Un punto M se llama interno a un determinado conjunto G si pertenece a este conjunto junto con algunos de sus vecinos. Un punto N se llama punto límite de un conjunto G si en cualquier vecindad completa del mismo hay puntos que pertenecen a G y que no le pertenecen.

El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto G se llama frontera de G.

Un conjunto G se llamará región si todos sus puntos son internos (conjunto abierto). Un conjunto G con un límite asociado Г se llama región cerrada. Una región se dice acotada si está enteramente contenida dentro de un círculo de radio suficientemente grande.

Los valores más pequeño y más grande de una función en un área determinada se denominan extremos absolutos de la función en esta área.

Teorema de Weierstrass: una función continua en un espacio acotado y zona cerrada, alcanza sus valores mínimo y máximo en esta región.

Consecuencia. El extremo absoluto de una función en una región determinada se logra en el punto crítico de la función que pertenece a esta región o en Para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en una región cerrada G, es necesario encontrar todos sus puntos críticos en esta región, calcule los valores de la función en estos puntos (incluidos los límites) y comparando los números obtenidos, seleccione el mayor y el menor de ellos.

Ejemplo 4.1. Encuentra el extremo absoluto de la función (valores mayor y menor)
en una región triangular D con vértices
,
,
(Figura 1).

;
,

es decir, el punto O(0, 0) es un punto crítico perteneciente a la región D. z(0,0)=0.

Exploremos la frontera:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

taxi: ;
,

Ejemplo 4.2. Encuentre los valores mayor y menor de una función en un área cerrada delimitada por los ejes de coordenadas y la línea recta
.

1) Encuentre los puntos críticos que se encuentran en la región:

,
,

.

Exploremos la frontera. Porque El límite consta de un segmento OA del eje Ox, un segmento OB del eje Oy y un segmento AB, luego determinamos los valores mayor y menor de la función z en cada uno de estos segmentos.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Entre todos los valores encontrados, seleccione z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange

Consideremos un problema específico de funciones de varias variables, cuando su extremo no se busca en todo el dominio de definición, sino en un conjunto que satisface una determinada condición.

Consideremos la función
, argumentos Y que satisfacen la condición
, llamada ecuación de acoplamiento.

Punto
se llama punto máximo (mínimo) condicional si existe una vecindad tal de este punto que para todos los puntos
de este barrio cumpliendo la condición
, la desigualdad se cumple
o
.

La figura 2 muestra el punto máximo condicional.
. Obviamente, no es el punto extremo incondicional de la función.
(en la Fig. 2 este es el punto
).

La forma más sencilla de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables es reducir el problema a encontrar el extremo de una función de una variable. Supongamos la ecuación de conexión.
logró resolver con respecto a una de las variables, por ejemplo, para expresar a través de :
. Sustituyendo la expresión resultante en una función de dos variables, obtenemos

aquellos. función de una variable. Su extremo será el extremo condicional de la función.
.

Ejemplo 5.1. Encuentra los puntos máximo y mínimo de una función.
dado que
.

Solución. Expresemos a partir de la ecuación.
variable a través de variables y sustituye la expresión resultante
en una función . Obtenemos
o
. Esta función tiene un mínimo único en
. Valor de función correspondiente
. De este modo,
– punto del extremo condicional (mínimo).

En el ejemplo considerado, la ecuación de acoplamiento
resultó ser lineal, por lo que podría resolverse fácilmente con respecto a una de las variables. Sin embargo, en casos más complejos esto no se puede hacer.

Para encontrar un extremo condicional en el caso general, se utiliza el método del multiplicador de Lagrange. Considere una función de tres variables. Esta función se llama función de Lagrange y – Multiplicador de Lagrange. El siguiente teorema es verdadero.

Teorema. si el punto
es el punto extremo condicional de la función
dado que
, entonces hay un valor tal ese punto
es el punto extremo de la función
.

Por lo tanto, para encontrar el extremo condicional de la función
dado que
Necesidad de encontrar una solución al sistema.

