Գաուսի մեթոդի լուծման ալգորիթմ. Գաուսի մեթոդ (անհայտների հաջորդական վերացում)

Այն առցանց հաշվիչլուծում է գտնում համակարգի համար գծային հավասարումներ(SLN) Գաուսի մեթոդով: Մանրամասն լուծում է տրված։ Հաշվարկելու համար ընտրեք փոփոխականների քանակը և հավասարումների քանակը: Այնուհետև մուտքագրեք տվյալները բջիջներում և սեղմեք «Հաշվարկել» կոճակը:

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Համարների ներկայացում.

Ամբողջ թվեր և/կամ Ընդհանուր կոտորակներ
Ամբողջական թվեր և/կամ տասնորդական թվեր

Տասնորդական բաժանարարից հետո տեղերի թիվը

×

Զգուշացում

Մաքրե՞լ բոլոր բջիջները:

Փակել Մաքրել

Տվյալների մուտքագրման հրահանգներ.Թվերը մուտքագրվում են որպես ամբողջ թվեր (օրինակ՝ 487, 5, -7623 և այլն), տասնորդական (օրինակ՝ 67., 102.54 և այլն) կամ կոտորակներ։ Կոտորակը պետք է մուտքագրվի a/b ձևով, որտեղ a և b (b>0) ամբողջ թվեր են կամ տասնորդական թվեր. Օրինակներ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 և այլն:

Գաուսի մեթոդ

Գաուսի մեթոդը գծային հավասարումների սկզբնական համակարգից (օգտագործելով համարժեք փոխակերպումներ) անցման մեթոդ է, որն ավելի հեշտ է լուծել, քան սկզբնական համակարգը։

Գծային հավասարումների համակարգի համարժեք փոխակերպումները հետևյալն են.

• համակարգում երկու հավասարումների փոխանակում,
• համակարգի ցանկացած հավասարումը բազմապատկելով ոչ զրոյական իրական թվով,
• մի հավասարմանը ավելացնելով մեկ այլ հավասարում, որը բազմապատկվում է կամայական թվով:

Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգը.

(1)

Եկեք գրենք համակարգը (1) մատրիցային ձևով.

Կացին=բ

(2)

(3)

Ա- կոչվում է համակարգի գործակիցների մատրիցա, բ- սահմանափակումների աջ կողմը, x− գտնվելիք փոփոխականների վեկտորը։ Թող դասավորվի ( Ա)=էջ.

Համարժեք փոխակերպումները չեն փոխում գործակիցների մատրիցայի աստիճանը և համակարգի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը։ Համակարգի լուծումների ամբողջությունը նույնպես չի փոխվում համարժեք փոխակերպումների դեպքում։ Գաուսի մեթոդի էությունը գործակիցների մատրիցայի կրճատումն է Ադեպի անկյունագիծ կամ աստիճանավոր:

Եկեք կառուցենք համակարգի ընդլայնված մատրիցա.

Հաջորդ փուլում մենք վերակայում ենք 2-րդ սյունակի բոլոր տարրերը՝ տարրի տակ: Եթե ​​այս տարրը զրո է, ապա այս տողը փոխարինվում է այս տողի տակ ընկած տողի հետ և երկրորդ սյունակում ունի ոչ զրոյական տարր: Հաջորդը, վերակայեք 2-րդ սյունակի բոլոր տարրերը առաջատար տարրի տակ ա 22. Դա անելու համար ավելացրեք տող 3, ... մ 2-ով բազմապատկած −-ով ա 32 /ա 22 , ..., −ամ2/ ա 22, համապատասխանաբար: Շարունակելով ընթացակարգը, մենք ստանում ենք անկյունագծային կամ աստիճանական ձևի մատրիցա: Թող արդյունքում ընդլայնված մատրիցը ունենա հետևյալ ձևը.

(7)

Որովհետեւ rangA=զանգ(Ա|բ), ապա լուծումների բազմությունը (7) է ( n−p)− բազմազանություն. Ուստի n−pանհայտները կարելի է կամայականորեն ընտրել: (7) համակարգից մնացած անհայտները հաշվարկվում են հետևյալ կերպ. Վերջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք x p մնացած փոփոխականների միջով և տեղադրեք նախորդ արտահայտությունների մեջ: Հաջորդը, նախավերջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք x p−1 մնացած փոփոխականների միջով և ներդիր նախորդ արտահայտությունների մեջ և այլն։ Դիտարկենք Գաուսի մեթոդը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:

Գծային հավասարումների համակարգի լուծման օրինակներ Գաուսի մեթոդով

Օրինակ 1. Գտեք ընդհանուր որոշումԳծային հավասարումների համակարգեր Գաուսի մեթոդով.

Նշենք ըստ ա ij տարրեր ես-րդ գիծը և ժրդ սյունակ.

ատասնմեկ. Դա անելու համար 1-ին տողով ավելացրեք 2,3 տողերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով -2/3,-1/2-ով.

Մատրիցային ձայնագրման տեսակը. Կացին=բ, Որտեղ

Նշենք ըստ ա ij տարրեր ես-րդ գիծը և ժրդ սյունակ.

Բացառենք տարրի տակ գտնվող մատրիցայի 1-ին սյունակի տարրերը ատասնմեկ. Դա անելու համար 1-ին տողով ավելացրեք 2,3 տողերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով -1/5,-6/5-ով.

Մատրիցի յուրաքանչյուր տողը բաժանում ենք համապատասխան առաջատար տարրով (եթե առաջատար տարրը կա).

Որտեղ x 3 , x

Փոխարինելով վերին արտահայտությունները ստորինների մեջ, մենք լուծում ենք ստանում:

Այնուհետև վեկտորի լուծումը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Որտեղ x 3 , x 4-ը կամայական իրական թվեր են:

Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծման ունիվերսալ և արդյունավետ մեթոդներից է Գաուսի մեթոդ , որը բաղկացած է անհայտների հաջորդական վերացումից։

Հիշեցնենք, որ երկու համակարգերը կոչվում են համարժեք (համարժեք), եթե դրանց լուծումների բազմությունները համընկնում են: Այլ կերպ ասած, համակարգերը համարժեք են, եթե դրանցից մեկի լուծումը մյուսի լուծումն է և հակառակը: Համարժեք համակարգեր են ստացվում, երբ տարրական փոխակերպումներ համակարգի հավասարումներ.

հավասարման երկու կողմերը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելը.

ինչ-որ հավասարման մեջ ավելացնելով մեկ այլ հավասարման համապատասխան մասեր՝ բազմապատկված զրոյից տարբեր թվով.

