ভূমিকা

এলোমেলো ঘটনা কি কোন আইনের অধীন? হ্যাঁ, কিন্তু এই আইনগুলো আমাদের অভ্যস্ত থেকে ভিন্ন শারীরিক আইন. এসভির মানগুলি এমনকি পরিচিত পরীক্ষামূলক অবস্থার মধ্যেও ভবিষ্যদ্বাণী করা যায় না আমরা শুধুমাত্র সম্ভাব্যতাগুলি নির্দেশ করতে পারি যে SV এক বা অন্য মান গ্রহণ করবে। কিন্তু SV-এর সম্ভাব্যতা বণ্টন সম্পর্কে জেনে, আমরা যে ইভেন্টগুলিতে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি অংশগ্রহণ করে সেগুলি সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে পারি। সত্য, এই উপসংহারগুলিও সম্ভাব্য প্রকৃতির হবে।

কিছু SV আলাদা হতে দিন, যেমন শুধুমাত্র নির্দিষ্ট মান Xi নিতে পারে. এই ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতার মানের সিরিজ P(Xi) সকলের জন্য (i=1…n) এই পরিমাণের অনুমোদিত মানকে এর বন্টন আইন বলা হয়।

SV-এর বন্টনের আইন হল একটি সম্পর্ক যা SV-এর সম্ভাব্য মান এবং সম্ভাব্যতার মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করে যার সাথে এই মানগুলি গ্রহণ করা হয়। বন্টন আইন সম্পূর্ণরূপে SV বৈশিষ্ট্য.

নির্মাণের সময় গাণিতিক মডেলচেক করার জন্য পরিসংখ্যানগত অনুমানএসভি (মডেল নির্মাণের প্যারামেট্রিক উপায়) বিতরণের আইন সম্পর্কে একটি গাণিতিক অনুমান চালু করা প্রয়োজন।

গাণিতিক মডেল বর্ণনা করার জন্য ননপ্যারামেট্রিক পদ্ধতির (এসভির একটি প্যারামেট্রিক বন্টন আইন নেই) কম সঠিক, কিন্তু এর ব্যাপক সুযোগ রয়েছে।

ঠিক যেমন একটি র্যান্ডম ইভেন্টের সম্ভাবনার জন্য, SV এর বন্টন আইনের জন্য এটি খুঁজে পাওয়ার জন্য শুধুমাত্র দুটি উপায় আছে। হয় আমরা একটি এলোমেলো ঘটনার একটি ডায়াগ্রাম তৈরি করি এবং সম্ভাব্যতা গণনার জন্য একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি (সূত্র) খুঁজে পাই (সম্ভবত কেউ আমাদের জন্য এটি ইতিমধ্যেই করেছে বা করবে!), অথবা আমাদের একটি পরীক্ষা ব্যবহার করতে হবে এবং ফ্রিকোয়েন্সির উপর ভিত্তি করে পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে, আইন বন্টন সম্পর্কে কিছু অনুমান (প্রকাশিত অনুমান করা) করুন।

অবশ্যই, প্রতিটি "শাস্ত্রীয়" বিতরণের জন্য এই কাজটি দীর্ঘকাল ধরে করা হয়েছে - ব্যাপকভাবে পরিচিত এবং প্রয়োগ করা পরিসংখ্যানে প্রায়শই ব্যবহৃত হয় দ্বিপদ এবং বহুপদী বিতরণ, জ্যামিতিক এবং হাইপারজ্যামিতিক, প্যাসকেল এবং পয়সন বিতরণ এবং আরও অনেকগুলি।

প্রায় সব ক্লাসিক্যাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, বিশেষ পরিসংখ্যান সারণীগুলি অবিলম্বে তৈরি করা হয়েছিল এবং প্রকাশ করা হয়েছিল, গণনার নির্ভুলতা বৃদ্ধির সাথে সাথে পরিমার্জিত হয়েছিল। এই টেবিলের অনেক ভলিউম ব্যবহার ব্যতীত, তাদের ব্যবহারের নিয়ম সম্পর্কে প্রশিক্ষণ ছাড়া, পরিসংখ্যানের ব্যবহারিক ব্যবহার গত দুই শতাব্দী ধরে অসম্ভব।

আজ পরিস্থিতি পরিবর্তিত হয়েছে - সূত্র ব্যবহার করে গণনার ডেটা সংরক্ষণ করার দরকার নেই (পরবর্তীটি যত জটিলই হোক না কেন!), অনুশীলনের জন্য বিতরণ আইনটি ব্যবহার করার সময় মিনিট বা এমনকি সেকেন্ডে হ্রাস করা হয়েছে। এই উদ্দেশ্যে ইতিমধ্যেই পর্যাপ্ত সংখ্যক বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশন সফ্টওয়্যার প্যাকেজ রয়েছে৷

সমস্ত সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে, এমন কিছু রয়েছে যা বিশেষত প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। এই বিতরণগুলি বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সুপরিচিত। এই বিতরণগুলির মধ্যে অনেকগুলি জ্ঞানের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রগুলির অন্তর্গত, যেমন তত্ত্ব সারিবদ্ধ, নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্ব, মান নিয়ন্ত্রণ, খেলা তত্ত্ব, ইত্যাদি।

তাদের মধ্যে, কেউ সাহায্য করতে পারে না কিন্তু পয়সন (1781-1840) এর কাজগুলিতে মনোযোগ দিতে পারে, যিনি জ্যাকব বার্নৌলির চেয়ে বেশি সংখ্যার আইনের আরও সাধারণ রূপ প্রমাণ করেছিলেন এবং প্রথমবারের মতো শ্যুটিংয়ের সমস্যাগুলিতে সম্ভাব্যতার তত্ত্বটি প্রয়োগ করেছিলেন। . পয়সন নামটি বন্টনের একটি নিয়মের সাথে যুক্ত, যা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

এটি এই বন্টন আইন যা এই নিবন্ধটি উত্সর্গীকৃত। কোর্সের কাজ. এটা সম্পর্কেসরাসরি আইন সম্পর্কে, এর গাণিতিক বৈশিষ্ট্য, বিশেষ বৈশিষ্ট্য, দ্বিপদ বন্টনের সাথে সংযোগ সম্পর্কে। ব্যবহারিক প্রয়োগ সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ বলা হবে এবং অনুশীলন থেকে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হবে।

আমাদের প্রবন্ধের উদ্দেশ্য হল Bernoulli এবং Poisson বিতরণ উপপাদ্যের সারমর্মকে স্পষ্ট করা।

কাজটি হল প্রবন্ধের বিষয়ে সাহিত্য অধ্যয়ন এবং বিশ্লেষণ করা।

1. দ্বিপদী বন্টন (বার্নোলি বন্টন)

দ্বিপদী বন্টন (বার্নোলি বন্টন) - কিছু ঘটনার পুনরাবৃত্তির সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন স্বাধীন পরীক্ষা, যদি প্রতিটি ট্রায়ালে এই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হয় p (0

SV X কে প্যারামিটার p সহ বার্নোলির আইন অনুসারে বিতরণ করা হবে যদি এটি 0 এবং 1 সম্ভাব্যতার সাথে pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x মান নেয়; p+q=1; x=0.1।

দ্বিপদী বন্টন উদ্ভূত হয় যেখানে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়: একই অবস্থার অধীনে সম্পাদিত একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক স্বাধীন পর্যবেক্ষণের (পরীক্ষা) সিরিজে একটি নির্দিষ্ট ঘটনা কতবার ঘটে।

সুবিধার জন্য এবং স্পষ্টতার জন্য, আমরা ধরে নেব যে আমরা p এর মান জানি – সম্ভাব্যতা যে দোকানে প্রবেশকারী একজন দর্শক একজন ক্রেতা হয়ে উঠবে এবং (1– p) = q – সম্ভাব্যতা যে কোনও দর্শক দোকানে প্রবেশ করবে না। একজন ক্রেতা

যদি X হল n দর্শকের মোট সংখ্যার মধ্যে ক্রেতার সংখ্যা, তাহলে n দর্শকদের মধ্যে k ক্রেতা থাকার সম্ভাবনা সমান

P(X= k) = , যেখানে k=0,1,…n 1)

সূত্র (1) কে বার্নউলির সূত্র বলা হয়। বিপুল সংখ্যক পরীক্ষার মাধ্যমে, দ্বিপদী বন্টন স্বাভাবিক হতে থাকে।

একটি Bernoulli পরীক্ষা হল দুটি ফলাফল সহ একটি সম্ভাব্যতা পরীক্ষা, যাকে সাধারণত বলা হয় "সফলতা" (সাধারণত 1 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়) এবং "ব্যর্থতা" (যথাক্রমে 0 দ্বারা চিহ্নিত)। সাফল্যের সম্ভাবনা সাধারণত p অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ব্যর্থতা - অক্ষর q দ্বারা; অবশ্যই q=1-p. মান p কে বার্নোলি টেস্ট প্যারামিটার বলা হয়।

