Závěry v logice. Deduktivní uvažování

Booleovský typ Hodnoty typu boolean zabírají 1 bajt a nabývají jedné ze dvou hodnot specifikovaných předdefinovanými konstantami True (true) a False (false). Statické metody jsou definovány pro logický typ: boolean.Parse(s) - funkce, která převádí řetězec

26. Logická analýza

26. Logická analýza Bus.Site.Bus site. Toto místo je.poledne.přibližně.přibližně poledne. Je čas. Cestující. Hádka. Hádka cestujících. Tohle je akce, mladý muž, klobouk. Dlouhý hubený krk. Mladý muž v klobouku se zapleteným copem kolem něj. Tento

Logickým způsobem

První část. Deduktivní a věrohodné uvažování

KAPITOLA 1. Předmět a úlohy logiky

1.1. Logika jako věda

Logika je jednou z nejstarších věd, jejíž první nauky o formách a metodách uvažování vznikly v civilizacích. Starověký východ(Čína, Indie). Principy a metody logiky se do západní kultury dostaly především díky úsilí starých Řeků. Rozvinutý politický život v řeckých městských státech boj různých stran o vliv na masy svobodných občanů, touha řešit majetkové a jiné konflikty, které vznikaly soudní cestou - to vše vyžadovalo schopnost přesvědčit lidi, obhájit své postavení v různých populární fóra, in vládní instituce, soudní jednání atd.

Umění přesvědčování, argumentace, dovednost rozumně obhajovat svůj názor a namítat proti oponentovi při hádce a polemice se pěstovalo v rámci starověké rétoriky zaměřené na zdokonalení řečnictví a eristiky, speciálního učení o argumentaci. První učitelé rétoriky udělali hodně pro šíření a rozvoj znalostí o dovednosti přesvědčování, metodách argumentace a budování veřejného projevu, obratu Speciální pozornost na jeho emocionální, psychologické, morální a oratorické aspekty a rysy. Avšak později, když školy rétoriky začali vést sofisté, snažili se své studenty naučit nehledat pravdu argumentací, ale spíše vyhrávat, vyhrávat za každou cenu verbální soutěž. Pro tyto účely byly široce používány záměrné logické chyby, které se později staly známými jako sofistika, stejně jako různé psychologické triky a techniky pro odvedení pozornosti oponenta, sugesci, přepnutí sporu z hlavního tématu na vedlejší atd.

Proti této tendenci se v rétorice rozhodně postavili velcí antičtí filozofové Sokrates, Platón a Aristoteles, kteří za hlavní přesvědčovací prostředek považovali platnost úsudků obsažených v řečnické řeči, jejich správné spojení v procesu usuzování, tzn. vyvozovat některé soudy od jiných. Právě pro analýzu uvažování vytvořil Aristoteles (IV. století př. n. l.) první systém logiky, tzv sylogistika. Je to nejjednodušší, ale zároveň nejčastěji používaná forma deduktivního uvažování, při které se závěr (závěr) získává z premis podle pravidel logické dedukce. Všimněte si, že termín dedukce přeloženo z latiny znamená závěr.

Abychom to vysvětlili, podívejme se na starověký sylogismus:

Všichni lidé jsou smrtelní.

Kai je člověk._____________

Proto je Kai smrtelný.

Zde, stejně jako v jiných sylogismech, se usuzuje z obecných znalostí o určité třídě předmětů a jevů na konkrétní a individuální znalosti. Ihned zdůrazněme, že v jiných případech lze odpočet provádět od konkrétního k konkrétnímu nebo od obecného k obecnému.

Hlavní věc, která spojuje všechny deduktivní inference, je to, že závěr vyplývá z premis podle logických pravidel inference a má spolehlivý, objektivní charakter. Jinými slovy, závěr nezávisí na vůli, přáních a preferencích uvažujícího subjektu. Pokud přijmete premisy takového závěru, pak musíte přijmout jeho závěr.

Často se také uvádí, že určujícím znakem deduktivních inferencí je logicky nezbytná povaha závěru, jeho spolehlivá pravdivost. Jinými slovy, v takových inferencích je pravdivostní hodnota premis zcela přenesena na závěr. To je důvod, proč má deduktivní uvažování největší přesvědčovací sílu a je široce používáno nejen k dokazování vět v matematice, ale také všude tam, kde jsou potřeba spolehlivé závěry.

