Շոշափող մեթոդի լուծման օրինակ. Դասընթացի աշխատանք՝ Նյուտոնի մեթոդը ոչ գծային հավասարումների լուծման համար



Հիմնաբառեր:

Աշխատանքի նպատակը. ուսումնասիրել մեկ անհայտով ոչ գծային հավասարումների լուծման մեթոդները և փորձարկել դրանք փորձարարական աշխատանքում:

Աշխատանքային նպատակներ.

1. Վերլուծել հատուկ գրականությունև ընտրել ոչ գծային հավասարումների լուծման առավել ռացիոնալ մեթոդները, որոնք թույլ են տալիս խորապես ուսումնասիրել և յուրացնել այս թեմանբոլոր ավագ դպրոցի շրջանավարտները:
2. Մշակել ՏՀՏ-ի միջոցով ոչ գծային հավասարումների լուծման մեթոդաբանության որոշ ասպեկտներ:
3. Բացահայտեք ոչ գծային հավասարումների լուծման մեթոդներ.

‒ Քայլ մեթոդ

‒ Հալինգ մեթոդ

- Նյուտոնի մեթոդ

Ներածություն.

Առանց մաթեմատիկական գրագիտության անհնար է հաջողությամբ տիրապետել ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության և այլ առարկաների խնդիրների լուծման մեթոդներին։ Բնական գիտությունների ողջ համալիրը կառուցված և զարգացած է մաթեմատիկական գիտելիքների հիման վրա։ Օրինակ, մաթեմատիկական ֆիզիկայի մի շարք արդիական խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցնում է ոչ գծային հավասարումների լուծման անհրաժեշտությանը։ Ոչ գծային հավասարումների լուծումն անհրաժեշտ է ոչ գծային օպտիկայի, պլազմայի ֆիզիկայի, գերհաղորդականության տեսության և ցածր ջերմաստիճանի ֆիզիկայի մեջ։ Այս թեմայի վերաբերյալ բավականաչափ գրականություն կա, բայց շատ դասագրքեր և հոդվածներ դժվար է հասկանալ ավագ դպրոցի աշակերտը: Այս հոդվածում քննարկվում են ոչ գծային հավասարումների լուծման մեթոդներ, որոնք կարող են օգտագործվել ֆիզիկայի և քիմիայի կիրառական խնդիրները լուծելու համար: Հետաքրքիր է կիրառումը տեղեկատվական տեխնոլոգիաներլուծել մաթեմատիկայի հավասարումներ և խնդիրներ։

Քայլ մեթոդ.

Թող անհրաժեշտ լինի լուծել F(x)=0 ձևի ոչ գծային հավասարումը։ Ենթադրենք նաև, որ մեզ տրվում է որոնման որոշակի ընդմիջում։ Պահանջվում է գտնել h երկարության [a,b] միջակայքը, որը պարունակում է հավասարման առաջին արմատը՝ սկսած որոնման միջակայքի ձախ եզրից։

Բրինձ. 1. Քայլ մեթոդ

Նման խնդիրը լուծելու մի քանի եղանակ կա. Քայլ մեթոդը անհավասարությունների լուծման թվային մեթոդներից ամենապարզն է, սակայն բարձր ճշգրտության հասնելու համար անհրաժեշտ է զգալիորեն նվազեցնել քայլը, և դա մեծապես մեծացնում է հաշվարկի ժամանակը: Հավասարումների լուծման ալգորիթմ օգտագործելով այս մեթոդըբաղկացած է երկու փուլից.

Իփուլ. Արմատների բաժանում.

Այս փուլում որոշվում են հատվածներ, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է հավասարման միայն մեկ արմատ: Այս փուլն իրականացնելու մի քանի տարբերակ կա.

• Մենք փոխարինում ենք X-ի արժեքները (ցանկալի է բավականին փոքր քայլով) և տեսնում, թե որտեղ է ֆունկցիան փոխում նշանը: Եթե ​​ֆունկցիան փոխել է իր նշանը, դա նշանակում է, որ X-ի նախորդ և ընթացիկ արժեքների միջև ընկած հատվածում արմատ կա (եթե ֆունկցիան չի փոխում իր աճի/նվազման բնույթը, ապա կարող ենք ասել, որ կա միայն մեկը. արմատ այս միջակայքում):
• Գրաֆիկական մեթոդ. Մենք կառուցում ենք գրաֆիկ և գնահատում, թե որ ինտերվալների վրա է ընկած մեկ արմատը:
• Եկեք ուսումնասիրենք կոնկրետ ֆունկցիայի հատկությունները:

IIփուլ. Արմատների մաքրում.

Այս փուլում պարզվում է ավելի վաղ որոշված ​​հավասարման արմատների իմաստը։ Որպես կանոն, այս փուլում կիրառվում են կրկնվող մեթոդներ։ Օրինակ, մեթոդը կիսաբաժանում(դիխոտոմիաներ) կամ Նյուտոնի մեթոդը։

Կես բաժանման մեթոդ

Հավասարումների լուծման արագ և բավականին պարզ թվային մեթոդ, որը հիմնված է F(x) = 0 հավասարման միակ արմատը պարունակող միջակայքի հաջորդական նեղացման վրա, մինչև սահմանված E ճշգրտությունը ձեռք բերվի: Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է լուծելիս: քառակուսի հավասարումներև ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ։ Սակայն այս մեթոդն ունի էական թերություն՝ եթե [a,b] հատվածը պարունակում է մեկից ավելի արմատ, ապա այն չի կարող լավ արդյունքների հասնել։

Բրինձ. 2. Դիխոտոմիայի մեթոդ

Այս մեթոդի ալգորիթմը հետևյալն է.

‒ Որոշի՛ր x արմատի նոր մոտարկումը [a;b] հատվածի մեջտեղում՝ x=(a+b)/2:

‒ Գտեք ֆունկցիայի արժեքները a և x կետերում՝ F(a) և F(x):

‒ Ստուգեք պայմանը F(a)*F(x)

‒ Գնացեք քայլ 1 և կրկին բաժանեք հատվածը կիսով չափ: Շարունակեք ալգորիթմը մինչև պայմանը |F(x)|

Նյուտոնի մեթոդը

Թվային լուծման մեթոդներից առավել ճշգրիտ; հարմար է շատ բարդ հավասարումներ լուծելու համար, բայց բարդ է յուրաքանչյուր քայլում ածանցյալները հաշվարկելու անհրաժեշտությամբ: այն է, որ եթե x n-ը որոշակի մոտարկում է հավասարման արմատին , ապա հաջորդ մոտարկումը սահմանվում է որպես x n կետում գծված f(x) ֆունկցիայի շոշափողի արմատը։

x n կետում f(x) ֆունկցիայի շոշափող հավասարումը ունի ձև.

Շոշափող հավասարման մեջ դնում ենք y = 0 և x = x n +1:

Այնուհետև Նյուտոնի մեթոդով հաջորդական հաշվարկների ալգորիթմը հետևյալն է.

Շոշափող մեթոդի կոնվերգենցիան քառակուսի է, կոնվերգենցիայի կարգը՝ 2։

Այսպիսով, Նյուտոնի շոշափող մեթոդի կոնվերգենցիան շատ արագ է։

Առանց որևէ փոփոխության մեթոդը ընդհանրացվում է բարդ դեպքի վրա։ Եթե ​​x i արմատը երկրորդ բազմակի արմատ է կամ ավելի բարձր, ապա կոնվերգենցիայի կարգն ընկնում է և դառնում գծային:

Նյուտոնի մեթոդի թերությունները ներառում են դրա տեղայնությունը, քանի որ այն երաշխավորված է կամայական մեկնարկային մոտարկման համար միայն այն դեպքում, եթե պայմանը ամենուր բավարարված է: , հակառակ իրավիճակում կոնվերգենցիան տեղի է ունենում միայն արմատի որոշակի հարեւանությամբ։

Նյուտոնի մեթոդը (տանգենտի մեթոդ) սովորաբար օգտագործվում է, երբ հավասարումը f(x) = 0ունի արմատ և բավարարված են հետևյալ պայմանները.

1) գործառույթ y=f(x)սահմանված և շարունակական ժամը ;

2) f(a) f(b) (ֆունկցիան ընդունում է տարբեր նշանների արժեքներ հատվածի ծայրերում [ ա;բ]);

3) ածանցյալներ f"(x)Եվ զ""(x)պահպանել նշանը միջակայքում [ ա;բ] (այսինքն՝ ֆունկցիան f(x)սեգմենտի վրա կա՛մ մեծանում, կա՛մ նվազում [ ա;բ], պահպանելով ուռուցիկության ուղղությունը);

Մեթոդի իմաստը հետևյալն է. հատվածի վրա [ ա;բ] ընտրված է այդպիսի թիվ x 0,որը f(x 0)ունի նույն նշանը, ինչ f"" (x 0),այսինքն պայմանը բավարարված է f(x 0) f""(x) > 0. Այսպիսով, ընտրվում է աբսցիսով կետը x 0, որում շոշափում է կորը y=f(x)հատվածի վրա [ ա;բ] հատում է առանցքը Եզ. Մեկ կետով x 0Նախ, հարմար է ընտրել հատվածի ծայրերից մեկը:

Դիտարկենք այս ալգորիթմը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակ։

Եկեք մեզ տրվի աճող ֆունկցիա y = f(x) =x 2–2,շարունակական հատվածի վրա (0;2), և ունենալով f "(x) =2x>0Եվ f ""(x) = 2> 0.

