Trend to wzór opisujący wzrost lub spadek wskaźnika w czasie. Jeśli przedstawisz na wykresie dowolny szereg czasowy (dane statystyczne, czyli zestawienie zarejestrowanych wartości zmiennej wskaźnika w czasie), często podkreślany jest pewien kąt - krzywa albo stopniowo rośnie, albo maleje, w takich przypadkach jest to zwyczajowe powiedzieć, że szereg czasowy ma tendencję (odpowiednio do wzrostu lub spadku).
Trend jako model
Jeśli zbudujesz model opisujący to zjawisko, otrzymasz dość proste i bardzo wygodne narzędzie prognostyczne, które nie wymaga skomplikowanych obliczeń ani czasu poświęconego na sprawdzanie znaczenia lub adekwatności czynników wpływających.
Jaki jest zatem trend jako modelka? Jest to zbiór obliczonych współczynników równania, które wyrażają zależność regresji wskaźnika (Y) od zmian w czasie (t). Oznacza to, że jest to dokładnie ta sama regresja, co rozważaliśmy wcześniej, tylko czynnikiem wpływającym jest tutaj wskaźnik czasu.
Ważny!
W obliczeniach t zwykle nie oznacza numeru roku, miesiąca czy tygodnia, lecz numer seryjny okresu w badanej populacji statystycznej – szereg czasowy. Na przykład, jeśli szereg czasowy bada się przez kilka lat, a dane rejestruje się co miesiąc, wówczas stosowanie numeracji miesięcy od zera, od 1 do 12 i ponownie od początku, jest zasadniczo błędne. Błędem jest także rozpoczynanie badania szeregu np. w marcu, przyjmowanie 3 (trzeciego miesiąca roku) jako wartości t; jeżeli jest to pierwsza wartość w badanej populacji, to jest to jej szereg liczba powinna wynosić 1.
Liniowy model trendu
Jak każda inna regresja, trend może być liniowy (stopień czynnika wpływającego t jest równy 1) lub nieliniowy (stopień jest większy lub mniejszy niż jeden). Ponieważ regresja liniowa jest najprostszy, choć nie zawsze najdokładniejszy, tego typu trend rozważymy bardziej szczegółowo.
Ogólna postać równania trendu liniowego: Y(t) = za 0 + za 1 *t + Ɛ
Gdzie 0 jest zerowym współczynnikiem regresji, czyli czym będzie Y, jeśli czynnik wpływający będzie równy zero, a 1 jest współczynnikiem regresji, który wyraża stopień zależności badanego wskaźnika Y od czynnika wpływającego t, Ɛ wynosi składnik losowy lub standard, błąd jest zasadniczo różnicą między rzeczywistymi wartościami Y a obliczonymi. Jedynym czynnikiem wpływającym jest t – czas.
Im bardziej wyraźna jest tendencja wskaźnika do wzrostu lub spadku, tym większe będzie to prawdopodobieństwo wyższy współczynnik 1. W związku z tym zakłada się, że stała a 0 wraz ze składową losową Ɛ odzwierciedla pozostałe wpływy regresji oprócz czasu, to znaczy wszystkie inne możliwe czynniki wpływające.
Można obliczyć współczynniki modelu standardowa metoda najmniejszych kwadratów(MNC). Z tymi wszystkimi wyliczeniami Microsoft Excel radzi sobie z hukiem samodzielnie, a aby uzyskać liniowy model trendu lub gotową prognozę, istnieje aż pięć metod, które omówimy osobno poniżej.
Graficzna metoda uzyskiwania trendu liniowego
W tym i wszystkich kolejnych przykładach będziemy posługiwać się tym samym szeregiem dynamicznym – poziomem PKB, który jest obliczany i rejestrowany corocznie; w naszym przypadku badanie będzie dotyczyć lat 2004–2012.
Dodajmy do pierwotnych danych kolejną kolumnę, którą nazwiemy t i oznaczmy ją liczbami w kolejności rosnącej numer seryjny wszystkie zarejestrowane wartości PKB za wskazany okres od 2004 do 2012 roku. – 9 lat lub 9 okresów.
Excel doda puste pole - znacznik dla przyszłego wykresu, wybierz ten wykres i aktywuj zakładkę, która pojawi się na pasku menu - Konstruktor, szukając przycisku Wybierz dane, w oknie, które się otworzy, naciśnij przycisk Dodać. Wyskakujące okienko poprosi Cię o wybranie danych do utworzenia wykresu. Jako wartość pola Nazwa serii wybierz komórkę zawierającą tekst najlepiej pasujący do nazwy wykresu. W polu Wartości X wskazać odstęp komórek w kolumnie t – czynnik wpływający. W polu Wartości Y wskazać odstęp komórek kolumny za pomocą znane wartości PKB (Y) – badany wskaźnik.
