स्पर्शरेखा विधि उदाहरण समाधान. पाठ्यक्रम कार्य: अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि



कीवर्ड:

कार्य का लक्ष्य: एक अज्ञात के साथ अरेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करें और प्रयोगात्मक कार्य में उनका परीक्षण करें।

नौकरी के उद्देश्य:

1. विश्लेषण विशेष साहित्यऔर अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे तर्कसंगत तरीकों का चयन करें, जिससे आप गहराई से अध्ययन कर सकें और आत्मसात कर सकें इस विषयसभी हाई स्कूल स्नातक.
2. आईसीटी का उपयोग करके अरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए एक पद्धति के कुछ पहलुओं का विकास करें।
3. अरैखिक समीकरणों को हल करने की विधियाँ खोजें:

‒ चरण विधि

‒ आधा करने की विधि

‒ न्यूटन की विधि

परिचय।

गणितीय साक्षरता के बिना, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अन्य विषयों में समस्याओं को हल करने के तरीकों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करना असंभव है। प्राकृतिक विज्ञान का संपूर्ण परिसर गणितीय ज्ञान के आधार पर निर्मित और विकसित हुआ है। उदाहरण के लिए, गणितीय भौतिकी में कई सामयिक समस्याओं के अध्ययन से गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होती है। अरेखीय समीकरणों का समाधान अरेखीय प्रकाशिकी, प्लाज्मा भौतिकी, अतिचालकता सिद्धांत और निम्न-तापमान भौतिकी में आवश्यक है। इस विषय पर पर्याप्त मात्रा में साहित्य है, लेकिन कई पाठ्यपुस्तकों और लेखों को हाई स्कूल के छात्र के लिए समझना मुश्किल है। यह पेपर गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है जिनका उपयोग भौतिकी और रसायन विज्ञान में लागू समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। एक दिलचस्प पहलू अनुप्रयोग है सूचना प्रौद्योगिकीगणित में समीकरणों और समस्याओं को हल करने के लिए।

चरण विधि.

मान लीजिए कि F(x)=0 के रूप के एक अरेखीय समीकरण को हल करना आवश्यक है। आइए यह भी मान लें कि हमें एक निश्चित खोज अंतराल दिया गया है। खोज अंतराल की बाईं सीमा से शुरू करके, समीकरण की पहली जड़ वाले लंबाई h के अंतराल [a,b] को ढूंढना आवश्यक है।

चावल। 1. चरण विधि

ऐसी समस्या को हल करने के कई तरीके हैं। चरण विधि असमानताओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में सबसे सरल है, लेकिन उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए चरण को महत्वपूर्ण रूप से कम करना आवश्यक है, और इससे गणना का समय काफी बढ़ जाता है। समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करना यह विधिइसमें दो चरण होते हैं।

मैंअवस्था। जड़ पृथक्करण.

इस स्तर पर, अनुभाग निर्धारित किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में समीकरण का केवल एक मूल होता है। इस चरण को लागू करने के लिए कई विकल्प हैं:

• हम एक्स के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं (अधिमानतः कुछ काफी छोटे कदम के साथ) और देखते हैं कि फ़ंक्शन का चिह्न कहां बदलता है। यदि फ़ंक्शन ने अपना चिह्न बदल दिया है, तो इसका मतलब है कि X के पिछले और वर्तमान मान के बीच के क्षेत्र में एक जड़ है (यदि फ़ंक्शन अपनी वृद्धि/कमी की प्रकृति को नहीं बदलता है, तो हम कह सकते हैं कि केवल एक ही है इस अंतराल में जड़)।
• ग्राफ़िकल विधि. हम एक ग्राफ बनाते हैं और मूल्यांकन करते हैं कि एक जड़ किस अंतराल पर स्थित है।
• आइए किसी विशिष्ट फ़ंक्शन के गुणों का पता लगाएं।

द्वितीयअवस्था। जड़ों का शोधन.

इस स्तर पर, पहले निर्धारित समीकरण की जड़ों का अर्थ स्पष्ट किया जाता है। एक नियम के रूप में, इस स्तर पर पुनरावृत्त तरीकों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, विधि आधा विभाजन(द्विभाजन) या न्यूटन की विधि।

अर्धविभाजन विधि

समीकरणों को हल करने के लिए एक तेज़ और काफी सरल संख्यात्मक विधि, जो निर्दिष्ट सटीकता ई प्राप्त होने तक समीकरण की एकमात्र जड़ एफ (एक्स) = 0 वाले अंतराल की अनुक्रमिक संकुचन पर आधारित है। इस विधि का उपयोग आमतौर पर हल करते समय किया जाता है द्विघातीय समीकरणऔर उच्च डिग्री के समीकरण। हालाँकि, इस पद्धति में एक महत्वपूर्ण खामी है - यदि खंड [ए,बी] में एक से अधिक रूट हैं, तो यह अच्छे परिणाम प्राप्त करने में सक्षम नहीं होगा।

चावल। 2. द्विभाजन विधि

इस विधि का एल्गोरिदम इस प्रकार है:

‒ खंड [a;b] के मध्य में मूल x का एक नया सन्निकटन निर्धारित करें: x=(a+b)/2.

- बिंदु a और x: F(a) और F(x) पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

- स्थिति की जाँच करें F(a)*F(x)

‒ चरण 1 पर जाएं और खंड को फिर से आधे में विभाजित करें। एल्गोरिथम को तब तक जारी रखें जब तक स्थिति |F(x)|

न्यूटन की विधि

संख्यात्मक समाधान विधियों में सबसे सटीक; बहुत जटिल समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त है, लेकिन प्रत्येक चरण पर डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता से जटिल है। क्या यह है कि यदि x n समीकरण के मूल का कुछ सन्निकटन है , तो अगले सन्निकटन को बिंदु x n पर खींचे गए फ़ंक्शन f(x) की स्पर्शरेखा के मूल के रूप में परिभाषित किया गया है।

बिंदु x n पर फ़ंक्शन f(x) के स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:

स्पर्शरेखा समीकरण में हम y = 0 और x = x n +1 डालते हैं।

फिर न्यूटन की विधि में अनुक्रमिक गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण द्विघात है, अभिसरण का क्रम 2 है।

इस प्रकार, न्यूटन की स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण बहुत तेज़ है।

बिना किसी बदलाव के, विधि को जटिल मामले में सामान्यीकृत किया जाता है। यदि मूल x i दूसरी बहुलता या उच्चतर का मूल है, तो अभिसरण का क्रम गिर जाता है और रैखिक हो जाता है।

न्यूटन की विधि के नुकसान में इसकी स्थानीयता शामिल है, क्योंकि यह एक मनमाने ढंग से प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण की गारंटी देता है, अगर शर्त हर जगह संतुष्ट हो विपरीत स्थिति में, अभिसरण जड़ के एक निश्चित पड़ोस में ही होता है।

समीकरण बनाते समय आमतौर पर न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) का उपयोग किया जाता है एफ(एक्स) = 0एक जड़ है और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) फ़ंक्शन y=f(x)परिभाषित और निरंतर;

2) f(a) f(b) (फ़ंक्शन खंड के अंत में विभिन्न चिह्नों का मान लेता है [ ए;बी]);

3) डेरिवेटिव च"(x)और च""(x)अंतराल पर चिह्न सुरक्षित रखें [ ए;बी] (अर्थात फ़ंक्शन एफ(एक्स)खंड पर या तो बढ़ता है या घटता है [ ए;बी], उत्तलता की दिशा बनाए रखते हुए);

विधि का अर्थ इस प्रकार है: खंड पर [ ए;बी] ऐसी संख्या का चयन किया जाता है एक्स 0 ,जिस पर एफ(एक्स 0)के समान चिन्ह है च""(x 0),यानी शर्त पूरी हो गई है f(x 0) f""(x) > 0. इस प्रकार, भुज वाले बिंदु का चयन किया जाता है एक्स 0, जिसमें वक्र की स्पर्शरेखा है y=f(x)खंड पर [ ए;बी] अक्ष को प्रतिच्छेद करता है बैल. प्रति बिंदु एक्स 0सबसे पहले, खंड के किसी एक सिरे का चयन करना सुविधाजनक है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस एल्गोरिदम पर विचार करें।

आइए हमें एक बढ़ता हुआ फलन दिया जाए y = f(x) =x 2– 2,खंड (0;2) पर निरंतर, और होना एफ "(एक्स) =2x>0और एफ ""(x) = 2> 0.

