Bahay Orthopedics First order differential equation. Mga uri ng differential equation, mga paraan ng solusyon

Orthopedics

First order differential equation. Mga uri ng differential equation, mga paraan ng solusyon

Ang unang order, na may karaniwang anyo na $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, kung saan ang $P\left(x\right)$ ay isang tuluy-tuloy na function, ay tinatawag na linear homogenous. Ang pangalan Ang "linear" ay ipinaliwanag ang katotohanan na ang hindi kilalang function na $y$ at ang unang derivative na $y"$ ay kasama sa equation nang linearly, iyon ay, sa unang antas. Ang pangalang "homogeneous" ay nagmula sa katotohanang mayroong zero sa kanang bahagi ng equation.

Maaaring malutas ang naturang differential equation gamit ang separation of variables method. Isipin natin ito karaniwang anyo paraan: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, kung saan $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$ at $f_(2) \left(y\right)=y$.

Kalkulahin natin ang integral na $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Kalkulahin natin ang integral na $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right |$ .

Gawin natin ang mga pagbabagong-anyo:

Gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Ang pagkakapantay-pantay na ito, naman, ay katumbas ng pagkakapantay-pantay na $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Pinapalitan ang arbitrary na pare-parehong $C=\pm C_(1) $, nakukuha namin ang pangkalahatang solusyon ng linear homogeneous differential equation: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Nang malutas ang equation na $f_(2) \left(y\right)=y=0$, nakahanap kami ng mga espesyal na solusyon. Sa pamamagitan ng karaniwang pagsusuri ay kumbinsido kami na ang function na $y=0$ ay isang espesyal na solusyon ng differential equation na ito.

Gayunpaman, ang parehong solusyon ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang solusyon $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $, paglalagay ng $C=0$ dito.

Kaya ang huling resulta ay: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng isang first-order linear homogenous differential equation ay maaaring katawanin bilang ang sumusunod na algorithm:

Upang malutas ang equation na ito, kailangan muna itong ipakita sa karaniwang anyo ng $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ na pamamaraan. Kung hindi ito nakamit, ang differential equation na ito ay dapat lutasin ng ibang paraan.
Kinakalkula namin ang integral na $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon sa anyong $y=C\cdot e^(-I) $ at, kung kinakailangan, magsagawa ng mga pagpapasimpleng pagbabago.

Problema 1

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Mayroon kaming linear homogeneous equation ng unang order sa karaniwang anyo, kung saan $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Kinakalkula namin ang integral $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Linear inhomogeneous differential equation ng unang order

Kahulugan

Isang first order differential equation na maaaring katawanin sa karaniwang anyo na $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, kung saan $P\left(x\right)$ at $ Q\left(x\right)$ -- kilala tuluy-tuloy na pag-andar, ay tinatawag na linear inhomogeneous differential equation. Ang pangalan na "inhomogeneous" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang kanang bahagi ng differential equation ay nonzero.

Ang solusyon ng isang kumplikadong linear inhomogeneous differential equation ay maaaring bawasan sa solusyon ng dalawang mas simple. differential equation. Upang gawin ito, ang kinakailangang function na $y$ ay dapat palitan ng produkto ng dalawang auxiliary function na $u$ at $v$, ibig sabihin, ilagay ang $y=u\cdot v$.

Iniiba namin ang tinatanggap na kapalit: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Pinapalitan namin ang resultang expression sa differential equation na ito: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ o $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ kanan] =Q\left(x\right)$.

Tandaan na kung ang $y=u\cdot v$ ay tinanggap, kung gayon ang isa sa mga auxiliary function ay maaaring piliin nang basta-basta bilang bahagi ng produktong $u\cdot v$. Piliin natin ang auxiliary function na $v$ upang ang expression sa mga square bracket ay maging zero. Upang gawin ito, sapat na upang malutas ang differential equation $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ para sa function na $v$ at piliin ang pinakasimpleng partikular na solusyon para dito $v=v\left(x \right)$, nonzero. Ang differential equation na ito ay linear homogenous at nalulutas ng pamamaraang tinalakay sa itaas.

Pinapalitan namin ang resultang solusyon $v=v\left(x\right)$ sa differential equation na ito, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ngayon ang expression sa square bracket ay katumbas ng zero, at nakakuha kami ng isa pang differential equation, ngunit ngayon ay may paggalang sa auxiliary function na $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Ang differential equation na ito ay maaaring katawanin bilang $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, pagkatapos nito ay nagiging malinaw na nagbibigay-daan ito ng agarang pagsasama. Para sa differential equation na ito, kinakailangan na maghanap ng pangkalahatang solusyon sa anyong $u=u\left(x,\; C\right)$.

Ngayon ay makakahanap na tayo ng pangkalahatang solusyon sa first-order linear inhomogeneous differential equation na ito sa anyong $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng isang first-order linear inhomogeneous differential equation ay maaaring katawanin bilang ang sumusunod na algorithm:

Upang malutas ang equation na ito, kailangan muna itong maipakita sa karaniwang anyo ng paraang $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Kung hindi ito nakamit, kung gayon ang differential equation na ito ay dapat lutasin sa pamamagitan ng ibang paraan.
Kinakalkula namin ang integral na $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, sumulat ng partikular na solusyon sa form na $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, isagawa ang pagpapasimple ng mga pagbabagong-anyo at piliin ang pinakasimpleng non-zero na opsyon para sa $v\left(x\right)$.
Kinakalkula namin ang integral na $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, pagkatapos nito isulat namin ang expression sa form na $u \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous differential equation na ito sa anyong $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ at, kung kinakailangan, magsagawa ng mga pagpapasimpleng pagbabago.

Problema 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Mayroon kaming first-order linear inhomogeneous equation sa karaniwang anyo, kung saan $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ at $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

Kinakalkula namin ang integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Sumulat kami ng isang partikular na solusyon sa anyong $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ at nagsasagawa ng mga pagpapasimpleng pagbabago: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ kanan|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Para sa $v\left(x\right)$ pinipili namin ang pinakasimpleng non-zero na opsyon: $v\left(x\right)=x$.

Kinakalkula namin ang integral $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x ) \ cdot dx=3\cdot x $.

Isinulat namin ang expression na $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Sa wakas ay isinulat namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous differential equation na ito sa anyo na $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, iyon ay, $y=\left(( 3\cdot x+C \right)\cdot x$.

Nalutas ang mga first order differential equation na may kinalaman sa derivative

Paano lutasin ang mga first order differential equation

Magkaroon tayo ng unang pagkakasunud-sunod na differential equation na naresolba nang may kinalaman sa derivative:
.
Ang paghahati sa equation na ito sa pamamagitan ng , sa , nakukuha natin equation ng form:
,
saan .

Susunod, titingnan natin kung nabibilang ang mga equation na ito sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba. Kung hindi, muli naming isusulat ang equation sa anyo ng mga kaugalian. Upang gawin ito, isinulat namin at i-multiply ang equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin ang isang equation sa anyo ng mga pagkakaiba-iba:
.

Kung ang equation na ito ay hindi isang equation sa buong pagkakaiba, pagkatapos ay isinasaalang-alang namin na sa equation na ito ay isang malayang variable, at isang function ng . Hatiin ang equation sa pamamagitan ng:
.
Susunod, titingnan namin kung ang equation na ito ay kabilang sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba, na isinasaalang-alang na kami ay nagpalit ng mga lugar.

Kung ang isang uri ay hindi natagpuan para sa equation na ito, makikita natin kung posible na gawing simple ang equation sa pamamagitan ng simpleng pagpapalit. Halimbawa, kung ang equation ay:
,
tapos mapapansin natin yun. Pagkatapos ay gumawa kami ng isang pagpapalit. Pagkatapos nito, ang equation ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
.

Kung hindi ito makakatulong, susubukan naming hanapin ang integrating factor.

Pinaghihiwalay na mga equation

;
.
Hatiin at pagsamahin. Kapag nakuha namin:
.

Mga equation na bumabawas sa mga separable equation

Mga homogenous na equation

Malutas namin sa pamamagitan ng pagpapalit:
,
saan ang isang function ng . Pagkatapos
;
.
Pinaghiwalay namin ang mga variable at isinasama.

Ang mga equation na binabawasan sa homogenous

Ipasok ang mga variable at:
;
.
Pinipili namin ang mga constant at para mawala ang mga libreng termino:
;
.
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng homogenous na equation sa mga variable at .

Pangkalahatang homogenous equation

Gumawa tayo ng substitution. Nakukuha namin ang isang homogenous na equation sa mga variable at .

Linear differential equation

Mayroong tatlong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear equation.

2) Pamamaraan ni Bernoulli.
Naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function at isang variable:
.
;
.
Maaari nating piliin ang isa sa mga function na ito nang basta-basta. Samakatuwid, pipili kami ng anumang di-zero na solusyon ng equation bilang:
.

3) Paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange).
Dito muna natin lutasin ang homogenous equation:

Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation ay may anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho. Susunod, pinapalitan namin ang pare-pareho ng isang function na nakasalalay sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation kung saan natin tinutukoy .

