Statistikada baholashning ikki turi mavjud: nuqta va interval. Ballarni baholash parametrni baholash uchun foydalaniladigan alohida namunaviy statistikani ifodalaydi aholi. Misol uchun, namunaviy o'rtacha ball bahosidir matematik kutish populyatsiya va namunaviy dispersiya S 2- populyatsiya dispersiyasining nuqtaviy bahosi s 2. namunaviy o'rtacha aholining matematik kutishining xolis bahosi ekanligi ko'rsatildi. Namuna o'rtacha qiymati xolis deb ataladi, chunki barcha tanlama vositalarining o'rtacha qiymati (bir xil tanlama hajmi bilan) n) umumiy aholining matematik kutishiga teng.

Namuna farqi uchun S 2 aholi tafovutining xolis bahosiga aylandi s 2, tanlanma dispersiyaning maxraji teng belgilanishi kerak n – 1 , lekin emas n. Boshqacha qilib aytganda, populyatsiya dispersiyasi barcha mumkin bo'lgan tanlama dispersiyalarining o'rtacha ko'rsatkichidir.

Populyatsiya parametrlarini baholashda shuni yodda tutish kerakki, masalan, namunaviy statistika , muayyan namunalarga bog'liq. Bu haqiqatni hisobga olish, olish intervalni baholash umumiy aholining matematik kutilishi, namunaviy vositalarning taqsimlanishini tahlil qilish (batafsil ma'lumot uchun qarang). Tuzilgan interval ma'lum bir ishonch darajasi bilan tavsiflanadi, bu haqiqiy populyatsiya parametrining to'g'ri baholanishi ehtimolini ifodalaydi. Xuddi shunday ishonch oraliqlari xarakteristikaning ulushini baholash uchun ishlatilishi mumkin R va aholining asosiy taqsimlangan massasi.

Eslatmani yoki formatda yuklab oling, formatdagi misollar

Ma'lum standart og'ish bilan aholining matematik kutishlari uchun ishonch oralig'ini qurish

Xarakteristikaning populyatsiyadagi ulushi uchun ishonch oralig'ini qurish

Ushbu bo'lim ishonch oralig'i tushunchasini kategorik ma'lumotlarga kengaytiradi. Bu bizga xarakteristikaning populyatsiyadagi ulushini taxmin qilish imkonini beradi R namuna ulushidan foydalanish RS= X/n. Ko'rsatilgandek, miqdorlar bo'lsa nR Va n(1 – p) 5 raqamidan oshsa, binomial taqsimotni odatdagidek taxmin qilish mumkin. Shuning uchun, xarakteristikaning populyatsiyadagi ulushini taxmin qilish R ishonch darajasi teng bo'lgan intervalni qurish mumkin (1 – a)x100%.

Qayerda pS- xarakteristikaning namunaviy ulushi, teng X/n, ya'ni. muvaffaqiyatlar soni namuna hajmiga bo'linadi, R- umumiy populyatsiyadagi xarakteristikaning ulushi; Z- standartlashtirilganning kritik qiymati normal taqsimot, n- namuna hajmi.

3-misol. Faraz qilaylik, shundan axborot tizimi ichida to'ldirilgan 100 ta hisob-fakturadan iborat namunani chiqarib oldi o `tgan oy. Aytaylik, ushbu hisob-fakturalarning 10 tasi xato bilan tuzilgan. Shunday qilib, R= 10/100 = 0,1. 95% ishonch darajasi Z = 1,96 kritik qiymatga mos keladi.

Shunday qilib, schyot-fakturalarning 4,12% dan 15,88% gacha xatoliklarni o'z ichiga olishi ehtimoli 95% ni tashkil qiladi.

Berilgan namuna hajmi uchun populyatsiyadagi xarakteristikaning ulushini o'z ichiga olgan ishonch oralig'i uzluksiz namunaga qaraganda kengroq ko'rinadi. tasodifiy o'zgaruvchi. Buning sababi shundaki, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining o'lchovlari kategorik ma'lumotlarning o'lchovlaridan ko'ra ko'proq ma'lumotni o'z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, faqat ikkita qiymatni oladigan kategorik ma'lumotlar ularning taqsimlanish parametrlarini baholash uchun etarli ma'lumotga ega emas.

INcheklangan populyatsiyadan olingan taxminlarni hisoblash

Matematik kutishni baholash. Yakuniy populyatsiya uchun tuzatish koeffitsienti ( fpc) standart xatolikni bir marta kamaytirish uchun ishlatilgan. Populyatsiya parametrlarini baholash uchun ishonch oralig'ini hisoblashda namunalar qaytarilmasdan olingan holatlarda tuzatish koeffitsienti qo'llaniladi. Shunday qilib, ishonch darajasiga teng bo'lgan matematik kutish uchun ishonch oralig'i (1 – a)x100%, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

4-misol. Cheklangan aholi uchun tuzatish koeffitsientidan foydalanishni ko'rsatish uchun yuqorida 3-misolda muhokama qilingan hisob-fakturalarning o'rtacha miqdori uchun ishonch oralig'ini hisoblash masalasiga qaytaylik. Aytaylik, kompaniya har oyda 5000 ta hisob-faktura chiqaradi va X̅=110,27 dollar, S= $28.95, N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. Formula (6) yordamida biz quyidagilarni olamiz:

Xususiyat ulushini baholash. Qaytarmasdan tanlashda ishonch darajasiga teng bo'lgan atribut nisbati uchun ishonch oralig'i (1 – a)x100%, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Ishonch oraliqlari va axloqiy masalalar

Aholini tanlab olish va statistik xulosalar chiqarishda ko'pincha axloqiy muammolar paydo bo'ladi. Asosiysi, ishonch oraliqlari va namunaviy statistik ma'lumotlarning nuqtaviy baholari qanday mos kelishidir. Tegishli ishonch oraliqlarini (odatda 95% ishonch darajasida) va ular olingan namuna hajmini ko'rsatmasdan nashr qilish nuqtasi taxminlari chalkashliklarni keltirib chiqarishi mumkin. Bu foydalanuvchiga nuqta bahosi butun aholining xususiyatlarini bashorat qilish uchun kerak bo'lgan narsa degan taassurot qoldirishi mumkin. Shunday qilib, shuni tushunish kerakki, har qanday tadqiqotda asosiy e'tibor nuqta baholariga emas, balki intervalli baholarga qaratilishi kerak. Bundan tashqari, Maxsus e'tibor berilishi kerak to'g'ri tanlov namuna o'lchamlari.

