ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԴԱՇՆԱԿԱՆ ԳՈՐԾԱԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆ

ՊԵՏԱԿԱՆ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆ

ԲԱՐՁՐ ՄԱՍՆԱԳԻՏԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆ

«ՎՈՐՈՆԵԺԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ».

ԱԳԼԵԲՐԱ ԵՎ ԵՐԿՐԱՄԵՏՐԻԱՅԻ ԲԱԺԻՆ

Կոմպլեքս թվեր

(ընտրված առաջադրանքներ)

ՇՐՋԱՆԱԳՐԵՐ ՈՐԱԿԱՎՈՐԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔ

մասնագիտություն 050201.65 մաթեմատիկա

(լրացուցիչ մասնագիտությամբ 050202.65 ինֆորմատիկա)

Ավարտեց՝ 5-րդ կուրսի ուսանող

ֆիզիկական և մաթեմատիկական

ֆակուլտետը

Գիտական ​​խորհրդատու.

ՎՈՐՈՆԵԺ – 2008թ

1. Ներածություն……………………………………………………...…………..…

2. Կոմպլեքս թվեր (ընտրված խնդիրներ)

2.1. Կոմպլեքս թվեր հանրահաշվական ձև….……...……….….

2.2. Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական մեկնաբանություն…………………

2.3. Բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձև

2.4. Կոմպլեքս թվերի տեսության կիրառումը 3-րդ և 4-րդ աստիճանի հավասարումների լուծման մեջ………………………………………………………………………………

2.5. Կոմպլեքս թվեր և պարամետրեր………………………………………………

3. Եզրակացություն…………………………………………………………………………………….

4. Տեղեկանքների ցանկ………………………………………………………

1. Ներածություն

Մաթեմատիկայի ծրագրում դպրոցական դասընթացթվերի տեսությունը ներկայացվում է բնական թվերի, ամբողջ թվերի, ռացիոնալների, իռացիոնալների բազմությունների օրինակների միջոցով, այսինքն. իրական թվերի բազմության վրա, որոնց պատկերները լրացնում են ամբողջ թվային տողը։ Բայց արդեն 8-րդ դասարանում իրական թվերի պաշարը քիչ է՝ բացասական դիսկրիմինանտով քառակուսի հավասարումներ լուծելը։ Ուստի անհրաժեշտ էր բարդ թվերի օգնությամբ համալրել իրական թվերի պաշարը, որի համար Քառակուսի արմատ-ից բացասական թիվիմաստ ունի.

Ընտրելով «Բարդ թվեր» թեման որպես ավարտական ​​թեմա որակավորման աշխատանք, այն է, որ կոմպլեքս թվի հայեցակարգը ընդլայնում է ուսանողների գիտելիքները թվային համակարգերի, հանրահաշվական և երկրաչափական բովանդակության խնդիրների լայն դասի լուծման, դրանց լուծման մասին: հանրահաշվական հավասարումներցանկացած աստիճանի և պարամետրերով խնդիրների լուծման մասին:

Այս թեզը քննում է 82 խնդիրների լուծումը։

«Բարդ թվեր» հիմնական բաժնի առաջին մասը պարունակում է խնդիրների լուծումներ բարդ թվերհանրահաշվական ձևով սահմանվում են գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման, հանրահաշվական ձևով բարդ թվերի խոնարհման գործողությունները, երևակայական միավորի հզորությունը, կոմպլեքս թվի մոդուլը և քառակուսի արմատը հանելու կանոնը. նշվում է նաև կոմպլեքս թիվ.

Երկրորդ մասում լուծվում են բարդ թվերի երկրաչափական մեկնաբանության խնդիրները բարդ հարթության կետերի կամ վեկտորների տեսքով։

Երրորդ մասում ուսումնասիրվում են կոմպլեքս թվերի վրա կատարվող գործողությունները՝ եռանկյունաչափական տեսքով: Օգտագործված բանաձևերն են՝ Moivre և բարդ թվի արմատ հանելը։

Չորրորդ մասը նվիրված է 3-րդ և 4-րդ աստիճանների հավասարումների լուծմանը։

Վերջին մասի` «Բարդ թվեր և պարամետրեր» խնդիրներ լուծելիս օգտագործվում և համախմբվում են նախորդ մասերում տրված տեղեկատվությունը: Գլխի մի շարք խնդիրներ նվիրված են պարամետրով հավասարումներով (անհավասարումներով) սահմանված բարդ հարթությունում ուղիղների ընտանիքների որոշմանը: Վարժությունների մի մասում անհրաժեշտ է պարամետրով հավասարումներ լուծել (C դաշտի վրա): Կան առաջադրանքներ, որտեղ բարդ փոփոխականը միաժամանակ բավարարում է մի շարք պայմանների։ Այս բաժնում խնդիրների լուծման առանձնահատուկ առանձնահատկությունն է դրանցից շատերի կրճատումը երկրորդ աստիճանի, իռացիոնալ, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը պարամետրով։