Velmi často v učebnicích logiky odhodlaný jako věda o zákonitostech správného myšlení či principech a metodách správných závěrů. Protože však zůstává nejasné, jaký druh myšlení je považován za správný, obsahuje první část definice skrytou tautologii, neboť se implicitně předpokládá, že takové správnosti je dosaženo dodržováním pravidel logiky. V druhé části je předmět logiky definován přesněji, protože hlavní úkol logiky je redukován na rozbor inferencí, tzn. k identifikaci způsobů, jak získat některé úsudky od jiných. Je snadné si všimnout, že když mluví o správných závěrech, mají implicitně nebo dokonce explicitně na mysli deduktivní logiku. Právě v něm jsou zcela určitá pravidla pro logické vyvozování závěrů z premis, se kterými se podrobněji seznámíme později. Deduktivní logika je často také ztotožňována s formální logikou na základě toho, že formální logika studuje formy dedukcí v abstrakci od konkrétního obsahu rozsudků. Tento pohled však nebere v úvahu jiné metody a formy uvažování, které jsou široce používány jak v experimentálních vědách studujících přírodu, tak v socioekonomických a humanitních vědách, založených na faktech a výsledcích společenského života. A v každodenní praxi často zobecňujeme a vytváříme předpoklady na základě pozorování konkrétních případů.

Úvahy tohoto druhu, v nichž se na základě výzkumu a ověření konkrétních případů dochází k závěru o neprozkoumaných případech nebo o všech jevech třídy jako celku, se nazývá induktivní. Období indukce prostředek vedení a dobře vyjadřuje podstatu takové úvahy. Obvykle studují vlastnosti a vztahy určitého počtu členů určité třídy předmětů a jevů. Výsledná obecná vlastnost nebo vztah se pak přenese na neprozkoumané členy nebo na celou třídu. Je zřejmé, že takový závěr nelze považovat za spolehlivě pravdivý, protože mezi neprozkoumanými členy třídy a zejména třídy jako celku mohou být členové, kteří nemají předpokládanou společnou vlastnost. Proto závěry indukce nejsou spolehlivé, ale pouze pravděpodobnostní. Takové závěry se často nazývají věrohodné, hypotetické nebo domnělé, protože nezaručují dosažení pravdy, ale pouze na ni poukazují. Oni mají heuristický(hledat) spíše než spolehlivé povahy, pomáhá hledat pravdu spíše než ji dokazovat. Spolu s induktivním uvažováním to zahrnuje také závěry analogií a statistická zobecnění.

Výrazná vlastnost takového nededuktivního uvažování je, že závěr v nich logicky nevyplývá, tzn. podle pravidel odpočtu z prostor. Premisy pouze do té či oné míry potvrzují závěr, činí jej více či méně pravděpodobným nebo věrohodným, ale nezaručují jeho spolehlivou pravdivost. Na tomto základě je pravděpodobnostní uvažování někdy zjevně podceňováno, považováno za druhotné, pomocné a dokonce z logiky vyloučeno.

Tento postoj k nededuktivní a zejména induktivní logice se vysvětluje zejména těmito důvody:

Za prvé, a to je hlavní, problematika, pravděpodobnostní povaha induktivních závěrů as tím spojená závislost výsledků na dostupných datech, neoddělitelnost od premis a neúplnost závěrů. S tím, jak jsou k dispozici nová data, se totiž mění i pravděpodobnost takových závěrů.

Za druhé, přítomnost subjektivních aspektů při posuzování pravděpodobnostního logického vztahu mezi premisami a závěrem argumentu. Tyto premisy, jako jsou fakta a důkazy, mohou někomu připadat přesvědčivé, jinému ne. Jeden se domnívá, že silně podporují závěr, druhý je opačného názoru. Takové neshody nevznikají v deduktivním vyvozování.

Za třetí, tento postoj k indukci je také vysvětlen historickými okolnostmi. Když induktivní logika poprvé vznikla, její tvůrci, zejména F. Bacon, věřili, že pomocí jejích kánonů nebo pravidel je možné objevovat nové pravdy v experimentálních vědách téměř čistě mechanickou cestou. "Naše cesta objevování věd," napsal, "ponechává jen málo na bystrosti a síle talentu, ale téměř je vyrovnává. Stejně jako při kreslení rovné čáry nebo popisu dokonalého kruhu znamená pevnost, zručnost a zkoušení ruky hodně, pokud jednáš pouze rukou, znamená to málo nebo to neznamená vůbec nic, pokud použiješ kružítko a pravítko. To je případ naší metody." Mluvení moderní jazyk, tvůrci induktivní logiky považovali své kánony za algoritmy objevu. S rozvojem vědy bylo stále více zřejmé, že pomocí takových pravidel (či algoritmů) je možné odhalit jen ty nejjednodušší empirické souvislosti mezi experimentálně pozorovanými jevy a veličinami, které je charakterizují. Otevření složitá spojení a hluboké teoretické zákonitosti vyžadovaly použití všech prostředků a metod empirických a teoretický výzkum, maximální aplikace duševní a intelektuální schopnosti vědců, jejich zkušenosti, intuice a talent. A to nemohlo vést k negativnímu postoji k mechanickému přístupu k objevování, který dříve existoval v induktivní logice.

