Ոչ գծային միտումների արժեքների աղյուսակներ: Միտման հավասարման պարամետրերի որոշման մեթոդներ

Եկեք ցույց տանք տրենդի հավասարման պարամետրերի մանրամասն հաշվարկի օրինակ, որը հիմնված է հետևյալ տվյալների վրա (տե՛ս աղյուսակը) հաշվիչի միջոցով:

Գծային միտումի հավասարումը y = at + b է:
1. Մեթոդով գտե՛ք հավասարման պարամետրերը նվազագույն քառակուսիները .
Նվազագույն քառակուսիների հավասարումների համակարգ.
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

տ	y	t 2	y 2	t y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
1	17.4	1	302.76	17.4	12.26	895.01	26.47	30.25	0.3
2	26.9	4	723.61	53.8	18.63	416.84	68.39	20.25	0.31
3	23	9	529	69	25	591.3	4.02	12.25	0.0872
4	23.7	16	561.69	94.8	31.38	557.75	58.98	6.25	0.32
5	27.2	25	739.84	136	37.75	404.68	111.4	2.25	0.39
6	34.5	36	1190.25	207	44.13	164.27	92.72	0.25	0.28
7	50.7	49	2570.49	354.9	50.5	11.45	0.0383	0.25	0.0039
8	61.4	64	3769.96	491.2	56.88	198.34	20.44	2.25	0.0736
9	69.3	81	4802.49	623.7	63.25	483.27	36.56	6.25	0.0872
10	94.4	100	8911.36	944	69.63	2216.84	613.62	12.25	0.26
11	61.1	121	3733.21	672.1	76	189.98	222.11	20.25	0.24
12	78.2	144	6115.24	938.4	82.38	953.78	17.46	30.25	0.0534
78	567.8	650	33949.9	4602.3	567.8	7083.5	1272.21	143	2.41

Մեր տվյալների համար հավասարումների համակարգը ունի ձև.
12a 0 + 78a 1 = 567.8
78a 0 + 650a 1 = 4602.3
Առաջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք 0 և այն փոխարինում երկրորդ հավասարմամբ
Մենք ստանում ենք 0 = 6,37, a 1 = 5,88

Ծանոթագրություն. թիվ 6 սյունակի արժեքները y(t) հաշվարկվում են արդյունքում ստացված միտման հավասարման հիման վրա: Օրինակ, t = 1: y (1) = 6.37 * 1 + 5.88 = 12.26

Միտման հավասարումը

y = 6,37 տ + 5,88

Եկեք գնահատենք տենդենցի հավասարման որակը՝ օգտագործելով բացարձակ մոտարկման սխալը:

Քանի որ սխալը 15%-ից ավելի է, նպատակահարմար չէ օգտագործել այս հավասարումը որպես միտում:

Միջին արժեքներ:

Ցրվածություն

Ստանդարտ շեղում

Էլաստիկության գործակիցը


Էլաստիկության գործակիցը 1-ից փոքր է: Հետևաբար, եթե X-ը փոխվի 1%-ով, Y-ը կփոխվի 1%-ից պակաս: Այսինքն՝ X-ի ազդեցությունը Y-ի վրա էական չէ։

Որոշման գործակից

դրանք. 82,04% դեպքերում դա ազդում է տվյալների փոփոխության վրա։ Այլ կերպ ասած, տենդենցի հավասարման ընտրության ճշգրտությունը բարձր է

2. Միտման հավասարման պարամետրերի գնահատականների որոշման ճշգրտության վերլուծություն..
Հավասարման սխալի շեղում:

որտեղ m = 1-ը ազդող գործոնների թիվն է միտումի մոդելում:

Հավասարման ստանդարտ սխալ.

3. Գործակիցների վերաբերյալ վարկածների ստուգում գծային հավասարումմիտում.
1) t-վիճակագրություն. Ուսանողի t թեստ.
Օգտագործելով Ուսանողի աղյուսակը մենք գտնում ենք Ttable
T աղյուսակ (n-m-1; α/2) = (10;0.025) = 2.228

>
Հաստատված է a 0 գործակցի վիճակագրական նշանակությունը։ 0 պարամետրի գնահատումը նշանակալի է, իսկ ժամանակային շարքը ունի միտում:


a 1 գործակցի վիճակագրական նշանակությունը հաստատված չէ։

Միտման հավասարման գործակիցների վստահության միջակայքը.
Եկեք որոշենք միտումների գործակիցների վստահության միջակայքերը, որոնք 95% հուսալիությամբ կլինեն հետևյալը.
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Քանի որ 0 (զրո) կետը ներսում է վստահության միջակայքը, ապա a 0 գործակցի միջակայքի գնահատումը վիճակագրորեն աննշան է։
2) Զ-վիճակագրություն. Ֆիշերի չափանիշը.


Fkp = 4,84
Քանի որ F > Fkp, որոշման գործակիցը վիճակագրորեն նշանակալի է

Ստուգում մնացորդների ավտոհարաբերակցությունը.
Շենքի որակի կարևոր նախապայման ռեգրեսիոն մոդելըստ OLS-ի՝ պատահական շեղումների արժեքների անկախությունն է բոլոր մյուս դիտարկումներում շեղումների արժեքներից։ Սա ապահովում է, որ որևէ կապ չկա որևէ շեղումների և, մասնավորապես, հարակից շեղումների միջև:
Ավտոկորելացիա (սերիական հարաբերակցություն)սահմանվում է որպես ժամանակային (ժամանակային շարքեր) կամ տարածության (խաչ շարքեր) դասավորված դիտարկված ցուցիչների միջև հարաբերակցությունը: Մնացորդների (վարիանսների) ավտոհարաբերակցությունը տարածված է ռեգրեսիոն վերլուծության մեջ, երբ օգտագործվում են ժամանակային շարքի տվյալները, և շատ հազվադեպ, երբ օգտագործվում են խաչմերուկային տվյալներ:
Տնտեսական խնդիրների դեպքում դա շատ ավելի տարածված է դրական ավտոկոռելացիա, այլ ոչ թե բացասական ավտոկոռելացիա. Շատ դեպքերում դրական ավտոկորելացիան պայմանավորված է ուղղորդմամբ մշտական ​​բացահայտումորոշ գործոններ, որոնք հաշվի չեն առնվել մոդելում:
Բացասական ավտոկոռելացիաիրականում նշանակում է, որ դրական շեղմանը հաջորդում է բացասականը և հակառակը: Այս իրավիճակը կարող է առաջանալ, եթե սեզոնային տվյալների համաձայն (ձմեռ-ամառ) դիտարկվի զովացուցիչ ըմպելիքների պահանջարկի և եկամտի միջև նույն հարաբերությունները:
Ի թիվս ավտոկորելացիա առաջացնող հիմնական պատճառները, կարելի է առանձնացնել հետևյալը.
1. Տեխնիկական սխալներ: Մոդելի մեջ որևէ կարևոր բացատրական փոփոխական հաշվի չառնելը կամ կախվածության ձևի սխալ ընտրությունը սովորաբար հանգեցնում են դիտարկման կետերի համակարգային շեղումների ռեգրեսիայի գծից, ինչը կարող է հանգեցնել ավտոկոռելյացիայի:
2. Իներցիա. Շատերը տնտեսական ցուցանիշները(գնաճ, գործազրկություն, ՀՆԱ և այլն) ունեն որոշակի ցիկլային բնույթ՝ կապված բիզնեսի ակտիվության տատանումների հետ։ Ուստի ցուցանիշների փոփոխությունը ոչ թե ակնթարթորեն է տեղի ունենում, այլ ունի որոշակի իներցիա։
3. Սարդոստայնի էֆեկտ։ Շատ արտադրական և այլ ոլորտներում տնտեսական ցուցանիշները տնտեսական պայմանների փոփոխություններին արձագանքում են ուշացումով (ժամանակային ուշացումով):
4. Տվյալների հարթեցում. Հաճախ որոշակի երկար ժամանակահատվածի համար տվյալներ են ստացվում՝ միջինացնելով տվյալները դրա բաղկացուցիչ միջակայքում: Սա կարող է հանգեցնել դիտարկվող ժամանակահատվածում տեղի ունեցած տատանումների որոշակի հարթեցման, որն իր հերթին կարող է առաջացնել ավտոկորելացիա:
Ավտոկորելյացիայի հետևանքները նման են դրանց հետերոսկեդաստիկություն t- և F- վիճակագրության եզրակացությունները, որոնք որոշում են ռեգրեսիայի գործակցի և որոշման գործակցի նշանակությունը, կարող են սխալ լինել:

