স্পর্শক পদ্ধতি উদাহরণ সমাধান। কোর্সের কাজ: অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য নিউটনের পদ্ধতি



কীওয়ার্ড:

কাজের লক্ষ্য: একটি অজানা সঙ্গে অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য অধ্যয়ন পদ্ধতি এবং পরীক্ষামূলক কাজে তাদের পরীক্ষা.

কাজের উদ্দেশ্য:

1. বিশ্লেষণ করুন বিশেষ সাহিত্যএবং অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য সবচেয়ে যুক্তিযুক্ত পদ্ধতিগুলি বেছে নিন, যা আপনাকে গভীরভাবে অধ্যয়ন করতে এবং একীভূত করতে দেয় এই বিষয়েসমস্ত উচ্চ বিদ্যালয়ের স্নাতক।
2. আইসিটি ব্যবহার করে অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতির কিছু দিক বিকাশ করুন।
3. অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতিগুলি অন্বেষণ করুন:

- ধাপ পদ্ধতি

- অর্ধেক করার পদ্ধতি

- নিউটনের পদ্ধতি

ভূমিকা.

গাণিতিক সাক্ষরতা ছাড়া, পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, জীববিজ্ঞান এবং অন্যান্য বিষয়ে সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগুলি সফলভাবে আয়ত্ত করা অসম্ভব। প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের পুরো কমপ্লেক্সটি গাণিতিক জ্ঞানের ভিত্তিতে নির্মিত এবং বিকশিত হয়। উদাহরণ স্বরূপ, গাণিতিক পদার্থবিদ্যার বেশ কিছু সাময়িক সমস্যার অধ্যয়ন অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার প্রয়োজনীয়তার দিকে পরিচালিত করে। অরৈখিক সমীকরণের সমাধান অরৈখিক অপটিক্স, প্লাজমা পদার্থবিদ্যা, সুপারকন্ডাক্টিভিটি তত্ত্ব এবং নিম্ন-তাপমাত্রার পদার্থবিদ্যায় প্রয়োজনীয়। এই বিষয়ে পর্যাপ্ত পরিমাণে সাহিত্য রয়েছে, তবে অনেক পাঠ্যপুস্তক এবং নিবন্ধগুলি উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর পক্ষে বোঝা কঠিন। এই গবেষণাপত্রটি পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নে প্রয়োগকৃত সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এমন ননলাইনার সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি নিয়ে আলোচনা করে। একটি আকর্ষণীয় দিক হল অ্যাপ্লিকেশন তথ্য প্রযুক্তিগণিতের সমীকরণ এবং সমস্যা সমাধানের জন্য।

ধাপ পদ্ধতি।

F(x)=0 ফর্মের একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয় হতে দিন। এরও অনুমান করা যাক যে আমাদের একটি নির্দিষ্ট অনুসন্ধান ব্যবধান দেওয়া হয়েছে। অনুসন্ধান ব্যবধানের বাম সীমানা থেকে শুরু করে সমীকরণের প্রথম রুট সহ দৈর্ঘ্য h এর ব্যবধান [a,b] খুঁজে বের করতে হবে।

ভাত। 1. ধাপ পদ্ধতি

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের বিভিন্ন উপায় আছে। ধাপ পদ্ধতিটি অসমতা সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতির মধ্যে সবচেয়ে সহজ, তবে উচ্চ নির্ভুলতা অর্জনের জন্য ধাপটি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করা প্রয়োজন এবং এটি গণনার সময়কে ব্যাপকভাবে বৃদ্ধি করে। ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম এই পদ্ধতিদুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত।

আমিমঞ্চ মূল বিচ্ছেদ।

এই পর্যায়ে, বিভাগগুলি নির্ধারিত হয়, যার প্রতিটিতে সমীকরণের শুধুমাত্র একটি মূল রয়েছে। এই পর্যায়ে বাস্তবায়নের জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে:

• আমরা X এর মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করি (কিছু মোটামুটি ছোট পদক্ষেপের সাথে পছন্দ করে) এবং দেখুন ফাংশন পরিবর্তনের চিহ্ন কোথায়। যদি ফাংশনটি তার চিহ্ন পরিবর্তন করে থাকে, তাহলে এর অর্থ হল X এর পূর্ববর্তী এবং বর্তমান মানের মধ্যে একটি রুট রয়েছে (যদি ফাংশনটি তার বৃদ্ধি/কমানোর প্রকৃতি পরিবর্তন না করে, তাহলে আমরা বলতে পারি যে শুধুমাত্র একটি আছে এই ব্যবধানে মূল)।
• গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি. আমরা একটি গ্রাফ তৈরি করি এবং মূল্যায়ন করি কোন ব্যবধানে একটি মূল রয়েছে।
• আসুন একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করি।

২মঞ্চ শিকড়ের পরিমার্জন।

এই পর্যায়ে, পূর্বে নির্ধারিত সমীকরণের মূলের অর্থ স্পষ্ট করা হয়। একটি নিয়ম হিসাবে, এই পর্যায়ে পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, পদ্ধতি অর্ধেক বিভাগ(dichotomies) বা নিউটনের পদ্ধতি।

অর্ধ বিভাজন পদ্ধতি

নির্দিষ্ট নির্ভুলতা E অর্জন না হওয়া পর্যন্ত সমীকরণ F(x) = 0 সমীকরণের একমাত্র মূল সমন্বিত ব্যবধানের ক্রমিক সংকীর্ণতার উপর ভিত্তি করে সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি দ্রুত এবং মোটামুটি সহজ সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। এই পদ্ধতিটি সাধারণত সমাধান করার সময় ব্যবহার করা হয়। দ্বিঘাত সমীকরণএবং উচ্চতর ডিগ্রির সমীকরণ। যাইহোক, এই পদ্ধতির একটি উল্লেখযোগ্য ত্রুটি রয়েছে - যদি সেগমেন্ট [a,b] একাধিক মূল ধারণ করে, তাহলে এটি ভাল ফলাফল অর্জন করতে সক্ষম হবে না।

ভাত। 2. ডিকোটমি পদ্ধতি

এই পদ্ধতির জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

‒ সেগমেন্টের মাঝখানে x মূলের একটি নতুন অনুমান নির্ণয় করুন [a;b]: x=(a+b)/2।

‒ a এবং x বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজুন: F(a) এবং F(x)।

‒ অবস্থা F(a)*F(x) পরীক্ষা করুন

‒ ধাপ 1 এ যান এবং আবার অংশটিকে অর্ধেক ভাগ করুন। শর্ত |F(x)| পর্যন্ত অ্যালগরিদম চালিয়ে যান

নিউটনের পদ্ধতি

সংখ্যাসূচক সমাধান পদ্ধতির সবচেয়ে সঠিক; খুব জটিল সমীকরণ সমাধানের জন্য উপযুক্ত, কিন্তু প্রতিটি ধাপে ডেরিভেটিভ গণনা করার প্রয়োজনে এটি জটিল। যদি x n সমীকরণের মূলের কিছু অনুমান হয় , তারপর পরবর্তী অনুমানকে x n বিন্দুতে আঁকা f(x) ফাংশনের স্পর্শকটির মূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

x n বিন্দুতে f(x) ফাংশনের স্পর্শক সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

স্পর্শক সমীকরণে আমরা y = 0 এবং x = x n +1 রাখি।

তারপর নিউটনের পদ্ধতিতে অনুক্রমিক গণনার জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

স্পর্শক পদ্ধতির অভিসরণ দ্বিঘাত, অভিসারের ক্রম 2।

সুতরাং, নিউটনের স্পর্শক পদ্ধতির অভিসারণ খুব দ্রুত।

কোনো পরিবর্তন ছাড়াই, পদ্ধতিটি জটিল ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয়। যদি মূল x i দ্বিতীয় গুন বা উচ্চতর একটি মূল হয়, তাহলে অভিসারের ক্রম নেমে যায় এবং রৈখিক হয়।

নিউটনের পদ্ধতির অসুবিধাগুলির মধ্যে রয়েছে এর স্থানীয়তা, যেহেতু শর্তটি সর্বত্র সন্তুষ্ট হলেই এটি একটি নির্বিচারে শুরু হওয়ার জন্য একত্রিত হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। , বিপরীত পরিস্থিতিতে, অভিসরণ শুধুমাত্র মূলের একটি নির্দিষ্ট এলাকায় ঘটে।

নিউটনের পদ্ধতি (স্পর্শক পদ্ধতি) সাধারণত সমীকরণের সময় ব্যবহৃত হয় f(x) = 0একটি মূল আছে এবং নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা হয়:

1) ফাংশন y=f(x)সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন এ;

2) f(a) f(b) (ফাংশনটি সেগমেন্টের শেষে বিভিন্ন চিহ্নের মান নেয় [ a;b]);

3) ডেরিভেটিভস f"(x)এবং f""(x)ব্যবধানে চিহ্ন সংরক্ষণ [ a;b] (অর্থাৎ ফাংশন f(x)সেগমেন্টে হয় বাড়ে বা কমে [ a;b], উত্তলতার দিক বজায় রাখার সময়);

পদ্ধতির অর্থ নিম্নরূপ: সেগমেন্টের উপর [ a;b] এরকম একটি সংখ্যা নির্বাচন করা হয় x 0,কোনটিতে f(x 0)হিসাবে একই চিহ্ন আছে f""(x 0),অর্থাৎ শর্ত সন্তুষ্ট f(x 0) f""(x) > 0. এইভাবে, abscissa সহ বিন্দু নির্বাচন করা হয় x 0, যার মধ্যে বক্ররেখার স্পর্শক y=f(x)অংশে [ a;b] অক্ষকে ছেদ করে বলদ. প্রতি পয়েন্ট x 0প্রথমত, সেগমেন্টের একটি প্রান্ত নির্বাচন করা সুবিধাজনক।

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে এই অ্যালগরিদম বিবেচনা করা যাক।

আমাদের একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন দেওয়া যাক y = f(x) =x 2– 2,সেগমেন্টে ক্রমাগত (0;2), এবং থাকা f "(x) = 2x>0এবং f ""(x) = 2> 0.

