Při rozhodování různé úkoly fyzika, chemie, matematika a další exaktní vědyčasto používaný matematické modely ve formě rovnic týkajících se jedné nebo více nezávislých proměnných, neznámé funkce těchto proměnných a derivací (nebo diferenciálů) této funkce. Tento druh rovnice se nazývají diferenciální.
Pokud existuje pouze jedna nezávislá proměnná, pak se rovnice nazývá obyčejná; pokud existují dvě nebo více nezávislých proměnných, pak se rovnice nazývá parciální diferenciální rovnice. Pro získání vysoce kvalifikovaných odborníků na všech univerzitách, kde se studují exaktní obory, je nutný kurz diferenciálních rovnic. Pro některé studenty je těžká teorie, praxe je boj, pro jiné je obtížná teorie i praxe. Pokud analyzujete diferenciální rovnice z praktického hlediska, pak k jejich výpočtu potřebujete pouze umět integrovat a brát derivace. Všechny ostatní transformace se skládají z několika schémat, která lze pochopit a studovat. Níže budeme studovat základní definice a metodu pro řešení jednoduchého DR.

Teorie diferenciálních rovnic

Definice: Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, která spojuje nezávisle proměnnou x, funkci y(x), její derivace y"(x), y n (x) a má obecná formaF(x,y(x),y" (x), …, yn (x))=0
Diferenciální rovnice(DR) se nazývá buď obyčejná diferenciální rovnice nebo parciální diferenciální rovnice. Řád diferenciální rovnice je určeno řádem nejvyšší derivace (n), která je zahrnuta v této diferenciální rovnici.

Obecné řešení diferenciální rovnice je funkce, která obsahuje tolik konstant, jako je řád diferenciální rovnice, a jejichž dosazením do dané diferenciální rovnice se změní na identitu, to znamená, že má tvar y=f(x, C 1, C 2 , ..., C n).
Obecné řešení, které není vyřešeno vzhledem k y(x) a má tvar F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0, se nazývá obecný integrál diferenciální rovnice.
Řešení nalezené z obecného pro pevné hodnoty konstant C 1 , C 2 , …, C n se nazývá soukromé řešení diferenciální rovnice.
Volá se současná specifikace diferenciální rovnice a odpovídajícího počtu počátečních podmínek Cauchy problém.
F(x,y,Ci,C2,…,Cn)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0) = y n (0)
Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu nazývá rovnice tvaru
F(x, y, y")=0. (1)
Integrál rovnice(1) se nazývá relace tvaru Ф (x,y)=0, jestliže každá spojitě derivovaná funkce jím implicitně určená je řešením rovnice (1).
Rovnice, která má tvar (1) a nelze ji redukovat jednoduchý pohled se nazývá rovnice, nerozhodnutelný s ohledem na derivát. Pokud to lze napsat ve tvaru
y" = f(x,y), pak se nazývá vyřešená rovnice pro derivaci.
Cauchyho úloha pro rovnici prvního řádu obsahuje pouze jednu počáteční podmínku a má tvar:
F(x,y,y")=0
y(x 0) = y 0 .
Rovnice formuláře
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
kde proměnné x i y jsou "symetrické": můžeme předpokládat, že x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná, nebo naopak y je nezávislá proměnná a x je závislá proměnná, tzv. rovnice v symetrickém tvaru.
Geometrický význam diferenciální rovnice prvního řádu
y"=f(x,y) (3)
je následující.
Tato rovnice vytváří spojení (závislost) mezi souřadnicemi bodu (x;y) a sklonem y" tečny k integrální křivce procházející tímto bodem. Rovnice y"= f(x,y) je tedy sada pokyny (pole s pokyny) na kartézské Oxy rovině.
Křivka vytvořená v bodech, ve kterých je směr pole stejný, se nazývá izoklina. Izokliny lze použít k aproximaci konstrukce integrálních křivek. Rovnici izokliny lze získat tak, že derivaci dáme rovno konstantě y"=C
f(x, y)=C - izoklinová rovnice..
Integrální přímka rovnice(3) se nazývá graf řešení této rovnice.
Nazývají se obyčejné diferenciální rovnice, jejichž řešení lze analyticky specifikovat y=g(x). integrovatelné rovnice.
Rovnice formuláře
M 0 (x) dx + N 0 (y) dy = 0 (3)
jsou nazývány rovnice se samostatnými záměnnými.
Od nich začneme naše seznámení s diferenciálními rovnicemi. Proces hledání řešení DR se nazývá integrace diferenciální rovnice.

Oddělené proměnné rovnice

Příklad 1. Najděte řešení rovnice y"=x.
Zkontrolujte řešení.
Řešení: Napište rovnici v diferenciálech
dy/dx=x nebo dy=x*dx.
Pojďme najít integrál pravé a levé strany rovnice
int(dy)=int(x*dx);
y=x2/2+C.
Toto je integrál DR.
Zkontrolujme její správnost a vypočítejme derivaci funkce
y"=1/2*2x+0=x.
Jak vidíte, obdrželi jsme originální DR, takže výpočty jsou správné.
Právě jsme našli řešení diferenciální rovnice prvního řádu. To je přesně jednodušší rovnice, což si lze představit.

