Ներածություն

Արդյո՞ք պատահական երևույթները ենթակա են որևէ օրենքի: Այո, բայց այս օրենքները տարբերվում են այն օրենքներից, որոնց մենք սովոր ենք ֆիզիկական օրենքներ. SV-ի արժեքները հնարավոր չէ կանխատեսել նույնիսկ հայտնի փորձարարական պայմաններում, մենք կարող ենք նշել միայն այն հավանականությունը, որ SV-ն կընդունի այս կամ այն ​​արժեքները. Բայց իմանալով SV-ների հավանականության բաշխումը, մենք կարող ենք եզրակացություններ անել այն իրադարձությունների մասին, որոնց մասնակցում են այս պատահական փոփոխականները: Ճիշտ է, այս եզրակացությունները նույնպես հավանական բնույթ են կրելու։

Թող որոշ SV լինի դիսկրետ, այսինքն. կարող է վերցնել միայն ֆիքսված արժեքներ Xi: Այս դեպքում հավանականության արժեքների շարքը P(Xi) այս մեծության բոլոր (i=1…n) թույլատրելի արժեքների համար կոչվում է դրա բաշխման օրենք:

SV-ի բաշխման օրենքը հարաբերություն է, որը կապ է հաստատում SV-ի հնարավոր արժեքների և այդ արժեքների ընդունման հավանականությունների միջև: Բաշխման օրենքը լիովին բնութագրում է ՍՎ.

Կառուցելիս մաթեմատիկական մոդելստուգման համար վիճակագրական վարկածանհրաժեշտ է ներկայացնել մաթեմատիկական ենթադրություն SV-ի բաշխման օրենքի մասին (մոդելի կառուցման պարամետրիկ եղանակ):

Մաթեմատիկական մոդելը նկարագրելու ոչ պարամետրիկ մոտեցումը (SV չունի պարամետրային բաշխման օրենք) ավելի քիչ ճշգրիտ է, բայց ունի ավելի լայն շրջանակ։

Ինչպես պատահական իրադարձության հավանականության դեպքում, այնպես էլ SV-ի բաշխման օրենքի համար կա այն գտնելու միայն երկու ճանապարհ: Կամ մենք կառուցում ենք պատահական իրադարձության դիագրամ և գտնում ենք վերլուծական արտահայտություն (բանաձև) հավանականությունը հաշվարկելու համար (գուցե ինչ-որ մեկն արդեն արել է կամ կանի դա մեզ փոխարեն), կամ մենք ստիպված կլինենք օգտագործել փորձ և, հիմնվելով հաճախականությունների վրա. դիտարկումների, որոշ ենթադրություններ անել (առաջարկել վարկածներ) օրենքի բաշխումների վերաբերյալ։

Իհարկե, «դասական» բաշխումներից յուրաքանչյուրի համար այս աշխատանքը կատարվել է երկար ժամանակ. լայնորեն հայտնի և կիրառական վիճակագրության մեջ շատ հաճախ օգտագործվում են երկանդամ և բազմանդամ բաշխումները, երկրաչափական և հիպերերկրաչափական, Պասկալի և Պուասոնի բաշխումները և շատ ուրիշներ:

Գրեթե բոլոր դասական բաշխումների համար հատուկ վիճակագրական աղյուսակներ անմիջապես կառուցվեցին և հրապարակվեցին, որոնք ճշգրտվեցին, քանի որ հաշվարկների ճշգրտությունը մեծացավ: Առանց այս աղյուսակների բազմաթիվ հատորների օգտագործման, առանց դրանց կիրառման կանոնների ուսուցման, վիճակագրության գործնական օգտագործումն անհնար էր վերջին երկու դարերի ընթացքում։

Այսօր իրավիճակը փոխվել է. կարիք չկա հաշվարկային տվյալները պահել բանաձևերի միջոցով (անկախ նրանից, թե որքան բարդ է վերջինս), պրակտիկայի համար բաշխման օրենքը օգտագործելու ժամանակը կրճատվել է րոպեների կամ նույնիսկ վայրկյանների: Այդ նպատակների համար արդեն իսկ կան բավարար քանակությամբ տարբեր կիրառական ծրագրային փաթեթներ:

Հավանականության բոլոր բաշխումների շարքում կան այնպիսիք, որոնք հատկապես հաճախ են կիրառվում գործնականում։ Այս բաշխումները մանրամասն ուսումնասիրվել են, և դրանց հատկությունները քաջ հայտնի են։ Այս բաշխումներից շատերը ընկած են գիտելիքի ամբողջ ոլորտների հիմքում, ինչպիսին է տեսությունը հերթագրում, հուսալիության տեսություն, որակի վերահսկում, խաղերի տեսություն և այլն։

Դրանցից չի կարելի ուշադրություն չդարձնել Պուասոնի (1781-1840) աշխատություններին, ով ապացուցեց մեծ թվերի օրենքի ավելի ընդհանուր ձև, քան Յակոբ Բեռնուլին, ինչպես նաև առաջին անգամ կիրառեց հավանականության տեսությունը նկարահանման խնդիրների համար։ . Պուասոնի անունը կապված է բաշխման օրենքներից մեկի հետ, որը կարևոր դեր է խաղում հավանականությունների տեսության և դրա կիրառման մեջ։

Այս բաշխման օրենքն է, որին նվիրված է այս հոդվածը: դասընթացի աշխատանք. Խոսքը վերաբերում էուղղակիորեն օրենքի, նրա մաթեմատիկական բնութագրերի, հատուկ հատկությունների, երկանդամ բաշխման հետ կապի մասին։ Կասվեն մի քանի խոսք գործնական կիրառման մասին և կբերվեն մի քանի օրինակներ պրակտիկայից։

Մեր էսսեի նպատակն է պարզաբանել Բեռնուլիի և Պուասոնի բաշխման թեորեմների էությունը։

Խնդիրն է ուսումնասիրել և վերլուծել շարադրության թեմայի վերաբերյալ գրականությունը:

1. Երկանդամ բաշխում (Բեռնուլիի բաշխում)

Երկանդամ բաշխում (Բեռնուլիի բաշխում) - ինչ-որ իրադարձության կրկնվող դեպքերի քանակի հավանականության բաշխում անկախ թեստեր, եթե յուրաքանչյուր փորձարկման ժամանակ այս իրադարձության առաջացման հավանականությունը p է (0

Ասում են, որ SV X-ը բաշխվում է ըստ Բեռնուլիի օրենքի՝ p պարամետրով, եթե այն վերցնում է 0 և 1 արժեքներ pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0.1.

Երկանդամ բաշխումն առաջանում է այն դեպքերում, երբ հարց է տրվում՝ քանի՞ անգամ է տեղի ունենում որոշակի իրադարձություն միևնույն պայմաններում կատարվող որոշակի թվով անկախ դիտարկումների (փորձերի) շարքում:

Հարմարավետության և պարզության համար մենք կենթադրենք, որ գիտենք p արժեքը՝ հավանականությունը, որ խանութ մուտք գործող այցելուն գնորդ կդառնա, և (1- p) = q՝ հավանականությունը, որ այցելուը խանութ մտնողը չի լինի: գնորդ.

Եթե ​​X-ը n այցելուների ընդհանուր թվից գնորդների թիվն է, ապա հավանականությունը, որ n այցելուների մեջ եղել են k գնորդներ, հավասար է.

P(X= k) = , որտեղ k=0,1,…n 1)

Բանաձևը (1) կոչվում է Բեռնուլիի բանաձև։ Մեծ թվով թեստերի դեպքում երկանդամ բաշխումը հակված է նորմալ լինելու:

Բեռնուլիի թեստը հավանականության փորձ է երկու արդյունքով, որոնք սովորաբար կոչվում են «հաջողություն» (սովորաբար նշվում է 1-ին նշանով) և «ձախողում» (համապատասխանաբար նշվում է 0-ով): Հաջողության հավանականությունը սովորաբար նշվում է p տառով, ձախողումը` q տառով; իհարկե q=1-p. p արժեքը կոչվում է Բեռնուլիի փորձարկման պարամետր:

Երկանդամ, երկրաչափական, պասկալ և բացասական երկանդամ պատահական փոփոխականները ստացվում են անկախ Բեռնուլիի փորձարկումների հաջորդականությունից, եթե հաջորդականությունն այս կամ այն ​​կերպ ավարտվում է, օրինակ՝ n-րդ փորձարկումից կամ X-րդ հաջողությունից հետո: Հետևյալ տերմինաբանությունը սովորաբար օգտագործվում է.