আমাদের ক্ষেত্রে, স্পর্শক সমীকরণের ফর্ম আছে: y-y 0 =2x 0 · (x-x 0)ভিতরে পয়েন্ট x 0 হিসাবে আমরা পয়েন্ট নির্বাচন করি B 1 (b; f(b)) = (2,2)।ফাংশনের একটি স্পর্শক আঁকুন y = f(x)বি 1 বিন্দুতে, এবং স্পর্শক এবং অক্ষের ছেদ বিন্দুকে নির্দেশ করে বলদবিন্দু x 1. আমরা প্রথম স্পর্শকের সমীকরণ পাই: y-2=2·2(x-2), y=4x-6। ষাঁড়: x 1 =

ভাত। 3. f(x) ফাংশনের গ্রাফের প্রথম স্পর্শকটির নির্মাণ

y=f(x) বলদবিন্দু মাধ্যমে x 1, আমরা বিন্দু পেতে B 2 =(1.5; 0.25). আবার ফাংশনে একটি স্পর্শক আঁকুন y = f(x)বি 2 বিন্দুতে, এবং স্পর্শক এবং ছেদ বিন্দুকে নির্দেশ করে বলদবিন্দু x 2.

দ্বিতীয় স্পর্শকের সমীকরণ: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25।স্পর্শক এবং অক্ষের ছেদ বিন্দু ষাঁড়: x 2 =.

তারপর আমরা ফাংশনের ছেদ বিন্দু খুঁজে পাই y=f(x)এবং অক্ষের দিকে টানা একটি লম্ব বলদবিন্দু x 2 এর মাধ্যমে, আমরা বিন্দু B 3 এবং আরও অনেক কিছু পাই।

ভাত। 4. ফাংশন f(x) এর গ্রাফের দ্বিতীয় স্পর্শকটির নির্মাণ

মূলের প্রথম অনুমান সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

= 1.5.

মূলের দ্বিতীয় অনুমান সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

=

মূলের তৃতীয় আনুমানিক সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

এভাবে , iমূলের আনুমানিকতা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

গণনা করা হয় যতক্ষণ না উত্তরে প্রয়োজনীয় দশমিক স্থানগুলি মেলে, বা নির্দিষ্ট নির্ভুলতা ই অর্জন করা হয় - যতক্ষণ না অসমতা সন্তুষ্ট হয় |xi-xi-1|

আমাদের ক্ষেত্রে, আসুন বাস্তব উত্তরের সাথে তৃতীয় ধাপে প্রাপ্ত অনুমান তুলনা করি। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ইতিমধ্যে তৃতীয় ধাপে আমরা 0.000002 এর কম ত্রুটি পেয়েছি।

CAD ব্যবহার করে একটি সমীকরণ সমাধান করাম্যাথক্যাড

ফর্মের সহজতম সমীকরণের জন্য চ(এক্স) = 0 ম্যাথক্যাডের সমাধান ফাংশন ব্যবহার করে পাওয়া যায় মূল.

মূল(চ (এক্স 1 , এক্স 2 , … ) , এক্স 1 , a, b ) - মান প্রদান করে এক্স 1 , সেগমেন্টের অন্তর্গত [ ক, খ ] , যার মধ্যে অভিব্যক্তি বা ফাংশন চ (এক্স ) 0 এ যায়। এই ফাংশনের উভয় আর্গুমেন্ট অবশ্যই স্কেলার হতে হবে। ফাংশনটি একটি স্কেলার প্রদান করে।

ভাত। 5. MathCAD (রুট ফাংশন) এ একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

যদি এই ফাংশনটি প্রয়োগ করার ফলে একটি ত্রুটি ঘটে, তবে এর অর্থ হতে পারে যে সমীকরণটির কোনও শিকড় নেই, বা সমীকরণের শিকড়গুলি প্রাথমিক অনুমান থেকে অনেক দূরে অবস্থিত, অভিব্যক্তিটির স্থানীয় সর্বোচ্চএবং মিনিটপ্রাথমিক অনুমান এবং শিকড়ের মধ্যে।

ত্রুটির কারণ স্থাপন করতে, ফাংশনের গ্রাফ পরীক্ষা করা প্রয়োজন চ(এক্স). এটি সমীকরণের শিকড়ের উপস্থিতি খুঁজে বের করতে সাহায্য করবে চ(এক্স) = 0 এবং, যদি তারা বিদ্যমান থাকে, তাহলে আনুমানিকভাবে তাদের মান নির্ধারণ করুন। মূলের প্রাথমিক অনুমান যত সঠিকভাবে বেছে নেওয়া হবে, তত দ্রুত এর সঠিক মান পাওয়া যাবে।

যদি প্রাথমিক অনুমান অজানা হয়, তাহলে ফাংশনটি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয় সমাধান . তাছাড়া, যদি সমীকরণে বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে আপনাকে পরে নির্দেশ করতে হবে কীওয়ার্ডসমাধান হল ভেরিয়েবলের একটি তালিকা যার জন্য সমীকরণটি সমাধান করা হয়েছে।

ভাত। 6. MathCAD-এ একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করা (ফাংশন সমাধান করা)

উপসংহার

গবেষণা কিভাবে পরীক্ষা গাণিতিক পদ্ধতি, এবং CAD সিস্টেম MathCAD-এ প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধান করা। বিভিন্ন পদ্ধতিতাদের সুবিধা এবং অসুবিধা আছে. এটি লক্ষ করা উচিত যে একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতির ব্যবহার প্রদত্ত সমীকরণের প্রাথমিক অবস্থার উপর নির্ভর করে। যে সমীকরণগুলি স্কুলে পরিচিত ফ্যাক্টরাইজেশন ইত্যাদি পদ্ধতির দ্বারা ভালভাবে সমাধান করা যায়, সেগুলি আরও সমাধান করার অর্থ নেই জটিল উপায়ে. ফলিত গণিতের সমস্যা যা পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নের জন্য গুরুত্বপূর্ণ এবং সমীকরণগুলি সফলভাবে সমাধান করার সময় জটিল কম্পিউটেশনাল অপারেশনের প্রয়োজন হয়, উদাহরণস্বরূপ, প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে। নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করে তাদের সমাধান করা ভাল।

শিকড় স্পষ্ট করার জন্য, আপনি একই সমীকরণ সমাধানের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। এই গবেষণাটিই এই কাজের ভিত্তি তৈরি করেছিল। একই সময়ে, সমীকরণের প্রতিটি পর্যায় সমাধান করার সময় কোন পদ্ধতিটি সবচেয়ে সফল এবং এই পর্যায়ে কোন পদ্ধতিটি ব্যবহার না করা ভাল তা দেখা সহজ।

অধ্যয়নকৃত উপাদান, একদিকে, গাণিতিক জ্ঞানকে প্রসারিত ও গভীর করতে এবং গণিতের প্রতি আগ্রহ জাগিয়ে তুলতে সাহায্য করে। অন্যদিকে, যারা কারিগরি এবং প্রকৌশল পেশা অর্জনের পরিকল্পনা করছেন তাদের জন্য প্রকৃত গণিত সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ। এই জন্য এই কাজজন্য গুরুত্বপূর্ণ উচ্চতর শিক্ষা(উদাহরণস্বরূপ, একটি উচ্চ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে)।

সাহিত্য:

1. মিত্যাকভ এস.এন. ইনফরমেটিক্স। জটিল শিক্ষা উপকরণ. - এন নভগোরড: নিজনি নভগোরড। অবস্থা প্রযুক্তি. বিশ্ববিদ্যালয়, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. অরৈখিক সমীকরণের শাখা সমাধানের তত্ত্ব। এম.: নাউকা, 1969। - 527 পি।
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. প্রকৌশলী এবং কারিগরি কলেজের ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক - M.: Nauka, 1986.
4. ওমেলচেঙ্কো ভি.পি., কুরবাতোভা ই.ভি. গণিত: টিউটোরিয়াল. - রোস্তভ n/d.: ফিনিক্স, 2005।
5. সাভিন এ.পি. বিশ্বকোষীয় অভিধানতরুণ গণিতবিদ। - এম.: শিক্ষাবিদ্যা, 1989।
6. Korn G., Korn T. বিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক। - এম.: নাউকা, 1973।
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - সেন্ট পিটার্সবার্গ: বিএইচভি-পিটার্সবার্গ, 2012।
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Mathcad ভিত্তিক উচ্চতর গণিত। সাধারণ কোর্স। - সেন্ট পিটার্সবার্গ: বিএইচভি-পিটার্সবার্গ, 2004।
9. পোর্শনেভ এস., বেলেনকোভা আই. ম্যাথক্যাডের উপর ভিত্তি করে সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। - সেন্ট পিটার্সবার্গ: বিএইচভি-পিটার্সবার্গ, 2012।

কীওয়ার্ড: অরৈখিক সমীকরণ, ফলিত গণিত, CAD MathCAD, নিউটনের পদ্ধতি, ধাপ পদ্ধতি, দ্বিধাবিভক্ত পদ্ধতি।.

