Qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün Nyuton üsulu c. Nyuton-Rafson metodundan istifadə etməklə qeyri-xətti sabit vəziyyət tənliklərinin sistemlərinin həlli

Nyuton metodu (həmçinin tangens metodu kimi tanınır) verilmiş funksiyanın kökünü (sıfır) tapmaq üçün təkrarlanan ədədi üsuldur. Metod ilk dəfə ingilis fiziki, riyaziyyatçısı və astronomu İsaak Nyuton (1643-1727) tərəfindən təklif edilmiş və adı ilə məşhurlaşmışdır.

Metod İsaak Nyuton tərəfindən De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Haqqında sonsuz sıra tənlikləri ilə analiz), 1669-cu ildə Barrouya ünvanlanmış və De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latınca: fluxions və sonsuz sıralar metodu) və ya Geometria analytica ( lat.Analitik həndəsə) 1671-ci ildə yazılmış Nyutonun toplanmış əsərlərində. Bununla belə, metodun təsviri onun hazırkı təqdimatından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənirdi: Nyuton öz metodunu yalnız çoxhədlilərə tətbiq etdi. O, x n-in ardıcıl yaxınlaşmalarını deyil, çoxhədlilər ardıcıllığını hesablamış və nəticədə x-in təxmini həllini almışdır.

Metod ilk dəfə 1685-ci ildə Con Uollis tərəfindən "Cəbr" traktatında dərc edilmiş, onun xahişi ilə Nyutonun özü qısaca təsvir etmişdir. 1690-cı ildə Cozef Rafson özünün Analysis aequationum universalis (lat. Ümumi təhlil tənliklər). Rafson Nyutonun metodunu sırf cəbri hesab etdi və onun istifadəsini çoxhədlilərlə məhdudlaşdırdı, lakin o, metodu Nyutonun istifadə etdiyi çoxhədlilərin başa düşülməsi daha çətin ardıcıllığı əvəzinə x n ardıcıl yaxınlaşmaları baxımından təsvir etdi.

Nəhayət, 1740-cı ildə Nyuton metodu Tomas Simpson tərəfindən həlli üçün birinci dərəcəli iterativ üsul kimi təsvir edilmişdir. qeyri-xətti tənliklər burada təqdim edildiyi kimi törəmədən istifadə edin. Həmin nəşrdə Simpson metodu iki tənlik sistemi halına ümumiləşdirdi və qeyd etdi ki, Nyuton metodu törəmə və ya qradiyentin sıfırını tapmaqla optimallaşdırma məsələlərini həll etmək üçün də tətbiq oluna bilər.

Bu üsula uyğun olaraq funksiyanın kökünün tapılması vəzifəsi funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensin x oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin tapılması vəzifəsinə endirilir.

Şəkil 1 . Funksiya dəyişikliyi qrafiki

Funksiya qrafikinin istənilən nöqtəsinə çəkilmiş tangens xətti bu funksiyanın baxılan nöqtədə törəməsi ilə müəyyən edilir, o da öz növbəsində α () bucağının tangensi ilə müəyyən edilir. Teğetin absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsi aşağıdakı əlaqə əsasında müəyyən edilir düz üçbucaq: bucaq tangensidüzbucaqlı üçbucağın qarşı tərəfinin bitişik tərəfinə nisbəti ilə müəyyən edilir. Beləliklə, hər addımda növbəti yaxınlaşma nöqtəsində funksiyanın qrafikinə tangens qurulur. . Tangensin oxla kəsişmə nöqtəsiöküz növbəti yanaşma nöqtəsi olacaq. Baxılan üsula uyğun olaraq, kökün təxmini dəyərinin hesablanmasıi-iterasiyalar aşağıdakı düstura görə aparılır:

Düz xəttin yamacı hər addımda ən yaxşı şəkildə tənzimlənir, lakin alqoritmin qrafikin əyriliyini nəzərə almadığına və buna görə də hesablama zamanı naməlum qalmasına diqqət yetirməlisiniz. qrafikin hansı istiqamətdə yayına biləcəyi.

İterativ prosesin başa çatması üçün şərt aşağıdakı şərtin yerinə yetirilməsidir:

Harada ˗ kökün müəyyən edilməsində yol verilən xəta.

Metod kvadratik yaxınlaşmaya malikdir. Kvadrat yaxınlaşma dərəcəsi o deməkdir ki, yaxınlaşmada düzgün işarələrin sayı hər iterasiya ilə iki dəfə artır.

Riyazi əsaslandırma

Həqiqi funksiya verilsin, baxılan sahədə müəyyən edilmiş və davamlıdır. Sözügedən funksiyanın əsl kökünü tapmaq lazımdır.

Tənliyin əldə edilməsi metoda əsaslanır sadə iterasiyalar, buna görə tənlik istənilən funksiya üçün ekvivalent tənliyə endirilir. Münasibəti ilə müəyyən edilən daralma xəritəsi anlayışını təqdim edək.

Metodun ən yaxşı yaxınlaşması üçün şərt növbəti yaxınlaşma nöqtəsində təmin edilməlidir. Bu tələb o deməkdir ki, funksiyanın kökü funksiyanın ekstremumuna uyğun olmalıdır.

Büzülmə xəritəsinin törəməsiaşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Bu ifadədən dəyişəni ifadə edəkşərti təmin etmək lazım olduqda əvvəllər qəbul edilmiş ifadəyə tabedir. Nəticədə dəyişəni təyin etmək üçün bir ifadə əldə edirik:

Bunu nəzərə alaraq, sıxılma funksiyası aşağıdakı kimidir:

Beləliklə, tənliyin ədədi həllini tapmaq üçün alqoritm iterativ hesablama proseduruna endirilir:

Metoddan istifadə edərək qeyri-xətti tənliyin kökünün tapılması alqoritmi

1. Funksiya kökünün təxmini dəyərinin başlanğıc nöqtəsini təyin edin, həmçinin hesablama xətası (kiçik müsbət ədəd) və ilkin iterasiya addımı ().

2. Düstura uyğun olaraq funksiyanın kökünün təxmini qiymətini hesablayın:

3. Aşağıdakı hallarda kökün təxmini dəyərini göstərilən dəqiqlik üçün yoxlayırıq:

Ardıcıl iki yaxınlaşma arasındakı fərq göstərilən dəqiqlikdən az olarsa, iterativ proses başa çatır.

Əgər ardıcıl iki yaxınlaşma arasındakı fərq lazımi dəqiqliyə çatmazsa, o zaman təkrarlama prosesini davam etdirmək və nəzərdən keçirilən alqoritmin 2-ci pilləsinə keçmək lazımdır.

Tənliklərin həlli nümunəsi

üsulu iləBir dəyişənli tənlik üçün Nyuton

Nümunə olaraq metoddan istifadə edərək qeyri-xətti tənliyin həllini nəzərdən keçirəkBir dəyişənli tənlik üçün Nyuton. Kök ilk təxmini olaraq dəqiqliklə tapılmalıdır.

