Metode pemerataan analitis terdiri dari membangun persamaan regresi yang mencirikan ketergantungan deret level pada variabel waktu.
Tujuan layanan. Layanan ini akan memungkinkan Anda untuk melakukan penyelarasan analitik deret yt langsung di situs web dalam mode online, memeriksa keberadaan heteroskedastisitas dan autokorelasi residu menggunakan uji Durbin-Watson (lihat contoh penyelarasan garis lurus analitis).
instruksi. Tentukan jumlah data (jumlah baris), klik Next. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word.
Untuk membawa ketergantungan nonlinier ke penggunaan linier metode penyelarasan(linierisasi).
| kamu = f(x) | Konversi | Metode linearisasi |
| kamu = bxa | Y = log(y); X = catatan(x) | Logaritma |
| y = menjadi kapak | Y = log(y); x = x | Gabungan |
| y = 1/(kapak+b) | Y = 1/tahun; x = x | Mengganti variabel |
| y = x/(kapak+b) | kamu = x/kamu; x = x | Mengganti variabel. Contoh |
| y = aln(x)+b | kamu = kamu; X = catatan(x) | Gabungan |
| kamu = a + bx + cx 2 | x 1 = x; x 2 = x 2 | Mengganti variabel |
| kamu = a + bx + cx 2 + dx 3 | x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3 | Mengganti variabel |
| kamu = a + b/x | x 1 = 1/x | Mengganti variabel |
| y = a + kuadrat(x)b | x 1 = kuadrat(x) | Mengganti variabel |
DI DALAM kasus umum untuk penyelarasan analitis metode ini digunakan kuadrat terkecil:
Tugas khas. Lakukan penyelarasan analitis dan ekspresikan tren umum perkembangan omzet ritel suatu rumah dagang dengan persamaan analitis yang sesuai. Hitung tingkat analitis (bertingkat) dari deret waktu dan plotkan pada grafik bersama dengan data aktual.
Contoh. Untuk SD ada data commissioning bangunan tempat tinggal dan asrama ribuan m 2. Untuk menganalisis dinamika tingkat commissioning bangunan tempat tinggal dan asrama, hitung:
- pertumbuhan absolut, tingkat pertumbuhan dan tingkat pertumbuhan pada tahun dan pada tahun 1998, kandungan absolut dari satu persen pertumbuhan. Sajikan indikator yang diperoleh dalam bentuk tabel;
- indikator tahunan rata-rata - nilai tingkat seri; tingkat pertumbuhan absolut dari pertumbuhan dan peningkatan. Menarik kesimpulan.
Larutan. Yang paling sederhana model matematika mewakili persamaan linier tren bentuk y = bt + a. Untuk mencari parameter model ini, kami menggunakan metode kuadrat terkecil. Sistem persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| T | kamu | t 2 | kamu 2 | t kamu |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759,66
45a 0 + 285a 1 = 15445,64
Sistem persamaan ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara
Salah satu cara paling umum untuk memodelkan deret waktu adalah dengan membangun tren atau fungsi analitis yang mencirikan ketergantungan tingkat deret tersebut terhadap waktu. Metode ini disebut penyelarasan deret waktu analitis. Fungsi berikut dapat digunakan untuk penyelarasan analitis: · linier · hiperbolik ; · eksponensial · polinomial pangkat orde kedua dan lebih tinggi  Parameter dari masing-masing tren di atas dapat ditentukan dengan OLS biasa, menggunakan waktu sebagai variabel independen, dan level aktual dari deret waktu yt sebagai variabel dependen. Untuk tren nonlinier, lakukan terlebih dahulu prosedur standar linearisasi mereka. Ada beberapa cara untuk menentukan jenis tren. Yang paling umum termasuk analisis kualitatif dari proses yang diteliti, konstruksi dan analisis visual grafik ketergantungan tingkat deret terhadap waktu, perhitungan beberapa indikator dasar dinamika, dan koefisien autokorelasi tingkat deret. Jenis tren dapat ditentukan dengan membandingkan koefisien autokorelasi orde pertama yang dihitung dari tingkat awal dan tingkat transformasi deret tersebut. Jika suatu deret waktu memiliki tren linier, maka tingkat-tingkat di sekitarnya berkorelasi erat. Dalam hal ini, koefisien autokorelasi orde pertama dari level deret aslinya harus tinggi. Jika deret waktu mengandung tren nonlinier, misalnya dalam bentuk eksponensial, maka koefisien autokorelasi orde pertama berdasarkan logaritma level deret aslinya akan lebih tinggi daripada koefisien terkait yang dihitung dari level deret waktu. seri. Semakin jelas tren nonlinier dalam deret waktu yang dipelajari, semakin besar perbedaan nilai koefisien yang ditunjukkan. |