Ավտոկոռելյացիայի հայտնաբերում
1. Գրաֆիկական մեթոդ
Ավտոկորելացիան գրաֆիկականորեն սահմանելու համար կան մի շարք տարբերակներ: Դրանցից մեկը e i-ի շեղումները կապում է դրանց ստացման պահերի հետ i. Այս դեպքում աբսցիսային առանցքը ցույց է տալիս կամ վիճակագրական տվյալների ստացման ժամանակը, կամ սերիական համարդիտարկումներ, իսկ օրդինատի երկայնքով՝ շեղումներ e i (կամ շեղումների գնահատականներ):
Բնական է ենթադրել, որ եթե որոշակի կապ կա շեղումների միջև, ապա տեղի է ունենում ավտոկորելացիա։ Կախվածության բացակայությունը, ամենայն հավանականությամբ, ցույց կտա ավտոկորելյացիայի բացակայությունը:
Ավտոկորելացիան ավելի պարզ է դառնում, եթե գծագրեք e i-ի կախվածությունը e i-1-ից
Durbin-Watson թեստ.
Այս չափանիշը ամենահայտնին է ավտոկորելացիան հայտնաբերելու համար:
Ռեգրեսիոն հավասարումների վիճակագրական վերլուծության ժամանակ սկզբնական փուլում հաճախ ստուգվում է մեկ նախապայմանի իրագործելիությունը՝ միմյանցից շեղումների վիճակագրական անկախության պայմանները։ Այս դեպքում ստուգվում է հարևան e i արժեքների անհամատեղելիությունը:

y	y(x)	e i = y-y(x)	ե 2	(e i - e i-1) 2
17.4	12.26	5.14	26.47	0
26.9	18.63	8.27	68.39	9.77
23	25	-2	4.02	105.57
23.7	31.38	-7.68	58.98	32.2
27.2	37.75	-10.55	111.4	8.26
34.5	44.13	-9.63	92.72	0.86
50.7	50.5	0.2	0.0384	96.53
61.4	56.88	4.52	20.44	18.71
69.3	63.25	6.05	36.56	2.33
94.4	69.63	24.77	613.62	350.63
61.1	76	-14.9	222.11	1574.09
78.2	82.38	-4.18	17.46	115.03
			1272.21	2313.98

Շեղումների հարաբերակցությունը վերլուծելու համար օգտագործեք Durbin-Watson վիճակագրություն:


Կրիտիկական արժեքները d 1 և d 2 որոշվում են հատուկ աղյուսակների հիման վրա՝ α նշանակության անհրաժեշտ մակարդակի համար, դիտարկումների քանակը n = 12 և բացատրական փոփոխականների քանակը m = 1:
Ավտոկորելացիա չկա, եթե բավարարված է հետևյալ պայմանը.
դ 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Առանց աղյուսակներին անդրադառնալու, կարող եք օգտագործել մոտավոր կանոն և ենթադրել, որ մնացորդների ինքնահարաբերակցություն չկա, եթե 1.5< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков բացակայում է.
Ավելի հուսալի եզրակացության համար խորհուրդ է տրվում անդրադառնալ աղյուսակային արժեքներին:
Օգտագործելով Durbin-Watson աղյուսակը n=12 և k=1 (5% նշանակության մակարդակ) համար մենք գտնում ենք. d 1 = 1.08; d2 = 1,36:
1.08-ից< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков բացակայում է.

Հետերոսկեդաստիկության ստուգում.
1) մնացորդների գրաֆիկական վերլուծությամբ.
Այս դեպքում X բացատրական փոփոխականի արժեքները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, իսկ e i կամ դրանց քառակուսիները e 2 i գծագրվում են օրդինատների առանցքի երկայնքով:
Եթե ​​որոշակի կապ կա շեղումների միջեւ, ապա առաջանում է հետերոսկեդաստիկություն։ Կախվածության բացակայությունը, ամենայն հավանականությամբ, ցույց կտա հետերոսկեդաստիկության բացակայությունը:
2) Օգտագործելով թեստ աստիճանի հարաբերակցությունՆիզակակիր.
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը.
Y հատկանիշին և X գործոնին դասավորենք շարքեր։ Գտե՛ք d 2 քառակուսիների տարբերության գումարը։
Օգտագործելով բանաձևը, մենք հաշվարկում ենք Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը:

t աղյուսակ (n-m-1; α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
Քանի որ Թոբ< tтабл, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.
Ստուգենք H 0 վարկածը՝ հետերոսկեդաստիկություն չկա։
Քանի որ 2.228 > 0.45, ընդունված է հետերոսկեդաստիկության բացակայության վարկածը։

տ	e i	կոչում X, d x	աստիճան e i, d y	(d x - d y) 2
1	-5.14	1	4	9
2	-8.27	2	2	0
3	2	3	7	16
4	7.68	4	9	25
5	10.55	5	11	36
6	9.63	6	10	16
7	-0.2	7	6	1
8	-4.52	8	5	9

Առավել հաճախ միտում է թվում գծային կախվածություն ուսումնասիրվող տեսակի

որտեղ y-ը հետաքրքրության փոփոխականն է (օրինակ՝ արտադրողականությունը) կամ կախյալ փոփոխականը.
x-ն այն թիվն է, որը որոշում է տարվա (երկրորդ, երրորդ և այլն) դիրքը կանխատեսման ժամանակաշրջանում կամ անկախ փոփոխական:

Երկու պարամետրերի միջև կապը գծային մոտավորելիս ամենից հաճախ օգտագործվում է նվազագույն քառակուսիների մեթոդը՝ գծային ֆունկցիայի էմպիրիկ գործակիցները գտնելու համար։ Մեթոդի էությունն այն է գծային ֆունկցիա«Լավագույն հարմարեցումը» անցնում է գրաֆիկի այն կետերով, որոնք համապատասխանում են չափված պարամետրի քառակուսի շեղումների գումարի նվազագույնին: Այս պայմանը նման է.

որտեղ n-ը ուսումնասիրվող բնակչության ծավալն է (դիտարկման միավորների թիվը):

Բրինձ. 5.3. Թրենդ կառուցել՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը

b և a հաստատունների արժեքները կամ X փոփոխականի գործակիցը և հավասարման ազատ անդամը որոշվում են բանաձևով.

Աղյուսակում 5.1-ը ցույց է տալիս տվյալների հիման վրա գծային միտումի հաշվարկման օրինակ:

Աղյուսակ 5.1. Գծային միտումների հաշվարկ

Տատանումների հարթեցման մեթոդներ.

Եթե ​​առկա են խիստ անհամապատասխանություններ հարևան արժեքների միջև, ապա ռեգրեսիայի մեթոդով ստացված միտումը դժվար է վերլուծել: Կանխատեսելիս, երբ շարքը պարունակում է տվյալներ՝ հարևան արժեքների տատանումների մեծ տարածմամբ, դուք պետք է դրանք հարթեք որոշակի կանոնների համաձայն, այնուհետև իմաստը փնտրեք կանխատեսման մեջ: Տատանումների հարթեցման մեթոդին
ներառում են՝ շարժվող միջին մեթոդը (հաշվարկվում է n-կետ միջինը), էքսպոնենցիալ հարթեցման մեթոդը։ Եկեք նայենք նրանց:

Շարժվող միջին մեթոդ (MAM):

MSS-ը թույլ է տալիս հարթեցնել մի շարք արժեքներ՝ միտումը ընդգծելու համար: Այս մեթոդը վերցնում է ֆիքսված թվով արժեքների միջինը (սովորաբար միջին թվաբանականը): Օրինակ, երեք կետով շարժվող միջին: Առաջին երեք արժեքները, որոնք կազմվել են հունվար, փետրվար և մարտ ամիսների տվյալներից (10 + 12 + 13), վերցված են և միջինը որոշվում է 35: 3 = 11,67:

Ստացված 11.67 արժեքը տեղադրվում է միջակայքի կենտրոնում, այսինքն. փետրվարի տողի համաձայն. Այնուհետև մենք «սահում ենք մեկ ամսով» և վերցնում երկրորդ երեք թվերը՝ սկսած փետրվարից մինչև ապրիլ (12 + 13 + 16), և հաշվարկում ենք միջինը 41: 3 = 13.67, և այս կերպ մենք մշակում ենք տվյալները: ամբողջ շարքը. Ստացված միջինները ներկայացնում են տվյալների նոր շարք միտումների կառուցման և դրա մոտարկման համար: Որքան շատ միավորներ են վերցվում շարժվող միջինը հաշվարկելու համար, այնքան ավելի ուժեղ է տեղի ունենում տատանումների հարթեցում: Տրենդային շինարարության MBA-ի օրինակը տրված է աղյուսակում: 5.2 և Նկ. 5.4.