हमारे मामले में, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).में बिंदु x 0 के रूप में हम बिंदु का चयन करते हैं बी 1 (बी; एफ(बी)) = (2,2).फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ(एक्स)बिंदु बी 1 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलडॉट एक्स 1. हमें प्रथम स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त होता है: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. बैल: x 1 =

चावल। 3. फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ की पहली स्पर्शरेखा का निर्माण

y=f(x) बैलबिंदु के माध्यम से एक्स 1, हमें बात समझ में आ गई बी 2 =(1.5; 0.25). फ़ंक्शन के लिए फिर से एक स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ(एक्स)बिंदु बी 2 पर, और स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें बैलडॉट एक्स 2.

दूसरे स्पर्शरेखा का समीकरण: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25.स्पर्शरेखा और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु बैल: x 2 =.

फिर हम फ़ंक्शन का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं y=f(x)और अक्ष पर खींचा गया एक लम्ब बैलबिंदु x 2 से होकर हमें बिंदु B 3 मिलता है इत्यादि।

चावल। 4. फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ की दूसरी स्पर्शरेखा का निर्माण

मूल का पहला सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

= 1.5.

मूल का दूसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

=

मूल का तीसरा सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार ,मैंमूल का वां सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

गणना तब तक की जाती है जब तक कि उत्तर में आवश्यक दशमलव स्थान मेल नहीं खाते, या निर्दिष्ट परिशुद्धता ई प्राप्त नहीं हो जाती - जब तक कि असमानता संतुष्ट न हो जाए |xi-xi-1|

हमारे मामले में, आइए तीसरे चरण में प्राप्त अनुमान की तुलना वास्तविक उत्तर से करें। जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही तीसरे चरण में हमें 0.000002 से कम की त्रुटि प्राप्त हुई।

CAD का उपयोग करके एक समीकरण को हल करनाMathCAD

प्रपत्र के सरलतम समीकरणों के लिए एफ(एक्स) = 0 MathCAD में समाधान फ़ंक्शन का उपयोग करके पाया जाता है जड़.

जड़(एफ (एक्स 1 , एक्स 2 , … ) , एक्स 1 , ए, बी ) - मान लौटाता है एक्स 1 , खंड से संबंधित [ ए, बी ] , जिसमें अभिव्यक्ति या कार्य एफ (एक्स ) 0 पर जाता है। इस फ़ंक्शन के दोनों तर्क अदिश होने चाहिए। फ़ंक्शन एक अदिश राशि लौटाता है.

चावल। 5. MathCAD (रूट फ़ंक्शन) में एक अरेखीय समीकरण को हल करना

यदि इस फ़ंक्शन को लागू करने के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि होती है, तो इसका मतलब यह हो सकता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, या समीकरण की जड़ें प्रारंभिक सन्निकटन से दूर स्थित हैं, अभिव्यक्ति में स्थानीय है अधिकतमऔर मिनप्रारंभिक सन्निकटन और जड़ों के बीच.

त्रुटि का कारण स्थापित करने के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना आवश्यक है एफ(एक्स). इससे समीकरण के मूलों की उपस्थिति का पता लगाने में मदद मिलेगी एफ(एक्स) = 0 और, यदि वे मौजूद हैं, तो लगभग उनके मान निर्धारित करें। जड़ का आरंभिक सन्निकटन जितना अधिक सटीकता से चुना जाएगा, उतनी ही तेजी से उसका सटीक मान ज्ञात किया जा सकेगा।

यदि प्रारंभिक सन्निकटन अज्ञात है, तो फ़ंक्शन का उपयोग करने की सलाह दी जाती है हल करना . इसके अलावा, यदि समीकरण में कई चर हैं, तो आपको बाद में संकेत देना होगा कीवर्डहल उन चरों की एक सूची है जिनके लिए समीकरण हल किया जाता है।

चावल। 6. MathCAD में एक अरेखीय समीकरण को हल करना (फ़ंक्शन हल करें)

निष्कर्ष

अध्ययन ने जांच की कि कैसे गणितीय तरीके, और CAD प्रणाली MathCAD में प्रोग्रामिंग का उपयोग करके समीकरणों को हल करना। विभिन्न तरीकेउनके अपने फायदे और नुकसान हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी विशेष विधि का उपयोग दिए गए समीकरण की प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है। वे समीकरण जिन्हें स्कूल में ज्ञात गुणनखंडन आदि विधियों से अच्छी तरह हल किया जा सकता है, उन्हें अधिक हल करने का कोई मतलब नहीं है जटिल तरीकों से. व्यावहारिक गणित की समस्याएं जो भौतिकी और रसायन विज्ञान के लिए महत्वपूर्ण हैं और समीकरणों को हल करते समय जटिल कम्प्यूटेशनल संचालन की आवश्यकता होती है, उन्हें सफलतापूर्वक हल किया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रोग्रामिंग का उपयोग करके। इन्हें न्यूटन की विधि से हल करना अच्छा है।

मूलों को स्पष्ट करने के लिए, आप एक ही समीकरण को हल करने के लिए कई विधियों का उपयोग कर सकते हैं। यह वह शोध था जिसने इस कार्य का आधार बनाया। साथ ही, यह देखना आसान है कि समीकरण के प्रत्येक चरण को हल करते समय कौन सी विधि सबसे सफल है, और इस चरण में कौन सी विधि का उपयोग न करना बेहतर है।

अध्ययन की गई सामग्री, एक ओर, गणितीय ज्ञान को विस्तारित और गहरा करने और गणित में रुचि पैदा करने में मदद करती है। दूसरी ओर, उन लोगों के लिए वास्तविक गणित समस्याओं को हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है जो तकनीकी और इंजीनियरिंग पेशे हासिल करने की योजना बना रहे हैं। इसीलिए यह कामके लिए मायने रखता है आगे की शिक्षा(उदाहरण के लिए, किसी उच्च शिक्षा संस्थान में)।

साहित्य:

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कीवर्ड: अरेखीय समीकरण, अनुप्रयुक्त गणित, सीएडी मैथसीएडी, न्यूटन की विधि, चरण विधि, द्विभाजन विधि।.

एनोटेशन: यह लेख मैथकैड कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन प्रणाली का उपयोग करने सहित गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के तरीकों के अध्ययन के लिए समर्पित है। चरण विधि, आधे भाग और न्यूटन विधियों पर विचार किया जाता है, इन विधियों को लागू करने के लिए विस्तृत एल्गोरिदम दिए गए हैं, और तुलनात्मक विश्लेषणनिर्दिष्ट विधियाँ.