PAG la última de estas ecuaciones coincide con la ecuación de acoplamiento. Las dos primeras ecuaciones del sistema se pueden reescribir en la forma, es decir en el punto extremo condicional la función gradiente
Y
colineal. En la Fig. La Figura 3 muestra el significado geométrico de las condiciones de Lagrange. Línea
línea punteada y nivelada
funciones
sólido. De la Fig. se deduce que en el punto extremo condicional la línea de nivel de función
toca la línea
.

Ejemplo 5.2. Encuentra los puntos extremos de la función.
dado que
, utilizando el método del multiplicador de Lagrange.

Solución. Componemos la función de Lagrange. Igualando sus derivadas parciales a cero, obtenemos un sistema de ecuaciones:

Su única solución. Por tanto, el punto extremo condicional sólo puede ser el punto (3; 1). Es fácil comprobar que en este punto la función
tiene un mínimo condicional. Si el número de variables es superior a dos, se pueden considerar varias ecuaciones de acoplamiento. En consecuencia, en este caso habrá varios multiplicadores de Lagrange.

El problema de encontrar un extremo condicional se utiliza para resolver problemas económicos como encontrar la asignación óptima de recursos, elegir una cartera óptima de valores, etc.

Joseph Louis Lagrange nació en Turín (Italia) en el seno de una familia italo-francesa. Estudió y luego enseñó en la Escuela de Artillería. En 1759, por recomendación de Euler, Lagrange, de 23 años, fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Berlín. En 1766 ya se convirtió en su presidente. Federico II invitó a Lagrange a Berlín. Tras la muerte de Federico II en 1786, Lagrange se trasladó a París. Desde 1722 fue miembro de la Academia de Ciencias de París, en 1795 fue nombrado miembro de la Oficina de Longitudes y participó activamente en la creación del sistema métrico de medidas. Círculo investigación científica Lagrange era inusualmente amplio. Se dedican a la mecánica, la geometría, el análisis matemático, el álgebra, la teoría de números y la astronomía teórica. La dirección principal de la investigación de Lagrange fue la presentación de una amplia variedad de fenómenos en mecánica desde un punto de vista unificado. Derivó una ecuación que describe el comportamiento de cualquier sistema bajo la influencia de fuerzas. En el campo de la astronomía, Lagrange hizo mucho para resolver el problema de la estabilidad. sistema solar; Probó algunos casos especiales de movimiento estable, en particular para cuerpos pequeños ubicados en los llamados puntos de libración triangulares.

método de Lagrange─ este es un método para resolver un problema optimización condicional, en el que las restricciones, escritas como funciones implícitas, se combinan con la función objetivo en forma de una nueva ecuación llamada lagrangiano.

Consideremos caso especial Tarea común No programación lineal:

Dado el sistema ecuaciones no lineales (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Encuentre el valor más pequeño (o más grande) de la función (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

si no existen condiciones para que las variables sean no negativas y f(x1,x2,…,xn) y gi(x1,x2,…,xn) son funciones continuas junto con sus derivadas parciales.

Para encontrar una solución a este problema, puede utilizar siguiente método: 1. Ingrese un conjunto de variables λ1, λ2,…, λm, llamadas multiplicadores de Lagrange, componga la función de Lagrange (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Encuentra las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a las variables xi y λi e igualalas a cero.

3. Resolviendo el sistema de ecuaciones, encuentra los puntos en los que función objetiva El problema puede tener un extremo.

4. Entre los puntos que no son extremos, busque aquellos en los que se alcanza el extremo y calcule los valores de la función en estos puntos. .

4. Compara los valores obtenidos de la función f y selecciona el mejor.

Según el plan de producción, la empresa necesita producir 180 productos. Estos productos se pueden fabricar de dos formas tecnológicas. Cuando se producen x1 productos con el método I, los costos son 4*x1+x1^2 rublos, y cuando se producen x2 productos con el método II, son 8*x2+x2^2 rublos. Determine cuántos productos se deben producir usando cada método, de modo que el costo total de producción sea mínimo.

Solución: La formulación matemática del problema es determinar valor más bajo funciones de dos variables:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, siempre que x1 +x2 = 180.

