkichlarni jadval shaklida taqdim eting;
- o'rtacha yillik ko'rsatkichlar - qator darajasining qiymati; o'sish va o'sishning mutlaq o'sish sur'ati. Xulosa chiqaring.
Yechim. Eng oddiy matematik model o'zida aks ettiradi chiziqli tenglama y = bt + a ko'rinishidagi tendentsiya. Ushbu modelning parametrlarini topish uchun biz eng kichik kvadratlar usulidan foydalanamiz. Tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega bo'ladi:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759,66
45a 0 + 285a 1 = 15445,64
Bu tenglamalar tizimini bir necha usul bilan yechish mumkin
Vaqt seriyasini modellashtirishning eng keng tarqalgan usullaridan biri bu qator darajalarining vaqtga bog'liqligini tavsiflovchi trend yoki analitik funktsiyani qurishdir. Bu usul analitik vaqt qatorlarini tekislash deb ataladi. Analitik tekislash uchun quyidagi funksiyalardan foydalanish mumkin: · chiziqli · giperbolik ; · ko'rsatkichli · ikkinchi va undan yuqori tartibli darajali polinomlar  Yuqoridagi tendentsiyalarning har birining parametrlarini mustaqil o'zgaruvchi sifatida vaqtdan foydalanib, oddiy OLS orqali va qaram o'zgaruvchi sifatida yt vaqt seriyasining haqiqiy darajalarini aniqlash mumkin. Chiziqli bo'lmagan tendentsiyalar uchun birinchi navbatda bajaring standart protsedura ularning linearizatsiyasi. Trendlar turini aniqlashning bir necha yo'li mavjud. Eng keng tarqalganlari o'rganilayotgan jarayonning sifat tahlili, ketma-ket darajalarning vaqtga bog'liqligi grafigini qurish va vizual tahlil qilish, dinamikaning ba'zi asosiy ko'rsatkichlarini hisoblash, qator darajalarining avtokorrelyatsiya koeffitsientlarini o'z ichiga oladi. Trend turini seriyaning dastlabki va o'zgartirilgan darajalaridan hisoblangan birinchi tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsientlarini solishtirish yo'li bilan aniqlash mumkin. Agar vaqt seriyasi chiziqli tendentsiyaga ega bo'lsa, unda uning qo'shni darajalari chambarchas bog'liqdir. Bunday holda, asl qator darajalarining birinchi tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsienti yuqori bo'lishi kerak. Agar vaqt qatori chiziqli bo'lmagan tendentsiyani o'z ichiga olsa, masalan, eksponensial ko'rinishda, u holda asl seriya darajalarining logarifmlariga asoslangan birinchi tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsienti tegishli koeffitsientdan yuqori bo'ladi. seriya. O'rganilayotgan vaqt qatoridagi chiziqli bo'lmagan tendentsiya qanchalik aniq bo'lsa, ko'rsatilgan koeffitsientlarning qiymatlari shunchalik farq qiladi. |
Tekshirish
| Agar qator chiziqli bo'lmagan tendentsiyani o'z ichiga olgan bo'lsa, eng yaxshi tenglamani tanlash trendning asosiy shakllarini sanab o'tish, har bir tenglama uchun tuzatilgan aniqlash koeffitsientini hisoblash orqali amalga oshirilishi mumkin. R 2, uning ahamiyati Fisher mezoni yordamida baholanadi va tuzatilgan aniqlash koeffitsientining maksimal qiymati bilan trend tenglamasini tanlash. Ushbu usulni amalga oshirish kompyuterda ma'lumotlarni qayta ishlashda nisbatan sodda. Bevosita borligida chiziqli bo'lmagan tendentsiya tendentsiya turini tanlashda spetsifikatsiya xatolariga yo'l qo'ymaslik uchun yuqorida tavsiflangan eng yaxshi tendentsiya tenglamasini tanlash usullari