Kirish

Tasodifiy hodisalar qandaydir qonunlarga bo'ysunadimi? Ha, lekin bu qonunlar biz o'rganib qolgan qonunlardan farq qiladi jismoniy qonunlar. SV qiymatlarini ma'lum eksperimental sharoitlarda ham oldindan aytib bo'lmaydi, biz faqat SV ning u yoki bu qiymatni olish ehtimolini ko'rsatishimiz mumkin; Ammo SV larning ehtimollik taqsimotini bilib, biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar ishtirok etadigan hodisalar haqida xulosa chiqarishimiz mumkin. To'g'ri, bu xulosalar ham ehtimollik xarakteriga ega bo'ladi.

Ba'zi SV diskret bo'lsin, ya'ni. faqat Xi sobit qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Bunday holda, ushbu miqdorning barcha (i=1…n) ruxsat etilgan qiymatlari uchun P(Xi) ehtimollik qiymatlari qatori uning taqsimot qonuni deb ataladi.

SV ning taqsimlanish qonuni - bu SV ning mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarni qabul qilish ehtimoli o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan munosabat. Tarqatish qonuni SV ni to'liq tavsiflaydi.

Qurilish paytida matematik model tekshirish uchun statistik gipoteza SV ning taqsimlanish qonuni (modelni qurishning parametrik usuli) haqida matematik taxminni kiritish kerak.

Matematik modelni tavsiflashda parametrik bo'lmagan yondashuv (SV parametrik taqsimot qonuniga ega emas) unchalik aniq emas, lekin kengroq qamrovga ega.

Tasodifiy hodisa ehtimoli kabi, SV ning taqsimot qonuni uchun uni topishning faqat ikkita usuli mavjud. Yoki biz tasodifiy hodisaning diagrammasini tuzamiz va ehtimollikni hisoblash uchun analitik ifodani (formula) topamiz (ehtimol, kimdir buni biz uchun allaqachon qilgan yoki qiladi!), yoki biz tajribadan foydalanishimiz kerak va chastotalar asosida kuzatishlar, qonun taqsimoti haqida ba'zi taxminlarni (gipotezalarni ilgari suring).

Albatta, "klassik" taqsimotlarning har biri uchun bu ish uzoq vaqt davomida amalga oshirilgan - keng tarqalgan va amaliy statistikada juda tez-tez ishlatiladigan binomial va polinom taqsimotlari, geometrik va gipergeometrik, Paskal va Puasson taqsimotlari va boshqalar.

Deyarli barcha klassik taqsimotlar uchun maxsus statistik jadvallar darhol tuzildi va nashr etildi, hisob-kitoblarning aniqligi oshgani sayin takomillashtirildi. Ushbu jadvallarning ko'p jildlaridan foydalanmasdan, ulardan foydalanish qoidalarini o'rgatmasdan turib, so'nggi ikki asr davomida statistikadan amaliy foydalanish mumkin emas edi.

Bugungi kunda vaziyat o'zgardi - formulalar yordamida hisoblash ma'lumotlarini saqlashning hojati yo'q (ikkinchisi qanchalik murakkab bo'lishidan qat'i nazar!), amaliyot uchun taqsimlash qonunidan foydalanish vaqti daqiqalar va hatto soniyalarga qisqartirildi. Ushbu maqsadlar uchun etarli miqdordagi turli xil amaliy dasturlar paketlari allaqachon mavjud.

Barcha ehtimollik taqsimotlari orasida, ayniqsa amaliyotda tez-tez qo'llaniladiganlari bor. Ushbu taqsimotlar batafsil o'rganilgan va ularning xususiyatlari yaxshi ma'lum. Ushbu taqsimotlarning ko'pchiligi nazariya kabi bilimlarning butun sohalariga asoslanadi navbat, ishonchlilik nazariyasi, sifat nazorati, o'yin nazariyasi va boshqalar.

Ular orasida Jeykob Bernulliga qaraganda katta sonlar qonunining umumiyroq shaklini isbotlagan, shuningdek, ehtimollik nazariyasini birinchi marta otish masalalariga qoʻllagan Puasson (1781-1840) asarlariga eʼtibor qaratish mumkin emas. . Puasson nomi ehtimollar nazariyasi va uning qo'llanilishida muhim rol o'ynaydigan taqsimot qonunlaridan biri bilan bog'liq.

Ushbu maqola tarqatish qonuniga bag'ishlangan. kurs ishi. Bu haqida to'g'ridan-to'g'ri qonun haqida, uning matematik xususiyatlari, maxsus xususiyatlari, binomial taqsimot bilan bog'liqligi haqida. Amaliy qo'llash haqida bir necha so'z aytiladi va amaliyotdan bir nechta misollar keltiriladi.

Inshomizning maqsadi Bernulli va Puasson taqsimot teoremalarining mohiyatini oydinlashtirishdir.

Vazifa - insho mavzusi bo'yicha adabiyotlarni o'rganish va tahlil qilish.

1. Binom taqsimoti (Bernulli taqsimoti)

Binom taqsimoti (Bernulli taqsimoti) - takrorlanuvchi hodisaning sodir bo'lish sonining ehtimollik taqsimoti. mustaqil testlar, agar bu hodisaning har bir sinovda sodir bo'lish ehtimoli p (0

Agar u pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x ehtimolliklari bilan 0 va 1 qiymatlarni qabul qilsa, SV X Bernulli qonuniga koʻra p parametri bilan taqsimlangan deyiladi; p+q=1; x=0,1.

Binom taqsimoti savol berilgan hollarda yuzaga keladi: bir xil sharoitlarda amalga oshirilgan ma'lum miqdordagi mustaqil kuzatishlar (tajribalar) qatorida ma'lum bir hodisa necha marta sodir bo'ladi.

Qulaylik va ravshanlik uchun biz p qiymatini bilamiz - do'konga tashrif buyuruvchining xaridor bo'lish ehtimoli va (1- p) = q - do'konga tashrif buyuruvchi kirmasligi ehtimoli. xaridor.

Agar X n ta tashrif buyuruvchilarning umumiy sonidan xaridorlar soni bo'lsa, u holda n ta tashrif buyuruvchilar orasida k xaridor bo'lish ehtimoli teng bo'ladi.

P(X= k) = , bu yerda k=0,1,…n 1)

Formula (1) Bernulli formulasi deb ataladi. Ko'p sonli testlar bilan binomial taqsimot normal bo'ladi.

Bernoulli testi ikki natijaga ega bo'lgan ehtimollik tajribasi bo'lib, ular odatda "muvaffaqiyat" (odatda 1 belgisi bilan belgilanadi) va "qobiliyatsizlik" (mos ravishda 0 bilan belgilanadi) deb ataladi. Muvaffaqiyat ehtimoli odatda p harfi bilan, muvaffaqiyatsizlik - q harfi bilan belgilanadi; albatta q=1-p. p qiymati Bernulli test parametri deb ataladi.

