Tangens metodunun həlli nümunəsi. Kurs işi: Qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün Nyuton üsulu



Açar sözlər:

İşin məqsədi: bir naməlum olan qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarını öyrənmək və onları eksperimental işdə yoxlamaq.

İş məqsədləri:

1. Təhlil edin xüsusi ədəbiyyat və dərindən öyrənməyə və mənimsəməyə imkan verən qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün ən rasional üsulları seçin bu mövzu bütün orta məktəb məzunları.
2. İKT-dən istifadə etməklə qeyri-xətti tənliklərin həlli metodologiyasının bəzi aspektlərini işləyib hazırlayın.
3. Qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarını araşdırın:

‒ Addım metodu

‒ Yarımlama üsulu

‒ Nyuton metodu

Giriş.

Riyazi savad olmadan fizika, kimya, biologiya və digər fənlərdən məsələlərin həlli üsullarını uğurla mənimsəmək mümkün deyil. Bütün təbiət elmləri kompleksi riyazi biliklər əsasında qurulur və inkişaf etdirilir. Məsələn, riyazi fizikanın bir sıra aktual problemlərinin öyrənilməsi qeyri-xətti tənliklərin həlli zərurətinə səbəb olur. Qeyri-xətti tənliklərin həlli qeyri-xətti optikada, plazma fizikasında, superkeçiricilik nəzəriyyəsində və aşağı temperatur fizikasında zəruridir. Bu mövzuda kifayət qədər ədəbiyyat var, lakin bir çox dərslik və məqalələr orta məktəb şagirdi üçün çətin başa düşülür. Bu yazıda fizika və kimyada tətbiqi məsələlərin həllində istifadə oluna bilən qeyri-xətti tənliklərin həlli üsulları müzakirə olunur. Maraqlı bir cəhət tətbiqdir informasiya texnologiyaları riyaziyyatda tənliklərin və məsələlərin həllinə.

Addım üsulu.

F(x)=0 formalı qeyri-xətti tənliyi həll etmək lazım gəlsin. Bizə müəyyən axtarış intervalı verildiyini də fərz edək. Axtarış intervalının sol sərhədindən başlayaraq tənliyin birinci kökünü ehtiva edən h uzunluğunda [a,b] intervalını tapmaq tələb olunur.

düyü. 1. Addım metodu

Belə bir problemi həll etməyin bir neçə yolu var. Addım metodu bərabərsizliklərin həlli üçün ədədi üsulların ən sadəsidir, lakin yüksək dəqiqliyə nail olmaq üçün addımı əhəmiyyətli dərəcədə azaltmaq lazımdır və bu, hesablama vaxtını xeyli artırır. istifadə edərək tənliklərin həlli alqoritmi bu üsul iki mərhələdən ibarətdir.

Imərhələ. Kök ayırma.

Bu mərhələdə hər biri tənliyin yalnız bir kökünü ehtiva edən bölmələr müəyyən edilir. Bu mərhələni həyata keçirmək üçün bir neçə variant var:

• X dəyərlərini əvəz edirik (tercihen kifayət qədər kiçik bir addımla) və funksiyanın işarəni harada dəyişdiyini görürük. Əgər funksiya işarəsini dəyişibsə, bu o deməkdir ki, X-in əvvəlki və cari qiyməti arasındakı sahədə kök var (əgər funksiya onun artım/azalmasının xarakterini dəyişmirsə, onda yalnız bir olduğunu deyə bilərik. bu intervalda kök).
• Qrafik üsul. Qrafik qururuq və bir kökün hansı intervallarda yerləşdiyini qiymətləndiririk.
• Müəyyən bir funksiyanın xüsusiyyətlərini araşdıraq.

IImərhələ. Köklərin dəqiqləşdirilməsi.

Bu mərhələdə əvvəllər müəyyən edilmiş tənliyin köklərinin mənası aydınlaşdırılır. Bu mərhələdə bir qayda olaraq iterativ üsullardan istifadə edilir. Məsələn, metod yarım bölgü(dixotomiyalar) və ya Nyuton üsulu.

Yarım bölmə üsulu

Tənliklərin həlli üçün sürətli və kifayət qədər sadə ədədi üsul, müəyyən edilmiş E dəqiqliyinə nail olunana qədər F(x) = 0 tənliyinin yeganə kökünü ehtiva edən intervalın ardıcıl daralmasına əsaslanır.Bu üsul adətən həll edərkən istifadə olunur. kvadrat tənliklər və daha yüksək dərəcəli tənliklər. Lakin bu metodun əhəmiyyətli çatışmazlığı var - əgər [a,b] seqmentində birdən çox kök varsa, o zaman yaxşı nəticələr əldə edə bilməyəcək.

düyü. 2. Dixotomiya üsulu

Bu metodun alqoritmi aşağıdakı kimidir:

‒ [a;b] seqmentinin ortasındakı x kökünün yeni yaxınlaşmasını təyin edin: x=(a+b)/2.

‒ a və x nöqtələrində funksiyanın qiymətlərini tapın: F(a) və F(x).

‒ F(a)*F(x) şərtini yoxlayın

‒ 1-ci addıma keçin və yenidən seqmenti yarıya bölün. |F(x)| şərtinə qədər alqoritmi davam etdirin

Nyuton üsulu

Ədədi həll üsullarından ən dəqiqi; çox mürəkkəb tənliklərin həlli üçün uyğundur, lakin hər addımda törəmələrin hesablanması ehtiyacı ilə çətinləşir. odur ki, əgər x n tənliyin kökünə hansısa yaxınlaşmadırsa , onda növbəti yaxınlaşma x n nöqtəsində çəkilmiş f(x) funksiyasına toxunan kök kimi müəyyən edilir.

x n nöqtəsində f(x) funksiyasına toxunan tənlik aşağıdakı formaya malikdir:

Tangens tənliyində y = 0 və x = x n +1 qoyuruq.

Sonra Nyuton metodunda ardıcıl hesablamalar üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

Tangens metodunun yaxınlaşması kvadratdır, yaxınlaşma sırası 2-dir.

Beləliklə, Nyutonun tangens metodunun yaxınlaşması çox sürətlidir.

Heç bir dəyişiklik edilmədən metod mürəkkəb hal üçün ümumiləşdirilir. Əgər x i kökü ikinci çoxluğun kökü və ya daha yüksəkdirsə, onda yaxınlaşma sırası aşağı düşür və xətti olur.

Nyuton metodunun çatışmazlıqları onun lokallığını əhatə edir, çünki şərt hər yerdə təmin edildikdə, ixtiyari başlanğıc yaxınlaşması üçün yaxınlaşmağa zəmanət verilir. , əks vəziyyətdə konvergensiya yalnız kökün müəyyən qonşuluğunda baş verir.

Tənlik qurulduqda adətən Nyuton üsulu (tangens metodu) istifadə olunur f(x) = 0 kökə malikdir və aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilir:

1) funksiya y=f(x) müəyyən edilmiş və davamlı olaraq;

2) f(a) f(b) (funksiya seqmentin sonunda müxtəlif işarələrin qiymətlərini alır [ a;b]);

3) törəmələr f"(x) Və f""(x) intervalda işarəni qoruyun [ a;b] (yəni funksiya f(x) seqmentdə ya artır, ya da azalır [ a;b], qabarıqlığın istiqamətini saxlayaraq);

Metodun mənası belədir: seqmentdə [ a;b] belə bir nömrə seçilir x 0 , hansında f(x 0) ilə eyni işarəyə malikdir f""(x 0), yəni şərt təmin edilir f(x 0) f""(x) > 0. Beləliklə, absis ilə nöqtə seçilir x 0, burada əyriyə toxunan y=f(x) seqmentdə [ a;b] oxu ilə kəsişir öküz. Nöqtə başına x 0 Birincisi, seqmentin uclarından birini seçmək rahatdır.

