Հոգեբանության ուսանողին (սոցիոլոգ, մենեջեր, մենեջեր և այլն) հաճախ հետաքրքրում է, թե ինչպես են երկու կամ ավելի փոփոխականները կապված միմյանց հետ ուսումնասիրվող մեկ կամ մի քանի խմբերում:
Մաթեմատիկայում փոփոխական մեծությունների միջև փոխհարաբերությունները նկարագրելու համար օգտագործվում է F ֆունկցիայի հասկացությունը, որը կապում է X անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր հատուկ արժեք Y կախյալ փոփոխականի որոշակի արժեքի հետ: Արդյունքում կախվածությունը նշվում է որպես Y=F( X).
Միևնույն ժամանակ, չափված բնութագրերի միջև փոխկապակցվածության տեսակները կարող են տարբեր լինել. օրինակ, հարաբերակցությունը կարող է լինել գծային և ոչ գծային, դրական և բացասական: Այն գծային է. եթե մեկ X փոփոխականի աճով կամ նվազումով, երկրորդ Y փոփոխականը, միջինում, նույնպես մեծանում է կամ նվազում: Այն ոչ գծային է, եթե մի մեծության աճով երկրորդի փոփոխության բնույթը գծային չէ, այլ նկարագրված է այլ օրենքներով։
Հարաբերակցությունը դրական կլինի, եթե X փոփոխականի աճով միջինում ավելանա նաև Y փոփոխականը, իսկ եթե X-ի աճով Y փոփոխականը միջինում հակված է նվազման, ապա մենք խոսում ենք բացասականի առկայության մասին։ հարաբերակցությունը. Հնարավոր է, որ փոփոխականների միջև որևէ կապ հաստատել հնարավոր չէ: Այս դեպքում ասում են՝ հարաբերակցություն չկա։
Առաջադրանք հարաբերակցության վերլուծությունհանգում է տարբեր բնութագրերի միջև փոխհարաբերությունների ուղղության (դրական կամ բացասական) և ձևի (գծային, ոչ գծային) սահմանմանը, դրա սերտությունը չափելուն և, վերջապես, ստացված հարաբերակցության գործակիցների նշանակության մակարդակի ստուգմանը:
Ք. Սփիրմանի կողմից առաջարկված աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը վերաբերում է փոփոխականների միջև փոխհարաբերությունների ոչ պարամետրիկ չափմանը, որը չափվում է վարկանիշային սանդղակով: Այս գործակիցը հաշվարկելիս ոչ մի ենթադրություն չի պահանջվում մեջ բնութագրիչների բաշխման բնույթի վերաբերյալ բնակչությունը. Այս գործակիցը որոշում է շարքային բնութագրերի միջև կապի սերտության աստիճանը, որոնք տվյալ դեպքում ներկայացնում են համեմատվող մեծությունների շարքերը։
Վարկանիշային գործակից գծային հարաբերակցություն Spearman-ը հաշվարկվում է բանաձևով.
որտեղ n-ը դասակարգված հատկանիշների (ցուցանիշներ, առարկաներ) թիվն է.
D-ը յուրաքանչյուր առարկայի համար երկու փոփոխականների դասակարգման տարբերությունն է.
D2-ը շարքերի քառակուսի տարբերությունների գումարն է:
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակցի կրիտիկական արժեքները ներկայացված են ստորև.
Սփիրմանի գծային հարաբերակցության գործակիցի արժեքը +1 և -1 միջակայքում է: Սփիրմանի գծային հարաբերակցության գործակիցը կարող է լինել դրական կամ բացասական՝ բնութագրելով աստիճանական սանդղակով չափվող երկու հատկանիշների միջև փոխհարաբերությունների ուղղությունը։
Եթե հարաբերակցության գործակիցը մոդուլում պարզվում է, որ մոտ է 1-ին, ապա դա համապատասխանում է բարձր մակարդակկապեր փոփոխականների միջև: Այսպիսով, մասնավորապես, երբ փոփոխականը փոխկապակցված է իր հետ, հարաբերակցության գործակցի արժեքը հավասար կլինի +1-ի: Նման հարաբերությունները բնութագրում են ուղիղ համամասնական կախվածությունը: Եթե X փոփոխականի արժեքները դասավորված են աճման կարգով, և նույն արժեքները (այժմ նշանակված են որպես Y փոփոխական) դասավորված են նվազման կարգով, ապա այս դեպքում X և Y փոփոխականների միջև հարաբերակցությունը ճիշտ կլինի: -1. Հարաբերակցության գործակցի այս արժեքը բնութագրում է հակադարձ համեմատական հարաբերություն:
Ստացված հարաբերությունները մեկնաբանելու համար շատ կարևոր է հարաբերակցության գործակցի նշանը։ Եթե գծային հարաբերակցության գործակցի նշանը գումարած է, ապա հարաբերական հատկանիշների միջև կապն այնպիսին է, որ մի հատկանիշի (փոփոխականի) ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է մեկ այլ հատկանիշի (մյուս փոփոխականի) ավելի մեծ արժեքին: Այսինքն, եթե մի ցուցանիշը (փոփոխականը) մեծանում է, ապա մյուս ցուցանիշը (փոփոխականը) համապատասխանաբար աճում է։ Այս կախվածությունը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։
Եթե ստացվում է մինուս նշան, ապա մի հատկանիշի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է մյուսի փոքր արժեքին: Այլ կերպ ասած, եթե կա մինուս նշան, մի փոփոխականի (նշանի, արժեքի) աճը համապատասխանում է մեկ այլ փոփոխականի նվազմանը։ Այս կախվածությունը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։ Այս դեպքում փոփոխականի ընտրությունը, որին վերագրվում է աճի նիշը (տենդենցը) կամայական է։ Այն կարող է լինել կամ X փոփոխական կամ Y փոփոխական: Այնուամենայնիվ, եթե X փոփոխականը համարվում է աճող, ապա Y փոփոխականը համապատասխանաբար կնվազի և հակառակը:
Դիտարկենք Սփիրմանի հարաբերակցության օրինակը։
Հոգեբանը պարզում է, թե ինչպես են դրանք կապված անհատական ցուցանիշներԴպրոցական պատրաստակամությունը, որը ձեռք է բերվել նախքան դպրոցը սկսելը 11 առաջին դասարանցիների շրջանում և նրանց միջին ուսումնական արդյունքները ուսումնական տարվա վերջում:
Այս խնդիրը լուծելու համար մենք դասակարգել ենք, առաջին հերթին, դպրոց ընդունվելիս ձեռք բերված դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշների արժեքները, և երկրորդ՝ այդ նույն ուսանողների միջին հաշվով տարեվերջին ակադեմիական կատարողականի վերջնական ցուցանիշները: Արդյունքները ներկայացնում ենք աղյուսակում.