Binom, geometrik, paskal va manfiy binomial tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil Bernulli sinovlari ketma-ketligidan olinadi, agar ketma-ketlik u yoki bu tarzda tugatilgan bo'lsa, masalan, n-sinov yoki x-chi muvaffaqiyatdan keyin. Quyidagi terminologiya odatda qo'llaniladi:

– Bernoulli test parametri (bitta testda muvaffaqiyatga erishish ehtimoli);

- testlar soni;

- muvaffaqiyatlar soni;

- muvaffaqiyatsizliklar soni.

Binom tasodifiy o'zgaruvchisi (m|n,p) - n ta sinovdagi m muvaffaqiyatlar soni.

Geometrik tasodifiy o'zgaruvchi G (m | p) - birinchi muvaffaqiyatga qadar (shu jumladan birinchi muvaffaqiyat) sinovlar soni m.

Paskal tasodifiy o'zgaruvchisi C(m|x,p) - x-chi muvaffaqiyatgacha bo'lgan m sinovlar soni (albatta, x-chi muvaffaqiyatning o'zini hisobga olmaganda).

Salbiy binomial tasodifiy o'zgaruvchi Y(m|x,p) - x-chi muvaffaqiyatgacha bo'lgan m muvaffaqiyatsizliklar soni (x-chi muvaffaqiyatni hisobga olmaganda).

Eslatma: ba'zan salbiy binomial taqsimot Paskal taqsimoti deb ataladi va aksincha.

Puasson taqsimoti

2.1. Puasson qonunining ta'rifi

Ko'pgina amaliy masalalarda Puasson qonuni deb ataladigan o'ziga xos qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanish kerak.

Faqat butun sonli, manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qila oladigan uzluksiz tasodifiy X ni ko'rib chiqaylik: 0, 1, 2, ... , m, ... ; va bu qiymatlarning ketma-ketligi nazariy jihatdan cheksizdir. X tasodifiy o'zgaruvchisi Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning ma'lum m qiymatini olish ehtimoli quyidagi formula bilan ifodalansa:

bu yerda a - Puasson qonuni parametri deb ataladigan qandaydir ijobiy miqdor.

Tarqatish diapazoni tasodifiy o'zgaruvchi Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan X quyidagicha ko'rinadi:

xm				…	m	…
Pm	e-a			…		…

2.2.Puasson taqsimotining asosiy xarakteristikalari

Birinchidan, ehtimolliklar ketma-ketligi taqsimot seriyasi bo'lishi mumkinligiga ishonch hosil qilaylik, ya'ni. barcha ehtimollar yig'indisi Rm birga teng ekanligini.

Biz Maclaurin seriyasida ex funktsiyasini kengaytirishdan foydalanamiz:

Ma'lumki, bu qator x ning istalgan qiymati uchun yaqinlashadi, shuning uchun x = a ni olib, biz olamiz

shuning uchun

Keling, asosiy xususiyatlarni aniqlaymiz - matematik kutish va dispersiya - Puasson qonuniga muvofiq taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchisi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir. Ta'rifga ko'ra, diskret tasodifiy o'zgaruvchi hisoblash mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini olganda:

Yig'indining birinchi hadi (m=0 ga to'g'ri keladi) nolga teng, shuning uchun yig'indi m=1 dan boshlanishi mumkin:

Shunday qilib, a parametr X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishidan boshqa narsa emas.

X tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi:

Biroq, uni formuladan foydalanib hisoblash qulayroqdir:

Shuning uchun, avval ikkinchisini topamiz boshlanish momenti X qiymatlari:

Oldindan tasdiqlangan ma'lumotlarga ko'ra

Bundan tashqari,

2.3.Puasson taqsimotining qo'shimcha xarakteristikalari

I. X tasodifiy miqdorning k tartibli momenti Xk qiymatining matematik kutilishidir:

Xususan, birinchi tartibning boshlang'ich momenti matematik kutishga teng:

II. X tasodifiy miqdorning k tartibining markaziy momenti k qiymatining matematik kutilishidir:

Xususan, 1-tartibdagi markaziy moment 0 ga teng:

m1=M=0,

2-tartibning markaziy momenti dispersiyaga teng:

m2=M2=a.

III. Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun u berilgan k dan kam bo'lmagan qiymatni olish ehtimolini topamiz. Bu ehtimolni Rk bilan belgilaymiz:

Shubhasiz, Rk ehtimolini yig'indi sifatida hisoblash mumkin

Biroq, uni ehtimollik asosida aniqlash ancha oson qarama-qarshi hodisa:

Xususan, X qiymatining musbat qiymat olish ehtimoli formula bilan ifodalanadi

Yuqorida aytib o'tilganidek, ko'plab amaliyot muammolari Puasson taqsimotiga olib keladi. Keling, ushbu turdagi odatiy muammolardan birini ko'rib chiqaylik.

2-rasm

Ox o'qi bo'yicha nuqtalar tasodifiy taqsimlansin (2-rasm). Ballarning tasodifiy taqsimoti qanoatlantirsin deb faraz qilaylik quyidagi shartlar:

1) l segmentga ma'lum miqdordagi nuqtalarning tushish ehtimoli faqat shu segmentning uzunligiga bog'liq, lekin uning abscissa o'qidagi holatiga bog'liq emas. Boshqacha qilib aytganda, nuqtalar bir xil o'rtacha zichlikdagi x o'qi bo'yicha taqsimlanadi. Keling, bu zichlikni belgilaymiz, ya'ni. l orqali ifodalangan uzunlik birligidagi nuqtalar sonining matematik kutilishi.

2) nuqtalar x o'qi bo'yicha bir-biridan mustaqil ravishda taqsimlanadi, ya'ni. ma'lum miqdordagi nuqtalarning ma'lum bir segmentga tushishi ehtimoli, ularning qanchasi u bilan bir-biriga mos kelmaydigan boshqa segmentga to'g'ri kelishiga bog'liq emas.

3) Dx kichik maydonga ikki yoki undan ortiq nuqta tushishi ehtimolligi bir nuqtaning tushish ehtimoli bilan solishtirganda ahamiyatsiz (bu shart ikki yoki undan ortiq nuqtalarning mos kelishining amaliy imkonsizligini bildiradi).

Abtsissa o'qida l uzunlikdagi ma'lum bir segmentni tanlaymiz va X diskret tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqamiz - bu segmentga tushadigan nuqtalar soni. Mumkin qiymatlar qiymatlar 0,1,2,...,m,... Nuqtalar segmentga bir-biridan mustaqil ravishda tushganligi sababli, nazariy jihatdan u yerda istalgancha ko'p bo'lishi mumkin, ya'ni. bu seriya cheksiz davom etadi.

X tasodifiy miqdor Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanganligini isbotlaylik. Buning uchun segmentga aynan m nuqta tushishi Pm ehtimolini hisoblash kerak.

