Ma'lum dispersiyaga ega normal taqsimotni matematik kutish uchun ishonch oralig'i. Matematik kutishni baholash uchun ishonch oraliqlari

Va boshqalar ularning nazariy o'xshashlari bo'lib, ular namuna emas, balki umumiy populyatsiya mavjud bo'lganda olinishi mumkin. Ammo afsuski, umumiy aholi juda qimmat va ko'pincha kirish imkoni yo'q.

Intervallarni baholash tushunchasi

Har qanday namunaviy smeta ba'zi tarqalishiga ega, chunki ma'lum bir namunadagi qiymatlarga qarab tasodifiy o'zgaruvchidir. Shuning uchun, ishonchliroq statistik xulosalar uchun, siz nafaqat ball bahosini, balki yuqori ehtimollikdagi intervalni ham bilishingiz kerak. γ (gamma) baholangan ko'rsatkichni qamrab oladi θ (teta).

Rasmiy ravishda, bu ikkita shunday qiymat (statistika) T 1 (X) Va T 2 (X), Nima T 1< T 2 , buning uchun berilgan ehtimollik darajasida γ shart bajariladi:

Qisqasi, ehtimol γ yoki undan ko'p haqiqiy ko'rsatkich nuqtalar orasida T 1 (X) Va T 2 (X), ular pastki va yuqori chegaralar deb ataladi ishonch oralig'i.

Ishonch oraliqlarini qurish shartlaridan biri uning maksimal torligi, ya'ni. imkon qadar qisqa bo'lishi kerak. Istak juda tabiiy, chunki... tadqiqotchi kerakli parametrning joylashishini aniqroq lokalizatsiya qilishga harakat qiladi.

Bundan kelib chiqadiki, ishonch oralig'i taqsimotning maksimal ehtimolini qoplashi kerak. va baholashning o'zi markazda bo'lishi kerak.

Ya'ni, yuqoriga og'ish ehtimoli (haqiqiy ko'rsatkichning bahodan) pastga og'ish ehtimoliga teng. Shuni ham ta'kidlash kerakki, assimetrik taqsimotlar uchun o'ngdagi interval mavjud emas intervalga teng chap.

Yuqoridagi rasm aniq ko'rsatadiki, ishonch ehtimoli qanchalik katta bo'lsa, interval shunchalik kengroq - to'g'ridan-to'g'ri munosabatlar.

Bu noma'lum parametrlarni intervalli baholash nazariyasiga qisqacha kirish edi. Keling, ishonch chegaralarini topishga o'taylik matematik kutish.

Matematik kutish uchun ishonch oralig'i

Agar dastlabki ma'lumotlar bo'yicha taqsimlangan bo'lsa, u holda o'rtacha normal qiymat bo'ladi. Bu qoidadan kelib chiqadiki, normal qiymatlarning chiziqli birikmasi ham normal taqsimotga ega. Shuning uchun, ehtimolliklarni hisoblash uchun biz normal taqsimot qonunining matematik apparatidan foydalanishimiz mumkin.

Biroq, buning uchun ikkita parametr - odatda noma'lum bo'lgan kutish va farqni bilish kerak bo'ladi. Siz, albatta, parametrlar (o'rtacha arifmetik va ) o'rniga taxminlardan foydalanishingiz mumkin, lekin keyin o'rtacha taqsimot butunlay normal bo'lmaydi, u bir oz pastga tekislanadi. Bu haqiqatni irlandiyalik fuqaro Uilyam Gosset 1908 yil mart oyidagi Biometrika jurnalida o'z kashfiyotini e'lon qilib, mohirlik bilan qayd etdi. Maxfiylik uchun Gosset o'zini Student deb imzoladi. Student t-taqsimlanishi shunday paydo bo'ldi.

Biroq, xatolarni tahlil qilishda K. Gauss tomonidan ishlatiladigan ma'lumotlarning normal taqsimlanishi astronomik kuzatishlar, er yuzidagi hayotda juda kam uchraydi va aniqlash juda qiyin (yuqori aniqlik uchun 2 mingga yaqin kuzatishlar kerak). Shuning uchun, normallik farazidan voz kechish va dastlabki ma'lumotlarning taqsimlanishiga bog'liq bo'lmagan usullardan foydalanish yaxshidir.