Աղյուսակ 5.2 Միտման հաշվարկը երեք կետով շարժվող միջին մեթոդով

Սկզբնական տվյալների և շարժվող միջին մեթոդով ստացված տվյալների տատանումների բնույթը պատկերված է Նկ. 5.4. Սկզբնական արժեքների շարքի (սերիա 3) և երեք կետանոց շարժվող միջինների (սերիա 4) գծապատկերների համեմատությունից պարզ է դառնում, որ տատանումները կարող են հարթվել: Ինչպես ավելի մեծ թիվմիավորները կներգրավվեն շարժվող միջինի հաշվարկման միջակայքում, այնքան ավելի հստակ կհայտնվի միտումը (տող 1): Բայց միջակայքի ընդլայնման ընթացակարգը հանգեցնում է վերջնական արժեքների քանակի նվազմանը, և դա նվազեցնում է կանխատեսման ճշգրտությունը:

Կանխատեսումները պետք է կատարվեն ռեգրեսիայի գծի գնահատումների հիման վրա՝ հիմնված նախնական տվյալների արժեքների կամ շարժվող միջինների վրա:

Բրինձ. 5.4. Վաճառքի ծավալի փոփոխությունների բնույթն ըստ տարվա ամիսների.
նախնական տվյալներ (տող 3); շարժվող միջիններ (տող 4); էքսպոնենցիալ հարթեցում(տող 2); միտում, որը կառուցված է ռեգրեսիայի մեթոդով (տող 1)

Էքսպոնենցիալ հարթեցման մեթոդ.

Սերիայի արժեքների տարածումը նվազեցնելու այլընտրանքային մոտեցումը էքսպոնենցիալ հարթեցման մեթոդի օգտագործումն է: Մեթոդը կոչվում է «էքսպոնենցիալ հարթեցում»՝ պայմանավորված այն հանգամանքով, որ անցյալ գնացող ժամանակաշրջանների յուրաքանչյուր արժեք կրճատվում է գործակցով (1 – α):

Յուրաքանչյուր հարթեցված արժեք հաշվարկվում է ձևի բանաձևով.

St =aYt +(1−α)St−1,

որտեղ St-ը ընթացիկ հարթեցված արժեքն է.
Yt – ժամանակային շարքի ընթացիկ արժեքը; St – 1 – նախորդ հարթեցված արժեքը; α-ն հարթեցնող հաստատուն է՝ 0 ≤ α ≤ 1:

Ինչպես ավելի քիչ արժեքα հաստատուն, այնքան ավելի քիչ զգայուն է այն տվյալ ժամանակային շարքում միտումների փոփոխությունների նկատմամբ:

Գլուխ 2-ում քննարկվեց ժամանակային շարքի միտումի հայեցակարգը, այսինքն. ուսումնասիրվող ցուցանիշի զարգացման դինամիկայի միտումները: Այս գլխի նպատակն է դիտարկել նման միտումների հիմնական տեսակները, դրանց հատկությունները, որոնք արտացոլված են միտման գծի հավասարման միջոցով ավելի կամ պակաս ամբողջականության աստիճանով: Նշենք, որ, ի տարբերություն մեխանիկայի պարզ համակարգերի, բարդ սոցիալական, տնտեսական, կենսաբանական և տեխնիկական համակարգերի ցուցիչների փոփոխությունների միտումներն արտացոլվում են միայն որոշակի մոտարկումներով այս կամ այն ​​հավասարմամբ, միտումի գծով:

Այս գլխում դիտարկվում են ոչ բոլոր տողերը և դրանց հավասարումները, որոնք հայտնի են մաթեմատիկայում, այլ միայն դրանց համեմատաբար պարզ ձևերի մի շարք, որոնք մենք բավարար ենք համարում գործնականում հանդիպող ժամանակային շարքերի մեծամասնության միտումները ցուցադրելու և վերլուծելու համար: Այս դեպքում նպատակահարմար է միշտ ընտրել ավելի պարզ գիծ գծերի մի քանի տեսակներից, որոնք բավականին սերտորեն արտահայտում են միտումը։ Այս «պարզության սկզբունքը» հիմնավորվում է նրանով, որ որքան բարդ է տենդենցի գծի հավասարումը, որքան մեծ է դրա մեջ պարունակվող պարամետրերի թիվը, այնքան ավելի դժվար է, մոտավորության հավասար աստիճանով, այս պարամետրերի հուսալի գնահատական ​​տալը։ հիմնվելով շարքի սահմանափակ քանակի մակարդակների վրա և որքան մեծ է այդ պարամետրերի գնահատման սխալը, այնքան կանխատեսված մակարդակներում կան սխալներ:

4.1. Ուղիղ գծի միտումը և դրա հատկությունները

Առավելագույնը պարզ տեսակՄիտման գիծը ուղիղ գիծ է, որը նկարագրված է գծային (այսինքն՝ առաջին աստիճանի) միտման հավասարմամբ.

Որտեղ - հավասարեցված, այսինքն. զուրկ տատանումներից, i թվով տարիներ շարունակ միտումների մակարդակներ;

Ա- հավասարման ազատ տերմին, որը թվայինորեն հավասար է միջին մակարդակի մակարդակին այն պահի կամ ժամանակահատվածի համար, որը վերցված է որպես սկզբնաղբյուր, այսինքն. Համար

տ = 0;

բ - սերիայի մակարդակների միջին փոփոխությունը մեկ միավորի ժամանակի փոփոխության ժամանակ.

ti - պահերի կամ ժամանակաշրջանների թիվը, որոնց վերաբերում են ժամանակային շարքերի մակարդակները (տարի, եռամսյակ, ամիս, ամսաթիվ):

Սերիայի մակարդակների միջին փոփոխությունը ժամանակի միավորի համար գծային միտումի հիմնական պարամետրն ու հաստատունն է: Հետևաբար, այս տիպի միտումը հարմար է մակարդակների մոտավորապես միատեսակ փոփոխությունների միտում դրսևորելու համար. Պրակտիկան ցույց է տալիս, որ այս տեսակի դինամիկա տեղի է ունենում բավականին հաճախ: Շարքի մակարդակների գրեթե միատեսակ բացարձակ փոփոխությունների պատճառը հետևյալն է. և այլն, կախված են մեծ թվով տարբեր գործոններից: Դրանցից ոմանք ազդում են ուսումնասիրվող երեւույթի արագացված աճի վրա, մյուսները՝ ավելի դանդաղ աճի, մյուսները՝ մակարդակների նվազման և այլն։ Գործոնների բազմակողմ և տարբեր արագացված (դանդաղեցված) ուժերի ազդեցությունը փոխադարձաբար միջինացվում է, մասամբ վերացվում, և դրանց ազդեցության արդյունքը ձեռք է բերում միատեսակ միտումին մոտ բնույթ։ Այսպիսով, դինամիկայի միատեսակ միտումը (կամ լճացումը) արդյունք է ուսումնասիրվող ցուցանիշի փոփոխության վրա մեծ թվով գործոնների ազդեցության գումարման:

Ուղղանկյուն տենդենցի գրաֆիկական պատկերը ուղիղ գիծ է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում՝ երկու առանցքների վրա գծային (թվաբանական) մասշտաբով: Գծային միտումի օրինակ տրված է Նկ. 4.1.

Մակարդակների բացարձակ փոփոխությունները բոլորովին նույնը չեն եղել տարիների ընթացքում, սակայն ընդհանուր միտումը եղել է զբաղվածների թվի նվազումը։ ազգային տնտեսությունշատ լավ արտացոլված է գծային միտումով: Դրա պարամետրերը հաշվարկված են գլխ. 5 (Աղյուսակ 5.3):

Ուղիղ գծի տեսքով տենդենցի հիմնական հատկությունները հետևյալն են.

Հավասար փոփոխություններ հավասար ժամանակահատվածներում;

Եթե ​​միջին բացարձակ աճը դրական արժեք է, ապա հարաբերական աճը կամ աճի տեմպերը աստիճանաբար նվազում են.

Եթե ​​միջին բացարձակ փոփոխությունը բացասական է, ապա հարաբերական փոփոխությունները կամ նվազման տեմպը աստիճանաբար աճում են ըստ բացարձակ արժեքիջնել նախորդ մակարդակին;

Եթե ​​միտումը դեպի մակարդակների նվազում է, և ուսումնասիրվող արժեքը, ըստ սահմանման, դրական է, ապա միջին փոփոխությունը բչի կարող լինել միջինից ավելի Ա;

Գծային միտումով, արագացումով, այսինքն. հաջորդական ժամանակաշրջանների ընթացքում բացարձակ փոփոխությունների տարբերությունը հավասար է զրոյի:

Գծային միտումի հատկությունները ներկայացված են Աղյուսակում: 4.1. Միտման հավասարումը. = 100 +20 *ti.

Դինամիկայի ցուցանիշները նվազման մակարդակի միտումի առկայության դեպքում տրված են աղյուսակում: 4.2.

Աղյուսակ 4.1

Դինամիկայի ցուցանիշներ՝ դեպի աճող մակարդակների գծային միտում = 100 +20 *ti.

Ժամանակահատվածի համարը ti			Գները (շղթա), %	Արագացում

Աղյուսակ 4.2

Դինամիկայի ցուցիչներ՝ նվազման մակարդակների գծային միտումով. = 200 -20 *ti.