দ্বিপদী, জ্যামিতিক, প্যাসকেল এবং নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি স্বাধীন বার্নোলি ট্রায়ালের একটি ক্রম থেকে প্রাপ্ত করা হয় যদি ক্রমটি এক বা অন্যভাবে শেষ করা হয়, উদাহরণস্বরূপ nth ট্রায়াল বা xth সাফল্যের পরে। নিম্নলিখিত পরিভাষা সাধারণত ব্যবহৃত হয়:

- Bernoulli পরীক্ষার পরামিতি (একক পরীক্ষায় সাফল্যের সম্ভাবনা);

- পরীক্ষার সংখ্যা;

- সাফল্যের সংখ্যা;

- ব্যর্থতার সংখ্যা।

দ্বিপদ র্যান্ডম ভেরিয়েবল (m|n,p) – n ট্রায়ালে m সাফল্যের সংখ্যা।

জ্যামিতিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল G(m|p) – প্রথম সাফল্য (প্রথম সাফল্য সহ) পর্যন্ত ট্রায়ালের সংখ্যা m৷

প্যাসকেল র্যান্ডম ভেরিয়েবল C(m|x,p) – x-তম সাফল্য পর্যন্ত ট্রায়ালের সংখ্যা m (অবশ্যই, x-তম সাফল্য নিজেই অন্তর্ভুক্ত নয়)।

নেতিবাচক দ্বিপদী র্যান্ডম পরিবর্তনশীল Y(m|x,p) – x-তম সাফল্যের আগে ব্যর্থতার সংখ্যা m (এক্স-তম সাফল্য অন্তর্ভুক্ত নয়)।

দ্রষ্টব্য: কখনও কখনও ঋণাত্মক দ্বিপদ বন্টনকে প্যাসকেল বন্টন বলা হয় এবং এর বিপরীতে।

বিষ বিতরণ

2.1। পয়সনের আইনের সংজ্ঞা

অনেক ব্যবহারিক সমস্যায় একজনকে একটি অদ্ভুত আইন অনুসারে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে মোকাবিলা করতে হয়, যাকে বলা হয় পয়সনের আইন।

আসুন একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো চলক X বিবেচনা করি, যা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা, অ-নেতিবাচক মান নিতে পারে: 0, 1, 2, ... , m, ... ; তদুপরি, এই মানগুলির ক্রম তাত্ত্বিকভাবে সীমাহীন। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল Xকে পয়সনের আইন অনুসারে বন্টন করা হবে যদি এটি একটি নির্দিষ্ট মান m নেবে এমন সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

যেখানে a হল কিছু ধনাত্মক রাশি যাকে Poisson’s Law প্যারামিটার বলা হয়।

বিতরণ পরিসীমা এলোমেলো পরিবর্তনশীল X, পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে, এইরকম দেখাচ্ছে:

xm				…	মি	…
পিএম	e-ক			…		…

2.2.পয়সন বিতরণের প্রধান বৈশিষ্ট্য

প্রথমে, আসুন নিশ্চিত করি যে সম্ভাব্যতার ক্রমটি একটি বিতরণ সিরিজ হতে পারে, যেমন যে সমস্ত সম্ভাব্যতার যোগফল Рm একের সমান।

আমরা ম্যাকলরিন সিরিজে ফাংশন এক্সের সম্প্রসারণ ব্যবহার করি:

এটা জানা যায় যে এই সিরিজটি x এর যেকোনো মানের জন্য একত্রিত হয়, তাই x = a নিলে আমরা পাই

তাই

আসুন প্রধান বৈশিষ্ট্য সংজ্ঞায়িত করা যাক - গাণিতিক প্রত্যাশাএবং ভ্যারিয়েন্স - একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X পয়সনের নিয়ম অনুযায়ী বিতরণ করা হয়েছে। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল এর সমস্ত সম্ভাব্য মান এবং তাদের সম্ভাব্যতার পণ্যগুলির সমষ্টি। সংজ্ঞা অনুসারে, যখন একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি গণনাযোগ্য মানের সেট নেয়:

যোগফলের প্রথম পদ (m=0 এর সাথে সম্পর্কিত) শূন্যের সমান, তাই, যোগফল m=1 দিয়ে শুরু হতে পারে:

এইভাবে, প্যারামিটারটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর গাণিতিক প্রত্যাশা ছাড়া আর কিছুই নয়।

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর প্রকরণ হল তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো চলকের বর্গ বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা:

যাইহোক, সূত্র ব্যবহার করে এটি গণনা করা আরও সুবিধাজনক:

অতএব, আসুন প্রথমে দ্বিতীয়টি খুঁজে বের করি শুরুর মুহূর্ত X মান:

পূর্বে প্রমাণিত অনুযায়ী

এছাড়া,

2.3.পয়সন বিতরণের অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য

I. একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X-এর ক্রম k-এর প্রাথমিক মুহূর্ত হল Xk মানের গাণিতিক প্রত্যাশা:

বিশেষ করে, প্রথম অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্তটি গাণিতিক প্রত্যাশার সমান:

২. একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর ক্রম k-এর কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল k মানের গাণিতিক প্রত্যাশা:

বিশেষ করে, 1ম ক্রম কেন্দ্রীয় মুহূর্ত হল 0:

μ1=M=0,

২য় ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি বিচ্ছুরণের সমান:

μ2=M2=a.

III. পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর জন্য, আমরা সম্ভাব্যতা খুঁজে পাই যে এটি প্রদত্ত k-এর চেয়ে কম নয়। আমরা এই সম্ভাবনাটিকে Rk দ্বারা চিহ্নিত করি:

স্পষ্টতই, সম্ভাব্যতা Rk যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে

যাইহোক, সম্ভাব্যতা থেকে এটি নির্ধারণ করা অনেক সহজ বিপরীত ঘটনা:

বিশেষ করে, X এর মান একটি ধনাত্মক মান নেবে এমন সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, অনেক অনুশীলন সমস্যা একটি পয়সন বিতরণের ফলে। আসুন এই ধরণের সাধারণ সমস্যাগুলির মধ্যে একটি বিবেচনা করি।

চিত্র 2

x-অক্ষ অক্সে বিন্দুগুলি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা যাক (চিত্র 2)। আসুন ধরে নিই যে পয়েন্টের র্যান্ডম বন্টন সন্তুষ্ট করে নিম্নলিখিত শর্তাবলী:

1) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বিন্দুর একটি সেগমেন্ট l-এ পড়ার সম্ভাবনা শুধুমাত্র এই সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে, কিন্তু অ্যাবসিসা অক্ষের উপর তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে না। অন্য কথায়, পয়েন্টগুলি x-অক্ষে একই গড় ঘনত্বের সাথে বিতরণ করা হয়। আসুন এই ঘনত্বকে বোঝাই, অর্থাৎ প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যের বিন্দুর সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা, λ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

2) বিন্দুগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে x-অক্ষে বিতরণ করা হয়, যেমন একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পয়েন্ট একটি প্রদত্ত সেগমেন্টে পড়ার সম্ভাবনা নির্ভর করে না তাদের কতগুলি অন্য কোন সেগমেন্টে পড়ে যা এটির সাথে ওভারল্যাপ করে না।

3) দুই বা ততোধিক বিন্দুর একটি ছোট এলাকায় Δx পড়ার সম্ভাবনা এক বিন্দু পতনের সম্ভাবনার তুলনায় নগণ্য (এই অবস্থার অর্থ হল দুই বা ততোধিক বিন্দু মিলে যাওয়ার বাস্তবিক অসম্ভবতা)।

আসুন আমরা অ্যাবসিসা অক্ষের উপর l দৈর্ঘ্যের একটি নির্দিষ্ট সেগমেন্ট নির্বাচন করি এবং একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম চলক X বিবেচনা করি - এই অংশে পতিত বিন্দুর সংখ্যা। সম্ভাব্য মানমানগুলি হবে 0,1,2,...,m,... যেহেতু পয়েন্টগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে সেগমেন্টে পড়ে, তাই তাত্ত্বিকভাবে সম্ভব যে সেখানে তাদের যতগুলি ইচ্ছা ততগুলি থাকবে, যেমন এই সিরিজঅনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে থাকে।

আসুন প্রমাণ করি যে এলোমেলো চলক X পয়সনের সূত্র অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে। এটি করার জন্য, আপনাকে Pm সম্ভাব্যতা গণনা করতে হবে যে ঠিক m পয়েন্ট সেগমেন্টে পড়বে।

প্রথমে আরো সমাধান করা যাক সহজ কাজ. আসুন আমরা অক্স অক্ষের একটি ছোট ক্ষেত্র Δx বিবেচনা করি এবং সম্ভাব্যতা গণনা করি যে এই ক্ষেত্রে অন্তত একটি বিন্দু পড়বে। আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে যুক্তি হবে. এই বিভাগে পতিত পয়েন্টের সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা স্পষ্টতই λ·Δх (যেহেতু প্রতি ইউনিট দৈর্ঘ্যে λ পয়েন্ট পড়ে) এর সমান। শর্ত 3 অনুসারে, একটি ছোট সেগমেন্ট Δx এর জন্য আমরা এটিতে দুই বা ততোধিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনাকে উপেক্ষা করতে পারি। অতএব, গাণিতিক প্রত্যাশা λ·Δх ক্ষেত্রফলের উপর পতিত বিন্দুর সংখ্যা Δх এর উপর একটি বিন্দু পড়ার সম্ভাবনার প্রায় সমান হবে (অথবা, যা এই অবস্থায় সমতুল্য, অন্তত একটি)।