– Բեռնուլիի թեստի պարամետր (մեկ թեստի հաջողության հավանականություն);

- թեստերի քանակը;

- հաջողությունների քանակը;

- ձախողումների քանակը.

Երկանդամ պատահական փոփոխական (m|n,p) – m հաջողությունների թիվը n փորձարկումներում:

Երկրաչափական պատահական փոփոխական G(m|p) – փորձարկումների m թիվը մինչև առաջին հաջողությունը (ներառյալ առաջին հաջողությունը):

Պասկալ պատահական փոփոխական C(m|x,p) – փորձությունների m թիվը մինչև x-րդ հաջողությունը (իհարկե, չներառելով հենց x-րդ հաջողությունը):

Բացասական երկանդամ պատահական փոփոխական Y(m|x,p) – խափանումների m թիվը մինչև x-րդ հաջողությունը (չհաշված x-րդ հաջողությունը):

Նշում. երբեմն բացասական երկանդամ բաշխումը կոչվում է Պասկալ բաշխում և հակառակը:

Պուասոնի բաշխում

2.1. Պուասոնի օրենքի սահմանումը

Շատ գործնական խնդիրներում պետք է գործ ունենալ պատահական փոփոխականների հետ, որոնք բաշխված են ըստ հատուկ օրենքի, որը կոչվում է Պուասոնի օրենք:

Դիտարկենք անդադար պատահական X փոփոխականը, որը կարող է ընդունել միայն ամբողջ թվեր, ոչ բացասական արժեքներ՝ 0, 1, 2, ... , m, ... ; Ավելին, այս արժեքների հաջորդականությունը տեսականորեն անսահմանափակ է: Պատահական X փոփոխականը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, եթե հավանականությունը, որ այն կվերցնի որոշակի արժեք m արտահայտված է բանաձևով.

որտեղ a-ն ինչ-որ դրական մեծություն է, որը կոչվում է Պուասոնի օրենքի պարամետր:

Բաշխման տիրույթ պատահական փոփոխական X-ը, որը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, ունի հետևյալ տեսքը.

xm				…	մ	…
Ժամ	ե-ա			…		…

2.2. Պուասոնի բաշխման հիմնական բնութագրերը

Նախ, եկեք համոզվենք, որ հավանականությունների հաջորդականությունը կարող է լինել բաշխման շարք, այսինքն. որ բոլոր հավանականությունների Рm գումարը հավասար է մեկի։

Maclaurin շարքում մենք օգտագործում ենք ex ֆունկցիայի ընդլայնումը.

Հայտնի է, որ այս շարքը համընկնում է x-ի ցանկացած արժեքի համար, հետևաբար, վերցնելով x = a, մենք ստանում ենք

հետևաբար

Եկեք սահմանենք հիմնական բնութագրերը. ակնկալվող արժեքըև շեղում - պատահական X փոփոխական, որը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն: Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է: Ըստ սահմանման, երբ դիսկրետ պատահական փոփոխականը վերցնում է արժեքների հաշվելի շարք.

Գումարի առաջին անդամը (համապատասխան m=0) հավասար է զրոյի, հետևաբար, գումարումը կարող է սկսվել m=1-ով.

Այսպիսով, a պարամետրը ոչ այլ ինչ է, քան X պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

X պատահական փոփոխականի շեղումը պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից.

Այնուամենայնիվ, ավելի հարմար է այն հաշվարկել բանաձևով.

Հետևաբար, եկեք նախ գտնենք երկրորդը մեկնարկային պահը X արժեքները:

Ըստ նախկինում ապացուցված

Բացի այդ,

2.3. Poisson-ի բաշխման լրացուցիչ բնութագրերը

I. X պատահական փոփոխականի k կարգի սկզբնական պահը Xk արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքն է.

Մասնավորապես, առաջին կարգի սկզբնական պահը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին.

II. X պատահական փոփոխականի k կարգի կենտրոնական պահը k արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքն է.

Մասնավորապես, 1-ին կարգի կենտրոնական պահը 0 է:

μ1=M=0,

2-րդ կարգի կենտրոնական պահը հավասար է դիսպերսիայի.

μ2=M2=a.

III. Պուասոնի օրենքի համաձայն բաշխված X պատահական փոփոխականի համար մենք գտնում ենք հավանականությունը, որ այն կընդունի տրված k-ից ոչ պակաս արժեք։ Այս հավանականությունը նշում ենք Rk-ով.

Ակնհայտ է, որ Rk հավանականությունը կարող է հաշվարկվել որպես գումար

Այնուամենայնիվ, դա շատ ավելի հեշտ է որոշել հավանականությունից հակառակ իրադարձություն:

Մասնավորապես, հավանականությունը, որ X-ի արժեքը դրական արժեք կընդունի, արտահայտվում է բանաձևով

Ինչպես արդեն նշվեց, պրակտիկայի շատ խնդիրներ հանգեցնում են Poisson-ի բաշխմանը: Դիտարկենք այս տեսակի բնորոշ խնդիրներից մեկը։

Նկ.2

Թող կետերը պատահականորեն բաշխվեն x առանցքի Ox-ի վրա (նկ. 2): Ենթադրենք, որ միավորների պատահական բաշխումը բավարարում է հետևյալ պայմանները:

1) l հատվածի վրա որոշակի թվով կետերի հավանականությունը կախված է միայն այս հատվածի երկարությունից, բայց կախված չէ աբսցիսային առանցքի վրա նրա դիրքից: Այլ կերպ ասած, կետերը բաշխված են x առանցքի վրա նույն միջին խտությամբ։ Նշենք այս խտությունը, այսինքն. միավոր երկարության միավորների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ արտահայտված λ-ի միջոցով։

2) կետերը բաշխված են x առանցքի վրա միմյանցից անկախ, այսինքն. որոշակի քանակի կետերի տվյալ հատվածի վրա ընկնելու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե դրանցից քանիսն են ընկնում որևէ այլ հատվածի վրա, որը չի համընկնում դրա հետ:

3) Փոքր տարածք Δx երկու կամ ավելի կետերի ընկնելու հավանականությունը չնչին է մեկ կետի անկման հավանականության համեմատ (այս պայմանը նշանակում է երկու կամ ավելի կետերի համընկնման գործնական անհնարինություն):

Եկեք ընտրենք l երկարությամբ որոշակի հատված աբսցիսայի առանցքի վրա և դիտարկենք X դիսկրետ պատահական փոփոխական՝ այս հատվածի վրա ընկած կետերի թիվը: Հնարավոր արժեքներարժեքները կլինեն 0,1,2,...,m,... Քանի որ կետերը սեգմենտի վրա ընկնում են միմյանցից անկախ, տեսականորեն հնարավոր է, որ այնտեղ լինեն այնքան, որքան ցանկանաք, այսինքն. այս շարքըշարունակվում է անորոշ ժամանակով։

Եկեք ապացուցենք, որ X պատահական փոփոխականը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն։ Դա անելու համար հարկավոր է հաշվարկել Pm հավանականությունը, որ հատվածի վրա ընկնի հենց m կետերը:

Նախ եկեք ավելին լուծենք պարզ առաջադրանք. Եկեք դիտարկենք փոքր տարածք Δx Ox առանցքի վրա և հաշվարկենք հավանականությունը, որ առնվազն մեկ կետ ընկնի այս տարածքի վրա: Մենք կպատճառաբանենք հետևյալ կերպ. Այս հատվածում ընկած կետերի քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքն ակնհայտորեն հավասար է λ·Δх (քանի որ միջինում λ միավորները ընկնում են միավորի երկարության վրա)։ Համաձայն 3 պայմանի՝ Δx փոքր հատվածի համար մենք կարող ենք անտեսել դրա վրա երկու կամ ավելի կետերի ընկնելու հնարավորությունը։ Հետևաբար, Δх տարածքի վրա ընկած կետերի թվի λ·Δх մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորապես հավասար կլինի դրա վրա մեկ կետ ընկնելու հավանականությանը (կամ, որն այս պայմաններում համարժեք է առնվազն մեկին)։