Յուրաքանչյուր մասում նյութի ներկայացման առանձնահատկությունը սկզբնական մուտքն է տեսական հիմքերը, և հետագայում դրանց գործնական կիրառումը խնդիրների լուծման գործում։

Վերջում թեզներկայացված է օգտագործված գրականության ցանկը: Նրանցից շատերը բավական մանրամասն և մատչելի են ներկայացնում տեսական նյութը, դիտարկում որոշ խնդիրների լուծումներ և տալիս. գործնական առաջադրանքներՀամար անկախ որոշում. Հատուկ ուշադրությունԵս կցանկանայի հղում կատարել այնպիսի աղբյուրների, ինչպիսիք են.

1. Գորդիենկո Ն.Ա., Բելյաևա Է.Ս., Ֆիրսով Վ.Ե., Սերեբրյակովա Ի.Վ. Բարդ թվեր և դրանց կիրառությունները. Դասագիրք. . Նյութ ուսումնական օգնություններկայացվել է դասախոսությունների և գործնական պարապմունքների տեսքով։

2. Շկլյարսկի Դ.Օ., Չենցով Ն.Ն., Յագլոմ Ի.Մ. Տարրական մաթեմատիկայի ընտրված խնդիրներ և թեորեմներ. Թվաբանություն և հանրահաշիվ. Գիրքը պարունակում է 320 խնդիր՝ կապված հանրահաշվի, թվաբանության և թվերի տեսության հետ։ Այս առաջադրանքները իրենց բնույթով զգալիորեն տարբերվում են դպրոցական ստանդարտ առաջադրանքներից:

2. Կոմպլեքս թվեր (ընտրված խնդիրներ)

2.1. Համալիր թվեր հանրահաշվական ձևով

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը հանգում է հանրահաշվական հավասարումների լուծմանը, այսինքն. ձևի հավասարումներ

,

որտեղ a0, a1,…, an իրական թվերն են: Ուստի հանրահաշվական հավասարումների ուսումնասիրությունը մեկն է կրիտիկական հարցերմաթեմատիկայի մեջ։ Օրինակ, քառակուսի հավասարումը հետ բացասական տարբերակիչ. Ամենապարզ նման հավասարումը հավասարումն է

.

Որպեսզի այս հավասարումը լուծում ունենա, անհրաժեշտ է ընդլայնել իրական թվերի բազմությունը՝ դրան ավելացնելով հավասարման արմատը.

.

Այս արմատը նշանակենք ըստ

. Այսպիսով, ըստ սահմանման, կամ,

հետևաբար,

. կոչվում է երևակայական միավոր: Նրա օգնությամբ և մի զույգ իրական թվերի օգնությամբ կազմվում է ձևի արտահայտություն։

Ստացված արտահայտությունը կոչվում էր բարդ թվեր, քանի որ դրանք պարունակում էին ինչպես իրական, այնպես էլ երևակայական մասեր:

Այսպիսով, բարդ թվերը ձևի արտահայտություններ են

, և իրական թվեր են, և որոշակի նշան է, որը բավարարում է պայմանը: Թիվը կոչվում է բարդ թվի իրական մաս, իսկ թիվը նրա երևակայական մասն է։ Խորհրդանիշները օգտագործվում են դրանք նշելու համար:

Ձևի բարդ թվեր

իրական թվեր են և, հետևաբար, բարդ թվերի բազմությունը պարունակում է իրական թվերի բազմություն:

Ձևի բարդ թվեր

կոչվում են զուտ երևակայական: Ձևի երկու բարդ թվեր և կոչվում են հավասար, եթե դրանց իրական և երևակայական մասերը հավասար են, այսինքն. եթե հավասարություններ, .

Բարդ թվերի հանրահաշվական նշումը թույլ է տալիս գործողություններ կատարել դրանց վրա հանրահաշվի սովորական կանոններով։

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Մարդը հին ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Պարզության համար եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.

Հաշվեք \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] եթե \

Նախ ուշադրություն դարձնենք, որ մի թիվը ներկայացված է հանրահաշվական, մյուսը՝ եռանկյունաչափական տեսքով։ Այն պետք է պարզեցնել և բերել հետևյալ ձևին

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ արտահայտությունն ասում է, որ առաջին հերթին մենք կատարում ենք բազմապատկում և բարձրացում մինչև 10-րդ աստիճանի Moivre բանաձևով։ Այս բանաձևը ձևակերպված է բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևի համար: Մենք ստանում ենք.

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3) \]

Հետևելով բարդ թվերը եռանկյունաչափական ձևով բազմապատկելու կանոններին՝ մենք անում ենք հետևյալը.

Մեր դեպքում.

