सांख्यिकी में अनुमान दो प्रकार के होते हैं: बिंदु और अंतराल। बिंदु लागतएक अलग नमूना आँकड़ा दर्शाता है जिसका उपयोग किसी पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जनसंख्या. उदाहरण के लिए, नमूना माध्य एक बिंदु अनुमान है गणितीय अपेक्षाजनसंख्या, और नमूना भिन्नता एस 2- जनसंख्या भिन्नता का बिंदु अनुमान σ 2. यह दिखाया गया है कि नमूना माध्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है। एक नमूना माध्य को निष्पक्ष कहा जाता है क्योंकि सभी नमूने का औसत (समान नमूना आकार के साथ) होता है एन) सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

नमूना विचरण के लिए एस 2जनसंख्या भिन्नता का एक निष्पक्ष अनुमान बन गया σ 2, नमूना विचरण के हर को बराबर सेट किया जाना चाहिए एन – 1 , लेकिन नहीं एन. दूसरे शब्दों में, जनसंख्या भिन्नता सभी संभावित नमूना भिन्नताओं का औसत है।

जनसंख्या मापदंडों का अनुमान लगाते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि नमूना आँकड़े जैसे , विशिष्ट नमूनों पर निर्भर करते हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखना, प्राप्त करना अंतराल अनुमानसामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा, नमूना साधनों के वितरण का विश्लेषण करें (अधिक जानकारी के लिए, देखें)। निर्मित अंतराल को एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर की विशेषता होती है, जो इस संभावना को दर्शाता है कि वास्तविक जनसंख्या पैरामीटर का सही अनुमान लगाया गया है। किसी विशेषता के अनुपात का अनुमान लगाने के लिए समान आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग किया जा सकता है आरऔर जनसंख्या का मुख्य वितरित जनसमूह।

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ज्ञात मानक विचलन के साथ जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना

जनसंख्या में किसी विशेषता की हिस्सेदारी के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करना

यह खंड विश्वास अंतराल की अवधारणा को श्रेणीबद्ध डेटा तक विस्तारित करता है। इससे हमें जनसंख्या में विशेषता की हिस्सेदारी का अनुमान लगाने की अनुमति मिलती है आरनमूना शेयर का उपयोग करना आरएस= एक्स/एन. जैसा कि संकेत दिया गया है, यदि मात्राएँ एनआरऔर एन(1 - पी)संख्या 5 से अधिक होने पर, द्विपद वितरण को सामान्य के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इसलिए, जनसंख्या में किसी विशेषता के हिस्से का अनुमान लगाना आरएक ऐसे अंतराल का निर्माण करना संभव है जिसका आत्मविश्वास स्तर बराबर हो (1 - α)х100%.

कहाँ पीएस- विशेषता का नमूना अनुपात बराबर एक्स/एन, अर्थात। सफलताओं की संख्या को नमूना आकार से विभाजित किया गया, आर- सामान्य जनसंख्या में विशेषता का हिस्सा, जेड- मानकीकृत का महत्वपूर्ण मूल्य सामान्य वितरण, एन- नमूने का आकार।

उदाहरण 3.आइए मान लें कि एक नमूने में 100 चालान भरे गए हैं पिछला महीना. मान लीजिए कि इनमें से 10 चालान त्रुटियों के साथ संकलित किए गए थे। इस प्रकार, आर= 10/100 = 0.1. 95% विश्वास स्तर महत्वपूर्ण मान Z = 1.96 से मेल खाता है।

इस प्रकार, 4.12% से 15.88% चालानों में त्रुटियाँ होने की संभावना 95% है।

किसी दिए गए नमूना आकार के लिए, जनसंख्या में विशेषता के अनुपात वाला आत्मविश्वास अंतराल निरंतर की तुलना में व्यापक दिखाई देता है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु. ऐसा इसलिए है क्योंकि निरंतर यादृच्छिक चर के माप में श्रेणीबद्ध डेटा के माप की तुलना में अधिक जानकारी होती है। दूसरे शब्दों में, श्रेणीबद्ध डेटा जो केवल दो मान लेता है, उसमें उनके वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए अपर्याप्त जानकारी होती है।

मेंएक सीमित जनसंख्या से निकाले गए अनुमानों की गणना करना

गणितीय अपेक्षा का अनुमान.अंतिम जनसंख्या के लिए सुधार कारक ( पांचवें वेतन आयोग) का उपयोग किसी कारक द्वारा मानक त्रुटि को कम करने के लिए किया गया था। जनसंख्या पैरामीटर अनुमानों के लिए विश्वास अंतराल की गणना करते समय, एक सुधार कारक उन स्थितियों में लागू किया जाता है जहां नमूने वापस किए बिना खींचे जाते हैं। इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा के लिए एक आत्मविश्वास अंतराल का आत्मविश्वास स्तर बराबर होता है (1 - α)х100%, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण 4.एक सीमित जनसंख्या के लिए सुधार कारक के उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, आइए ऊपर उदाहरण 3 में चर्चा की गई चालान की औसत राशि के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने की समस्या पर वापस आएं। मान लीजिए कि एक कंपनी प्रति माह 5,000 चालान जारी करती है, और एक्स=110.27 डॉलर, एस= $28.95, एन = 5000, एन = 100, α = 0.05, टी 99 = 1.9842. सूत्र (6) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

किसी सुविधा की हिस्सेदारी का अनुमान.रिटर्न के बिना चुनते समय, आत्मविश्वास स्तर वाले गुण के अनुपात के लिए विश्वास अंतराल बराबर होता है (1 - α)х100%, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

आत्मविश्वास अंतराल और नैतिक मुद्दे

किसी जनसंख्या का नमूना लेते समय और सांख्यिकीय निष्कर्ष निकालते समय, अक्सर नैतिक मुद्दे उठते हैं। मुख्य बात यह है कि नमूना आँकड़ों के आत्मविश्वास अंतराल और बिंदु अनुमान कैसे सहमत होते हैं। संबंधित विश्वास अंतराल (आमतौर पर 95% विश्वास स्तर पर) और जिस नमूना आकार से वे प्राप्त होते हैं उसे निर्दिष्ट किए बिना प्रकाशन बिंदु अनुमान भ्रम पैदा कर सकते हैं। इससे उपयोगकर्ता को यह आभास हो सकता है कि बिंदु अनुमान बिल्कुल वही है जो उसे पूरी आबादी के गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए चाहिए। इस प्रकार, यह समझना आवश्यक है कि किसी भी शोध में बिंदु अनुमान पर नहीं, बल्कि अंतराल अनुमान पर ध्यान केंद्रित किया जाना चाहिए। अलावा, विशेष ध्यानदी जानी चाहिए सही चुनावनमूना आकार.