Այսպիսով, մինչև անսահման փոքր ավելի բարձր կարգ, Δх→0-ի համար կարող ենք համարել հավանականությունը, որ մեկ (առնվազն մեկ) կետ ընկնի Δх հատվածի վրա, հավասար է λ·Δх, և հավանականությունը, որ ոչ մեկը չի իջնի հավասար 1-c·Δх։

Եկեք սա օգտագործենք l հատվածի վրա ընկած ճշգրիտ m կետերի Pm հավանականությունը հաշվարկելու համար: Եկեք բաժանենք l հատվածը երկարության n հավասար մասերի Մենք համաձայն ենք Դx տարրական հատվածը անվանել «դատարկ», եթե այն չի պարունակում մեկ կետ, և «զբաղեցված», եթե առնվազն մեկը առաջանում է: Ըստ վերը նշվածի, հավանականությունը, որ Δх հատվածը «կզբաղեցնի» մոտավորապես հավասար է λ·Δх=; հավանականությունը, որ այն «դատարկ» կլինի 1-: Քանի որ, համաձայն 2-րդ պայմանի, չհամընկնող հատվածների մեջ ընկնող կետերը անկախ են, ապա մեր n հատվածները կարելի է համարել որպես n անկախ «փորձեր», որոնցից յուրաքանչյուրում հատվածը կարող է «զբաղեցնել» p= հավանականությամբ։ Գտնենք հավանականությունը, որ n հատվածների մեջ կլինի հենց m «զբաղված»։ Կրկնվող անկախ փորձարկումների թեորեմի համաձայն այս հավանականությունը հավասար է

,

կամ նշենք λl=a.

.

Բավական մեծ n-ի համար այս հավանականությունը մոտավորապես հավասար է l հատվածի վրա հենց m կետերի հավանականությանը, քանի որ Δx հատվածի վրա երկու կամ ավելի կետերի ընկնելու հավանականությունը աննշան է: Որպեսզի գտնել ճշգրիտ արժեքРm, դուք պետք է գնաք սահմանին որպես n→∞:

Հաշվի առնելով դա

,

մենք գտնում ենք, որ ցանկալի հավանականությունն արտահայտվում է բանաձևով

որտեղ a=λl, այսինքն. X-ի արժեքը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն՝ a=λl պարամետրով։

Հարկ է նշել, որ a արժեքը իմաստով ներկայացնում է l հատվածում միավորների միջին թիվը: R1-ի արժեքը (հավանականությունը, որ X-ի արժեքը դրական արժեք կստանա): այս դեպքումարտահայտում է l հատվածի վրա առնվազն մեկ կետ ընկնելու հավանականությունը՝ R1=1-e-a:

Այսպիսով, մենք համոզված ենք, որ Պուասոնի բաշխումը տեղի է ունենում այն ​​դեպքում, երբ որոշ կետեր (կամ այլ տարրեր) միմյանցից անկախ պատահական դիրք են զբաղեցնում, և այդ կետերի թիվը, որոնք ընկնում են որոշակի տարածք, հաշվվում են: Մեր դեպքում նման տարածք էր աբսցիսայի առանցքի l հատվածը։ Այնուամենայնիվ, այս եզրակացությունը հեշտությամբ կարող է տարածվել հարթության վրա (կետերի պատահական հարթ դաշտ) և տարածության վրա (կետերի պատահական տարածական դաշտ) կետերի բաշխման դեպքում: Դժվար չէ ապացուցել, որ պայմանները բավարարելու դեպքում.

1) λ միջին խտությամբ դաշտում միավորները վիճակագրորեն բաշխված են հավասարաչափ.

2) միավորներն ինքնուրույն ընկնում են չհամընկնող շրջանների.

3) կետերը հայտնվում են առանձին, և ոչ զույգերով, եռյակներով և այլն,

այնուհետև X կետերի քանակը, որոնք ընկնում են D ցանկացած տարածաշրջանում (հարթ կամ տարածական) բաշխվում են Պուասոնի օրենքի համաձայն.

,

որտեղ a-ն D տարածքն ընկած կետերի միջին թիվն է:

Հարթ դեպքի համար a=SD λ, որտեղ SD-ը D տարածաշրջանի տարածքն է,

տարածական a= VD λ-ի համար, որտեղ VD-ը D շրջանի ծավալն է:

Հատվածի կամ շրջանի մեջ ընկնող կետերի քանակի Պուասոնի բաշխման համար հաստատուն խտության պայմանը (λ=const) կարևոր չէ: Եթե ​​մյուս երկու պայմանները բավարարված են, ապա Պուասոնի օրենքը դեռևս գործում է, միայն a պարամետրը դրանում այլ արտահայտություն է ստանում. այն ստացվում է ոչ թե պարզապես λ խտությունը երկարությամբ, մակերեսով կամ ծավալով բազմապատկելով, այլ փոփոխական խտությունը ինտեգրելով։ հատվածի, տարածքի կամ ծավալի վրա:

Պուասոնի բաշխումը խաղում է կարևոր դերֆիզիկայի, կապի տեսության, հուսալիության տեսության, հերթերի տեսության մի շարք հարցերում և այլն։ Ամենուր, որտեղ պատահական մի շարք իրադարձություններ (ռադիոակտիվ քայքայում, հեռախոսազանգեր, սարքավորումների խափանումներ, վթարներ և այլն) կարող են տեղի ունենալ որոշակի ժամանակահատվածում:

Դիտարկենք առավել բնորոշ իրավիճակը, որում առաջանում է Պուասոնի բաշխումը։ Թող որոշ իրադարձություններ (խանութներից գնումներ) տեղի ունենան պատահական ժամանակներում: Եկեք որոշենք նման իրադարձությունների առաջացման թիվը 0-ից մինչև T ժամանակային միջակայքում:

Իրադարձությունների պատահական թիվը, որոնք տեղի են ունեցել 0-ից մինչև T ժամանակահատվածում, բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն l=aT պարամետրով, որտեղ a>0-ը իրադարձությունների միջին հաճախականությունն արտացոլող խնդրի պարամետր է: Մեծ ժամանակային ընդմիջումով (օրինակ՝ մեկ օրում) k գնումների հավանականությունը կլինի

Եզրակացություն

Եզրափակելով, ես կցանկանայի նշել, որ Պուասոնի բաշխումը բավականին տարածված և կարևոր բաշխում է, որն ունի կիրառություն ինչպես հավանականության տեսության, այնպես էլ դրա կիրառման մեջ, և մաթեմատիկական վիճակագրություն.

Շատ գործնական խնդիրներ, ի վերջո, գալիս են Պուասոնի բաշխմանը: Նրա հատուկ հատկությունը, որը բաղկացած է մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների հավասարությունից, հաճախ օգտագործվում է գործնականում՝ լուծելու այն հարցը, թե արդյոք պատահական փոփոխականը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, թե ոչ։

Կարևոր է նաև այն փաստը, որ Պուասոնի օրենքը թույլ է տալիս գտնել իրադարձության հավանականությունը կրկնվող անկախ փորձարկումներում՝ փորձի մեծ թվով կրկնություններով և փոքր միայնակ հավանականությամբ:

Այնուամենայնիվ, Բեռնուլիի բաշխումը օգտագործվում է տնտեսական հաշվարկների պրակտիկայում և, մասնավորապես, կայունության վերլուծության մեջ, չափազանց հազվադեպ: Դա պայմանավորված է ինչպես հաշվողական դժվարություններով, այնպես էլ նրանով, որ Բեռնուլիի բաշխումը նախատեսված է դիսկրետ քանակություններ, և այն փաստով, որ դասական սխեմայի պայմանները (անկախություն, թեստերի հաշվելի քանակություն, իրադարձության հնարավորության վրա ազդող պայմանների անփոփոխություն) միշտ չէ, որ բավարարվում են գործնական իրավիճակներում: Հետագա հետազոտություններ Բեռնուլիի սխեմայի վերլուծության ոլորտում՝ իրականացված 18-19-րդ դդ. Լապլասը, Մոյվրը, Պուասոնը և այլք նպատակ ունեին ստեղծելու Բեռնուլիի սխեմայի օգտագործման հնարավորությունը անսահմանության ձգվող մեծ թվով թեստերի դեպքում։