Compongamos la función de Lagrange:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Calculemos sus derivadas parciales con respecto a x1, x2, λ y equiparémoslas a 0:

Movamos λ a los lados derechos de las dos primeras ecuaciones e igualamos sus lados izquierdos, obtenemos 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, o x1 − x2 = 2.

Resolviendo la última ecuación junto con la ecuación x1 + x2 = 180, encontramos x1 = 91, x2 = 89, es decir, hemos obtenido una solución que satisface las condiciones:

Encontremos el valor de la función objetivo f para estos valores de las variables:

F(x1, x2) = 17278

Este punto resulta sospechoso por ser un punto extremo. Usando segundas derivadas parciales, podemos demostrar que en el punto (91.89) la función f tiene un mínimo.

Descripción del método

Dónde .

Razón fundamental

La siguiente justificación del método del multiplicador de Lagrange no es una prueba rigurosa del mismo. Contiene razonamiento heurístico para ayudar a comprender significado geométrico método.

Caso bidimensional

Líneas de nivel y curva.

Sea necesario encontrar el extremo de alguna función de dos variables bajo la condición especificada por la ecuación . Supondremos que todas las funciones son continuamente diferenciables y que esta ecuación define una curva suave S en la superficie . Entonces el problema se reduce a encontrar el extremo de la función. F en la curva S. También asumiremos que S no pasa por puntos donde el gradiente F se vuelve 0.

Dibujemos líneas de nivel de función en el plano. F(es decir, curvas). De consideraciones geométricas está claro que el extremo de la función F en la curva S sólo puede haber puntos en los que las tangentes a S y la línea de nivel correspondiente coinciden. De hecho, si la curva S cruza la línea de nivel F en un punto transversalmente (es decir, en algún ángulo distinto de cero), luego moviéndose a lo largo de la curva S desde un punto podemos llegar a las líneas de nivel correspondientes a un valor mayor F, y menos. Por tanto, tal punto no puede ser un punto extremo.

Por tanto, una condición necesaria para un extremo en nuestro caso será la coincidencia de las tangentes. Para escribirlo en forma analítica, fíjate que equivale al paralelismo de los gradientes de las funciones. F y ψ en un punto dado, ya que el vector gradiente es perpendicular a la tangente a la línea de nivel. Esta condición se expresa de la siguiente forma:

donde λ es un número distinto de cero que es un multiplicador de Lagrange.

Consideremos ahora función de Lagrange, dependiendo de y λ:

Una condición necesaria para su extremo es que el gradiente sea igual a cero. De acuerdo con las reglas de diferenciación, está escrito en la forma

Hemos obtenido un sistema cuyas dos primeras ecuaciones son equivalentes a la condición necesaria extremo local(1), y el tercero - a la ecuación . Puedes encontrarlo en él. Además, dado que de lo contrario el gradiente de la función F desaparece en el punto , lo que contradice nuestras suposiciones. Cabe señalar que los puntos encontrados de esta manera pueden no ser los puntos deseados del extremo condicional; la condición considerada es necesaria, pero no suficiente. Encontrar un extremo condicional usando una función auxiliar l y forma la base del método multiplicador de Lagrange, aplicado aquí para el caso más simple de dos variables. Resulta que el razonamiento anterior se puede generalizar al caso de un número arbitrario de variables y ecuaciones que especifican las condiciones.

Con base en el método del multiplicador de Lagrange, es posible demostrar algunos condiciones suficientes para un extremo condicional, que requiere el análisis de las segundas derivadas de la función de Lagrange.

Solicitud

• El método del multiplicador de Lagrange se utiliza para resolver problemas de programación no lineal que surgen en muchos campos (por ejemplo, en economía).
• El método principal para resolver el problema de optimizar la calidad de la codificación de datos de audio y video a una tasa de bits promedio determinada (optimización de la distorsión - inglés. Optimización de distorsión de velocidad).

ver también

Enlaces

• Zorich V. A. Análisis matemático. Parte 1. - ed. 2do, rev. y adicional - M.: FAZIS, 1997.

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué son los “multiplicadores de Lagrange” en otros diccionarios:

Multiplicadores de Lagrange- factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema extremo de programación convexa (en particular, programación lineal) al resolverlo utilizando uno de los métodos clásicos, el método de resolución de multiplicadores... ... Diccionario económico y matemático.

