Metoda analitičkog nivelmana sastoji se u konstruisanju regresione jednačine koja karakteriše zavisnost nivoa serije od vremenske varijable.
Svrha usluge. Usluga će vam omogućiti da izvršite analitičko poravnanje serije y t direktno na web stranici u online modu, provjerite prisutnost heteroskedastičnosti i autokorelacije reziduala pomoću Durbin-Watson testa (vidi primjer analitičkog pravolinijskog poravnanja).
Instrukcije. Odredite količinu podataka (broj redova), kliknite Dalje. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku.
Dovesti nelinearne zavisnosti u linearnu upotrebu metoda poravnanja(linearizacija).
| y = f(x) | Konverzija | Metoda linearizacije |
| y = b x a | Y = log(y); X = log(x) | Logaritam |
| y = b e ax | Y = log(y); X = x | Kombinovano |
| y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Zamjena varijabli |
| y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Zamjena varijabli. Primjer |
| y = aln(x)+b | Y = y; X = log(x) | Kombinovano |
| y = a + bx + cx 2 | x 1 = x; x 2 = x 2 | Zamjena varijabli |
| y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3 | Zamjena varijabli |
| y = a + b/x | x 1 = 1/x | Zamjena varijabli |
| y = a + sqrt(x)b | x 1 = sqrt(x) | Zamjena varijabli |
IN opšti slučaj za analitičko usklađivanje koristi se metoda najmanjih kvadrata:
Tipičan zadatak. Izvršite analitičko poravnanje i izrazite opšti trend razvoj maloprodajnog prometa trgovačke kuće sa odgovarajućom analitičkom jednačinom. Izračunajte analitičke (nivelirane) nivoe vremenske serije i nacrtajte ih na grafikonu zajedno sa stvarnim podacima.
Primjer. Za SD postoje podaci o puštanju u rad stambenih zgrada i studentskih domova, hiljada m 2. Za analizu dinamike stope puštanja u rad stambenih zgrada i spavaonica, izračunajte:
- apsolutni rast, stope rasta i stope rasta po godinama i do 1998. godine, apsolutni sadržaj od jedan posto rasta. Dobijene indikatore predstaviti u obliku tabele;
- prosječni godišnji pokazatelji - vrijednost nivoa serije; apsolutna stopa rasta rasta i povećanja. Izvucite zaključke.
Rješenje. Najjednostavniji matematički model predstavlja linearna jednačina trend oblika y = bt + a. Da bismo pronašli parametre ovog modela, koristimo metodu najmanjih kvadrata. Sistem jednačina će imati sljedeći oblik:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759,66
45a 0 + 285a 1 = 15445,64
Ovaj sistem jednačina može se riješiti sa nekoliko
Jedan od najčešćih načina za modeliranje vremenske serije je konstruiranje trenda ili analitičke funkcije koja karakterizira ovisnost nivoa serije o vremenu. Ova metoda se naziva analitičko usklađivanje vremenskih serija. Za analitičko poravnanje mogu se koristiti sljedeće funkcije: · linearno · hiperbolično; · eksponencijalni · polinomi snage drugog i višeg reda  Parametri svakog od gore navedenih trendova mogu se odrediti običnim OLS, koristeći vrijeme kao nezavisnu varijablu, a stvarne nivoe vremenske serije yt kao zavisnu varijablu. Za nelinearne trendove prvo izvršite standardna procedura njihova linearizacija. Postoji nekoliko načina za određivanje vrste trendova. Najčešći su kvalitativna analiza procesa koji se proučava, konstrukcija i vizuelna analiza grafa zavisnosti nivoa serije od vremena, proračun nekih osnovnih pokazatelja dinamike i koeficijenata autokorelacije nivoa serije. Tip trenda se može odrediti poređenjem koeficijenata autokorelacije prvog reda izračunatih iz originalnog i transformisanog