Savol tug'iladi: agar ma'lumotlardan hisoblangan bo'lsa, o'rtacha arifmetik taqsimot qanday bo'ladi noma'lum taqsimot? Javobni ehtimollar nazariyasida taniqli bo'lganlar beradi Markaziy chegara teoremasi(CPT). Matematikada uning bir nechta variantlari mavjud (butun uzoq yillar davomida formulalar takomillashtirilgan), ammo ularning barchasi, taxminan aytganda, ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi, degan fikrga to'g'ri keladi.

O'rtacha arifmetik qiymatni hisoblashda tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisidan foydalaniladi. Bu erdan ma'lum bo'ladiki, o'rtacha arifmetik normal taqsimotga ega bo'lib, unda kutish dastlabki ma'lumotlarni kutish, dispersiya esa .

Aqlli odamlar CLT ni qanday isbotlashni bilaman, lekin biz buni Excelda o'tkazilgan tajriba yordamida tekshiramiz. Keling, 50 ta bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar namunasini simulyatsiya qilaylik (Excelning RANDBETWEEN funktsiyasidan foydalangan holda). Keyin biz 1000 ta shunday namunalar tuzamiz va har birining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaymiz. Keling, ularning taqsimlanishini ko'rib chiqaylik.

Ko'rinib turibdiki, o'rtacha taqsimot normal qonunga yaqin. Namuna hajmi va soni yanada kattaroq bo'lsa, o'xshashlik yanada yaxshi bo'ladi.

Endi biz CLT ning haqiqiyligini o'z ko'zimiz bilan ko'rganimizdan so'ng, biz dan foydalanib, haqiqiy o'rtacha yoki matematik taxminni berilgan ehtimollik bilan qoplaydigan o'rtacha arifmetik uchun ishonch oraliqlarini hisoblashimiz mumkin.

Yuqori va pastki chegaralarni o'rnatish uchun siz parametrlarni bilishingiz kerak normal taqsimot. Qoida tariqasida, ular yo'q, shuning uchun hisob-kitoblar qo'llaniladi: arifmetik o'rtacha Va namunaviy farq. Takror aytaman, bu usul faqat katta namunalar bilan yaxshi yaqinlik beradi. Namunalar kichik bo'lsa, ko'pincha Student taqsimotidan foydalanish tavsiya etiladi. Ishonmang! O'rtacha uchun Student taqsimoti faqat dastlabki ma'lumotlar normal taqsimlanganda sodir bo'ladi, ya'ni deyarli hech qachon. Shuning uchun, darhol qo'yish yaxshidir minimal bar kerakli ma'lumotlar miqdori bo'yicha va asimptotik to'g'ri usullardan foydalaning. Ularning aytishicha, 30 ta kuzatuv yetarli. 50 ni oling - xato qilmaysiz.

T 1.2- ishonch oralig'ining pastki va yuqori chegaralari

– namunaviy arifmetik o‘rtacha

s 0- namunaning standart og'ishi (xolis)

n - namuna hajmi

γ - ishonch ehtimoli (odatda 0,9, 0,95 yoki 0,99 ga teng)

c g =P -1 ((1+g)/2)– standart normal taqsimot funksiyasining teskari qiymati. Oddiy qilib aytganda, bu arifmetik o'rtachadan pastki yokigacha bo'lgan standart xatolar soni yuqori chegarasi(ko'rsatilgan uchta ehtimollik 1,64, 1,96 va 2,58 qiymatlariga mos keladi).

Formulaning mohiyati shundan iboratki, o'rtacha arifmetik olinadi va undan keyin ma'lum miqdor ajratiladi ( g bilan) standart xatolar ( s 0 /√n). Hamma narsa ma'lum, uni oling va o'ylab ko'ring.

Oldin ommaviy foydalanish Oddiy taqsimot funktsiyasi va uning teskari qiymatlarini olish uchun shaxsiy kompyuter ishlatilgan. Ular hozir ham qo'llanilmoqda, ammo tayyor Excel formulalaridan foydalanish samaraliroq. Yuqoridagi formuladan ( , va ) barcha elementlarni Excelda osongina hisoblash mumkin. Ammo ishonch oralig'ini hisoblash uchun tayyor formula mavjud - TRUST.NORM. Uning sintaksisi quyidagicha.