Příklad 2 Najděte obecný integrál diferenciální rovnice
(x+1)y"=y+3
Řešení: Zapišme původní rovnici v diferenciálech
(x+1)dy=(y+3)dx.
Výsledná rovnice je redukována na DR s oddělenými proměnnými

Zbývá jen vzít integrál obou stran

Pomocí tabulkových vzorců najdeme
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Pokud vystavíme obě části, dostaneme
y+3=e ln|x+1|+C nebo y=e ​​ln|x+1|+C -3.
Tento zápis je správný, ale není kompaktní.
V praxi se používá jiná technika, při výpočtu integrálu se konstanta zadává pod logaritmus
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
Podle vlastností logaritmu to umožňuje sbalit poslední dva členy
ln|y+3|=ln(С|x+1|).
Teď při vystavování řešení diferenciální rovnice bude kompaktní a snadno čitelný
y=С|x+1|+3
Pamatujte na toto pravidlo, v praxi se používá jako výpočtový standard.

Příklad 3 Řešte diferenciální rovnici
y"=-y*sin(x).
Řešení: Pojďme si to zapsat rovnice v diferenciálech
dy/dx= y*sin(x)
nebo po přeskupení faktorů ve formuláři oddělené rovnice
dy/ y=-sin(x)dx.
Zbývá integrovat rovnici
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Konstantu je vhodné zadat pod logaritmem, a to i se zápornou hodnotou, aby ji bylo možné přenést do levá strana dostat
ln|С*y|=cos(x).
Odhalení obou částí závislosti
С*y=exp(cos(x)).
To je to, co to je. Můžete to nechat tak, jak je, nebo to můžete trvale převést na pravá strana

Výpočty nejsou složité, integrály lze ve většině případů najít i pomocí tabulkových integračních vzorců.

Příklad 4. Vyřešte Cauchyho problém
y"=y+x, y(1)=e3-2.
Řešení: Předběžné transformace zde již nebudou probíhat. Rovnice je však lineární a poměrně jednoduchá. V takových případech musíte zavést novou proměnnou
z=y+x.
Pamatujte, že y=y(x) najdeme derivaci z.
z"= y"+1,
odkud vyjadřujeme starou derivaci
y"= z"-1.
Toto vše dosadíme do původní rovnice
z"-1=z nebo z"=z+1.
Pojďme to napsat diferenciální rovnice přes diferenciály
dz=(z+1)dx.
Oddělování proměnných v rovnici

Zbývá jen vypočítat jednoduché integrály, které zvládne každý

Odhalíme závislost, abychom se zbavili logaritmu funkce
z+1=e x+C nebo z=e x+1-1
Nezapomeňte se vrátit k dokončené výměně.
z=x+y= e x+С -1,
napiš to odtud společné rozhodnutí diferenciální rovnice
y= ex+C-x-1.
Najděte řešení Cauchyho problému v DR in v tomto případě není těžký. Vypíšeme Cauchyho podmínku
y(1)=e3-2
a nahradit do řešení, které jsme právě našli
e1 + C-1-1 = e3-2.
Odtud dostáváme podmínku pro výpočet konstanty
1+C=3; C=3-1=2.
Nyní můžeme psát řešení Cauchyho problému (částečné řešení DR)
y= e x+2-x-1.
Pokud umíte dobře integrovat, a navíc vám to jde s derivacemi, tak téma diferenciálních rovnic nebude překážkou ve vašem vzdělávání.
Při dalším studiu budete muset prostudovat několik důležitých diagramů, abyste mohli rozlišovat mezi rovnicemi a věděli, která substituce nebo technika v každém případě funguje.
Poté vás čekají homogenní a nehomogenní DR, diferenciální rovnice prvního a vyššího řádu. Abychom vás nezatěžovali teorií, v následujících lekcích uvedeme pouze typ rovnic a stručné schéma pro jejich výpočty. Celou teorii si můžete přečíst z metodická doporučení studovat kurz" Diferenciální rovnice" (2014) autoři Bokalo Nikolay Mikhailovich, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. Můžete použít jiné zdroje, které obsahují vysvětlení teorie diferenciálních rovnic, kterým rozumíte. Hotové příklady pro diferenciál. rovnice převzaté z programu pro matematiky LNU pojmenovaného po. I. Frank.
Víme, jak řešit diferenciální rovnice a budeme se o to snažit lehká cesta vštípit vám toto poznání.

diferenciální rovnice (DE) - to je rovnice,
kde jsou nezávislé proměnné, y je funkce a jsou parciální derivace.

Obyčejná diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, která má pouze jednu nezávislou proměnnou, .

Parciální diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, která má dvě nebo více nezávislých proměnných.

Slova „obyčejná“ a „parciální derivace“ mohou být vynechána, pokud je jasné, o jakou rovnici se uvažuje. V následujícím textu jsou uvažovány obyčejné diferenciální rovnice.

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace.