գրականություն

1. Վենցել Է.Ս. Հավանականությունների տեսություն. - Մ, «Բարձրագույն դպրոց» 1998 թ

2. Գմուրման Վ.Է. Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց: - Մ, «Բարձրագույն դպրոց» 1998 թ

3. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու քոլեջների համար: Էդ. Եֆիմովա Ա.Վ. - Մ, Գիտություն 1990 թ

Դիտարկենք Պուասոնի բաշխումը, հաշվարկենք դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ռեժիմը: Օգտագործելով MS EXCEL POISSON.DIST() ֆունկցիան, մենք կկառուցենք բաշխման ֆունկցիայի և հավանականության խտության գրաֆիկները: Եկեք գնահատենք բաշխման պարամետրը, դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը:

Նախ, մենք տալիս ենք բաշխման չոր պաշտոնական սահմանում, ապա տալիս ենք իրավիճակների օրինակներ, երբ Պուասոնի բաշխում(անգլերեն) Պուասոնբաշխում) համարժեք մոդել է պատահական փոփոխականը նկարագրելու համար:

Եթե ​​պատահական իրադարձությունները տեղի են ունենում տվյալ ժամանակահատվածում (կամ նյութի որոշակի ծավալում) հետ միջին հաճախականությունը λ( լամբդա), ապա իրադարձությունների քանակը x, տեղի է ունեցել այս ժամանակահատվածում Պուասոնի բաշխում.

Պուասոնի բաշխման կիրառումը

Օրինակներ, երբ Պուասոնի բաշխումհամարժեք մոդել է.

• որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսակայանում ստացված զանգերի քանակը.
• մասնիկների թիվը, որոնք որոշակի ժամանակահատվածում ենթարկվել են ռադիոակտիվ քայքայման.
• ֆիքսված երկարությամբ գործվածքի մի կտորի թերությունների քանակը.

Պուասոնի բաշխումհամարժեք մոդել է, եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները.

• իրադարձությունները տեղի են ունենում միմյանցից անկախ, այսինքն. հետագա իրադարձության հավանականությունը կախված չէ նախորդից.
• Միջոցառումների միջին մակարդակը հաստատուն է: Որպես հետևանք, իրադարձության հավանականությունը համաչափ է դիտարկման միջակայքի երկարությանը.
• երկու իրադարձություն չեն կարող տեղի ունենալ միաժամանակ.
• իրադարձությունների թիվը պետք է ընդունի 0 արժեքը. 1; 2…

ՆշումԼավ հուշում է, որ դիտարկված պատահական փոփոխականն ունի Պուասոնի բաշխում,այն մոտավորապես հավասար լինելու փաստն է (տես ստորև):

Ստորև բերված են իրավիճակների օրինակներ, որտեղ Պուասոնի բաշխում չի կարողկիրառվել՝

• մեկ ժամվա ընթացքում համալսարանը լքած ուսանողների թիվը (քանի որ ուսանողների միջին հոսքը հաստատուն չէ. դասերի ժամանակ ուսանողները քիչ են, իսկ դասերի միջև ընդմիջմանը ուսանողների թիվը կտրուկ աճում է).
• Կալիֆոռնիայում տարեկան 5 բալ ուժգնությամբ երկրաշարժերի թիվը (քանի որ մեկ երկրաշարժը կարող է առաջացնել նմանատիպ ամպլիտուդով հետցնցումներ. իրադարձություններն անկախ չեն).
• հիվանդների բաժանմունքում անցկացրած օրերի քանակը ինտենսիվ խնամք(քանի որ հիվանդների վերակենդանացման բաժանմունքում անցկացրած օրերի քանակը միշտ 0-ից մեծ է):

Նշում: Պուասոնի բաշխումավելի ճշգրիտի մոտավորություն է դիսկրետ բաշխումներԵվ.

ՆշումՀարաբերությունների մասին Պուասոնի բաշխումԵվ Երկանդամ բաշխումկարելի է կարդալ հոդվածում: Հարաբերությունների մասին Պուասոնի բաշխումԵվ Էքսպոնենցիալ բաշխումմասին կարելի է կարդալ հոդվածում։

Poisson-ի բաշխումը MS EXCEL-ում

MS EXCEL-ում, սկսած 2010 թվականի տարբերակից, համար Բաշխումներ Պուասոնկա POISSON.DIST() ֆունկցիա, Անգլերեն անուն- POISSON.DIST(), որը թույլ է տալիս հաշվարկել ոչ միայն հավանականությունը, թե ինչ կլինի տվյալ ժամանակահատվածում Xիրադարձություններ (գործառույթ հավանականության խտությունը p(x), տես վերևում գտնվող բանաձևը), բայց նաև (հավանականությունը, որ առնվազն տվյալ ժամանակահատվածում xիրադարձություններ):

MS EXCEL 2010-ից առաջ EXCEL-ն ուներ POISSON() ֆունկցիան, որը նաև թույլ է տալիս հաշվարկել բաշխման գործառույթԵվ հավանականության խտությունը p(x): POISSON()-ը մնացել է MS EXCEL 2010-ում՝ համատեղելիության համար:

Օրինակի ֆայլը պարունակում է գրաֆիկներ հավանականության խտության բաշխումԵվ կուտակային բաշխման ֆունկցիա.

Պուասոնի բաշխումունի թեքված ձև (երկար պոչը հավանականության ֆունկցիայի աջ կողմում), բայց քանի որ λ պարամետրը մեծանում է, այն դառնում է ավելի ու ավելի սիմետրիկ։

Նշում: ՄիջինԵվ ցրվածություն(քառակուսի) հավասար են պարամետրին Պուասոնի բաշխում- λ (տես օրինակ թերթիկի ֆայլ Օրինակ).

Առաջադրանք

Տիպիկ հավելված Պուասոնի բաշխումներՈրակի վերահսկման մեջ այն թերությունների քանակի մոդել է, որոնք կարող են հայտնվել գործիքի կամ սարքի մեջ:

Օրինակ, λ (lambda) չիպի թերությունների միջին քանակի դեպքում, որը հավասար է 4-ի, հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված չիպը կունենա 2 կամ ավելի քիչ թերություն, հետևյալն է. POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381

Ֆունկցիայի երրորդ պարամետրը սահմանված է = TRUE, ուստի ֆունկցիան կվերադառնա կուտակային բաշխման ֆունկցիա, այսինքն՝ հավանականությունը, որ պատահական իրադարձությունների թիվը կլինի 0-ից 4-ը ներառյալ։

Այս դեպքում հաշվարկները կատարվում են ըստ բանաձևի.

Հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված միկրոսխեման կունենա ուղիղ 2 թերություն, հետևյալն է POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Ֆունկցիայի երրորդ պարամետրը սահմանված է = FALSE, ուստի ֆունկցիան կվերադարձնի հավանականության խտությունը:

Հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված միկրոսխեման կունենա 2-ից ավելի թերություն, հավասար է. =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0,8535

Նշում: Եթե xամբողջ թիվ չէ, ապա բանաձևը հաշվարկելիս . Բանաձևեր =POISSON.DIST( 2 ; 4; ՍՈՒՏ)Եվ =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; ՍՈՒՏ)կվերադարձնի նույն արդյունքը։

Պատահական թվերի առաջացում և λ գնահատում

λ-ի արժեքների համար >15 , Պուասոնի բաշխումլավ մոտավոր Նորմալ բաշխում հետևյալ պարամետրերով՝ μ =λ , ս 2 =λ .

Այս բաշխումների փոխհարաբերությունների մասին ավելի շատ մանրամասներ կարելի է գտնել հոդվածում: Կան նաև մոտավորության օրինակներ, և բացատրվում են պայմանները, թե երբ է դա հնարավոր և ինչ ճշգրտությամբ։

ԽՈՐՀՈՒՐԴ MS EXCEL-ի այլ բաշխումների մասին կարող եք կարդալ հոդվածում:

Շատ գործնականում կարևոր կիրառություններում Պուասոնի բաշխումը կարևոր դեր է խաղում: Թվային դիսկրետ մեծություններից շատերը Պուասոնի գործընթացի իրականացում են, որն ունի հետևյալ հատկությունները.

