एक बिंदु M को एक निश्चित सेट G का आंतरिक कहा जाता है यदि वह इस सेट के साथ-साथ इसके कुछ पड़ोस से संबंधित है। एक बिंदु N को समुच्चय G के लिए एक सीमा बिंदु कहा जाता है यदि इसके किसी पूर्ण पड़ोस में G से संबंधित और उससे संबंधित नहीं दोनों बिंदु हैं।

समुच्चय G के सभी सीमा बिंदुओं के समुच्चय को G की सीमा कहा जाता है।

एक समुच्चय G को एक क्षेत्र कहा जाएगा यदि उसके सभी बिंदु आंतरिक (खुला समुच्चय) हों। संबंधित सीमा Г के साथ एक सेट G को बंद क्षेत्र कहा जाता है। किसी क्षेत्र को घिरा हुआ तब कहा जाता है जब वह पूरी तरह से पर्याप्त रूप से बड़े त्रिज्या के एक वृत्त के भीतर समाहित हो।

किसी दिए गए क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान को इस क्षेत्र में फ़ंक्शन का पूर्ण चरम कहा जाता है।

वीयरस्ट्रैस का प्रमेय: एक परिबद्ध और में निरंतर एक कार्य बंद क्षेत्र, इस क्षेत्र में अपने न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों तक पहुँचता है।

परिणाम। किसी दिए गए क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का पूर्ण चरम या तो इस क्षेत्र से संबंधित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, या किसी बंद क्षेत्र G में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए, इसे खोजना आवश्यक है इस क्षेत्र में इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदु, इन बिंदुओं (सीमा वाले सहित) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें और प्राप्त संख्याओं की तुलना करके, उनमें से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

उदाहरण 4.1.फ़ंक्शन का पूर्ण चरम ज्ञात करें (सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान)
एक त्रिकोणीय क्षेत्र D में शीर्षों के साथ
,
,
(चित्र .1)।

;
,

अर्थात्, बिंदु O(0, 0) क्षेत्र D से संबंधित एक महत्वपूर्ण बिंदु है। z(0,0)=0.

आइए सीमा का अन्वेषण करें:

ए) ओए: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

बी) ओबी: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

कैब: ;
,

उदाहरण 4.2.निर्देशांक अक्षों और सीधी रेखा से घिरे एक बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें
.

1) क्षेत्र में पड़े महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं:

,
,

.

आइए सीमा का अन्वेषण करें। क्योंकि सीमा में ऑक्स अक्ष का एक खंड OA, Oy अक्ष का एक खंड OB और एक खंड AB शामिल है, फिर हम इनमें से प्रत्येक खंड पर फ़ंक्शन z का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करते हैं।

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

एम 3 (5/3,7/3), जेड(5/3, 7/3)=-10/3।

सभी पाए गए मानों में से, z max =z(4, 0)=13; चुनें। z नईम =z(1, 2)=–4.

5. सशर्त चरम. लैग्रेंज गुणक विधि

आइए कई चर के कार्यों के लिए विशिष्ट समस्या पर विचार करें, जब इसकी चरम सीमा परिभाषा के पूरे क्षेत्र में नहीं, बल्कि एक सेट पर मांगी जाती है जो एक निश्चित स्थिति को संतुष्ट करती है।

आइए फ़ंक्शन पर विचार करें
, तर्क और जो शर्त को पूरा करता है
, युग्मन समीकरण कहा जाता है।

डॉट
सशर्त अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का ऐसा पड़ोस हो जो सभी बिंदुओं के लिए हो
शर्त को पूरा करने वाले इस पड़ोस से
, असमानता कायम है
या
.

चित्र 2 सशर्त अधिकतम बिंदु दिखाता है
. जाहिर है, यह फ़ंक्शन का बिना शर्त चरम बिंदु नहीं है
(चित्र 2 में यही बात है
).

दो चर वाले फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने का सबसे आसान तरीका एक चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजने में समस्या को कम करना है। आइए कनेक्शन समीकरण मान लें
किसी एक चर के संबंध में हल करने में कामयाब रहे, उदाहरण के लिए, व्यक्त करने के लिए के माध्यम से :
. परिणामी अभिव्यक्ति को दो चरों के एक फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

वे। एक चर का कार्य. इसका चरम फ़ंक्शन का सशर्त चरम होगा
.

उदाहरण 5.1.किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात करें
मान लें कि
.

समाधान। आइए समीकरण से व्यक्त करें
चर चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें
एक समारोह में . हम पाते हैं
या
. इस फ़ंक्शन में एक अद्वितीय न्यूनतम है
. संगत फ़ंक्शन मान
. इस प्रकार,
- सशर्त चरम का बिंदु (न्यूनतम)।

विचारित उदाहरण में, युग्मन समीकरण
यह रैखिक निकला, इसलिए किसी एक चर के संबंध में इसे आसानी से हल किया गया। हालाँकि, अधिक जटिल मामलों में ऐसा नहीं किया जा सकता है।

सामान्य मामले में एक सशर्त चरम सीमा खोजने के लिए, लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग किया जाता है। तीन चर वाले एक फ़ंक्शन पर विचार करें। इस फ़ंक्शन को लैग्रेंज फ़ंक्शन कहा जाता है, और - लैग्रेंज गुणक। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय.अगर बात
फ़ंक्शन का सशर्त चरम बिंदु है
मान लें कि
, तो एक मूल्य है ऐसा वह बिंदु
फ़ंक्शन का चरम बिंदु है
.