Մեր դեպքում շոշափող հավասարումը ունի ձև. y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0): IN որպես x 0 կետ մենք ընտրում ենք կետը B 1 (b; f (b)) = (2,2):Գծե՛ք ֆունկցիայի շոշափողը y = f(x) B 1 կետում և նշանակում շոշափողի և առանցքի հատման կետը Եզկետ x 1. Մենք ստանում ենք առաջին շոշափողի հավասարումը. y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Եզ՝ x 1 =

Բրինձ. 3. f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին առաջին շոշափողի կառուցումը.

y=f(x) Եզկետի միջոցով x 1, մենք հասկանում ենք կետը B 2 = (1.5; 0.25). Կրկին շոշափեք ֆունկցիային y = f(x) B 2 կետում և նշանակում շոշափողի հատման կետը և Եզկետ x 2.

Երկրորդ շոշափողի հավասարումը. y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25։Շոշափողի և առանցքի հատման կետը Եզ՝ x 2 =.

Այնուհետև մենք գտնում ենք ֆունկցիայի հատման կետը y=f(x)և առանցքի վրա գծված ուղղահայաց Եզ x 2 կետով մենք ստանում ենք B 3 կետը և այլն:

Բրինձ. 4. f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին երկրորդ շոշափողի կառուցումը.

Արմատի առաջին մոտավորությունը որոշվում է բանաձևով.

= 1.5.

Արմատի երկրորդ մոտավորությունը որոշվում է բանաձևով.

=

Արմատի երրորդ մոտարկումը որոշվում է բանաձևով.

Այսպիսով , եսԱրմատի մոտավորությունը որոշվում է բանաձևով.

Հաշվարկներն իրականացվում են այնքան ժամանակ, մինչև պատասխանի համար անհրաժեշտ տասնորդական տեղերը համընկնեն, կամ ձեռք բերվի նշված ճշգրտությունը, մինչև անհավասարությունը բավարարվի: |xi-xi-1|

Մեր դեպքում համեմատենք երրորդ քայլում ստացված մոտարկումը իրական պատասխանի հետ։ Ինչպես տեսնում եք, արդեն երրորդ քայլում մենք ստացել ենք 0,000002-ից պակաս սխալ:

Հավասարումների լուծում CAD-ի միջոցովMathCAD

Ձևի ամենապարզ հավասարումների համար զ(x) = 0 MathCAD-ի լուծումը գտնվել է ֆունկցիայի միջոցով արմատ.

արմատ (զ (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , ա, բ ) - վերադարձնում է արժեքը X 1 , հատվածին պատկանող [ ա, բ ] , որում արտահայտությունը կամ ֆունկցիան զ (X ) գնում է 0-ի: Այս ֆունկցիայի երկու արգումենտները պետք է լինեն սկալերներ: Ֆունկցիան վերադարձնում է սկալար:

Բրինձ. 5. MathCAD-ում ոչ գծային հավասարման լուծում (արմատային ֆունկցիա)

Եթե ​​այս ֆունկցիայի կիրառման արդյունքում սխալ է տեղի ունենում, դա կարող է նշանակել, որ հավասարումը չունի արմատներ, կամ հավասարման արմատները գտնվում են սկզբնական մոտարկումից հեռու, արտահայտությունն ունի տեղական առավելագույնըԵվ րսկզբնական մոտավորության և արմատների միջև։

Սխալի պատճառը պարզելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել ֆունկցիայի գրաֆիկը զ(x). Դա կօգնի պարզել հավասարման արմատների առկայությունը զ(x) = 0, և եթե դրանք կան, ապա մոտավորապես որոշեք դրանց արժեքները: Որքան ճշգրիտ ընտրվի արմատի սկզբնական մոտարկումը, այնքան ավելի արագ կգտնվի դրա ճշգրիտ արժեքը:

Եթե ​​նախնական մոտավորությունը անհայտ է, ապա նպատակահարմար է օգտագործել ֆունկցիան լուծել . Ավելին, եթե հավասարումը պարունակում է մի քանի փոփոխական, դուք պետք է նշեք դրանից հետո հիմնաբառլուծելը փոփոխականների ցանկ է, որոնց համար լուծված է հավասարումը:

Բրինձ. 6. Ոչ գծային հավասարման լուծում MathCAD-ում (լուծել ֆունկցիա)

Եզրակացություն

Ուսումնասիրությունը ուսումնասիրել է, թե ինչպես մաթեմատիկական մեթոդներ, և հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով ծրագրավորում CAD համակարգում MathCAD: Տարբեր մեթոդներունեն իրենց առավելություններն ու թերությունները: Պետք է նշել, որ կոնկրետ մեթոդի կիրառումը կախված է տվյալ հավասարման սկզբնական պայմաններից։ Դպրոցում հայտնի այն հավասարումները, որոնք կարելի է լավ լուծել ֆակտորիզացիայի մեթոդներով և այլն, ավելին լուծելն իմաստ չունի. բարդ ձևերով. Կիրառական մաթեմատիկայի խնդիրները, որոնք կարևոր են ֆիզիկայի և քիմիայի համար և պահանջում են բարդ հաշվողական գործողություններ հավասարումներ լուծելիս, հաջողությամբ լուծվում են, օրինակ՝ օգտագործելով ծրագրավորում։ Լավ է դրանք լուծել Նյուտոնի մեթոդով:

Արմատները պարզելու համար կարող եք օգտագործել մի քանի մեթոդներ նույն հավասարումը լուծելու համար։ Հենց այս հետազոտությունն էլ հիմք է հանդիսացել այս աշխատանքի համար: Միևնույն ժամանակ, հեշտ է տեսնել, թե որ մեթոդն է առավել հաջողակ հավասարման յուրաքանչյուր փուլը լուծելիս, և որ մեթոդն է ավելի լավ չկիրառել այս փուլում։

Ուսումնասիրված նյութը մի կողմից օգնում է ընդլայնել ու խորացնել մաթեմատիկական գիտելիքները և մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրություն սերմանել։ Մյուս կողմից, կարևոր է մաթեմատիկայի իրական խնդիրներ լուծել նրանց համար, ովքեր պատրաստվում են ձեռք բերել տեխնիկական և ինժեներական մասնագիտություններ։ Ահա թե ինչու այս աշխատանքընշանակություն ունի հետագա կրթություն(օրինակ՝ բարձրագույն ուսումնական հաստատությունում)։

Գրականություն:

1. Միտյակով S. N. Ինֆորմատիկա. Համալիր ուսումնական նյութեր. - Ն. Նովգորոդ՝ Նիժնի Նովգորոդ: պետություն տեխ. համալսարան, 2006 թ
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Ոչ գծային հավասարումների ճյուղավորվող լուծումների տեսությունը: M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Բրոնշտեյն Ի. Ն., Սեմենդյաև Կ. Ա. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և տեխնիկական քոլեջների ուսանողների համար - Մ.: Նաուկա, 1986 թ.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Մաթեմատիկա: ուսուցողական. - Ռոստով n/d.: Phoenix, 2005 թ.
5. Սավին Ա.Պ. Հանրագիտարանային բառարաներիտասարդ մաթեմատիկոս. - Մ.: Մանկավարժություն, 1989:
6. Korn G., Korn T. Մաթեմատիկայի ձեռնարկ գիտնականների և ինժեներների համար: - Մ.: Նաուկա, 1973:
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Սանկտ Պետերբուրգ: BHV-Petersburg, 2012 թ.
8. Չեռնյակ Ա., Չեռնյակ Ժ., Դոմանովա Յու Բարձրագույն մաթեմատիկա՝ հիմնված Mathcad. Ընդհանուր դասընթաց. - Սանկտ Պետերբուրգ: BHV-Petersburg, 2004 թ.
9. Porshnev S., Belenkova I. Թվային մեթոդները հիմնված Mathcad. - Սանկտ Պետերբուրգ: BHV-Petersburg, 2012 թ.

Հիմնաբառեր: ոչ գծային հավասարումներ, կիրառական մաթեմատիկա, CAD MathCAD, Նյուտոնի մեթոդ, քայլ մեթոդ, դիխոտոմիայի մեթոդ։.

