ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള മഹത്തായ ഒരു ഗണിത ഉപകരണത്തിൻ്റെ ചരിത്രത്തിൽ നിന്നാണ് നമ്മൾ ആരംഭിക്കേണ്ടതെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. എല്ലാ ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ് പോലെ, ഈ സമവാക്യങ്ങളും പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ന്യൂട്ടൺ കണ്ടുപിടിച്ചതാണ്. തൻ്റെ ഈ പ്രത്യേക കണ്ടെത്തൽ വളരെ പ്രധാനമാണെന്ന് അദ്ദേഹം കരുതി, അദ്ദേഹം ഒരു സന്ദേശം പോലും എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്തു, അത് ഇന്ന് ഇതുപോലെ വിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്: "പ്രകൃതിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു." ഇത് അതിശയോക്തിയാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും സംഗതി സത്യമാണ്. ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം എന്നിവയുടെ ഏത് നിയമവും ഈ സമവാക്യങ്ങളാൽ വിവരിക്കാം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിലും സൃഷ്ടിയിലും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ യൂലറും ലാഗ്രേഞ്ചും വലിയ സംഭാവന നൽകി. ഇതിനകം 18-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ അവർ സീനിയർ യൂണിവേഴ്സിറ്റി കോഴ്സുകളിൽ ഇപ്പോൾ പഠിക്കുന്നത് കണ്ടെത്തുകയും വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ ഒരു പുതിയ നാഴികക്കല്ല് ആരംഭിച്ചത് ഹെൻറി പോയിൻകറെയ്ക്ക് നന്ദി. "ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണപരമായ സിദ്ധാന്തം" അദ്ദേഹം സൃഷ്ടിച്ചു, ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി സംയോജിപ്പിച്ച്, ടോപ്പോളജിയുടെ അടിത്തറയിൽ - ബഹിരാകാശ ശാസ്ത്രവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഒരു പ്രധാന സംഭാവന നൽകി.

എന്താണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ?

പലരും ഒരു വാക്യത്തെ ഭയപ്പെടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഗണിത ഉപകരണത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ സാരാംശവും വിശദമായി വിവരിക്കും, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ പേരിൽ നിന്ന് തോന്നുന്നത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിന്, ഈ നിർവചനവുമായി അന്തർലീനമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ നിങ്ങൾ ആദ്യം പരിചയപ്പെടണം. ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യലിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ

സ്കൂൾ കാലം മുതൽ ഈ ആശയം പലർക്കും അറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് അത് കൂടുതൽ വിശദമായി പരിശോധിക്കാം. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിൻ്റെ ഏത് ഭാഗവും ഒരു നേർരേഖയുടെ രൂപമെടുക്കും വിധം നമുക്ക് അത് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. പരസ്പരം അനന്തമായി അടുത്തിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ എടുക്കാം. അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (x അല്ലെങ്കിൽ y) തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അനന്തമായിരിക്കും. ഇതിനെ ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് dy (y യുടെ വ്യത്യാസം), dx (x ൻ്റെ വ്യത്യാസം) എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യൽ ഒരു പരിമിതമായ അളവല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, ഇതാണ് അതിൻ്റെ അർത്ഥവും പ്രധാന പ്രവർത്തനവും.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അടുത്ത ഘടകം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന ആശയം വിശദീകരിക്കുന്നതിൽ നമുക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും. ഇതൊരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

ഡെറിവേറ്റീവ്

നമ്മളെല്ലാവരും ഈ ആശയം സ്കൂളിൽ കേട്ടിരിക്കാം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്ന നിരക്കിനെയാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് പറയുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പലതും വ്യക്തമല്ല. ഡിഫറൻഷ്യലിലൂടെ ഡെറിവേറ്റീവ് വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഓണായിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനന്തമായ സെഗ്‌മെൻ്റിലേക്ക് മടങ്ങാം കുറഞ്ഞ ദൂരംപരസ്പരം. എന്നാൽ ഈ ദൂരത്തിൽ പോലും ഫംഗ്ഷൻ കുറച്ച് തുക മാറ്റുന്നു. ഈ മാറ്റത്തെ വിവരിക്കാൻ അവർ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് കൊണ്ടുവന്നു, അത് ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ അനുപാതമായി എഴുതാം: f(x)"=df/dx.

ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ:

1. ഒരു തുകയുടെയോ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെയോ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയോ വ്യത്യാസമോ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: (a+b)"=a"+b", (a-b)"=a"-b".
2. രണ്ടാമത്തെ ഗുണം ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെയും ആകെത്തുകയാണ്: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതയായി എഴുതാം: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ ഗുണങ്ങളെല്ലാം നമുക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉണ്ട്. x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ z ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ, പറയുക, x നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, നമ്മൾ വേരിയബിൾ y ഒരു സ്ഥിരാങ്കമായി എടുത്ത് ലളിതമായി വ്യത്യാസപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഇൻ്റഗ്രൽ

മറ്റൊരു പ്രധാന ആശയം സമഗ്രമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നേർ വിപരീതമാണ്. നിരവധി തരം ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് ഏറ്റവും നിസ്സാരമായവ ആവശ്യമാണ്.

അതിനാൽ, നമുക്ക് x-നെ f-ൻ്റെ ചില ആശ്രിതത്വം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് ഇൻ്റഗ്രൽ എടുത്ത് F(x) ഫംഗ്ഷൻ നേടുന്നു (പലപ്പോഴും ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു), ഇതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷന് തുല്യമാണ്. ഇപ്രകാരം F(x)"=f(x).

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ അർത്ഥവും പ്രവർത്തനവും മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ അവ പലപ്പോഴും എടുക്കേണ്ടിവരും.

സമവാക്യങ്ങൾ അവയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. അടുത്ത വിഭാഗത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ നോക്കും, തുടർന്ന് അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്ലാസുകൾ

"Diffurs" അവയിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ക്രമം അനുസരിച്ച് വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ ഒന്നാമത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും കൂടുതൽ ക്രമങ്ങളുമുണ്ട്. അവയെ പല ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം: സാധാരണവും ഭാഗികവുമായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ ആദ്യ ക്രമം സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കും. ഇനിപ്പറയുന്ന വിഭാഗങ്ങളിൽ അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും വഴികളും ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും. ഞങ്ങൾ ODE-കൾ മാത്രം പരിഗണിക്കും, കാരണം ഇവയാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ സമവാക്യങ്ങൾ. സാധാരണക്കാരെ ഉപജാതികളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ, ഏകതാനവും വൈവിധ്യപൂർണ്ണവുമാണ്. അടുത്തതായി, അവ എങ്ങനെ പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്നും അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും നിങ്ങൾ പഠിക്കും.

കൂടാതെ, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അങ്ങനെ നമ്മൾ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ അവസാനിക്കും. അത്തരം സംവിധാനങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുകയും ചെയ്യും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ ആദ്യ ഓർഡർ മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നത്? കാരണം നിങ്ങൾ ലളിതമായ എന്തെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാം ഒരു ലേഖനത്തിൽ വിവരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

വേർതിരിക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

ഇവ ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ കഴിയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു: y"=f(x)*f(y). ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഡിഫറൻഷ്യലുകളുടെ അനുപാതമായി ഡെറിവേറ്റീവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു ഫോർമുല ആവശ്യമാണ്: y"=dy/dx. ഇത് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും: dy/dx=f(x)*f(y). ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പരിഹാര രീതിയിലേക്ക് തിരിയാം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഉദാഹരണങ്ങൾ: നമുക്ക് വേരിയബിളുകളെ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാം, അതായത്, y വേരിയബിളിനൊപ്പം എല്ലാം dy സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഭാഗത്തേക്ക് നീക്കുക, കൂടാതെ x വേരിയബിളിലും ഇത് ചെയ്യുക. ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും: dy/f(y)=f(x)dx, ഇത് ഇരുവശങ്ങളുടെയും അവിഭാജ്യങ്ങൾ എടുത്ത് പരിഹരിക്കുന്നു. ഇൻ്റഗ്രൽ എടുത്ത ശേഷം സെറ്റ് ചെയ്യേണ്ട കോൺസ്റ്റൻ്റിനെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്.

ഏതെങ്കിലും "വ്യത്യസ്‌ത" ത്തിനുള്ള പരിഹാരം, y-യെ (നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ) x-ൻ്റെ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യാപരമായ അവസ്ഥ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലാണ്. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് മുഴുവൻ പരിഹാര പ്രക്രിയയും നോക്കാം:

നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് നീക്കാം:

ഇനി ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എടുക്കാം. അവയെല്ലാം ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക പട്ടികയിൽ കാണാം. കൂടാതെ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ln(y) = -2*cos(x) + C

ആവശ്യമെങ്കിൽ, നമുക്ക് "y" എന്നത് "x" ൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനായി പ്രകടിപ്പിക്കാം. വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ നമ്മുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പറയാം. ഒരു വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, y(n/2)=e. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് 1 ആണ്.

ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഭാഗത്തേക്ക് പോകാം. ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം പൊതുവായ കാഴ്ചഇതുപോലെ: y"=z(x,y). ഇത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ശരിയായ പ്രവർത്തനംരണ്ട് വേരിയബിളുകളിൽ ഏകതാനമാണ്, അത് രണ്ട് ആശ്രിതത്വങ്ങളായി വിഭജിക്കാനാവില്ല: x-ൽ z, y-ൽ z. ഒരു സമവാക്യം ഏകതാനമാണോ അല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ x=k*x, y=k*y എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ എല്ലാ kയും കുറയ്ക്കുന്നു. ഈ അക്ഷരങ്ങളെല്ലാം കുറയുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഏകതാനമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് അത് സുരക്ഷിതമായി പരിഹരിക്കാൻ ആരംഭിക്കാം. മുന്നോട്ട് നോക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് പറയാം: ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വവും വളരെ ലളിതമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്: y=t(x)*x, ഇവിടെ t എന്നത് x-നെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷനാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കാം: y"=t"(x)*x+t. ഇവയെല്ലാം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ സമവാക്യംഇത് ലളിതമാക്കുന്നതിലൂടെ, വേരിയബിളുകൾ t, x എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുകയും ആശ്രിതത്വം t (x) നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ y=t(x)*x എന്നത് ഞങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിന് പകരം വയ്ക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് x-ൽ y യുടെ ആശ്രിതത്വം ലഭിക്കും.

ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: x*y"=y-x*e y/x .

മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാം കുറയുന്നു. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യം യഥാർത്ഥത്തിൽ ഏകതാനമാണെന്നാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സംസാരിച്ച മറ്റൊരു പകരക്കാരൻ ഉണ്ടാക്കുന്നു: y=t(x)*x, y"=t"(x)*x+t(x). ലളിതവൽക്കരണത്തിന് ശേഷം, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും: t"(x)*x=-e t. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉദാഹരണം വേർതിരിച്ച വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു: e -t =ln(C*x). നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക മാത്രമാണ്. t കൂടെ y/x (എല്ലാത്തിനുമുപരി, y =t*x ആണെങ്കിൽ, t=y/x), നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: e -y/x =ln(x*C).

ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

മറ്റൊരു വിശാലമായ വിഷയത്തിലേക്ക് നോക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ആദ്യ ക്രമത്തിലുള്ള അസന്തുലിതമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. മുമ്പത്തെ രണ്ടിൽ നിന്ന് അവ എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം. പൊതുവായ രൂപത്തിലുള്ള ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: y" + g(x)*y=z(x). z(x), g(x) എന്നിവ സ്ഥിരമായ അളവുകളാകാമെന്ന് വ്യക്തമാക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

ഇപ്പോൾ ഒരു ഉദാഹരണം: y" - y*x=x 2 .

രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, ഞങ്ങൾ രണ്ടും ക്രമത്തിൽ നോക്കും. അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്ന രീതിയാണ് ആദ്യത്തേത്.

ഈ രീതിയിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം തുല്യമാക്കണം വലത് വശംപൂജ്യത്തിലേക്ക്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക, അത് ഭാഗങ്ങൾ കൈമാറ്റം ചെയ്ത ശേഷം ഫോം എടുക്കും:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥിരമായ C 1-നെ v(x) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

ഇടതുവശത്ത് രണ്ട് നിബന്ധനകൾ റദ്ദാക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് കാണാം. ചില ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് സംഭവിച്ചില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ എന്തെങ്കിലും തെറ്റ് ചെയ്തു. നമുക്ക് തുടരാം:

v"*e x2/2 = x 2 .

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സാധാരണ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു, അതിൽ നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

ഇൻ്റഗ്രൽ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഭാഗങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സംയോജനം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഞങ്ങളുടെ ലേഖനത്തിൻ്റെ വിഷയമല്ല. നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാം. ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, മതിയായ നൈപുണ്യവും ശ്രദ്ധയും കൊണ്ട് ഇത് കൂടുതൽ സമയം എടുക്കുന്നില്ല.

അസമമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ രീതിയിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം: ബെർണൂലിയുടെ രീതി. ഏത് സമീപനമാണ് വേഗമേറിയതും എളുപ്പവുമുള്ളതെന്ന് തീരുമാനിക്കേണ്ടത് നിങ്ങളാണ്.

അതിനാൽ, ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്: y=k*n. ഇവിടെ k, n എന്നിവ ചില x-ആശ്രിത ഫംഗ്ഷനുകളാണ്. അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: y"=k"*n+k*n". ഞങ്ങൾ രണ്ട് മാറ്റിസ്ഥാപങ്ങളും സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

ഗ്രൂപ്പിംഗ്:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പരാൻതീസിസിൽ ഉള്ളത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ചാൽ, നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ട ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

ഒരു സാധാരണ സമവാക്യമായി ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ സമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ എടുത്ത് ലഭിക്കും: ln(n)=x 2/2. തുടർന്ന്, നമ്മൾ n പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

k"*e x2/2 =x 2 .

രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ആദ്യ രീതിയിലുള്ള അതേ തുല്യത നമുക്ക് ലഭിക്കും:

dk=x 2 /e x2/2 .

ഞങ്ങളും ഡിസ്അസംബ്ലിംഗ് ചെയ്യില്ല തുടർ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ആദ്യം പരിഹരിക്കുന്നത് കാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് പറയേണ്ടതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ വിഷയം കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, അത് മികച്ചതും മികച്ചതുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എവിടെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, കാരണം മിക്കവാറും എല്ലാ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളും എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫോം, കൂടാതെ നമ്മൾ കാണുന്ന ഫോർമുലകൾ ഈ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമാണ്. രസതന്ത്രത്തിൽ അവ ഒരേ കാരണത്താലാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്: അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ അവരുടെ സഹായത്തോടെ ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ, വേട്ടക്കാരനും ഇരയും പോലുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സ്വഭാവം മാതൃകയാക്കാൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. സൂക്ഷ്മജീവികളുടെ ഒരു കോളനിയുടെ പുനരുൽപ്പാദന മാതൃകകൾ സൃഷ്ടിക്കാനും അവ ഉപയോഗിക്കാം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ജീവിതത്തിൽ നിങ്ങളെ എങ്ങനെ സഹായിക്കും?

ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ലളിതമാണ്: ഇല്ല. നിങ്ങൾ ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞനോ എഞ്ചിനീയറോ അല്ലെങ്കിൽ, അവ നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകാൻ സാധ്യതയില്ല. എന്നിരുന്നാലും വേണ്ടി പൊതു വികസനംഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്താണെന്നും അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും അറിയുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല. അപ്പോൾ മകൻ്റെയോ മകളുടെയോ ചോദ്യം "എന്താണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം?" നിങ്ങളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കില്ല. ശരി, നിങ്ങൾ ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞനോ എഞ്ചിനീയറോ ആണെങ്കിൽ, ഏത് ശാസ്ത്രത്തിലും ഈ വിഷയത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം നിങ്ങൾ സ്വയം മനസ്സിലാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം, ഇപ്പോൾ ചോദ്യം "ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?" നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും. സമ്മതിക്കുക, ആളുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ പോലും ഭയപ്പെടുന്ന എന്തെങ്കിലും നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുമ്പോൾ അത് എല്ലായ്പ്പോഴും സന്തോഷകരമാണ്.

പഠനത്തിലെ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ

ഈ വിഷയം മനസ്സിലാക്കുന്നതിലെ പ്രധാന പ്രശ്നം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിലും വ്യത്യസ്തമാക്കുന്നതിലുമുള്ള മോശം കഴിവാണ്. ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഇൻ്റഗ്രലുകളും എടുക്കുന്നതിൽ നിങ്ങൾ മോശമാണെങ്കിൽ, അത് പഠിക്കുകയും മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുകയും വേണം വ്യത്യസ്ത രീതികൾസംയോജനവും വ്യത്യാസവും, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ലേഖനത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങൂ.

dx-നെ കൊണ്ടുപോകാൻ കഴിയുമെന്ന് അറിയുമ്പോൾ ചില ആളുകൾ ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു, കാരണം മുമ്പ് (സ്‌കൂളിൽ) dy/dx എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ അവിഭാജ്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിച്ചിരുന്നു. ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള സാഹിത്യം വായിക്കുകയും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന അനന്തമായ അളവുകളുടെ അനുപാതമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കുകയും വേണം.

ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും എടുക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷനോ അവിഭാജ്യമോ ആണെന്ന് പലരും പെട്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്നില്ല, മാത്രമല്ല ഈ തെറ്റിദ്ധാരണ അവർക്ക് വളരെയധികം പ്രശ്‌നങ്ങൾ നൽകുന്നു.

നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്താണ് പഠിക്കാൻ കഴിയുക?

പ്രത്യേക പാഠപുസ്തകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ ലോകത്തേക്ക് കൂടുതൽ മുഴുകുന്നത് ആരംഭിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിത വിശകലനംനോൺ-ഗണിതശാസ്ത്ര സ്പെഷ്യാലിറ്റികളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്. അതിനുശേഷം നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ പ്രത്യേക സാഹിത്യത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പുറമേ, സമഗ്രമായ സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് പറയേണ്ടതാണ്, അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പരിശ്രമിക്കാനും പഠിക്കാനും എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഉപസംഹാരം

ഈ ലേഖനം വായിച്ചതിനുശേഷം, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്താണെന്നും അവ എങ്ങനെ ശരിയായി പരിഹരിക്കാമെന്നും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ധാരണയുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

എന്തായാലും ഗണിതശാസ്ത്രം നമുക്ക് ജീവിതത്തിൽ ഒരു തരത്തിൽ ഉപകാരപ്പെടും. ഇത് യുക്തിയും ശ്രദ്ധയും വികസിപ്പിക്കുന്നു, അതില്ലാതെ ഓരോ വ്യക്തിയും കൈകളില്ല.

പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ആമുഖം

ചില പ്രതിഭാസങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, y=f(x) അല്ലെങ്കിൽ F(x;y)=0 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രക്രിയ വിവരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യം പലപ്പോഴും ഉണ്ടാകാറുണ്ട്. വേരിയബിൾ x, അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ എന്നിവയ്‌ക്ക് പുറമേ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം:വേരിയബിൾ x, അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ y (x), അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എന്നിവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. പൊതുവേ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

നിർവ്വചനം:ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ക്രമമാണ്.

-ഒന്നാം ഓർഡറിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

- മൂന്നാം ഓർഡറിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

നിർവ്വചനം:ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ അത് ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ 1st ഓർഡർ

നിർവ്വചനം:ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം =f(x;y) അല്ലെങ്കിൽ F(x;y; )=01st ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം: 1st ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y=γ(x;c) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അവിടെ (c-const), ഇത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ അതിനെ ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറ്റുന്നു. ജ്യാമിതീയമായി, വിമാനത്തിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം c പരാമീറ്റർ അനുസരിച്ച് അവിഭാജ്യ വളവുകളുടെ ഒരു കുടുംബവുമായി യോജിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം:കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള (x 0; y 0) സമതലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഇൻ്റഗ്രൽ കർവ് പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവുമായി യോജിക്കുന്നു:

1st ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ അദ്വിതീയതയുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം

1st ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു
കൂടാതെ F(x;y) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ XOY പ്ലെയിനിൻ്റെ ചില മേഖല D-ൽ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കൊപ്പം തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു, തുടർന്ന് M 0 (x 0 ;y 0) y(x 0)=y 0 എന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരേയൊരു വക്രത്തിലൂടെ D കടന്നുപോകുന്നു.

ഒരു അവിഭാജ്യ വക്രം നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

കിട്ടുന്നില്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ തീരുമാനംവ്യക്തമായ രൂപത്തിൽ 1st ക്രമത്തിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം, അതായത്.
, അപ്പോൾ അത് പരോക്ഷമായി ലഭിക്കും:

F(x; y; c) =0 - അവ്യക്തമായ രൂപം

ഈ രൂപത്തിലുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം വിളിക്കുന്നു പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം.

1st ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, 2 പ്രശ്നങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു:

1) പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (പൊതു സമഗ്രം)

2) നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം (ഭാഗിക സമഗ്രം) കണ്ടെത്തുക. ഈ പ്രശ്നത്തെ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ കോച്ചി പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ:
വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം

dx കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം

വിഭജിക്കുക

ശ്രദ്ധിക്കുക: എപ്പോൾ പ്രത്യേക കേസ് പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം

- പൊതുവായ തീരുമാനം

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട കേസ്
!

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം:

1)

2)
തുടക്കം വ്യവസ്ഥകൾ:

ഒന്നാം ഓർഡറിൻ്റെ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

നിർവ്വചനം:ഫംഗ്ഷൻ
n if എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ homogeneous എന്ന് വിളിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം: - ഓർഡർ=2 ൻ്റെ ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനം

നിർവ്വചനം:ഓർഡർ 0 ൻ്റെ ഒരു ഏകീകൃത ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ.

നിർവ്വചനം:ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം
എങ്കിൽ homogeneous എന്ന് വിളിക്കുന്നു
- ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനം, അതായത്.

അതിനാൽ, ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു , t എന്നത് വേരിയബിൾ x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

- സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം

പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ നടത്താം , നമുക്ക് പരോക്ഷമായ രൂപത്തിൽ ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കും.

ഒരു ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഡിഫറൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, ഇവിടെ M(x;y), N(x;y) എന്നിവ ഒരേ ക്രമത്തിൻ്റെ ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

dx കൊണ്ട് ഹരിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുക

1)

a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യത്തെ ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. b(x) ≡ 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തെ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം - വൈവിധ്യമാർന്ന. ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്, അസ്തിത്വത്തിനും അദ്വിതീയ സിദ്ധാന്തത്തിനും കൂടുതൽ നിർദ്ദിഷ്ട രൂപമുണ്ട്.

സേവനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം. പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കാം ഏകതാനവും ഏകതാനമല്ലാത്തതുമായ രേഖീയ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ y"+y=b(x) ഫോമിൻ്റെ.

=

വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ y=u*v ഉപയോഗിക്കുക
ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിക്കുക
y എന്നതിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക ) = .

ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കണം: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). ഉദാഹരണത്തിന്, y"-exp(x)=2*y. അത് y"-2 *y=exp(x) ആയിരിക്കും.

സിദ്ധാന്തം. ഒരു 1 (x) , a 0 (x) , b(x) [α,β] ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കട്ടെ, ∀x∈[α,β] ന് 1 ≠0. അപ്പോൾ ഏത് പോയിൻ്റിനും (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, അത് y(x 0) = y 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും നിർവചിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ,β].
ഒരു 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 എന്ന ഏകതാനമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.
വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, exp(x) = e x എന്ന നൊട്ടേഷൻ കണക്കിലെടുത്ത് അവസാനത്തെ ബന്ധം ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ സൂചിപ്പിച്ച രൂപത്തിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം, അതിൽ സ്ഥിരമായ C ന് പകരം C(x) ഫംഗ്ഷൻ പകരം വയ്ക്കുന്നു, അതായത്, രൂപത്തിൽ

ഈ പരിഹാരം ഒറിജിനലിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ആവശ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും രണ്ടാമത്തേത് സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്കുണ്ട്

ഇവിടെ C1 എന്നത് ചില പുതിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം C(x) ന് പകരമായി, യഥാർത്ഥ രേഖീയ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം നമുക്ക് ഒടുവിൽ ലഭിക്കും.
.

ഉദാഹരണം. y" + 2y = 4x എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. അനുബന്ധമായ y" + 2y = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. അത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് y = Ce -2 x ലഭിക്കും. y = C(x)e -2 x രൂപത്തിലുള്ള യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഹാരം തേടുകയാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് y, y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് C"(x) = 4xe 2 x, എവിടെ നിന്ന് C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1, y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x ആണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഈ പരിഹാരം, y 1 (. x) = 2x-1 - ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ വസ്തുവിൻ്റെ ചലനം b (x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - വസ്തുവിൻ്റെ ശരിയായ ചലനം.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x എന്ന ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
ഇതൊരു ഏകീകൃത സമവാക്യമല്ല. നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ മാറ്റാം: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x അല്ലെങ്കിൽ u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
പരിഹാരം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. u=0 തുല്യമാക്കുക, 3v tan (3x)+v" = 0 എന്നതിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
നമുക്ക് ഇത് ഫോമിൽ അവതരിപ്പിക്കാം: v" = -3v tg(3x)

സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v അറിയുക, വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നിങ്ങളെ കണ്ടെത്തുക: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
y=u v എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) അല്ലെങ്കിൽ y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "ബെലാറഷ്യൻ സ്റ്റേറ്റ്

കാർഷിക അക്കാദമി"

ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് വിഭാഗം

ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

അക്കൗണ്ടിംഗ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ

വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ കത്തിടപാടുകൾ (NISPO)

ഗോർക്കി, 2013

ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആശയം. പൊതുവായതും പ്രത്യേകവുമായ പരിഹാരങ്ങൾ

വിവിധ പ്രതിഭാസങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും നേരിട്ട് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നിയമം കണ്ടെത്താൻ പലപ്പോഴും സാധ്യമല്ല, എന്നാൽ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധം സ്ഥാപിക്കാൻ സാധിക്കും.

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ബന്ധത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം :

ഇവിടെ x- സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ, വൈ- ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനം,
- ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബന്ധത്തിന് (1) കുറഞ്ഞത് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കണം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

. (2)

ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് മാത്രമുള്ളതിനാൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യം (2) പരിഹരിക്കാനും ഫോമിൽ എഴുതാനും കഴിയുമെങ്കിൽ

, (3)

അങ്ങനെയുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തെ സാധാരണ രൂപത്തിൽ ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മിക്ക കേസുകളിലും ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്

വിളിക്കുന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫോമിൽ എഴുതിയ ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം.

കാരണം
, തുടർന്ന് സമവാക്യം (3) രൂപത്തിൽ എഴുതാം
അഥവാ
, എവിടെ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
ഒപ്പം
. ഇതിനർത്ഥം (3) സമവാക്യം (4) ആയി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു എന്നാണ്.

നമുക്ക് സമവാക്യം (4) രൂപത്തിൽ എഴുതാം
. പിന്നെ
,
,
, എവിടെ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
, അതായത്. ഫോമിൻ്റെ (3) ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതിനാൽ, (3) ഉം (4) സമവാക്യങ്ങളും തുല്യമാണ്.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു (2) അല്ലെങ്കിൽ (3) ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
, അതിനെ സമവാക്യം (2) അല്ലെങ്കിൽ (3) ആക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, അതിനെ ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറ്റുന്നു:

അഥവാ
.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു സംയോജനം , കൂടാതെ പരിഹാര ഗ്രാഫ്
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അവിഭാജ്യ വക്രം ഈ സമവാക്യം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം വ്യക്തമായ രൂപത്തിൽ ലഭിച്ചാൽ
, അപ്പോൾ അത് വിളിക്കപ്പെടുന്നു സമഗ്രമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നൽകി.

പൊതുവായ പരിഹാരം ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ്
, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു കൂടെ, ഓരോന്നും ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ അനുവദനീയമായ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് കൂടെ. അങ്ങനെ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

സ്വകാര്യ തീരുമാനം ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യത്തിനായുള്ള പൊതുവായ പരിഹാര ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു പരിഹാരമാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം കൂടെ, ഉൾപ്പെടെ
.

കൗച്ചി പ്രശ്നവും അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനവും

സമവാക്യത്തിന് (2) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. ഈ സെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു സൊല്യൂഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന്, അത് സ്വകാര്യം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, നിങ്ങൾ ചില അധിക വ്യവസ്ഥകൾ സജ്ജീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ സമവാക്യം (2) ന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം വിളിക്കുന്നു കോച്ചി പ്രശ്നം . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഒന്നാണ് ഈ പ്രശ്നം.

കോച്ചി പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളിലും (2) അത്തരമൊരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
, ഇതിൽ ഫംഗ്ഷൻ
നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാ മൂല്യം എടുക്കുന്നു , സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ x നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാ മൂല്യം എടുക്കുന്നു , അതായത്.

,
, (5)

എവിടെ ഡി- ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ
.

അർത്ഥം വിളിച്ചു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യം , എ – സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യം . അവസ്ഥ (5) വിളിക്കുന്നു പ്രാരംഭ അവസ്ഥ അഥവാ കാച്ചിയ അവസ്ഥ .

ഒരു ജ്യാമിതീയ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായുള്ള കോച്ചി പ്രശ്നം (2) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) അവിഭാജ്യ വക്രങ്ങളുടെ ഗണത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക
.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരങ്ങളിലൊന്നാണ് ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങാത്ത ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം:

. (6)

അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ
, ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു
അഥവാ
. അവസാന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അഥവാ

. (7)

അങ്ങനെ, (7) സമവാക്യത്തിൻ്റെ (6) ഒരു പൊതു പരിഹാരമാണ്.

ഉദാഹരണം 1 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതാം
അഥവാ
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
,
. ഞങ്ങൾ അത് അവസാനം എഴുതാം
.

ഉദാഹരണം 2 . സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
അത് നൽകി
.

പരിഹാരം . സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം:
,
,
,
. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം
,
. നമുക്ക് പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:
അഥവാ
. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
. നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണിത്.

സമവാക്യം

(8)

വിളിച്ചു ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം . ഫോമിൽ എഴുതാം
അഥവാ
. അവസാന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
അഥവാ
- സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (8).

ഉദാഹരണം . സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
അഥവാ
. പിന്നെ
,
,
,
. അങ്ങനെ,
ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്.

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം

(9)

വേരിയബിളുകളുടെ വേർതിരിവ് ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു
, തുടർന്ന് ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ഭാഗത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. എക്സ്ഡിഫറൻഷ്യലും dx, രണ്ടാം ഭാഗത്ത് - യുടെ പ്രവർത്തനം ചെയ്തത്ഡിഫറൻഷ്യലും dy. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് dxവിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
. തൽഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

, (10)

അതിൽ വേരിയബിളുകൾ എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്വേർപിരിഞ്ഞു. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം (10):
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബന്ധം സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രമാണ് (9).

ഉദാഹരണം 3 . സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക
.

പരിഹാരം . നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം:
,
. നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
,
അല്ലെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ അവിഭാജ്യഘടകമാണ്.
.

സമവാക്യം രൂപത്തിൽ നൽകട്ടെ

ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു സമമിതി രൂപത്തിൽ.

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്
:

. (12)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വേർതിരിച്ച ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം . നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം (12):

.(13)

റിലേഷൻ (13) എന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (11) പൊതു അവിഭാജ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 4 . ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം . ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതാം

കൂടാതെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കുക
,
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം:
വേർതിരിച്ച വേരിയബിൾ സമവാക്യമാണ്. നമുക്ക് ഇത് സംയോജിപ്പിക്കാം:

,
,

,
. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രതയാണ് അവസാന സമത്വം.

ഉദാഹരണം 5 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
, വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു
.

പരിഹാരം . അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ
, ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു
അഥവാ
. നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം:
. നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:
,
,
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബന്ധമാണ് ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സംയോജനം. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം
. നമുക്ക് അതിനെ പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രലിലേക്ക് മാറ്റി കണ്ടെത്താം കൂടെ:
,കൂടെ=1. പിന്നെ എക്സ്പ്രഷൻ
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരമാണ്, ഭാഗിക സമഗ്രമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

സമവാക്യം

(14)

വിളിച്ചു ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം . അജ്ഞാത പ്രവർത്തനം
അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് രേഖീയമായും ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്കും പ്രവേശിക്കുന്നു
ഒപ്പം
തുടർച്ചയായ.

എങ്കിൽ
, പിന്നെ സമവാക്യം

(15)

വിളിച്ചു രേഖീയ ഏകതാനമായ . എങ്കിൽ
, അപ്പോൾ സമവാക്യം (14) വിളിക്കുന്നു രേഖീയ അസമമായ .

സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ (14) ഒരാൾ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു പകരംവയ്ക്കൽ രീതി (ബെർണൂലി) , അതിൻ്റെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ സമവാക്യം (14) ന് ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും

, (16)

എവിടെ
ഒപ്പം
- ചിലത് തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം
ഡെറിവേറ്റീവും
സമവാക്യത്തിലേക്ക് (14):

ഫംഗ്ഷൻ വിവ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകുന്ന തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കും
. പിന്നെ
. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് (14) ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യമാണ്, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കാനാകും:
,
,
,
,
. ഒരു ചടങ്ങായി
നിങ്ങൾക്ക് ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് എടുക്കാം, അതായത്. ചെയ്തത് കൂടെ=1:
. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:
അഥവാ
.പിന്നെ
. അങ്ങനെ, ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
.

ഉദാഹരണം 6 . സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
.

പരിഹാരം . ഫോമിലെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും
. പിന്നെ
. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം:

അഥവാ
. ഫംഗ്ഷൻ വിസമത്വം നിലനിർത്തുന്ന വിധത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക
. പിന്നെ
. വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് പരിഹരിക്കാം:
,
,
,
,. ഫംഗ്ഷൻ വിനമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:
,
,
,
. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്
.

അറിവിൻ്റെ ആത്മനിയന്ത്രണത്തിനുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ

എന്താണ് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം?

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം എന്താണ്?

ഏത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെയാണ് ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെയാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത്?

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്താണ്?

എന്താണ് ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ കർവ്?

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്താണ്?

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് എന്താണ്?

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായി കൗച്ചി പ്രശ്നം എങ്ങനെയാണ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നത്?

കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം എന്താണ്?

സമമിതി രൂപത്തിൽ വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

ഏത് സമവാക്യത്തെയാണ് ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഏത് രീതി ഉപയോഗിക്കാം, ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം എന്താണ്?

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ചുമതലകൾ

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

എ)
; b)
;

വി)
; ജി)
.

2. ആദ്യ ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

എ)
; b)
; വി)
;

ജി)
; d)
.

ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.
വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ (DE). ഈ രണ്ട് വാക്കുകൾ സാധാരണ മനുഷ്യനെ ഭയപ്പെടുത്തുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും നിരോധിക്കുന്നതും പഠിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമായ ഒന്നാണെന്ന് തോന്നുന്നു. Uuuuuu... ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ, ഇതെല്ലാം ഞാൻ എങ്ങനെ അതിജീവിക്കും?!

ഈ അഭിപ്രായവും ഈ മനോഭാവവും അടിസ്ഥാനപരമായി തെറ്റാണ്, കാരണം വാസ്തവത്തിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ - ഇത് ലളിതവും രസകരവുമാണ്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങൾ എന്താണ് അറിയേണ്ടതും ചെയ്യാൻ കഴിയേണ്ടതും? ഡിഫ്യൂസുകൾ വിജയകരമായി പഠിക്കാൻ, സമന്വയിപ്പിക്കുന്നതിനും വേർതിരിക്കുന്നതിനും നിങ്ങൾ മിടുക്കനായിരിക്കണം. വിഷയങ്ങൾ നന്നായി പഠിക്കുന്നു ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒപ്പം അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും. ഞാൻ കൂടുതൽ പറയും, നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതലോ കുറവോ മാന്യമായ സംയോജന കഴിവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിഷയം ഏതാണ്ട് പ്രാവീണ്യം നേടിയിട്ടുണ്ട്! കൂടുതൽ സമഗ്രതകൾ വിവിധ തരംഎങ്ങനെ തീരുമാനിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം - അത്രയും നല്ലത്. എന്തുകൊണ്ട്? നിങ്ങൾ വളരെയധികം സംയോജിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒപ്പം വേർതിരിക്കുക. കൂടാതെ അത്യന്ത്യം ശുപാർശ ചെയ്യുന്നത്കണ്ടെത്താൻ പഠിക്കുക.

95% കേസുകളിലും പരിശോധനകൾ 3 തരം ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്: വേർതിരിക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ നോക്കുന്നത്; ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾഒപ്പം രേഖീയ അസമമായ സമവാക്യങ്ങൾ. ഡിഫ്യൂസറുകൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നവർക്ക്, ഈ ക്രമത്തിൽ പാഠങ്ങൾ വായിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു, ആദ്യ രണ്ട് ലേഖനങ്ങൾ പഠിച്ച ശേഷം, ഒരു അധിക വർക്ക്ഷോപ്പിൽ നിങ്ങളുടെ കഴിവുകൾ ഏകീകരിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല - സമവാക്യങ്ങൾ ഏകതാനതയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.