Mga equation ni Bernoulli

Sa pamamagitan ng pagpapalit, ang equation ni Bernoulli ay nabawasan sa isang linear equation.

Ang equation na ito ay maaari ding lutasin gamit ang Bernoulli method. Iyon ay, naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang pag-andar depende sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation:
;
.
Pinipili namin ang anumang di-zero na solusyon ng equation bilang:
.
Ang pagkakaroon ng natukoy , kami ay kumuha ng isang equation na may mga separable variable para sa .

Riccati equation

Hindi ito naresolba sa pangkalahatang pananaw. Pagpapalit

Ang Riccati equation ay binawasan sa anyo:
,
kung saan ay pare-pareho; ; .
Susunod, sa pamamagitan ng pagpapalit:

ito ay nabawasan sa anyo:
,
saan .

Ang mga katangian ng Riccati equation at ilang mga espesyal na kaso ng solusyon nito ay ipinakita sa pahina
Riccati differential equation >>>

Mga equation ni Jacobi

Nalutas sa pamamagitan ng pagpapalit:
.

Mga equation sa kabuuang pagkakaiba

Kung ganoon
.
Kung matugunan ang kundisyong ito, ang expression sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ang pagkakaiba ng ilang function:
.
Pagkatapos
.
Mula dito nakukuha natin ang integral ng differential equation:
.

Upang mahanap ang function, ang pinaka-maginhawang paraan ay ang paraan ng sequential differential extraction. Upang gawin ito, gamitin ang mga formula:
;
;
;
.

Salik ng pagsasanib

Kung ang isang first-order differential equation ay hindi maaaring bawasan sa alinman sa mga nakalistang uri, maaari mong subukang hanapin ang integrating factor. Ang isang integrating factor ay isang function, kapag pinarami kung saan, ang isang differential equation ay nagiging isang equation sa kabuuang differentials. Ang first order differential equation ay mayroon walang katapusang bilang pagsasama-sama ng mga salik. Gayunpaman, walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng integrating factor.

Hindi nalutas ang mga equation para sa derivative na y"

Mga equation na maaaring malutas na may kinalaman sa derivative y"

Una kailangan mong subukang lutasin ang equation na may paggalang sa derivative. Kung maaari, ang equation ay maaaring bawasan sa isa sa mga uri na nakalista sa itaas.

Mga equation na maaaring i-factorize

Kung maaari mong i-factor ang equation:
,
pagkatapos ay ang gawain ay bumaba sa pare-parehong solusyon mas simpleng equation:
;
;

;
. Naniniwala kami.
Pagkatapos
o kaya .
;
.
Susunod na isasama namin ang equation:

Higit pa Bilang resulta, nakukuha namin ang pagpapahayag ng pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter.:
pangkalahatang equation
o ay nalulutas din sa parametric form. Upang gawin ito, kailangan mong pumili ng isang function tulad na orihinal na equation
maaaring ipahayag alinman sa pamamagitan ng parameter.
;
.

Upang ipahayag ang pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter, isinasama namin ang equation:

Nalutas ang mga equation para sa y

Mga equation ng Clairaut

Ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon

Lagrange equation

Naghahanap kami ng solusyon sa parametric form. Ipinapalagay namin kung saan ang isang parameter.

Mga equation na humahantong sa equation ni Bernoulli

Ang mga equation na ito ay binabawasan sa Bernoulli equation kung hahanapin natin ang kanilang mga solusyon sa parametric form sa pamamagitan ng pagpapakilala ng parameter at paggawa ng substitution.
Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.

N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003. Ang differential equation ay isang equation na nagsasangkot ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Sa karamihan ng mga praktikal na problema, ang mga function ay pisikal na dami

, ang mga derivative ay tumutugma sa mga rate ng pagbabago ng mga dami na ito, at tinutukoy ng equation ang relasyon sa pagitan ng mga ito. Tinatalakay ng artikulong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang uri ng mga ordinaryong equation ng kaugalian, ang mga solusyon na maaaring isulat sa anyo mga pag-andar ng elementarya , iyon ay, polynomial, exponential, logarithmic at trigonometric, pati na rin ang kanilang mga inverse function. Marami sa mga equation na ito ang lumilitaw sa totoong buhay , bagaman ang karamihan sa iba pang mga differential equation ay hindi malulutas ng mga pamamaraang ito, at para sa kanila ang sagot ay nakasulat sa anyo ng mga espesyal na function o serye ng kapangyarihan

, o matatagpuan sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan.

Upang maunawaan ang artikulong ito, dapat ay bihasa ka sa differential at integral calculus, pati na rin magkaroon ng ilang pag-unawa sa mga partial derivatives. Inirerekomenda din na malaman ang mga pangunahing kaalaman ng linear algebra bilang inilapat sa mga differential equation, lalo na ang second-order differential equation, bagama't sapat ang kaalaman sa differential at integral calculus upang malutas ang mga ito.

Paunang impormasyon Ang mga differential equation ay may malawak na klasipikasyon. Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa ordinaryong differential equation partial differential equation, na kinabibilangan ng mga function ng ilang variable. Hindi tinatalakay ng artikulong ito ang mga partial differential equation, dahil ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito ay karaniwang tinutukoy ng kanilang partikular na anyo.
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga ordinaryong differential equation.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng partial differential equation.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Umorder ng isang differential equation ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation na ito. Ang una sa mga ordinaryong differential equation sa itaas ay nasa unang pagkakasunud-sunod, habang ang pangalawa ay pangalawang pagkakasunud-sunod na equation. Degree ng isang differential equation ay ang pinakamataas na kapangyarihan kung saan nakataas ang isa sa mga termino ng equation na ito.
- Halimbawa, ang equation sa ibaba ay third order at second degree.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ kanan)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Ang differential equation ay linear differential equation sa kaganapan na ang function at lahat ng mga derivatives nito ay nasa unang antas. Kung hindi, ang equation ay nonlinear differential equation. Ang mga linear differential equation ay kapansin-pansin na ang kanilang mga solusyon ay maaaring gamitin upang bumuo ng mga linear na kumbinasyon na magiging mga solusyon din sa ibinigay na equation.
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga linear differential equation.
- Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng nonlinear differential equation. Ang unang equation ay nonlinear dahil sa sine term.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Karaniwang desisyon Ang ordinaryong differential equation ay hindi natatangi, kabilang dito arbitrary integration constants. Sa karamihan ng mga kaso, ang bilang ng mga arbitrary na constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Sa pagsasagawa, ang mga halaga ng mga constant na ito ay tinutukoy batay sa ibinigay paunang kondisyon, iyon ay, ayon sa mga halaga ng function at mga derivatives nito sa x = 0. (\displaystyle x=0.) Ang bilang ng mga paunang kundisyon na kailangang hanapin pribadong solusyon differential equation, sa karamihan ng mga kaso ay katumbas din ng pagkakasunud-sunod ng ibinigay na equation.
- Halimbawa, titingnan ng artikulong ito ang paglutas ng equation sa ibaba. Ito ay isang pangalawang order na linear differential equation. Ang pangkalahatang solusyon nito ay naglalaman ng dalawang di-makatwirang mga pare-pareho. Upang mahanap ang mga constant na ito ay kinakailangan upang malaman ang mga paunang kondisyon sa x (0) (\displaystyle x(0)) At x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Karaniwan ang mga paunang kondisyon ay tinukoy sa punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), bagama't hindi ito kinakailangan. Tatalakayin din ng artikulong ito kung paano maghanap ng mga partikular na solusyon para sa ibinigay na mga paunang kundisyon.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Mga hakbang

Bahagi 1

Mga equation ng unang order

Kapag ginagamit ang serbisyong ito, maaaring ilipat ang ilang impormasyon sa YouTube.