Bu alqoritmi konkret misaldan istifadə edərək nəzərdən keçirək.

Bizə artan funksiya verilsin y = f(x) =x 2– 2, seqment üzrə davamlı (0;2) və olan f "(x) =2x>0 Və f ""(x) = 2> 0.

Bizim vəziyyətimizdə tangens tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN x 0 nöqtəsi olaraq nöqtəni seçirik B 1 (b; f(b)) = (2,2). Funksiyaya bir tangens çəkin y = f(x) B nöqtəsində 1 və tangens ilə oxun kəsişmə nöqtəsini qeyd edin öküz nöqtə x 1. Birinci tangensin tənliyini alırıq: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Öküz: x 1 =

düyü. 3. f(x) funksiyasının qrafikinə birinci tangensin qurulması

y=f(x) öküz nöqtəsi vasitəsilə x 1, nöqtəni anlayırıq B 2 =(1,5; 0,25). Funksiyaya yenidən tangens çəkin y = f(x) B nöqtəsində 2 və tangensin kəsişmə nöqtəsini işarələyin və öküz nöqtə x 2.

İkinci tangensin tənliyi: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Tangens və oxun kəsişmə nöqtəsi Öküz: x 2 =.

Sonra funksiyanın kəsişmə nöqtəsini tapırıq y=f(x) və oxa çəkilmiş perpendikulyar öküz x 2 nöqtəsi vasitəsilə B 3 nöqtəsini alırıq və s.

düyü. 4. f(x) funksiyasının qrafikinə ikinci tangensin qurulması

Kökün ilk yaxınlaşması düsturla müəyyən edilir:

= 1.5.

Kökün ikinci yaxınlaşması düsturla müəyyən edilir:

=

Kökün üçüncü yaxınlaşması düsturla müəyyən edilir:

Beləliklə , i Kökün yaxınlaşdırılması düsturla müəyyən edilir:

Hesablamalar cavabda lazım olan onluq yerlər uyğun gələnə və ya göstərilən dəqiqliyə çatana qədər aparılır - bərabərsizlik təmin olunana qədər |xi-xi-1|

Bizim vəziyyətimizdə üçüncü addımda əldə edilən təxminatı real cavabla müqayisə edək. Gördüyünüz kimi, artıq üçüncü addımda biz 0.000002-dən az xəta aldıq.

CAD istifadə edərək tənliyin həlliMathCAD

Formanın ən sadə tənlikləri üçün f(x) = 0 funksiyasından istifadə etməklə MathCAD-də həll tapılır kök.

kök (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - dəyəri qaytarır X 1 , seqmentinə aiddir [ a, b ] ifadəsi və ya funksiyası olan f (X ) 0-a keçir. Bu funksiyanın hər iki arqumenti skalyar olmalıdır. Funksiya skalyar qaytarır.

düyü. 5. MathCAD-də qeyri-xətti tənliyin həlli (kök funksiyası)

Bu funksiyanın tətbiqi nəticəsində xəta baş verərsə, bu o demək ola bilər ki, tənliyin kökləri yoxdur və ya tənliyin kökləri ilkin yaxınlaşmadan uzaqda yerləşir, ifadə yerli maks Və min ilkin yaxınlaşma və köklər arasında.

Xətanın səbəbini müəyyən etmək üçün funksiyanın qrafikini araşdırmaq lazımdır f(x). Bu, tənliyin köklərinin mövcudluğunu tapmağa kömək edəcəkdir f(x) = 0 və əgər varsa, təxminən onların dəyərlərini müəyyənləşdirin. Kökün ilkin yaxınlaşması nə qədər dəqiq seçilərsə, onun dəqiq dəyəri bir o qədər tez tapılacaqdır.

İlkin yaxınlaşma naməlumdursa, o zaman funksiyadan istifadə etmək məsləhətdir həll etmək . Üstəlik, tənlikdə bir neçə dəyişən varsa, sonrasını göstərməlisiniz açar söz həll tənliyin həll olunduğu dəyişənlərin siyahısıdır.

düyü. 6. MathCAD-də qeyri-xətti tənliyin həlli (həll funksiyası)

Nəticə

Tədqiqat necə araşdırıldı riyazi üsullar, və MathCAD CAD sistemində proqramlaşdırmadan istifadə edərək tənliklərin həlli. Müxtəlif üsullaröz üstünlükləri və mənfi cəhətləri var. Nəzərə almaq lazımdır ki, konkret metoddan istifadə verilən tənliyin ilkin şərtlərindən asılıdır. Məktəbdə məlum olan faktorlara ayırma üsulları və s. ilə yaxşı həll oluna bilən tənlikləri daha çox həll etməyin mənası yoxdur. mürəkkəb yollarla. Fizika və kimya üçün vacib olan və tənliklərin həlli zamanı mürəkkəb hesablama əməliyyatları tələb edən tətbiqi riyaziyyat problemləri, məsələn, proqramlaşdırmadan istifadə etməklə uğurla həll edilir. Onları Nyuton üsulu ilə həll etmək yaxşıdır.

Kökləri aydınlaşdırmaq üçün eyni tənliyi həll etmək üçün bir neçə üsuldan istifadə edə bilərsiniz. Bu işin əsasını məhz bu tədqiqat təşkil etmişdir. Eyni zamanda, tənliyin hər bir mərhələsini həll edərkən hansı üsulun daha uğurlu olduğunu və bu mərhələdə hansı metoddan istifadə etməməyin daha yaxşı olduğunu asanlıqla görmək olar.

Öyrənilən material, bir tərəfdən, riyazi bilikləri genişləndirməyə və dərinləşdirməyə kömək edir, riyaziyyata maraq aşılayır. Digər tərəfdən, texniki və mühəndislik peşələrinə yiyələnməyi planlaşdıranlar üçün real riyaziyyat problemlərini həll edə bilmək vacibdir. Buna görə də bu işüçün vacibdir əlavə təhsil(məsələn, ali təhsil müəssisəsində).

Ədəbiyyat:

1. Mityakov S. N. İnformatika. Kompleks tədris materialları. - N. Novqorod: Nijni Novqorod. dövlət texnologiya. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Qeyri-xətti tənliklərin budaqlanan həlləri nəzəriyyəsi. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Mühəndislər və texniki kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Riyaziyyat: dərslik. - Rostov n/d.: Feniks, 2005.
5. Savin A.P. ensiklopedik lüğət gənc riyaziyyatçı. - M.: Pedaqogika, 1989.
6. Korn G., Korn T. Alimlər və mühəndislər üçün riyaziyyat kitabçası. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt-Peterburq: BHV-Peterburq, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mathcad əsasında ali riyaziyyat. Ümumi kurs. - Sankt-Peterburq: BHV-Peterburq, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad əsasında ədədi üsullar. - Sankt-Peterburq: BHV-Peterburq, 2012.

Açar sözlər: qeyri-xətti tənliklər, tətbiqi riyaziyyat, CAD MathCAD, Nyuton metodu, addım metodu, dixotomiya metodu..

Annotasiya: Məqalə qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarının, o cümlədən MathCAD kompüter dəstəkli dizayn sistemindən istifadənin öyrənilməsinə həsr edilmişdir. Addım metodu, yarım və Nyuton üsulları nəzərdən keçirilir, bu metodların tətbiqi üçün ətraflı alqoritmlər verilir və müqayisəli təhlil müəyyən edilmiş üsullar.