Ստացված տվյալները փոխարինում ենք վերը նշված բանաձևով և կատարում ենք հաշվարկը։ Մենք ստանում ենք.
Նշանակության մակարդակը գտնելու համար մենք դիմում ենք «Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցի կրիտիկական արժեքները» աղյուսակին, որը ցույց է տալիս աստիճանի հարաբերակցության գործակիցների կրիտիկական արժեքները:
Մենք կառուցում ենք համապատասխան «նշանակության առանցքը».
Ստացված հարաբերակցության գործակիցը համընկավ 1% նշանակության մակարդակի կրիտիկական արժեքի հետ։ Հետևաբար, կարելի է պնդել, որ առաջին դասարանցիների դպրոցական պատրաստվածության և ավարտական գնահատականների ցուցանիշները կապված են դրական հարաբերակցությամբ. այլ կերպ ասած՝ որքան բարձր է դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշը, այնքան լավ են սովորում առաջին դասարանցիները։ Այն դեպքում, եթե վիճակագրական վարկածներՀոգեբանը պետք է մերժի նմանությունների վերաբերյալ զրոյական (H0) վարկածը և ընդունի այլընտրանքային (H1) տարբերությունների առկայության մասին, ինչը հուշում է, որ դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշների և միջին ակադեմիական կատարողականի միջև կապը տարբերվում է զրոյից:
Spearman հարաբերակցությունը. Հարաբերակցության վերլուծություն՝ օգտագործելով Spearman մեթոդը: Սփիրմանի շարքերը. Սփիրմանի հարաբերակցության գործակիցը. Spearman աստիճանի հարաբերակցությունը
Այն դեպքերում, երբ ուսումնասիրվող բնութագրերի չափումները կատարվում են պատվերի սանդղակով, կամ հարաբերությունների ձևը տարբերվում է գծայինից, երկուսի միջև փոխհարաբերությունների ուսումնասիրությունը. պատահական փոփոխականներիրականացվում է վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցների միջոցով: Դիտարկենք Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը: Այն հաշվարկելիս անհրաժեշտ է դասակարգել (պատվիրել) ընտրանքային տարբերակները։ Վարկանիշը փորձարարական տվյալների խմբավորումն է որոշակի հերթականությամբ՝ աճման կամ նվազման:
Վարկանիշային գործողությունն իրականացվում է հետևյալ ալգորիթմի համաձայն.
1. Ավելի ցածր արժեք է նշանակվում ավելի ցածր աստիճան: Ամենաբարձր արժեքին վերագրվում է վարկանիշ, որը համապատասխանում է դասակարգված արժեքների քանակին: Ամենափոքր արժեքին վերագրվում է 1 աստիճան: Օրինակ, եթե n=7, ապա ամենաբարձր արժեքըկստանա 7-րդ աստիճան, բացառությամբ երկրորդ կանոնով նախատեսված դեպքերի:
2. Եթե մի քանի արժեքներ հավասար են, ապա նրանց նշանակվում է այնպիսի կոչում, որն այն աստիճանների միջինն է, որը նրանք կստանային, եթե դրանք հավասար չլինեին: Որպես օրինակ, դիտարկենք աճող կարգի նմուշը, որը բաղկացած է 7 տարրից՝ 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30: 22 և 23 արժեքները հայտնվում են յուրաքանչյուրը մեկ անգամ, ուստի դրանց շարքերը համապատասխանաբար R22=1 են, և R23=2. 25 արժեքը հայտնվում է 3 անգամ: Եթե այս արժեքները չկրկնվեին, ապա դրանց շարքերը կկազմեն 3, 4, 5: Հետևաբար, նրանց R25 աստիճանը հավասար է 3, 4 և 5 թվերի միջին թվաբանականին: 28 և 30 արժեքները չեն կրկնվում, ուստի դրանց շարքերը համապատասխանաբար R28=6 և R30=7 են: Վերջապես մենք ունենք հետևյալ նամակագրությունը.
3. ընդհանուր գումարըշարքերը պետք է համընկնեն հաշվարկվածի հետ, որը որոշվում է բանաձևով.
որտեղ n - ընդհանուրդասակարգված արժեքներ.
Անհամապատասխանություն իրական և գնահատված գումարներըշարքերը ցույց կտան, որ սխալ է թույլ տրվել վարկանիշները հաշվարկելիս կամ դրանք ամփոփելիս: Այս դեպքում դուք պետք է գտնեք և շտկեք սխալը:
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը մեթոդ է, որը թույլ է տալիս որոշել երկու հատկանիշների կամ հատկանիշների երկու հիերարխիայի հարաբերությունների ուժն ու ուղղությունը: Վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցի օգտագործումը մի շարք սահմանափակումներ ունի.
- ա) Ենթադրված հարաբերակցության կախվածությունը պետք է լինի միապաղաղ.
- բ) Յուրաքանչյուր նմուշի չափը պետք է լինի 5-ից մեծ կամ հավասար: Որոշելու համար վերին սահմանընմուշների օգտագործման աղյուսակներ կրիտիկական արժեքներ(Հավելված Աղյուսակ 3): Աղյուսակում n-ի առավելագույն արժեքը 40 է:
- գ) Վերլուծության ընթացքում հավանական է, որ մեծ թվով միանման աստիճաններ կարող են առաջանալ: Այս դեպքում պետք է փոփոխություն կատարվի։ Առավել բարենպաստ դեպքն այն է, երբ հետազոտվող երկու նմուշներն էլ ներկայացնում են տարբեր արժեքների երկու հաջորդականություն:
Հարաբերակցության վերլուծություն իրականացնելու համար հետազոտողը պետք է ունենա երկու նմուշ, որոնք կարող են դասակարգվել, օրինակ.