Multiplicadores de Lagrange- Factores adicionales que transforman la función objetivo de un problema de programación convexa extrema (en particular, programación lineal) al resolverlo utilizando uno de los métodos clásicos, el método de resolución de multiplicadores (método de Lagrange).... ... Guía del traductor técnico

Mecánica. 1) Ecuaciones de Lagrange de 1er tipo, ecuaciones diferenciales de movimiento mecánico. sistemas, que se dan en proyecciones sobre ejes de coordenadas rectangulares y contienen los llamados. Multiplicadores de Lagrange. Obtenido por J. Lagrange en 1788. Para un sistema holonómico, ... ... Enciclopedia física

Mecanica ordinaria ecuaciones diferenciales 2º orden, que describe los movimientos mecánicos. sistemas bajo la influencia de fuerzas que se les aplican. lu establecido por J. Lag gama en dos formas: L. u. 1er tipo, o ecuaciones en coordenadas cartesianas con... ... Enciclopedia Matemática

1) en hidromecánica, la ecuación del movimiento de un fluido (gas) en variables de Lagrange, que son las coordenadas del medio. Francés recibido científico J. Lagrange (aprox. 1780). De L. u. la ley del movimiento del medio está determinada en forma de dependencias... ... Enciclopedia física

Método del multiplicador de Lagrange, un método para encontrar el extremo condicional de la función f(x), donde, en relación con m restricciones, i varía de uno a m. Contenido 1 Descripción del método ... Wikipedia

Función utilizada para resolver problemas en el extremo condicional de funciones de muchas variables y funcionales. Con la ayuda de L. f. son grabados las condiciones necesarias Optimidad en problemas en extremos condicionales. En este caso, no es necesario expresar sólo variables... Enciclopedia Matemática

Método para resolver problemas en el extremo condicional; L.M.M. consiste en reducir estos problemas a problemas en el extremo incondicional de una función auxiliar, la llamada. Funciones de Lagrange. Para el problema del extremo de la función f (x1, x2,..., xn) para... ...

Variables con las que se construye la función de Lagrange al estudiar problemas en un extremo condicional. ... El uso de métodos lineales y la función de Lagrange nos permite obtener las condiciones de optimización necesarias en problemas que involucran un extremo condicional de forma uniforme... Enciclopedia Matemática

1) en hidromecánica, las ecuaciones de movimiento de un medio fluido, escritas en variables de Lagrange, que son las coordenadas de las partículas del medio. De L. u. la ley del movimiento de las partículas del medio se determina en forma de dependencias de las coordenadas con el tiempo, y a partir de ellas... ... Gran enciclopedia soviética

• Tutorial

Todos buen día. En este artículo quiero mostrar uno de métodos gráficos construcción modelos matemáticos para sistemas dinámicos, lo que se llama gráfico de bonos(“vínculo” - conexiones, “gráfico” - gráfico). En la literatura rusa, encontré descripciones de este método sólo en el Libro de texto de Tomsky. Universidad Politécnica, AV. Voronin “MODELO DE SISTEMAS MECATRÓNICOS” 2008 Mostrar también método clásico a través de la ecuación de Lagrange de segundo tipo.

método de Lagrange

No describiré la teoría, mostraré las etapas de los cálculos con algunos comentarios. Personalmente, para mí es más fácil aprender de ejemplos que leer la teoría 10 veces. Me pareció que en la literatura rusa la explicación de este método, y de hecho de las matemáticas o la física en general, es muy rica. fórmulas complejas, lo que, en consecuencia, requiere una formación matemática seria. Mientras estudiaba el método de Lagrange (estudio en la Universidad Politécnica de Turín, Italia), estudié literatura rusa para comparar métodos de cálculo y me resultó difícil seguir el progreso en la resolución de este método. Incluso recordando los cursos de modelado en el Instituto de Aviación de Jarkov, la derivación de tales métodos era muy engorrosa y nadie se molestó en tratar de comprender este problema. Esto es lo que decidí escribir, un manual para la construcción de modelos matemáticos según Lagrange, como resultó que no es nada difícil, basta con saber calcular derivadas con respecto al tiempo y derivadas parciales. Para modelos más complejos también se añaden matrices de rotación, pero tampoco tienen nada de complicado.