• Մեզ հետաքրքրում է, թե տվյալ տարածքում քանի անգամ է տեղի ունենում որոշակի իրադարձություն հնարավոր արդյունքներըպատահական փորձ. Հնարավոր արդյունքների տարածքը կարող է լինել ժամանակային ընդմիջում, հատված, մակերես և այլն:
• Տվյալ իրադարձության հավանականությունը նույնն է հնարավոր արդյունքների բոլոր ոլորտների համար:
• Հնարավոր արդյունքների մի տարածքում տեղի ունեցող իրադարձությունների քանակը անկախ է այլ ոլորտներում տեղի ունեցող իրադարձությունների քանակից:
• Հավանականությունը, որ տվյալ իրադարձությունը տեղի է ունենում մեկից ավելի անգամ՝ հնարավոր արդյունքների նույն տարածքում, ձգտում է զրոյի, քանի որ հնարավոր արդյունքների տարածքը նվազում է:

Պուասոնի գործընթացի իմաստը ավելի լավ հասկանալու համար, ենթադրենք, ճաշի ընթացքում ուսումնասիրում ենք կենտրոնական բիզնես թաղամասում գտնվող բանկի մասնաճյուղ այցելող հաճախորդների թիվը, այսինքն. ժամը 12-ից 13-ը։ Ենթադրենք, դուք ցանկանում եք որոշել մեկ րոպեի ընթացքում ժամանող հաճախորդների թիվը: Այս իրավիճակն ունի՞ վերը թվարկված հատկանիշները: Նախ, մեզ հետաքրքրող իրադարձությունը հաճախորդի ժամանումն է, իսկ հնարավոր արդյունքների շրջանակը մեկ րոպեանոց ընդմիջում է: Քանի՞ հաճախորդ կգա բանկ մեկ րոպեում` ոչ մեկը, մեկ, երկու կամ ավելի: Երկրորդ, խելամիտ է ենթադրել, որ մեկ րոպեի ընթացքում հաճախորդի ժամանման հավանականությունը նույնն է բոլոր մեկ րոպեանոց ընդմիջումների համար: Երրորդ, մեկ հաճախորդի ժամանումը ցանկացած մեկ րոպե ընդմիջման ընթացքում անկախ է ցանկացած այլ հաճախորդի ժամանումից ցանկացած այլ մեկ րոպեի ընթացքում: Եվ վերջապես, հավանականությունը, որ մեկից ավելի հաճախորդներ կգան բանկ, ձգտում է զրոյի, եթե ժամանակային միջակայքը, օրինակ, 0,1 վրկ-ից պակաս է դառնում: Այսպիսով, մեկ րոպեի ընթացքում ճաշի ժամանակ բանկ եկող հաճախորդների թիվը նկարագրվում է Poisson-ի բաշխմամբ:

Պուասոնի բաշխումն ունի մեկ պարամետր, որը նշվում է λ նշանով (հունարեն «լամբդա» տառը)՝ հնարավոր արդյունքների տվյալ տարածաշրջանում հաջող փորձարկումների միջին թիվը: Պուասոնի բաշխման շեղումը նույնպես λ է, իսկ ստանդարտ շեղումը . Հաջող փորձությունների քանակը X Poisson պատահական փոփոխականը տատանվում է 0-ից մինչև անսահմանություն: Պուասոնի բաշխումը նկարագրվում է բանաձևով.

Որտեղ P(X)- հավանականություն Xհաջող փորձարկումներ, λ - ակնկալվող հաջողությունների քանակը, ե- հիմք բնական լոգարիթմ, հավասար է 2,71828, X- հաջողությունների քանակը ժամանակի միավորի վրա:

Վերադառնանք մեր օրինակին։ Ասենք, որ ճաշի ընդմիջմանը րոպեում միջինը երեք հաճախորդ է գալիս բանկ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ տվյալ պահին երկու հաճախորդ կգա բանկ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկուսից ավելի հաճախորդներ կգան բանկ:

Եկեք կիրառենք (1) բանաձևը λ = 3 պարամետրով: Այնուհետև հավանականությունը, որ երկու հաճախորդներ կգան բանկ տվյալ րոպեի ընթացքում, հավասար է.

Երկուից ավելի հաճախորդներ բանկ գալու հավանականությունը հավասար է P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) . Քանի որ բոլոր հավանականությունների գումարը պետք է հավասար լինի 1-ի, բանաձևի աջ կողմի շարքի անդամները ներկայացնում են X ≤ 2 իրադարձությանը գումարելու հավանականությունը: Այլ կերպ ասած, այս շարքի գումարը հավասար է 1-ի. P (X ≤ 2): Այսպիսով, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]: Այժմ, օգտագործելով բանաձևը (1), մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, հավանականությունը, որ մեկ րոպեի ընթացքում բանկ կգա ոչ ավելի, քան երկու հաճախորդ, կազմում է 0,423 (կամ 42,3%), իսկ մեկ րոպեի ընթացքում երկուից ավելի հաճախորդներ բանկ գալու հավանականությունը կազմում է 0,577 (կամ 57,7%)։

Նման հաշվարկները կարող են հոգնեցուցիչ թվալ, հատկապես, եթե λ պարամետրը բավականաչափ մեծ է: Բարդ հաշվարկներից խուսափելու համար Պուասոնի շատ հավանականություններ կարելի է գտնել հատուկ աղյուսակներում (նկ. 1): Օրինակ, հավանականությունը, որ տվյալ րոպեին երկու հաճախորդ կգա բանկ, եթե րոպեում միջինում երեք հաճախորդ գա բանկ, գծի հատման կետում է: X= 2 և սյունակ λ = 3. Այսպիսով, այն հավասար է 0,2240 կամ 22,4%:

Բրինձ. 1. Պուասոնի հավանականությունը λ = 3-ում

Մեր օրերում դժվար թե որևէ մեկը օգտագործի աղյուսակներ, եթե Excel-ն իր =POISSON.DIST() ֆունկցիայով հասանելի լինի (նկ. 2): Այս ֆունկցիան ունի երեք պարամետր՝ հաջող փորձարկումների քանակը X, հաջող փորձարկումների միջին ակնկալվող թիվը λ, պարամետր Անբաժանելի, վերցնելով երկու արժեք՝ FALSE – այս դեպքում հաշվարկվում է հաջող փորձարկումների քանակի հավանականությունը X(միայն X), TRUE – այս դեպքում հաջող փորձարկումների թվի հավանականությունը 0-ից մինչև X.

Բրինձ. 2. Excel-ում Պուասոնի բաշխման հավանականությունների հաշվարկ λ = 3

Պուասոնի բաշխման միջոցով երկանդամ բաշխման մոտարկումը

Եթե ​​համարը nմեծ է և թիվը Ռ- փոքր, երկանդամ բաշխումը կարելի է մոտավորել՝ օգտագործելով Poisson բաշխումը: Ինչպես ավելի մեծ թիվ nև ավելի քիչ թիվ Ռ, այնքան բարձր է մոտարկման ճշգրտությունը։ Պուասոնի հետևյալ մոդելը օգտագործվում է երկանդամ բաշխումը մոտավորելու համար.

Որտեղ P(X)- հավանականություն Xհաջողություն տրված պարամետրերով nԵվ Ռ, n- նմուշի չափը, Ռ- հաջողության իրական հավանականությունը, ե- բնական լոգարիթմի հիմքը, X- ընտրանքում հաջողությունների թիվը (X = 0, 1, 2, ..., n).

Տեսականորեն, Պուասոնի բաշխմամբ պատահական փոփոխականը արժեքներ է վերցնում 0-ից մինչև ∞: Այնուամենայնիվ, այն իրավիճակներում, երբ Պուասոնի բաշխումն օգտագործվում է երկանդամ բաշխումը մոտավորելու համար, Պուասոնի պատահական փոփոխականը հաջողությունների թիվն է: nդիտարկումներ - չի կարող գերազանցել թիվը n. Բանաձևից (2) հետևում է, որ աճող թվով nև թվի նվազում Ռմեծ թվով հաջողություններ հայտնաբերելու հավանականությունը նվազում է և ձգտում է զրոյի։

Ինչպես նշվեց վերևում, պուասոնի բաշխման μ ակնկալիքը և σ 2 շեղումը հավասար են λ-ի: Հետևաբար, Պուասոնի բաշխման միջոցով երկանդամ բաշխումը մոտավորելիս պետք է օգտագործվի (3) բանաձևը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը մոտավորելու համար։

(3) µ = E(X) = λ =n.p.