Անոտացիա: Հոդվածը նվիրված է ոչ գծային հավասարումների լուծման մեթոդների ուսումնասիրությանը, այդ թվում՝ MathCAD համակարգչային նախագծման համակարգի օգտագործմանը։ Քայլերի մեթոդը, կեսերը և Նյուտոնի մեթոդները դիտարկվում են, տրված են այդ մեթոդների կիրառման մանրամասն ալգորիթմները, և համեմատական ​​վերլուծություննշված մեթոդները:

Նյուտոնի մեթոդը (նաև հայտնի է որպես շոշափող մեթոդ) տրված ֆունկցիայի արմատը (զրո) գտնելու կրկնվող թվային մեթոդ է։ Մեթոդն առաջին անգամ առաջարկել է անգլիացի ֆիզիկոս, մաթեմատիկոս և աստղագետ Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727), ում անունով էլ հայտնի է դարձել։

Մեթոդը նկարագրվել է Իսահակ Նյուտոնի կողմից De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ձեռագրում (լատ. .Մասինվերլուծություն անվերջ շարքերի հավասարումներով), ուղղված 1669 թվականին Բարոուին, և De metodis fluxionum et serierum infinitarum (լատիներեն՝ հոսքերի և անվերջ շարքերի մեթոդ) կամ Geometria analytica աշխատության մեջ։ լատ.Վերլուծականերկրաչափություն) Նյուտոնի հավաքած աշխատություններում, որը գրվել է 1671 թ. Այնուամենայնիվ, մեթոդի նկարագրությունը զգալիորեն տարբերվում էր դրա ներկայիս ներկայացումից. Նյուտոնը կիրառեց իր մեթոդը բացառապես բազմանդամների վրա։ Նա հաշվարկել է ոչ թե x n-ի հաջորդական մոտարկումներ, այլ բազմանդամների հաջորդականություն և արդյունքում ստացել x-ի մոտավոր լուծում։

Մեթոդն առաջին անգամ հրապարակվել է 1685 թվականին Ջոն Ուոլիսի «Հանրահաշիվ» տրակտատում, որի խնդրանքով այն համառոտ նկարագրել է հենց ինքը՝ Նյուտոնը։ 1690 թվականին Ջոզեֆ Ռաֆսոնը հրապարակեց պարզեցված նկարագրություն իր «Analysis aequationum universalis» աշխատության մեջ (լատ. Ընդհանուր վերլուծությունհավասարումներ):Ռաֆսոնը Նյուտոնի մեթոդը դիտեց որպես զուտ հանրահաշվական և սահմանափակեց դրա օգտագործումը բազմանդամներով, բայց նա նկարագրեց մեթոդը x n հաջորդական մոտարկումներով՝ Նյուտոնի կողմից օգտագործվող բազմանդամների ավելի դժվար հասկանալի հաջորդականության փոխարեն:

Ի վերջո, 1740 թվականին Նյուտոնի մեթոդը նկարագրվեց Թոմաս Սիմփսոնի կողմից որպես առաջին կարգի կրկնվող մեթոդ՝ ոչ գծային հավասարումների լուծման համար՝ օգտագործելով ածանցյալներ, ինչպես ներկայացված է այստեղ։ Նույն հրապարակման մեջ Սիմփսոնն ընդհանրացրել է մեթոդը երկու հավասարումների համակարգի դեպքում և նշել, որ Նյուտոնի մեթոդը կարող է կիրառվել նաև օպտիմալացման խնդիրները լուծելու համար՝ գտնելով ածանցյալի կամ գրադիենտի զրոն։

Այս մեթոդի համաձայն՝ ֆունկցիայի արմատը գտնելու խնդիրը կրճատվում է ֆունկցիայի գրաֆիկին գծագրված շոշափողի x առանցքի հետ հատման կետը գտնելու առաջադրանքով։

Նկ.1 . Ֆունկցիայի փոփոխության գրաֆիկ

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած կետում գծված շոշափող գիծը որոշվում է դիտարկվող կետում այս ֆունկցիայի ածանցյալով, որն իր հերթին որոշվում է α անկյան շոշափողով: Շոշափողի հատման կետը աբսցիսայի առանցքի հետ որոշվում է հետևյալ հարաբերության հիման վրա. ուղղանկյուն եռանկյունանկյան շոշափողուղղանկյուն եռանկյան մեջ որոշվում է հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությամբ: Այսպիսով, յուրաքանչյուր քայլում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող է կառուցվում հաջորդ մոտարկման կետում. . Շոշափողի առանցքի հետ հատման կետըԵզ կլինի հաջորդ մոտեցման կետը. Համաձայն դիտարկվող մեթոդի՝ հաշվարկելով արմատի մոտավոր արժեքըես- կրկնությունները կատարվում են ըստ բանաձևի.

Ուղիղ գծի թեքությունը ամեն քայլափոխի ճշգրտվում է լավագույնս, սակայն պետք է ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ ալգորիթմը հաշվի չի առնում գրաֆիկի կորությունը և, հետևաբար, հաշվարկի ընթացքում այն ​​մնում է անհայտ։ որ ուղղությամբ կարող է շեղվել գրաֆիկը:

Կրկնվող գործընթացի ավարտի պայմանը հետևյալ պայմանի կատարումն է.

Որտեղ ˗ թույլատրելի սխալ արմատը որոշելիս.

Մեթոդն ունի քառակուսային կոնվերգենցիա։ Կոնվերգենցիայի քառակուսի փոխարժեքը նշանակում է, որ մոտարկումում ճիշտ նշանների թիվը կրկնապատկվում է յուրաքանչյուր կրկնության հետ:

Մաթեմատիկական հիմնավորում

Թող իրական ֆունկցիա տրվի, որը սահմանված և շարունակական է դիտարկվող տարածքում։ Անհրաժեշտ է գտնել խնդրո առարկա ֆունկցիայի իրական արմատը։

Հավասարման ածանցումը հիմնված է մեթոդի վրա պարզ կրկնություններ, ըստ որի՝ ցանկացած ֆունկցիայի համար հավասարումը վերածվում է համարժեք հավասարման։ Ներկայացնենք կծկման քարտեզագրման հայեցակարգը, որը սահմանվում է հարաբերությամբ:

Մեթոդի լավագույն կոնվերգենցիայի համար պայմանը պետք է բավարարվի հաջորդ մոտարկման կետում: Այս պահանջը նշանակում է, որ ֆունկցիայի արմատը պետք է համապատասխանի ֆունկցիայի ծայրահեղությանը։

Կծկման քարտեզի ածանցյալըսահմանվում է հետևյալ կերպ.

Եկեք այս արտահայտությունից արտահայտենք փոփոխականըենթակա է նախկինում ընդունված հայտարարության, որ երբ անհրաժեշտ է ապահովել պայմանը . Արդյունքում մենք ստանում ենք փոփոխականը սահմանելու արտահայտություն.

Հաշվի առնելով դա՝ սեղմման ֆունկցիան հետևյալն է.

Այսպիսով, հավասարման թվային լուծում գտնելու ալգորիթմը վերածվում է կրկնվող հաշվարկման ընթացակարգի.

Մեթոդով ոչ գծային հավասարման արմատը գտնելու ալգորիթմ

1. Սահմանել ֆունկցիայի արմատի մոտավոր արժեքի մեկնարկային կետը, ինչպես նաև հաշվարկի սխալը (փոքր դրական թիվ) և սկզբնական կրկնության քայլը ().

2. Հաշվե՛ք ֆունկցիայի արմատի մոտավոր արժեքը՝ համաձայն բանաձևի.

3. Մենք ստուգում ենք արմատի մոտավոր արժեքը նշված ճշգրտության համար, այն դեպքում, երբ.

Եթե ​​երկու հաջորդական մոտարկումների միջև տարբերությունը պակասում է նշված ճշգրտությունից, ապա կրկնվող գործընթացը ավարտվում է:

Եթե ​​երկու հաջորդական մոտարկումների տարբերությունը չի հասնում պահանջվող ճշգրտությանը, ապա անհրաժեշտ է շարունակել կրկնվող գործընթացը և անցնել դիտարկվող ալգորիթմի 2-րդ քայլին։

Հավասարումների լուծման օրինակ

մեթոդովՆյուտոնը մեկ փոփոխականով հավասարման համար

Որպես օրինակ, հաշվի առեք մեթոդի միջոցով ոչ գծային հավասարումը լուծելըՆյուտոնը մեկ փոփոխականով հավասարման համար. Արմատը պետք է գտնել ճշգրտությամբ՝ որպես առաջին մոտարկում.