টীকা: নিবন্ধটি ম্যাথক্যাড কম্পিউটার-সহায়ক ডিজাইন সিস্টেম ব্যবহার সহ অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলির অধ্যয়নের জন্য উত্সর্গীকৃত। ধাপ পদ্ধতি, অর্ধেক এবং নিউটন পদ্ধতি বিবেচনা করা হয়, এই পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করার জন্য বিস্তারিত অ্যালগরিদম দেওয়া হয়, এবং তুলনামূলক বিশ্লেষণনির্দিষ্ট পদ্ধতি।

নিউটনের পদ্ধতি (স্পর্শক পদ্ধতি নামেও পরিচিত) একটি প্রদত্ত ফাংশনের মূল (শূন্য) খুঁজে বের করার জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। পদ্ধতিটি প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন ইংরেজ পদার্থবিদ, গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী আইজ্যাক নিউটন (1643-1727), যার নামে এটি বিখ্যাত হয়েছিল।

পদ্ধতিটি আইজ্যাক নিউটন পাণ্ডুলিপি ডি অ্যানালাইসি per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .সম্পর্কিতঅসীম সিরিজের সমীকরণ দ্বারা বিশ্লেষণ), 1669 সালে ব্যারোকে সম্বোধন করা হয়েছিল এবং De metodis fluxionum et serierum infinitarum (ল্যাটিন: ফ্লাক্সিয়ন এবং অসীম সিরিজের পদ্ধতি) বা জ্যামিতি বিশ্লেষণ ( lat. বিশ্লেষণাত্মকজ্যামিতি) নিউটনের সংগৃহীত কাজে, যা 1671 সালে লেখা হয়েছিল। যাইহোক, পদ্ধতির বর্ণনা তার বর্তমান উপস্থাপনা থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন: নিউটন তার পদ্ধতিকে একচেটিয়াভাবে বহুপদে প্রয়োগ করেছিলেন। তিনি x n এর ধারাবাহিক অনুমান গণনা করেননি, তবে বহুপদগুলির একটি ক্রম এবং ফলস্বরূপ x এর আনুমানিক সমাধান পেয়েছেন।

পদ্ধতিটি সর্বপ্রথম 1685 সালে জন ওয়ালিস দ্বারা বীজগণিত গ্রন্থে প্রকাশিত হয়েছিল, যার অনুরোধে এটি নিউটন নিজেই সংক্ষেপে বর্ণনা করেছিলেন। 1690 সালে, জোসেফ র্যাফসন তার রচনা বিশ্লেষণ aequationum universalis (lat. সাধারণ বিশ্লেষণসমীকরণ)।র‌্যাফসন নিউটনের পদ্ধতিটিকে বিশুদ্ধভাবে বীজগণিত হিসাবে দেখেছিলেন এবং এর ব্যবহার বহুপদে সীমাবদ্ধ করেছিলেন, কিন্তু তিনি নিউটনের ব্যবহৃত বহুপদীর ক্রম বোঝা কঠিন হওয়ার পরিবর্তে ধারাবাহিক অনুমান x n এর পরিপ্রেক্ষিতে পদ্ধতিটি বর্ণনা করেছিলেন।

অবশেষে, 1740 সালে, নিউটনের পদ্ধতিটি টমাস সিম্পসন দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছিল একটি প্রথম-ক্রম পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি হিসাবে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য যা এখানে বর্ণিত হয়েছে। একই প্রকাশনায়, সিম্পসন পদ্ধতিটিকে দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করেছেন এবং উল্লেখ করেছেন যে নিউটনের পদ্ধতিটি ডেরিভেটিভ বা গ্রেডিয়েন্টের শূন্য খুঁজে অপ্টিমাইজেশন সমস্যা সমাধানের জন্যও প্রয়োগ করা যেতে পারে।

এই পদ্ধতি অনুসারে, একটি ফাংশনের মূল খুঁজে বের করার কাজটি ফাংশনের গ্রাফে প্লট করা স্পর্শকের x-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করার কাজকে হ্রাস করা হয়।

আকার 1 . ফাংশন পরিবর্তন গ্রাফ

একটি ফাংশনের গ্রাফের যেকোনো বিন্দুতে আঁকা একটি স্পর্শক রেখা বিবেচনাধীন বিন্দুতে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা ঘুরে কোণ α () এর স্পর্শক দ্বারা নির্ধারিত হয়। অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে স্পর্শকটির ছেদ বিন্দু নিম্নলিখিত সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত হয় সঠিক ত্রিভুজ: কোণের স্পর্শকসমকোণী ত্রিভুজে ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়। এইভাবে, প্রতিটি ধাপে, পরবর্তী আনুমানিক বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের একটি স্পর্শক তৈরি করা হয় . অক্ষের সাথে স্পর্শকটির ছেদ বিন্দুবলদ পরবর্তী পদ্ধতির পয়েন্ট হবে. বিবেচনাধীন পদ্ধতি অনুসারে, মূলের আনুমানিক মান গণনা করাi- পুনরাবৃত্তি সূত্র অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়:

সরলরেখার ঢাল প্রতিটি ধাপে সর্বোত্তম উপায়ে সামঞ্জস্য করা হয়, তবে, আপনাকে এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিতে হবে যে অ্যালগরিদমটি গ্রাফের বক্রতা বিবেচনা করে না এবং তাই, গণনা প্রক্রিয়া চলাকালীন এটি অজানা থেকে যায়। কোন দিকে গ্রাফটি বিচ্যুত হতে পারে।

পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়া শেষ হওয়ার শর্ত হল নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করা:

কোথায় ˗ রুট নির্ধারণে অনুমতিযোগ্য ত্রুটি।

পদ্ধতির দ্বিঘাত অভিসারণ আছে। অভিসারণের দ্বিঘাত হার মানে প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে অনুমানে সঠিক চিহ্নের সংখ্যা দ্বিগুণ হয়।

গাণিতিক ন্যায্যতা

একটি বাস্তব ফাংশন দেওয়া যাক, যা বিবেচনাধীন এলাকায় সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন। প্রশ্নে ফাংশনের আসল মূল খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সমীকরণের উৎপত্তি পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে সহজ পুনরাবৃত্তি, যা অনুসারে সমীকরণটি যেকোনো ফাংশনের জন্য একটি সমতুল্য সমীকরণে হ্রাস করা হয়। আসুন একটি সংকোচন ম্যাপিংয়ের ধারণাটি প্রবর্তন করি, যা সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

পদ্ধতির সর্বোত্তম অভিসারের জন্য, শর্তটি অবশ্যই পরবর্তী আনুমানিক বিন্দুতে সন্তুষ্ট হতে হবে। এই প্রয়োজনীয়তার মানে হল যে ফাংশনের মূলটি অবশ্যই ফাংশনের প্রান্তের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হবে।

সংকোচন মানচিত্রের ডেরিভেটিভনিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

এই রাশি থেকে চলকটি প্রকাশ করা যাকপূর্বে গৃহীত বিবৃতি সাপেক্ষে যখন শর্তটি নিশ্চিত করা প্রয়োজন। ফলস্বরূপ, আমরা পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত করার জন্য একটি অভিব্যক্তি পাই:

এটি বিবেচনায় নিয়ে, কম্প্রেশন ফাংশনটি নিম্নরূপ:

এইভাবে, সমীকরণের একটি সংখ্যাসূচক সমাধান খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম একটি পুনরাবৃত্তিমূলক গণনা পদ্ধতিতে হ্রাস করা হয়েছে:

পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি অরৈখিক সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম

1. ফাংশনের মূলের আনুমানিক মানের প্রারম্ভিক বিন্দু সেট করুন, সেইসাথে গণনার ত্রুটি (ছোট ইতিবাচক সংখ্যা) এবং প্রাথমিক পুনরাবৃত্তি পদক্ষেপ ().

2. সূত্র অনুসারে ফাংশনের মূলের আনুমানিক মান গণনা করুন:

3. আমরা নির্দিষ্ট নির্ভুলতার জন্য রুটের আনুমানিক মান পরীক্ষা করি, এর ক্ষেত্রে:

যদি দুটি ধারাবাহিক অনুমানগুলির মধ্যে পার্থক্য নির্দিষ্ট নির্ভুলতার চেয়ে কম হয়ে যায়, তাহলে পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া শেষ হয়।

যদি দুটি ক্রমাগত অনুমানগুলির মধ্যে পার্থক্য প্রয়োজনীয় নির্ভুলতায় না পৌঁছায়, তবে এটি পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া চালিয়ে যাওয়া এবং বিবেচনাধীন অ্যালগরিদমের ধাপ 2-এ যেতে হবে।

সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

পদ্ধতি দ্বারাএকটি পরিবর্তনশীল সমীকরণের জন্য নিউটন

উদাহরণ হিসাবে, পদ্ধতিটি ব্যবহার করে একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করার কথা বিবেচনা করুনএকটি পরিবর্তনশীল সমীকরণের জন্য নিউটন. প্রথম আনুমানিকতা হিসাবে মূলটিকে অবশ্যই নির্ভুলতার সাথে খুঁজে পাওয়া উচিত.

একটি সফ্টওয়্যার প্যাকেজে একটি অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের বিকল্পম্যাথক্যাডচিত্র 3 এ উপস্থাপিত।

গণনার ফলাফল, যথা রুটের আনুমানিক মানের পরিবর্তনের গতিবিদ্যা, সেইসাথে পুনরাবৃত্তি ধাপের উপর নির্ভর করে গণনার ত্রুটিগুলি গ্রাফিকাল আকারে উপস্থাপিত হয় (চিত্র 2 দেখুন)।

চিত্র 2. একটি ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণের জন্য নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা ফলাফল

পরিসরে সমীকরণের মূলের একটি আনুমানিক মান অনুসন্ধান করার সময় নির্দিষ্ট নির্ভুলতা নিশ্চিত করতে, 4টি পুনরাবৃত্তি করতে হবে। শেষ পুনরাবৃত্তি ধাপে, অরৈখিক সমীকরণের মূলের আনুমানিক মান মান দ্বারা নির্ধারিত হবে: .