Ժամանակահատվածի համարը ti		Բացարձակ փոփոխություն նախորդ ժամանակաշրջանից	Դրույքաչափը նախորդ ժամանակաշրջանի համեմատ, %	Արագացում

Ըստ բանաձևի (9.29) գծային տենդենցի պարամետրերը հավասար են ա = 1894/11 = 172,2 ց/հա; բ= 486/110 = 4,418 ց/հա: Գծային միտումի հավասարումը ունի ձև.

y = 172,2 + 4,418տ, Որտեղ t = 0 1987 թվականին Սա նշանակում է, որ միջին փաստացի և հավասարեցված մակարդակը վերաբերում է ժամանակաշրջանի կեսին, այսինքն. մինչև 1991 թվականը, տարեկան 172 ց/հա, միջին տարեկան աճը կազմում է 4,418 ց/հա

Պարաբոլիկ միտման պարամետրերը ըստ (9.23) հավասար են բ = 4,418; ա = 177,75; գ =-0,5571. Պարաբոլիկ միտումի հավասարումն ունի ձև у = 177,75 + 4,418տ - 0.5571t 2; տ= 0 1991թ.-ին: Սա նշանակում է, որ բերքատվության բացարձակ աճը դանդաղում է տարեկան միջինը 2,0,56 ց/հա-ով տարեկան: Բացարձակ աճն ինքնին այլևս պարաբոլիկ միտումի հաստատուն չէ, այլ ժամանակահատվածի միջին արժեք է: Որպես մեկնարկային կետ ընդունված տարում, այսինքն. 1991 թ. միտումն անցնում է 77,75 ց/հա օրդինատով կետով; Պարաբոլիկ միտումի ազատ տերմինը տվյալ ժամանակահատվածի միջին մակարդակը չէ: Էքսպոնենցիալ միտումի պարամետրերը հաշվարկվում են (9.32) և (9.33) ln բանաձևերով Ա= 56,5658/11 = 5,1423; հզորացնելով, մենք ստանում ենք Ա= 171,1; ln կ= 2,853:110 = 0,025936; հզորացնելով, մենք ստանում ենք կ = 1,02628.

Էքսպոնենցիալ միտումի հավասարումը հետևյալն է. y = 171.1 1.02628 տ.

Սա նշանակում է, որ տվյալ ժամանակաշրջանի միջին տարեկան եկամտաբերությունը կազմել է 102.63%: K կետում ելակետ է վերցվում, միտումը անցնում է 171,1 ց/հա օրդինատով կետը։

Միտման հավասարումների միջոցով հաշվարկված մակարդակները գրված են աղյուսակի վերջին երեք սյունակներում: 9.5. Ինչպես երեւում է այս տվյալներից. Մակարդակների հաշվարկված արժեքները բոլոր երեք տեսակի միտումների համար շատ չեն տարբերվում, քանի որ և՛ պարաբոլայի արագացումը, և՛ էքսպոնենցիալ աճի տեմպերը փոքր են: Պարաբոլան զգալի տարբերություն ունի. մակարդակների աճը դադարել է 1995 թվականից, մինչդեռ գծային միտումով մակարդակները շարունակում են աճել, իսկ էքսպոնենցիալ տենդենցի դեպքում դրանց արագությունը արագանում է: Հետևաբար, ապագայի կանխատեսումների համար այս երեք միտումները հավասար չեն. պարաբոլան ապագա տարիներ արտահանելիս մակարդակները կտրուկ կտարվեն ուղիղ գծից և էքսպոնենցիալից, ինչպես երևում է Աղյուսակից: 9.6. Այս աղյուսակը ցույց է տալիս ԱՀ-ի լուծման տպագրությունը՝ օգտագործելով Statgraphics ծրագիրը նույն երեք միտումների համար: Նրանց անվճար պայմանների և վերը տրվածների միջև տարբերությունը բացատրվում է նրանով, որ ծրագիրը թվարկում է տարիները ոչ թե միջինից, այլ սկզբից, այնպես որ միտումների ազատ պայմանները վերաբերում են 1986թ.-ին, որի համար t=0: Տպագրության վրա էքսպոնենցիալ հավասարումը մնացել է լոգարիթմական տեսքով: Կանխատեսումը կատարվում է նախապես 5 տարի, այսինքն. մինչև 2001 թ. Երբ փոխվում է պարաբոլայի հավասարման կոորդինատների սկզբնաղբյուրը (ժամանակի հղումը), միջին բացարձակ աճը, պարամետրը. բ.քանի որ բացասական արագացման արդյունքում աճը անընդհատ նվազում է, իսկ առավելագույնը ժամանակաշրջանի սկզբում է։ Պարաբոլայի միակ հաստատունը արագացումն է։

«Տվյալներ» տողը ցույց է տալիս բնօրինակ շարքի մակարդակները. «Կանխատեսման ամփոփագիր» նշանակում է կանխատեսման տվյալների ամփոփում: Հետևյալ տողերում կան ուղիղ գծի հավասարումներ, պարաբոլներ, ցուցիչներ՝ լոգարիթմական ձևով։ ME սյունակը նշանակում է սկզբնական շարքի և միտումների մակարդակների միջին տարբերությունը (հավասարեցված): Ուղիղ գծի և պարաբոլայի համար այս անհամապատասխանությունը միշտ զրո է: Ցուցանիշների մակարդակները միջինում 0,48852-ով ցածր են սկզբնական շարքի մակարդակներից: Ճշգրիտ համընկնումը հնարավոր է, եթե իրական միտումը էքսպոնենցիալ է. Վ այս դեպքումՊատահականություն չկա, բայց տարբերությունը փոքր է։ MAE գրաֆիկը շեղումն է s 2 - 9.7-րդ պարագրաֆում քննարկված փաստացի մակարդակների փոփոխականության չափում` կապված միտումի հետ: Սյունակ MAE - մակարդակների միջին գծային շեղում միտումից բացարձակ արժեքով (տես պարագրաֆ 5.8); սյունակ MARE - հարաբերական գծային շեղում որպես տոկոս: Այստեղ դրանք ներկայացված են որպես ընտրված միտումի տեսակի համապատասխանության ցուցանիշներ։ Պարաբոլան ունի ավելի փոքր ցրվածության և շեղման մոդուլ՝ 1986 - 1996 թվականների ժամանակաշրջանի համար: ավելի մոտ իրական մակարդակներին: Սակայն միտումի տեսակի ընտրությունը չի կարող կրճատվել միայն այս չափանիշով: Փաստորեն, աճի դանդաղումը մեծ բացասական շեղման արդյունք է, այսինքն՝ 1996թ.

Աղյուսակի երկրորդ կեսը տարիներ շարունակ երեք տեսակի միտումների եկամտաբերության մակարդակների կանխատեսումն է. t = 12, 13, 14, 15 և 16 ծագումից (1986 թ.): Մինչև 16-րդ տարում էքսպոնենցիալ կանխատեսվող մակարդակները շատ ավելի բարձր չեն, քան ուղիղ գծի համար: Պարաբոլիկ տենդենցների մակարդակները նվազում են՝ գնալով շեղվելով այլ միտումներից:

Ինչպես երևում է աղյուսակում. 9.4. միտումների պարամետրերը հաշվարկելիս սկզբնական շարքի մակարդակները ներառված են տարբեր կշիռներով՝ արժեքներով tpև դրանց քառակուսիները: Հետևաբար, մակարդակի տատանումների ազդեցությունը միտումի պարամետրերի վրա կախված է նրանից, թե որ տարվա համարն է բերքահավաքի կամ նիհար տարի: Եթե ​​մեկ տարվա ընթացքում կտրուկ շեղում է տեղի ունենում զրոյական թվով ( t i = 0), ապա դա ոչ մի ազդեցություն չի ունենա տենդենցի պարամետրերի վրա, բայց եթե այն հարվածի շարքի սկզբին և ավարտին, դա ուժեղ ազդեցություն կունենա: Հետևաբար, մեկ վերլուծական հավասարեցումը լիովին չի ազատում միտումների պարամետրերը տատանումների ազդեցությունից, և ուժեղ տատանումներով դրանք կարող են մեծապես աղավաղվել, ինչը տեղի ունեցավ մեր օրինակի պարաբոլայի դեպքում: Թրենդային պարամետրերի վրա տատանումների աղավաղող ազդեցությունը հետագայում վերացնելու համար պետք է կիրառել բազմակի լոգարիթմական հավասարեցման մեթոդ:

Այս տեխնիկան բաղկացած է նրանից, որ միտումի պարամետրերը անմիջապես չեն հաշվարկվում ամբողջ շարքի համար, այլ լոգարիթմական մեթոդ, նախ՝ առաջինի համար Տժամանակաշրջաններ կամ պահեր, այնուհետև 2-րդից մինչև ընկած ժամանակահատվածի համար t + 1, 3-ից մինչև (t + 2) մակարդակ և այլն: Եթե ​​շարքի սկզբնական մակարդակների թիվը հավասար է Պ,և պարամետրերի հաշվարկման յուրաքանչյուր սահող բազայի երկարությունը հավասար է Տ,ապա այդպիսի շարժվող հիմքերի թիվը t կամ առանձին պարամետրային արժեքները, որոնք կորոշվեն դրանցից, կլինի.