इस प्रकार, फ़ंक्शन का सशर्त चरम ज्ञात करना
मान लें कि
सिस्टम का समाधान ढूंढने की जरूरत है

पी इनमें से अंतिम समीकरण युग्मन समीकरण से मेल खाता है। सिस्टम के पहले दो समीकरणों को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है, यानी। सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन ग्रेडिएंट्स
और
संरेख. चित्र में. चित्र 3 लैग्रेंज की स्थितियों का ज्यामितीय अर्थ दिखाता है। रेखा
बिंदीदार, समतल रेखा
कार्य
ठोस। चित्र से. यह इस प्रकार है कि सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन स्तर रेखा होती है
रेखा को छूता है
.

उदाहरण 5.2. फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें
मान लें कि
, लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करके।

समाधान। हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं। इसके आंशिक व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करने पर, हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

उसका एकमात्र समाधान. इस प्रकार, सशर्त चरम बिंदु केवल बिंदु (3; 1) हो सकता है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन को सत्यापित करना आसान है
एक सशर्त न्यूनतम है. यदि चरों की संख्या दो से अधिक है, तो कई युग्मन समीकरणों पर विचार किया जा सकता है। तदनुसार, इस मामले में कई लैग्रेंज गुणक होंगे।

सशर्त चरम सीमा खोजने की समस्या का उपयोग ऐसी आर्थिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है जैसे संसाधनों का इष्टतम आवंटन खोजना, प्रतिभूतियों का इष्टतम पोर्टफोलियो चुनना आदि।

जोसेफ लुईस लाग्रेंज का जन्म ट्यूरिन (इटली) में एक इतालवी-फ्रांसीसी परिवार में हुआ था। उन्होंने आर्टिलरी स्कूल में पढ़ाई की और फिर पढ़ाया। 1759 में, यूलर की सिफारिश पर, 23 वर्षीय लैग्रेंज को बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज का सदस्य चुना गया। 1766 में वे पहले ही इसके अध्यक्ष बन गये। फ्रेडरिक द्वितीय ने लैग्रेंज को बर्लिन में आमंत्रित किया। 1786 में फ्रेडरिक द्वितीय की मृत्यु के बाद, लैग्रेंज पेरिस चले गए। 1722 से वह पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य थे, 1795 में उन्हें देशांतर ब्यूरो का सदस्य नियुक्त किया गया था, और उन्होंने उपायों की मीट्रिक प्रणाली के निर्माण में सक्रिय भाग लिया। घेरा वैज्ञानिक अनुसंधानलैग्रेंज असामान्य रूप से चौड़ा था। वे यांत्रिकी, ज्यामिति, गणितीय विश्लेषण, बीजगणित, संख्या सिद्धांत और सैद्धांतिक खगोल विज्ञान के प्रति समर्पित हैं। लैग्रेंज के शोध की मुख्य दिशा एकीकृत दृष्टिकोण से यांत्रिकी में विविध प्रकार की घटनाओं की प्रस्तुति थी। उन्होंने एक समीकरण निकाला जो बलों के प्रभाव में किसी भी प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करता है। खगोल विज्ञान के क्षेत्र में स्थिरता की समस्या को हल करने के लिए लैग्रेंज ने बहुत कुछ किया सौर परिवार; स्थिर गति के कुछ विशेष मामले साबित हुए, विशेष रूप से तथाकथित त्रिकोणीय लाइब्रेशन बिंदुओं पर स्थित छोटे पिंडों के लिए।

लैग्रेंज विधि─ यह किसी समस्या को हल करने की एक विधि है सशर्त अनुकूलन, जिसमें अंतर्निहित कार्यों के रूप में लिखी गई बाधाओं को एक नए समीकरण के रूप में उद्देश्य फ़ंक्शन के साथ जोड़ा जाता है जिसे कहा जाता है लाग्रंगियन.

चलो गौर करते हैं विशेष मामला सामान्य कार्यनहीं रैखिक प्रोग्रामिंग:

व्यवस्था को देखते हुए अरेखीय समीकरण (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

फ़ंक्शन का सबसे छोटा (या सबसे बड़ा) मान ज्ञात करें (2)

(2) एफ (x1,x2,…,xn),

यदि चरों के गैर-नकारात्मक होने की कोई शर्त नहीं है और f(x1,x2,…,xn) और gi(x1,x2,…,xn) ऐसे फलन हैं जो अपने आंशिक व्युत्पन्नों के साथ निरंतर हैं।

इस समस्या का समाधान ढूंढने के लिए आप इसका इस्तेमाल कर सकते हैं अगली विधि: 1. वेरिएबल्स λ1, λ2,…, λm का एक सेट दर्ज करें, जिसे लैग्रेंज मल्टीप्लायर कहा जाता है, लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाएं (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. चर xi और λi के संबंध में लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें।

3. समीकरणों की प्रणाली को हल करते हुए, वे बिंदु ज्ञात कीजिए जिन पर उद्देश्य समारोहसमस्या चरम पर हो सकती है.

4. उन बिंदुओं में से जो संदिग्ध हैं, चरम नहीं हैं, उन्हें ढूंढें जिन पर चरम सीमा पहुंच गई है, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें .

4. फ़ंक्शन f के प्राप्त मानों की तुलना करें और सर्वश्रेष्ठ का चयन करें।

उत्पादन योजना के अनुसार, कंपनी को 180 उत्पादों का उत्पादन करने की आवश्यकता है। इन उत्पादों का निर्माण दो तकनीकी तरीकों से किया जा सकता है। विधि I का उपयोग करके X1 उत्पादों का उत्पादन करते समय, लागत 4*x1+x1^2 रूबल होती है, और विधि II का उपयोग करके x2 उत्पादों का उत्पादन करते समय, वे 8*x2+x2^2 रूबल होते हैं। निर्धारित करें कि प्रत्येक विधि का उपयोग करके कितने उत्पादों का उत्पादन किया जाना चाहिए, ताकि उत्पादन की कुल लागत न्यूनतम हो।

समाधान: समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निर्धारित करना है सबसे कम मूल्यदो चर के कार्य:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, बशर्ते X1 +x2 = 180.