Avval ko'proq hal qilaylik oddiy vazifa. Ox o'qida kichik Dx maydonni ko'rib chiqamiz va bu maydonga kamida bitta nuqta tushishi ehtimolini hisoblaymiz. Biz quyidagicha fikr yuritamiz. Ushbu bo'limga to'g'ri keladigan nuqtalar sonining matematik kutilishi aniq l·Dx ga teng (chunki o'rtacha uzunlik birligiga l nuqta tushadi). 3-shartga ko'ra, kichik Dx segmenti uchun unga ikki yoki undan ortiq nuqta tushish imkoniyatini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin. Demak, Dx maydonga tushadigan nuqtalar sonining l·Dx matematik kutilishi unga bir nuqta tushish ehtimoliga (yoki bu sharoitlarda ekvivalent bo'lgan kamida bitta) teng bo'ladi.

Shunday qilib, cheksiz kichikgacha yuqori tartib, Dx→0 uchun Dx kesmaga bitta (kamida bitta) nuqta tushishi ehtimolligi l·Dx ga, hech birining tushmasligi ehtimoli 1-c·Dx ga teng deb hisoblashimiz mumkin.

Buning yordamida l segmentiga aynan m nuqta tushishining Pm ehtimolini hisoblaymiz. l segmentni uzunligi bo‘yicha teng bo‘lgan n qismga ajratamiz, agar u bitta nuqta bo‘lmasa, Dx elementar segmentini “bo‘sh”, kamida bittasi bo‘lsa, “bo‘sh” deb atashga rozi bo‘lamiz. Yuqorida aytilganlarga ko'ra, Dx segmentining "bag'al" bo'lish ehtimoli taxminan l·Dx= ga teng; uning "bo'sh" bo'lish ehtimoli 1-. 2-shartga ko'ra, bir-birining ustiga tushmaydigan segmentlarga tushadigan nuqtalar mustaqil bo'lganligi sababli, bizning n segmentimizni n ta mustaqil "tajriba" deb hisoblash mumkin, ularning har birida p= ehtimolligi bilan segmentni "ishg'ol qilish" mumkin. n ta segmentlar orasida aynan m “bog’langan” bo’lish ehtimoli topilsin. Takroriy mustaqil sinovlar teoremasiga ko'ra, bu ehtimollik tengdir

,

yoki ll=a ni belgilaymiz:

.

Etarlicha katta n uchun bu ehtimollik taxminan l segmentga to'liq m nuqta tushishi ehtimoliga teng, chunki Dx segmentiga ikki yoki undan ortiq nuqta tushishi ehtimolligi ahamiyatsiz. Topish uchun aniq qiymat Rm, siz n→∞ sifatida chegaraga o'tishingiz kerak:

Shuni hisobga olib

,

kerakli ehtimollik formula bilan ifodalanganligini topamiz

bu erda a=l, ya'ni. X ning qiymati a=ll parametrli Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, a qiymati ma'noda l segmentidagi o'rtacha nuqta sonini ifodalaydi. R1 qiymati (X qiymatining ijobiy qiymat olish ehtimoli). Ushbu holatda l segmentga kamida bitta nuqta tushishi ehtimolini ifodalaydi: R1=1-e-a.

Shunday qilib, biz Puasson taqsimoti ba'zi nuqtalar (yoki boshqa elementlar) bir-biridan mustaqil ravishda tasodifiy pozitsiyani egallagan joyda sodir bo'lishiga amin bo'ldik va bu nuqtalarning ma'lum bir sohaga tushgan soni hisobga olinadi. Bizning holatlarimizda bunday maydon abscissa o'qidagi l segmenti edi. Biroq, bu xulosani nuqtalarni tekislikda (nuqtalarning tasodifiy tekis maydoni) va kosmosda (nuqtalarning tasodifiy fazoviy maydoni) taqsimlash holatiga osongina kengaytirilishi mumkin. Agar shartlar bajarilsa, buni isbotlash qiyin emas:

1) nuqtalar o'rtacha zichligi l bo'lgan maydonda statistik jihatdan bir xil taqsimlanadi;

2) nuqtalar bir-birining ustiga chiqmaydigan hududlarga mustaqil ravishda tushadi;

3) nuqtalar juft, uchlik va boshqalar emas, yakka-yakka ko‘rinadi;

u holda har qanday D mintaqasiga (tekis yoki fazoviy) tushadigan X nuqtalar soni Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi:

,

Bu erda a - D maydoniga tushadigan nuqtalarning o'rtacha soni.

Yassi holat uchun a=SD l, bu erda SD - D hududining maydoni,

fazoviy a= VD l uchun, bu yerda VD - D hududining hajmi.

Segment yoki mintaqaga tushadigan nuqtalar sonining Puasson taqsimoti uchun doimiy zichlik sharti (l=const) ahamiyatsiz. Agar qolgan ikkita shart bajarilsa, Puasson qonuni amal qiladi, faqat undagi a parametr boshqa ifodani oladi: u zichlikni l ni uzunlikka, maydonga yoki hajmga ko‘paytirish orqali emas, balki o‘zgaruvchan zichlikni integrallash yo‘li bilan olinadi. segment, maydon yoki hajm bo'yicha.

Puasson taqsimoti o'ynaydi muhim rol fizikaning bir qator masalalarida, aloqa nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, navbat nazariyasi va boshqalar. Muayyan vaqt oralig'ida tasodifiy ko'p hodisalar (radioaktiv parchalanish, telefon qo'ng'iroqlari, uskunalarning ishdan chiqishi, baxtsiz hodisalar va boshqalar) sodir bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday joyda.

Keling, Puasson taqsimoti yuzaga keladigan eng tipik vaziyatni ko'rib chiqaylik. Ba'zi hodisalar (do'kon xaridlari) tasodifiy vaqtda sodir bo'lsin. 0 dan T gacha bo'lgan vaqt oralig'ida bunday hodisalarning sodir bo'lish sonini aniqlaymiz.

0 dan T gacha bo'lgan vaqt ichida sodir bo'lgan tasodifiy hodisalar soni Puasson qonuniga muvofiq l=aT parametri bilan taqsimlanadi, bu erda a>0 hodisalarning o'rtacha chastotasini aks ettiruvchi muammo parametridir. Katta vaqt oralig'ida (masalan, bir kun) k xarid qilish ehtimoli bo'ladi

Xulosa

Xulosa qilib shuni ta'kidlashni istardimki, Puasson taqsimoti juda keng tarqalgan va muhim taqsimot bo'lib, ehtimollar nazariyasida ham, uning qo'llanilishida ham qo'llaniladi. matematik statistika.

Ko'pgina amaliy muammolar oxir-oqibat Puasson taqsimotiga to'g'ri keladi. Uning matematik kutish va dispersiya tengligidan iborat bo'lgan maxsus xossasi ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanishi yoki taqsimlanmaganligi haqidagi savolni hal qilish uchun amaliyotda qo'llaniladi.

Yana bir muhim jihat shundaki, Puasson qonuni tajribaning ko'p takrorlanishi va kichik bir ehtimollik bilan takroriy mustaqil sinovlarda hodisaning ehtimolini topishga imkon beradi.