Mga linear na equation ng unang order. Tinatalakay ng seksyong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga first-order linear differential equation sa pangkalahatan at mga espesyal na kaso kapag ang ilang termino ay katumbas ng zero. Magpanggap na tayo y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) At q (x) (\displaystyle q(x)) ay mga function x. (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Ayon sa isa sa mga pangunahing theorems pagsusuri sa matematika, ang integral ng derivative ng isang function ay isa ring function. Kaya, ito ay sapat na upang isama lamang ang equation upang mahanap ang solusyon nito. Dapat itong isaalang-alang na kapag kinakalkula hindi tiyak na integral lumilitaw ang isang di-makatwirang pare-pareho.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Ginagamit namin ang pamamaraan paghihiwalay ng mga variable. Inililipat nito ang iba't ibang mga variable sa iba't ibang panig ng equation. Halimbawa, maaari mong ilipat ang lahat ng miyembro mula sa y (\displaystyle y) sa isa, at lahat ng miyembro ay may x (\displaystyle x) sa kabilang panig ng equation. Maaari ring ilipat ang mga miyembro d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) At d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), na kasama sa mga expression ng mga derivatives, gayunpaman, dapat itong alalahanin na ito ay isang simbolo lamang na maginhawa kapag naiiba ang isang kumplikadong function. Talakayan ng mga miyembrong ito, na tinatawag na mga kaugalian, ay lampas sa saklaw ng artikulong ito.
- Una, kailangan mong ilipat ang mga variable sa magkabilang panig ng pantay na tanda.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation. Pagkatapos ng pagsasama, lilitaw ang mga arbitrary na constant sa magkabilang panig, na maaaring ilipat sa kanang bahagi ng equation.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Halimbawa 1.1. Sa huling hakbang ginamit namin ang panuntunan e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) at pinalitan e C (\displaystyle e^(C)) sa C (\displaystyle C), dahil isa rin itong arbitrary integration constant.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Upang makahanap ng pangkalahatang solusyon na ipinakilala namin integrating factor bilang isang katangian ng x (\displaystyle x) upang mabawasan kaliwang bahagi sa karaniwang derivative at sa gayon ay malutas ang equation.
- I-multiply ang magkabilang panig μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Upang bawasan ang kaliwang bahagi sa pangkalahatang derivative, ang mga sumusunod na pagbabago ay dapat gawin:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ito ay isang integrating factor na sapat upang malutas ang anumang first-order linear equation. Ngayon ay maaari nating makuha ang formula para sa paglutas ng equation na ito na may paggalang sa μ , (\displaystyle \mu ,) bagaman ito ay kapaki-pakinabang para sa pagsasanay upang gawin ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Halimbawa 1.2. Ipinapakita ng halimbawang ito kung paano maghanap ng partikular na solusyon sa isang differential equation na may ibinigay na mga paunang kundisyon.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Paglutas ng mga linear na equation ng unang pagkakasunud-sunod (naitala ng Intuit - National Open University).
Nonlinear first order equation. Tinatalakay ng seksyong ito ang mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang first-order nonlinear differential equation. Bagama't walang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, ang ilan sa mga ito ay maaaring malutas gamit ang mga pamamaraan sa ibaba.
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Kung ang function f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) ay maaaring hatiin sa mga function ng isang variable, ang naturang equation ay tinatawag differential equation na may mga separable variable. Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang pamamaraan sa itaas:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- Halimbawa 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(nakahanay)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Magpanggap na tayo g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) At h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) ay mga function x (\displaystyle x) At y. (\displaystyle y.) Pagkatapos homogenous differential equation ay isang equation kung saan g (\displaystyle g) At h (\displaystyle h) ay homogenous na pag-andar sa parehong antas. Iyon ay, ang mga pag-andar ay dapat masiyahan ang kondisyon g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) saan k (\displaystyle k) ay tinatawag na antas ng homogeneity. Ang anumang homogenous na differential equation ay maaaring gamitin ng angkop pagpapalit ng mga variable (v = y / x (\displaystyle v=y/x) pangkalahatang equation v = x / y (\displaystyle v=x/y)) convert sa isang separable equation.
- Halimbawa 1.4. Ang paglalarawan sa itaas ng homogeneity ay maaaring mukhang hindi maliwanag. Tingnan natin ang konseptong ito na may isang halimbawa.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Upang magsimula, dapat tandaan na ang equation na ito ay nonlinear na may kinalaman sa y. (\displaystyle y.) Nakikita rin natin iyon sa sa kasong ito Hindi mo maaaring paghiwalayin ang mga variable. Kasabay nito, homogenous ang differential equation na ito, dahil parehong homogenous ang numerator at denominator na may kapangyarihan na 3. Samakatuwid, maaari tayong gumawa ng pagbabago ng mga variable. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Bilang resulta, mayroon kaming equation para sa v (\displaystyle v) na may mga separable variable.
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ito Bernoulli differential equation- isang espesyal na uri ng nonlinear equation ng unang degree, ang solusyon kung saan maaaring isulat gamit ang elementary functions.
- I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function sa kaliwang bahagi at ibahin ang anyo ng equation linear equation medyo y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) na maaaring malutas gamit ang mga pamamaraan sa itaas.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x))=0.) Ito equation sa kabuuang pagkakaiba. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang tinatawag na potensyal na function φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), na nakakatugon sa kondisyon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Para sa execution ganitong kondisyon dapat meron kabuuang derivative. Isinasaalang-alang ng kabuuang derivative ang pag-asa sa iba pang mga variable. Upang kalkulahin ang kabuuang derivative φ (\displaystyle \varphi ) Sa pamamagitan ng x , (\displaystyle x,) ipinapalagay namin iyon y (\displaystyle y) maaaring depende rin sa x. (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Ang paghahambing ng mga tuntunin ay nagbibigay sa atin M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) At N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ito ay isang tipikal na resulta para sa mga equation sa ilang mga variable, kung saan ang halo-halong mga derivatives ng makinis na mga function ay katumbas ng bawat isa. Minsan tinatawag ang kasong ito Ang teorama ni Clairaut. Sa kasong ito, ang differential equation ay isang kabuuang differential equation kung susunod na kondisyon:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- Ang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba ay katulad ng paghahanap ng mga potensyal na function sa pagkakaroon ng ilang mga derivatives, na tatalakayin natin sa madaling sabi. Magsama-sama muna tayo M (\displaystyle M) Sa pamamagitan ng x. (\displaystyle x.) Dahil ang M (\displaystyle M) ay isang function at x (\displaystyle x), At y , (\displaystyle y,) sa pagsasama nakakakuha tayo ng hindi kumpletong function φ , (\displaystyle \varphi ,) itinalaga bilang φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Ang resulta ay nakasalalay din sa y (\displaystyle y) pare-pareho ang pagsasama.
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Pagkatapos nito, para makuha c (y) (\displaystyle c(y)) maaari nating kunin ang partial derivative ng resultang function na may kinalaman sa y , (\displaystyle y,) ipantay ang resulta N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) at pagsamahin. Maaari mo ring isama muna N (\displaystyle N), at pagkatapos ay kunin ang partial derivative na may kinalaman sa x (\displaystyle x), na magbibigay-daan sa iyo na makahanap ng isang arbitrary na function d(x). (\displaystyle d(x).) Ang parehong mga pamamaraan ay angkop, at kadalasan ang mas simpleng function ay pinili para sa pagsasama.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ bahagyang (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Halimbawa 1.5. Maaari kang kumuha ng mga partial derivatives at makita na ang equation sa ibaba ay isang total differential equation.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Kung ang differential equation ay hindi isang kabuuang differential equation, sa ilang mga kaso ay makakahanap ka ng integrating factor na nagpapahintulot sa iyo na i-convert ito sa isang kabuuang differential equation. Gayunpaman, ang mga naturang equation ay bihirang ginagamit sa pagsasanay, at bagaman ang integrating factor umiiral, ito ay nangyayari upang mahanap ito Hindi madali, samakatuwid ang mga equation na ito ay hindi isinasaalang-alang sa artikulong ito.