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

आइए x1, x2, λ के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें और उन्हें 0 के बराबर करें:

आइए λ को पहले दो समीकरणों के दाईं ओर ले जाएं और उनके बाएं पक्षों को बराबर करें, हमें 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, या x1 - x2 = 2 मिलता है।

अंतिम समीकरण को समीकरण x1 + x2 = 180 के साथ हल करने पर, हम x1 = 91, x2 = 89 पाते हैं, अर्थात, हमने एक समाधान प्राप्त किया है जो शर्तों को पूरा करता है:

आइए चरों के इन मानों के लिए उद्देश्य फ़ंक्शन f का मान ज्ञात करें:

एफ(x1, x2) = 17278

यह बिंदु चरम बिंदु के लिए संदिग्ध है। दूसरे आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं कि बिंदु (91.89) पर फ़ंक्शन f का न्यूनतम है।

विधि का वर्णन

कहाँ ।

दलील

लैग्रेंज गुणक विधि के लिए निम्नलिखित औचित्य इसका कोई कठोर प्रमाण नहीं है। इसमें समझने में मदद के लिए अनुमानी तर्क शामिल हैं ज्यामितीय अर्थतरीका।

द्वि-आयामी मामला

समतल रेखाएँ और वक्र।

मान लीजिए कि समीकरण द्वारा निर्दिष्ट शर्त के तहत दो चरों के किसी फलन का चरम ज्ञात करना आवश्यक है . हम मान लेंगे कि सभी फ़ंक्शन लगातार भिन्न होते हैं, और यह समीकरण एक चिकनी वक्र को परिभाषित करता है एससतह पर. फिर समस्या फ़ंक्शन के चरम को खोजने तक कम हो जाती है एफवक्र के एस. हम भी यही मानेंगे एसउन बिंदुओं से नहीं गुजरता जहां ढाल है एफ 0 में बदल जाता है.

आइए समतल पर फ़ंक्शन स्तर रेखाएँ बनाएँ एफ(अर्थात् वक्र)। ज्यामितीय विचारों से यह स्पष्ट है कि फलन का चरम एफवक्र के एसकेवल ऐसे बिंदु हो सकते हैं जिन पर स्पर्शरेखाएँ हों एसऔर संगत स्तर रेखा संपाती होती है। वास्तव में, यदि वक्र एसस्तर रेखा को पार करता है एफएक बिंदु पर अनुप्रस्थ दिशा में (अर्थात, किसी गैर-शून्य कोण पर), फिर वक्र के अनुदिश गति करते हुए एसएक बिंदु से हम बड़े मान के अनुरूप स्तर रेखाओं तक पहुँच सकते हैं एफ, और कम। इसलिए, ऐसा कोई बिंदु चरम बिंदु नहीं हो सकता।

इस प्रकार, हमारे मामले में चरम के लिए एक आवश्यक शर्त स्पर्शरेखाओं का संयोग होगी। इसे विश्लेषणात्मक रूप में लिखने के लिए, ध्यान दें कि यह कार्यों के ग्रेडिएंट्स की समानता के बराबर है एफऔर किसी दिए गए बिंदु पर ψ, क्योंकि ग्रेडिएंट वेक्टर लेवल लाइन के स्पर्शरेखा के लंबवत है। यह स्थिति निम्नलिखित रूप में व्यक्त की गई है:

जहां λ एक गैर-शून्य संख्या है जो एक लैग्रेंज गुणक है।

आइये अब विचार करें लैग्रेंज फ़ंक्शन, पर निर्भर करता है और λ:

इसके चरम के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि ढाल शून्य के बराबर हो। विभेदीकरण के नियमों के अनुसार इसे प्रपत्र में लिखा जाता है

हमने एक ऐसी प्रणाली प्राप्त की है जिसके पहले दो समीकरण आवश्यक शर्त के बराबर हैं स्थानीय चरम(1), और तीसरा - समीकरण के लिए . आप इसे इससे पा सकते हैं. इसके अलावा, चूंकि फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट अन्यथा है एफबिंदु पर गायब हो जाता है , जो हमारी धारणाओं का खंडन करता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस तरह से पाए गए बिंदु सशर्त चरम के वांछित बिंदु नहीं हो सकते हैं - विचारित स्थिति आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। एक सहायक फ़ंक्शन का उपयोग करके एक सशर्त चरम का पता लगाना एलऔर लैग्रेंज गुणक विधि का आधार बनता है, जिसे यहां दो चरों के सबसे सरल मामले के लिए लागू किया गया है। यह पता चला है कि उपरोक्त तर्क को शर्तों को निर्दिष्ट करने वाले चर और समीकरणों की मनमानी संख्या के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

लैग्रेंज गुणक विधि के आधार पर कुछ को सिद्ध करना संभव है पर्याप्त शर्तेंएक सशर्त चरम सीमा के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे डेरिवेटिव के विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

आवेदन

• लैग्रेंज मल्टीप्लायर विधि का उपयोग कई क्षेत्रों (उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में) में उत्पन्न होने वाली नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
• किसी दिए गए औसत बिटरेट (विरूपण अनुकूलन - अंग्रेजी) पर ऑडियो और वीडियो डेटा एन्कोडिंग की गुणवत्ता को अनुकूलित करने की समस्या को हल करने की मुख्य विधि। दर-विरूपण अनुकूलन).