Características de los métodos de modelado:

• Newton-Euler: ecuaciones vectoriales basadas en equilibrio dinámico fuerza Y momentos
• Lagrange: ecuaciones escalares basadas en funciones de estado asociadas con la cinética y el potencial energías
• Recuento de bonos: método basado en flujo fuerza entre elementos del sistema

Empecemos con ejemplo sencillo. Masa con resorte y amortiguador. Ignoramos la fuerza de la gravedad.

Figura 1. Masa con resorte y amortiguador.

En primer lugar, designamos:

• sistema inicial coordenadas(NSK) o sk fijo R0(i0,j0,k0). ¿Dónde? Se puede señalar con el dedo al cielo, pero al mover las puntas de las neuronas del cerebro, surge la idea de colocar el NSC en la línea de movimiento del cuerpo M1.
• sistemas de coordenadas para cada cuerpo con masa(tenemos M1 R1(i1,j1,k1)), la orientación puede ser arbitraria, pero para qué complicarse la vida, configúrala con una diferencia mínima con respecto al NSC
• coordenadas generalizadas q_i(el número mínimo de variables que pueden describir el movimiento), en este ejemplo hay una coordenada generalizada, movimiento solo a lo largo del eje j

Figura 2. Anotamos sistemas de coordenadas y coordenadas generalizadas.

Fig. 3. Posición y velocidad del cuerpo M1.

Luego encontraremos las energías cinética (C) y potencial (P) y la función disipativa (D) del amortiguador usando las fórmulas:

figura 4. Fórmula completa energía cinética

En nuestro ejemplo no hay rotación, el segundo componente es 0.

Higo 5. Cálculo de la energía cinética, potencial y función disipativa.

La ecuación de Lagrange tiene la siguiente forma:

figura 6. Ecuación de Lagrange y Lagrangiana

Delta W_i Este es un trabajo virtual realizado por fuerzas y momentos aplicados. Encontrémosla:

figura 7. Cálculo de trabajo virtual.

Dónde delta q_1 movimiento virtual.

Sustituimos todo en la ecuación de Lagrange:

figura 8. El modelo de masa resultante con resorte y amortiguador.

Aquí terminó el método de Lagrange. Como puedes ver, no es tan complicado, pero sigue siendo un ejemplo muy sencillo, para el cual muy probablemente el método de Newton-Euler sería incluso más sencillo. Para sistemas más complejos, donde habrá varios cuerpos girados entre sí en diferentes ángulos, el método de Lagrange será más sencillo.

método de enlace grafico

Le mostraré de inmediato cómo se ve el modelo en un gráfico de enlace para un ejemplo con una masa, un resorte y un amortiguador:

figura 9. Masas Bond-graph con resorte y amortiguador.

Aquí tendrás que contar un poco de teoría, que será suficiente para construir. modelos simples. Si alguien está interesado, puede leer el libro ( Metodología del gráfico de bonos) o ( Voronin A.V. Modelado de sistemas mecatrónicos: tutorial. – Tomsk: Editorial de la Universidad Politécnica de Tomsk, 2008).

Primero determinemos que sistemas complejos constan de varios dominios. Por ejemplo, un motor eléctrico consta de partes o dominios eléctricos y mecánicos.

gráfico de bonos basado en el intercambio de poder entre estos dominios, subsistemas. Tenga en cuenta que el intercambio de poder, de cualquier forma, siempre está determinado por dos variables ( potencia variable) con la ayuda del cual podemos estudiar la interacción de varios subsistemas dentro de un sistema dinámico (ver tabla).

Como puede verse en la tabla, la expresión de poder es casi la misma en todas partes. En resumen, Fuerza- Este trabajo " flujo - f" en " esfuerzo - e».

Un esfuerzo(Inglés) esfuerzo) en el dominio eléctrico esto es voltaje (e), en el dominio mecánico es fuerza (F) o par (T), en hidráulico es presión (p).