Za čtvrté, rozšíření forem deduktivního uvažování, vznik relační logiky a zejména aplikace matematické metody pro analýzu dedukce, která vyvrcholila vytvořením symbolické (neboli matematické) logiky, která do značné míry přispěla k rozvoji deduktivní logiky.

To vše objasňuje, proč často preferují definovat logiku jako vědu o metodách, pravidlech a zákonech deduktivních inferencí nebo jako teorii logické inference. Ale nesmíme zapomínat, že indukce, analogie a statistika ano důležitými způsoby heuristické hledání pravdy, a proto slouží jako racionální metody uvažování. Koneckonců, hledání pravdy může být prováděno náhodně, pomocí pokusů a omylů, ale tato metoda je extrémně neúčinná, i když se někdy používá. Věda se k němu uchyluje velmi zřídka, protože se zaměřuje na organizované, cílené a systematické vyhledávání.

Je třeba také vzít v úvahu, že obecné pravdy (empirické a teoretické zákony, principy, hypotézy a zobecnění), které se používají jako premisy deduktivních závěrů, nelze stanovit deduktivně. Lze ale namítnout, že se neotevírají induktivně. Protože je však induktivní uvažování zaměřeno na hledání pravdy, ukazuje se jako užitečnější heuristický prostředek výzkumu. Při testování předpokladů a hypotéz je samozřejmě využívána i dedukce, zejména k vyvozování důsledků z nich. Dedukci tedy nelze odporovat indukci, neboť ve skutečném procesu vědeckého poznání se navzájem předpokládají a doplňují.

Logiku lze proto definovat jako vědu o racionálních metodách usuzování, které pokrývají jak rozbor pravidel dedukce (odvozování závěrů z premis), tak studium míry potvrzení pravděpodobnostních či plausibilních závěrů (hypotéz, zobecnění, předpokladů , atd.).

Tradiční logiku, která se zformovala na základě logického učení Aristotela, později doplnily metody induktivní logiky formulované F. Baconem a systematizované J.S. Millem. Právě tato logika se na školách a univerzitách pod tímto názvem vyučuje již dlouhou dobu formální logika.

Vznik matematická logika radikálně změnil vztah mezi deduktivní a nededuktivní logikou, který existoval v tradiční logice. Tato změna byla provedena ve prospěch odpočtu. Samotná deduktivní logika získala díky symbolizaci a využití matematických metod přísně formální charakter. Ve skutečnosti je zcela legitimní považovat takovou logiku jako matematický model deduktivní uvažování. Proto je často považována za moderní etapu ve vývoji formální logiky, ale zapomínají dodat, že mluvíme o deduktivní logice.

Často se také říká, že matematická logika redukuje proces uvažování na konstrukci různých systémů výpočtů a tím nahrazuje přirozený proces myšlení výpočty. Model je však vždy spojen se zjednodušením, takže nemůže nahradit originál. Matematická logika je skutečně zaměřena především na matematické důkazy, tedy abstrahuje od povahy premis (či argumentů), jejich platnosti a přijatelnosti. Takové předpoklady považuje za dané nebo dříve prokázané.

Mezitím v reálném procesu uvažování, v argumentaci, diskusi, polemice získává analýza a hodnocení premis zvláštní Důležité. V průběhu argumentace musíte předložit určité teze a tvrzení, najít na jejich obranu přesvědčivé argumenty, opravit je a doplnit, uvést protiargumenty atd. Zde se musíme obrátit k neformálním a nededuktivním metodám uvažování, zejména k induktivnímu zobecňování faktů, závěrům na základě analogie, statistické analýze atd.

Považujeme-li logiku za vědu o racionálních metodách uvažování, nesmíme zapomínat ani na další formy myšlení – pojmy a soudy, jimiž každá učebnice logiky začíná. Ale úsudky a zejména pojmy hrají v logice pomocnou roli. S jejich pomocí se struktura inferencí a spojení úsudků v různé typy uvažování. Pojmy jsou zahrnuty do struktury jakéhokoli úsudku ve formě subjektu, tj. předmětu myšlení, a predikátu - jako znaku charakterizujícího subjekt, konkrétně tvrzení o přítomnosti nebo nepřítomnosti určité vlastnosti v předmětu myšlení. . V naší prezentaci se držíme obecně uznávané tradice a diskuzi začínáme rozborem pojmů a úsudků a poté se podrobněji zabýváme deduktivními a nededuktivními metodami uvažování. Kapitola, kde jsou analyzovány výroky, zkoumá prvky výrokového počtu, které jsou obvykle výchozím bodem pro jakýkoli kurz matematické logiky.