Nyuton metodu (həmçinin tangens metodu kimi tanınır) verilmiş funksiyanın kökünü (sıfır) tapmaq üçün təkrarlanan ədədi üsuldur. Metod ilk dəfə ingilis fiziki, riyaziyyatçısı və astronomu İsaak Nyuton (1643-1727) tərəfindən təklif edilmiş və adı ilə məşhurlaşmışdır.

Metod İsaak Nyuton tərəfindən De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Haqqında sonsuz sıra tənlikləri ilə analiz), 1669-cu ildə Barrouya ünvanlanmış və De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latınca: fluxions və sonsuz sıralar metodu) və ya Geometria analytica ( lat.Analitik həndəsə) 1671-ci ildə yazılmış Nyutonun toplanmış əsərlərində. Bununla belə, metodun təsviri onun hazırkı təqdimatından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənirdi: Nyuton öz metodunu yalnız çoxhədlilərə tətbiq etdi. O, x n-in ardıcıl yaxınlaşmalarını deyil, çoxhədlilər ardıcıllığını hesablamış və nəticədə x-in təxmini həllini almışdır.

Metod ilk dəfə 1685-ci ildə Con Uollis tərəfindən "Cəbr" traktatında dərc edilmiş, onun xahişi ilə Nyutonun özü qısaca təsvir etmişdir. 1690-cı ildə Cozef Rafson özünün Analysis aequationum universalis (lat. Ümumi təhlil tənliklər). Rafson Nyutonun metodunu sırf cəbri hesab etdi və onun istifadəsini çoxhədlilərlə məhdudlaşdırdı, lakin o, metodu Nyutonun istifadə etdiyi çoxhədlilərin başa düşülməsi daha çətin ardıcıllığı əvəzinə x n ardıcıl yaxınlaşmaları baxımından təsvir etdi.

Nəhayət, 1740-cı ildə Nyuton metodu Tomas Simpson tərəfindən burada göstərildiyi kimi törəmələrdən istifadə edərək qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün birinci dərəcəli iterativ üsul kimi təsvir edilmişdir. Eyni nəşrdə Simpson metodu iki tənlik sistemi halına ümumiləşdirdi və qeyd etdi ki, Nyuton metodu törəmə və ya qradiyentin sıfırını tapmaqla optimallaşdırma məsələlərini həll etmək üçün də tətbiq oluna bilər.

Bu üsula uyğun olaraq, funksiyanın kökünü tapmaq vəzifəsi funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensin x oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaq vəzifəsinə endirilir.

Şəkil 1 . Funksiya dəyişikliyi qrafiki

Funksiya qrafikinin hər hansı bir nöqtəsinə çəkilmiş tangens xətti bu funksiyanın baxılan nöqtədə törəməsi ilə müəyyən edilir, bu da öz növbəsində α () bucağının tangensi ilə müəyyən edilir. Teğetin absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsi aşağıdakı əlaqə əsasında müəyyən edilir düz üçbucaq: bucaq tangensidüzbucaqlı üçbucağın qarşı tərəfinin bitişik tərəfinə nisbəti ilə müəyyən edilir. Beləliklə, hər addımda növbəti yaxınlaşma nöqtəsində funksiyanın qrafikinə tangens qurulur. . Tangensin oxla kəsişmə nöqtəsiöküz növbəti yanaşma nöqtəsi olacaq. Baxılan üsula uyğun olaraq, kökün təxmini dəyərinin hesablanmasıi-iterasiyalar aşağıdakı düstura görə aparılır:

Düz xəttin yamacı hər addımda ən yaxşı şəkildə tənzimlənir, lakin alqoritmin qrafikin əyriliyini nəzərə almadığına və buna görə də hesablama zamanı naməlum qalmasına diqqət yetirməlisiniz. qrafikin hansı istiqamətdə yayına biləcəyi.

İterativ prosesin başa çatması üçün şərt aşağıdakı şərtin yerinə yetirilməsidir:

Harada ˗ kökün müəyyən edilməsində yol verilən xəta.

Metod kvadratik yaxınlaşmaya malikdir. Kvadrat yaxınlaşma dərəcəsi o deməkdir ki, yaxınlaşmada düzgün işarələrin sayı hər iterasiya ilə iki dəfə artır.

Riyazi əsaslandırma

Həqiqi funksiya verilsin, baxılan sahədə müəyyən edilmiş və davamlıdır. Sözügedən funksiyanın əsl kökünü tapmaq lazımdır.

Tənliyin əldə edilməsi metoda əsaslanır sadə iterasiyalar, buna görə tənlik istənilən funksiya üçün ekvivalent tənliyə endirilir. Münasibəti ilə müəyyən edilən daralma xəritəsi anlayışını təqdim edək.

Metodun ən yaxşı yaxınlaşması üçün şərt növbəti yaxınlaşma nöqtəsində təmin edilməlidir. Bu tələb o deməkdir ki, funksiyanın kökü funksiyanın ekstremumuna uyğun olmalıdır.

Büzülmə xəritəsinin törəməsiaşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Bu ifadədən dəyişəni ifadə edəkşərti təmin etmək lazım olduqda əvvəllər qəbul edilmiş ifadəyə tabedir. Nəticədə dəyişəni təyin etmək üçün bir ifadə əldə edirik:

Bunu nəzərə alaraq, sıxılma funksiyası aşağıdakı kimidir:

Beləliklə, tənliyin ədədi həllini tapmaq üçün alqoritm iterativ hesablama proseduruna endirilir:

Metoddan istifadə edərək qeyri-xətti tənliyin kökünün tapılması alqoritmi

1. Funksiya kökünün təxmini dəyərinin başlanğıc nöqtəsini təyin edin, həmçinin hesablama xətası (kiçik müsbət ədəd) və ilkin iterasiya addımı ().

2. Düstura uyğun olaraq funksiyanın kökünün təxmini qiymətini hesablayın:

3. Aşağıdakı hallarda kökün təxmini dəyərini göstərilən dəqiqlik üçün yoxlayırıq:

Ardıcıl iki yaxınlaşma arasındakı fərq göstərilən dəqiqlikdən az olarsa, iterativ proses başa çatır.

Əgər ardıcıl iki yaxınlaşma arasındakı fərq lazımi dəqiqliyə çatmazsa, o zaman təkrarlama prosesini davam etdirmək və nəzərdən keçirilən alqoritmin 2-ci pilləsinə keçmək lazımdır.

Tənliklərin həlli nümunəsi

üsulu iləBir dəyişənli tənlik üçün Nyuton

Nümunə olaraq metoddan istifadə edərək qeyri-xətti tənliyin həllini nəzərdən keçirəkBir dəyişənli tənlik üçün Nyuton. Kök ilk təxmini olaraq dəqiqliklə tapılmalıdır.

Proqram paketində qeyri-xətti tənliyin həlli variantıMathCADŞəkil 3-də təqdim olunur.

Hesablama nəticələri, yəni kökün təxmini dəyərindəki dəyişikliklərin dinamikası, həmçinin iterasiya addımından asılı olaraq hesablama xətaları qrafik formada təqdim olunur (bax. Şəkil 2).

Şəkil 2. Bir dəyişənli tənlik üçün Nyuton metodundan istifadə edərək hesablama nəticələri

Diapazonda tənliyin kökünün təxmini dəyərini axtararkən göstərilən dəqiqliyi təmin etmək üçün 4 təkrarlama aparmaq lazımdır. Son təkrarlama addımında qeyri-xətti tənliyin kökünün təxmini qiyməti aşağıdakı qiymətlə müəyyən ediləcək: .

şək.3 . Proqram siyahısıMathCad

Bir dəyişənli tənlik üçün Nyuton metodunun modifikasiyası

Nyuton metodunun hesablama prosesini sadələşdirməyə yönəlmiş bir neçə modifikasiyası var.