Zde je příklad rovnice prvního řádu:

Zde je příklad rovnice čtvrtého řádu:

Někdy je diferenciální rovnice prvního řádu napsána z hlediska diferenciálů:

V tomto případě jsou proměnné x a y stejné. To znamená, že nezávislá proměnná může být buď x nebo y. V prvním případě je y funkcí x. Ve druhém případě je x funkcí y. V případě potřeby můžeme tuto rovnici zredukovat na tvar, který explicitně zahrnuje derivaci y′.
Vydělením této rovnice dx dostaneme:
.
Od a z toho vyplývá
.

Řešení diferenciálních rovnic

Deriváty z elementární funkce jsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí. Integrály elementárních funkcí se často nevyjadřují pomocí elementárních funkcí. S diferenciálními rovnicemi je situace ještě horší. V důsledku řešení můžete získat:

• explicitní závislost funkce na proměnné;

  Řešení diferenciální rovnice je funkce y = u (X), který je definován, n krát diferencovatelný a .

• implicitní závislost ve tvaru rovnice typu Φ (x, y) = 0 nebo soustavy rovnic;

  Integrál diferenciální rovnice je řešením diferenciální rovnice, která má implicitní tvar.

• závislost vyjádřená elementárními funkcemi a integrály z nich;

  Řešení diferenciální rovnice v kvadraturách - jedná se o nalezení řešení v podobě kombinace elementárních funkcí a jejich integrálů.

• řešení nesmí být vyjádřeno elementárními funkcemi.

Protože řešení diferenciálních rovnic sestává z počítání integrálů, řešení zahrnuje množinu konstant C 1, C 2, C 3, ... C n. Počet konstant je roven řádu rovnice. Parciální integrál diferenciální rovnice je obecný integrál pro dané hodnoty konstant C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Reference:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálních rovnic, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, „Lan“, 2003.

Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, která dává do vztahu nezávislou proměnnou, neznámou funkci této proměnné a její derivace (nebo diferenciály) různých řádů.

Řád diferenciální rovnice se nazývá řád nejvyšší derivace v něm obsažené.

Kromě obyčejných se studují i ​​parciální diferenciální rovnice. Jedná se o rovnice týkající se nezávislých proměnných, neznámé funkce těchto proměnných a jejích parciálních derivací vzhledem ke stejným proměnným. Ale budeme jen zvažovat obyčejné diferenciální rovnice a proto pro stručnost vynecháme slovo „obyčejný“.

Příklady diferenciálních rovnic:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Rovnice (1) je čtvrtého řádu, rovnice (2) je třetího řádu, rovnice (3) a (4) jsou druhého řádu, rovnice (5) je prvního řádu.

Diferenciální rovnice nřád nemusí nutně obsahovat explicitní funkci, všechny její derivace od prvního do n-tého řádu a nezávisle proměnná. Nesmí explicitně obsahovat deriváty určitých řádů, funkci nebo nezávislou proměnnou.

Například v rovnici (1) zjevně nejsou žádné derivace třetího a druhého řádu, stejně jako funkce; v rovnici (2) - derivace druhého řádu a funkce; v rovnici (4) - nezávislá proměnná; v rovnici (5) - funkce. Pouze rovnice (3) obsahuje explicitně všechny derivace, funkci a nezávislou proměnnou.

Řešení diferenciální rovnice volá se každá funkce y = f(x), při dosazení do rovnice se změní na identitu.

Proces hledání řešení diferenciální rovnice se nazývá její integrace.

Příklad 1. Najděte řešení diferenciální rovnice.

Řešení. Zapišme tuto rovnici ve tvaru . Řešením je najít funkci z její derivace. Původní funkce, jak je známo z integrálního počtu, je primitivní pro, tzn.

Tak to je řešení této diferenciální rovnice . Mění se v něm C, získáme různá řešení. Zjistili jsme, že existuje nekonečný počet řešení diferenciální rovnice prvního řádu.

Obecné řešení diferenciální rovnice nřád je jeho řešení, vyjádřené explicitně s ohledem na neznámou funkci a obsahující n nezávislé libovolné konstanty, tzn.

Řešení diferenciální rovnice v příkladu 1 je obecné.

Částečné řešení diferenciální rovnice nazývá se řešení, ve kterém jsou libovolné konstanty uvedeny konkrétní číselné hodnoty.

Příklad 2 Najděte obecné řešení diferenciální rovnice a konkrétní řešení pro .

Řešení. Integrujme obě strany rovnice tolikrát, kolikrát je řád diferenciální rovnice.

,

.

V důsledku toho jsme obdrželi obecné řešení -

dané diferenciální rovnice třetího řádu.

Nyní najdeme konkrétní řešení za zadaných podmínek. Chcete-li to provést, nahraďte jejich hodnoty místo libovolných koeficientů a získejte

.

Pokud je kromě diferenciální rovnice uvedena počáteční podmínka ve tvaru , pak se takový problém nazývá Cauchy problém . Dosaďte hodnoty a do obecného řešení rovnice a najděte hodnotu libovolné konstanty C a poté konkrétní řešení rovnice pro nalezenou hodnotu C. Toto je řešení Cauchyho problému.

Příklad 3 Vyřešte Cauchyho úlohu pro diferenciální rovnici z příkladu 1 s výhradou .