न्यूटन की विधि (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन का मूल (शून्य) खोजने के लिए एक पुनरावृत्तीय संख्यात्मक विधि है। यह विधि सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643-1727) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जिनके नाम से यह प्रसिद्ध हुई।

इस विधि का वर्णन आइजैक न्यूटन द्वारा पांडुलिपि डी एनालिसिस प्रति एक्वेशन्स न्यूमेरो टर्मिनोरम इनफिनिटास (अव्य.) में किया गया था। ।के बारे मेंअनंत श्रृंखला के समीकरणों द्वारा विश्लेषण), 1669 में बैरो को संबोधित, और कार्य डी मेटोडिस फ्लक्सियोनम एट सेरीरम इनफिनिटरम (लैटिन: प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि) या जियोमेट्रिया एनालिटिका ( अव्य.विश्लेषणात्मकज्यामिति) न्यूटन के एकत्रित कार्यों में, जो 1671 में लिखा गया था। हालाँकि, विधि का विवरण इसकी वर्तमान प्रस्तुति से काफी भिन्न था: न्यूटन ने अपनी विधि को विशेष रूप से बहुपदों पर लागू किया। उन्होंने x n के क्रमिक सन्निकटन की गणना नहीं की, बल्कि बहुपदों के अनुक्रम की गणना की और परिणामस्वरूप x का अनुमानित समाधान प्राप्त किया।

इस पद्धति को पहली बार 1685 में जॉन वालिस द्वारा बीजगणित ग्रंथ में प्रकाशित किया गया था, जिनके अनुरोध पर इसका संक्षिप्त वर्णन स्वयं न्यूटन द्वारा किया गया था। 1690 में, जोसेफ रैफसन ने अपने कार्य एनालिसिस एक्वेशनम युनिवर्सलिस (अव्य.) में एक सरलीकृत विवरण प्रकाशित किया। सामान्य विश्लेषणसमीकरण)।रैफसन ने न्यूटन की विधि को पूरी तरह से बीजगणितीय माना और इसके उपयोग को बहुपदों तक सीमित रखा, लेकिन उन्होंने इस विधि का वर्णन न्यूटन द्वारा उपयोग किए गए बहुपदों के अनुक्रम को समझने में अधिक कठिन होने के बजाय क्रमिक सन्निकटन x n के संदर्भ में किया।

अंत में, 1740 में, न्यूटन की विधि को थॉमस सिम्पसन द्वारा डेरिवेटिव का उपयोग करके गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए प्रथम-क्रम पुनरावृत्ति विधि के रूप में वर्णित किया गया था जैसा कि यहां बताया गया है। उसी प्रकाशन में, सिम्पसन ने दो समीकरणों की प्रणाली के मामले में विधि को सामान्यीकृत किया और नोट किया कि न्यूटन की विधि को व्युत्पन्न या ग्रेडिएंट के शून्य का पता लगाकर अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए भी लागू किया जा सकता है।

इस पद्धति के अनुसार, किसी फ़ंक्शन के मूल को खोजने का कार्य फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के कार्य तक कम हो जाता है।

चित्र .1 . फ़ंक्शन परिवर्तन ग्राफ़

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा रेखा विचाराधीन बिंदु पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है, जो बदले में कोण α () के स्पर्शरेखा द्वारा निर्धारित की जाती है। भुज अक्ष के साथ स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु निम्नलिखित संबंध के आधार पर निर्धारित किया जाता है सही त्रिकोण: कोण की स्पर्श रेखाएक समकोण त्रिभुज में त्रिभुज की विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात से निर्धारित होता है। इस प्रकार, प्रत्येक चरण में, फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक स्पर्श रेखा अगले सन्निकटन के बिंदु पर बनाई जाती है . अक्ष के साथ स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदुबैल अगला दृष्टिकोण बिंदु होगा. विचाराधीन विधि के अनुसार, रूट के अनुमानित मूल्य की गणना की जाती हैमैं-पुनरावृत्तियां सूत्र के अनुसार की जाती हैं:

सीधी रेखा का ढलान प्रत्येक चरण में सर्वोत्तम संभव तरीके से समायोजित किया जाता है, हालांकि, आपको इस तथ्य पर ध्यान देना चाहिए कि एल्गोरिदम ग्राफ़ की वक्रता को ध्यान में नहीं रखता है और इसलिए, गणना प्रक्रिया के दौरान यह अज्ञात रहता है ग्राफ़ किस दिशा में भटक सकता है.

पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के अंत की शर्त निम्नलिखित शर्त की पूर्ति है:

कहाँ ˗ मूल निर्धारण में अनुमेय त्रुटि।

विधि में द्विघात अभिसरण है। अभिसरण की द्विघात दर का अर्थ है कि सन्निकटन में सही संकेतों की संख्या प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ दोगुनी हो जाती है।

गणितीय औचित्य

एक वास्तविक कार्य दिया जाए, जो विचाराधीन क्षेत्र में परिभाषित और निरंतर है। प्रश्न में फ़ंक्शन की वास्तविक जड़ का पता लगाना आवश्यक है।

समीकरण की व्युत्पत्ति विधि पर आधारित है सरल पुनरावृत्तियाँ, जिसके अनुसार समीकरण को किसी भी फ़ंक्शन के समतुल्य समीकरण में घटा दिया जाता है। आइए हम संकुचन मानचित्रण की अवधारणा का परिचय दें, जिसे संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।

विधि के सर्वोत्तम अभिसरण के लिए, शर्त को अगले सन्निकटन के बिंदु पर संतुष्ट किया जाना चाहिए। इस आवश्यकता का अर्थ है कि फ़ंक्शन का मूल फ़ंक्शन के चरम के अनुरूप होना चाहिए।

संकुचन मानचित्र का व्युत्पन्नको इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

आइए इस अभिव्यक्ति से चर को व्यक्त करेंपहले से स्वीकृत कथन के अधीन रहते हुए कि कब शर्त सुनिश्चित करना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, हमें चर को परिभाषित करने के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

इसे ध्यान में रखते हुए, संपीड़न फ़ंक्शन इस प्रकार है:

इस प्रकार, समीकरण का संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम को पुनरावृत्तीय गणना प्रक्रिया में बदल दिया गया है:

विधि का उपयोग करके एक अरेखीय समीकरण का मूल ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम

1. फ़ंक्शन के रूट के अनुमानित मान का प्रारंभिक बिंदु सेट करें, साथ ही गणना त्रुटि (छोटी सकारात्मक संख्या) और प्रारंभिक पुनरावृत्ति चरण ().

2. सूत्र के अनुसार फ़ंक्शन के मूल के अनुमानित मान की गणना करें:

3. हम निर्दिष्ट सटीकता के लिए रूट के अनुमानित मूल्य की जांच करते हैं:

यदि दो क्रमिक सन्निकटनों के बीच का अंतर निर्दिष्ट सटीकता से कम हो जाता है, तो पुनरावृत्तीय प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

यदि दो क्रमिक सन्निकटनों के बीच का अंतर आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंचता है, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया को जारी रखना और विचाराधीन एल्गोरिदम के चरण 2 पर जाना आवश्यक है।

समीकरण हल करने का उदाहरण

विधि द्वाराएक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन

उदाहरण के तौर पर, विधि का उपयोग करके एक अरेखीय समीकरण को हल करने पर विचार करेंएक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन. जड़ को पहले सन्निकटन के रूप में सटीकता के साथ पाया जाना चाहिए.

सॉफ़्टवेयर पैकेज में अरेखीय समीकरण को हल करने का विकल्पMathCADचित्र 3 में प्रस्तुत किया गया है।

गणना परिणाम, अर्थात् रूट के अनुमानित मूल्य में परिवर्तन की गतिशीलता, साथ ही पुनरावृत्ति चरण के आधार पर गणना त्रुटियां, ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत की जाती हैं (चित्र 2 देखें)।

अंक 2. एक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करके गणना परिणाम

श्रेणी में समीकरण के मूल के अनुमानित मान की खोज करते समय निर्दिष्ट सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, 4 पुनरावृत्तियों को निष्पादित करना आवश्यक है। अंतिम पुनरावृत्ति चरण में, अरेखीय समीकरण की जड़ का अनुमानित मूल्य मान द्वारा निर्धारित किया जाएगा:।

चित्र 3 . कार्यक्रम सूची मेंMathCAD

एक चर वाले समीकरण के लिए न्यूटन की विधि में संशोधन

न्यूटन की पद्धति में कई संशोधन हैं जिनका उद्देश्य कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया को सरल बनाना है।

सरलीकृत न्यूटन की विधि

न्यूटन की विधि के अनुसार, प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण पर फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है, जिससे कम्प्यूटेशनल लागत में वृद्धि होती है। प्रत्येक गणना चरण में व्युत्पन्न की गणना से जुड़ी लागत को कम करने के लिए, आप सूत्र में बिंदु x n पर व्युत्पन्न f'(x n) को बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न f'(x 0) से बदल सकते हैं। इस गणना पद्धति के अनुसार, मूल का अनुमानित मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:संशोधित न्यूटन की विधि

न्यूटन की अंतर विधि

परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन f(x) के मूल का अनुमानित मान न्यूटन की अंतर विधि की अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

न्यूटन की दो चरणीय विधि

न्यूटन की विधि के अनुसार, प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण पर फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है, जो हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है और कभी-कभी व्यावहारिक रूप से असंभव होता है। यह विधिकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को अंतर अनुपात (अनुमानित मान) द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है:

परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन f(x) के मूल का अनुमानित मान निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाएगा:

कहाँ

चित्र.5 . न्यूटन की दो चरणीय विधि

सेकेंट विधि एक दो-चरणीय विधि है, अर्थात एक नया सन्निकटनपिछले दो पुनरावृत्तियों द्वारा निर्धारितऔर । विधि को दो प्रारंभिक सन्निकटन निर्दिष्ट करने होंगेऔर । विधि की अभिसरण दर रैखिक होगी.