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi) (3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] կոտորակը ճիշտ դարձնելով, գալիս ենք այն եզրակացության, որ կարող ենք «ոլորել» 4 պտույտ \[(8\pi ռադ.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Պատասխան՝ \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Այս հավասարումը կարող է լուծվել մեկ այլ ձևով, որը հանգում է նրան, որ 2-րդ թիվը հանրահաշվական ձևի բերելը, այնուհետև բազմապատկումը հանրահաշվական ձևով կատարելը, արդյունքը եռանկյունաչափական ձևի վերածելը և Moivre-ի բանաձևը կիրառելը.

Որտե՞ղ կարող եմ առցանց լուծել բարդ թվերով հավասարումների համակարգ:

Հավասարումների համակարգը կարող եք լուծել մեր https://site կայքում։ Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարումներ։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգներ և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Բարդ թվերի հետ խնդիրներ լուծելու համար անհրաժեշտ է հասկանալ հիմնական սահմանումները: Այս վերանայման հոդվածի հիմնական նպատակն է բացատրել, թե ինչ են բարդ թվերը և ներկայացնել բարդ թվերով հիմնական խնդիրների լուծման մեթոդներ: Այսպիսով, բարդ թիվը կկոչվի ձևի թիվ z = a + bi, Որտեղ ա, բ- իրական թվեր, որոնք, համապատասխանաբար, կոչվում են բարդ թվի իրական և երևակայական մասեր և նշանակում. a = Re(z), b=Im(z).
եսկոչվում է երևակայական միավոր: ես 2 = -1. Մասնավորապես, ցանկացած իրական թիվ կարելի է բարդ համարել. a = a + 0i, որտեղ a-ն իրական է: Եթե a = 0Եվ b ≠ 0, ապա թիվը սովորաբար կոչվում է զուտ երևակայական։

Այժմ ներկայացնենք գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա։
Դիտարկենք երկու բարդ թվեր z 1 = a 1 + b 1 iԵվ z 2 = a 2 + b 2 i.

Եկեք դիտարկենք z = a + bi.

Կոմպլեքս թվերի բազմությունն ընդլայնում է իրական թվերի բազմությունը, որն իր հերթին ընդլայնում է բազմությունը ռացիոնալ թվերև այլն: Ներդրումների այս շղթան կարելի է տեսնել նկարում. N – ամբողջ թվեր, Z - ամբողջ թվեր, Q - ռացիոնալ, R - իրական, C - բարդ:

Կոմպլեքս թվերի ներկայացում

Հանրահաշվական նշում.

Դիտարկենք բարդ թիվ z = a + bi, կոմպլեքս թիվ գրելու այս ձևը կոչվում է հանրահաշվական. Նախորդ բաժնում մենք արդեն մանրամասն քննարկել ենք ձայնագրման այս ձևը: Բավական հաճախ օգտագործվում է հետևյալ տեսողական նկարը

Եռանկյունաչափական ձև.

Նկարից երևում է, որ թիվը z = a + biկարելի է այլ կերպ գրել. Ակնհայտ է, որ a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|, հետևաբար z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) կոչվում է բարդ թվի արգումենտ: Կոմպլեքս թվի այս ներկայացումը կոչվում է եռանկյունաչափական ձև. Նշման եռանկյունաչափական ձևը երբեմն շատ հարմար է: Օրինակ, հարմար է այն օգտագործել կոմպլեքս թիվն ամբողջ թվով հզորության հասցնելու համար, այն է՝ եթե z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Դա z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, այս բանաձեւը կոչվում է Moivre-ի բանաձեւը.

Ցուցադրական ձև.

Եկեք դիտարկենք z = rcos(φ) + rsin(φ)i- կոմպլեքս թիվ եռանկյունաչափական ձևով, գրի՛ր այլ ձևով z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφՎերջին հավասարությունը բխում է Էյլերի բանաձևից, ուստի մենք ստանում ենք նոր համազգեստբարդ թվերի նշում. z = re iφ, որը կոչվում է ցուցիչ. Նշման այս ձևը նաև շատ հարմար է կոմպլեքս թիվը հզորության հասցնելու համար. z n = r n e inφ, Այստեղ nպարտադիր չէ, որ ամբողջ թիվ, բայց կարող է լինել կամայական իրական թիվ: Նշման այս ձևը բավականին հաճախ օգտագործվում է խնդիրների լուծման համար:

Բարձրագույն հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ

Եկեք պատկերացնենք, որ մենք ունենք քառակուսի հավասարում x 2 + x + 1 = 0: Ակնհայտ է, որ այս հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է և չունի իրական արմատներ, բայց պարզվում է, որ այս հավասարումն ունի երկու տարբեր բարդ արմատներ։ Այսպիսով, բարձրագույն հանրահաշվի հիմնարար թեորեմն ասում է, որ n աստիճանի ցանկացած բազմանդամ ունի առնվազն մեկ բարդ արմատ: Սրանից հետևում է, որ n աստիճանի ցանկացած բազմանդամն ունի ճիշտ n բարդ արմատ՝ հաշվի առնելով դրանց բազմապատիկը։ Այս թեորեմը շատ կարևոր արդյունք է մաթեմատիկայի մեջ և լայն կիրառություն ունի։ Այս թեորեմի պարզ հետևանքն այն է, որ կան հենց n տարբեր արմատներմիասնության աստիճան n.