Po wypełnieniu wskazanych pól należy kilkukrotnie nacisnąć przycisk OK i uzyskać gotowy wykres dynamiki. Teraz wybierz samą linię wykresu prawym przyciskiem myszy i wybierz element z menu kontekstowego, które się pojawi Dodaj linię trendu
Otworzy się okno umożliwiające konfigurację parametrów budowy linii trendu, gdzie spośród typów modeli wybieramy Liniowy, zaznacz haczyk przy pozycjach P renderować równanie na diagramie I Umieść na wykresie przybliżoną wartość niezawodności R2, wystarczy, że na wykresie zostanie wyświetlona już zbudowana linia trendu, a także matematyczna wersja przedstawienia modelu w postaci gotowego równania i wskaźnika jakości modelu R2. Jeśli jesteś zainteresowany wyświetleniem prognozy na wykresie, aby wizualnie ocenić różnicę pomiędzy badanym wskaźnikiem, zaznacz w polu Prognoza na przyszłość liczba okresów zainteresowania.
Właściwie to tyle jeśli chodzi o tę metodę, można oczywiście dodać, że wyświetlane równanie trendu liniowego to sam model, który można wykorzystać jako wzór do uzyskania wyliczonych wartości z modelu i odpowiednio dokładne wartości prognozę (prognozę wyświetloną na wykresie można oszacować jedynie w przybliżeniu), co zrobiliśmy w przykładzie załączonym do artykułu.
Budowanie trendu liniowego przy użyciu formuły LINEST
Istota tej metody sprowadza się do poszukiwania współczynników trendu liniowego za pomocą funkcji REGLINP, następnie podstawiając te wpływające współczynniki do równania, otrzymujemy model predykcyjny.
Będziemy musieli zaznaczyć dwie sąsiadujące ze sobą komórki (na zrzucie ekranu są to komórki A38 i B38), następnie w pasku formuły u góry (zaznaczonym na czerwono na zrzucie ekranu) wywołujemy funkcję wpisując „=LINEST(”, po w którym Excel wyświetli wskazówki dotyczące tego, co jest wymagane dla tej funkcji, a mianowicie:
- wybierz zakres ze znanymi wartościami opisywanego wskaźnika Y (w naszym przypadku PKB, zakres na zrzucie ekranu jest podświetlony na niebiesko) i wstaw średnik
- wskaż zakres czynników wpływających X (w naszym przypadku jest to wskaźnik t, czyli kolejna liczba okresów, zaznaczona na zielono na zrzucie ekranu) i wstaw średnik
- kolejnym wymaganym parametrem funkcji jest określenie, czy należy obliczyć stałą, ponieważ początkowo rozważamy model ze stałą (współczynnikiem 0 ), a następnie wstaw „PRAWDA” lub „1” i średnik
- Następnie należy wskazać, czy wymagane jest obliczenie parametrów statystycznych (gdybyśmy rozważali tę opcję, musielibyśmy początkowo przydzielić zakres „dla wzoru” kilka linijek poniżej). Wskaż potrzebę obliczenia parametrów statystycznych, a mianowicie wartość błędu standardowego dla współczynników, współczynnik determinizmu, błąd standardowy dla Y, kryterium Fishera, stopnie swobody itp., mają sens tylko wtedy, gdy rozumiesz, co mają na myśli, w takim przypadku ustawiamy „PRAWDA” lub „1”. W przypadku uproszczonego modelowania, którego się uczymy, na tym etapie pisania wzoru należy ustawić „FAŁSZ” lub „0” i dodać po nawiasie zamykającym „)”.
- „ożywić” formułę, czyli sprawić, by mimo wszystko zadziałała wymagane parametry, nie wystarczy nacisnąć klawisz Enter, należy nacisnąć kolejno trzy klawisze: Ctrl, Shift, Enter
Jak widać na powyższym zrzucie ekranu, wybrane przez nas komórki do wzoru zostały wypełnione obliczonymi wartościami współczynników regresji dla trendu liniowego, w komórce B38 znaleziono współczynnik 0 i w komórce A38- współczynnik zależności od parametru T (Lub X ), to jest 1 . Otrzymane wartości podstawiamy do równania funkcji liniowej i otrzymujemy gotowy model w wyrażeniu matematycznym - y = 169 572,2 + 138 454,3*t
Aby uzyskać obliczone wartości Y zgodnie z modelem i odpowiednio, aby uzyskać prognozę, wystarczy zastąpić formułę w komórce Excela i zamiast tego T wskazać link do komórki z wymaganym numerem okresu (patrz komórka na zrzucie ekranu D25).