Լ = n + 1 - Տ.

Լոգարիթմական բազմակի հավասարեցման տեխնիկայի օգտագործումը, ինչպես երևում է վերը նշված հաշվարկներից, հնարավոր է միայն շարքի բավականաչափ մեծ թվով մակարդակների դեպքում, սովորաբար 15 կամ ավելի: Դիտարկենք այս տեխնիկան՝ օգտագործելով Աղյուսակ 1-ի տվյալները որպես օրինակ: 9.4 - ոչ վառելիքային ապրանքների գների դինամիկա զարգացող երկրներ, որը կրկին թույլ է տալիս ընթերցողին մասնակցել փոքր գիտական ​​հետազոտություն. Օգտագործելով նույն օրինակը, մենք կշարունակենք կանխատեսման տեխնիկան Բաժին 9.10-ում:

Եթե ​​հաշվարկենք մեր շարքի պարամետրերը 11 տարվա ընթացքում (11 մակարդակներում), ապա տ= 17 + 1 - 11 = 7. Բազմաթիվ սահող հավասարեցման իմաստն այն է, որ պարամետրերի հաշվարկման հիմքի հաջորդական տեղաշարժերի դեպքում դրա ծայրերում և մեջտեղում կլինեն. տարբեր մակարդակներտարբեր նշանի և մեծության միտումից շեղումներով։ Հետևաբար, բազայի որոշ տեղաշարժերի դեպքում պարամետրերը կգերագնահատվեն, մյուսների դեպքում՝ դրանք կթերագնահատվեն, և հաշվարկային բազայի բոլոր տեղաշարժերի վրա պարամետրերի արժեքների հետագա միջինացումով, տեղի կունենա աղավաղումների հետագա փոխադարձ վերացում: միտումների պարամետրերը ըստ մակարդակների տատանումների:

Բազմաթիվ լոգարիթմական հավասարեցումը ոչ միայն թույլ է տալիս ստանալ միտումների պարամետրերի ավելի ճշգրիտ և հուսալի գնահատական, այլև վերահսկել միտումների հավասարման տեսակի ճիշտ ընտրությունը: Եթե ​​պարզվում է, որ առաջատար միտումի պարամետրը, նրա հաստատունը, երբ հաշվարկվում է շարժվող հիմքերի միջոցով, պատահականորեն չի տատանվում, բայց համակարգված կերպով փոխում է իր արժեքը էականորեն, նշանակում է, որ միտումի տեսակը սխալ է ընտրվել, այս պարամետրը հաստատուն չէ: .

Ինչ վերաբերում է ազատ տերմինին բազմակի հավասարեցման ժամանակ, ապա կարիք չկա և, առավել եւս, դրա արժեքը որպես միջին հաշվարկել բոլոր բազային տեղաշարժերի վրա ուղղակի սխալ է, քանի որ այս մեթոդով հաշվարկում կներառվեն սկզբնական շարքի առանձին մակարդակներ։ միջինը տարբեր կշիռներով, և հավասարեցված մակարդակների գումարը կտարբերվի սկզբնական շարքի պայմանների գումարի հետ: Միտման ազատ տերմինը տվյալ ժամանակաշրջանի մակարդակի միջին արժեքն է, պայմանով, որ ժամանակը հաշվվում է ժամանակաշրջանի կեսից: Սկզբից հաշվելիս, եթե առաջին մակարդակը t i= 1, ազատ ժամկետը հավասար կլինի. a 0 = у̅ - բ((N-1)/2). Առաջարկվում է, որ շարժվող հիմքի երկարությունը տենդենցի պարամետրերը հաշվարկելու համար ընտրվի առնվազն 9-11 մակարդակ՝ մակարդակների տատանումները բավականաչափ մեղմելու համար: Եթե ​​սկզբնական շարքը շատ երկար է, հիմքը կարող է լինել մինչև 0,7 - 0,8 երկարությունը: Թրենդային պարամետրերի վրա երկարատև (ցիկլային) տատանումների ազդեցությունը վերացնելու համար բազային տեղաշարժերի թիվը պետք է հավասար լինի կամ բազմապատիկ լինի տատանումների ցիկլի երկարությանը: Այնուհետև հիմքի սկիզբը և վերջը հաջորդաբար «կանցնեն» ցիկլի բոլոր փուլերով և բոլոր տեղաշարժերի վրա պարամետրը միջինացնելիս, ցիկլային տատանումներից դրա աղավաղումները կչեղարկվեն միմյանց: Մեկ այլ միջոց է վերցնել շարժվող հիմքի երկարությունը, որը հավասար է ցիկլի երկարությանը, որպեսզի հիմքի սկիզբը և հիմքի վերջը միշտ ընկնեն տատանումների ցիկլի նույն փուլում:

Քանի որ ըստ աղյուսակի. 9.4, արդեն հաստատվել է, որ միտումը ունի գծային ձև, մենք հաշվարկում ենք միջին տարեկան բացարձակ աճը, այսինքն պարամետրը. բգծային տենդենցների հավասարումները սահող եղանակով 11 տարվա հիմքերի վրա (տես Աղյուսակ 9.7): Այն նաև պարունակում է 9.7 պարագրաֆում փոփոխականության հետագա ուսումնասիրության համար անհրաժեշտ տվյալների հաշվարկը: Եկեք մանրամասն քննարկենք բազմակի հավասարեցման տեխնիկան, օգտագործելով սահող հիմքերը: Եկեք հաշվարկենք պարամետրը բբոլոր տվյալների բազաների համար.

Ուղիղ գիծը որպես տեսական մակարդակների հիպոթետիկ ֆունկցիա ընդունելով՝ որոշում ենք վերջինիս պարամետրերը.

Այս համակարգը կարող է լուծվել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Հետևաբար ցանկալի միտումի հավասարումը. . Փոխարինելով 1, 2, 3, 4, 5 արժեքները ստացված հավասարման մեջ՝ մենք որոշում ենք շարքի տեսական մակարդակները (տես Աղյուսակ 4.3-ի նախավերջին սյունակը): Համեմատելով էմպիրիկ և տեսական մակարդակների արժեքները՝ մենք տեսնում ենք, որ դրանք մոտ են, այսինքն. կարելի է ասել, որ գտնված հավասարումը շատ հաջող կերպով բնութագրում է մակարդակների փոփոխությունների հիմնական միտումը հենց որպես գծային ֆունկցիա։

Նորմալ հավասարումների համակարգը պարզեցվում է, եթե ժամանակը հաշվում են շարքի կեսից։ Օրինակ, երբ մակարդակների կենտ թիվըմիջնակետը (տարի, ամիս) վերցվում է որպես զրո: Այնուհետև նախորդ ժամանակաշրջանները նշանակվում են համապատասխանաբար՝ -1, -2, -3 և այլն, իսկ միջինին հաջորդողները՝ համապատասխանաբար՝ +1, +2, +3 և այլն։ Մակարդակների զույգ թվով ժամանակի երկու միջին պահերը (ժամանակաշրջանները) նշանակվում են −1 և +1, իսկ բոլոր հաջորդ և նախորդները, համապատասխանաբար, երկու ընդմիջումներով. և այլն:

Ժամանակի հաշվման այս կարգով (շարքի կեսից) նորմալ հավասարումների համակարգը պարզեցվում է հետևյալ երկու հավասարումների, որոնցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ինքնուրույն.

ԿարևորԺամանակային շարքի մոդել կառուցելիս հաշվի են առնվում սեզոնային և ցիկլային տատանումները: Մոդելի սեզոնային և ցիկլային տատանումները հաշվի առնելու ամենապարզ մոտեցումը սեզոնային/ցիկլային բաղադրիչի արժեքների հաշվարկն է և հավելումային և բազմապատկվող ժամանակային շարքերի մոդելի կառուցումը:

Ընդհանուր ձևհավելումների մոդելը հետևյալն է. Y=T+S+E. Այս մոդելը ենթադրում է, որ շարքի յուրաքանչյուր ժամանակային մակարդակը կարող է ներկայացվել որպես միտումի գումար Տ, սեզոնային Սև պատահական բաղադրիչ: Բազմապատկիչ մոդելի ընդհանուր տեսքը հետևյալն է. Y=T∙S∙E.