Առաջադրանքների հիմնական տեսակները

Այս բաժինը կներառի հիմնական տեսակները պարզ առաջադրանքներդեպի բարդ թվեր. Պայմանականորեն, բարդ թվերի հետ կապված խնդիրները կարելի է բաժանել հետևյալ կատեգորիաների.

• Բարդ թվերի վրա պարզ թվաբանական գործողություններ կատարելը.
• Գտնել բազմանդամների արմատները կոմպլեքս թվերում:
• Կոմպլեքս թվերը հզորությունների հասցնելը:
• Արմատներ հանելը բարդ թվերից:
• Կոմպլեքս թվերի օգտագործումը այլ խնդիրներ լուծելու համար:

Հիմա դիտարկենք ընդհանուր տեխնիկաայս խնդիրների լուծումները:

Բարդ թվերով ամենապարզ թվաբանական գործողությունները կատարվում են առաջին բաժնում նկարագրված կանոնների համաձայն, բայց եթե բարդ թվերը ներկայացված են եռանկյունաչափական կամ էքսպոնենցիալ ձևերով, ապա այս դեպքում կարող եք դրանք վերածել հանրահաշվական ձևի և կատարել գործողություններ՝ ըստ հայտնի կանոնների:

Բազմանդամների արմատները գտնելը սովորաբար հանգում է արմատները գտնելուն քառակուսի հավասարում. Ենթադրենք, որ ունենք քառակուսի հավասարում, եթե դրա դիսկրիմինանտը ոչ բացասական է, ապա դրա արմատները իրական կլինեն և կարելի է գտնել հայտնի բանաձևով։ Եթե ​​տարբերակիչը բացասական է, այսինքն. D = -1∙a 2, Որտեղ աորոշակի թիվ է, ապա դիսկրիմինանտը կարող է ներկայացվել որպես D = (ia) 2, հետևաբար √D = i|a|, և այնուհետև կարող եք օգտագործել հայտնի բանաձեւքառակուսի հավասարման արմատների համար.

Օրինակ. Վերադառնանք վերը նշված քառակուսային հավասարմանը x 2 + x + 1 = 0:
Խտրական - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել արմատները.

Բարդ թվերը հզորությունների հասցնելը կարող է իրականացվել մի քանի ձևով. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հանրահաշվական ձևով կոմպլեքս թիվը հասցնել փոքր հզորության (2 կամ 3), ապա դա կարող եք անել ուղղակի բազմապատկմամբ, բայց եթե հզորությունն ավելի մեծ է (խնդիրներում այն ​​հաճախ շատ ավելի մեծ է), ապա ձեզ հարկավոր է. Գրեք այս թիվը եռանկյունաչափական կամ էքսպոնենցիալ ձևերով և օգտագործեք արդեն հայտնի մեթոդները:

Օրինակ. Դիտարկենք z = 1 + i և բարձրացրե՛ք այն տասներորդ աստիճանի:
Գրենք z էքսպոնենցիալ ձևով՝ z = √2 e iπ/4:
Հետո z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Վերադառնանք հանրահաշվական ձևին՝ z 10 = -32i:

Կոմպլեքս թվերից արմատներ հանելը հզորության հակադարձ գործողությունն է և, հետևաբար, կատարվում է նույն ձևով: Արմատներ հանելու համար հաճախ օգտագործվում է թիվ գրելու էքսպոնենցիալ ձևը։

Օրինակ. Եկեք գտնենք միասնության 3 աստիճանի բոլոր արմատները: Դա անելու համար մենք կգտնենք z 3 = 1 հավասարման բոլոր արմատները, մենք կփնտրենք արմատները էքսպոնենցիալ տեսքով:
Եկեք փոխարինենք հավասարման մեջ՝ r 3 e 3iφ = 1 կամ r 3 e 3iφ = e 0 :
Հետևաբար՝ r = 1, 3φ = 0 + 2πk, հետևաբար φ = 2πk/3:
Տարբեր արմատներ են ստացվում φ = 0, 2π/3, 4π/3:
Հետևաբար 1, e i2π/3, e i4π/3 արմատներ են։
Կամ հանրահաշվական ձևով.

Խնդիրների վերջին տեսակը ներառում է խնդիրների հսկայական բազմազանություն, և դրանց լուծման ընդհանուր մեթոդներ չկան: Եկեք նման առաջադրանքի պարզ օրինակ բերենք.

Գտեք գումարը sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Թեև այս խնդրի ձևակերպումը չի ներառում բարդ թվեր, սակայն դրանց օգնությամբ այն կարելի է հեշտությամբ լուծել։ Այն լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ ներկայացումները.


