घटना में वह क्षण. डमी के लिए जड़ता का क्षण: परिभाषा, सूत्र, समस्या समाधान के उदाहरण

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में आर्किमिडीज़ द्वारा खोजा गया उत्तोलन का नियम सत्रहवीं शताब्दी तक लगभग दो हजार वर्षों तक अस्तित्व में रहा। हल्का हाथफ्रांसीसी वैज्ञानिक वेरिग्नन को अधिक सामान्य रूप नहीं मिला।

टोक़ नियम

टॉर्क की अवधारणा पेश की गई थी। बल का क्षण है भौतिक मात्रा, उसके कंधे द्वारा लगाए गए बल के गुणनफल के बराबर:

जहाँ M बल का क्षण है,
एफ - ताकत,
एल - बल का उत्तोलन।

सीधे लीवर संतुलन नियम से बलों के क्षणों के लिए नियम इस प्रकार है:

F1 / F2 = l2 / l1 या, अनुपात के गुण से, F1 * l1= F2 * l2, अर्थात, M1 = M2

मौखिक अभिव्यक्ति में, बलों के क्षणों का नियम इस प्रकार है: एक लीवर दो बलों की कार्रवाई के तहत संतुलन में होता है यदि इसे दक्षिणावर्त घुमाने वाले बल का क्षण इसे वामावर्त घुमाने वाले बल के क्षण के बराबर होता है। बल के क्षणों का नियम किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर स्थिर किसी भी पिंड के लिए मान्य है। व्यवहार में, बल का क्षण इस प्रकार पाया जाता है: बल की कार्रवाई की दिशा में, बल की कार्रवाई की एक रेखा खींची जाती है। फिर, उस बिंदु से जहां घूर्णन की धुरी स्थित है, बल की कार्रवाई की रेखा पर एक लंबवत खींचा जाता है। इस लम्ब की लम्बाई बल की भुजा के बराबर होगी। बल मापांक के मान को उसकी भुजा से गुणा करके, हम घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बल के क्षण का मान प्राप्त करते हैं। अर्थात्, हम देखते हैं कि बल का क्षण बल की घूर्णन क्रिया को दर्शाता है। किसी बल का प्रभाव स्वयं बल और उसके उत्तोलन दोनों पर निर्भर करता है।

विभिन्न स्थितियों में बलों के क्षणों के नियम का अनुप्रयोग

इसका तात्पर्य बलों के क्षणों के नियम के अनुप्रयोग से है अलग-अलग स्थितियाँ. उदाहरण के लिए, यदि हम कोई दरवाजा खोलते हैं, तो हम उसे हैंडल के क्षेत्र में, यानी टिका से दूर धकेल देंगे। आप एक बुनियादी प्रयोग कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि जितना आगे हम घूर्णन की धुरी से बल लगाएंगे, दरवाजे को धक्का देना उतना ही आसान होगा। में व्यावहारिक प्रयोग इस मामले मेंसूत्र द्वारा सीधे पुष्टि की जाती है। चूँकि, विभिन्न भुजाओं पर बल के क्षण समान होने के लिए, यह आवश्यक है कि बड़ी भुजा छोटे बल के अनुरूप हो और, इसके विपरीत, छोटी भुजा बड़े बल के अनुरूप हो। हम घूर्णन अक्ष के जितना करीब बल लगाएंगे, वह उतना ही अधिक होना चाहिए। धुरी से जितना दूर हम शरीर को घुमाते हुए लीवर को संचालित करेंगे, हमें उतना ही कम बल लगाने की आवश्यकता होगी। संख्यात्मक मानपल नियम के सूत्र से आसानी से मिल जाते हैं।

यह बिल्कुल बल के क्षणों के नियम पर आधारित है कि यदि हमें किसी भारी चीज को उठाने की आवश्यकता होती है तो हम एक क्राउबार या एक लंबी छड़ी लेते हैं, और, भार के नीचे एक छोर को खिसकाकर, हम क्राउबार को दूसरे छोर के पास खींचते हैं। इसी कारण से, हम लंबे हैंडल वाले स्क्रूड्राइवर से स्क्रू में पेंच लगाते हैं, और लंबे रिंच से नटों को कसते हैं।

हम अक्सर अभिव्यक्तियाँ सुनते हैं: "यह निष्क्रिय है", "जड़ता से आगे बढ़ें", "जड़ता का क्षण"। लाक्षणिक अर्थ में, "जड़ता" शब्द की व्याख्या पहल और कार्रवाई की कमी के रूप में की जा सकती है। हम प्रत्यक्ष अर्थ में रुचि रखते हैं।

जड़ता क्या है

परिभाषा के अनुसार जड़ताभौतिकी में, यह बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में आराम या गति की स्थिति बनाए रखने की निकायों की क्षमता है।

यदि अंतर्ज्ञान के स्तर पर जड़ता की अवधारणा के साथ सब कुछ स्पष्ट है, तो निष्क्रियता के पल- एक अलग प्रश्न. सहमत हूँ, आपके मन में यह कल्पना करना कठिन है कि यह क्या है। इस लेख में आप सीखेंगे कि विषय पर बुनियादी समस्याओं को कैसे हल किया जाए "निष्क्रियता के पल".

जड़त्व आघूर्ण का निर्धारण

से स्कूल पाठ्यक्रमह ज्ञात है कि द्रव्यमान - किसी पिंड की जड़ता का माप. यदि हम अलग-अलग द्रव्यमान की दो गाड़ियों को धक्का दें, तो भारी गाड़ी को रोकना अधिक कठिन होगा। अर्थात् जितना अधिक द्रव्यमान, उतना अधिक बाहरी प्रभावशरीर की गति को बदलने के लिए आवश्यक है. जो माना जाता है वह अनुवादात्मक गति पर लागू होता है, जब उदाहरण से गाड़ी एक सीधी रेखा में चलती है।

द्रव्यमान और स्थानांतरीय गति के अनुरूप, जड़ता का क्षण किसी पिंड की जड़ता का माप है घूर्णी गतिधुरी के चारों ओर.