- - առարկաների նույն խմբում չափված երկու բնութագրեր.
- - հատկանիշների երկու առանձին հիերարխիա, որոնք բացահայտված են երկու առարկաներում՝ օգտագործելով հատկանիշների նույն շարքը.
- - բնութագրերի երկու խմբի հիերարխիա;
- - բնութագրերի անհատական և խմբային հիերարխիա:
Մենք սկսում ենք հաշվարկը՝ յուրաքանչյուր բնութագրիչի համար ուսումնասիրված ցուցանիշները դասակարգելով առանձին:
Եկեք վերլուծենք մի դեպք, որն ունի երկու բնութագրեր, որոնք չափվում են առարկաների նույն խմբում: Նախ, տարբեր առարկաների կողմից ձեռք բերված անհատական արժեքները դասակարգվում են ըստ առաջին բնութագրիչի, այնուհետև առանձին արժեքները դասակարգվում են ըստ երկրորդ բնութագրի: Եթե մեկ ցուցիչի ավելի ցածր աստիճանները համապատասխանում են մեկ այլ ցուցանիշի ավելի ցածր աստիճաններին, իսկ մեկ ցուցիչի ավելի բարձր կոչումները՝ մեկ այլ ցուցանիշի ավելի մեծ շարքերի, ապա այդ երկու բնութագրերը դրականորեն կապված են: Եթե մեկ ցուցիչի ավելի բարձր աստիճանները համապատասխանում են մեկ այլ ցուցանիշի ավելի ցածր աստիճաններին, ապա այդ երկու բնութագրերը բացասաբար կապված են: rs-ը գտնելու համար մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր առարկայի (դ) շարքերի տարբերությունները: Որքան փոքր լինի շարքերի միջև եղած տարբերությունը, այնքան rs-ի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը կմոտենա «+1»-ին: Եթե հարաբերություն չկա, ապա նրանց միջև համապատասխանություն չի լինի, հետևաբար rs-ը մոտ կլինի զրոյին։ Որքան մեծ լինի առարկաների շարքերի միջև տարբերությունը երկու փոփոխականների վրա, այնքան մոտ կլինի «-1»-ին rs գործակցի արժեքը: Այսպիսով, Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը հետազոտվող երկու բնութագրերի միջև ցանկացած միապաղաղ կապի չափումն է:
Դիտարկենք երկու սուբյեկտներում բացահայտված հատկանիշների երկու առանձին հիերարխիաների դեպքը, որոնք օգտագործվում են նույն շարք հատկանիշներով: Այս իրավիճակում երկու առարկաներից յուրաքանչյուրի կողմից ձեռք բերված անհատական արժեքները դասակարգվում են ըստ որոշակի բնութագրերի: Ամենաշատին համահունչ ցածր արժեքանհրաժեշտ է նշանակել առաջին աստիճան; ավելի բարձր արժեք ունեցող բնութագիրը երկրորդ աստիճանն է և այլն։ Պետք է վճարել Հատուկ ուշադրությունապահովել, որ բոլոր բնութագրերը չափվում են նույն միավորներով: Օրինակ, անհնար է դասակարգել ցուցանիշները, եթե դրանք արտահայտված են տարբեր «գների» կետերով, քանի որ անհնար է որոշել, թե գործոններից որն է առաջին տեղը գրավելու ծանրության առումով, քանի դեռ բոլոր արժեքները չեն բերվել մեկ սանդղակի: Եթե առարկաներից մեկում ցածր աստիճաններ ունեցող հատկանիշներն ունեն նաև ցածր աստիճաններ մյուսում և հակառակը, ապա առանձին հիերարխիաները դրականորեն կապված են:
Բնութագրերի երկու խմբի հիերարխիայի դեպքում, առարկաների երկու խմբերում ստացված միջին խմբի արժեքները դասակարգվում են ըստ ուսումնասիրված խմբերի բնութագրերի նույն շարքի: Հաջորդը, մենք հետևում ենք նախորդ դեպքերում տրված ալգորիթմին:
Եկեք վերլուծենք գործը բնութագրերի անհատական և խմբային հիերարխիայով: Նրանք սկսում են առանձին դասակարգելով առարկայի անհատական արժեքները և միջին խմբի արժեքները՝ ըստ ստացված բնութագրերի միևնույն շարքի, բացառելով այն առարկան, որը չի մասնակցում միջին խմբի հիերարխիայում, քանի որ նրա անհատական հիերարխիան կլինի. դրա հետ համեմատած։ Ռանկային հարաբերակցությունը թույլ է տալիս գնահատել հատկանիշների անհատական և խմբային հիերարխիայի հետևողականության աստիճանը:
Եկեք դիտարկենք, թե ինչպես է որոշվում հարաբերակցության գործակիցի նշանակությունը վերը թվարկված դեպքերում։ Երկու բնութագրերի դեպքում այն կորոշվի ընտրանքի չափով։ Երկու անհատական հատկանիշների հիերարխիայի դեպքում նշանակությունը կախված է հիերարխիայում ներառված հատկանիշների քանակից։ Վերջին երկու դեպքերում նշանակությունը որոշվում է ուսումնասիրվող բնութագրերի քանակով, այլ ոչ թե խմբերի քանակով։ Այսպիսով, rs-ի նշանակությունը բոլոր դեպքերում որոշվում է դասակարգված արժեքների քանակով n:
rs-ի վիճակագրական նշանակությունը ստուգելիս նրանք օգտագործում են վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցի կրիտիկական արժեքների աղյուսակներ, որոնք կազմված են տարբեր թվերի դասակարգված արժեքների համար և տարբեր մակարդակներումնշանակությունը։ Եթե rs-ի բացարձակ արժեքը հասնում է կամ գերազանցում է կրիտիկական արժեքը, ապա հարաբերակցությունը հուսալի է:
Առաջին տարբերակը (սուբյեկտների նույն խմբում չափված երկու նշաններով դեպք) դիտարկելիս հնարավոր են հետևյալ վարկածները.