Ծրագրային փաթեթում ոչ գծային հավասարման լուծման տարբերակMathCADներկայացված Նկար 3-ում:

Հաշվարկի արդյունքները, այն է` արմատի մոտավոր արժեքի փոփոխությունների դինամիկան, ինչպես նաև հաշվարկի սխալները` կախված կրկնման քայլից, ներկայացված են գրաֆիկական տեսքով (տե՛ս նկ. 2):

Նկ.2. Հաշվարկի արդյունքները՝ օգտագործելով Նյուտոնի մեթոդը մեկ փոփոխականով հավասարման համար

Նշված ճշգրտությունն ապահովելու համար միջակայքում հավասարման արմատի մոտավոր արժեք որոնելիս անհրաժեշտ է կատարել 4 կրկնություն։ Վերջին կրկնման քայլում ոչ գծային հավասարման արմատի մոտավոր արժեքը կորոշվի հետևյալ արժեքով.

Նկ.3 . Ծրագրերի ցուցակագրումMathCad

Նյուտոնի մեթոդի փոփոխությունները մեկ փոփոխականով հավասարման համար

Կան Նյուտոնի մեթոդի մի քանի փոփոխություններ, որոնք ուղղված են հաշվողական գործընթացի պարզեցմանը։

Պարզեցված Նյուտոնի մեթոդը

Նյուտոնի մեթոդի համաձայն՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը յուրաքանչյուր կրկնման քայլում, ինչը հանգեցնում է հաշվողական ծախսերի ավելացման։ Յուրաքանչյուր հաշվարկման քայլում ածանցյալը հաշվարկելու հետ կապված ծախսերը նվազեցնելու համար դուք կարող եք բանաձևի x n կետում f'(x n) ածանցյալը փոխարինել x 0 կետում f'(x 0) ածանցյալով: Այս հաշվարկման մեթոդի համաձայն, արմատի մոտավոր արժեքը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.Փոփոխված Նյուտոնի մեթոդը

Նյուտոնի տարբերության մեթոդ

Արդյունքում f(x) ֆունկցիայի արմատի մոտավոր արժեքը կորոշվի Նյուտոնի տարբերության մեթոդի արտահայտմամբ.

Նյուտոնի երկքայլ մեթոդ

Նյուտոնի մեթոդի համաձայն՝ յուրաքանչյուր կրկնման քայլում անհրաժեշտ է հաշվարկել f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը, ինչը միշտ չէ, որ հարմար է, իսկ երբեմն՝ գործնականում անհնար։ Այս մեթոդըթույլ է տալիս ֆունկցիայի ածանցյալը փոխարինել տարբերության հարաբերակցությամբ (մոտավոր արժեք).

Արդյունքում f(x) ֆունկցիայի արմատի մոտավոր արժեքը կորոշվի հետևյալ արտահայտությամբ.

Որտեղ

Նկ.5 . Նյուտոնի երկքայլ մեթոդ

Secant մեթոդը երկքայլ մեթոդ է, այսինքն՝ նոր մոտարկումորոշվում է նախորդ երկու կրկնություններովԵվ . Մեթոդը պետք է նշի երկու սկզբնական մոտարկումԵվ . Մեթոդի կոնվերգենցիայի արագությունը կլինի գծային:

• Ետ
• Առաջ

Հոդվածում ձեր մեկնաբանությունը ավելացնելու համար խնդրում ենք գրանցվել կայքում։

2. Ոչ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Նյուտոնի մեթոդը.

Այս մեթոդն ունի շատ ավելի արագ կոնվերգենցիա, քան պարզ կրկնման մեթոդը: Նյուտոնի մեթոդը հավասարումների համակարգի համար (1.1) հիմնված է ֆունկցիայի ընդլայնման օգտագործման վրա

, Որտեղ
(2.1)

Թեյլորի շարքում՝ երկրորդը կամ ավելին պարունակող տերմիններով բարձր պատվերներածանցյալները հանվում են: Այս մոտեցումը թույլ է տալիս լուծել մեկը ոչ գծային համակարգ(1.1) փոխարինվում է մի շարք գծային համակարգերի լուծմամբ։

Այսպիսով, մենք (1.1) համակարգը կլուծենք Նյուտոնի մեթոդով։ Դ տարածաշրջանում ընտրեք ցանկացած կետ
և այն անվանել զրոյական մոտարկում սկզբնական համակարգի ճշգրիտ լուծմանը: Այժմ եկեք ընդլայնենք ֆունկցիաները (2.1) և վերածենք Թեյլորի շարքի՝ կետի հարևանությամբ: Կունենա

Որովհետեւ (2.2)-ի ձախ կողմերը պետք է անհետանան (1.1) համաձայն, ապա (2.2)-ի աջ կողմերը նույնպես պետք է անհետանան: Հետևաբար, (2.2)-ից ունենք

Բոլոր մասնակի ածանցյալները (2.3) պետք է հաշվարկվեն կետում:

(2.3) գծային համակարգ է հանրահաշվական հավասարումներհարաբերական անհայտների հետ Այս համակարգը կարող է լուծվել Քրամերի մեթոդով, եթե դրա հիմնական որոշիչը զրոյական չէ, և քանակները կարելի է գտնել

Այժմ մենք կարող ենք ճշգրտել զրոյական մոտարկումը` կառուցելով առաջին մոտարկումը կոորդինատներով

դրանք.
. (2.6)

Եկեք պարզենք, թե արդյոք մոտարկումը (2.6) ստացվել է բավականաչափ ճշգրտությամբ։ Դա անելու համար եկեք ստուգենք վիճակը

,
(2.7)

Որտեղ կանխորոշված ​​փոքր դրական թիվ (ճշգրտությունը, որով (1.1) համակարգը պետք է լուծվի): Եթե ​​(2.7) պայմանը բավարարված է, ապա որպես (1.1) համակարգի մոտավոր լուծում ընտրում ենք (2.6) և ավարտում ենք հաշվարկները: Եթե ​​(2.7) պայմանը չի բավարարվում, ապա կատարում ենք հետևյալ գործողությունը. Համակարգում (2.3) փոխարեն
Վերցնենք թարմացված արժեքները

, (2.8)

դրանք. Եկեք անենք դա հետևյալ գործողությունները

. (2.9)

Դրանից հետո (2.3) համակարգը կլինի մեծությունների գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ Այս մեծությունները որոշելով՝ հաջորդ երկրորդ մոտարկումը.
(1.1) համակարգի լուծման համար մենք գտնում ենք բանաձևերի միջոցով

Հիմա եկեք ստուգենք վիճակը (2.7)

Եթե ​​այս պայմանը բավարարված է, ապա մենք ավարտում ենք հաշվարկները՝ վերցնելով երկրորդ մոտարկումը որպես համակարգի մոտավոր լուծում (1.1)
. Եթե ​​այս պայմանը չկատարվի, ապա մենք շարունակում ենք կառուցել հաջորդ մոտարկումը` հաշվի առնելով (2.3)
Պետք է մոտավորություններ կառուցել, քանի դեռ պայմանը չի բավարարվել։

Համակարգի (1.1) լուծման Նյուտոնի մեթոդի աշխատանքային բանաձևերը կարելի է գրել ձևով.

Հաշվարկել հաջորդականությունը

Այստեղ
համակարգի լուծումն են

Եկեք ձևակերպենք հաշվարկի ալգորիթմ՝ օգտագործելով (2.11)-(2.13) բանաձևերը:

1. Ընտրենք Դ շրջանին պատկանող զրոյական մոտարկում։

2. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգում (2.13) սահմանել ենք
, Ա.

3. Լուծենք (2.13) համակարգը և գտնենք մեծությունները
.

4. Բանաձեւերում (2.12) դնում ենք
և հաշվարկել հաջորդ մոտարկման բաղադրիչները:

5. Ստուգենք (2.7) պայմանը. (Տես մի քանի մեծությունների առավելագույնը հաշվարկելու ալգորիթմը։)

6. Եթե այս պայմանը բավարարված է, ապա մենք ավարտում ենք հաշվարկները՝ ընտրելով մոտարկումը որպես համակարգի մոտավոր լուծում (1.1): Եթե ​​այս պայմանը չի կատարվում, ապա անցեք 7-րդ քայլին:

7. Դնենք
բոլորի համար .

8. Կատարենք 3-րդ քայլը՝ դնելով
.

Երկրաչափորեն այս ալգորիթմը կարելի է գրել այսպես.

Ալգորիթմ. Մի քանի քանակի առավելագույնի հաշվարկ.

Օրինակ. Դիտարկենք Նյուտոնի մեթոդի օգտագործումը երկու հավասարումների համակարգ լուծելու համար:

Լուծեք Նյուտոնի մեթոդով մինչև ճշգրտությունը հետևյալ համակարգըոչ գծային հավասարումներ

, (2.14)

Այստեղ
. Ընտրենք զրոյական մոտավորությունը
, պատկանում է D տիրույթին: Կառուցենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ (2.3): Նա նման կլինի

(2.15)

Նշենք

Եկեք լուծենք (2.15) համակարգը անհայտների նկատմամբ
, օրինակ՝ Cramer մեթոդը։ Մենք գրում ենք Կրամերի բանաձևերը ձևով

(2.17)

որտեղ է համակարգի հիմնական որոշիչը (2.15)

(2.18)

իսկ համակարգի օժանդակ որոշիչները (2.15) ունեն ձև

.