Bahagi 2

Mga equation ng pangalawang order

Homogeneous linear differential equation na may pare-pareho ang mga koepisyent. Ang mga equation na ito ay malawakang ginagamit sa pagsasanay, kaya ang kanilang solusyon ay ang pangunahing kahalagahan. Sa kasong ito, hindi namin pinag-uusapan ang mga homogenous na pag-andar, ngunit tungkol sa katotohanan na mayroong 0 sa kanang bahagi ng equation Ang susunod na seksyon ay magpapakita kung paano malutas ang kaukulang magkakaiba differential equation. sa ibaba a (\displaystyle a) At b (\displaystyle b) ay mga pare-pareho.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Katangiang equation. Ang differential equation na ito ay kapansin-pansin dahil madali itong malutas kung bibigyan mo ng pansin kung anong mga katangian ang dapat magkaroon ng mga solusyon nito. Mula sa equation ay malinaw na y (\displaystyle y) at ang mga derivatives nito ay proporsyonal sa isa't isa. Mula sa mga nakaraang halimbawa, na tinalakay sa seksyon sa mga first-order na equation, alam lang natin iyon exponential function. Samakatuwid, ito ay posible na ilagay sa harap ansatz(isang edukadong hula) tungkol sa kung ano ang magiging solusyon sa isang ibinigay na equation.
- Ang solusyon ay magkakaroon ng anyo ng isang exponential function e r x , (\displaystyle e^(rx),) saan r (\displaystyle r) ay isang pare-pareho na ang halaga ay dapat matagpuan. I-substitute ang function na ito sa equation at kunin ang sumusunod na expression
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Ang equation na ito ay nagpapahiwatig na ang produkto ng isang exponential function at isang polynomial ay dapat katumbas ng zero. Ito ay kilala na ang exponent ay hindi maaaring katumbas ng zero para sa anumang mga halaga ng antas. Mula dito napagpasyahan namin na ang polynomial ay katumbas ng zero. Kaya, binawasan namin ang problema ng paglutas ng isang differential equation sa mas simpleng problema ng paglutas ng isang algebraic equation, na tinatawag na characteristic equation para sa isang ibinigay na differential equation.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Mayroon kaming dalawang ugat. Dahil ang differential equation na ito ay linear, ang pangkalahatang solusyon nito ay isang linear na kumbinasyon ng mga partial na solusyon. Dahil ito ay isang pangalawang order equation, alam namin na ito ay Talaga pangkalahatang solusyon, at walang iba. Ang isang mas mahigpit na katwiran para dito ay nakasalalay sa mga theorems sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon, na matatagpuan sa mga aklat-aralin.
- Ang isang kapaki-pakinabang na paraan upang suriin kung ang dalawang solusyon ay linearly independent ay ang pagkalkula Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W) ay ang determinant ng isang matrix na ang mga column ay naglalaman ng mga function at ang kanilang mga sunud-sunod na derivatives. Ang linear algebra theorem ay nagsasaad na ang mga function na kasama sa Wronskian ay linearly dependent kung ang Wronskian ay katumbas ng zero. Sa seksyong ito maaari naming suriin kung ang dalawang solusyon ay linearly independent - upang gawin ito kailangan naming tiyakin na ang Wronskian ay hindi zero. Ang Wronskian ay mahalaga kapag nilulutas ang hindi magkakatulad na mga equation ng kaugalian na may pare-parehong mga coefficient sa pamamagitan ng paraan ng iba't ibang mga parameter.
  - W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- Sa mga tuntunin ng linear algebra, ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa isang ibinigay na differential equation ay bumubuo ng isang vector space na ang dimensyon ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng differential equation. Sa puwang na ito ay maaaring pumili ng isang batayan mula sa linearly independent mga desisyon mula sa bawat isa. Ito ay posible dahil sa ang katunayan na ang function y (x) (\displaystyle y(x)) wasto linear operator. Derivative ay linear operator, dahil binabago nito ang espasyo ng mga naiba-iba na function sa espasyo ng lahat ng function. Ang mga equation ay tinatawag na homogenous sa mga kasong iyon kapag, para sa ilan linear operator L (\displaystyle L) kailangan nating maghanap ng solusyon sa equation L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Magpatuloy tayo ngayon upang isaalang-alang ang ilang partikular na halimbawa. Isasaalang-alang namin ang kaso ng maramihang mga ugat ng katangian na equation sa ibang pagkakataon, sa seksyon sa pagbabawas ng pagkakasunud-sunod.
Kung ang mga ugat r ± (\displaystyle r_(\pm )) ay magkaibang tunay na mga numero, ang differential equation ay may sumusunod na solusyon
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Dalawang kumplikadong ugat. Mula sa pangunahing theorem ng algebra, sumusunod na ang mga solusyon sa polynomial equation na may real coefficient ay may mga ugat na tunay o bumubuo ng mga pares ng conjugate. Samakatuwid, kung kumplikadong numero r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) ay ang ugat ng katangian na equation, kung gayon r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ay din ang ugat ng equation na ito. Kaya, maaari naming isulat ang solusyon sa form c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) gayunpaman, ito ay isang kumplikadong numero at hindi kanais-nais para sa paglutas ng mga praktikal na problema.
- Sa halip ay maaari mong gamitin formula ni Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), na nagpapahintulot sa amin na isulat ang solusyon sa form trigonometriko function:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Ngayon ay maaari mo na sa halip na pare-pareho c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) isulat c 1 (\displaystyle c_(1)), at ang expression i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) pinalitan ng c 2 . (\displaystyle c_(2).) Pagkatapos nito makuha namin ang sumusunod na solusyon:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
- May isa pang paraan upang isulat ang solusyon sa mga tuntunin ng amplitude at phase, na mas angkop para sa mga problema sa pisika.
- Halimbawa 2.1. Maghanap tayo ng solusyon sa differential equation na ibinigay sa ibaba kasama ang ibinigay na mga paunang kondisyon. Upang gawin ito, kailangan mong kunin ang nagresultang solusyon, gayundin ang hinango nito, at palitan ang mga ito sa mga paunang kundisyon, na magpapahintulot sa amin na matukoy ang mga arbitrary na constant.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\kaliwa(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
Paglutas ng nth order differential equation na may pare-parehong coefficient (naitala ng Intuit - National Open University).
Pagbaba ng order. Ang pagbabawas ng order ay isang paraan para sa paglutas ng mga differential equation kapag ang isang linearly independent na solusyon ay kilala. Ang pamamaraang ito ay binubuo ng pagpapababa ng pagkakasunud-sunod ng equation ng isa, na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa nakaraang seksyon. Hayaang malaman ang solusyon. Ang pangunahing ideya ng pagbabawas ng order ay upang makahanap ng solusyon sa form sa ibaba, kung saan kinakailangan upang tukuyin ang function v (x) (\displaystyle v(x)), pinapalitan ito sa differential equation at paghahanap v(x). (\displaystyle v(x).) Tingnan natin kung paano magagamit ang pagbabawas ng order upang malutas ang isang differential equation na may pare-parehong coefficient at maramihang mga ugat.