Sadələşdirilmiş Nyuton metodu

Nyuton metoduna uyğun olaraq hər təkrarlama pilləsində f(x) funksiyasının törəməsini hesablamaq lazımdır ki, bu da hesablama xərclərinin artmasına səbəb olur. Hər hesablama addımında törəmənin hesablanması ilə bağlı xərcləri azaltmaq üçün düsturun x n nöqtəsindəki f’(x n) törəməsini x 0 nöqtəsində f’(x 0) törəməsi ilə əvəz edə bilərsiniz. Bu hesablama metoduna uyğun olaraq, kökün təxmini dəyəri aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:Dəyişdirilmiş Nyuton metodu

Nyutonun fərq metodu

Nəticədə f(x) funksiyasının kökünün təxmini qiyməti Nyutonun fərq metodunun ifadəsi ilə müəyyən ediləcək:

Nyutonun iki addımlı metodu

Nyuton metoduna uyğun olaraq hər təkrarlama addımında f(x) funksiyasının törəməsini hesablamaq lazımdır ki, bu da həmişə əlverişli deyil və bəzən praktiki olaraq qeyri-mümkündür. Bu üsul funksiyanın törəməsini fərq nisbəti (təxmini dəyər) ilə əvəz etməyə imkan verir:

Nəticədə f(x) funksiyasının kökünün təxmini qiyməti aşağıdakı ifadə ilə təyin olunacaq:

Harada

Şəkil 5 . Nyutonun iki addımlı metodu

Sekant metodu iki addımlı üsuldur, yəni yeni yaxınlaşmadırəvvəlki iki təkrarlama ilə müəyyən edilir Və . Metod iki ilkin yaxınlaşmanı müəyyən etməlidir Və . Metodun yaxınlaşma dərəcəsi xətti olacaqdır.

• Geri
• İrəli

Məqaləyə öz şərhinizi əlavə etmək üçün saytda qeydiyyatdan keçin.

2. Qeyri-xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Nyuton üsulu.

Bu üsul sadə iterasiya metodundan daha sürətli yaxınlaşmaya malikdir. Nyutonun tənliklər sistemi üçün metodu (1.1) funksiyanın genişləndirilməsinin istifadəsinə əsaslanır

, Harada
(2.1)

Taylor seriyasında, ikinci və ya daha çoxunu ehtiva edən şərtlərlə yüksək sifarişlər törəmələri atılır. Bu yanaşma birini həll etməyə imkan verir qeyri-xətti sistem(1.1) bir sıra xətti sistemlərin həlli ilə əvəz olunur.

Beləliklə, (1.1) sistemini Nyuton üsulu ilə həll edəcəyik. D bölgəsində istənilən nöqtəni seçin
və onu orijinal sistemin dəqiq həllinə sıfır yaxınlaşması adlandırın. İndi gəlin (2.1) funksiyalarını nöqtənin qonşuluğunda Taylor seriyasına genişləndirək. Olacaq

Çünki (2.2)-nin sol tərəfləri (1.1)-ə uyğun olaraq yox olmalıdır, sonra (2.2)-nin sağ tərəfləri də yox olmalıdır. Buna görə də (2.2)-dən əldə etdik

(2.3)-dəki bütün qismən törəmələr nöqtədə hesablanmalıdır.

(2.3) xətti sistemdir cəbri tənliklər naməlumlara nisbətən Bu sistem Kramer üsulu ilə həll edilə bilər, əgər onun əsas determinantı sıfırdan fərqlidirsə və kəmiyyətlər tapıla bilər.

İndi koordinatlarla ilk yaxınlaşmanı qurmaqla sıfır yaxınlaşmasını dəqiqləşdirə bilərik.

olanlar.
. (2.6)

(2.6) təqribinin kifayət qədər dəqiqliklə əldə edilib-edilmədiyini öyrənək. Bunun üçün şərti yoxlayaq

,
(2.7)

Harada əvvəlcədən müəyyən edilmiş kiçik müsbət ədəd (sistemin (1.1) həll edilməli olduğu dəqiqlik). Əgər (2.7) şərt yerinə yetirilirsə, onda (1.1) sisteminin təxmini həlli kimi (2.6) seçirik və hesablamaları tamamlayırıq. Əgər (2.7) şərti yerinə yetirilmirsə, onda aşağıdakı hərəkəti yerinə yetiririk. Sistemdə (2.3) əvəzinə
yenilənmiş dəyərləri götürək

, (2.8)

olanlar. gəl edək aşağıdakı hərəkətlər

. (2.9)

Bundan sonra (2.3) sistemi kəmiyyətlər üçün xətti cəbri tənliklər sistemi olacaq Bu kəmiyyətləri təyin etdikdən sonra növbəti ikinci yaxınlaşma
(1.1) sisteminin həllini düsturlardan istifadə edərək tapırıq

İndi vəziyyəti yoxlayaq (2.7)

Bu şərt yerinə yetirilərsə, (1.1) sistemin təxmini həlli kimi ikinci yaxınlaşmanı götürərək hesablamaları tamamlayırıq.
. Bu şərt yerinə yetirilməzsə, (2.3) şərtini götürərək növbəti yaxınlaşmanı qurmağa davam edirik.
Şərt təmin olunmayana qədər təxminlər qurmaq lazımdır.

(1.1) sisteminin həlli üçün Nyuton metodunun iş düsturlarını formada yazmaq olar.

Hesablama ardıcıllığı

Burada
sistemin həllidir

(2.11)-(2.13) düsturlarından istifadə edərək hesablama alqoritmini tərtib edək.

1. D bölgəsinə aid sıfır təxminini seçək.

2. Xətti cəbri tənliklər sistemində (2.13) təyin etdik
, A .

3. (2.13) sistemini həll edək və kəmiyyətləri tapaq
.

4. (2.12) düsturlarında qoyuruq
və növbəti yaxınlaşmanın komponentlərini hesablayın.

5. Şərti (2.7) yoxlayaq: (Bir neçə kəmiyyətin maksimumunun hesablanması alqoritminə baxın.)

6. Əgər bu şərt yerinə yetirilirsə, onda (1.1) sistemin təxmini həlli kimi təqribi seçərək hesablamaları tamamlayırıq. Bu şərt yerinə yetirilmirsə, 7-ci addıma keçin.

7. Qoyaq
hamı üçün.

8. 3-cü addımı yerinə yetirək, qoy
.

Həndəsi olaraq bu alqoritm aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Alqoritm. Maksimum bir neçə kəmiyyətin hesablanması.

Misal. İki tənlik sistemini həll etmək üçün Nyuton metodundan istifadə etməyi nəzərdən keçirək.

Nyuton metodundan istifadə edərək dəqiqliyə qədər həll edin aşağıdakı sistem qeyri-xətti tənliklər

, (2.14)

Burada
. Gəlin sıfıra yaxınlaşmanı seçək
, D oblastına aiddir. (2.3) xətti cəbri tənliklər sistemini quraq. O, oxşayacaq

(2.15)

işarə edək

(2.15) sistemini naməlumlara görə həll edək
məsələn, Kramer metodu. Kramerin düsturlarını formada yazırıq

(2.17)

sistemin əsas determinantı haradadır (2.15)

(2.18)

və (2.15) sisteminin köməkçi təyinediciləri formaya malikdir

.

Tapılan dəyərləri (2.16) ilə əvəz edirik və birinci yaxınlaşmanın komponentlərini tapırıq.
sistemin həllinə (2.15).