Գտնված արժեքները փոխարինում ենք (2.16) և գտնում ենք առաջին մոտարկման բաղադրիչները
համակարգի լուծմանը (2.15):

Եկեք ստուգենք վիճակը

, (2.19)

եթե այս պայմանը բավարարված է, ապա մենք ավարտում ենք հաշվարկները՝ վերցնելով առաջին մոտարկումը որպես համակարգի մոտավոր լուծում (2.15), այսինքն.
. Եթե ​​(2.19) պայմանը չի բավարարվում, ապա սահմանում ենք
,
և մենք կկառուցենք նոր համակարգգծային հանրահաշվական հավասարումներ (2.15). Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք երկրորդ մոտարկումը
. Եկեք ստուգենք այն: Եթե ​​այս պայմանը բավարարված է, ապա մենք ընտրում ենք որպես համակարգի մոտավոր լուծում (2.15)
. Եթե ​​պայմանը չի բավարարվում, մենք սահմանում ենք
,
և գտնելու համար կառուցիր հետևյալ համակարգը (2.15).
և այլն:

Առաջադրանքներ

Բոլոր առաջադրանքները պահանջում են.

Առաջարկվող ալգորիթմի համաձայն մեթոդի թվային իրականացման ծրագիր կազմել:

Ստացեք հաշվարկների արդյունքները:

Ստուգեք ձեր արդյունքները:

Տրված է երկու ոչ գծային հավասարումների համակարգ։

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Գլուխ 3. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի (SLAEs) լուծման թվային մեթոդներ.

Աշխատանքի նպատակը. SLAE-ների լուծման որոշ մոտավոր մեթոդների ներածություն և դրանց թվային իրականացումը ԱՀ-ում:

Նախնական դիտողություններ. SLAE-ների լուծման բոլոր մեթոդները սովորաբար բաժանվում են երկուսի մեծ խմբեր. Առաջին խումբը ներառում է մեթոդներ, որոնք սովորաբար կոչվում են ճշգրիտ: Այս մեթոդները մեզ թույլ են տալիս գտնել ցանկացած համակարգի համար ճշգրիտ արժեքներանհայտները վերջավոր թվով թվաբանական գործողություններից հետո, որոնցից յուրաքանչյուրը կատարվում է ճշգրիտ:

Երկրորդ խումբը ներառում է բոլոր մեթոդները, որոնք ճշգրիտ չեն: Դրանք կոչվում են կրկնվող, կամ թվային կամ մոտավոր։ Ճշգրիտ լուծումը նման մեթոդների կիրառման ժամանակ ստացվում է մոտարկումների անվերջանալի գործընթացի արդյունքում։ Նման մեթոդների գրավիչ առանձնահատկությունը դրանց ինքնուրույն ուղղումն է և ԱՀ-ում իրականացման հեշտությունը:

Եկեք դիտարկենք SLAE-ների լուծման մի քանի մոտավոր մեթոդներ և կառուցենք դրանց թվային իրականացման ալգորիթմներ: Մենք կստանանք SLAE-ի մոտավոր լուծում , որտեղ կա մի շատ փոքր դրական թիվ:

1. Կրկնության մեթոդ.

Թող SLAE-ն տրվի ձևով

(1.1)

Այս համակարգը կարելի է գրել մատրիցային տեսքով

, (1.2)

Որտեղ
- համակարգում անհայտների գործակիցների մատրիցա (1.1),
- ազատ անդամների սյունակ,
- համակարգի անհայտների սյունակ (1.1):

. (1.3)

Եկեք լուծենք (1.1) համակարգը կրկնվող մեթոդով: Դա անելու համար մենք կկատարենք հետևյալ քայլերը.

Նախ. Ընտրենք զրոյական մոտավորությունը

(1.4)

(1.1) համակարգի ճշգրիտ լուծույթին (1.3): Զրոյական մոտարկման բաղադրիչները կարող են լինել ցանկացած թվեր: Բայց զրոյական մոտարկման բաղադրիչների համար ավելի հարմար է կամ զրո վերցնել
, կամ համակարգի անվճար պայմաններ (1.1)

Երկրորդ. Մենք փոխարինում ենք զրոյական մոտարկման բաղադրիչները աջ կողմհամակարգը (1.1) և հաշվարկել

(1.5)

(1.5) ձախ կողմում գտնվող մեծությունները առաջին մոտարկման բաղադրիչներն են
Այն գործողությունները, որոնց արդյունքում ստացվել է առաջին մոտարկումը, կոչվում են կրկնություն:

Երրորդ. Եկեք ստուգենք զրոյական և առաջին մոտավորությունները

(1.6)

Եթե ​​բոլոր պայմանները (1.6) բավարարված են, ապա (1.1) համակարգի մոտավոր լուծման համար մենք ընտրում ենք կամ, կամ դա նշանակություն չունի, քանի որ. դրանք միմյանցից տարբերվում են ոչ ավելի, քան ի վերջո, և եկեք ավարտենք հաշվարկները: Եթե ​​պայմաններից գոնե մեկը (1.6) չի կատարվում, ապա անցնում ենք հաջորդ գործողությանը։

Չորրորդ. Եկեք կատարենք հաջորդ կրկնությունը, այսինքն. համակարգի աջ կողմում (1.1) մենք փոխարինում ենք առաջին մոտարկման բաղադրիչները և հաշվարկում երկրորդ մոտարկման բաղադրիչները.
, Որտեղ

Հինգերորդ. Եկեք ստուգենք
իսկ վրա, այսինքն. Եկեք ստուգենք պայմանը (1.6) այս մոտավորությունների համար: Եթե ​​բոլոր պայմանները (1.6) բավարարվեն, ապա (1.1) համակարգի մոտավոր լուծման համար մենք կընտրենք կամ, կամ դա նշանակություն չունի, քանի որ. դրանք միմյանցից տարբերվում են ոչ ավելի, քան . Հակառակ դեպքում, մենք կկառուցենք հաջորդ կրկնությունը՝ փոխարինելով երկրորդ մոտարկման բաղադրիչները համակարգի աջ կողմում (1.1):

Կրկնությունները պետք է կառուցվեն մինչև երկու հարակից մոտարկումներ
և կտարբերվեն միմյանցից ոչ ավելի, քան .

Համակարգի (1.1) լուծման կրկնությունների մեթոդի աշխատանքային բանաձեւը կարելի է գրել այսպես

(1.7) բանաձևի թվային իրականացման ալգորիթմը կարող է լինել հետևյալը.

(1.1) համակարգի համար կրկնվող մեթոդի կոնվերգենցիայի համար բավարար պայմաններ ունեն ձևը

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Պարզ կրկնության մեթոդ.

Թող գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը (SLAE) տրվի ձևով

(2.1)

Համակարգը (2.1) լուծելու համար պարզ կրկնման մեթոդով, այն նախ պետք է վերածվի ձևի

(2.2)

Համակարգում (2.2) --րդ հավասարումը համակարգի --րդ հավասարումն է (2.1), որը լուծված է --րդ անհայտի նկատմամբ (
).

Համակարգի (2.1) լուծման մեթոդը, որը բաղկացած է այն համակարգից (2.2) վերածելուց, որին հաջորդում է (2.2) համակարգը՝ օգտագործելով կրկնվող մեթոդը, կոչվում է (2.1) համակարգի պարզ կրկնման մեթոդ:

Այսպիսով, համակարգի (2.1) լուծման պարզ կրկնման մեթոդի աշխատանքային բանաձևերը կունենան ձև

(2.3)

Բանաձևերը (2.3) կարելի է գրել ձևով

Համակարգի (2.1) պարզ կրկնման մեթոդի թվային իրականացման ալգորիթմն ըստ (2.4) բանաձևերի կարող է լինել հետևյալը.

Այս ալգորիթմը կարելի է գրել երկրաչափական ձևով։

(2.1) համակարգի համար պարզ կրկնման մեթոդի կոնվերգենցիայի համար բավարար պայմաններ ունեն ձևը

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Ստացիոնար Սեյդելի մեթոդ.