Ko'pincha statistik manipulyatsiya ob'ektlari ma'lum bir sohada aholining sotsiologik so'rovlari natijalaridir. siyosiy muammolar. Bunday holda, so'rov natijalari gazetalarning birinchi sahifalarida e'lon qilinadi va xato namunaviy so'rov va statistik tahlil uchun metodologiya o'rtada bir joyda chop etiladi. Olingan ball baholarining to'g'riligini isbotlash uchun ular asosida olingan tanlama hajmini, ishonch oralig'ining chegaralarini va uning ahamiyatlilik darajasini ko'rsatish kerak.

Keyingi eslatma

Levin va boshq. “Menejerlar uchun statistika” kitobining materiallaridan foydalaniladi. – M.: Uilyams, 2004. – b. 448–462

Markaziy chegara teoremasi yetarlicha katta tanlama hajmi bilan vositalarning tanlanma taqsimotini normal taqsimot bilan yaqinlashtirish mumkinligini ta’kidlaydi. Bu xususiyat aholining tarqalish turiga bog'liq emas.

Oldingi bo'limlarda biz noma'lum parametrni baholash masalasini ko'rib chiqdik A bitta raqam. Bu "nuqta" bahosi deb ataladi. Bir qator vazifalarda siz nafaqat parametrni topishingiz kerak A tegishli raqamli qiymat, balki uning aniqligi va ishonchliligini baholash uchun. Parametrni almashtirishda qanday xatolarga olib kelishi mumkinligini bilishingiz kerak A uning taxminiy nuqtasi A va bu xatolar ma'lum chegaralardan oshmasligini qanday ishonch bilan kutish mumkin?

Ushbu turdagi muammolar, ayniqsa, nuqta hisoblanganda, oz sonli kuzatishlar bilan dolzarbdir va ichida asosan tasodifiy va a ni taxminan a bilan almashtirish jiddiy xatolarga olib kelishi mumkin.

Baholashning aniqligi va ishonchliligi haqida fikr berish A,

V matematik statistika Ular ishonch oralig'i va ishonch ehtimoli deb ataladigan usullardan foydalanadilar.

Parametr uchun ruxsat bering A tajribadan olingan xolis baho A. Biz bu holatda mumkin bo'lgan xatoni taxmin qilmoqchimiz. Etarlicha katta p ehtimollik (masalan, p = 0,9, 0,95 yoki 0,99) ni shunday belgilaylikki, p ehtimoli bo'lgan hodisani amaliy jihatdan ishonchli deb hisoblaymiz va s qiymatini topamiz.

Keyin almashtirish paytida yuzaga keladigan xatoning amalda mumkin bo'lgan qiymatlari diapazoni A yoqilgan A, ± s bo'ladi; katta tomonidan mutlaq qiymat xatolar faqat past ehtimollik bilan paydo bo'ladi a = 1 - p. (14.3.1) ni quyidagicha qayta yozamiz:

Tenglik (14.3.2) ehtimollik bilan p noma'lum qiymat parametr A oralig'iga to'g'ri keladi

Bir holatga e'tibor qaratish lozim. Ilgari biz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan tasodifiy bo'lmagan intervalga tushish ehtimolini bir necha bor ko'rib chiqdik. Bu erda vaziyat boshqacha: kattalik A tasodifiy emas, lekin interval / p tasodifiy. Uning x o'qidagi o'rni tasodifiy bo'lib, uning markazi bilan belgilanadi A; Umuman olganda, 2s oralig'ining uzunligi ham tasodifiydir, chunki s qiymati, qoida tariqasida, eksperimental ma'lumotlardan hisoblanadi. Shuning uchun, in Ushbu holatda p qiymatini nuqtani "urish" ehtimoli sifatida emas, balki talqin qilish yaxshiroqdir A oralig'ida / p va tasodifiy interval / p nuqtani qoplash ehtimoli sifatida A(14.3.1-rasm).

Guruch. 14.3.1

Odatda p ehtimollik deyiladi ishonch ehtimoli, va interval / p - ishonch oralig'i. Interval chegaralari Agar. a x = a - s va a 2 = a + va chaqiriladi ishonch chegaralari.

Ishonch oralig'i tushunchasiga yana bir izoh beraylik: uni parametr qiymatlari oralig'i deb hisoblash mumkin. A, eksperimental ma'lumotlarga mos keladi va ularga zid kelmaydi. Haqiqatan ham, agar biz a = 1-p ehtimoli bo'lgan hodisani amalda imkonsiz deb hisoblashga rozi bo'lsak, u holda a parametrining qiymatlari a - a> s eksperimental ma'lumotlarga zid deb tan olinishi kerak va ular uchun |a - A a t na 2.

Parametr uchun ruxsat bering A xolis baho mavjud A. Agar miqdorning taqsimlanish qonunini bilsak A, ishonch oralig'ini topish vazifasi juda oddiy bo'ladi: buning uchun s qiymatini topish kifoya qiladi.

Qiyinchilik shundaki, hisob-kitoblarni taqsimlash qonuni A miqdorning taqsimot qonuniga bog'liq X va shuning uchun uning noma'lum parametrlari bo'yicha (xususan, parametrning o'zi bo'yicha). A).

Ushbu qiyinchilikni engib o'tish uchun siz quyidagi taxminiy usuldan foydalanishingiz mumkin: s ifodasidagi noma'lum parametrlarni ularning nuqta baholari bilan almashtiring. Nisbatan katta miqdordagi tajribalar bilan P(taxminan 20...30) bu texnika odatda aniqlik nuqtai nazaridan qoniqarli natijalar beradi.

Misol sifatida, matematik kutish uchun ishonch oralig'i muammosini ko'rib chiqing.

Ishlab chiqarilsin P X, uning xarakteristikalari matematik kutishdir T va dispersiya D- noma'lum. Ushbu parametrlar uchun quyidagi taxminlar olingan:

Tegishli ishonch oralig'ini / p qurish kerak ishonch ehtimoli p, matematik kutish uchun T miqdorlar X.