nivoa serije. Ako vremenska serija ima linearni trend, tada su njeni susjedni nivoi usko povezani. U ovom slučaju, koeficijent autokorelacije prvog reda nivoa originalne serije trebao bi biti visok. Ako vremenska serija sadrži nelinearni trend, na primjer, u obliku eksponencijala, tada će koeficijent autokorelacije prvog reda zasnovan na logaritmima nivoa originalne serije biti veći od odgovarajućeg koeficijenta izračunatog iz nivoa serije. Što je izraženiji nelinearni trend u vremenskoj seriji koja se proučava, to će se vrijednosti navedenih koeficijenata više razlikovati. |
Verifikacija
| Izbor najbolje jednadžbe ako serija sadrži nelinearni trend može se izvršiti nabrajanjem glavnih oblika trenda, izračunavanjem prilagođenog koeficijenta determinacije za svaku jednačinu R 2, čija se značajnost procjenjuje korištenjem Fisherovog kriterija, te izborom jednadžbe trenda sa maksimalnom vrijednošću prilagođenog koeficijenta determinacije. Implementacija ove metode je relativno jednostavna u kompjuterskoj obradi podataka. U prisustvu implicitnog nelinearni trend gore opisane metode za odabir najbolje jednačine trenda treba dopuniti kvalitativnom analizom dinamike indikatora koji se proučava kako bi se izbjegle greške u specifikaciji pri odabiru tipa trenda. Kvalitativna analiza uključuje istraživanje problema moguća dostupnost u proučavanom vremenskom nizu prekretnica i promjena stopa rasta, počevši od određene tačke (perioda) pod uticajem niza faktora. Ako je jednadžba trenda pogrešno odabrana za velike vrijednosti uzorka (greška u specifikaciji), rezultati analize i predviđanja dinamike vremenskih serija korištenjem odabrane jednadžbe će biti nepouzdani. |
Zbog najveća vrijednost Ako koeficijent determinacije 0,98 ima jednadžbu definiranu kubnim polinomom, onda se ova jednačina može koristiti kao model (slika 16). Međutim, vrijednost koeficijenta determinacije linearnog trenda je 0,96, što također daje pravo da se koristi za prognozu. U pravilu, prilikom predviđanja, prednost se daje linearnom trendu ako je njegov kvalitet nešto lošiji od nelinearnog.
|
|
Slika 16 – Izbor linije trenda
Predviđanje
Koristeći liniju trenda (kubni polinom), predviđa se proizvodnja koja će u 2011. godini iznositi 44.208 jedinica. Predviđena proizvodnja prema linearnom trendu iznosiće 38.214,5 jedinica. Imajte na umu da polinom bolje opisuje raspoloživi uzorak, ali predviđena vrijednost naglo raste u poređenju sa uočenim vrijednostima. Prognoza zasnovana na linearnom trendu je pouzdanija.
Pitanja za samokontrolu
1. Koja je definicija modela vremenske serije?
2. Koje su poznate glavne komponente vremenske serije?
3. Koji su glavni ciljevi istraživanja vremenskih serija?
4. Kako koristiti funkciju autokorelacije pri analizi strukture vremenske serije?
5. Kako se izračunava koeficijent autokorelacije petog reda?
6. Kako se konstruiše korelogram?
7. Šta je opšti oblik multiplikativni i aditivni modeli vremenskih serija?
8. Koja je svrha analize strukture sezonskih fluktuacija u vremenskoj seriji?
9. Koji se testovi koriste za testiranje hipoteze o strukturnoj stabilnosti vremenske serije?
10. U kom slučaju je narušena strukturna stabilnost vremenske serije?
11. Šta se podrazumijeva pod analitičkim usklađivanjem vremenske serije?
12. Koji su najčešći modeli koji se koriste za analitičko usklađivanje vremenskih serija?
13. Šta se podrazumijeva pod linearizirajućim transformacijama? Kako se koriste u MNK?