Řešení. Dosadíme hodnoty z počáteční podmínky do obecného řešení y = 3, X= 1. Dostáváme

Zapíšeme řešení Cauchyho úlohy pro tuto diferenciální rovnici prvního řádu:

Řešení diferenciálních rovnic, i těch nejjednodušších, vyžaduje dobré integrační a derivační dovednosti, včetně komplexních funkcí. To je vidět na následujícím příkladu.

Příklad 4. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice.

Řešení. Rovnice je napsána v takovém tvaru, že můžete okamžitě integrovat obě strany.

.

Aplikujeme metodu integrace změnou proměnné (substitucí). Nechte to být.

Nutno vzít dx a teď - pozor - to děláme podle pravidel diferenciace komplexní funkce, protože X a tam je komplexní funkce("jablko" - extrakce odmocnina nebo, co je totéž - zvýšení na sílu „na polovinu“ a „mleté ​​maso“ je samotný výraz pod kořenem):

Najdeme integrál:

Návrat k proměnné X, dostaneme:

.

Toto je obecné řešení této diferenciální rovnice prvního stupně.

Při řešení diferenciálních rovnic budou vyžadovány nejen dovednosti z předchozích oddílů vyšší matematiky, ale také dovednosti z elementární, tedy školní matematiky. Jak již bylo zmíněno, v diferenciální rovnici libovolného řádu nemusí existovat nezávislá proměnná, tedy proměnná X. Tento problém pomohou vyřešit znalosti o proporcích ze školy, na které se nezapomnělo (ovšem podle koho) ze školy. Toto je další příklad.

Diferenciální rovnice prvního řádu. Příklady řešení.
Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Diferenciální rovnice (DE). Tato dvě slova obyčejného člověka obvykle děsí. Diferenciální rovnice se zdají být pro mnoho studentů něčím zakazujícím a obtížně zvládnutelným. Uuuuuu... diferenciální rovnice, jak tohle všechno přežiju?!

Tento názor a tento postoj je zásadně špatný, protože ve skutečnosti DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE – JE TO JEDNODUCHÉ A DOKONCE ZÁBAVNÉ. Co potřebujete vědět a umět, abyste se naučili řešit diferenciální rovnice? Chcete-li úspěšně studovat difuze, musíte být dobří v integraci a rozlišování. Čím lépe se témata studují Derivace funkce jedné proměnné A Neurčitý integrál, tím snazší bude porozumět diferenciálním rovnicím. Řeknu více, pokud máte více či méně slušné integrační schopnosti, pak je téma téměř zvládnuto! Čím více integrálů různé typy víte, jak se rozhodnout - tím lépe. Proč? Budete se muset hodně integrovat. A rozlišovat. Taky vřele doporučuji naučit se najít.

V 95 % případů v testy Existují 3 typy diferenciálních rovnic prvního řádu: oddělitelné rovnice na které se podíváme v této lekci; homogenní rovnice A lineární nehomogenní rovnice. Těm, kteří začínají studovat difuzéry, doporučuji přečíst si lekce přesně v tomto pořadí a po prostudování prvních dvou článků nebude na škodu upevnit své dovednosti na dalším workshopu - rovnice redukující na homogenní.

Existují ještě vzácnější typy diferenciálních rovnic: totální diferenciální rovnice, Bernoulliho rovnice a některé další. Nejdůležitější z posledních dvou typů jsou rovnice v totálních diferenciálech, protože kromě této diferenciální rovnice uvažuji nový materiál – částečná integrace.

Pokud vám zbývá jen den nebo dva, Že pro ultra rychlou přípravu Tady je bleskový kurz ve formátu pdf.

Takže orientační body jsou nastaveny - pojďme:

Nejprve si připomeňme obvyklé algebraické rovnice. Obsahují proměnné a čísla. Nejjednodušší příklad: . Co to znamená vyřešit obyčejnou rovnici? To znamená najít sada čísel, které splňují tuto rovnici. Je snadné si všimnout, že dětská rovnice má jediný kořen: . Jen pro zábavu, pojďme zkontrolovat a dosadit nalezený kořen do naší rovnice:

– je získána správná rovnost, což znamená, že řešení bylo nalezeno správně.

Difuzory jsou navrženy v podstatě stejným způsobem!

Diferenciální rovnice první objednávka PROTI obecný případ obsahuje:
1) nezávislá proměnná;
2) závislá proměnná (funkce);
3) první derivace funkce: .

V některých rovnicích 1. řádu nemusí být žádné „x“ a/nebo „y“, ale to není podstatné – Důležité jít do řídící místnosti byl první derivace a neměl deriváty vyšších řádů – atd.

Co znamená ?Řešení diferenciální rovnice znamená hledání sada všech funkcí, které splňují tuto rovnici. Taková množina funkcí má často tvar (– libovolná konstanta), který se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice.

Příklad 1

Řešte diferenciální rovnici

Plná munice. Kde začít řešení?

Nejdříve je potřeba přepsat derivaci do trochu jiné podoby. Připomínáme těžkopádné označení, které se mnohým z vás pravděpodobně zdálo směšné a zbytečné. To v difuzérech vládne!