Prvky predikátové logiky jsou popsány v další kapitole, kde je teorie kategorického sylogismu považována za speciální případ. Moderní formy nededuktivnímu uvažování nelze zjevně rozumět bez jasného rozlišení mezi logickým a statistickým výkladem pravděpodobnosti, protože podle pravděpodobnost nejčastěji implikovaná je právě její statistická interpretace, která má v logice pomocný význam. V tomto ohledu se v kapitole o pravděpodobnostním usuzování konkrétně zaměřujeme na objasnění rozdílu mezi oběma interpretacemi pravděpodobnosti a blíže vysvětlíme rysy logické pravděpodobnosti.

Celá povaha prezentace v knize tedy orientuje čtenáře k tomu, že dedukce a indukce, spolehlivost a pravděpodobnost, pohyb myšlení od obecného k partikulárnímu a od partikulárního k obecnému nevylučují, ale spíše doplňují navzájem dovnitř obecný proces racionální uvažování směřující jak k nalezení pravdy, tak k jejímu prokázání.

Vlastnosti základních pojmů jsou odhaleny v axiomy- návrhy přijaté bez doložení.

Například ve školní geometrii existují axiomy: „přes libovolné dva body můžete nakreslit přímku a pouze jeden“ nebo „přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny“.

Systém axiomů jakékoli matematické teorie, odhalující vlastnosti základních pojmů, dává jejich definice. Takové definice se nazývají axiomatický.

Vlastnosti pojmů, které mají být dokázány, se nazývají teorémy, následky, znaky, vzorce, pravidla.

Dokažte větu AV- to znamená stanovit logickým způsobem, že kdykoli je vlastnost uspokojena A, nemovitost bude exekuována V.

Důkaz v matematice nazývají konečnou posloupnost výroků dané teorie, z nichž každý je buď axiom, nebo je odvozen z jednoho nebo více výroků této posloupnosti podle pravidel logické inference.

Základem důkazu je úvaha - logická operace, v důsledku čehož se z jedné nebo více významově propojených vět získá věta obsahující nové poznatky.

Jako příklad uveďme uvažování školáka, který potřebuje stanovit vztah „méně než“ mezi čísly 7 a 8. Student říká: „7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Pojďme zjistit, na jakých skutečnostech je závěr získaný v této argumentaci založen.

Existují dvě takové skutečnosti: Za prvé: pokud číslo A při počítání se čísla volají dříve b, Že A< b. Za druhé: 7 se při počítání volá dříve než 8.

První věta je obecný charakter, protože obsahuje obecný kvantifikátor - nazývá se obecným předpokladem. Druhá věta se týká konkrétních čísel 7 a 8 – říká se tomu privátní premisa. Přijato ze dvou balíků nový fakt: 7 < 8, его называют заключением.

Mezi premisami a závěrem existuje určitá souvislost, díky níž tvoří argument.

Argument, ve kterém existuje implikační vztah mezi premisami a závěrem, se nazývá deduktivní.

V logice se místo termínu „uvažování“ častěji používá slovo „inference“.

Odvození- jedná se o způsob získávání nových znalostí na základě některých existujících znalostí.

Inference se skládá z premis a závěru.

Pozemky- tyto obsahují počáteční znalosti.

Závěr- jedná se o výpis obsahující nové poznatky získané z původního.

Závěr je zpravidla oddělen od premis slovy „proto“, „prostředky“. Inference s prostorami R 1, R 2, …, рn a závěr R napíšeme to ve tvaru: nebo (R 1, R 2, …, рn) R.

Příklady závěry: a) Číslo a =b.Číslo b = c. Proto číslo a = c.

b) Je-li čitatel ve zlomku menší než jmenovatel, pak je zlomek vlastní. Ve zlomku čitatel je menší než jmenovatel (5<6) . Proto ten zlomek - opravit.

c) Pokud prší, pak jsou na obloze mraky. Na obloze jsou mraky, proto prší.

Závěry mohou být správné nebo nesprávné.

Inference se nazývá opravit jestliže formule odpovídající její struktuře a představující konjunkci premis, spojená se závěrem implikačním znakem, je shodně pravdivá.

Pro to určit, zda je závěr správný, postupujte následovně:

1) formalizovat všechny premisy a závěry;

2) napište vzorec představující konjunkci premis spojených implikačním znakem se závěrem;

3) sestavte pravdivostní tabulku pro tento vzorec;

4) pokud je vzorec stejně pravdivý, pak je závěr správný, pokud ne, pak je závěr nesprávný.