o'rganilayotgan indikatorning dinamikasini sifatli tahlil qilish bilan to'ldirilishi kerak. Sifatli tahlil muammolarni o'rganishni o'z ichiga oladi mumkin bo'lgan mavjudligi o'rganilayotgan vaqt qatorida bir qator omillar ta'sirida ma'lum bir vaqt (davr) dan boshlab, burilish nuqtalari va o'sish sur'atlarining o'zgarishi. Agar tendentsiya tenglamasi katta tanlanma qiymatlari uchun noto'g'ri tanlangan bo'lsa (spetsifikatsiya xatosi), tanlangan tenglamadan foydalangan holda vaqt seriyalari dinamikasini tahlil qilish va prognozlash natijalari ishonchsiz bo'ladi. |
Chunki eng yuqori qiymat Agar 0,98 ni aniqlash koeffitsienti kubik polinom bilan aniqlangan tenglamaga ega bo'lsa, u holda bu tenglamadan model sifatida foydalanish mumkin (16-rasm). Shu bilan birga, chiziqli tendentsiyani aniqlash koeffitsientining qiymati 0,96 ni tashkil etadi, bu esa uni bashorat qilish uchun foydalanish huquqini ham beradi. Qoida tariqasida, prognozlashda, agar uning sifati chiziqli bo'lmaganidan biroz pastroq bo'lsa, chiziqli tendentsiyaga ustunlik beriladi.
|
|
16-rasm – Trend chizig'ini tanlash
Prognozlash
Trend chizig'i (kub polinom) yordamida ishlab chiqarish hajmi prognoz qilinmoqda, bu 2011 yilda 44208 donani tashkil qiladi. Chiziqli tendentsiya bo'yicha ishlab chiqarish prognozi 38214,5 donani tashkil qiladi. E'tibor bering, polinom mavjud namunani yaxshiroq tavsiflaydi, ammo taxmin qilingan qiymat kuzatilgan qiymatlarga nisbatan keskin ortadi. Chiziqli tendentsiyaga asoslangan prognoz yanada ishonchli.
O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar
1. Vaqt seriyalari modelining ta'rifi qanday?
2. Vaqt seriyasining ma’lum asosiy komponentlari nimalardan iborat?
3. Vaqt qatorlarini tadqiq qilishning asosiy vazifalari nimalardan iborat?
4. Vaqt seriyasining strukturasini tahlil qilishda avtokorrelyatsiya funksiyasidan qanday foydalaniladi?
5. Beshinchi tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsienti qanday hisoblanadi?
6. Korrelogramma qanday tuziladi?
7. Nima umumiy shakl multiplikativ va additiv vaqt seriyalari modellari?
8. Vaqt qatoridagi mavsumiy tebranishlar tarkibini tahlil qilishdan maqsad nima?
9. Vaqt seriyasining strukturaviy barqarorligi haqidagi gipotezani tekshirish uchun qanday testlardan foydalaniladi?
10. Vaqt qatorining strukturaviy barqarorligi qanday holatda buziladi?
11. Vaqt seriyasini analitik tekislash deganda nima tushuniladi?
12. Vaqtinchalik qatorlarni analitik tekislash uchun qaysi modellar eng keng tarqalgan?
13. Chiziqli transformatsiyalar deganda nima tushuniladi? Ular MNClarda qanday qo'llaniladi?
14. Tuzilgan modelning sifati qanday baholanadi?
15. Vaqt seriyasi modeli yordamida nuqta prognozi qanday amalga oshiriladi?
Shaxsiy vazifa
Muayyan korxonaning mahsulot ishlab chiqarish dinamikasi 25-jadvalda keltirilgan ma'lumotlar bilan tavsiflanadi (har bir variantda
chiqish hajmiga 120 × raqami qo'shilishi kerak k, Qayerda k- guruh jurnalidagi talabaning seriya raqami). Quyidagilarni bajaring:
· vaqt qatorlarining tuzilishini tahlil qilish;
· qatorning strukturaviy barqarorligi haqidagi gipotezani tekshirish;
· vaqt seriyasini analitik moslashtirishni amalga oshirish;
· 2011 yil uchun prognoz tuzish;
· hisobotni to'ldirish.