Verifikasi
| Pemilihan persamaan terbaik jika deret tersebut mengandung tren nonlinier dapat dilakukan dengan menyebutkan bentuk-bentuk utama tren tersebut, menghitung koefisien determinasi yang disesuaikan untuk setiap persamaan. R 2, signifikansinya dinilai dengan menggunakan kriteria Fisher, dan pilihan persamaan tren dengan nilai maksimum koefisien determinasi yang disesuaikan. Penerapan metode ini relatif sederhana dalam pengolahan data komputer. Di hadapan implisit tren nonlinier metode yang dijelaskan di atas untuk memilih persamaan tren terbaik harus dilengkapi dengan analisis kualitatif terhadap dinamika indikator yang dipelajari untuk menghindari kesalahan spesifikasi saat memilih jenis tren. Analisis kualitatif melibatkan eksplorasi masalah kemungkinan ketersediaan dalam rangkaian waktu yang dipelajari mengenai titik balik dan perubahan laju pertumbuhan, dimulai dari titik (periode) waktu tertentu di bawah pengaruh beberapa faktor. Jika persamaan tren dipilih secara salah untuk nilai sampel yang besar (kesalahan spesifikasi), maka hasil analisis dan peramalan dinamika deret waktu dengan menggunakan persamaan yang dipilih tidak akan dapat diandalkan. |
Karena nilai tertinggi Jika koefisien determinasi sebesar 0,98 memiliki persamaan yang didefinisikan dengan polinomial kubik, maka persamaan tersebut dapat digunakan sebagai model (Gambar 16). Namun nilai koefisien determinasi tren linier adalah 0,96 yang juga memberikan hak untuk digunakan dalam peramalan. Biasanya, saat meramalkan, preferensi diberikan pada tren linier jika kualitasnya sedikit lebih rendah daripada tren nonlinier.
|
|
Gambar 16 – Pemilihan garis tren
Peramalan
Dengan menggunakan garis tren (polinomial kubik), output produksi diperkirakan sebesar 44.208 unit pada tahun 2011. Perkiraan keluaran produksi menurut tren linier adalah 38.214,5 unit. Perhatikan bahwa polinomial lebih menggambarkan sampel yang tersedia, namun nilai prediksi meningkat tajam dibandingkan dengan nilai observasi. Perkiraan yang didasarkan pada tren linier lebih dapat diandalkan.
Pertanyaan untuk pengendalian diri
1. Apa definisi model deret waktu?
2. Apa saja komponen utama deret waktu yang diketahui?
3. Apa tujuan utama penelitian deret waktu?
4. Bagaimana cara menggunakan fungsi autokorelasi saat menganalisis struktur deret waktu?
5. Bagaimana cara menghitung koefisien autokorelasi orde kelima?
6. Bagaimana cara membuat korelogram?
7. Apa itu bentuk umum model deret waktu perkalian dan aditif?
8. Apa tujuan menganalisis struktur fluktuasi musiman dalam suatu deret waktu?
9. Uji apa yang digunakan untuk menguji hipotesis tentang stabilitas struktural suatu deret waktu?
10. Dalam kasus apa stabilitas struktural suatu deret waktu dilanggar?
11. Apa yang dimaksud dengan penyelarasan analitis deret waktu?
12. Model apa yang paling umum digunakan untuk penyelarasan analitis deret waktu?
13. Apa yang dimaksud dengan linierisasi transformasi? Bagaimana cara penggunaannya di MNC?
14. Bagaimana kualitas model yang dibangun dinilai?
15. Bagaimana ramalan titik dibuat dengan menggunakan model deret waktu?
Tugas individu
Dinamika output produk suatu perusahaan tertentu ditandai dengan data yang disajikan pada Tabel 25 (di setiap opsi
angka 120× harus ditambah dengan volume keluaran k, Di mana k– nomor urut siswa pada jurnal kelompok). Lakukan hal berikut:
· menganalisis struktur deret waktu;
· memeriksa hipotesis tentang kestabilan struktur deret;
· melakukan penyelarasan analitis deret waktu;
· membuat perkiraan untuk tahun 2011;
· menyelesaikan laporan.