CONFIDENCE.NORM(alfa;standart_off;hajmi)

alfa- yuqorida qabul qilingan belgida 1- g ga teng bo'lgan muhimlik darajasi yoki ishonch darajasi, ya'ni. matematik bo'lish ehtimolikutish ishonch oralig'idan tashqarida bo'ladi. Da ishonch ehtimoli 0,95, alfa 0,05 va boshqalar.

standart_off- namunaviy ma'lumotlarning standart og'ishi. Standart xatoni hisoblashning hojati yo'q Excelning o'zi n ning ildiziga bo'linadi.

hajmi– namuna hajmi (n).

ISHONCH NORM funktsiyasining natijasi ishonch oralig'ini hisoblash formulasidan ikkinchi atamadir, ya'ni. yarim oraliq Shunga ko'ra, pastki va yuqori nuqtalar o'rtacha ± olingan qiymatdir.

Shunday qilib, dastlabki ma'lumotlarning taqsimlanishiga bog'liq bo'lmagan o'rtacha arifmetik uchun ishonch oraliqlarini hisoblashning universal algoritmini qurish mumkin. Umumjahonlik uchun narx uning asimptotik tabiati, ya'ni. nisbatan katta namunalardan foydalanish zarurati. Biroq, asrda zamonaviy texnologiyalar kerakli miqdordagi ma'lumotlarni yig'ish odatda qiyin emas.

Ishonch oraliqlari yordamida statistik gipotezalarni tekshirish

(modul 111)

Statistikada hal qilinadigan asosiy muammolardan biri bu. Uning mohiyati qisqacha quyidagicha. Bu, masalan, kutish, deb taxmin qilinadi aholi qandaydir qiymatga teng. Keyin ma'lum bir kutish uchun kuzatilishi mumkin bo'lgan namunaviy vositalarni taqsimlash tuziladi. Keyinchalik, ular ushbu shartli taqsimotda haqiqiy o'rtacha qaerda joylashganligini ko'rib chiqadilar. Agar u qabul qilinadigan chegaralardan tashqariga chiqsa, unda bunday o'rtacha ko'rsatkichning paydo bo'lishi ehtimoldan yiroq emas va agar tajriba bir marta takrorlansa, bu deyarli mumkin emas, bu esa ilgari surilgan gipotezaga zid keladi, u muvaffaqiyatli rad etiladi. Agar o'rtacha ko'rsatkich oshmasa kritik daraja, keyin gipoteza rad etilmaydi (lekin ham isbotlanmagan!).

Shunday qilib, ishonch intervallari yordamida, bizning holatimizda kutish uchun siz ba'zi gipotezalarni ham sinab ko'rishingiz mumkin. Buni qilish juda oson. Aytaylik, ma'lum bir namunaning o'rtacha arifmetik qiymati 100 ga teng. Kutilayotgan qiymat, aytaylik, 90 ga teng degan gipoteza tekshiriladi. Ya'ni, agar biz savolni ibtidoiy qo'ysak, u shunday eshitiladi: haqiqiy bilan shunday bo'lishi mumkinmi? o'rtacha qiymati 90 ga teng, kuzatilgan o'rtacha 100 ga aylandi?

Bu savolga javob berish uchun sizga o'rtacha ko'rsatkich haqida qo'shimcha ma'lumot kerak bo'ladi kvadrat og'ish va namuna hajmi. Faraz qilaylik, standart og'ish 30 va kuzatishlar soni 64 (ildizni osongina chiqarib olish uchun). Keyin o'rtacha standart xato 30/8 yoki 3,75 ni tashkil qiladi. 95% ishonch oralig'ini hisoblash uchun o'rtacha qiymatning har bir tomoniga ikkita standart xato qo'shishingiz kerak bo'ladi (aniqrog'i, 1,96). Ishonch oralig'i taxminan 100±7,5 yoki 92,5 dan 107,5 gacha bo'ladi.