চিত্র 3 . প্রোগ্রাম তালিকাম্যাথক্যাড

একটি পরিবর্তনশীল সমীকরণের জন্য নিউটনের পদ্ধতির পরিবর্তন

নিউটনের পদ্ধতির বেশ কিছু পরিবর্তন রয়েছে যা গণনা প্রক্রিয়াকে সহজ করার লক্ষ্যে।

সরলীকৃত নিউটনের পদ্ধতি

নিউটনের পদ্ধতি অনুসারে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তি ধাপে ফাংশন f(x) এর ডেরিভেটিভ গণনা করা প্রয়োজন, যা গণনামূলক খরচ বৃদ্ধির দিকে পরিচালিত করে। প্রতিটি গণনার ধাপে ডেরিভেটিভ গণনা করার সাথে যুক্ত খরচ কমাতে, আপনি সূত্রের x n বিন্দুতে ডেরিভেটিভ f’(x n) বিন্দু x 0-এ ডেরিভেটিভ f’(x 0) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন। এই গণনা পদ্ধতি অনুসারে, মূলের আনুমানিক মান নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:পরিবর্তিত নিউটনের পদ্ধতি

নিউটনের পার্থক্য পদ্ধতি

ফলস্বরূপ, ফাংশন f(x) এর মূলের আনুমানিক মান নিউটনের পার্থক্য পদ্ধতির অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হবে:

নিউটনের দুই ধাপ পদ্ধতি

নিউটনের পদ্ধতি অনুসারে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তির ধাপে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করা প্রয়োজন, যা সবসময় সুবিধাজনক নয় এবং কখনও কখনও কার্যত অসম্ভব। এই পদ্ধতিএকটি ফাংশনের ডেরিভেটিভকে একটি পার্থক্য অনুপাত (আনুমানিক মান) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করার অনুমতি দেয়:

ফলস্বরূপ, ফাংশন f(x) এর মূলের আনুমানিক মান নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হবে:

কোথায়

চিত্র.5 . নিউটনের দুই ধাপ পদ্ধতি

সেকান্ট পদ্ধতি একটি দ্বি-পদক্ষেপ পদ্ধতি, অর্থাৎ একটি নতুন অনুমানপূর্ববর্তী দুটি পুনরাবৃত্তি দ্বারা নির্ধারিতএবং . পদ্ধতিটি অবশ্যই দুটি প্রাথমিক অনুমান নির্দিষ্ট করতে হবেএবং . পদ্ধতির কনভারজেন্স রেট লিনিয়ার হবে।

• পেছনে
• ফরোয়ার্ড

নিবন্ধে আপনার মন্তব্য যোগ করার জন্য, সাইটে নিবন্ধন করুন.

2. অরৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য নিউটনের পদ্ধতি।

এই পদ্ধতিতে সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির চেয়ে অনেক দ্রুত অভিসারন রয়েছে। সমীকরণ সিস্টেমের জন্য নিউটনের পদ্ধতি (1.1) ফাংশন সম্প্রসারণের ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে

, কোথায়
(2.1)

টেলর সিরিজে, দ্বিতীয় বা তার বেশি সম্বলিত পদ সহ উচ্চ আদেশডেরিভেটিভস বাতিল করা হয়. এই পদ্ধতির একটি সমাধান করতে পারবেন অরৈখিক সিস্টেম(1.1) অনেকগুলি লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

সুতরাং, আমরা নিউটনের পদ্ধতিতে সিস্টেম (1.1) সমাধান করব। D অঞ্চলে, যেকোনো বিন্দু বেছে নিন
এবং এটিকে মূল সিস্টেমের সঠিক সমাধানের শূন্য আনুমানিকতা বলুন। এখন আসুন বিন্দুর আশেপাশে একটি টেলর সিরিজে ফাংশন (2.1) প্রসারিত করি। থাকবে

কারণ (2.2) এর বাম-হাতের দিকগুলি অবশ্যই (1.1) অনুসারে অদৃশ্য হয়ে যাবে, তারপর (2.2) এর ডানদিকের দিকগুলিও অবশ্যই অদৃশ্য হয়ে যাবে। অতএব, (2.2) থেকে আমাদের আছে

(2.3) এর সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভ বিন্দুতে গণনা করা আবশ্যক।

(2.3) একটি লিনিয়ার সিস্টেম বীজগণিত সমীকরণঅজানাদের সাপেক্ষে এই সিস্টেমটি ক্র্যামারের পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে যদি এর প্রধান নির্ধারক অশূন্য হয় এবং পরিমাণগুলি পাওয়া যায়

এখন আমরা স্থানাঙ্কগুলির সাথে প্রথম অনুমান নির্মাণ করে শূন্য অনুমানকে পরিমার্জন করতে পারি

সেগুলো.
. (2.6)

পর্যাপ্ত পরিমাণ নির্ভুলতার সাথে আনুমানিকতা (2.6) প্রাপ্ত হয়েছে কিনা তা খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, এর শর্ত পরীক্ষা করা যাক

,
(2.7)

কোথায় একটি পূর্বনির্ধারিত ছোট ধনাত্মক সংখ্যা (যে নির্ভুলতার সাথে সিস্টেম (1.1) সমাধান করা আবশ্যক)। যদি শর্ত (2.7) সন্তুষ্ট হয়, তাহলে আমরা সিস্টেম (1.1) এর আনুমানিক সমাধান হিসাবে (2.6) নির্বাচন করি এবং গণনাগুলি সম্পূর্ণ করি। যদি শর্ত (2.7) সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত ক্রিয়া সম্পাদন করি। সিস্টেমে (2.3), পরিবর্তে
চলুন আপডেট মান গ্রহণ করা যাক

, (2.8)

সেগুলো. চল এটা করি নিম্নলিখিত কর্ম

. (2.9)

এর পরে, সিস্টেম (2.3) হবে পরিমাণের জন্য রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেম
সিস্টেমের সমাধানে (1.1) আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করে খুঁজে পাই

এখন অবস্থা পরীক্ষা করা যাক (2.7)

যদি এই শর্তটি পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা সিস্টেমের আনুমানিক সমাধান হিসাবে দ্বিতীয় আনুমানিকতা গ্রহণ করে গণনা সম্পূর্ণ করি (1.1)
. যদি এই শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে আমরা পরবর্তী অনুমান নির্মাণ করতে থাকি, (2.3)
শর্ত সন্তুষ্ট না হওয়া পর্যন্ত অনুমান নির্মাণ করা প্রয়োজন।

সমাধান পদ্ধতির জন্য নিউটনের পদ্ধতির কার্যকরী সূত্রগুলি (1.1) ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে।

ক্রম গণনা

এখানে
সিস্টেমের সমাধান হয়

আসুন সূত্র (2.11)-(2.13) ব্যবহার করে একটি গণনা অ্যালগরিদম তৈরি করি।

1. আসুন D অঞ্চলের অন্তর্গত একটি শূন্য অনুমান নির্বাচন করি।

2. রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমে (2.13) আমরা সেট করি
,এ.

3. চলুন সিস্টেম (2.13) সমাধান করি এবং পরিমাণগুলি বের করি
.

4. সূত্রে (2.12) আমরা রাখি
এবং পরবর্তী অনুমানের উপাদানগুলি গণনা করুন।

5. এর জন্য শর্ত (2.7) পরীক্ষা করা যাক: (অনেক পরিমাণের সর্বাধিক গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম দেখুন।)

6. যদি এই শর্তটি পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা সিস্টেমের আনুমানিক সমাধান হিসাবে আনুমানিকতা নির্বাচন করে গণনা সম্পূর্ণ করি (1.1)। যদি এই শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে ধাপ 7 এ যান।

7. চলুন করা যাক
সবার জন্য .

8. চলুন ধাপ 3, নির্বাণ করা যাক
.

জ্যামিতিকভাবে, এই অ্যালগরিদমটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

অ্যালগরিদম। সর্বাধিক কয়েকটি পরিমাণের গণনা.

উদাহরণ. আসুন দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার জন্য নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করার কথা বিবেচনা করা যাক।

নির্ভুলতা পর্যন্ত নিউটনের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করুন নিম্নলিখিত সিস্টেমঅরৈখিক সমীকরণ

, (2.14)

এখানে
. শূন্য অনুমান নির্বাচন করা যাক
, D ডোমেনের অন্তর্গত। আসুন আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করি (2.3)। সে দেখতে কেমন হবে

(2.15)

এর উল্লেখ করা যাক

আসুন আমরা অজানা বিষয়ে সিস্টেম (2.15) সমাধান করি
, উদাহরণস্বরূপ ক্রেমার পদ্ধতি। আমরা ফর্মে ক্রেমারের সূত্র লিখি

(2.17)

সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক কোথায় (2.15)

(2.18)

এবং সিস্টেমের সহায়ক নির্ধারক (2.15) ফর্ম আছে

.