Vaqt seriyasining analitik moslashuvi analitik funktsiyani, trend modelini qurishdir. Shu maqsadda ular foydalanadilar har xil turlari vazifalari: chiziqli, dasht, parabolik va boshqalar.
Trend parametrlari holatda bo'lgani kabi aniqlanadi chiziqli regressiya eng kichik kvadratlar usuli, bu erda vaqt mustaqil o'zgaruvchidir va vaqt seriyasining darajalari bog'liq o'zgaruvchidir. Tanlash mezonlari eng yaxshi shakl Trend determinatsiya koeffitsientining eng katta qiymati, Fisher va Student testlari bilan aniqlanadi.
Aytaylik, ba'zilar nazariy model taxmin qiladi chiziqli bog'liqlik boshqalardan tizim xususiyatlaridan biri:
y= Y i k i · x i
(i- mustaqil o'zgaruvchilar soni). Vazifa quyidagicha: belgilangan parametrlar bilan x va o'lchangan qiymatlar y parametrlar vektorini hisoblash k , ba'zi optimallik mezonlarini qondirish.
Eng kichik kvadratlar usulida bu mezon hisoblangan qiymatlarning kvadratik og'ishlarining minimal yig'indisidir. y kuzatilgan (eksperimental):
min U i (y s,i - y i)І.
Funksiyaning minimalini topish uchun bu ifodani parametrlarga nisbatan differensiallash va nolga tenglashtirish kerak (minimal shart). Natijada, kvadratlarning minimal yig'indisini qidirish kamayadi oddiy operatsiyalar matritsalar bilan.
Agar nazariy model bitta parametrga chiziqli bog'liqlikni ifodalasa ( y = a + b· x), u holda yechim oddiy formulalar shaklida ifodalanadi:
Z = n U x i Men - (U x i)І;
a= (U y i U x i I - U y i x i U x i) / Z; S a І = S y Men U x i І / Z;
b = (n U y i x i- U y i U x i) / Z; S b І = S y І n / Z;
S y I = Y( y s,i - y i)І / ( n - 2)
(y s,i- hisoblangan qiymat, y i- eksperimental o'lchangan qiymat)
Xatolarni hisoblashda x qiymatlarining aniqligi o'lchangan qiymatlarning aniqligidan sezilarli darajada oshadi deb taxmin qilinadi. y, o'lchov xatosi normal taqsimotdan keyin.
Qoldiqlardagi avtokorrelyatsiya - bu vaqtning joriy va oldingi nuqtalari uchun qoldiq qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlik.
Gomoskedastik va geterokedastik, mustaqil va avtokorrelyatsiya qilingan qoldiqlarga ega chiziqli regressiya modellari. Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, asosiy narsa vaqt seriyasini tasodifiy og'ishlardan "tozalash" dir, ya'ni. matematik kutishni baholash. Bu yerdan tabiiy ravishda murakkabroq modellar paydo bo'ladi. Misol uchun, farq vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin. Bunday modellar geteroskdastik, vaqtga bog'liqligi bo'lmaganlar esa homosedastik deyiladi. (Aniqrog'i, bu atamalar nafaqat "vaqt" o'zgaruvchisiga, balki boshqa o'zgaruvchilarga ham tegishli bo'lishi mumkin.) Agar xatolar bir-biri bilan bog'liq bo'lmasa, avtokorrelyatsiya funktsiyasi degenerativ bo'lishi kerak - agar argumentlar bo'lsa, 1 ga teng. teng va agar ular teng bo'lmasa 0. Haqiqiy vaqt seriyalari uchun bu har doim ham shunday emasligi aniq. Agar kuzatilayotgan jarayondagi o‘zgarishlarning tabiiy borishi ketma-ket kuzatishlar orasidagi intervalga nisbatan yetarlicha tez bo‘lsa, u holda “avtokorrelyatsiyaning yemirilishi”ni bashorat qilish va amalda mustaqil qoldiqlarni olish mumkin, aks holda qoldiqlar avtokorrelyatsiya qilinadi.