Եթե ​​մենք այժմ փոխարինենք այս ներկայացումը գումարով, ապա խնդիրը կնվազի սովորական երկրաչափական առաջընթացի գումարման վրա:

Եզրակացություն

Կոմպլեքս թվերը լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայի մեջ, այս վերանայման հոդվածը ուսումնասիրել է բարդ թվերի վերաբերյալ հիմնական գործողությունները, նկարագրել ստանդարտ խնդիրների մի քանի տեսակներ և հակիրճ նկարագրել ընդհանուր մեթոդներդրանց լուծումները, կոմպլեքս թվերի հնարավորությունների առավել մանրամասն ուսումնասիրության համար խորհուրդ է տրվում օգտագործել մասնագիտացված գրականություն։

գրականություն

Արտահայտություններ, հավասարումներ և հավասարումների համակարգեր
կոմպլեքս թվերով

Այսօր դասարանում մենք կվարժենք բարդ թվերի հետ բնորոշ գործողություններ, ինչպես նաև կյուրացնենք այս թվերը պարունակող արտահայտությունների, հավասարումների և հավասարումների համակարգերի լուծման տեխնիկան։ Այս սեմինարը դասի շարունակությունն է, և, հետևաբար, եթե լավ չեք տիրապետում թեմային, ապա խնդրում ենք հետևել վերևի հղմանը: Դե, ավելի պատրաստված ընթերցողների համար առաջարկում եմ անմիջապես տաքանալ.

Օրինակ 1

Պարզեցնել արտահայտությունը , Եթե . Արդյունքը ներկայացրեք եռանկյունաչափական ձևով և գծեք այն բարդ հարթության վրա:

ԼուծումԱյսպիսով, դուք պետք է փոխարինեք կոտորակը «սարսափելի» կոտորակի մեջ, կատարեք պարզեցումներ և փոխարկեք արդյունքը համալիր համարը Վ եռանկյունաչափական ձև . Գումարած նկարչություն:

Ո՞րն է որոշումը պաշտոնականացնելու լավագույն միջոցը: «Բարդ» հետ հանրահաշվական արտահայտությունԱվելի լավ է դա հասկանալ քայլ առ քայլ. Նախ՝ ուշադրությունն ավելի քիչ է շեղվում, և երկրորդ՝ եթե առաջադրանքը չընդունվի, սխալը գտնելը շատ ավելի հեշտ կլինի։

1) Նախ, եկեք պարզեցնենք համարիչը: Եկեք արժեքը փոխարինենք դրա մեջ, բացենք փակագծերը և ամրացնենք սանրվածքը.

...Այո, նման Քվազիմոդոն առաջացել է բարդ թվերից...

Հիշեցնեմ, որ փոխակերպումների ժամանակ օգտագործվում են միանգամայն պարզ բաներ՝ բազմանդամների բազմապատկման կանոնն ու արդեն սովորական դարձած հավասարությունը։ Գլխավորը զգույշ լինելն է և նշանների մեջ չշփոթվելու։

2) Այժմ գալիս է հայտարարը: Եթե, ապա:

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչ անսովոր մեկնաբանության մեջ է այն օգտագործվում քառակուսի գումարի բանաձև . Որպես այլընտրանք, այստեղ կարող եք վերադասավորում կատարել ենթաֆորմուլա Արդյունքները բնականաբար նույնն են լինելու։

3) Եվ վերջապես, ամբողջ արտահայտությունը. Եթե, ապա:

Կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք հայտարարի խոնարհված արտահայտությամբ: Միաժամանակ կիրառման նպատակներով քառակուսի տարբերության բանաձևեր նախ պետք է (և արդեն պարտադիր է!)բացասական իրական մասը դնել 2-րդ տեղում.

Եվ հիմա հիմնական կանոնը.

ՄԵՆՔ ՉԵՆՔ ՇՏԱՊՈՒՄ! Ավելի լավ է անվտանգ խաղալ և լրացուցիչ քայլ անել:
Կոմպլեքս թվերով արտահայտություններում, հավասարումներում և համակարգերում, հանդուգն բանավոր հաշվարկներում ավելի շատ, քան երբևէ!

Վերջնական քայլում լավ կրճատում եղավ, և դա պարզապես հիանալի նշան է:

Նշում Խիստ ասած, այստեղ տեղի ունեցավ կոմպլեքս թվի բաժանումը 50-ի կոմպլեքս թվի վրա (հիշեք, որ): Այս նրբերանգի մասին ես լռել եմ մինչ այժմ, իսկ դրա մասին կխոսենք մի փոքր ուշ։

Մեր ձեռքբերումը նշենք տառով

Ստացված արդյունքը ներկայացնենք եռանկյունաչափական տեսքով։ Ընդհանուր առմամբ, այստեղ դուք կարող եք անել առանց նկարչության, բայց քանի որ դա պահանջվում է, որոշ չափով ավելի ռացիոնալ է դա անել հենց հիմա.