निष्क्रियता के पल- एक अदिश भौतिक राशि, एक अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान किसी पिंड की जड़ता का माप। पत्र द्वारा निरूपित किया गया जे और सिस्टम में एस.आई प्रति वर्ग मीटर गुणा किलोग्राम में मापा जाता है।

जड़त्व आघूर्ण की गणना कैसे करें? खाओ सामान्य सूत्र, जिसका उपयोग भौतिकी में किसी भी पिंड की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए किया जाता है। यदि कोई पिंड द्रव्यमान के साथ अनंत छोटे टुकड़ों में टूट जाता है डी.एम , तब जड़ता का क्षण होगा योग के बराबरघूर्णन अक्ष से दूरी के वर्ग द्वारा इन प्राथमिक द्रव्यमानों का गुणनफल।

यह भौतिकी में जड़त्व आघूर्ण का सामान्य सूत्र है। द्रव्यमान के एक भौतिक बिंदु के लिए एम , एक दूरी पर एक अक्ष के चारों ओर घूम रहा है आर उसके पास से, यह सूत्ररूप लेता है:

स्टीनर का प्रमेय

जड़त्व का क्षण किस पर निर्भर करता है? द्रव्यमान से, घूर्णन अक्ष की स्थिति, पिंड का आकार और आकार।

ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय है जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

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ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय कहता है:

एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण एक मनमाना अक्ष के समानांतर द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष पिंड के जड़त्व के क्षण और वर्ग द्वारा पिंड के द्रव्यमान के उत्पाद के योग के बराबर होता है। अक्षों के बीच की दूरी का.

उन लोगों के लिए जो जड़ता के क्षण को खोजने की समस्याओं को हल करते समय लगातार एकीकृत नहीं होना चाहते हैं, हम कुछ सजातीय निकायों की जड़ता के क्षणों को दर्शाने वाला एक चित्र प्रस्तुत करते हैं जो अक्सर समस्याओं में सामने आते हैं:

जड़ता का क्षण ज्ञात करने के लिए किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण

आइए दो उदाहरण देखें. पहला कार्य जड़त्व का क्षण ज्ञात करना है। दूसरा कार्य ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय का उपयोग करना है।

समस्या 1. द्रव्यमान m और त्रिज्या R की एक सजातीय डिस्क की जड़ता का क्षण ज्ञात करें। घूर्णन की धुरी डिस्क के केंद्र से होकर गुजरती है।

समाधान:

आइए हम डिस्क को असीम रूप से पतले छल्लों में विभाजित करें, जिनकी त्रिज्या भिन्न-भिन्न होती है 0 पहले आरऔर ऐसी ही एक अंगूठी पर विचार करें। माना इसकी त्रिज्या है आर, और द्रव्यमान - डी.एम. तब वलय का जड़त्व आघूर्ण है:

वलय के द्रव्यमान को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यहाँ dz- रिंग की ऊंचाई. आइए जड़त्व क्षण के सूत्र में द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करें और एकीकृत करें:

परिणाम एक पूर्ण पतली डिस्क या सिलेंडर की जड़ता के क्षण के लिए एक सूत्र था।

समस्या 2. मान लीजिए कि फिर से द्रव्यमान m और त्रिज्या R की एक डिस्क है। अब हमें इसकी एक त्रिज्या के मध्य से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष डिस्क की जड़ता का क्षण ज्ञात करने की आवश्यकता है।

समाधान:

द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष डिस्क की जड़ता का क्षण पिछली समस्या से ज्ञात होता है। आइए स्टीनर के प्रमेय को लागू करें और खोजें:

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हमें उम्मीद है कि आपको लेख में अपने लिए कुछ उपयोगी मिलेगा। यदि जड़त्व टेंसर की गणना करने की प्रक्रिया में कठिनाइयाँ आती हैं, तो छात्र सेवा के बारे में न भूलें। हमारे विशेषज्ञ किसी भी मुद्दे पर सलाह देंगे और कुछ ही मिनटों में समस्या का समाधान करने में मदद करेंगे।

परिभाषा 1

बल के क्षण को टॉर्क या द्वारा दर्शाया जाता है टॉर्कः, एक ही समय में एक वेक्टर भौतिक मात्रा होने के नाते।

इसे बल वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के साथ-साथ त्रिज्या वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है, जो घूर्णन अक्ष से निर्दिष्ट बल के अनुप्रयोग के बिंदु तक खींचा जाता है।

बल का क्षण किसी ठोस वस्तु पर बल के घूर्णी प्रभाव की एक विशेषता है। "घूर्णन" और "टोक़" क्षणों की अवधारणाओं को समान नहीं माना जाएगा, क्योंकि प्रौद्योगिकी में "घूर्णन" क्षण की अवधारणा को किसी वस्तु पर लागू बाहरी बल के रूप में माना जाता है।

साथ ही, "टॉर्क" की अवधारणा को आंतरिक बल के प्रारूप में माना जाता है जो किसी वस्तु में कुछ लागू भारों के प्रभाव में उत्पन्न होता है (सामग्रियों के प्रतिरोध के लिए एक समान अवधारणा का उपयोग किया जाता है)।

बल के क्षण की अवधारणा

भौतिकी में बल के क्षण को तथाकथित "घूर्णी बल" के रूप में माना जा सकता है। माप की SI इकाई न्यूटन मीटर है। बल के क्षण को "कुछ बलों का क्षण" भी कहा जा सकता है, जैसा कि लीवर पर आर्किमिडीज़ के काम में उल्लेख किया गया है।

नोट 1

में सरल उदाहरण, जब लीवर पर लंबवत संबंध में एक बल लगाया जाता है, तो बल का क्षण निर्दिष्ट बल के परिमाण और लीवर के घूर्णन अक्ष की दूरी के उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जाएगा।