Vəziyyəti yoxlayaq

, (2.19)

əgər bu şərt yerinə yetirilərsə, onda (2.15) sistemin təxmini həlli kimi birinci yaxınlaşmanı götürərək hesablamaları tamamlayırıq, yəni.
. Əgər (2.19) şərti təmin edilmirsə, onda təyin edirik
,
və biz quracağıq yeni sistem xətti cəbri tənliklər (2.15). Onu həll etdikdən sonra ikinci yaxınlaşmanı tapırıq
. Bunu yoxlayaq. Əgər bu şərt yerinə yetirilirsə, onda biz (2.15) sistemin təxmini həlli kimi seçirik.
. Şərt təmin edilmirsə, biz təyin edirik
,
tapmaq üçün aşağıdakı sistemi (2.15) qurun
və s.

Tapşırıqlar

Bütün tapşırıqlar tələb edir:

Təklif olunan alqoritmə uyğun olaraq metodun ədədi icrası üçün proqram tərtib edin.

Hesablama nəticələrini əldə edin.

Nəticələrinizi yoxlayın.

İki qeyri-xətti tənlik sistemi verilmişdir.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Fəsil 3. Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün ədədi üsullar (SLAE).

İşin məqsədi. SLAE-lərin həlli üçün bəzi təxmini üsullarla tanışlıq və onların kompüterdə ədədi tətbiqi.

İlkin qeydlər. SLAE-nin həlli üçün bütün üsullar adətən ikiyə bölünür böyük qruplar. Birinci qrupa adətən dəqiq adlandırılan üsullar daxildir. Bu üsullar bizə istənilən sistem üçün tapmağa imkan verir dəqiq dəyərlər hər biri dəqiq yerinə yetirilən sonlu sayda arifmetik əməliyyatdan sonra naməlumlar.

İkinci qrupa dəqiq olmayan bütün üsullar daxildir. Onlar iterativ və ya ədədi və ya təqribi adlanır. Bu cür üsullardan istifadə edərkən dəqiq həll sonsuz yaxınlaşma prosesi nəticəsində əldə edilir. Bu cür metodların cəlbedici xüsusiyyəti onların öz-özünə düzəldilməsi və PC-də həyata keçirilməsinin asanlığıdır.

SLAE-lərin həlli üçün bəzi təxmini üsulları nəzərdən keçirək və onların ədədi icrası üçün alqoritmlər quraq. Biz SLAE-nin təxmini həllini - dəqiqliyi ilə əldə edəcəyik, burada çox kiçik müsbət ədəddir.

1. İterasiya üsulu.

SLAE formada verilsin

(1.1)

Bu sistem matris şəklində yazıla bilər

, (1.2)

Harada
- sistemdə naməlumlar üçün əmsallar matrisi (1.1),
- pulsuz üzvlərin sütunu,
- sistemin naməlumlar sütunu (1.1).

. (1.3)

(1.1) sistemini iterasiya üsulu ilə həll edək. Bunun üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirəcəyik.

Birincisi. Gəlin sıfıra yaxınlaşmanı seçək

(1.4)

(1.1) sisteminin dəqiq həllinə (1.3). Sıfır yaxınlaşmasının komponentləri istənilən ədəd ola bilər. Lakin sıfıra yaxınlaşmanın komponentləri üçün hər iki sıfırı götürmək daha rahatdır
, və ya sistemin pulsuz şərtləri (1.1)

İkincisi. Sıfır yaxınlaşmasının komponentlərini əvəz edirik sağ tərəf sistemi (1.1) və hesablayın

(1.5)

(1.5)-də solda olan kəmiyyətlər birinci yaxınlaşmanın komponentləridir
İlk yaxınlaşma ilə nəticələnən hərəkətlərə təkrarlama deyilir.

üçüncü. Sıfır və ilk təxminləri yoxlayaq

(1.6)

Bütün şərtlər (1.6) yerinə yetirilirsə, sistemin (1.1) təxmini həlli üçün biz ya seçirik, ya da fərqi yoxdur, çünki onlar bir-birindən nə qədər çox fərqlənmirlər və gəlin hesablamaları bitirək. Şərtlərdən ən azı biri (1.6) yerinə yetirilmirsə, növbəti hərəkətə keçirik.

Dördüncüsü. Növbəti iterasiyanı yerinə yetirək, yəni. sistemin sağ tərəfinə (1.1) birinci yaxınlaşmanın komponentlərini əvəz edirik və ikinci yaxınlaşmanın komponentlərini hesablayırıq.
, Harada

Beşincisi. yoxlayaq
və üzərində , yəni. Bu təxminlər üçün (1.6) şərtini yoxlayaq. Bütün şərtlər (1.6) yerinə yetirilirsə, sistemin (1.1) təxmini həlli üçün ya seçəcəyik, ya da fərqi yoxdur, çünki -dən çox olmamaqla bir-birindən fərqlənirlər. Əks halda, ikinci yaxınlaşmanın komponentlərini sistemin sağ tərəfində (1.1) əvəz etməklə növbəti iterasiyanı quracağıq.

İterasiyalar iki bitişik yaxınlaşmaya qədər qurulmalıdır
və bir-birindən çox olmayan fərqlə fərqlənəcək.

Sistemin (1.1) həlli üçün iterasiya metodunun iş düsturu belə yazıla bilər

(1.7) düsturunun ədədi icrasının alqoritmi aşağıdakı kimi ola bilər.

Sistem (1.1) üçün iterasiya metodunun yaxınlaşması üçün kifayət qədər şərtlər formaya malikdir

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Sadə təkrarlama üsulu.

Xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) şəklində verilsin

(2.1)

Sistemi (2.1) sadə təkrarlama metodundan istifadə etməklə həll etmək üçün əvvəlcə onu formaya salmaq lazımdır

(2.2)

Sistemdə (2.2) -ci tənlik (2.1) sisteminin -ci tənliyidir, -ci naməlum (
).

Sistemin (2.2) sistemə endirilməsindən və sonra sistemin (2.2) təkrarlama üsulu ilə həllindən ibarət olan (2.1) sisteminin həlli üsulu (2.1) sistem üçün sadə təkrarlama üsulu adlanır.

Beləliklə, sistemin (2.1) həlli üçün sadə təkrarlama metodunun iş düsturları formaya malik olacaqdır

(2.3)

Formulalar (2.3) formada yazıla bilər

(2.4) düsturlarına uyğun olaraq sistem (2.1) üçün sadə təkrarlama metodunun ədədi icrasının alqoritmi aşağıdakı kimi ola bilər.

Bu alqoritmi həndəsi şəkildə yazmaq olar.

Sistem (2.1) üçün sadə iterasiya metodunun yaxınlaşması üçün kifayət qədər şərtlər formaya malikdir.

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stasionar Zaydel üsulu.

SLAE-lərin həlli üçün Seidel metodu iterasiya metodundan onunla fərqlənir ki, --ci komponent üçün müəyyən yaxınlaşma tapdıqdan sonra biz dərhal növbəti komponenti tapmaq üçün istifadə edirik.
,
, …, -ci komponent. Bu yanaşma daha çox imkan verir yüksək sürət iterasiya üsulu ilə müqayisədə Seydel metodunun yaxınlaşması.

SLAE formada verilsin

(3.1)

Qoy
- dəqiq həllə sıfır yaxınlaşma
sistemləri (3.1). Və tapılsın ci yaxınlaşma
. Komponentləri müəyyən edək
düsturlardan istifadə edərək yaxınlaşma

(3.2)

Formulalar (3.2) yığcam formada yazıla bilər

,
,
(3.3)

(3.3) düsturlarından istifadə etməklə sistemin (3.1) həlli üçün Zaydel metodunun ədədi icrasının alqoritmi aşağıdakı kimi ola bilər.