Maramihang mga ugat homogenous differential equation na may pare-parehong coefficient. Alalahanin na ang isang pangalawang-order na equation ay dapat magkaroon ng dalawang linearly independent na solusyon. Kung katangian equation may maraming ugat, maraming solusyon Hindi bumubuo ng isang puwang dahil ang mga solusyong ito ay linearly dependent. Sa kasong ito, kinakailangan na gumamit ng pagbabawas ng order upang makahanap ng pangalawang linearly independent na solusyon.
- Hayaang magkaroon ng maraming ugat ang katangiang equation r (\displaystyle r). Ipagpalagay natin na ang pangalawang solusyon ay maaaring isulat sa anyo y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), at i-substitute ito sa differential equation. Sa kasong ito, karamihan sa mga termino, maliban sa terminong may pangalawang derivative ng function v , (\displaystyle v,) ay mababawasan.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Halimbawa 2.2. Hayaang ibigay ang sumusunod na equation na mayroong maraming ugat r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Sa panahon ng pagpapalit, karamihan sa mga termino ay binabawasan.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(aligned)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\begin(\begin )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
- Katulad ng aming ansatz para sa isang differential equation na may pare-parehong coefficient, sa kasong ito ang pangalawang derivative lamang ang maaaring katumbas ng zero. Dalawang beses kaming nagsasama at makuha ang nais na expression para sa v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation na may pare-parehong coefficient sa kaso kung saan ang characteristic equation ay may maramihang mga ugat ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo. Para sa kaginhawahan, maaari mong tandaan na upang makakuha ng linear na kalayaan paramihin lang ang pangalawang termino sa x (\displaystyle x). Ang hanay ng mga solusyon na ito ay linearly independent, at sa gayon ay nahanap namin ang lahat ng mga solusyon sa equation na ito.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Nalalapat ang pagbabawas ng order kung alam ang solusyon y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), na makikita o ibibigay sa pahayag ng problema.
- Naghahanap kami ng solusyon sa form y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) at palitan ito sa equation na ito:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Dahil ang y 1 (\displaystyle y_(1)) ay isang solusyon sa isang differential equation, lahat ng termino ay may v (\displaystyle v) ay binabawasan. Sa huli ito ay nananatili first order linear equation. Upang makita ito nang mas malinaw, gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w′ + (2 y 1′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\kanan)(\mathrm (d) )x\kanan))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Kung ang mga integral ay maaaring kalkulahin, makuha namin ang pangkalahatang solusyon bilang isang kumbinasyon ng mga elementary function. Kung hindi, ang solusyon ay maaaring iwanang sa integral form.
Cauchy-Euler equation. Ang Cauchy-Euler equation ay isang halimbawa ng second order differential equation na may mga variable coefficients, na may mga eksaktong solusyon. Ang equation na ito ay ginagamit sa pagsasanay, halimbawa, upang malutas ang Laplace equation sa spherical coordinates.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Katangiang equation. Tulad ng makikita mo, sa differential equation na ito, ang bawat termino ay naglalaman ng power factor, ang antas nito ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng kaukulang derivative.
- Kaya, maaari mong subukang maghanap ng solusyon sa form y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kung saan kinakailangan upang matukoy n (\displaystyle n), tulad ng naghahanap kami ng solusyon sa anyo ng exponential function para sa isang linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos ng pagkita ng kaibhan at pagpapalit ay nakukuha natin
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Upang magamit ang katangiang equation, dapat nating ipagpalagay iyon x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Dot x = 0 (\displaystyle x=0) tinawag regular na isahan na punto differential equation. Ang ganitong mga punto ay mahalaga kapag nilulutas ang mga differential equation gamit ang power series. Ang equation na ito ay may dalawang ugat, na maaaring magkaiba at totoo, maramihan o kumplikadong conjugate.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))
Dalawang magkaibang tunay na ugat. Kung ang mga ugat n ± (\displaystyle n_(\pm )) ay totoo at naiiba, kung gayon ang solusyon sa differential equation ay may sumusunod na anyo:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Dalawang kumplikadong ugat. Kung ang katangiang equation ay may mga ugat n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ang solusyon ay isang kumplikadong function.
- Upang baguhin ang solusyon sa isang tunay na function, gumawa kami ng pagbabago ng mga variable x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) yan ay t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) at gamitin ang formula ni Euler. Ang mga katulad na aksyon ay isinagawa dati kapag tinutukoy ang mga arbitrary na constant.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ay maaaring isulat bilang
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Maramihang mga ugat. Upang makakuha ng pangalawang linearly independent na solusyon, kinakailangan na bawasan muli ang order.
- Ito ay nangangailangan ng maraming mga kalkulasyon, ngunit ang prinsipyo ay nananatiling pareho: pinapalitan namin y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) sa isang equation na ang unang solusyon ay y 1 (\displaystyle y_(1)). Pagkatapos ng mga pagbawas, ang sumusunod na equation ay nakuha:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Ito ay isang first order linear equation na may kinalaman sa v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Ang solusyon niya ay v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Kaya, ang solusyon ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo. Ito ay medyo madaling tandaan - upang makuha ang pangalawang linearly independiyenteng solusyon ay nangangailangan lamang ng karagdagang termino na may ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Inhomogeneous linear differential equation na may pare-parehong coefficient. Mga hindi magkakatulad na equation kamukha L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) saan f (x) (\displaystyle f(x))- tinatawag na libreng miyembro. Ayon sa teorya ng differential equation, ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay isang superposisyon pribadong solusyon y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) At karagdagang solusyon y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Gayunpaman, sa kasong ito, ang isang partikular na solusyon ay hindi nangangahulugang isang solusyon na ibinigay ng mga paunang kondisyon, ngunit sa halip ay isang solusyon na tinutukoy ng pagkakaroon ng heterogeneity (isang libreng termino). Ang isang karagdagang solusyon ay isang solusyon sa katumbas na homogenous equation kung saan f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Ang pangkalahatang solusyon ay isang superposisyon ng dalawang solusyong ito, dahil L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), at mula noon L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) ang gayong superposisyon ay talagang isang pangkalahatang solusyon.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Pamamaraan hindi tiyak na mga koepisyent. Ang paraan ng mga indefinite coefficient ay ginagamit sa mga kaso kung saan ang dummy term ay kumbinasyon ng exponential, trigonometric, hyperbolic o mga function ng kapangyarihan. Tanging ang mga function na ito ay ginagarantiyahan na magkaroon ng isang tiyak na bilang ng mga linearly independent derivatives. Sa seksyong ito mahahanap natin ang isang partikular na solusyon sa equation.
- Ihambing natin ang mga tuntunin sa f (x) (\displaystyle f(x)) na may mga tuntunin sa nang hindi binibigyang pansin ang patuloy na mga kadahilanan. May tatlong posibleng kaso.
  - Walang dalawang miyembro ang pareho. Sa kasong ito, isang partikular na solusyon y p (\displaystyle y_(p)) ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga termino mula sa y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) naglalaman ng miyembro x n (\displaystyle x^(n)) at miyembro mula sa y c , (\displaystyle y_(c),) saan n (\displaystyle n) ay zero o isang positibong integer, at ang terminong ito ay tumutugma sa isang hiwalay na ugat ng katangian na equation. Sa kasong ito y p (\displaystyle y_(p)) ay bubuo ng kumbinasyon ng function x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) ang mga linearly independent derivatives nito, gayundin ang iba pang termino f (x) (\displaystyle f(x)) at ang kanilang mga linearly independent derivatives.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) naglalaman ng miyembro h (x) , (\displaystyle h(x),) na isang gawain x n (\displaystyle x^(n)) at miyembro mula sa y c , (\displaystyle y_(c),) saan n (\displaystyle n) katumbas ng 0 o isang positibong integer, at ang terminong ito ay tumutugma sa maramihan ugat ng katangiang equation. Sa kasong ito y p (\displaystyle y_(p)) ay isang linear na kumbinasyon ng function x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Saan s (\displaystyle s)- multiplicity ng root) at ang mga linearly independent derivatives nito, pati na rin ang iba pang miyembro ng function f (x) (\displaystyle f(x)) at ang mga linearly independent derivatives nito.
- Isulat natin ito y p (\displaystyle y_(p)) bilang isang linear na kumbinasyon ng mga terminong nakalista sa itaas. Salamat sa mga coefficient na ito sa isang linear na kumbinasyon ang pamamaraang ito tinatawag na "paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent". Kapag lumitaw ang nilalaman y c (\displaystyle y_(c)) ang mga miyembro ay maaaring itapon dahil sa pagkakaroon ng mga arbitrary constants sa y c . (\displaystyle y_(c).) Pagkatapos nito ay palitan namin y p (\displaystyle y_(p)) sa equation at ipantay ang magkatulad na termino.
- Tinutukoy namin ang mga coefficient. Sa yugtong ito ay nakuha ang sistema algebraic equation, na kadalasang malulutas nang wala mga espesyal na problema. Ang solusyon ng sistemang ito ay nagpapahintulot sa amin na makakuha y p (\displaystyle y_(p)) at sa gayon ay malutas ang equation.
- Halimbawa 2.3. Isaalang-alang natin ang isang inhomogeneous differential equation na ang libreng termino ay naglalaman ng isang finite number of linearly independent derivatives. Ang isang partikular na solusyon sa naturang equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(nakahanay)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ wakas(mga kaso)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Paraan ng Lagrange. Ang pamamaraan ng Lagrange, o ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant, ay higit pa pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga hindi magkakatulad na equation ng kaugalian, lalo na sa mga kaso kung saan ang libreng termino ay hindi naglalaman ng isang tiyak na bilang ng mga linearly independent derivatives. Halimbawa, may mga libreng tuntunin tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) pangkalahatang equation x − n (\displaystyle x^(-n)) upang makahanap ng isang partikular na solusyon, kinakailangan na gumamit ng pamamaraang Lagrange. Ang pamamaraang Lagrange ay maaari ding gamitin upang malutas ang mga differential equation na may variable coefficients, bagama't sa kasong ito, maliban sa Cauchy-Euler equation, ito ay hindi gaanong ginagamit, dahil ang karagdagang solusyon ay karaniwang hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar.
- Ipagpalagay natin na ang solusyon ay may sumusunod na anyo. Ang derivative nito ay ibinibigay sa pangalawang linya.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Dahil ang iminungkahing solusyon ay naglalaman ng dalawa hindi kilalang dami, ito ay kinakailangan upang magpataw karagdagang kundisyon. Piliin natin ito karagdagang kondisyon sa sumusunod na anyo:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Ngayon ay makukuha natin ang pangalawang equation. Pagkatapos ng pagpapalit at muling pamamahagi ng mga miyembro, maaari mong pagsama-samahin ang mga miyembro v 1 (\displaystyle v_(1)) at mga miyembro na may v 2 (\displaystyle v_(2)). Ang mga terminong ito ay nabawasan dahil y 1 (\displaystyle y_(1)) At y 2 (\displaystyle y_(2)) ay mga solusyon ng katumbas na homogenous equation. Bilang resulta nakukuha namin ang sumusunod na sistema mga equation
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
- Ang sistemang ito ay maaaring ma-convert sa equation ng matrix mabait A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kaninong solusyon x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Para sa matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) baligtad na matris ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati sa pamamagitan ng determinant, muling pagsasaayos ng mga elemento ng dayagonal, at pagbabago ng tanda ng mga elementong hindi dayagonal. Sa katunayan, ang determinant ng matrix na ito ay isang Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Mga ekspresyon para sa v 1 (\displaystyle v_(1)) At v 2 (\displaystyle v_(2)) ay ibinigay sa ibaba. Tulad ng sa paraan ng pagbabawas ng order, sa kasong ito, sa panahon ng pagsasama, lumilitaw ang isang di-makatwirang pare-pareho, na kinabibilangan ng karagdagang solusyon sa pangkalahatang solusyon ng equation ng kaugalian.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Lecture mula sa National Open University Intuit na pinamagatang "Linear differential equation of nth order with constant coefficients."

Praktikal na paggamit

Ang mga differential equation ay nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng isang function at isa o higit pa sa mga derivatives nito. Dahil ang mga ganitong koneksyon ay napakakaraniwan, ang mga differential equation ay nakahanap ng malawak na aplikasyon sa karamihan iba't ibang lugar, at dahil nakatira tayo sa apat na dimensyon, ang mga equation na ito ay kadalasang mga differential equation sa pribado derivatives. Sinasaklaw ng seksyong ito ang ilan sa mga pinakamahalagang equation ng ganitong uri.