Penyelarasan analitis deret waktu adalah konstruksi fungsi analitis, model tren. Untuk tujuan ini mereka menggunakan berbagai jenis fungsi: linier, stepa, parabola, dll.
Parameter tren ditentukan seperti pada kasus ini regresi linier metode kuadrat terkecil, dimana waktu adalah variabel independen, dan tingkat deret waktu adalah variabel dependen. Kriteria seleksi bentuk terbaik Kecenderungan tersebut ditentukan oleh nilai koefisien determinasi terbesar, uji Fisher dan Student.
Mari kita berasumsi bahwa beberapa model teoritis berasumsi ketergantungan linier salah satu karakteristik sistem dari yang lain:
kamu= Y Saya k Saya · X Saya
(Saya- jumlah variabel bebas). Tugasnya adalah sebagai berikut: dengan parameter tetap X dan nilai terukur kamu menghitung vektor parameter k , memenuhi beberapa kriteria optimalitas.
Dalam metode kuadrat terkecil, kriteria ini adalah jumlah minimum simpangan kuadrat dari nilai yang dihitung kamu dari yang diamati (eksperimental):
menit У Saya (kamu s,i - kamu Saya)І.
Untuk mencari nilai minimum suatu fungsi, ekspresi ini harus dibedakan terhadap parameternya dan ditetapkan sama dengan nol (kondisi minimum). Akibatnya, pencarian jumlah kuadrat minimum dikurangi menjadi operasi sederhana dengan matriks.
Jika model teoretis mewakili ketergantungan linier pada satu parameter ( kamu = A + B· X), maka penyelesaiannya dinyatakan dalam bentuk rumus sederhana:
Z = N kamu X Saya saya - (kamu X Saya)І;
A= (Y kamu Saya kamu X Saya saya - kamu kamu Saya X Saya kamu X Saya) / Z; S A І = S kamu saya kamu X Saya І / Z;
B = (N kamu kamu Saya X Saya- kamu kamu Saya kamu X Saya) / Z; S B І = S kamu І N / Z;
S kamu saya = kamu( kamu s,i - kamu Saya)І / ( N - 2)
(kamu s,i- nilai yang dihitung, kamu Saya- nilai yang diukur secara eksperimental)
Saat menghitung kesalahan, diasumsikan bahwa keakuratan nilai x secara signifikan melebihi keakuratan nilai yang diukur kamu, kesalahan pengukurannya mengikuti distribusi normal.
Autokorelasi dalam residu adalah korelasi antara nilai residu pada titik waktu saat ini dan sebelumnya.
Model regresi linier dengan residu homoskedastis dan heteroskedastis, independen dan autokorelasi. Seperti yang dapat kita lihat di atas, hal utama adalah “membersihkan” deret waktu dari penyimpangan acak, yaitu. estimasi ekspektasi matematis. Dari sini, model yang lebih kompleks muncul secara alami. Misalnya, varians mungkin bergantung pada waktu. Model seperti ini disebut heteroskedastik, dan model yang tidak bergantung pada waktu disebut homoskedastik. (Lebih tepatnya, istilah-istilah ini tidak hanya merujuk pada variabel “waktu”, tetapi juga variabel lain.) Jika kesalahan sama sekali tidak terkait satu sama lain, fungsi autokorelasi harus merosot - sama dengan 1 jika argumennya adalah sama dan 0 jika tidak sama. Jelas bahwa untuk rangkaian waktu nyata hal ini tidak selalu terjadi. Jika perubahan alami dalam proses pengamatan cukup cepat dibandingkan dengan interval antara pengamatan berturut-turut, maka dimungkinkan untuk memprediksi “peluruhan” autokorelasi dan memperoleh residu yang praktis independen, jika tidak, residu akan terautokorelasi.
Identifikasi model biasanya berarti mengidentifikasi strukturnya dan memperkirakan parameternya. Karena struktur juga merupakan parameter, meskipun bukan parameter numerik, kita membicarakan salah satu parameternya tugas-tugas khas ekonometrika - estimasi parameter.