उदाहरण के लिए, लीवर के घूर्णन अक्ष से दो मीटर की दूरी पर लगाया गया तीन न्यूटन का बल लीवर पर 6 मीटर की दूरी पर लगाए गए एक न्यूटन के बल के बराबर क्षण बनाता है। अधिक सटीक रूप से, किसी कण के बल का क्षण वेक्टर उत्पाद प्रारूप में निर्धारित किया जाता है:

$\vec (M)=\vec(r)\vec(F)$, जहां:

• $\vec (F)$ कण पर लगने वाले बल को दर्शाता है,
• $\vec (r)$ कण वेक्टर की त्रिज्या है।

भौतिकी में, ऊर्जा को एक अदिश राशि के रूप में समझा जाना चाहिए, जबकि टॉर्क को एक (छद्म) वेक्टर मात्रा माना जाएगा। ऐसी मात्राओं के आयामों का संयोग आकस्मिक नहीं होगा: 1 N m का बल का एक क्षण, जो एक संपूर्ण क्रांति के माध्यम से लगाया जाता है, यांत्रिक कार्य करते हुए, 2 $\pi$ जूल की ऊर्जा प्रदान करता है। गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

$ई = एम\थीटा$, जहां:

• $E$ ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है;
• $M$ को टॉर्क माना जाता है;
• $\theta$ रेडियन में कोण होगा।

आज, बल के क्षण का माप स्ट्रेन गेज, ऑप्टिकल और इंडक्टिव प्रकार के विशेष लोड सेंसर का उपयोग करके किया जाता है।

बल के क्षण की गणना के लिए सूत्र

भौतिकी में एक दिलचस्प बात किसी क्षेत्र में बल के क्षण की गणना है, जो सूत्र के अनुसार उत्पन्न होती है:

$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, जहां:

• $\vec(M_1)$ को लीवर मोमेंट माना जाता है;
• $\vec(F)$ अभिनय बल के परिमाण को दर्शाता है।

इस तरह के प्रतिनिधित्व का नुकसान यह तथ्य है कि यह बल के क्षण की दिशा निर्धारित नहीं करता है, बल्कि केवल इसका परिमाण निर्धारित करता है। यदि बल वेक्टर $\vec(r)$ के लंबवत है, तो लीवर का क्षण लागू बल के केंद्र से बिंदु तक की दूरी के बराबर होगा। इस स्थिति में, बल का क्षण अधिकतम होगा:

$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$

जब कोई बल किसी भी दूरी पर एक निश्चित क्रिया करता है, तो वह यांत्रिक कार्य करेगा। उसी प्रकार, बल का क्षण (कोणीय दूरी के माध्यम से कोई क्रिया करते समय) कार्य करेगा।

$P = \vec (M)\omega $

मौजूदा में अंतर्राष्ट्रीय प्रणालीमाप, शक्ति $P$ को वाट्स में मापा जाएगा, और बल का क्षण न्यूटन मीटर में मापा जाएगा। जिसमें कोणीय वेगरेडियन प्रति सेकंड में परिभाषित किया गया है।

कई ताकतों का क्षण

नोट 2

जब कोई पिंड दो समान और विपरीत निर्देशित बलों के संपर्क में आता है, जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, तो इस पिंड की संतुलन की स्थिति में अनुपस्थिति देखी जाती है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि किसी भी अक्ष के सापेक्ष संकेतित बलों के परिणामी क्षण का शून्य मान नहीं होता है, क्योंकि दोनों प्रतिनिधित्व बलों के क्षण एक ही दिशा (बलों की एक जोड़ी) में निर्देशित होते हैं।

ऐसी स्थिति में जहां शरीर एक धुरी पर स्थिर है, यह कुछ बलों के प्रभाव में घूमेगा। यदि किसी मुक्त पिंड पर बलों का एक जोड़ा लगाया जाता है, तो यह पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमना शुरू कर देगा।

बलों की एक जोड़ी का क्षण किसी भी अक्ष के संबंध में समान माना जाता है जो जोड़ी के विमान के लंबवत है। इस मामले में, जोड़ी का कुल क्षण $M$ हमेशा बलों $F$ में से एक के उत्पाद के बराबर होगा और बलों (जोड़ी की भुजा) के बीच की दूरी $l$ में खंडों के प्रकार की परवाह किए बिना जिससे यह अक्ष की स्थिति को विभाजित करता है।

$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$

ऐसी स्थिति में जहां कई बलों का परिणामी क्षण शून्य के बराबर है, इसे एक दूसरे के समानांतर सभी अक्षों के सापेक्ष समान माना जाएगा। इस कारण से, इन सभी बलों के शरीर पर प्रभाव को एक ही क्षण में केवल एक जोड़ी बलों की कार्रवाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

शक्ति का क्षण (समानार्थी शब्द: टोक़, टोक़, टोक़, टोक़) - बल के अनुप्रयोग के बिंदु और इस बल के वेक्टर के घूर्णन अक्ष से खींची गई त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर वेक्टर भौतिक मात्रा। किसी ठोस पिंड पर किसी बल की घूर्णी क्रिया की विशेषता बताता है।

"घूर्णन" और "टोक़" क्षणों की अवधारणाएँ सामान्य मामलासमान नहीं हैं, क्योंकि प्रौद्योगिकी में "घूर्णन" क्षण की अवधारणा को माना जाता है बाहरी बलकिसी वस्तु पर लागू होता है, और "टॉर्क" एक आंतरिक बल है जो लागू भार के प्रभाव में किसी वस्तु में उत्पन्न होता है (इस अवधारणा का उपयोग सामग्रियों के प्रतिरोध में किया जाता है)।

सामान्य जानकारी

विशेष स्थितियां

लीवर टॉर्क फॉर्मूला

बहुत ही रोचक एक विशेष मामला, क्षेत्र में बल के क्षण की परिभाषा के रूप में दर्शाया गया है:

$\backslash बाएं|\backslash vec\; एम\backslash दाएं|\; =\; \backslash बाएं|\backslash vec(M)\_1\backslash दाएं|\; \backslash बाएँ|\backslash vec\; F\backslash दाएँ|$, कहाँ: $\backslash बाएं|\backslash vec(M)\_1\backslash दाएं|$- लीवर पल, $\backslash बाएँ|\backslash vec\; F\backslash दाएँ|$- अभिनय बल का परिमाण.