Երկու մոդելներից մեկի ընտրությունը հիմնված է սեզոնային տատանումների կառուցվածքի վերլուծության վրա: Եթե ​​տատանումների ամպլիտուդը մոտավորապես հաստատուն է, ապա կառուցվում է հավելյալ ժամանակային շարքի մոդել, որտեղ սեզոնային բաղադրիչի արժեքները ենթադրվում են հաստատուն տարբեր ցիկլերի համար: Եթե ​​սեզոնային տատանումների ամպլիտուդը մեծանում կամ նվազում է, կառուցվում է բազմապատկվող ժամանակային շարքի մոդել, որը սերիայի մակարդակները կախված է սեզոնային բաղադրիչի արժեքներից:

Ավելացման և բազմապատկման մոդելների կառուցումը հասնում է հաշվարկի Տ, Ս, Եյուրաքանչյուր տողի մակարդակի համար: Մոդելի կառուցման փուլերը ներառում են հետևյալ քայլերը.

1. Բնօրինակ շարքի հավասարեցում շարժվող միջին մեթոդով

2. Սեզոնային բաղադրիչի արժեքների հաշվարկ Ս.

3. Սեզոնային բաղադրիչի վերացում շարքի սկզբնական մակարդակներից և հավասարեցված տվյալների ստացում հավելումով ( T+E)կամ բազմապատկվող ( T∙E)մոդելներ.

4. Վերլուծական հարթեցում ( T+E)կամ ( T∙E)և արժեքների հաշվարկ Տօգտագործելով ստացված միտումի հավասարումը:

5. Մոդելից ստացված արժեքների հաշվարկ ( T+E)կամ ( T∙E).

6. Բացարձակ և/կամ հաշվարկ հարաբերական սխալներ. Եթե ​​ստացված արժեքները չեն պարունակում ավտոկոռելացիա, դրանք կարող են փոխարինել շարքի սկզբնական մակարդակները և հետագայում օգտագործել սխալների ժամանակային շարքերը: Եվերլուծել սկզբնական շարքի և այլ ժամանակային շարքերի միջև կապը:

Դիտարկենք հարաբերությունների վերլուծության այլ մեթոդներ՝ ենթադրելով, որ ուսումնասիրվող ժամանակային շարքը չի պարունակում պարբերական տատանումներ։ Ենթադրենք, որ ուսումնասիրում ենք սերիաների միջև կախվածությունը XԵվ ժամը. Այս կախվածությունը քանակապես բնութագրելու համար մենք օգտագործում ենք գծային գործակիցհարաբերակցությունները. Եթե ​​տվյալ ժամանակային շարքերը միտում ունեն, ապա բացարձակ արժեքի հարաբերակցության գործակիցը բարձր կլինի: Այնուամենայնիվ, սա չի նշանակում Xպատճառ ժամը. Հարաբերակցության բարձր գործակիցն այս դեպքում արդյունք է այն բանի, որ XԵվ ժամըկախված է ժամանակից կամ պարունակում է միտում: Այս դեպքում պատճառահետևանքային կախվածությամբ միմյանց հետ բացարձակապես կապ չունեցող շարքերը կարող են ունենալ նույն կամ հակառակ միտում: Օրինակ, Ռուսաստանի Դաշնությունում բուհերի շրջանավարտների թվի և հանգստյան տների թվի միջև հարաբերակցության գործակիցը 1970-1990 թվականներին կազմել է 0,8: Սակայն դա չի նշանակում, որ հանգստյան տների թիվը նպաստում է շրջանավարտների թվի ավելացմանը կամ հակառակը։

Ուսումնասիրվող շարքերի միջև պատճառահետևանքային կապը բնութագրող հարաբերակցության գործակիցներ ձեռք բերելու համար անհրաժեշտ է ձերբազատվել, այսպես կոչված, կեղծ հարաբերակցությունից, որն առաջանում է յուրաքանչյուր շարքում տենդենցի առկայությունից, որը վերացվում է մեկով. մեթոդներից։

Ենթադրենք, որ երկու ժամանակային շարքերի համար x տԵվ y տկառուցված է զույգ ռեգրեսիայի հավասարում գծային ռեգրեսիատիպ: . Այս ժամանակային շարքերից յուրաքանչյուրում միտումի առկայությունը նշանակում է, որ կախված y տև անկախ x տՄոդելի փոփոխականների վրա ազդում է ժամանակի գործոնը, որն ուղղակիորեն հաշվի չի առնվում մոդելում: Ժամանակի գործոնի ազդեցությունը արտահայտվելու է ընթացիկ և նախորդ ժամանակի մնացորդների արժեքների հարաբերակցության մեջ, որը կոչվում է ավտոկոռելացիա մնացորդներում:

Ավտոկորելացիան մնացորդներում OLS-ի հիմնական նախադրյալներից մեկի խախտում է` այն ենթադրությունը, որ ռեգրեսիայի հավասարումից ստացված մնացորդները պատահական են: Մեկը հնարավոր ուղիներըԱյս խնդրի լուծումը նվազագույն քառակուսիների ընդհանրացված մեթոդի օգտագործումն է:

Միտումը վերացնելու համար օգտագործվում են մեթոդների երկու խումբ.

Բնօրինակ շարքի մակարդակները նոր փոփոխականների վերածելու վրա հիմնված մեթոդներ, որոնք չեն պարունակում միտումներ (հաջորդական տարբերությունների մեթոդ և միտումներից շեղման մեթոդ);

Մոդելի կախված և անկախ փոփոխականների վրա ժամանակի գործոնի ազդեցությունը վերացնելու ժամանակ ժամանակային շարքերի սկզբնական մակարդակների միջև կապի ուսումնասիրության վրա հիմնված մեթոդներ (ժամանակային գործոնի ընդգրկում ռեգրեսիոն մոդելում ժամանակային շարքերի համար):

Թող լինեն երկու ժամանակային շարքեր և , որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է միտումի բաղադրիչ Տև պատահական բաղադրիչ: Այս շարքերից յուրաքանչյուրի վերլուծական հավասարեցումը մեզ թույլ է տալիս գտնել համապատասխան միտումների հավասարումների պարամետրերը և որոշել տենդենցով հաշվարկված մակարդակները և համապատասխանները: Այս հաշվարկված արժեքները կարող են ընդունվել որպես միտումի բաղադրիչի գնահատում Տյուրաքանչյուր տող: Հետևաբար, միտման ազդեցությունը կարելի է վերացնել՝ հանելով սերիայի մակարդակների հաշվարկված արժեքները իրականից: Այս ընթացակարգը կատարվում է մոդելի յուրաքանչյուր ժամանակային շարքի համար: Շարքերի միջև փոխհարաբերությունների հետագա վերլուծությունը կատարվում է օգտագործելով ոչ թե սկզբնական մակարդակները, այլ շեղումները միտումից և . Սա հենց այն է, ինչ կա միտումների շեղման մեթոդ.

Որոշ դեպքերում, միտումը վերացնելու համար ժամանակային շարքը վերլուծական կերպով հավասարեցնելու փոխարեն, կարող է օգտագործվել ավելի պարզ մեթոդ. - հաջորդական տարբերությունների մեթոդ.Եթե ​​ժամանակային շարքը պարունակում է ուժեղ գծային միտում, այն կարող է վերացվել՝ փոխարինելով շարքի սկզբնական մակարդակները շղթայական բացարձակ աճերով (առաջին տարբերությունները):

Գործակից բ- հաստատուն, որը կախված չէ ժամանակից: Ուժեղ գծային միտումի առկայության դեպքում հրաժարականները բավականին փոքր են և, համաձայն OLS-ի ենթադրությունների, իրենց բնույթով պատահական են: Հետևաբար, շարքի մակարդակների միջև առաջին տարբերությունները կախված չեն ժամանակի փոփոխականից, դրանք կարող են օգտագործվել հետագա վերլուծության համար:

Եթե ​​ժամանակային շարքը պարունակում է միտում երկրորդ կարգի պարաբոլայի տեսքով, ապա այն վերացնելու համար կարող եք շարքի սկզբնական մակարդակները փոխարինել երկրորդ տարբերություններով.

Եթե ​​ժամանակային շարքի միտումը հետևում է էքսպոնենցիալ կամ ուժային օրենքի միտումին, ապա հաջորդական տարբերության մեթոդը չպետք է կիրառվի օրիգինալ մակարդակներշարքերը, բայց դրանց լոգարիթմներին:

Մոդելի տեսք. վերաբերում է նաև մոդելների խմբին, որը ներառում է ժամանակի գործոնը։ Այս մոդելի առավելությունը միտումներից և հաջորդական տարբերություններից շեղումների մեթոդների նկատմամբ այն է, որ այն թույլ է տալիս հաշվի առնել բնօրինակ տվյալների մեջ պարունակվող ամբողջ տեղեկատվությունը, քանի որ արժեքները և սկզբնական ժամանակային շարքի մակարդակներն են: Բացի այդ, մոդելը կառուցված է՝ օգտագործելով դիտարկվող ժամանակաշրջանի տվյալների ամբողջ հավաքածուն՝ ի տարբերություն հաջորդական տարբերությունների մեթոդի, ինչը հանգեցնում է դիտարկումների քանակի կորստի: Այս մոդելի պարամետրերը որոշվում են սովորական նվազագույն քառակուսիներով:

Օրինակ։Աղյուսակ 4.4-ի նախնական տվյալների հիման վրա կառուցենք միտումի հավասարում:

Աղյուսակ 4.4

Վերջնական սպառման և ընդհանուր եկամտի գծով ծախսեր (պայմանական միավորներ)

Նորմալ հավասարումների համակարգը ունի ձև.