Եկեք հաշվարկենք բարդ թվի մոդուլը.

Եթե ​​նկարում եք 1 միավորի սանդղակով. = 1 սմ (2 նոթատետրի բջիջ), ապա ստացված արժեքը կարելի է հեշտությամբ ստուգել սովորական քանոնի միջոցով։

Եկեք փաստարկ գտնենք. Քանի որ թիվը գտնվում է 2-րդ կոորդինատային եռամսյակում, ապա.

Անկյունը հեշտությամբ կարելի է ստուգել անկյունաչափով։ Սա նկարչության անկասկած առավելությունն է։

Այսպիսով՝ – պահանջվող թիվը եռանկյունաչափական ձևով:

Եկեք ստուգենք.
, ինչը պետք է ստուգվեր։

Հարմար է գտնել սինուսի և կոսինուսի անծանոթ արժեքներ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական աղյուսակ .

Պատասխանել:

Նմանատիպ օրինակ անկախ լուծման համար.

Օրինակ 2

Պարզեցնել արտահայտությունը , Որտեղ. Ստացված թիվը կոմպլեքս հարթության վրա գծի՛ր և գրի՛ր էքսպոնենցիալ տեսքով։

Փորձեք բաց չթողնել ձեռնարկները: Դրանք կարող են պարզ թվալ, բայց առանց մարզումների «ջրափոս մտնելը» ոչ միայն հեշտ է, այլև շատ հեշտ: Հետևաբար, մենք «մեր ձեռքն ենք դնում»:

Հաճախ խնդիրը մեկից ավելի լուծում ունի.

Օրինակ 3

Հաշվիր, եթե,

Լուծումնախ եկեք ուշադրություն դարձնենք սկզբնական պայմանին՝ մի թիվը ներկայացված է հանրահաշվական, իսկ մյուսը՝ եռանկյունաչափական և նույնիսկ աստիճաններով։ Եկեք անմիջապես վերաշարադրենք այն ավելի ծանոթ ձևով. .

Ի՞նչ ձևով պետք է կատարվեն հաշվարկները: Արտահայտությունն ակնհայտորեն ներառում է առաջին բազմապատկում և հետագա բարձրացում մինչև 10-րդ աստիճան Moivre-ի բանաձեւը , որը ձևակերպված է բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևի համար։ Այսպիսով, ավելի տրամաբանական է թվում առաջին համարը փոխարկելը: Եկեք գտնենք դրա մոդուլը և փաստարկը.

Մենք օգտագործում ենք եռանկյունաչափական ձևով բարդ թվերը բազմապատկելու կանոնը.
Եթե, ապա

Կոտորակը ճիշտ դարձնելով՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ կարող ենք «պտտել» 4 պտույտ (ուրախ.):

Երկրորդ լուծում 2-րդ թիվը հանրահաշվական ձևի վերածելն է , բազմապատկումը կատարել հանրահաշվական ձևով, արդյունքը վերածել եռանկյունաչափական ձևի և օգտագործել Moivre-ի բանաձևը։

Ինչպես տեսնում եք, կա մեկ «լրացուցիչ» գործողություն. Ցանկացողները կարող են հետևել որոշմանը և համոզվել, որ արդյունքները նույնն են։

Պայմանը ոչինչ չի ասում վերջնական բարդ թվի ձևի մասին, ուստի.

Պատասխանել:

Բայց «գեղեցկության համար» կամ ըստ պահանջի արդյունքը հեշտ է պատկերացնել հանրահաշվական ձևով.

Ինքնուրույն.

Օրինակ 4

Պարզեցնել արտահայտությունը

Այստեղ մենք պետք է հիշենք գործողություններ աստիճաններով , թեև մեկը օգտակար կանոնԴա ձեռնարկում չկա, ահա այն.

Եվ ևս մեկ կարևոր նշում. օրինակը կարելի է լուծել երկու ոճով. Առաջին տարբերակը աշխատելն է երկութվեր և կոտորակների հետ լավ լինելը: Երկրորդ տարբերակն այն է, որ յուրաքանչյուր թիվը ներկայացվի որպես երկու թվերի գործակից: Եվ ազատվել քառահարկ կառույցից . Ֆորմալ տեսանկյունից, կարևոր չէ, թե ինչպես եք որոշում, բայց կա էական տարբերություն: Խնդրում եմ ուշադիր մտածեք.
բարդ թիվ է;
երկու կոմպլեքս թվերի քանորդն է ( և ), բայց կախված համատեքստից կարող եք նաև սա ասել՝ երկու կոմպլեքս թվերի քանորդ:

Արագ լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Արտահայտությունները լավն են, բայց հավասարումները ավելի լավն են.

Հավասարումներ բարդ գործակիցներով

Ինչո՞վ են դրանք տարբերվում «սովորական» հավասարումներ? Հնարավորություններ =)

Վերոնշյալ մեկնաբանության լույսի ներքո, եկեք սկսենք այս օրինակով.