इस प्रतिनिधित्व के साथ समस्या यह है कि यह बल के क्षण की दिशा नहीं, बल्कि केवल उसका परिमाण बताता है। यदि बल वेक्टर के लंबवत है $\backslash vec\; आर$, लीवर का क्षण केंद्र से दूरी के बराबर होगा और बल का क्षण अधिकतम होगा:

$\backslash बाएँ|\backslash vec(T)\backslash दाएँ|\; =\; \backslash बाएँ|\backslash vec\; r\backslash दाएँ|\; \backslash बाएँ|\backslash vec\; F\backslash दाएँ|$

एक कोण पर बल लगाएं

अगर ताकत $\backslash vec\; एफ$एक कोण पर निर्देशित $\backslash थीटा$लीवर आर के लिए, फिर $एम\; =\; आर\; एफ\backslash सिन\backslash थीटा$.

स्थैतिक संतुलन

किसी वस्तु के संतुलन में होने के लिए, न केवल सभी बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के आसपास बल के सभी क्षणों का योग भी शून्य होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों वाले द्वि-आयामी मामले के लिए: दो आयामों में बलों का योग ΣH=0, ΣV=0 और तीसरे आयाम ΣM=0 में बल का क्षण।

समय के फलन के रूप में बल का क्षण

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac(d\backslash vec\; L)(dt)$,

कहाँ $\backslash vec\; एल$- आवेग का क्षण.

चलो एक ठोस शरीर लेते हैं. आंदोलन ठोसइसे एक विशिष्ट बिंदु की गति और उसके चारों ओर घूमने के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक कठोर पिंड के बिंदु O के सापेक्ष कोणीय गति को द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष जड़ता के क्षण और कोणीय वेग और द्रव्यमान के केंद्र की रैखिक गति के उत्पाद के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है।

$\backslash vec(L\_o)\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

हम कोएनिग समन्वय प्रणाली में घूर्णन आंदोलनों पर विचार करेंगे, क्योंकि विश्व समन्वय प्रणाली में एक कठोर शरीर के आंदोलन का वर्णन करना अधिक कठिन है।

आइए समय के संदर्भ में इस अभिव्यक्ति को अलग करें। और अगर $मैं$तो, समय में एक स्थिर मूल्य है

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac(d\backslash vec\backslash omega)(dt)\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

टॉर्क और कार्य के बीच संबंध

$A\; =\; \backslash int\_(\backslash theta\_1)^(\backslash theta\_2)\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm(d)\backslash theta$

स्थिर बलाघूर्ण के मामले में हमें प्राप्त होता है:

$ए\; =\; \backslash बाएं|\backslash vec\; एम\backslash दाएं|\backslash थीटा$

कोणीय वेग सामान्यतः ज्ञात होता है $\backslash ओमेगा$रेडियन प्रति सेकंड और टॉर्क क्रिया समय में $टी$.

फिर बल के क्षण द्वारा किए गए कार्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash omega\; t$

एक बिंदु के बारे में बल का क्षण

यदि कोई भौतिक बिंदु है $का$, जिस पर बल लगाया जाता है $\backslash vec\; एफ$, फिर बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण $हे$त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर $\backslash vec\; आर$, बिंदुओं को जोड़ना $हे$और $का$, बल वेक्टर के लिए $\backslash vec\; एफ$:

$\backslash vec(M\_O)\; =\; \backslash left[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash right]$.

अक्ष के परितः बल का आघूर्ण

किसी अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण, समतल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष इस अक्ष के लंबवत समतल पर इस बल के प्रक्षेपण के बीजगणितीय क्षण के बराबर होता है, अर्थात $M\_z(F)\; =\; M\_o(F")\; =\; F"h"$.

इकाइयों

बल का क्षण मापा जाता है न्यूटन मीटर. 1 एनएम वह क्षण है जो 1 मीटर लंबे लीवर पर 1 एन के बल द्वारा उत्पन्न होता है, जो लीवर के अंत पर लगाया जाता है और इसके लंबवत निर्देशित होता है।

टोक़ माप

आज, बल के क्षण का माप स्ट्रेन गेज, ऑप्टिकल और आगमनात्मक लोड कोशिकाओं का उपयोग करके किया जाता है।