H0. x և y փոփոխականների հարաբերակցությունը չի տարբերվում զրոյից:
H1. x և y փոփոխականների հարաբերակցությունը էականորեն տարբերվում է զրոյից:
Եթե աշխատենք մնացած երեք դեպքերից որևէ մեկի հետ, ապա անհրաժեշտ է առաջ քաշել ևս մեկ զույգ վարկած.
H0. x և y հիերարխիաների հարաբերակցությունը չի տարբերվում զրոյից:
H1. x և y հիերարխիաների հարաբերակցությունը էականորեն տարբերվում է զրոյից:
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը rs հաշվարկելիս գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.
- - Որոշեք, թե որ երկու հատկանիշ կամ հատկանիշների երկու հիերարխիա կմասնակցեն համեմատությանը որպես x և y փոփոխականներ:
- - Դասակարգեք x փոփոխականի արժեքները՝ նշանակելով 1 աստիճան ամենացածր արժեքը, ըստ վարկանիշային կանոնների։ Տեղադրեք դասակարգումները աղյուսակի առաջին սյունակում՝ ըստ թեստավորման առարկաների կամ բնութագրերի:
- - դասակարգել y փոփոխականի արժեքները: Տեղադրեք դասակարգումները աղյուսակի երկրորդ սյունակում՝ ըստ թեստավորման առարկաների կամ բնութագրերի:
- - Հաշվե՛ք d տարբերությունները x և y շարքերի միջև աղյուսակի յուրաքանչյուր տողի համար: Արդյունքները տեղադրեք աղյուսակի հաջորդ սյունակում:
- - Հաշվի՛ր քառակուսի տարբերությունները (d2): Ստացված արժեքները տեղադրեք աղյուսակի չորրորդ սյունակում:
- -Հաշվե՛ք քառակուսի տարբերությունների գումարը: դ2.
- - Եթե տեղի են ունենում նույնական շարքեր, հաշվարկեք ուղղումները.
որտեղ tx-ը x նմուշի նույնական շարքերի յուրաքանչյուր խմբի ծավալն է.
ty-ը նույնական շարքերի յուրաքանչյուր խմբի ծավալն է y-ում:
Հաշվարկել աստիճանների հարաբերակցության գործակիցը` կախված նույնական շարքերի առկայությունից կամ բացակայությունից: Եթե չկան միանման աստիճաններ, ապա հաշվարկեք վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցը rs բանաձևով.
Եթե կան միանման աստիճաններ, ապա հաշվարկեք վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցը rs բանաձևով.
որտեղ?d2-ը շարքերի միջև քառակուսի տարբերությունների գումարն է.
Tx և Ty - ուղղումներ նույն շարքերի համար.
n-ը դասակարգմանը մասնակցող առարկաների կամ հատկանիշների թիվն է:
Որոշեք rs-ի կրիտիկական արժեքները Հավելված Աղյուսակ 3-ից տվյալ թվով առարկաների համար n. Կդիտարկվի հուսալի տարբերություն հարաբերակցության գործակիցի զրոյից, պայմանով, որ rs-ը կրիտիկական արժեքից պակաս չէ:
- Սա քանակական գնահատական է վիճակագրական ուսումնասիրությունոչ պարամետրային մեթոդներում օգտագործվող երևույթների միջև կապը:
Ցուցանիշը ցույց է տալիս, թե ինչպես է դիտարկման ժամանակ ստացված շարքերի քառակուսի տարբերությունների գումարը տարբերվում կապի բացակայությունից:
Ծառայության նպատակը. Օգտագործելով այս առցանց հաշվիչը կարող եք.
- Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցի հաշվարկ;
- հաշվարկ վստահության միջակայքըգործակցի և դրա նշանակության գնահատման համար.
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցըվերաբերում է հաղորդակցության սերտությունը գնահատելու ցուցիչներին: Շարքային հարաբերակցության գործակցի, ինչպես նաև հարաբերակցության այլ գործակիցների կապի սերտության որակական բնութագիրը կարելի է գնահատել Չադդոքի սանդղակի միջոցով։
Գործակիցի հաշվարկբաղկացած է հետևյալ քայլերից.
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակցի հատկությունները
Կիրառման տարածք. Վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցօգտագործվում է երկու բնակչության միջև հաղորդակցության որակը գնահատելու համար: Բացի սրանից իր վիճակագրական նշանակությունօգտագործվում է հետերոսկեդաստիկության տվյալների վերլուծության ժամանակ:
Օրինակ. Դիտարկված X և Y փոփոխականների նմուշի հիման վրա.
- ստեղծել վարկանիշային աղյուսակ;
- Գտեք Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը և ստուգեք դրա նշանակությունը 2ա մակարդակում
- գնահատել կախվածության բնույթը
| X | Յ | կոչում X, d x | աստիճան Y, d y |
| 28 | 21 | 1 | 1 |
| 30 | 25 | 2 | 2 |
| 36 | 29 | 4 | 3 |
| 40 | 31 | 5 | 4 |
| 30 | 32 | 3 | 5 |
| 46 | 34 | 6 | 6 |
| 56 | 35 | 8 | 7 |
| 54 | 38 | 7 | 8 |
| 60 | 39 | 10 | 9 |
| 56 | 41 | 9 | 10 |
| 60 | 42 | 11 | 11 |
| 68 | 44 | 12 | 12 |
| 70 | 46 | 13 | 13 |
| 76 | 50 | 14 | 14 |
Վարկանիշային մատրիցա.
| կոչում X, d x | աստիճան Y, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 4 | 3 | 1 |
| 5 | 4 | 1 |
| 3 | 5 | 4 |
| 6 | 6 | 0 |
| 8 | 7 | 1 |
| 7 | 8 | 1 |
| 10 | 9 | 1 |
| 9 | 10 | 1 |
| 11 | 11 | 0 |
| 12 | 12 | 0 |
| 13 | 13 | 0 |
| 14 | 14 | 0 |
| 105 | 105 | 10 |
Չեկային գումարի հաշվարկի հիման վրա մատրիցայի ճշգրտության ստուգում.