Biroq, Bernulli taqsimoti iqtisodiy hisob-kitoblar amaliyotida va xususan, barqarorlikni tahlil qilishda juda kamdan-kam qo'llaniladi. Bu ham hisoblash qiyinchiliklari, ham Bernulli taqsimoti uchun ekanligi bilan bog'liq diskret miqdorlar, va klassik sxemaning shartlari (mustaqillik, sanab o'tilgan testlar soni, hodisaning yuzaga kelishi ehtimoliga ta'sir qiluvchi shartlarning o'zgarmasligi) har doim ham amaliy vaziyatlarda bajarilmasligi bilan. Bernulli sxemasini tahlil qilish sohasidagi keyingi tadqiqotlar 18-19-asrlarda amalga oshirildi. Laplas, Moivr, Puasson va boshqalar cheksizlikka moyil bo'lgan ko'p sonli sinovlar sharoitida Bernulli sxemasidan foydalanish imkoniyatini yaratishga qaratilgan edi.

Adabiyot

1. Ventzel E.S. Ehtimollar nazariyasi. - M, "Oliy maktab" 1998 yil

2. Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika muammolarini hal qilish bo'yicha qo'llanma. - M, "Oliy maktab" 1998 yil

3. Kollejlar uchun matematikadan masalalar to‘plami. Ed. Efimova A.V. - M, Fan 1990

Puasson taqsimotini ko'rib chiqamiz, uning matematik kutilishi, dispersiyasi va rejimini hisoblaymiz. MS EXCEL ning POISSON.DIST() funksiyasidan foydalanib, taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi grafiklarini tuzamiz. Keling, taqsimot parametrini, uning matematik kutilishini va standart og'ishini taxmin qilaylik.

Birinchidan, biz taqsimotning quruq rasmiy ta'rifini beramiz, keyin esa qachon bo'lgan holatlarga misollar keltiramiz Puasson taqsimoti(inglizcha) Puassontarqatish) tasodifiy miqdorni tavsiflash uchun adekvat modeldir.

Agar tasodifiy hodisalar ma'lum bir vaqt oralig'ida (yoki ma'lum bir materiya hajmida) sodir bo'lsa o'rtacha chastota λ( lambda), keyin hodisalar soni x, Bu vaqt ichida sodir bo'lgan bo'ladi Puasson taqsimoti.

Puasson taqsimotini qo'llash

Misollar qachon Puasson taqsimoti adekvat model hisoblanadi:

• ma'lum vaqt ichida telefon stantsiyasiga kelib tushgan qo'ng'iroqlar soni;
• ma'lum vaqt davomida radioaktiv parchalanishga uchragan zarrachalar soni;
• belgilangan uzunlikdagi mato parchasidagi nuqsonlar soni.

Puasson taqsimoti Agar quyidagi shartlar bajarilsa, adekvat model hisoblanadi:

• hodisalar bir-biridan mustaqil ravishda sodir bo'ladi, ya'ni. keyingi hodisaning ehtimoli avvalgisiga bog'liq emas;
• o'rtacha hodisa tezligi doimiy. Natijada, hodisaning ehtimoli kuzatish oralig'ining uzunligiga proportsionaldir;
• ikkita hodisa bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydi;
• hodisalar soni 0 qiymatini olishi kerak; 1; 2…

Eslatma: Kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi yaxshi maslahatdir Puasson taqsimoti, taxminan teng ekanligi haqiqatdir (pastga qarang).

Quyida vaziyatlarga misollar keltirilgan Puasson taqsimoti qila olmaydi qo'llanilishi:

• bir soat ichida universitetni tark etgan talabalar soni (chunki talabalarning o'rtacha oqimi doimiy emas: dars paytida talabalar kam, darslar orasidagi tanaffus paytida talabalar soni keskin ko'payadi);
• Kaliforniyada yiliga 5 magnitudali zilzilalar soni (chunki bitta zilzila shunga o'xshash amplitudali zilzilalarni keltirib chiqarishi mumkin - hodisalar mustaqil emas);
• bemorlarning bo'limda o'tkazadigan kunlari soni intensiv terapiya(chunki bemorlarning intensiv terapiya bo'limida o'tkazadigan kunlar soni har doim 0 dan katta).

Eslatma: Puasson taqsimoti aniqroq ning yaqinlashuvidir diskret taqsimotlar: Va.

Eslatma: O'zaro munosabatlar haqida Puasson taqsimoti Va Binomiy taqsimot maqolada o'qilishi mumkin. O'zaro munosabatlar haqida Puasson taqsimoti Va Eksponensial taqsimot haqidagi maqolada o'qilishi mumkin.

MS EXCEL da Puasson taqsimoti

MS EXCEL da, 2010 versiyasidan boshlab, uchun Tarqatishlar Puasson POISSON.DIST() funktsiyasi mavjud, Inglizcha nomi- POISSON.DIST(), bu sizga nafaqat ma'lum vaqt oralig'ida nima sodir bo'lish ehtimolini hisoblash imkonini beradi X hodisalar (funktsiya ehtimollik zichligi p (x), yuqoridagi formulaga qarang), balki (hech bo'lmaganda ma'lum vaqt oralig'ida bo'lish ehtimoli x voqealar).

MS EXCEL 2010 dan oldin EXCELda POISSON() funksiyasi mavjud bo‘lib, u ham hisoblash imkonini beradi. tarqatish funktsiyasi Va ehtimollik zichligi p(x). POISSON() moslik uchun MS EXCEL 2010 da qoldirilgan.

Misol fayli grafiklarni o'z ichiga oladi ehtimollik zichligi taqsimoti Va kümülatif taqsimot funksiyasi.

Puasson taqsimoti qiyshiq shaklga ega (ehtimollik funksiyasining o'ng tomonidagi uzun dum), lekin parametr l ortib borishi bilan u tobora simmetrik bo'ladi.

Eslatma: O'rtacha Va dispersiya(kvadrat) parametrga teng Puasson taqsimoti- l (qarang misol varaq fayli Misol).

Vazifa

Oddiy dastur Puasson taqsimoti sifat nazoratida - asbob yoki qurilmada paydo bo'lishi mumkin bo'lgan nuqsonlar sonining modeli.

Masalan, chipdagi nuqsonlarning o'rtacha soni l (lambda) 4 ga teng bo'lsa, tasodifiy tanlangan chipning 2 yoki undan kam nuqsonlari bo'lish ehtimoli: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381

Funktsiyadagi uchinchi parametr = TRUE o'rnatilgan, shuning uchun funktsiya qaytadi kümülatif taqsimot funksiyasi, ya'ni tasodifiy hodisalar soni 0 dan 4 gacha bo'lgan oraliqda bo'lish ehtimoli.

Bu holda hisob-kitoblar quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

Tasodifiy tanlangan mikrosxemaning aniq 2 ta nuqsonga ega bo'lish ehtimoli: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Funktsiyadagi uchinchi parametr = FALSE o'rnatilgan, shuning uchun funktsiya ehtimollik zichligini qaytaradi.

Tasodifiy tanlangan mikrosxemaning 2 dan ortiq nuqsonlarga ega bo'lish ehtimoli quyidagilarga teng: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0,8535

Eslatma: Agar x butun son emas, formulani hisoblashda . Formulalar =POISSON.DIST( 2 ; 4; YOLG'ON) Va =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; YOLG'ON) xuddi shunday natijani qaytaradi.