14. Kako se ocjenjuje kvalitet izgrađenog modela?
15. Kako se pravi tačka prognoza korištenjem modela vremenske serije?
Individualni zadatak
Dinamiku proizvodnje proizvoda određenog preduzeća karakterišu podaci prikazani u tabeli 25 (u svakoj opciji
broj 120 × mora se dodati volumenu izlaza k, Gdje k– serijski broj učenika u grupnom dnevniku). Uradite sljedeće:
· analizira strukturu vremenske serije;
· provjeriti hipotezu o strukturnoj stabilnosti serije;
· izvršiti analitičko usklađivanje vremenske serije;
· napraviti prognozu za 2011;
· kompletirati izvještaj.
Analitičko usklađivanje vremenske serije je konstrukcija analitičke funkcije, modela trenda. U tu svrhu koriste razne vrste funkcije: linearne, stepske, paraboličke itd.
Parametri trenda se određuju kao u slučaju linearna regresija metoda najmanjih kvadrata, gdje je vrijeme nezavisna varijabla, a nivoi vremenskih serija su zavisna varijabla. Kriterij izbora najbolji oblik Trend je određen najvećom vrijednošću koeficijenta determinacije, Fišerovim i Studentovim testovima.
Pretpostavimo da neki teorijski model pretpostavlja linearna zavisnost jedna od karakteristika sistema od drugih:
y= Y i k i · x i
(i- broj nezavisnih varijabli). Zadatak je sljedeći: sa fiksnim parametrima x i izmjerene vrijednosti y izračunati vektor parametara k , zadovoljavajući neki kriterijum optimalnosti.
U metodi najmanjih kvadrata, ovaj kriterij je minimalni zbir kvadrata odstupanja izračunatih vrijednosti y od uočenog (eksperimentalnog):
min U i (y s,i - y i)І.
Da bi se pronašao minimum funkcije, ovaj izraz mora biti diferenciran u odnosu na parametre i postavljen jednak nuli (minimalni uslov). Kao rezultat, potraga za minimalnim zbrojem kvadrata se svodi na jednostavne operacije sa matricama.
Ako teorijski model predstavlja linearnu zavisnost od jednog parametra ( y = a + b· x), tada se rješenje izražava u obliku jednostavnih formula:
Z = n U x i Ja - (U x i)І;
a= (U y i U x i I - U y i x i U x i) / Z; S a І = S y I U x i І / Z;
b = (n U y i x i- U y i U x i) / Z; S b І = S y І n / Z;
S y I = Y( y s,i - y i)І / ( n - 2)
(y s,i- izračunata vrijednost, y i- eksperimentalno izmjerena vrijednost)
Prilikom izračunavanja grešaka, pretpostavlja se da tačnost x vrijednosti značajno premašuje tačnost izmjerenih vrijednosti y, čija mjerna greška prati normalnu distribuciju.
Autokorelacija u rezidualima je korelacija između vrijednosti reziduala za trenutnu i prethodnu točku u vremenu.
Modeli linearne regresije sa homoskedastičnim i heteroskedastičnim, nezavisnim i autokoreliranim rezidualima. Kao što vidimo iz gore navedenog, glavna stvar je „očistiti“ vremensku seriju od slučajnih odstupanja, tj. procjena matematičkog očekivanja. Odavde prirodno nastaju složeniji modeli. Na primjer, varijansa može ovisiti o vremenu. Takvi modeli nazivaju se heteroskedastičnim, a oni u kojima nema ovisnosti o vremenu nazivaju se homoskedastičnimi. (Tačnije, ovi pojmovi se mogu odnositi ne samo na varijablu „vreme“, već i na druge varijable.) Ako greške nisu ni na koji način povezane jedna s drugom, autokorelacija funkcija mora biti degenerirana – jednaka 1 ako su argumenti jednaki i 0 ako su nejednaki. Jasno je da za serije u realnom vremenu to nije uvijek slučaj. Ako je prirodni tok promjena u posmatranom procesu dovoljno brz u odnosu na interval između uzastopnih opažanja, tada je moguće predvidjeti „propadanje autokorelacije“ i dobiti praktično nezavisne ostatke, inače će reziduali biti autokorelirani.
Identifikacija modela obično znači identifikaciju njihove strukture i procjenu parametara. Budući da je i struktura parametar, iako nenumerički, govorimo o jednom od njih tipične zadatke ekonometrija - procjena parametara.