Ve druhém kroku se podívejme, zda je to možné samostatné proměnné? Co to znamená oddělovat proměnné? Zhruba řečeno, na levé straně musíme odejít pouze "Řekové", A na pravé straně organizovat pouze "X". Rozdělení proměnných se provádí pomocí „školních“ manipulací: jejich vyjmutí ze závorek, přenos termínů z části do části se změnou znaménka, přenos faktorů z části do části podle pravidla proporce atd.

Diferenciály a jsou plnými multiplikátory a aktivními účastníky nepřátelských akcí. V uvažovaném příkladu lze proměnné snadno oddělit házením faktorů podle pravidla proporce:

Proměnné jsou odděleny. Na levé straně jsou pouze „Y“, na pravé straně pouze „X“.

Další fáze - integrace diferenciální rovnice. Je to jednoduché, integrály vložíme na obě strany:

Samozřejmě musíme vzít integrály. V tomto případě jsou tabulkové:

Jak si pamatujeme, konstanta je přiřazena libovolnému primitivnímu prvku. Jsou zde dva integrály, ale konstantu stačí napsat jednou (protože konstanta + konstanta se stále rovná jiné konstantě). Ve většině případů je umístěn na pravé straně.

Přísně vzato, po sečtení integrálů se diferenciální rovnice považuje za vyřešenou. Jediná věc je, že naše „y“ není vyjádřeno pomocí „x“, to znamená, že je prezentováno řešení v implicitním formulář. Řešení diferenciální rovnice v implicitním tvaru se nazývá obecný integrál diferenciální rovnice. To znamená, že se jedná o obecný integrál.

Odpověď v této podobě je celkem přijatelná, ale existuje lepší varianta? Zkusme se dostat společné rozhodnutí.

Prosím, pamatujte na první techniku, je velmi běžné a často se používá v praktické úkoly: pokud se po integraci objeví logaritmus na pravé straně, pak v mnoha případech (ale ne vždy!) je také vhodné zapsat konstantu pod logaritmus.

to znamená, NAMÍSTO zápisy se obvykle píší .

Proč je to nutné? A aby bylo snazší vyjádřit „hru“. Použití vlastnosti logaritmů . V tomto případě:

Nyní lze odstranit logaritmy a moduly:

Funkce je uvedena explicitně. Toto je obecné řešení.

Odpovědět: společné rozhodnutí: .

Odpovědi na mnoho diferenciálních rovnic lze poměrně snadno zkontrolovat. V našem případě se to dělá docela jednoduše, vezmeme nalezené řešení a rozlišíme ho:

Poté derivaci dosadíme do původní rovnice:

– je získána správná rovnost, což znamená, že obecné řešení vyhovuje rovnici, což je potřeba zkontrolovat.

Zadáním různých hodnot konstanty můžete získat nekonečný počet soukromá řešení diferenciální rovnice. Je jasné, že některá z funkcí , atd. vyhovuje diferenciální rovnici.

Někdy se nazývá obecné řešení rodina funkcí. V tomto příkladu obecné řešení - to je rodina lineární funkce nebo spíše rodina přímé úměrnosti.

Po důkladném prostudování prvního příkladu je vhodné zodpovědět několik naivních otázek o diferenciálních rovnicích:

1)V tomto příkladu jsme byli schopni oddělit proměnné. Dá se to udělat vždy? Ne vždy. A ještě častěji nelze proměnné oddělit. Například v homogenní rovnice prvního řádu, musíte jej nejprve vyměnit. V jiných typech rovnic, například v lineární nehomogenní rovnici prvního řádu, musíte použít různé techniky a metody pro nalezení obecného řešení. Rovnice se separovatelnými proměnnými, o kterých uvažujeme v první lekci - nejjednodušší typ diferenciální rovnice.

2) Je vždy možné integrovat diferenciální rovnici? Ne vždy. Je velmi snadné přijít s „vymyšlenou“ rovnicí, kterou nelze integrovat, navíc existují integrály, které nelze vzít. Ale podobné DE lze vyřešit přibližně pomocí speciální metody. D’Alembert a Cauchy zaručují... ...fuj, číhá se víc.

3) V tomto příkladu jsme dostali řešení ve formě obecného integrálu . Je vždy možné najít obecné řešení z obecného integrálu, tedy explicitně vyjádřit „y“? Ne vždy. Například: . No, jak tady můžete vyjádřit „řecky“?! V takových případech by měla být odpověď zapsána jako obecný integrál. Někdy je navíc možné najít obecné řešení, ale je napsáno tak těžkopádně a neobratně, že je lepší nechat odpověď ve formě obecného integrálu

4) ...snad to zatím stačí. V prvním příkladu jsme se setkali Další důležitý bod , ale tak, aby „figuríny“ nezasypala lavina nová informace, nechám to na další lekci.

Nebudeme spěchat. Další jednoduché dálkové ovládání a další typické řešení:

Příklad 2

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku

Řešení: podle stavu je třeba najít soukromé řešení DE, které splňuje danou počáteční podmínku. Tato formulace otázky se také nazývá Cauchy problém.