Fluir(Inglés) fluir) en el dominio eléctrico es la corriente (i), en el dominio mecánico es la velocidad (v) o velocidad angular(omega), en hidráulica: flujo de fluido o caudal (Q).

Tomando estas notaciones, obtenemos una expresión para la potencia:

Higo 10. Fórmula de potencia a través de variables de potencia.

En el lenguaje del gráfico de bonos, la conexión entre dos subsistemas que intercambian poder está representada por un bono. vínculo). Por eso se llama este método gráfico de bonos o gramo conexiones-raf, gráfico conectado. Consideremos diagrama de bloques Conexiones en un modelo con motor eléctrico (este aún no es un gráfico de enlace):

Figura 11. Diagrama de bloques del flujo de energía entre dominios.

Si tenemos una fuente de voltaje, entonces genera voltaje en consecuencia y lo transfiere al motor para su bobinado (es por eso que la flecha se dirige hacia el motor), dependiendo de la resistencia del devanado, aparece una corriente según la ley de Ohm (dirigida desde el motor hasta la fuente). En consecuencia, una variable es una entrada al subsistema y la segunda debe ser salida del subsistema. Aquí el voltaje ( esfuerzo) - corriente de entrada ( fluir) - salida.

Si usa una fuente actual, ¿cómo cambiará el diagrama? Bien. La corriente se dirigirá al motor y el voltaje a la fuente. Entonces la corriente ( fluir) - voltaje de entrada ( esfuerzo) - salida.

Veamos un ejemplo en mecánica. Fuerza que actúa sobre una masa.

Figura 12. Fuerza aplicada a la masa

El diagrama de bloques será el siguiente:

Figura 13. Diagrama de bloques

En este ejemplo, Fuerza ( esfuerzo) – variable de entrada para masa. (Fuerza aplicada a la masa)
Según la segunda ley de Newton:

La masa responde con velocidad:

En este ejemplo, si una variable ( fuerza - esfuerzo) es entrada en el dominio mecánico, luego otra variable de potencia ( velocidad - fluir) – se convierte automáticamente salida.

Para distinguir dónde está la entrada y dónde está la salida se utiliza una línea vertical al final de la flecha (conexión) entre los elementos, esta línea se llama signo de causalidad o causalidad (causalidad). Resulta que la fuerza aplicada es la causa y la velocidad es el efecto. Este signo es muy importante para la correcta construcción de un modelo de sistema, ya que la causalidad es una consecuencia comportamiento fisico y el intercambio de poderes de dos subsistemas, por lo tanto la elección de la ubicación del signo de causalidad no puede ser arbitraria.

Figura 14. Designación de causalidad

Esta línea vertical muestra qué subsistema recibe la fuerza ( esfuerzo) y como resultado producir un flujo ( fluir). En el ejemplo con masa sería así:

Figura 14. Relación causal de la fuerza que actúa sobre la masa.

De la flecha se desprende claramente que la entrada para la masa es: fuerza, y la salida es velocidad. Esto se hace para no saturar el diagrama con flechas y sistematizar la construcción del modelo.

Próximo punto importante. Impulso generalizado(cantidad de movimiento) y Moviente(variables energéticas).

Tabla de variables de potencia y energía en diferentes dominios.

La tabla anterior presenta dos cantidades físicas adicionales utilizadas en el método del gráfico de bonos. Ellos se llaman impulso generalizado (R) Y movimiento generalizado (q) o variables de energía, y se pueden obtener integrando variables de potencia en el tiempo:

Higo 15. Relación entre variables de potencia y energía.

En el dominio eléctrico :

Basado en la ley de Faraday, Voltaje en los extremos del conductor es igual a la derivada del flujo magnético a través de este conductor.

A Fuerza actual - cantidad física, igual a la relación entre la cantidad de carga Q que pasa por algún tiempo t sección transversal conductor, al valor de este período de tiempo.