Qo'shimcha asoslar quyidagicha. Agar tekshirilayotgan qiymat ishonch oralig'iga to'g'ri kelsa, u gipotezaga zid kelmaydi, chunki tasodifiy tebranishlar chegarasiga tushadi (ehtimol 95%). Agar tekshirilayotgan nuqta ishonch oralig'idan tashqariga tushib qolsa, unda bunday hodisaning ehtimoli juda kichik, har qanday holatda ham maqbul darajadan past bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, gipoteza kuzatilgan ma'lumotlarga zid deb rad etiladi. Bizning holatda, kutilgan qiymat haqidagi gipoteza ishonch oralig'idan tashqarida (sinovdan o'tgan 90 qiymati 100±7,5 oralig'iga kiritilmagan), shuning uchun uni rad qilish kerak. Yuqoridagi ibtidoiy savolga javob berib, shuni aytish kerak: yo'q, bu mumkin emas, har qanday holatda, bu juda kamdan-kam hollarda bo'ladi. Ko'pincha, ular gipotezani noto'g'ri rad etishning o'ziga xos ehtimolini (p-darajasini) ko'rsatadi, lekin ishonch oralig'i tuzilgan belgilangan darajani emas, balki boshqa vaqt haqida ko'proq.

Ko'rib turganingizdek, o'rtacha (yoki matematik kutish) uchun ishonch oralig'ini qurish qiyin emas. Asosiysi, mohiyatni tushunish, shundan keyin ishlar davom etadi. Amalda, aksariyat hollarda 95% ishonch oralig'i qo'llaniladi, bu o'rtacha har ikki tomonda taxminan ikkita standart xatolikdir.

Hozircha hammasi shu. Barcha ezgu tilaklarni tilayman!

Tasodifiy o'zgaruvchi (umumiy to'plam haqida gapirish mumkin) normal qonun bo'yicha taqsimlansin, buning uchun D = 2 (> 0) dispersiya ma'lum. Umumiy populyatsiyadan (tasodifiy o'zgaruvchi aniqlangan ob'ektlar to'plami bo'yicha) n o'lchamdagi tanlama olinadi. X 1 , x 2 ,..., x n namunasi xuddi shunday taqsimlangan n ta mustaqil tasodifiy oʻzgaruvchilar toʻplami sifatida qaraladi (yuqorida matnda izohlangan yondashuv).

Quyidagi tengliklar ham ilgari muhokama qilingan va isbotlangan:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligini shunchaki isbotlash kifoya (biz isbotni o'tkazib yuboramiz). Ushbu holatda oddiy qonun bo'yicha ham taqsimlanadi.

Noma’lum M miqdorni a bilan belgilaymiz va berilgan ishonchlilik asosida d > 0 sonini tanlaymiz, shunda shart bajariladi:

P(- a< d) = (1)

Tasodifiy o'zgaruvchi normal qonun bo'yicha matematik kutilma M = M = a va dispersiya D = D /n = 2 /n bilan taqsimlanganligi sababli biz quyidagilarni olamiz:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Tenglik amal qiladigan darajada d ni tanlash qoladi

Har bir kishi uchun jadvaldan foydalanib, (t)= / 2 bo'lgan t raqamini topishingiz mumkin. Bu t raqami ba'zan deyiladi. miqdoriy.

Endi tenglikdan

d ning qiymatini aniqlaymiz:

Formula (1) ni quyidagi shaklda taqdim etish orqali yakuniy natijaga erishamiz:

Oxirgi formulaning ma'nosi quyidagicha: ishonchlilik bilan, ishonch oralig'i

populyatsiyaning noma'lum parametri a = M ni qamrab oladi. Siz boshqacha aytishingiz mumkin: ball bahosi M parametrining qiymatini d= t / aniqligi va ishonchliligi bilan aniqlaydi.

Vazifa. 6,25 ga teng dispersiya bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan ma'lum bir xarakteristikaga ega umumiy populyatsiya bo'lsin. n = 27 tanlama hajmi olindi va xarakteristikaning o'rtacha tanlanma qiymati = 12 ga teng bo'ldi. Ishonchliligi = 0,99 bo'lgan umumiy populyatsiyaning o'rganilayotgan xarakteristikasining noma'lum matematik kutilishini qoplaydigan ishonch oralig'ini toping.