Մատրիցայի սյունակների գումարը հավասար է միմյանց և ստուգիչ գումարին, ինչը նշանակում է, որ մատրիցը ճիշտ է կազմված:
Օգտագործելով բանաձևը, մենք հաշվարկում ենք Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը:
Y հատկանիշի և X գործոնի միջև կապը ուժեղ է և անմիջական
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը
Որպեսզի փորձարկենք զրոյական վարկածը α նշանակության մակարդակում, որ Սփիրմանի ընդհանուր վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցը հավասար է զրոյի մրցակցող հիպոթեզում Hi: p ≠ 0, մենք պետք է հաշվարկենք կրիտիկական կետը.
որտեղ n-ը նմուշի չափն է. ρ-ը Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցն է. t(α, k) երկկողմանի կրիտիկական շրջանի կրիտիկական կետն է, որը հայտնաբերվում է Student բաշխման կրիտիկական կետերի աղյուսակից՝ ըստ նշանակության α մակարդակի և թվի: ազատության աստիճանների k = n-2.
Եթե |p|< Т kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая հարաբերական կապէական չէ որակական հատկանիշների միջև: Եթե |p| > T kp - զրոյական վարկածը մերժվում է: Որակական բնութագրերի միջև զգալի աստիճանային հարաբերակցություն կա։
Օգտագործելով Ուսանողի աղյուսակը մենք գտնում ենք t(α/2, k) = (0.1/2;12) = 1.782
Քանի որ T kp< ρ , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.
Ք. Սփիրմանի կողմից առաջարկված աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը վերաբերում է փոփոխականների միջև փոխհարաբերությունների ոչ պարամետրիկ չափմանը, որը չափվում է վարկանիշային սանդղակով: Այս գործակիցը հաշվարկելիս ենթադրություններ չեն պահանջվում բնակչության մեջ բնութագրերի բաշխման բնույթի վերաբերյալ: Այս գործակիցը որոշում է շարքային բնութագրերի միջև կապի սերտության աստիճանը, որոնք տվյալ դեպքում ներկայացնում են համեմատվող մեծությունների շարքերը։
Սփիրմանի հարաբերակցության գործակիցը նույնպես գտնվում է +1 և -1 միջակայքում: Այն, ինչպես Պիրսոնի գործակիցը, կարող է լինել դրական և բացասական՝ բնութագրելով երկու բնութագրերի միջև փոխհարաբերությունների ուղղությունը, որը չափվում է աստիճանի սանդղակով:
Սկզբունքորեն, դասակարգված հատկանիշների քանակը (որակներ, հատկանիշներ և այլն) կարող է լինել ցանկացած, բայց 20-ից ավելի հատկանիշների դասակարգման գործընթացը դժվար է: Հնարավոր է, որ դա է պատճառը, որ վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցի կրիտիկական արժեքների աղյուսակը հաշվարկվել է միայն քառասուն դասակարգված հատկանիշների համար (n< 40, табл. 20 приложения 6).
Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը հաշվարկվում է բանաձևով.
որտեղ n-ը դասակարգված հատկանիշների (ցուցանիշներ, առարկաներ) թիվն է.
D-ը յուրաքանչյուր առարկայի համար երկու փոփոխականների վարկանիշների տարբերությունն է.
Քառակուսի վարկանիշային տարբերությունների գումարը:
Օգտագործելով աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը, հաշվի առեք հետևյալ օրինակը.
ՕրինակՀոգեբանը պարզում է, թե ինչպես են կապված 11 առաջին դասարանցիների մոտ դպրոցական պատրաստության անհատական ցուցանիշները, որոնք ձեռք են բերվել նախքան դպրոցը սկսելը, միմյանց և ուսումնական տարվա վերջում նրանց միջին կատարողականի հետ:
Այս խնդիրը լուծելու համար մենք դասակարգել ենք, առաջին հերթին, դպրոց ընդունվելիս ձեռք բերված դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշների արժեքները, և երկրորդ՝ այդ նույն ուսանողների միջին հաշվով տարեվերջին ակադեմիական կատարողականի վերջնական ցուցանիշները: Արդյունքները ներկայացնում ենք աղյուսակում. 13.
Աղյուսակ 13
|
Ուսանող թիվ | |||||||||||
|
Դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշների շարքերը | |||||||||||
|
Միջին տարեկան կատարողականի վարկանիշները | |||||||||||
Ստացված տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով և կատարում ենք հաշվարկը։ Մենք ստանում ենք.
Նշանակության մակարդակը գտնելու համար տե՛ս աղյուսակը։ Հավելված 6-ի 20-ը, որը ցույց է տալիս վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցների կրիտիկական արժեքները:
Մենք դա ընդգծում ենք աղյուսակում. Հավելված 6-ի 20-ը, ինչպես գծային Պիրսոնի հարաբերակցության աղյուսակում, հարաբերակցության գործակիցների բոլոր արժեքները տրված են ըստ. բացարձակ արժեք. Ուստի հարաբերակցության գործակցի նշանը հաշվի է առնվում միայն այն մեկնաբանելիս։
Այս աղյուսակում նշանակության մակարդակները գտնելն իրականացվում է n թվով, այսինքն՝ առարկաների քանակով: Մեր դեպքում n = 11. Այս թվի համար մենք գտնում ենք.
0,61 P 0,05-ի համար
0,76 P 0,01-ի համար
Մենք կառուցում ենք համապատասխան «նշանակության առանցքը».