Problem procjene se najlakše rješava za linearne (u smislu parametara) modele sa homoskedastičkim nezavisnim rezidualima. Obnavljanje zavisnosti u vremenskim serijama može se izvršiti na osnovu metoda najmanjih kvadrata i najmanjih modula; rezultati povezani sa procjenom potrebnog skupa regresora prenose se na slučaj vremenskih serija; posebno, lako je dobiti granica geometrijska distribucija Procjena stepena trigonometrijskog polinoma.
Međutim, za više opšta situacija Nije preporučljivo raditi tako jednostavan prijenos. Uzmimo u obzir, na primjer, u slučaju vremenske serije s heteroskedastičnim i autokoreliranim rezidualima, opet možete koristiti zajednički pristup metoda najmanjih kvadrata, ali će sistem jednadžbi najmanjih kvadrata i, naravno, njegovo rješenje biti drugačiji. Formule će se razlikovati. U vezi sa ovim ovu metodu nazvan "generalizirani najmanji kvadrati (GLS)"
Analizirajmo ekonometrijski model vremenske serije koja opisuje rast indeksa potrošačkih cijena (indeks inflacije). Neka je I(t) povećanje cijene u mjesecu t. Zatim, prema nekim ekonomistima, prirodno je pretpostaviti da:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
Gdje je I(t-1) povećanje cijene u prethodnom mjesecu (a c je određeni koeficijent prigušenja, što sugerira da u odsustvu spoljni uticaji rast cijena će prestati), a je konstanta (odgovara linearnoj promjeni vrijednosti I(t) tokom vremena), bS(t-4) je termin koji odgovara utjecaju emisije novca (tj. povećanje u količini novca u privredi zemlje, izvršena Centralna banka) u iznosu S(t-4) i proporcionalno emisiji sa koeficijentom b, a ovaj uticaj se ne javlja odmah, već nakon 4 mjeseca; Konačno, ovo je neizbježna greška.
Model, čak i uprkos svojoj jednostavnosti, pokazuje mnoge karakterne osobine mnogo složeniji ekonometrijski modeli. Prvo, primijetimo da su neke varijable definirane (izračunate) unutar modela kao I(t). Nazivaju se endogenim (internim). Druge se postavljaju izvana (ovo su egzogene varijable). Ponekad, kao u teoriji upravljanja, među egzogenim varijablama izdvajaju se kontrolisane varijable - one uz pomoć kojih menadžer može dovesti sistem u stanje koje mu je potrebno.
Drugo, u odnosu se pojavljuju novi tipovi varijabli - sa zaostajanjem, tj. argumenti u varijablama se ne odnose na trenutni trenutak u vremenu, već na neke prošle trenutke.
Treće, izgradnja ekonometrijskog modela ovog tipa nikako nije rutinska operacija. Na primjer, kašnjenje od tačno 4 mjeseca u roku vezanom za emisiju novca rezultat je prilično složene preliminarne statističke obrade.
Konkretna implementacija postupka najmanjih kvadrata zavisi od rješenja ovog problema.
S druge strane, u modelu (1) postoje samo 3 nepoznata parametra, a iskaz metode najmanjih kvadrata nije teško napisati:
Zatim razmotrite model ovog tipa sa veliki broj endogene i egzogene varijable, sa kašnjenjima i složene unutrašnja struktura. Drugim riječima, niotkuda ne proizlazi da postoji barem jedno rješenje za takav sistem. Ovo postavlja ne jedan, već dva problema. Postoji li barem jedno rješenje? Ako je tako, kako možemo pronaći najbolje moguće rješenje? (Ovo je problem statističke procjene parametara.)
Oba zadatka su prilično teška. Za rješavanje oba problema razvijene su mnoge metode, obično prilično složene, od kojih samo neke imaju naučnu osnovu. Posebno često koriste statističke procjene koje nisu konzistentne (strogo govoreći, ne mogu se ni nazvati procjenama).
Hajde da ukratko opišemo neke uobičajene tehnike u radu sa sistemima linearnih ekonometrijskih jednačina.