Ushbu muammoni hal qilishda biz miqdor faktidan foydalanamiz T summani ifodalaydi P mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar Xh va markaziy chegara teoremasiga ko'ra, etarlicha katta P uning taqsimot qonuni normaga yaqin. Amalda nisbatan kam sonli atamalar (taxminan 10...20) bo'lsa ham yig'indining taqsimot qonunini taxminan normal deb hisoblash mumkin. Biz qiymat deb taxmin qilamiz T oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Bu qonunning xarakteristikalari - matematik kutish va dispersiya mos ravishda tengdir T Va

(13-bobning 13.3-kichik bo'limiga qarang). Qiymat deb faraz qilaylik D biz bilamiz va buning uchun Ep qiymatini topamiz

6-bobning (6.3.5) formulasidan foydalanib, (14.3.5) ning chap tomonidagi ehtimollikni normal taqsimot funksiyasi orqali ifodalaymiz.

smetaning standart og'ishi qayerda T.

Tenglamadan.

Sp qiymatini toping:

bu yerda arg F* (x) F* ning teskari funksiyasi (X), bular. argumentning qiymati normal funktsiya ga teng taqsimlanadi X.

Dispersiya D, bu orqali miqdor ifodalanadi A 1P, biz aniq bilmaymiz; uning taxminiy qiymati sifatida siz smetadan foydalanishingiz mumkin D(14.3.4) va taxminan qo'ying:

Shunday qilib, ishonch oralig'ini qurish muammosi taxminan hal qilindi, bu quyidagilarga teng:

bu erda gp (14.3.7) formula bilan aniqlanadi.

s p ni hisoblashda F* (l) funksiyasi jadvallarida teskari interpolyatsiyani oldini olish uchun kattalik qiymatlarini beradigan maxsus jadvalni (14.3.1-jadval) tuzish qulay.

r ga qarab. Qiymat (p normal qonun uchun dispersiya markazidan o'ngga va chapga chizilishi kerak bo'lgan standart og'ishlar sonini aniqlaydi, shunda hosil bo'lgan maydonga kirish ehtimoli p ga teng bo'ladi.

7 p qiymatidan foydalanib, ishonch oralig'i quyidagicha ifodalanadi:

14.3.1-jadval

1-misol. Miqdor bo'yicha 20 ta tajriba o'tkazildi X; natijalar jadvalda keltirilgan. 14.3.2.

14.3.2-jadval

Miqdorning matematik kutilishidan smeta topish talab qilinadi X va p = 0,8 ishonch ehtimoliga mos keladigan ishonch oralig'ini tuzing.

Yechim. Bizda ... bor:

l: = 10 ni mos yozuvlar nuqtasi sifatida tanlab, uchinchi formuladan (14.2.14) foydalanib, biz xolis bahoni topamiz. D :

Jadvalga ko'ra 14.3.1 topamiz

Ishonch chegaralari:

Ishonch oralig'i:

Parametr qiymatlari T, Bu oraliqda joylashganlar jadvalda keltirilgan eksperimental ma'lumotlarga mos keladi. 14.3.2.

Dispersiya uchun ishonch oralig'i xuddi shunday tarzda tuzilishi mumkin.

Ishlab chiqarilsin P tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha mustaqil tajribalar X A va dispersiya uchun noma'lum parametrlarga ega D xolis baho olindi:

Taxminan dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurish talab qilinadi.

(14.3.11) formuladan ko'rinib turibdiki, miqdor D o'zida aks ettiradi

miqdori P shaklning tasodifiy o'zgaruvchilari. Bu qiymatlar emas

mustaqil, chunki ularning har biri miqdorni o'z ichiga oladi T, boshqalarga bog'liq. Biroq, ortib borishi bilan buni ko'rsatish mumkin P ularning yig'indisining taqsimot qonuni ham normaga yaqinlashadi. Taxminan P= 20...30 uni allaqachon normal deb hisoblash mumkin.

Keling, shunday deb faraz qilaylik va ushbu qonunning xususiyatlarini topamiz: matematik kutish va dispersiya. Baholashdan beri D- xolis, demak M[D] = D.

Farqni hisoblash D D nisbatan murakkab hisob-kitoblar bilan bog'liq, shuning uchun biz uning ifodasini hosilasiz keltiramiz:

bu erda q 4 to'rtinchi markaziy nuqta miqdorlar X.

Ushbu iborani ishlatish uchun siz \u003d 4 va qiymatlarini almashtirishingiz kerak D(hech bo'lmaganda yaqin). O'rniga D uning bahosidan foydalanishingiz mumkin D. Aslida, to'rtinchi markaziy momentni taxmin bilan almashtirish mumkin, masalan, shaklning qiymati:

ammo bunday almashtirish juda past aniqlikni beradi, chunki umuman olganda, cheklangan miqdordagi tajribalar bilan, momentlar yuqori tartib dan aniqlanadi katta xatolar. Biroq, amalda ko'pincha miqdorni taqsimlash qonunining turi sodir bo'ladi X oldindan ma'lum: faqat uning parametrlari noma'lum. Keyin m 4 orqali ifodalashga harakat qilishingiz mumkin D.

Keling, eng keng tarqalgan holatni olaylik, qachon qiymat X oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyin uning to'rtinchi markaziy momenti dispersiya nuqtai nazaridan ifodalanadi (6-bob, 6.2-kichik bo'limga qarang);

va formula (14.3.12) beradi yoki

(14.3.14) da noma'lumni almashtirish D uning bahosi D, olamiz: qayerdan

Moment m 4 orqali ifodalanishi mumkin D shuningdek, ba'zi boshqa holatlarda, qiymat taqsimlanganda X normal emas, lekin uning ko'rinishi ma'lum. Masalan, qonun uchun bir xil zichlik(5-bobga qarang) bizda:

Bu erda (a, P) - qonun ko'rsatilgan interval.

Demak,

(14.3.12) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: taxminan qaerdan topamiz

26 miqdori uchun taqsimlash qonunining turi noma'lum bo'lgan hollarda, a/) qiymatining taxminiy bahosini tuzishda, agar ushbu qonunga ishonish uchun maxsus sabablar bo'lmasa, (14.3.16) formuladan foydalanish tavsiya etiladi. odatdagidan juda farq qiladi (sezilarli ijobiy yoki salbiy kurtozga ega).

Agar a/) ning taxminiy qiymati u yoki bu tarzda olingan bo‘lsa, u holda biz dispersiya uchun ishonch oralig‘ini xuddi matematik kutish uchun qurganimizdek qurishimiz mumkin:

bu yerda berilgan ehtimollik p ga bog'liq qiymat jadval bo'yicha topiladi. 14.3.1.

2-misol. Tasodifiy o‘zgaruvchining dispersiyasi uchun taxminan 80% ishonch oralig‘ini toping. X 1-misol shartlariga ko'ra, agar qiymat ma'lum bo'lsa X me'yorga yaqin qonun bo'yicha taqsimlanadi.