Ստացված հարաբերակցության գործակիցը համընկավ 1% նշանակության մակարդակի կրիտիկական արժեքի հետ։ Հետևաբար, կարելի է պնդել, որ առաջին դասարանցիների դպրոցական պատրաստվածության և ավարտական գնահատականների ցուցանիշները կապված են դրական հարաբերակցությամբ. այլ կերպ ասած՝ որքան բարձր է դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշը, այնքան լավ են սովորում առաջին դասարանցիները։ Վիճակագրական վարկածների առումով հոգեբանը պետք է մերժի նմանության զրոյական վարկածը և ընդունի տարբերությունների այլընտրանքային վարկածը, որը հուշում է, որ դպրոցական պատրաստվածության ցուցանիշների և միջին ակադեմիական կատարողականի միջև կապը տարբերվում է զրոյից:
Միանման (հավասար) կոչումների դեպք
Եթե կան միանման աստիճաններ, ապա Spearman-ի գծային հարաբերակցության գործակիցը հաշվարկելու բանաձևը մի փոքր այլ կլինի: Այս դեպքում հարաբերակցության գործակիցների հաշվարկման բանաձեւին ավելացվում է երկու նոր անդամ՝ հաշվի առնելով նույն շարքերը։ Դրանք կոչվում են հավասար աստիճանի ուղղումներ և ավելացվում են հաշվարկման բանաձևի համարիչին։
որտեղ n-ը առաջին սյունակում նույնական շարքերի թիվն է,
k-ն երկրորդ սյունակի նույնական շարքերի թիվն է:
Եթե որևէ սյունակում կան նույնական շարքերի երկու խումբ, ապա ուղղման բանաձևը որոշ չափով ավելի բարդ է դառնում.
որտեղ n-ը դասավորված սյունակի առաջին խմբում նույնական շարքերի թիվն է,
k-ը դասակարգված սյունակի երկրորդ խմբի նույնական շարքերի թիվն է: Բանաձևի փոփոխություն ընդհանուր դեպքսա է:
ՕրինակՀոգեբանը, օգտագործելով մտավոր զարգացման թեստը (MDT), անցկացնում է ինտելեկտի ուսումնասիրություն 9-րդ դասարանի 12 աշակերտների մոտ: Միաժամանակ նա խնդրում է գրականության և մաթեմատիկայի ուսուցիչներին դասակարգել նույն ուսանողներին ըստ ցուցանիշների մտավոր զարգացում. Խնդիրն է պարզել, թե ինչպես են միմյանց հետ կապված մտավոր զարգացման օբյեկտիվ ցուցանիշները (SHTUR տվյալներ) և ուսուցիչների փորձագիտական գնահատումները:
Այս խնդրի փորձարարական տվյալները և Սփիրմանի հարաբերակցության գործակիցը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ լրացուցիչ սյունակները ներկայացնում ենք աղյուսակի տեսքով։ 14.
Աղյուսակ 14
|
Ուսանող թիվ |
SHTURA-ի օգտագործմամբ թեստավորման շարքեր |
Մաթեմատիկայի ուսուցիչների փորձագիտական գնահատականները |
Ուսուցիչների փորձագիտական գնահատականները գրականության վերաբերյալ |
D (երկրորդ և երրորդ սյունակներ) |
D (երկրորդ և չորրորդ սյունակներ) |
(երկրորդ և երրորդ սյունակներ) |
(երկրորդ և չորրորդ սյունակներ) |
Քանի որ վարկանիշում օգտագործվել են նույն վարկանիշները, անհրաժեշտ է ստուգել աղյուսակի երկրորդ, երրորդ և չորրորդ սյունակներում դասակարգման ճիշտությունը։ Այս սյունակներից յուրաքանչյուրն ամփոփելով՝ ստացվում է նույն ընդհանուրը՝ 78:
Մենք ստուգում ենք հաշվարկման բանաձև. Չեկը տալիս է.
Աղյուսակի հինգերորդ և վեցերորդ սյունակները ցույց են տալիս յուրաքանչյուր ուսանողի համար SHTUR թեստի վրա հոգեբանի փորձագիտական գնահատականների շարքերի տարբերության արժեքները և ուսուցիչների փորձագիտական գնահատականների արժեքները, համապատասխանաբար, մաթեմատիկայի և գրականության մեջ: Վարկանիշային տարբերության արժեքների գումարը պետք է հավասար լինի զրոյի: Հինգերորդ և վեցերորդ սյունակներում D արժեքների ամփոփումը տվեց ցանկալի արդյունք: Ուստի աստիճանների հանումը ճիշտ է կատարվել։ Նմանատիպ ստուգում պետք է կատարվի ամեն անգամ՝ բարդ տեսակների դասակարգման ժամանակ։
Նախքան բանաձևի միջոցով հաշվարկն սկսելը, անհրաժեշտ է հաշվարկել աղյուսակի երկրորդ, երրորդ և չորրորդ սյունակների նույն շարքերի ուղղումները:
Մեր դեպքում, աղյուսակի երկրորդ սյունակում կան երկու նույնական շարքեր, հետևաբար, ըստ բանաձևի, D1 ուղղման արժեքը կլինի. 
Երրորդ սյունակը պարունակում է երեք նույնական աստիճաններ, հետևաբար, ըստ բանաձևի, D2 ուղղման արժեքը կլինի. 
Աղյուսակի չորրորդ սյունակում կան երեք նույնական աստիճանների երկու խումբ, հետևաբար, ըստ բանաձևի, D3 ուղղման արժեքը կլինի. 
Մինչ խնդրի լուծմանն անցնելը, հիշենք, որ հոգեբանը պարզաբանում է երկու հարց՝ ինչպե՞ս են կապված SHtUR թեստի վարկանիշների արժեքները. փորձագիտական գնահատականներմաթեմատիկայի և գրականության մեջ։ Այդ իսկ պատճառով հաշվարկն իրականացվում է երկու անգամ։
Մենք հաշվարկում ենք առաջին վարկանիշային գործակիցը՝ հաշվի առնելով հավելումները՝ ըստ բանաձևի։ Մենք ստանում ենք.
Հաշվարկենք առանց հավելումը հաշվի առնելու.
Ինչպես տեսնում ենք, հարաբերակցության գործակիցների արժեքների տարբերությունը շատ աննշան է ստացվել։
Մենք հաշվարկում ենք երկրորդ դասակարգման գործակիցը՝ հաշվի առնելով հավելումները՝ ըստ բանաձևի։ Մենք ստանում ենք.