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2. अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि।

इस विधि में सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में बहुत तेज़ अभिसरण है। समीकरणों की प्रणाली (1.1) के लिए न्यूटन की विधि फ़ंक्शन विस्तार के उपयोग पर आधारित है

, कहाँ
(2.1)

टेलर श्रृंखला में, दूसरे या अधिक वाले शब्दों के साथ उच्च आदेशव्युत्पन्नों को त्याग दिया जाता है। यह दृष्टिकोण किसी एक को हल करने की अनुमति देता है अरेखीय प्रणाली(1.1) को कई रैखिक प्रणालियों के समाधान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

तो, हम सिस्टम (1.1) को न्यूटन की विधि से हल करेंगे। क्षेत्र D में, कोई भी बिंदु चुनें
और इसे मूल प्रणाली के सटीक समाधान का शून्य सन्निकटन कहें। आइए अब बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शंस (2.1) को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें। होगा

क्योंकि (2.2) का बायाँ भाग (1.1.1) के अनुसार लुप्त हो जाना चाहिए, फिर (2.2) का दायाँ भाग भी लुप्त हो जाना चाहिए। इसलिए, (2.2) से हमारे पास है

(2.3) में सभी आंशिक व्युत्पन्नों की गणना बिंदु पर की जानी चाहिए।

(2.3) रैखिक की एक प्रणाली है बीजगणितीय समीकरणअज्ञात के सापेक्ष इस प्रणाली को क्रैमर विधि द्वारा हल किया जा सकता है यदि इसका मुख्य निर्धारक गैर-शून्य है और मात्राएँ पाई जा सकती हैं

अब हम निर्देशांक के साथ पहला सन्निकटन बनाकर शून्य सन्निकटन को परिष्कृत कर सकते हैं

वे।
. (2.6)

आइए जानें कि क्या सन्निकटन (2.6) पर्याप्त सटीकता के साथ प्राप्त किया गया है। ऐसा करने के लिए, आइए स्थिति की जाँच करें

,
(2.7)

कहाँ एक पूर्व निर्धारित छोटी सकारात्मक संख्या (जिस सटीकता के साथ सिस्टम (1.1) को हल किया जाना चाहिए)। यदि शर्त (2.7) संतुष्ट है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में (2.6) को चुनते हैं और गणना पूरी करते हैं। यदि शर्त (2.7) संतुष्ट नहीं है, तो हम निम्नलिखित कार्रवाई करते हैं। सिस्टम (2.3) में, के बजाय
आइए अद्यतन मान लें

, (2.8)

वे। चलो यह करते हैं निम्नलिखित क्रियाएं

. (2.9)

इसके बाद, प्रणाली (2.3) मात्राओं के लिए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली होगी, इन मात्राओं को निर्धारित करने के बाद, अगला दूसरा सन्निकटन
सिस्टम का समाधान (1.1) हम सूत्रों का उपयोग करके पाते हैं

अब स्थिति की जाँच करते हैं (2.7)

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में दूसरे सन्निकटन को लेकर गणना पूरी करते हैं।
. यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम (2.3) लेते हुए अगला सन्निकटन बनाना जारी रखते हैं।
जब तक शर्त पूरी न हो जाए तब तक अनुमान लगाना आवश्यक है।

सिस्टम को हल करने के लिए न्यूटन की विधि के कार्य सूत्र (1.1) को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

अनुक्रम की गणना करें

यहाँ
सिस्टम का समाधान हैं

आइए हम सूत्र (2.11)-(2.13) का उपयोग करके एक गणना एल्गोरिदम तैयार करें।

1. आइए क्षेत्र डी से संबंधित एक शून्य सन्निकटन चुनें।

2. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली में (2.13) हम सेट करते हैं
,ए ।

3. आइए प्रणाली (2.13) को हल करें और मात्राएँ ज्ञात करें
.

4. सूत्र (2.12) में हम डालते हैं
और अगले सन्निकटन के घटकों की गणना करें।

5. आइए इसके लिए शर्त (2.7) की जांच करें: (कई मात्राओं की अधिकतम गणना के लिए एल्गोरिदम देखें।)

6. यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के रूप में सन्निकटन को चुनकर गणना पूरी करते हैं। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो चरण 7 पर आगे बढ़ें।

7. चलो डालते हैं
सभी के लिए ।

8. चलिए चरण 3 को आगे बढ़ाते हैं
.

ज्यामितीय रूप से, इस एल्गोरिदम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कलन विधि। कई मात्राओं की अधिकतम गणना.

उदाहरण. आइए दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग करने पर विचार करें।

सटीकता तक न्यूटन विधि से हल करें निम्नलिखित प्रणालीअरेखीय समीकरण

, (2.14)

यहाँ
. आइए शून्य सन्निकटन चुनें
, डोमेन डी से संबंधित। आइए हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (2.3) की एक प्रणाली का निर्माण करें। वह जैसी दिखेगी

(2.15)

चलो निरूपित करें

आइए अज्ञात के संबंध में सिस्टम (2.15) को हल करें
, उदाहरण के लिए क्रैमर विधि। हम क्रैमर के सूत्रों को फॉर्म में लिखते हैं

(2.17)

सिस्टम का मुख्य निर्धारक कहाँ है (2.15)

(2.18)

और सिस्टम के सहायक निर्धारक (2.15) का रूप है

.

हम पाए गए मानों को (2.16) में प्रतिस्थापित करते हैं और पहले सन्निकटन के घटकों को ढूंढते हैं
सिस्टम के समाधान के लिए (2.15)।

आइए स्थिति की जाँच करें

, (2.19)

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम पहले सन्निकटन को सिस्टम (2.15) के अनुमानित समाधान के रूप में लेकर गणना पूरी करते हैं, अर्थात।
. यदि शर्त (2.19) संतुष्ट नहीं है, तो हम सेट करते हैं
,
और हम निर्माण करेंगे नई प्रणालीरैखिक बीजगणितीय समीकरण (2.15)। इसे हल करने के बाद, हम दूसरा सन्निकटन पाते हैं
. आइए इसे जांचें। यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम सिस्टम के लिए एक अनुमानित समाधान चुनते हैं (2.15)
. यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो हम सेट करते हैं
,
और खोजने के लिए निम्नलिखित प्रणाली (2.15) का निर्माण करें
वगैरह।

कार्य

सभी कार्यों के लिए आवश्यक है:

प्रस्तावित एल्गोरिथम के अनुसार विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एक कार्यक्रम तैयार करें।

गणना परिणाम प्राप्त करें.

अपने परिणाम जांचें.