আমরা পাওয়া মানগুলিকে (2.16) এ প্রতিস্থাপন করি এবং প্রথম আনুমানিকতার উপাদানগুলি খুঁজে পাই
সিস্টেমের সমাধানে (2.15)।

এর অবস্থা পরীক্ষা করা যাক

, (2.19)

যদি এই শর্তটি পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা সিস্টেমের (2.15) আনুমানিক সমাধান হিসাবে প্রথম আনুমানিকতা গ্রহণ করে গণনা সম্পূর্ণ করি, যেমন
. যদি শর্ত (2.19) সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে আমরা সেট করি
,
এবং আমরা নির্মাণ করব নতুন সিস্টেমরৈখিক বীজগণিত সমীকরণ (2.15)। এটি সমাধান করার পরে, আমরা দ্বিতীয় আনুমানিকতা খুঁজে পাই
. চলুন এটা পরীক্ষা করা যাক. যদি এই শর্তটি সন্তুষ্ট হয়, তাহলে আমরা সিস্টেমের আনুমানিক সমাধান হিসাবে বেছে নেব (2.15)
. শর্ত সন্তুষ্ট না হলে, আমরা সেট
,
এবং খুঁজে পেতে নিম্নলিখিত সিস্টেম (2.15) তৈরি করুন
ইত্যাদি

কাজ

সমস্ত কাজের প্রয়োজন:

প্রস্তাবিত অ্যালগরিদম অনুযায়ী পদ্ধতির সংখ্যাগত বাস্তবায়নের জন্য একটি প্রোগ্রাম আঁকুন।

গণনার ফলাফল পান।

আপনার ফলাফল পরীক্ষা করুন.

দুটি অরৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া হয়েছে।

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

অধ্যায় 3. রৈখিক বীজগণিত সমীকরণ (SLAEs) এর সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি।

কাজের লক্ষ্য. SLAEs সমাধানের জন্য কিছু আনুমানিক পদ্ধতির ভূমিকা এবং একটি পিসিতে তাদের সংখ্যাসূচক বাস্তবায়ন।

প্রাথমিক মন্তব্য। SLAEs সমাধানের সকল পদ্ধতি সাধারণত দুই ভাগে বিভক্ত বড় দল. প্রথম গ্রুপে এমন পদ্ধতি রয়েছে যা সাধারণত নির্ভুল বলা হয়। এই পদ্ধতিগুলি আমাদের যে কোনও সিস্টেমের জন্য সন্ধান করতে দেয় সঠিক মানঅজানা একটি সীমিত সংখ্যক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির পরে, যার প্রতিটি সঠিকভাবে সঞ্চালিত হয়।

দ্বিতীয় গোষ্ঠীতে এমন সমস্ত পদ্ধতি রয়েছে যা সঠিক নয়। তাদের বলা হয় পুনরাবৃত্তিমূলক, বা সংখ্যাসূচক, বা আনুমানিক। সঠিক সমাধান, এই জাতীয় পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করার সময়, আনুমানিকতার একটি অন্তহীন প্রক্রিয়ার ফলস্বরূপ প্রাপ্ত হয়। এই জাতীয় পদ্ধতিগুলির একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হ'ল তাদের স্ব-সংশোধন এবং একটি পিসিতে বাস্তবায়নের সহজতা।

আসুন এসএলএই সমাধানের জন্য কিছু আনুমানিক পদ্ধতি বিবেচনা করি এবং তাদের সংখ্যাগত বাস্তবায়নের জন্য অ্যালগরিদম তৈরি করি। আমরা একটি নির্ভুলতা সহ SLAE এর একটি আনুমানিক সমাধান পাব, যেখানে কিছু খুব ছোট ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে।

1. পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি।

SLAE ফর্মে দেওয়া হোক

(1.1)

এই সিস্টেমটি ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা যেতে পারে

, (1.2)

কোথায়
- সিস্টেমে অজানা জন্য সহগগুলির ম্যাট্রিক্স (1.1),
- বিনামূল্যে সদস্যদের কলাম,
- সিস্টেমের অজানা কলাম (1.1)।

. (1.3)

আসুন পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেম (1.1) সমাধান করি। এটি করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করব।

প্রথমত। শূন্য অনুমান নির্বাচন করা যাক

(1.4)

সিস্টেমের সঠিক সমাধান (1.3) (1.1)। শূন্য অনুমানের উপাদান যেকোনো সংখ্যা হতে পারে। তবে শূন্যের অনুমানের উপাদানগুলির জন্য শূন্য গ্রহণ করা আরও সুবিধাজনক
, বা সিস্টেমের বিনামূল্যের শর্তাবলী (1.1)

দ্বিতীয়ত। আমরা শূন্য আনুমানিক উপাদানের মধ্যে প্রতিস্থাপন ডান পাশসিস্টেম (1.1) এবং গণনা করুন

(1.5)

বাম দিকের পরিমাণ (1.5) হল প্রথম আনুমানিকতার উপাদান
যে ক্রিয়াগুলি প্রথম আনুমানিকতার ফলে হয়েছিল তাকে পুনরাবৃত্তি বলা হয়।

তৃতীয়। এর জন্য শূন্য এবং প্রথম অনুমান পরীক্ষা করা যাক

(1.6)

যদি সমস্ত শর্ত (1.6) পূরণ করা হয়, তবে সিস্টেমের আনুমানিক সমাধানের জন্য (1.1) আমরা যেটি বেছে নিই, বা এটি কোন ব্যাপার না, কারণ তারা একে অপরের থেকে এর চেয়ে বেশি আলাদা নয় এবং আসুন গণনাগুলি শেষ করি। যদি অন্তত একটি শর্ত (1.6) পূরণ না হয়, তাহলে আমরা পরবর্তী পদক্ষেপে চলে যাই।

চতুর্থত। এর পরবর্তী পুনরাবৃত্তি করা যাক, যেমন সিস্টেমের ডানদিকে (1.1) আমরা প্রথম আনুমানিকতার উপাদানগুলিকে প্রতিস্থাপন করি এবং দ্বিতীয় অনুমানের উপাদানগুলি গণনা করি
, কোথায়

পঞ্চমত। এর চেক করা যাক
এবং অন, অর্থাৎ আসুন এই অনুমানগুলির জন্য অবস্থা (1.6) পরীক্ষা করুন। যদি সমস্ত শর্ত (1.6) পূরণ করা হয়, তাহলে সিস্টেমের আনুমানিক সমাধানের জন্য (1.1) আমরা যেটি বেছে নেব, বা এটি কোন ব্যাপার না, কারণ তারা একে অপরের থেকে এর চেয়ে বেশি আলাদা নয়। অন্যথায়, আমরা সিস্টেমের (1.1) ডান দিকে দ্বিতীয় অনুমানের উপাদানগুলি প্রতিস্থাপন করে পরবর্তী পুনরাবৃত্তি তৈরি করব।

দুই সন্নিহিত আনুমানিক পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি নির্মাণ করা প্রয়োজন
এবং একে অপরের থেকে এর চেয়ে বেশি আলাদা হবে না।

পদ্ধতি সমাধানের জন্য পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির কার্যকরী সূত্র (1.1) হিসাবে লেখা যেতে পারে

সূত্রের সংখ্যাগত বাস্তবায়নের জন্য অ্যালগরিদম (1.7) নিম্নরূপ হতে পারে।

সিস্টেমের (1.1) জন্য পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির একত্রীকরণের জন্য যথেষ্ট শর্ত রয়েছে

1.
, .

2.
,
.

3.

2. সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি।

রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেম (SLAE) ফর্মে দেওয়া যাক

(2.1)

সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেম (2.1) সমাধান করার জন্য, এটি প্রথমে ফর্মে কমাতে হবে

(2.2)

সিস্টেমে (2.2) -ম সমীকরণ হল সিস্টেমের -ম সমীকরণ (2.1), -ম অজানা (
).

পদ্ধতি (2.1) সমাধানের পদ্ধতি, যা এটিকে সিস্টেম (2.2) এ হ্রাস করে এবং পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করার পদ্ধতি (2.2) দ্বারা গঠিত, তাকে সিস্টেমের জন্য সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি (2.1) বলা হয়।

সুতরাং, পদ্ধতির (2.1) সমাধানের জন্য সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির কার্যকরী সূত্রগুলির ফর্ম থাকবে

(2.3)

সূত্র (2.3) আকারে লেখা যাবে

সূত্র (2.4) অনুযায়ী সিস্টেম (2.1) এর জন্য সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির সংখ্যাগত বাস্তবায়নের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ হতে পারে।

এই অ্যালগরিদমটি জ্যামিতিকভাবে লেখা যেতে পারে।

সিস্টেম (2.1) এর জন্য সহজ পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির একত্রিত হওয়ার জন্য যথেষ্ট শর্ত রয়েছে

1.
, .

2.
,
.

3.

3. স্থির সিডেল পদ্ধতি।

SLAE গুলি সমাধানের জন্য Seidel পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির থেকে আলাদা যে -th উপাদানটির জন্য কিছু অনুমান পাওয়া গেলে, আমরা অবিলম্বে পরবর্তীটি খুঁজে পেতে এটি ব্যবহার করি
,
, …, -ম উপাদান। এই পদ্ধতির আরো জন্য অনুমতি দেয় উচ্চ গতিপুনরাবৃত্তি পদ্ধতির তুলনায় সিডেল পদ্ধতির একত্রীকরণ।

SLAE ফর্মে দেওয়া হোক

(3.1)

দিন
- সঠিক সমাধানের শূন্য অনুমান
সিস্টেম (3.1)। এবং এটি খুঁজে পাওয়া যাক ম আনুমানিকতা
. এর উপাদান সংজ্ঞায়িত করা যাক
সূত্র ব্যবহার করে ম আনুমানিক

(3.2)

সূত্র (3.2) কমপ্যাক্ট আকারে লেখা যেতে পারে

,
,
(3.3)

সূত্র (3.3) ব্যবহার করে পদ্ধতি (3.1) সমাধানের জন্য Seidel পদ্ধতির সংখ্যাগত বাস্তবায়নের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ হতে পারে।

1. আসুন বেছে নেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ,
,

2. চলুন করা যাক.

3. আসুন প্রত্যেকের জন্য গণনা করি।

4. আমরা প্রত্যেকের জন্য শর্তগুলি পরীক্ষা করব
.