Yechim. Qiymat jadvaldagi kabi qoladi. 14.3.1:

Formula bo'yicha (14.3.16)

(14.3.18) formuladan foydalanib, ishonch oralig'ini topamiz:

O'rtacha qiymatlarning mos keladigan oralig'i kvadrat og'ish: (0,21; 0,29).

14.4. Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining parametrlari uchun ishonch oraliqlarini qurishning aniq usullari

Oldingi bo'limda biz matematik kutish va dispersiya uchun ishonch oraliqlarini yaratishning taxminiy usullarini ko'rib chiqdik. Bu erda biz bir xil muammoni hal qilishning aniq usullari haqida fikr beramiz. Ishonch oraliqlarini aniq topish uchun miqdorning taqsimlanish qonuni shaklini oldindan bilish mutlaqo zarurligini ta'kidlaymiz. X, holbuki, taxminiy usullarni qo'llash uchun bu shart emas.

Fikr aniq usullar Ishonch oraliqlarini qurish quyidagilarga to'g'ri keladi. Har qanday ishonch oralig'i bizni qiziqtirgan taxminni o'z ichiga olgan ma'lum tengsizliklarni bajarish ehtimolini ifodalovchi shartdan topiladi. A. Baholarni taqsimlash qonuni A V umumiy holat noma'lum miqdor parametrlariga bog'liq X. Biroq, ba'zida tasodifiy o'zgaruvchidan tengsizliklarni o'tkazish mumkin A kuzatilgan qiymatlarning boshqa funksiyasiga X p X 2, ..., X p. taqsimot qonuni noma'lum parametrlarga bog'liq emas, balki faqat tajribalar soniga va miqdorning taqsimlanish qonunining turiga bog'liq. X. Bu turdagi tasodifiy o'zgaruvchilar matematik statistikada muhim rol o'ynaydi; ular miqdorning normal taqsimlanishi holati uchun eng batafsil o'rganilgan X.

Masalan, qiymatning normal taqsimlanishi bilan isbotlangan X tasodifiy qiymat

deb atalmish narsaga bo'ysunadi Talabalarni taqsimlash qonuni Bilan P- 1 daraja erkinlik; bu qonunning zichligi shaklga ega

Bu yerda G(x) ma’lum gamma funksiya:

Tasodifiy o'zgaruvchi ham isbotlangan

bilan "% 2 taqsimoti" mavjud P- 1 erkinlik darajasi (7-bobga qarang), uning zichligi formula bilan ifodalanadi

(14.4.2) va (14.4.4) taqsimotlarning hosilalari haqida to'xtalmasdan, biz parametrlar uchun ishonch oraliqlarini qurishda ularni qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatamiz. ty D.

Ishlab chiqarilsin P tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha mustaqil tajribalar X, odatda noma'lum parametrlar bilan taqsimlanadi T&O. Ushbu parametrlar uchun taxminlar olingan

Ishonch ehtimolligi p ga mos keladigan ikkala parametr uchun ishonch oraliqlarini qurish talab qilinadi.

Keling, birinchi navbatda matematik kutish uchun ishonch oralig'ini tuzamiz. ga nisbatan bu intervalni simmetrik qabul qilish tabiiy T; s p interval uzunligining yarmini belgilaymiz. s p qiymati shart bajarilishi uchun tanlanishi kerak

Keling, tasodifiy o'zgaruvchidan tenglikning (14.4.5) chap tomoniga o'tishga harakat qilaylik T tasodifiy o'zgaruvchiga T, Student qonuniga muvofiq taqsimlanadi. Buning uchun |m-w?| tengsizlikning ikkala tomonini ko'paytiring

ijobiy qiymat bo'yicha: yoki (14.4.1) yozuvdan foydalangan holda,

Shartdan / p qiymatini topish mumkin bo'lgan / p sonini topamiz

(14.4.2) formuladan ko'rinib turibdiki (1) - hatto funktsiya, shuning uchun (14.4.8) beradi

Tenglik (14.4.9) p ga qarab qiymati / p ni belgilaydi. Agar sizning ixtiyoringizda integral qiymatlar jadvali bo'lsa

u holda /p qiymatini jadvalda teskari interpolyatsiya orqali topish mumkin. Biroq, /p qiymatlari jadvalini oldindan tuzish qulayroqdir. Bunday jadval Ilovada keltirilgan (5-jadval). Ushbu jadval p ishonch darajasiga va erkinlik darajalari soniga bog'liq qiymatlarni ko'rsatadi P- 1. Jadvaldan / p ni aniqlab. 5 va faraz

biz ishonch oralig'i / p kengligining yarmini va intervalning o'zini topamiz

1-misol. Tasodifiy miqdor bo'yicha 5 ta mustaqil tajriba o'tkazildi X, odatda noma'lum parametrlar bilan taqsimlanadi T va taxminan. Tajriba natijalari jadvalda keltirilgan. 14.4.1.

14.4.1-jadval

Reytingni toping T matematik kutish uchun va u uchun 90% ishonch oralig'ini / p ni tuzing (ya'ni, p = 0,9 ishonch ehtimoliga mos keladigan interval).

Yechim. Bizda ... bor:

Arizaning 5-jadvaliga muvofiq P - 1 = 4 va p = 0,9 ni topamiz qayerda

Ishonch oralig'i bo'ladi

2-misol. 14.3-kichik bo'limning 1-misol shartlari uchun qiymatni qabul qilgan holda X normal taqsimlangan, aniq ishonch oralig'ini toping.

Yechim. Ilovaning 5-jadvaliga binoan biz qachon topamiz P - 1 = 19ir =

0,8 / p =1,328; bu yerdan

14.3-kichik bo'limning 1-misolining yechimi bilan solishtirganda (e p = 0,072), biz kelishmovchilik juda ahamiyatsiz ekanligiga amin bo'ldik. Agar biz ikkinchi kasrgacha aniqlikni saqlasak, unda aniq va taxminiy usullar bilan topilgan ishonch oraliqlari mos keladi:

Keling, dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurishga o'tamiz. Xolis dispersiya hisoblagichini ko'rib chiqing

va tasodifiy o'zgaruvchini ifodalang D kattalik orqali V(14.4.3), x 2 taqsimotiga ega (14.4.4):

Miqdorning taqsimlanish qonunini bilish V, berilgan p ehtimollik bilan tushadigan /(1) oraliqni topishingiz mumkin.