Proqram paketində qeyri-xətti tənliyin həlli variantıMathCADŞəkil 3-də təqdim olunur.

Hesablama nəticələri, yəni kökün təxmini dəyərindəki dəyişikliklərin dinamikası, həmçinin iterasiya addımından asılı olaraq hesablama xətaları qrafik formada təqdim olunur (bax. Şəkil 2).

Şəkil 2. Bir dəyişənli tənlik üçün Nyuton metodundan istifadə edərək hesablama nəticələri

Diapazonda tənliyin kökünün təxmini dəyərini axtararkən göstərilən dəqiqliyi təmin etmək üçün 4 təkrarlama aparmaq lazımdır. Son təkrarlama addımında qeyri-xətti tənliyin kökünün təxmini qiyməti aşağıdakı qiymətlə müəyyən ediləcək: .

şək.3 . Proqram siyahısıMathCad

Bir dəyişənli tənlik üçün Nyuton metodunun modifikasiyası

Nyuton metodunun hesablama prosesini sadələşdirməyə yönəlmiş bir neçə modifikasiyası var.

Sadələşdirilmiş Nyuton metodu

Nyuton metoduna uyğun olaraq hər təkrarlama pilləsində f(x) funksiyasının törəməsini hesablamaq lazımdır ki, bu da hesablama xərclərinin artmasına səbəb olur. Hər hesablama addımında törəmənin hesablanması ilə bağlı xərcləri azaltmaq üçün düsturun x n nöqtəsindəki f’(x n) törəməsini x 0 nöqtəsində f’(x 0) törəməsi ilə əvəz edə bilərsiniz. Bu hesablama metoduna uyğun olaraq, kökün təxmini dəyəri aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:Dəyişdirilmiş Nyuton metodu

Nyutonun fərq metodu

Nəticədə f(x) funksiyasının kökünün təxmini qiyməti Nyutonun fərq metodunun ifadəsi ilə müəyyən ediləcək:

Nyutonun iki addımlı metodu

Nyuton metoduna uyğun olaraq hər təkrarlama addımında f(x) funksiyasının törəməsini hesablamaq lazımdır ki, bu da həmişə əlverişli deyil və bəzən praktiki olaraq qeyri-mümkündür. Bu üsul funksiyanın törəməsini fərq nisbəti (təxmini dəyər) ilə əvəz etməyə imkan verir:

Nəticədə f(x) funksiyasının kökünün təxmini qiyməti aşağıdakı ifadə ilə təyin olunacaq:

Harada

Şəkil 5 . Nyutonun iki addımlı metodu

Sekant metodu iki addımlı üsuldur, yəni yeni yaxınlaşmadırəvvəlki iki təkrarlama ilə müəyyən edilir Və . Metod iki ilkin yaxınlaşmanı müəyyən etməlidir Və . Metodun yaxınlaşma dərəcəsi xətti olacaqdır.

• Geri
• İrəli

Məqaləyə öz şərhinizi əlavə etmək üçün saytda qeydiyyatdan keçin.

2. Qeyri-xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Nyuton üsulu.

Bu üsul sadə iterasiya metodundan daha sürətli yaxınlaşmaya malikdir. Nyutonun tənliklər sistemi üçün metodu (1.1) funksiyanın genişləndirilməsinin istifadəsinə əsaslanır

, Harada
(2.1)

Taylor seriyasında, ikinci və ya daha çoxunu ehtiva edən şərtlərlə yüksək sifarişlər törəmələri atılır. Bu yanaşma bir qeyri-xətti sistemin (1.1) həllini bir sıra xətti sistemin həlli ilə əvəz etməyə imkan verir.

Beləliklə, (1.1) sistemini Nyuton üsulu ilə həll edəcəyik. D bölgəsində istənilən nöqtəni seçin
və onu orijinal sistemin dəqiq həllinə sıfır yaxınlaşması adlandırın. İndi gəlin (2.1) funksiyalarını nöqtənin qonşuluğunda Taylor seriyasına genişləndirək. Olacaq

Çünki (2.2)-nin sol tərəfləri (1.1)-ə uyğun olaraq yox olmalıdır, sonra (2.2)-nin sağ tərəfləri də yox olmalıdır. Buna görə də (2.2)-dən əldə etdik

(2.3)-dəki bütün qismən törəmələr nöqtədə hesablanmalıdır.

(2.3) xətti sistemdir cəbri tənliklər naməlumlara nisbətən Bu sistem Kramer üsulu ilə həll edilə bilər, əgər onun əsas determinantı sıfırdan fərqlidirsə və kəmiyyətlər tapıla bilər.

İndi koordinatlarla ilk yaxınlaşmanı qurmaqla sıfır yaxınlaşmasını dəqiqləşdirə bilərik.

olanlar.
. (2.6)

(2.6) təqribinin kifayət qədər dəqiqliklə əldə edilib-edilmədiyini öyrənək. Bunun üçün şərti yoxlayaq

,
(2.7)

Harada əvvəlcədən müəyyən edilmiş kiçik müsbət ədəd (sistemin (1.1) həll edilməli olduğu dəqiqlik). Əgər (2.7) şərt yerinə yetirilirsə, onda (1.1) sisteminin təxmini həlli kimi (2.6) seçirik və hesablamaları tamamlayırıq. Əgər (2.7) şərti yerinə yetirilmirsə, onda aşağıdakı hərəkəti yerinə yetiririk. Sistemdə (2.3) əvəzinə
yenilənmiş dəyərləri götürək

, (2.8)

olanlar. gəl edək aşağıdakı hərəkətlər

. (2.9)

Bundan sonra (2.3) sistemi kəmiyyətlər üçün xətti cəbri tənliklər sistemi olacaq Bu kəmiyyətləri təyin etdikdən sonra növbəti ikinci yaxınlaşma
(1.1) sisteminin həllini düsturlardan istifadə edərək tapırıq

İndi vəziyyəti yoxlayaq (2.7)

Bu şərt yerinə yetirilərsə, (1.1) sistemin təxmini həlli kimi ikinci yaxınlaşmanı götürərək hesablamaları tamamlayırıq.
. Bu şərt yerinə yetirilməzsə, (2.3) şərtini götürərək növbəti yaxınlaşmanı qurmağa davam edirik.
Şərt təmin olunmayana qədər təxminlər qurmaq lazımdır.

(1.1) sisteminin həlli üçün Nyuton metodunun iş düsturlarını formada yazmaq olar.

Hesablama ardıcıllığı

Budur
sistemin həllidir

(2.11)-(2.13) düsturlarından istifadə edərək hesablama alqoritmini tərtib edək.

1. D bölgəsinə aid sıfır təxminini seçək.

2. Xətti cəbri tənliklər sistemində (2.13) təyin etdik
, A .

3. (2.13) sistemini həll edək və kəmiyyətləri tapaq
.