Tasodifiy sonlarni yaratish va l baholash

l qiymatlari uchun >15 , Puasson taqsimoti yaxshi yaqinlashtirilgan Oddiy taqsimot quyidagi parametrlar bilan: m =λ , s 2 =λ .

Ushbu taqsimotlar o'rtasidagi munosabatlar haqida batafsil ma'lumotni maqolada topishingiz mumkin. Bundan tashqari, yaqinlashtirish misollari va qachon mumkin bo'lganligi va qanday aniqlik bilan tushuntirish shartlari mavjud.

MASLAHAT: Boshqa MS EXCEL distributivlari haqida maqolada oʻqishingiz mumkin.

Ko'pgina amaliy muhim ilovalarda Puasson taqsimoti muhim rol o'ynaydi. Raqamli diskret miqdorlarning aksariyati quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan Puasson jarayonining amalga oshirilishidir:

• Bizni ma'lum bir hodisaning ma'lum bir hududda necha marta sodir bo'lishi qiziqtiradi mumkin bo'lgan natijalar tasodifiy tajriba. Mumkin bo'lgan natijalar maydoni vaqt oralig'i, segment, sirt va boshqalar bo'lishi mumkin.
• Mumkin bo'lgan natijalarning barcha sohalari uchun berilgan hodisaning ehtimoli bir xil.
• Mumkin bo'lgan natijalarning bir sohasida sodir bo'lgan voqealar soni boshqa sohalarda sodir bo'lgan voqealar soniga bog'liq emas.
• Mumkin bo'lgan natijalarning bir xil sohasida bir necha marta sodir bo'lish ehtimoli nolga teng bo'ladi, chunki mumkin bo'lgan natijalar maydoni kamayadi.

Puasson jarayonining ma'nosini yanada chuqurroq tushunish uchun tushlik paytida markaziy biznes tumanida joylashgan bank filialiga tashrif buyurgan mijozlar sonini ko'rib chiqaylik, ya'ni. soat 12 dan 13 gacha. Aytaylik, siz bir daqiqada keladigan mijozlar sonini aniqlamoqchisiz. Bu holat yuqorida sanab o'tilgan xususiyatlarga egami? Birinchidan, bizni qiziqtiradigan voqea - bu mijozning kelishi va mumkin bo'lgan natijalar oralig'i - bir daqiqalik interval. Bir daqiqada bankka qancha mijoz keladi - hech kim, bitta, ikkita yoki undan ko'pmi? Ikkinchidan, mijozning bir daqiqa ichida kelishi ehtimoli barcha bir daqiqalik intervallar uchun bir xil deb taxmin qilish oqilona. Uchinchidan, har qanday bir daqiqalik intervalda bitta mijozning kelishi boshqa har qanday boshqa bir daqiqalik intervalda boshqa mijozning kelishiga bog'liq emas. Va nihoyat, agar vaqt oralig'i nolga moyil bo'lsa, masalan, 0,1 s dan kam bo'lsa, bankka bir nechta mijozning kelishi ehtimoli nolga tushadi. Shunday qilib, bir daqiqa ichida tushlik paytida bankka kelgan mijozlar soni Puasson taqsimoti bilan tavsiflanadi.

Puasson taqsimoti l (yunoncha "lambda" harfi) belgisi bilan ko'rsatilgan bitta parametrga ega - bu mumkin bo'lgan natijalar diapazonidagi muvaffaqiyatli sinovlarning o'rtacha soni. Puasson taqsimotining dispersiyasi ham l ga, standart og‘ishi esa ga teng. Muvaffaqiyatli sinovlar soni X Puasson tasodifiy o'zgaruvchisi 0 dan cheksizgacha o'zgaradi. Puasson taqsimoti quyidagi formula bilan tavsiflanadi:

Qayerda P(X)- ehtimollik X muvaffaqiyatli sinovlar, l - kutilgan muvaffaqiyatlar soni, e- tayanch tabiiy logarifm, 2,71828 ga teng, X- vaqt birligidagi muvaffaqiyatlar soni.

Keling, misolimizga qaytaylik. Aytaylik, tushlik tanaffus vaqtida bankka bir daqiqada o‘rtacha uch nafar mijoz keladi. Bir vaqtning o'zida ikkita mijozning bankka kelish ehtimoli qanday? Ikkitadan ortiq mijozning bankka kelishi ehtimoli qanday?

l = 3 parametrli formulani (1) qo'llaymiz. U holda ma'lum bir daqiqada ikkita mijozning bankka kelishi ehtimoli teng bo'ladi.

Bankka ikkitadan ortiq mijozning kelishi ehtimoli P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) ga teng. Barcha ehtimollar yig'indisi 1 ga teng bo'lishi kerakligi sababli, formulaning o'ng tomonidagi qator shartlari X ≤ 2 hodisaga qo'shilish ehtimolini ifodalaydi. Boshqacha qilib aytganda, bu qator yig'indisi 1 ga teng - P(X ≤ 2). Shunday qilib, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Endi (1) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, bir daqiqa ichida ikki nafardan ortiq mijozning bankka kelishi ehtimoli 0,423 (yoki 42,3 foiz), bir daqiqa ichida ikki nafardan ortiq mijozning bankka kelishi ehtimoli esa 0,577 (yoki 57,7 foiz) ni tashkil qiladi.

Bunday hisob-kitoblar zerikarli ko'rinishi mumkin, ayniqsa l parametri etarlicha katta bo'lsa. Murakkab hisob-kitoblarga yo'l qo'ymaslik uchun ko'plab Puasson ehtimolliklarini maxsus jadvallarda topish mumkin (1-rasm). Masalan, ma'lum bir daqiqada bankka ikkita mijozning kelishi ehtimoli, agar bankka bir daqiqada o'rtacha uchta mijoz kelsa, chiziq kesishmasida. X= 2 va ustun l = 3. Shunday qilib, u 0,2240 yoki 22,4% ga teng.

Guruch. 1. l = 3 da Puasson ehtimoli

Hozirgi vaqtda Excelda =POISSON.DIST() funksiyasi mavjud bo'lsa, hech kim jadvallardan foydalanishi dargumon (2-rasm). Bu funksiya uchta parametrga ega: muvaffaqiyatli sinovlar soni X, muvaffaqiyatli sinovlarning o'rtacha kutilgan soni l, parametr Integral, ikkita qiymatni olish: FALSE - bu holda muvaffaqiyatli sinovlar sonining ehtimoli hisoblanadi X(Faqat X), TRUE - bu holda muvaffaqiyatli sinovlar sonining ehtimoli 0 dan X.

Guruch. 2. l = 3 da Puasson taqsimotining ehtimolliklarini Excelda hisoblash

Puasson taqsimoti yordamida binomial taqsimotni yaqinlashtirish

Agar raqam n katta va soni r- kichik, binomial taqsimotni Puasson taqsimoti yordamida taxmin qilish mumkin. Qanaqasiga kattaroq raqam n va kamroq raqam r, yaqinlashish aniqligi qanchalik yuqori bo'lsa. Binomial taqsimotni taxminiy aniqlash uchun quyidagi Puasson modeli qo'llaniladi.