दो अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है।

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

अध्याय 3. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके।

कार्य का लक्ष्य. SLAE को हल करने के लिए कुछ अनुमानित तरीकों का परिचय और एक पीसी पर उनका संख्यात्मक कार्यान्वयन।

प्रारंभिक टिप्पणियां। SLAE को हल करने की सभी विधियों को आमतौर पर दो में विभाजित किया जाता है बड़े समूह. पहले समूह में वे विधियाँ शामिल हैं जिन्हें आमतौर पर सटीक कहा जाता है। ये विधियाँ हमें किसी भी सिस्टम को खोजने की अनुमति देती हैं सटीक मानअंकगणितीय संक्रियाओं की एक सीमित संख्या के बाद अज्ञात, जिनमें से प्रत्येक को सटीक रूप से निष्पादित किया जाता है।

दूसरे समूह में वे सभी विधियाँ शामिल हैं जो सटीक नहीं हैं। उन्हें पुनरावृत्तीय, या संख्यात्मक, या अनुमानित कहा जाता है। ऐसी विधियों का उपयोग करते समय सटीक समाधान, अनुमान लगाने की एक अंतहीन प्रक्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। ऐसी विधियों की एक आकर्षक विशेषता उनका स्व-सुधार और पीसी पर कार्यान्वयन में आसानी है।

आइए SLAE को हल करने के लिए कुछ अनुमानित तरीकों पर विचार करें और उनके संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम का निर्माण करें। हम सटीकता के साथ SLAE का एक अनुमानित समाधान प्राप्त करेंगे, जहां कुछ बहुत छोटी सकारात्मक संख्या है।

1. पुनरावृत्ति विधि.

बता दें कि SLAE फॉर्म में दिया गया है

(1.1)

इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

, (1.2)

कहाँ
- सिस्टम में अज्ञात के लिए गुणांक का मैट्रिक्स (1.1),
- निःशुल्क सदस्यों का कॉलम,
- सिस्टम के अज्ञात का कॉलम (1.1)।

. (1.3)

आइए पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके सिस्टम (1.1) को हल करें। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित कदम उठाएंगे।

पहले तो। आइए शून्य सन्निकटन चुनें

(1.4)

सिस्टम (1.1) के सटीक समाधान (1.3) के लिए। शून्य सन्निकटन के घटक कोई भी संख्या हो सकते हैं। लेकिन शून्य सन्निकटन के घटकों के लिए या तो शून्य लेना अधिक सुविधाजनक है
, या सिस्टम की निःशुल्क शर्तें (1.1)

दूसरी बात. हम शून्य सन्निकटन के घटकों को प्रतिस्थापित करते हैं दाहिनी ओरसिस्टम (1.1) और गणना करें

(1.5)

(1.5) में बाईं ओर की मात्राएँ पहले सन्निकटन के घटक हैं
वे क्रियाएँ जिनके परिणामस्वरूप प्रथम सन्निकटन हुआ, पुनरावृत्ति कहलाती हैं।

तीसरा। आइए शून्य और प्रथम सन्निकटन की जाँच करें

(1.6)

यदि सभी शर्तें (1.6) पूरी होती हैं, तो सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनते हैं, या इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि वे एक-दूसरे से से अधिक भिन्न नहीं हैं और आइए गणना समाप्त करें। यदि कम से कम एक शर्त (1.6) पूरी नहीं होती है, तो हम अगली कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं।

चौथा. आइए अगला पुनरावृत्ति निष्पादित करें, अर्थात सिस्टम के दाईं ओर (1.1) हम पहले सन्निकटन के घटकों को प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरे सन्निकटन के घटकों की गणना करते हैं
, कहाँ

पांचवां. की जाँच करें
और पर , यानी आइए इन सन्निकटनों के लिए शर्त (1.6) की जाँच करें। यदि सभी शर्तें (1.6) पूरी होती हैं, तो सिस्टम (1.1) के अनुमानित समाधान के लिए हम या तो चुनेंगे, या इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि वे एक-दूसरे से अधिक भिन्न नहीं हैं। अन्यथा, हम दूसरे सन्निकटन के घटकों को सिस्टम के दाईं ओर (1.1) में प्रतिस्थापित करके अगली पुनरावृत्ति का निर्माण करेंगे।

पुनरावृत्तियों को दो आसन्न सन्निकटनों तक निर्मित करने की आवश्यकता है
और एक दूसरे से इससे अधिक भिन्न नहीं होंगे।

सिस्टम (1.1) को हल करने के लिए पुनरावृत्ति विधि का कार्य सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है

सूत्र (1.7) के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार हो सकता है।

सिस्टम (1.1) के लिए पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तों का रूप है

1.
, .

2.
,
.

3.

2. सरल पुनरावृत्ति विधि.

मान लीजिए कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की प्रणाली को प्रपत्र में दिया गया है

(2.1)

सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके सिस्टम (2.1) को हल करने के लिए, इसे पहले फॉर्म में कम किया जाना चाहिए

(2.2)

सिस्टम में (2.2) -वां समीकरण सिस्टम (2.1) का -वां समीकरण है, जिसे -वें अज्ञात के संबंध में हल किया गया है (
).

सिस्टम (2.1) को हल करने की विधि, जिसमें इसे सिस्टम (2.2) में कम करना और उसके बाद पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके सिस्टम (2.2) को हल करना शामिल है, को सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि कहा जाता है।

इस प्रकार, सिस्टम (2.1) को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के कार्य सूत्रों का रूप होगा

(2.3)

सूत्र (2.3) को प्रपत्र में लिखा जा सकता है

सूत्र (2.4) के अनुसार सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार हो सकता है।

इस एल्गोरिथम को ज्यामितीय रूप से लिखा जा सकता है।

सिस्टम (2.1) के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तों का रूप है

1.
, .

2.
,
.

3.

3. स्थिर सीडेल विधि.

SLAEs को हल करने के लिए सीडेल विधि पुनरावृत्ति विधि से भिन्न है, जिसमें -वें घटक के लिए कुछ सन्निकटन प्राप्त करने के बाद, हम तुरंत इसका उपयोग अगले घटक को खोजने के लिए करते हैं।
,
, …, -वाँ घटक. यह दृष्टिकोण और अधिक की अनुमति देता है उच्च गतिपुनरावृत्ति विधि की तुलना में सीडेल विधि का अभिसरण।

बता दें कि SLAE फॉर्म में दिया गया है

(3.1)

होने देना
- सटीक समाधान के लिए शून्य सन्निकटन
सिस्टम (3.1). और उसे ढूंढ़ने दो वें सन्निकटन
. आइए घटकों को परिभाषित करें
सूत्रों का उपयोग करके वें सन्निकटन

(3.2)

सूत्र (3.2) को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है

,
,
(3.3)

सूत्र (3.3) का उपयोग करके सिस्टम (3.1) को हल करने के लिए सीडेल विधि के संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए एल्गोरिदम निम्नानुसार हो सकता है।

1. आइए चुनें, उदाहरण के लिए,
,

2. लगाओ ।

3. आइए सभी के लिए गणना करें।

4. हम सभी के लिए शर्तों की जांच करेंगे
.

5. यदि पैराग्राफ 4 की सभी शर्तें पूरी होती हैं, तो हम सिस्टम (3.1) में से किसी एक को या अनुमानित समाधान के रूप में चुनेंगे और गणना पूरी करेंगे। यदि चरण 4 में कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो चरण 6 पर आगे बढ़ें।

6. आइए इसे नीचे रखें और चरण 3 पर आगे बढ़ें।

इस एल्गोरिथम को ज्यामितीय रूप से लिखा जा सकता है।

सिस्टम (3.1) के लिए सीडेल विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्त का रूप है
, .

4. गैर-स्थिर सीडेल विधि।

SLAE (3.1) को हल करने की यह विधि सीडेल विधि के अभिसरण की और भी अधिक गति प्रदान करती है।

आइए किसी तरह सिस्टम (3.1) के लिए वें सन्निकटन और वें सन्निकटन के घटकों का पता लगाएं।

आइए सुधार वेक्टर की गणना करें

आइए मानों की गणना करें

, (4.2)

आइए मात्राएँ व्यवस्थित करें
, घटते क्रम में।

उसी क्रम में, हम सिस्टम (3.1) में समीकरणों और इस सिस्टम में अज्ञात को फिर से लिखते हैं: रेखीयबीजगणितऔर अरेखीय ... प्रबंधके लिएप्रयोगशाला काम करता हैद्वारा ... methodologicalनिर्देश के लिएव्यावहारिककाम करता हैद्वारा के लिएछात्र ...