4. (2.12) düsturlarında qoyuruq
və növbəti yaxınlaşmanın komponentlərini hesablayın.

5. Şərti (2.7) yoxlayaq: (Bir neçə kəmiyyətin maksimumunun hesablanması alqoritminə baxın.)

6. Əgər bu şərt yerinə yetirilirsə, onda (1.1) sistemin təxmini həlli kimi təqribi seçərək hesablamaları tamamlayırıq. Bu şərt yerinə yetirilmirsə, 7-ci addıma keçin.

7. Qoyaq
hamı üçün.

8. 3-cü addımı yerinə yetirək, qoy
.

Həndəsi olaraq bu alqoritm aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Alqoritm. Maksimum bir neçə kəmiyyətin hesablanması.

Misal. İki tənlik sistemini həll etmək üçün Nyuton metodundan istifadə etməyi nəzərdən keçirək.

Nyuton metodundan istifadə edərək dəqiqliyə qədər həll edin aşağıdakı sistem qeyri-xətti tənliklər

, (2.14)

Budur
. Gəlin sıfıra yaxınlaşmanı seçək
, D oblastına aiddir. (2.3) xətti cəbri tənliklər sistemini quraq. O, oxşayacaq

(2.15)

işarə edək

(2.15) sistemini naməlumlara görə həll edək
məsələn, Kramer metodu. Kramerin düsturlarını formada yazırıq

(2.17)

sistemin əsas determinantı haradadır (2.15)

(2.18)

və (2.15) sisteminin köməkçi təyinediciləri formaya malikdir

.

Tapılan dəyərləri (2.16) ilə əvəz edirik və birinci yaxınlaşmanın komponentlərini tapırıq.
sistemin həllinə (2.15).

Vəziyyəti yoxlayaq

, (2.19)

əgər bu şərt yerinə yetirilərsə, onda (2.15) sistemin təxmini həlli kimi birinci yaxınlaşmanı götürərək hesablamaları tamamlayırıq, yəni.
. Əgər (2.19) şərti təmin edilmirsə, onda təyin edirik
,
və biz quracağıq yeni sistem xətti cəbri tənliklər (2.15). Onu həll etdikdən sonra ikinci yaxınlaşmanı tapırıq
. Bunu yoxlayaq. Əgər bu şərt yerinə yetirilirsə, onda biz (2.15) sistemin təxmini həlli kimi seçirik.
. Şərt təmin edilmirsə, biz təyin edirik
,
tapmaq üçün aşağıdakı sistemi (2.15) qurun
və s.

Tapşırıqlar

Bütün tapşırıqlar tələb edir:

Təklif olunan alqoritmə uyğun olaraq metodun ədədi icrası üçün proqram tərtib edin.

Hesablama nəticələrini əldə edin.

Nəticələrinizi yoxlayın.

İki qeyri-xətti tənlik sistemi verilmişdir.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Fəsil 3. Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün ədədi üsullar (SLAE).

İşin məqsədi. SLAE-lərin həlli üçün bəzi təxmini üsullarla tanışlıq və onların kompüterdə ədədi tətbiqi.

İlkin qeydlər. SLAE-nin həlli üçün bütün üsullar adətən ikiyə bölünür böyük qruplar. Birinci qrupa adətən dəqiq adlandırılan üsullar daxildir. Bu üsullar bizə istənilən sistem üçün tapmağa imkan verir dəqiq dəyərlər hər biri dəqiq yerinə yetirilən sonlu sayda arifmetik əməliyyatdan sonra naməlumlar.

İkinci qrupa dəqiq olmayan bütün üsullar daxildir. Onlar iterativ və ya ədədi və ya təqribi adlanır. Bu cür üsullardan istifadə edərkən dəqiq həll sonsuz yaxınlaşma prosesi nəticəsində əldə edilir. Bu cür metodların cəlbedici xüsusiyyəti onların öz-özünə düzəldilməsi və PC-də həyata keçirilməsinin asanlığıdır.

SLAE-lərin həlli üçün bəzi təxmini üsulları nəzərdən keçirək və onların ədədi icrası üçün alqoritmlər quraq. Biz SLAE-nin təxmini həllini - dəqiqliyi ilə əldə edəcəyik, burada çox kiçik müsbət ədəddir.

1. İterasiya üsulu.

SLAE formada verilsin

(1.1)

Bu sistem matris şəklində yazıla bilər

, (1.2)

Harada
- sistemdə naməlumlar üçün əmsallar matrisi (1.1),
- pulsuz üzvlərin sütunu,
- sistemin naməlumlar sütunu (1.1).

. (1.3)

(1.1) sistemini iterasiya üsulu ilə həll edək. Bunun üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirəcəyik.

Birincisi. Gəlin sıfıra yaxınlaşmanı seçək

(1.4)

(1.1) sisteminin dəqiq həllinə (1.3). Sıfır yaxınlaşmasının komponentləri istənilən ədəd ola bilər. Lakin sıfıra yaxınlaşmanın komponentləri üçün hər iki sıfırı götürmək daha rahatdır
, və ya sistemin pulsuz şərtləri (1.1)

İkincisi. Sıfır yaxınlaşmasının komponentlərini əvəz edirik sağ tərəf sistemi (1.1) və hesablayın

(1.5)

(1.5)-də solda olan kəmiyyətlər birinci yaxınlaşmanın komponentləridir
İlk yaxınlaşma ilə nəticələnən hərəkətlərə təkrarlama deyilir.

üçüncü. Sıfır və ilk təxminləri yoxlayaq

(1.6)

Bütün şərtlər (1.6) yerinə yetirilirsə, sistemin (1.1) təxmini həlli üçün biz ya seçirik, ya da fərqi yoxdur, çünki onlar bir-birindən çox fərqlənmir və hesablamaları bitirək. Şərtlərdən ən azı biri (1.6) yerinə yetirilmirsə, növbəti hərəkətə keçirik.

Dördüncüsü. Növbəti iterasiyanı yerinə yetirək, yəni. sistemin sağ tərəfinə (1.1) birinci yaxınlaşmanın komponentlərini əvəz edirik və ikinci yaxınlaşmanın komponentlərini hesablayırıq.
, Harada

Beşincisi. yoxlayaq
və üzərində , yəni. Bu təxminlər üçün (1.6) şərtini yoxlayaq. Bütün şərtlər (1.6) yerinə yetirilirsə, sistemin (1.1) təxmini həlli üçün ya seçəcəyik, ya da fərqi yoxdur, çünki -dən çox olmamaqla bir-birindən fərqlənirlər. Əks halda, ikinci yaxınlaşmanın komponentlərini sistemin sağ tərəfində (1.1) əvəz etməklə növbəti iterasiyanı quracağıq.

İterasiyalar iki bitişik yaxınlaşmaya qədər qurulmalıdır
və bir-birindən çox olmayan fərqlə fərqlənəcək.