Qayerda P(X)- ehtimollik X berilgan parametrlar bilan muvaffaqiyat n Va r, n- namuna hajmi, r- muvaffaqiyatning haqiqiy ehtimoli; e- natural logarifm asosi; X- namunadagi muvaffaqiyatlar soni (X = 0, 1, 2, …, n).

Nazariy jihatdan, Puasson taqsimotiga ega tasodifiy o'zgaruvchi 0 dan ∞ gacha bo'lgan qiymatlarni oladi. Biroq, Puasson taqsimoti binomial taqsimotni taxmin qilish uchun qo'llaniladigan holatlarda, Puasson tasodifiy o'zgaruvchisi o'rtasidagi muvaffaqiyatlar sonidir. n kuzatishlar - raqamdan oshmasligi kerak n. (2) formuladan ko'rinib turibdiki, sonning ortishi bilan n va sonining kamayishi r ko'p sonli muvaffaqiyatlarni aniqlash ehtimoli kamayadi va nolga intiladi.

Yuqorida aytib o'tilganidek, Puasson taqsimotining kutilgan m va dispersiyasi s 2 l ga teng. Shuning uchun Puasson taqsimoti yordamida binomial taqsimotni yaqinlashtirganda, matematik taxminni taxmin qilish uchun (3) formuladan foydalanish kerak.

(3) m = E(X) = l =n.p.

Standart og'ishning taxminiy qiymatini aniqlash uchun (4) formuladan foydalaniladi.

Iltimos, (4) formuladan foydalangan holda hisoblangan standart og'ish moyilligini unutmang standart og'ish binomial modelda - muvaffaqiyat ehtimoli qachon p nolga intiladi va shunga mos ravishda muvaffaqiyatsizlik ehtimoli 1 – bet birlikka intiladi.

Faraz qilaylik, ma'lum bir zavodda ishlab chiqarilgan shinalarning 8 foizi nuqsonli. Puasson taqsimotidan binomial taqsimotni taxminiy hisoblash uchun foydalanishni ko'rsatish uchun keling, 20 ta shinalar namunasida bitta nuqsonli shinani topish ehtimolini hisoblaylik. Keling, (2) formulani qo'llaymiz, olamiz

Agar biz uning yaqinlashuvini emas, balki haqiqiy binomial taqsimotni hisoblasak, quyidagi natijaga erishamiz:

Biroq, bu hisob-kitoblar juda zerikarli. Biroq, ehtimolliklarni hisoblash uchun Excel-dan foydalansangiz, Puasson taqsimotining yaqinlashuvidan foydalanish ortiqcha bo'ladi. Shaklda. 3-rasm Excelda hisob-kitoblarning murakkabligi bir xil ekanligini ko'rsatadi. Biroq, bu bo'lim, mening fikrimcha, ba'zi sharoitlarda binomial taqsimot va Puasson taqsimoti o'xshash natijalar berishini tushunish uchun foydalidir.

Guruch. 3. Excelda hisob-kitoblarning murakkabligini taqqoslash: (a) Puasson taqsimoti; (b) binomial taqsimot

Shunday qilib, ushbu va oldingi ikkita eslatmada uchta diskret raqamli taqsimot ko'rib chiqildi: , va Puasson. Ushbu taqsimotlar bir-biriga qanday bog'liqligini yaxshiroq tushunish uchun biz kichik savollar daraxtini taqdim etamiz (4-rasm).

Guruch. 4. Diskret ehtimollik taqsimotlarining tasnifi

Levin va boshq. “Menejerlar uchun statistika” kitobining materiallaridan foydalaniladi. – M.: Uilyams, 2004. – b. 320–328

Puasson taqsimoti.

Keling, Puasson taqsimoti yuzaga keladigan eng tipik vaziyatni ko'rib chiqaylik. Tadbirga ruxsat bering A kosmosning belgilangan maydonida (interval, maydon, hajm) yoki doimiy intensivlikdagi vaqt oralig'ida ma'lum bir necha marta paydo bo'ladi. Aniqroq bo'lish uchun, voqealar oqimi deb ataladigan vaqt davomida voqealarning ketma-ket sodir bo'lishini ko'rib chiqing. Grafik jihatdan, voqealar oqimini vaqt o'qida joylashgan ko'plab nuqtalar bilan tasvirlash mumkin.

Bu xizmat ko'rsatish sohasidagi qo'ng'iroqlar oqimi bo'lishi mumkin (ta'mirlash maishiy texnika, tez yordamni chaqirish va hokazo), telefon stantsiyasiga qo'ng'iroqlar oqimi, tizimning ayrim qismlarining ishdan chiqishi, radioaktiv parchalanish, mato yoki metall choyshab parchalari va ularning har biridagi nuqsonlar soni va boshqalar. Puasson taqsimoti Bu faqat ijobiy natijalar sonini ("muvaffaqiyatlar") aniqlashni talab qiladigan vazifalarda eng foydali hisoblanadi.

Keling, bir xil o'lchamdagi kichik bo'laklarga bo'lingan mayizli bulochkani tasavvur qilaylik. tufayli tasodifiy taqsimot mayiz, barcha qismlarda bir xil miqdordagi mayiz bo'lishini kutish mumkin emas. Ushbu bo'laklardagi mayizlarning o'rtacha soni ma'lum bo'lganda, Puasson taqsimoti har qanday ma'lum bo'lakni o'z ichiga olishi ehtimolini beradi. X=k(k= 0,1,2,...,)mayizlar soni.

Boshqacha qilib aytganda, Puasson taqsimoti uzun bo'laklar seriyasining qaysi qismi 0, 1 yoki 2 yoki boshqalarga teng bo'lishini aniqlaydi. diqqatga sazovor joylar soni.

Keling, quyidagi taxminlarni qilaylik.

1. Berilgan vaqt oralig'ida ma'lum miqdordagi hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli uning vaqt o'qidagi holatiga emas, balki faqat shu oraliq uzunligiga bog'liq. Bu statsionarlik xususiyatidir.

2. Etarlicha qisqa vaqt ichida bir nechta hodisaning sodir bo'lishi amalda mumkin emas, ya'ni. bir xil oraliqda boshqa hodisaning yuzaga kelishining shartli ehtimolligi ® 0 kabi nolga intiladi. Bu oddiylik xususiyatidir.

3. Belgilangan vaqt oralig'ida ma'lum miqdordagi hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli boshqa vaqt oralig'ida paydo bo'ladigan hodisalar soniga bog'liq emas. Bu keyingi ta'sirning yo'qligi xususiyatidir.

Yuqoridagi takliflarni qanoatlantiradigan hodisalar oqimi deyiladi eng oddiy.