अक्सर, सांख्यिकीय हेरफेर की वस्तुएँ कुछ राजनीतिक मुद्दों पर जनसंख्या के समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण के परिणाम होते हैं। इस मामले में, सर्वेक्षण के परिणाम समाचार पत्रों के पहले पन्ने पर प्रकाशित होते हैं, और त्रुटि होती है नमूना सर्वेक्षणऔर सांख्यिकीय विश्लेषण की पद्धति बीच में कहीं छपी हुई है। प्राप्त बिंदु अनुमानों की वैधता साबित करने के लिए, नमूना आकार को इंगित करना आवश्यक है जिसके आधार पर उन्हें प्राप्त किया गया था, आत्मविश्वास अंतराल की सीमाएं और इसके महत्व का स्तर।

अगला नोट

लेविन एट अल पुस्तक से सामग्री। प्रबंधकों के लिए सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है। - एम.: विलियम्स, 2004. - पी. 448-462

केंद्रीय सीमा प्रमेयबताता है कि पर्याप्त बड़े नमूना आकार के साथ, साधनों के नमूना वितरण को सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह संपत्ति जनसंख्या के वितरण के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।

पिछले उपखंडों में हमने एक अज्ञात पैरामीटर के आकलन के मुद्दे पर विचार किया था एएक नंबर। इसे "बिंदु" अनुमान कहा जाता है। कई कार्यों में, आपको न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता है एउपयुक्त संख्यात्मक मान, बल्कि इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का मूल्यांकन भी करना। आपको यह जानना होगा कि किसी पैरामीटर को बदलने से कौन सी त्रुटियाँ हो सकती हैं एइसका बिंदु अनुमान एऔर हम किस हद तक विश्वास के साथ यह उम्मीद कर सकते हैं कि ये त्रुटियाँ ज्ञात सीमाओं से अधिक नहीं होंगी?

इस प्रकार की समस्याएँ विशेष रूप से टिप्पणियों की एक छोटी संख्या के साथ प्रासंगिक होती हैं, जब बिंदु का अनुमान लगाया जाता है और मेंयह काफी हद तक यादृच्छिक है और a द्वारा a का अनुमानित प्रतिस्थापन गंभीर त्रुटियों का कारण बन सकता है।

अनुमान की सटीकता और विश्वसनीयता का अंदाज़ा देना ए,

वी गणितीय सांख्यिकीवे तथाकथित आत्मविश्वास अंतराल और आत्मविश्वास संभावनाओं का उपयोग करते हैं।

पैरामीटर के लिए चलो एअनुभव से प्राप्त निष्पक्ष अनुमान एक।हम इस मामले में संभावित त्रुटि का अनुमान लगाना चाहते हैं. आइए हम कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी संभाव्यता p निर्दिष्ट करें (उदाहरण के लिए, p = 0.9, 0.95 या 0.99) ताकि संभाव्यता p वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से विश्वसनीय माना जा सके, और एक मान ज्ञात करें जिसके लिए

फिर प्रतिस्थापन के दौरान उत्पन्न होने वाली त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा एपर ए, ± s होगा; निरपेक्ष मान में बड़ी त्रुटियाँ केवल कम संभावना a = 1 - p के साथ दिखाई देंगी। आइए (14.3.1) को इस प्रकार पुनः लिखें:

समानता (14.3.2) का अर्थ है कि संभाव्यता पी के साथ अज्ञात मूल्यपैरामीटर एअंतराल के अंतर्गत आता है

एक परिस्थिति पर गौर करना जरूरी है. पहले, हमने बार-बार किसी यादृच्छिक चर के किसी दिए गए गैर-यादृच्छिक अंतराल में गिरने की संभावना पर विचार किया है। यहां स्थिति भिन्न है: परिमाण एयादृच्छिक नहीं है, लेकिन अंतराल/p यादृच्छिक है। x-अक्ष पर इसकी स्थिति यादृच्छिक है, जो इसके केंद्र द्वारा निर्धारित होती है ए; सामान्य तौर पर, अंतराल 2s की लंबाई भी यादृच्छिक होती है, क्योंकि s के मान की गणना, एक नियम के रूप में, प्रयोगात्मक डेटा से की जाती है। इसलिए में इस मामले मेंपी मान की व्याख्या किसी बिंदु पर "हिट" करने की संभावना के रूप में नहीं करना बेहतर होगा एअंतराल / पी में, और संभावना के रूप में कि एक यादृच्छिक अंतराल / पी बिंदु को कवर करेगा ए(चित्र 14.3.1)।

चावल। 14.3.1

प्रायिकता p को आमतौर पर कहा जाता है आत्मविश्वास की संभावना, और अंतराल / पी - विश्वास अंतराल।अंतराल सीमाएँ अगर। ए एक्स =ए-रेत ए 2 = ए +और बुलाए जाते हैं विश्वास की सीमाएँ.

आइए विश्वास अंतराल की अवधारणा को एक और व्याख्या दें: इसे पैरामीटर मानों के अंतराल के रूप में माना जा सकता है ए,प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत और उनका खंडन नहीं। वास्तव में, यदि हम प्रायिकता a = 1-p वाली किसी घटना पर व्यावहारिक रूप से असंभव विचार करने के लिए सहमत हैं, तो पैरामीटर a के वे मान जिनके लिए ए - ए> s को विरोधाभासी प्रयोगात्मक डेटा के रूप में पहचाना जाना चाहिए, और जिनके लिए |a - एए टी ना 2 .