1. Məsələn, seçək,
,

2. Qoyaq.

3. Gəlin hər kəs üçün hesablayaq.

4. Hər kəs üçün şərtləri yoxlayacağıq
.

5. Əgər 4-cü bənddə göstərilən bütün şərtlər yerinə yetirilirsə, onda biz (3.1) sistemin ya və ya təxmini həlli kimi seçəcəyik və hesablamaları tamamlayacağıq. 4-cü addımda ən azı bir şərt yerinə yetirilmirsə, 6-cı addıma keçin.

6. Gəlin onu yerə qoyub 3-cü addıma keçək.

Bu alqoritmi həndəsi şəkildə yazmaq olar.

(3.1) sistemi üçün Zaydel metodunun yaxınlaşması üçün kifayət şərt formadadır
, .

4. Qeyri-stasionar Zaydel üsulu.

SLAE (3.1) həllinin bu üsulu Seidel metodunun daha da yüksək yaxınlaşma sürətini təmin edir.

Gəlin bir şəkildə (3.1) sistem üçün ci yaxınlaşmanın və ci yaxınlaşmanın komponentlərini tapaq.

Düzəliş vektorunu hesablayaq

Gəlin dəyərləri hesablayaq

, (4.2)

Gəlin miqdarları nizamlayaq
, azalan qaydada.

Eyni ardıcıllıqla (3.1) sistemindəki tənlikləri və bu sistemdəki naməlumları yenidən yazırıq: Xətticəbr Və qeyri-xətti ... İdarəetməüçün laboratoriya işləyirBy ... metodoloji təlimatlar üçünpraktikişləyirBy üçüntələbələr ...

Tədris ədəbiyyatı (təbiət elmləri və texniki) 2000-2011 OP dövrü – 10 il CD dövrü – 5 il

Ədəbiyyat

... TəbiiElmlərümumi 1. Astronomiya [Mətn]: dərslik üçün ... Rəqəmsalüsulları: Xətticəbr Və qeyri-xətti ... İdarəetməüçün laboratoriya işləyirBy ... metodoloji təlimatlar üçünpraktikişləyirBy"Nəqliyyat iqtisadiyyatı" fənni üçüntələbələr ...

- təbiət elmləri (1)

Dərslik

... idarəetməüçüntələbələr və müəllimlər nəzərdə tutulur üçün təkcə öyrənmək üçün deyil üsullarıiş... istehsal praktik real məlumatlardan istifadə bacarıqları. Metodik tövsiyələr By testin yerinə yetirilməsi işBy bu...

- təbiət elmləri - fizika-riyaziyyat elmləri - kimya elmləri - yer elmləri (geodeziya geofiziki geologiya və coğrafi elmlər)

Sənəd

... üçüntələbələrtəbii- ... işləyirBy“Genetika və seleksiya” fənninə həsr edilmişdir cari problemlər bu Elmlər. Sistemləşdirilmiş müstəqil İştələbələrBy nəzəri və praktik ... xətti, qeyri-xətti, dinamik. Hamısı üsulları ...

- təbiət elmləri - fizika-riyaziyyat elmləri - kimya elmləri - yer elmləri (geodeziya geofiziki geologiya və coğrafi elmlər) (7)

Dərsliklərin siyahısı

Eremin təyinedicisi xətti Və qeyri-xətticəbr : xətti Və qeyri-xətti proqramlaşdırma: yeni üsul/ Eremin, Mixail... üçüntələbələr və universitetlərdə geologiya ixtisası üzrə müəllimlər. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktikidarəetməBy ...

Nyuton üsulu ilə qeyri-xətti tənliklərin həlli

Elektrik enerjisi problemlərini həll etmək üçün metodun bir neçə modifikasiyası var. Onlar iterativ prosesin yaxınlaşma sürətini artırmağa və hesablama vaxtını azaltmağa imkan verir.

Əsaslar ləyaqət metod - sürətli yaxınlaşma var.

Metodun ideyası ilkin qeyri-xətti tənliklər sisteminin hesablanmasının hər bir iterasiyası zamanı həlli naməlumların növbəti yaxınlaşmasını istənilən həllə yaxın əldə etməyə imkan verən bəzi köməkçi xətti tənliklər sistemi ilə ardıcıl əvəz edilməsindən ibarətdir ( xəttiləşdirmə).

Qeyri-xətti tənliyi nəzərdən keçirin ümumi görünüş:

Tənliyin tələb olunan həlli əyrinin x oxunu kəsdiyi nöqtədir.

Naməlumun ilkin yaxınlaşmasını təyin etdik x(0). Bu nöqtədə funksiyanın dəyərini təyin edin w(x(0)) və B nöqtəsində əyriyə tangens çəkin. Bu tangensin x oxu ilə kəsişmə nöqtəsi naməlumun növbəti yaxınlaşmasını müəyyən edir. x (1) və s.

Gəlin (1) tənliyini nöqtənin yaxınlığında Teylor seriyasına genişləndirək x(0). Yalnız 1-ci törəməni ehtiva edən genişləndirmə şərtlərini nəzərdən keçirək:

(2)

x – x (0) = Δx- bilinməyənə düzəliş. Onu müəyyən etsək, növbəti yaxınlaşmanı müəyyən edə bilərik.

(2) bəndindən düzəlişi müəyyən edirik (3)

Sonra aşağıdakı yaxınlaşma: (5)

Eynilə alırıq Kimə-e təxminlər:

Bu Nyuton metodunun təkrarlanan düsturu qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün. O, naməlumların növbəti təxminlərini təyin etməyə imkan verir.

Formula (6) şəkildən başqa bir şəkildə əldə edilə bilər:

İterativ proses azaldıqda və yaxınlaşdıqda yaxınlaşır 0 . Əgər nəticə əldə edilir.

Həndəsi şərhə şərh

Metodun iterativ addımı əyrinin düz xətt ilə əvəzlənməsinə qədər azaldılır ki, bu da tənliyin (2) sol tərəfi ilə təsvir olunur. Bu nöqtədə əyriyə tangensdir. Bu proses adlanır xəttiləşdirmə. Oxla əyriyə toxunan kəsişmə nöqtəsi X naməlumun başqa təxminisini verir. Buna görə də bu üsul adlanır tangens üsulu.

Misal:

Misal:

Bu üsulla qeyri-xətti tənliyin bütün köklərini müəyyən etmək üçün istənilən üsulla müəyyən etmək lazımdır. təxmini bu köklərin yerini müəyyənləşdirin və onlara yaxın ilkin təxminləri təyin edin.

Köklərin yerləşdiyi ərazini təyin etmək üçün sadə bir yoldur cədvəl.

Nyutonun iterasiya prosesi birləşmir, əgər ilkin təxminlər belə seçilərsə:

Proses ya birləşmir, ya da çox zəif birləşir.

SNAU-nun həlli üçün Nyuton-Rafson üsulu

Rafson göstərdi ki, həll üçün Nyutonun iterativ metodu təklif olunur bir qeyri-xətti tənliklər, həll etmək üçün istifadə edilə bilər sistemləri qeyri-xətti tənliklər.

Eyni zamanda, qeyri-xətti tənliklər sistemlərini həll etmək üçün bir naməlum çoxluğu (vektoru) nəzərdən keçirmək lazımdır. naməlum:

bir qalıq tənliyi əvəzinə hesab edirik qalıqların vektoru sistemin tənlikləri:

(6)-da bir törəmə əvəz edilmişdir törəmələrin matrisi. (6)-dakı bölmə əməliyyatı ilə vurma ilə əvəz olunur tərs törəmələrin matrisi. Bu halda Nyuton-Rafson metodu Nyuton metodundan birölçülü məsələdən keçiddə fərqlənir. çoxölçülü.