Masalah estimasi paling mudah diselesaikan untuk model linier (dalam hal parameter) dengan residu independen homoskedastis. Pemulihan ketergantungan dalam deret waktu dapat dilakukan berdasarkan metode kuadrat terkecil dan modulus terkecil; hasil yang terkait dengan memperkirakan kumpulan regresi yang diperlukan ditransfer ke kasus deret waktu; khususnya, mudah diperoleh batasnya distribusi geometris Memperkirakan derajat polinomial trigonometri.
Namun, untuk lebih situasi umum Tidak disarankan melakukan transfer sederhana seperti itu. Pertimbangkan, misalnya, dalam kasus deret waktu dengan residu heteroskedastik dan autokorelasi, Anda dapat menggunakan kembali pendekatan umum metode kuadrat terkecil, tetapi sistem persamaan kuadrat terkecil dan tentu saja penyelesaiannya akan berbeda. Rumusnya akan bervariasi. Sehubungan dengan ini metode ini disebut "kuadrat terkecil umum (GLS)"
Mari kita menganalisis model ekonometrik deret waktu yang menggambarkan pertumbuhan indeks harga konsumen (indeks inflasi). Misalkan I(t) adalah kenaikan harga pada bulan t. Maka, menurut beberapa ekonom, wajar jika berasumsi bahwa:
saya(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
Dimana I(t-1) adalah kenaikan harga pada bulan sebelumnya (dan c adalah koefisien redaman tertentu, yang menunjukkan bahwa jika tidak ada pengaruh eksternal pertumbuhan harga akan berhenti), a adalah sebuah konstanta (sesuai dengan perubahan linier pada nilai I(t) sepanjang waktu), bS(t-4) adalah istilah yang berhubungan dengan pengaruh emisi uang (yaitu, peningkatan dalam volume uang dalam perekonomian negara, dilakukan Bank pusat) sebesar S(t-4) dan sebanding dengan emisi dengan koefisien b, dan pengaruh ini tidak langsung muncul, melainkan setelah 4 bulan; Pada akhirnya, ini adalah kesalahan yang tidak bisa dihindari.
Modelnya, meskipun sederhana, menunjukkan banyak hal sifat karakter model ekonometrik yang jauh lebih kompleks. Pertama, mari kita perhatikan bahwa beberapa variabel didefinisikan (dihitung) dalam model sebagai I(t). Mereka disebut endogen (internal). Lainnya ditetapkan dari luar (ini adalah variabel eksogen). Kadang-kadang, seperti dalam teori manajemen, di antara variabel-variabel eksogen, variabel-variabel yang dikendalikan dibedakan - variabel-variabel yang dengannya seorang manajer dapat membawa sistem ke keadaan yang diinginkannya.
Kedua, jenis variabel baru muncul dalam hubungan - dengan kelambatan, mis. argumen dalam variabel tidak merujuk pada momen saat ini, tetapi pada beberapa momen di masa lalu.
Ketiga, membangun model ekonometrik jenis ini bukanlah suatu operasi rutin. Misalnya, keterlambatan tepat 4 bulan dalam jangka waktu yang terkait dengan pengeluaran uang adalah hasil dari pengolahan statistik awal yang agak rumit.
Implementasi spesifik dari prosedur kuadrat terkecil bergantung pada solusi untuk masalah ini.
Sebaliknya, pada model (1) hanya terdapat 3 parameter yang tidak diketahui, dan pernyataan metode kuadrat terkecil tidak sulit untuk dituliskan:
Selanjutnya, pertimbangkan model jenis ini dengan jumlah yang besar variabel endogen dan eksogen, dengan lag dan kompleks struktur internal. Dengan kata lain, tidak berarti bahwa setidaknya ada satu solusi untuk sistem seperti itu. Hal ini menimbulkan bukan hanya satu, tapi dua masalah. Apakah setidaknya ada satu solusi? Jika ya, bagaimana kita dapat menemukan solusi terbaik? (Ini adalah masalah estimasi parameter statistik.)
Kedua tugas tersebut cukup sulit. Untuk menyelesaikan kedua permasalahan tersebut, banyak metode yang telah dikembangkan, biasanya cukup rumit, hanya sedikit yang mempunyai dasar ilmiah. Secara khusus, sering kali mereka menggunakan perkiraan statistik yang tidak konsisten (sebenarnya, perkiraan tersebut bahkan tidak dapat disebut perkiraan).