SLAE-ների լուծման Սեիդելի մեթոդը տարբերվում է կրկնության մեթոդից նրանով, որ, գտնելով որոշ մոտավորություն -րդ բաղադրիչի համար, մենք անմիջապես օգտագործում ենք այն հաջորդը գտնելու համար:
,
, …, -րդ բաղադրիչը. Այս մոտեցումը թույլ է տալիս ավելին բարձր արագությունԶեյդելի մեթոդի կոնվերգենցիան՝ համեմատած կրկնությունների մեթոդի հետ:

Թող SLAE-ն տրվի ձևով

(3.1)

Թող
- զրոյական մոտարկում ճշգրիտ լուծմանը
համակարգեր (3.1). Եվ թող գտնվի րդ մոտարկումը
. Եկեք սահմանենք բաղադրիչները
րդ մոտարկումը բանաձևերի միջոցով

(3.2)

Բանաձևերը (3.2) կարելի է գրել կոմպակտ ձևով

,
,
(3.3)

Սեյդելի մեթոդի թվային իրականացման ալգորիթմը (3.1) համակարգի լուծման համար (3.3) կարող է լինել հետևյալը.

1. Ընտրենք, օրինակ.
,

2. Եկեք դնենք.

3. Եկեք հաշվարկենք բոլորի համար:

4. Մենք կստուգենք պայմանները բոլորի համար
.

5. Եթե 4-րդ պարբերության բոլոր պայմանները բավարարված են, ապա մենք կընտրենք կամ կամ որպես մոտավոր լուծում (3.1) համակարգի և կլրացնենք հաշվարկները: Եթե ​​4-րդ քայլի առնվազն մեկ պայման չի կատարվում, անցեք քայլ 6-ին:

6. Եկեք այն վայր դնենք և անցնենք 3-րդ քայլին:

Այս ալգորիթմը կարելի է գրել երկրաչափական ձևով։

Սայդելի մեթոդի կոնվերգենցիայի բավարար պայմանը (3.1) համակարգի համար ունի ձև
, .

4. Ոչ ստացիոնար Սեյդելի մեթոդ.

SLAE-ի լուծման այս մեթոդը (3.1) ապահովում է Սեյդելի մեթոդի կոնվերգենցիայի էլ ավելի բարձր արագություն:

Եկեք ինչ-որ կերպ գտնենք րդ մոտավորության և համակարգի (3.1) մոտավորության բաղադրիչները:

Եկեք հաշվարկենք ուղղման վեկտորը

Եկեք հաշվարկենք արժեքները

, (4.2)

Դասավորենք քանակները
, նվազման կարգով։

Նույն հերթականությամբ մենք վերագրում ենք (3.1) համակարգի հավասարումները և այս համակարգի անհայտները. ԳծայինհանրահաշիվԵվ ոչ գծային ... ԿառավարումՀամարլաբորատորիա աշխատանքներըԸստ ... մեթոդականհրահանգներ ՀամարգործնականաշխատանքներըԸստ Համարուսանողները ...

Ուսումնական գրականություն (բնագիտական ​​և տեխնիկական) 2000-2011 OP ցիկլ – 10 տարի CD ցիկլ – 5 տարի.

գրականություն

... Բնականգիտություններընդհանուր առմամբ 1. Աստղագիտություն [Տեքստ]՝ ձեռնարկ Համար ... Թվայինմեթոդները: ԳծայինհանրահաշիվԵվ ոչ գծային ... ԿառավարումՀամարլաբորատորիա աշխատանքներըԸստ ... մեթոդականհրահանգներ ՀամարգործնականաշխատանքներըԸստ«Տրանսպորտային տնտեսագիտություն» առարկան Համարուսանողները ...

- բնական գիտություններ (1)

Ուսուցողական

... կառավարումՀամարուսանողներըեւ ուսուցիչները, նախատեսված Համարօգտագործել ոչ միայն սովորելու համար մեթոդներըաշխատանքը... արտադրություն գործնականիրական տվյալների օգտագործման հմտություններ: Մեթոդականառաջարկություններ Ըստթեստի կատարում աշխատանքըԸստայս...

- բնական գիտություններ - ֆիզիկամաթեմատիկական գիտություններ - քիմիական գիտություններ - երկրային գիտություններ (գեոդեզիական երկրաֆիզիկական երկրաբանական և աշխարհագրական գիտություններ)

Փաստաթուղթ

... Համարուսանողներըբնականաբար- ... աշխատանքներըԸստ«Գենետիկա և ընտրություն» առարկան՝ նվիրված ընթացիկ խնդիրներսա գիտություններ. Համակարգված անկախ ԱշխատանքուսանողներըԸստտեսական և գործնական ... գծային, ոչ գծային, դինամիկ. Բոլորը մեթոդները ...

- բնական գիտություններ - ֆիզիկամաթեմատիկական գիտություններ - քիմիական գիտություններ - երկրային գիտություններ (գեոդեզիական երկրաֆիզիկական երկրաբանական և աշխարհագրական գիտություններ) (7)

Դասագրքերի ցանկ

Էրեմինի որոշիչ գծայինԵվ ոչ գծայինհանրահաշիվ : գծայինԵվ ոչ գծայինծրագրավորում՝ նոր մեթոդ/ Էրեմին, Միխայիլ... Համարուսանողներըև բուհերի երկրաբանական մասնագիտությունների ուսուցիչներ: խ-1 1794549 99. Դ3 Պ 693 ԳործնականկառավարումԸստ ...

Նյուտոնի մեթոդով ոչ գծային հավասարումների լուծում

Էլեկտրական էներգիայի խնդիրները լուծելու համար մեթոդի մի քանի փոփոխություններ կան. Դրանք հնարավորություն են տալիս մեծացնել կրկնվող գործընթացի կոնվերգենցիայի արագությունը և նվազեցնել հաշվարկի ժամանակը։

Հիմունքներ արժանապատվությունըմեթոդ - այն ունի արագ կոնվերգենցիա:

Մեթոդի գաղափարըբաղկացած է սկզբնական ոչ գծային հավասարումների համակարգի հաշվարկի հաջորդական փոխարինումից յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ հավասարումների որոշ օժանդակ գծային համակարգով, որի լուծումը թույլ է տալիս մեզ ստանալ անհայտների հաջորդ մոտարկումը, ավելի մոտ ցանկալի լուծմանը ( գծայինացում).

Դիտարկենք ոչ գծային հավասարումը ընդհանուր տեսարան:

Հավասարման պահանջվող լուծումն այն կետն է, որտեղ կորը հատում է x առանցքը:

Մենք սահմանել ենք անհայտի նախնական մոտարկումը x (0). Որոշեք ֆունկցիայի արժեքը այս պահին w(x(0))և B կետի կորին շոշափեք: Այս տանգենսի հատման կետը x առանցքի հետ որոշում է անհայտի հաջորդ մոտարկումը: x (1)և այլն:

Եկեք ընդլայնենք (1) հավասարումը կետի մոտակայքում գտնվող Թեյլորի շարքի մեջ x (0). Դիտարկենք միայն 1-ին ածանցյալ պարունակող ընդլայնման պայմանները.

(2)

x – x (0) = Δx- անհայտի փոփոխություն. Եթե ​​սահմանենք, կարող ենք որոշել հաջորդ մոտավորությունը։

(2)-ից մենք որոշում ենք փոփոխությունը (3)

Այնուհետև հետևյալ մոտարկումը. (5)

Նմանապես մենք ստանում ենք Դեպի-e մոտավորություններ:

Սա Նյուտոնի մեթոդի կրկնվող բանաձևըոչ գծային հավասարումներ լուծելու համար։ Այն թույլ է տալիս որոշել անհայտների հաջորդ մոտարկումները:

Բանաձևը (6) կարելի է այլ կերպ ստանալ նկարից.

Կրկնվող գործընթացը համընկնում է, եթե այն նվազում է և մոտենում 0 . Արդյունքը ձեռք է բերվում, եթե.

Երկրաչափական մեկնաբանության մեկնաբանություն

Մեթոդի կրկնվող քայլը կրճատվում է կորը ուղիղ գծով փոխարինելու համար, որը նկարագրված է (2) հավասարման ձախ կողմում: Կետում այն ​​շոշափում է կորին: Այս գործընթացը կոչվում է գծայինացում. Կորին շոշափողի հատման կետը առանցքի հետ Xտալիս է անհայտի մեկ այլ մոտավորություն. Հետևաբար այս մեթոդը կոչվում է շոշափող մեթոդ.

Օրինակ:

Օրինակ:

Այս մեթոդով ոչ գծային հավասարման բոլոր արմատները որոշելու համար անհրաժեշտ է որևէ կերպ որոշել. մոտավորայս արմատների գտնվելու վայրը և դրանց մոտ նախնական մոտավորությունները սահմանել:

Պարզ միջոց է որոշելու այն տարածքը, որտեղ գտնվում են արմատները աղյուսակավորումը.

Նյուտոնի կրկնության գործընթացը չի համընկնում, եթե սկզբնական մոտարկումներն ընտրված են այնպես, որ.

Գործընթացը կա՛մ չի համընկնում, կա՛մ շատ վատ է համընկնում:

Նյուտոն-Ռաֆսոնի մեթոդը SNAU-ի լուծման համար

Ռաֆսոնը ցույց տվեց, որ լուծման համար առաջարկված Նյուտոնի կրկնվող մեթոդը մեկոչ գծային հավասարումներ, կարող է օգտագործվել լուծելու համար համակարգերոչ գծային հավասարումներ.