Həqiqi qeyri-xətti cəbri tənliklər sistemini nəzərdən keçirək:

(7)

Matris şəklində yazıla bilər:

Harada X= x 2 – vektor – naməlumlar sütunu;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

W = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – vektor funksiyası.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Qoy - naməlumların ilkin təxminləri. (7) sisteminin hər bir tənliyini nöqtəyə yaxın bir Taylor sırasına genişləndirək X (0), yəni orijinal qeyri-xətti tənliklərin yalnız 1-ci törəmənin qorunduğu xətti olanlarla təxmini əvəzini yerinə yetirəcəyik (xəttiləşdirmə). Nəticədə (7) tənliklər sistemi aşağıdakı formanı alır:

(9)

Nəticədə əldə etdik xətti tənliklər sistemi(xəttiləşdirilmiş sistem), naməlumların düzəlişlər olduğu . Bu sistemdəki naməlumlar üçün əmsallar tənliklərin ilk törəmələridir w j bütün naməlumlar üçün orijinal qeyri-xətti sistemin Xi.. Onlar əmsallar matrisini təşkil edirlər - Yakobi matrisi:

=

Matrisin hər bir sırası qeyri-xətti sistemin növbəti tənliyinin bütün naməlumlara münasibətdə birinci törəmələrindən ibarətdir.

Xəttiləşdirilmiş sistemi (9) matris şəklində yazaq:

(10)

Burada ilkin sistemin tənliklərinin qalıqlarının vektoru verilmişdir. Onun elementləri qeyri-xətti sistemin tənliklərində naməlumların ardıcıl yaxınlaşmalarını əvəz etməklə əldə edilir;

- Yakobi matrisi. Onun elementləri bütün naməlumlara münasibətdə ilkin sistemin bütün tənliklərinin birinci qismən törəmələridir;

- korreksiya vektoru arzu olunan naməlumlara. Hər iterasiyada yazmaq olar:

Qəbul edilmiş qeydi nəzərə alaraq sistem (10) yazıla bilər:

(12)

Bu sistem xətti düzəlişlərlə bağlı ΔХ (k).

Sistem (13) iterativ prosesin hər addımında orijinal SNAU-nu əvəz edən xəttiləşdirilmiş tənliklər sistemidir.

Sistem (13) hər hansı məlum üsulla həll edilir, nəticədə düzəliş vektorunu tapırıq. Sonra (11) dən tapa bilərik növbəti yanaşmalar naməlum:

Bu. hər iterativ addım proses xətti sistemin həllindən (13) və (14) növbəti yaxınlaşmanın müəyyən edilməsindən ibarətdir.

(11) və (12) dən ümumi əldə edə bilərik təkrarlanma düsturu(matris şəklində), Nyuton-Rafson metoduna uyğundur:

(15)

(6) düsturuna uyğun bir quruluşa malikdir.

Formula (15) praktiki hesablamalarda istifadə olunur nadir hallarda, çünki burada hesablamaların hər iterasiyası zamanı Yakobi matrisini (böyük ölçülü) çevirmək lazımdır. Həqiqi hesablamalarda xətti sistemin həlli nəticəsində düzəlişlər müəyyən edilir (13).

Tamamlama nəzarəti Qalıqların vektorundan istifadə edərək iterativ prosesi həyata keçiririk:

Bu şərt qalıqlar üçün təmin edilməlidir hər kəs sistemin tənlikləri.

Nyuton-Rafson metodundan istifadə etməklə SNAU-nun həlli alqoritmi

1. Naməlumların ilkin yaxınlaşmalarının vektorunun təyin edilməsi.

Hesablama dəqiqliyinin təyin edilməsi є , digər hesablama parametrləri

2. Qeyri-xətti tənliklərin yaxınlaşma nöqtəsində qalıqlarının təyini;

2.3. Naməlumların növbəti yaxınlaşma nöqtəsində Yakobi matrisinin elementlərinin təyini;

2.4. Xəttiləşdirilmiş sistemin (13) hər hansı məlum üsulla həlli. Naməlumlara düzəlişlərin müəyyən edilməsi.

2.5. (14)-ə uyğun olaraq naməlumların növbəti yaxınlaşmasının təyini.

2.6. (16)-a uyğun olaraq iterasiya prosesinin tamamlanmasının monitorinqi. Şərt yerinə yetirilmirsə, 2-ci addıma qayıdın.

Misal:

Newton-Raphson metodundan istifadə edərək SLAE həll edin:

(həll X 1 = X 2 =2)

Tənlikləri qalıq şəklində yazaq:

Yakobi matrisinin elementlərini təyin edirik:

Yakobi matrisi:

Nyuton-Rafson metodu alqoritmini həyata keçirək:

1) İlk təkrarlama:

İlkin təxminlər

Qalıqlar

Yakobi matrisi:

Xəttiləşdirilmiş tənliklər sistemi:

Naməlumların 1-ci yaxınlaşması:

2) İkinci iterasiya

3) Üçüncü iterasiya:

… ……… …… …… …… ……..

Nyuton-Rafson metodundan istifadə edərək sabit vəziyyət tənlikləri sistemlərinin həlli

Üçüncü node üçün güc balansı şəklində sabit vəziyyətin qeyri-xətti tənliyi formaya malikdir:

(17)

Bu mürəkkəb naməlum və əmsallı tənlikdir. Formanın belə tənlikləri üçün (17) qərar vermək mümkün idi Nyuton-Rafson metodundan istifadə edərək onlar çevrilir: real və xəyali hissələr ayrılır. Bunun nəticəsində hər mürəkkəb tənlik forma (17) düyündəki aktiv və reaktiv gücün balansına uyğun gələn iki real tənliyə bölünür:

Budur qovşaqda göstərilən səlahiyyətlər;

Düyünlərdə naməlum gərginlik komponentləri. Onlara ehtiyac var

hesablanması nəticəsində müəyyən edilir.

(18) tənliklərinin sağ tərəfində ci noda yaxınlaşan budaqlarda axınların hesablanmış ümumi gücü verilmişdir.

Bu tənlikləri (18) şəklində yazaq qalıqlar:

(19) tənliklərinin qalıqları hesablanmışlara uyğundur balanssızlıq ci qovşaqda aktiv və reaktiv güc.

Qalıqlar düyün rejimini təsvir edir і və qovşaqlarda naməlum gərginliklərin qeyri-xətti funksiyalarıdır. Lazımdır ki, -> 0.

Sistemi Nyuton-Rafson üsulu ilə həll edəcəyik 2n(19) formasının tənlikləri, yəni Newton-Raphson metodundan istifadə edərək elektrik şəbəkəsinin sabit vəziyyətinin hesablanması problemini həll etmək üçün sizə lazımdır:

1) sistem yaratmaq 2n balanslaşdırıcılar istisna olmaqla, elektrik şəbəkəsinin bütün qovşaqları üçün (19) formalı tənliklər;

2) Nyuton-Rafson metodunun iterativ prosesini təşkil edin

bu tənliklər sistemini həll etmək üçün. Qərar nəticəsində

qovşaqlarda tələb olunan gərginlik komponentlərini əldə edirik.

Bu tənliklər sistemini ümumi formada yazaq:

(20)

2 qeyri-xətti sistemi əldə etdik qalıq tənliklər 2 naməlum olan. İçindəki naməlum komponentlər gərginlik komponentləridir - modullar və açılar.