Tarqatish qonuni kn_x(v) I 7 magnitudasi shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 14.4.1.

Guruch. 14.4.1

Savol tug'iladi: oraliq / p ni qanday tanlash mumkin? Agar kattalikning taqsimlanish qonuni V simmetrik bo'lgan (normal qonun yoki Talaba taqsimoti kabi), matematik kutishga nisbatan /p simmetrik intervalni olish tabiiy bo'lar edi. Bu holda qonun k p_x (v) assimetrik. Chiqish qiymatining ehtimollari bo'lishi uchun /p oralig'ini tanlashga rozi bo'laylik V o'ng va chap oraliqdan tashqari (14.4.1-rasmdagi soyali joylar) bir xil va teng edi.

Ushbu xususiyatga ega /p oralig'ini qurish uchun biz jadvaldan foydalanamiz. 4 ta ilova: unda raqamlar mavjud y) shu kabi

qiymati uchun V, ega bo'lgan x 2 -r erkinlik darajasi bilan taqsimlash. Bizning holatda r = n- 1. Keling, tuzatamiz r = n- 1 va jadvalning tegishli qatoridan toping. 4 ikkita ma'nosi x 2 - biri ehtimolga mos keladi ikkinchisi - ehtimollik Bularni belgilaymiz

qiymatlar 2 da Va xl? Interval mavjud y 2, chapingiz bilan va y ~ o'ng uchi.

Endi D chegaralari bilan dispersiya uchun / p oralig'idan kerakli ishonch oralig'ini /| topamiz. D2, bu nuqtani qamrab oladi D p ehtimolligi bilan:

Nuqtani qamrab oluvchi / (, = (?> l A) oraliq quraylik D agar va faqat qiymat bo'lsa V/r oralig'iga tushadi. Keling, intervalni ko'rsataylik

bu shartni qondiradi. Haqiqatan ham, tengsizliklar tengsizliklarga tengdir

va bu tengsizliklar p ehtimollik bilan qanoatlantiriladi. Shunday qilib, dispersiya uchun ishonch oralig'i topildi va (14.4.13) formula bilan ifodalanadi.

3-misol. 14.3-kichik bo'limning 2-misolidagi shartlar bo'yicha dispersiyaning ishonch oralig'ini toping, agar qiymat ma'lum bo'lsa. X normal taqsimlangan.

Yechim. Bizda ... bor . Ilovaning 4-jadvaliga muvofiq

da topamiz r = n - 1 = 19

(14.4.13) formuladan foydalanib, dispersiyaning ishonch oralig'ini topamiz

Standart og'ish uchun mos keladigan interval (0,21; 0,32). Bu oraliq taxminiy usul yordamida 14.3-kichik bo'limning 2-misolida olingan intervaldan (0,21; 0,29) biroz oshib ketadi.

• 14.3.1-rasmda a ga nisbatan simmetrik ishonch oralig'i ko'rib chiqiladi. Umuman olganda, keyinroq ko'rib chiqamiz, bu kerak emas.

Ishonch oraliqlari.

Ishonch oralig'ini hisoblash mos keladigan parametrning o'rtacha xatosiga asoslanadi. Ishonch oralig'i taxminiy parametrning haqiqiy qiymati qanday chegaralar ichida (1-a) ehtimollik bilan yotishini ko'rsatadi. Bu erda a - muhimlik darajasi, (1-a) ishonch ehtimoli deb ham ataladi.

Birinchi bobda biz, masalan, arifmetik o'rtacha uchun haqiqiy populyatsiya o'rtachasi taxminan 95% hollarda o'rtacha 2 ta standart xato ichida joylashganligini ko'rsatdik. Shunday qilib, o'rtacha uchun 95% ishonch oralig'ining chegaralari namunaviy o'rtachadan ikki baravar uzoqroq bo'ladi. o'rtacha xato o'rtacha, ya'ni. o'rtachaning o'rtacha xatosini ishonch darajasiga qarab ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiramiz. O'rtacha va o'rtachalarning farqi uchun Student koeffitsienti (Talaba testining kritik qiymati), ulushlarning ulushi va farqi uchun z mezonining kritik qiymati olinadi. Koeffitsient va o'rtacha xatoning mahsulotini berilgan parametrning maksimal xatosi deb atash mumkin, ya'ni. uni baholashda biz olishimiz mumkin bo'lgan maksimal.

Ishonch oralig'i arifmetik o'rtacha : .

Mana namunaviy o'rtacha;

Arifmetik o'rtachaning o'rtacha xatosi;

s - namunaviy standart og'ish;

n

f = n-1 (Talaba koeffitsienti).

Ishonch oralig'i arifmetik vositalarning farqlari :

Bu erda namunaviy vositalar orasidagi farq;

- arifmetik o'rtachalar orasidagi farqning o'rtacha xatosi;

s 1 , s 2 - namunaviy standart og'ishlar;

n1, n2

Kritik qiymat Ma'lum bir ahamiyatlilik darajasi a va erkinlik darajalari soni uchun talabaning t testi f=n 1 +n 2-2 (Talaba koeffitsienti).

Ishonch oralig'i ulushlar :

.

Bu erda d - namunaviy kasr;

– o‘rtacha kasr xatosi;

n– namuna hajmi (guruh kattaligi);

Ishonch oralig'i aktsiyalarning farqi :

Bu erda namunaviy aktsiyalardagi farq;

– arifmetik o‘rtachalar orasidagi farqning o‘rtacha xatosi;

n1, n2– namunalar hajmi (guruhlar soni);

Berilgan ahamiyatlilik darajasida z mezonining kritik qiymati a ( , , ).

Ko'rsatkichlar orasidagi farq uchun ishonch oraliqlarini hisoblash orqali biz, birinchi navbatda, to'g'ridan-to'g'ri ko'ramiz mumkin bo'lgan qiymatlar ta'sir, va faqat u emas ball bahosi. Ikkinchidan, biz nol gipotezani qabul qilish yoki rad etish haqida xulosa chiqarishimiz mumkin va uchinchidan, testning kuchi haqida xulosa chiqarishimiz mumkin.

Ishonch oraliqlari yordamida gipotezalarni sinab ko'rishda siz quyidagi qoidaga amal qilishingiz kerak:

Agar o'rtacha farqning 100 (1-a) foizli ishonch oralig'i nolga teng bo'lmasa, u holda farqlar a ahamiyatlilik darajasida statistik ahamiyatga ega; aksincha, agar bu intervalda nol bo'lsa, u holda farqlar statistik ahamiyatga ega emas.