Ստանդարտ շեղումը մոտավորելու համար օգտագործվում է բանաձևը (4):

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ստանդարտ շեղումը, որը հաշվարկվում է (4) բանաձևով, հակված է ստանդարտ շեղումերկանդամ մոդելում – երբ հաջողության հավանականությունը էջձգտում է զրոյի, և, համապատասխանաբար, ձախողման հավանականությունը 1 – էջհակված է միասնության.

Ենթադրենք, որ որոշակի գործարանում արտադրված անվադողերի 8%-ը թերի է։ Պուասոնի բաշխման օգտագործումը երկանդամ բաշխումը մոտավոր պատկերացնելու համար, եկեք հաշվարկենք 20 անվադողերի նմուշում մեկ թերի անվադող գտնելու հավանականությունը: Եկեք կիրառենք (2) բանաձևը, մենք ստանում ենք

Եթե ​​մենք հաշվարկենք իրական երկանդամ բաշխումը, այլ ոչ թե դրա մոտավորությունը, ապա կստանանք հետևյալ արդյունքը.

Այնուամենայնիվ, այս հաշվարկները բավականին հոգնեցուցիչ են: Այնուամենայնիվ, եթե դուք օգտագործում եք Excel-ը հավանականությունները հաշվարկելու համար, ապա Poisson-ի բաշխման մոտավոր օգտագործումը դառնում է ավելորդ: Նկ. Նկար 3-ը ցույց է տալիս, որ Excel-ում հաշվարկների բարդությունը նույնն է: Այնուամենայնիվ, այս բաժինը, իմ կարծիքով, օգտակար է հասկանալու համար, որ որոշ պայմաններում երկանդամ բաշխումը և Պուասոնի բաշխումը տալիս են նմանատիպ արդյունքներ:

Բրինձ. 3. Excel-ում հաշվարկների բարդության համեմատություն. ա) Պուասոնի բաշխում; բ) երկանդամ բաշխում

Այսպիսով, այս և երկու նախորդ նշումներում դիտարկվել են երեք դիսկրետ թվային բաշխումներ՝ , և Poisson: Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես են այս բաշխումները միմյանց հետ կապված, ներկայացնում ենք հարցերի փոքրիկ ծառ (նկ. 4):

Բրինձ. 4. Դիսկրետ հավանականության բաշխումների դասակարգում

Օգտագործված են նյութեր Levin et al., Վիճակագրություն մենեջերների համար: – M.: Williams, 2004. – էջ. 320–328 թթ

Պուասոնի բաշխում.

Դիտարկենք առավել բնորոշ իրավիճակը, որում առաջանում է Պուասոնի բաշխումը։ Թող իրադարձությունը Ահայտնվում է որոշակի քանակությամբ անգամ տարածության ֆիքսված տարածքում (ինտերվալ, տարածք, ծավալ) կամ մշտական ​​ինտենսիվությամբ որոշակի ժամանակահատվածում: Կոնկրետ լինելու համար հաշվի առեք ժամանակի ընթացքում իրադարձությունների հաջորդականությունը, որը կոչվում է իրադարձությունների հոսք: Գրաֆիկորեն իրադարձությունների հոսքը կարելի է պատկերել ժամանակի առանցքի վրա գտնվող բազմաթիվ կետերով:

Սա կարող է լինել զանգերի հոսք ծառայությունների ոլորտում (վերանորոգում Կենցաղային տեխնիկա, շտապօգնություն կանչելը և այլն), զանգերի հոսքը դեպի հեռախոսակայան, համակարգի որոշ մասերի խափանում, ռադիոակտիվ քայքայում, կտորի կամ մետաղական թիթեղների կտորներ և դրանցից յուրաքանչյուրի թերությունների քանակը և այլն: Պուասոնի բաշխումը առավել օգտակար է այն առաջադրանքներում, որտեղ պահանջվում է որոշել միայն դրական արդյունքների քանակը («հաջողություններ»):

Պատկերացնենք չամիչով բուլկի՝ բաժանված հավասար չափի փոքր կտորների։ Շնորհիվ պատահական բաշխումչամիչ, դուք չեք կարող ակնկալել, որ բոլոր կտորները պարունակեն նույն քանակությամբ չամիչ: Երբ հայտնի է այս կտորներում պարունակվող չամիչի միջին քանակը, ապա Պուասոնի բաշխումը տալիս է հավանականություն, որ ցանկացած կտոր պարունակում է. X=կ(կ= 0,1,2,...,)չամիչի քանակը։

Այլ կերպ ասած, Պուասոնի բաշխումը որոշում է, թե կտորների երկար շարքի որ մասը կպարունակի հավասար 0, կամ 1, կամ 2, կամ այլն: կարևորագույն կետերի քանակը.

Անենք հետեւյալ ենթադրությունները.

1. Տվյալ ժամանակային միջակայքում որոշակի թվով իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը կախված է միայն այս ինտերվալի երկարությունից, այլ ոչ թե ժամանակի առանցքի վրա դրա դիրքից։ Սա կայունության հատկությունն է։

2. Բավականաչափ կարճ ժամանակահատվածում մեկից ավելի իրադարձության առաջացումը գործնականում անհնար է, այսինքն. նույն միջակայքում մեկ այլ իրադարձության առաջացման պայմանական հավանականությունը ձգտում է զրոյի, ինչպես ® 0: Սա սովորականության հատկությունն է:

3. Որոշակի ժամանակահատվածում որոշակի թվով իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը կախված չէ այլ ժամանակահատվածներում հայտնված իրադարձությունների քանակից: Սա էֆեկտի բացակայության հատկությունն է։

Իրադարձությունների հոսքը, որը բավարարում է վերը նշված դրույթներին, կոչվում է ամենապարզը.

Դիտարկենք բավականին կարճ ժամանակահատված։ Հիմնվելով 2-րդ հատկության վրա՝ իրադարձությունը կարող է հայտնվել մեկ անգամ այս ընդմիջումով կամ ընդհանրապես չհայտնվել: Իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը նշենք ըստ Ռ, իսկ չներկայանալը – միջոցով q = 1-էջՀավանականություն Ռհաստատուն է (հատկություն 3) և կախված է միայն արժեքից (հատկություն 1): Միջակայքում իրադարձության դեպքերի թվի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար կլինի 0× ք+ 1× էջ = էջ. Այնուհետև իրադարձությունների միջին թիվը մեկ միավոր ժամանակում կոչվում է հոսքի ինտենսիվություն և նշվում է. ա,դրանք. ա = .

Հաշվի առեք սահմանափակ ժամանակաշրջան տև բաժանիր այն nմասեր =. Այս միջակայքերից յուրաքանչյուրում իրադարձությունների առաջացումը անկախ են (հատկություն 2): Եկեք որոշենք դրա հավանականությունը որոշակի ժամանակահատվածում տմշտական ​​հոսքի ինտենսիվությամբ Աիրադարձությունը կհայտնվի ճշգրիտ X = kայլևս չի հայտնվի n–k. Քանի որ իրադարձությունը կարող է յուրաքանչյուրում nբացերը հայտնվում են ոչ ավելի, քան 1 անգամ, ապա դրա տեսքի համար կմեկ անգամ՝ տևողության հատվածում տայն պետք է հայտնվի ցանկացածում կընդմիջումներով ընդհանուրից n.Ընդհանուր նման համակցություններ կան, և յուրաքանչյուրի հավանականությունը հավասար է։ Հետևաբար, հավանականությունների գումարման թեորեմով մենք ստանում ենք ցանկալի հավանականությունը հայտնի բանաձեւԲեռնուլի

Այս հավասարությունը գրված է որպես մոտավոր, քանի որ դրա ածանցման սկզբնական նախադրյալը եղել է հատկությունը 2, որն ավելի ճշգրիտ է կատարվում, որքան փոքր է: Ճշգրիտ հավասարություն ստանալու համար եկեք անցնենք ® 0-ի սահմանին կամ, ինչն է նույնը, n® . Մենք այն կստանանք փոխարինելուց հետո

Պ = ա= և ք = 1 – .

Ներկայացնենք նոր պարամետր = ժամը, նշանակում է հատվածում որևէ իրադարձության դեպքերի միջին թիվը տ. Պարզ փոխակերպումներից և գործոնների սահմանին անցնելուց հետո մենք ստանում ենք.