V logice se věří, že správnost závěru je určena jeho formou a nezávisí na konkrétním obsahu prohlášení, která jsou v něm obsažena. A v logice jsou navržena pravidla, podle kterých lze vytvářet deduktivní závěry. Tato pravidla se nazývají pravidla vyvozování nebo vzory deduktivního uvažování.

Existuje mnoho pravidel, ale nejčastěji používaná jsou následující:

1. - pravidlo závěru;

2. - pravidlo negace;

3. - pravidlo sylogismu.

Pojďme dát příklad závěry z pravidlo závěry:„Pokud nahrávka čísla X končí číslem 5, to číslo X děleno 15. Psaní čísla 135 končí číslem 5 . Proto číslo 135 děleno 5 ».

Obecnou premisou v tomto závěru je tvrzení „pokud Ach),Že B(x)“, Kde Ach)- toto je "záznam čísla" X končí číslem 5 ", A B(x)-"číslo X děleno 5 " Konkrétní premisa je výrok, který je získán z podmínky obecné premisy kdy
x = 135(ti. A(135)). Závěr je výrok odvozený z B(x) na x = 135(ti. V(135)).

Pojďme dát příklad závěru učiněného podle pravidla zápory:„Pokud nahrávka čísla X končí číslem 5, to číslo X děleno 5 . Číslo 177 není dělitelný 5 . Proto to nekončí číslem 5 ».

Vidíme, že v tomto závěru je obecný předpoklad stejný jako v předchozím a konkrétní je negace výroku „počet 177 děleno 5 "(tj.). Závěrem je negace věty „Psaní čísla 177 končí číslem 5 "(tj.).

Nakonec uvažujme příklad úsudku na základě pravidlo sylogismu: „Pokud číslo X násobek 12, pak je to násobek 6. Pokud číslo X násobek 6 , pak je to násobek 3 . Pokud tedy číslo X násobek 12, pak je to násobek 3 ».

Tento závěr má dvě premisy: „pokud Ach),Že B(x)" a pokud B(x),Že C(x)", kde A(x) je "číslo X násobek 12 », B(x)-"číslo X násobek 6 " A C(x)-"číslo X násobek 3 " Závěrem je prohlášení „pokud Ach),Že C(x)».

Pojďme zkontrolovat, zda jsou následující závěry správné:

1) Je-li čtyřúhelník kosočtverec, pak jsou jeho úhlopříčky vzájemně kolmé. ABCD- kosočtverec Proto jsou jeho úhlopříčky vzájemně kolmé.

2) Je-li číslo dělitelné 4 , pak se dělí 2 . Číslo 22 děleno 2 . Proto se dělí na 4.

3) Všechny stromy jsou rostliny. Borovice je strom. To znamená, že borovice je rostlina.

4) Všichni žáci této třídy chodili do divadla. Péťa v divadle nebyl. Péťa proto není studentem této třídy.

5) Pokud je čitatel zlomku menší než jmenovatel, pak je zlomek správný. Pokud je zlomek vlastní, pak je menší než 1. Pokud je tedy čitatel zlomku menší než jmenovatel, pak je zlomek menší než 1.

Řešení: 1) Abychom vyřešili otázku správnosti úsudku, identifikujme jeho logickou formu. Představme si následující zápis: C(x)- "čtyřúhelník" X- kosočtverec", B(x)- "ve čtyřúhelníku." Xúhlopříčky jsou vzájemně kolmé." Pak lze první premisu napsat jako:
C(x) B(x), druhý - C(a), a závěr B(a).

Forma tohoto závěru je tedy: . Je postavena podle pravidla závěru. Proto je tato úvaha správná.

2) Představme si notaci: Ach)-"číslo X děleno 4 », B(x)-"číslo X děleno 2 " Pak napíšeme první premisu: Ach)B(x), druhý B(a), a závěr je A(a). Závěr bude mít podobu: .

Mezi známými neexistuje žádná taková logická forma. Je snadné vidět, že obě premisy jsou pravdivé a závěr je nepravdivý.

To znamená, že tato úvaha je nesprávná.

3) Zaveďme nějaký zápis. Nechat Ach)- "Pokud X strom", B(x) - « X rostlina". Poté budou mít balíčky podobu: Ach)B(x), A(a), a závěr B(a). Náš závěr je postaven ve tvaru: - pravidla závěru.

To znamená, že naše úvaha je strukturována správně.

4) Nechat Ach) - « X- studenti naší třídy, B(x)- „studenti Xšel do divadla." Pak budou balíčky následující: Ach)B(x),, a závěr.

Tento závěr je založen na pravidle negace:

- to znamená, že je to správné.