यह सभी देखें

लिंक

• ज़ोरिच वी. ए. गणितीय विश्लेषण. भाग 1. - एड. दूसरा, रेव. और अतिरिक्त - एम.: फ़ैज़िस, 1997।

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "लैग्रेंज मल्टीप्लायर" क्या हैं:

लैग्रेंज गुणक- अतिरिक्त कारक जो शास्त्रीय तरीकों में से एक का उपयोग करके इसे हल करते समय उत्तल प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, रैखिक प्रोग्रामिंग) की एक चरम समस्या के उद्देश्य फ़ंक्शन को बदल देते हैं, मल्टीप्लायरों को हल करने की विधि ... ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

लैग्रेंज गुणक- अतिरिक्त कारक जो एक चरम उत्तल प्रोग्रामिंग समस्या (विशेष रूप से, रैखिक प्रोग्रामिंग) के उद्देश्य फ़ंक्शन को शास्त्रीय तरीकों में से एक, गुणक को हल करने की विधि (लैग्रेंज विधि) का उपयोग करके हल करते समय बदल देते हैं।... ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

यांत्रिकी. 1) पहली तरह के लैग्रेंज समीकरण, यांत्रिक गति के विभेदक समीकरण। सिस्टम, जो आयताकार समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण में दिए गए हैं और तथाकथित शामिल हैं। लैग्रेंज गुणक। 1788 में जे. लैग्रेंज द्वारा प्राप्त किया गया। एक होलोनोमिक प्रणाली के लिए, ... ... भौतिक विश्वकोश

साधारण यांत्रिकी विभेदक समीकरणदूसरा क्रम, यांत्रिक की गतिविधियों का वर्णन। उन पर लागू बलों के प्रभाव में सिस्टम। एल.यू. जे. लैग रेंज द्वारा दो रूपों में स्थापित: एल.यू. प्रथम प्रकार, या कार्टेशियन में समीकरण के साथ समन्वय करता है... ... गणितीय विश्वकोश

1) हाइड्रोमैकेनिक्स में, लैग्रेंज चर में द्रव (गैस) गति का समीकरण, जो माध्यम के निर्देशांक हैं। फ़्रेंच प्राप्त किया वैज्ञानिक जे. लैग्रेंज (लगभग 1780)। एल यू से. माध्यम की गति का नियम निर्भरता के रूप में निर्धारित होता है... ... भौतिक विश्वकोश

लैग्रेंज गुणक विधि, फ़ंक्शन f(x) के सशर्त चरम को खोजने की एक विधि, जहां, m बाधाओं के सापेक्ष, i एक से m तक भिन्न होता है। सामग्री 1 विधि का विवरण... विकिपीडिया

कई चर और कार्यों के सशर्त चरम पर समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाने वाला एक फ़ंक्शन। एल.एफ. की सहायता से। अभिलेखित हैं आवश्यक शर्तेंसशर्त चरम पर समस्याओं में इष्टतमता। इस मामले में, केवल चरों को व्यक्त करना आवश्यक नहीं है... गणितीय विश्वकोश

सशर्त चरम पर समस्याओं को हल करने की विधि; एल.एम.एम. में इन समस्याओं को एक सहायक कार्य के बिना शर्त चरम पर समस्याओं में कम करना शामिल है, तथाकथित। लैग्रेंज फ़ंक्शन. फ़ंक्शन f (x1, x2,..., xn) के चरम की समस्या के लिए... ...

वेरिएबल, जिनकी सहायता से सशर्त चरम पर समस्याओं का अध्ययन करते समय लैग्रेंज फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है। रैखिक तरीकों और लैग्रेंज फ़ंक्शन का उपयोग हमें एक समान तरीके से सशर्त चरम से जुड़ी समस्याओं में आवश्यक इष्टतमता की स्थिति प्राप्त करने की अनुमति देता है... गणितीय विश्वकोश

1) हाइड्रोमैकेनिक्स में, एक द्रव माध्यम की गति के समीकरण, लैग्रेंज चर में लिखे जाते हैं, जो माध्यम के कणों के निर्देशांक होते हैं। एल यू से. माध्यम के कणों की गति का नियम समय पर निर्देशांक की निर्भरता के रूप में निर्धारित होता है, और उनसे... ... महान सोवियत विश्वकोश

• ट्यूटोरियल

सब लोग शुभ दिन. इस लेख में मैं इनमें से एक दिखाना चाहता हूं ग्राफिक तरीकेनिर्माण गणितीय मॉडलगतिशील प्रणालियों के लिए, जिसे कहा जाता है बांड ग्राफ("बॉन्ड" - कनेक्शन, "ग्राफ़" - ग्राफ़)। रूसी साहित्य में, मुझे इस पद्धति का विवरण केवल टॉम्स्की की पाठ्यपुस्तक में मिला बहुशिल्प विश्वविद्यालय, ए.वी. वोरोनिन "मॉडलिंग ऑफ़ मेक्ट्रोनिक सिस्टम्स" 2008 भी दिखाएं क्लासिक विधिदूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण के माध्यम से।

लैग्रेंज विधि

मैं सिद्धांत का वर्णन नहीं करूंगा, मैं कुछ टिप्पणियों के साथ गणना के चरण दिखाऊंगा। व्यक्तिगत रूप से, मेरे लिए सिद्धांत को 10 बार पढ़ने की तुलना में उदाहरणों से सीखना आसान है। मुझे ऐसा लगा कि रूसी साहित्य में, इस पद्धति की व्याख्या, और वास्तव में सामान्य रूप से गणित या भौतिकी, बहुत समृद्ध है जटिल सूत्र, जिसके लिए तदनुसार एक गंभीर गणितीय पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है। लैग्रेंज पद्धति का अध्ययन करते समय (मैं ट्यूरिन, इटली के पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय में अध्ययन करता हूं), मैंने गणना विधियों की तुलना करने के लिए रूसी साहित्य का अध्ययन किया, और मेरे लिए इस पद्धति को हल करने की प्रगति का अनुसरण करना कठिन था। खार्कोव एविएशन इंस्टीट्यूट में मॉडलिंग पाठ्यक्रमों को याद करते हुए भी, ऐसे तरीकों की व्युत्पत्ति बहुत बोझिल थी, और किसी ने भी इस मुद्दे को समझने की कोशिश करने की जहमत नहीं उठाई। यह वही है जो मैंने लिखने का फैसला किया, लैग्रेंज के अनुसार गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए एक मैनुअल, जैसा कि यह पता चला कि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है, यह जानना पर्याप्त है कि समय और आंशिक डेरिवेटिव के संबंध में डेरिवेटिव की गणना कैसे करें। अधिक जटिल मॉडलों के लिए, रोटेशन मैट्रिसेस भी जोड़े जाते हैं, लेकिन उनमें भी कुछ भी जटिल नहीं है।