Exponential na paglago at pagkabulok. Radioactive decay. Pinagsamang interes. Bilis mga reaksiyong kemikal. Konsentrasyon ng mga gamot sa dugo. Walang limitasyong paglaki ng populasyon. Batas ng Newton-Richmann. Sa totoong mundo, maraming mga sistema kung saan ang rate ng paglago o pagkabulok sa anumang oras ay proporsyonal sa halaga sa sa sandaling ito oras o maaaring mahusay na tinantya ng modelo. Ito ay dahil ang solusyon sa differential equation na ito, ang exponential function, ay isa sa pinaka mahahalagang tungkulin sa matematika at iba pang agham. Sa mas maraming pangkalahatang kaso na may kontroladong paglaki ng populasyon, ang sistema ay maaaring magsama ng mga karagdagang miyembro na naglilimita sa paglaki. Sa equation sa ibaba, ang pare-pareho k (\displaystyle k) maaaring mas malaki o mas mababa sa zero.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Harmonic vibrations. Sa parehong klasikal at quantum mechanics, ang harmonic oscillator ay isa sa pinakamahalaga mga pisikal na sistema salamat sa pagiging simple nito at malawak na aplikasyon upang tantiyahin pa kumplikadong mga sistema, tulad ng isang simpleng pendulum. Sa klasikal na mekanika, ang mga harmonic vibrations ay inilalarawan ng isang equation na nag-uugnay sa posisyon ng isang materyal na punto sa pagbilis nito sa pamamagitan ng batas ni Hooke. Sa kasong ito, maaari ding isaalang-alang ang damping at driving forces. Sa expression sa ibaba x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- time derivative ng x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- parameter na naglalarawan sa puwersa ng pamamasa, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- angular frequency ng system, F (t) (\displaystyle F(t))- depende sa oras puwersang nagtutulak. Ang harmonic oscillator ay naroroon din sa mga electromagnetic oscillatory circuit, kung saan maaari itong ipatupad nang mas tumpak kaysa sa mga mekanikal na sistema.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Ang equation ni Bessel. Ang Bessel differential equation ay ginagamit sa maraming lugar ng physics, kabilang ang paglutas ng wave equation, Laplace's equation, at Schrödinger's equation, lalo na sa pagkakaroon ng cylindrical o spherical symmetry. Ang second-order differential equation na ito na may variable coefficients ay hindi isang Cauchy-Euler equation, kaya ang mga solusyon nito ay hindi maaaring isulat bilang elementary functions. Ang mga solusyon sa equation ng Bessel ay ang mga function ng Bessel, na pinag-aralan nang mabuti dahil sa kanilang aplikasyon sa maraming larangan. Sa expression sa ibaba α (\displaystyle \alpha )- isang pare-pareho na tumutugma sa ayos Mga function ng Bessel.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Mga equation ni Maxwell. Kasama ng puwersa ng Lorentz, ang mga equation ni Maxwell ay bumubuo ng batayan ng klasikal na electrodynamics. Ito ang apat na partial differential equation para sa electrical E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) at magnetic B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mga patlang. Sa mga expression sa ibaba ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- density ng singil, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- kasalukuyang density, at ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) At μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- electric at magnetic constants, ayon sa pagkakabanggit.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(\cdot)\ (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
Schrödinger equation. Sa quantum mechanics, ang Schrödinger equation ay ang pangunahing equation ng motion, na naglalarawan sa paggalaw ng mga particle ayon sa pagbabago sa wave function. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) sa oras. Ang equation ng paggalaw ay inilalarawan ng pag-uugali Hamiltonian H^(\displaystyle (\hat (H))) - operator, na naglalarawan sa enerhiya ng system. Isa sa malawak na sikat na mga halimbawa Ang Schrödinger equation sa physics ay isang equation para sa isang non-relativistic na particle na ginagampanan ng isang potensyal. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Maraming mga sistema ang inilalarawan ng equation na Schrödinger na umaasa sa oras, at sa kaliwang bahagi ng equation ay E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) saan E (\displaystyle E)- enerhiya ng butil. Sa mga expression sa ibaba ℏ (\displaystyle \hbar )- nabawasan ang palagiang Planck.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\kanan)\Psi )
Equation ng alon. Ang pisika at teknolohiya ay hindi maiisip nang walang mga alon; Sa pangkalahatan, ang mga alon ay inilalarawan ng equation sa ibaba, kung saan u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) ay ang nais na function, at c (\displaystyle c)- eksperimento na tinutukoy na pare-pareho. Si d'Alembert ang unang nakatuklas na para sa one-dimensional na kaso ang solusyon sa wave equation ay anuman function na may argumento x − c t (\displaystyle x-ct), na naglalarawan ng alon ng arbitrary na hugis na kumakalat sa kanan. Ang pangkalahatang solusyon para sa one-dimensional na case ay isang linear na kumbinasyon ng function na ito na may pangalawang function na may argumento x + c t (\displaystyle x+ct), na naglalarawan ng alon na kumakalat sa kaliwa. Ang solusyon na ito ay ipinakita sa pangalawang linya.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Navier-Stokes equation. Inilalarawan ng mga equation ng Navier-Stokes ang paggalaw ng mga likido. Dahil ang mga likido ay naroroon sa halos lahat ng larangan ng agham at teknolohiya, ang mga equation na ito ay napakahalaga para sa paghula ng lagay ng panahon, pagdidisenyo ng sasakyang panghimpapawid, pag-aaral ng mga agos ng karagatan, at paglutas ng maraming iba pang mga problema. Ang mga equation ng Navier-Stokes ay mga nonlinear na partial differential equation, at sa karamihan ng mga kaso ang mga ito ay napakahirap lutasin dahil ang nonlinearity ay humahantong sa kaguluhan, at ang pagkuha ng isang matatag na solusyon sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan ay nangangailangan ng partitioning sa napakaliit na mga cell, na nangangailangan ng makabuluhang computing power. Para sa mga praktikal na layunin sa hydrodynamics, ang mga pamamaraan tulad ng pag-average ng oras ay ginagamit upang gayahin ang magulong daloy. Higit pang mga pangunahing katanungan tulad ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng mga solusyon para sa nonlinear equation sa mga partial derivatives, at ang pagpapatunay ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon para sa mga equation ng Navier-Stokes sa tatlong dimensyon ay isa sa mga problema sa matematika ng milenyo. Nasa ibaba ang incompressible fluid flow equation at ang continuity equation.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac ) (\bfial (\) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Maraming mga differential equation ang hindi malulutas gamit ang mga pamamaraan sa itaas, lalo na ang mga nabanggit sa huling seksyon. Nalalapat ito kapag ang equation ay naglalaman ng mga variable coefficient at hindi isang Cauchy-Euler equation, o kapag ang equation ay nonlinear, maliban sa ilang napakabihirang kaso. Gayunpaman, ang mga pamamaraan sa itaas ay maaaring malutas ang maraming mahahalagang differential equation na madalas na nakatagpo sa iba't ibang larangan ng agham.
Hindi tulad ng pagkita ng kaibhan, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang derivative ng anumang function, ang integral ng maraming mga expression ay hindi maaaring ipahayag sa mga pag-andar ng elementarya. Samakatuwid, huwag mag-aksaya ng oras sa pagsubok na kalkulahin ang isang integral kung saan imposible. Tingnan ang talahanayan ng mga integral. Kung ang solusyon sa isang differential equation ay hindi maipahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, kung minsan ito ay maaaring kinakatawan sa integral form, at sa kasong ito ay hindi mahalaga kung ang integral na ito ay maaaring kalkulahin nang analytical.

Mga babala

Hitsura Ang differential equation ay maaaring nakaliligaw. Halimbawa, nasa ibaba ang dalawang first order differential equation. Ang unang equation ay madaling malutas gamit ang mga pamamaraan na inilarawan sa artikulong ito. Sa unang tingin, isang maliit na pagbabago y (\displaystyle y) sa y 2 (\displaystyle y^(2)) sa pangalawang equation ay ginagawa itong non-linear at nagiging napakahirap lutasin.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Institusyon ng edukasyon "Estado ng Belarus

akademya ng agrikultura"

Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika

DIFFERENTIAL EQUATIONS NG UNANG ORDER

Mga tala ng panayam para sa mga mag-aaral sa accounting

porma ng pagsusulatan ng edukasyon (NISPO)

Gorki, 2013

First order differential equation

Ang konsepto ng isang differential equation. Pangkalahatan at partikular na mga solusyon

Kapag nag-aaral ng iba't ibang mga phenomena, madalas na hindi posible na makahanap ng isang batas na direktang nag-uugnay sa independiyenteng variable at ang nais na pag-andar, ngunit posible na magtatag ng isang koneksyon sa pagitan ng nais na pag-andar at mga derivatives nito.

Ang ugnayang nag-uugnay sa independiyenteng baryabol, ang nais na pag-andar at ang mga derivatives nito ay tinatawag differential equation :

Dito x- malayang variable, y- ang kinakailangang function,
- derivatives ng nais na function. Sa kasong ito, ang kaugnayan (1) ay dapat magkaroon ng hindi bababa sa isang derivative.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay tinatawag na pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation.

Isaalang-alang ang differential equation

. (2)

Dahil ang equation na ito ay kinabibilangan lamang ng isang first-order derivative, ito ay tinatawag ay isang first order differential equation.

Kung mareresolba ang equation (2) na may kinalaman sa derivative at nakasulat sa form

, (3)

pagkatapos ang naturang equation ay tinatawag na first order differential equation sa normal na anyo.

Sa maraming mga kaso, ipinapayong isaalang-alang ang isang equation ng form

na tinatawag na isang first order differential equation na nakasulat sa differential form.

kasi
, pagkatapos ay maaaring isulat ang equation (3) sa anyo
o
, kung saan mabibilang tayo
At
. Nangangahulugan ito na ang equation (3) ay na-convert sa equation (4).