Dominio mecánico:

De la segunda ley de Newton, Fuerza– derivada temporal del impulso

Y en consecuencia, velocidad- derivada temporal del desplazamiento:

resumamos:

Elementos basicos

Todos los elementos de los sistemas dinámicos se pueden dividir en componentes bipolares y tetrapolares.
Consideremos componentes bipolares:

Fuentes
Hay fuentes tanto de esfuerzo como de flujo. Analogía en el ámbito eléctrico: fuente de esfuerzo – Fuente de voltaje, fuente de flujo – fuente actual. Los signos causales de las fuentes sólo deberían ser así.

Figura 16. Conexiones causales y designación de fuentes.

Componente R – elemento disipativo

Componente I – elemento inercial

Componente C – elemento capacitivo

Como se puede observar en las figuras, diferentes elementos de la misma tipo R,C,I descrito por las mismas ecuaciones. SÓLO hay una diferencia para la capacitancia eléctrica, ¡solo necesitas recordarlo!

Componentes cuadrupolares:

Veamos dos componentes: un transformador y un giratorio.

Los últimos componentes importantes del método del gráfico de enlaces son las conexiones. Hay dos tipos de nodos:

Eso es todo con los componentes.

Los pasos principales para establecer relaciones causales después de construir un gráfico de vínculos:

1. Dar conexiones causales a todos. fuentes
2. Recorra todos los nodos y anote las relaciones causales después del punto 1.
3. Para componentes yo asignar una relación causal de entrada (el esfuerzo está incluido en este componente), para componentes C asignar causalidad de producción (el esfuerzo surge de este componente)
4. Repita el punto 2
5. Insertar conexiones causales para componentes R

Con esto concluye el minicurso de teoría. Ahora tenemos todo lo que necesitamos para construir modelos.
Resolvamos un par de ejemplos. Comencemos con un circuito eléctrico; es mejor entender la analogía de construir un gráfico de enlaces.

Ejemplo 1

Comencemos a construir un gráfico de enlace con una fuente de voltaje. Simplemente escribe Se y pon una flecha.

¡Mira, todo es simple! Miremos más allá, R y L están conectados en serie, lo que significa que en ellos fluye la misma corriente, si hablamos de variables de potencia, el mismo flujo. ¿Qué nodo tiene el mismo flujo? La respuesta correcta es 1 nodo. Conectamos la fuente, la resistencia (componente - R) y la inductancia (componente - I) al nodo 1.

A continuación, tenemos capacitancia y resistencia en paralelo, lo que significa que tienen el mismo voltaje o fuerza. El nodo 0 es adecuado como ningún otro. Conectamos la capacitancia (componente C) y la resistencia (componente R) al nodo 0.

También conectamos los nodos 1 y 0 entre sí. La dirección de las flechas se elige arbitrariamente; la dirección de la conexión afecta sólo al signo en las ecuaciones.

Obtendrá el siguiente gráfico de conexión:

Ahora necesitamos establecer relaciones causales. Siguiendo las instrucciones para la secuencia de su colocación, comencemos con la fuente.

1. Tenemos una fuente de voltaje (fuerza), dicha fuente tiene solo una opción de causalidad: la salida. Digámoslo.
2. Luego está el componente I, veamos qué recomiendan. Nosotros ponemos
3. Lo dejamos para 1 nodo. Comer
4. Un nodo 0 debe tener una entrada y todas las conexiones causales de salida. Tenemos un día libre por ahora. Buscamos los componentes C o I. Lo encontramos. Nosotros ponemos
5. Hagamos una lista de lo que queda

Eso es todo. Se construye el gráfico de bonos. ¡Hurra, camaradas!

Todo lo que queda es escribir las ecuaciones que describen nuestro sistema. Para hacer esto, cree una tabla con 3 columnas. El primero contendrá todos los componentes del sistema, el segundo contendrá la variable de entrada para cada elemento y el tercero contendrá la variable de salida para el mismo componente. Ya hemos definido la entrada y la salida mediante relaciones causales. Entonces no debería haber ningún problema.

Numeremos cada conexión para facilitar el registro de los niveles. Tomamos las ecuaciones para cada elemento de la lista de componentes C, R, I.