पैरामीटर के लिए चलो एएक निष्पक्ष अनुमान है एक।यदि हम मात्रा के वितरण का नियम जानते ए, विश्वास अंतराल खोजने का कार्य बहुत सरल होगा: यह एक मान खोजने के लिए पर्याप्त होगा जिसके लिए

कठिनाई यह है कि अनुमानों के वितरण का नियम एमात्रा के वितरण नियम पर निर्भर करता है एक्सऔर, इसलिए, इसके अज्ञात मापदंडों पर (विशेष रूप से, पैरामीटर पर ही)। ए)।

इस कठिनाई से निपटने के लिए, आप निम्नलिखित मोटे तौर पर अनुमानित तकनीक का उपयोग कर सकते हैं: एस के लिए अभिव्यक्ति में अज्ञात मापदंडों को उनके बिंदु अनुमानों के साथ बदलें। अपेक्षाकृत बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ पी(लगभग 20...30) यह तकनीक आमतौर पर ऐसे परिणाम देती है जो सटीकता की दृष्टि से संतोषजनक होते हैं।

उदाहरण के तौर पर, गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल की समस्या पर विचार करें।

इसका उत्पादन होने दीजिए पी एक्स,जिनकी विशेषताएँ गणितीय अपेक्षा हैं टीऔर विचरण डी- अज्ञात। इन मापदंडों के लिए निम्नलिखित अनुमान प्राप्त किए गए:

इसके अनुरूप कॉन्फिडेंस इंटरवल/पी का निर्माण करना आवश्यक है आत्मविश्वास की संभावनापी, गणितीय अपेक्षा के लिए टीमात्रा एक्स।

इस समस्या को हल करते समय हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि मात्रा टीयोग का प्रतिनिधित्व करता है पीस्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर Xhऔर केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए पीइसका वितरण कानून सामान्य के करीब है। व्यवहार में, पदों की अपेक्षाकृत कम संख्या (लगभग 10...20) के साथ भी, योग के वितरण नियम को लगभग सामान्य माना जा सकता है। हम मान लेंगे कि मूल्य टीसामान्य कानून के अनुसार वितरित किया गया। इस नियम की विशेषताएँ - गणितीय अपेक्षा और विचरण - क्रमशः समान हैं टीऔर

(अध्याय 13 उपधारा 13.3 देखें)। आइए मान लें कि मान डीहम जानते हैं और जिसके लिए एक मूल्य ईपी ढूंढेंगे

अध्याय 6 के सूत्र (6.3.5) का उपयोग करके, हम सामान्य वितरण फ़ंक्शन के माध्यम से (14.3.5) के बाईं ओर संभावना व्यक्त करते हैं

अनुमान का मानक विचलन कहां है टी।

Eq से.

Sp का मान ज्ञात करें:

जहां arg Ф* (x) Ф* का व्युत्क्रम फलन है (एक्स),वे। जिस तर्क का मूल्य सामान्य कार्यवितरण बराबर है एक्स।

फैलाव डी,जिसके माध्यम से मात्रा व्यक्त की जाती है ए 1पी, हम ठीक-ठीक नहीं जानते; इसके अनुमानित मूल्य के रूप में, आप अनुमान का उपयोग कर सकते हैं डी(14.3.4) और लगभग लगाएं:

इस प्रकार, विश्वास अंतराल के निर्माण की समस्या लगभग हल हो गई है, जो इसके बराबर है:

जहां जीपी सूत्र (14.3.7) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एसपी की गणना करते समय फ़ंक्शन Ф* (एल) की तालिकाओं में रिवर्स इंटरपोलेशन से बचने के लिए, एक विशेष तालिका (तालिका 14.3.1) संकलित करना सुविधाजनक है, जो मात्रा के मान देता है

आर पर निर्भर करता है मान (पी सामान्य कानून के लिए मानक विचलन की संख्या निर्धारित करता है जिसे फैलाव के केंद्र से दाएं और बाएं ओर प्लॉट किया जाना चाहिए ताकि परिणामी क्षेत्र में आने की संभावना पी के बराबर हो।

मान 7पी का उपयोग करते हुए, विश्वास अंतराल को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

तालिका 14.3.1

उदाहरण 1. मात्रा पर 20 प्रयोग किये गये एक्स;परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं. 14.3.2.

तालिका 14.3.2

मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए एक अनुमान लगाना आवश्यक है एक्सऔर विश्वास संभावना पी = 0.8 के अनुरूप एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें।

समाधान।हमारे पास है:

l: = 10 को संदर्भ बिंदु के रूप में चुनते हुए, तीसरे सूत्र (14.2.14) का उपयोग करके हम निष्पक्ष अनुमान पाते हैं डी :

तालिका के अनुसार 14.3.1 हम पाते हैं

आत्मविश्वास की सीमाएँ:

विश्वास अंतराल:

पैरामीटर मान टी,इस अंतराल में पड़े डेटा तालिका में दिए गए प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत हैं। 14.3.2.

विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण इसी तरह से किया जा सकता है।

इसका उत्पादन होने दीजिए पीयादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्सए और फैलाव दोनों के लिए अज्ञात मापदंडों के साथ डीएक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त हुआ:

विचरण के लिए लगभग एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है।

सूत्र (14.3.11) से स्पष्ट है कि मात्रा डीका प्रतिनिधित्व करता है

मात्रा पीप्रपत्र के यादृच्छिक चर. ये मूल्य नहीं हैं

स्वतंत्र, क्योंकि उनमें से किसी में भी मात्रा शामिल है टी,हर किसी पर निर्भर. हालाँकि, इसे बढ़ाकर दिखाया जा सकता है पीउनके योग का वितरण नियम भी सामान्य हो जाता है। लगभग पर पी= 20...30 इसे पहले से ही सामान्य माना जा सकता है।

आइए मान लें कि ऐसा है, और आइए इस कानून की विशेषताएं खोजें: गणितीय अपेक्षा और फैलाव। मूल्यांकन के बाद से डी- फिर निष्पक्ष एम[डी] = डी.

विचरण गणना डी डीअपेक्षाकृत जटिल गणनाओं से जुड़ा है, इसलिए हम इसकी अभिव्यक्ति बिना व्युत्पत्ति के प्रस्तुत करते हैं:

जहाँ q 4 चौथा है केन्द्र बिन्दुमात्रा एक्स।

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करने के लिए, आपको मानों को प्रतिस्थापित करना होगा = 4 और डी(कम से कम करीबी वाले)। के बजाय डीआप उसके मूल्यांकन का उपयोग कर सकते हैं डी।सिद्धांत रूप में, चौथे केंद्रीय क्षण को एक अनुमान से भी बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, फॉर्म का मान:

लेकिन ऐसा प्रतिस्थापन बेहद कम सटीकता देगा, क्योंकि सामान्य तौर पर, सीमित संख्या में प्रयोगों के साथ, क्षण उच्च स्तरसे निर्धारित किया गया है बड़ी ग़लतियाँ. हालाँकि, व्यवहार में अक्सर ऐसा होता है कि मात्रा वितरण कानून का प्रकार एक्सपहले से ज्ञात: केवल इसके पैरामीटर अज्ञात हैं। फिर आप μ 4 को व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं डी।