Հաշվարկենք առանց հավելումը հաշվի առնելու.
Կրկին տարբերությունները շատ չնչին էին: Քանի որ աշակերտների թիվը երկու դեպքում էլ նույնն է, համաձայն Աղյուսակ. Հավելված 6-ի 20-ում մենք գտնում ենք կրիտիկական արժեքները n = 12-ում միանգամից երկու հարաբերակցության գործակիցների համար:
0,58 P 0,05-ի համար
0,73 P 0,01-ի համար
Մենք առաջին արժեքը գծագրում ենք «նշանակության առանցքի» վրա.
Առաջին դեպքում ստացված վարկանիշային հարաբերակցության գործակիցը գտնվում է նշանակության գոտում։ Հետևաբար, հոգեբանը պետք է մերժի զրոյական վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը նման է զրոյին և ընդունի այլընտրանքային վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը զգալիորեն տարբերվում է զրոյից: Այլ կերպ ասած, ստացված արդյունքը հուշում է, որ որքան բարձր են ուսանողների փորձագիտական գնահատականները SHTUR թեստի վերաբերյալ, այնքան բարձր են նրանց փորձագիտական գնահատականները մաթեմատիկայի բնագավառում:
Երկրորդ արժեքը մենք գծագրում ենք «նշանակության առանցքի» վրա.
Երկրորդ դեպքում աստիճանային հարաբերակցության գործակիցը գտնվում է անորոշության գոտում։ Հետևաբար, հոգեբանը կարող է ընդունել զրոյական վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը նման է զրոյին և մերժել այլընտրանքային վարկածը, որ հարաբերակցության գործակիցը զգալիորեն տարբերվում է զրոյից: Այս դեպքում ստացված արդյունքը հուշում է, որ SHTUR թեստի վերաբերյալ ուսանողների փորձագիտական գնահատականները կապված չեն գրականության փորձագիտական գնահատականների հետ:
Spearman հարաբերակցության գործակիցը կիրառելու համար պետք է բավարարվեն հետևյալ պայմանները.
1. Համեմատվող փոփոխականները պետք է ստացվեն հերթական (աստիճան) սանդղակով, բայց կարող են չափվել նաև միջակայքի և հարաբերակցության սանդղակով:
2. Փոխկապակցված մեծությունների բաշխման բնույթը նշանակություն չունի:
3. X և Y համեմատվող փոփոխականներում փոփոխվող բնութագրերի թիվը պետք է նույնը լինի:
Սփիրմանի հարաբերակցության գործակցի կրիտիկական արժեքները որոշելու աղյուսակները (Աղյուսակ 20, Հավելված 6) հաշվարկվում են բնութագրերի քանակից, որոնք հավասար են n = 5-ից մինչև n = 40, իսկ համեմատվող փոփոխականների ավելի մեծ քանակով, աղյուսակը Պետք է օգտագործվի Պիրսոնի հարաբերակցության գործակիցը (Աղյուսակ 19, Հավելված 6): Կրիտիկական արժեքների հայտնաբերումն իրականացվում է k = n-ով:
«Բարձրագույն մաթեմատիկա» կարգապահությունը ոմանց մոտ մերժում է առաջացնում, քանի որ, իրոք, ոչ բոլորը կարող են դա հասկանալ: Բայց նրանք, ում բախտ է վիճակվել ուսումնասիրել այս թեման և տարբեր հավասարումների ու գործակիցների միջոցով խնդիրներ լուծել, կարող են պարծենալ դրա մասին գրեթե լիակատար իրազեկությամբ։ IN հոգեբանական գիտությունԳոյություն ունի ոչ միայն մարդասիրական ուղղվածություն, այլ նաև հետազոտության ընթացքում առաջ քաշված վարկածի մաթեմատիկական փորձարկման որոշակի բանաձևեր և մեթոդներ: Դրա համար օգտագործվում են տարբեր գործակիցներ.
Սփիրմանի հարաբերակցության գործակիցը
Սա սովորական չափում է ցանկացած երկու բնութագրերի միջև փոխհարաբերությունների ուժը որոշելու համար: Գործակիցը կոչվում է նաև ոչ պարամետրիկ մեթոդ։ Այն ցույց է տալիս կապի վիճակագրությունը: Այսինքն, մենք գիտենք, օրինակ, որ երեխայի մոտ ագրեսիան և դյուրագրգռությունը փոխկապակցված են, և Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը ցույց է տալիս այս երկու բնութագրերի վիճակագրական մաթեմատիկական կապը:
Ինչպե՞ս է հաշվարկվում վարկանիշային գործակիցը:
Բնականաբար, բոլոր մաթեմատիկական սահմանումները կամ մեծությունները ունեն իրենց բանաձևերը, որոնցով դրանք հաշվարկվում են: Այն ունի նաև Սփիրմանի հարաբերակցության գործակիցը։ Նրա բանաձևը հետևյալն է.
Առաջին հայացքից բանաձևը լիովին պարզ չէ, բայց եթե նայեք դրան, ապա ամեն ինչ շատ հեշտ է հաշվարկել.
- n-ը դասակարգված հատկանիշների կամ ցուցանիշների թիվն է:
- d-ն յուրաքանչյուր առարկայի համար որոշակի երկու փոփոխականներին համապատասխանող որոշակի երկու աստիճանների տարբերությունն է:
- ∑d 2 - հատկանիշի շարքերի բոլոր քառակուսի տարբերությունների գումարը, որոնց քառակուսիները հաշվարկվում են առանձին յուրաքանչյուր աստիճանի համար:
Կապի մաթեմատիկական չափման կիրառման շրջանակը
Վարկանիշային գործակիցը կիրառելու համար անհրաժեշտ է, որ հատկանիշի քանակական տվյալները դասակարգվեն, այսինքն՝ նրանց վերագրվի որոշակի թիվ՝ կախված հատկանիշի գտնվելու վայրից և դրա արժեքից։ Ապացուցված է, որ թվային տեսքով արտահայտված բնութագրերի երկու շարքը որոշ չափով զուգահեռ են միմյանց։ Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը որոշում է այս զուգահեռության աստիճանը, բնութագրերի միջև կապի սերտությունը։
Նշված գործակիցով բնութագրերի հարաբերությունները հաշվարկելու և որոշելու մաթեմատիկական գործողության համար անհրաժեշտ է կատարել որոշ գործողություններ.