এইভাবে, অসীম পর্যন্ত উচ্চ ক্রম, Δх→0 এর জন্য আমরা সম্ভাব্যতা বিবেচনা করতে পারি যে একটি (অন্তত একটি) বিন্দু Δх অংশে পড়বে λ·Δх এর সমান, এবং সম্ভাব্যতা যে কোনোটি 1-c·Δх এর সমান পড়বে না।

l সেগমেন্টে ঠিক m বিন্দুর সম্ভাব্যতা Pm গণনা করার জন্য এটি ব্যবহার করা যাক। l সেগমেন্টটিকে দৈর্ঘ্যের সমান অংশে ভাগ করা যাক আমরা প্রাথমিক সেগমেন্টকে Δx "খালি" বলতে সম্মত হই যদি এটিতে একটি বিন্দু না থাকে, এবং যদি অন্তত একটি হয় তাহলে "অধিকৃত"। উপরের মতে, Δх সেগমেন্টটি "অধিকৃত" হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় λ·Δх= ; এটি "খালি" হওয়ার সম্ভাবনা 1-। যেহেতু, শর্ত 2 অনুযায়ী, নন-ওভারল্যাপিং সেগমেন্টে পড়ে থাকা পয়েন্টগুলি স্বাধীন, তাহলে আমাদের n সেগমেন্টগুলিকে n স্বাধীন "পরীক্ষা" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যার প্রতিটিতে সেগমেন্টটি সম্ভাব্যতা p= সহ "দখল" হতে পারে। আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে n অংশগুলির মধ্যে ঠিক m "অধিকৃত" থাকবে। বারবার স্বাধীন পরীক্ষার উপপাদ্য অনুসারে, এই সম্ভাবনা সমান

,

অথবা λl=a বোঝাই:

.

যথেষ্ট বড় n-এর জন্য, এই সম্ভাবনাটি l সেগমেন্টে ঠিক m বিন্দু পড়ার সম্ভাবনার প্রায় সমান, যেহেতু Δx অংশে দুই বা ততোধিক বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা নগণ্য। খোঁজার জন্য সঠিক মানРm, আপনাকে n→∞ হিসাবে সীমাতে যেতে হবে:

সেই বিবেচনায়

,

আমরা দেখতে পাই যে কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

যেখানে a=λl, i.e. X-এর মান পয়সনের সূত্র অনুসারে a=λl প্যারামিটারের সাথে বিতরণ করা হয়।

এটি লক্ষ করা উচিত যে মান a মানে প্রতি সেগমেন্ট l পয়েন্টের গড় সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে। R1 এর মান (সম্ভাব্যতা যে X এর মান একটি ধনাত্মক মান নেবে) এই ক্ষেত্রে l অংশে অন্তত একটি বিন্দু পড়ার সম্ভাবনা প্রকাশ করে: R1=1-e-a।

এইভাবে, আমরা নিশ্চিত যে পয়সন বণ্টন ঘটে যেখানে কিছু বিন্দু (বা অন্যান্য উপাদান) একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে একটি এলোমেলো অবস্থান দখল করে, এবং এই বিন্দুগুলির সংখ্যা কিছু এলাকায় পড়ে গণনা করা হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, এই ধরনের একটি ক্ষেত্র ছিল অবসিসা অক্ষের l সেগমেন্ট। যাইহোক, এই উপসংহারটি সহজেই সমতলে (বিন্দুর এলোমেলো সমতল ক্ষেত্র) এবং মহাকাশে (বিন্দুর এলোমেলো স্থানিক ক্ষেত্র) বিন্দুর বিতরণের ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে। শর্ত পূরণ হলে প্রমাণ করা কঠিন নয়:

1) পয়েন্টগুলি গড় ঘনত্ব λ সহ ক্ষেত্রে পরিসংখ্যানগতভাবে সমানভাবে বিতরণ করা হয়;

2) পয়েন্টগুলি অ-ওভারল্যাপিং অঞ্চলে স্বাধীনভাবে পড়ে;

3) বিন্দু এককভাবে প্রদর্শিত হয়, এবং জোড়ায় নয়, ত্রিপল, ইত্যাদি,

তারপর যেকোন অঞ্চল D (সমতল বা স্থানিক) তে পড়ে X বিন্দুর সংখ্যা পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়:

,

যেখানে a হল বিন্দুর গড় সংখ্যা D এরিয়াতে পড়ে।

একটি সমতল ক্ষেত্রে a=SD λ, যেখানে SD হল D অঞ্চলের ক্ষেত্রফল,

স্থানিক a= VD λ, যেখানে VD হল D অঞ্চলের আয়তন।

একটি অংশ বা অঞ্চলে পতিত বিন্দুর সংখ্যার একটি পয়সন বণ্টনের জন্য, ধ্রুবক ঘনত্বের অবস্থা (λ=const) গুরুত্বহীন। যদি অন্য দুটি শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে পয়সনের সূত্র এখনও ধারণ করে, শুধুমাত্র প্যারামিটার a এর মধ্যে একটি ভিন্ন অভিব্যক্তি গ্রহণ করে: এটি কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল বা আয়তন দ্বারা ঘনত্ব λ গুণ করে নয়, পরিবর্তনশীল ঘনত্বকে একীভূত করে প্রাপ্ত হয়। সেগমেন্ট, এলাকা বা আয়তনের উপরে।

পয়সন বিতরণ নাটক গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকাপদার্থবিদ্যা, যোগাযোগ তত্ত্ব, নির্ভরযোগ্যতা তত্ত্ব, সারিবদ্ধ তত্ত্ব, ইত্যাদি বিষয়গুলির একটি সংখ্যায় যে কোনও জায়গায় যেখানে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে ঘটনাগুলির একটি এলোমেলো সংখ্যা (তেজস্ক্রিয় ক্ষয়, টেলিফোন কল, সরঞ্জামের ব্যর্থতা, দুর্ঘটনা, ইত্যাদি) ঘটতে পারে।

আসুন সবচেয়ে সাধারণ পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক যেখানে পয়সন বিতরণ উদ্ভূত হয়। কিছু ঘটনা (একটি দোকানে কেনাকাটা) এলোমেলো সময়ে ঘটতে দিন। 0 থেকে T পর্যন্ত সময়ের ব্যবধানে এই ধরনের ঘটনার সংঘটনের সংখ্যা নির্ধারণ করা যাক।

0 থেকে T সময়ের মধ্যে ঘটে যাওয়া ইভেন্টের র্যান্ডম সংখ্যা l=aT প্যারামিটার সহ পয়সনের আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়, যেখানে a>0 হল একটি সমস্যা প্যারামিটার যা ইভেন্টের গড় ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিফলিত করে। একটি বড় সময়ের ব্যবধানে k কেনাকাটার সম্ভাবনা (উদাহরণস্বরূপ, একটি দিন) হবে৷

উপসংহার

উপসংহারে, আমি লক্ষ্য করতে চাই যে পয়সন বিতরণ একটি মোটামুটি সাধারণ এবং গুরুত্বপূর্ণ বন্টন, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগ উভয় ক্ষেত্রেই এর প্রয়োগ রয়েছে এবং গাণিতিক পরিসংখ্যান.

অনেক ব্যবহারিক সমস্যা শেষ পর্যন্ত পয়সন বিতরণে নেমে আসে। এর বিশেষ সম্পত্তি, যা গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের সমতা নিয়ে গঠিত, প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহার করা হয় পয়সনের আইন অনুসারে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বন্টন করা হয়েছে কিনা এই প্রশ্নের সমাধান করতে।

এছাড়াও গুরুত্বপূর্ণ এই সত্য যে পয়সনের আইন একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতাগুলিকে বারবার স্বাধীন ট্রায়ালে পরীক্ষা করার বিপুল সংখ্যক পুনরাবৃত্তি এবং একটি ছোট একক সম্ভাবনা খুঁজে পেতে দেয়।

যাইহোক, বার্নোলি বন্টন অর্থনৈতিক গণনার অনুশীলনে এবং বিশেষত, স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণে, খুব কমই ব্যবহৃত হয়। এটি গণনাগত অসুবিধা এবং বার্নোলি বিতরণের জন্য উভয় কারণেই হয়েছে বিযুক্ত পরিমাণ, এবং এই সত্যের সাথে যে শাস্ত্রীয় স্কিমের শর্তগুলি (স্বাধীনতা, পরীক্ষার গণনাযোগ্য সংখ্যা, একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে এমন পরিস্থিতির পরিবর্তন) ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে সর্বদা পূরণ হয় না। 18-19 শতকে বার্নৌলি স্কিমের বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে আরও গবেষণা। Laplace, Moivre, Poisson এবং অন্যান্যদের লক্ষ্য ছিল অসীমতার দিকে ঝোঁক বেশি সংখ্যক পরীক্ষার ক্ষেত্রে বার্নোলি স্কিম ব্যবহার করার সম্ভাবনা তৈরি করা।