Sistemi (20) Nyuton-Rafson metodundan istifadə etməklə həll etmək üçün yazmaq lazımdır köməkçi(13) formalı tənliklərin xəttiləşdirilmiş sistemi, hər təkrarlamada naməlumlara düzəlişlər təyin edirik:

(21)

Qəbul edilmiş qeydi nəzərə alaraq sistem (21) yazıla bilər:

(22)

Yakobi matrisi haradadır, onun elementləri (20) sisteminin tənliklərinin bütün naməlumlara - gərginlik komponentlərinə görə qismən törəmələridir.

Sistemin tənliklərinin qalıqlarının vektoru (20). Onların dəyərləri bilinməyənlərin ardıcıl yaxınlaşmalarını tənliklərdə əvəz etməklə əldə edilir;

Naməlumlara düzəliş vektoru:

; ΔӨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Yakobi matrisinin elementlərini təyin etmək üçün istifadə edirik analitik fərqləndirmə, yəni. Sistemin hər bir tənliyini (20) tələb olunan kəmiyyətlərə - bucaqlara və gərginlik modullarına görə fərqləndiririk. Yakobi matrisini yaratmaq üçün aşağıdakıların törəmələri üçün analitik ifadələr əldə etməlisiniz. növlər:

1) Eyni düyünün gərginlik bucağına görə ci düyünün aktiv gücü üçün qalıq tənliyinin törəməsi: ;

2) bitişik gərginlik bucağına görə ci düyünün aktiv gücü üçün qalıq tənliyinin törəməsi j- ci qovşaq: ;

3) ci qovşağın aktiv gücünün qalığının törəməsi eyni düyünün gərginliyi modulu: ;

4) ci qovşağın aktiv gücünün qalığının törəməsi bitişik qovşağın gərginliyini modulla: ;

Daha dörd növ törəmə oxşar şəkildə müəyyən edilir - bütün naməlumlar üçün th node reaktiv gücünün qalığının tənliklərindən törəmələr:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Bu törəmələri nəzərə alaraq, Yakobi matrisini ümumi formada yazmaq olar:

(23)

müəyyən edək analitik ifadələr törəmələr üçün (20) sisteminin tənliklərinin naməlum kəmiyyətlərə görə diferensiallaşdırılması. Onlar belə görünür:

(24)

Yakobi matrisi V ümumi hal- kvadrat matris, simmetrik, ölçüsü ilə , onun elementləri bütün naməlumlara münasibətdə tənliklərin qalıqlarının (güc balanssızlığı) qismən törəmələridir.

Əgər qovşaqlar bir-birinə bağlı deyilsə, onda matrisin müvafiq törəmələri, diaqonaldan kənarda yerləşən Yakobi matrisi sıfıra bərabər olacaq (keçiricilik matrisinə bənzər) - çünki müvafiq düsturlarda (24) qarşılıqlı keçiricilik y ij və faktorudur. y ij =0.

Matrisin hər bir sırası (20) sisteminin növbəti tənliyinin törəmələridir.

Modelləşdirilmiş şəbəkə diaqramında xüsusi qovşaqların olması (dəstək və balanslaşdırma qovşaqları, FM qovşaqları) strukturu Sabit vəziyyətin tənliklər sistemi və Yakobi matrisinin quruluşu:

1. ilə qovşaqlar üçün modulun bərkidilməsi gərginliklər (FM), burada verilmiş və naməlumlar və , Yakobi matrisindən istisna olunur törəmələr xətti (bundan bəri Qi müəyyən edilməmişdir, onda reaktiv güc balansı tənliyi (18), (19) tərtib edilə bilməz) və törəmələr sütunu (gərginlik modulundan bəri) U i məlumdur və naməlumlar siyahısından çıxarılır).

2. Dəstək və balanslaşdırıcı qovşaqlar üçün matrisin müvafiq sətirləri və sütunları xaric edilir;

3. Əgər qovşaqlar birbaşa bağlı deyilsə, matrisdəki müvafiq törəmələr sıfıra bərabərdir.

Yakobi matrisini dördə bölmək olar blok:

1) - balanssızlıq tənliklərindən törəmələr aktiv güc (20) tərəfindən künclər stress;

2) - balanssızlıq tənliklərinin törəmələri aktiv tərəfindən güc modullar stress;

3) - balanssızlıq tənliklərinin törəmələri reaktiv güc (20) tərəfindən künclər stress;

4) - balanssızlıq tənliklərinin törəmələri reaktiv tərəfindən güc modullar stress.

Bunlar naməlum bucaqlarda və gərginlik modullarında aktiv və reaktiv güclərin balanssızlığının qismən törəmələrinin matris hüceyrələridir. Ümumiyyətlə, bunlar ölçünün kvadrat matrisləridir n×n.

Bunu nəzərə alaraq, Yakobi matrisi kimi təqdim edilə bilər blok matrislər:

Harada naməlum kəmiyyətlərin subvektoru.

Bunu nəzərə alaraq, (22) xəttiləşdirilmiş tənliklər sistemini aşağıdakı formada yazmaq olar:

. (25)

Bunu həll etmək xətti sistem tənliklər (hər hansı məlum üsulla).

Metodun hər iterasiyası üçün naməlumlara düzəlişlər tapırıq, sonra

müntəzəm yaxınlaşır naməlum:

(26)

Naməlumların növbəti yaxınlaşması da istifadə etməklə əldə edilə bilər iterasiya düsturu Newton-Raphson metodu, (15) oxşar:

- · (27)

Bunun üçün hər iterasiyada Yakobi matrisini tərsinə çevirmək lazımdır - çətin hesablama əməliyyatı.

Nyuton-Rafson metodundan istifadə etməklə sabit vəziyyət tənlikləri sistemlərinin həlli alqoritmi

1. Naməlum gərginliklərin ilkin qiymətlərinin təyin edilməsi. İlkin təxminlər kimi qəbul edirik: , yəni. qovşaqların nominal gərginlikləri;

2. Hesablama şərtlərinin qurulması: dəqiqlik ε , təkrarların maksimum sayı, sürətləndirici əmsallar və s.

3. Naməlumların ardıcıl yaxınlaşması ilə (20) tənliklərinə uyğun tənliklərin qalıqlarının təyini;

4. Naməlumların ardıcıl yaxınlaşması ilə (24)-ə uyğun olaraq Yakobi matrisinin elementlərinin təyini;

5. Xəttiləşdirilmiş tənliklər sisteminin (25) həlli və naməlumlara düzəlişlərin müəyyən edilməsi;

6. (26) uyğun olaraq naməlumların növbəti yaxınlaşmalarının təyini;

7. İterasiya prosesinin tamamlanmasının yoxlanılması:

Bütün qovşaqlar üçün tənliklərin qalıq dəyərləri göstərilən dəqiqlikdən az olmalıdır.

Şərt yerinə yetirilmirsə, 3-cü bəndə qayıdın və naməlumların yeni təxminləri ilə hesablamanı təkrarlayın.

Nömrə var Nyuton-Rafson metodunun modifikasiyası. O cümlədən:

1. Modifikasiya olunmuş Nyuton-Rafson metodu.

Yakobi matrisi naməlumların ilkin qiymətləri üçün bir dəfə hesablanır. Sonrakı iterasiyalarda qəbul edilir Sabit. Bu, hər iterasiyada hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldır, lakin təkrarların sayını artırır.

2. Bölünmüş Nyuton-Rafson üsulu.

Formanın törəmələri çox kiçikdir və onların dəyərlərinə məhəl qoyula bilməz. Nəticədə, Yakobi matrisində iki blok qalır - 1-ci və 4-cü və tənliklərdən ibarət sistem (25). parçalanır iki müstəqil ölçü sisteminə. Bu sistemlərin hər biri digərindən ayrı həll olunur. Bu, hesablamaların miqdarının və tələb olunan kompüter yaddaşının azalmasına gətirib çıxarır.