երկու հավասարումների վերադասավորում.

Թող տրվի հավասարումների համակարգ

Գաուսի մեթոդով այս համակարգի լուծման գործընթացը բաղկացած է երկու փուլից. Առաջին փուլում (ուղիղ շարժում) համակարգը, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատվում է մինչև քայլ առ քայլ , կամ եռանկյունաձեւ միտքը, իսկ երկրորդ փուլում ( հակադարձ կաթված) ստացված քայլային համակարգից կա անհայտների հաջորդական որոշում՝ սկսած վերջին փոփոխական թվից։

Ենթադրենք, որ այս համակարգի գործակիցը
, հակառակ դեպքում համակարգում առաջին տողը կարող է փոխարինվել ցանկացած այլ տողի հետ այնպես, որ գործակիցը լինի տարբերվում էր զրոյից:

Վերափոխենք համակարգը՝ վերացնելով անհայտը բոլոր հավասարումներում, բացառությամբ առաջինի: Դա անելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման երկու կողմերը և տերմին առ անդամ ավելացնել համակարգի երկրորդ հավասարմանը: Այնուհետև բազմապատկեք առաջին հավասարման երկու կողմերը և ավելացրեք այն համակարգի երրորդ հավասարմանը: Շարունակելով այս գործընթացը՝ մենք ստանում ենք համարժեք համակարգը

Այստեղ
- գործակիցների և անվճար տերմինների նոր արժեքներ, որոնք ստացվում են առաջին քայլից հետո:

Նմանապես, հաշվի առնելով հիմնական տարրը
, բացառել անհայտը համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացի առաջինից և երկրորդից: Շարունակենք այս գործընթացը որքան հնարավոր է երկար, և արդյունքում կստանանք փուլային համակարգ

,

Որտեղ ,
,…,- համակարգի հիմնական տարրերը
.

Եթե ​​համակարգը աստիճանաբար վերածելու գործընթացում առաջանում են հավասարումներ, այսինքն՝ ձևի հավասարություններ.
, դրանք դեն են նետվում, քանի որ դրանք բավարարվում են ցանկացած թվով
. Եթե ​​ժամը
կհայտնվի ձևի հավասարումը, որը լուծումներ չունի, ապա սա վկայում է համակարգի անհամատեղելիության մասին։

Հակադարձ հարվածի ժամանակ առաջին անհայտն արտահայտվում է վերափոխված քայլ համակարգի վերջին հավասարումից մնացած բոլոր անհայտների միջոցով
որոնք կոչվում են անվճար . Այնուհետև փոփոխական արտահայտությունը համակարգի վերջին հավասարումից փոխարինվում է նախավերջին հավասարմամբ և դրանից արտահայտվում է փոփոխականը.
. Փոփոխականները հաջորդաբար սահմանվում են նույն ձևով
. Փոփոխականներ
Ազատ փոփոխականների միջոցով արտահայտված, կոչվում են հիմնական (կախված): Արդյունքը գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումն է:

Գտնել մասնավոր լուծում համակարգեր, անվճար անհայտ
Ընդհանուր լուծման մեջ նշանակվում են կամայական արժեքներ և հաշվարկվում են փոփոխականների արժեքները
.

Տեխնիկապես ավելի հարմար է տարրական փոխակերպումների ենթարկել ոչ թե բուն համակարգի հավասարումները, այլ համակարգի ընդլայնված մատրիցը

.

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ մեթոդ է, որը թույլ է տալիս լուծել ոչ միայն քառակուսի, այլև ուղղանկյուն համակարգեր, որոնցում անհայտների թիվը
հավասարումների թվին հավասար չէ
.

Այս մեթոդի առավելությունը նաև այն է, որ լուծման գործընթացում մենք միաժամանակ ուսումնասիրում ենք համակարգը համատեղելիության համար, քանի որ տալով ընդլայնված մատրիցը.
աստիճանաբար ձևավորելու համար հեշտ է որոշել մատրիցայի շարքերը և ընդլայնված մատրիցա
և դիմել Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ .

Օրինակ 2.1Լուծեք համակարգը Գաուսի մեթոդով

Լուծում. Հավասարումների քանակը
և անհայտների թիվը
.

Եկեք ստեղծենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը՝ մատրիցից աջ վերագրելով գործակիցներ ազատ անդամների սյունակ .

Ներկայացնենք մատրիցը Դեպի եռանկյուն տեսք; Դա անելու համար մենք կստանանք «0» հիմնական անկյունագծում գտնվող տարրերի տակ՝ օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ:

Առաջին սյունակի երկրորդ դիրքում «0» ստանալու համար առաջին շարքը բազմապատկեք (-1) և ավելացրեք երկրորդ շարքը։

Այս փոխակերպումը գրում ենք որպես (-1) թիվ առաջին տողի դիմաց և այն նշում ենք առաջին տողից երկրորդ տող գնացող սլաքով։

Առաջին սյունակի երրորդ դիրքում «0» ստանալու համար առաջին շարքը բազմապատկեք (-3)-ով և ավելացրեք երրորդ շարքը. Եկեք ցույց տանք այս գործողությունը՝ օգտագործելով սլաքը, որն անցնում է առաջին տողից երրորդը:

.

Ստացված մատրիցում, որը գրված է երկրորդը մատրիցների շղթայում, մենք ստանում ենք «0» երկրորդ սյունակում երրորդ դիրքում: Դա անելու համար մենք երկրորդ տողը բազմապատկեցինք (-4) և ավելացրինք երրորդին: Ստացված մատրիցում երկրորդ շարքը բազմապատկեք (-1-ով), իսկ երրորդը բաժանեք (-8-ով): Այս մատրիցայի բոլոր տարրերը, որոնք ընկած են անկյունագծային տարրերի տակ, զրո են:

Որովհետեւ , համակարգը համագործակցային է և սահմանված:

Վերջին մատրիցին համապատասխանող հավասարումների համակարգը ունի եռանկյունաձև ձև.

Վերջին (երրորդ) հավասարումից
. Փոխարինեք երկրորդ հավասարման մեջ և ստացեք
.

Եկեք փոխարինենք
Եվ
առաջին հավասարման մեջ մենք գտնում ենք


.