यह सभी देखें

"शक्ति का क्षण" लेख की समीक्षा लिखें

शक्ति के क्षण की विशेषता बताने वाला अंश

लेकिन यद्यपि युद्ध के अंत तक लोगों को अपनी कार्रवाई की पूरी भयावहता महसूस हुई, हालांकि उन्हें रुकने में खुशी हुई, फिर भी कुछ समझ से बाहर, रहस्यमय शक्ति ने उनका मार्गदर्शन करना जारी रखा, और, पसीने से लथपथ, बारूद और खून से लथपथ, एक-एक करके चले गए तीन, तोपची, हालांकि लड़खड़ा रहे थे और थकान से हांफ रहे थे, वे आरोप लाए, लादे, निशाना साधा, विक्स लगाए; और तोप के गोले दोनों तरफ से उतनी ही तेजी से और क्रूरता से उड़े और चपटे हो गए मानव शरीर, और वह भयानक चीज़ घटती रही, जो लोगों की इच्छा से नहीं, बल्कि लोगों और दुनिया का नेतृत्व करने वाले की इच्छा से होती है।
जो कोई भी रूसी सेना की परेशान पीठ को देखेगा, वह कहेगा कि फ्रांसीसी को केवल एक और छोटा प्रयास करना होगा, और रूसी सेना गायब हो जाएगी; और जो कोई भी फ्रांसीसियों के पिछले हिस्से को देखेगा, वह कहेगा कि रूसियों को केवल एक और छोटा सा प्रयास करना होगा, और फ्रांसीसी नष्ट हो जाएंगे। लेकिन न तो फ्रांसीसियों और न ही रूसियों ने यह प्रयास किया और युद्ध की लपटें धीरे-धीरे बुझ गईं।
रूसियों ने यह प्रयास नहीं किया क्योंकि वे फ्रांसीसियों पर आक्रमण करने वाले नहीं थे। लड़ाई की शुरुआत में, वे केवल मास्को की सड़क पर खड़े थे, इसे अवरुद्ध कर रहे थे, और उसी तरह वे लड़ाई के अंत में भी खड़े रहे, जैसे वे इसकी शुरुआत में खड़े थे। लेकिन भले ही रूसियों का लक्ष्य फ्रांसीसियों को मार गिराना था, वे यह आखिरी प्रयास नहीं कर सके, क्योंकि सभी रूसी सैनिक हार गए थे, सैनिकों का एक भी हिस्सा ऐसा नहीं था जो युद्ध में घायल न हुआ हो, और रूसियों ने, अपने स्थान पर रहकर, अपनी आधी सेना खो दी।
फ्रांसीसी, पंद्रह वर्षों की सभी पिछली जीतों की स्मृति के साथ, नेपोलियन की अजेयता के विश्वास के साथ, इस चेतना के साथ कि उन्होंने युद्ध के मैदान के हिस्से पर कब्जा कर लिया था, कि उन्होंने अपने केवल एक-चौथाई लोगों को खो दिया था और उनके पास अभी भी बीस हज़ार अक्षुण्ण रक्षक, यह प्रयास करना आसान था। फ्रांसीसी, जिन्होंने रूसी सेना पर हमला किया ताकि उसे अपनी स्थिति से बाहर कर दिया जाए, उसे यह प्रयास करना पड़ा, क्योंकि जब तक रूसियों ने, युद्ध से पहले की तरह, मास्को की सड़क को अवरुद्ध कर दिया, तब तक फ्रांसीसी लक्ष्य हासिल नहीं हुआ था और सब कुछ उनके प्रयास और नुकसान व्यर्थ गए। परन्तु फ्रांसीसियों ने यह प्रयास नहीं किया। कुछ इतिहासकारों का कहना है कि युद्ध जीतने के लिए नेपोलियन को अपने पुराने गार्ड को बरकरार रखना चाहिए था। इस बारे में बात करना कि यदि नेपोलियन ने अपना पहरा दे दिया होता तो क्या होता, यह बात करने के समान है कि यदि वसंत शरद ऋतु में बदल गया होता तो क्या होता। ऐसा नहीं हो सका. नेपोलियन ने अपने रक्षकों को नहीं दिया, क्योंकि वह ऐसा नहीं चाहता था, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सका। फ़्रांसीसी सेना के सभी सेनापति, अधिकारी और सैनिक जानते थे कि ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि सेना की गिरी हुई भावना इसकी अनुमति नहीं देती थी।
नेपोलियन एकमात्र ऐसा व्यक्ति नहीं था जिसने उस स्वप्न जैसी अनुभूति का अनुभव किया था कि उसकी भुजा का भयानक झूला शक्तिहीन होकर गिर रहा था, बल्कि फ्रांसीसी सेना के सभी सेनापति, सभी सैनिक जिन्होंने भाग लिया और भाग नहीं लिया, पिछली लड़ाइयों के सभी अनुभवों के बाद (जहां, दस गुना कम प्रयास के बाद, दुश्मन भाग गया), उस दुश्मन के सामने उसी भय की भावना का अनुभव हुआ, जो आधी सेना खो चुका था, युद्ध की शुरुआत में अंत में भी उतना ही खतरनाक रूप से खड़ा था। फ्रांसीसी हमलावर सेना की नैतिक शक्ति समाप्त हो गई थी। वह जीत नहीं जो बैनर नामक लाठियों पर उठाए गए सामग्री के टुकड़ों और उस स्थान से निर्धारित होती है जिस पर सैनिक खड़े थे और खड़े हैं, बल्कि एक नैतिक जीत है, जो दुश्मन को उसके दुश्मन की नैतिक श्रेष्ठता के बारे में आश्वस्त करती है और उनकी अपनी शक्तिहीनता को बोरोडिन के नेतृत्व में रूसियों ने जीत लिया था। फ्रांसीसी आक्रमण, एक क्रोधित जानवर की तरह, जिसे भागते समय एक घातक घाव मिला, उसे अपनी मृत्यु का एहसास हुआ; लेकिन यह रुक नहीं सका, ठीक उसी तरह जैसे दो बार कमजोर रूसी सेना मदद नहीं कर सकती थी लेकिन विचलित हो सकती थी। इस धक्का-मुक्की के बाद भी फ्रांसीसी सेना मास्को तक पहुंच सकी; लेकिन वहां, रूसी सेना की ओर से नए प्रयासों के बिना, उसे बोरोडिनो में हुए घातक घाव से खून बहते हुए मरना पड़ा। बोरोडिनो की लड़ाई का प्रत्यक्ष परिणाम मॉस्को से नेपोलियन की अकारण उड़ान, पुरानी स्मोलेंस्क सड़क के साथ वापसी, पांच सौ हजारवें आक्रमण की मृत्यु और नेपोलियन फ्रांस की मृत्यु थी, जो पहली बार बोरोडिनो में रखी गई थी। आत्मा में सबसे शक्तिशाली शत्रु के हाथ से।