मॉडलिंग विधियों की विशेषताएं:

• न्यूटन-यूलर: गतिशील संतुलन पर आधारित वेक्टर समीकरण बलऔर क्षणों
• लैग्रेंज: गतिज और क्षमता से जुड़े राज्य कार्यों पर आधारित अदिश समीकरण ऊर्जा
• बांड गणना: प्रवाह आधारित विधि शक्तिसिस्टम तत्वों के बीच

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं सरल उदाहरण. स्प्रिंग और डम्पर के साथ द्रव्यमान। हम गुरुत्वाकर्षण बल को नजरअंदाज कर देते हैं।

चित्र .1. स्प्रिंग और डम्पर के साथ द्रव्यमान

सबसे पहले, हम नामित करते हैं:

• प्रारंभिक प्रणाली COORDINATES(एनएसके) या फिक्स्ड एसके R0(i0,j0,k0). कहाँ? आप अपनी उंगली आकाश की ओर उठा सकते हैं, लेकिन मस्तिष्क में न्यूरॉन्स की युक्तियों को घुमाकर, एनएससी को एम1 शरीर की गति की रेखा पर रखने का विचार आता है।
• द्रव्यमान के साथ प्रत्येक पिंड के लिए समन्वय प्रणाली(हमारे पास एम1 है आर1(आई1,जे1,के1)), अभिविन्यास मनमाना हो सकता है, लेकिन अपने जीवन को जटिल क्यों बनाएं, इसे एनएससी से न्यूनतम अंतर के साथ सेट करें
• सामान्यीकृत निर्देशांक q_i(चर की न्यूनतम संख्या जो आंदोलन का वर्णन कर सकती है), इस उदाहरण में एक सामान्यीकृत समन्वय है, केवल जे अक्ष के साथ आंदोलन

अंक 2. हमने समन्वय प्रणालियाँ और सामान्यीकृत निर्देशांक नीचे रखे हैं

चित्र 3. शरीर की स्थिति और गति M1

फिर हम सूत्रों का उपयोग करके डैम्पर के लिए गतिज (सी) और संभावित (पी) ऊर्जा और विघटनकारी फ़ंक्शन (डी) पाएंगे:

चित्र 4. पूरा फार्मूलागतिज ऊर्जा

हमारे उदाहरण में कोई घूर्णन नहीं है, दूसरा घटक 0 है।

चित्र 5. गतिज, स्थितिज ऊर्जा और विघटनकारी कार्य की गणना

लैग्रेंज समीकरण का निम्नलिखित रूप है:

चित्र 6. लैग्रेंज समीकरण और लैग्रेंजियन

डेल्टा W_iयह लागू बलों और क्षणों द्वारा किया गया आभासी कार्य है। आइए उसे खोजें:

चित्र 7. आभासी कार्य की गणना

कहाँ डेल्टा q_1आभासी हलचल.

हम सब कुछ लैग्रेंज समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

चित्र 8. स्प्रिंग और डैम्पर के साथ परिणामी द्रव्यमान मॉडल

यहीं पर लैग्रेंज की पद्धति समाप्त हो गई। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह उतना जटिल नहीं है, लेकिन यह अभी भी एक बहुत ही सरल उदाहरण है, जिसके लिए संभवतः न्यूटन-यूलर विधि और भी सरल होगी। अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, जहां विभिन्न कोणों पर एक-दूसरे के सापेक्ष कई पिंड घूमेंगे, लैग्रेंज विधि आसान होगी।

बंधन विधिग्राफ

मैं आपको तुरंत दिखाऊंगा कि द्रव्यमान, स्प्रिंग और डैम्पर के उदाहरण के लिए बॉन्ड-ग्राफ़ में मॉडल कैसा दिखता है:

चित्र 9. स्प्रिंग और डैम्पर के साथ बॉन्ड-ग्राफ द्रव्यमान

यहां आपको एक छोटी सी थ्योरी बतानी होगी, जो बनाने के लिए काफी होगी सरल मॉडल. यदि किसी को रुचि हो, तो आप पुस्तक पढ़ सकते हैं ( बॉन्ड ग्राफ़ पद्धति) या ( वोरोनिन ए.वी. मेक्ट्रोनिक सिस्टम की मॉडलिंग: ट्यूटोरियल. - टॉम्स्क: टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 2008).

आइए सबसे पहले यह निर्धारित करें जटिल प्रणालियाँकई डोमेन से मिलकर बना है. उदाहरण के लिए, एक विद्युत मोटर में विद्युत और यांत्रिक भाग या डोमेन होते हैं।

बांड ग्राफइन डोमेन, उपप्रणालियों के बीच शक्ति के आदान-प्रदान पर आधारित। ध्यान दें कि बिजली विनिमय, किसी भी रूप में, हमेशा दो चर द्वारा निर्धारित होता है ( परिवर्तनशील शक्ति) जिसकी सहायता से हम एक गतिशील प्रणाली के भीतर विभिन्न उपप्रणालियों की परस्पर क्रिया का अध्ययन कर सकते हैं (तालिका देखें)।

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, शक्ति की अभिव्यक्ति लगभग हर जगह समान है। सारांश, शक्ति- यह काम " प्रवाह - एफ" पर " प्रयास - ई».