Keling, juda qisqa vaqtni ko'rib chiqaylik. 2-xususiyatga asoslanib, hodisa ushbu intervalda bir marta paydo bo'lishi yoki umuman ko'rinmasligi mumkin. Hodisa sodir bo'lish ehtimolini tomonidan belgilaymiz r, va ko'rinmaslik - orqali q = 1-p. Ehtimollik r doimiy (3-xususiyat) va faqat qiymatga bog'liq (1-xususiyat). Intervaldagi hodisaning sodir bo'lish sonining matematik kutilishi 0 × ga teng bo'ladi. q+ 1× p = p. U holda vaqt birligida sodir bo'ladigan hodisalarning o'rtacha soni oqim intensivligi deb ataladi va quyidagicha belgilanadi. a, bular. a = .

Cheklangan vaqt davrini ko'rib chiqing t va uni bo'linadi n qismlar =. Bu oraliqlarning har birida hodisalarning yuz berishi mustaqildir (2-xususiyat). Keling, vaqt oralig'ida bo'lish ehtimolini aniqlaylik t doimiy oqim intensivligida A hodisa aniq namoyon bo'ladi X = k yana paydo bo'lmaydi n–k. Chunki voqea har birida mumkin n bo'shliqlar 1 martadan ko'p bo'lmagan holda paydo bo'ladi, keyin uning ko'rinishi uchun k davomiylik segmentida bir marta t u har qandayida paydo bo'lishi kerak k jamidan intervallar n. Bunday kombinatsiyalar jami bor va ularning har birining ehtimoli teng. Demak, ehtimollarni qo'shish teoremasi orqali biz kerakli ehtimollikni olamiz taniqli formula Bernulli

Bu tenglik taxminiy tenglik sifatida yoziladi, chunki uni hosil qilishning dastlabki asosi 2-xususiyati bo'lib, u kichikroq bo'lsa, aniqroq bajariladi. Aniq tenglikni olish uchun ® 0 chegarasiga o'tamiz yoki bir xil bo'lgan narsa, n® . Biz uni almashtirgandan keyin olamiz.

P = a= va q = 1 – .

Keling, yangi parametrni kiritamiz = da, segmentdagi hodisaning oʻrtacha sonini bildiradi t. Oddiy o'zgarishlardan va omillar chegarasiga o'tgandan so'ng, biz olamiz.

= 1, = ,

Nihoyat, olamiz

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... natural logarifmning asosi.

Ta'rif. Tasodifiy o'zgaruvchi X, faqat butun son, musbat qiymatlarni qabul qiladigan 0, 1, 2, ... parametrli Puasson taqsimot qonuniga ega, agar

uchun k = 0, 1, 2, ...

Puasson taqsimotini frantsuz matematigi S.D. Puasson (1781-1840). U vaqt, uzunlik, maydon va hajm birligida nisbatan kam uchraydigan, tasodifiy, o‘zaro mustaqil hodisalarning ehtimolini hisoblash masalalarini yechishda qo‘llaniladi.

a) katta va b) bo'lgan holatlar uchun k= , Stirling formulasi amal qiladi:

Keyingi qiymatlarni hisoblash uchun takroriy formuladan foydalaniladi

P(k + 1) = P(k).

Misol 1. Ma’lum bir kunda 1000 kishidan: a) yo‘q, b) bitta, c) ikkita, d) uch kishi tug‘ilgan bo‘lish ehtimoli qanday?

Yechim. Chunki p= 1/365, keyin q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Keyin

A) ,

b) ,

V) ,

G) .

Shuning uchun, agar 1000 kishidan iborat namunalar mavjud bo'lsa, unda ma'lum bir kunda tug'ilgan odamlarning o'rtacha soni mos ravishda 65 bo'ladi; 178; 244; 223.

Misol 2. Ehtimollik bilan qaysi qiymatni aniqlang R hodisa kamida bir marta paydo bo'ldi.

Yechim. Tadbir A= (kamida bir marta paydo bo'ladi) va = (bir marta ham ko'rinmaydi). Shuning uchun.

Bu yerdan Va .

Masalan, uchun R= 0,5, uchun R= 0,95 .

Misol 3. Bitta to‘quvchi boshqaradigan dastgohlarda bir soat ichida 90 ta ip uzilib qoladi. 4 daqiqada kamida bitta ip uzilishi sodir bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. Shart bo'yicha t = 4 min. va daqiqada o'rtacha tanaffuslar soni, qaerdan . Kerakli ehtimollik .

Xususiyatlari. Parametrli Puasson taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi quyidagilarga teng:

M(X) = D(X) = .

Ushbu ifodalar to'g'ridan-to'g'ri hisob-kitoblar bilan olinadi:

Bu erda almashtirish amalga oshirildi n = k– 1 va bu haqiqat.

Chiqishda ishlatiladiganlarga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirish orqali M(X), olamiz

Puasson taqsimoti binomial taqsimotni taxminan aniqlash uchun ishlatiladi n

Ko'pchilik umumiy holat har xil turlari ehtimollik taqsimotlari binomial taqsimotlardir. Keling, uning ko'p qirraliligidan amalda eng ko'p uchraydigan maxsus taqsimot turlarini aniqlash uchun foydalanamiz.

Binomiy taqsimot

A hodisasi bo'lsin. A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng p, A hodisaning yuz bermaslik ehtimoli 1 ga teng p, ba'zan shunday belgilanadi q. Mayli n testlar soni, m bularda A hodisaning yuzaga kelish chastotasi n testlar.

Ma'lumki, barcha mumkin bo'lgan natijalar kombinatsiyasining umumiy ehtimoli bittaga teng, ya'ni:

1 = p n + n · p n 1 (1 p) + C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 + + C n m · p m· (1 p) n – m+ + (1 p) n .

p n ichida bo'lish ehtimoli nn bir marta; n · p n 1 (1 p) ichida bo'lish ehtimoli nn 1) bir marta va 1 marta bo'lmaydi; C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 ichida bo'lish ehtimoli n testlar, A hodisasi sodir bo'ladi ( n 2) marta va 2 marta bo'lmaydi; P m = C n m · p m· (1 p) n – m ichida bo'lish ehtimoli n testlar, A hodisasi sodir bo'ladi m hech qachon bo'lmaydi ( n – m) bir marta; (1 p) n ichida bo'lish ehtimoli n sinovlarda A hodisasi bir marta ham sodir bo'lmaydi; kombinatsiyalar soni n tomonidan m .

Kutish M binomial taqsimot quyidagilarga teng:

M = n · p ,

Qayerda n testlar soni, p A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli.

Standart og'ish σ :

σ = sqrt( n · p· (1 p)) .

1-misol. Hodisa ehtimoli borligini hisoblang p= 0,5, dyuym n= 10 ta sinov bo'ladi m= 1 marta. Bizda ... bor: C 10 1 = 10 va undan keyingi: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Ko'rib turganimizdek, bu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli juda past. Bu, birinchidan, voqea sodir bo'ladimi yoki yo'qmi mutlaqo aniq emasligi bilan izohlanadi, chunki ehtimollik 0,5 va bu erda imkoniyat "50 dan 50 gacha"; ikkinchidan, hodisaning o'ntadan bir marta (ko'p emas va kam emas) sodir bo'lishini hisoblash talab qilinadi.