Yechim. Birinchidan, Laplas funksiyasi jadvalidan foydalanib, (t) = / 2 = 0,495 tenglikdan t qiymatini topamiz. Olingan qiymatga asoslanib, t = 2,58, biz taxminning to'g'riligini aniqlaymiz (yoki ishonch oralig'ining yarmi uzunligi) d: d = 2,52,58 / 1,24. Bu erdan biz kerakli ishonch oralig'ini olamiz: (10.76; 13.24).

statistik gipoteza umumiy variatsion

Noma'lum dispersiyaga ega normal taqsimotni matematik kutish uchun ishonch oralig'i

Noma'lum matematik kutiluvchi M bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, biz uni a harfi bilan belgilaymiz. Keling, n hajmning namunasini tuzamiz. Ma'lum formulalar yordamida o'rtacha tanlama va tuzatilgan tanlama dispersiyasi s 2 ni aniqlaymiz.

Tasodifiy qiymat

n - 1 erkinlik darajasi bilan Student qonuniga muvofiq taqsimlanadi.

Vazifa berilgan ishonchlilik uchun t raqamini va n - 1 erkinlik darajalari sonining tengligini topishdan iborat.

yoki ekvivalent tenglik

Bu yerda qavslar ichida noma’lum a parametr qiymatining ma’lum bir intervalga, ya’ni ishonch oralig’iga tegishli bo’lish sharti yoziladi. Uning chegaralari ishonchlilik bilan bir qatorda namuna olish parametrlari va s ga bog'liq.

t ning qiymatini kattalik bo'yicha aniqlash uchun (2) tenglikni quyidagi shaklga aylantiramiz:

Endi jadvalga ko'ra tasodifiy o'zgaruvchi t, Talaba qonuni bo'yicha taqsimlanadi, ehtimollik 1 - va erkinlik darajalari soni n - 1 dan foydalanib, biz t ni topamiz. Formula (3) qo'yilgan muammoga javob beradi.

Vazifa. 20 ta elektr lampalarning nazorat sinovlari davomida o'rtacha davomiyligi ularning ishi 11 soatga teng bo'lgan standart og'ish (tuzatilgan namunaviy dispersiyaning kvadrat ildizi sifatida hisoblangan) bilan 2000 soatga teng edi. Ma'lumki, chiroqning ishlash vaqti normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uchun ishonch oralig'ini 0,95 ishonchliligi bilan aniqlang.

Yechim. Qiymat 1 - bu holda 0,05 ga teng. Talabalarni taqsimlash jadvaliga ko'ra, erkinlik darajalari soni 19 ga teng bo'lsa, biz quyidagilarni topamiz: t = 2,093. Keling, taxminning aniqligini hisoblaylik: 2.093121/ = 56.6. Bu erdan biz kerakli ishonch oralig'ini olamiz: (1943,4; 2056,6).

Qonunga bo'ysunadigan umumiy aholidan namuna olinsin normal tarqatish XN( m;  ). Matematik statistikaning bu asosiy taxmini markaziy chegara teoremasiga asoslanadi. Umumiy standart og'ish ma'lum bo'lsin  , ammo nazariy taqsimotning matematik kutilishi noma'lum m(o'rtacha qiymati ).

Bunday holda, namunaviy o'rtacha , tajriba davomida olingan (3.4.2-bo'lim), ham tasodifiy o'zgaruvchi bo'ladi m;
). Keyin "normallashtirilgan" og'ish
N(0;1) – standart normal tasodifiy miqdor.

Vazifa - intervalli taxminni topish m. uchun ikki tomonlama ishonch oralig'ini tuzamiz m Shunday qilib, haqiqiy matematik kutish berilgan ehtimollik (ishonchlilik) bilan unga tegishli bo'ladi.  .

Qiymat uchun shunday intervalni o'rnating
- bu ushbu miqdorning maksimal qiymatini topishni anglatadi
va minimal
, kritik mintaqaning chegaralari:
.

Chunki bu ehtimollik teng
, keyin bu tenglamaning ildizi
Laplas funksiya jadvallari yordamida topish mumkin (3-jadval, 1-ilova).