एक प्रयास(अंग्रेज़ी) कोशिश) विद्युत क्षेत्र में यह वोल्टेज (ई) है, यांत्रिक क्षेत्र में यह बल (एफ) या टॉर्क (टी) है, हाइड्रोलिक्स में यह दबाव (पी) है।

प्रवाह(अंग्रेज़ी) प्रवाह) विद्युत क्षेत्र में यह धारा (i) है, यांत्रिक क्षेत्र में यह गति (v) या है कोणीय वेग(ओमेगा), हाइड्रोलिक्स में - द्रव प्रवाह या प्रवाह दर (क्यू)।

इन नोटेशनों को लेते हुए, हमें शक्ति के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

चित्र 10. शक्ति चर के माध्यम से शक्ति सूत्र

बॉन्ड-ग्राफ़ भाषा में, शक्ति का आदान-प्रदान करने वाली दो उप-प्रणालियों के बीच संबंध को एक बॉन्ड द्वारा दर्शाया जाता है। गहरा संबंध). इसीलिए इसे कहा जाता है यह विधि बांड-ग्राफया जी राफ-कनेक्शन, कनेक्टेड ग्राफ़. चलो गौर करते हैं ब्लॉक आरेखइलेक्ट्रिक मोटर वाले मॉडल में कनेक्शन (यह अभी तक बॉन्ड-ग्राफ़ नहीं है):

चित्र 11. डोमेन के बीच विद्युत प्रवाह का ब्लॉक आरेख

यदि हमारे पास एक वोल्टेज स्रोत है, तो तदनुसार यह वोल्टेज उत्पन्न करता है और इसे वाइंडिंग के लिए मोटर में स्थानांतरित करता है (यही कारण है कि तीर मोटर की ओर निर्देशित होता है), वाइंडिंग के प्रतिरोध के आधार पर, ओम के नियम (निर्देशित) के अनुसार एक करंट प्रकट होता है मोटर से स्रोत तक)। तदनुसार, एक वेरिएबल सबसिस्टम के लिए एक इनपुट है, और दूसरा होना चाहिए बाहर निकलनासबसिस्टम से. यहाँ वोल्टेज ( कोशिश) - आगत बहाव ( प्रवाह) - बाहर निकलना।

यदि आप वर्तमान स्रोत का उपयोग करते हैं, तो आरेख कैसे बदलेगा? सही। करंट को मोटर की ओर और वोल्टेज को स्रोत की ओर निर्देशित किया जाएगा। फिर वर्तमान ( प्रवाह) - इनपुट वोल्टेज ( कोशिश) - बाहर निकलना।

आइए यांत्रिकी में एक उदाहरण देखें। किसी द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल।

चित्र 12. द्रव्यमान पर बल लगाया गया

ब्लॉक आरेख इस प्रकार होगा:

चित्र 13. ब्लॉक आरेख

इस उदाहरण में, ताकत ( कोशिश) - द्रव्यमान के लिए इनपुट चर। (द्रव्यमान पर लगाया गया बल)
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार:

मास तेजी से प्रतिक्रिया करता है:

इस उदाहरण में, यदि एक चर ( बल - कोशिश) है प्रवेश द्वारयांत्रिक डोमेन में, फिर एक और शक्ति चर ( रफ़्तार - प्रवाह)- स्वचालित रूप से बन जाता है बाहर निकलना.

यह भेद करने के लिए कि इनपुट कहां है और आउटपुट कहां है, तत्वों के बीच तीर (कनेक्शन) के अंत में एक ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग किया जाता है, इस रेखा को कहा जाता है कारणता का संकेत या करणीय संबंध (करणीय संबंध). यह पता चला: लागू बल कारण है, और गति प्रभाव है। सिस्टम मॉडल के सही निर्माण के लिए यह संकेत बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि कार्य-कारण एक परिणाम है शारीरिक व्यवहारऔर दो उपप्रणालियों की शक्तियों का आदान-प्रदान, इसलिए कारण चिह्न के स्थान का चुनाव मनमाना नहीं हो सकता।

चित्र 14. कारणता का पदनाम

यह ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाती है कि कौन सा उपतंत्र बल प्राप्त करता है ( कोशिश) और परिणामस्वरूप एक प्रवाह उत्पन्न होता है ( प्रवाह). द्रव्यमान वाले उदाहरण में यह इस प्रकार होगा:

चित्र 14. द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल के लिए कारण संबंध

तीर से स्पष्ट है कि द्रव्यमान का इनपुट है - बल, और आउटपुट है रफ़्तार. ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आरेख को तीरों से अव्यवस्थित न किया जाए और मॉडल के निर्माण को व्यवस्थित किया जा सके।

अगला महत्वपूर्ण बिंदु. सामान्यीकृत आवेग(आंदोलन की मात्रा) और चलती(ऊर्जा चर).