2-misol. Hodisa ehtimoli borligini hisoblang p= 0,5, dyuym n= 10 ta sinov bo'ladi m= 2 marta. Bizda ... bor: C 10 2 = 45 va undan keyingi: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Ushbu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli oshdi!

3-misol. Keling, hodisaning o'zi sodir bo'lish ehtimolini oshiraylik. Keling, buni ehtimolini oshiraylik. Hodisa ehtimoli borligini hisoblang p= 0,8, dyuym n= 10 ta sinov bo'ladi m= 1 marta. Bizda ... bor: C 10 1 = 10 va undan keyingi: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Ehtimollik birinchi misolga qaraganda kamroq bo'ldi! Javob, bir qarashda, g'alati ko'rinadi, ammo hodisaning ehtimoli juda yuqori bo'lganligi sababli, bu faqat bir marta sodir bo'lishi dargumon. Bu bir necha marta sodir bo'lishi ehtimoli ko'proq. Haqiqatan ham, hisoblash P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (hodisa sodir bo'lish ehtimoli n= 10 ta sinov 0, 1, 2, 3, , 10 marta sodir bo'ladi), biz ko'ramiz:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(eng yuqori ehtimollik!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Albatta P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Oddiy taqsimot

Agar biz miqdorlarni tasvirlasak P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, biz 3-misolda hisoblangan grafikda ularning taqsimlanishi normal taqsimot qonuniga yaqin shaklga ega ekanligi ma'lum bo'ladi (27.1-rasmga qarang) (25-ma'ruzaga qarang. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni modellashtirish).

Guruch. 27.1. Binomiy taqsimot turi
p = 0,8, n = 10 da turli m uchun ehtimolliklar

A hodisaning yuzaga kelish va sodir bo'lmaslik ehtimoli taxminan bir xil bo'lsa, binomial qonun normal bo'ladi, ya'ni shartli ravishda yozishimiz mumkin: p≈ (1 p) . Masalan, olaylik n= 10 va p= 0,5 (ya'ni p= 1 p = 0.5 ).

Agar, masalan, bir kunda tug'ruqxonada tug'ilgan 10 nafar boladan nechta o'g'il va qancha qiz tug'ilishini nazariy jihatdan hisoblab chiqmoqchi bo'lsak, bunday muammoga mazmunli kelamiz. Aniqrog‘i, o‘g‘il va qiz bolalarni emas, balki faqat o‘g‘il bolalar tug‘ilishi, 1 o‘g‘il va 9 qiz tug‘ilishi, 2 o‘g‘il va 8 qiz tug‘ilishi va hokazolarni hisoblaymiz. Oddiylik uchun o'g'il va qiz tug'ilish ehtimoli bir xil va 0,5 ga teng deb faraz qilaylik (lekin, rostini aytsam, bunday emas, "Sun'iy intellekt tizimlarini modellashtirish" kursiga qarang).

Tarqatish nosimmetrik bo'lishi aniq, chunki 3 o'g'il va 7 qiz bo'lish ehtimoli 7 o'g'il va 3 qiz bo'lish ehtimoliga teng. Tug'ilishning eng katta ehtimoli 5 o'g'il va 5 qiz bo'ladi. Bu ehtimollik 0,25 ga teng, aytmoqchi, u unchalik katta emas mutlaq qiymat. Bundan tashqari, bir vaqtning o'zida 10 yoki 9 o'g'il tug'ilish ehtimoli 10 boladan 5 ± 1 o'g'il tug'ilish ehtimolidan ancha past. Binom taqsimoti bu hisobni amalga oshirishga yordam beradi. Shunday qilib.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Albatta P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Grafikdagi miqdorlarni ko'rsatamiz P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (27.2-rasmga qarang).

Guruch. 27.2. Parametrli binomial taqsimot grafigi
p = 0,5 va n = 10, uni normal qonunga yaqinlashtiradi

Shunday qilib, shartlar ostida m ≈ n/2 va p≈ 1 p yoki p≈ 0,5 binomial taqsimot o'rniga siz oddiydan foydalanishingiz mumkin. Katta qiymatlar uchun n grafik o'ngga siljiydi va tobora tekis bo'lib boradi, chunki matematik kutish va dispersiya ortib borishi bilan ortadi. n : M = n · p , D = n · p· (1 p) .

Aytgancha, binomial qonun normaga va ortib borishga intiladi n, bu markaziy chegara teoremasiga ko'ra juda tabiiy (34-ma'ruzaga qarang. Statistik natijalarni qayd etish va qayta ishlash).

Endi binomial qonunning qachon o'zgarishini ko'rib chiqing p ≠ q, ya'ni p> 0. Bu holda normal taqsimot gipotezasini qo'llash mumkin emas va binomial taqsimot Puasson taqsimotiga aylanadi.

Puasson taqsimoti

Puasson taqsimoti maxsus holat binomial taqsimot (bilan n>> 0 va da p>0 (kamdan-kam uchraydigan hodisalar)).

Matematikadan binomial taqsimotning istalgan a'zosining qiymatini taxminan hisoblash imkonini beruvchi formula ma'lum:

Qayerda a = n · p Puasson parametri (matematik kutish) va dispersiya matematik kutishga teng. Keling, ushbu o'tishni tushuntiruvchi matematik hisoblarni taqdim qilaylik. Binomiy taqsimot qonuni

P m = C n m · p m· (1 p) n – m

qo'ysangiz yozishingiz mumkin p = a/n , shaklida

Chunki p juda kichik, keyin faqat raqamlarni hisobga olish kerak m, nisbatan kichik n. Ish

birlikka juda yaqin. Xuddi shu narsa o'lchamga ham tegishli

Kattalik

juda yaqin e – a. Bu erdan biz formulani olamiz:

Misol. Quti o'z ichiga oladi n= 100 ta qism, ham yuqori sifatli, ham nuqsonli. Buzuq mahsulotni olish ehtimoli p= 0,01. Aytaylik, mahsulotni olib chiqib, nuqsonli yoki nuqsonli ekanligini aniqlab, qaytarib qo‘yamiz. Shunday qilib, biz ko‘zdan kechirgan 100 ta mahsulotdan ikkitasi nuqsonli bo‘lib chiqdi. Buning ehtimoli qanday?

Binom taqsimotidan biz quyidagilarni olamiz:

Poisson taqsimotidan biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, qiymatlar yaqin bo'lib chiqdi, shuning uchun kamdan-kam hollarda Puasson qonunini qo'llash juda maqbuldir, ayniqsa u kamroq hisoblash kuchini talab qiladi.

Puasson qonunining shaklini grafik tarzda ko'rsatamiz. Misol sifatida parametrlarni olaylik p = 0.05 , n= 10. Keyin:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Albatta P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Guruch. 27.3. P = 0,05 va n = 10 da Puasson taqsimoti grafigi

At n> ∞ Puasson taqsimoti markaziy chegara teoremasiga ko'ra normal qonunga aylanadi (qarang.