Օրինակ 5

Լուծե՛ք հավասարումը

Եվ անմիջապես նախաբան «կրունկների վրա տաք». սկզբնական շրջանում աջ մասհավասարումը տեղադրված է որպես երկու կոմպլեքս թվերի գործակից (և 13), և, հետևաբար, վատ ձև կլիներ պայմանը թվով վերագրել (չնայած դա սխալ չի առաջացնի). Այս տարբերությունը, ի դեպ, ավելի հստակ երևում է կոտորակի մեջ. եթե, համեմատաբար ասած, ապա այս արժեքը հիմնականում հասկացվում է որպես. հավասարման «լիարժեք» բարդ արմատը, և ոչ որպես թվի բաժանարար և հատկապես ոչ որպես թվի մաս։

Լուծումսկզբունքորեն կարելի է նաև քայլ առ քայլ դասավորել, բայց ներս այս դեպքումխաղը մոմ չարժե: Սկզբնական խնդիրն է պարզեցնել այն ամենը, ինչը չի պարունակում անհայտ «z»-ը, ինչի արդյունքում հավասարումը վերածվում է ձևի.

Մենք վստահորեն պարզեցնում ենք միջին կոտորակը.

Արդյունքը տեղափոխում ենք աջ կողմ և գտնում տարբերությունը.

Նշում և կրկին ձեր ուշադրությունն եմ հրավիրում իմաստալից կետի վրա՝ այստեղ մենք թվից ոչ թե հանեցինք թիվը, այլ կոտորակները հասցրինք ընդհանուր հայտարարի։ Հարկ է նշել, որ արդեն իսկ լուծման ԱՌԱՋՆՈՐԴԵՑ ՉԻ արգելվում աշխատել թվերի հետ. , սակայն, դիտարկվող օրինակում այս ոճն ավելի վնասակար է, քան օգտակար =)

Համաձայն համամասնության կանոնի՝ մենք արտահայտում ենք «զեթ».

Այժմ դուք կարող եք կրկին բաժանել և բազմապատկել խոնարհվածով, բայց համարիչի և հայտարարի կասկածելիորեն նման թվերը հուշում են հաջորդ քայլը.

Պատասխանել:

Ստուգելու համար եկեք փոխարինենք ստացված արժեքը ձախ կողմ բնօրինակ հավասարումըև մի քանի պարզեցումներ անենք.

– ստացվել է սկզբնական հավասարման աջ կողմը, այդպիսով արմատը ճիշտ է գտնվել:

...Հիմա, հիմա... Ես քեզ համար ավելի հետաքրքիր բան կգտնեմ... ահա դու գնա.

Օրինակ 6

Լուծե՛ք հավասարումը

Այս հավասարումը վերածվում է ձևի, ինչը նշանակում է, որ այն գծային է: Կարծում եմ, ակնարկը պարզ է. գնացե՛ք դրան:

Իհարկե... ինչպես կարող ես ապրել առանց նրա:

Քառակուսային հավասարում բարդ գործակիցներով

Դասին Կոմպլեքս թվեր կեղծիքների համար մենք իմացանք, որ իրական գործակիցներով քառակուսի հավասարումը կարող է ունենալ խոնարհված բարդ արմատներ, որից հետո առաջանում է տրամաբանական հարց՝ իրականում ինչու՞ գործակիցներն իրենք չեն կարող բարդ լինել։ Թույլ տվեք ձեւակերպել ընդհանուր դեպք:

Քառակուսային հավասարում կամայական բարդ գործակիցներով (որոնցից 1-ը կամ 2-ը կամ բոլոր երեքը, մասնավորապես, կարող են վավեր լինել)Այն ունի երկու և միայն երկուբարդ արմատ (հնարավոր է, որից մեկը կամ երկուսն էլ վավեր են). Միեւնույն ժամանակ, արմատները (ինչպես իրական, այնպես էլ ոչ զրոյական երևակայական մասով)կարող է համընկնել (լինել բազմապատիկ):

Բարդ գործակիցներով քառակուսի հավասարումը լուծվում է նույն սխեմայով, ինչ «դպրոցական» հավասարումը , հաշվարկման տեխնիկայի որոշ տարբերություններով.

Օրինակ 7

Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատները

Լուծումերևակայական միավորը առաջին տեղում է, և, սկզբունքորեն, դուք կարող եք ազատվել դրանից (երկու կողմերը բազմապատկելով), սակայն, դրա առանձնակի անհրաժեշտությունը չկա։

Հարմարության համար մենք գրում ենք գործակիցները.

Եկեք չկորցնենք ազատ անդամի «մինուսը». ...Կարող է բոլորի համար պարզ չլինի - Ես կվերագրեմ հավասարումը ստանդարտ ձև :

Եկեք հաշվարկենք դիսկրիմինատորը.