शैक्षिक साहित्य (प्राकृतिक विज्ञान और तकनीकी) 2000-2011 ओपी चक्र - 10 वर्ष सीडी चक्र - 5 वर्ष

साहित्य

... प्राकृतिकविज्ञानसामान्य तौर पर 1. खगोल विज्ञान [पाठ]: मैनुअल के लिए ... न्यूमेरिकलतरीकों: रेखीयबीजगणितऔर अरेखीय ... प्रबंधके लिएप्रयोगशाला काम करता हैद्वारा ... methodologicalनिर्देश के लिएव्यावहारिककाम करता हैद्वाराअनुशासन "परिवहन अर्थशास्त्र" के लिएछात्र ...

- प्राकृतिक विज्ञान (1)

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... प्रबंधके लिएछात्रऔर शिक्षक, इरादा के लिएन केवल अध्ययन के लिए उपयोग करें तरीकोंकाम... उत्पादन व्यावहारिकवास्तविक डेटा का उपयोग करने का कौशल। व्यवस्थितसिफारिशों द्वारापरीक्षण की पूर्ति कामद्वारायह...

- प्राकृतिक विज्ञान - भौतिक और गणितीय विज्ञान - रासायनिक विज्ञान - पृथ्वी विज्ञान (जियोडेटिक भूभौतिकीय भूवैज्ञानिक और भौगोलिक विज्ञान)

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... के लिएछात्रसहज रूप में- ... काम करता हैद्वाराअनुशासन "आनुवंशिकी और चयन", को समर्पित वर्तमान समस्याएँयह विज्ञान. व्यवस्थित स्वतंत्र कामछात्रद्वारासैद्धांतिक और व्यावहारिक ... रेखीय, अरेखीय, गतिशील। सभी तरीकों ...

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एरेमिन का निर्धारक रेखीयऔर अरेखीयबीजगणित : रेखीयऔर अरेखीयप्रोग्रामिंग: नया तरीका/ एरेमिन, मिखाइल... के लिएछात्रऔर विश्वविद्यालयों में भूवैज्ञानिक विशिष्टताओं के शिक्षक। ख-1 1794549 99. डी3 पी 693 व्यावहारिकप्रबंधद्वारा ...

न्यूटन की विधि द्वारा अरेखीय समीकरणों को हल करना

विद्युत शक्ति समस्याओं को हल करने के लिए विधि में कई संशोधन किए गए हैं। वे पुनरावृत्त प्रक्रिया के अभिसरण की गति को बढ़ाना और गणना समय को कम करना संभव बनाते हैं।

मूल बातें गरिमाविधि - इसमें तीव्र अभिसरण होता है।

विधि का विचारसमीकरणों की मूल गैर-रेखीय प्रणाली की गणना के प्रत्येक पुनरावृत्ति पर समीकरणों की कुछ सहायक रैखिक प्रणाली के साथ अनुक्रमिक प्रतिस्थापन शामिल है, जिसका समाधान हमें अज्ञात के अगले सन्निकटन को वांछित समाधान के करीब प्राप्त करने की अनुमति देता है ( linearization).

में अरेखीय समीकरण पर विचार करें सामान्य रूप से देखें:

समीकरण का आवश्यक समाधान वह बिंदु है जिस पर वक्र x-अक्ष को काटता है।

हमने अज्ञात का प्रारंभिक सन्निकटन निर्धारित किया है एक्स (0). इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान निर्धारित करें w(x(0))और बिंदु B पर वक्र की एक स्पर्शरेखा खींचें। x-अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु अज्ञात के अगले सन्निकटन को निर्धारित करता है एक्स (1)वगैरह।

आइए समीकरण (1) को बिंदु के आसपास टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें एक्स (0). आइए केवल प्रथम व्युत्पन्न वाले विस्तार शब्दों पर विचार करें:

(2)

एक्स - एक्स (0) = Δx- अज्ञात में संशोधन. यदि हम इसे परिभाषित करते हैं, तो हम अगला सन्निकटन निर्धारित कर सकते हैं।

(2) से हम संशोधन निर्धारित करते हैं (3)

फिर निम्नलिखित सन्निकटन: (5)

वैसे ही हम पाते हैं को-ई अनुमान:

यह न्यूटन की विधि का आवर्ती सूत्रअरेखीय समीकरणों को हल करने के लिए. यह आपको अज्ञात के अगले सन्निकटन को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

सूत्र (6) को चित्र से दूसरे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है:

यदि यह घटता है और निकट आता है तो पुनरावृत्तीय प्रक्रिया एकत्रित हो जाती है 0 . परिणाम प्राप्त होता है यदि .

ज्यामितीय व्याख्या पर टिप्पणी

विधि का पुनरावृत्तीय चरण वक्र को एक सीधी रेखा से बदलने तक कम हो जाता है, जिसे समीकरण (2) के बाईं ओर वर्णित किया गया है। यह बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा है। इस प्रक्रिया को कहा जाता है linearization. अक्ष के साथ वक्र की स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु एक्सअज्ञात का एक और अनुमान देता है। इसलिए इस विधि को कहा जाता है स्पर्शरेखा विधि.

उदाहरण:

उदाहरण:

इस विधि द्वारा किसी अरैखिक समीकरण के सभी मूलों को किसी भी प्रकार से निर्धारित करना आवश्यक है अनुमानितइन जड़ों का स्थान और उनके निकट प्रारंभिक सन्निकटन सेट करें।

उस क्षेत्र को निर्धारित करने का एक आसान तरीका जहां जड़ें स्थित हैं तालिका बनाना.

न्यूटन की पुनरावृत्ति प्रक्रिया एकत्रित नहीं होता, यदि प्रारंभिक सन्निकटन इस प्रकार चुना गया है कि:

प्रक्रिया या तो अभिसरित नहीं होती या बहुत खराब रूप से अभिसरित होती है।

एसएनएयू को हल करने के लिए न्यूटन-रेफसन विधि

रैफसन ने दिखाया कि न्यूटन की पुनरावृत्तीय विधि को हल करने के लिए प्रस्तावित किया गया है एकअरेखीय समीकरण, हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है प्रणालीअरेखीय समीकरण.

साथ ही, अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक अज्ञात के बजाय एक सेट (वेक्टर) पर विचार करना आवश्यक है अज्ञात:

एक अवशिष्ट समीकरण के बजाय, हम विचार करते हैं अवशेषों का वेक्टरसिस्टम के समीकरण:

(6) में एक व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित किया गया है डेरिवेटिव का मैट्रिक्स. (6) में विभाजन संक्रिया को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है रिवर्सडेरिवेटिव का मैट्रिक्स. इस मामले में, न्यूटन-रेफसन विधि एक-आयामी समस्या से संक्रमण में न्यूटन विधि से भिन्न होती है बहुआयामी.