Aby porównać otrzymany model z danymi rzeczywistymi, można skonstruować dwa wykresy, gdzie jako X podajemy numer seryjny okresu, a jako Y w jednym przypadku realny PKB, a w drugim obliczony (na zrzucie ekranu schemat po prawej).
Budowanie trendu liniowego za pomocą narzędzia Regresja w Pakiecie Analiz
Artykuł w rzeczywistości w pełni opisuje tę metodę, jedyną różnicą jest to, że w naszych początkowych danych istnieje tylko jeden czynnik wpływający X (numer okresu – T ).
Jak widać na powyższym obrazku, zakres danych ze znanymi wartościami PKB podkreślone jako interwał wejściowy Y i odpowiedni zakres z numerami okresów t – jako przedział wejściowy X. Wyniki obliczeń przez Pakiet Analiz wyświetlane są na osobnym arkuszu i wyglądają jak zbiór tabel (patrz rysunek poniżej), w których interesują nas komórki, które pomalowałem na żółto i zielone kolory. Analogicznie do procedury opisanej w powyższym artykule, z uzyskanych współczynników budowany jest model trendu liniowego y=169 572,2+138 454,3*t, na podstawie których sporządzane są prognozy.
Prognozowanie z wykorzystaniem trendu liniowego za pomocą funkcji TREND
Metoda ta różni się od poprzednich tym, że pomija niezbędne wcześniej kroki obliczania parametrów modelu i ręcznego podstawienia otrzymanych współczynników jako wzoru do komórki w celu uzyskania prognozy, funkcja ta generuje gotową wyliczoną wartość prognozy na podstawie znanych dane źródłowe.
W komórce docelowej (komórce, w której chcemy zobaczyć wynik) umieszczamy znak równa się i wywołaj magiczną funkcję, pisząc „ TENDENCJA(", następnie musisz zaznaczyć , czyli po umieszczeniu średnika i wybierz zakres ze znanymi wartościami X, to znaczy z numerami okresów t, które odpowiadają kolumnie ze znanymi wartościami PKB, ponownie wstaw średnik i wybierz komórkę z numerem okresu, na który robimy prognozę (przy czym w naszym przypadku numer okresu można wskazać nie poprzez link do komórkę, ale po prostu liczbą bezpośrednio we wzorze), następnie wstaw kolejny średnik i wskaż PRAWDA Lub 1 , jako potwierdzenie obliczenia współczynnika 0 w końcu umieściliśmy nawias zamykający i naciśnij klawisz Wchodzić.
Minus Ta metoda jest to, że nie pokazuje ani równania modelu, ani jego współczynników, dlatego nie można powiedzieć, że na podstawie takiego a takiego modelu otrzymaliśmy taką a taką prognozę, tak samo jak nie ma odzwierciedlenia parametrów jakościowych modelu, jednak współczynnik determinacji, za pomocą którego można stwierdzić, czy zasadne jest uwzględnienie otrzymanej prognozy, czy też nie.
Prognozowanie z wykorzystaniem trendu liniowego z wykorzystaniem funkcji PROGNOZA
Istota tej funkcji jest całkowicie identyczna z poprzednią, jedyną różnicą jest kolejność zapisywania danych początkowych we wzorze oraz fakt, że nie ma ustawienia obecności lub braku współczynnika 0 (tzn. funkcja implikuje, że współczynnik ten istnieje w każdym przypadku)
Jak widać na powyższym rysunku, piszemy „ =PRZEWIDYWANIE(", a następnie wskazać komórka z numerem okresu, dla którego należy obliczyć wartość według trendu liniowego, czyli prognozy, po czym stawiamy średnik, a następnie wybieramy zakres znanych wartości Y, to jest kolumna ze znanymi wartościami PKB, następnie wstaw średnik i zaznacz zakres ze znanymi wartościami X, to jest z numerami okresów t, które odpowiadają kolumnie ze znanymi wartościami PKB i na koniec ustalamy nawias zamykający i naciśnij klawisz Wchodzić.
Uzyskane wyniki, podobnie jak w powyższej metodzie, są jedynie końcowym wynikiem obliczenia wartości przewidywanej za pomocą modelu trendu liniowego; nie wykazują żadnych błędów ani samego modelu w ujęciu matematycznym.