Մենք շարունակում ենք դիտարկել գծային հավասարումների համակարգերը: Այս դասը երրորդն է թեմայի շուրջ: Եթե ​​դուք անորոշ պատկերացում ունեք, թե ինչ է ընդհանուր առմամբ գծային հավասարումների համակարգը, եթե ձեզ զգում եք թեյնիկ, ապա խորհուրդ եմ տալիս սկսել հաջորդ էջի հիմունքներից, օգտակար է դասն ուսումնասիրել:

Գաուսի մեթոդը հեշտ է:Ինչո՞ւ։ Հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն իր կենդանության օրոք ճանաչվել է որպես բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոս, հանճար և նույնիսկ «Մաթեմատիկոսների արքա» մականունը։ Եվ ամեն ինչ հնարամիտ, ինչպես գիտեք, պարզ է:Ի դեպ, փող են ստանում ոչ միայն ծծողները, այլև հանճարները. Գաուսի դիմանկարը 10 գերմանական թղթադրամի վրա էր (մինչև եվրոյի ներմուծումը), իսկ Գաուսը մինչ օրս խորհրդավոր ժպտում է գերմանացիներին սովորական փոստային նամականիշներից:

Գաուսի մեթոդը պարզ է նրանով, որ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆԻ ՈՒՍԱՆՈՂԻ ԳԻՏԵԼԻՔԸ ԲԱՎԱՐԻ Է դրան տիրապետելու համար: Դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես ավելացնել և բազմապատկել:Պատահական չէ, որ ուսուցիչները հաճախ դիտարկում են դպրոցական մաթեմատիկայի ընտրովի առարկաների անհայտների հաջորդական բացառման մեթոդը։ Դա պարադոքս է, բայց ուսանողների համար ամենադժվարը Գաուսի մեթոդն է: Զարմանալի ոչինչ չկա. ամեն ինչ մեթոդոլոգիայի մասին է, և ես կփորձեմ խոսել մեթոդի ալգորիթմի մասին մատչելի ձևով:

Նախ, եկեք համակարգենք մի փոքր գիտելիքներ գծային հավասարումների համակարգերի մասին: Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) Ունենալ եզակի լուծում. 2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ: 3) Լուծումներ չունեն (լինել ոչ համատեղ).

Գաուսի մեթոդը լուծում գտնելու ամենահզոր և ունիվերսալ գործիքն է ցանկացածգծային հավասարումների համակարգեր։ Ինչպես հիշում ենք, Կրամերի կանոն և մատրիցային մեթոդպիտանի չեն այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է: Իսկ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը Ինչեւէմեզ կտանի պատասխանի! Այս դասում մենք կրկին կքննարկենք Գաուսի մեթոդը թիվ 1 դեպքի համար (համակարգի միակ լուծումը), հոդվածը նվիրված է թիվ 2-3 կետերի իրավիճակներին։ Ես նշում եմ, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում:

Եկեք վերադառնանք ամենապարզ համակարգըդասարանից Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:և լուծել Գաուսի մեթոդով:

Առաջին քայլը գրի առնելն է ընդլայնված համակարգի մատրիցա: Կարծում եմ՝ բոլորը կարող են տեսնել, թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները։ Մատրիցայի ներսում ուղղահայաց գիծը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես գծապատկեր է դիզայնի հեշտության համար:

Հղում : Խորհուրդ եմ տալիս հիշել պայմանները գծային հանրահաշիվ. Համակարգի մատրիցա մատրիցա է, որը կազմված է միայն անհայտների գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. . Ընդլայնված համակարգի մատրիցա – սա համակարգի նույն մատրիցան է՝ գումարած անվճար տերմինների սյունակ, այս դեպքում. . Հակիրճ լինելու համար մատրիցներից որևէ մեկը կարելի է պարզապես անվանել մատրիցա։

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը գրվելուց հետո անհրաժեշտ է դրանով կատարել որոշ գործողություններ, որոնք նաև կոչվում են. տարրական փոխակերպումներ.

Գոյություն ունեն հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

1) Լարայիններմատրիցներ Կարող է վերադասավորելորոշ տեղերում. Օրինակ, դիտարկվող մատրիցում կարող եք ցավ չպատճառել առաջին և երկրորդ տողերը.

2) Եթե մատրիցը ունի (կամ հայտնվել է) համամասնական (ինչպես հատուկ դեպք– նույնական) տողեր, այնուհետև հետևում է ջնջելԱյս բոլոր տողերը մատրիցից են, բացի մեկից: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը . Այս մատրիցայում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել դրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե փոխակերպումների ժամանակ մատրիցայում հայտնվում է զրոյական տող, ապա այն նույնպես պետք է լինի ջնջել. Չեմ գծի, իհարկե, զրոյական գիծը այն գիծն է, որում բոլոր զրոները.

4) Մատրիցային շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)ցանկացած թվի ոչ զրոյական. Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել –3-ով, իսկ երկրորդ տողը բազմապատկել 2-ով. . Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն պարզեցնում է մատրիցայի հետագա փոխակերպումները:

5) Այս փոխակերպումն առաջացնում է ամենաշատ դժվարությունները, բայց իրականում ոչ մի բարդ բան էլ չկա։ Մատրիցայի մի շարք կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվով, տարբերվում է զրոյից։ Դիտարկենք մեր մատրիցը գործնական օրինակ: Սկզբում ես շատ մանրամասն նկարագրելու եմ վերափոխումը: Առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. , Եվ Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով: . Այժմ առաջին տողը կարելի է «հետ» բաժանել –2: Ինչպես տեսնում եք, այն տողը, որը ԱՎԵԼԱՑՎԱԾ է ԼԻ – չի փոխվել. Միշտտողը, ՈՐԻՆ ԱՎԵԼԱՑՎԱԾ Է, փոխվում է UT.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն գրում, բայց հակիրճ գրում են. Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով. Տողը սովորաբար բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մտավոր հաշվարկման գործընթացն ընթանում է մոտավորապես այսպես.