Modelni identifikatsiya qilish odatda ularning tuzilishini aniqlash va parametrlarini baholashni anglatadi. Tuzilish ham sonli bo'lmagan parametr bo'lganligi sababli, biz ulardan biri haqida gapiramiz tipik vazifalar ekonometrika - parametrlarni baholash.
Baholash muammosi homosedastik mustaqil qoldiqlarga ega chiziqli (parametrlar bo'yicha) modellar uchun eng oson echiladi. Vaqt seriyalarida bog'liqlikni tiklash eng kichik kvadratlar va eng kichik modullar usullari asosida amalga oshirilishi mumkin; zarur regressorlar to'plamini baholash bilan bog'liq natijalar vaqt seriyalari holatiga o'tkaziladi; xususan, uni olish oson. chegara geometrik taqsimot Trigonometrik polinom darajasini baholash.
Biroq, ko'proq uchun umumiy holat Bunday oddiy transferni amalga oshirish tavsiya etilmaydi. Misol uchun, geteroskdastik va avtokorrelyatsiya qilingan qoldiqlarga ega bo'lgan vaqt qatorida siz yana foydalanishingiz mumkin. umumiy yondashuv eng kichik kvadratlar usuli, lekin eng kichik kvadratlar tenglamalari tizimi va tabiiyki, uning yechimi boshqacha bo'ladi. Formulalar har xil bo'ladi. Shu munosabat bilan bu usul"umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar (GLS)" deb ataladi.
Iste'mol narxlari indeksining (inflyatsiya indeksi) o'sishini tavsiflovchi vaqt seriyasining ekonometrik modelini tahlil qilaylik. I(t) t oyidagi narx o‘sishi bo‘lsin. Keyin, ba'zi iqtisodchilarning fikriga ko'ra, shunday taxmin qilish tabiiy:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
Bu erda I(t-1) - o'tgan oydagi narxning o'sishi (va c - ma'lum bir damping koeffitsienti, yo'q bo'lganda tashqi ta'sirlar narxlarning o'sishi to'xtaydi), a - doimiy (vaqt bo'yicha I(t) qiymatining chiziqli o'zgarishiga mos keladi), bS(t-4) - pul emissiyasi ta'siriga mos keladigan atama (ya'ni, o'sish). amalga oshirilgan mamlakat iqtisodiyotidagi pul hajmida Markaziy bank) S(t-4) miqdorida va b koeffitsientli emissiyaga mutanosib va bu ta'sir darhol emas, balki 4 oydan keyin paydo bo'ladi; Nihoyat, bu muqarrar xato.
Model, hatto soddaligiga qaramay, ko'pchilikni namoyish etadi xarakter xususiyatlari ancha murakkab ekonometrik modellar. Birinchidan, ba'zi o'zgaruvchilar model ichida I(t) sifatida aniqlangan (hisoblangan) ekanligini ta'kidlaymiz. Ular endogen (ichki) deb ataladi. Boshqalar tashqaridan o'rnatiladi (bular ekzogen o'zgaruvchilar). Ba'zida, boshqaruv nazariyasida bo'lgani kabi, ekzogen o'zgaruvchilar orasida boshqariladigan o'zgaruvchilar ajralib turadi - ular yordamida menejer tizimni kerakli holatga keltirishi mumkin.
Ikkinchidan, munosabatlarda yangi turdagi o'zgaruvchilar paydo bo'ladi - laglar bilan, ya'ni. o'zgaruvchilardagi argumentlar vaqtning hozirgi momentiga emas, balki ba'zi o'tgan daqiqalarga ishora qiladi.