आइए सबसे आम मामला लें, जब मूल्य एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित किया गया। फिर इसका चौथा केंद्रीय क्षण फैलाव के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है (अध्याय 6, उपधारा 6.2 देखें);

और सूत्र (14.3.12) देता है या

(14.3.14) में अज्ञात को प्रतिस्थापित करना डीउसका मूल्यांकन डी, हम पाते हैं: कहाँ से

क्षण μ 4 के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है डीकुछ अन्य मामलों में भी, जब मूल्य का वितरण होता है एक्सयह सामान्य नहीं है, लेकिन इसका स्वरूप ज्ञात है। उदाहरण के लिए, कानून के लिए एकसमान घनत्व(अध्याय 5 देखें) हमारे पास है:

जहां (ए, पी) वह अंतराल है जिस पर कानून निर्दिष्ट है।

इस तरह,

सूत्र (14.3.12) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं: हम लगभग कहां पाते हैं

ऐसे मामलों में जहां मात्रा 26 के लिए वितरण कानून का प्रकार अज्ञात है, मूल्य ए/ का अनुमानित अनुमान लगाते समय अभी भी सूत्र (14.3.16) का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जब तक कि इस कानून पर विश्वास करने के विशेष कारण न हों सामान्य से बहुत अलग है (ध्यान देने योग्य सकारात्मक या नकारात्मक कर्टोसिस है)।

यदि अनुमानित मान a/) एक या दूसरे तरीके से प्राप्त किया जाता है, तो हम विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण उसी तरह कर सकते हैं जैसे हमने इसे गणितीय अपेक्षा के लिए बनाया था:

जहां दी गई प्रायिकता p के आधार पर मान तालिका के अनुसार पाया जाता है। 14.3.1.

उदाहरण 2. एक यादृच्छिक चर के विचरण के लिए लगभग 80% विश्वास अंतराल ज्ञात कीजिए एक्सउदाहरण 1 की शर्तों के तहत, यदि यह ज्ञात है कि मूल्य एक्ससामान्य के करीब कानून के अनुसार वितरित किया गया।

समाधान।मान तालिका के समान ही रहता है. 14.3.1:

सूत्र के अनुसार (14.3.16)

सूत्र (14.3.18) का उपयोग करके हम विश्वास अंतराल पाते हैं:

औसत मूल्यों का संगत अंतराल वर्ग विचलन: (0,21; 0,29).

14.4. एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण की सटीक विधियाँ

पिछले उपधारा में, हमने गणितीय अपेक्षा और विचरण के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए मोटे तौर पर अनुमानित तरीकों की जांच की। यहां हम उसी समस्या को हल करने के सटीक तरीकों के बारे में जानकारी देंगे। हम इस बात पर जोर देते हैं कि आत्मविश्वास अंतराल को सटीक रूप से खोजने के लिए मात्रा के वितरण कानून के रूप को पहले से जानना नितांत आवश्यक है एक्स,जबकि अनुमानित विधियों के अनुप्रयोग के लिए यह आवश्यक नहीं है।

विचार सटीक तरीकेआत्मविश्वास अंतराल का निर्माण निम्नलिखित तक पहुंचता है। कोई भी आत्मविश्वास अंतराल कुछ असमानताओं को पूरा करने की संभावना व्यक्त करने वाली स्थिति से पाया जाता है, जिसमें वह अनुमान शामिल होता है जिसमें हम रुचि रखते हैं एक।मूल्यांकन वितरण का नियम एवी सामान्य मामलाअज्ञात मात्रा मापदंडों पर निर्भर करता है एक्स।हालाँकि, कभी-कभी यादृच्छिक चर से असमानताओं को पार करना संभव होता है एप्रेक्षित मूल्यों के किसी अन्य कार्य के लिए एक्स पी एक्स 2, ..., एक्स पी.जिसका वितरण कानून अज्ञात मापदंडों पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल प्रयोगों की संख्या और मात्रा के वितरण कानून के प्रकार पर निर्भर करता है एक्स।इस प्रकार के यादृच्छिक चर गणितीय आँकड़ों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं; मात्रा के सामान्य वितरण के मामले में उनका सबसे अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है एक्स।

उदाहरण के लिए, यह सिद्ध हो चुका है कि मूल्य के सामान्य वितरण के साथ एक्सयादृच्छिक मूल्य

तथाकथित का पालन करता है छात्र वितरण कानूनसाथ पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री; इस नियम का घनत्व रूप है

जहां G(x) ज्ञात गामा फ़ंक्शन है:

यह भी सिद्ध हो चुका है कि यादृच्छिक चर

के साथ "%2 वितरण" है पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री (अध्याय 7 देखें), जिसका घनत्व सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

वितरण (14.4.2) और (14.4.4) की व्युत्पत्तियों पर ध्यान दिए बिना, हम दिखाएंगे कि मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करते समय उन्हें कैसे लागू किया जा सकता है टाई डी.

इसका उत्पादन होने दीजिए पीयादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्स,आम तौर पर अज्ञात मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है को।इन मापदंडों के लिए, अनुमान प्राप्त किए गए थे

कॉन्फिडेंस प्रोबेबिलिटी पी के अनुरूप दोनों मापदंडों के लिए कॉन्फिडेंस अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है।

आइए पहले गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल बनाएं। इस अन्तराल को सन्दर्भ में सममित मानना ​​स्वाभाविक है टी; मान लीजिए कि sp अंतराल की आधी लंबाई को दर्शाता है। मान s p चुना जाना चाहिए ताकि शर्त पूरी हो

आइए यादृच्छिक चर से समानता (14.4.5) के बाईं ओर जाने का प्रयास करें टीएक यादृच्छिक चर के लिए टी,छात्र कानून के अनुसार वितरित किया गया। ऐसा करने के लिए, असमानता के दोनों पक्षों को गुणा करें |m-w?|

सकारात्मक मान से: या, संकेतन (14.4.1) का उपयोग करते हुए,

आइए एक ऐसी संख्या/p ढूंढें जिससे शर्त से/p का मान ज्ञात किया जा सके

सूत्र (14.4.2) से स्पष्ट है कि (1)- यहां तक ​​कि समारोह, तो (14.4.8) देता है

समानता (14.4.9) पी के आधार पर मूल्य / पी निर्धारित करती है। यदि आपके पास अभिन्न मूल्यों की एक तालिका है

तो /p का मान तालिका में रिवर्स इंटरपोलेशन द्वारा पाया जा सकता है। हालाँकि, पहले से /p मानों की तालिका बनाना अधिक सुविधाजनक है। ऐसी तालिका परिशिष्ट (तालिका 5) में दी गई है। यह तालिका आत्मविश्वास स्तर पी और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के आधार पर मान दिखाती है पी- 1. तालिका से /p निर्धारित करके। 5 और मान रहे हैं

हम विश्वास अंतराल/पी की आधी चौड़ाई और स्वयं अंतराल ज्ञात करेंगे

उदाहरण 1. एक यादृच्छिक चर पर 5 स्वतंत्र प्रयोग किए गए एक्स,आम तौर पर अज्ञात मापदंडों के साथ वितरित किया जाता है टीऔर के बारे में। प्रयोगों के परिणाम तालिका में दिये गये हैं। 14.4.1.