Sistem linearnih simultanih ekonometrijskih jednadžbi. Čisto formalno, sve varijable se mogu izraziti kroz varijable koje zavise samo od trenutnog trenutka u vremenu. Na primjer, u slučaju gornje jednačine dovoljno je staviti
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
Tada primjer jednadžbe izgleda ovako
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
Odmah napomenimo mogućnost korištenja regresijski modeli sa varijabilnom strukturom uvođenjem lažnih varijabli. Ove varijable u jednom trenutku vrijednosti (recimo, početne) poprimaju primjetne vrijednosti, au drugim nestaju (postaju zapravo jednake 0). Kao rezultat toga, formalno (matematički) isti model opisuje potpuno različite zavisnosti.
Kao što je gore navedeno, stvoreno je mnogo metoda za heurističku analizu sistema ekonometrijskih jednačina. Ove metode su namijenjene rješavanju određenih problema koji se javljaju prilikom pokušaja pronalaženja numeričkih rješenja sistema jednačina.
Jedan od problema je postojanje apriornih ograničenja na procijenjene parametre. Na primjer, prihod domaćinstva se može potrošiti ili na potrošnju ili štednju. Dakle, zbir udjela ove dvije vrste troškova je a priori jednak 1. A u sistemu ekonometrijskih jednačina ovi udjeli mogu samostalno učestvovati. To dovodi do ideje da se oni procijene metodom najmanjih kvadrata, bez obzira na apriorno ograničenje, a zatim se isprave. Ovaj pristup se zove indirektna metoda najmanjih kvadrata.
Metoda najmanjih kvadrata u dva koraka se sastoji u tome što se u datoj metodi procjenjuju parametri pojedine jednačine sistema, a ne posmatraju sistem kao cjelinu. Takođe se koristi metoda najmanjih kvadrata u tri koraka za procjenu parametara sistema simultanih jednačina u cjelini. U početku se metoda u dva koraka primjenjuje na svaku jednačinu s jedinom svrhom procjene koeficijenata i grešaka svake jednačine, a zatim konstruiranja procjene za matricu kovarijanse grešaka. Generalizirana metoda najmanjih kvadrata se tada koristi za procjenu koeficijenata cijelog sistema.
Menadžeru i ekonomisti se ne preporučuje da bude specijalista u oblasti sastavljanja i rešavanja sistema ekonometrijskih jednačina, čak ni uz upotrebu posebnih softver, međutim, mora biti informiran o mogućnostima ove oblasti ekonometrije kako bi, u slučaju proizvodne potrebe, vješto formulirao zadatak za stručnjake iz ekonometrije.
Od procjene trenda (glavne tendencije) prelazimo na drugi glavni zadatak ekonometrije vremenskih serija – procjenu perioda (ciklusa).
Problem heteroskedastičnosti. Prvo, istaknimo stacionarne modele. One sadrže zajedničke funkcije raspodjele F(t 1 , t 2 ,…,t k) za bilo koji broj vremenskih tačaka k, te se stoga sve gore navedene karakteristike vremenske serije ne mijenjaju tokom vremena. posebno, očekivanu vrijednost i disperzija su konstantne vrijednosti, autokorelacija funkcija ovisi samo o razlike t-s. Vremenske serije koje nisu stacionarne nazivaju se nestacionarnim.
Heteroscedastičnost je svojstvo originala, kada varijansa greške zavisi od broja posmatranja. Na grafu se heteroskedastičnost manifestuje u činjenici da sa povećanjem ili smanjenjem serijski broj mjerenja, disperzija mjerenja oko linije trenda se povećava. To može dovesti do značajnih grešaka u procjeni koeficijenata regresione jednačine. Heteroskedastičnost se javlja kada su objekti generalno heterogeni. Postoji nekoliko metoda korekcije, rješavanje problema heteroskedastičnost. Najefikasniji od njih je metoda ponderiranih najmanjih kvadrata.