Օգտագործելով նախնական տվյալները, մենք հաշվարկում ենք անհրաժեշտ արժեքները և դրանք փոխարինում համակարգում.

Ռեգրեսիայի հավասարումն ունի ձև՝ .

Հավասարման պարամետրերի մեկնաբանությունը հետևյալն է. այն բնութագրում է, որ ընդհանուր եկամտի 1 միավորով աճով. վերջնական սպառման ծախսերը կավելանան միջինը 0,49 ԴՄ-ով՝ ենթադրելով մշտական ​​միտում։ Պարամետրը նշանակում է, որ բոլոր գործոնների ազդեցությունը, բացառությամբ ընդհանուր եկամուտների, վերջնական սպառման ծախսերի վրա կհանգեցնի դրա միջին տարեկան բացարձակ աճին՝ 0,63 խմ:

Դիտարկենք ձևի ռեգրեսիոն հավասարումը. . Ժամանակի յուրաքանչյուր պահի համար բաղադրիչների արժեքը սահմանվում է որպես կամ . Մնացորդների հաջորդականությունը դիտարկելով որպես ժամանակային շարք՝ կարող եք գծագրել դրանց կախվածությունը ժամանակից: Ըստ OLS-ի ենթադրությունների, մնացորդները պետք է լինեն պատահական (Նկար 4.4):

Բրինձ. 4.4 Պատահական մնացորդներ

Այնուամենայնիվ, ժամանակային շարքերը մոդելավորելիս հաճախ լինում են իրավիճակներ, երբ մնացորդները պարունակում են միտում կամ ցիկլային տատանումներ (նկ. 4.5): Սա հուշում է, որ մնացորդների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը կախված է նախորդներից: Այս դեպքում խոսում են մնացորդների մեջ ավտոկորելյացիայի առկայության մասին։

ա) բ)

Բրինձ. 4.5 Նվազման միտում ( Ա) և ցիկլային տատանումներ ( բ)

մնացորդների մեջ

Պատահական բաղադրիչի ավտոկոռելացիա- պատահական բաղադրիչի ընթացիկ և նախորդ արժեքների հարաբերակցության կախվածությունը: Պատահական բաղադրիչի ավտոկոռելյացիայի հետևանքները.

Ռեգրեսիայի գործակիցները դառնում են անարդյունավետ;

Ռեգրեսիայի գործակիցների ստանդարտ սխալները դառնում են թերագնահատված, իսկ արժեքները տ- չափորոշիչները գերագնահատված են:

Մնացորդների ավտոկորելացիան որոշելու համար հայտնի են մնացորդների ավտոկորելացիան որոշելու երկու ամենատարածված մեթոդները: Առաջին մեթոդը մնացորդները գծագրելն է ժամանակի համեմատ և տեսողականորեն որոշել ավտոկոռելյացիայի առկայությունը կամ բացակայությունը: Երկրորդ մեթոդը Դուրբին-Վաթսոնի թեստի օգտագործումն է, որը հանգում է վարկածի փորձարկմանը.

H0 (հիմնական վարկած). չկա ավտոկոռելացիա;

H1 և H2 (այլընտրանքային վարկածներ). մնացորդների մեջ կա համապատասխանաբար դրական կամ բացասական ավտոկորելացիա:

Հիմնական վարկածը ստուգելու համար օգտագործվում է Durbin-Watson թեստի վիճակագրությունը.

Որտեղ.

Մեծ նմուշների վրա d≈2(1-), որտեղ - 1-ին կարգի ավտոկոռելյացիայի գործակից.

.

Եթե ​​մնացորդներում կա ամբողջական դրական ավտոկորելացիա և =1, ապա d=0;եթե մնացորդներում լիակատար բացասական ավտոկորելացիա կա, ապա = -1 և d=4;եթե մնացորդների ավտոկորելացիա չկա, ապա = 0, ապա d=2.Հետևաբար, 0.

Ստորին և վերին կրիտիկական սահմանները որոշելու համար կան հատուկ վիճակագրական աղյուսակներ դ- վիճակագրություն – դ ԼԵվ dU. Նրանք որոշվում են կախված n,անկախ փոփոխականների քանակը կև նշանակության մակարդակը։

Եթե dob ‹d L,ապա ընդունվում է H1 վարկածը՝ դրական ավտոկոռելացիա։

Եթե d և ‹d obs ‹2,

Եթե 2‹d obs‹4-d և,ապա ընդունվում է H0 վարկածը՝ չկա ավտոկոռելացիա։

Եթե d obs ›4-d L ,ապա ընդունվում է H2 վարկածը՝ բացասական ավտոկորելացիա։

Եթե 4-d և ‹d obs ‹4-d L,Եվ d L ‹d obs ‹d և,ապա կա անորոշության դեպք։

0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4

Բրինձ. 4.6 Մնացորդների ավտոկոռելյացիայի առկայության մասին վարկածի փորձարկման ալգորիթմ

Դուրբին-Ուոթսոնի թեստի կիրառման սահմանափակումներ կան: Այն կիրառելի չէ մոդելների համար, որոնք ներառում են ստացված բնութագրի հետաձգված արժեքները որպես անկախ փոփոխականներ, այսինքն. դեպի ավտոռեգեսիվ մոդելներ. Տեխնիկան ուղղված է միայն առաջին կարգի մնացորդների ավտոկոռելյացիայի բացահայտմանը: Արդյունքներն ավելի հուսալի են ավելի մեծ նմուշների հետ աշխատելիս:

Այն դեպքերում, երբ առկա է մնացորդների ավտոկորելացիա, պարամետրերի գնահատականները որոշելու համար ա, բօգտագործել ընդհանրացված մեթոդ MNC, որը բաղկացած է հաջորդականությամբ Հաջորդ քայլերը:

1. Փոխակերպել բնօրինակ փոփոխականները y տԵվ xtմտքում

2. Հավասարման մեջ կիրառելով նվազագույն քառակուսիների սովորական մեթոդը , Որտեղ որոշել պարամետրերի գնահատականները և բ.

4. Դուրս գրիր բնօրինակ հավասարումը .

Ժամանակի տվյալների կիրառմամբ կառուցված էկոնոմետրիկ մոդելներից առանձնանում են դինամիկ մոդելներ։

Էկոնոմետրիկ մոդելն է դինամիկ , եթե ներս այս պահինժամանակ տայն հաշվի է առնում իր բաղկացուցիչ փոփոխականների արժեքները, որոնք վերաբերում են ինչպես ընթացիկ, այնպես էլ նախորդ ժամանակի կետերին, այսինքն. Այս մոդելը արտացոլում է ուսումնասիրված փոփոխականների դինամիկան ժամանակի յուրաքանչյուր կետում:

Դինամիկ էկոնոմետրիկ մոդելների երկու հիմնական տեսակ կա. Մոդելի առաջին տեսակը ներառում է ավտոռեգեսիվ մոդելներ և բաշխված ուշացման մոդելներ, որոնցում փոփոխականի արժեքը անցյալ ժամանակաշրջաններում (հետաձգված փոփոխականներ) ուղղակիորեն ներառված է մոդելում: Երկրորդ տիպի մոդելները անուղղակիորեն հաշվի են առնում դինամիկ տեղեկատվությունը: Այս մոդելները ներառում են փոփոխականներ, որոնք բնութագրում են արդյունքի ակնկալվող և ցանկալի մակարդակը կամ գործոններից մեկը ժամանակի մի կետում: տ.

Բաշխված ուշացման մոդելունի ձև.

Բաշխված ուշացման և ավտոռեգեսիվ մոդելների կառուցումն ունի իր առանձնահատկությունները: Նախ, ավտոռեգեսիվ մոդելների և շատ դեպքերում բաշխված ուշացման մոդելների պարամետրերի գնահատումը չի կարող իրականացվել սովորական OLS-ի միջոցով՝ դրա տարածքի խախտման պատճառով և պահանջում է հատուկ վիճակագրական մեթոդներ: Երկրորդ, հետազոտողները պետք է լուծեն ուշացման օպտիմալ արժեքի ընտրության և դրա կառուցվածքը որոշելու խնդիրը: Վերջապես, երրորդը, կա որոշակի հարաբերություն բաշխված ուշացման մոդելների և ավտոռեգեսիվ մոդելների միջև, և որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է անցում կատարել մոդելի մի տեսակից մյուսին:

Դիտարկենք բաշխված ուշացումով մոդել՝ ենթադրելով, որ ուշացման առավելագույն արժեքը վերջավոր է.