5) Identifikujme logickou formu úsudku. Nechat A(x) -„čitatel zlomku X méně než jmenovatel." B(x) - „zlomek X- správně." C(x)- "zlomek" X méně 1 " Poté budou mít balíčky podobu: Ach)B(x), B(x) C(x), a závěr Ach)C(x).

Náš závěr bude mít následující logickou formu: - pravidlo sylogismu.

To znamená, že tento závěr je správný.

V logice jsou zvažovány různé způsoby kontroly správnosti závěrů, včetně analýza správnosti inferencí pomocí Eulerových kružnic. Provádí se následovně: závěr je napsán jazykem teorie množin; zobrazit premisy na Eulerových kruzích a považovat je za pravdivé; dívají se, zda je závěr vždy pravdivý. Pokud ano, pak říkají, že závěr je konstruován správně. Pokud je možná kresba, ze které je zřejmé, že závěr je nepravdivý, pak říkají, že závěr je nesprávný.

Tabulka 9

Ukažme, že inference provedená podle pravidla inference je deduktivní. Nejprve napišme toto pravidlo v jazyce teorie množin.

Balík Ach)B(x) lze napsat jako TAtelevize, Kde TA A televize- pravdivostní množiny výrokových forem Ach) A B(x).

Soukromý balík A(a) znamená, že ATA, a závěr B(a) ukázat to ATELEVIZE.

Celá inference vytvořená podle pravidla inference bude zapsána v jazyce teorie množin takto: .

Rýže. 58.

Příklady.

1. Je závěr „Pokud číslo končí číslem“ správný? 5, pak je číslo dělitelné 5. Číslo 125 děleno 5. Proto zapsání čísla 125 končí číslem 5 »?

Řešení: Tento závěr je učiněn podle schématu , což odpovídá . Žádné takové schéma nám není známo. Pojďme zjistit, zda je to pravidlo deduktivní inference?

Použijme Eulerovy kruhy. V jazyce teorie množin

Výsledné pravidlo lze zapsat takto:

. Znázorněme množiny na Eulerových kruzích TA A televize a označují prvek A z mnoha TELEVIZE.

Ukazuje se, že může být obsažen v sadě TA, nebo mu nemusí patřit (obr. 59). V logice se má za to, že takové schéma není pravidlem deduktivního vyvozování, protože nezaručuje pravdivost závěru.

Tento závěr není správný, protože je učiněn podle schématu, které nezaručuje pravdivost úvahy.

Rýže. 59.

b) Všechna slovesa odpovídají na otázku „co dělat?“ nebo "co mám dělat?" Slovo chrpa neodpovídá na žádnou z těchto otázek. Proto „chrpa“ není sloveso.

Řešení: a) Zapišme tento závěr v jazyce teorie množin. Označme podle A- mnoho studentů Pedagogické fakulty, přes V- mnoho studentů, kteří jsou učiteli, přes S- mnoho studentů starších 20 let.

Poté bude mít závěr podobu: .

Pokud tyto sady znázorníme na kruzích, jsou možné 2 případy:

1) sady A, B, C protínají se;

2) sada V se protíná s mnoha S A A, a hodně A protíná V, ale neprotíná se s S.

b) Označme podle A mnoho sloves a přes V mnoho slov, která odpovídají na otázku "co dělat?" nebo "co mám dělat?"

Pak lze závěr napsat takto:

Podívejme se na pár příkladů.

Příklad 1 Žák je požádán, aby vysvětlil, proč lze číslo 23 vyjádřit jako součet 20 + 3. Zdůvodní: „Číslo 23 je dvoumístné. Jakékoli dvoumístné číslo může být reprezentováno jako součet ciferných výrazů. Proto 23 = 20 + 3."

První a druhá věta v tomto závěru jsou premisy a jedna obecné povahy je tvrzení „jakékoli dvouciferné číslo lze vyjádřit jako součet ciferných členů“ a druhá je partikulární, charakterizuje pouze číslo 23 - je dvoumístný. Závěr – tato věta, která následuje za slovem „proto“ – má také soukromý charakter, protože odkazuje na konkrétní číslo 23.

Závěry, které se obvykle používají při dokazování teorémů, jsou založeny na konceptu logické implikace. Navíc z definice logické implikace vyplývá, že pro všechny hodnoty výrokových proměnných, pro které platí počáteční výroky (premisy), platí i závěr věty. Takové závěry jsou deduktivní.

Ve výše uvedeném příkladu je uvedený závěr deduktivní.

Příklad 2 Jedna z technik, jak seznámit žáky základních škol s komutativní vlastností násobení, je následující. Pomocí různých názorných pomůcek si školáci společně s učitelem stanoví, že např. 6 3 = 36, 52 = 25. Poté na základě získaných rovností usoudí: pro všechna přirozená čísla A A b rovnost je pravdivá ab = ba.