Միևնույն ժամանակ, ոչ գծային հավասարումների համակարգերը լուծելու համար անհրաժեշտ է մեկ անհայտի փոխարեն դիտարկել բազմություն (վեկտոր). անհայտ:

մեկ մնացորդային հավասարման փոխարեն մենք համարում ենք մնացորդների վեկտորըհամակարգի հավասարումներ.

Մեկ ածանցյալ (6)-ում փոխարինվում է ածանցյալների մատրիցա. (6)-ում բաժանման գործողությունը փոխարինվում է բազմապատկմամբ հակադարձածանցյալների մատրիցա. Այս դեպքում Նյուտոն-Ռաֆսոնի մեթոդը տարբերվում է Նյուտոնի մեթոդից միաչափ խնդրից անցումով դեպի. բազմաչափ.

Դիտարկենք իրական ոչ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը.

(7)

Այն կարելի է գրել մատրիցային ձևով.

Որտեղ X= x 2 – վեկտոր – անհայտների սյունակ;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

Վ = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – վեկտորի ֆունկցիա:

w n (x 1, x 2, ... x n)

Թող - անհայտների նախնական մոտարկումներ. Եկեք ընդլայնենք (7) համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը կետի մոտակայքում գտնվող Թեյլորի շարքի X (0), այսինքն՝ կկատարենք սկզբնական ոչ գծային հավասարումների մոտավոր փոխարինում գծայիններով, որոնցում պահպանված է միայն 1-ին ածանցյալը (գծայնացում)։ Արդյունքում, հավասարումների համակարգը (7) ստանում է ձև.

(9)

Արդյունքում ստացանք գծային հավասարումների համակարգ(գծային համակարգ), որում անհայտները ուղղումներ են: Այս համակարգում անհայտների գործակիցները հավասարումների առաջին ածանցյալներն են w jսկզբնական ոչ գծային համակարգի բոլոր անհայտների համար Սի.. Նրանք կազմում են գործակիցների մատրիցա. Յակոբի մատրիցա:

=

Մատրիցայի յուրաքանչյուր տող բաղկացած է ոչ գծային համակարգի հաջորդ հավասարման առաջին ածանցյալներից բոլոր անհայտների նկատմամբ:

Եկեք գրենք գծային համակարգը (9) մատրիցային տեսքով.

(10)

Ահա սկզբնական համակարգի հավասարումների մնացորդների վեկտորը։ Դրա տարրերը ստացվում են անհայտների հաջորդական մոտարկումները ոչ գծային համակարգի հավասարումների մեջ փոխարինելով.

- Յակոբյան մատրիցա. Դրա տարրերը սկզբնական համակարգի բոլոր հավասարումների առաջին մասնակի ածանցյալներն են բոլոր անհայտների նկատմամբ.

- ուղղման վեկտորցանկալի անհայտներին: Յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ կարելի է գրել.

Համակարգը (10), հաշվի առնելով ընդունված նշումը, կարելի է գրել.

(12)

Այս համակարգը գծայինփոփոխությունների վերաբերյալ ΔХ (k).

Համակարգը (13) հավասարումների գծային համակարգ է, որը փոխարինում է սկզբնական SNAU-ին կրկնվող գործընթացի յուրաքանչյուր քայլում:

Համակարգը (13) լուծվում է ցանկացած հայտնի մեթոդով, արդյունքում մենք գտնում ենք ուղղման վեկտորը: Այնուհետև (11)-ից մենք կարող ենք գտնել հաջորդ մոտեցումներըանհայտ:

Դա. ամեն կրկնվող քայլԳործընթացը բաղկացած է գծային համակարգի (13) լուծումից և (14-ից) հաջորդ մոտարկումը որոշելուց:

(11) և (12)-ից կարող ենք ստանալ ընդհանուրը կրկնության բանաձեւ(մատրիցային ձևով), որը համապատասխանում է Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդին.

(15)

Այն ունի (6) բանաձևին համապատասխան կառուցվածք։

Բանաձևը (15) օգտագործվում է գործնական հաշվարկներում հազվադեպ, քանի որ այստեղ անհրաժեշտ է շրջել Յակոբյան մատրիցը (մեծ չափման) հաշվարկների յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ։ Իրական հաշվարկներում ուղղումները որոշվում են գծային համակարգի (13) լուծման արդյունքում։

Ավարտման հսկողությունՄենք կատարում ենք կրկնվող գործընթացը՝ օգտագործելով մնացորդների վեկտորը.

Այս պայմանը պետք է բավարարվի մնացորդների համար բոլորինհամակարգի հավասարումները։

Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդով SNAU-ի լուծման ալգորիթմ

1. Անհայտների սկզբնական մոտարկումների վեկտորի նշում.

Հաշվարկման ճշգրտության սահմանում є , այլ հաշվարկային պարամետրեր

2. Ոչ գծային հավասարումների մնացորդների որոշում մոտարկման կետում.

2.3. Յակոբյան մատրիցայի տարրերի որոշում անհայտների հաջորդ մոտարկման կետում;

2.4. Գծային համակարգի (13) լուծում ցանկացած հայտնի մեթոդով: Անհայտների փոփոխությունների որոշում:

2.5. Անհայտների հաջորդ մոտարկման որոշում՝ համաձայն (14):

2.6. Կրկնման գործընթացի ավարտի մոնիտորինգ՝ համաձայն (16): Եթե ​​պայմանը չի կատարվում, ապա վերադարձեք 2-րդ քայլին:

Օրինակ:

Լուծեք SLAE-ը Նյուտոն-Ռաֆսոնի մեթոդով.

(լուծում X 1 = X 2 = 2)

Եկեք հավասարումները գրենք մնացորդների տեսքով.

Մենք սահմանում ենք Յակոբյան մատրիցայի տարրերը.

Յակոբյան մատրիցա.

Իրականացնենք Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդի ալգորիթմը.

1) Առաջին կրկնություն.

Նախնական մոտարկումներ

Մնացորդներ

Յակոբյան մատրիցա.

Հավասարումների գծային համակարգ.

Անհայտների 1-ին մոտարկում.

2) Երկրորդ կրկնություն

3) Երրորդ կրկնություն.

… ……… …… …… …… ……..

Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդով կայուն վիճակի հավասարումների համակարգերի լուծում

Հզորության հաշվեկշռի տեսքով կայուն վիճակի ոչ գծային հավասարումը ունի հետևյալ ձևը.

(17)

Սա բարդ անհայտներով և գործակիցներով հավասարություն է: (17) ձևի նման հավասարումների համար. հնարավոր էր որոշելՆյուտոն-Ռաֆսոնի մեթոդով դրանք փոխակերպվում են՝ առանձնացվում են իրական և երևակայական մասերը։ Սրա արդյունքում ամեն բարդ հավասարումձևը (17) բաժանվում է երկու իրական հավասարումների, որոնք համապատասխանում են հանգույցի ակտիվ և ռեակտիվ հզորության հավասարակշռությանը.

Ահա նշված հզորությունները հանգույցում.

Անհայտ լարման բաղադրիչներ հանգույցներում: Նրանք անհրաժեշտ են

որոշվում է հաշվարկի արդյունքում։

Հավասարումների աջ կողմում (18) ցույց է տրված հոսանքների հաշվարկված ընդհանուր հզորությունը րդ հանգույցին մոտեցող ճյուղերում:

Այս հավասարումները (18) գրենք ձևով մնացորդներ:

(19) հավասարումների մնացորդները համապատասխանում են հաշվարկվածին անհավասարակշռությունակտիվ և ռեակտիվ հզորություն րդ հանգույցում:

Մնացորդները նկարագրում են հանգույցի ռեժիմը і և հանգույցներում անհայտ լարումների ոչ գծային ֆունկցիաներ են։ Անհրաժեշտ է, որ -> 0:

Համակարգը կլուծենք Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդով 2n(19) ձևի հավասարումները, այսինքն, Նյուտոն-Ռաֆսոնի մեթոդով էլեկտրական ցանցի կայուն վիճակի հաշվարկման խնդիրը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.

1) ձևավորել համակարգ 2n(19) ձևի հավասարումներ էլեկտրական ցանցի բոլոր հանգույցների համար, բացառությամբ հավասարակշռողների.

2) կազմակերպել Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդի կրկնվող գործընթացը

լուծել այս հավասարումների համակարգը: Որոշման արդյունքում

մենք հանգույցներում ստանում ենք լարվածության պահանջվող բաղադրիչները:

Եկեք այս հավասարումների համակարգը գրենք ընդհանուր ձևով.