Keyin ehtimollik bilan  tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini ta'kidlash mumkin
, ya'ni kerakli umumiy o'rtacha intervalga tegishli
. (3.13)

Hajmi
(3.14)

chaqirdi aniqlik baholashlar.

Raqam
– miqdoriy normal taqsimot - 2F( munosabatni hisobga olgan holda Laplas funksiyasining argumenti sifatida topish mumkin (3-jadval, 1-ilova). u)=, ya'ni. F( u)=
.

Belgilangan og'ish qiymatiga ko'ra, teskari  noma'lum umumiy o'rtacha qanday ehtimollik bilan intervalga tegishli ekanligini topish mumkin
. Buning uchun siz hisoblashingiz kerak

. (3.15)

Takroriy tanlash usulidan foydalanib, umumiy populyatsiyadan tasodifiy namuna ajratib olinsin. Tenglamadan.
topish mumkin eng kam qayta namuna olish hajmi n, berilgan ishonchlilik bilan ishonch oralig'i uchun zarur belgilangan qiymatdan oshmadi  . Kerakli namuna hajmi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

. (3.16)

Keling, kashf qilaylik baholashning aniqligi
:

1) Namuna hajmi oshgani sayin n kattalik  kamayadi, va shuning uchun taxminning to'g'riligi ortadi.

2) C kattalashtirish; ko'paytirish baholashning ishonchliligi argumentning qiymati ortadi u(chunki F(u) monoton ravishda ortadi) va shuning uchun ortadi  . Bunday holda, ishonchlilikning oshishi kamaytiradi uni baholashning aniqligi  .

Baholash
(3.17)

chaqirdi klassik(Qaerda t- qarab ma'lum bir parametr Va n), chunki u eng tez-tez uchraydigan taqsimot qonunlarini tavsiflaydi.

3.5.3 Noma'lum standart og'ish  bilan normal taqsimotning matematik kutilishini baholash uchun ishonch oraliqlari

Aholining normal taqsimlanish qonuniga bo'ysunishi ma'lum bo'lsin XN( m; ), bu erda qiymat ildiz o'rtacha kvadrat og'ishlar noma'lum.

Bu holda umumiy o'rtachani baholash uchun ishonch oralig'ini qurish uchun statistik ma'lumotlardan foydalaniladi
, bilan Talaba taqsimotiga ega k= n-1 daraja erkinlik. Bu shundan kelib chiqadi N(0;1) (3.5.2-bo'limga qarang) va
(3.5.3-bo'limga qarang) va Talabalar taqsimotining ta'rifidan (1-qism.2.11.2-bo'lim).

Talabalar taqsimotining klassik bahosining aniqligini topamiz: ya'ni. topamiz t formuladan (3.17). Tengsizlikni bajarish ehtimoli bo'lsin
ishonchliligi bilan berilgan  :

. (3.18)

Chunki TSt( n-1), bu aniq t ga bog'liq  Va n, shuning uchun ular odatda yozadilar
.

(3.19)

Qayerda
– Talabalarni taqsimlash funksiyasi bilan n-1 daraja erkinlik.

uchun bu tenglamani yechish m, biz intervalni olamiz
bu ishonchli  noma'lum parametrni qamrab oladi m.

Kattalik t  , n-1, tasodifiy o'zgaruvchining ishonch oralig'ini aniqlash uchun ishlatiladi T(n-1), bilan talabalar testiga ko'ra taqsimlanadi n-1 daraja erkinlik deyiladi Talaba koeffitsienti. Uni berilgan qiymatlar yordamida topish kerak n va  “Talabalar taqsimotining muhim nuqtalari” jadvallaridan. (6-jadval, 1-ilova), ular (3.19) tenglamaning yechimlarini ifodalaydi.

Natijada quyidagi ifodani olamiz aniqlik matematik kutishni (umumiy o'rtacha) baholash uchun ishonch oralig'i, agar dispersiya noma'lum bo'lsa:

(3.20)

Shunday qilib, aholining matematik kutishlari uchun ishonch oraliqlarini qurish uchun umumiy formula mavjud:

ishonch oralig'ining aniqligi qayerda  ma'lum yoki noma'lum dispersiyaga qarab, mos ravishda 3.16 formulalar bo'yicha topiladi. va 3.20.

