গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের অনুমান। একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান

s x =(1.11)

আমরা আরও বিবেচনা করব গুরুত্বপূর্ণ কাজএকটি পর্যবেক্ষিত এলোমেলো পরিবর্তনশীল অধ্যয়ন করতে। কিছু নমুনা থাকতে দিন (আমরা এটি বোঝাব এস) আমার স্নাতকের এক্স. উপলব্ধ নমুনা থেকে অনুমান করা প্রয়োজন অজানা মান m xএবং ।

বিভিন্ন প্যারামিটারের অনুমানের তত্ত্ব দখল করে গাণিতিক পরিসংখ্যানউল্লেখযোগ্য স্থান। অতএব, আসুন প্রথমে বিবেচনা করা যাক সাধারণ কাজ. কিছু পরামিতি অনুমান করা প্রয়োজন হতে দিন কনমুনা দ্বারা এস. প্রতিটি যেমন মূল্যায়ন একটি*কিছু ফাংশন a*=a*(S)নমুনা মান থেকে। নমুনা মান র্যান্ডম, তাই অনুমান নিজেই একটি*একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। অনেক গড়ে তোলা সম্ভব বিভিন্ন অনুমান(যেমন ফাংশন) একটি*, কিন্তু একই সময়ে মূল্যায়ন একটি "ভাল" বা এমনকি "সেরা" থাকা বাঞ্ছনীয়। নিম্নলিখিত তিনটি প্রাকৃতিক প্রয়োজনীয়তা সাধারণত মূল্যায়ন উপর আরোপ করা হয়.

1. স্থানচ্যুত।মূল্যায়নের গাণিতিক প্রত্যাশা একটি*প্যারামিটারের সঠিক মানের সমান হতে হবে: ম = ক. অন্য কথায়, স্কোর একটি*পদ্ধতিগত ত্রুটি থাকা উচিত নয়।

2. সম্পদ।নমুনা আকার একটি অসীম বৃদ্ধি সঙ্গে, অনুমান একটি*একটি সঠিক মানের সাথে মিলিত হওয়া উচিত, অর্থাৎ, পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে অনুমান ত্রুটি শূন্যের দিকে চলে যায়।

3. দক্ষতা।শ্রেণী একটি*যদি এটি নিরপেক্ষ হয় এবং ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য ত্রুটির বৈচিত্র্য থাকে তবে এটিকে দক্ষ বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, অনুমানের বিস্তার ন্যূনতম একটি*সঠিক মানের সাথে সম্পর্কিত এবং অনুমান একটি নির্দিষ্ট অর্থে "সবচেয়ে নির্ভুল"।

দুর্ভাগ্যবশত, একই সাথে তিনটি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এমন একটি মূল্যায়ন করা সবসময় সম্ভব নয়।

গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করতে, একটি অনুমান প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

= , (1.12)

অর্থাৎ নমুনার গাণিতিক গড়। এলোমেলো পরিবর্তনশীল হলে এক্সসসীম আছে m xএবং s x, তাহলে অনুমান (1.12) পক্ষপাতমূলক এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। এই অনুমান কার্যকর, উদাহরণস্বরূপ, যদি এক্সএকটি স্বাভাবিক বন্টন আছে (চিত্র 1.4, পরিশিষ্ট 1)। অন্যান্য বিতরণের জন্য এটি কার্যকর নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ক্ষেত্রে সমবন্টন(চিত্র 1.1, পরিশিষ্ট 1) একটি নিরপেক্ষ, সামঞ্জস্যপূর্ণ অনুমান হবে

(1.13)

একই সময়ে, স্বাভাবিক বিতরণের জন্য অনুমান (1.13) সামঞ্জস্যপূর্ণ বা কার্যকর হবে না এবং নমুনার আকার বৃদ্ধির সাথে আরও খারাপ হবে।

এইভাবে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটি ধরনের বিতরণের জন্য এক্সআপনার গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান ব্যবহার করা উচিত। যাইহোক, আমাদের পরিস্থিতিতে, বিতরণের ধরণটি কেবলমাত্র অস্থায়ীভাবে জানা যেতে পারে। অতএব, আমরা অনুমান (1.12) ব্যবহার করব, যা বেশ সহজ এবং সর্বাধিক রয়েছে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যনিরপেক্ষতা এবং ধারাবাহিকতা।

একটি গোষ্ঠীবদ্ধ নমুনার জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করতে, নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করা হয়:

= , (1.14)

যা পূর্ববর্তী থেকে পাওয়া যেতে পারে, যদি আমরা সবকিছু বিবেচনা করি m iনমুনা মান অন্তর্ভুক্ত i-ম ব্যবধান প্রতিনিধির সমান z iএই ব্যবধান। এই অনুমানটি স্বাভাবিকভাবেই রুক্ষ, তবে উল্লেখযোগ্যভাবে কম গণনার প্রয়োজন, বিশেষ করে একটি বড় নমুনার আকারের সাথে।

বৈচিত্র অনুমান করার জন্য সর্বাধিক ব্যবহৃত অনুমান হল:

= , (1.15)

এই অনুমানটি পক্ষপাতমূলক নয় এবং যেকোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৈধ এক্স, চতুর্থ ক্রম পর্যন্ত সীমিত মুহূর্ত থাকা।

একটি গোষ্ঠীবদ্ধ নমুনার ক্ষেত্রে, ব্যবহৃত অনুমান হল:

= (1.16)

অনুমান (1.14) এবং (1.16), একটি নিয়ম হিসাবে, পক্ষপাতদুষ্ট এবং অপ্রতিরোধ্য, যেহেতু তাদের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারা যে সীমাতে একত্রিত হয় তার থেকে আলাদা m xএবং অন্তর্ভুক্ত সমস্ত নমুনা মান প্রতিস্থাপনের কারণে i-ম ব্যবধান, প্রতি ব্যবধান প্রতিনিধি z i.

বড় জন্য যে নোট করুন n,গুণাঙ্ক n/(n – 1)অভিব্যক্তিতে (1.15) এবং (1.16) একতার কাছাকাছি, তাই এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে।

ব্যবধান অনুমান।

দিন প্রকৃত মূল্যকিছু প্যারামিটার সমান কএবং তার অনুমান পাওয়া গেছে a*(S)নমুনা দ্বারা এস. মূল্যায়ন একটি*সাংখ্যিক অক্ষের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায় (চিত্র 1.5), তাই এই অনুমান বলা হয় বিন্দু. পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আলোচিত সমস্ত অনুমান বিন্দু অনুমান। প্রায় সবসময়, সুযোগ কারণে

a* ¹ ক, এবং আমরা শুধুমাত্র যে বিন্দু আশা করতে পারেন একটি*কাছাকাছি কোথাও আছে ক. কিন্তু কত কাছে? অন্য কোন পয়েন্ট অনুমান একই ত্রুটি থাকবে - ফলাফল নির্ভরযোগ্যতা একটি পরিমাপ অভাব.

চিত্র 1.5। পয়েন্ট প্যারামিটার অনুমান।

এই বিষয়ে আরো সুনির্দিষ্ট ব্যবধান অনুমান. ব্যবধান স্কোর একটি ব্যবধান প্রতিনিধিত্ব করে I b = (a, b), যেখানে আনুমানিক প্যারামিটারের সঠিক মান একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে পাওয়া যায় খ. অন্তর আমি খডাকা আস্থা ব্যবধান, এবং সম্ভাবনা খডাকা আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা এবং হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে মূল্যায়নের নির্ভরযোগ্যতা.

আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান উপলব্ধ নমুনার উপর ভিত্তি করে এস, এটা এলোমেলো এই অর্থে যে এর সীমানা এলোমেলো a(S)এবং b(S), যা আমরা একটি (এলোমেলো) নমুনা থেকে গণনা করব। এই জন্য খএকটি সম্ভাবনা আছে যে র্যান্ডম ব্যবধান আমি খএকটি নন-এলোমেলো পয়েন্ট কভার করবে ক. চিত্রে। 1.6। অন্তর আমি খবিন্দু কভার ক, ক আইবি*- না। অতএব, এটা বলা সম্পূর্ণ সঠিক নয় একটি "ব্যবধানে পড়ে"

যদি আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা থাকে খবড় (উদাহরণস্বরূপ, b = 0.999), তারপর প্রায় সবসময় সঠিক মান কনির্মিত ব্যবধানের মধ্যে রয়েছে।

চিত্র 1.6। প্যারামিটারের আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান কবিভিন্ন নমুনার জন্য।

এর নির্মাণ পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক আস্থা ব্যবধানএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার জন্য এক্স,উপর ভিত্তি করে কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য.

র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যাক এক্সএকটি অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা আছে m xএবং পরিচিত বৈচিত্র. তারপর, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের ভিত্তিতে, গাণিতিক গড় হল:

= , (1.17)

ফলাফল n স্বাধীন পরীক্ষাপরিমাণ এক্সএকটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার ডিস্ট্রিবিউশন বড় n, কাছাকাছি স্বাভাবিক বন্টনগড় সঙ্গে m xএবং আদর্শ বিচ্যুতি। অতএব র্যান্ডম পরিবর্তনশীল

(1.18)

একটি সম্ভাব্যতা বন্টন আছে যা বিবেচনা করা যেতে পারে স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকবন্টন ঘনত্ব সহ j(t), যার গ্রাফ চিত্র 1.7 এ দেখানো হয়েছে (পাশাপাশি চিত্র 1.4, পরিশিষ্ট 1 এ)।

চিত্র 1.7। একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বন্টন t.

আত্মবিশ্বাস সম্ভাবনা দেওয়া যাক খএবং টি খ -সংখ্যাটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

কোথায় - ল্যাপ্লেস ফাংশন. তাহলে ব্যবধানে পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা (-t b, t b)চিত্র 1.7-এ ছায়াযুক্ত একের সমান হবে। এলাকা, এবং, প্রকাশের গুণে (1.19), সমান খ. তাই

b = P(-t b< < t b) = P( - টিবি< m x < + টি খ) =

= পি( - টিবি< m x < + টি খ)।(1.20)

সুতরাং, একটি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান হিসাবে আমরা ব্যবধান নিতে পারি

আমি খ = ( - টি বি; + t খ ) , (1.21)

যেহেতু এক্সপ্রেশন (1.20) মানে অজানা সঠিক মান m xমধ্যে আছে আমি খএকটি প্রদত্ত আস্থা সম্ভাবনা সঙ্গে খ. নির্মাণের জন্য আমি খনির্দিষ্ট হিসাবে প্রয়োজন খঅনুসন্ধান t খসমীকরণ থেকে (1.19)। এর কয়েকটি মান দেওয়া যাক t খভবিষ্যতে প্রয়োজন :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3।

অভিব্যক্তি (1.21) প্রাপ্ত করার সময়, এটি ধরে নেওয়া হয়েছিল যে আদর্শ বিচ্যুতির সঠিক মান জানা যায় s x. যাইহোক, এটি সবসময় জানা যায় না। তাই আসুন তার অনুমান ব্যবহার করুন (1.15) এবং প্রাপ্ত করুন:

আমি খ = ( - টি বি; +tb). (1.22)

তদনুসারে, গোষ্ঠীবদ্ধ নমুনা থেকে অনুমান এবং প্রাপ্ত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানের জন্য নিম্নলিখিত সূত্র দেয়:

আমি খ = ( - টি বি; +tb). (1.23)

লেকচারের উদ্দেশ্য: একটি অজানা বন্টন পরামিতি অনুমান করার ধারণাটি চালু করুন এবং এই জাতীয় অনুমানের একটি শ্রেণীবিভাগ দিন; গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের বিন্দু এবং ব্যবধান অনুমান পান।

অনুশীলনে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বন্টন আইন অজানা, এবং পর্যবেক্ষণের ফলাফল অনুসারে
সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলি অনুমান করা প্রয়োজন (উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক প্রত্যাশা, বিচ্ছুরণ বা অন্যান্য মুহূর্ত) বা একটি অজানা পরামিতি , যা বন্টন আইন (বন্টন ঘনত্ব) নির্ধারণ করে
র্যান্ডম পরিবর্তনশীল অধ্যয়ন করা হচ্ছে. এইভাবে, একটি সূচকীয় বন্টন বা পয়সন বন্টনের জন্য, একটি প্যারামিটার অনুমান করা যথেষ্ট, কিন্তু একটি সাধারণ বন্টনের জন্য, দুটি প্যারামিটার অবশ্যই অনুমান করা উচিত - গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ।

মূল্যায়নের ধরন

এলোমেলো মান
একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব আছে
, কোথায় - অজানা বিতরণ পরামিতি। পরীক্ষার ফলস্বরূপ, এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল:
. একটি মূল্যায়ন করার অপরিহার্য অর্থ হল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নমুনা মান অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট প্যারামিটার মানের সাথে যুক্ত হতে হবে , অর্থাৎ পর্যবেক্ষণ ফলাফলের কিছু ফাংশন তৈরি করুন
, যার মান একটি অনুমান হিসাবে নেওয়া হয় প্যারামিটার . সূচক সঞ্চালিত পরীক্ষার সংখ্যা নির্দেশ করে।

যে কোন ফাংশন যা পর্যবেক্ষণের ফলাফলের উপর নির্ভর করে তাকে বলা হয় পরিসংখ্যান. যেহেতু পর্যবেক্ষণের ফলাফল র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল, তাই পরিসংখ্যানও একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হবে। অতএব, মূল্যায়ন
অজানা পরামিতি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা উচিত, এবং এর মান, ভলিউমের পরীক্ষামূলক ডেটা থেকে গণনা করা হয় , - এক হিসাবে সম্ভাব্য মানএই র্যান্ডম পরিবর্তনশীল.

ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের অনুমান (একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য) বিন্দু এবং ব্যবধানে বিভক্ত। পয়েন্ট অনুমানপ্যারামিটার একটি সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত , এবং এর নির্ভুলতা অনুমানের ভিন্নতা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ব্যবধান অনুমানএকটি স্কোর বলা হয় যা দুটি সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়, এবং - আনুমানিক পরামিতি কভার করে ব্যবধানের শেষ একটি প্রদত্ত আস্থা সম্ভাবনা সঙ্গে.

শ্রেণীবিভাগ পয়েন্ট অনুমান

একটি অজানা পরামিতি একটি বিন্দু অনুমানের জন্য
নির্ভুলতার ক্ষেত্রে সর্বোত্তম, এটি অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ, নিরপেক্ষ এবং দক্ষ হতে হবে।

ধনীমূল্যায়ন বলা হয়
প্যারামিটার , যদি এটি আনুমানিক প্যারামিটারে সম্ভাব্যতার সাথে একত্রিত হয়, যেমন

. (8.8)

চেবিশেভের অসমতার উপর ভিত্তি করে, এটি দেখানো যেতে পারে যথেষ্ট শর্তসম্পর্কের পরিপূর্ণতা (8.8) হল সমতা

.

সামঞ্জস্য হল অনুমানের একটি অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্য
.

পক্ষপাতশূন্যমূল্যায়ন বলা হয়
(পদ্ধতিগত ত্রুটি ছাড়াই অনুমান), যার গাণিতিক প্রত্যাশা আনুমানিক প্যারামিটারের সমান, যেমন

. (8.9)

যদি সমতা (8.9) সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে অনুমানটিকে পক্ষপাতমূলক বলা হয়। পার্থক্য
অনুমানে পক্ষপাত বা পদ্ধতিগত ত্রুটি বলা হয়। যদি সমতা (8.9) শুধুমাত্র জন্য সন্তুষ্ট হয়
, তারপর সংশ্লিষ্ট অনুমানটিকে বলা হয় অসীমভাবে নিরপেক্ষ।

এটি লক্ষ করা উচিত যে যদি অনুশীলনে ব্যবহৃত সমস্ত অনুমানের জন্য সামঞ্জস্যতা একটি প্রায় বাধ্যতামূলক শর্ত হয় (অসংগত অনুমানগুলি খুব কমই ব্যবহৃত হয়), তবে নিরপেক্ষতার সম্পত্তি কেবল আকাঙ্খিত। অনেক ঘন ঘন ব্যবহৃত অনুমান নিরপেক্ষ হওয়ার সম্পত্তি নেই।

সাধারণভাবে, কিছু পরামিতি অনুমান করার যথার্থতা , পরীক্ষামূলক তথ্যের ভিত্তিতে প্রাপ্ত
, গড় বর্গক্ষেত্র ত্রুটি দ্বারা চিহ্নিত

,

যা আকারে হ্রাস করা যেতে পারে

,

পার্থক্য কোথায়,
- বর্গক্ষেত্র অনুমান পক্ষপাত।

যদি অনুমান নিরপেক্ষ হয়, তাহলে

সসীম এ গড় বর্গাকার ত্রুটি দ্বারা অনুমান ভিন্ন হতে পারে . স্বাভাবিকভাবেই, এই ত্রুটিটি যত ছোট হবে, মূল্যায়নের মানগুলি আনুমানিক প্যারামিটারের চারপাশে আরও ঘনিষ্ঠভাবে গোষ্ঠীবদ্ধ হবে। অতএব, এটি সর্বদা বাঞ্ছনীয় যে অনুমান ত্রুটি যতটা সম্ভব ছোট, অর্থাৎ, শর্তটি সন্তুষ্ট

. (8.10)

মূল্যায়ন , সন্তোষজনক অবস্থা (8.10), ন্যূনতম বর্গ ত্রুটি সহ একটি অনুমান বলা হয়।

কার্যকরীমূল্যায়ন বলা হয়
, যার জন্য গড় বর্গ ত্রুটি অন্য কোনো অনুমানের গড় বর্গ ত্রুটির চেয়ে বেশি নয়, যেমন

কোথায় - অন্য কোনো প্যারামিটার অনুমান .

এটা জানা যায় যে একটি প্যারামিটারের কোনো নিরপেক্ষ অনুমানের বৈচিত্র ক্রেমার-রাও অসমতাকে সন্তুষ্ট করে

,

কোথায়
- প্যারামিটারের প্রকৃত মানের সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রাপ্ত মানগুলির শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বন্টন .

সুতরাং, নিরপেক্ষ অনুমান
, যার জন্য Cramer–Rao অসমতা সমতা হয়ে যায়, কার্যকর হবে, অর্থাৎ, এই ধরনের অনুমানের ন্যূনতম বৈচিত্র্য রয়েছে।

প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের বিন্দু অনুমান

যদি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করা হয়
, যার একটি গাণিতিক প্রত্যাশা আছে এবং বৈচিত্র্য , তারপর এই উভয় পরামিতি অজানা বলে মনে করা হয়। অতএব, একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল উপর
উত্পাদিত স্বাধীন পরীক্ষা যা ফলাফল দেয়:
. অজানা পরামিতিগুলির সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নিরপেক্ষ অনুমান খুঁজে বের করা প্রয়োজন এবং .

অনুমান হিসাবে এবং সাধারণত পরিসংখ্যানগত (নমুনা) গড় এবং পরিসংখ্যানগত (নমুনা) পার্থক্য যথাক্রমে নির্বাচিত হয়:

; (8.11)

. (8.12)

গাণিতিক প্রত্যাশার অনুমান (8.11) বড় সংখ্যার (চেবিশেভের উপপাদ্য) অনুসারে সামঞ্জস্যপূর্ণ:

.

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা

.

অতএব, অনুমান নিরপেক্ষ।

গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমানের বিচ্ছুরণ:

এলোমেলো পরিবর্তনশীল হলে
স্বাভাবিক আইন অনুযায়ী বিতরণ করা হয়, তারপর অনুমান এছাড়াও কার্যকর।

প্রকরণ অনুমানের প্রত্যাশা

একই সময়

.

কারণ
, ক
, তারপর আমরা পেতে

. (8.13)

এইভাবে,
- একটি পক্ষপাতমূলক মূল্যায়ন, যদিও এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং কার্যকর।

সূত্র (8.13) থেকে এটি একটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রাপ্ত করার জন্য অনুসরণ করে
নমুনা বৈচিত্র্য (8.12) নিম্নরূপ সংশোধন করা উচিত:

যা আনুমানিক (8.12) তুলনায় "ভাল" বলে বিবেচিত হয়, যদিও বড় আকারে এই অনুমানগুলি একে অপরের প্রায় সমান।

ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের অনুমান প্রাপ্তির পদ্ধতি

প্রায়শই অনুশীলনে, শারীরিক প্রক্রিয়ার বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল তৈরি করে
, আমরা এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বন্টন আইন সম্পর্কে একটি উপসংহার টানতে পারি। যাইহোক, এই বিতরণের পরামিতিগুলি অজানা এবং পরীক্ষামূলক ফলাফল থেকে অনুমান করা আবশ্যক, সাধারণত একটি সীমিত নমুনা আকারে উপস্থাপিত হয়
. এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, দুটি পদ্ধতি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়: মুহুর্তের পদ্ধতি এবং সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি।

মুহূর্তের পদ্ধতি. পদ্ধতিটি একই আদেশের সংশ্লিষ্ট অভিজ্ঞতামূলক মুহূর্তগুলির সাথে তাত্ত্বিক মুহূর্তগুলিকে সমান করে।

অভিজ্ঞতামূলক শুরুর পয়েন্ট -ম ক্রম সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

,

এবং সংশ্লিষ্ট তাত্ত্বিক প্রাথমিক মুহূর্ত -ম ক্রম - সূত্র:

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য,

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য,

কোথায় - আনুমানিক বিতরণ পরামিতি।

দুটি অজানা পরামিতি সমন্বিত একটি বিতরণের পরামিতিগুলির অনুমান পেতে এবং , দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সংকলিত হয়

কোথায় এবং - দ্বিতীয় আদেশের তাত্ত্বিক এবং অভিজ্ঞতামূলক কেন্দ্রীয় মুহূর্ত।

সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল অনুমান এবং অজানা বিতরণ পরামিতি এবং .

প্রথম ক্রমটির তাত্ত্বিক এবং অভিজ্ঞতামূলক প্রাথমিক মুহূর্তগুলিকে সমান করে, আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করে এটি পাই
, একটি নির্বিচারে বন্টন থাকা, নমুনা গড় হবে, যেমন
. তারপরে, দ্বিতীয় ক্রমটির তাত্ত্বিক এবং অভিজ্ঞতামূলক কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলিকে সমান করে, আমরা পাই যে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের পরিবর্তনের অনুমান
, যার একটি নির্বিচারে বন্টন আছে, সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

.

একইভাবে, যে কোনো আদেশের তাত্ত্বিক মুহূর্তগুলির অনুমান খুঁজে পেতে পারেন।

মুহূর্তগুলির পদ্ধতিটি সহজ এবং জটিল গণনার প্রয়োজন হয় না, তবে এই পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত অনুমানগুলি প্রায়শই অকার্যকর হয়।

সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি. অজানা বন্টন পরামিতিগুলির বিন্দু অনুমানের সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতিটি এক বা একাধিক আনুমানিক প্যারামিটারের সর্বাধিক ফাংশন খুঁজে বের করার জন্য নেমে আসে।

দিন
একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, যার ফলে পরীক্ষা মান নিয়েছে
. একটি অজানা পরামিতি একটি অনুমান প্রাপ্ত করতে এটা যেমন একটি মান খুঁজে বের করা প্রয়োজন , যেখানে ফলাফল নমুনা বাস্তবায়নের সম্ভাবনা সর্বাধিক হবে। কারণ
একই সম্ভাবনার ঘনত্বের সাথে পারস্পরিকভাবে স্বাধীন পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে
, যে সম্ভাবনা ফাংশনআর্গুমেন্ট ফাংশন কল করুন :

প্যারামিটারের সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান এই মান বলা হয় , যেখানে সম্ভাবনা ফাংশন সর্বাধিক পৌঁছে যায়, অর্থাৎ, সমীকরণের একটি সমাধান

,

যা স্পষ্টভাবে পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে
.

যেহেতু ফাংশন
এবং
একই মানগুলিতে সর্বাধিক পৌঁছান
, তারপর প্রায়শই গণনা সহজ করার জন্য তারা লগারিদমিক সম্ভাবনা ফাংশন ব্যবহার করে এবং সংশ্লিষ্ট সমীকরণের মূলের সন্ধান করে

,

চমগ্মজগচ সম্ভাবনা সমীকরণ.

আপনি যদি বেশ কয়েকটি পরামিতি মূল্যায়ন করতে হবে
বিতরণ
, তাহলে সম্ভাবনা ফাংশন এই পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করবে। অনুমান খুঁজে পেতে
ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারগুলি সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা সমীকরণ

.

সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অসীমভাবে দক্ষ অনুমান প্রদান করে। যাইহোক, সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত অনুমানগুলি পক্ষপাতদুষ্ট, এবং উপরন্তু, অনুমান খুঁজে পেতে, প্রায়শই সমীকরণের বরং জটিল সিস্টেমগুলি সমাধান করা প্রয়োজন।

ব্যবধান পরামিতি অনুমান

বিন্দু অনুমানের নির্ভুলতা তাদের বৈচিত্র্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যাইহোক, প্রাপ্ত অনুমানগুলি পরামিতিগুলির সত্যিকারের মানগুলির কতটা কাছাকাছি সে সম্পর্কে কোনও তথ্য নেই। অনেকগুলি কাজের মধ্যে, আপনাকে শুধুমাত্র প্যারামিটার খুঁজে বের করতে হবে না উপযুক্ত সংখ্যাসূচক মান, কিন্তু তার নির্ভুলতা এবং নির্ভরযোগ্যতা মূল্যায়ন করতে। একটি প্যারামিটার প্রতিস্থাপনের ফলে কী ত্রুটি হতে পারে তা আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে এর পয়েন্ট অনুমান এবং কতটা আত্মবিশ্বাসের সাথে আমাদের আশা করা উচিত যে এই ত্রুটিগুলি পরিচিত সীমা অতিক্রম করবে না।

এই ধরনের কাজগুলি বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক যখন অল্প সংখ্যক পরীক্ষা-নিরীক্ষা হয়। , যখন বিন্দু অনুমান মূলত এলোমেলো এবং আনুমানিক প্রতিস্থাপন চালু উল্লেখযোগ্য ত্রুটি হতে পারে।

আরো সম্পূর্ণ এবং নির্ভরযোগ্য উপায়ডিস্ট্রিবিউশনের পরামিতি অনুমান করা একটি একক পয়েন্ট মান নির্ধারণ করে না, তবে একটি ব্যবধান যা একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতার সাথে, আনুমানিক পরামিতির প্রকৃত মানকে কভার করে।

ফলাফল অনুযায়ী যাক পরীক্ষা, একটি নিরপেক্ষ অনুমান প্রাপ্ত করা হয়েছিল
প্যারামিটার . সম্ভাব্য ত্রুটি মূল্যায়ন করা প্রয়োজন। কিছু যথেষ্ট বড় সম্ভাবনা নির্বাচন করা হয়েছে
(উদাহরণস্বরূপ), এই সম্ভাবনা সহ একটি ঘটনাকে কার্যত নির্দিষ্ট ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এই জাতীয় মান পাওয়া যায় , কিসের জন্য

. (8.15)

এই ক্ষেত্রে, প্রতিস্থাপনের সময় ঘটে যাওয়া ত্রুটির কার্যত সম্ভাব্য মানগুলির পরিসর চালু , ইচ্ছাশক্তি
, এবং বড় বেশী পরম মানত্রুটি শুধুমাত্র একটি কম সম্ভাবনা সঙ্গে প্রদর্শিত হবে .

অভিব্যক্তি (8.15) মানে সম্ভাব্যতা সহ
অজানা পরামিতি মান বিরতির মধ্যে পড়ে

. (8.16)

সম্ভাবনা
ডাকা আত্মবিশ্বাসের সম্ভাবনা, এবং ব্যবধান , সম্ভাবনা সঙ্গে আচ্ছাদন প্যারামিটারের প্রকৃত মান বলা হয় আস্থা ব্যবধান. মনে রাখবেন যে প্যারামিটারের মান সম্ভাব্যতার সাথে আস্থার ব্যবধানের মধ্যে রয়েছে তা বলা ভুল . ব্যবহৃত ফর্মুলেশন (কভার) এর অর্থ হল যে যদিও প্যারামিটারটি অনুমান করা হচ্ছে তা অজানা, এটির একটি ধ্রুবক মান রয়েছে এবং তাই এটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল না হওয়ায় এর কোন বিস্তার নেই।

বিষয়:গাণিতিক প্রত্যাশার পয়েন্ট অনুমান। ভিন্নতার বিন্দু অনুমান। একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতার পয়েন্ট অনুমান। অভিন্ন বন্টন পরামিতি বিন্দু অনুমান.

ধারা 1।গাণিতিক প্রত্যাশার পয়েন্ট অনুমান।

আসুন আমরা ধরে নিই যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন ξ অজানা প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে θ : P (ξ θ;)।

যদি এক্স 1 , এক্স 2 …., এক্স nএকটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ξ এর সাধারণ জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনা, তারপর প্যারামিটারটি অনুমান করে θ নমুনা মান একটি নির্বিচারে ফাংশন

অনুমানের মান নমুনা থেকে নমুনায় পরিবর্তিত হয় এবং তাই, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল। বেশির ভাগ পরীক্ষায়, এই র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান আনুমানিক প্যারামিটারের মানের কাছাকাছি থাকে; যদি কোনো মানের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশা প্যারামিটারের প্রকৃত মানের সমান হয়, তাহলে সেই অনুমানগুলিকে বলা হয় যা শর্ত পূরণ করে। পক্ষপাতশূন্য. একটি নিরপেক্ষ অনুমান মানে যে অনুমান পদ্ধতিগত ত্রুটির বিষয় নয়।

অনুমানটিকে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ প্যারামিটার অনুমান বলা হয় θ , যদি কোন ξ>0 এর জন্য এটি সত্য

এইভাবে, নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে ফলাফলের নির্ভুলতা বৃদ্ধি পায়।

দিন এক্স 1 , এক্স 2 … এক্স n – একটি অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একটি পরিচিত প্রকরণ Dξ=σ 2 সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ξ এর সাথে সম্পর্কিত সাধারণ জনসংখ্যার একটি নমুনা। আমাদের অজানা প্যারামিটারের বেশ কয়েকটি অনুমান নির্মাণ করা যাক। যদি, তাহলে , অর্থাৎ প্রশ্নে অনুমানকারী একটি নিরপেক্ষ অনুমানকারী। কিন্তু, যেহেতু মানটি নমুনা আকার n এর উপর নির্ভর করে না, তাই অনুমানটি বৈধ নয়।

একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশার একটি কার্যকর অনুমান হল অনুমান

এখন থেকে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অজানা গাণিতিক প্রত্যাশা অনুমান করতে, আমরা নমুনা গড় ব্যবহার করব, যেমন

অজানা বন্টন পরামিতি অনুমান প্রাপ্ত করার জন্য মানক (নিয়মিত) পদ্ধতি আছে। তাদের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত: মুহুর্তের পদ্ধতি, সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতিএবং সর্বনিম্ন বর্গ পদ্ধতি।

p.2 ভিন্নতার বিন্দু অনুমান।

একটি এলোমেলো চলকের প্রকরণ σ 2 এর জন্য ξ নিম্নলিখিত মূল্যায়ন প্রস্তাব করা যেতে পারে:

যেখানে নমুনা মানে.

এটা প্রমাণিত হয়েছে যে এই অনুমান বৈধ, কিন্তু বাস্তুচ্যুত

বৈচিত্রের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ নিরপেক্ষ অনুমান হিসাবে, মানটি ব্যবহার করুন

এটা অবিকল অনুমানের নিরপেক্ষতা s 2 তাকে আরও ব্যাখ্যা করে ঘন ঘন ব্যবহারমাত্রার অনুমান হিসাবে ডিξ.

মনে রাখবেন যে Mathcad ভ্যারিয়েন্স মানের একটি অনুমান হিসাবে প্রস্তাব করে , না s 2: ফাংশন var(এক্স) মান গণনা করে

কোথায় মানে (এক্স) -নমুনা গড়।

টাস্ক 6.5

Μξ এবং বৈচিত্র্য ডিξ এলোমেলো পরিবর্তনশীল ξ টাস্কে দেওয়া নমুনা মানের উপর ভিত্তি করে।

টাস্ক সম্পূর্ণ করার জন্য পদ্ধতি

ডিস্ক থেকে নমুনা মান ধারণকারী একটি ফাইল পড়ুন, বা কীবোর্ড থেকে একটি নির্দিষ্ট নমুনা লিখুন।

বিন্দু অনুমান গণনা Μξ এবং ডিξ.

একটি টাস্ক সম্পূর্ণ করার উদাহরণ

গাণিতিক প্রত্যাশার সামঞ্জস্যপূর্ণ নিরপেক্ষ অনুমান খুঁজুন Μξ এবং বৈচিত্র্য ডিξ আমার স্নাতকের ξ নিম্নলিখিত সারণী দ্বারা প্রদত্ত নমুনা মান অনুযায়ী।

এই ধরনের একটি সারণী দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি নমুনার জন্য (প্রদত্ত নমুনা মান এবং একটি সংখ্যা যা নির্দেশ করে যে এই মানটি নমুনায় কতবার আসে), প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র্যের ধারাবাহিক নিরপেক্ষ অনুমানের সূত্রগুলি হল:

, ,

কোথায় k - টেবিলে মানগুলির সংখ্যা; n i - মান সংখ্যা এক্স i নমুনায়; n- সাধারন মাপ।

বিন্দু অনুমানের গণনা সহ একটি ম্যাথক্যাড ওয়ার্কিং পেপারের একটি খণ্ড নীচে দেওয়া হল।

উপরোক্ত গণনা থেকে এটা স্পষ্ট যে পক্ষপাতদুষ্ট অনুমান প্রকরণ অনুমানের একটি অবমূল্যায়ন দেয়।

ধারা 3। ইভেন্ট সম্ভাবনার পয়েন্ট অনুমান

ধরুন কোনো কোনো পরীক্ষায় ঘটনাটি ঘটল ক(অনুকূল পরীক্ষার ফলাফল) সম্ভাবনার সাথে ঘটে পিএবং সম্ভাবনা সঙ্গে ঘটবে না q = 1 - আর.টাস্ক হল অজানা ডিস্ট্রিবিউশন প্যারামিটারের একটি অনুমান প্রাপ্ত করা পিসিরিজ ফলাফলের উপর ভিত্তি করে nর্যান্ডম পরীক্ষা। পরীক্ষার একটি প্রদত্ত সংখ্যা জন্য nঅনুকূল ফলাফলের সংখ্যা মিপরীক্ষার একটি সিরিজে - একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার একটি বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে। এর অক্ষর দ্বারা এটি চিহ্নিত করা যাক μ.

ঘটনা হলে কএকটি সিরিজের মধ্যে nস্বাধীন পরীক্ষা হয়েছে

মিবার, তারপর মান অনুমান পিসূত্র ব্যবহার করে গণনা করার প্রস্তাব করা হয়

আসুন আমরা প্রস্তাবিত অনুমানের বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করি। যেহেতু এলোমেলো পরিবর্তনশীল μ একটি Bernoulli বিতরণ আছে, তারপর Μμ= n.p এবংএম = এম = পি, অর্থাৎ একটি নিরপেক্ষ অনুমান আছে।

Bernoulli পরীক্ষার জন্য, Bernoulli এর উপপাদ্য বৈধ, যা অনুযায়ী , অর্থাৎ শ্রেণী পি ধনী

এটি প্রমাণিত হয়েছে যে এই অনুমানটি কার্যকর, যেহেতু এটিতে অন্যান্য সমস্ত জিনিস সমান, ন্যূনতম বৈচিত্র্য রয়েছে।

ম্যাথক্যাডে, একটি বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের একটি নমুনা অনুকরণ করার জন্য, ফাংশন rbinom(fc,η,ρ) উদ্দেশ্যে করা হয়, যা থেকে একটি ভেক্টর তৈরি করে প্রতি এলোমেলো সংখ্যা, κα­ ι যার প্রতিটি η স্বাধীন ট্রায়ালের একটি সিরিজে সাফল্যের সংখ্যার সমান যার প্রতিটিতে সাফল্যের সম্ভাবনা ρ।

টাস্ক 6.6

একটি প্রদত্ত প্যারামিটার মান সহ একটি বার্নোলি বন্টন সহ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের বেশ কয়েকটি নমুনা অনুকরণ করুন আর. প্রতিটি নমুনার জন্য প্যারামিটার অনুমান গণনা করুন পিএবং নির্দিষ্ট মানের সাথে তুলনা করুন। গণনার ফলাফল গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করুন।

টাস্ক সম্পূর্ণ করার জন্য পদ্ধতি

1. ফাংশন rbinom ব্যবহার করে(1, n, পি) , দেওয়া সহ একটি বার্নোলি ডিস্ট্রিবিউশন সহ একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মানগুলির একটি ক্রম বর্ণনা করুন এবং তৈরি করুন পিএবং nজন্য n = 10, 20, ..., Ν, নমুনা আকারের একটি ফাংশন হিসাবে পৃ.

2. প্রতিটি মানের জন্য গণনা করুন nপয়েন্ট সম্ভাব্যতা অনুমান আর.

একটি টাস্ক সম্পূর্ণ করার উদাহরণ

ভলিউম নমুনার জন্য পয়েন্ট অনুমান প্রাপ্তির একটি উদাহরণ n= 10, 20,..., 200 মান একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল μ যার প্যারামিটার সহ একটি বার্নোলি বিতরণ রয়েছে পি= 0.3, নিচে দেওয়া আছে।

বিঃদ্রঃ: যেহেতু ফাংশনের মান ভেক্টর, একটি সিরিজে সাফল্যের সংখ্যা nসফলতার সম্ভাবনা সহ স্বাধীন পরীক্ষা পিপ্রতিটি পরীক্ষায় ভেক্টর rbinom (1,) এর প্রথম উপাদানের মধ্যে রয়েছে n, পি), i.e. সাফল্যের সংখ্যা হল rbinom(1, n, পি) উপরের স্নিপেটে k- আমি ভেক্টর উপাদান Ρ 10 সিরিজে সাফল্যের সংখ্যা রয়েছে kজন্য স্বাধীন পরীক্ষা k = 1,2,..., 200.

আইটেম 4. অভিন্ন বিতরণের পরামিতিগুলির বিন্দু অনুমান

আসুন আরেকটি শিক্ষণীয় উদাহরণ দেখি। একটি অজানা পরামিতি সহ একটি সেগমেন্টে একটি অভিন্ন বন্টন রয়েছে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ξ এর সাথে সম্পর্কিত সাধারণ জনসংখ্যা থেকে একটি নমুনা হতে দিন θ . আমাদের টাস্ক এই অজানা পরামিতি অনুমান করা হয়.

এর একটি বিবেচনা করা যাক সম্ভাব্য উপায়প্রয়োজনীয় অনুমান নির্মাণ। যদি ξ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার সেগমেন্টে একটি অভিন্ন বন্টন আছে, তারপর Μ ξ = যেহেতু মাত্রার অনুমান Mξ পরিচিত Μξ =, তারপর পরামিতি অনুমানের জন্য θ আপনি একটি অনুমান নিতে পারেন

অনুমানের নিরপেক্ষতা স্পষ্ট:

n →∞ হিসাবে বিচ্ছুরণ এবং সীমা D গণনা করার পরে, আমরা অনুমানের বৈধতা যাচাই করি:

একটি ভিন্ন প্যারামিটার অনুমান প্রাপ্ত করতে θ এর অন্যান্য পরিসংখ্যান তাকান. যাক = সর্বোচ্চ)। চলুন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন খুঁজে বের করা যাক:

তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য

বিতরণ সহ যথাক্রমে সমান:

;

সেগুলো। মূল্যায়ন সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু পক্ষপাতদুষ্ট। যাইহোক, যদি = max) এর পরিবর্তে আমরা = max) বিবেচনা করি, তাহলে উভয় , এবং তাই, অনুমানটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নিরপেক্ষ।

একই সময়ে, যেহেতু

মূল্যায়নের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি কার্যকর

উদাহরণস্বরূপ, n = 97 এর সাথে, অনুমানের স্প্রেড θ^ অনুমানের স্প্রেডের চেয়ে 33 রাল কম

শেষ উদাহরণটি আবার দেখায় যে একটি অজানা বন্টন প্যারামিটারের একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান নির্বাচন করা একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং অ-তুচ্ছ কাজ।

ম্যাথক্যাডে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের একটি নমুনা অনুকরণ করতে যার ব্যবধানে একটি অভিন্ন বন্টন রয়েছে [a, b], ফাংশন runif(fc,o,b) উদ্দেশ্য করা হয়, যা থেকে একটি ভেক্টর তৈরি করে প্রতি এলোমেলো সংখ্যা, যার প্রত্যেকটি ব্যবধানে সমানভাবে বিতরণ করা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান [a, 6]।