Isulat natin ang equation (4) sa form
. Pagkatapos
,
,
, kung saan mabibilang tayo
, ibig sabihin. ang isang equation ng form (3) ay nakuha. Kaya, ang mga equation (3) at (4) ay katumbas.

Paglutas ng differential equation (2) o (3) ay tinatawag na anumang function
, na, kapag pinapalitan ito sa equation (2) o (3), ginagawa itong isang pagkakakilanlan:

o
.

Ang proseso ng paghahanap ng lahat ng mga solusyon sa isang differential equation ay tinatawag na nito pagsasama , at ang graph ng solusyon
tinatawag na differential equation integral curve equation na ito.

Kung ang solusyon sa differential equation ay nakuha sa implicit form
, pagkatapos ito ay tinatawag na integral ibinigay na differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng isang first order differential equation ay isang pamilya ng mga function ng form
, depende sa isang arbitrary na pare-pareho SA, ang bawat isa ay solusyon sa isang naibigay na differential equation para sa anumang tinatanggap na halaga ng isang arbitrary na pare-pareho SA. Kaya, ang differential equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Pribadong desisyon Ang differential equation ay isang solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang formula ng solusyon para sa isang tiyak na halaga ng isang arbitrary na pare-pareho SA, kasama ang
.

Cauchy problema at ang geometric na interpretasyon nito

Ang equation (2) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Upang pumili ng isang solusyon mula sa hanay na ito, na tinatawag na pribado, kailangan mong magtakda ng ilang karagdagang kundisyon.

Ang problema sa paghahanap ng isang partikular na solusyon sa equation (2) sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon ay tinatawag Cauchy na problema . Ang problemang ito ay isa sa pinakamahalaga sa teorya ng differential equation.

Ang problema sa Cauchy ay nabuo tulad ng sumusunod: sa lahat ng mga solusyon ng equation (2) hanapin ang gayong solusyon
, kung saan ang function
kinukuha ang ibinigay na numeric na halaga , kung ang malayang baryabol x kinukuha ang ibinigay na numeric na halaga , ibig sabihin.

,
, (5)

saan D– domain ng kahulugan ng function
.

Ibig sabihin tinawag ang paunang halaga ng function , A – paunang halaga ng independent variable . Kondisyon (5) ang tawag paunang kondisyon o Cauchy na kondisyon .

SA geometric na punto Mula sa isang pananaw, ang problemang Cauchy para sa differential equation (2) ay maaaring buuin bilang mga sumusunod: mula sa set ng integral curves ng equation (2), piliin ang isa na dumadaan sa isang ibinigay na punto
.

Differential equation na may mga separable variable

Ang isa sa mga pinakasimpleng uri ng differential equation ay isang first-order differential equation na hindi naglalaman ng gustong function:

. (6)

Isinasaalang-alang na
, isinusulat namin ang equation sa form
o
. Pagsasama ng magkabilang panig ng huling equation, nakukuha natin ang:
o

. (7)

Kaya, ang (7) ay isang pangkalahatang solusyon sa equation (6).

Halimbawa 1 . Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation
.

Solusyon . Isulat natin ang equation sa form
o
. Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng resultang equation:
,
. Sa wakas ay isusulat natin ito
.

Halimbawa 2 . Hanapin ang solusyon sa equation
Kung ganoon
.

Solusyon . Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa equation:
,
,
,
. Sa pamamagitan ng kondisyon
,
. Palitan natin ang pangkalahatang solusyon:
o
. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng isang arbitrary na pare-pareho sa formula para sa pangkalahatang solusyon:
. Ito ay isang partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa ibinigay na kondisyon.

Ang equation

(8)

Tinawag isang first order differential equation na hindi naglalaman ng independent variable . Isulat natin ito sa form
o
. Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng huling equation:
o
- pangkalahatang solusyon ng equation (8).

Halimbawa . Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation
.

Solusyon . Isulat natin ang equation na ito sa anyo:
o
. Pagkatapos
,
,
,
. kaya,
ay ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito.

Equation ng form

(9)

nagsasama gamit ang paghihiwalay ng mga variable. Upang gawin ito, isinulat namin ang equation sa form
, at pagkatapos ay gamit ang mga pagpapatakbo ng multiplikasyon at paghahati dinadala namin ito sa isang anyo na ang isang bahagi ay kinabibilangan lamang ng function ng X at kaugalian dx, at sa ikalawang bahagi – ang pag-andar ng sa at kaugalian dy. Upang gawin ito, ang magkabilang panig ng equation ay kailangang i-multiply sa dx at hatiin sa pamamagitan ng
. Bilang resulta, nakuha namin ang equation

, (10)

kung saan ang mga variable X At sa hiwalay. Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation (10):
. Ang resultang relasyon ay ang pangkalahatang integral ng equation (9).

Halimbawa 3 . Isama ang Equation
.

Solusyon . Ibahin natin ang equation at paghiwalayin ang mga variable:
,
. Pagsamahin natin:
,
o ang pangkalahatang integral ng equation na ito.
.

Hayaang ibigay ang equation sa anyo

Ang equation na ito ay tinatawag first order differential equation na may mga separable variable sa isang simetriko na anyo.

Upang paghiwalayin ang mga variable, kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng
:

. (12)

Ang resultang equation ay tinatawag pinaghiwalay na differential equation . Isama natin ang equation (12):

.(13)

Ang ugnayan (13) ay ang pangkalahatang integral ng differential equation (11).

Halimbawa 4 . Pagsamahin ang isang differential equation.

Solusyon . Isulat natin ang equation sa form

at hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng
,
. Ang resultang equation:
ay isang pinaghiwalay na variable equation. Isama natin ito:

,
,

,
. Ang huling pagkakapantay-pantay ay ang pangkalahatang integral ng differential equation na ito.

Halimbawa 5 . Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation
, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon
.

Solusyon . Isinasaalang-alang na
, isinusulat namin ang equation sa form
o
. Paghiwalayin natin ang mga variable:
. Isama natin ang equation na ito:
,
,
. Ang resultang relasyon ay ang pangkalahatang integral ng equation na ito. Sa pamamagitan ng kondisyon
. Ipalit natin ito sa pangkalahatang integral at hanapin SA:
,SA=1. Tapos yung expression
ay isang bahagyang solusyon ng isang ibinigay na differential equation, na isinulat bilang isang partial integral.

Mga linear differential equation ng unang order

Ang equation

(14)

tinawag linear differential equation ng unang order . Hindi kilalang function
at ang derivative nito ay pumapasok sa equation na ito nang linearly, at ang mga function
At
tuloy-tuloy.

Kung
, pagkatapos ay ang equation

(15)

tinawag linear homogenous . Kung
, pagkatapos ay tinatawag ang equation (14). linear inhomogeneous .

Upang makahanap ng solusyon sa equation (14) karaniwang ginagamit ng isa paraan ng pagpapalit (Bernoulli) , ang kakanyahan nito ay ang mga sumusunod.

Maghahanap tayo ng solusyon sa equation (14) sa anyo ng produkto ng dalawang function

, (16)

saan
At
- ilang tuluy-tuloy na pag-andar. Palitan natin
at derivative
sa equation (14):

Function v pipili tayo sa paraang nasiyahan ang kundisyon
. Pagkatapos
. Kaya, upang makahanap ng solusyon sa equation (14), kinakailangan upang malutas ang sistema ng mga differential equation

Ang unang equation ng system ay isang linear homogenous equation at maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng paghihiwalay ng mga variable:
,
,
,
,
. Bilang isang function
maaari kang kumuha ng isa sa mga bahagyang solusyon ng homogenous na equation, i.e. sa SA=1:
. Palitan natin ang pangalawang equation ng system:
o
.Pagkatapos
. Kaya, ang pangkalahatang solusyon sa isang first order linear differential equation ay may anyo
.

Halimbawa 6 . Lutasin ang equation
.

Solusyon . Maghahanap tayo ng solusyon sa equation sa form
. Pagkatapos
. Ipalit natin sa equation:

o
. Function v pumili sa paraang mananatili ang pagkakapantay-pantay
. Pagkatapos
. Lutasin natin ang una sa mga equation na ito gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable:
,
,
,
,. Function v Ipalit natin sa pangalawang equation:
,
,
,
. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay
.

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili ng kaalaman

Ano ang isang differential equation?

Ano ang pagkakasunud-sunod ng isang differential equation?

Aling differential equation ang tinatawag na first order differential equation?

Paano isinusulat sa differential form ang isang first order differential equation?

Ano ang solusyon sa isang differential equation?

Ano ang integral curve?

Ano ang pangkalahatang solusyon ng isang first order differential equation?

Ano ang tinatawag na partial solution ng differential equation?

Paano nabuo ang problemang Cauchy para sa isang first order differential equation?

Ano ang geometric na interpretasyon ng problemang Cauchy?

Paano magsulat ng isang differential equation na may mga separable variable sa simetriko na anyo?

Aling equation ang tinatawag na first order linear differential equation?

Anong paraan ang maaaring gamitin upang malutas ang isang first-order linear differential equation at ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito?