সাহিত্য

1. ভেনজেল ​​ই.এস. সম্ভাবনা তত্ত্ব। - এম, "হায়ার স্কুল" 1998

2. Gmurman V.E. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গাণিতিক পরিসংখ্যানে সমস্যা সমাধানের জন্য একটি নির্দেশিকা। - এম, "হায়ার স্কুল" 1998

3. কলেজের জন্য গণিতের সমস্যা সংগ্রহ। এড. এফিমোভা এ.ভি. - এম, বিজ্ঞান 1990

আসুন Poisson বিতরণ বিবেচনা করুন, এর গাণিতিক প্রত্যাশা, প্রকরণ এবং মোড গণনা করুন। MS EXCEL ফাংশন POISSON.DIST(), ব্যবহার করে আমরা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এবং সম্ভাব্যতার ঘনত্বের গ্রাফ তৈরি করব। আসুন ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটার, এর গাণিতিক প্রত্যাশা এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অনুমান করি।

প্রথমত, আমরা বিতরণের একটি শুষ্ক আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দিই, তারপরে আমরা যখন পরিস্থিতির উদাহরণ দিই বিষ বিতরণ(ইংরেজি) বিষবিতরণ) একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বর্ণনা করার জন্য একটি পর্যাপ্ত মডেল।

যদি একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে (বা বস্তুর একটি নির্দিষ্ট আয়তনে) এলোমেলো ঘটনা ঘটে গড় ফ্রিকোয়েন্সি λ( ল্যাম্বডা), তারপর ইভেন্ট সংখ্যা x, সময় এই সময়ের মধ্যে ঘটেছে হবে বিষ বিতরণ.

পয়সন বিতরণের প্রয়োগ

উদাহরণ যখন বিষ বিতরণএকটি পর্যাপ্ত মডেল:

• একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে টেলিফোন এক্সচেঞ্জে প্রাপ্ত কলের সংখ্যা;
• নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে তেজস্ক্রিয় ক্ষয়প্রাপ্ত কণার সংখ্যা;
• একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের ফ্যাব্রিকের একটি অংশে ত্রুটির সংখ্যা।

বিষ বিতরণনিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হলে একটি পর্যাপ্ত মডেল:

• ঘটনা একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে ঘটে, যেমন পরবর্তী ইভেন্টের সম্ভাবনা আগেরটির উপর নির্ভর করে না;
• গড় ঘটনা হার ধ্রুবক. ফলস্বরূপ, একটি ঘটনার সম্ভাবনা পর্যবেক্ষণ ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক;
• দুটি ঘটনা একই সময়ে ঘটতে পারে না;
• ইভেন্টের সংখ্যা অবশ্যই 0 মান নিতে হবে; 1; 2…

দ্রষ্টব্য: একটি ভাল সংকেত হল যে পর্যবেক্ষিত এলোমেলো পরিবর্তনশীল আছে বিষ বিতরণ,সত্য যে এটি প্রায় সমান (নীচে দেখুন)।

নীচে যেখানে পরিস্থিতি উদাহরণ বিষ বিতরণ পারে নাপ্রয়োগ করা:

• এক ঘন্টার মধ্যে বিশ্ববিদ্যালয় ত্যাগকারী শিক্ষার্থীর সংখ্যা (যেহেতু শিক্ষার্থীদের গড় প্রবাহ স্থির থাকে না: ক্লাস চলাকালীন খুব কম শিক্ষার্থী থাকে এবং ক্লাসের মধ্যে বিরতির সময় শিক্ষার্থীদের সংখ্যা তীব্রভাবে বৃদ্ধি পায়);
• ক্যালিফোর্নিয়ায় প্রতি বছর 5 মাত্রার ভূমিকম্পের সংখ্যা (যেহেতু একটি ভূমিকম্প অনুরূপ প্রশস্ততার আফটারশক সৃষ্টি করতে পারে - ঘটনাগুলি স্বাধীন নয়);
• কত দিন রোগীরা বিভাগে কাটান নিবিড় পরিচর্যা(কারণ নিবিড় পরিচর্যা ইউনিটে রোগীরা যে দিন কাটান তার সংখ্যা সর্বদা 0-এর বেশি)।

দ্রষ্টব্য: বিষ বিতরণআরো সঠিক একটি অনুমান বিচ্ছিন্ন বিতরণ: এবং।

দ্রষ্টব্য: সম্পর্কের কথা বিষ বিতরণএবং দ্বিপদী বন্টননিবন্ধে পড়া যেতে পারে। সম্পর্কের কথা বিষ বিতরণএবং সূচকীয় বিতরণসম্পর্কে নিবন্ধে পড়া যাবে.

MS EXCEL-এ পয়সন বিতরণ

MS EXCEL-এ, সংস্করণ 2010 থেকে শুরু, এর জন্য বিতরণ বিষএকটি ফাংশন আছে POISSON.DIST() , ইংরেজি নাম- POISSON.DIST(), যা আপনাকে নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে কী ঘটবে তার সম্ভাব্যতাই গণনা করতে দেয় না এক্সঘটনা (ফাংশন সম্ভাবনার ঘনত্ব p(x), উপরে সূত্র দেখুন), কিন্তু এছাড়াও (সম্ভাব্য যে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে অন্তত xঘটনা)।

MS EXCEL 2010-এর আগে, EXCEL-এর POISSON() ফাংশন ছিল, যা আপনাকে গণনা করতেও অনুমতি দেয় বিতরণ ফাংশনএবং সম্ভাবনার ঘনত্ব p(x)। POISSON() সামঞ্জস্যের জন্য MS EXCEL 2010 এ রেখে দেওয়া হয়েছে।

উদাহরণ ফাইলে গ্রাফ রয়েছে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বন্টনএবং ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন.

বিষ বিতরণএকটি তির্যক আকৃতি আছে (সম্ভাব্যতা ফাংশনের ডানদিকে একটি লম্বা লেজ), কিন্তু পরামিতি λ বৃদ্ধির সাথে সাথে এটি আরও বেশি প্রতিসম হয়ে ওঠে।

দ্রষ্টব্য: গড়এবং বিচ্ছুরণ(বর্গ) প্যারামিটারের সমান বিষ বিতরণ- λ (দেখুন উদাহরণ শীট ফাইল উদাহরণ).

টাস্ক

সাধারণ আবেদন বিষ বিতরণমান নিয়ন্ত্রণে একটি যন্ত্র বা ডিভাইসে প্রদর্শিত ত্রুটির সংখ্যার একটি মডেল।

উদাহরণস্বরূপ, একটি চিপে λ (ল্যাম্বডা) গড় ত্রুটির সংখ্যা 4 এর সমান, একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত চিপে 2 বা তার কম ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা হল: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

ফাংশনের তৃতীয় প্যারামিটারটি সেট = TRUE, তাই ফাংশনটি ফিরে আসবে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন, অর্থাৎ, সম্ভাব্যতা যে র্যান্ডম ইভেন্টের সংখ্যা 0 থেকে 4 এর মধ্যে থাকবে।

এই ক্ষেত্রে গণনা সূত্র অনুযায়ী করা হয়:

একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত মাইক্রোসার্কিটের ঠিক 2টি ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা হল: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

ফাংশনের তৃতীয় প্যারামিটারটি সেট করা হয়েছে = FALSE, তাই ফাংশনটি সম্ভাব্য ঘনত্ব প্রদান করবে।

একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত মাইক্রোসার্কিটে 2টির বেশি ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা সমান: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535

দ্রষ্টব্য: যদি xএকটি পূর্ণসংখ্যা নয়, তারপর সূত্র গণনা করার সময়। সূত্র =POISSON.DIST( 2 ; 4; মিথ্যা)এবং =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; মিথ্যা)একই ফলাফল ফিরে আসবে।

এলোমেলো সংখ্যা তৈরি এবং λ অনুমান

λ এর মানের জন্য >15 , বিষ বিতরণভাল আনুমানিক স্বাভাবিক বিতরণ নিম্নলিখিত পরামিতি সহ: μ =λ , σ 2 =λ .