Sistemin (1.1) həlli üçün iterasiya metodunun iş düsturu belə yazıla bilər

(1.7) düsturunun ədədi icrasının alqoritmi aşağıdakı kimi ola bilər.

Sistem (1.1) üçün iterasiya metodunun yaxınlaşması üçün kifayət qədər şərtlər formaya malikdir

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Sadə təkrarlama üsulu.

Xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) şəklində verilsin

(2.1)

Sistemi (2.1) sadə təkrarlama metodundan istifadə etməklə həll etmək üçün əvvəlcə onu formaya salmaq lazımdır

(2.2)

Sistemdə (2.2) -ci tənlik (2.1) sisteminin -ci tənliyidir, -ci naməlum (
).

Sistemin (2.2) sistemə endirilməsindən və sonra sistemin (2.2) təkrarlama üsulu ilə həllindən ibarət olan (2.1) sisteminin həlli üsulu (2.1) sistem üçün sadə təkrarlama üsulu adlanır.

Beləliklə, sistemin (2.1) həlli üçün sadə təkrarlama metodunun iş düsturları formaya malik olacaqdır

(2.3)

Formulalar (2.3) formada yazıla bilər

(2.4) düsturlarına uyğun olaraq sistem (2.1) üçün sadə təkrarlama metodunun ədədi icrasının alqoritmi aşağıdakı kimi ola bilər.

Bu alqoritmi həndəsi şəkildə yazmaq olar.

Sistem (2.1) üçün sadə iterasiya metodunun yaxınlaşması üçün kifayət qədər şərtlər formaya malikdir.

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stasionar Zaydel üsulu.

SLAE-lərin həlli üçün Seidel metodu iterasiya metodundan onunla fərqlənir ki, --ci komponent üçün müəyyən yaxınlaşma tapdıqdan sonra biz dərhal növbəti komponenti tapmaq üçün istifadə edirik.
,
, …, -ci komponent. Bu yanaşma daha çox imkan verir yüksək sürət iterasiya üsulu ilə müqayisədə Seydel metodunun yaxınlaşması.

SLAE formada verilsin

(3.1)

Qoy
- dəqiq həllə sıfır yaxınlaşma
sistemləri (3.1). Və tapılsın ci yaxınlaşma
. Komponentləri müəyyən edək
düsturlardan istifadə edərək yaxınlaşma

(3.2)

Formulalar (3.2) yığcam formada yazıla bilər

,
,
(3.3)

(3.3) düsturlarından istifadə etməklə sistemin (3.1) həlli üçün Zaydel metodunun ədədi icrasının alqoritmi aşağıdakı kimi ola bilər.

1. Məsələn, seçək,
,

2. Qoyaq.

3. Gəlin hər kəs üçün hesablayaq.

4. Hər kəs üçün şərtləri yoxlayacağıq
.

5. Əgər 4-cü bənddə göstərilən bütün şərtlər yerinə yetirilirsə, onda biz (3.1) sistemin ya və ya təxmini həlli kimi seçəcəyik və hesablamaları tamamlayacağıq. 4-cü addımda ən azı bir şərt yerinə yetirilmirsə, 6-cı addıma keçin.

6. Gəlin onu yerə qoyub 3-cü addıma keçək.

Bu alqoritmi həndəsi şəkildə yazmaq olar.

(3.1) sistemi üçün Zaydel metodunun yaxınlaşması üçün kifayət şərt formadadır
, .

4. Qeyri-stasionar Zaydel üsulu.

SLAE (3.1) həllinin bu üsulu Seidel metodunun daha da yüksək yaxınlaşma sürətini təmin edir.

Gəlin bir şəkildə (3.1) sistem üçün ci yaxınlaşmanın və ci yaxınlaşmanın komponentlərini tapaq.

Düzəliş vektorunu hesablayaq

Gəlin dəyərləri hesablayaq

, (4.2)

Gəlin miqdarları nizamlayaq
, azalan qaydada.

Eyni ardıcıllıqla (3.1) sistemindəki tənlikləri və bu sistemdəki naməlumları yenidən yazırıq: Xətticəbr Və qeyri-xətti ... İdarəetməüçün laboratoriya işləyirBy ... metodoloji təlimatlar üçünpraktikişləyirBy üçüntələbələr ...

Tədris ədəbiyyatı (təbiət elmləri və texniki) 2000-2011 OP dövrü – 10 il CD dövrü – 5 il

Ədəbiyyat

... TəbiiElmlərümumi 1. Astronomiya [Mətn]: dərslik üçün ... Rəqəmsalüsulları: Xətticəbr Və qeyri-xətti ... İdarəetməüçün laboratoriya işləyirBy ... metodoloji təlimatlar üçünpraktikişləyirBy"Nəqliyyat iqtisadiyyatı" fənni üçüntələbələr ...

- təbiət elmləri (1)

Dərslik

... idarəetməüçüntələbələr və müəllimlər nəzərdə tutulur üçün təkcə öyrənmək üçün deyil üsullarıiş... istehsal praktik real məlumatlardan istifadə bacarıqları. Metodik tövsiyələr By testin yerinə yetirilməsi işBy bu...

- təbiət elmləri - fizika-riyaziyyat elmləri - kimya elmləri - yer elmləri (geodeziya geofiziki geologiya və coğrafi elmlər)

Sənəd

... üçüntələbələrtəbii- ... işləyirBy“Genetika və seleksiya” fənninə həsr edilmişdir cari problemlər bu Elmlər. Sistemləşdirilmiş müstəqil İştələbələrBy nəzəri və praktik ... xətti, qeyri-xətti, dinamik. Hamısı üsulları ...

- təbiət elmləri - fizika-riyaziyyat elmləri - kimya elmləri - yer elmləri (geodeziya geofiziki geologiya və coğrafi elmlər) (7)

Dərsliklərin siyahısı

Eremin təyinedicisi xətti Və qeyri-xətticəbr : xətti Və qeyri-xətti proqramlaşdırma: yeni üsul/ Eremin, Mixail... üçüntələbələr və universitetlərdə geologiya ixtisası üzrə müəllimlər. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktikidarəetməBy ...



Açar sözlər:

İşin məqsədi: bir naməlum olan qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarını öyrənmək və onları eksperimental işdə yoxlamaq.

İş məqsədləri:

1. Təhlil edin xüsusi ədəbiyyat və dərindən öyrənməyə və mənimsəməyə imkan verən qeyri-xətti tənliklərin həlli üçün ən rasional üsulları seçin bu mövzu bütün orta məktəb məzunları.
2. İKT-dən istifadə etməklə qeyri-xətti tənliklərin həlli metodologiyasının bəzi aspektlərini işləyib hazırlayın.
3. Qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarını araşdırın:

‒ Addım metodu

‒ Yarımlama üsulu

‒ Nyuton metodu

Giriş.