गति की पूर्ण निरंतरता मानव मन के लिए समझ से बाहर है। किसी भी आंदोलन के नियम किसी व्यक्ति को तभी स्पष्ट होते हैं जब वह इस आंदोलन की मनमाने ढंग से ली गई इकाइयों की जांच करता है। लेकिन साथ ही, असंतत इकाइयों में निरंतर गति के इस मनमाने विभाजन से अधिकांश मानवीय त्रुटियां उत्पन्न होती हैं।
पूर्वजों का तथाकथित परिष्कार ज्ञात है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि अकिलिस कभी भी सामने वाले कछुए को नहीं पकड़ पाएगा, इस तथ्य के बावजूद कि अकिलिस कछुए की तुलना में दस गुना तेज चलता है: जैसे ही अकिलिस उसे अलग करने वाली जगह से गुजरता है कछुए से, कछुआ इस स्थान का दसवां हिस्सा उससे आगे निकल जाएगा; अकिलिस इस दसवें स्थान पर चलेगा, कछुआ एक सौवें स्थान पर चलेगा, इत्यादि। यह कार्य पूर्वजों को अघुलनशील प्रतीत होता था। निर्णय की निरर्थकता (कि अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा) इस तथ्य से उत्पन्न हुई कि आंदोलन की असंतुलित इकाइयों को मनमाने ढंग से अनुमति दी गई थी, जबकि अकिलिस और कछुआ दोनों की गति निरंतर थी।
गति की छोटी और छोटी इकाइयाँ लेकर हम केवल समस्या के समाधान के करीब पहुँचते हैं, लेकिन उसे कभी हासिल नहीं कर पाते। केवल एक अतिसूक्ष्म मान और उससे दसवें भाग तक बढ़ती प्रगति को स्वीकार करके और इसका योग लेकर ज्यामितीय अनुक्रम, हम मुद्दे के समाधान तक पहुंचते हैं। गणित की एक नई शाखा, अनंत छोटी मात्राओं और गति के अन्य अधिक जटिल प्रश्नों से निपटने की कला हासिल कर चुकी है, अब उन प्रश्नों के उत्तर प्रदान करती है जो अघुलनशील लगते थे।
गणित की यह नई, प्राचीनों के लिए अज्ञात शाखा, जब गति के प्रश्नों पर विचार करती है, तो अनंत मात्राओं को स्वीकार करती है, अर्थात, जिन पर गति की मुख्य स्थिति (पूर्ण निरंतरता) बहाल हो जाती है, जिससे उस अपरिहार्य गलती को सुधारा जा सकता है जिसे मानव मस्तिष्क नहीं कर सकता मदद करें लेकिन निरंतर गति के बजाय, गति की व्यक्तिगत इकाइयों पर विचार करते समय बनाएं।
ऐतिहासिक आंदोलन के नियमों की खोज में बिल्कुल वैसा ही होता है।
अनगिनत मानवीय अत्याचारों से उत्पन्न मानवता का आंदोलन निरंतर होता रहता है।
इस आंदोलन के नियमों को समझना इतिहास का लक्ष्य है। लेकिन लोगों की सभी मनमानी के योग के निरंतर आंदोलन के नियमों को समझने के लिए, मानव मन मनमानी, असंतत इकाइयों की अनुमति देता है। इतिहास की पहली तकनीक है लेना मनमानी श्रृंखलानिरंतर होने वाली घटनाओं को दूसरों से अलग मानें, जबकि किसी भी घटना की शुरुआत न तो होती है और न ही हो सकती है, बल्कि हमेशा एक घटना दूसरे से लगातार चलती रहती है। दूसरी तकनीक एक व्यक्ति, एक राजा, एक सेनापति की कार्रवाई को लोगों की मनमानी का योग मानना ​​है, जबकि मानवीय मनमानी का योग कभी भी एक ऐतिहासिक व्यक्ति की गतिविधि में व्यक्त नहीं होता है।
ऐतिहासिक विज्ञान अपनी गति में निरन्तर छोटी-छोटी इकाइयों को विचारार्थ स्वीकार करता है और इस प्रकार सत्य के निकट पहुँचने का प्रयास करता है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इतिहास कितनी छोटी इकाइयों को स्वीकार करता है, हमें लगता है कि एक इकाई को दूसरे से अलग करने की धारणा, किसी घटना की शुरुआत की धारणा और यह धारणा कि सभी लोगों की मनमानी एक ऐतिहासिक व्यक्ति के कार्यों में व्यक्त होती है। अपने आप में झूठा.
इतिहास का प्रत्येक निष्कर्ष, आलोचना की ओर से थोड़े से प्रयास के बिना, धूल की तरह बिखर जाता है, पीछे कुछ भी नहीं छोड़ता, केवल इस तथ्य के कारण कि आलोचना अवलोकन की वस्तु के रूप में एक बड़ी या छोटी असंतत इकाई का चयन करती है; जिस पर उसका हमेशा अधिकार होता है, क्योंकि ली गई ऐतिहासिक इकाई हमेशा मनमानी होती है।
केवल एक असीम रूप से छोटी इकाई को अवलोकन के लिए अनुमति देकर - इतिहास का अंतर, यानी लोगों की सजातीय प्रेरणा, और एकीकृत करने की कला हासिल करने (इन अनंतिमों का योग लेने पर), क्या हम इतिहास के नियमों को समझने की उम्मीद कर सकते हैं।
पहले पंद्रह साल XIX सदीयूरोप में लाखों लोगों के असाधारण आंदोलन का प्रतिनिधित्व करते हैं। लोग अपना सामान्य व्यवसाय छोड़ देते हैं, यूरोप के एक तरफ से दूसरे तरफ भागते हैं, लूटपाट करते हैं, एक-दूसरे को मारते हैं, विजय और निराशा करते हैं, और जीवन का पूरा पाठ्यक्रम कई वर्षों तक बदलता है और एक तीव्र आंदोलन का प्रतिनिधित्व करता है, जो पहले बढ़ता है, फिर कमजोर हो जाता है। इस आंदोलन का कारण क्या था या यह किन कानूनों के अनुसार हुआ? - मानव मन पूछता है।
इतिहासकार, इस प्रश्न का उत्तर देते हुए, हमें पेरिस शहर की एक इमारत में कई दर्जन लोगों के कार्यों और भाषणों का वर्णन करते हैं, इन कार्यों और भाषणों को क्रांति शब्द कहते हैं; फिर वे नेपोलियन और उसके प्रति सहानुभूति रखने वाले और शत्रुता रखने वाले कुछ लोगों की विस्तृत जीवनी देते हैं, इनमें से कुछ लोगों के दूसरों पर प्रभाव के बारे में बात करते हैं और कहते हैं: यही कारण है कि यह आंदोलन हुआ, और ये इसके कानून हैं।
लेकिन मानव मस्तिष्क न केवल इस व्याख्या पर विश्वास करने से इनकार करता है, बल्कि सीधे तौर पर कहता है कि व्याख्या का तरीका सही नहीं है, क्योंकि इस व्याख्या में सबसे कमजोर घटना को सबसे मजबूत कारण के रूप में लिया जाता है। मानवीय मनमानी के योग ने ही क्रांति और नेपोलियन दोनों को जन्म दिया और इन मनमानी के योग ने ही उन्हें सहन किया और नष्ट कर दिया।