Nejprve najdeme obecné řešení. V rovnici není žádná proměnná „x“, ale to by nemělo zmást, hlavní věc je, že má první derivaci.

Derivaci přepíšeme do požadovaného tvaru:

Je zřejmé, že proměnné lze oddělit, chlapci vlevo, dívky vpravo:

Pojďme integrovat rovnici:

Získá se obecný integrál. Zde jsem nakreslil konstantu s hvězdičkou, faktem je, že se velmi brzy změní na jinou konstantu.

Nyní se pokusíme převést obecný integrál na obecné řešení (explicitně vyjádřit „y“). Připomeňme si staré dobré věci ze školy: . V tomto případě:

Konstanta v indikátoru vypadá nějak nekošer, takže je obvykle přivedena k zemi. V detailu se to děje takto. Pomocí vlastnosti stupňů přepíšeme funkci takto:

Jestliže je konstanta, pak je také nějaká konstanta, přejmenujme ji na písmeno:

Pamatujte, že „demolování“ je konstanta druhá technika, který se často používá při řešení diferenciálních rovnic.

Takže obecné řešení je: . Toto je pěkná rodina exponenciálních funkcí.

V konečné fázi musíte najít konkrétní řešení, které splňuje danou výchozí podmínku. To je také jednoduché.

jaký je úkol? Nutno vyzvednout takový hodnotu konstanty tak, aby byla podmínka splněna.

Lze jej formátovat různými způsoby, ale toto bude pravděpodobně nejpřehlednější způsob. V obecném řešení místo „X“ dosadíme nulu a místo „Y“ dosadíme dvojku:



to znamená,

Standardní provedení:

Nyní dosadíme nalezenou hodnotu konstanty do obecného řešení:
– toto je konkrétní řešení, které potřebujeme.

Odpovědět: soukromé řešení:

Pojďme zkontrolovat. Kontrola soukromého řešení zahrnuje dvě fáze:

Nejprve musíte zkontrolovat, zda konkrétní nalezené řešení skutečně splňuje počáteční podmínku? Místo „X“ dosadíme nulu a uvidíme, co se stane:
- ano, skutečně byla přijata dvojka, což znamená, že počáteční podmínka je splněna.

Druhá etapa je již známá. Vezmeme výsledné konkrétní řešení a najdeme derivaci:

Do původní rovnice dosadíme:

– je dosaženo správné rovnosti.

Závěr: konkrétní řešení bylo nalezeno správně.

Pojďme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 3

Řešte diferenciální rovnici

Řešení: Přepíšeme derivaci do tvaru, který potřebujeme:

Vyhodnotíme, zda je možné oddělit proměnné? Umět. Přesuneme druhý člen na pravou stranu se změnou znaménka:

A převedeme multiplikátory podle pravidla proporce:

Proměnné jsou oddělené, integrujme obě části:

Musím vás varovat, soudný den se blíží. Pokud jste se dobře neučili neurčité integrály, vyřešili pár příkladů, pak už není kam jít - teď je budete muset zvládnout.

Integrál levé strany lze snadno najít, s integrálem kotangens se zabýváme standardní technikou, na kterou jsme se podívali v lekci Integrace goniometrických funkcí minulý rok:

Na pravé straně máme logaritmus a podle mého prvního technického doporučení by měla být konstanta také zapsána pod logaritmus.

Nyní se pokusíme obecný integrál zjednodušit. Protože máme pouze logaritmy, je docela možné (a nutné) se jich zbavit. Používáním známé vlastnosti Logaritmy co nejvíce „balíme“. Napíšu to velmi podrobně:

Obal je dokončen tak, aby byl barbarsky potrhaný:

Dá se vyjádřit „hra“? Umět. Obě části je nutné zarovnat.

Ale nemusíte to dělat.

Třetí technický tip: pokud je k získání obecného řešení nutné pozvednout moc nebo zakořenit, pak Většinou měli byste se těchto akcí zdržet a nechat odpověď ve formě obecného integrálu. Faktem je, že obecné řešení bude vypadat prostě strašně - s velkými kořeny, značkami a jinými odpadky.

Proto zapíšeme odpověď ve tvaru obecného integrálu. Za dobrou praxi se považuje uvádět jej ve tvaru , tedy na pravé straně, pokud je to možné, ponechat pouze konstantu. Není to nutné, ale potěšit pana profesora je vždy výhodné ;-)

Odpovědět: obecný integrál:

! Poznámka: Obecný integrál libovolné rovnice lze zapsat více než jedním způsobem. Pokud se tedy váš výsledek neshoduje s dříve známou odpovědí, neznamená to, že jste rovnici vyřešili špatně.

Obecný integrál se také celkem snadno kontroluje, hlavní je umět najít derivace implicitně zadané funkce. Rozlišujme odpověď:

Oba pojmy vynásobíme:

A rozdělit podle:

Původní diferenciální rovnice byla získána přesně, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 4

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí.

Dovolte mi připomenout, že algoritmus se skládá ze dvou fází:
1) nalezení obecného řešení;
2) nalezení požadovaného konkrétního řešení.