तालिका 14.4.1

रेटिंग ढूंढें टीगणितीय अपेक्षा के लिए और इसके लिए 90% विश्वास अंतराल/पी का निर्माण करें (अर्थात, विश्वास संभावना पी = 0.9 के अनुरूप अंतराल)।

समाधान।हमारे पास है:

के लिए आवेदन की तालिका 5 के अनुसार पी - 1 = 4 और पी = 0.9 हम पाते हैं कहाँ

कॉन्फिडेंस इंटरवल होगा

उदाहरण 2. उपधारा 14.3 के उदाहरण 1 की शर्तों के लिए, मान मानते हुए एक्ससामान्य रूप से वितरित, सटीक विश्वास अंतराल ज्ञात कीजिए।

समाधान।परिशिष्ट की तालिका 5 के अनुसार हम पाते हैं कि कब पी - 1 = 19ir =

0.8/पी = 1.328; यहाँ से

उपधारा 14.3 (ई पी = 0.072) के उदाहरण 1 के समाधान से तुलना करने पर, हम आश्वस्त हैं कि विसंगति बहुत महत्वहीन है। यदि हम दशमलव के दूसरे स्थान तक सटीकता बनाए रखते हैं, तो सटीक और अनुमानित तरीकों से पाए गए विश्वास अंतराल मेल खाते हैं:

आइए विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल के निर्माण की ओर आगे बढ़ें। निष्पक्ष विचरण अनुमानक पर विचार करें

और यादृच्छिक चर को व्यक्त करें डीपरिमाण के माध्यम से वी(14.4.3), वितरण x 2 (14.4.4) वाला:

मात्रा के वितरण के नियम को जानना वी,आप अंतराल /(1) पा सकते हैं जिसमें यह दी गई प्रायिकता पी के साथ आता है।

वितरण का नियम kn_x(v)परिमाण I 7 का रूप चित्र में दिखाया गया है। 14.4.1.

चावल। 14.4.1

सवाल उठता है: अंतराल/पी कैसे चुनें? यदि परिमाण के वितरण का नियम वीसममित था (सामान्य कानून या छात्र वितरण की तरह), गणितीय अपेक्षा के संबंध में अंतराल /पी सममित लेना स्वाभाविक होगा। इस मामले में कानून के पी_एक्स (वी)असममित. आइए हम अंतराल /पी चुनने के लिए सहमत हों ताकि मूल्य की संभावना हो वीदाएं और बाएं अंतराल से परे (चित्र 14.4.1 में छायांकित क्षेत्र) समान और बराबर थे

इस गुण के साथ एक अंतराल /पी बनाने के लिए, हम तालिका का उपयोग करते हैं। 4 अनुप्रयोग: इसमें संख्याएँ होती हैं य)ऐसा है कि

मूल्य के लिए वी,स्वतंत्रता की आर डिग्री के साथ x 2-वितरण होना। हमारे मामले में आर = एन- 1. चलो ठीक करें आर = एन- 1 और तालिका की संगत पंक्ति में खोजें। 4 दो अर्थ एक्स 2 -एक संभाव्यता के अनुरूप है और दूसरा - संभाव्यता आइए इन्हें निरूपित करें

मान दो परऔर एक्सएल?अंतराल है य 2,अपने बाएँ के साथ, और य~दाहिना छोर.

आइए अब हम अंतराल /पी से वांछित आत्मविश्वास अंतराल /| खोजें, सीमाओं डी के साथ फैलाव के लिए, और डी2,जो बिंदु को कवर करता है डीप्रायिकता पी के साथ:

आइए हम एक अंतराल / (, = (?> ь А) बनाएं जो बिंदु को कवर करता है डीयदि और केवल यदि मान वीअंतराल /r में पड़ता है। आइए दिखाते हैं वह अंतराल

इस शर्त को पूरा करता है. दरअसल, असमानताएं असमानताओं के समतुल्य हैं

और ये असमानताएँ प्रायिकता p से संतुष्ट हैं। इस प्रकार, विचरण के लिए विश्वास अंतराल पाया गया है और इसे सूत्र (14.4.13) द्वारा व्यक्त किया गया है।

उदाहरण 3. उपधारा 14.3 के उदाहरण 2 की शर्तों के तहत विचरण के लिए विश्वास अंतराल ज्ञात करें, यदि यह ज्ञात हो कि मान एक्ससामान्य रूप से वितरित।

समाधान।हमारे पास है . परिशिष्ट की तालिका 4 के अनुसार

हम पाते हैं आर = एन - 1 = 19

सूत्र (14.4.13) का उपयोग करके हम विचरण के लिए विश्वास अंतराल पाते हैं

मानक विचलन के लिए संगत अंतराल (0.21; 0.32) है। यह अंतराल अनुमानित विधि का उपयोग करके उपधारा 14.3 के उदाहरण 2 में प्राप्त अंतराल (0.21; 0.29) से थोड़ा ही अधिक है।

• चित्र 14.3.1 एक विश्वास अंतराल को a के बारे में सममित मानता है। सामान्य तौर पर, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह आवश्यक नहीं है।

विश्वास अंतराल।

विश्वास अंतराल की गणना संबंधित पैरामीटर की औसत त्रुटि पर आधारित है। विश्वास अंतराल दिखाता है कि संभाव्यता (1-ए) के साथ अनुमानित पैरामीटर का सही मूल्य किस सीमा के भीतर निहित है। यहां ए महत्व स्तर है, (1-ए) को आत्मविश्वास संभावना भी कहा जाता है।

पहले अध्याय में हमने दिखाया कि, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य के लिए, लगभग 95% मामलों में वास्तविक जनसंख्या माध्य माध्य की 2 मानक त्रुटियों के भीतर होता है। इस प्रकार, माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की सीमाएं नमूना माध्य से दोगुनी दूर होंगी औसत त्रुटिऔसत, यानी हम आत्मविश्वास के स्तर के आधार पर माध्य की औसत त्रुटि को एक निश्चित गुणांक से गुणा करते हैं। औसत और औसत के अंतर के लिए, छात्र गुणांक (छात्र के परीक्षण का महत्वपूर्ण मूल्य) लिया जाता है, शेयरों के शेयर और अंतर के लिए, z मानदंड का महत्वपूर्ण मूल्य लिया जाता है। गुणांक और औसत त्रुटि के उत्पाद को किसी दिए गए पैरामीटर की अधिकतम त्रुटि कहा जा सकता है, अर्थात। इसका आकलन करते समय हम अधिकतम प्राप्त कर सकते हैं।

के लिए आत्मविश्वास अंतराल अंकगणित औसत : .