- Ցանկացած առարկայի կամ երևույթի յուրաքանչյուր արժեք նշանակվում է հերթական համար՝ աստիճան: Այն կարող է համապատասխանել երեւույթի արժեքին աճման կամ նվազման կարգով։
- Հաջորդը, երկուսի հատկանիշների արժեքի շարքերը քանակական շարքնրանց միջև տարբերությունը որոշելու համար։
- Ստացված յուրաքանչյուր տարբերության համար դրա քառակուսին գրվում է աղյուսակի առանձին սյունակում, իսկ արդյունքներն ամփոփվում են ստորև։
- Այս քայլերից հետո կիրառվում է բանաձև՝ հաշվարկելու Spearman հարաբերակցության գործակիցը:
Հարաբերակցության գործակցի հատկությունները
Spearman գործակիցի հիմնական հատկությունները ներառում են հետևյալը.
- Չափել արժեքները -1-ի և 1-ի միջև:
- Մեկնաբանության գործակիցի նշան չկա։
- Կապի խստությունը որոշվում է սկզբունքով` որքան մեծ է արժեքը, այնքան ավելի մոտ է կապը:
Ինչպե՞ս ստուգել ստացված արժեքը:
Նշանների միջև կապը ստուգելու համար անհրաժեշտ է կատարել որոշակի գործողություններ.
- Առաջ է քաշվում զրոյական վարկած (H0), որը նույնպես հիմնականն է, ապա ձևակերպվում է առաջինի մեկ այլ այլընտրանք (H 1): Առաջին վարկածը կլինի այն, որ Spearman հարաբերակցության գործակիցը 0 է, սա նշանակում է, որ հարաբերություններ չեն լինի: Երկրորդը, ընդհակառակը, ասում է, որ գործակիցը հավասար չէ 0-ի, ուրեմն կապ կա։
- Հաջորդ քայլը չափանիշի դիտարկված արժեքը գտնելն է: Այն հայտնաբերվել է օգտագործելով Spearman գործակցի հիմնական բանաձևը.
- Այնուհետև հայտնաբերվում են տվյալ չափանիշի կրիտիկական արժեքները: Դա կարելի է անել միայն հատուկ աղյուսակի միջոցով, որը ցույց է տալիս տարբեր արժեքներ տվյալ ցուցանիշների համար՝ նշանակության մակարդակը (l) և որոշիչ թիվը (n):
- Այժմ դուք պետք է համեմատեք ստացված երկու արժեքները՝ հաստատված դիտելի, ինչպես նաև կրիտիկական։ Դրա համար անհրաժեշտ է կառուցել կրիտիկական շրջան։ Դուք պետք է ուղիղ գիծ գծեք, դրա վրա նշեք գործակցի կրիտիկական արժեքի կետերը «-» նշանով և «+» նշանով։ Կրիտիկական արժեքներից ձախ և աջ, կրիտիկական տարածքները գծագրված են կետերից կիսաշրջաններով: Մեջտեղում, համատեղելով երկու արժեք, այն նշվում է OPG-ի կիսաշրջանով։
- Սրանից հետո եզրակացություն է արվում երկու բնութագրերի սերտ հարաբերությունների մասին։
Որտեղ է այս արժեքը օգտագործելու լավագույն վայրը:
Առաջին գիտությունը, որտեղ այս գործակիցն ակտիվորեն կիրառվել է, հոգեբանությունն է։ Ի վերջո, սա գիտություն է, որը հիմնված չէ թվերի վրա, այլ հարաբերությունների զարգացման, մարդկանց բնավորության գծերի և ուսանողների գիտելիքների վերաբերյալ որևէ կարևոր վարկած ապացուցելու համար անհրաժեշտ է եզրակացությունների վիճակագրական հաստատում: Այն կիրառվում է նաև տնտեսագիտության մեջ, մասնավորապես՝ արտարժույթի գործարքներում։ Այստեղ հատկանիշները գնահատվում են առանց վիճակագրության: Spearman աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը շատ հարմար է կիրառման այս ոլորտում, քանի որ գնահատումը կատարվում է անկախ փոփոխականների բաշխվածությունից, քանի որ դրանք փոխարինվում են աստիճանի համարով: Սփիրմանի գործակիցը ակտիվորեն կիրառվում է բանկային ոլորտում։ Սոցիոլոգիան, քաղաքագիտությունը, ժողովրդագրությունը և այլ գիտություններ նույնպես օգտագործում են այն իրենց հետազոտություններում։ Արդյունքները ձեռք են բերվում հնարավորինս արագ և ճշգրիտ:
Excel-ում հարմար է և արագ օգտագործել Spearman հարաբերակցության գործակիցը: Այստեղ կան հատուկ գործառույթներ, որոնք օգնում են արագ ստանալ անհրաժեշտ արժեքները:
Ի՞նչ այլ հարաբերակցության գործակիցներ կան:
Բացի այն, ինչ մենք իմացանք Սփիրմանի հարաբերակցության գործակիցի մասին, կան նաև տարբեր հարաբերակցության գործակիցներ, որը թույլ է տալիս չափել և գնահատել վարկանիշային սանդղակում ներկայացված որակական բնութագրերը, քանակական բնութագրերի միջև կապը, դրանց միջև կապի սերտությունը։ Սրանք գործակիցներ են, ինչպիսիք են երկսերիալը, աստիճան-բիսերիալը, պատահականությունը, ասոցիացիան և այլն: Սփիրմանի գործակիցը շատ ճշգրիտ ցույց է տալիս հարաբերությունների սերտությունը՝ ի տարբերություն դրա մաթեմատիկական որոշման բոլոր մեթոդների։