Uchinchidan, bu turdagi ekonometrik modelni yaratish hech qanday oddiy operatsiya emas. Masalan, pul muomalasi bilan bog'liq muddatda roppa-rosa 4 oy kechikish juda murakkab dastlabki statistik ishlov berish natijasidir.
Eng kichik kvadratlar protsedurasini o'ziga xos tarzda amalga oshirish ushbu masalani hal qilishga bog'liq.
Boshqa tomondan, (1) modelda faqat 3 ta noma'lum parametr mavjud va eng kichik kvadratlar usuli bayonotini yozish qiyin emas:
Keyinchalik, ushbu turdagi modelni ko'rib chiqing katta raqam endogen va ekzogen o'zgaruvchilar, kechikishlar va murakkab ichki tuzilishi. Boshqacha qilib aytganda, bunday tizimning hech bo'lmaganda bitta yechimi borligi hech qanday joydan kelib chiqmaydi. Bu bir emas, ikkita muammoni keltirib chiqaradi. Kamida bitta yechim bormi? Agar shunday bo'lsa, qanday qilib eng yaxshi echimni topishimiz mumkin? (Bu statistik parametrlarni baholash muammosi.)
Ikkala vazifa ham juda qiyin. Ikkala muammoni hal qilish uchun ko'plab usullar ishlab chiqilgan, odatda juda murakkab, faqat ba'zilari ilmiy asosga ega. Xususan, ko'pincha ular izchil bo'lmagan statistik baholardan foydalanadilar (to'g'risini aytganda, ularni hatto taxmin deb atash mumkin emas).
Keling, chiziqli ekonometrik tenglamalar tizimlari bilan ishlashda ba'zi umumiy usullarni qisqacha tavsiflab beraylik.
Chiziqli bir vaqtda ekonometrik tenglamalar tizimi. Sof rasmiy ravishda, barcha o'zgaruvchilar faqat hozirgi vaqtga bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilar orqali ifodalanishi mumkin. Masalan, yuqoridagi tenglamani qo'yish kifoya
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
Keyin misol tenglamasi o'xshaydi
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
Foydalanish imkoniyatini darhol qayd qilaylik regressiya modellari qo'g'irchoq o'zgaruvchilarni kiritish orqali o'zgaruvchan tuzilishga ega. Bu o'zgaruvchilar ba'zi vaqtlarda (aytaylik, boshlang'ich qiymatlar) sezilarli qiymatlarni oladi va boshqalarida ular yo'qoladi (aslida 0 ga teng bo'ladi). Natijada, rasmiy (matematik) bir xil model butunlay boshqa bog'liqliklarni tavsiflaydi.
Yuqorida ta'kidlanganidek, ekonometrik tenglamalar tizimini evristik tahlil qilish uchun juda ko'p usullar yaratilgan. Bu usullar tenglamalar sistemalarining sonli yechimlarini topishga urinishda yuzaga keladigan muayyan muammolarni hal qilishga mo'ljallangan.
Muammolardan biri - taxminiy parametrlar bo'yicha apriori cheklovlar mavjudligi. Masalan, uy xo'jaliklarining daromadlari iste'molga ham, jamg'armalarga ham sarflanishi mumkin. Demak, bu ikki turdagi xarajatlar ulushlari yig'indisi apriori 1 ga teng. Ekonometrik tenglamalar tizimida esa bu ulushlar mustaqil ishtirok etishi mumkin. Bu apriori cheklovdan qat'i nazar, ularni eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholash va keyin ularni tuzatish g'oyasini keltirib chiqaradi. Ushbu yondashuv bilvosita eng kichik kvadratlar usuli deb ataladi.