आइए वास्तविक अरेखीय बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

(7)

इसे मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है:

कहाँ एक्स= x 2 – सदिश – अज्ञात का स्तंभ;

डब्ल्यू 1 (x 1, x 2, ... x n)

डब्ल्यू = डब्ल्यू 2 (x 1, x 2, ... x n) – सदिश फलन।

डब्ल्यूएन (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन)

होने देना - अज्ञात का प्रारंभिक अनुमान। आइए हम सिस्टम (7) के प्रत्येक समीकरण को बिंदु के आसपास टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें एक्स (0), यानी, हम मूल गैर-रेखीय समीकरणों को रैखिक समीकरणों के साथ अनुमानित प्रतिस्थापन करेंगे जिसमें केवल पहला व्युत्पन्न संरक्षित (रैखिकीकरण) है। परिणामस्वरूप, समीकरणों की प्रणाली (7) का रूप लेती है:

(9)

परिणाम हमें मिला रैखिक समीकरणों की प्रणाली(रैखिकीकृत प्रणाली), जिसमें अज्ञात सुधार हैं। इस प्रणाली में अज्ञात के गुणांक समीकरणों के पहले व्युत्पन्न हैं डब्ल्यू जेसभी अज्ञातों के लिए मूल अरेखीय प्रणाली का शी.. वे गुणांकों का एक मैट्रिक्स बनाते हैं - जैकोबी मैट्रिक्स:

=

मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में सभी अज्ञात के संबंध में नॉनलाइनियर सिस्टम के अगले समीकरण के पहले डेरिवेटिव शामिल हैं।

आइए रैखिककृत प्रणाली (9) को मैट्रिक्स रूप में लिखें:

(10)

यहां मूल प्रणाली के समीकरणों के अवशेषों का वेक्टर है। इसके तत्व अज्ञातों के क्रमिक सन्निकटनों को अरेखीय प्रणाली के समीकरणों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं;

- जैकोबियन मैट्रिक्स. इसके तत्व सभी अज्ञात के संबंध में मूल प्रणाली के सभी समीकरणों के पहले आंशिक व्युत्पन्न हैं;

- सुधार वेक्टरवांछित अज्ञात के लिए. प्रत्येक पुनरावृत्ति पर यह लिखा जा सकता है:

सिस्टम (10), स्वीकृत नोटेशन को ध्यान में रखते हुए, लिखा जा सकता है:

(12)

यह प्रणाली रेखीयसंशोधन के संबंध में ΔХ (के).

सिस्टम (13) समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली है जो पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के प्रत्येक चरण में मूल एसएनएयू को प्रतिस्थापित करती है।

सिस्टम (13) को किसी भी ज्ञात विधि द्वारा हल किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप हम सुधार वेक्टर पाते हैं। फिर (11) से हम पा सकते हैं अगले दृष्टिकोणअज्ञात:

वह। प्रत्येक पुनरावर्ती कदमप्रक्रिया में रैखिक प्रणाली (13) को हल करना और (14) से अगला सन्निकटन निर्धारित करना शामिल है।

(11) और (12) से हम सामान्य प्राप्त कर सकते हैं पुनरावृत्ति सूत्र(मैट्रिक्स रूप में), न्यूटन-रेफसन विधि के अनुरूप:

(15)

इसकी संरचना सूत्र (6) के अनुरूप है।

व्यावहारिक गणना में सूत्र (15) का प्रयोग किया जाता है कभी-कभार, चूंकि यहां गणना के प्रत्येक पुनरावृत्ति पर जैकोबियन मैट्रिक्स (बड़े आयाम के) को उलटना आवश्यक है। वास्तविक गणना में, रैखिक प्रणाली (13) को हल करने के परिणामस्वरूप सुधार निर्धारित किए जाते हैं।

समापन नियंत्रणहम अवशेषों के वेक्टर का उपयोग करके पुनरावृत्त प्रक्रिया करते हैं:

अवशेषों के लिए यह शर्त पूरी होनी चाहिए सब लोगसिस्टम के समीकरण.

न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके एसएनएयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. अज्ञात के प्रारंभिक सन्निकटन के वेक्टर को निर्दिष्ट करना।

गणना सटीकता निर्धारित करना є , अन्य गणना पैरामीटर

2. सन्निकटन बिंदु पर अरेखीय समीकरणों के अवशेषों का निर्धारण;

2.3. अज्ञात के अगले सन्निकटन के बिंदु पर जैकोबियन मैट्रिक्स के तत्वों का निर्धारण;

2.4. किसी भी ज्ञात विधि द्वारा रैखिककृत प्रणाली (13) का समाधान। अज्ञात में संशोधन का निर्धारण.

2.5. (14) के अनुसार अज्ञात के अगले सन्निकटन का निर्धारण।

2.6. (16) के अनुसार पुनरावृत्ति प्रक्रिया के पूरा होने की निगरानी करना। यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो चरण 2 पर वापस लौटें।

उदाहरण:

न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके SLAE को हल करें:

(समाधान एक्स 1 = एक्स 2 =2)

आइए समीकरणों को अवशेषों के रूप में लिखें:

हम जैकोबियन मैट्रिक्स के तत्वों को परिभाषित करते हैं:

जैकोबियन मैट्रिक्स:

आइए न्यूटन-रेफसन विधि एल्गोरिदम लागू करें:

1) पहला पुनरावृत्ति:

प्रारंभिक अनुमान

बच गया

जैकोबियन मैट्रिक्स:

समीकरणों की रैखिक प्रणाली:

अज्ञात का पहला सन्निकटन:

2) दूसरा पुनरावृत्ति

3)तीसरी पुनरावृत्ति:

… ……… …… …… …… ……..

न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके स्थिर-अवस्था समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

वें नोड के लिए शक्ति संतुलन के रूप में स्थिर अवस्था का अरेखीय समीकरण इस प्रकार है:

(17)

यह जटिल अज्ञात और गुणांक वाला एक समीकरण है। फॉर्म के ऐसे समीकरणों के लिए (17) निर्णय लेना संभव थान्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके, उन्हें रूपांतरित किया जाता है: वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप, प्रत्येक जटिल समीकरणफॉर्म (17) दो वास्तविक समीकरणों में टूट जाता है जो नोड में सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्ति के संतुलन के अनुरूप होते हैं:

यहां नोड में निर्दिष्ट शक्तियां हैं;

नोड्स पर अज्ञात वोल्टेज घटक। उनकी जरूरत है

गणना के परिणामस्वरूप निर्धारित किया गया।

समीकरणों के दाईं ओर (18) वें नोड के निकट आने वाली शाखाओं में प्रवाह की कुल शक्ति की गणना की गई है।

आइए इन समीकरणों (18) को इस रूप में लिखें बच गया:

समीकरणों के अवशेष (19) गणना के अनुरूप हैं असंतुलनवें नोड में सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्ति।

अवशेष गाँठ मोड का वर्णन करते हैं і और नोड्स पर अज्ञात वोल्टेज के अरेखीय कार्य हैं। यह आवश्यक है कि -> 0.

हम सिस्टम को न्यूटन-रेफसन विधि से हल करेंगे 2एनफॉर्म के समीकरण (19), यानी, न्यूटन-रैपसन विधि का उपयोग करके विद्युत नेटवर्क की स्थिर स्थिति की गणना करने की समस्या को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

1) एक सिस्टम बनाएं 2एनसंतुलन को छोड़कर, विद्युत नेटवर्क के सभी नोड्स के लिए फॉर्म (19) के समीकरण;

2) न्यूटन-रेफसन विधि की पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को व्यवस्थित करें

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए. निर्णय के परिणामस्वरूप

हम नोड्स पर आवश्यक तनाव घटक प्राप्त करते हैं।

आइए समीकरणों की इस प्रणाली को सामान्य रूप में लिखें:

(20)

हमें 2 नॉनलाइनियर की एक प्रणाली मिली अवशिष्ट समीकरण 2 अज्ञात के साथ, जो. इसमें अज्ञात घटक वोल्टेज घटक हैं - मॉड्यूल और कोण।

न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके सिस्टम (20) को हल करने के लिए, आपको लिखना होगा सहायकफॉर्म (13) के समीकरणों की रैखिक प्रणाली, जिसे हल करते हुए प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, हम अज्ञात में सुधार निर्धारित करते हैं:

(21)

स्वीकृत संकेतन को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम (21) लिखा जा सकता है:

(22)

जैकोबी मैट्रिक्स कहां है, इसके तत्व सभी अज्ञात - तनाव घटकों के संबंध में सिस्टम (20) के समीकरणों के आंशिक व्युत्पन्न हैं

सिस्टम के समीकरणों के अवशेषों का वेक्टर (20)। उनके मान अज्ञातों के क्रमिक सन्निकटनों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं;

अज्ञात में सुधार का वेक्टर:

; ΔҨ मैं = मैं (के+1) - मैं (के), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