Muammo 10. Ba'zi testlar o'tkazildi, natijalari jadvalda keltirilgan:

x i

Ma'lumki, ular bilan normal taqsimot qonuniga bo'ysunadilar
. Reytingni toping m* matematik kutish uchun m, buning uchun 90% ishonch oralig'ini tuzing.

Yechim:

Shunday qilib, m(2.53;5.47).

Muammo 11. Dengiz chuqurligi tizimli xatosi 0 ga teng bo'lgan qurilma bilan o'lchanadi va tasodifiy xatolar normal qonunga muvofiq, standart og'ish bilan taqsimlanadi.  =15m. 90% ishonchlilik darajasida 5 m dan ortiq bo'lmagan xatolar bilan chuqurlikni aniqlash uchun qancha mustaqil o'lchovlarni bajarish kerak?

Yechim:

Bizda mavjud muammoning shartlariga ko'ra XN( m;  ), Qayerda  =15m,  =5m,  =0,9. Keling, hajmni topamiz n.

1) Berilgan ishonchlilik = 0,9 bilan 3-jadvaldan (1-ilova) Laplas funksiyasining argumentini topamiz. u  = 1.65.

2) Belgilangan baholash aniqligini bilish  =u  =5, keling, topamiz
. Bizda ... bor

. Shuning uchun testlar soni n25.

Muammo 12. Harorat namunalarini olish t yanvar oyining birinchi 6 kuni uchun jadvalda keltirilgan:

Matematik kutish uchun ishonch oralig'ini toping m ishonch ehtimoli bilan aholi
va umumiy baho bering standart og'ish s.

Yechim:

Va
.

2) xolis baho formuladan foydalanib toping
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Umumiy dispersiya noma'lum, lekin uning taxmini ma'lum bo'lganligi sababli, matematik kutishni taxmin qilish uchun m Talabalar taqsimoti (6-jadval, 1-ilova) va formuladan (3.20) foydalanamiz.

Chunki n 1 =n 2 = 6, keyin,
, s 1 =6,85 bizda:
, shuning uchun -29,2-4,1<m 1 < -29.2+4.1.

Shuning uchun -33.3<m 1 <-25.1.

Xuddi shunday bizda ham,
, s 2 = 4,8, shuning uchun

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25,1) va m 2 (-34.9;-29.1).

Amaliy fanlarda, masalan, qurilish fanlarida ob'ektlarning to'g'riligini baholash uchun ishonch oralig'i jadvallari qo'llaniladi, ular tegishli ma'lumotnomalarda keltirilgan.

CB X umumiy populyatsiyani tashkil qilsin va b noma'lum parametr CB X bo'lsin. Agar * dagi statistik baho mos kelsa, tanlama hajmi qanchalik katta bo'lsa, b qiymatini aniqroq olamiz. Biroq, amalda bizda juda katta namunalar yo'q, shuning uchun biz katta aniqlikni kafolatlay olmaymiz.

b* c uchun statistik baho bo'lsin. Qiymat |in* - in| baholashning aniqligi deyiladi. Aniqlik CB ekanligi aniq, chunki b * tasodifiy o'zgaruvchidir. Kichik musbat 8 ​​raqamini ko'rsatamiz va smeta to'g'riligini talab qilamiz |v* - v| 8 dan kam edi, ya'ni | in* - ichida |< 8.

Ishonchliligi g yoki taxminning ishonch ehtimolligi * dagi tengsizlik g ehtimolligidir, bunda |da * - in|< 8, т. е.

Odatda, ishonchlilik g oldindan belgilanadi va g 1 ga yaqin raqam sifatida qabul qilinadi (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Tengsizlikdan beri |da * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Interval (* - 8 da, * + 5 da) ishonch oralig'i deb ataladi, ya'ni ishonch oralig'i y ehtimollik bilan noma'lum parametrni qoplaydi. E'tibor bering, ishonch oralig'ining uchlari tasodifiy bo'lib, namunadan namunaga qarab o'zgaradi, shuning uchun interval (* - 8 da, * + 8 da) noma'lum parametrni o'z ichiga oladi, deyish to'g'riroq bo'ladi. interval.