V tomto závěru jsou předpoklady první dvě rovnosti. Tvrdí, že taková vlastnost platí pro konkrétní přirozená čísla. Závěrem v tomto příkladu je obecné tvrzení – komutativní vlastnost násobení přirozených čísel.

V tomto závěru to ukazují premisy zvláštní povahy nějaký Přirozená čísla mají následující vlastnost: přeskupení faktorů nemění součin. A na tomto základě se dospělo k závěru, že tuto vlastnost mají všechna přirozená čísla. Takové závěry se nazývají neúplná indukce.

těch. u některých přirozených čísel lze tvrdit, že součet je menší než jejich součin. To znamená, že na základě skutečnosti, že některá čísla mají tuto vlastnost, můžeme usoudit, že všechna přirozená čísla mají tuto vlastnost:

Tento příklad je příkladem analogického uvažování.

Pod analogie rozumět inferenci, ve které se na základě podobnosti dvou objektů v některých charakteristikách a přítomnosti další charakteristiky v jedné z nich vyvozuje závěr o přítomnosti stejné charakteristiky v druhém objektu.

Analogický závěr má povahu předpokladu, hypotézy, a proto potřebuje buď důkaz, nebo vyvrácení.

Při vyvozování závěru je vhodné prezentovat pravidla pro zavádění a odstraňování logických spojovacích prvků stejným způsobem jako pravidla pro vyvozování:

Pravidlo 1. Pokud premisy $F_1$ a $F_2$ mají význam „a“, pak je jejich spojka pravdivá, tzn.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

Tento záznam, pokud jsou premisy $F_1$ a $F_2$ pravdivé, poskytuje možnost zavedení logické konjunkce spojky do závěru; toto pravidlo je shodné s axiomem A5 (viz);

Pravidlo 2. Pokud má $(F_1\&F_2)$ hodnotu „a“, pak podvzorce $F_1$ a $F_2$ jsou pravdivé, tzn.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: a \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

Tento zápis, pokud je $(F_1\&F_2)$ pravdivý, poskytuje možnost odstranění logického spojovacího prvku spojky v závěru a zohlednění skutečných hodnot podformulí $F_1$ a $F_2$; toto pravidlo je shodné s axiomy A3 a A4;

Pravidlo 3. Pokud má $F_1$ hodnotu „and“ a $(F_1\&F_2)$ má hodnotu „l“, pak je podvzorec $F_2$ nepravdivý, tzn.

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

Tento záznam, pokud je $(F_1\&F_2)$ nepravdivý a jeden z podformulí je pravdivý, poskytuje možnost odstranit logickou spojku spojky v závěru a považovat hodnotu druhého podformule za nepravdivou;

Pravidlo 4. Pokud je pravdivá alespoň jedna premisa $F_1$ nebo $F_2$, pak je pravdivá jejich disjunkce, tzn.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: nebo \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

Tento zápis, pokud je alespoň jedna podformule $F_1$ nebo $F_2$ pravdivá, poskytuje možnost zavedení logické spojky disjunkce v závěru; toto pravidlo je shodné s axiomy A6 a A7;

Pravidlo 5. Pokud má $(F_1\vee F_2)$ hodnotu „a“ a jeden z podvzorců $F_1$ nebo $F_2$ má hodnotu „l“, pak je druhý podvzorec $F_2$ nebo $F_1$ pravdivý, tzn.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: nebo \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right \!\!F_2 )( (F_1)$$

Tento zápis, pokud je $(F_1\vee F_2)$ pravdivý, poskytuje možnost odstranění logického spojovacího prvku disjunkce v závěru a zohlednění skutečných hodnot podformulí $F_1$ nebo $F_2$;

Pravidlo 6. Pokud má podvzorec $F_2$ hodnotu „a“, pak vzorec $(F_1\rightarrow F_2)$ platí pro libovolnou hodnotu podvzorce $F_1$, tzn.

$$\frac(F_2)( (F_1\rightarrow F_2))$$

Tento zápis se skutečnou hodnotou $F_2$ poskytuje možnost zavedení implikace do závěru logického spojovacího prvku pro jakoukoli hodnotu podformule $F_1$ („pravda z čehokoli“); toto pravidlo je totožné s axiomem 1;

Pravidlo 7. Pokud má podvzorec $F_1$ hodnotu „l“, pak vzorec $(F_1\rightarrow F_2)$ platí pro jakoukoli hodnotu podvzorce $F_2$, tzn.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