അപൂർവമായ തരത്തിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്: മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, ബെർണൂലി സമവാക്യങ്ങൾ, മറ്റു ചിലത്. അവസാനത്തെ രണ്ട് തരങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് സമവാക്യങ്ങളാണ് പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ, ഈ റിമോട്ട് കൺട്രോൾ കൂടാതെ ഞാൻ പരിഗണിക്കുന്നു പുതിയ മെറ്റീരിയൽ – ഭാഗിക സംയോജനം.

ഒന്നോ രണ്ടോ ദിവസം മാത്രം ബാക്കിയുണ്ടെങ്കിൽ, അത് അൾട്രാ ഫാസ്റ്റ് തയ്യാറെടുപ്പിനായിഇതുണ്ട് ബ്ലിറ്റ്സ് കോഴ്സ് pdf ഫോർമാറ്റിൽ.

അതിനാൽ, ലാൻഡ്‌മാർക്കുകൾ സജ്ജമാക്കി - നമുക്ക് പോകാം:

ആദ്യം, നമുക്ക് സാധാരണ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാം. അവയിൽ വേരിയബിളുകളും നമ്പറുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം: . ഒരു സാധാരണ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തൽ എന്നാണ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം, ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. കുട്ടികളുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: . വിനോദത്തിനായി, നമുക്ക് പരിശോധിച്ച് കണ്ടെത്തിയ റൂട്ട് നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഡിഫ്യൂസറുകൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് സമാനമായ രീതിയിലാണ്!

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ആദ്യ ഓർഡർവി പൊതുവായ കേസ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:
1) സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ;
2) ആശ്രിത വേരിയബിൾ (ഫംഗ്ഷൻ);
3) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ്: .

ചില 1st ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങളിൽ "x" കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ "y" ഇല്ലായിരിക്കാം, എന്നാൽ ഇത് കാര്യമായ കാര്യമല്ല - പ്രധാനപ്പെട്ടത്കൺട്രോൾ റൂമിലേക്ക് പോകാൻ ആയിരുന്നുആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഒപ്പം ഇല്ലഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ - മുതലായവ.

എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തൽ എന്നാണ് എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും സെറ്റ്, ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അത്തരം ഒരു കൂട്ടം ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് പലപ്പോഴും ഫോം ഉണ്ട് (- ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം), അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം.

ഉദാഹരണം 1

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നിറയെ വെടിമരുന്ന്. എവിടെ തുടങ്ങണം പരിഹാരം?

ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് അല്പം വ്യത്യസ്തമായ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങളിൽ പലർക്കും പരിഹാസ്യവും അനാവശ്യവുമാണെന്ന് തോന്നിയ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പദവി ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. ഡിഫ്യൂസറുകളിലെ നിയമങ്ങൾ ഇതാണ്!

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, അത് സാധ്യമാണോ എന്ന് നോക്കാം പ്രത്യേക വേരിയബിളുകൾ?വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നത് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഇടതുവശത്ത്നമുക്ക് പോകേണ്ടതുണ്ട് "ഗ്രീക്കുകാർ" മാത്രം, എ വലതു വശത്ത്സംഘടിപ്പിക്കുക "എക്സ്" മാത്രം. "സ്കൂൾ" കൃത്രിമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വേരിയബിളുകളുടെ വിഭജനം നടത്തുന്നത്: അവയെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്താക്കുക, ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിലൂടെ പദങ്ങൾ ഭാഗത്തുനിന്ന് ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റുക, അനുപാത നിയമമനുസരിച്ച് ഘടകങ്ങൾ ഭാഗത്തുനിന്ന് ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റുക തുടങ്ങിയവ.

വ്യത്യസ്തതകളും പൂർണ്ണ ഗുണിതങ്ങളും ശത്രുതകളിൽ സജീവ പങ്കാളികളുമാണ്. പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ആനുപാതിക നിയമമനുസരിച്ച് ഘടകങ്ങളെ ടോസ് ചെയ്തുകൊണ്ട് വേരിയബിളുകൾ എളുപ്പത്തിൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇടതുവശത്ത് "Y" മാത്രമേയുള്ളൂ, വലതുവശത്ത് - "എക്സ്" മാത്രം.

അടുത്ത ഘട്ടം - ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏകീകരണം. ഇത് ലളിതമാണ്, ഞങ്ങൾ ഇരുവശത്തും ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഇടുന്നു:

തീർച്ചയായും, നമ്മൾ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഅവ പട്ടികയാണ്:

നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ഏതൊരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനും ഒരു സ്ഥിരാങ്കം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെ രണ്ട് ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും സ്ഥിരാങ്കം ഒരിക്കൽ എഴുതിയാൽ മതി (സ്ഥിരം + സ്ഥിരാങ്കം ഇപ്പോഴും മറ്റൊരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). മിക്ക കേസുകളിലും ഇത് വലതുവശത്ത് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.

കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എടുത്ത ശേഷം, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഒരേയൊരു കാര്യം, നമ്മുടെ "y" "x" വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല, അതായത്, പരിഹാരം അവതരിപ്പിക്കുന്നു ഒരു പരോക്ഷമായിരൂപം. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവ്യക്ത രൂപത്തിലുള്ള പരിഹാരത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സംയോജനം. അതായത്, ഇതൊരു പൊതു അവിഭാജ്യമാണ്.

ഈ ഫോമിലെ ഉത്തരം തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്, എന്നാൽ ഒരു മികച്ച ഓപ്ഷൻ ഉണ്ടോ? കിട്ടാൻ ശ്രമിക്കാം പൊതുവായ തീരുമാനം.

ദയവായി, ആദ്യത്തെ സാങ്കേതികത ഓർക്കുക, ഇത് വളരെ സാധാരണമാണ്, പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് പ്രായോഗിക ജോലികൾ: സംയോജനത്തിന് ശേഷം വലതുവശത്ത് ഒരു ലോഗരിതം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, പല കേസുകളിലും (എല്ലായ്പ്പോഴും അല്ല!) ലോഗരിതത്തിന് കീഴിൽ സ്ഥിരാങ്കം എഴുതുന്നതും നല്ലതാണ്..

അതാണ്, ഇതിനുപകരമായിഎൻട്രികൾ സാധാരണയായി എഴുതുന്നു .

എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്? "ഗെയിം" പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ഇപ്പോൾ ലോഗരിതങ്ങളും മൊഡ്യൂളുകളും നീക്കംചെയ്യാം:

പ്രവർത്തനം വ്യക്തമായി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതാണ് പൊതുവായ പരിഹാരം.

ഉത്തരം: പൊതുവായ തീരുമാനം: .

നിരവധി ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ പരിശോധിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് വളരെ ലളിതമായി ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരം എടുത്ത് അതിനെ വേർതിരിക്കുന്നു:

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതായത് പൊതുവായ പരിഹാരം സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതാണ് പരിശോധിക്കേണ്ടത്.

സ്ഥിരമായ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ എണ്ണം ലഭിക്കും സ്വകാര്യ പരിഹാരങ്ങൾഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷനുകൾ , മുതലായവ എന്നത് വ്യക്തമാണ്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ചിലപ്പോൾ പൊതുവായ പരിഹാരം വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കുടുംബം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം - ഇതൊരു കുടുംബമാണ് രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ, നേരിട്ട് ആനുപാതികമായ ഒരു കുടുംബം.