Mga gawain para sa malayang gawain

Lutasin ang mga differential equation na may mga separable variable:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Lutasin ang first order linear differential equation:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

1. Ang first order differential equation ay may anyo

Kung ang equation na ito ay malulutas nang may paggalang sa pagkatapos ay maaari itong isulat bilang

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang differential equation ay nalutas na may paggalang sa derivative. Para sa naturang equation ang sumusunod na theorem ay wasto, na tinatawag na theorem sa pagkakaroon at uniqueness ng isang solusyon sa isang differential equation. Teorama. Kung sa Eq.

function at ang partial derivative nito na may kinalaman sa y ay tuloy-tuloy sa ilang domain D sa eroplanong naglalaman ng ilang punto, pagkatapos ay mayroong natatanging solusyon sa equation na ito.

nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon sa

Ang teorama na ito ay mapapatunayan sa Kabanata § 27. XVI.

Ang geometric na kahulugan ng theorem ay mayroong isang natatanging function na ang graph ay dumadaan sa punto

Mula sa theorem na nakasaad lamang ay sumusunod na ang equation ay may isang walang katapusang bilang ng iba't ibang mga solusyon (halimbawa, isang solusyon na ang graph ay dumadaan sa isang punto, isa pang solusyon na ang graph ay dumadaan sa isang punto, atbp., kung ang mga puntong ito lamang ay nasa rehiyon.

Ang kundisyon na kapag ang function na y ay dapat na katumbas ng isang naibigay na numero ay tinatawag na paunang kondisyon. Madalas itong nakasulat sa anyo

Kahulugan 1. Ang pangkalahatang solusyon ng isang first order differential equation ay ang function

na nakasalalay sa isang arbitrary na pare-parehong C at natutugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

a) natutugunan nito ang differential equation para sa anumang partikular na halaga ng pare-parehong C;

b) anuman ang paunang kondisyon, posible na makahanap ng isang halaga na ang pagpapaandar ay natutugunan ang ibinigay na paunang kondisyon. Sa kasong ito, ipinapalagay na ang mga halaga ay kabilang sa rehiyon ng pagkakaiba-iba ng mga variable na x at y kung saan nasiyahan ang mga kondisyon ng teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon.

2. Sa proseso ng paghahanap ng pangkalahatang solusyon sa isang differential equation, madalas tayong napupunta sa isang kaugnayan ng form

hindi pinahihintulutan patungkol sa y. Ang paglutas ng kaugnayang ito para sa y, nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon. Gayunpaman, hindi laging posible na ipahayag ang y mula sa kaugnayan (2) sa elementarya na pag-andar; sa ganitong mga kaso, ang pangkalahatang solusyon ay naiwan nang walang laman. Ang pagkakapantay-pantay ng anyo na tahasang tumutukoy sa isang pangkalahatang solusyon ay tinatawag na pangkalahatang integral ng isang differential equation.

Depinisyon 2. Ang partikular na solusyon ay anumang function na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon kung sa huli ang isang di-makatwirang pare-parehong C ay binibigyan ng isang tiyak na halaga Ang kaugnayan sa kasong ito ay tinatawag na isang bahagyang integral ng equation.

Halimbawa 1. Para sa isang first order equation

ang pangkalahatang solusyon ay isang pamilya ng mga function; ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng simpleng pagpapalit sa equation.

Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa sumusunod na paunang kondisyon: kapag Pinapalitan ang mga halagang ito sa formula, nakukuha natin o Samakatuwid, ang nais na partikular na solusyon ay ang function.

Mula sa isang geometric na punto ng view, ang pangkalahatang integral ay isang pamilya ng mga kurba sa coordinate plane, depende sa isang di-makatwirang constant C (o, gaya ng sinasabi nila, sa isang parameter C).

Ang mga kurba na ito ay tinatawag na integral na mga kurba ng isang ibinigay na equation ng kaugalian. Ang bahagyang integral ay tumutugma sa isang kurba ng pamilyang ito, na dumadaan sa ilang partikular na punto ng eroplano.

Kaya, sa huling halimbawa, ang pangkalahatang integral ay geometrical na kinakatawan ng isang pamilya ng mga hyperbola, at ang partikular na integral na tinukoy ng ipinahiwatig na paunang kondisyon ay kinakatawan ng isa sa mga hyperbola na ito na dumadaan sa punto sa Fig. Ang 251 ay nagpapakita ng mga kurba ng pamilya na naaayon sa ilang mga halaga ng parameter: atbp.

Upang gawing mas malinaw ang pangangatwiran, mula ngayon ay tatawagin natin ang solusyon ng equation hindi lamang ang function na nakakatugon sa equation, kundi pati na rin ang kaukulang integral curve. Sa bagay na ito, pag-uusapan natin, halimbawa, ang tungkol sa isang solusyon na dumadaan sa punto .

Magkomento. Ang equation ay walang solusyon na dumadaan sa isang punto na nakahiga sa axis ng Fig. 251), dahil ang kanang bahagi ng equation para sa ay hindi tinukoy at, samakatuwid, ay hindi tuloy-tuloy.

Ang paglutas o, gaya ng madalas nilang sinasabi, ang pagsasama ng isang differential equation ay nangangahulugang:

a) hanapin ang pangkalahatang solusyon o pangkalahatang integral nito (kung hindi ibinigay ang mga paunang kundisyon) o

b) hanapin ang partikular na solusyon ng equation na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kondisyon (kung mayroon man).

3. Magbigay tayo ng geometric na interpretasyon ng first order differential equation.

Hayaang magbigay ng differential equation na naresolba nang may kinalaman sa derivative:

at magkaroon ng pangkalahatang solusyon sa equation na ito. Ang pangkalahatang solusyon na ito ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga integral na kurba sa eroplano

Tinutukoy ng equation (G) para sa bawat puntong M na may mga coordinate x at y ang halaga ng derivative, ibig sabihin, ang angular coefficient ng tangent sa integral curve na dumadaan sa puntong ito. Kaya, ang differential equation (D) ay nagbibigay ng isang hanay ng mga direksyon o, gaya ng sinasabi nila, tinutukoy ang larangan ng mga direksyon sa eroplano.

Samakatuwid, mula sa isang geometric na punto ng view, ang problema ng pagsasama ng isang kaugalian equation ay upang mahanap ang mga curves na ang tangents ay may parehong direksyon bilang ang patlang sa kaukulang mga punto.

Para sa differential equation (1), ang geometric locus ng mga punto kung saan nasiyahan ang relasyon ay tinatawag na isocline ng differential equation na ito.

Para sa iba't ibang mga halaga ng k nakakakuha kami ng iba't ibang mga isocline. Ang equation ng isocline na tumutugma sa halaga ng k ay malinaw na Sa pamamagitan ng pagbuo ng isang pamilya ng isoclines, ang isa ay maaaring humigit-kumulang na bumuo ng isang pamilya ng integral curves. Sinasabi nila na, sa pag-alam ng mga isocline, maaaring matukoy ng isa ang lokasyon ng integral curves sa eroplano.

First order differential equation. Mga uri ng differential equation, mga paraan ng solusyon

Linear inhomogeneous differential equation ng unang order

Nalutas ang mga first order differential equation na may kinalaman sa derivative

Paano lutasin ang mga first order differential equation

Pinaghihiwalay na mga equation

Mga equation na bumabawas sa mga separable equation

Mga homogenous na equation

Ang mga equation na binabawasan sa homogenous

Pangkalahatang homogenous equation

Linear differential equation

Mga equation ni Bernoulli

Riccati equation

Mga equation ni Jacobi

Mga equation sa kabuuang pagkakaiba

Salik ng pagsasanib

Hindi nalutas ang mga equation para sa derivative na y"

Mga equation na maaaring malutas na may kinalaman sa derivative y"

Mga equation na maaaring i-factorize

Upang ipahayag ang pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter, isinasama namin ang equation:

Nalutas ang mga equation para sa y

Ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon

Naghahanap kami ng solusyon sa parametric form. Ipinapalagay namin kung saan ang isang parameter.

Mga hakbang

Praktikal na paggamit

Mga babala

Bago sa site

Interpretasyon ng pangarap na apartment sa pangarap na libro ni Miller

Tamad na mga recipe ng oatmeal sa isang garapon

Mga salawikain at kasabihang Amerikano Mga kasabihang Amerikano na may pagsasalin

Pagpapakahulugan sa Pangarap. Bakit ka nangangarap tungkol sa isang koridor?

Paggawa ng mga sopas ng patatas

Pinaka sikat

Tingnan kung ano ang "TYUR" sa iba pang mga diksyunaryo na God of Tyur sa Scandinavian mythology

Pagtatanghal sa paksang "likas na rehiyon - ang mga Urals" Pagtatanghal sa heograpiya sa paksang Ural

Artipisyal na katalinuhan: kung ano ang ipinangako sa atin at kung ano ang panganib sa AI sa sining

Mga gawaing pananaliksik sa astronomiya

Sanaysay batay sa aklat ni Robert Kiyosaki “Rich Dad Poor Dad Robert Kiyosaki matalinong pag-iisip

MGA SIKAT NA SEKSYON