Ikki bosqichli eng kichik kvadratchalar usuli shundan iboratki, berilgan usulda tizimni bir butun sifatida ko'rib chiqish emas, balki tizimning individual tenglamasining parametrlari baholanadi. Shuningdek, bir vaqtning o'zida bir vaqtning o'zida tenglamalar tizimining parametrlarini baholash uchun uch bosqichli eng kichik kvadratlar usuli qo'llaniladi. Dastlab, har bir tenglamaning koeffitsientlari va xatolarini baholash va keyinchalik xatolarning kovariatsion matritsasi uchun smeta tuzish uchun yagona maqsad bilan har bir tenglamaga ikki bosqichli usul qo'llaniladi. Keyin butun tizimning koeffitsientlarini baholash uchun umumlashtirilgan eng kichik kvadratlar usuli qo'llaniladi.
Menejer va iqtisodchiga ekonometrik tenglamalar tizimlarini tuzish va echish sohasida mutaxassis bo'lishi tavsiya etilmaydi, hatto maxsus tizimlardan foydalangan holda. dasturiy ta'minot, ammo ishlab chiqarish zarurati bo'lgan taqdirda, ekonometriya mutaxassislari uchun vazifani mohirona shakllantirish uchun u ekonometrikaning ushbu sohasi imkoniyatlari haqida xabardor bo'lishi kerak.
Trendni (asosiy tendentsiyani) baholashdan biz vaqt seriyalari ekonometrikasining ikkinchi asosiy vazifasi - davrni (siklni) baholashga o'tamiz.
Geteroskdastlik muammosi. Birinchidan, statsionar modellarni ajratib ko'rsatamiz. Ular k vaqt nuqtalarining istalgan soni uchun F(t 1, t 2,…,t k) qo‘shma taqsimot funksiyalarini o‘z ichiga oladi va shuning uchun vaqt qatorining yuqoridagi barcha xarakteristikalari vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi. Ayniqsa, kutilgan qiymat va dispersiya doimiy qiymatlar bo'lib, avtokorrelyatsiya funktsiyasi faqat ga bog'liq farqlar t-s. Statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari statsionar emas deb ataladi.
Geteroskdastiklik asl xususiyatdir, bunda xato dispersiyasi kuzatuv soniga bog'liq bo'ladi. Grafikda heteroskedastiklik o'sishi yoki kamayishi bilan namoyon bo'ladi ishlab chiqarish raqami o'lchovlar, trend chizig'i atrofida o'lchovlarning tarqalishi ortadi. Bu regressiya tenglamasining koeffitsientlarini baholashda jiddiy xatolarga olib kelishi mumkin. Ob'ektlar odatda heterojen bo'lsa, geteroskedastizm paydo bo'ladi. Bir nechta tuzatish usullari mavjud, muammoni hal qilish heteroskedastlik. Ulardan eng samaralisi vaznli eng kichik kvadratlar usulidir.
Usulning mohiyati juda oddiy. Asl model shaklga ega bo'lsin
Keyin tizimning har bir elementini yt qiymatiga bo'lish orqali biz boshqa tizimga kelamiz
bu yerda y t2 = y 2sh, vaznli dispersiya;
Sht = n, n - o'lchovlar soni.
Shunday qilib, ushbu transformatsiya bilan biz heteroskedastlikni yo'q qilamiz.
Bundan tashqari, kiritilgan ma'lumotlarning logarifmini olish, shuningdek, ba'zi hollarda, heteroskedastiklik tufayli model parametrlarini aniqlashda xatolarni kamaytiradi.
Vaqt seriyasining trendini modellashtirishning eng keng tarqalgan usullaridan biri qator darajalarining vaqtga bog'liqligini tavsiflovchi analitik funktsiyani (trend yoki tsiklik va/yoki mavsumiy komponentga ega trend) qurishdir. Bu usul deyiladi vaqt qatorlarini analitik moslashtirish.