= 1, = ,

Վերջապես մենք ստանում ենք

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... բնական լոգարիթմի հիմքն է։

Սահմանում. Պատահական արժեք X, որը վերցնում է միայն ամբողջ, դրական արժեքներ 0, 1, 2, ... ունի Պուասոնի բաշխման օրենք պարամետրով, եթե

Համար կ = 0, 1, 2, ...

Պուասոնի բաշխումն առաջարկվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ս.Դ. Պուասոն (1781-1840): Օգտագործվում է ժամանակի, երկարության, տարածքի և ծավալի վրա համեմատաբար հազվադեպ, պատահական, փոխադարձ անկախ իրադարձությունների հավանականությունների հաշվարկման խնդիրներ լուծելու համար։

Այն դեպքում, երբ ա) մեծ է և բ) կ= , Stirling բանաձեւը վավեր է.

Հետագա արժեքները հաշվարկելու համար օգտագործվում է կրկնվող բանաձև

Պ(կ + 1) = Պ(կ).

Օրինակ 1. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ տվյալ օրվա 1000 մարդուց՝ ա) ոչ մեկը, բ) մեկը, գ) երկուսը, դ) երեք հոգի ծնվել են։

Լուծում. Որովհետեւ էջ= 1/365, ապա ք= 1 – 1/365 = 364/365 «1.

Հետո

Ա) ,

բ) ,

V) ,

է) .

Հետևաբար, եթե կան 1000 մարդու նմուշներ, ապա որոշակի օր ծնվածների միջին թիվը համապատասխանաբար կկազմի 65; 178; 244; 223։

Օրինակ 2. Որոշե՛ք այն արժեքը, որի արժեքը հավանականությամբ Ռիրադարձությունը հայտնվեց առնվազն մեկ անգամ:

Լուծում. Իրադարձություն Ա= (ներկայանալ առնվազն մեկ անգամ) և = (նույնիսկ մեկ անգամ չի երևալ): Հետևաբար.

Այստեղից Եվ .

Օրինակ, համար Ռ= 0,5, համար Ռ= 0,95 .

Օրինակ 3. Մեկ ջուլհակի ջուլհակների վրա մեկ ժամվա ընթացքում 90 թել կոտրվում է: Գտեք հավանականությունը, որ թելի առնվազն մեկ ընդմիջում տեղի կունենա 4 րոպեում:

Լուծում. Ըստ պայմանի t = 4 րոպե իսկ րոպեում ընդմիջումների միջին քանակը, որտեղից . Պահանջվող հավանականությունն է.

Հատկություններ. Պարամետրով Պուասոնի բաշխում ունեցող պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը հավասար են.

Մ(X) = Դ(X) = .

Այս արտահայտությունները ստացվում են ուղղակի հաշվարկներով.

Հենց այստեղ է կատարվել փոխարինումը n = կ– 1 և այն փաստը, որ .

Արդյունքներում օգտագործվողներին նման փոխակերպումներ կատարելով Մ(X), ստանում ենք

Պուասոնի բաշխումն օգտագործվում է ընդհանուր երկանդամ բաշխումը մոտավորելու համար n

Մեծ մասը ընդհանուր դեպք տարբեր տեսակներհավանականության բաշխումները երկանդամ բաշխումներ են: Եկեք օգտագործենք դրա բազմակողմանիությունը՝ որոշելու գործնականում հանդիպող բաշխումների առավել տարածված առանձնահատուկ տեսակները:

Երկանդամ բաշխում

Թող լինի ինչ-որ իրադարձություն Ա. Իրադարձության A-ի առաջացման հավանականությունը հավասար է էջ, Ա իրադարձության չառաջանալու հավանականությունը 1 է էջ, երբեմն այն նշանակվում է որպես ք. Թող nթեստերի քանակը, մՍրանցում Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը nթեստեր.

Հայտնի է, որ արդյունքների բոլոր հնարավոր համակցությունների ընդհանուր հավանականությունը հավասար է մեկի, այսինքն.

1 = էջ n + n · էջ n 1 (1 էջ) + Գ n n 2 · էջ n 2 (1 էջ) 2 + + Գ n մ · էջ մ· (1 էջ) n – մ+ + (1 էջ) n .

էջ nհավանականությունը, որ ներս nnմեկ անգամ; n · էջ n 1 (1 էջ) հավանականությունը, որ ներս nn 1) մեկ անգամ և չի լինի 1 անգամ. Գ n n 2 · էջ n 2 (1 էջ) 2 հավանականությունը, որ ներս nթեստեր, տեղի կունենա իրադարձություն A ( n 2) անգամ և չի պատահի 2 անգամ. Պ մ = Գ n մ · էջ մ· (1 էջ) n – մ հավանականությունը, որ ներս nթեստեր, տեղի կունենա A իրադարձություն մերբեք չի լինի ( n – մ) մեկ անգամ; (1 էջ) nհավանականությունը, որ ներս nՓորձարկումների ժամանակ A իրադարձությունը չի պատահի նույնիսկ մեկ անգամ. -ի համակցությունների քանակը nԸստ մ .

Ակնկալվող արժեքը Մերկանդամ բաշխումը հավասար է.

Մ = n · էջ ,

Որտեղ nթեստերի քանակը, էջիրադարձության առաջացման հավանականությունը Ա.

Ստանդարտ շեղում σ :

σ = sqrt( n · էջ· (1 էջ)) .

Օրինակ 1. Հաշվեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը ունի հավանականություն էջ= 0,5, դյույմ n= 10 փորձություն տեղի կունենա մ= 1 անգամ: Մենք ունենք: Գ 10 1 = 10 և ավելին. Պ 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Ինչպես տեսնում ենք, այս իրադարձության հավանականությունը բավականին ցածր է։ Սա բացատրվում է նախ նրանով, որ բացարձակապես պարզ չէ՝ դեպքը տեղի կունենա, թե ոչ, քանի որ հավանականությունը 0,5 է, իսկ շանսերն այստեղ՝ «50-ից 50»-ը. և երկրորդ՝ պահանջվում է հաշվարկել, որ իրադարձությունը տեղի է ունենալու տասից ուղիղ մեկ անգամ (ոչ ավել և ոչ պակաս)։

Օրինակ 2. Հաշվեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը ունի հավանականություն էջ= 0,5, դյույմ n= 10 փորձություն տեղի կունենա մ= 2 անգամ: Մենք ունենք: Գ 10 2 = 45, և հետագայում. Պ 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Այս իրադարձության հավանականությունը մեծացել է:

Օրինակ 3. Եկեք մեծացնենք հենց իրադարձության հավանականությունը: Եկեք ավելի հավանական դարձնենք: Հաշվեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը ունի հավանականություն էջ= 0,8, դյույմ n= 10 փորձություն տեղի կունենա մ= 1 անգամ: Մենք ունենք: Գ 10 1 = 10 և ավելին. Պ 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Հավանականությունն ավելի քիչ է դարձել, քան առաջին օրինակում։ Պատասխանն առաջին հայացքից տարօրինակ է թվում, բայց քանի որ իրադարձությունը բավականին մեծ հավանականություն ունի, դժվար թե դա տեղի ունենա միայն մեկ անգամ։ Ավելի հավանական է, որ դա տեղի ունենա մեկից ավելի անգամ։ Իսկապես, հաշվելով Պ 0 , Պ 1 , Պ 2 , Պ 3, , Պ 10 (հավանականություն, որ իրադարձությունը տեղի է ունենում n= 10 փորձարկումները տեղի կունենան 0, 1, 2, 3, , 10 անգամ), մենք կտեսնենք.

Գ 10 0 = 1 , Գ 10 1 = 10 , Գ 10 2 = 45 , Գ 10 3 = 120 , Գ 10 4 = 210 , Գ 10 5 = 252 ,
Գ 10 6 = 210 , Գ 10 7 = 120 , Գ 10 8 = 45 , Գ 10 9 = 10 , Գ 10 10 = 1 ;

Պ 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
Պ 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
Պ 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
Պ 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
Պ 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
Պ 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
Պ 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
Պ 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013 թ.…;
Պ 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(ամենաբարձր հավանականությունը!);
Պ 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
Պ 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Իհարկե Պ 0 + Պ 1 + Պ 2 + Պ 3 + Պ 4 + Պ 5 + Պ 6 + Պ 7 + Պ 8 + Պ 9 + Պ 10 = 1 .