Riyazi savad olmadan fizika, kimya, biologiya və digər fənlərdən məsələlərin həlli üsullarını uğurla mənimsəmək mümkün deyil. Bütün təbiət elmləri kompleksi riyazi biliklər əsasında qurulur və inkişaf etdirilir. Məsələn, riyazi fizikanın bir sıra aktual problemlərinin öyrənilməsi qeyri-xətti tənliklərin həlli zərurətinə səbəb olur. Qeyri-xətti tənliklərin həlli qeyri-xətti optikada, plazma fizikasında, superkeçiricilik nəzəriyyəsində və aşağı temperatur fizikasında zəruridir. Bu mövzuda kifayət qədər ədəbiyyat var, lakin bir çox dərslik və məqalələr orta məktəb şagirdi üçün çətin başa düşülür. Bu yazıda fizika və kimyada tətbiqi məsələlərin həllində istifadə oluna bilən qeyri-xətti tənliklərin həlli üsulları müzakirə olunur. Maraqlı bir cəhət tətbiqdir informasiya texnologiyaları riyaziyyatda tənliklərin və məsələlərin həllinə.

Addım üsulu.

F(x)=0 formalı qeyri-xətti tənliyi həll etmək lazım gəlsin. Bizə müəyyən axtarış intervalı verildiyini də fərz edək. Axtarış intervalının sol sərhədindən başlayaraq tənliyin birinci kökünü ehtiva edən h uzunluğunda [a,b] intervalını tapmaq tələb olunur.

düyü. 1. Addım metodu

Belə bir problemi həll etməyin bir neçə yolu var. Addım metodu bərabərsizliklərin həlli üçün ədədi üsulların ən sadəsidir, lakin yüksək dəqiqliyə nail olmaq üçün addımı əhəmiyyətli dərəcədə azaltmaq lazımdır və bu, hesablama vaxtını xeyli artırır. istifadə edərək tənliklərin həlli alqoritmi bu üsul iki mərhələdən ibarətdir.

Imərhələ. Kök ayırma.

Bu mərhələdə hər biri tənliyin yalnız bir kökünü ehtiva edən bölmələr müəyyən edilir. Bu mərhələni həyata keçirmək üçün bir neçə variant var:

• X dəyərlərini əvəz edirik (tercihen kifayət qədər kiçik bir addımla) və funksiyanın işarəni harada dəyişdiyini görürük. Əgər funksiya işarəsini dəyişibsə, bu o deməkdir ki, X-in əvvəlki və cari qiyməti arasındakı sahədə kök var (əgər funksiya onun artım/azalmasının xarakterini dəyişmirsə, onda yalnız bir olduğunu deyə bilərik. bu intervalda kök).
• Qrafik üsul. Qrafik qururuq və bir kökün hansı intervallarda yerləşdiyini qiymətləndiririk.
• Müəyyən bir funksiyanın xüsusiyyətlərini araşdıraq.

IImərhələ. Köklərin dəqiqləşdirilməsi.

Bu mərhələdə əvvəllər müəyyən edilmiş tənliyin köklərinin mənası aydınlaşdırılır. Bu mərhələdə bir qayda olaraq iterativ üsullardan istifadə edilir. Məsələn, metod yarım bölgü(dixotomiyalar) və ya Nyuton üsulu.

Yarım bölmə üsulu

Tənliklərin həlli üçün sürətli və kifayət qədər sadə ədədi üsul, müəyyən edilmiş E dəqiqliyinə nail olunana qədər F(x) = 0 tənliyinin yeganə kökünü ehtiva edən intervalın ardıcıl daralmasına əsaslanır.Bu üsul adətən həll edərkən istifadə olunur. kvadrat tənliklər və daha yüksək dərəcəli tənliklər. Lakin bu metodun əhəmiyyətli çatışmazlığı var - əgər [a,b] seqmentində birdən çox kök varsa, o zaman yaxşı nəticələr əldə edə bilməyəcək.

düyü. 2. Dixotomiya üsulu

Bu metodun alqoritmi aşağıdakı kimidir:

‒ [a;b] seqmentinin ortasındakı x kökünün yeni yaxınlaşmasını təyin edin: x=(a+b)/2.

‒ a və x nöqtələrində funksiyanın qiymətlərini tapın: F(a) və F(x).

‒ F(a)*F(x) şərtini yoxlayın

‒ 1-ci addıma keçin və yenidən seqmenti yarıya bölün. |F(x)| şərtinə qədər alqoritmi davam etdirin

Nyuton üsulu

Ədədi həll üsullarından ən dəqiqi; çox mürəkkəb tənliklərin həlli üçün uyğundur, lakin hər addımda törəmələrin hesablanması ehtiyacı ilə çətinləşir. odur ki, əgər x n tənliyin kökünə hansısa yaxınlaşmadırsa , onda növbəti yaxınlaşma x n nöqtəsində çəkilmiş f(x) funksiyasına toxunan kök kimi müəyyən edilir.

x n nöqtəsində f(x) funksiyasına toxunan tənlik aşağıdakı formaya malikdir:

Tangens tənliyində y = 0 və x = x n +1 qoyuruq.

Sonra Nyuton metodunda ardıcıl hesablamalar üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

Tangens metodunun yaxınlaşması kvadratdır, yaxınlaşma sırası 2-dir.

Beləliklə, Nyutonun tangens metodunun yaxınlaşması çox sürətlidir.

Heç bir dəyişiklik edilmədən metod mürəkkəb hal üçün ümumiləşdirilir. Əgər x i kökü ikinci çoxluğun kökü və ya daha yüksəkdirsə, onda yaxınlaşma sırası aşağı düşür və xətti olur.

Nyuton metodunun çatışmazlıqları onun lokallığını əhatə edir, çünki şərt hər yerdə təmin edildikdə, ixtiyari başlanğıc yaxınlaşması üçün yaxınlaşmağa zəmanət verilir. , əks vəziyyətdə konvergensiya yalnız kökün müəyyən qonşuluğunda baş verir.

Tənlik qurulduqda adətən Nyuton üsulu (tangens metodu) istifadə olunur f(x) = 0 kökə malikdir və aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilir:

1) funksiya y=f(x) müəyyən edilmiş və davamlı olaraq;

2) f(a) f(b) (funksiya seqmentin sonunda müxtəlif işarələrin qiymətlərini alır [ a;b]);

3) törəmələr f"(x) Və f""(x) intervalda işarəni qoruyun [ a;b] (yəni funksiya f(x) seqmentdə ya artır, ya da azalır [ a;b], qabarıqlığın istiqamətini saxlayaraq);

Metodun mənası belədir: seqmentdə [ a;b] belə bir nömrə seçilir x 0 , hansında f(x 0) ilə eyni işarəyə malikdir f""(x 0), yəni şərt təmin edilir f(x 0) f""(x) > 0. Beləliklə, absis ilə nöqtə seçilir x 0, burada əyriyə toxunan y=f(x) seqmentdə [ a;b] oxu ilə kəsişir öküz. Nöqtə başına x 0 Birincisi, seqmentin uclarından birini seçmək rahatdır.