«Ես վերագրում եմ մատրիցը և վերագրում առաջին տողը. »

«Առաջին սյունակ. Ներքևում ես պետք է ստանամ զրո: Ուստի վերևում գտնվողը բազմապատկում եմ –2-ով, իսկ առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 2 + (–2) = 0։ Երկրորդ տողում գրում եմ արդյունքը. »

«Հիմա երկրորդ սյունակ. Վերևում ես -1-ը բազմապատկում եմ -2-ով: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 1 + 2 = 3: Երկրորդ տողում գրում եմ արդյունքը. »

«Եվ երրորդ սյունակը. Վերևում ես -5-ը բազմապատկում եմ -2-ով: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ –7 + 10 = 3: Երկրորդ տողում գրում եմ արդյունքը. »

Խնդրում ենք ուշադիր հասկանալ այս օրինակը և հասկանալ հաջորդական հաշվարկի ալգորիթմը, եթե դա հասկանում եք, ապա Գաուսի մեթոդը գործնականում ձեր գրպանում է: Բայց, իհարկե, մենք դեռ կաշխատենք այս վերափոխման վրա։

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

! ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆհամարված մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործել, եթե ձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցները տրվում են «իրենց»: Օրինակ, «դասական» գործողություններ մատրիցներովՈչ մի դեպքում չպետք է վերադասավորեք որևէ բան մատրիցների ներսում: Վերադառնանք մեր համակարգին։ Այն գործնականում կտոր-կտոր է արվում։

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատենք այն մինչև աստիճանավոր տեսարան:

(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Եվ կրկին. ինչու ենք մենք առաջին տողը բազմապատկում –2-ով: Ներքևում զրո ստանալու համար, ինչը նշանակում է երկրորդ տողում մեկ փոփոխականից ազատվել։

(2) Երկրորդ տողը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների նպատակը – կրճատել մատրիցը փուլային ձևի. . Առաջադրանքի ձևավորման մեջ նրանք պարզապես նշում են «աստիճանները» պարզ մատիտով, ինչպես նաև շրջում են այն թվերը, որոնք գտնվում են «քայլերի» վրա: «Քայլված հայացք» տերմինն ինքնին ամբողջովին տեսական չէ, գիտական ​​և ուսումնական գրականությունայն հաճախ կոչվում է trapezoidal տեսքկամ եռանկյուն տեսք.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքսկզբնական հավասարումների համակարգ.

Այժմ համակարգը պետք է «լիցքաթափվի» հակառակ ուղղությամբ՝ ներքևից վեր, այս գործընթացը կոչվում է Գաուսի մեթոդի հակադարձ.

Ստորին հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրանում փոխարինենք «y»-ի արդեն հայտնի արժեքը.

Դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Գաուսի մեթոդը պահանջում է լուծել երեք գծային հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով։

Օրինակ 1

Լուծեք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես գծեմ այն ​​արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ժամանակ. Եվ կրկնում եմ, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը աստիճանաբար բերել: Որտեղի՞ց սկսել:

Նախ, նայեք վերևի ձախ համարին. Գրեթե միշտ պետք է այստեղ լինի միավոր. Ընդհանուր առմամբ, –1 (և երբեմն այլ թվեր) կհաջողվի, բայց ինչ-որ կերպ ավանդաբար պատահում է, որ մեկը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք ավարտված միավոր: Փոխակերպում առաջին. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը. Հիմա լավ:

Վերևի ձախ անկյունում գտնվող միավորը կազմակերպված է: Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Մենք ստանում ենք զրոներ՝ օգտագործելով «դժվար» փոխակերպումը: Նախ մենք գործ ունենք երկրորդ տողի հետ (2, –1, 3, 13): Ի՞նչ է պետք անել առաջին դիրքում զրո ստանալու համար: Պետք է երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով. Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. (–2, –4, 2, –18): Եվ մենք հետևողականորեն կատարում ենք (կրկին մտովի կամ նախագծով) լրացում, Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը՝ արդեն –2-ով բազմապատկած:

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Նույն կերպ ենք վերաբերվում երրորդ տողին (3, 2, –5, –1): Առաջին դիրքում զրո ստանալու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով. Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –3-ով: (–3, –6, 3, –27): ԵՎ երրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով:

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ. Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես է լինում. սկզբում մենք վերաշարադրում ենք առաջին տողը և կամաց-կամաց փչում ենք ինքներս մեզ վրա. ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:
Եվ ես արդեն վերևում քննարկել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը:

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, մենք երկրորդ տողը բաժանում ենք –5-ի (քանի որ բոլոր թվերը բաժանվում են 5-ի առանց մնացորդի): Միևնույն ժամանակ, մենք երրորդ տողը բաժանում ենք –2-ի, քանի որ որքան փոքր են թվերը, այնքան պարզ է լուծումը.

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:
Փորձեք ինքներդ պարզել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և կատարեք գումարումը:

Կատարված վերջին գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ գիծը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք համակարգ. Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքևից վերև:

Երրորդ հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը. «Զետ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Իգրեկը» և «զեթը» հայտնի են, դա պարզապես մանրուքների հարց է.

Պատասխանել:

Ինչպես արդեն մի քանի անգամ նշվել է, հավասարումների ցանկացած համակարգի համար հնարավոր է և անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, բարեբախտաբար, դա հեշտ և արագ է:

Օրինակ 2

Սա անկախ լուծման օրինակ է, վերջնական դիզայնի նմուշ և պատասխան դասի վերջում:

Հարկ է նշել, որ ձեր որոշման առաջընթացըկարող է չհամընկնել իմ որոշման գործընթացի հետ, և սա Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունն է. Բայց պատասխանները պետք է նույնը լինեն:

Օրինակ 3

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է ունենանք մեկը: Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես միավորներ չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի: Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա. (1) Առաջին տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը, որը բազմապատկվում է –1-ով. Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ մասում կա «մինուս մեկ», որը մեզ բավականին սազում է։ Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել լրացուցիչ շարժում՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել նրա նշանը):

(2) 5-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, իսկ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է –1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Երրորդ տողի նշանը նույնպես փոխվեց և այն տեղափոխվեց երկրորդ տեղ, որպեսզի երկրորդ «քայլի» վրա ունենանք անհրաժեշտ միավորը։

(4) Երկրորդ տողն ավելացվեց երրորդ տողին՝ 2-ով բազմապատկելով։

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Վատ նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հազվադեպ՝ տառասխալ) «վատ» է: Այսինքն, եթե մենք ստանանք նման բան, ստորև, և, համապատասխանաբար, , ապա մեծ հավանականությամբ կարելի է ասել, որ տարրական փոխակերպումների ժամանակ սխալ է տեղի ունեցել։

Մենք լիցքավորում ենք հակառակը, օրինակների նախագծման մեջ նրանք հաճախ չեն վերագրում համակարգը ինքնին, բայց հավասարումները «վերցված են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ հարվածը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վեր: Այո, ահա նվեր.

Պատասխանել: .