Ushbu muammoni hal qilish uchun siz birinchi navbatda funksiya turini tanlashingiz kerak. Eng ko'p ishlatiladigan funktsiyalar:
chiziqli -
polinom -
· eksponentsial -
· logistika - 
· Gomperts -
Bu tadqiqotning juda muhim bosqichidir. Tegishli funktsiyani tanlashda mazmunli tahlil (jarayon dinamikasining xarakterini belgilashi mumkin) va vizual kuzatishlar (vaqt seriyasining grafik tasviri asosida) qo'llaniladi. Polinom funksiyani tanlashda ketma-ket farqlar usuli qo'llanilishi mumkin (birinchi tartibli, ikkinchi tartibli farqlarni hisoblashdan iborat 
va hokazo) va farqlar tartibi, ular taxminan bir xil bo'ladi, ko'phad darajasi sifatida qabul qilinadi.
Ikki funktsiyadan, odatda, ushbu funktsiyalar asosida hisoblangan haqiqiy ma'lumotlarning kvadratik og'ishlari yig'indisi kichikroq bo'lganiga ustunlik beriladi. Ammo bu printsipni bema'nilik darajasiga olib bo'lmaydi: masalan, har qanday nuqtalar qatori uchun barcha nuqtalardan o'tuvchi va shunga mos ravishda kvadrat og'ishlarning minimal - nolga teng yig'indisi bilan o'tadigan th darajali polinomni tanlash mumkin, ammo bu holda, shubhasiz, ushbu nuqtalarning tasodifiy tabiatini hisobga olgan holda, asosiy tendentsiyani izolyatsiya qilish haqida gapirmaslik kerak. Shuning uchun, boshqa narsalar teng bo'lsa, oddiyroq funktsiyalarga ustunlik berish kerak.
Asosiy trend parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida aniqlash mumkin. Bunday holda, vaqt seriyasining qiymatlari qaram o'zgaruvchi, vaqt esa tushuntirish o'zgaruvchisi sifatida qabul qilinadi:
regressiya tahlilining asosiy shartlarini qondiradigan buzilishlar qaerda, ya'ni. mustaqil va bir xil taqsimlanganligini ifodalaydi tasodifiy o'zgaruvchilar, taqsimoti normal deb qabul qilingan.
Eng kichik kvadratlar usuliga ko'ra, chiziqning parametrlari 
normal tenglamalar tizimidan (2.5) topiladi, unda biz quyidagicha qabul qilamiz:
(7.10)
O'zgaruvchining qiymatlari 1 dan 1 gacha bo'lgan raqamlarning tabiiy qatorini tashkil etishini hisobga olsak, yig'indilarni matematikada ma'lum bo'lgan formulalar yordamida qator a'zolari soni bo'yicha ifodalash mumkin:
(7.11)
79-betdagi ko'rib chiqilgan 2-misolda normal tenglamalar tizimi quyidagi ko'rinishga ega:
,
shuning uchun trend tenglamasi, ya'ni. talab har yili o'rtacha 25,7 birlikka oshadi.
Olingan tendentsiya tenglamasining ahamiyatini tekshiramiz F-mezon 5% ahamiyatlilik darajasida, biz (3.40) formuladan foydalanib kvadratlar yig'indisini hisoblaymiz:
a) regressiya natijasida -
b) umumiy -
c) qoldiq
Statistikaning qiymatini topamiz:
.
Chunki, trend tenglamasi muhim.
Vaqt seriyasini tekislash (tekislash) ning yana bir usuli, ya'ni. tasodifiy bo'lmagan komponentni ta'kidlash - harakatlanuvchi o'rtacha usuli. Bu seriya a'zolarining boshlang'ich qiymatlaridan ularning uzunligi oldindan aniqlangan vaqt oralig'ida o'rtacha qiymatlariga o'tishga asoslangan. Bunday holda, tanlangan vaqt oralig'ining o'zi ketma-ket "siljiydi".
Natijada paydo bo'lgan harakatlanuvchi o'rtacha qator ketma-ket og'ishlarning o'rtacha hisobiga dastlabki seriyadan ko'ra silliqroq ishlaydi.