Եվ ահա հիմնական խոչընդոտը.

Դիմում ընդհանուր բանաձեւարմատների արդյունահանում (տե՛ս հոդվածի վերջին պարբերությունը Կոմպլեքս թվեր կեղծիքների համար ) բարդ է լուրջ դժվարություններով, որոնք կապված են արմատական ​​բարդ թվի փաստարկի հետ (դիտեք ինքներդ). Բայց կա ևս մեկ՝ «հանրահաշվական» ճանապարհ։ Արմատը կփնտրենք հետևյալ ձևով.

Եկեք քառակուսի դարձնենք երկու կողմերը.

Երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են, եթե դրանց իրական և երևակայական մասերը հավասար են։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ համակարգը:

Համակարգն ավելի հեշտ է լուծել՝ ընտրելով (Ավելի մանրակրկիտ ձև 2-րդ հավասարումից արտահայտելն է՝ փոխարինել 1-ին, ստանալ և լուծել երկքառակուսի հավասարում) . Ենթադրելով, որ խնդրի հեղինակը հրեշ չէ, առաջ ենք քաշում այն ​​վարկածը, որ և ամբողջ թվեր են։ 1-ին հավասարումից հետևում է, որ «x» մոդուլ ավելի քան «Y»: Բացի այդ, դրական արտադրանքը մեզ ասում է, որ անհայտները նույն նշանի են: Ելնելով վերը նշվածից և կենտրոնանալով 2-րդ հավասարման վրա՝ մենք գրում ենք դրան համապատասխանող բոլոր զույգերը.

Ակնհայտ է, որ համակարգի 1-ին հավասարումը բավարարվում է վերջին երկու զույգերով, այսպիսով.

Միջանկյալ ստուգումը չի խանգարի.

ինչը պետք է ստուգվեր:

Դուք կարող եք ընտրել որպես «աշխատանքային» արմատ ցանկացածիմաստը. Հասկանալի է, որ ավելի լավ է տարբերակն ընդունել առանց «դեմերի».

Արմատները գտնում ենք՝ չմոռանալով, ի դեպ, որ.

Պատասխանել:

Ստուգենք, արդյոք գտնված արմատները բավարարում են հավասարմանը :

1) Փոխարինենք.

իսկական հավասարություն.

2) Փոխարինենք.

իսկական հավասարություն.

Այսպիսով, լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Ելնելով այն խնդրից, որ մենք հենց նոր քննարկեցինք.

Օրինակ 8

Գտե՛ք հավասարման արմատները

Հարկ է նշել, որ քառակուսի արմատը զուտ բարդթվերը կարելի է հեշտությամբ արդյունահանել՝ օգտագործելով ընդհանուր բանաձևը , Որտեղ , ուստի երկու մեթոդներն էլ ցուցադրված են նմուշում: Երկրորդ օգտակար դիտողությունը վերաբերում է նրան, որ հաստատունի արմատի նախնական արդյունահանումը բացարձակապես չի պարզեցնում լուծումը։

Այժմ դուք կարող եք հանգստանալ. այս օրինակում դուք կփախչեք մի փոքր վախից :)

Օրինակ 9

Լուծե՛ք հավասարումը և ստուգե՛ք

Լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:

Հոդվածի վերջին պարբերությունը նվիրված է

բարդ թվերով հավասարումների համակարգ

Եկեք հանգստանանք և... չլարվենք =) Դիտարկենք ամենապարզ դեպքը՝ երկուսի համակարգը գծային հավասարումներերկու անհայտներով.

Օրինակ 10

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը։ Պատասխանը ներկայացրու հանրահաշվական և էքսպոնենցիալ ձևերով, գծագրում պատկերիր արմատները:

Լուծումպայմանն ինքնին հուշում է, որ համակարգն ունի եզակի լուծում, այսինքն՝ պետք է գտնել երկու բավարարող թիվ. յուրաքանչյուրինհամակարգի հավասարումը։

Համակարգն իսկապես կարելի է լուծել «մանկական» ճանապարհով (արտահայտել մի փոփոխականը մյուսի առումով ) , սակայն այն շատ ավելի հարմար է օգտագործել Կրամերի բանաձեւերը . Եկեք հաշվարկենք հիմնական որոշիչհամակարգեր:

, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Կրկնում եմ, որ ավելի լավ է ժամանակ տրամադրել և հնարավորինս մանրամասն գրել քայլերը.

Համարը և հայտարարը բազմապատկում ենք երևակայական միավորով և ստանում 1-ին արմատը.

Նմանապես:

Ստացվում են համապատասխան աջ կողմերը և այլն։

Եկեք նկարենք.

Արմատները ներկայացնենք էքսպոնենցիալ տեսքով։ Դա անելու համար դուք պետք է գտնեք դրանց մոդուլները և փաստարկները.

1) – «երկու»-ի արկտանգենսը հաշվարկվում է «վատ», ուստի թողնում ենք այսպես.