Mari kita uraikan secara singkat beberapa teknik umum ketika bekerja dengan sistem persamaan ekonometrik linier.
Sistem persamaan ekonometrik linier simultan. Secara formal murni, semua variabel dapat dinyatakan melalui variabel yang hanya bergantung pada momen waktu saat ini. Misalnya, dalam kasus persamaan di atas, cukup dengan menempatkannya
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
Maka contoh persamaannya akan terlihat seperti ini
saya(t)=cH(t)+a+bG(t)+
Mari kita segera perhatikan kemungkinan penggunaannya model regresi dengan struktur variabel dengan memperkenalkan variabel dummy. Variabel-variabel ini pada beberapa waktu nilai (katakanlah, nilai awal) mengambil nilai yang nyata, dan pada waktu lain nilai tersebut menghilang (menjadi sebenarnya sama dengan 0). Akibatnya, secara formal (secara matematis) model yang sama menggambarkan ketergantungan yang sangat berbeda.
Seperti disebutkan di atas, banyak metode telah diciptakan untuk analisis heuristik sistem persamaan ekonometrik. Metode-metode ini dimaksudkan untuk memecahkan masalah-masalah tertentu yang timbul ketika mencoba mencari solusi numerik terhadap sistem persamaan.
Salah satu permasalahannya adalah adanya pembatasan apriori terhadap parameter estimasi. Misalnya, pendapatan rumah tangga dapat dibelanjakan untuk konsumsi atau tabungan. Oleh karena itu, jumlah bagian kedua jenis pengeluaran ini secara apriori sama dengan 1. Dan dalam sistem persamaan ekonometrik, bagian tersebut dapat ikut serta secara mandiri. Hal ini memunculkan ide untuk memperkirakannya menggunakan metode kuadrat terkecil, terlepas dari batasan apriori, dan kemudian memperbaikinya. Pendekatan ini disebut metode kuadrat terkecil tidak langsung.
Metode kuadrat terkecil dua langkah terdiri dari fakta bahwa dalam metode ini parameter persamaan individual sistem diperkirakan, dan tidak mempertimbangkan sistem secara keseluruhan. Dan juga metode kuadrat terkecil tiga langkah digunakan untuk memperkirakan parameter sistem persamaan simultan secara keseluruhan. Awalnya, metode dua langkah diterapkan pada setiap persamaan dengan tujuan tunggal untuk memperkirakan koefisien dan kesalahan setiap persamaan, dan selanjutnya membuat estimasi untuk matriks kesalahan kovarians. Metode kuadrat terkecil yang digeneralisasi kemudian digunakan untuk memperkirakan koefisien keseluruhan sistem.
Tidak disarankan bagi seorang manajer dan ekonom untuk menjadi ahli di bidang penyusunan dan penyelesaian sistem persamaan ekonometrik, meskipun dengan menggunakan alat khusus. perangkat lunak Namun, ia harus diberitahu tentang kemungkinan bidang ekonometrik ini agar, jika ada kebutuhan produksi, ia dapat dengan terampil merumuskan tugas bagi para ahli ekonometrik.
Dari menilai tren (tren utama) kita beralih ke tugas utama kedua ekonometrik deret waktu - menilai periode (siklus).
Masalah heteroskedastisitas. Pertama, mari kita soroti model stasioner. Mereka berisi fungsi distribusi gabungan F(t 1 , t 2 ,…,t k) untuk sejumlah titik waktu k, dan oleh karena itu semua karakteristik deret waktu di atas tidak berubah seiring waktu. Secara khusus, nilai yang diharapkan dan dispersi adalah nilai konstan, fungsi autokorelasi hanya bergantung pada perbedaan t-s. Deret waktu yang tidak stasioner disebut nonstasioner.
Heteroskedastisitas merupakan sifat asli, bila varians error bergantung pada bilangan observasi. Pada grafik, heteroskedastisitas memanifestasikan dirinya dengan kenaikan atau penurunan nomor seri pengukuran, penyebaran pengukuran di sekitar garis tren meningkat. Hal ini dapat menyebabkan kesalahan yang signifikan dalam memperkirakan koefisien persamaan regresi. Heteroskedastisitas terjadi ketika objek pada umumnya heterogen. Ada beberapa metode koreksi, memecahkan masalah heteroskedastisitas. Yang paling efisien adalah metode kuadrat terkecil tertimbang.