এই বিতরণগুলির মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে আরও বিশদ নিবন্ধে পাওয়া যাবে। আনুমানিকতার উদাহরণও রয়েছে এবং কখন এটি সম্ভব এবং কী নির্ভুলতার সাথে ব্যাখ্যা করা হয়েছে তার শর্তাবলী রয়েছে।

উপদেশ: আপনি নিবন্ধে অন্যান্য MS EXCEL বিতরণ সম্পর্কে পড়তে পারেন।

অনেক কার্যত গুরুত্বপূর্ণ অ্যাপ্লিকেশনে, পয়সন বিতরণ একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সাংখ্যিক বিযুক্ত পরিমাণের অনেকগুলি একটি পয়সন প্রক্রিয়ার বাস্তবায়ন, যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

• আমরা একটি নির্দিষ্ট এলাকায় কতবার একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটতে আগ্রহী সম্ভাব্য ফলাফলএলোমেলো পরীক্ষা। সম্ভাব্য ফলাফলের ক্ষেত্রটি একটি সময়ের ব্যবধান, একটি অংশ, একটি পৃষ্ঠ, ইত্যাদি হতে পারে।
• একটি প্রদত্ত ইভেন্টের সম্ভাব্যতা সম্ভাব্য ফলাফলের সমস্ত ক্ষেত্রের জন্য একই।
• সম্ভাব্য ফলাফলের একটি এলাকায় ঘটতে থাকা ইভেন্টের সংখ্যা অন্যান্য এলাকায় ঘটতে থাকা ইভেন্টের সংখ্যা থেকে স্বাধীন।
• সম্ভাব্য ফলাফলের একই এলাকায় একটি প্রদত্ত ঘটনা একাধিকবার ঘটার সম্ভাবনা শূন্য হয়ে যায় কারণ সম্ভাব্য ফলাফলের ক্ষেত্র হ্রাস পায়।

পয়সন প্রক্রিয়ার অর্থ আরও বোঝার জন্য, ধরুন আমরা মধ্যাহ্নভোজের সময় কেন্দ্রীয় ব্যবসায়িক জেলায় অবস্থিত একটি ব্যাঙ্ক শাখায় আসা গ্রাহকের সংখ্যা পরীক্ষা করি, যেমন 12 থেকে 13 টা পর্যন্ত। ধরুন আপনি এক মিনিটের মধ্যে আগত ক্লায়েন্টের সংখ্যা নির্ধারণ করতে চান। এই পরিস্থিতিতে উপরে তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্য আছে? প্রথমত, আমাদের আগ্রহের ঘটনা হল একজন ক্লায়েন্টের আগমন, এবং সম্ভাব্য ফলাফলের পরিসীমা হল এক মিনিটের ব্যবধান। এক মিনিটে কতজন ক্লায়েন্ট ব্যাংকে আসবে - কেউ নয়, এক, দুই বা তার বেশি? দ্বিতীয়ত, এটা ধরে নেওয়া যুক্তিসঙ্গত যে এক মিনিটের মধ্যে গ্রাহকের আসার সম্ভাবনা সব এক মিনিটের ব্যবধানের জন্য একই। তৃতীয়ত, যেকোনো এক মিনিটের ব্যবধানে একজন গ্রাহকের আগমন অন্য কোনো এক মিনিটের ব্যবধানে অন্য কোনো গ্রাহকের আগমনের থেকে স্বতন্ত্র। এবং সবশেষে, ব্যাঙ্কে একাধিক ক্লায়েন্টের আসার সম্ভাবনা শূন্য হয়ে যায় যদি সময়ের ব্যবধান শূন্য হয়, উদাহরণস্বরূপ, 0.1 সেকেন্ডের কম হয়ে যায়। সুতরাং, এক মিনিটের মধ্যে মধ্যাহ্নভোজের সময় ব্যাংকে আসা গ্রাহকের সংখ্যা পয়সন বিতরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে।

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনের একটি প্যারামিটার রয়েছে, যা λ (গ্রীক অক্ষর "ল্যাম্বদা") দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে - সম্ভাব্য ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট পরিসরে সফল পরীক্ষার গড় সংখ্যা। পয়সন বণ্টনের বৈচিত্রও λ, এবং এর মানক বিচ্যুতি হল। সফল ট্রায়ালের সংখ্যা এক্সপয়সন এলোমেলো পরিবর্তনশীল 0 থেকে অসীম পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। পয়সন বন্টন সূত্র দ্বারা বর্ণনা করা হয়:

যেখানে P(X)- সম্ভাবনা এক্সসফল পরীক্ষা, λ - সাফল্যের প্রত্যাশিত সংখ্যা, e- ভিত্তি প্রাকৃতিক লগারিদম, 2.71828 এর সমান, এক্স- সময়ের প্রতি ইউনিট সাফল্যের সংখ্যা।

আমাদের উদাহরণে ফিরে আসা যাক। ধরা যাক যে লাঞ্চ বিরতির সময়, গড়ে প্রতি মিনিটে তিনজন গ্রাহক ব্যাংকে আসেন। একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে দুই গ্রাহকের ব্যাংকে আসার সম্ভাবনা কত? ব্যাংকে দুইজনের বেশি ক্লায়েন্ট আসার সম্ভাবনা কত?

আসুন আমরা λ = 3 প্যারামিটার সহ সূত্র (1) প্রয়োগ করি। তারপর একটি নির্দিষ্ট মিনিটের মধ্যে দুটি ক্লায়েন্ট ব্যাঙ্কে আসার সম্ভাবনা সমান

ব্যাঙ্কে দুই জনের বেশি ক্লায়েন্ট আসার সম্ভাবনা P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) এর সমান। যেহেতু সমস্ত সম্ভাব্যতার যোগফল অবশ্যই 1 এর সমান হতে হবে, সূত্রের ডানদিকে সিরিজের পদগুলি ইভেন্ট X ≤ 2 এর সাথে যোগ হওয়ার সম্ভাবনাকে উপস্থাপন করে। অন্য কথায়, এই সিরিজের যোগফল 1-এর সমান P(X ≤ 2)। এইভাবে, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]। এখন, সূত্র (1) ব্যবহার করে, আমরা পাই:

এইভাবে, এক মিনিটের মধ্যে দুই জনের বেশি ক্লায়েন্ট ব্যাঙ্কে না আসার সম্ভাবনা হল 0.423 (বা 42.3%), এবং দুইটির বেশি ক্লায়েন্ট এক মিনিটের মধ্যে ব্যাঙ্কে আসার সম্ভাবনা হল 0.577 (বা 57.7%)৷

এই ধরনের গণনা ক্লান্তিকর মনে হতে পারে, বিশেষ করে যদি পরামিতি λ যথেষ্ট বড় হয়। জটিল গণনা এড়াতে, বিশেষ টেবিলে (চিত্র 1) অনেক পয়সন সম্ভাব্যতা পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট মিনিটে দুইজন ক্লায়েন্ট ব্যাঙ্কে আসার সম্ভাবনা, যদি গড়ে প্রতি মিনিটে তিনজন ক্লায়েন্ট ব্যাঙ্কে আসে, লাইনের সংযোগস্থলে এক্স= 2 এবং কলাম λ = 3। সুতরাং, এটি 0.2240 বা 22.4% এর সমান।

ভাত। 1. λ = 3 এ বিষের সম্ভাবনা

এখন এটা অসম্ভাব্য যে কেউ টেবিল ব্যবহার করবে যদি তাদের হাতে এক্সেল এর =POISSON.DIST() ফাংশন থাকে (চিত্র 2)। এই ফাংশনের তিনটি পরামিতি রয়েছে: সফল পরীক্ষার সংখ্যা এক্স, সফল পরীক্ষার গড় প্রত্যাশিত সংখ্যা λ, পরামিতি অখণ্ড, দুটি মান গ্রহণ: FALSE - এই ক্ষেত্রে সফল পরীক্ষার সংখ্যার সম্ভাব্যতা গণনা করা হয় এক্স(শুধুমাত্র X), TRUE – এই ক্ষেত্রে 0 থেকে সফল ট্রায়ালের সংখ্যার সম্ভাবনা এক্স.

ভাত। 2. λ = 3 এ পয়সন বিতরণের সম্ভাব্যতার এক্সেলের গণনা

পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে দ্বিপদ বণ্টনের আনুমানিকতা

সংখ্যা হলে nবড় এবং সংখ্যা r- ছোট, পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে দ্বিপদী বন্টন আনুমানিক করা যেতে পারে। কিভাবে বড় সংখ্যা nএবং কম সংখ্যা r, আনুমানিক নির্ভুলতা উচ্চতর। নিম্নলিখিত পয়সন মডেলটি দ্বিপদী বন্টন আনুমানিক করতে ব্যবহৃত হয়।

যেখানে P(X)- সম্ভাবনা এক্সপ্রদত্ত পরামিতি সহ সাফল্য nএবং r, n- নমুনার আকার, r- সাফল্যের প্রকৃত সম্ভাবনা, e- প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, এক্স- নমুনায় সাফল্যের সংখ্যা (X = 0, 1, 2, …, n).