5. যদি অনুচ্ছেদ 4 এর সমস্ত শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে আমরা সিস্টেম (3.1) এর জন্য একটি আনুমানিক সমাধান হিসাবে বেছে নেব এবং গণনাগুলি সম্পূর্ণ করব। ধাপ 4 এ অন্তত একটি শর্ত পূরণ না হলে, ধাপ 6 এ যান।

6. আসুন এটিকে নিচে রাখি এবং ধাপ 3 এ এগিয়ে যাই।

এই অ্যালগরিদমটি জ্যামিতিকভাবে লেখা যেতে পারে।

সিস্টেম (3.1) এর জন্য সিডেল পদ্ধতির একত্রিত হওয়ার জন্য যথেষ্ট শর্ত রয়েছে
, .

4. অস্থির Seidel পদ্ধতি.

SLAE (3.1) সমাধানের এই পদ্ধতিটি Seidel পদ্ধতির অভিসারণের আরও বেশি গতি প্রদান করে।

আসুন আমরা কোনভাবে সিস্টেমের জন্য তম আনুমানিকতা এবং ম আনুমানিকতার উপাদানগুলি খুঁজে বের করি (3.1)।

আসুন সংশোধন ভেক্টর গণনা করা যাক

এর মান গণনা করা যাক

, (4.2)

এর পরিমাণগুলি সাজানো যাক
, অবরোহী ক্রমে।

একই ক্রমে, আমরা সিস্টেমের সমীকরণগুলি (3.1) এবং এই সিস্টেমের অজানাগুলি পুনরায় লিখি: রৈখিকবীজগণিতএবং অরৈখিক ... ব্যবস্থাপনাজন্যপরীক্ষাগার কাজ করেদ্বারা ... পদ্ধতিগতনির্দেশাবলী জন্যব্যবহারিককাজ করেদ্বারা জন্যছাত্রদের ...

শিক্ষামূলক সাহিত্য (প্রাকৃতিক বিজ্ঞান এবং প্রযুক্তিগত) 2000-2011 ওপি চক্র - 10 বছর সিডি চক্র - 5 বছর

সাহিত্য

... প্রাকৃতিকবিজ্ঞানসাধারণভাবে 1. জ্যোতির্বিদ্যা [পাঠ্য]: ম্যানুয়াল জন্য ... সংখ্যাসূচকপদ্ধতি: রৈখিকবীজগণিতএবং অরৈখিক ... ব্যবস্থাপনাজন্যপরীক্ষাগার কাজ করেদ্বারা ... পদ্ধতিগতনির্দেশাবলী জন্যব্যবহারিককাজ করেদ্বারাশৃঙ্খলা "পরিবহন অর্থনীতি" জন্যছাত্রদের ...

- প্রাকৃতিক বিজ্ঞান (1)

টিউটোরিয়াল

... ব্যবস্থাপনাজন্যছাত্রদেরএবং শিক্ষক, উদ্দেশ্য জন্যশুধুমাত্র অধ্যয়নের জন্য ব্যবহার করুন পদ্ধতিকাজ... উৎপাদন ব্যবহারিকবাস্তব তথ্য ব্যবহার করার দক্ষতা। পদ্ধতিগতসুপারিশ দ্বারাপরীক্ষার পরিপূর্ণতা কাজদ্বারাএই...

- প্রাকৃতিক বিজ্ঞান - ভৌত এবং গাণিতিক বিজ্ঞান - রাসায়নিক বিজ্ঞান - পৃথিবী বিজ্ঞান (জিওডেটিক জিওফিজিক্যাল ভূতাত্ত্বিক এবং ভৌগলিক বিজ্ঞান)

দলিল

... জন্যছাত্রদেরস্বাভাবিকভাবে- ... কাজ করেদ্বারাশৃঙ্খলা "জেনেটিক্স এবং নির্বাচন", নিবেদিত বর্তমান সমস্যাএই বিজ্ঞান. পদ্ধতিগত স্বাধীন চাকরিছাত্রদেরদ্বারাতাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক ... রৈখিক, অরৈখিক, গতিশীল। সব পদ্ধতি ...

- প্রাকৃতিক বিজ্ঞান - ভৌত এবং গাণিতিক বিজ্ঞান - রাসায়নিক বিজ্ঞান - পৃথিবী বিজ্ঞান (জিওডেটিক জিওডিজিকাল ভূতাত্ত্বিক এবং ভৌগলিক বিজ্ঞান) (7)

পাঠ্যপুস্তকের তালিকা

ইরেমিনের নির্ধারক রৈখিকএবং অরৈখিকবীজগণিত : রৈখিকএবং অরৈখিকপ্রোগ্রামিং: নতুন পদ্ধতি/ ইরেমিন, মিখাইল... জন্যছাত্রদেরএবং বিশ্ববিদ্যালয়ে ভূতাত্ত্বিক বিশেষত্বের শিক্ষক। kh-1 1794549 99. D3 P 693 ব্যবহারিকব্যবস্থাপনাদ্বারা ...

নিউটনের পদ্ধতিতে অরৈখিক সমীকরণ সমাধান করা

বৈদ্যুতিক শক্তি সমস্যা সমাধানের জন্য, পদ্ধতির বেশ কয়েকটি পরিবর্তন রয়েছে। তারা পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়ার একত্রিত হওয়ার গতি বাড়ানো এবং গণনার সময় হ্রাস করা সম্ভব করে তোলে।

বেসিক মর্যাদাপদ্ধতি - এটি দ্রুত একত্রিত হয়.

পদ্ধতির ধারণাসমীকরণের কিছু সহায়ক রৈখিক সিস্টেমের সাথে সমীকরণের মূল অরৈখিক সিস্টেমের গণনার প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে অনুক্রমিক প্রতিস্থাপন নিয়ে গঠিত, যার সমাধানটি আমাদের পছন্দসই সমাধানের কাছাকাছি অজানাগুলির পরবর্তী আনুমানিকতা পেতে দেয় ( রৈখিককরণ).

মধ্যে অরৈখিক সমীকরণ বিবেচনা করুন সাধারণ দৃষ্টিকোণ:

সমীকরণের প্রয়োজনীয় সমাধান হল সেই বিন্দুতে যে বক্ররেখাটি x-অক্ষকে ছেদ করে।

আমরা অজানা প্রাথমিক আনুমানিক সেট x(0). এই সময়ে ফাংশনের মান নির্ধারণ করুন w(x(0))এবং বি বিন্দুতে বক্ররেখায় একটি স্পর্শক আঁকুন। x-অক্ষের সাথে এই স্পর্শকটির ছেদ বিন্দুটি অজানাটির পরবর্তী অনুমান নির্ধারণ করে x (1)ইত্যাদি

আসুন বিন্দুর আশেপাশে একটি টেলর সিরিজে সমীকরণ (1) প্রসারিত করি x(0). আসুন শুধুমাত্র 1ম ডেরিভেটিভ ধারণকারী সম্প্রসারণ শর্তাবলী বিবেচনা করা যাক:

(2)

x – x (0) = Δx- অজানা সংশোধন। যদি আমরা এটি সংজ্ঞায়িত করি তবে আমরা পরবর্তী আনুমানিকতা নির্ধারণ করতে পারি।

(2) থেকে আমরা সংশোধনী নির্ধারণ করি (3)

তারপর নিম্নলিখিত অনুমান: (5)

একইভাবে আমরা পেতে প্রতি-e অনুমান:

এই নিউটনের পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি সূত্রঅরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য। এটি আপনাকে অজানাদের পরবর্তী অনুমান নির্ধারণ করতে দেয়।

সূত্র (6) চিত্র থেকে অন্য উপায়ে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া একত্রিত হয় যদি এটি হ্রাস পায় এবং কাছে আসে 0 . ফলাফল অর্জিত হয় যদি.

জ্যামিতিক ব্যাখ্যার ভাষ্য

পদ্ধতির পুনরাবৃত্তিমূলক পদক্ষেপটি একটি সরল রেখা দিয়ে বক্ররেখা প্রতিস্থাপন করার জন্য হ্রাস করা হয়, যা সমীকরণের বাম দিকে দ্বারা বর্ণিত হয়েছে (2)। এটি বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শক। এই প্রক্রিয়া বলা হয় রৈখিককরণ. অক্ষের সাথে বক্ররেখাতে স্পর্শকের ছেদ বিন্দু এক্সঅজানার আরেকটি অনুমান দেয়। তাই এই পদ্ধতি বলা হয় স্পর্শক পদ্ধতি.

উদাহরণ:

উদাহরণ:

এই পদ্ধতি দ্বারা একটি অরৈখিক সমীকরণের সমস্ত শিকড় নির্ধারণ করার জন্য, এটি যে কোনও উপায়ে নির্ধারণ করা প্রয়োজন আনুমানিকএই শিকড়গুলির অবস্থান এবং তাদের কাছাকাছি প্রাথমিক অনুমান সেট করুন।

শিকড় কোথায় অবস্থিত তা নির্ধারণ করার একটি সহজ উপায় ট্যাবুলেশন.

নিউটনের পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া একত্রিত হয় না, যদি প্রাথমিক অনুমানগুলি বেছে নেওয়া হয় যাতে:

প্রক্রিয়াটি হয় একত্রিত হয় না বা খুব খারাপভাবে একত্রিত হয়।

SNAU সমাধানের জন্য নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতি

র্যাফসন দেখিয়েছিলেন যে নিউটনের পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি সমাধানের জন্য প্রস্তাবিত একঅরৈখিক সমীকরণ, সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে সিস্টেমঅরৈখিক সমীকরণ।

একই সময়ে, অরৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য একটি অজানা পরিবর্তে একটি সেট (ভেক্টর) বিবেচনা করা প্রয়োজন। অজানা:

একটি অবশিষ্ট সমীকরণের পরিবর্তে, আমরা বিবেচনা করি অবশিষ্টাংশের ভেক্টরসিস্টেমের সমীকরণ:

(6) মধ্যে একটি ডেরিভেটিভ প্রতিস্থাপিত হয় ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্স. (6) মধ্যে বিভাজন ক্রিয়াটি দ্বারা গুণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় বিপরীতডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্স। এই ক্ষেত্রে, নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতিটি এক-মাত্রিক সমস্যা থেকে পরিবর্তনের ক্ষেত্রে নিউটন পদ্ধতির থেকে পৃথক। বহুমাত্রিক.