Haqiqatan ham, agar bu oraliq nolni o'z ichiga olsa, demak, taqqoslanayotgan ko'rsatkich boshqasiga nisbatan guruhlarning birida kattaroq yoki kamroq bo'lishi mumkin, ya'ni. kuzatilgan farqlar tasodifga bog'liq.

Sinovning kuchi ishonch oralig'idagi nolning joylashuvi bilan baholanishi mumkin. Agar nol past yoki ga yaqin bo'lsa yuqori chegara oraliq, keyin, ehtimol, ko'proq sonli taqqoslangan guruhlar bilan, farqlar yetadi statistik ahamiyatga ega. Agar nol oraliqning o'rtasiga yaqin bo'lsa, demak, eksperimental guruhdagi ko'rsatkichning o'sishi ham, kamayishi ham bir xil ehtimoli bor va, ehtimol, hech qanday farq yo'q.

Misollar:

Ikki xil turdagi behushlikdan foydalanganda jarrohlik o'limini taqqoslash uchun: 61 kishi birinchi turdagi behushlik bilan operatsiya qilingan, 8 kishi vafot etgan, ikkinchi turdagi - 67 kishi, 10 kishi vafot etgan.

d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Taqqoslangan usullarning letalligidagi farq 100(1-a) = 95% ehtimollik bilan (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) yoki (-0,14; 0,104) oralig'ida bo'ladi. Interval nolni o'z ichiga oladi, ya'ni. ikkita bir xil o'lim haqida gipoteza turli xil turlari Anesteziyani rad etish mumkin emas.

Shunday qilib, o'lim darajasi 14% gacha kamayishi va 95% ehtimollik bilan 10,4% gacha ko'tarilishi mumkin, ya'ni. nol taxminan intervalning o'rtasida, shuning uchun bahslashish mumkinki, bu ikki usul haqiqatan ham halokatlilikda farq qilmaydi.

Yuqorida muhokama qilingan misolda, imtihon ballari bilan farq qilgan to'rtta guruh talabalarida teginish testi paytida o'rtacha bosish vaqti solishtirildi. Imtihonni 2 va 5 baholar bilan topshirgan talabalar uchun o'rtacha bosish vaqti uchun ishonch oralig'ini va bu o'rtacha ko'rsatkichlar orasidagi farq uchun ishonch oralig'ini hisoblaylik.

Talaba koeffitsientlari Studentning taqsimot jadvallari yordamida topiladi (ilovaga qarang): birinchi guruh uchun: = t(0,05;48) = 2,011; ikkinchi guruh uchun: = t(0,05;61) = 2,000. Shunday qilib, birinchi guruh uchun ishonch oraliqlari: = (162,19-2,011*2,18; 162,19+2,011*2,18) = (157,8; 166,6), ikkinchi guruh uchun (156,55- 2,000*1,88 ; 5,180.) (=156,18.) 160.3). Shunday qilib, imtihonni 2 ball bilan topshirganlar uchun o'rtacha bosish vaqti 95% ehtimollik bilan 157,8 ms dan 166,6 ms gacha, imtihonni 5 ms dan o'tganlar uchun - 95% ehtimollik bilan 152,8 ms dan 160,3 ms gacha. .

Bundan tashqari, nol gipotezani faqat vositalar farqi uchun emas, balki vositalar uchun ishonch oraliqlari yordamida sinab ko'rishingiz mumkin. Misol uchun, bizning holatimizda bo'lgani kabi, agar vositalar uchun ishonch oraliqlari bir-biriga to'g'ri kelsa, unda nol gipotezani rad etib bo'lmaydi. Tanlangan ahamiyatlilik darajasida gipotezani rad etish uchun tegishli ishonch oraliqlari bir-biriga mos kelmasligi kerak.

Imtihonni 2 va 5 baholar bilan topshirgan guruhlardagi o'rtacha bosish vaqti farqi uchun ishonch oralig'ini topamiz. O'rtacha ko'rsatkichlar farqi: 162,19 – 156,55 = 5,64. Talaba koeffitsienti: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Guruh standart og'ishlari quyidagilarga teng bo'ladi: ; . O'rtachalar orasidagi farqning o'rtacha xatosini hisoblaymiz: . Ishonch oralig'i: =(5,64-1,982*2,87; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044; 11,33).

Shunday qilib, imtihonni 2 va 5 ball bilan topshirgan guruhlarda o'rtacha bosish vaqtining farqi -0,044 ms dan 11,33 ms gacha bo'ladi. Bu interval nolni o'z ichiga oladi, ya'ni. Imtihonni yaxshi topshirganlar uchun o'rtacha bosim vaqti imtihonni qoniqarsiz topshirganlarga nisbatan ko'payishi yoki kamayishi mumkin, ya'ni. nol gipotezani rad etib bo'lmaydi. Ammo nol pastki chegaraga juda yaqin va yaxshi o'tganlar uchun bosish vaqti qisqarishi ehtimoli ko'proq. Shunday qilib, biz 2 va 5 dan o'tganlar o'rtasida bosimning o'rtacha vaqtlarida hali ham farqlar mavjud degan xulosaga kelishimiz mumkin, biz o'rtacha vaqt o'zgarishini, o'rtacha vaqtning tarqalishini va namuna o'lchamlarini hisobga olgan holda ularni aniqlay olmadik.

Sinovning kuchi - noto'g'ri null gipotezasini rad etish ehtimoli, ya'ni. ular haqiqatda mavjud bo'lgan joylarda farqlarni toping.

Sinovning kuchi muhimlik darajasiga, guruhlar o'rtasidagi farqlarning kattaligiga, guruhlardagi qiymatlarning tarqalishiga va namunalar hajmiga qarab belgilanadi.

Talabalar uchun test va dispersiya tahlili Siz sezgirlik diagrammalaridan foydalanishingiz mumkin.

Mezonning kuchi kerakli guruhlar sonini oldindan aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.

Ishonch oralig'i taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymati berilgan ehtimol bilan qaysi chegaralar ichida joylashganligini ko'rsatadi.

Ishonch oraliqlaridan foydalanib, siz statistik gipotezalarni sinab ko'rishingiz va mezonlarning sezgirligi haqida xulosa chiqarishingiz mumkin.

ADABIYOT.

Glanz S. – 6,7-bob.

Rebrova O.Yu. – 112-114-bet, 171-173-bet, 234-238-bet.

Sidorenko E.V. – s.32-33.