তাত্ত্বিকভাবে, পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল 0 থেকে ∞ পর্যন্ত মান নেয়। যাইহোক, এমন পরিস্থিতিতে যেখানে পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন আনুমানিক দ্বিপদী বন্টন করতে ব্যবহৃত হয়, পয়সন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল সাফল্যের সংখ্যা nপর্যবেক্ষণ - সংখ্যা অতিক্রম করা যাবে না n. সূত্র (2) থেকে এটি ক্রমবর্ধমান সংখ্যার সাথে অনুসরণ করে nএবং সংখ্যা হ্রাস rবিপুল সংখ্যক সাফল্য সনাক্ত করার সম্ভাবনা হ্রাস পায় এবং শূন্যের দিকে ঝোঁক।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, পয়সন বন্টনের প্রত্যাশা µ এবং প্রকরণ σ 2 সমান λ। তাই, পয়সন বণ্টন ব্যবহার করে দ্বিপদী বন্টন আনুমানিক করার সময়, গাণিতিক প্রত্যাশা আনুমানিক করতে সূত্র (3) ব্যবহার করা উচিত।

(3) µ = E(X) = λ =n.p

আদর্শ বিচ্যুতি আনুমানিক করতে, সূত্র (4) ব্যবহার করা হয়।

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে সূত্র (4) ব্যবহার করে গণনা করা মানক বিচ্যুতি প্রবণতা থাকে আদর্শ বিচ্যুতিদ্বিপদী মডেলে - যখন সাফল্যের সম্ভাবনা পিশূন্যের দিকে ঝোঁক, এবং সেই অনুযায়ী, ব্যর্থতার সম্ভাবনা 1 - পিঐক্য ঝোঁক।

আসুন ধরে নিই যে একটি নির্দিষ্ট উদ্ভিদে উত্পাদিত 8% টায়ার ত্রুটিপূর্ণ। আনুমানিক দ্বিপদী বন্টন করার জন্য পয়সন ডিস্ট্রিবিউশনের ব্যবহার ব্যাখ্যা করার জন্য, আসুন 20টি টায়ারের নমুনায় একটি ত্রুটিপূর্ণ টায়ার খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করি। আসুন আমরা সূত্র (2) প্রয়োগ করি, আমরা পাই

যদি আমরা তার আনুমানিকতার পরিবর্তে প্রকৃত দ্বিপদী বন্টন গণনা করি, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পাব:

যাইহোক, এই হিসাবগুলি বেশ ক্লান্তিকর। যাইহোক, যদি আপনি সম্ভাব্যতা গণনা করতে এক্সেল ব্যবহার করেন, তাহলে পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন আনুমানিক ব্যবহার করা অপ্রয়োজনীয় হয়ে যায়। চিত্রে। চিত্র 3 দেখায় যে এক্সেলে গণনার জটিলতা একই। যাইহোক, আমার মতে, এই বিভাগটি বুঝতে উপযোগী যে কিছু শর্তে দ্বিপদী বন্টন এবং পয়সন বন্টন একই ফলাফল দেয়।

ভাত। 3. এক্সেলে গণনার জটিলতার তুলনা: (ক) পয়সন বিতরণ; (b) দ্বিপদ বণ্টন

সুতরাং, এই এবং দুটি পূর্ববর্তী নোটে, তিনটি পৃথক সংখ্যাসূচক বিতরণ বিবেচনা করা হয়েছিল: , এবং পয়সন। এই বিতরণগুলি একে অপরের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আমরা একটি ছোট প্রশ্ন উপস্থাপন করি (চিত্র 4)।

ভাত। 4. বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বন্টনের শ্রেণীবিভাগ

লেভিন এট আল ম্যানেজারদের জন্য পরিসংখ্যান বই থেকে উপাদান ব্যবহার করা হয়. – এম.: উইলিয়ামস, 2004। – পি। 320-328

বিষ বিতরণ।

আসুন সবচেয়ে সাধারণ পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক যেখানে পয়সন বিতরণ উদ্ভূত হয়। অনুষ্ঠান হোক কস্থানের একটি নির্দিষ্ট এলাকায় (ব্যবধান, এলাকা, আয়তন) বা ধ্রুব তীব্রতা সহ সময়ের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার প্রদর্শিত হয়। সুনির্দিষ্ট হওয়ার জন্য, সময়ের সাথে ঘটনাগুলির অনুক্রমিক ঘটনা বিবেচনা করুন, যাকে ঘটনাগুলির একটি স্ট্রিম বলা হয়। গ্রাফিকভাবে, ঘটনার প্রবাহ সময় অক্ষে অবস্থিত অনেক বিন্দু দ্বারা চিত্রিত করা যেতে পারে।

এটি পরিষেবা খাতে কলের একটি প্রবাহ হতে পারে (মেরামত পরিবারের যন্ত্রপাতি, একটি অ্যাম্বুলেন্স কল করা, ইত্যাদি), টেলিফোন এক্সচেঞ্জে কলের প্রবাহ, সিস্টেমের কিছু অংশের ব্যর্থতা, তেজস্ক্রিয় ক্ষয়, ফ্যাব্রিক বা ধাতব শীটের টুকরো এবং তাদের প্রতিটিতে ত্রুটির সংখ্যা ইত্যাদি। পয়সন বিতরণ এটি সেই সমস্ত কাজে সবচেয়ে কার্যকর যেখানে এটি শুধুমাত্র ইতিবাচক ফলাফলের সংখ্যা ("সফল") নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

আসুন কিসমিস সহ একটি বান কল্পনা করি, সমান আকারের ছোট ছোট টুকরোগুলিতে বিভক্ত। কারণে এলোমেলো বিতরণকিশমিশ, আপনি আশা করতে পারেন না যে সমস্ত টুকরোতে একই সংখ্যক কিশমিশ থাকবে। যখন এই টুকরোগুলিতে থাকা কিশমিশের গড় সংখ্যা জানা যায়, তখন পয়সন বিতরণ সম্ভাব্যতা দেয় যে কোনও প্রদত্ত টুকরোতে রয়েছে এক্স=k(k= 0,1,2,...,) কিশমিশের সংখ্যা।

অন্য কথায়, পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন নির্ধারণ করে যে টুকরাগুলির একটি দীর্ঘ সিরিজের কোন অংশে 0, বা 1, বা 2, বা ইত্যাদির সমান থাকবে। হাইলাইট সংখ্যা.

আসুন নিম্নলিখিত অনুমান করা যাক.

1. একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা শুধুমাত্র এই ব্যবধানের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে, সময় অক্ষের উপর তার অবস্থানের উপর নয়। এটি স্থিরতার বৈশিষ্ট্য।

2. পর্যাপ্ত স্বল্প সময়ের মধ্যে একাধিক ঘটনার সংঘটন কার্যত অসম্ভব, অর্থাৎ একই ব্যবধানে অন্য ঘটনা ঘটার শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা ® 0 এর মতো শূন্য। এটি সাধারণতার বৈশিষ্ট্য।

3. একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্যান্য সময়ের মধ্যে উপস্থিত হওয়া ইভেন্টের সংখ্যার উপর নির্ভর করে না। এই আফটারফেক্ট অভাবের সম্পত্তি.

ঘটনাগুলির একটি প্রবাহ যা উপরের প্রস্তাবগুলিকে সন্তুষ্ট করে তাকে বলা হয় সহজতম.

চলুন সময় একটি মোটামুটি স্বল্প সময়ের বিবেচনা করা যাক. প্রপার্টি 2 এর উপর ভিত্তি করে, ইভেন্টটি এই ব্যবধানে একবার উপস্থিত হতে পারে বা মোটেও প্রদর্শিত হবে না। এর দ্বারা সংঘটিত একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা বোঝানো যাক r, এবং অ উপস্থিতি – মাধ্যমে q = 1-পিসম্ভাবনা rধ্রুবক (সম্পত্তি 3) এবং শুধুমাত্র মান (সম্পত্তি 1) উপর নির্ভর করে। ব্যবধানে একটি ঘটনার সংঘটন সংখ্যার গাণিতিক প্রত্যাশা 0× এর সমান হবে q+ 1× পি = পি. তারপর প্রতি ইউনিট সময়ে ঘটনার গড় সংখ্যাকে প্রবাহের তীব্রতা বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় একটি,যারা ক = .

একটি সীমিত সময়কাল বিবেচনা করুন tএবং এটি দ্বারা ভাগ করুন nঅংশ =। এই প্রতিটি ব্যবধানে ঘটনার সংঘটন স্বাধীন (সম্পত্তি 2)। আসুন একটি সময়ের মধ্যে সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করি tস্থির প্রবাহের তীব্রতায় কঘটনা ঠিক প্রদর্শিত হবে X = kআবার প্রদর্শিত হবে না n–k. যেহেতু একটি ইভেন্ট প্রতিটিতে পারে nফাঁক 1 বারের বেশি প্রদর্শিত হবে না, তারপর তার চেহারা জন্য kসময়কালের একটি বিভাগে একবার tএটা যে কোনো প্রদর্শিত হবে kমোট থেকে বিরতি nমোট এই ধরনের সংমিশ্রণ রয়েছে এবং প্রতিটির সম্ভাবনা সমান। ফলস্বরূপ, সম্ভাব্যতার যোগ উপপাদ্য দ্বারা আমরা পছন্দসই সম্ভাব্যতার জন্য প্রাপ্ত করি সুপরিচিত সূত্রবার্নৌলি

এই সমতাটি একটি আনুমানিক হিসাবে লেখা হয়েছে, যেহেতু এটির উৎপত্তির প্রাথমিক ভিত্তিটি ছিল সম্পত্তি 2, যা আরও সঠিকভাবে পূরণ করা হয় ছোট। সঠিক সমতা পেতে, আসুন ® 0-এ সীমা অতিক্রম করি বা, একই কী, n® প্রতিস্থাপনের পরে আমরা এটি পাব

পৃ = ক= এবং q = 1 – .