Suština metode je krajnje jednostavna. Neka originalni model ima oblik
Zatim, dijeljenjem svakog elementa sistema sa vrijednošću yt dolazimo do drugog sistema
gde je y t2 = y 2š, ponderisana varijansa;
Št = n, n je broj mjerenja.
Dakle, ovom transformacijom eliminišemo heteroskedastičnost.
Uz to, uzimanje logaritma ulaznih podataka također, u nekim slučajevima, smanjuje greške u određivanju parametara modela uzrokovane heteroskedastičnošću.
Jedan od najčešćih načina za modeliranje trenda vremenske serije je konstruisanje analitičke funkcije (trend, ili trend sa cikličkom i/ili sezonskom komponentom), koja karakteriše zavisnost nivoa serije o vremenu. Ova metoda se zove analitičko usklađivanje vremenskih serija.
Da biste riješili ovaj problem, prvo morate odabrati vrstu funkcije. Najčešće korištene funkcije su:
linearni -
polinom -
· eksponencijalno -
· logistika - 
· Gompertz -
Ovo je veoma važna faza istraživanja. Prilikom odabira odgovarajuće funkcije koriste se smislena analiza (koja može utvrditi prirodu dinamike procesa) i vizuelna zapažanja (na osnovu grafičkog prikaza vremenske serije). Prilikom odabira polinomske funkcije može se primijeniti metoda uzastopnih razlika (koja se sastoji od izračunavanja razlika prvog reda, drugog reda 
itd.), a kao stepen polinoma uzima se red razlika pri kojem će one biti približno iste.
Od te dvije funkcije, prednost se obično daje onoj za koju je zbir kvadrata odstupanja stvarnih podataka od onih izračunatih na osnovu ovih funkcija manji. Ali ovaj princip se ne može dovesti do apsurda: na primjer, za bilo koji niz tačaka moguće je odabrati polinom th stepena koji prolazi kroz sve tačke i, shodno tome, sa minimalnim - nultim - zbrojem kvadrata odstupanja, ali u ovom slučaju, očigledno, ne treba govoriti o izolaciji glavnog trenda, s obzirom na slučajnu prirodu ovih tačaka. Stoga, uz ostale jednake uslove, prednost treba dati jednostavnijim funkcijama.
Glavni parametri trenda mogu se odrediti metodom najmanjih kvadrata. U ovom slučaju, vrijednosti vremenske serije se smatraju zavisnom varijablom, a vrijeme kao eksplanatornom varijablom:
gdje su smetnje koje zadovoljavaju osnovne premise regresione analize, tj. predstavljaju nezavisne i identično raspoređene slučajne varijable, čija se raspodjela pretpostavlja normalnom.
Prema metodi najmanjih kvadrata, parametri linije 
nalaze se iz sistema normalnih jednačina (2.5), u kojem uzimamo kao:
(7.10)
S obzirom da vrijednosti varijable čine prirodni niz brojeva od 1 do , sume se mogu izraziti u smislu broja članova niza pomoću formula poznatih u matematici:
(7.11)
U razmatranom primjeru 2 na strani 79, sistem normalnih jednačina ima oblik:
,
dakle jednačina trenda, tj. potražnja raste godišnje u prosjeku za 25,7 jedinica.
Provjerimo značaj rezultirajuće jednačine trenda pomoću F-kriterijum na nivou značajnosti 5%, izračunavamo zbir kvadrata koristeći formulu (3.40):
a) uzrokovano regresijom –
b) opšte –
c) rezidualni
Nađimo vrijednost statistike:
.
Budući da je jednačina trenda značajna.
Druga metoda nivelisanja (izglađivanja) vremenske serije, tj. isticanje neslučajne komponente je metoda pokretnog prosjeka. Zasnovan je na prijelazu sa početnih vrijednosti članova serije na njihove prosječne vrijednosti u vremenskom intervalu čija je dužina unaprijed određena. U ovom slučaju, odabrani vremenski interval sam po sebi „klizi“ duž serije.
Rezultirajuća serija pokretnog prosjeka se ponaša glatko od originalne serije zbog usrednjavanja odstupanja serije.