Kontrola se také provádí ve dvou krocích (viz ukázka v příkladu č. 2), je třeba:
1) ujistěte se, že konkrétní nalezené řešení splňuje počáteční podmínku;
2) zkontrolujte, zda konkrétní řešení obecně vyhovuje diferenciální rovnici.

Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Příklad 5

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice , splňující počáteční podmínku. Proveďte kontrolu.

Řešení: Nejprve najdeme obecné řešení.Tato rovnice již obsahuje hotové diferenciály a proto je řešení zjednodušené. Oddělujeme proměnné:

Pojďme integrovat rovnici:

Integrál vlevo je tabulkový, integrál vpravo je vzat metoda přičtení funkce pod diferenciální znaménko:

Obecný integrál byl získán, je možné úspěšně vyjádřit obecné řešení? Umět. Logaritmy zavěsíme na obě strany. Protože jsou kladné, jsou znaménka modulu zbytečná:

(Doufám, že každý chápe proměnu, takové věci by už měly být známé)

Takže obecné řešení je:

Pojďme najít konkrétní řešení odpovídající dané počáteční podmínce.
V obecném řešení místo „X“ dosadíme nulu a místo „Y“ dosadíme logaritmus dvou:

Známější design:

Nalezenou hodnotu konstanty dosadíme do obecného řešení.

Odpovědět: soukromé řešení:

Kontrola: Nejprve zkontrolujte, zda je splněna počáteční podmínka:
- všechno je dobré.

Nyní zkontrolujeme, zda nalezené konkrétní řešení vůbec vyhovuje diferenciální rovnici. Hledání derivátu:

Podívejme se na původní rovnici: – uvádí se v diferenciálech. Existují dva způsoby kontroly. Je možné vyjádřit diferenciál z nalezené derivace:

Do původní rovnice dosadíme nalezené partikulární řešení a výsledný diferenciál :

Používáme základní logaritmickou identitu:

Je získána správná rovnost, což znamená, že konkrétní řešení bylo nalezeno správně.

Druhý způsob kontroly je zrcadlený a známější: z rovnice Vyjádřeme derivaci, abychom to udělali, rozdělíme všechny části takto:

A do transformovaného DE dosadíme získané parciální řešení a nalezenou derivaci. V důsledku zjednodušení by také mělo být dosaženo správné rovnosti.

Příklad 6

Řešte diferenciální rovnici. Uveďte odpověď ve formě obecného integrálu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami, kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Jaké potíže čekají při řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými?

1) Není vždy zřejmé (zejména pro „konvičku“), že proměnné lze oddělit. Uvažujme podmíněný příklad: . Zde musíte vyjmout faktory ze závorek: a oddělit kořeny: . Je jasné, co dělat dál.

2) Potíže se samotnou integrací. Integrály často nejsou nejjednodušší, a pokud existují nedostatky v dovednostech hledání neurčitý integrál, pak to bude s mnoha difuzory těžké. Navíc logika „když je diferenciální rovnice jednoduchá, ať jsou integrály alespoň složitější“ je oblíbená mezi sestavovateli sbírek a školicích příruček.

3) Transformace s konstantou. Jak si každý všiml, s konstantou v diferenciálních rovnicích lze zacházet zcela volně a některé transformace nejsou začátečníkovi vždy jasné. Podívejme se na další podmíněný příklad: . Je vhodné vynásobit všechny výrazy 2: . Výsledná konstanta je také nějaký druh konstanty, kterou lze označit: . Ano, a protože na pravé straně je logaritmus, je vhodné konstantu přepsat ve formě jiné konstanty: .

Problém je v tom, že se často neobtěžují s indexy a používají stejné písmeno. V důsledku toho má záznam o rozhodnutí následující podobu:

Jaký druh kacířství? Jsou tam chyby! Přesně řečeno, ano. Z věcného hlediska však k chybám nedochází, protože v důsledku transformace proměnné konstanty se stále získá konstanta proměnná.

Nebo jiný příklad, předpokládejme, že v průběhu řešení rovnice získáme obecný integrál. Tato odpověď vypadá ošklivě, proto je vhodné změnit znaménko každého termínu: . Formálně je zde ještě jedna chyba – mělo by být napsáno vpravo. Ale neformálně se předpokládá, že „minus ce“ je stále konstanta ( což může mít stejně snadno jakýkoli význam!), takže dávat „mínus“ nedává smysl a můžete použít stejné písmeno.

Pokusím se vyhnout neopatrnému přístupu a při převodu stále přiřazovat konstantám různé indexy.

Příklad 7

Řešte diferenciální rovnici. Proveďte kontrolu.

Řešení: Tato rovnice umožňuje separaci proměnných. Oddělujeme proměnné:

Pojďme integrovat:

Konstantu zde není nutné definovat jako logaritmus, protože z toho nebude nic užitečného.