Այս մոդելն ասում է, որ եթե ժամանակի ինչ-որ պահի տանկախ փոփոխականը փոխվում է x, ապա այս փոփոխությունը կազդի փոփոխականի արժեքների վրա yընթացքում լհաջորդ պահերը ժամանակի ընթացքում:

Ռեգրեսիայի գործակիցը բ 0փոփոխականով xtբնութագրում է միջին բացարձակ փոփոխությունը y տերբ այն փոխվում է xt 1 միավորի համար դրա չափումը որոշակի ժամանակի որոշակի կետում տ, առանց հաշվի առնելու գործոնի ուշացած արժեքների ազդեցությունը x.Այս գործակիցը կոչվում է կարճաժամկետ բազմապատկիչ.

Այդ պահին t+1գործոնի փոփոխականի ազդեցությունը xtարդյունքի վրա y տկլինի ( b 0 +b 1)պայմանական միավորներ; ժամանակի մի կետում t+2այս ազդեցությունը կարող է բնութագրվել գումարով ( b 0 +b 1 +b 2)և այլն: Այս կերպ ստացված գումարները կոչվում են միջանկյալ բազմապատկիչներ.

Հաշվի առնելով ուշացման վերջավոր արժեքը՝ կարող ենք ասել, որ փոփոխականի փոփոխությունը xtժամանակի մի կետում տ 1 պայմանական միավորով կհանգեցնի արդյունքի ընդհանուր փոփոխության միջոցով լպահեր ժամանակի մեջ (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).

Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l) Չափը բկանչեց երկարաժամկետ բազմապատկիչ, որը երկարաժամկետ հեռանկարում ցույց է տալիս բացարձակ փոփոխությունը t+lարդյունք y 1 միավորի փոփոխության ազդեցության տակ: գործոն ա x.

Քանակներ կոչվում են հարաբերական հավանականություններբաշխված ուշացման մոդելներ. Եթե ​​բոլոր գործակիցները բ ժունեն նույն նշանները Դա . Հարաբերական գործակիցները կշիռներ են համապատասխան գործակիցների համար բ ժ. Դրանցից յուրաքանչյուրը չափում է արդյունքի բնութագրիչի ընդհանուր փոփոխության համամասնությունը ժամանակի որոշակի կետում t+j.

Իմանալով քանակները, օգտագործելով ստանդարտ բանաձևեր, կարող եք որոշել ևս երկուսը կարևոր բնութագրերմոդելներ բազմակի ռեգրեսիաՄիջին և միջին ուշացումների արժեքը:

Միջին ուշացումհաշվարկված միջին թվաբանական բանաձևով.

և ներկայացնում է միջին ժամանակահատվածը, որի ընթացքում արդյունքը կփոխվի գործոնի փոփոխության ազդեցության տակ xայդ պահին տ.Եթե ​​միջին ուշացման արժեքը փոքր է, ապա դա ցույց է տալիս բավականին արագ արձագանք yփոփոխության համար x.Միջին ուշացման բարձր արժեքը ցույց է տալիս, որ գործոնի ազդեցությունը արդյունքի վրա կզգացվի ներսում երկար ժամանակաշրջանժամանակ.

Միջին ուշացում (L Me) –սա այն հետաձգման արժեքն է, որի համար այն ժամանակահատվածը, որի ընթացքում . Սա այն ժամանակահատվածն է, որի ընթացքում սկսած ժամանակի պահից տկիրականացվի արդյունքի վրա գործոնի ընդհանուր ազդեցության կեսը։

Բաշխված ուշացումով մոդելի պարամետրերի վերլուծության վերը նշված մեթոդները վավեր են միայն այն ենթադրության դեպքում, որ ուսումնասիրվող գործոնի ընթացիկ և հետաձգված արժեքների բոլոր գործակիցները ունեն նույն նշանները: Այս ենթադրությունը լիովին արդարացված է տնտեսական տեսանկյունից. նույն գործոնի ազդեցությունը արդյունքի վրա պետք է լինի միակողմանի՝ անկախ այն ժամանակից, որով չափվում է այդ բնութագրերի միջև կապի ուժը կամ սերտությունը: Այնուամենայնիվ, գործնականում ստանալով վիճակագրորեն նշանակալի մոդել, որի պարամետրերը կունենան նույն նշանները, հատկապես մեծ ուշացումով. լ, չափազանց դժվար.

Նման մոդելների համար սովորական նվազագույն քառակուսիների կիրառումը շատ դեպքերում դժվար է դրա պատճառով հետեւյալ պատճառները:

Անկախ փոփոխականի ընթացիկ և հետաձգված արժեքները, որպես կանոն, սերտորեն կապված են միմյանց հետ, ուստի մոդելի պարամետրերի գնահատումն իրականացվում է բարձր բազմակողմանիության պայմաններում.

Մեծ ուշացումով, դիտարկումների քանակը, որոնց վրա կառուցված է մոդելը, նվազում է, և դրա գործոնային բնութագրերի քանակը մեծանում է, ինչը հանգեցնում է մոդելի ազատության աստիճանների քանակի կորստի.

Բաշխված ուշացման մոդելներում հաճախ առաջանում է մնացորդների ավտոկորելյացիայի խնդիրը:

Ինչպես բաշխված ուշացման մոդելում, բ 0այս մոդելում բնութագրում է կարճաժամկետ փոփոխությունը y տփոփոխության ազդեցության տակ xt 1 միավորի համար Այնուամենայնիվ, ավտոռեգեսիվ մոդելի միջանկյալ և երկարաժամկետ բազմապատկիչները որոշ չափով տարբերվում են: Ըստ ժամանակի t+1արդյունք y տփոխվել է ուսումնասիրված գործոնի փոփոխությունների ազդեցության տակ միաժամանակ տվրա բ 0միավորներ, և y t +1– դրա փոփոխության ազդեցության տակ անմիջապես նախորդող ժամանակաշրջանում 1-իցմիավորներ. Այսպիսով, տվյալ պահին արդյունքի ընդհանուր բացարձակ փոփոխությունը t+1կլինի b 0 s 1.Նույնպես ժամանակին t+2արդյունքի բացարձակ փոփոխություն կլինի b 0 s 1 2միավորներ և այլն: Հետևաբար, ավտոռեգեսիվ մոդելի երկարաժամկետ բազմապատկիչը կարող է հաշվարկվել որպես կարճաժամկետ և միջանկյալ բազմապատկիչների գումար.

Ավտոռեգեսիվ մոդելի գործակիցների այս մեկնաբանությունը և երկարաժամկետ բազմապատկիչի հաշվարկը հիմնված են այն նախադրյալի վրա, որ կախված փոփոխականի ընթացիկ արժեքի ազդեցության անսահման ուշացում կա նրա ապագա արժեքների վրա:

Օրինակ։Ենթադրենք, որ տարածաշրջանում սպառման և եկամտի ցուցանիշների դինամիկայի վերաբերյալ տվյալների հիման վրա ստացվել է ավտոռեգեսիոն մոդել, որը նկարագրում է տարվա միջին մեկ շնչի սպառման ծավալի (C, միլիոն ռուբլի) կախվածությունը մեկ շնչի հաշվով միջինից։ տարեկան եկամուտ (Y, միլիոն ռուբլի) և նախորդ տարվա սպառման ծավալը.

.

Կարճաժամկետ բազմապատկիչը 0,85 է: Այս մոդելում այն ​​ներկայացնում է սպառման մարգինալ հակվածությունը կարճաժամկետ հեռանկարում: Հետևաբար, մեկ շնչին ընկնող ընդհանուր եկամուտի միջին աճը 1 մլն ռուբլով։ հանգեցնում է սպառման աճի նույն տարում միջինը 850 հազար ռուբլով: Այս մոդելում սպառման երկարաժամկետ սահմանային հակումը կարող է սահմանվել որպես

.

Երկարաժամկետ հեռանկարում մեկ շնչին ընկնող ընդհանուր եկամտի միջին աճը 1 միլիոն ռուբլով: կհանգեցնի սպառման աճի միջինը 944 հազար ռուբլով։ Սպառման սահմանային հակվածության միջանկյալ ցուցանիշները կարող են որոշվել համապատասխան ժամանակաշրջանների համար անհրաժեշտ մասնակի գումարների հաշվարկով: Օրինակ՝ ժամանակի մի կետի համար t+1մենք ստանում ենք.

Սա նշանակում է, որ մեկ շնչին բաժին ընկնող ընդհանուր եկամտի աճ է նկատվում ընթացիկ ժամանակաշրջան 1 միլիոն ռուբլու դիմաց: հանգեցնում է սպառման աճի միջինը 935 հազար ռուբլով: հաջորդ ժամանակահատվածում։