जेकोबियन मैट्रिक्स के तत्वों को निर्धारित करने के लिए हम उपयोग करते हैं विश्लेषणात्मक भेदभाव, अर्थात। हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण (20) को आवश्यक मात्राओं - कोणों और तनाव मॉड्यूल के अनुसार अलग करते हैं। जैकोबियन मैट्रिक्स बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित के डेरिवेटिव के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है प्रजातियाँ:

1) उसी नोड के वोल्टेज कोण के संबंध में वें नोड की सक्रिय शक्ति के लिए अवशिष्ट समीकरण का व्युत्पन्न:;

2) आसन्न के वोल्टेज कोण के संबंध में वें नोड की सक्रिय शक्ति के लिए अवशिष्ट समीकरण का व्युत्पन्न जे-वें नोड: ;

3) वें नोड मॉड्यूलो की सक्रिय शक्ति के अवशिष्ट का व्युत्पन्न उसी नोड का वोल्टेज: ;

4) वें नोड मॉड्यूलो की सक्रिय शक्ति के अवशिष्ट का व्युत्पन्न, आसन्न नोड का वोल्टेज: ;

चार और प्रकार के डेरिवेटिव इसी तरह निर्धारित किए जाते हैं - सभी अज्ञात के लिए वें नोड की प्रतिक्रियाशील शक्ति के समीकरणों से डेरिवेटिव:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

इन व्युत्पन्नों को ध्यान में रखते हुए, जैकोबी मैट्रिक्स को सामान्य रूप में लिखा जा सकता है:

(23)

आइए परिभाषित करें विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँडेरिवेटिव के लिए, अज्ञात मात्राओं के संबंध में सिस्टम (20) के समीकरणों को अलग करना। वे ऐसे दिखते हैं:

(24)

जैकोबियन मैट्रिक्सवी सामान्य मामला- एक वर्ग मैट्रिक्स, सममित, आयाम के साथ, इसके तत्व सभी अज्ञात के संबंध में समीकरणों (शक्ति असंतुलन) के अवशेषों के आंशिक व्युत्पन्न हैं।

यदि नोड्स आपस में जुड़े हुए नहीं हैं, तो मैट्रिक्स के संबंधित व्युत्पन्न, जैकोबियन मैट्रिक्स, विकर्ण के बाहर स्थित, शून्य के बराबर होगा (चालकता मैट्रिक्स के समान) - क्योंकि संबंधित सूत्रों में (24) पारस्परिक चालकता y ijऔर का एक कारक है. y ij =0.

मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के अगले समीकरण (20) का व्युत्पन्न है।

मॉडल किए गए नेटवर्क आरेख (समर्थन और संतुलन नोड्स, एफएम नोड्स) में विशेष नोड्स की उपस्थिति प्रभावित करती है संरचनास्थिर अवस्था के समीकरणों की प्रणाली और जैकोबियन मैट्रिक्स की संरचना पर:

1. नोड्स के लिए मॉड्यूल को ठीक करनावोल्टेज (एफएम), जिसमें जैकोबियन मैट्रिक्स से दिए गए और अज्ञात हैं छोड़ा गयाडेरिवेटिव की पंक्ति (तब से क्यूईनिर्दिष्ट नहीं है, तो प्रतिक्रियाशील शक्ति संतुलन समीकरण (18), (19) तैयार नहीं किया जा सकता) और डेरिवेटिव का कॉलम (वोल्टेज मॉड्यूल के बाद से) यू आईज्ञात है और इसे अज्ञात की सूची से बाहर रखा गया है)।

2. समर्थन और संतुलन नोड्स के लिए, मैट्रिक्स की संबंधित पंक्तियों और स्तंभों को बाहर रखा गया है;

3. यदि नोड्स सीधे जुड़े नहीं हैं, तो मैट्रिक्स में संबंधित डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं।

जैकोबियन मैट्रिक्स को चार में विभाजित किया जा सकता है अवरोध पैदा करना:

1) - असंतुलन समीकरणों से व्युत्पन्न सक्रियपावर (20) द्वारा कोनेतनाव;

2) - असंतुलन समीकरणों के व्युत्पन्न सक्रियद्वारा संचालित मॉड्यूलतनाव;

3) - असंतुलन समीकरणों के व्युत्पन्न रिएक्टिवपावर (20) द्वारा कोनेतनाव;

4) - असंतुलन समीकरणों के व्युत्पन्न रिएक्टिवद्वारा संचालित मॉड्यूलतनाव।

ये अज्ञात कोणों और वोल्टेज मॉड्यूल पर सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्तियों के असंतुलन के आंशिक व्युत्पन्न के मैट्रिक्स-कोशिकाएं हैं। सामान्य तौर पर, ये आयाम के वर्ग मैट्रिक्स हैं n×n.

इसे ध्यान में रखते हुए, जैकोबियन मैट्रिक्स को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है अवरोध पैदा करनामैट्रिक्स:

कहाँ अज्ञात मात्राओं का सबवेक्टर।

इसे ध्यान में रखते हुए, समीकरणों की रैखिक प्रणाली (22) को इस रूप में लिखा जा सकता है:

. (25)

इसका समाधान कर रहे हैं रैखिक प्रणालीसमीकरण (किसी भी ज्ञात विधि द्वारा) पर

विधि के प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, हम अज्ञात में सुधार पाते हैं, और फिर

नियमित आअज्ञात:

(26)

अज्ञात का अगला सन्निकटन भी प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है पुनरावृत्ति सूत्रन्यूटन-रेफसन विधि, (15) के समान:

- · (27)

इसके लिए प्रत्येक पुनरावृत्ति पर जैकोबियन मैट्रिक्स को उलटने की आवश्यकता होती है - एक बोझिल कम्प्यूटेशनल ऑपरेशन।

न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करके स्थिर-अवस्था समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. अज्ञात वोल्टेज के प्रारंभिक मान निर्धारित करना। प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में हम स्वीकार करते हैं: , अर्थात्। नोड्स के रेटेड वोल्टेज;

2. गणना की शर्तें निर्धारित करना: सटीकता ε , पुनरावृत्तियों की अधिकतम संख्या, त्वरित गुणांक, आदि।

3. अज्ञात के क्रमिक अनुमानों के साथ समीकरणों (20) के अनुसार समीकरणों के अवशेषों का निर्धारण;

4. अज्ञात के क्रमिक अनुमानों के साथ (24) के अनुसार जैकोबी मैट्रिक्स के तत्वों का निर्धारण;

5. समीकरणों की रैखिककृत प्रणाली (25) को हल करना और अज्ञात में सुधार निर्धारित करना;

6. (26) के अनुसार अज्ञात के अगले सन्निकटन का निर्धारण;

7. पुनरावृत्ति प्रक्रिया के पूरा होने की जाँच करना:

सभी नोड्स के लिए समीकरणों का अवशिष्ट मान निर्दिष्ट सटीकता से कम होना चाहिए।

यदि शर्त पूरी नहीं होती है, तो बिंदु 3 पर लौटें और अज्ञात के नए अनुमान के साथ गणना दोहराएं।

एक संख्या है न्यूटन-रेफसन विधि में संशोधन।शामिल:

1. संशोधित न्यूटन-रेफसन विधि।

अज्ञात के प्रारंभिक मूल्यों के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स की गणना एक बार की जाती है। बाद की पुनरावृत्तियों में इसे स्वीकार कर लिया जाता है स्थिर. इससे प्रत्येक पुनरावृत्ति पर गणना की मात्रा काफी कम हो जाती है, लेकिन पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ जाती है।

2. विभाजित न्यूटन-रेफसन विधि।

फॉर्म के डेरिवेटिव बहुत छोटे हैं और उनके मूल्यों को नजरअंदाज किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, जैकोबियन मैट्रिक्स में दो ब्लॉक बचे हैं - पहला और चौथा, और सिस्टम (25), जिसमें समीकरण शामिल हैं विखंडितआयाम की दो स्वतंत्र प्रणालियों में। इनमें से प्रत्येक प्रणाली को दूसरे से अलग से हल किया जाता है। इससे गणना की मात्रा और आवश्यक कंप्यूटर मेमोरी में कमी आती है।