Bu alqoritmi konkret misaldan istifadə edərək nəzərdən keçirək.

Bizə artan funksiya verilsin y = f(x) =x 2– 2, seqment üzrə davamlı (0;2) və olan f "(x) =2x>0 Və f ""(x) = 2> 0.

Bizim vəziyyətimizdə tangens tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN x 0 nöqtəsi olaraq nöqtəni seçirik B 1 (b; f(b)) = (2,2). Funksiyaya bir tangens çəkin y = f(x) B nöqtəsində 1 və tangens ilə oxun kəsişmə nöqtəsini qeyd edin öküz nöqtə x 1. Birinci tangensin tənliyini alırıq: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Öküz: x 1 =

düyü. 3. f(x) funksiyasının qrafikinə birinci tangensin qurulması

y=f(x) öküz nöqtə vasitəsilə x 1, nöqtəni anladıq B 2 =(1,5; 0,25). Yenidən funksiyaya bir tangens çəkin y = f(x) B nöqtəsində 2 və tangensin kəsişmə nöqtəsini işarələyin və öküz nöqtə x 2.

İkinci tangensin tənliyi: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Tangens və oxun kəsişmə nöqtəsi Öküz: x 2 =.

Sonra funksiyanın kəsişmə nöqtəsini tapırıq y=f(x) və oxa çəkilmiş perpendikulyar öküz x 2 nöqtəsi vasitəsilə B 3 nöqtəsini alırıq və s.

düyü. 4. f(x) funksiyasının qrafikinə ikinci tangensin qurulması

Kökün ilk yaxınlaşması düsturla müəyyən edilir:

= 1.5.

Kökün ikinci yaxınlaşması düsturla müəyyən edilir:

=

Kökün üçüncü yaxınlaşması düsturla müəyyən edilir:

Beləliklə , i Kökün yaxınlaşdırılması düsturla müəyyən edilir:

Hesablamalar cavabda lazım olan onluq yerlər uyğun gələnə və ya göstərilən dəqiqliyə çatana qədər aparılır - bərabərsizlik təmin olunana qədər |xi-xi-1|

Bizim vəziyyətimizdə üçüncü addımda əldə edilən təxminatı real cavabla müqayisə edək. Gördüyünüz kimi, artıq üçüncü addımda biz 0.000002-dən az xəta aldıq.

CAD istifadə edərək tənliyin həlliMathCAD

Formanın ən sadə tənlikləri üçün f(x) = 0 funksiyasından istifadə etməklə MathCAD-də həll tapılır kök.

kök (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - dəyəri qaytarır X 1 , seqmentinə aiddir [ a, b ] ifadəsi və ya funksiyası olan f (X ) 0-a keçir. Bu funksiyanın hər iki arqumenti skalyar olmalıdır. Funksiya skalyar qaytarır.

düyü. 5. MathCAD-də qeyri-xətti tənliyin həlli (kök funksiyası)

Bu funksiyanın tətbiqi nəticəsində xəta baş verərsə, bu o demək ola bilər ki, tənliyin kökləri yoxdur və ya tənliyin kökləri ilkin yaxınlaşmadan uzaqda yerləşir, ifadə yerli maks Və min ilkin yaxınlaşma ilə köklər arasında.

Xətanın səbəbini müəyyən etmək üçün funksiyanın qrafikini araşdırmaq lazımdır f(x). Bu, tənliyin köklərinin mövcudluğunu tapmağa kömək edəcəkdir f(x) = 0 və əgər varsa, təxminən onların dəyərlərini müəyyənləşdirin. Kökün ilkin yaxınlaşması nə qədər dəqiq seçilərsə, onun dəqiq dəyəri bir o qədər tez tapılacaqdır.

İlkin yaxınlaşma naməlumdursa, o zaman funksiyadan istifadə etmək məsləhətdir həll etmək . Üstəlik, tənlikdə bir neçə dəyişən varsa, sonrasını göstərməlisiniz açar söz həll tənliyin həll olunduğu dəyişənlərin siyahısıdır.

düyü. 6. MathCAD-də qeyri-xətti tənliyin həlli (həll funksiyası)

Nəticə

Tədqiqat necə araşdırıldı riyazi üsullar, və MathCAD CAD sistemində proqramlaşdırmadan istifadə edərək tənliklərin həlli. Müxtəlif üsullaröz üstünlükləri və mənfi cəhətləri var. Nəzərə almaq lazımdır ki, konkret metoddan istifadə verilən tənliyin ilkin şərtlərindən asılıdır. Məktəbdə məlum olan faktorlara ayırma üsulları və s. ilə yaxşı həll oluna bilən tənlikləri daha çox həll etməyin mənası yoxdur. mürəkkəb yollarla. Fizika və kimya üçün vacib olan və tənliklərin həlli zamanı mürəkkəb hesablama əməliyyatları tələb edən tətbiqi riyaziyyat məsələləri, məsələn, proqramlaşdırmadan istifadə etməklə uğurla həll edilir. Onları Nyuton üsulu ilə həll etmək yaxşıdır.

Kökləri aydınlaşdırmaq üçün eyni tənliyi həll etmək üçün bir neçə üsuldan istifadə edə bilərsiniz. Bu işin əsasını məhz bu tədqiqat təşkil etmişdir. Eyni zamanda, tənliyin hər bir mərhələsini həll edərkən hansı üsulun daha uğurlu olduğunu və bu mərhələdə hansı metoddan istifadə etməməyin daha yaxşı olduğunu asanlıqla görmək olar.

Öyrənilən material, bir tərəfdən, riyazi bilikləri genişləndirməyə və dərinləşdirməyə kömək edir, riyaziyyata maraq aşılayır. Digər tərəfdən, texniki və mühəndislik peşələrinə yiyələnməyi planlaşdıranlar üçün real riyaziyyat problemlərini həll edə bilmək vacibdir. Buna görə də bu işüçün vacibdir əlavə təhsil(məsələn, ali təhsil müəssisəsində).

Ədəbiyyat:

1. Mityakov S. N. İnformatika. Kompleks tədris materialları. - N. Novqorod: Nijni Novqorod. dövlət texnologiya. univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Qeyri-xətti tənliklərin budaqlanan həlləri nəzəriyyəsi. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Mühəndislər və texniki kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Riyaziyyat: dərslik. - Rostov n/d.: Feniks, 2005.
5. Savin A.P. ensiklopedik lüğət gənc riyaziyyatçı. - M.: Pedaqogika, 1989.
6. Korn G., Korn T. Alimlər və mühəndislər üçün riyaziyyat kitabçası. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt-Peterburq: BHV-Peterburq, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mathcad əsasında ali riyaziyyat. Ümumi kurs. - Sankt-Peterburq: BHV-Peterburq, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad əsasında ədədi üsullar. - Sankt-Peterburq: BHV-Peterburq, 2012.