विभिन्न डोमेन में शक्ति और ऊर्जा चर की तालिका

उपरोक्त तालिका बॉन्ड-ग्राफ विधि में प्रयुक्त दो अतिरिक्त भौतिक मात्राओं का परिचय देती है। उन्हें बुलाया गया है सामान्यीकृत आवेग (आर) और सामान्यीकृत आंदोलन (क्यू) या ऊर्जा चर, और उन्हें समय के साथ शक्ति चर को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है:

चित्र 15. शक्ति और ऊर्जा चर के बीच संबंध

विद्युत क्षेत्र में :

फैराडे के नियम के आधार पर, वोल्टेजकंडक्टर के सिरों पर इस कंडक्टर के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के व्युत्पन्न के बराबर है।

ए वर्तमान ताकत - भौतिक मात्रा, कुछ समय t से गुजरने वाले आवेश Q की मात्रा के अनुपात के बराबर क्रॉस सेक्शनकंडक्टर, समय की इस अवधि के मूल्य के लिए।

यांत्रिक डोमेन:

न्यूटन के दूसरे नियम से, बल– आवेग का समय व्युत्पन्न

और तदनुसार, रफ़्तार- विस्थापन का समय व्युत्पन्न:

आइए संक्षेप करें:

बुनियादी तत्व

गतिशील प्रणालियों के सभी तत्वों को दो-ध्रुव और चार-ध्रुव घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
चलो गौर करते हैं द्विध्रुवी घटक:

सूत्रों का कहना है
प्रयास और प्रवाह दोनों के स्रोत हैं। विद्युत क्षेत्र में सादृश्य: प्रयास का स्रोत – वोल्टेज स्रोत, स्ट्रीम स्रोत – वर्तमान स्रोत. स्रोतों के लिए कारण चिह्न ऐसे ही होने चाहिए।

चित्र 16. कारण संबंध और स्रोतों का पदनाम

घटक आर - विघटनकारी तत्व

घटक I – जड़ तत्व

घटक सी - कैपेसिटिव तत्व

जैसा कि आंकड़ों से देखा जा सकता है, अलग-अलग तत्व एक जैसे हैं आर, सी, आई टाइप करेंसमान समीकरणों द्वारा वर्णित। केवल विद्युत धारिता में अंतर है, आपको बस इसे याद रखने की आवश्यकता है!

चतुष्कोणीय घटक:

आइए दो घटकों को देखें: एक ट्रांसफार्मर और एक जाइरेटर।

बॉन्ड-ग्राफ़ विधि में अंतिम महत्वपूर्ण घटक कनेक्शन हैं। नोड दो प्रकार के होते हैं:

घटकों के साथ बस इतना ही।

बॉन्ड-ग्राफ़ के निर्माण के बाद कारण संबंध स्थापित करने के मुख्य चरण:

1. सभी को कारणात्मक संबंध दें सूत्रों का कहना है
2. सभी नोड्स से गुजरें और बिंदु 1 के बाद कारण संबंधों को लिखें
3. के लिए घटक Iएक इनपुट कारण संबंध निर्दिष्ट करें (इस घटक में प्रयास शामिल है)। घटक सीआउटपुट कार्य-कारण निर्दिष्ट करें (प्रयास इस घटक से निकलता है)
4. बिंदु 2 दोहराएँ
5. के लिए कारणात्मक संबंध डालें आर घटक

यह सिद्धांत पर लघु पाठ्यक्रम का समापन करता है। अब हमारे पास मॉडल बनाने के लिए आवश्यक सभी चीजें मौजूद हैं।
आइए कुछ उदाहरण हल करें। आइए एक विद्युत परिपथ से शुरू करें; बॉन्ड-ग्राफ के निर्माण की सादृश्यता को समझना बेहतर है।

उदाहरण 1

आइए एक वोल्टेज स्रोत के साथ एक बॉन्ड-ग्राफ़ बनाना शुरू करें। बस Se लिखें और एक तीर लगा दें.

देखिये, सब कुछ सरल है! आइए आगे देखें, आर और एल श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें समान धारा प्रवाहित होती है, अगर हम शक्ति चर में बोलते हैं - समान प्रवाह। किस नोड का प्रवाह समान है? सही उत्तर 1-नोड है। हम स्रोत, प्रतिरोध (घटक - आर) और अधिष्ठापन (घटक - I) को 1-नोड से जोड़ते हैं।

इसके बाद, हमारे पास समानांतर में समाई और प्रतिरोध है, जिसका अर्थ है कि उनके पास समान वोल्टेज या बल है। 0-नोड किसी अन्य की तरह उपयुक्त नहीं है। हम कैपेसिटेंस (घटक सी) और प्रतिरोध (घटक आर) को 0-नोड से जोड़ते हैं।

हम नोड 1 और 0 को भी एक दूसरे से जोड़ते हैं। तीरों की दिशा मनमाने ढंग से चुनी जाती है; कनेक्शन की दिशा केवल समीकरणों में चिह्न को प्रभावित करती है।

आपको निम्नलिखित कनेक्शन ग्राफ़ मिलेगा:

अब हमें कार्य-कारण संबंध स्थापित करने की आवश्यकता है। उनके प्लेसमेंट के क्रम के निर्देशों का पालन करते हुए, आइए स्रोत से शुरू करें।

1. हमारे पास वोल्टेज (प्रयास) का एक स्रोत है, ऐसे स्रोत में कार्य-कारण का केवल एक ही प्रकार है - आउटपुट। चलो इसे लगाओ.
2. अगला घटक I है, आइए देखें कि वे क्या अनुशंसा करते हैं। हम रखतें है
3. हमने इसे 1-नोड के लिए नीचे रखा है। खाओ
4. 0-नोड में एक इनपुट और सभी आउटपुट कारण कनेक्शन होने चाहिए। अभी हमारे पास एक दिन की छुट्टी है। हम घटक सी या आई की तलाश कर रहे हैं। हमने इसे पाया। हम रखतें है
5. आइए सूचीबद्ध करें कि क्या बचा है

बस इतना ही। बॉन्ड ग्राफ बनाया गया है. हुर्रे, साथियों!