टॉर्क की सबसे अच्छी परिभाषा किसी वस्तु को किसी अक्ष, आधार या धुरी बिंदु के चारों ओर घुमाने की बल की प्रवृत्ति है। टॉर्क की गणना बल और आघूर्ण भुजा (बल की क्रिया की रेखा से अक्ष से लंबवत दूरी), या जड़ता आघूर्ण और कोणीय त्वरण का उपयोग करके की जा सकती है।

कदम

बल और क्षण उत्तोलन का उपयोग करना

1. शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों और संबंधित क्षणों का निर्धारण करें।यदि बल विचाराधीन आघूर्ण भुजा के लंबवत नहीं है (अर्थात यह एक कोण पर कार्य करता है), तो आपको इसके घटकों को खोजने की आवश्यकता हो सकती है त्रिकोणमितीय कार्य, जैसे कि साइन या कोसाइन।

   • माना गया बल घटक लंबवत बल समतुल्य पर निर्भर करेगा।
   • एक क्षैतिज छड़ की कल्पना करें जिसे अपने केंद्र के चारों ओर घुमाने के लिए क्षैतिज तल से 30° के कोण पर 10 N का बल लगाया जाना चाहिए।
   • चूँकि आपको एक ऐसे बल का उपयोग करने की आवश्यकता है जो आघूर्ण भुजा के लंबवत नहीं है, आपको छड़ को घुमाने के लिए बल के एक ऊर्ध्वाधर घटक की आवश्यकता है।
   • इसलिए, किसी को y-घटक पर विचार करना चाहिए, या F = 10sin30° N का उपयोग करना चाहिए।

2. क्षण समीकरण, τ = Fr का उपयोग करें, और बस चर को दिए गए या प्राप्त डेटा से बदलें।

   • एक सरल उदाहरण: कल्पना कीजिए कि 30 किलोग्राम वजन का एक बच्चा स्विंग बोर्ड के एक छोर पर बैठा है। झूले की एक तरफ की लंबाई 1.5 मीटर है।
   • चूंकि झूले की घूर्णन धुरी केंद्र में है, इसलिए आपको लंबाई को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है।
   • आपको द्रव्यमान और त्वरण का उपयोग करके बच्चे द्वारा लगाए गए बल को निर्धारित करने की आवश्यकता है।
   • चूंकि द्रव्यमान दिया गया है, इसलिए आपको इसे गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, जी, 9.81 मी/से 2 के बराबर से गुणा करना होगा। इस तरह:
   • अब आपके पास क्षण समीकरण का उपयोग करने के लिए सभी आवश्यक डेटा हैं:

3. पल की दिशा दिखाने के लिए चिह्नों (प्लस या माइनस) का उपयोग करें।यदि बल शरीर को दक्षिणावर्त घुमाता है, तो क्षण नकारात्मक होता है। यदि बल शरीर को वामावर्त घुमाता है, तो क्षण सकारात्मक होता है।

   • कई लागू बलों के मामले में, बस शरीर में सभी क्षणों को जोड़ दें।
   • चूँकि प्रत्येक बल घूर्णन की अलग-अलग दिशाएँ उत्पन्न करता है, इसलिए प्रत्येक बल की दिशा पर नज़र रखने के लिए घूर्णन चिह्न का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
   • उदाहरण के लिए, 0.050 मीटर व्यास वाले एक पहिये के रिम पर दो बल लगाए गए, F 1 = 10.0 N, दक्षिणावर्त दिशा में निर्देशित, और F 2 = 9.0 N, वामावर्त दिशा में।
   • क्योंकि शरीर दिया- एक वृत्त, स्थिर अक्ष इसका केंद्र है। आपको व्यास को विभाजित करने और त्रिज्या प्राप्त करने की आवश्यकता है। त्रिज्या का आकार क्षण भुजा के रूप में काम करेगा। अत: त्रिज्या 0.025 मीटर है।
   • स्पष्टता के लिए, हम संबंधित बल से उत्पन्न होने वाले प्रत्येक क्षण के लिए अलग-अलग समीकरण हल कर सकते हैं।
   • बल 1 के लिए, क्रिया दक्षिणावर्त निर्देशित होती है, इसलिए, जिस क्षण यह उत्पन्न होता है वह नकारात्मक होता है:
   • बल 2 के लिए, क्रिया वामावर्त निर्देशित होती है, इसलिए, जिस क्षण यह उत्पन्न होता है वह सकारात्मक होता है:
   • अब हम परिणामी टॉर्क प्राप्त करने के लिए सभी क्षणों को जोड़ सकते हैं:

   जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण का उपयोग करना

   1. समस्या को हल करना शुरू करने के लिए, समझें कि किसी पिंड की जड़ता का क्षण कैसे काम करता है।किसी पिंड की जड़ता का क्षण किसी पिंड की घूर्णी गति का प्रतिरोध है। जड़ता का क्षण द्रव्यमान और उसके वितरण की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है।

      • इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए, एक ही व्यास लेकिन अलग-अलग द्रव्यमान वाले दो सिलेंडरों की कल्पना करें।
      • कल्पना करें कि आपको दोनों सिलेंडरों को उनके केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घुमाने की आवश्यकता है।
      • जाहिर है, अधिक द्रव्यमान वाले सिलेंडर को दूसरे सिलेंडर की तुलना में मोड़ना अधिक कठिन होगा क्योंकि यह "भारी" होता है।
      • अब अलग-अलग व्यास, लेकिन समान द्रव्यमान वाले दो सिलेंडरों की कल्पना करें। बेलनाकार दिखने के लिए और अलग-अलग द्रव्यमान रखने के लिए, लेकिन एक ही समय में विभिन्न व्यासदोनों सिलेंडरों का आकार, आकार या द्रव्यमान वितरण अलग-अलग होना चाहिए।
      • बड़े व्यास वाला सिलेंडर एक सपाट, गोल प्लेट जैसा दिखेगा, जबकि छोटा सिलेंडर कपड़े की एक ठोस ट्यूब जैसा दिखेगा।
      • बड़े व्यास वाले सिलेंडर को घुमाना अधिक कठिन होगा क्योंकि लंबे टॉर्क आर्म पर काबू पाने के लिए आपको अधिक बल लगाने की आवश्यकता होगी।

   2. उस समीकरण का चयन करें जिसका उपयोग आप जड़ता के क्षण की गणना के लिए करेंगे।ऐसे कई समीकरण हैं जिनका उपयोग ऐसा करने के लिए किया जा सकता है।

      • पहला समीकरण सबसे सरल है: सभी कणों के द्रव्यमान और आघूर्ण भुजाओं का योग।
      • इस समीकरण का उपयोग भौतिक बिंदुओं या कणों के लिए किया जाता है। एक आदर्श कण वह पिंड है जिसमें द्रव्यमान तो होता है लेकिन वह स्थान नहीं घेरता।
      • दूसरे शब्दों में, इस पिंड का एकमात्र महत्वपूर्ण गुण द्रव्यमान है; आपको इसका आकार, आकृति या संरचना जानने की आवश्यकता नहीं है।
      • भौतिक कण का विचार भौतिकी में गणनाओं को सरल बनाने और आदर्श और सैद्धांतिक योजनाओं का उपयोग करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
      • अब एक खोखले बेलन या ठोस एकसमान गोले जैसी किसी वस्तु की कल्पना करें। इन वस्तुओं का स्पष्ट और परिभाषित आकार, आकार और संरचना होती है।
      • इसलिए, आप उन्हें एक भौतिक बिंदु नहीं मान सकते।
      • सौभाग्य से, आप ऐसे सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं जो कुछ सामान्य वस्तुओं पर लागू होते हैं:

   3. जड़ता का क्षण ज्ञात कीजिये.टॉर्क की गणना शुरू करने के लिए, आपको जड़ता का क्षण ज्ञात करना होगा। एक मार्गदर्शक के रूप में निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करें:

      • 5.0 किग्रा और 7.0 किग्रा द्रव्यमान वाले दो छोटे "वजन" एक हल्की छड़ (जिसके द्रव्यमान की उपेक्षा की जा सकती है) पर एक दूसरे से 4.0 मीटर की दूरी पर रखे गए हैं। घूर्णन की धुरी छड़ के मध्य में होती है। छड़ आराम से 3.00 सेकंड में 30.0 रेड/सेकेंड के कोणीय वेग से घूमती है। उत्पादित टॉर्क की गणना करें।
      • चूँकि घूर्णन की धुरी छड़ के मध्य में है, दोनों भारों की आघूर्ण भुजा इसकी लंबाई के आधे के बराबर है, अर्थात। 2.0 मी.
      • चूंकि "भार" का आकार, आकार और संरचना निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम मान सकते हैं कि भार भौतिक कण हैं।
      • जड़ता के क्षण की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

   4. कोणीय त्वरण ज्ञात कीजिए, α।कोणीय त्वरण की गणना करने के लिए, आप सूत्र α= at/r का उपयोग कर सकते हैं।

      • पहला सूत्र, α= at/r, का उपयोग तब किया जा सकता है जब स्पर्शरेखीय त्वरण और त्रिज्या दी गई हो।
      • स्पर्शरेखीय त्वरण गति की दिशा में स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित त्वरण है।
      • कल्पना कीजिए कि कोई वस्तु घुमावदार पथ पर घूम रही है। स्पर्शरेखीय त्वरण संपूर्ण पथ पर किसी भी बिंदु पर इसका रैखिक त्वरण है।
      • दूसरे सूत्र के मामले में, इसे किनेमेटिक्स की अवधारणाओं से जोड़कर चित्रित करना सबसे आसान है: विस्थापन, रैखिक वेग और रैखिक त्वरण।
      • विस्थापन किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी है (एसआई इकाई मीटर, मी है); रैखिक वेग समय की प्रति इकाई विस्थापन में परिवर्तन का सूचक है (SI इकाई - m/s); रैखिक त्वरण समय की प्रति इकाई (SI इकाई - m/s 2) रैखिक गति में परिवर्तन का सूचक है।
      • आइए अब घूर्णी गति में इन मात्राओं के एनालॉग्स को देखें: कोणीय विस्थापन, θ - एक निश्चित बिंदु या खंड के घूर्णन का कोण (एसआई इकाई - रेड); कोणीय वेग, ω - प्रति इकाई समय कोणीय विस्थापन में परिवर्तन (एसआई इकाई - रेड/एस); और कोणीय त्वरण, α - प्रति इकाई समय कोणीय वेग में परिवर्तन (SI इकाई - rad/s 2)।
      • अपने उदाहरण पर लौटते हुए, हमें कोणीय गति और समय के लिए डेटा दिया गया था। चूंकि घूर्णन आराम से शुरू हुआ, प्रारंभिक कोणीय वेग 0 है। हम खोजने के लिए समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:
   5. यदि आपको यह कल्पना करना कठिन लगता है कि घूर्णन कैसे होता है, तो एक पेन लें और समस्या को फिर से बनाने का प्रयास करें। अधिक सटीक पुनरुत्पादन के लिए, घूर्णन अक्ष की स्थिति और लागू बल की दिशा की प्रतिलिपि बनाना न भूलें।