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ സമഗ്രമായ അവലോകനത്തിന് ശേഷം, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള നിരവധി നിഷ്കളങ്കമായ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നത് ഉചിതമാണ്:

1)ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ?ഇല്ല എപ്പോഴും അല്ല. അതിലും പലപ്പോഴും, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാനാവില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻ ഏകതാനമായ ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് വിവിധ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികളും. വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ, ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു - ഏറ്റവും ലളിതമായ തരംഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

2) ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണോ?ഇല്ല എപ്പോഴും അല്ല. സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു "ഫാൻസി" സമവാക്യം കൊണ്ടുവരുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്; എന്നാൽ സമാനമായ ഡിഇകൾ ഏകദേശം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും പ്രത്യേക രീതികൾ. D’Alembert ഉം Cauchy ഉം ഗ്യാരൻ്റി... ... ugh, lurkmore.ഇപ്പോൾ ഒരുപാട് വായിക്കാൻ, ഞാൻ "മറ്റൊരു ലോകത്ത് നിന്ന്" എന്ന് ചേർത്തു.

3) ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരം ലഭിച്ചു . ഒരു പൊതു അവിഭാജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണോ, അതായത്, "y" വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ?ഇല്ല എപ്പോഴും അല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: . ശരി, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഇവിടെ "ഗ്രീക്ക്" പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും?! അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഉത്തരം പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ആയി എഴുതണം. കൂടാതെ, ചിലപ്പോൾ പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഇത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും വിചിത്രവുമായ രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഉത്തരം ഒരു പൊതു സമഗ്രമായ രൂപത്തിൽ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

4) ...ഒരുപക്ഷേ ഇപ്പോൾ അത് മതിയാകും. ഞങ്ങൾ നേരിട്ട ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ മറ്റൊന്ന് പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റ് , എന്നാൽ ഒരു ഹിമപാതം കൊണ്ട് "ഡമ്മികൾ" മറയ്ക്കാതിരിക്കാൻ പുതിയ വിവരങ്ങൾ, ഞാൻ അത് അടുത്ത പാഠം വരെ വിടാം.

നാം തിരക്കുകൂട്ടരുത്. മറ്റൊരു ലളിതമായ വിദൂര നിയന്ത്രണവും മറ്റൊരു സാധാരണ പരിഹാരവും:

ഉദാഹരണം 2

പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് സ്വകാര്യ പരിഹാരംനൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന DE. ചോദ്യത്തിൻ്റെ ഈ രൂപവത്കരണത്തെ എന്നും വിളിക്കുന്നു കോച്ചി പ്രശ്നം.

ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു. സമവാക്യത്തിൽ "x" എന്ന വേരിയബിൾ ഇല്ല, പക്ഷേ ഇത് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്, പ്രധാന കാര്യം അതിന് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് എന്നതാണ്.

ആവശ്യമായ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

വ്യക്തമായും, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം, ആൺകുട്ടികൾ ഇടത്തേക്ക്, പെൺകുട്ടികൾ വലത്തേക്ക്:

നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:

പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിക്കുന്നു. ഇവിടെ ഞാൻ ഒരു നക്ഷത്രചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സ്ഥിരാങ്കം വരച്ചു, വളരെ വേഗം അത് മറ്റൊരു സ്ഥിരാങ്കമായി മാറും എന്നതാണ് വസ്തുത.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പൊതുവായ സമഗ്രതയെ ഒരു പൊതു പരിഹാരമാക്കി മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കുന്നു ("y" വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുക). സ്കൂളിൽ നിന്നുള്ള നല്ല പഴയ കാര്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

സൂചകത്തിലെ സ്ഥിരാങ്കം എങ്ങനെയെങ്കിലും അൺകോഷർ ആയി കാണപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ ഇത് സാധാരണയായി ഭൂമിയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. വിശദമായി, ഇത് ഇങ്ങനെയാണ് സംഭവിക്കുന്നത്. ഡിഗ്രികളുടെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ആണെങ്കിൽ, ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ആണ്, നമുക്ക് അത് അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് പുനർരൂപകൽപ്പന ചെയ്യാം:

"പൊളിക്കുക" എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണെന്ന് ഓർക്കുക രണ്ടാമത്തെ സാങ്കേതികത, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്: എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു നല്ല കുടുംബമാണിത്.

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇതും ലളിതമാണ്.

എന്താണ് ചുമതല? എടുക്കണം അത്തരംസ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം, അങ്ങനെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്.

ഇത് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ഫോർമാറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഇത് ഒരുപക്ഷേ വ്യക്തമായ മാർഗമായിരിക്കും. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ, “X” ന് പകരം ഞങ്ങൾ ഒരു പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ “Y” ന് പകരം ഞങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:



അതാണ്,

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡിസൈൻ പതിപ്പ്:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
- ഇതാണ് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പ്രത്യേക പരിഹാരം.

ഉത്തരം: സ്വകാര്യ പരിഹാരം:

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഒരു സ്വകാര്യ പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നത് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരം പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ ശരിക്കും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്? "X" ന് പകരം ഞങ്ങൾ ഒരു പൂജ്യം മാറ്റി, എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കാണുക:
- അതെ, തീർച്ചയായും, രണ്ട് ലഭിച്ചു, അതിനർത്ഥം പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു എന്നാണ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം ഇതിനകം പരിചിതമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രത്യേക പരിഹാരം ഞങ്ങൾ എടുക്കുകയും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കും.

ഉപസംഹാരം: നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

നമുക്ക് കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം 3

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നത് സാധ്യമാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ വിലയിരുത്തുന്നു? കഴിയും. അടയാളം മാറ്റിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദം വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു:

അനുപാത നിയമമനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗുണിതങ്ങൾ കൈമാറുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകണം, ന്യായവിധി ദിവസം അടുത്തിരിക്കുന്നു. നന്നായി പഠിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾ, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു, പിന്നെ പോകാൻ ഒരിടവുമില്ല - നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അവയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടേണ്ടതുണ്ട്.

ലെഫ്റ്റ് സൈഡിൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്; ഞങ്ങൾ പാഠത്തിൽ നോക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ടെക്നിക് ഉപയോഗിച്ച് കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ സമന്വയിപ്പിക്കുന്നുകഴിഞ്ഞ വര്ഷം:

വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്, എൻ്റെ ആദ്യത്തെ സാങ്കേതിക ശുപാർശ അനുസരിച്ച്, സ്ഥിരാങ്കവും ലോഗരിതത്തിന് കീഴിൽ എഴുതണം.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലളിതമാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം മാത്രമുള്ളതിനാൽ, അവ ഒഴിവാക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ് (ആവശ്യമാണ്). ഉപയോഗിച്ച് അറിയപ്പെടുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾഞങ്ങൾ ലോഗരിതം കഴിയുന്നത്ര "പാക്ക്" ചെയ്യുന്നു. ഞാൻ അത് വളരെ വിശദമായി എഴുതാം:

ക്രൂരമായി ചീഞ്ഞളിഞ്ഞ നിലയിൽ പാക്കേജിംഗ് പൂർത്തിയായി:

"ഗെയിം" പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമോ? കഴിയും. രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സമചതുരമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല.

മൂന്നാമത്തെ സാങ്കേതിക നുറുങ്ങ്:ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കണമെങ്കിൽ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയോ വേരുകൾ എടുക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് മിക്കവാറും സന്ദർഭങ്ങളിൽനിങ്ങൾ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് വിട്ടുനിൽക്കുകയും ഉത്തരം ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ നൽകുകയും വേണം. വലിയ വേരുകൾ, അടയാളങ്ങൾ, മറ്റ് ചവറ്റുകുട്ടകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് - പൊതുവായ പരിഹാരം ഭയങ്കരമായി കാണപ്പെടും എന്നതാണ് വസ്തുത.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു. ഇത് രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നത് നല്ല രീതിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, വലതുവശത്ത്, സാധ്യമെങ്കിൽ, ഒരു സ്ഥിരാങ്കം മാത്രം വിടുക. ഇത് ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ പ്രൊഫസറെ പ്രീതിപ്പെടുത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രയോജനകരമാണ് ;-)

ഉത്തരം:പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ:

! കുറിപ്പ്: ഏത് സമവാക്യത്തിൻ്റെയും പൊതുവായ സമഗ്രത ഒന്നിലധികം രീതിയിൽ എഴുതാം. അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ഫലം മുമ്പ് അറിയപ്പെടുന്ന ഉത്തരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സമവാക്യം തെറ്റായി പരിഹരിച്ചുവെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല.

പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും എന്നതാണ് പരോക്ഷമായി വ്യക്തമാക്കിയ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. ഉത്തരം വേർതിരിക്കാം:

ഞങ്ങൾ രണ്ട് പദങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നു:

കൂടാതെ ഹരിക്കുക:

യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം കൃത്യമായി ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതായത് പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 4

പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക. പരിശോധന നടത്തുക.

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം.

അൽഗോരിതം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:
1) ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക;
2) ആവശ്യമായ പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിശോധനയും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് നടത്തുന്നത് (ഉദാഹരണ നമ്പർ 2 ലെ സാമ്പിൾ കാണുക), നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:
1) കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരം പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക;
2) ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം പൊതുവെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഉദാഹരണം 5

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക , പ്രാരംഭ അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. പരിശോധന നടത്തുക.

പരിഹാരം:ആദ്യം, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഇതിനകം തന്നെ റെഡിമെയ്ഡ് ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം പരിഹാരം ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു എന്നാണ്. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഇടതുവശത്തുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ പട്ടികയാണ്, വലതുവശത്തുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ എടുക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ സബ്‌സ്യൂം ചെയ്യുന്ന രീതി:

പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിച്ചു, പൊതുവായ പരിഹാരം വിജയകരമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമോ? കഴിയും. ഞങ്ങൾ ഇരുവശത്തും ലോഗരിതം തൂക്കിയിടുന്നു. അവ പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, മോഡുലസ് അടയാളങ്ങൾ അനാവശ്യമാണ്:

(എല്ലാവരും പരിവർത്തനം മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, അത്തരം കാര്യങ്ങൾ ഇതിനകം അറിഞ്ഞിരിക്കണം)

അതിനാൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്:

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമായ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താം.
പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ, “X” ന് പകരം ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റി, “Y” ന് പകരം രണ്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

കൂടുതൽ പരിചിതമായ ഡിസൈൻ:

സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:സ്വകാര്യ പരിഹാരം:

പരിശോധിക്കുക: ആദ്യം, പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം:
- എല്ലാം നല്ലതാണ്.

ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

യഥാർത്ഥ സമവാക്യം നോക്കാം: - ഇത് ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. പരിശോധിക്കാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്. കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരവും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വ്യത്യാസവും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം :

ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതായത് നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ രീതി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതും കൂടുതൽ പരിചിതവുമാണ്: സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കാം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളെയും ഇപ്രകാരം വിഭജിക്കുന്നു:

രൂപാന്തരപ്പെട്ട DE യിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച ഭാഗിക പരിഹാരവും കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ലളിതവൽക്കരണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ശരിയായ സമത്വവും ലഭിക്കണം.

ഉദാഹരണം 6

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. ഉത്തരം ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുക.

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, പൂർണ്ണമായ പരിഹാരം, പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എന്ത് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ കാത്തിരിക്കുന്നു?

1) വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാമെന്നത് എല്ലായ്‌പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല (പ്രത്യേകിച്ച് "ചായപാത്രം"). നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം സോപാധിക ഉദാഹരണം: . ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഘടകങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്: വേരുകൾ വേർതിരിക്കുക: . അടുത്തതായി എന്തുചെയ്യണമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

2) സംയോജനത്തിൽ തന്നെയുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ. ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പലപ്പോഴും ഏറ്റവും ലളിതമല്ല, കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവുകളിൽ കുറവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ, പിന്നെ പല ഡിഫ്യൂസറുകളിലും ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. കൂടാതെ, "ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലളിതമായതിനാൽ, കുറഞ്ഞത് ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കട്ടെ" എന്ന യുക്തി ശേഖരണങ്ങളുടെയും പരിശീലന മാനുവലുകളുടെയും കംപൈലർമാർക്കിടയിൽ ജനപ്രിയമാണ്.

3) സ്ഥിരതയുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾ. എല്ലാവരും ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലെ സ്ഥിരാങ്കം തികച്ചും സ്വതന്ത്രമായി കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും, ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ഒരു തുടക്കക്കാരന് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല. മറ്റൊരു സോപാധിക ഉദാഹരണം നോക്കാം: . എല്ലാ നിബന്ധനകളും 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്: . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്ഥിരാങ്കവും ഒരുതരം സ്ഥിരാങ്കമാണ്, ഇത് സൂചിപ്പിക്കാം: . അതെ, വലതുവശത്ത് ഒരു ലോഗരിതം ഉള്ളതിനാൽ, മറ്റൊരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ സ്ഥിരാങ്കം മാറ്റിയെഴുതുന്നത് നല്ലതാണ്: .

അവർ പലപ്പോഴും സൂചികകളെ ബുദ്ധിമുട്ടിക്കുന്നില്ല, അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതാണ് കുഴപ്പം. തൽഫലമായി, തീരുമാന രേഖ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു:

ഏതുതരം പാഷണ്ഡത? അവിടെ തെറ്റുകളുണ്ട്! കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അതെ. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പ്രധാന കാഴ്ചപ്പാടിൽ, പിശകുകളൊന്നുമില്ല, കാരണം ഒരു വേരിയബിൾ കോൺസ്റ്റൻ്റ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു വേരിയബിൾ കോൺസ്റ്റൻ്റ് ഇപ്പോഴും ലഭിക്കും.

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. ഈ ഉത്തരം വൃത്തികെട്ടതായി തോന്നുന്നു, അതിനാൽ ഓരോ പദത്തിൻ്റെയും അടയാളം മാറ്റുന്നത് ഉചിതമാണ്: . ഔപചാരികമായി, ഇവിടെ മറ്റൊരു തെറ്റ് ഉണ്ട് - അത് വലതുവശത്ത് എഴുതണം. എന്നാൽ അനൗപചാരികമായി അത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് "മൈനസ് സിഇ" ഇപ്പോഴും ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ് ( ഏത് അർത്ഥവും എളുപ്പത്തിൽ എടുക്കാൻ കഴിയും!), അതിനാൽ ഒരു "മൈനസ്" ഇടുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, നിങ്ങൾക്ക് അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കാം.

അശ്രദ്ധമായ സമീപനം ഒഴിവാക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും, പരിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത സൂചികകൾ നൽകുകയും ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം 7

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. പരിശോധന നടത്തുക.

പരിഹാരം:ഈ സമവാക്യം വേരിയബിളുകളെ വേർതിരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഇവിടെ സ്ഥിരാങ്കം ഒരു ലോഗരിതം ആയി നിർവചിക്കേണ്ടതില്ല, കാരണം ഇതിൽ നിന്ന് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒന്നും വരില്ല.

ഉത്തരം:പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ:

പരിശോധിക്കുക: ഉത്തരം വേർതിരിക്കുക (വ്യക്തമായ പ്രവർത്തനം):

രണ്ട് പദങ്ങളും ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒഴിവാക്കുന്നു:

യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതായത് പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 8

DE യുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
,

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിക്കും എന്നതാണ് ഏക സൂചന, കൂടുതൽ ശരിയായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമല്ല കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഭാഗിക അവിഭാജ്യ. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.