Օրինակ 4

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է, մի փոքր ավելի բարդ է։ Ոչինչ, եթե ինչ-որ մեկը շփոթվի: Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում դասի վերջում։ Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմ լուծումից:

Վերջին մասում մենք կանդրադառնանք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններին: Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումներից, օրինակ. Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս կետի մասին ես արդեն խոսել եմ դասարանում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ. Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում. Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակն արդեն ունի մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Երկրորդ հատկանիշը սա է. Բոլոր դիտարկված օրինակներում մենք «քայլերի» վրա դրեցինք կամ –1 կամ +1: Կարո՞ղ են այնտեղ այլ թվեր լինել: Որոշ դեպքերում նրանք կարող են: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ վերին ձախ «քայլում» մենք ունենք երկու: Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ մյուսը՝ երկու և վեց: Եվ վերևի ձախ կողմում գտնվող երկուսը կհամապատասխանեն մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետևյալ փոխակերպումները. երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –1-ով; երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով: Այս կերպ մենք առաջին սյունակում կստանանք անհրաժեշտ զրոները։

Կամ նման բան պայմանական օրինակ: . Այստեղ մեզ հարմար է նաև երկրորդ «քայլի» եռյակը, քանի որ 12-ը (այն վայրը, որտեղ պետք է զրո ստանալ) առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի։ Անհրաժեշտ է իրականացնել հետևյալ փոխակերպումը. երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը` բազմապատկելով –4-ով, ինչի արդյունքում կստացվի մեզ անհրաժեշտ զրոն։

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Վստահորեն սովորեք համակարգեր լուծել այլ մեթոդներով (Cramer's մեթոդը, մատրիցային մեթոդ) կարող եք բառացիորեն առաջին անգամ - կա շատ խիստ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ատամներդ մտցնել» և լուծել առնվազն 5-10 տասը համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում կարող են լինել հաշվարկների մեջ շփոթություն և սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս... Հետևաբար, բոլորի համար, ովքեր ցանկանում են ինքնուրույն լուծել ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտ գծային հավասարումների համակարգ:

Նման առաջադրանքը գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Կարծում եմ, նույնիսկ այս էջը մանրակրկիտ ուսումնասիրած թեյնիկը կհասկանա նման համակարգը ինտուիտիվ լուծելու ալգորիթմը։ Սկզբունքորեն, ամեն ինչ նույնն է, պարզապես կան ավելի շատ գործողություններ:

Դասում քննարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ. Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծումով. Այնտեղ կարող եք ուղղել Գաուսի մեթոդի դիտարկված ալգորիթմը։

Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում!

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:
Կատարված տարրական փոխակերպումներ. (1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: Ուշադրություն. Այստեղ դուք կարող եք գայթակղվել հանել առաջինը երրորդ տողից, խորհուրդ եմ տալիս չհանել այն. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ծալեք այն: (2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվել են. Նշում , որ «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։ (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 5-ով: (4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ տողը բաժանվեց 14-ի։

Հակադարձ:

Պատասխանել : .

Օրինակ 4: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ. (1) Առաջին տողին ավելացվել է երկրորդ տող: Այսպիսով, ցանկալի միավորը կազմակերպվում է վերին ձախ «քայլի» վրա: (2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ «քայլով» ամեն ինչ վատանում է , դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կա՛մ մեկը, կա՛մ –1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: (4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով: Երկրորդ քայլի համար անհրաժեշտ կետը ստացվել է: . (5) Երկրորդ տողն ավելացվեց երրորդ տողին՝ 6-ով բազմապատկելով։ (6) Երկրորդ տողը բազմապատկվել է –1-ով, երրորդ տողը բաժանվել է -83-ի:

Հակադարձ:

Պատասխանել :

Օրինակ 5: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ. (1) Առաջին և երկրորդ տողերը փոխվել են: (2) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է չորրորդ տողին՝ բազմապատկելով –3-ով: (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 4-ով: Երկրորդ տողը ավելացվել է չորրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: (4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է. Չորրորդ տողը բաժանվեց 3-ի և դրվեց երրորդ տողի տեղում։ (5) Չորրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –5-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել :

Համակարգը տրված լինի ∆≠0: (1)
Գաուսի մեթոդանհայտները հաջորդաբար վերացնելու մեթոդ է։

Գաուսի մեթոդի էությունը (1) վերածելն է եռանկյուն մատրիցով համակարգի, որից հետո հաջորդաբար (հակադարձ) ստացվում են բոլոր անհայտների արժեքները: Դիտարկենք հաշվողական սխեմաներից մեկը. Այս շղթան կոչվում է մեկ բաժանման միացում: Այսպիսով, եկեք նայենք այս դիագրամին: Թող 11 ≠0 (առաջատար տարրը) առաջին հավասարումը բաժանի 11-ի: Մենք ստանում ենք
(2)
Օգտագործելով (2) հավասարումը, հեշտ է վերացնել x 1 անհայտները համակարգի մնացած հավասարումներից (դա անելու համար բավական է յուրաքանչյուր հավասարումից հանել (2) հավասարումը, որը նախկինում բազմապատկվել է x 1-ի համապատասխան գործակցով): , այսինքն՝ առաջին քայլում մենք ստանում ենք
.
Այլ կերպ ասած, քայլ 1-ում հաջորդ տողերի յուրաքանչյուր տարր, սկսած երկրորդից, հավասար է սկզբնական տարրի և դրա «պրոյեկցիայի» արտադրյալի տարբերությանը առաջին սյունակի և առաջին (վերափոխված) տողի վրա:
Դրանից հետո, թողնելով առաջին հավասարումը, մենք նմանատիպ փոխակերպում ենք կատարում առաջին քայլում ստացված համակարգի մնացած հավասարումների նկատմամբ. դրանցից ընտրում ենք առաջատար տարրի հետ հավասարումը և դրա օգնությամբ բացառում x 2-ը մնացածից: հավասարումներ (քայլ 2):
n քայլից հետո (1-ի փոխարեն) ստանում ենք համարժեք համակարգ
(3)
Այսպիսով, առաջին փուլում մենք ստանում ենք եռանկյուն համակարգ (3): Այս փուլը կոչվում է առաջ ինսուլտ:
Երկրորդ փուլում (հակադարձ) մենք հաջորդաբար (3)-ից գտնում ենք x n, x n -1, ..., x 1 արժեքները:
Ստացված լուծումը նշանակենք x 0: Հետո տարբերությունը ε=b-A x 0 կոչվում է մնացորդային.
Եթե ​​ε=0, ապա գտնված x 0 լուծումը ճիշտ է։

Գաուսի մեթոդով հաշվարկները կատարվում են երկու փուլով.