একটি নতুন প্যারামিটার চালু করা যাক = এ, মানে একটি সেগমেন্টে একটি ইভেন্টের গড় সংখ্যা t. সাধারণ রূপান্তর এবং কারণগুলির সীমা অতিক্রম করার পরে, আমরা প্রাপ্ত করি।

= 1, = ,

অবশেষে আমরা পেতে

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি।

সংজ্ঞা. এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স, যা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা নেয়, ধনাত্মক মান 0, 1, 2, ... এর প্যারামিটার সহ একটি পয়সন বন্টন আইন আছে যদি

জন্য k = 0, 1, 2, ...

ফরাসি গণিতবিদ এস.ডি. দ্বারা পয়সন বিতরণের প্রস্তাব করা হয়েছিল। পয়সন (1781-1840)। এটি সময়, দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের একক প্রতি তুলনামূলকভাবে বিরল, এলোমেলো, পারস্পরিকভাবে স্বাধীন ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা গণনার সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।

ক্ষেত্রে যখন ক) বড় এবং খ) k= , স্টার্লিং সূত্রটি বৈধ:

পরবর্তী মান গণনা করতে, একটি পুনরাবৃত্ত সূত্র ব্যবহার করা হয়

পৃ(k + 1) = পৃ(k).

উদাহরণ 1. একটি নির্দিষ্ট দিনে 1000 জনের মধ্যে সম্ভাব্যতা কত: ক) কেউ নয়, খ) এক, গ) দুই, ঘ) তিনজন মানুষ জন্মগ্রহণ করেছিল?

সমাধান। কারণ পি= 1/365, তারপর q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

তারপর

ক) ,

খ) ,

ভি) ,

ছ) .

অতএব, যদি 1000 জনের নমুনা থাকে, তবে একটি নির্দিষ্ট দিনে জন্মগ্রহণকারী মানুষের গড় সংখ্যা হবে 65 জন; 178; 244; 223।

উদাহরণ 2. সম্ভাব্যতা সহ মান নির্ধারণ করুন আরঘটনা অন্তত একবার হাজির.

সমাধান। ঘটনা ক= (কমপক্ষে একবার উপস্থিত হয়) এবং = (একবারও উপস্থিত হয় না)। তাই

এখান থেকে এবং

উদাহরণস্বরূপ, জন্য আর= 0.5, জন্য আর= 0,95 .

উদাহরণ 3. একজন তাঁতি দ্বারা চালিত তাঁতে, এক ঘন্টার মধ্যে 90টি থ্রেড ভাঙ্গা হয়। 4 মিনিটের মধ্যে অন্তত একটি থ্রেড বিরতি ঘটবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান। শর্ত অনুসারে t = 4 মিনিট এবং প্রতি মিনিটে বিরতির গড় সংখ্যা, কোথা থেকে . প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা হল।

বৈশিষ্ট্য. পরামিতি সহ একটি পয়সন বন্টন সহ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ সমান:

এম(এক্স) = ডি(এক্স) = .

এই অভিব্যক্তিগুলি সরাসরি গণনা দ্বারা প্রাপ্ত হয়:

এখানেই প্রতিস্থাপন করা হয়েছিল n = k- 1 এবং সত্য যে.

আউটপুটে ব্যবহৃত অনুরূপ রূপান্তর সম্পাদন করে এম(এক্স), আমরা পাই

পয়সন বন্টনটি বৃহৎ আকারে দ্বিপদী বন্টন আনুমানিক করতে ব্যবহৃত হয় n

অধিকাংশ সাধারণ ক্ষেত্রে বিভিন্ন ধরনেরসম্ভাব্যতা বন্টন হল দ্বিপদ বন্টন। আসুন আমরা এর বহুমুখীতা ব্যবহার করি যা অনুশীলনে সম্মুখীন হওয়া সবচেয়ে সাধারণ বিশেষ ধরণের বিতরণগুলি নির্ধারণ করতে।

দ্বিপদী বন্টন

যাক কিছু ঘটনা A. ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা সমান পি, ঘটনা A না হওয়ার সম্ভাবনা 1 পি, কখনও কখনও এটি হিসাবে মনোনীত করা হয় q. যাক nপরীক্ষার সংখ্যা, মিএগুলির মধ্যে ঘটনা A সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি nপরীক্ষা

এটা জানা যায় যে ফলাফলের সমস্ত সম্ভাব্য সমন্বয়ের মোট সম্ভাবনা একের সমান, তা হল:

1 = পি n + n · পি n 1 (1 পি) + গ n n 2 · পি n 2 (1 পি) 2 + + গ n মি · পি মি· (1 পি) n – মি+ + (1 পি) n .

পি nসম্ভাবনা যে মধ্যে nnএকবার n · পি n 1 (1 পি) সম্ভাবনা যে মধ্যে nn 1) একবার এবং 1 বার ঘটবে না; গ n n 2 · পি n 2 (1 পি) 2 সম্ভাবনা যে মধ্যে nপরীক্ষা, ঘটনা A ঘটবে ( n 2) বার এবং 2 বার ঘটবে না; পৃ মি = গ n মি · পি মি· (1 পি) n – মি সম্ভাবনা যে মধ্যে nপরীক্ষা, ঘটনা A ঘটবে মিকখনই হবে না ( n – মি) একবার; (১ পি) nসম্ভাবনা যে মধ্যে nপরীক্ষায়, ঘটনা A একবারও ঘটবে না; এর সংমিশ্রণের সংখ্যা nদ্বারা মি .

প্রত্যাশা এমদ্বিপদী বন্টন সমান:

এম = n · পি ,

যেখানে nপরীক্ষার সংখ্যা, পিঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি σ :

σ = sqrt( n · পি· (1 পি)) .

উদাহরণ 1. সম্ভাব্যতা গণনা করুন যে একটি ঘটনা যে একটি সম্ভাবনা আছে পি= 0.5, ইন n= 10টি ট্রায়াল হবে মি= 1 বার। আমাদের আছে: গ 10 1 = 10, এবং আরও: পৃ 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা খুবই কম। এটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে, প্রথমত, ঘটনাটি ঘটবে কি না তা একেবারেই পরিষ্কার নয়, যেহেতু সম্ভাবনা 0.5 এবং এখানে সম্ভাবনা "50 থেকে 50"; এবং দ্বিতীয়ত, এটি গণনা করা প্রয়োজন যে ঘটনাটি দশটির মধ্যে ঠিক একবার (আরও বা কম নয়) ঘটবে।

উদাহরণ 2। সম্ভাব্যতা গণনা করুন যে একটি ঘটনা যে একটি সম্ভাবনা আছে পি= 0.5, ইন n= 10টি ট্রায়াল হবে মি= 2 বার। আমাদের আছে: গ 10 2 = 45, এবং আরও: পৃ 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. এই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা বেড়েছে!

উদাহরণ 3. এর ঘটনা নিজেই ঘটতে সম্ভাবনা বৃদ্ধি করা যাক. এর আরো সম্ভাবনা করা যাক. সম্ভাব্যতা গণনা করুন যে একটি ঘটনা যে একটি সম্ভাবনা আছে পি= 0.8, ইন n= 10টি ট্রায়াল হবে মি= 1 বার। আমাদের আছে: গ 10 1 = 10, এবং আরও: পৃ 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. প্রথম উদাহরণের তুলনায় সম্ভাবনা কম হয়ে গেছে! উত্তর, প্রথম নজরে, অদ্ভুত বলে মনে হয়, কিন্তু যেহেতু ইভেন্টের মোটামুটি উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে, এটি শুধুমাত্র একবার ঘটতে পারে না। এটি একাধিকবার হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। প্রকৃতপক্ষে, গণনা পৃ 0 , পৃ 1 , পৃ 2 , পৃ 3,, পৃ 10 (সম্ভাব্য যে একটি ঘটনা n= 10টি ট্রায়াল 0, 1, 2, 3, , 10 বার ঘটবে), আমরা দেখতে পাব:

গ 10 0 = 1 , গ 10 1 = 10 , গ 10 2 = 45 , গ 10 3 = 120 , গ 10 4 = 210 , গ 10 5 = 252 ,
গ 10 6 = 210 , গ 10 7 = 120 , গ 10 8 = 45 , গ 10 9 = 10 , গ 10 10 = 1 ;

পৃ 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000…;
পৃ 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000…;
পৃ 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000…;
পৃ 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008…;
পৃ 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055…;
পৃ 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264…;
পৃ 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881…;
পৃ 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013…;
পৃ 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020…(সর্বোচ্চ সম্ভাবনা!);
পৃ 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684…;
পৃ 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074…

অবশ্যই পৃ 0 + পৃ 1 + পৃ 2 + পৃ 3 + পৃ 4 + পৃ 5 + পৃ 6 + পৃ 7 + পৃ 8 + পৃ 9 + পৃ 10 = 1 .