Açar sözlər: qeyri-xətti tənliklər, tətbiqi riyaziyyat, CAD MathCAD, Nyuton metodu, addım metodu, dixotomiya metodu..

Annotasiya: Məqalə qeyri-xətti tənliklərin həlli üsullarının, o cümlədən MathCAD kompüter dəstəkli dizayn sistemindən istifadənin öyrənilməsinə həsr edilmişdir. Addım metodu, yarım və Nyuton üsulları nəzərdən keçirilir, bu metodların tətbiqi üçün ətraflı alqoritmlər verilir və müqayisəli təhlil müəyyən edilmiş üsullar.

Misal üçün:

Tapmaq üçün tapşırığı təyin edək etibarlıdır bu tənliyin kökləri.

Və mütləq var! - haqqında məqalələrdən funksiya qrafikləri Və ali riyaziyyatın tənlikləri cədvəlin nə olduğunu çox yaxşı bilirsiniz polinom funksiyası tək dərəcə oxu ən azı bir dəfə kəsir, buna görə də tənliyimiz var ən azı bir real kök. bir. Və ya iki. Və ya üç.

Birincisi, mövcudluğu yoxlamaq üçün yalvarır rasional kökləri. görə müvafiq teorem, yalnız 1, –1, 3, –3 rəqəmləri bu “titula” iddia edə bilər və birbaşa əvəz etməklə onların heç birinin “uyğun olmadığına” əmin olmaq asandır. Beləliklə, irrasional dəyərlər qalır. 3-cü dərəcəli çoxhədlinin irrasional kök(lər)ini tapmaq olar tam olaraq (radikallar vasitəsilə ifadə edin) sözdə istifadə edərək Kardano düsturları , lakin bu üsul olduqca çətin olur. Lakin 5-ci və daha yüksək dərəcəli polinomlar üçün ümumiyyətlə ümumi analitik metod yoxdur və əlavə olaraq praktikada bir çox başqa tənliklər var ki, burada dəqiq dəyərlər həqiqi kökləri əldə etmək mümkün deyil (baxmayaraq ki, onlar mövcuddur).

Ancaq tətbiqdə (məsələn, mühəndislik) problemlər, hesablanmış təxmini dəyərlərdən istifadə etmək məqbuldur müəyyən dəqiqliklə.

Nümunəmiz üçün dəqiqliyi təyin edək. Bunun mənası nədi? Bu o deməkdir ki, kökün BELƏ təxmini qiymətini tapmalıyıq (köklər) hansı biz Bizə 0,001-dən çox olmayan səhvlərə zəmanət verilir (mində biri) .

Tamamilə aydındır ki, həll "təsadüfi" başlaya bilməz və buna görə də ilk addımda köklər ayrı. Kökü ayırmaq bu kökün aid olduğu və başqa kökləri olmayan kifayət qədər kiçik (adətən tək) seqment tapmaq deməkdir. Ən sadə və ən əlçatan kök ayırmağın qrafik üsulu. Gəlin inşa edək nöqtə-nöqtə funksiyanın qrafiki :

Rəsmdən belə çıxır ki, tənliyin, görünür, seqmentə aid olan tək həqiqi kökü var. Bu intervalın sonunda funksiya müxtəlif işarələrin dəyərlərini götürür: , və faktdan seqmentdə funksiyanın davamlılığı dərhal görünür elementar yol kök dəqiqləşdirmə: intervalı yarıya bölün və funksiyanın götürdüyü uclardakı seqmenti seçin müxtəlif əlamətlər. IN bu halda bu açıq-aydın bir seqmentdir. Yaranan intervalı yarıya bölürük və yenidən "fərqli işarə" seqmentini seçirik. Və s. Belə ardıcıl hərəkətlər deyilir təkrarlamalar. Bu halda, onlar seqmentin uzunluğu hesablama dəqiqliyindən iki dəfə az olana qədər aparılmalı və kökün təxmini dəyəri kimi sonuncu "fərqli işarə" seqmentinin ortası seçilməlidir.

Baxılan sxem təbii bir ad aldı - yarım bölmə üsulu. Və bu metodun dezavantajı sürətdir. Yavaş-yavaş. Çox yavaş. Tələb olunan dəqiqliyə nail olana qədər çoxlu təkrarlamalar olacaq. İnkişafla kompüter texnologiyası Bu, əlbəttə ki, problem deyil, amma riyaziyyat ən rasional həll yollarını axtarmaq üçün budur.

Və daha çox biri təsirli yollar kökün təxmini qiymətinin tapılması dəqiqdir tangens üsulu. Metodun qısa həndəsi mahiyyəti belədir: birincisi, xüsusi meyardan istifadə etməklə (bu haqda bir az sonra) seqmentin uclarından biri seçilir. Bu son adlanır ilkin kökün yaxınlaşması, bizim nümunəmizdə: . İndi funksiyanın qrafikinə bir tangens çəkirik absisdə (mavi nöqtə və bənövşəyi tangens):

Bu tangens x oxunu sarı nöqtədə keçdi və qeyd edin ki, ilk addımda biz az qala “kökü vurduq”! Bu olacaq birinci kök yanaşma. Sonra, funksiyanın qrafikinə perpendikulyar olan sarı rəngi endiririk və narıncı nöqtəyə "alırıq". Yenidən narıncı nöqtədən bir tangens çəkirik, bu da oxu kökə daha da yaxın kəsəcək! Və s. Tangens metodundan istifadə edərək məqsədə sıçrayış və sərhədlərlə yaxınlaşdığımızı başa düşmək çətin deyil və dəqiqliyə nail olmaq üçün sözün həqiqi mənasında bir neçə iterasiya lazımdır.

Tangens vasitəsilə müəyyən edildiyi üçün funksiyasının törəməsi, sonra bu dərs onun tətbiqlərindən biri kimi “Törəmələr” bölməsində başa çatdı. Və təfərrüata varmadan metodun nəzəri əsaslandırılması, məsələnin texniki tərəfinə baxacağam. Təcrübədə yuxarıda təsvir olunan problem təxminən aşağıdakı formada baş verir:

Misal 1

İstifadə etməklə qrafik metod tənliyin həqiqi kökünün yerləşdiyi intervalı tapın. Nyuton metodundan istifadə edərək kökün təxmini dəyərini 0,001 dəqiqliklə əldə edin.

Budur, tapşırığın "ehtiyatlı versiyası", burada bir etibarlı kökün olması dərhal bildirilir.

Həll: ilk addımda kök qrafik olaraq ayrılmalıdır. Bu, plan quraraq edilə bilər (yuxarıdakı təsvirlərə baxın), lakin bu yanaşmanın bir sıra mənfi cəhətləri var. Birincisi, qrafikin sadə olması fakt deyil (əvvəlcədən bilmirik), A proqram təminatı- həmişə əlində deyil. Və ikincisi (1-ci nəticə), böyük ehtimalla nəticə hətta sxematik bir rəsm deyil, kobud bir rəsm olacaq, bu, əlbəttə ki, yaxşı deyil.