1. Առաջին փուլը կոչվում է առաջընթաց մեթոդ: Առաջին փուլում սկզբնական համակարգը վերածվում է եռանկյունաձև ձևի:
2. Երկրորդ փուլը կոչվում է հակադարձ հարված: Երկրորդ փուլում լուծվում է սկզբնականին համարժեք եռանկյուն համակարգ։

a 11, a 22, ... գործակիցները կոչվում են առաջատար տարրեր:
Յուրաքանչյուր քայլում առաջատար տարրը համարվում էր ոչ զրոյական: Եթե ​​դա այդպես չէ, ապա ցանկացած այլ տարր կարող է օգտագործվել որպես առաջատար տարր՝ կարծես վերադասավորելով համակարգի հավասարումները։

Գաուսի մեթոդի նպատակը

Գաուսի մեթոդը նախատեսված է գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար։ Անդրադառնում է ուղղակի լուծման մեթոդներին:

Գաուսի մեթոդի տեսակները

1. Դասական Գաուսի մեթոդ;
2. Գաուսի մեթոդի փոփոխություններ. Գաուսյան մեթոդի փոփոխություններից մեկը հիմնական տարրի ընտրությամբ սխեմա է։ Հիմնական տարրի ընտրությամբ Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունը հավասարումների այնպիսի վերադասավորումն է, որ k-րդ քայլում առաջատար տարրը պարզվում է, որ k-րդ սյունակի ամենամեծ տարրը:
3. Ջորդանո-Գաուսի մեթոդ;

Ջորդանո-Գաուսի մեթոդի տարբերությունը դասականից Գաուսի մեթոդբաղկացած է ուղղանկյունի կանոնի կիրառումից, երբ լուծում փնտրելու ուղղությունը տեղի է ունենում հիմնական անկյունագծով (վերափոխում դեպի նույնական մատրիցա): Գաուսի մեթոդով լուծումների որոնման ուղղությունը տեղի է ունենում սյուների երկայնքով (վերափոխում եռանկյուն մատրիցով համակարգի):
Եկեք պատկերացնենք տարբերությունը Ջորդանո-Գաուսի մեթոդԳաուսի մեթոդից՝ օրինակներով։

Գաուսի մեթոդով լուծման օրինակ
Եկեք լուծենք համակարգը.

Հաշվարկի հեշտության համար եկեք փոխենք տողերը.

2-րդ տողը բազմապատկենք (2-ով): 3-րդ տողը ավելացրեք 2-րդին

2-րդ տողը բազմապատկեք (-1-ով): 2-րդ տողը ավելացրեք 1-ին

1-ին տողից մենք արտահայտում ենք x 3.
2-րդ տողից մենք արտահայտում ենք x 2.
3-րդ տողից մենք արտահայտում ենք x 1.

Ջորդանո-Գաուսի մեթոդով լուծման օրինակ
Եկեք լուծենք նույն SLAE-ը Ջորդանո-Գաուսի մեթոդով:

Մենք հաջորդաբար կընտրենք RE լուծող տարրը, որը գտնվում է մատրիցայի հիմնական անկյունագծով:
Լուծման տարրը հավասար է (1):



NE = SE - (A*B)/RE
RE - լուծող տարր (1), A և B - մատրիցային տարրեր, որոնք կազմում են ուղղանկյուն STE և RE տարրերով:
Յուրաքանչյուր տարրի հաշվարկը ներկայացնենք աղյուսակի տեսքով.

x 1	x 2	x 3	Բ
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Լուծող տարրը հավասար է (3):
Լուծող տարրի տեղում ստանում ենք 1, իսկ սյունակում գրում ենք զրոներ։
Մատրիցայի մյուս բոլոր տարրերը, ներառյալ B սյունակի տարրերը, որոշվում են ուղղանկյունի կանոնով:
Դա անելու համար մենք ընտրում ենք չորս թվեր, որոնք գտնվում են ուղղանկյան գագաթներում և միշտ ներառում են RE լուծող տարրը։

x 1	x 2	x 3	Բ
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Լուծման տարրը (-4) է:
Լուծող տարրի տեղում ստանում ենք 1, իսկ սյունակում գրում ենք զրոներ։
Մատրիցայի մյուս բոլոր տարրերը, ներառյալ B սյունակի տարրերը, որոշվում են ուղղանկյունի կանոնով:
Դա անելու համար մենք ընտրում ենք չորս թվեր, որոնք գտնվում են ուղղանկյան գագաթներում և միշտ ներառում են RE լուծող տարրը։
Յուրաքանչյուր տարրի հաշվարկը ներկայացնենք աղյուսակի տեսքով.

x 1	x 2	x 3	Բ
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Պատասխանել x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Գաուսի մեթոդի իրականացում

Գաուսի մեթոդն իրականացվում է ծրագրավորման բազմաթիվ լեզուներում, մասնավորապես՝ Pascal, C++, php, Delphi, ինչպես նաև կա Գաուսի մեթոդի առցանց իրականացում։

Օգտագործելով Գաուսի մեթոդը

Գաուսի մեթոդի կիրառումը խաղերի տեսության մեջ

Խաղերի տեսության մեջ խաղացողի առավելագույն օպտիմալ ռազմավարությունը գտնելիս կազմվում է հավասարումների համակարգ, որը լուծվում է Գաուսի մեթոդով։

Գաուսի մեթոդի կիրառումը դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեջ

Դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում գտնելու համար նախ գտեք գրավոր մասնակի լուծման համար համապատասխան աստիճանի ածանցյալներ (y=f(A,B,C,D)), որոնք փոխարինվում են բնօրինակ հավասարումը. Հաջորդը գտնելու համար A,B,C,D փոփոխականներԳաուսի մեթոդով կազմվում և լուծվում է հավասարումների համակարգ։

Ջորդանո-Գաուսի մեթոդի կիրառումը գծային ծրագրավորման մեջ

IN գծային ծրագրավորում, մասնավորապես, սիմպլեքս մեթոդում ուղղանկյունի կանոնը, որն օգտագործում է Ջորդանո-Գաուսի մեթոդը, օգտագործվում է սիմպլեքս աղյուսակը յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ փոխակերպելու համար։

Գաուսի մեթոդի սահմանումը և նկարագրությունը

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար Գաուսի փոխակերպման մեթոդը (նաև հայտնի է որպես հավասարումից կամ մատրիցից անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ) դասական մեթոդ om համակարգի լուծումներ հանրահաշվական հավասարումներ(SLAU): Այս դասական մեթոդը նույնպես օգտագործվում է այնպիսի խնդիրների լուծման համար, ինչպիսիք են ստացումը հակադարձ մատրիցներև մատրիցայի աստիճանի որոշում:

Գաուսի մեթոդով փոխակերպումը բաղկացած է փոքր (տարրական) հաջորդական փոփոխություններից գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգում, ինչը հանգեցնում է նրանից վերևից ներքև փոփոխականների վերացմանը՝ սկզբնականին համարժեք հավասարումների նոր եռանկյուն համակարգի ձևավորմամբ։ մեկ.