Habiendo compilado una tabla, definimos las variables de estado, en este ejemplo hay 2 de ellas, p3 y q5. A continuación debes escribir las ecuaciones de estado:

Eso es todo, el modelo está listo.

Ejemplo 2. Me gustaría disculparme de inmediato por la calidad de la foto, lo principal es que puedes leer.

Resolvamos otro ejemplo para un sistema mecánico, el mismo que resolvimos usando el método de Lagrange. Mostraré la solución sin comentarios. Veamos cuál de estos métodos es más sencillo y sencillo.

En Matbala se compilaron ambos modelos matemáticos con los mismos parámetros, obtenidos por el método de Lagrange y gráfico de bonos. El resultado está a continuación: Agregar etiquetas

El método para determinar un extremo condicional comienza con la construcción de una función auxiliar de Lagrange, que en la región de soluciones factibles alcanza un máximo para los mismos valores de variables. X 1 , X 2 , ..., X norte , que es lo mismo que la función objetivo z . Dejemos que se resuelva el problema de determinar el extremo condicional de la función. z = f(X) bajo restricciones φ i ( X 1 , X 2 , ..., X norte ) = 0, i = 1, 2, ..., metro , metro < norte

Compongamos una función

Lo que es llamado función de Lagrange. X , - factores constantes ( Multiplicadores de Lagrange). Tenga en cuenta que a los multiplicadores de Lagrange se les puede dar un significado económico. Si f(x) 1 , X 2 , ..., X norte ) - ingresos consistentes con el plan X = (x 1 , X 2 , ..., X norte ) , y la función φ i (X 1 , X 2 , ..., X norte ) - costos del i-ésimo recurso correspondiente a este plan, entonces X , es el precio (estimación) del i-ésimo recurso, que caracteriza el cambio en el valor extremo de la función objetivo dependiendo del cambio en el tamaño del i-ésimo recurso (estimación marginal). L(X) - función n+m variables (X 1 , X 2 , ..., X norte , λ 1 , λ 2 , ..., λ norte ) . Determinar los puntos estacionarios de esta función conduce a resolver el sistema de ecuaciones.

Es fácil ver eso . Por tanto, la tarea de encontrar el extremo condicional de la función. z = f(X) se reduce a encontrar el extremo local de la función L(X) . Si se encuentra un punto estacionario, entonces la cuestión de la existencia de un extremo en los casos más simples se resuelve sobre la base de condiciones suficientes para el extremo: estudiar el signo del segundo diferencial d 2 L(X) en un punto estacionario, siempre que la variable aumente Δx i - conectados por relaciones

obtenido diferenciando las ecuaciones de acoplamiento.

Resolver un sistema de ecuaciones no lineales con dos incógnitas usando la herramienta Buscar solución

Ajustes Encontrar una solución le permite encontrar una solución a un sistema de ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

Dónde
- función no lineal de variables X Y y ,
- Constante arbitraria.

Se sabe que la pareja ( X , y ) es una solución al sistema de ecuaciones (10) si y sólo si es una solución a la siguiente ecuación con dos incógnitas:

CON por otro lado, la solución al sistema (10) son los puntos de intersección de dos curvas: F ] (X, y) = C Y F 2 (x, y) = C 2 en la superficie xoY.

Esto conduce a un método para encontrar las raíces del sistema. ecuaciones no lineales:

Determine (al menos aproximadamente) el intervalo de existencia de una solución al sistema de ecuaciones (10) o ecuación (11). Aquí es necesario tener en cuenta el tipo de ecuaciones incluidas en el sistema, el dominio de definición de cada una de sus ecuaciones, etc. En ocasiones se utiliza la selección de una aproximación inicial de la solución;

Tabule la solución de la ecuación (11) para las variables x e y en el intervalo seleccionado, o construya gráficas de funciones. F 1 (X, y) = C, y F 2 (x,y) = C 2 (sistema(10)).

Localice las supuestas raíces del sistema de ecuaciones: encuentre varios valores mínimos en la tabla que tabula las raíces de la ecuación (11) o determine los puntos de intersección de las curvas incluidas en el sistema (10).

4. Encuentre las raíces del sistema de ecuaciones (10) usando el complemento Encontrar una solución.