जो कुछ बचा है वह हमारे सिस्टम का वर्णन करने वाले समीकरण लिखना है। ऐसा करने के लिए, 3 कॉलम वाली एक तालिका बनाएं। पहले में सिस्टम के सभी घटक शामिल होंगे, दूसरे में प्रत्येक तत्व के लिए इनपुट वैरिएबल होगा, और तीसरे में उसी घटक के लिए आउटपुट वैरिएबल होगा। हम पहले ही कारण संबंधों द्वारा इनपुट और आउटपुट को परिभाषित कर चुके हैं। इसलिए कोई समस्या नहीं होनी चाहिए.

आइए स्तरों को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए प्रत्येक कनेक्शन को क्रमांकित करें। हम घटकों सी, आर, आई की सूची से प्रत्येक तत्व के लिए समीकरण लेते हैं।

एक तालिका संकलित करने के बाद, हम राज्य चर को परिभाषित करते हैं, इस उदाहरण में उनमें से 2 हैं, p3 और q5। आगे आपको राज्य के समीकरण लिखने होंगे:

बस, मॉडल तैयार है।

उदाहरण 2. मैं फोटो की गुणवत्ता के लिए तुरंत माफी मांगना चाहूंगा, मुख्य बात यह है कि आप पढ़ सकते हैं

आइए एक यांत्रिक प्रणाली के लिए एक और उदाहरण हल करें, वही जिसे हमने लैग्रेंज विधि का उपयोग करके हल किया था। मैं बिना किसी टिप्पणी के समाधान दिखाऊंगा। आइए देखें कि इनमें से कौन सा तरीका सरल और आसान है।

मतबाला में, समान मापदंडों वाले दोनों गणितीय मॉडल संकलित किए गए थे, जो लैग्रेंज विधि और बॉन्ड-ग्राफ द्वारा प्राप्त किए गए थे। परिणाम नीचे है: टैग जोड़ें

एक सशर्त चरम सीमा निर्धारित करने की विधि एक सहायक लैग्रेंज फ़ंक्शन के निर्माण से शुरू होती है, जो व्यवहार्य समाधान के क्षेत्र में चर के समान मूल्यों के लिए अधिकतम तक पहुंचती है। एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , जो उद्देश्य फ़ंक्शन के समान है जेड . फ़ंक्शन के सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या को हल होने दें जेड = एफ(एक्स) प्रतिबंधों के तहत φ मैं ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) = 0, मैं = 1, 2, ..., एम , एम < एन

आइए एक फ़ंक्शन बनाएं

जिसे कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन. एक्स , - स्थिर कारक ( लैग्रेंज गुणक). ध्यान दें कि लैग्रेंज मल्टीप्लायरों को एक आर्थिक अर्थ दिया जा सकता है। अगर एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) - योजना के अनुरूप आय एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) , और फ़ंक्शन φ मैं (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) - इस योजना के अनुरूप आई-वें संसाधन की लागत एक्स , आई-वें संसाधन की कीमत (अनुमान) है, जो आई-वें संसाधन (सीमांत अनुमान) के आकार में परिवर्तन के आधार पर उद्देश्य फ़ंक्शन के चरम मूल्य में परिवर्तन को दर्शाता है। एल(एक्स) - समारोह एन+एम चर (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , λ 1 , λ 2 , ..., λ एन ) . इस फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने से समीकरणों की प्रणाली को हल करना संभव हो जाता है

यह देखना आसान है . इस प्रकार, फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने का कार्य जेड = एफ(एक्स) फ़ंक्शन के स्थानीय चरम को खोजने तक कम हो जाता है एल(एक्स) . यदि एक स्थिर बिंदु पाया जाता है, तो सरलतम मामलों में एक चरम के अस्तित्व का प्रश्न चरम के लिए पर्याप्त शर्तों के आधार पर हल किया जाता है - दूसरे अंतर के संकेत का अध्ययन डी 2 एल(एक्स) एक स्थिर बिंदु पर, बशर्ते कि परिवर्तनीय वृद्धि हो Δx मैं - रिश्तों से जुड़ा हुआ

युग्मन समीकरणों को विभेदित करके प्राप्त किया जाता है।

समाधान खोजक उपकरण का उपयोग करके दो अज्ञात में अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

समायोजन समाधान ढूँढनाआपको दो अज्ञात के साथ अरेखीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की अनुमति देता है:

कहाँ
- चरों का अरेखीय कार्य एक्स और य ,
- मनमाना स्थिरांक.

यह ज्ञात है कि युगल ( एक्स , य ) समीकरणों की प्रणाली (10) का एक समाधान है यदि और केवल यदि यह दो अज्ञात के साथ निम्नलिखित समीकरण का समाधान है:

साथदूसरी ओर, सिस्टम (10) का समाधान दो वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु है: एफ ] (एक्स, य) = सी और एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 सतह पर एक्सओवाई.

इससे सिस्टम की जड़ों को खोजने की एक विधि सामने आती है। अरेखीय समीकरण:

समीकरणों (10) या समीकरण (11) की प्रणाली के समाधान के अस्तित्व का अंतराल (कम से कम लगभग) निर्धारित करें। यहां सिस्टम में शामिल समीकरणों के प्रकार, उनके प्रत्येक समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र आदि को ध्यान में रखना आवश्यक है। कभी-कभी समाधान के प्रारंभिक सन्निकटन के चयन का उपयोग किया जाता है;

चयनित अंतराल पर चर x और y के लिए समीकरण (11) के समाधान को सारणीबद्ध करें, या फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं एफ 1 (एक्स, य) = सी, और एफ 2 (एक्स,वाई) = सी 2 (सिस्टम(10)).

समीकरणों की प्रणाली की अनुमानित जड़ों को स्थानीयकृत करें - समीकरण (11) की जड़ों को सारणीबद्ध करने वाली तालिका से कई न्यूनतम मान खोजें, या सिस्टम (10) में शामिल वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

4. ऐड-इन का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली (10) के लिए मूल खोजें समाधान ढूँढना.