Նորմալ բաշխում

Եթե ​​պատկերենք քանակները Պ 0 , Պ 1 , Պ 2 , Պ 3, , Պ 10, որը մենք հաշվարկել ենք օրինակ 3-ում, գրաֆիկի վրա, պարզվում է, որ դրանց բաշխումն ունի նորմալ բաշխման օրենքին մոտ ձև (տե՛ս նկ. 27.1) (տես դասախոսություն 25. Նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականների մոդելավորում):

Բրինձ. 27.1. Երկանդամ բաշխման տեսակը
հավանականությունները տարբեր մ-ի համար p = 0,8, n = 10

Երկանդամի օրենքը դառնում է նորմալ, եթե A-ի առաջացման և չկատարման հավանականությունները մոտավորապես նույնն են, այսինքն՝ պայմանականորեն կարող ենք գրել. էջ≈ (1 էջ) . Օրինակ՝ վերցնենք n= 10 և էջ= 0,5 (այսինքն էջ= 1 էջ = 0.5 ).

Նման խնդրին իմաստալից կգանք, եթե, օրինակ, տեսականորեն ուզենանք հաշվարկել, թե նույն օրը ծննդատանը ծնված 10 երեխայից քանի տղա և քանի աղջիկ կլինի։ Ավելի ճիշտ՝ կհաշվենք ոչ թե տղաներին ու աղջիկներին, այլ հավանականությունը, որ միայն տղաներ կծնվեն, 1 տղա և 9 աղջիկ կծնվեն, 2 տղա և 8 աղջիկ կծնվեն և այլն։ Պարզության համար ենթադրենք, որ տղա և աղջիկ ունենալու հավանականությունը նույնն է և հավասար է 0,5-ի (բայց իրականում, ճիշտն ասած, դա այդպես չէ, տե՛ս «Արհեստական ​​ինտելեկտի համակարգերի մոդելավորում» դասընթացը):

Պարզ է, որ բաշխումը լինելու է սիմետրիկ, քանի որ 3 տղա և 7 աղջիկ ունենալու հավանականությունը հավասար է 7 տղա և 3 աղջիկ ունենալու հավանականությանը։ Ծնվելու ամենամեծ հավանականությունը կլինի 5 տղա և 5 աղջիկ: Այս հավանականությունը 0,25 է, ի դեպ, այնքան էլ մեծ չէ բացարձակ արժեք. Ավելին, հավանականությունը, որ միանգամից 10 կամ 9 տղա կծնվի, շատ ավելի քիչ է, քան 10 երեխայից 5 ± 1 տղա ծնվելու հավանականությունը։ Երկանդամ բաշխումը կօգնի մեզ կատարել այս հաշվարկը: Այսպիսով.

Գ 10 0 = 1 , Գ 10 1 = 10 , Գ 10 2 = 45 , Գ 10 3 = 120 , Գ 10 4 = 210 , Գ 10 5 = 252 ,
Գ 10 6 = 210 , Գ 10 7 = 120 , Գ 10 8 = 45 , Գ 10 9 = 10 , Գ 10 10 = 1 ;

Պ 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
Պ 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
Պ 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
Պ 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
Պ 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
Պ 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
Պ 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
Պ 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
Պ 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
Պ 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
Պ 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Իհարկե Պ 0 + Պ 1 + Պ 2 + Պ 3 + Պ 4 + Պ 5 + Պ 6 + Պ 7 + Պ 8 + Պ 9 + Պ 10 = 1 .

Եկեք ցուցադրենք մեծությունները գրաֆիկի վրա Պ 0 , Պ 1 , Պ 2 , Պ 3, , Պ 10 (տես նկ. 27.2):

Բրինձ. 27.2. Պարամետրերով երկանդամ բաշխման գրաֆիկ
p = 0,5 և n = 10, այն ավելի մոտեցնելով նորմալ օրենքին

Այսպիսով, պայմաններով մ ≈ n/2 և էջ≈ 1 էջկամ էջ≈ 0.5 երկանդամ բաշխման փոխարեն, կարող եք օգտագործել նորմալը: Մեծ արժեքների համար nգրաֆիկը տեղափոխվում է աջ և դառնում ավելի ու ավելի հարթ, քանի որ մաթեմատիկական ակնկալիքներն ու շեղումները մեծանում են աճի հետ n : Մ = n · էջ , Դ = n · էջ· (1 էջ) .

Ի դեպ, երկանդամ օրենքը հակված է դեպի նորմալ և աճող n, ինչը միանգամայն բնական է՝ ըստ կենտրոնական սահմանային թեորեմի (տե՛ս դասախոսություն 34. Վիճակագրական արդյունքների գրանցում և մշակում)։

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես է փոխվում երկանդամ օրենքը այն դեպքում, երբ էջ ≠ ք, այն է էջ> 0. Այս դեպքում նորմալ բաշխման վարկածը չի կարող կիրառվել, և երկանդամ բաշխումը դառնում է Պուասոնի բաշխում։

Պուասոնի բաշխում

Պուասոնի բաշխումն է հատուկ դեպքերկանդամ բաշխում (հետ n>> 0 և ժամը էջ>0 (հազվադեպ իրադարձություններ)):

Մաթեմատիկայից հայտնի է մի բանաձև, որը թույլ է տալիս մոտավորապես հաշվարկել երկանդամ բաշխման ցանկացած անդամի արժեքը.

Որտեղ ա = n · էջ Պուասոնի պարամետր (մաթեմատիկական ակնկալիք), իսկ շեղումը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին։ Ներկայացնենք մաթեմատիկական հաշվարկներ, որոնք բացատրում են այս անցումը։ Երկանդամ բաշխման օրենքը

Պ մ = Գ n մ · էջ մ· (1 էջ) n – մ

կարելի է գրել, եթե դնես էջ = ա/n , ինչպես

Որովհետեւ էջշատ փոքր է, ապա պետք է հաշվի առնել միայն թվերը մ, փոքր համեմատ n. Աշխատանք

շատ մոտ է միասնությանը. Նույնը վերաբերում է չափերին

Մեծություն

շատ մոտ ե – ա. Այստեղից մենք ստանում ենք բանաձևը.

Օրինակ։ Տուփը պարունակում է n= 100 մաս, և՛ որակյալ, և՛ թերի։ Թերի արտադրանք ստանալու հավանականությունը էջ= 0.01. Ասենք՝ ապրանքը հանում ենք, որոշում ենք՝ թերի է, թե ոչ, հետ ենք դնում։ Դրանով պարզվեց, որ մեր անցած 100 ապրանքներից երկուսը թերի են։ Որքա՞ն է սրա հավանականությունը։

Երկանդամ բաշխումից մենք ստանում ենք.

Պուասոնի բաշխումից մենք ստանում ենք.

Ինչպես տեսնում եք, արժեքները մոտ են, ուստի հազվագյուտ իրադարձությունների դեպքում միանգամայն ընդունելի է կիրառել Պուասոնի օրենքը, հատկապես, որ այն պահանջում է ավելի քիչ հաշվողական ջանք:

Եկեք գրաֆիկորեն ցույց տանք Պուասոնի օրենքի ձևը։ Որպես օրինակ վերցնենք պարամետրերը էջ = 0.05 , n= 10. Ապա.

Գ 10 0 = 1 , Գ 10 1 = 10 , Գ 10 2 = 45 , Գ 10 3 = 120 , Գ 10 4 = 210 , Գ 10 5 = 252 ,
Գ 10 6 = 210 , Գ 10 7 = 120 , Գ 10 8 = 45 , Գ 10 9 = 10 , Գ 10 10 = 1 ;

Պ 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
Պ 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
Պ 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
Պ 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
Պ 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
Պ 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
Պ 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
Պ 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
Պ 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
Պ 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
Պ 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Իհարկե Պ 0 + Պ 1 + Պ 2 + Պ 3 + Պ 4 + Պ 5 + Պ 6 + Պ 7 + Պ 8 + Պ 9 + Պ 10 = 1 .

Բրինձ. 27.3. Պուասոնի բաշխման սյուժեն p = 0,05 և n = 10

ժամը n> ∞ Պուասոնի բաշխումը վերածվում է նորմալ օրենքի՝ համաձայն կենտրոնական սահմանային թեորեմի (տես.