यहाँ नमूना माध्य है;

अंकगणित माध्य की औसत त्रुटि;

एस -नमूना मानक विचलन;

एन

एफ = एन-1 (छात्र का गुणांक)।

के लिए आत्मविश्वास अंतराल अंकगणितीय साधनों के अंतर :

यहाँ नमूना साधनों के बीच अंतर है;

- अंकगणितीय माध्यों के बीच अंतर की औसत त्रुटि;

एस 1 , एस 2 –नमूना मानक विचलन;

n1,n2

महत्वपूर्ण मानकिसी दिए गए महत्व स्तर ए और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के लिए छात्र का परीक्षण एफ=एन 1 +एन 2-2 (छात्र का गुणांक)।

के लिए आत्मविश्वास अंतराल शेयरों :

.

यहाँ d नमूना अंश है;

- औसत अंश त्रुटि;

एन- नमूना आकार (समूह आकार);

के लिए आत्मविश्वास अंतराल शेयरों का अंतर :

यहाँ नमूना शेयरों में अंतर है;

- अंकगणितीय माध्यों के बीच अंतर की औसत त्रुटि;

n1,n2- नमूना मात्रा (समूहों की संख्या);

किसी दिए गए महत्व स्तर पर z मानदंड का महत्वपूर्ण मान ( , , )।

संकेतकों के बीच अंतर के लिए विश्वास अंतराल की गणना करके, हम, सबसे पहले, सीधे देखते हैं संभावित मानप्रभाव, और केवल यही नहीं बिंदु लागत. दूसरे, हम शून्य परिकल्पना की स्वीकृति या अस्वीकृति के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं और तीसरा, हम परीक्षण की शक्ति के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना होगा:

यदि साधनों में अंतर के 100(1-ए) प्रतिशत विश्वास अंतराल में शून्य नहीं है, तो अंतर महत्व स्तर ए पर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं; इसके विपरीत, यदि इस अंतराल में शून्य है, तो अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं।

वास्तव में, यदि इस अंतराल में शून्य है, तो इसका मतलब है कि जिस संकेतक की तुलना की जा रही है वह किसी एक समूह में दूसरे की तुलना में अधिक या कम हो सकता है, अर्थात। देखे गए मतभेद संयोग के कारण हैं।

परीक्षण की शक्ति का अंदाजा विश्वास अंतराल के भीतर शून्य के स्थान से लगाया जा सकता है। यदि शून्य निम्न के करीब है या ऊपरी सीमाअंतराल, तो शायद तुलना किए गए समूहों की बड़ी संख्या के साथ, मतभेद पहुंच जाएंगे आंकड़ों की महत्ता. यदि शून्य अंतराल के मध्य के करीब है, तो इसका मतलब है कि प्रयोगात्मक समूह में संकेतक में वृद्धि और कमी दोनों समान रूप से होने की संभावना है, और, शायद, वास्तव में कोई अंतर नहीं है।

उदाहरण:

दो अलग-अलग प्रकार के एनेस्थीसिया का उपयोग करते समय सर्जिकल मृत्यु दर की तुलना करने के लिए: पहले प्रकार के एनेस्थीसिया से 61 लोगों का ऑपरेशन किया गया, 8 की मृत्यु हो गई, दूसरे प्रकार के एनेस्थीसिया से 67 लोगों का ऑपरेशन किया गया, 10 की मृत्यु हो गई।

डी 1 = 8/61 = 0.131; डी2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

तुलना की गई विधियों की घातकता में अंतर 100(1-ए) = 95% की संभावना के साथ (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) या (-0.14; 0.104) की सीमा में होगा। अंतराल में शून्य होता है, अर्थात। दो में समान घातकता के बारे में परिकल्पना अलग - अलग प्रकारएनेस्थीसिया को अस्वीकार नहीं किया जा सकता.

इस प्रकार, मृत्यु दर घटकर 14% हो सकती है और 95% की संभावना के साथ 10.4% तक बढ़ सकती है, यानी। शून्य लगभग अंतराल के मध्य में है, इसलिए यह तर्क दिया जा सकता है कि, सबसे अधिक संभावना है, ये दोनों विधियां वास्तव में घातकता में भिन्न नहीं हैं।

पहले चर्चा किए गए उदाहरण में, टैपिंग टेस्ट के दौरान औसत दबाव समय की तुलना उन छात्रों के चार समूहों में की गई थी जिनके परीक्षा स्कोर में अंतर था। आइए ग्रेड 2 और 5 के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों के लिए औसत दबाव समय के लिए आत्मविश्वास अंतराल और इन औसतों के बीच अंतर के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करें।

विद्यार्थी के गुणांक विद्यार्थी की वितरण तालिकाओं (परिशिष्ट देखें) का उपयोग करके पाए जाते हैं: पहले समूह के लिए: = t(0.05;48) = 2.011; दूसरे समूह के लिए: = t(0.05;61) = 2.000. इस प्रकार, पहले समूह के लिए आत्मविश्वास अंतराल: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), दूसरे समूह के लिए (156.55- 2,000*1.88; 156.55+2,000*1.88) = (152.8) ; 160.3). तो, उन लोगों के लिए जिन्होंने 2 के साथ परीक्षा उत्तीर्ण की, औसत दबाव समय 157.8 एमएस से 166.6 एमएस तक है, जिसकी संभावना 95% है, उन लोगों के लिए जिन्होंने परीक्षा 5 के साथ उत्तीर्ण की है - 152.8 एमएस से 160.3 एमएस तक, 95% की संभावना के साथ। .