Talabalarning o'z-o'zini tekshirish uchun savollar.

1. Mezonning kuchi qanday?

2. Qaysi hollarda mezon kuchini baholash kerak?

3. Quvvatni hisoblash usullari.

6. Ishonch oralig'i yordamida statistik gipotezani qanday tekshirish mumkin?

7. Ishonch oralig'ini hisoblashda mezonning kuchi haqida nima deyish mumkin?

Vazifalar.

Aytaylik, bizda ba'zi xususiyatlarning normal taqsimlanishiga ega bo'lgan juda ko'p miqdordagi narsalar mavjud (masalan, bir xil turdagi sabzavotlarning to'liq ombori, ularning hajmi va og'irligi o'zgaradi). Siz tovarlarning butun partiyasining o'rtacha xususiyatlarini bilmoqchisiz, lekin sizda har bir sabzavotni o'lchash va tortish uchun vaqt ham, xohish ham yo'q. Bu kerak emasligini tushunasiz. Lekin aniq tekshirish uchun qancha dona olish kerak?

Ushbu vaziyat uchun foydali bo'lgan bir nechta formulalarni berishdan oldin, ba'zi belgilarni eslaylik.

Birinchidan, agar biz sabzavotlarning butun omborini o'lchagan bo'lsak (bu elementlar to'plami umumiy populyatsiya deb ataladi), unda biz butun partiyaning o'rtacha og'irligini barcha aniqlik bilan bilib olamiz. Keling, buni o'rtacha deb ataymiz X o'rtacha .g uz . - umumiy o'rtacha. Agar uning o'rtacha qiymati va og'ish s ma'lum bo'lsa, nima to'liq aniqlanishini biz allaqachon bilamiz . To'g'ri, biz X o'rtacha gen emasmiz s Biz umumiy aholini bilmaymiz. Biz faqat ma'lum bir namunani olamiz, kerakli qiymatlarni o'lchaymiz va bu namuna uchun o'rtacha X o'rtacha qiymatni va S sel standart og'ishini hisoblaymiz.

Ma'lumki, agar bizning namunaviy tekshiruvimiz ko'p sonli elementlarni o'z ichiga olsa (odatda n 30 dan katta bo'lsa) va ular olinadi. haqiqatan ham tasodifiy, keyin s umumiy aholi S tanlovidan deyarli farq qilmaydi ..

Bundan tashqari, normal taqsimot uchun biz quyidagi formulalardan foydalanishimiz mumkin:

95% ehtimol bilan

99% ehtimol bilan

IN umumiy ko'rinish P (t) ehtimolligi bilan

Ishonch oralig'ini bilmoqchi bo'lgan t qiymati va ehtimollik qiymati P (t) o'rtasidagi munosabatni quyidagi jadvaldan olish mumkin:

Shunday qilib, biz aholi uchun o'rtacha qiymat qaysi diapazonda yotishini aniqladik (ma'lum bir ehtimollik bilan).

Agar bizda etarlicha katta namuna bo'lmasa, populyatsiyada s = bor deb ayta olmaymiz S tanlang Bundan tashqari, bu holda namunaning normal taqsimotga yaqinligi muammoli. Bu holda biz o'rniga S select dan ham foydalanamiz s formulada:

lekin belgilangan ehtimollik P(t) uchun t ning qiymati n namunadagi elementlar soniga bog‘liq bo‘ladi. n qanchalik katta bo'lsa, natijada olingan ishonch oralig'i (1) formulada berilgan qiymatga yaqinroq bo'ladi. Bu holda t qiymatlari boshqa jadvaldan olingan ( Talabaning t-testi), biz quyida taqdim etamiz:

0,95 va 0,99 ehtimollik uchun talabaning t-test qiymatlari

3-misol. Tasodifiy yo‘l bilan kompaniya xodimlaridan 30 kishi tanlab olindi. Namunaga ko'ra, o'rtacha ish haqi (oyiga) 5 ming rubl standart og'ish bilan 30 ming rubl ekanligi ma'lum bo'ldi. 0,99 ehtimollik bilan kompaniyadagi o'rtacha ish haqini aniqlang.

Yechim: Shart bo'yicha bizda n = 30, X avg. =30000, S=5000, P = 0,99. Ishonch oralig'ini topish uchun Student t testiga mos keladigan formuladan foydalanamiz. n = 30 va P = 0,99 uchun jadvalga muvofiq biz t = 2,756 ni topamiz, shuning uchun,

bular. qidirilayotgan ishonchli vakil interval 27484< Х ср.ген < 32516.

Shunday qilib, 0,99 ehtimollik bilan aytishimiz mumkinki, interval (27484; 32516) kompaniyadagi o'rtacha ish haqini o'z ichiga oladi.

Umid qilamizki, siz ushbu usuldan foydalanasiz va har safar yoningizda stol bo'lishi shart emas. Excelda hisob-kitoblar avtomatik ravishda amalga oshirilishi mumkin. Excel faylida yuqori menyudagi fx tugmasini bosing. Keyin, funksiyalar orasidan "statistik" turini tanlang va oynadagi taklif qilingan ro'yxatdan - STUDAR DISCOVER. Keyin, kursorni "ehtimollik" maydoniga qo'yib, teskari ehtimollik qiymatini kiriting (ya'ni, bizning holatlarimizda 0,95 ehtimollik o'rniga 0,05 ehtimolligini kiritish kerak). Aftidan elektron jadval natija qanday ehtimollik bilan xato qilishimiz mumkinligi haqidagi savolga javob beradigan tarzda tuzilgan. Xuddi shunday, Erkinlik darajasi maydoniga namunangiz uchun qiymatni (n-1) kiriting.

Matematik kutish uchun ishonch oralig'i - bu ma'lum ehtimollik bilan umumiy aholining matematik kutishlarini o'z ichiga olgan ma'lumotlardan hisoblangan interval. Matematik kutishning tabiiy bahosi uning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi. Shuning uchun dars davomida biz "o'rtacha" va "o'rtacha qiymat" atamalaridan foydalanamiz. Ishonch oralig'ini hisoblash muammolarida eng ko'p talab qilinadigan javob "O'rtacha [ma'lum bir muammodagi qiymat] ishonch oralig'i [kichikroq qiymatdan] [kattaroq qiymatga]" kabi javobdir. Ishonch oralig'idan foydalanib, siz nafaqat o'rtacha qiymatlarni, balki umumiy aholining ma'lum bir xarakteristikasining ulushini ham baholashingiz mumkin. O'rtachalar, farqlar, standart og'ish va yangi ta'riflar va formulalarga erishishimiz mumkin bo'lgan xatolar darsda muhokama qilinadi Namuna va populyatsiyaning xususiyatlari .