আসুন বাস্তব ননলিনিয়ার বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম বিবেচনা করি:

(7)

এটি ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা যেতে পারে:

কোথায় এক্স= x 2 – ভেক্টর – অজানা কলাম;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

ডব্লিউ = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – ভেক্টর ফাংশন।

w n (x 1, x 2, ... x n)

দিন - অজানা প্রাথমিক অনুমান। আসুন আমরা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ (7) বিন্দুর আশেপাশে একটি টেলর সিরিজে প্রসারিত করি X (0), অর্থাৎ, আমরা রৈখিক সমীকরণগুলির সাথে মূল অরৈখিক সমীকরণগুলির একটি আনুমানিক প্রতিস্থাপন করব যেখানে শুধুমাত্র 1ম ডেরিভেটিভ সংরক্ষিত (রৈখিককরণ)। ফলস্বরূপ, সমীকরণের সিস্টেম (7) ফর্ম নেয়:

(9)

ফলে আমরা পেয়েছি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম(লিনিয়ারাইজড সিস্টেম), যেখানে অজানাগুলি সংশোধন করা হয়। এই সিস্টেমে অজানাদের জন্য সহগগুলি হল সমীকরণের প্রথম ডেরিভেটিভ w jসমস্ত অজানাদের জন্য মূল অরৈখিক সিস্টেমের একাদশ.. তারা সহগগুলির একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করে - জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্স:

=

ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি সমস্ত অজানা বিষয়ে অরৈখিক সিস্টেমের পরবর্তী সমীকরণের প্রথম ডেরিভেটিভ নিয়ে গঠিত।

আসুন ম্যাট্রিক্স আকারে লিনিয়ারাইজড সিস্টেম (9) লিখি:

(10)

এখানে মূল সিস্টেমের সমীকরণের অবশিষ্টাংশের ভেক্টর। এর উপাদানগুলি অরৈখিক সিস্টেমের সমীকরণগুলিতে অজানাগুলির ধারাবাহিক অনুমান প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত করা হয়;

- জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স. এর উপাদানগুলি হল সমস্ত অজানা বিষয়ের সাপেক্ষে মূল সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণের প্রথম আংশিক ডেরিভেটিভ;

- সংশোধন ভেক্টরকাঙ্খিত অজানাদের কাছে। প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে এটি লেখা যেতে পারে:

সিস্টেম (10), গৃহীত স্বরলিপি বিবেচনা করে, লেখা যেতে পারে:

(12)

এই সিস্টেম রৈখিকসংশোধনী সংক্রান্ত ΔХ (k).

সিস্টেম (13) হল সমীকরণের একটি রৈখিক সিস্টেম যা পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়ার প্রতিটি ধাপে মূল SNAU প্রতিস্থাপন করে।

সিস্টেম (13) যে কোনও পরিচিত পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়, ফলস্বরূপ আমরা সংশোধন ভেক্টর খুঁজে পাই। তারপর (11) থেকে আমরা খুঁজে পেতে পারি পরবর্তী পন্থাঅজানা:

যে. প্রতি পুনরাবৃত্তিমূলক পদক্ষেপপ্রক্রিয়াটি লিনিয়ার সিস্টেম (13) সমাধান এবং (14) থেকে পরবর্তী আনুমানিকতা নির্ধারণ করে গঠিত।

(11) এবং (12) থেকে আমরা সাধারণ পেতে পারি পুনরাবৃত্তি সূত্র(ম্যাট্রিক্স আকারে), নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ:

(15)

এটি সূত্র (6) এর সাথে সম্পর্কিত একটি কাঠামো রয়েছে।

সূত্র (15) ব্যবহারিক গণনায় ব্যবহৃত হয় খুব কমই, যেহেতু এখানে গণনার প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স (বড় মাত্রার) উল্টানো প্রয়োজন। বাস্তব গণনায়, রৈখিক সিস্টেম (13) সমাধানের ফলে সংশোধনগুলি নির্ধারিত হয়।

সমাপ্তি নিয়ন্ত্রণআমরা অবশিষ্টাংশের ভেক্টর ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া সম্পাদন করি:

এই শর্ত অবশিষ্টাংশের জন্য সন্তুষ্ট করা আবশ্যক সবাইসিস্টেমের সমীকরণ।

নিউটন-রাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে SNAU সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

1. অজানাদের প্রাথমিক অনুমানগুলির ভেক্টর নির্দিষ্ট করা।

গণনার নির্ভুলতা সেট করা є , অন্যান্য গণনার পরামিতি

2. আনুমানিক বিন্দুতে অরৈখিক সমীকরণের অবশিষ্টাংশ নির্ধারণ;

2.3। অজানা পরবর্তী আনুমানিক বিন্দুতে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির নির্ধারণ;

2.4। যে কোনো পরিচিত পদ্ধতি দ্বারা লিনিয়ারাইজড সিস্টেমের সমাধান (13)। অজানা সংশোধনী নির্ধারণ।

2.5। (14) অনুসারে অজানাদের পরবর্তী অনুমান নির্ধারণ।

2.6। (16) অনুসারে পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার সমাপ্তি পর্যবেক্ষণ করা। শর্ত পূরণ না হলে, ধাপ 2 এ ফিরে যান।

উদাহরণ:

নিউটন-রাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে SLAE সমাধান করুন:

(সমাধান X 1 = X 2 =2)

চলুন সমীকরণগুলি অবশিষ্টাংশের আকারে লিখি:

আমরা জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি সংজ্ঞায়িত করি:

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স:

আসুন নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতির অ্যালগরিদম বাস্তবায়ন করি:

1) প্রথম পুনরাবৃত্তি:

প্রাথমিক অনুমান

অবশিষ্টাংশ

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স:

সমীকরণের লিনিয়ারাইজড সিস্টেম:

অজানা 1ম আনুমানিক:

2) দ্বিতীয় পুনরাবৃত্তি

3) তৃতীয় পুনরাবৃত্তি:

… ……… …… …… …… ……..

নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে স্থির-স্থিতি সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা

তম নোডের জন্য শক্তি ভারসাম্য আকারে স্থির অবস্থার অরৈখিক সমীকরণের ফর্ম রয়েছে:

(17)

এটি জটিল অজানা এবং সহগ সহ একটি সমীকরণ। ফর্মের এই ধরনের সমীকরণের জন্য (17) সিদ্ধান্ত নেওয়া সম্ভব ছিলনিউটন-রাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে, তারা রূপান্তরিত হয়: বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি পৃথক করা হয়। এর ফলে প্রতিটি জটিল সমীকরণটাইপ (17) দুটি বাস্তব সমীকরণে ভেঙে যায় যা নোডের সক্রিয় এবং প্রতিক্রিয়াশীল শক্তির ভারসাম্যের সাথে মিলে যায়:

এখানে নোডে নির্দিষ্ট ক্ষমতা আছে;

নোড এ অজানা ভোল্টেজ উপাদান. তারা প্রয়োজন হয়

গণনার ফলে নির্ধারিত হয়।

সমীকরণের ডানদিকে (18) তম নোডের কাছে আসা শাখাগুলিতে প্রবাহের গণনা করা মোট শক্তি।

আসুন এই সমীকরণগুলি (18) আকারে লিখি অবশিষ্টাংশ:

সমীকরণের অবশিষ্টাংশ (19) গণনার সাথে মিলে যায় ভারসাম্যহীনতাতম নোডে সক্রিয় এবং প্রতিক্রিয়াশীল শক্তি।

অবশিষ্টাংশ গিঁট মোড বর্ণনা і এবং নোডগুলিতে অজানা ভোল্টেজের অরৈখিক ফাংশন। এটি প্রয়োজনীয় যে -> 0।

আমরা নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতিতে সিস্টেমটি সমাধান করব 2nফর্মের সমীকরণ (19), অর্থাৎ, নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি বৈদ্যুতিক নেটওয়ার্কের স্থির অবস্থা গণনা করার সমস্যা সমাধান করতে, আপনার প্রয়োজন:

1) একটি সিস্টেম গঠন করুন 2nবৈদ্যুতিক নেটওয়ার্কের সমস্ত নোডের জন্য ফর্মের সমীকরণ (19), ভারসাম্য ব্যতীত;

2) নিউটন-রাফসন পদ্ধতির পুনরাবৃত্তিমূলক প্রক্রিয়া সংগঠিত করুন

সমীকরণ এই সিস্টেম সমাধান করতে. সিদ্ধান্তের ফলে

আমরা নোডগুলিতে প্রয়োজনীয় চাপের উপাদানগুলি পাই।

আসুন আমরা এই সমীকরণের সিস্টেমটিকে সাধারণ আকারে লিখি:

(20)

আমরা 2টি অরৈখিক সিস্টেম পেয়েছি অবশিষ্ট সমীকরণসঙ্গে 2 অজানা, যা. এর মধ্যে অজানা উপাদানগুলি হল ভোল্টেজ উপাদান - মডিউল এবং কোণ।