आप साधनों के लिए विश्वास अंतराल का उपयोग करके भी शून्य परिकल्पना का परीक्षण कर सकते हैं, न कि केवल साधनों में अंतर के लिए। उदाहरण के लिए, जैसा कि हमारे मामले में, यदि साधनों के लिए विश्वास अंतराल ओवरलैप होता है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जा सकता है। किसी चुने गए महत्व स्तर पर किसी परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए, संबंधित आत्मविश्वास अंतराल को ओवरलैप नहीं करना चाहिए।

आइए ग्रेड 2 और 5 के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले समूहों में औसत दबाव समय के अंतर के लिए आत्मविश्वास अंतराल खोजें। औसत का अंतर: 162.19 - 156.55 = 5.64। विद्यार्थी का गुणांक: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. समूह मानक विचलन इसके बराबर होंगे: ; . हम माध्यों के बीच अंतर की औसत त्रुटि की गणना करते हैं:। आत्मविश्वास अंतराल: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33)।

तो, 2 और 5 के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले समूहों में औसत दबाव समय का अंतर -0.044 एमएस से 11.33 एमएस तक होगा। इस अंतराल में शून्य शामिल है, अर्थात। जो लोग अच्छी तरह से परीक्षा उत्तीर्ण कर चुके हैं उनके लिए औसत दबाव समय या तो बढ़ सकता है या उन लोगों की तुलना में घट सकता है जिन्होंने परीक्षा असंतोषजनक रूप से उत्तीर्ण की है, यानी। शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जा सकता। लेकिन शून्य निचली सीमा के बहुत करीब है, और जो लोग अच्छी तरह से उत्तीर्ण हुए उनके लिए दबाव का समय कम होने की अधिक संभावना है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 2 और 5 उत्तीर्ण करने वालों के बीच दबाव के औसत समय में अभी भी अंतर हैं, हम औसत समय में परिवर्तन, औसत समय के प्रसार और नमूना आकार को देखते हुए उनका पता नहीं लगा सके।

एक परीक्षण की शक्ति एक गलत शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना है, अर्थात। अंतर ढूंढें जहां वे वास्तव में मौजूद हैं।

परीक्षण की शक्ति महत्व के स्तर, समूहों के बीच अंतर के परिमाण, समूहों में मूल्यों के प्रसार और नमूनों के आकार के आधार पर निर्धारित की जाती है।

विद्यार्थी के परीक्षण के लिए और भिन्नता का विश्लेषणआप संवेदनशीलता आरेखों का उपयोग कर सकते हैं.

मानदंड की शक्ति का उपयोग समूहों की आवश्यक संख्या को प्रारंभिक रूप से निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

आत्मविश्वास अंतराल दिखाता है कि किसी दी गई संभावना के साथ अनुमानित पैरामीटर का वास्तविक मान किस सीमा के भीतर निहित है।

आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके, आप सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण कर सकते हैं और मानदंडों की संवेदनशीलता के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

साहित्य।

ग्लैंज़ एस. - अध्याय 6,7.

रेब्रोवा ओ.यू. - पृ.112-114, पृ.171-173, पृ.234-238.

सिडोरेंको ई.वी. - पृष्ठ 32-33।

छात्रों के आत्म-परीक्षण के लिए प्रश्न।

1. कसौटी की शक्ति क्या है?

2. किन मामलों में मानदंड की शक्ति का मूल्यांकन करना आवश्यक है?

3. शक्ति की गणना के तरीके.

6. आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके सांख्यिकीय परिकल्पना का परीक्षण कैसे करें?

7. विश्वास अंतराल की गणना करते समय मानदंड की शक्ति के बारे में क्या कहा जा सकता है?

कार्य.

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ विशेषताओं के सामान्य वितरण के साथ बड़ी संख्या में वस्तुएं हैं (उदाहरण के लिए, एक ही प्रकार की सब्जियों का एक पूरा गोदाम, जिसका आकार और वजन भिन्न होता है)। आप माल के पूरे बैच की औसत विशेषताएँ जानना चाहते हैं, लेकिन आपके पास प्रत्येक सब्जी को मापने और तौलने का न तो समय है और न ही इच्छा। आप समझते हैं कि यह आवश्यक नहीं है. लेकिन मौके पर जांच के लिए कितने टुकड़े ले जाने होंगे?

इस स्थिति के लिए उपयोगी कई सूत्र देने से पहले, आइए कुछ संकेतन को याद करें।

सबसे पहले, अगर हमने सब्जियों के पूरे गोदाम को मापा (तत्वों के इस सेट को सामान्य आबादी कहा जाता है), तो हमें पूरे बैच का औसत वजन हमारे लिए उपलब्ध सभी सटीकता के साथ पता चल जाएगा। चलिए इसे औसत कहते हैं एक्स औसत .जी एन . - सामान्य औसत। हम पहले से ही जानते हैं कि यदि इसका माध्य मान और विचलन ज्ञात हो तो क्या पूरी तरह से निर्धारित होता है . सच है, जबकि हम न तो एक्स औसत पीढ़ी हैं और न हीएस हम आम जनता को नहीं जानते. हम केवल एक निश्चित नमूना ले सकते हैं, हमारे लिए आवश्यक मानों को माप सकते हैं और इस नमूने के लिए औसत मान X औसत और मानक विचलन S दोनों की गणना कर सकते हैं।

यह ज्ञात है कि यदि हमारे नमूना जांच में बड़ी संख्या में तत्व होते हैं (आमतौर पर n 30 से अधिक होता है), और उन्हें लिया जाता है वास्तव में यादृच्छिक, फिर एस सामान्य जनसंख्या एस चयन से शायद ही भिन्न होगी..

इसके अलावा, सामान्य वितरण के मामले में हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

95% की संभावना के साथ

99% की संभावना के साथ

में सामान्य रूप से देखेंसंभाव्यता पी (टी) के साथ

टी मान और संभाव्यता मान पी (टी) के बीच संबंध, जिसके साथ हम विश्वास अंतराल जानना चाहते हैं, निम्न तालिका से लिया जा सकता है:

इस प्रकार, हमने यह निर्धारित कर लिया है कि जनसंख्या का औसत मूल्य किस श्रेणी में है (दी गई संभावना के साथ)।

जब तक हमारे पास पर्याप्त बड़ा नमूना न हो, हम यह नहीं कह सकते कि जनसंख्या में s = है एस चयन करें इसके अलावा, इस मामले में नमूने की सामान्य वितरण से निकटता समस्याग्रस्त है। इस मामले में, हम इसके बजाय S सेलेक्ट का भी उपयोग करते हैंसूत्र में है:

लेकिन एक निश्चित संभावना P(t) के लिए t का मान नमूना n में तत्वों की संख्या पर निर्भर करेगा। n जितना बड़ा होगा, परिणामी विश्वास अंतराल सूत्र (1) द्वारा दिए गए मान के उतना ही करीब होगा। इस मामले में t मान किसी अन्य तालिका से लिया गया है ( विद्यार्थी का टी-टेस्ट), जिसे हम नीचे प्रस्तुत कर रहे हैं:

संभाव्यता 0.95 और 0.99 के लिए विद्यार्थी का टी-परीक्षण मान

उदाहरण 3.कंपनी के कर्मचारियों में से 30 लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना गया। नमूने के अनुसार, यह पता चला कि औसत वेतन (प्रति माह) 5 हजार रूबल के मानक विचलन के साथ 30 हजार रूबल है। 0.99 की प्रायिकता के साथ कंपनी में औसत वेतन निर्धारित करें।

समाधान:शर्त के अनुसार हमारे पास n = 30, X औसत है। =30000, एस=5000, पी = 0.99. आत्मविश्वास अंतराल खोजने के लिए, हम छात्र के टी परीक्षण के अनुरूप सूत्र का उपयोग करेंगे। n = 30 और P = 0.99 की तालिका से हम t = 2.756 पाते हैं, इसलिए,

वे। वांछित ट्रस्टीअंतराल 27484< Х ср.ген < 32516.

तो, 0.99 की संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि अंतराल (27484; 32516) में कंपनी में औसत वेतन शामिल है।

हम आशा करते हैं कि आप इस विधि का उपयोग करेंगे और यह आवश्यक नहीं है कि हर बार आपके पास एक टेबल हो। एक्सेल में गणनाएँ स्वचालित रूप से की जा सकती हैं। एक्सेल फ़ाइल में रहते हुए, शीर्ष मेनू में एफएक्स बटन पर क्लिक करें। फिर, फ़ंक्शंस के बीच "सांख्यिकीय" प्रकार का चयन करें, और विंडो में प्रस्तावित सूची से - स्टूडेंट डिस्कवर। फिर, प्रॉम्प्ट पर, कर्सर को "संभावना" फ़ील्ड में रखकर, उलटा संभावना का मान दर्ज करें (यानी हमारे मामले में, 0.95 की संभावना के बजाय, आपको 0.05 की संभावना टाइप करने की आवश्यकता है)। जाहिरा तौर पर स्प्रेडशीटइस तरह से संकलित किया गया है कि परिणाम इस प्रश्न का उत्तर देता है कि हम किस संभावना के साथ गलती कर सकते हैं। इसी प्रकार, स्वतंत्रता की डिग्री फ़ील्ड में, अपने नमूने के लिए एक मान (n-1) दर्ज करें।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह डेटा से गणना किया गया एक अंतराल है, जिसमें ज्ञात संभावना के साथ, सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा शामिल होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए एक प्राकृतिक अनुमान उसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, पूरे पाठ में हम "औसत" और "औसत मूल्य" शब्दों का उपयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना करने की समस्याओं में, सबसे अधिक बार एक उत्तर की आवश्यकता होती है जैसे "औसत संख्या का आत्मविश्वास अंतराल [किसी विशेष समस्या में मूल्य] [छोटे मूल्य] से [बड़े मूल्य] तक होता है।" आत्मविश्वास अंतराल का उपयोग करके, आप न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन कर सकते हैं, बल्कि सामान्य जनसंख्या की किसी विशेष विशेषता के अनुपात का भी मूल्यांकन कर सकते हैं। औसत, विचरण, मानक विचलनऔर जिन त्रुटियों के माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों तक पहुंचेंगे, उन पर पाठ में चर्चा की गई है नमूने और जनसंख्या के लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि जनसंख्या के औसत मूल्य का अनुमान किसी संख्या (बिंदु) द्वारा लगाया जाता है, तो एक विशिष्ट औसत, जिसकी गणना टिप्पणियों के नमूने से की जाती है, को जनसंख्या के अज्ञात औसत मूल्य के अनुमान के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूना माध्य इंगित करते समय, आपको साथ ही नमूना त्रुटि भी इंगित करनी होगी। नमूनाकरण त्रुटि का माप मानक त्रुटि है, जिसे माध्य के समान इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है: .

यदि औसत का अनुमान एक निश्चित संभावना से जुड़ा होना चाहिए, तो जनसंख्या में रुचि के पैरामीटर का आकलन एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल से किया जाना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक ऐसा अंतराल है जिसमें, एक निश्चित संभावना के साथ पीअनुमानित जनसंख्या सूचक का मान ज्ञात किया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें यह संभावित है पी = 1 - α यादृच्छिक चर पाया जाता है, जिसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो सांख्यिकी पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण से और जनसंख्या माध्य को नमूना माध्य से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। इस प्रकार, अधिकांश मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए आत्मविश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग किया जा सकता है

• जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र, नमूना आकार में जनसंख्या विचरण का निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए एनद्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1।एक निश्चित शहर में यादृच्छिक रूप से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की गई कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 से 11.4 तक था।

उदाहरण 2. 64 अवलोकनों की जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मूल्यों का योग,

औसत से मूल्यों के वर्ग विचलन का योग .

गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

आइए मानक विचलन की गणना करें:

,

आइए औसत मूल्य की गणना करें:

.

हम विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3. 100 अवलोकनों के यादृच्छिक जनसंख्या नमूने के लिए, परिकलित माध्य 15.2 है और मानक विचलन 3.2 है। अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता अपरिवर्तित रहती है और आत्मविश्वास गुणांक बढ़ता है, तो क्या आत्मविश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मानों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

हम फिर से इन मानों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के माध्य के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि हम देखते हैं, जैसे-जैसे विश्वास गुणांक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और परिणामस्वरूप, अंतराल के शुरुआती और समाप्ति बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल बढ़ता है .

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

कुछ नमूना विशेषता के हिस्से की व्याख्या एक बिंदु अनुमान के रूप में की जा सकती है विशिष्ट गुरुत्व पीसामान्य जनसंख्या में समान विशेषताएँ। यदि इस मान को संभाव्यता के साथ संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभाव्यता के साथ जनसंख्या में विशेषता पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4.किसी शहर में दो उम्मीदवार हैं एऔर बीमेयर के लिए दौड़ रहे हैं. 200 शहर निवासियों का यादृच्छिक सर्वेक्षण किया गया, जिनमें से 46% ने जवाब दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.