Tento zápis, pokud je hodnota $F_1$ nepravdivá, poskytuje možnost zavedení implikace do závěru logického spojovacího prvku pro libovolnou hodnotu podformule $F_2$ („cokoli z nepravdy“);

Pravidlo 8. Pokud má vzorec $(F_1\rightarrow F_2)$ hodnotu „a“, pak vzorec $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ je pravda, tzn.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

Tento záznam se skutečnou hodnotou $(F_1\rightarrow F_2)$ určuje možnost záměny pólů implikace při současné změně jejich hodnot; to je zákon protikladu;

Pravidlo 9. Pokud má vzorec $(F_1\rightarrow F_2)$ hodnotu „a“, pak vzorec $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ platí pro jakoukoli hodnotu $F_3$, tzn.

$$\frac((F_1\šipka vpravo F_2) )(((F_1\vee F_3)\šipka vpravo (F_2\vee F_3)) $$

Tento záznam se skutečnou hodnotou $(F_1\rightarrow F_2)$ určuje schopnost provést operaci disjunkce pro libovolnou hodnotu vzorce $F_3$ nad každým pólem implikace; toto pravidlo je totožné s axiomem A11.

Pravidlo 10. Pokud má vzorec $(F_1\rightarrow F_2)$ hodnotu „a“, pak vzorec $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ platí pro jakoukoli hodnotu $F_3$, tzn.

$$\frac((F_1\šipka doprava F_2) )(((F_1\&F_3)\šipka doprava (F_2\&F_3))$$

Tento záznam se skutečnou hodnotou $(F_1\rightarrow F_2)$ určuje schopnost provést operaci konjunkce pro libovolnou hodnotu vzorce $F_3$ nad každým pólem implikace; toto pravidlo je totožné s axiomem A10.

Pravidlo 11. Pokud mají vzorce $(F_1\rightarrow F_2)$ a $(F_2\rightarrow F_3)$ hodnotu „a“, pak vzorec $(F_1\rightarrow F_3)$ je pravdivý, tzn.

$$\frac((F_1\šipka doprava F_2); (F_2\šipka doprava F_3) )((F_1\šipka doprava F_3))$$

Tento záznam se skutečnou hodnotou $(F_1\rightarrow F_2)$ a $(F_2\rightarrow F_3)$ poskytuje možnost vytvořit implikaci $(F_1\rightarrow F_3)$ (zákon sylogismu); toto pravidlo je totožné s axiomem A2;

Pravidlo 12. Pokud mají vzorce $F_1$ a $(F_1\rightarrow F_2)$ hodnotu „a“, pak je vzorec $F_2$ pravdivý, tzn.

$$\frac(F_1; (F_1\šipka doprava F_2) )( F_2)$$

Tento záznam, s ohledem na skutečnou hodnotu premisy $F_1$ a implikaci $(F_1\rightarrow F_2)$, vám umožňuje odstranit logický spojovací prvek implikace a určit skutečnou hodnotu závěru $F_2$;

Pravidlo 13. Pokud jsou vzorce $\left\rceil\right. \!\!F_2 a (F_1\rightarrow F_2)$ mají význam „a“, potom platí vzorec $\left\rceil\right. \!\!F_1$, tzn.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

Tato položka je dána skutečnou hodnotou předpokladu $\left\rceil\right. \!\!F_2$ a implikace $(F_1\rightarrow F_2)$ umožňuje odstranit logický spojovací prvek implikace a určit skutečnou hodnotu závěru $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Pravidlo 14. Pokud vzorce $(F_1\rightarrow F_2)$ a $(F_2\rightarrow F_1)$ mají hodnotu „a“, pak vzorec $(F_1\leftrightarrow F_2)$ je pravdivý, tzn.

$$\frac((F_1\šipka doprava F_2); (F_2\šipka doprava F_1) )( (F_1\šipka doleva F_2))$$

Tento záznam se skutečnou hodnotou $(F_1\rightarrow F_2)$ a $(F_2\rightarrow F_1)$ vám umožňuje zavést logickou ekvivalenci a určit hodnotu vzorce $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Pravidlo 15. Pokud má vzorec $(F_1\leftrightarrow F_2)$ hodnotu „a“, pak vzorce $(F_1\rightarrow F_2)$ a $(F_2\rightarrow F_1)$ jsou pravdivé, tzn.

$$\frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_1\rightarrow F_2) ) \: a \: \frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_2\rightarrow F_1) )$$

Tento záznam se skutečnou hodnotou $(F_1\leftrightarrow F_2)$ vám umožňuje odstranit logický spojovací prvek ekvivalence a určit skutečnou hodnotu vzorců $(F_1\rightarrow F_2)$ a $(F_2\rightarrow F_1) $.