Odpovědět: obecný integrál:

Kontrola: Diferencujte odpověď (implicitní funkce):

Zlomků se zbavíme tak, že oba členy vynásobíme:

Byla získána původní diferenciální rovnice, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 8

Najděte konkrétní řešení DE.
,

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Jediným náznakem je, že zde získáte obecný integrál, a správněji řečeno, musíte se snažit najít ne konkrétní řešení, ale částečný integrál. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

V některých problémech fyziky není možné stanovit přímou souvislost mezi veličinami popisujícími proces. Ale je možné získat rovnost obsahující derivace studovaných funkcí. Tak vznikají diferenciální rovnice a potřeba jejich řešení k nalezení neznámé funkce.

Tento článek je určen těm, kteří se potýkají s problémem řešení diferenciální rovnice, ve které je neznámá funkce funkcí jedné proměnné. Teorie je strukturována tak, že s nulovou znalostí diferenciálních rovnic si se svým úkolem poradíte.

Každý typ diferenciální rovnice je spojen s metodou řešení s podrobným vysvětlením a řešením typických příkladů a problémů. Jediné, co musíte udělat, je určit typ diferenciální rovnice vašeho problému, najít podobný analyzovaný příklad a provést podobné akce.

K úspěšnému řešení diferenciálních rovnic budete potřebovat také schopnost najít množiny primitivních ( neurčité integrály) různé funkce. V případě potřeby doporučujeme nahlédnout do části.

Nejprve uvážíme typy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, které lze vyřešit s ohledem na derivaci, poté přejdeme k ODR druhého řádu, poté se zastavíme u rovnic vyššího řádu a skončíme systémy diferenciální rovnice.

Připomeňme, že pokud y je funkcí argumentu x.

Diferenciální rovnice prvního řádu.

Nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu tvaru.

Pojďme si sepsat pár příkladů takového dálkového ovládání .

Diferenciální rovnice lze vyřešit s ohledem na derivaci vydělením obou stran rovnosti f(x) . V tomto případě dojdeme k rovnici, která bude ekvivalentní té původní pro f(x) ≠ 0. Příklady takových ODR jsou .

Pokud existují hodnoty argumentu x, při kterých funkce f(x) a g(x) současně zmizí, objeví se další řešení. Další řešení rovnice dané x jsou libovolné funkce definované pro tyto hodnoty argumentů. Příklady takových diferenciálních rovnic zahrnují:

Diferenciální rovnice druhého řádu.

Lineární homogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantní koeficienty.

LDE s konstantními koeficienty je velmi běžný typ diferenciální rovnice. Jejich řešení není nijak zvlášť obtížné. Nejprve se najdou kořeny charakteristická rovnice . Pro různé p a q jsou možné tři případy: kořeny charakteristické rovnice mohou být skutečné a různé, reálné a shodné nebo komplexní konjugáty. V závislosti na hodnotách kořenů charakteristické rovnice je obecné řešení diferenciální rovnice zapsáno jako nebo , resp.

Uvažujme například lineární homogenní diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. Kořeny jeho charakteristické rovnice jsou k 1 = -3 a k 2 = 0. Kořeny jsou reálné a různé, proto má obecné řešení LODE s konstantními koeficienty tvar


Lineární nehomogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty.

Obecné řešení LDDE druhého řádu s konstantními koeficienty y se hledá ve tvaru součtu obecného řešení odpovídající LDDE. a zvláštní řešení originálu nehomogenní rovnice, tedy . Předchozí odstavec je věnován hledání obecného řešení homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. A konkrétní řešení je určeno buď metodou nejisté koeficienty pro určitý tvar funkce f(x) na pravé straně původní rovnice nebo metodou proměnných libovolných konstant.

Jako příklady LDDE druhého řádu s konstantními koeficienty uvádíme


Pro pochopení teorie a seznámení se s detailním řešením příkladů vám nabízíme na stránce lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

Lineární homogenní diferenciální rovnice (LODE) a lineární nehomogenní diferenciální rovnice (LNDE) druhého řádu.

Speciálním případem diferenciálních rovnic tohoto typu jsou LODE a LDDE s konstantními koeficienty.

Obecné řešení LODE na určitém segmentu je reprezentováno lineární kombinací dvou lineárně nezávislých dílčích řešení y 1 a y 2 této rovnice, tzn. .

Hlavní obtíž spočívá právě v nalezení lineárně nezávislých parciálních řešení diferenciální rovnice tohoto typu. Typicky se vybírají konkrétní řešení následující systémy lineární nezávislé funkce:


Konkrétní řešení však nejsou vždy prezentována v této podobě.

Příkladem LOD je .

Obecné řešení LDDE se hledá ve tvaru , kde je obecné řešení odpovídajícího LDDE a je partikulárním řešením původní diferenciální rovnice. Právě jsme mluvili o jejím nalezení, ale lze ji určit pomocí metody variování libovolných konstant.

Lze uvést příklad LNDU .

Diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice, které umožňují redukci řádu.

Řád diferenciální rovnice , který neobsahuje požadovanou funkci a její derivace až do řádu k-1, lze redukovat na n-k nahrazením .

V tomto případě bude původní diferenciální rovnice redukována na . Po nalezení jejího řešení p(x) zbývá vrátit se k náhradě a určit neznámou funkci y.

Například diferenciální rovnice po nahrazení se stane rovnicí s oddělitelnými proměnnými a její pořadí se sníží ze třetí na první.