Populyatsiya oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchi bilan aniqlansin va standart og'ish a ma'lum bo'lsin. Noma'lum - matematik kutish a = M (X). Berilgan ishonchlilik y uchun a uchun ishonch oralig'ini topish talab qilinadi.

O'rtacha namuna

xr = a uchun statistik taxmindir.

Teorema. XB tasodifiy o'zgaruvchisi normal taqsimotga ega bo'ladi, agar X normal taqsimotga ega bo'lsa va M (XB) = a,

A (XB) = a, bu erda a = y/B (X), a = M (X). l/i

a uchun ishonch oralig'i quyidagi ko'rinishga ega:

Biz 8 ni topamiz.

Nisbatan foydalanish

bu yerda F(r) Laplas funksiyasi, bizda:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplas funksiyasining qiymatlar jadvalidan t qiymatini topamiz.

Belgilangan holda

T, biz F(t) = g ni olamiz, chunki g berilgan, keyin tomonidan

Tenglikdan biz taxminning to'g'riligini aniqlaymiz.

Bu a uchun ishonch oralig'i quyidagi shaklga ega ekanligini anglatadi:

X populyatsiyasidan namuna berilgan

ng	Kimga"	X2	Xm
n.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, u holda ishonch oralig'i quyidagicha bo'ladi:

6.35-misol. Namuna o‘rtacha Xb = 10,43, tanlanma hajmi n = 100 va standart og‘ish s = 5 ni bilgan holda, ishonchliligi 0,95 bo‘lgan normal taqsimotning a matematik kutilmasini baholash uchun ishonch oralig‘ini toping.

Keling, formuladan foydalanamiz

Ushbu taqsimotning dispersiyasi va standart og'ish s ma'lum ekanligini hisobga olgan holda, populyatsiyaning X tasodifiy o'zgaruvchisi normal taqsimlangan bo'lsin. O'rtacha tanlanmadan foydalanib, noma'lum matematik kutishni baholash kerak. Bunday holda, vazifa ishonchliligi b bo'lgan matematik kutish uchun ishonch oralig'ini topishga to'g'ri keladi. Ishonch ehtimoli (ishonchliligi) b qiymatini belgilasangiz, (6.9a) formuladan foydalanib, noma'lum matematik kutish oralig'iga tushish ehtimolini topishingiz mumkin:

bu yerda F(t) - Laplas funksiyasi (5.17a).

Natijada, agar D = s 2 dispersiya ma'lum bo'lsa, biz matematik kutish uchun ishonch oralig'i chegaralarini topish algoritmini shakllantirishimiz mumkin:

1. Ishonchlilik qiymatini belgilang - b.
2. (6.14) dan F(t) = 0,5× b ifodalang. F(t) qiymati asosida Laplas funksiyasi uchun jadvaldan t qiymatini tanlang (1-ilovaga qarang).
3. (6.10) formuladan foydalanib, og'ish e ni hisoblang.
4. (6.12) formuladan foydalanib, ishonch oralig'ini shunday yozingki, b ehtimolligi bilan tengsizlik bajariladi:

.

5-misol.

X tasodifiy o'zgaruvchisi normal taqsimotga ega. Agar berilgan bo'lsa, noma'lum matematik kutish a ning ishonchliligi b = 0,96 bo'lgan taxmin uchun ishonch oraliqlarini toping:

1) umumiy standart og'ish s = 5;

2) o'rtacha tanlab olish;

3) namuna hajmi n = 49.

Matematik kutishning intervalli bahosining (6.15) formulasida A ishonchliligi bilan b t dan tashqari barcha miqdorlar ma'lum. t ning qiymatini (6.14) yordamida topish mumkin: b = 2F(t) = 0,96. F(t) = 0,48.

Laplas funksiyasi F(t) = 0,48 uchun 1-ilovadagi jadvaldan foydalanib, mos keladigan t = 2,06 qiymatni toping. Demak, . e ning hisoblangan qiymatini formulaga (6.12) almashtirib, ishonch oralig'ini olishingiz mumkin: 30-1,47< a < 30+1,47.

Noma'lum matematik taxminning ishonchliligi b = 0,96 bo'lgan taxmin uchun zarur bo'lgan ishonch oralig'i: 28,53 ga teng.< a < 31,47.