স্বাভাবিক বিতরণ

যদি আমরা পরিমাণগুলি চিত্রিত করি পৃ 0 , পৃ 1 , পৃ 2 , পৃ 3,, পৃ 10, যা আমরা উদাহরণ 3-এ গণনা করেছি, গ্রাফে, দেখা যাচ্ছে যে তাদের বিতরণের স্বাভাবিক বন্টন আইনের কাছাকাছি একটি ফর্ম রয়েছে (চিত্র 27.1 দেখুন) (বক্তৃতা 25 দেখুন। সাধারণত বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মডেলিং)।

ভাত। 27.1। দ্বিপদ বণ্টনের ধরন
p = 0.8, n = 10 এ বিভিন্ন m এর সম্ভাব্যতা

দ্বিপদী আইন স্বাভাবিক হয়ে যায় যদি ঘটনার সম্ভাবনা এবং ঘটনা A এর অ-ঘটনার সম্ভাবনা প্রায় একই হয়, অর্থাৎ, আমরা শর্তসাপেক্ষে লিখতে পারি: পি≈ (1 পি) . যেমন ধরা যাক n= 10 এবং পি= 0.5 (অর্থাৎ পি= 1 পি = 0.5 ).

আমরা অর্থপূর্ণভাবে এই জাতীয় সমস্যায় আসব যদি, উদাহরণস্বরূপ, আমরা তাত্ত্বিকভাবে গণনা করতে চাই যে একই দিনে একটি প্রসূতি হাসপাতালে জন্ম নেওয়া 10টি শিশুর মধ্যে কতজন ছেলে এবং কতজন মেয়ে থাকবে। আরও স্পষ্টভাবে, আমরা ছেলে-মেয়েদের গণনা করব না, তবে সম্ভাবনা যে শুধুমাত্র ছেলেরা জন্মগ্রহণ করবে, যে 1 ছেলে এবং 9 জন মেয়ে জন্মগ্রহণ করবে, যে 2 ছেলে এবং 8 জন মেয়ে জন্মগ্রহণ করবে, ইত্যাদি। আসুন আমরা সরলতার জন্য ধরে নিই যে একটি ছেলে এবং একটি মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা সমান এবং সমান 0.5 (তবে সত্যি বলতে, এটি এমন নয়, "আর্টিফিশিয়াল ইন্টেলিজেন্স সিস্টেম মডেলিং" কোর্সটি দেখুন)।

এটা স্পষ্ট যে বন্টনটি প্রতিসম হবে, যেহেতু 3টি ছেলে এবং 7টি মেয়ে থাকার সম্ভাবনা 7টি ছেলে এবং 3টি মেয়ে থাকার সম্ভাবনার সমান। জন্মের সর্বাধিক সম্ভাবনা 5 ছেলে এবং 5 মেয়ে হবে। এই সম্ভাবনা 0.25, যাইহোক, এটি এত বড় নয় পরম মান. আরও, একবারে 10 বা 9টি ছেলের জন্ম হওয়ার সম্ভাবনা 10টি সন্তানের মধ্যে 5 ± 1 ছেলের জন্মের সম্ভাবনার চেয়ে অনেক কম। দ্বিপদী বন্টন আমাদের এই গণনা করতে সাহায্য করবে। তাই।

গ 10 0 = 1 , গ 10 1 = 10 , গ 10 2 = 45 , গ 10 3 = 120 , গ 10 4 = 210 , গ 10 5 = 252 ,
গ 10 6 = 210 , গ 10 7 = 120 , গ 10 8 = 45 , গ 10 9 = 10 , গ 10 10 = 1 ;

পৃ 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977…;
পৃ 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
পৃ 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
পৃ 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
পৃ 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
পৃ 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094…;
পৃ 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
পৃ 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
পৃ 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
পৃ 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
পৃ 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977…

অবশ্যই পৃ 0 + পৃ 1 + পৃ 2 + পৃ 3 + পৃ 4 + পৃ 5 + পৃ 6 + পৃ 7 + পৃ 8 + পৃ 9 + পৃ 10 = 1 .

আসুন আমরা গ্রাফে পরিমাণগুলি প্রদর্শন করি পৃ 0 , পৃ 1 , পৃ 2 , পৃ 3,, পৃ 10 (চিত্র 27.2 দেখুন)।

ভাত। 27.2। পরামিতি সহ দ্বিপদী বন্টনের গ্রাফ
p = 0.5 এবং n = 10, এটিকে স্বাভাবিক নিয়মের কাছাকাছি নিয়ে আসে

সুতরাং, শর্ত অধীনে মি ≈ n/2 এবং পি≈ 1 পিবা পি≈ 0.5 দ্বিপদী বন্টনের পরিবর্তে, আপনি সাধারণটি ব্যবহার করতে পারেন। বড় মান জন্য nগ্রাফটি ডানদিকে সরে যায় এবং আরও বেশি সমতল হয়, কারণ গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্য বৃদ্ধির সাথে সাথে n : এম = n · পি , ডি = n · পি· (1 পি) .

যাইহোক, দ্বিপদ আইন স্বাভাবিক এবং বৃদ্ধির সাথে থাকে n, যা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুযায়ী খুবই স্বাভাবিক (বক্তৃতা 34 দেখুন। পরিসংখ্যানগত ফলাফল রেকর্ডিং এবং প্রক্রিয়াকরণ)।

এখন বিবেচনা করুন কিভাবে দ্বিপদ আইন যখন ক্ষেত্রে পরিবর্তিত হয় পি ≠ q, যে পি> 0। এই ক্ষেত্রে, স্বাভাবিক বণ্টনের অনুমান প্রয়োগ করা যায় না, এবং দ্বিপদী বন্টন একটি পয়সন বন্টন হয়ে যায়।

বিষ বিতরণ

পয়সন বন্টন হয় বিশেষ ক্ষেত্রেদ্বিপদ বিতরণ (সহ n>> 0 এবং এ পি>0 (বিরল ঘটনা))।

একটি সূত্র গণিত থেকে জানা যায় যা আপনাকে দ্বিপদী বন্টনের যেকোন সদস্যের আনুমানিক মান গণনা করতে দেয়:

যেখানে ক = n · পি পয়সন প্যারামিটার (গাণিতিক প্রত্যাশা), এবং বৈচিত্রটি গাণিতিক প্রত্যাশার সমান। আসুন আমরা গাণিতিক গণনা উপস্থাপন করি যা এই রূপান্তরকে ব্যাখ্যা করে। দ্বিপদী বন্টন আইন

পৃ মি = গ n মি · পি মি· (1 পি) n – মি

দিলে লেখা যাবে পি = ক/n , আকারে

কারণ পিখুব ছোট, তারপর শুধুমাত্র সংখ্যা অ্যাকাউন্টে নেওয়া উচিত মি, তুলনায় ছোট n. কাজ

ঐক্যের খুব কাছাকাছি। একই আকার প্রযোজ্য

মাত্রা

খুব কাছাকাছি e – ক. এখান থেকে আমরা সূত্র পাই:

উদাহরণ। বাক্সে রয়েছে n= 100টি অংশ, উভয় উচ্চ-মানের এবং ত্রুটিপূর্ণ। একটি ত্রুটিপূর্ণ পণ্য প্রাপ্তির সম্ভাবনা হয় পি= ০.০১। ধরা যাক যে আমরা একটি পণ্য বের করি, এটি ত্রুটিপূর্ণ কিনা তা নির্ধারণ করি এবং এটিকে আবার রাখি। এটি করার মাধ্যমে, দেখা গেল যে আমরা যে 100টি পণ্যের মধ্য দিয়ে গিয়েছিলাম তার মধ্যে দুটি ত্রুটিপূর্ণ হয়ে গেছে। এই সম্ভাবনা কি?

দ্বিপদ বন্টন থেকে আমরা পাই:

পয়সন বিতরণ থেকে আমরা পাই:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মানগুলি কাছাকাছি হয়ে উঠেছে, তাই বিরল ঘটনার ক্ষেত্রে পয়সনের আইন প্রয়োগ করা বেশ গ্রহণযোগ্য, বিশেষত যেহেতু এটির জন্য কম গণনামূলক প্রচেষ্টা প্রয়োজন।

আসুন আমরা গ্রাফিকভাবে পয়সনের সূত্রের রূপ দেখাই। একটি উদাহরণ হিসাবে প্যারামিটার গ্রহণ করা যাক পি = 0.05 , n= 10। তারপর:

গ 10 0 = 1 , গ 10 1 = 10 , গ 10 2 = 45 , গ 10 3 = 120 , গ 10 4 = 210 , গ 10 5 = 252 ,
গ 10 6 = 210 , গ 10 7 = 120 , গ 10 8 = 45 , গ 10 9 = 10 , গ 10 10 = 1 ;

পৃ 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987…;
পৃ 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151…;
পৃ 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746…;
পৃ 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105…;
পৃ 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096…;
পৃ 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006…;
পৃ 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000…;
পৃ 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000…;
পৃ 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000…;
পৃ 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000…;
পৃ 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000…

অবশ্যই পৃ 0 + পৃ 1 + পৃ 2 + পৃ 3 + পৃ 4 + পৃ 5 + পৃ 6 + পৃ 7 + পৃ 8 + পৃ 9 + পৃ 10 = 1 .

ভাত। 27.3। p = 0.05 এবং n = 10 এ পয়সন বিতরণ প্লট

এ n> ∞ কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য অনুসারে পয়সন বন্টন একটি স্বাভাবিক নিয়মে পরিণত হয়