O'rtachaning nuqta va intervalli baholari

Agar populyatsiyaning o'rtacha qiymati raqam (nuqta) bilan baholansa, u holda populyatsiyaning noma'lum o'rtacha qiymatini baholash sifatida kuzatishlar tanlamasidan hisoblangan aniq o'rtacha qiymat olinadi. Bunday holda, tanlanma o'rtacha qiymati - tasodifiy o'zgaruvchi - umumiy populyatsiyaning o'rtacha qiymatiga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, namunaviy o'rtachani ko'rsatayotganda, siz bir vaqtning o'zida namuna olish xatosini ko'rsatishingiz kerak. Namuna olish xatosining o'lchovi standart xato bo'lib, u o'rtacha bir xil birliklarda ifodalanadi. Shuning uchun ko'pincha quyidagi belgi qo'llaniladi: .

Agar o'rtacha bahoni ma'lum bir ehtimollik bilan bog'lash kerak bo'lsa, u holda populyatsiyaga qiziqish parametri bitta raqam bilan emas, balki interval bilan baholanishi kerak. Ishonch oralig'i - bu ma'lum bir ehtimolga ega bo'lgan interval P taxminiy aholi ko'rsatkichining qiymati topiladi. Mumkin bo'lgan ishonch oralig'i P = 1 - α tasodifiy o'zgaruvchi topiladi, u quyidagicha hisoblanadi:

,

α = 1 - P, uni statistika bo'yicha deyarli har qanday kitobning ilovasida topish mumkin.

Amalda, aholi o'rtacha va dispersiya ma'lum emas, shuning uchun boshlanish dispersiyasi tanlama dispersiyasi bilan almashtiriladi va o'rtacha o'rtacha tanlov bilan almashtiriladi. Shunday qilib, ko'p hollarda ishonch oralig'i quyidagicha hisoblanadi:

.

Ishonch oralig'i formulasidan populyatsiyaning o'rtacha qiymatini baholash uchun foydalanish mumkin

• aholining standart og'ishi ma'lum;
• yoki populyatsiyaning standart og'ishi noma'lum, ammo tanlov hajmi 30 dan katta.

Tanlangan o'rtacha - bu aholi o'rtacha qiymatining xolis bahosi. O'z navbatida, namunaviy dispersiya aholi tafovutining xolis bahosi emas. Namuna dispersiyasi formulasidagi populyatsiya dispersiyasining xolis bahosini olish uchun, namuna hajmi n bilan almashtirilishi kerak n-1.

1-misol. Ma'lum bir shaharda tasodifiy tanlangan 100 ta kafedan ma'lumotlar to'plangan, ulardagi xodimlarning o'rtacha soni 10,5 standart og'ish bilan 4,6. Kafe xodimlarining soni uchun 95% ishonch oralig'ini aniqlang.

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .

Shunday qilib, kafe xodimlarining o'rtacha soni uchun 95% ishonch oralig'i 9,6 dan 11,4 gacha bo'lgan.

2-misol. 64 ta kuzatuv populyatsiyasidan tasodifiy tanlab olish uchun quyidagi umumiy qiymatlar hisoblab chiqilgan:

kuzatishlardagi qiymatlar yig'indisi,

qiymatlarning o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishlari yig'indisi .

Matematik kutish uchun 95% ishonch oralig'ini hisoblang.

Keling, standart og'ishni hisoblaylik:

,

Keling, o'rtacha qiymatni hisoblaymiz:

.

Biz qiymatlarni ishonch oralig'i ifodasiga almashtiramiz:

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .

Biz olamiz:

Shunday qilib, ushbu namunadagi matematik kutish uchun 95% ishonch oralig'i 7,484 dan 11,266 gacha bo'lgan.

3-misol. 100 ta kuzatuvdan iborat tasodifiy populyatsiya namunasi uchun hisoblangan o'rtacha 15,2 va standart og'ish 3,2 ni tashkil qiladi. Kutilgan qiymat uchun 95% ishonch oralig'ini, keyin esa 99% ishonch oralig'ini hisoblang. Agar namunaviy quvvat va uning o'zgarishi o'zgarishsiz qolsa va ishonch koeffitsienti oshsa, ishonch oralig'i torayadimi yoki kengayadimi?

Ushbu qiymatlarni ishonch oralig'i ifodasiga almashtiramiz:

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,05 .

Biz olamiz:

.

Shunday qilib, ushbu namunaning o'rtacha qiymati uchun 95% ishonch oralig'i 14,57 dan 15,82 gacha bo'lgan.

Biz yana ushbu qiymatlarni ishonch oralig'i ifodasiga almashtiramiz:

bu erda muhimlik darajasi uchun standart normal taqsimotning kritik qiymati α = 0,01 .

Biz olamiz:

.

Shunday qilib, ushbu namunaning o'rtacha qiymati uchun 99% ishonch oralig'i 14,37 dan 16,02 gacha bo'lgan.

Ko'rib turganimizdek, ishonch koeffitsienti ortishi bilan standart normal taqsimotning kritik qiymati ham ortadi va shuning uchun intervalning boshlang'ich va tugash nuqtalari o'rtacha qiymatdan uzoqroqda joylashgan va shuning uchun matematik kutish uchun ishonch oralig'i ortadi. .

O'ziga xos tortishishning nuqta va intervalli baholari

Ba'zi namunaviy atributlarning ulushini ball bahosi sifatida talqin qilish mumkin solishtirma og'irlik p umumiy populyatsiyada bir xil xususiyatga ega. Agar bu qiymatni ehtimollik bilan bog'lash kerak bo'lsa, unda o'ziga xos tortishishning ishonch oralig'ini hisoblash kerak. p ehtimollik bilan populyatsiyaga xos xususiyat P = 1 - α :

.

4-misol. Ba'zi shaharlarda ikkita nomzod bor A Va B hokimligi uchun da’vogarlik qilmoqda. 200 nafar shahar aholisi tasodifiy so‘rovnomada o‘tkazildi, ulardan 46 foizi nomzodga ovoz berishini aytdi. A, 26% - nomzod uchun B 28 foizi esa kimga ovoz berishini bilmaydi. Nomzodni qo'llab-quvvatlagan shahar aholisining ulushi uchun 95% ishonch oralig'ini aniqlang A.