নিউটন-রাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেম (20) সমাধান করতে, আপনাকে লিখতে হবে সহায়কফর্মের সমীকরণের লিনিয়ারাইজড সিস্টেম (13), যার সমাধান করে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে আমরা অজানাগুলির সংশোধন নির্ধারণ করি:

(21)

গৃহীত স্বরলিপি বিবেচনা করে, সিস্টেম (21) লেখা যেতে পারে:

(22)

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স কোথায়, এর উপাদানগুলি সমস্ত অজানা - স্ট্রেস উপাদানগুলির ক্ষেত্রে সিস্টেমের সমীকরণের আংশিক ডেরিভেটিভ (20)

সিস্টেমের সমীকরণের অবশিষ্টাংশের ভেক্টর (20)। তাদের মানগুলি সমীকরণগুলিতে অজানাগুলির ধারাবাহিক অনুমান প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত করা হয়;

অজানা সংশোধনের ভেক্টর:

; ΔӨ আমি = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k)।

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি নির্ধারণ করতে আমরা ব্যবহার করি বিশ্লেষণাত্মক পার্থক্য, অর্থাৎ আমরা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ (20) প্রয়োজনীয় পরিমাণ - কোণ এবং স্ট্রেস মডিউল অনুসারে আলাদা করি। জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স গঠন করতে, আপনাকে নিম্নলিখিতগুলির ডেরিভেটিভগুলির জন্য বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তিগুলি পেতে হবে প্রজাতি:

1) একই নোডের ভোল্টেজ কোণের সাপেক্ষে তম নোডের সক্রিয় শক্তির জন্য অবশিষ্ট সমীকরণের ডেরিভেটিভ: ;

2) সংলগ্ন ভোল্টেজ কোণের সাপেক্ষে তম নোডের সক্রিয় শক্তির জন্য অবশিষ্ট সমীকরণের ডেরিভেটিভ জে-ম নোড: ;

3) ম নোডের সক্রিয় শক্তির অবশিষ্টাংশের ডেরিভেটিভ একই নোডের ভোল্টেজ মডিউল করে: ;

4) তম নোডের সক্রিয় শক্তির অবশিষ্টাংশের ডেরিভেটিভ সংলগ্ন নোডের ভোল্টেজ মডিউল করে: ;

আরও চার ধরনের ডেরিভেটিভ একইভাবে নির্ধারিত হয় - সমস্ত অজানাদের জন্য ম নোডের প্রতিক্রিয়াশীল শক্তির অবশিষ্টাংশের সমীকরণ থেকে ডেরিভেটিভস:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

এই ডেরিভেটিভগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে, জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্সকে সাধারণ আকারে লেখা যেতে পারে:

(23)

এর সংজ্ঞায়িত করা যাক বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তিডেরিভেটিভের জন্য, সিস্টেমের সমীকরণ (20) অজানা পরিমাণের সাথে পার্থক্য করা। তারা দেখতে একইরকম:

(24)

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সভি সাধারণ ক্ষেত্রে- একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, প্রতিসম, মাত্রা সহ, এর উপাদানগুলি সমস্ত অজানা বিষয়ে সমীকরণের অবশিষ্টাংশের (শক্তি ভারসাম্যহীনতা) আংশিক ডেরিভেটিভ।

যদি নোডগুলি আন্তঃসংযুক্ত না হয়, তবে ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট ডেরিভেটিভ, জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স, তির্যকের বাইরে অবস্থিত, শূন্যের সমান হবে (পরিবাহিতা ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ) - কারণ সংশ্লিষ্ট সূত্রে (24) পারস্পরিক পরিবাহিতা y ijএবং এর একটি ফ্যাক্টর। y ij =0.

ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি সিস্টেমের পরবর্তী সমীকরণের ডেরিভেটিভস (20)।

মডেল করা নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রামে বিশেষ নোডের উপস্থিতি (সাপোর্ট এবং ব্যালেন্সিং নোড, এফএম নোড) প্রভাবিত করে গঠনস্থির অবস্থার সমীকরণের সিস্টেম এবং জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের কাঠামোর উপর:

1. সঙ্গে নোড জন্য মডিউল ঠিক করাভোল্টেজ (এফএম), যেখানে প্রদত্ত এবং অজানা এবং জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স থেকে ছাঁটাডেরিভেটিভের লাইন (যখন থেকে প্রশ্ন iনির্দিষ্ট করা নেই, তাহলে প্রতিক্রিয়াশীল শক্তি ভারসাম্য সমীকরণ (18), (19) আঁকা যাবে না) এবং ডেরিভেটিভের কলাম (যেহেতু ভোল্টেজ মডিউল Uiপরিচিত এবং এটি অজানা তালিকা থেকে বাদ দেওয়া হয়)।

2. সমর্থন এবং ভারসাম্য নোডের জন্য, ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট সারি এবং কলামগুলি বাদ দেওয়া হয়;

3. যদি নোডগুলি সরাসরি সংযুক্ত না হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সে সংশ্লিষ্ট ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান।

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সকে চার ভাগে ভাগ করা যায় ব্লক:

1) - ভারসাম্যহীন সমীকরণ থেকে ডেরিভেটিভস সক্রিয়শক্তি (20) দ্বারা কোণচাপ

2) - ভারসাম্যহীন সমীকরণের ডেরিভেটিভস সক্রিয়ক্ষমতার দ্বারা মডিউলচাপ

3) - ভারসাম্যহীন সমীকরণের ডেরিভেটিভস প্রতিক্রিয়াশীলশক্তি (20) দ্বারা কোণচাপ

4) - ভারসাম্যহীন সমীকরণের ডেরিভেটিভস প্রতিক্রিয়াশীলক্ষমতার দ্বারা মডিউলচাপ

এগুলি অজানা কোণ এবং ভোল্টেজ মডিউলগুলিতে সক্রিয় এবং প্রতিক্রিয়াশীল শক্তিগুলির ভারসাম্যহীনতার আংশিক ডেরিভেটিভের ম্যাট্রিক্স-কোষ। সাধারণভাবে, এগুলি মাত্রার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স n×n.

এটি বিবেচনায় নিয়ে, জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে ব্লকম্যাট্রিক্স:

কোথায় অজানা পরিমাণের সাবভেক্টর।

এটি বিবেচনায় নিয়ে, তারপর সমীকরণের রৈখিক সিস্টেম (22) আকারে লেখা যেতে পারে:

. (25)

এই সমাধান লিনিয়ার সিস্টেমসমীকরণ (কোন পরিচিত পদ্ধতি দ্বারা) অন

পদ্ধতির প্রতিটি পুনরাবৃত্তির জন্য, আমরা অজানা সংশোধনগুলি খুঁজে পাই এবং তারপরে

নিয়মিত সমীপবর্তীঅজানা:

(26)

অজানা পরবর্তী অনুমান এছাড়াও ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে পুনরাবৃত্তি সূত্রনিউটন-র্যাফসন পদ্ধতি, অনুরূপ (15):

- · (27)

এর জন্য প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সকে উল্টানো প্রয়োজন - একটি কষ্টকর গণনামূলক অপারেশন।

নিউটন-রাফসন পদ্ধতি ব্যবহার করে স্থির-স্থিতি সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

1. অজানা ভোল্টেজের প্রাথমিক মান নির্ধারণ করা। প্রাথমিক অনুমান হিসাবে আমরা গ্রহণ করি: , অর্থাৎ নোডের রেট করা ভোল্টেজ;

2. গণনার শর্ত সেট করা: নির্ভুলতা ε , সর্বাধিক সংখ্যক পুনরাবৃত্তি, ত্বরিত সহগ, ইত্যাদি।

3. সমীকরণের অবশিষ্টাংশের নির্ণয় সমীকরণ অনুযায়ী (20) অজানাগুলির ধারাবাহিক অনুমান সহ;

4. জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির নির্ণয় (24) অজানাগুলির ধারাবাহিক অনুমান অনুসারে;

5. সমীকরণের রৈখিক পদ্ধতির সমাধান (25) এবং অজানাদের সংশোধন নির্ধারণ;

6. (26) অনুসারে অজানাদের পরবর্তী অনুমান নির্ধারণ;

7. পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার সমাপ্তি পরীক্ষা করা হচ্ছে:

সমস্ত নোডের সমীকরণের অবশিষ্ট মান অবশ্যই নির্দিষ্ট নির্ভুলতার চেয়ে কম হতে হবে।

যদি শর্ত পূরণ না হয়, তাহলে পয়েন্ট 3 এ ফিরে যান এবং অজানাদের নতুন অনুমান সহ গণনাটি পুনরাবৃত্তি করুন।

একটি সংখ্যা আছে নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতির পরিবর্তন।সহ:

1. পরিবর্তিত নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতি।

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স অজানা প্রাথমিক মানের জন্য একবার গণনা করা হয়। পরবর্তী পুনরাবৃত্তিতে এটি গৃহীত হয় ধ্রুবক. এটি প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করে, তবে পুনরাবৃত্তির সংখ্যা বৃদ্ধি করে।

2. বিভক্ত নিউটন-র্যাফসন পদ্ধতি।

ফর্মের ডেরিভেটিভগুলি খুব ছোট এবং তাদের মানগুলি উপেক্ষা করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সে দুটি ব্লক রয়ে গেছে - ১ম এবং ৪র্থ, এবং সিস্টেম (২৫), সমীকরণ সমন্বিত। বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়মাত্রার দুটি স্বাধীন সিস্টেমে এই সিস্টেমগুলির প্রতিটি অন্যটির থেকে আলাদাভাবে সমাধান করা হয়। এটি গণনার পরিমাণ এবং প্রয়োজনীয় কম্পিউটার মেমরির হ্রাসের দিকে পরিচালিত করে।