Yaxşı, bizə lazımsız çətinliklər niyə lazımdır? Təsəvvür edək tənlikşəklində, DİQQƏTLİ şəkildə qrafiklər qurun və rəsmdə kökü qeyd edin (“X” qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatı):

Aşkar üstünlük bu üsul odur ki, bu funksiyaların qrafikləri əl ilə daha dəqiq və daha sürətli qurulur. Yeri gəlmişkən, qeyd edin düz keçdi kub parabola bir nöqtədə, yəni təklif olunan tənliyin əslində yalnız bir həqiqi kökü var. Güvənin, amma yoxlayın ;-)

Beləliklə, "müştəri"miz seqmentə aiddir və "gözlə" təxminən 0,65-0,7-ə bərabərdir.

İkinci addımda seçmək lazımdır ilkin yaxınlaşma kök Adətən bu seqmentin uclarından biridir. İlkin yaxınlaşma təmin etməlidir növbəti şərt:

tapaq birinci Və ikinci törəmə funksiyalar :

və seqmentin sol ucunu yoxlayın:

Beləliklə, sıfır "uyğun gəlmədi".

Seqmentin sağ ucunun yoxlanılması:

- Hər şey yaxşıdır! İlkin yaxınlaşma kimi seçirik.

Üçüncü addımda Bizi kökə aparan yol gözləyir. Hər bir sonrakı kök yaxınlaşması aşağıdakılardan istifadə edərək əvvəlki məlumatlardan hesablanır təkrarlanan düsturlar:

Proses şərt yerinə yetirildikdə başa çatır, burada əvvəlcədən müəyyən edilmiş hesablama dəqiqliyidir. Nəticədə kökün təxmini qiyməti kimi “n-ci” yaxınlaşması alınır: .

Sonrakı adi hesablamalar:

(yuvarlaqlaşdırma adətən 5-6 onluq yerlərinə aparılır)

Alınan dəyər -dən böyük olduğu üçün kökün 1-ci yaxınlaşmasına keçirik:

Hesablayırıq:

, buna görə də 2-ci yaxınlaşmaya keçməyə ehtiyac var:

Gəlin növbəti mərhələyə keçək:

, beləliklə, təkrarlamalar tamamlanır və 2-ci yaxınlaşma kökün təxmini qiyməti kimi qəbul edilməlidir ki, bu da verilmiş dəqiqliyə uyğun olaraq mində birinə yuvarlaqlaşdırılmalıdır:

Təcrübədə hesablamaların nəticələrini cədvələ daxil etmək rahatdır, girişi bir qədər qısaltmaq üçün bir kəsr çox vaxt aşağıdakılarla işarələnir:

Mümkünsə, Excel-də hesablamaları özləri aparmaq daha yaxşıdır - bu, daha rahat və daha sürətlidir:

Cavab verin: 0,001-ə qədər dəqiqlik

Nəzərinizə çatdırım ki, bu ifadə bizim qiymətləndirmədə səhv etdiyimizi nəzərdə tutur əsl məna kök 0,001-dən çox olmamalıdır. Şübhəsi olanlar mikrokalkulyator götürüb yenidən təxmini dəyəri 0,674 ilə əvəz edə bilərlər. sol tərəf tənliklər

İndi cədvəlin sağ sütununu yuxarıdan aşağıya "skan edək" və dəyərlərin mütləq dəyərdə durmadan azaldığını görək. Bu təsir adlanır yaxınlaşma kökü ixtiyari yüksək dəqiqliklə hesablamağa imkan verən üsul. Ancaq konvergensiya həmişə baş vermir - təmin edilir bir sıra şərtlər, onun haqqında susdum. Xüsusilə, kökün təcrid olunduğu seqment olmalıdır kifayət qədər kiçik– əks halda dəyərlər təsadüfi dəyişəcək və biz alqoritmi tamamlaya bilməyəcəyik.

Belə hallarda nə etməli? Göstərilən şərtlərin yerinə yetirildiyini yoxlayın (yuxarıdakı linkə baxın), və lazım gələrsə, seqmenti azaldın. Beləliklə, nisbətən desək, təhlil edilən nümunədə interval bizim üçün uyğun deyildisə, məsələn, seqmenti nəzərdən keçirməliyik. Təcrübədə belə hallarla rastlaşmışam, və bu texnika həqiqətən kömək edir! “Geniş” seqmentin hər iki ucu şərti təmin etmirsə, eyni şeyi etmək lazımdır (yəni, onların heç biri ilkin yaxınlaşma kimi uyğun deyil).

Ancaq ümumiyyətlə hər şey saat kimi işləyir, baxmayaraq ki, tələlər olmadan:

Misal 2

Tənliyin həqiqi köklərinin sayını qrafik olaraq təyin edin, bu kökləri ayırın və Nyuton metodundan istifadə edərək köklərin təxmini qiymətlərini dəqiqliklə tapın.

Məsələnin vəziyyəti nəzərəçarpacaq dərəcədə sərtləşdi: birincisi, tənliyin tək kökünün olmadığına dair güclü bir işarə var, ikincisi, dəqiqlik tələbi artıb, üçüncüsü, funksiyanın qrafiki ilə öhdəsindən gəlmək daha çətindir.

Və buna görə də həll Bir qənaət hiyləsi ilə başlayaq: tənliyi formada təsəvvür edin və qrafiklər çəkin:


Rəsmdən belə çıxır ki, tənliyimizin iki həqiqi kökü var:

Alqoritmi, başa düşdüyünüz kimi, iki dəfə "kranklaşdırmaq" lazımdır. Ancaq bu ən ağır hallarda belə olur, bəzən 3-4 kökü yoxlamaq lazımdır.

1) Meyardan istifadə Birinci kökün ilkin yaxınlaşması kimi seqmentin hansı ucunun seçiləcəyini öyrənək. Funksiyaların törəmələrinin tapılması :

Seqmentin sol ucunun sınaqdan keçirilməsi:

- gəldi!

Beləliklə, ilkin yaxınlaşmadır.

Biz təkrarlanan düsturdan istifadə edərək Nyuton metodundan istifadə edərək kökü dəqiqləşdirəcəyik:
- kəsrə qədər modulu tələb olunan dəqiqlikdən az olmayacaq:

Və burada "modul" sözü qeyri-illüziya əhəmiyyəti qazanır, çünki dəyərlər mənfidir:


Eyni səbəbdən, hər bir növbəti yaxınlaşmaya keçərkən xüsusi diqqət yetirilməlidir:

Kifayət qədər olmasına baxmayaraq yüksək tələb dəqiqlik üçün proses yenidən 2-ci yaxınlaşmada başa çatdı: , buna görə də:

0.0001-ə qədər dəqiqlik

2) Kökün təxmini qiymətini tapaq.

Seqmentin sol ucunu bit üçün yoxlayırıq:

, buna görə də ilkin yaxınlaşma kimi uyğun deyil.