Սահմանում 1

Լուծման այս մասը կոչվում է առաջ հարվածԳաուսյան լուծումներ, քանի որ ամբողջ գործընթացն իրականացվում է վերևից ներքև:

Հավասարումների սկզբնական համակարգը եռանկյունի կրճատելուց հետո մենք գտնում ենք բոլորը համակարգի փոփոխականներներքևից վեր (այսինքն՝ հայտնաբերված առաջին փոփոխականները զբաղեցնում են համակարգի կամ մատրիցայի հենց վերջին տողերը): Լուծման այս մասը հայտնի է նաև որպես Գաուսի լուծման հակադարձ: Նրա ալգորիթմը հետևյալն է. նախ հաշվարկվում են հավասարումների կամ մատրիցային համակարգի ներքևին մոտ գտնվող փոփոխականները, այնուհետև ստացված արժեքները փոխարինվում են ավելի բարձր և այդպիսով գտնվում է մեկ այլ փոփոխական և այլն:

Գաուսի մեթոդի ալգորիթմի նկարագրությունը

Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծման գործողությունների հաջորդականությունը բաղկացած է SLAE-ի վրա հիմնված մատրիցին առջևի և հետընթաց հարվածների այլընտրանքային կիրառումից: Հավասարումների սկզբնական համակարգը թող ունենա հետևյալ ձևը.

$\սկիզբ (դեպքեր) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(դեպքեր)$

SLAE-ները Գաուսի մեթոդով լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել հավասարումների սկզբնական համակարգը մատրիցայի տեսքով.

$A = \սկիզբ (pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \վերջ (pmatrix)$, $b =\սկիզբ (pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end (pmatrix)$

$A$ մատրիցը կոչվում է հիմնական մատրից և ներկայացնում է հերթականությամբ գրված փոփոխականների գործակիցները, իսկ $b$-ը կոչվում է դրա ազատ տերմինների սյունակ։ $A$ մատրիցը, որը գրված է ազատ տերմինների սյունակով բարով, կոչվում է ընդլայնված մատրիցա.

$A = \սկիզբ(զանգված)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Այժմ անհրաժեշտ է, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ հավասարումների համակարգի վրա (կամ մատրիցով, քանի որ դա ավելի հարմար է), այն հասցնել հետևյալ ձևի.

$\սկիզբ(դեպքեր) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \վերջ (դեպքեր)$ (1)

Մատրիցը, որը ստացվում է փոխակերպված (1) հավասարման համակարգի գործակիցներից, կոչվում է քայլային մատրիցա, սովորաբար այսպիսի տեսք ունեն քայլերի մատրիցները.

$A = \սկիզբ(զանգված)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \վերջ (զանգված)$

Այս մատրիցները բնութագրվում են հատկությունների հետևյալ շարքով.

1. Նրա բոլոր զրոյական տողերը գալիս են ոչ զրոյական տողերից հետո
2. Եթե ​​$k$ թվով մատրիցայի որոշ տող զրոյական չէ, ապա նույն մատրիցայի նախորդ տողում ավելի քիչ զրոներ կան, քան $k$ թվով այս տողը:

Քայլի մատրիցը ստանալուց հետո անհրաժեշտ է ստացված փոփոխականները փոխարինել մնացած հավասարումների մեջ (սկսած վերջից) և ստանալ փոփոխականների մնացած արժեքները:

Հիմնական կանոնները և թույլատրելի փոխակերպումները Գաուսի մեթոդի կիրառման ժամանակ

Այս մեթոդով մատրիցը կամ հավասարումների համակարգը պարզեցնելիս անհրաժեշտ է օգտագործել միայն տարրական փոխակերպումներ:

Նման փոխակերպումները համարվում են գործողություններ, որոնք կարող են կիրառվել մատրիցայի կամ հավասարումների համակարգի վրա՝ առանց դրա իմաստը փոխելու.

• մի քանի տողերի վերադասավորում,
• մատրիցի մի տողից ավելացնելով կամ հանելով դրանից մեկ այլ տող,
• բազմապատկելով կամ բաժանելով տողը հաստատունով, որը հավասար չէ զրոյի,
• միայն զրոյից բաղկացած տողը, որը ստացվել է համակարգի հաշվարկման և պարզեցման գործընթացում, պետք է ջնջվի,
• Անհրաժեշտ է նաև հեռացնել անհարկի համամասնական գծերը՝ համակարգի համար ընտրելով միակը, որն ունի գործակիցներ, որոնք ավելի հարմար և հարմար են հետագա հաշվարկների համար։

Բոլոր տարրական փոխակերպումները շրջելի են:

Երեք հիմնական դեպքերի վերլուծություն, որոնք առաջանում են Գաուսի պարզ փոխակերպումների մեթոդով գծային հավասարումներ լուծելիս

Գոյություն ունեն երեք դեպք, որոնք առաջանում են համակարգերի լուծման համար Գաուսի մեթոդի կիրառման ժամանակ.

1. Երբ համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ
2. Հավասարումների համակարգը ունի լուծում և եզակի, և մատրիցում ոչ զրոյական տողերի և սյունակների թիվը հավասար է միմյանց:
3. Համակարգն ունի որոշակի քանակություն կամ հավաքածու հնարավոր լուծումներ, և դրանում տողերի թիվը փոքր է սյունակների թվից։

Անհամապատասխան համակարգով լուծման արդյունք

Այս տարբերակի համար, լուծելիս մատրիցային հավասարումԳաուսի մեթոդը բնութագրվում է հավասարության կատարման անհնարինությամբ որոշակի գծի ստացմամբ։ Հետևաբար, եթե առնվազն մեկ սխալ հավասարություն է առաջանում, ստացված և սկզբնական համակարգերը լուծումներ չունեն՝ անկախ իրենց պարունակած մյուս հավասարումներից։ Անհամապատասխան մատրիցայի օրինակ.