(20)

Մենք ստացանք 2 ոչ գծային համակարգ մնացորդային հավասարումներ 2 անհայտներով, որոնք. Դրանում անհայտ բաղադրիչներն են լարման բաղադրիչները՝ մոդուլները և անկյունները։

Համակարգը (20) լուծելու համար Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդով պետք է գրել օժանդակ(13) ձևի հավասարումների գծային համակարգ, որը լուծելով յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ մենք որոշում ենք անհայտների ուղղումները.

(21)

Հաշվի առնելով ընդունված նշումը, համակարգը (21) կարելի է գրել.

(22)

որտեղ է Jacobi մատրիցը, դրա տարրերը (20) համակարգի հավասարումների մասնակի ածանցյալներ են բոլոր անհայտների նկատմամբ՝ սթրեսային բաղադրիչներ

Համակարգի հավասարումների մնացորդների վեկտորը (20). Նրանց արժեքները ստացվում են անհայտների հաջորդական մոտարկումները հավասարումների մեջ փոխարինելով.

Անհայտների ուղղումների վեկտորը.

; ԴӨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Յակոբյան մատրիցայի տարրերը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք վերլուծական տարբերակում, այսինքն. Համակարգի (20) յուրաքանչյուր հավասարումը տարբերում ենք ըստ պահանջվող մեծությունների՝ անկյունների և լարվածության մոդուլների։ Յակոբյան մատրիցը ձևավորելու համար անհրաժեշտ է ստանալ վերլուծական արտահայտություններ հետևյալ ածանցյալների համար. տեսակներ:

1) մնացորդային հավասարման ածանցյալը նույն հանգույցի լարման անկյան նկատմամբ րդ հանգույցի ակտիվ հզորության համար.

2) հարակից հանգույցի լարման անկյան նկատմամբ մնացորդային հավասարման ածանցյալը. ժ-րդ հանգույց:

3) նույն հանգույցի մոդուլի ակտիվ հզորության մնացորդի ածանցյալը՝ ;

4) հարակից հանգույցի մոդուլի ակտիվ հզորության մնացորդի ածանցյալը՝ ;

Նմանապես որոշվում են ևս չորս տեսակի ածանցյալներ՝ բոլոր անհայտների համար ածանցյալների ռեակտիվ հզորության մնացորդի հավասարումներից.

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Հաշվի առնելով այս ածանցյալները՝ Jacobi մատրիցը կարելի է գրել ընդհանուր ձևով.

(23)

Եկեք սահմանենք վերլուծական արտահայտություններածանցյալների համար՝ տարբերակելով (20) համակարգի հավասարումները անհայտ մեծությունների նկատմամբ։ Նրանք նման են.

(24)

Յակոբյան մատրիցաՎ ընդհանուր դեպք- քառակուսի մատրիցա, սիմետրիկ, չափսերով, դրա տարրերը հավասարումների մնացորդների մասնակի ածանցյալներ են (հզորության անհավասարակշռություն) բոլոր անհայտների նկատմամբ:

Եթե ​​հանգույցները փոխկապակցված չեն, ապա մատրիցի համապատասխան ածանցյալները՝ Յակոբյան մատրիցը, որը գտնվում է անկյունագծից դուրս, հավասար կլինի զրոյի (նման է հաղորդունակության մատրիցին), քանի որ. համապատասխան բանաձեւերում (24) փոխադարձ հաղորդունակություն y ijգործոն է և. y ij =0.

Մատրիցի յուրաքանչյուր տող հանդիսանում է համակարգի հաջորդ հավասարման (20) ածանցյալները:

Մոդելավորված ցանցային դիագրամում հատուկ հանգույցների առկայությունը (աջակցող և հավասարակշռող հանգույցներ, FM հանգույցներ) ազդում է. կառուցվածքըկայուն վիճակի և Յակոբյան մատրիցի կառուցվածքի հավասարումների համակարգ.

1. հետ հանգույցների համար մոդուլի ամրացումլարումներ (FM), որոնցում տրված և անհայտները և , Յակոբյան մատրիցից են բացառվածածանցյալների գիծ (քանի որ Qiնշված չէ, ապա ռեակտիվ հզորության հաշվեկշռի հավասարումը (18), (19) չի կարող կազմվել) և ածանցյալների սյունակը (քանի որ լարման մոդուլը UIհայտնի է և բացառված է անհայտների ցանկից):

2. Աջակցող և հավասարակշռող հանգույցների համար մատրիցայի համապատասխան տողերն ու սյունակները բացառված են.

3. Եթե հանգույցներն ուղղակիորեն կապված չեն, ապա մատրիցում համապատասխան ածանցյալները հավասար են զրոյի:

Յակոբյան մատրիցը կարելի է բաժանել չորսի արգելափակել:

1) - ածանցյալներ անհավասարակշռության հավասարումներից ակտիվհզորություն (20) ըստ անկյուններըսթրես;

2) - անհավասարակշռության հավասարումների ածանցյալներ ակտիվիշխանության կողմից մոդուլներսթրես;

3) - անհավասարակշռության հավասարումների ածանցյալներ ռեակտիվհզորություն (20) ըստ անկյուններըսթրես;

4) - անհավասարակշռության հավասարումների ածանցյալներ ռեակտիվիշխանության կողմից մոդուլներսթրես.

Սրանք անհայտ անկյուններում ակտիվ և ռեակտիվ հզորությունների անհավասարակշռության մասնակի ածանցյալների մատրիցային բջիջներ են և լարման մոդուլներ: Ընդհանուր առմամբ, դրանք չափումների քառակուսի մատրիցներ են n×n.

Հաշվի առնելով դա՝ Յակոբյան մատրիցը կարող է ներկայացվել որպես արգելափակելմատրիցներ:

Որտեղ անհայտ մեծությունների ենթավեկտոր.

Հաշվի առնելով դա, ապա հավասարումների գծային համակարգը (22) կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

. (25)

Սա լուծելով գծային համակարգհավասարումներ (ցանկացած հայտնի մեթոդով) վրա

Մեթոդի յուրաքանչյուր կրկնության համար մենք գտնում ենք անհայտների ուղղումներ, իսկ հետո

կանոնավոր մոտենում էանհայտ:

(26)

Անհայտների հաջորդ մոտարկումը կարելի է ստանալ նաև օգտագործելով կրկնության բանաձևՆյուտոն-Ռաֆսոնի մեթոդը, որը նման է (15):

- · (27)

Սա պահանջում է շրջել Յակոբյան մատրիցը յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ՝ դժվար հաշվողական գործողություն:

Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդով կայուն վիճակի հավասարումների համակարգերի լուծման ալգորիթմ

1. Անհայտ լարումների սկզբնական արժեքների սահմանում: Որպես սկզբնական մոտարկումներ ընդունում ենք՝ , այսինքն. հանգույցների անվանական լարումներ;

2. Հաշվարկի պայմանների սահմանում՝ ճշգրտություն ε , կրկնությունների առավելագույն քանակը, արագացնող գործակիցները և այլն։

3. Հավասարումների մնացորդների որոշում՝ համաձայն (20) հավասարումների՝ անհայտների հաջորդական մոտարկումներով.

4. Յակոբի մատրիցայի տարրերի որոշում (24) համաձայն անհայտների հաջորդական մոտարկումներով.

5. (25) հավասարումների գծային համակարգի լուծում և անհայտների ուղղումների որոշում;

6. Անհայտների հաջորդ մոտարկումների որոշում՝ համաձայն (26);

7. Կրկնման գործընթացի ավարտի ստուգում.

Բոլոր հանգույցների համար հավասարումների մնացորդային արժեքները պետք է պակաս լինեն նշված ճշգրտությունից:

Եթե ​​պայմանը չկատարված է, ապա վերադառնանք 3-րդ կետին և կրկնել հաշվարկը անհայտների նոր մոտարկումներով։

Կան մի շարք Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդի փոփոխությունները.Ներառյալ՝

1. Փոփոխված Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդ.

Յակոբյան մատրիցը հաշվարկվում է մեկ անգամ անհայտների սկզբնական արժեքների համար: Հետագա կրկնություններում այն ​​ընդունվում է մշտական. Սա զգալիորեն նվազեցնում է հաշվարկների քանակը յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ, բայց մեծացնում է կրկնությունների քանակը:

2. Բաժանված Նյուտոն-Ռաֆսոն մեթոդ.

Ձևի ածանցյալները շատ փոքր են, և դրանց արժեքները կարող են անտեսվել: Արդյունքում, Յակոբյան մատրիցայում մնում է երկու բլոկ՝ 1-ին և 4-րդը, և համակարգը (25), որը բաղկացած է հավասարումներից։ քայքայվում էչափման երկու անկախ համակարգերի մեջ: Այս համակարգերից յուրաքանչյուրը լուծվում է մյուսից առանձին: Սա հանգեցնում է հաշվարկների քանակի և անհրաժեշտ համակարգչային հիշողության կրճատմանը: