गॉसियन पद्धति का उपयोग कर मैट्रिक्स। आव्यूहों को हल करने के लिए गाऊसी विधि

16वीं-18वीं शताब्दी की शुरुआत से, गणितज्ञों ने गहनता से कार्यों का अध्ययन करना शुरू कर दिया है, जिसकी बदौलत हमारे जीवन में बहुत कुछ बदल गया है। कंप्यूटर प्रौद्योगिकीइस ज्ञान के बिना इसका अस्तित्व ही नहीं होता। जटिल समस्याओं, रैखिक समीकरणों और कार्यों को हल करने के लिए विभिन्न अवधारणाएँ, प्रमेय और समाधान तकनीकें बनाई गई हैं। समाधान के ऐसे सार्वभौमिक और तर्कसंगत तरीकों और तकनीकों में से एक रेखीय समीकरणऔर उनकी प्रणालियाँ गॉसियन पद्धति बन गईं। मैट्रिक्स, उनकी रैंक, निर्धारक - सब कुछ जटिल संचालन का उपयोग किए बिना गणना की जा सकती है।

एसएलएयू क्या है?

गणित में SLAE की अवधारणा है - रैखिक की एक प्रणाली बीजगणितीय समीकरण. वह किसके जैसी है? यह वांछित n अज्ञात मात्राओं के साथ m समीकरणों का एक सेट है, जिसे आमतौर पर x, y, z, या x 1, x 2 ... x n, या अन्य प्रतीकों के रूप में दर्शाया जाता है। गाऊसी विधि से हल करें यह प्रणाली- का अर्थ है सभी अज्ञात अज्ञात को ढूंढना। यदि किसी प्रणाली में अज्ञातों और समीकरणों की संख्या समान है, तो इसे nवें क्रम प्रणाली कहा जाता है।

SLAE को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय तरीके

में शिक्षण संस्थानोंमाध्यमिक शिक्षा के छात्र ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का अध्ययन करते हैं। बहुधा यह सरल समीकरण, दो अज्ञात से मिलकर, तो कोई भी मौजूदा विधिइनका जवाब ढूंढने में ज्यादा वक्त नहीं लगेगा. यह एक प्रतिस्थापन विधि की तरह हो सकता है, जब एक समीकरण से दूसरा प्राप्त किया जाता है और मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। या पद-दर-पद घटाने और जोड़ने की विधि। लेकिन गॉस विधि को सबसे आसान और सबसे सार्वभौमिक माना जाता है। यह किसी भी संख्या में अज्ञात वाले समीकरणों को हल करना संभव बनाता है। इस विशेष तकनीक को तर्कसंगत क्यों माना जाता है? यह आसान है। मैट्रिक्स विधिअच्छी बात यह है कि अनावश्यक प्रतीकों को अज्ञात के रूप में कई बार फिर से लिखने की आवश्यकता नहीं है; यह गुणांक पर अंकगणितीय संचालन करने के लिए पर्याप्त है - और आपको एक विश्वसनीय परिणाम मिलेगा।

व्यवहार में SLAE का उपयोग कहाँ किया जाता है?

SLAE का समाधान फ़ंक्शंस के ग्राफ़ पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। हमारे हाई-टेक कंप्यूटर युग में, जो लोग गेम और अन्य कार्यक्रमों के विकास से निकटता से जुड़े हुए हैं, उन्हें यह जानना आवश्यक है कि ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, वे क्या दर्शाते हैं और परिणामी परिणाम की शुद्धता की जांच कैसे करें। अक्सर, प्रोग्रामर विशेष रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर प्रोग्राम विकसित करते हैं, जिसमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली भी शामिल होती है। गॉस विधि आपको सभी मौजूदा समाधानों की गणना करने की अनुमति देती है। अन्य सरलीकृत सूत्रों और तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।

एसएलएयू अनुकूलता मानदंड

ऐसी प्रणाली को केवल तभी हल किया जा सकता है जब यह संगत हो। स्पष्टता के लिए, आइए SLAE को Ax=b के रूप में प्रस्तुत करें। यदि रंग (ए) रंग (ए, बी) के बराबर है तो इसका एक समाधान है। इस मामले में, (ए,बी) एक विस्तारित रूप मैट्रिक्स है जिसे मैट्रिक्स ए से मुक्त शब्दों के साथ फिर से लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। यह पता चला है कि गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करना काफी आसान है।

शायद कुछ संकेतन पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए एक उदाहरण के साथ हर चीज़ पर विचार करना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक प्रणाली है: x+y=1; 2x-3y=6. इसमें केवल दो समीकरण हैं, जिनमें 2 अज्ञात हैं। सिस्टम का समाधान तभी होगा जब उसके मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो। रैंक क्या है? यह सिस्टम की स्वतंत्र लाइनों की संख्या है। हमारे मामले में, मैट्रिक्स की रैंक 2 है। मैट्रिक्स ए में अज्ञात के पास स्थित गुणांक शामिल होंगे, और "=" चिह्न के पीछे स्थित गुणांक भी विस्तारित मैट्रिक्स में फिट होंगे।

SLAE को मैट्रिक्स रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है?

सिद्ध क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार संगतता मानदंड के आधार पर, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। गॉसियन कैस्केड विधि का उपयोग करके, आप मैट्रिक्स को हल कर सकते हैं और पूरे सिस्टम के लिए एक विश्वसनीय उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि किसी साधारण मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, लेकिन अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम के पास अनंत संख्या में उत्तर हैं।

मैट्रिक्स परिवर्तन

मैट्रिक्स को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, आपको यह जानना होगा कि उनके तत्वों पर क्या क्रियाएं की जा सकती हैं। कई प्राथमिक परिवर्तन हैं:

• सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखकर और इसे हल करके, आप श्रृंखला के सभी तत्वों को एक ही गुणांक से गुणा कर सकते हैं।
• मैट्रिक्स को विहित रूप में बदलने के लिए, आप दो समानांतर पंक्तियों को स्वैप कर सकते हैं। विहित रूप का तात्पर्य है कि मुख्य विकर्ण के साथ स्थित सभी मैट्रिक्स तत्व एक बन जाते हैं, और शेष शून्य हो जाते हैं।
• मैट्रिक्स की समानांतर पंक्तियों के संगत तत्वों को एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है।

जॉर्डन-गॉस विधि

रैखिक सजातीय और की प्रणालियों को हल करने का सार अमानवीय समीकरणगॉसियन विधि अज्ञात को धीरे-धीरे समाप्त करना है। मान लीजिए कि हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें दो अज्ञात हैं। उन्हें ढूंढने के लिए, आपको संगतता के लिए सिस्टम की जांच करनी होगी। गॉस विधि द्वारा समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है। प्रत्येक अज्ञात के निकट स्थित गुणांकों को मैट्रिक्स रूप में लिखना आवश्यक है। सिस्टम को हल करने के लिए, आपको विस्तारित मैट्रिक्स को लिखना होगा। यदि किसी समीकरण में अज्ञात की संख्या कम है, तो लुप्त तत्व के स्थान पर "0" अवश्य लगाना चाहिए। सभी ज्ञात परिवर्तन विधियाँ मैट्रिक्स पर लागू होती हैं: गुणा, किसी संख्या से भाग, श्रृंखला के संबंधित तत्वों को एक दूसरे से जोड़ना, और अन्य। यह पता चला है कि प्रत्येक पंक्ति में "1" मान के साथ एक चर छोड़ना आवश्यक है, बाकी को घटाकर शून्य कर दिया जाना चाहिए। अधिक सटीक समझ के लिए, उदाहरणों के साथ गॉस विधि पर विचार करना आवश्यक है।

2x2 प्रणाली को हल करने का एक सरल उदाहरण

आरंभ करने के लिए, आइए बीजगणितीय समीकरणों की एक सरल प्रणाली लें, जिसमें 2 अज्ञात होंगे।

आइए इसे एक विस्तारित मैट्रिक्स में फिर से लिखें।

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए केवल दो संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। हमें मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने की आवश्यकता है ताकि मुख्य विकर्ण के साथ एक हो। इसलिए, मैट्रिक्स फॉर्म से वापस सिस्टम में स्थानांतरित करने पर, हमें समीकरण मिलते हैं: 1x+0y=b1 और 0x+1y=b2, जहां b1 और b2 समाधान प्रक्रिया में परिणामी उत्तर हैं।

1. विस्तारित मैट्रिक्स को हल करते समय पहली क्रिया यह होगी: दूसरे समीकरण में एक अज्ञात से छुटकारा पाने के लिए पहली पंक्ति को -7 से गुणा किया जाना चाहिए और दूसरी पंक्ति में संबंधित तत्वों को जोड़ना होगा।
2. चूंकि गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने में मैट्रिक्स को विहित रूप में कम करना शामिल है, इसलिए पहले समीकरण के साथ समान संचालन करना और दूसरे चर को हटाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाते हैं और आवश्यक उत्तर प्राप्त करते हैं - SLAE का समाधान। या, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम दूसरी पंक्ति को -1 के कारक से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ते हैं। यह एक ही है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमारा सिस्टम जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा हल किया गया था। हम इसे आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं: x=-5, y=7.

3x3 SLAE समाधान का एक उदाहरण

आइए मान लें कि हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक अधिक जटिल प्रणाली है। गॉसियन विधि सबसे भ्रमित करने वाली प्रणाली के लिए भी उत्तर की गणना करना संभव बनाती है। इसलिए, गणना पद्धति में गहराई से जाने के लिए, आप तीन अज्ञात के साथ अधिक जटिल उदाहरण पर आगे बढ़ सकते हैं।

पिछले उदाहरण की तरह, हम सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में फिर से लिखते हैं और इसे इसके विहित रूप में लाना शुरू करते हैं।

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आपको पिछले उदाहरण की तुलना में बहुत अधिक कार्य करने की आवश्यकता होगी।

1. सबसे पहले आपको पहले कॉलम को एक इकाई तत्व और बाकी को शून्य बनाना होगा। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को -1 से गुणा करें और उसमें दूसरा समीकरण जोड़ें। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम पहली पंक्ति को उसके मूल रूप में और दूसरी को संशोधित रूप में फिर से लिखते हैं।
2. इसके बाद, हम तीसरे समीकरण से इसी पहले अज्ञात को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति के तत्वों को -2 से गुणा करें और उन्हें तीसरी पंक्ति में जोड़ें। अब पहली और दूसरी पंक्तियों को उनके मूल रूप में फिर से लिखा गया है, और तीसरी - परिवर्तनों के साथ। जैसा कि आप परिणाम से देख सकते हैं, हमें मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की शुरुआत में पहला और शेष शून्य मिला। कुछ और कदम, और गाऊसी विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को विश्वसनीय रूप से हल किया जाएगा।
3. अब आपको पंक्तियों के अन्य तत्वों पर संचालन करने की आवश्यकता है। तीसरी और चौथी क्रिया को एक में जोड़ा जा सकता है। विकर्ण पर ऋणात्मक रेखाओं से छुटकारा पाने के लिए हमें दूसरी और तीसरी पंक्तियों को -1 से विभाजित करना होगा। हम तीसरी पंक्ति को पहले ही आवश्यक रूप में ला चुके हैं।
4. आगे हम दूसरी पंक्ति को विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति के तत्वों को -3 से गुणा करें और उन्हें मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ें। परिणाम से यह स्पष्ट है कि दूसरी पंक्ति भी उस रूप में सिमट गई है जिसकी हमें आवश्यकता है। यह कुछ और ऑपरेशन करने और पहली पंक्ति से अज्ञात के गुणांक को हटाने के लिए बना हुआ है।
5. किसी पंक्ति के दूसरे तत्व से 0 बनाने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करना होगा और इसे पहली पंक्ति में जोड़ना होगा।
6. अगला निर्णायक कदम दूसरी पंक्ति के आवश्यक तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ना होगा। इस तरह हमें मैट्रिक्स का विहित रूप मिलता है, और, तदनुसार, उत्तर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना काफी सरल है।

समीकरणों की 4x4 प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

समीकरणों की कुछ और जटिल प्रणालियों को कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके गाऊसी पद्धति का उपयोग करके हल किया जा सकता है। मौजूदा खाली कोशिकाओं में अज्ञात के लिए गुणांक दर्ज करना आवश्यक है, और प्रोग्राम स्वयं चरण दर चरण प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन करते हुए आवश्यक परिणाम की गणना करेगा।

नीचे वर्णित चरण-दर-चरण अनुदेशइस उदाहरण का समाधान.

पहले चरण में, अज्ञात के लिए मुक्त गुणांक और संख्याएँ खाली कोशिकाओं में दर्ज की जाती हैं। इस प्रकार, हमें वही विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है जिसे हम मैन्युअल रूप से लिखते हैं।

और विस्तारित मैट्रिक्स को उसके विहित रूप में लाने के लिए सभी आवश्यक अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं। यह समझना आवश्यक है कि समीकरणों की प्रणाली का उत्तर हमेशा पूर्णांक नहीं होता है। कभी-कभी समाधान भिन्नात्मक संख्याओं से हो सकता है।

समाधान की शुद्धता की जाँच करना

जॉर्डन-गॉस विधि परिणाम की शुद्धता की जांच करने का प्रावधान करती है। यह पता लगाने के लिए कि गुणांकों की गणना सही ढंग से की गई है या नहीं, आपको बस परिणाम को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करना होगा। बाएं हाथ की ओरसमीकरण मेल खाने चाहिए दाहिनी ओर, समान चिह्न के पीछे स्थित है। यदि उत्तर मेल नहीं खाते हैं, तो आपको सिस्टम की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है या उस पर SLAE को हल करने की कोई अन्य विधि लागू करने का प्रयास करें, जैसे कि प्रतिस्थापन या टर्म-दर-टर्म घटाव और जोड़। आख़िरकार, गणित एक विज्ञान है बड़ी राशि विभिन्न तकनीकेंसमाधान। लेकिन याद रखें: परिणाम हमेशा एक जैसा होना चाहिए, चाहे आपने कोई भी समाधान विधि इस्तेमाल की हो।

गॉस विधि: SLAEs को हल करते समय सबसे आम त्रुटियाँ

समीकरणों की रैखिक प्रणालियों को हल करते समय, त्रुटियां अक्सर होती हैं जैसे गुणांकों का मैट्रिक्स रूप में गलत स्थानांतरण। ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें कुछ अज्ञात समीकरणों में से गायब हैं, फिर, जब डेटा को एक विस्तारित मैट्रिक्स में स्थानांतरित किया जाता है, तो वे खो सकते हैं। परिणामस्वरूप, इस प्रणाली को हल करते समय, परिणाम वास्तविक के अनुरूप नहीं हो सकता है।

एक और बड़ी गलती अंतिम परिणाम को गलत तरीके से लिखना हो सकता है। यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि पहला गुणांक सिस्टम से पहले अज्ञात के अनुरूप होगा, दूसरा - दूसरे के अनुरूप होगा, और इसी तरह।

गॉस विधि रैखिक समीकरणों के समाधान का विस्तार से वर्णन करती है। इसके कारण इसका उत्पादन करना आसान है आवश्यक संचालनऔर सही परिणाम खोजें। इसके अलावा, यह किसी भी जटिलता के समीकरणों का विश्वसनीय उत्तर खोजने के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण है। शायद इसीलिए SLAEs को हल करते समय इसका अक्सर उपयोग किया जाता है।

यहां आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को निःशुल्क हल कर सकते हैं गॉस विधि ऑनलाइन बड़े आकारबहुत विस्तृत समाधान के साथ सम्मिश्र संख्याओं में। हमारा कैलकुलेटर गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की सामान्य निश्चित और अनिश्चित दोनों प्रणालियों को ऑनलाइन हल कर सकता है, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस मामले में, उत्तर में आपको कुछ चरों की निर्भरता अन्य, मुक्त चरों के माध्यम से प्राप्त होगी। आप गॉसियन समाधान का उपयोग करके स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन भी जांच सकते हैं।

मैट्रिक्स आकार: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

विधि के बारे में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय ऑनलाइन विधिगॉस निम्नलिखित चरण निष्पादित किए जाते हैं।

1. हम विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं.
2. वास्तव में, समाधान को गॉसियन विधि के आगे और पीछे के चरणों में विभाजित किया गया है। गॉसियन विधि का सीधा चरण एक मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करना है। गॉसियन विधि का उलटा एक मैट्रिक्स को एक विशेष चरणबद्ध रूप में कम करना है। लेकिन व्यवहार में, प्रश्न में तत्व के ऊपर और नीचे दोनों जगह जो स्थित है उसे तुरंत शून्य करना अधिक सुविधाजनक है। हमारा कैलकुलेटर बिल्कुल इसी दृष्टिकोण का उपयोग करता है।
3. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करते समय, मैट्रिक्स में शून्य नहीं के साथ कम से कम एक शून्य पंक्ति की उपस्थिति होती है दाहिनी ओर(मुक्त सदस्यों का कॉलम) सिस्टम की असंगति को इंगित करता है। समाधान रैखिक प्रणालीइस मामले में यह अस्तित्व में नहीं है.

यह समझने के लिए कि गाऊसी एल्गोरिदम ऑनलाइन कैसे काम करता है, कोई भी उदाहरण दर्ज करें, "बहुत विस्तृत समाधान" चुनें और इसका समाधान ऑनलाइन देखें।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस, महानतम गणितज्ञ कब कादर्शनशास्त्र और गणित के बीच चयन करने में झिझक हुई। शायद यही मानसिकता थी जिसने उन्हें विश्व विज्ञान में इतनी उल्लेखनीय "विरासत" बनाने की अनुमति दी। विशेष रूप से, "गॉस विधि" बनाकर...

लगभग 4 वर्षों तक, इस साइट पर लेख मुख्य रूप से दर्शनशास्त्र के दृष्टिकोण से, बच्चों के दिमाग में पेश की गई (गलत) समझ के सिद्धांतों, स्कूली शिक्षा से संबंधित थे। अधिक विशिष्टताओं, उदाहरणों और विधियों का समय आ रहा है... मेरा मानना ​​है कि यह वास्तव में परिचित, भ्रमित करने वाला और दृष्टिकोण है महत्वपूर्णजीवन के क्षेत्र बेहतर परिणाम देते हैं।

हम लोगों को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि हम कितनी भी बातें कर लें सामान्य सोच, लेकिन समझ हमेशाउदाहरणों के माध्यम से होता है. यदि उदाहरण नहीं हैं, तो सिद्धांतों को समझना असंभव है... ठीक उसी प्रकार जैसे किसी पहाड़ की चोटी पर पैदल चलकर पूरी ढलान पार करने के अलावा असंभव है।

स्कूल के साथ भी ऐसा ही: अभी के लिए जीवित कहानियाँयह पर्याप्त नहीं है कि हम सहज रूप से इसे एक ऐसी जगह मानते रहें जहां बच्चों को समझना सिखाया जाता है।

उदाहरण के लिए, गाऊसी पद्धति पढ़ाना...

5वीं कक्षा के स्कूल में गॉस विधि

मुझे तुरंत आरक्षण करने दें: गाऊसी पद्धति में और भी बहुत कुछ है व्यापक अनुप्रयोग, उदाहरण के लिए, हल करते समय रैखिक समीकरणों की प्रणाली. हम जिस बारे में बात करेंगे वह 5वीं कक्षा में घटित होता है। यह शुरू कर दिया, जिसे समझने के बाद, अधिक "उन्नत विकल्पों" को समझना बहुत आसान हो जाता है। इस आर्टिकल में हम बात कर रहे हैं किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने की गॉस विधि (विधि)।

यहाँ एक उदाहरण है जो मैं स्कूल से लाया हूँ छोटा बेटा, मास्को व्यायामशाला में 5वीं कक्षा में भाग ले रहा हूँ।

गॉस पद्धति का स्कूल प्रदर्शन

गणित शिक्षक उपयोग कर रहे हैं संवादात्मक सफेद पटल (आधुनिक तरीकेप्रशिक्षण) ने बच्चों को छोटे गॉस द्वारा "विधि के निर्माण" के इतिहास की एक प्रस्तुति दिखाई।

स्कूल शिक्षक ने नन्हें कार्ल को कोड़े मारे (एक पुराना तरीका, जो आजकल स्कूलों में इस्तेमाल नहीं होता) क्योंकि वह

1 से 100 तक की संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ने के बजाय उनका योग ज्ञात कीजिए ध्यान दियाअंकगणितीय प्रगति के किनारों से समान दूरी पर स्थित संख्याओं के जोड़े का योग एक ही संख्या में होता है। उदाहरण के लिए, 100 और 1, 99 और 2। ऐसे जोड़ियों की संख्या गिनने के बाद, छोटे गॉस ने शिक्षक द्वारा प्रस्तावित समस्या को लगभग तुरंत हल कर दिया। जिसके लिए उन्हें चकित जनता के सामने फाँसी दे दी गई। ताकि दूसरों को सोचने से हतोत्साहित किया जा सके.

छोटे गॉस ने क्या किया? विकसित संख्या समझ? ध्यान दियाकुछ विशेषताएक स्थिर चरण (अंकगणितीय प्रगति) के साथ संख्या श्रृंखला। और बिलकुल यहीबाद में उन्हें एक महान वैज्ञानिक बनाया, नोटिस करने में सक्षम, होना भावना, समझने की प्रवृत्ति.

यही कारण है कि गणित मूल्यवान है, विकासशील है देखने की क्षमतासामान्य विशेष रूप से - सामान्य सोच . इसलिए, अधिकांश माता-पिता और नियोक्ता सहज रूप से गणित को एक महत्वपूर्ण अनुशासन मानते हैं ...

“तब आपको गणित सीखने की ज़रूरत है, क्योंकि यह आपके दिमाग को व्यवस्थित रखता है।
एम.वी.लोमोनोसोव"।

हालाँकि, भविष्य की प्रतिभाओं को डंडों से पीटने वालों के अनुयायियों ने इस पद्धति को कुछ विपरीत बना दिया। जैसा कि मेरे मित्र ने 35 वर्ष पहले कहा था वैज्ञानिक सलाहकार: "उन्होंने प्रश्न सीख लिया।" या जैसा कि मेरे सबसे छोटे बेटे ने गॉस की पद्धति के बारे में कल कहा था: "शायद इससे कोई बड़ा विज्ञान बनाना उचित नहीं है, हुह?"

"वैज्ञानिकों" की रचनात्मकता के परिणाम वर्तमान स्कूली गणित के स्तर, इसके शिक्षण के स्तर और बहुमत द्वारा "विज्ञान की रानी" की समझ में दिखाई देते हैं।

हालाँकि, आइए जारी रखें...

5वीं कक्षा के स्कूल में गॉस पद्धति को समझाने की विधियाँ

मॉस्को व्यायामशाला में गणित के एक शिक्षक ने विलेनकिन के अनुसार गॉस पद्धति की व्याख्या करते हुए कार्य को जटिल बना दिया।

क्या होगा यदि अंकगणितीय प्रगति का अंतर (चरण) एक नहीं, बल्कि एक अन्य संख्या है? उदाहरण के लिए, 20.

उन्होंने पाँचवीं कक्षा के विद्यार्थियों को जो समस्या दी:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

व्यायामशाला पद्धति से परिचित होने से पहले, आइए इंटरनेट पर एक नज़र डालें: स्कूल के शिक्षक और गणित के शिक्षक इसे कैसे करते हैं?..

गाऊसी विधि: स्पष्टीकरण संख्या 1

एक जाने-माने ट्यूटर अपने यूट्यूब चैनल पर निम्नलिखित तर्क देते हैं:

"आइए 1 से 100 तक की संख्याओं को इस प्रकार लिखें:

पहले 1 से 50 तक की संख्याओं की एक श्रृंखला, और उसके ठीक नीचे 50 से 100 तक की संख्याओं की एक और श्रृंखला, लेकिन विपरीत क्रम में"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"कृपया ध्यान दें: ऊपर और नीचे की पंक्तियों से संख्याओं के प्रत्येक जोड़े का योग समान है और 101 के बराबर है! आइए जोड़ों की संख्या गिनें, यह 50 है और एक जोड़े के योग को जोड़े की संख्या से गुणा करें! वोइला: उत्तर तैयार है!"

"यदि आप नहीं समझ सके, तो परेशान न हों!" शिक्षक ने स्पष्टीकरण के दौरान तीन बार दोहराया। "आप यह विधि 9वीं कक्षा में अपनाएँगे!"

गाऊसी विधि: स्पष्टीकरण संख्या 2

एक अन्य ट्यूटर, जो कम प्रसिद्ध है (विचारों की संख्या को देखते हुए), अधिक वैज्ञानिक दृष्टिकोण अपनाता है, 5 बिंदुओं का एक समाधान एल्गोरिदम पेश करता है जिसे क्रमिक रूप से पूरा किया जाना चाहिए।

शुरुआती लोगों के लिए, 5 पारंपरिक रूप से जादुई मानी जाने वाली फाइबोनैचि संख्याओं में से एक है। उदाहरण के लिए, 5 चरणों वाली विधि हमेशा 6 चरणों वाली विधि से अधिक वैज्ञानिक होती है। ...और यह शायद ही कोई दुर्घटना है, सबसे अधिक संभावना है, लेखक फाइबोनैचि सिद्धांत का एक छिपा हुआ समर्थक है

दाना अंकगणितीय प्रगति: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

गॉस विधि का उपयोग करके किसी श्रृंखला में संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

चरण 1: संख्याओं के दिए गए क्रम को उल्टा लिखें, बिल्कुलपहले वाले के अंतर्गत.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

चरण 2: ऊर्ध्वाधर पंक्तियों में स्थित संख्याओं के जोड़े के योग की गणना करें: 260।

चरण 3: गिनें कि संख्या श्रृंखला में ऐसे कितने जोड़े हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या श्रृंखला की अधिकतम संख्या से न्यूनतम घटाएं और चरण आकार से विभाजित करें: (256 - 4) / 6 = 42।

साथ ही आपको याद रखने की जरूरत है प्लस एक नियम : हमें परिणामी भागफल में एक जोड़ना होगा: अन्यथा हमें ऐसा परिणाम मिलेगा जो जोड़ों की वास्तविक संख्या से एक कम है: 42 + 1 = 43।

चरण 4: संख्याओं के एक जोड़े के योग को जोड़े की संख्या से गुणा करें: 260 x 43 = 11,180

चरण5: चूँकि हमने राशि की गणना कर ली है संख्याओं के जोड़े, तो परिणामी राशि को दो से विभाजित किया जाना चाहिए: 11,180 / 2 = 5590।

यह 6 के अंतर के साथ 4 से 256 तक अंकगणितीय प्रगति का आवश्यक योग है!

गॉस विधि: मास्को व्यायामशाला में 5वीं कक्षा में स्पष्टीकरण

किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने की समस्या को हल करने का तरीका यहां दिया गया है:

20+40+60+ ... +460+480+500

मॉस्को व्यायामशाला की 5वीं कक्षा में, विलेनकिन की पाठ्यपुस्तक (मेरे बेटे के अनुसार)।

प्रेजेंटेशन दिखाने के बाद, गणित शिक्षक ने गॉसियन पद्धति का उपयोग करके कुछ उदाहरण दिखाए और कक्षा को 20 की वृद्धि में एक श्रृंखला में संख्याओं का योग खोजने का कार्य दिया।

इसके लिए निम्नलिखित की आवश्यकता थी:

स्टेप 1: श्रृंखला के सभी नंबरों को अपनी नोटबुक में अवश्य लिखें 20 से 500 तक (20 की वृद्धि में)।

चरण दो: अनुक्रमिक पद लिखिए - संख्याओं के जोड़े:पहला अंतिम के साथ, दूसरा अंतिम के साथ, आदि। और उनकी मात्रा की गणना करें।

चरण 3: "योग के योग" की गणना करें और पूरी श्रृंखला का योग ज्ञात करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह अधिक कॉम्पैक्ट और है प्रभावी तकनीक: संख्या 3 भी फाइबोनैचि अनुक्रम का सदस्य है

गॉस पद्धति के स्कूल संस्करण पर मेरी टिप्पणियाँ

महान गणितज्ञ ने निश्चित रूप से दर्शनशास्त्र को चुना होता यदि उन्होंने यह अनुमान लगाया होता कि उनकी "विधि" को उनके अनुयायी क्या बना देंगे जर्मन शिक्षक, जिसने कार्ल को डंडों से पीटा। उन्होंने "शिक्षकों" की प्रतीकात्मकता, द्वंद्वात्मक सर्पिल और अमर मूर्खता को देखा होगा। ग़लतफ़हमी के बीजगणित के साथ जीवंत गणितीय विचार के सामंजस्य को मापने की कोशिश की जा रही है ....

वैसे: क्या आप जानते हैं. कि हमारी शिक्षा प्रणाली 18वीं और 19वीं शताब्दी के जर्मन स्कूल में निहित है?

लेकिन गॉस ने गणित को चुना।

उसकी पद्धति का सार क्या है?

में सरलीकरण. में अवलोकन करना और समझनासंख्याओं के सरल पैटर्न. में शुष्क विद्यालय अंकगणित में बदलना दिलचस्प और रोमांचक गतिविधि , मस्तिष्क में उच्च लागत वाली मानसिक गतिविधि को अवरुद्ध करने के बजाय जारी रखने की इच्छा को सक्रिय करना।

क्या लगभग अंकगणितीय प्रगति की संख्याओं के योग की गणना करने के लिए गॉस के दिए गए "विधि के संशोधनों" में से एक का उपयोग करना संभव है? तुरन्त? "एल्गोरिदम" के अनुसार, छोटे कार्ल को पिटाई से बचने, गणित के प्रति घृणा विकसित करने और शुरुआत में ही अपने रचनात्मक आवेगों को दबाने की गारंटी दी जाएगी।

ट्यूटर ने पाँचवीं कक्षा के छात्रों को इस पद्धति के बारे में "गलतफहमी से न डरने" की इतनी दृढ़ता से सलाह क्यों दी, और उन्हें आश्वस्त किया कि वे "ऐसी" समस्याओं को 9वीं कक्षा में ही हल कर देंगे? मनोवैज्ञानिक रूप से निरक्षर कार्रवाई. यह ध्यान देने योग्य एक अच्छा कदम था: "फिर मिलते हैं आप पहले से ही 5वीं कक्षा में कर सकते हैंउन समस्याओं का समाधान करें जिन्हें आप केवल 4 वर्षों में पूरा करेंगे! आप कितने महान व्यक्ति हैं!”

गाऊसी पद्धति का उपयोग करने के लिए कक्षा 3 का स्तर पर्याप्त है, जबकि सामान्य बच्चे पहले से ही जानते हैं कि 2-3 अंकों की संख्याओं को कैसे जोड़ना, गुणा करना और विभाजित करना है। समस्याएँ उन वयस्क शिक्षकों की असमर्थता के कारण उत्पन्न होती हैं जो सामान्य मानव भाषा में सबसे सरल चीजों को समझाने में "संपर्क से बाहर" हैं, गणितीय का तो जिक्र ही नहीं... वे लोगों को गणित में रुचि लेने में असमर्थ हैं और यहां तक ​​कि उन लोगों को भी पूरी तरह से हतोत्साहित करते हैं जो "संपर्क से बाहर" हैं। काबिल।"

या, जैसा कि मेरे बेटे ने टिप्पणी की: "इससे एक बड़ा विज्ञान बनाना।"

कैसे अंदर सामान्य मामला) पता लगाएं कि विधि संख्या 1 में संख्याओं के रिकॉर्ड को "विस्तारित" करने के लिए किस संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए?

यदि श्रृंखला के सदस्यों की संख्या अधिक हो जाए तो क्या करें? विषम?

जिसे एक बच्चा आसानी से कर सकता है उसे "नियम प्लस 1" में क्यों बदलें सीखनापहली कक्षा में भी, अगर मुझमें "संख्याओं की समझ" विकसित हो जाती, और याद नहीं आया"दस तक गिनें"?

और अंत में: जीरो कहां चला गया, एक शानदार आविष्कार जो 2,000 साल से भी अधिक पुराना है और जिसे आधुनिक गणित शिक्षक उपयोग करने से बचते हैं?!

गॉस विधि, मेरी व्याख्याएँ

मैंने और मेरी पत्नी ने अपने बच्चे को यह "तरीका" समझाया, ऐसा लगता है, स्कूल जाने से पहले ही...

जटिलता की जगह सरलता या सवाल-जवाब का खेल

"देखो, यहाँ 1 से 100 तक की संख्याएँ हैं। तुम्हें क्या दिख रहा है?"

मुद्दा यह नहीं है कि बच्चा वास्तव में क्या देखता है। चाल उसे देखने के लिए प्रेरित करने की है।

"आप उन्हें एक साथ कैसे रख सकते हैं?" बेटे को एहसास हुआ कि ऐसे प्रश्न "यूं ही" नहीं पूछे जाते हैं और आपको प्रश्न को "किसी तरह अलग, उससे अलग जो वह आमतौर पर करता है" देखने की ज़रूरत है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बच्चा तुरंत समाधान देख लेता है, इसकी संभावना नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि वह देखने से डरना बंद कर दिया, या जैसा कि मैं कहता हूं: "कार्य को आगे बढ़ाया". यह समझने की यात्रा की शुरुआत है

"क्या आसान है: उदाहरण के लिए, 5 और 6 या 5 और 95 जोड़ना?" एक प्रमुख प्रश्न... लेकिन कोई भी प्रशिक्षण किसी व्यक्ति को "उत्तर" के लिए "मार्गदर्शन" करने के लिए आता है - किसी भी तरह से उसे स्वीकार्य।

इस स्तर पर, गणनाओं पर "बचाव" कैसे करें, इसके बारे में पहले से ही अनुमान लगाया जा सकता है।

हमने केवल संकेत दिया था: गिनती की "फ्रंटल, लीनियर" विधि ही एकमात्र संभव नहीं है। अगर बच्चा ये समझ लेगा तो आगे चलकर उसे ऐसे और भी कई तरीके आ जाएंगे, यह रोचक है!!!और वह निश्चित रूप से गणित को "गलतफहमी" से बचाएगा और इससे घृणा महसूस नहीं करेगा। उसे जीत मिल गई!

अगर बच्चे का पता चलातो फिर, उन संख्याओं के जोड़े जोड़ने पर जिनका योग सौ बनता है, आसान हो जाता है "अंतर 1 के साथ अंकगणितीय प्रगति"- एक बच्चे के लिए एक बहुत ही नीरस और अरुचिकर चीज़ - अचानक उसके लिए जीवन पाया . अराजकता से निकली व्यवस्था, और यह हमेशा उत्साह जगाती है: हम इसी तरह बने हैं!

उत्तर देने के लिए एक प्रश्न: एक बच्चे को प्राप्त अंतर्दृष्टि के बाद, उसे फिर से शुष्क एल्गोरिदम के ढांचे में क्यों मजबूर किया जाना चाहिए, जो इस मामले में कार्यात्मक रूप से बेकार भी हैं?!

मूर्खतापूर्ण पुनर्लेखन के लिए बाध्य क्यों करें?एक नोटबुक में अनुक्रम संख्याएँ: ताकि सक्षम लोगों को भी समझने का एक भी मौका न मिले? बेशक, सांख्यिकीय रूप से, लेकिन जन शिक्षा "सांख्यिकी" की ओर उन्मुख है...

शून्य कहाँ गया?

और फिर भी, 101 तक जुड़ने वाली संख्याओं को जोड़ने की तुलना में 100 तक पहुंचने वाली संख्याओं को जोड़ना दिमाग के लिए अधिक स्वीकार्य है...

"गॉस स्कूल विधि" के लिए बिल्कुल यही आवश्यक है: बिना सोचे-समझे मोड़ोप्रगति के केंद्र से समान दूरी पर संख्याओं के जोड़े, सब कुछ के बावजूद.

यदि आप देखें तो क्या होगा?

फिर भी शून्य मानव जाति का सबसे महान आविष्कार है, जो 2,000 वर्ष से भी अधिक पुराना है। और गणित के शिक्षक उसकी उपेक्षा करते रहे।

1 से शुरू होने वाली संख्याओं की श्रृंखला को 0 से शुरू होने वाली श्रृंखला में बदलना बहुत आसान है। योग नहीं बदलेगा, है ना? आपको "पाठ्यपुस्तकों में सोचना" बंद करना होगा और देखना शुरू करना होगा...और देखें कि 101 के योग वाले जोड़ों को 100 के योग वाले जोड़ों से पूरी तरह से बदला जा सकता है!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"प्लस 1 नियम" को कैसे समाप्त करें?

सच कहूँ तो, मैंने पहली बार ऐसे नियम के बारे में उस YouTube ट्यूटर से सुना था...

जब मुझे किसी शृंखला के सदस्यों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता हो तब भी मैं क्या करूँ?

मैं अनुक्रम को देखता हूं:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

और जब आप पूरी तरह से थक जाएं, तो एक सरल पंक्ति पर आगे बढ़ें:

1, 2, 3, 4, 5

और मेरा अनुमान है: यदि आप 5 में से एक घटाते हैं, तो आपको 4 मिलता है, लेकिन मैं बिल्कुल स्पष्ट हूं अच्छा ऐसा है 5 नंबर! इसलिए, आपको एक जोड़ने की आवश्यकता है! में संख्या बोध का विकास हुआ प्राथमिक स्कूल, सुझाव देता है: भले ही श्रृंखला के सदस्यों की एक पूरी Google (10 से सौवीं शक्ति) हो, पैटर्न वही रहेगा।

नियम क्या हैं?...

ताकि एक दो या तीन साल में आप अपने माथे और सिर के पिछले हिस्से के बीच की सारी जगह भर सकें और सोचना बंद कर सकें? अपनी रोटी और मक्खन कैसे कमाएं? आख़िरकार, हम डिजिटल अर्थव्यवस्था के युग में समान स्तर पर आगे बढ़ रहे हैं!

गॉस की स्कूल पद्धति के बारे में अधिक जानकारी: "इससे विज्ञान क्यों बनाया जाए?"

यह अकारण नहीं था कि मैंने अपने बेटे की नोटबुक से एक स्क्रीनशॉट पोस्ट किया...

"कक्षा में क्या हुआ?"

"ठीक है, मैंने तुरंत गिनती की, अपना हाथ उठाया, लेकिन उसने नहीं पूछा। इसलिए, जब बाकी लोग गिनती कर रहे थे, मैंने रूसी में होमवर्क करना शुरू कर दिया ताकि समय बर्बाद न हो। ??), उसने मुझे बोर्ड पर बुलाया मैंने उत्तर दिया।"

"यह सही है, मुझे दिखाओ कि तुमने इसे कैसे हल किया," शिक्षक ने कहा। मैंने इसे दिखाया. उसने कहा: "गलत, आपको गिनने की ज़रूरत है जैसा मैंने दिखाया!"

"यह अच्छा है कि उसने मुझे खराब अंक नहीं दिए। और उसने मुझे अपनी नोटबुक में "समाधान का पाठ्यक्रम" अपने तरीके से लिखने के लिए कहा।

एक गणित शिक्षक का मुख्य अपराध

शायद ही बाद में वह घटनाकार्ल गॉस ने अपने स्कूल के गणित शिक्षक के प्रति उच्च सम्मान की भावना का अनुभव किया। लेकिन अगर वह जानता था कि कैसे उस शिक्षक के अनुयायी विधि के सार को ही विकृत कर देगा...वह आक्रोश से दहाड़ेगा और विश्व संगठन के माध्यम से बौद्धिक संपदा WIPO ने स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में अपने उचित नाम के उपयोग पर प्रतिबंध लगा दिया है!

क्या मुख्य गलतीस्कूल दृष्टिकोण? या, जैसा कि मैंने कहा, बच्चों के प्रति स्कूली गणित शिक्षकों का अपराध?

ग़लतफ़हमी का एल्गोरिदम

स्कूल पद्धतिविज्ञानी क्या करते हैं, जिनमें से अधिकांश नहीं जानते कि कैसे सोचना है?

वे विधियाँ और एल्गोरिदम बनाते हैं (देखें)। यह एक रक्षात्मक प्रतिक्रिया जो शिक्षकों को आलोचना से बचाती है ("सब कुछ इसके अनुसार किया जाता है...") और बच्चों को समझने से। और इस प्रकार - शिक्षकों की आलोचना करने की इच्छा से!(नौकरशाही "ज्ञान" का दूसरा व्युत्पन्न, समस्या का वैज्ञानिक दृष्टिकोण)। जो व्यक्ति अर्थ नहीं समझता, वह स्कूल प्रणाली की मूर्खता के बजाय अपनी ग़लतफ़हमी को दोष देगा।

ऐसा ही होता है: माता-पिता अपने बच्चों को दोष देते हैं, और शिक्षक... उन बच्चों के लिए भी ऐसा ही करते हैं जो "गणित नहीं समझते हैं!"

क्या आप स्मार्ट हैं?

छोटे कार्ल ने क्या किया?

किसी फार्मूलाबद्ध कार्य के लिए पूरी तरह से अपरंपरागत दृष्टिकोण. यही उनके दृष्टिकोण का सार है. यह मुख्य बात जो स्कूल में सिखाई जानी चाहिए वह है पाठ्यपुस्तकों से नहीं, बल्कि अपने दिमाग से सोचना. बेशक, एक वाद्य घटक भी है जिसका उपयोग किया जा सकता है... की खोज में सरल और प्रभावी तरीकेहिसाब किताब.

विलेंकिन के अनुसार गॉस विधि

स्कूल में वे पढ़ाते हैं कि गॉस की विधि क्या है

जोंड़ों मेंसंख्या श्रृंखला के किनारों से समान दूरी पर स्थित संख्याओं का योग ज्ञात करें, निश्चित रूप से किनारों से शुरू हो रहा है!

ऐसे युग्मों की संख्या आदि ज्ञात कीजिए।

क्या, यदि श्रृंखला के तत्वों की संख्या विषम है, जैसा कि उस समस्या में है जो मेरे बेटे को सौंपी गई थी?..

इस मामले में "पकड़" यही है आपको श्रृंखला में एक "अतिरिक्त" संख्या ढूंढनी चाहिएऔर इसे जोड़ियों के योग में जोड़ें। हमारे उदाहरण में यह संख्या 260 है.

कैसे पता लगाएं? संख्याओं के सभी जोड़ों को एक नोटबुक में कॉपी करना!(यही कारण है कि शिक्षक ने बच्चों से गॉसियन विधि का उपयोग करके "रचनात्मकता" सिखाने का यह मूर्खतापूर्ण काम किया... और यही कारण है कि ऐसी "विधि" बड़ी डेटा श्रृंखला के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, और यही कारण है गॉसियन विधि नहीं)।

स्कूल की दिनचर्या में थोड़ी रचनात्मकता...

बेटे ने अलग तरह से काम किया.

सबसे पहले उन्होंने नोट किया कि संख्या 500 को गुणा करना आसान है, 520 को नहीं

(20 + 500, 40 + 480 ...).

फिर उन्होंने गणना की: चरणों की संख्या विषम निकली: 500 / 20 = 25।

फिर उन्होंने श्रृंखला की शुरुआत में शून्य जोड़ा (हालाँकि श्रृंखला के अंतिम पद को हटाना संभव था, जिससे समता भी सुनिश्चित हो जाती) और कुल 500 देने वाली संख्याएँ जोड़ दीं।

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 चरण "पांच सौ" के 13 जोड़े हैं: 13 x 500 = 6500..

यदि हमने श्रृंखला के अंतिम पद को हटा दिया है, तो जोड़े 12 होंगे, लेकिन हमें गणना के परिणाम में "खारिज किए गए" पांच सौ को जोड़ना नहीं भूलना चाहिए। फिर: (12 x 500) + 500 = 6500!

मुश्किल नहीं है, है ना?

लेकिन व्यवहार में इसे और भी आसान बना दिया गया है, जो आपको रूसी में रिमोट सेंसिंग के लिए 2-3 मिनट निकालने की अनुमति देता है, जबकि बाकी "गिनती" में हैं। इसके अलावा, यह विधि के चरणों की संख्या को बरकरार रखता है: 5, जो अवैज्ञानिक होने के कारण दृष्टिकोण की आलोचना की अनुमति नहीं देता है।

जाहिर तौर पर यह दृष्टिकोण विधि की शैली में सरल, तेज और अधिक सार्वभौमिक है। लेकिन... शिक्षक ने न केवल प्रशंसा नहीं की, बल्कि मुझे इसे "सही तरीके से" फिर से लिखने के लिए भी मजबूर किया (स्क्रीनशॉट देखें)। यानी, उसने रचनात्मक आवेग और गणित को समझने की क्षमता को मूल रूप से दबाने का बेताब प्रयास किया! जाहिरा तौर पर, ताकि उसे बाद में एक ट्यूटर के रूप में काम पर रखा जा सके... उसने गलत व्यक्ति पर हमला किया...

जो कुछ भी मैंने इतने लंबे और कठिन तरीके से वर्णित किया है उसे समझाया जा सकता है एक सामान्य बच्चे कोअधिकतम आधे घंटे में. उदाहरण सहित.

और इस तरह कि वह इसे कभी नहीं भूलेगा.

और यह होगा समझने की ओर कदम...सिर्फ गणितज्ञ ही नहीं।

इसे स्वीकार करें: आपने अपने जीवन में कितनी बार गॉसियन विधि का उपयोग करके जोड़ा है? और मैंने कभी नहीं किया!

लेकिन समझने की प्रवृत्ति, जो सीखने की प्रक्रिया में विकसित होता है (या समाप्त हो जाता है)। गणितीय तरीकेस्कूल में... ओह!.. यह सचमुच एक अपूरणीय चीज़ है!

विशेष रूप से सार्वभौमिक डिजिटलीकरण के युग में, जिसमें हम पार्टी और सरकार के सख्त नेतृत्व में चुपचाप प्रवेश कर चुके हैं।

शिक्षकों के बचाव में कुछ शब्द...

शिक्षण की इस शैली की सारी जिम्मेदारी केवल स्कूली शिक्षकों पर डालना अनुचित और गलत है। व्यवस्था प्रभावी है.

कुछजो कुछ हो रहा है उसकी बेतुकीता को शिक्षक समझते हैं, लेकिन क्या करें? शिक्षा पर कानून, संघीय राज्य शैक्षिक मानक, विधियाँ, तकनीकी मानचित्रपाठ... सब कुछ "के अनुरूप और उसके आधार पर" किया जाना चाहिए और हर चीज़ का दस्तावेजीकरण किया जाना चाहिए। एक तरफ हटो - नौकरी से निकाले जाने की कतार में खड़ा था। आइए पाखंडी न बनें: मॉस्को के शिक्षकों का वेतन बहुत अच्छा है... अगर वे आपको निकाल दें, तो कहां जाएं?..

इसलिए यह साइट शिक्षा के बारे में नहीं. वह के बारे में है व्यक्तिगत शिक्षा, केवल संभव तरीकाभीड़ से बाहर निकलो पीढ़ी Z ...

गाऊसी पद्धति की परिभाषा एवं विवरण

गाऊसी परिवर्तन विधि (गाऊसी परिवर्तन विधि के रूप में भी जाना जाता है) क्रमिक उन्मूलनकिसी समीकरण या मैट्रिक्स से अज्ञात चर) रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना है क्लासिक विधिबीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली (एसएलएई) को हल करना। प्राप्त करने जैसी समस्याओं के समाधान के लिए भी इस शास्त्रीय विधि का प्रयोग किया जाता है व्युत्क्रम आव्यूहऔर मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना।

गॉसियन विधि का उपयोग करके परिवर्तन में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली में छोटे (प्राथमिक) अनुक्रमिक परिवर्तन करना शामिल है, जिससे समीकरणों की एक नई त्रिकोणीय प्रणाली के गठन के साथ ऊपर से नीचे तक चर का उन्मूलन होता है जो मूल के बराबर होता है एक।

परिभाषा 1

समाधान के इस भाग को कहा जाता है आगे का स्ट्रोकगाऊसी समाधान, चूंकि पूरी प्रक्रिया ऊपर से नीचे तक की जाती है।

समीकरणों की मूल प्रणाली को त्रिकोणीय बनाने के बाद, हम सभी पाते हैं सिस्टम चरनीचे से ऊपर तक (अर्थात, पाया गया पहला चर सिस्टम या मैट्रिक्स की बिल्कुल अंतिम पंक्तियों पर कब्जा कर लेता है)। समाधान के इस भाग को गाऊसी समाधान के व्युत्क्रम के रूप में भी जाना जाता है। उनका एल्गोरिथ्म इस प्रकार है: सबसे पहले, समीकरणों या मैट्रिक्स की प्रणाली के निचले भाग के निकटतम चर की गणना की जाती है, फिर परिणामी मानों को उच्चतर प्रतिस्थापित किया जाता है और इस प्रकार एक और चर पाया जाता है, और इसी तरह।

गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म का विवरण

गॉसियन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली के सामान्य समाधान के लिए क्रियाओं के अनुक्रम में SLAE के आधार पर मैट्रिक्स पर आगे और पीछे के स्ट्रोक को वैकल्पिक रूप से लागू करना शामिल है। मान लीजिए कि समीकरणों की प्रारंभिक प्रणाली का रूप निम्नलिखित है:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \... \ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(मामले)$

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके SLAE को हल करने के लिए, समीकरणों की मूल प्रणाली को मैट्रिक्स के रूप में लिखना आवश्यक है:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & ... & a_(1n) \\ \vdots & ... & \vdots \\ a_(m1) & ... & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

मैट्रिक्स $A$ को मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है और क्रम में लिखे गए चर के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है, और $b$ को इसके मुक्त शब्दों का कॉलम कहा जाता है। मुक्त पदों के एक कॉलम के साथ एक बार के माध्यम से लिखे गए मैट्रिक्स $A$ को विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & ... & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & ... & \vdots & ...\\ a_(m1) & ... & a_( एमएन) और बी_एम \end(सरणी)$

अब समीकरणों की प्रणाली (या मैट्रिक्स पर, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है) पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे निम्नलिखित रूप में लाना आवश्यक है:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \ ...\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(मामले)$ (1)

समीकरण (1) के परिवर्तित सिस्टम के गुणांकों से प्राप्त मैट्रिक्स को स्टेप मैट्रिक्स कहा जाता है, स्टेप मैट्रिक्स आमतौर पर इस तरह दिखते हैं:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) और b_3 \end(सरणी)$

इन मैट्रिक्स को गुणों के निम्नलिखित सेट द्वारा दर्शाया गया है:

1. इसकी सभी शून्य रेखाएँ गैर-शून्य रेखाओं के बाद आती हैं
2. यदि $k$ संख्या वाले मैट्रिक्स की कुछ पंक्ति गैर-शून्य है, तो उसी मैट्रिक्स की पिछली पंक्ति में $k$ संख्या वाले इस मैट्रिक्स की तुलना में कम शून्य हैं।

चरण मैट्रिक्स प्राप्त करने के बाद, परिणामी चर को शेष समीकरणों (अंत से शुरू) में प्रतिस्थापित करना और चर के शेष मान प्राप्त करना आवश्यक है।

गॉस पद्धति का उपयोग करते समय बुनियादी नियम और अनुमत परिवर्तन

इस पद्धति का उपयोग करके मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली को सरल बनाते समय, आपको केवल प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

ऐसे परिवर्तनों को ऐसे ऑपरेशन माना जाता है जिन्हें मैट्रिक्स या समीकरणों की प्रणाली पर इसका अर्थ बदले बिना लागू किया जा सकता है:

• कई पंक्तियों की पुनर्व्यवस्था,
• किसी मैट्रिक्स की एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति जोड़ना या घटाना,
• किसी स्ट्रिंग को शून्य के बराबर न होने वाले स्थिरांक से गुणा या विभाजित करना,
• सिस्टम की गणना और सरलीकरण की प्रक्रिया में प्राप्त केवल शून्य वाली एक पंक्ति को हटा दिया जाना चाहिए,
• आपको अनावश्यक आनुपातिक रेखाओं को हटाने की भी आवश्यकता है, सिस्टम के लिए केवल वही गुणांक चुनें जो आगे की गणना के लिए अधिक उपयुक्त और सुविधाजनक हो।

सभी प्राथमिक परिवर्तन प्रतिवर्ती हैं।

सरल गॉस परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करते समय उत्पन्न होने वाले तीन मुख्य मामलों का विश्लेषण

सिस्टम को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय तीन मामले सामने आते हैं:

1. जब कोई प्रणाली असंगत होती है, अर्थात उसका कोई समाधान नहीं होता है
2. समीकरणों की प्रणाली में एक समाधान होता है, और एक अद्वितीय होता है, और मैट्रिक्स में गैर-शून्य पंक्तियों और स्तंभों की संख्या एक दूसरे के बराबर होती है।
3. सिस्टम में एक निश्चित मात्रा या सेट होता है संभव समाधान, और इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम है।

एक असंगत प्रणाली के साथ समाधान का परिणाम

इस विकल्प के लिए, गॉसियन विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स समीकरण को हल करते समय, समानता को पूरा करने की असंभवता के साथ कुछ रेखा प्राप्त करना विशिष्ट है। इसलिए, यदि कम से कम एक गलत समानता होती है, तो परिणामी और मूल प्रणालियों में समाधान नहीं होते हैं, भले ही उनमें अन्य समीकरण हों। असंगत मैट्रिक्स का एक उदाहरण:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

अंतिम पंक्ति में एक असंभव समानता उत्पन्न हुई: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

समीकरणों की एक प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है

ये सिस्टम, एक चरण मैट्रिक्स में कम होने और शून्य वाली पंक्तियों को हटाने के बाद, मुख्य मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या रखते हैं। यहाँ सबसे सरल उदाहरणऐसी व्यवस्था:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

आइए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(सरणी)(cc|c) 1 और -1 और -5 \\ 2 और 1 और -7 \end(सरणी)$

दूसरी पंक्ति की पहली सेल को शून्य पर लाने के लिए, हम शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करते हैं और इसे मैट्रिक्स की निचली पंक्ति से घटाते हैं, और शीर्ष पंक्ति को उसके मूल रूप में छोड़ देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें निम्नलिखित मिलता है :

$\begin(सरणी)(cc|c) 1 और -1 और -5 \\ 0 और 3 और 10 \end(सरणी)$

इस उदाहरण को एक सिस्टम के रूप में लिखा जा सकता है:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

निचला समीकरण $x$ के लिए निम्नलिखित मान उत्पन्न करता है: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. इस मान को ऊपरी समीकरण में रखें: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, हमें $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ मिलता है।

कई संभावित समाधानों वाली एक प्रणाली

इस प्रणाली की विशेषता इसमें स्तंभों की संख्या की तुलना में महत्वपूर्ण पंक्तियों की कम संख्या है (मुख्य मैट्रिक्स की पंक्तियों को ध्यान में रखा जाता है)।

ऐसी प्रणाली में चर को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है: मूल और मुफ़्त। ऐसी प्रणाली को परिवर्तित करते समय, इसमें मौजूद मुख्य चर को बाएं क्षेत्र में "=" चिह्न तक छोड़ दिया जाना चाहिए, और शेष चर को समानता के दाईं ओर ले जाना चाहिए।

ऐसी व्यवस्था केवल एक निश्चित होती है सामान्य निर्णय.

आइए इसे सुलझाएं निम्नलिखित प्रणालीसमीकरण:

$\शुरू(मामले) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \अंत(मामले)$

आइए इसे मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

हमारा कार्य सिस्टम का सामान्य समाधान खोजना है। इस मैट्रिक्स के लिए, आधार चर $y_1$ और $y_3$ होंगे ($y_1$ के लिए - क्योंकि यह पहले आता है, और $y_3$ के मामले में - यह शून्य के बाद स्थित है)।

आधार चर के रूप में, हम बिल्कुल उन्हीं को चुनते हैं जो पंक्ति में पहले हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं।

शेष चरों को मुक्त कहा जाता है; हमें उनके माध्यम से मूल चरों को व्यक्त करने की आवश्यकता है।

तथाकथित रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करते हुए, हम सिस्टम का नीचे से ऊपर तक विश्लेषण करते हैं, ऐसा करने के लिए, हम पहले सिस्टम की निचली पंक्ति से $y_3$ व्यक्त करते हैं:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

अब हम व्यक्त $y_3$ को सिस्टम के ऊपरी समीकरण $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) +y_4 = 1$

हम $y_1$ को निःशुल्क चर $y_2$ और $y_4$ के रूप में व्यक्त करते हैं:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

समाधान तैयार है.

उदाहरण 1

गॉसियन विधि का उपयोग करके स्लॉ को हल करें। उदाहरण। गॉसियन विधि का उपयोग करके 3 बटा 3 मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

$\begin(केस) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(केस)$

आइए अपने सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में लिखें:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

अब, सुविधा और व्यावहारिकता के लिए, आपको मैट्रिक्स को बदलने की आवश्यकता है ताकि $1$ सबसे बाहरी कॉलम के ऊपरी कोने में हो।

ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति में आपको मध्य से रेखा को $-1$ से गुणा करके जोड़ना होगा, और मध्य रेखा को वैसे ही लिखना होगा जैसे वह है:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

शीर्ष और अंतिम पंक्तियों को $-1$ से गुणा करें, और अंतिम और मध्य पंक्तियों को भी स्वैप करें:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

और अंतिम पंक्ति को $3$ से विभाजित करें:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

हमें मूल समीकरण के समतुल्य समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

$\begin(केस) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(केस)$

ऊपरी समीकरण से हम $x_1$ व्यक्त करते हैं:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

उदाहरण 2

गॉसियन विधि का उपयोग करके 4 बाय 4 मैट्रिक्स का उपयोग करके परिभाषित प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

$\begin(array)(cccc|c) 2 और 5 और 4 और 1 और 20 \\ 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 2 और 10 और 9 और 7 और 40\\ 3 और 8 और 9 और 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।

शुरुआत में, हम ऊपरी बाएँ कोने में $1$ प्राप्त करने के लिए इसके बाद की शीर्ष पंक्तियों को स्वैप करते हैं:

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 2 और 5 और 4 और 1 और 20 \\ 2 और 10 और 9 और 7 और 40\\ 3 और 8 और 9 और 2 और 37 \\ \end(सरणी)$।

अब शीर्ष पंक्ति को $-2$ से गुणा करें और दूसरे और तीसरे में जोड़ें। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे $-3$ से गुणा किया जाता है:

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और -1 और 0 और -1 और -2 \\ 0 और 4 और 5 और 5 और 18\\ 0 और - 1 और 3 और -1 और 4 \\ \end(सरणी)$

अब पंक्ति संख्या 3 में हम पंक्ति 2 को $4$ से गुणा करके जोड़ते हैं, और पंक्ति 4 में हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करके जोड़ते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और -1 और 0 और -1 और -2 \\ 0 और 0 और 5 और 1 और 10\\ 0 और 0 और 3 और 0 और 6 \\ \end(सरणी)$

हम पंक्ति 2 को $-1$ से गुणा करते हैं, और पंक्ति 4 को $3$ से विभाजित करते हैं और पंक्ति 3 को प्रतिस्थापित करते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और 1 और 0 और 1 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और 2\\ 0 और 0 और 5 और 1 और 10 \\ \end(सरणी)$

अब हम अंतिम पंक्ति में $-5$ से गुणा करके अंतिम पंक्ति जोड़ते हैं।

$\begin(array)(cccc|c) 1 और 3 और 2 और 1 और 11 \\ 0 और 1 और 0 और 1 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और 0 और 2\\ 0 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ \end(सरणी)$

हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं:

$\begin(केस) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(केस)$

रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियाँ समतुल्य कहलाती हैं यदि उनके सभी समाधानों का समुच्चय मेल खाता हो।

समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1. सिस्टम से तुच्छ समीकरणों को हटाना, अर्थात वे जिनके लिए सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
2. किसी भी समीकरण को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3. किसी भी i-वें समीकरण में किसी भी j-वें समीकरण को जोड़ने पर किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

एक चर x i को मुफ़्त कहा जाता है यदि इस चर की अनुमति नहीं है, लेकिन समीकरणों की पूरी प्रणाली की अनुमति है।

प्रमेय. प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की एक प्रणाली को एक समतुल्य प्रणाली में बदल देते हैं।

गॉसियन विधि का अर्थ समीकरणों की मूल प्रणाली को बदलना और एक समतुल्य हल या समकक्ष असंगत प्रणाली प्राप्त करना है।

तो, गाऊसी विधि में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. आइए पहले समीकरण पर नजर डालें। आइए पहला गैर-शून्य गुणांक चुनें और पूरे समीकरण को इससे विभाजित करें। हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जिसमें कुछ चर x i 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
2. आइए इस समीकरण को अन्य सभी से घटाएं, इसे ऐसी संख्याओं से गुणा करें कि शेष समीकरणों में चर x i के गुणांक शून्य हो जाएं। हमें वेरिएबल x i के संबंध में और मूल सिस्टम के समतुल्य एक सिस्टम प्राप्त होता है;
3. यदि तुच्छ समीकरण उत्पन्न होते हैं (शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है; उदाहरण के लिए, 0 = 0), तो हम उन्हें सिस्टम से बाहर कर देते हैं। परिणामस्वरूप, एक समीकरण कम हो गया है;
4. हम पिछले चरणों को n से अधिक बार नहीं दोहराते हैं, जहाँ n सिस्टम में समीकरणों की संख्या है। हर बार हम "प्रसंस्करण" के लिए एक नया चर चुनते हैं। यदि असंगत समीकरण उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 0 = 8), तो सिस्टम असंगत है।

परिणामस्वरूप, कुछ चरणों के बाद हम या तो एक हल की गई प्रणाली (संभवतः मुक्त चर के साथ) या एक असंगत प्रणाली प्राप्त करेंगे। अनुमत सिस्टम दो मामलों में आते हैं:

1. चरों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है। इसका मतलब है कि सिस्टम परिभाषित है;
2. चरों की संख्या अधिक संख्यासमीकरण. हम दाईं ओर सभी मुक्त चर एकत्र करते हैं - हमें अनुमत चर के लिए सूत्र मिलते हैं। ये सूत्र उत्तर में लिखे गए हैं।

बस इतना ही! रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल हो गई! यह एक काफी सरल एल्गोरिदम है, और इसमें महारत हासिल करने के लिए आपको किसी उच्च गणित शिक्षक से संपर्क करने की आवश्यकता नहीं है। आइए एक उदाहरण देखें:

काम। समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे से घटाएं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं, और तीसरे समीकरण को (−3) से विभाजित करते हैं - हमें दो समीकरण मिलते हैं जिनमें चर x 2 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
3. हम दूसरे समीकरण को पहले में जोड़ते हैं, और तीसरे से घटाते हैं। हमें अनुमत चर x 2 मिलता है;
4. अंत में, हम तीसरे समीकरण को पहले से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 3 मिलता है;
5. हमें एक अनुमोदित प्रणाली प्राप्त हुई है, प्रतिक्रिया लिखें।

रैखिक समीकरणों की एक युगपत प्रणाली का सामान्य समाधान है नई प्रणाली, मूल चर के समतुल्य, जिसमें सभी अनुमत चर मुक्त चर के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

सामान्य समाधान की आवश्यकता कब हो सकती है? यदि आपको k से कम चरण करने हैं (k का अर्थ है कि कितने समीकरण हैं)। हालाँकि, जिन कारणों से प्रक्रिया किसी चरण पर समाप्त होती है< k , может быть две:

1. पांचवें चरण के बाद, हमें एक ऐसी प्रणाली प्राप्त हुई जिसमें संख्या (l + 1) वाला कोई समीकरण नहीं है। वास्तव में, यह अच्छा है, क्योंकि... अधिकृत प्रणाली अभी भी प्राप्त है - कुछ कदम पहले भी।
2. पांचवें चरण के बाद, हमें एक समीकरण प्राप्त हुआ जिसमें चर के सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, और मुक्त गुणांक शून्य से भिन्न है। यह एक विरोधाभासी समीकरण है, और इसलिए, प्रणाली असंगत है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि गॉसियन विधि का उपयोग करके एक असंगत समीकरण का उद्भव असंगतता के लिए पर्याप्त आधार है। साथ ही, हम ध्यान दें कि पांचवें चरण के परिणामस्वरूप, कोई भी तुच्छ समीकरण नहीं रह सकता है - वे सभी प्रक्रिया में ही काट दिए जाते हैं।

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को, 4 से गुणा करके, दूसरे से घटाएँ। हम पहले समीकरण को तीसरे में भी जोड़ते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. तीसरे समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरे समीकरण से घटाएँ - हमें विरोधाभासी समीकरण 0 = −5 प्राप्त होता है।

तो, सिस्टम असंगत है क्योंकि एक असंगत समीकरण की खोज की गई है।

काम। अनुकूलता का अन्वेषण करें और सिस्टम का सामान्य समाधान खोजें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे (दो से गुणा करने के बाद) और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाएँ। चूँकि इन समीकरणों में सभी गुणांक समान हैं, इसलिए तीसरा समीकरण तुच्छ हो जाएगा। साथ ही, दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करें;
3. पहले समीकरण से दूसरे को घटाएं - हमें अनुमत चर x 2 मिलता है। समीकरणों की पूरी प्रणाली भी अब हल हो गई है;
4. चूँकि चर x 3 और x 4 स्वतंत्र हैं, हम अनुमत चर को व्यक्त करने के लिए उन्हें दाईं ओर ले जाते हैं। यह उत्तर है.

इसलिए, प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है, क्योंकि इसमें दो अनुमत चर (x 1 और x 2) और दो मुक्त (x 3 और x 4) हैं।