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \վերջ (զանգված)$

Վերջին տողում առաջացավ անհնարին հավասարություն՝ $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$։

Հավասարումների համակարգ, որն ունի միայն մեկ լուծում

Այս համակարգերը, աստիճանական մատրիցի վերածվելուց և զրոներով տողերը հեռացնելուց հետո, հիմնական մատրիցում ունեն նույն թվով տողեր և սյունակներ։ Այստեղ ամենապարզ օրինակըայսպիսի համակարգ.

$\սկիզբ (դեպքեր) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \վերջ (դեպքեր)$

Եկեք այն գրենք մատրիցայի տեսքով.

$\սկիզբ(զանգված)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \վերջ (զանգված)$

Երկրորդ շարքի առաջին բջիջը զրոյի հասցնելու համար վերին տողը բազմապատկում ենք $-2$-ով և այն հանում մատրիցայի ներքևի տողից, իսկ վերին տողը թողնում ենք իր սկզբնական տեսքով, արդյունքում ունենում ենք հետևյալը. :

$\սկիզբ(զանգված)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \վերջ (զանգված)$

Այս օրինակը կարելի է գրել որպես համակարգ.

$\սկիզբ (դեպքեր) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \վերջ (դեպքեր) $

Ստորին հավասարումը $x$-ի համար տալիս է հետևյալ արժեքը. $x_2 = 3 \frac(1)(3)$: Փոխարինեք այս արժեքը վերին հավասարման մեջ՝ $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, մենք ստանում ենք $x_1 = 1 \frac(2)(3)$:

Համակարգ՝ բազմաթիվ հնարավոր լուծումներով

Այս համակարգը բնութագրվում է ավելի փոքր թվով նշանակալի տողերով, քան դրանում գտնվող սյունակները (հաշվի են առնված հիմնական մատրիցայի տողերը):

Նման համակարգում փոփոխականները բաժանվում են երկու տեսակի՝ հիմնական և անվճար: Նման համակարգը փոխակերպելիս նրանում պարունակվող հիմնական փոփոխականները պետք է թողնել ձախ հատվածում մինչև «=» նշանը, իսկ մնացած փոփոխականները պետք է տեղափոխվեն. աջ կողմհավասարություն։

Նման համակարգը ունի միայն որոշակի ընդհանուր լուծում.

Եկեք դասավորենք այն հետևյալ համակարգըհավասարումներ:

$\սկիզբ (դեպքեր) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \վերջ (դեպքեր)$

Եկեք այն գրենք մատրիցայի տեսքով.

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \վերջ (զանգված)$

Մեր խնդիրն է համակարգին ընդհանուր լուծում գտնել։ Այս մատրիցայի համար հիմնական փոփոխականները կլինեն $y_1$ և $y_3$ ($y_1$-ի համար, քանի որ այն առաջինն է, իսկ $y_3$-ի դեպքում՝ այն գտնվում է զրոներից հետո):

Որպես հիմք փոփոխականներ՝ մենք ընտրում ենք հենց նրանք, որոնք առաջինն են շարքում և հավասար չեն զրոյի։

Մնացած փոփոխականները կոչվում են ազատ, մենք պետք է նրանց միջոցով արտահայտենք հիմնականները։

Օգտագործելով, այսպես կոչված, հակադարձ հարվածը, մենք վերլուծում ենք համակարգը ներքևից վեր; դրա համար մենք նախ արտահայտում ենք $y_3$ համակարգի ստորին տողից.

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$:

Այժմ մենք արտահայտված $y_3$-ը փոխարինում ենք $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ համակարգի վերին հավասարման մեջ՝ $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Մենք արտահայտում ենք $y_1$ $y_2$ և $y_4$ անվճար փոփոխականներով.

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Լուծումը պատրաստ է։

Օրինակ 1

Գաուսի մեթոդով լուծեք ցախը: Օրինակներ. Գծային հավասարումների համակարգի լուծման օրինակ, որը տրված է 3-ից 3 մատրիցով Գաուսի մեթոդով

$\սկիզբ (դեպքեր) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \վերջ (դեպքեր)$

Եկեք գրենք մեր համակարգը ընդլայնված մատրիցայի տեսքով.

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \վերջ (զանգված)$

Այժմ, հարմարության և գործնականության համար, դուք պետք է փոխակերպեք մատրիցն այնպես, որ $1$-ը լինի ամենաարտաքին սյունակի վերին անկյունում:

Դա անելու համար 1-ին տողին պետք է ավելացնել տողը մեջտեղից՝ բազմապատկած $-1$-ով և գրել միջին գիծը այնպես, ինչպես կա, ստացվում է.

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \վերջ (զանգված)$

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \վերջ (զանգված) $

Բազմապատկեք վերևի և վերջին տողերը $-1$-ով, ինչպես նաև փոխեք վերջին և միջին տողերը.

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \վերջ (զանգված)$

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \վերջ (զանգված)$

Եվ վերջին տողը բաժանեք $3$-ով.

$\սկիզբ(զանգված)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \վերջ (զանգված)$

Ստանում ենք սկզբնականին համարժեք հավասարումների հետևյալ համակարգը.

$\սկիզբ (դեպքեր) x_1 + x_2 – x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \վերջ (դեպքեր) $

Վերին հավասարումից մենք արտահայտում ենք $x_1$.

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$:

Օրինակ 2

Գաուսի մեթոդով 4-ից 4 մատրիցով սահմանված համակարգի լուծման օրինակ

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \վերջ (զանգված)$:

Սկզբում մենք փոխանակում ենք դրա հետևից վերևի տողերը՝ վերևի ձախ անկյունում $1$ ստանալու համար.

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \վերջ (զանգված)$:

Այժմ վերին տողը բազմապատկեք $-2$-ով և ավելացրեք 2-րդ և 3-րդ: 4-րդին ավելացնում ենք 1-ին տողը՝ բազմապատկած $-3$-ով.

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \վերջ (զանգված)$

Այժմ 3-րդ տողին ավելացնում ենք տող 2-ը բազմապատկած $4$-ով, իսկ 4-րդ տողին ավելացնում ենք տող 2-ը բազմապատկած $-1$-ով:

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \վերջ (զանգված)$

Մենք 2-րդ տողը բազմապատկում ենք $-1$-ով, իսկ 4-րդ տողը բաժանում ենք $3$-ով և փոխարինում 3-րդ տողը:

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \վերջ (զանգված)$

Այժմ վերջին տողին ավելացնում ենք նախավերջինը՝ բազմապատկելով $-5$-ով։

$\սկիզբ(զանգված)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \վերջ (զանգված)$

Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումների համակարգը.

$\սկիզբ(դեպքեր) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\վերջ (դեպքեր)$