Inti dari metode ini sangat sederhana. Biarkan model aslinya memiliki bentuk
Kemudian, dengan membagi setiap elemen sistem dengan nilai yt kita mendapatkan sistem lain
dimana y t2 = y 2ш, varian tertimbang;
Шt = n, n - jumlah pengukuran.
Jadi, dengan transformasi ini kita menghilangkan heteroskedastisitas.
Selain itu, pengambilan logaritma dari data masukan juga dalam beberapa kasus dapat mengurangi kesalahan dalam menentukan parameter model yang disebabkan oleh heteroskedastisitas.
Salah satu cara paling umum untuk memodelkan tren deret waktu adalah dengan membangun fungsi analitis (tren, atau tren dengan komponen siklis dan/atau musiman), yang mengkarakterisasi ketergantungan tingkat deret tersebut terhadap waktu. Metode ini disebut penyelarasan analitis deret waktu.
Untuk mengatasi masalah ini, Anda harus memilih jenis fungsinya terlebih dahulu. Fungsi yang paling umum digunakan adalah:
linier -
polinomial -
· eksponensial -
· logistik - 
· Gompertz -
Ini adalah tahap penelitian yang sangat penting. Saat memilih fungsi yang sesuai, analisis bermakna (yang dapat menentukan sifat dinamika proses) dan pengamatan visual (berdasarkan representasi grafis dari deret waktu) digunakan. Saat memilih fungsi polinomial, metode selisih berturut-turut dapat diterapkan (terdiri dari menghitung selisih orde pertama, orde kedua 
dll.), dan urutan perbedaannya, yang kira-kira sama, dianggap sebagai derajat polinomial.
Dari kedua fungsi tersebut, preferensi biasanya diberikan kepada fungsi yang jumlah deviasi kuadrat data aktual dari yang dihitung berdasarkan fungsi tersebut lebih kecil. Tetapi prinsip ini tidak dapat dianggap absurd: misalnya, untuk rangkaian titik apa pun, dimungkinkan untuk memilih polinomial derajat ke-yang melewati semua titik dan, karenanya, dengan jumlah minimum - nol - simpangan kuadrat, namun dalam kasus ini, tentu saja, kita tidak boleh membicarakan tentang mengisolasi tren utama, mengingat sifat acak dari titik-titik ini. Oleh karena itu, jika hal-hal lain dianggap sama, preferensi harus diberikan pada fungsi yang lebih sederhana.
Parameter tren utama dapat ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Dalam hal ini, nilai deret waktu dianggap sebagai variabel terikat, dan waktu sebagai variabel penjelas:
dimana gangguan yang memenuhi premis dasar analisis regresi, yaitu. mewakili independen dan terdistribusi secara identik variabel acak, yang distribusinya dianggap normal.
Menurut metode kuadrat terkecil, parameter garis 
ditemukan dari sistem persamaan normal (2.5), yang kita ambil sebagai:
(7.10)
Mengingat nilai-nilai suatu variabel membentuk deret bilangan asli dari 1 sampai , maka penjumlahannya dapat dinyatakan dalam jumlah anggota deret tersebut dengan menggunakan rumus-rumus yang dikenal dalam matematika:
(7.11)
Pada contoh 2 di halaman 79, sistem persamaan normal berbentuk:
,
maka persamaan tren, yaitu. permintaan meningkat setiap tahunnya rata-rata 25,7 unit.
Mari kita periksa signifikansi persamaan tren yang dihasilkan dengan F-kriteria pada tingkat signifikansi 5%, kita menghitung jumlah kuadrat menggunakan rumus (3.40):
a) disebabkan oleh regresi –
b) umum –
c) sisa
Mari kita cari nilai statistiknya:
.
Karena , persamaan trennya signifikan.
Metode lain untuk meratakan (memperhalus) suatu deret waktu, yaitu. menyoroti komponen non-acak adalah metode rata-rata bergerak. Hal ini didasarkan pada transisi dari nilai awal anggota deret ke nilai rata-ratanya selama selang waktu, yang lamanya ditentukan terlebih dahulu. Dalam hal ini, interval waktu yang dipilih itu sendiri “meluncur” sepanjang rangkaian.
Rangkaian rata-rata pergerakan yang dihasilkan berperilaku lebih mulus dibandingkan rangkaian aslinya karena rata-rata deviasi rangkaian.