Podsumowując artykuł
Można powiedzieć, że każda z metod może być najbardziej akceptowalna spośród innych, w zależności od aktualnego celu, jaki sobie stawiamy. Pierwsze trzy metody przecinają się ze sobą zarówno znaczeniem, jak i wynikami i nadają się do każdej mniej lub bardziej poważnej pracy, w której niezbędny jest opis modelu i jego jakości. Z kolei dwie ostatnie metody również są ze sobą tożsame i możliwie najszybciej dadzą Ci odpowiedź np. na pytanie: „Jaka jest prognoza sprzedaży na przyszły rok?”
Instrukcje
Trend liniowy wyraża funkcję: y=ax+b, gdzie a jest wartością, o którą zwiększy się kolejna wartość w szeregu czasowym;x jest numerem okresu w określonym szeregu czasowym (np. miesiąc, dzień lub kwartał);y to sekwencja analizowanych wartości (może to być sprzedaż za dany miesiąc); b – punkt przecięcia, który na wykresie będzie się znajdował z osią y (poziom minimalny). , jeśli wartość a jest większa od zera, wówczas wzrost będzie dodatni. Z kolei jeśli a jest mniejsze od zera, to dynamika jest liniowa tendencja będzie negatywna.
Użyj trendu liniowego, aby prognozować poszczególne szeregi czasowe, w których dane rosną lub maleją stała prędkość. Podczas konstruowania liniowego tendencja możesz użyć programu Excela. Na przykład, jeśli potrzebujesz trendu liniowego do zbudowania prognozy sprzedaży według miesiąca, utwórz 2 zmienne w szeregach czasowych (czas - miesiące i wielkość sprzedaży).
Równanie liniowe tendencja będziesz miał: y=ax+b, gdzie y to wielkość sprzedaży, x to miesiące. Utwórz wykres w Excelu. Na osi x otrzymasz swój okres czasu (1, 2, 3 - według miesiąca: styczeń, luty itd.), na osi y zmiany wielkości sprzedaży. Następnie dodaj linię na wykresie tendencja.
Przedłuż linię tendencja do prognozowania i wyznaczania jego wartości. W takim przypadku należy znać jedynie wartości czasu wzdłuż osi X, a przewidywane wartości należy obliczyć korzystając z wcześniej podanego wzoru.
Porównaj uzyskane przewidywane wartości liniowe tendencja z rzeczywistymi danymi. W ten sposób możesz określić procentowy wzrost sprzedaży.
Możesz dostosować przewidywane wartości liniowe tendencja w przypadku, gdy nie jesteś zadowolony ze wzrostu, tj. rozumiesz, że istnieją elementy, które mogą na to wpływać. Jeśli zmienisz wartość „a” w trendzie liniowym y=ax+b, możesz zwiększyć nachylenie tendencja. W ten sposób możesz zmienić nachylenie tendencja, poziom tendencja lub te dwa wskaźniki jednocześnie.
Źródła:
- równanie trendu liniowego
Ciąg liczbowy reprezentuje funkcja postaci an=f(n), która jest zdefiniowana na zbiorze liczby naturalne. W większości przypadków f(n) zastępuje się sekwencją liczbową. Liczby a1, a2,…, an są elementami ciągu, gdzie a1 jest pierwszą, a2 jest drugą, a ak jest k-tym. Na podstawie danych funkcji sekwencji liczb tworzony jest wykres.
Będziesz potrzebować
- - podręcznik z matematyki;
- - linijka;
- - zeszyt;
- - prosty ołówek;
- - Wstępne dane.
Instrukcje
Przed rozpoczęciem konstruowania ustal, że funkcja jest ciągiem liczbowym. Istnieje ciąg nierosnący i niemalejący (an), dla którego dla dowolnej wartości n obowiązuje nierówność postaci: an≥an+1 lub an≤an+1. Pod warunkiem, że an>an+1 lub an
Konstruując ciąg liczb, należy zwrócić uwagę na fakt, że ciąg (an) można ograniczyć od dołu lub od góry: w tym celu musi istnieć
Najczęściej wydaje się trend zależność liniowa badanego typu
gdzie y jest interesującą zmienną (na przykład produktywnością) lub zmienną zależną;
x jest liczbą określającą pozycję (drugą, trzecią itd.) roku w okresie prognozy lub zmienną niezależną.
Przy liniowym przybliżaniu zależności między dwoma parametrami najczęściej stosuje się metodę najmniejszych kwadratów w celu znalezienia współczynników empirycznych funkcji liniowej. Istota metody polega na tym funkcja liniowa„najlepsze dopasowanie” przechodzi przez punkty wykresu odpowiadające minimum sumy kwadratów odchyleń mierzonego parametru. Warunek ten wygląda następująco:
gdzie n to wielkość badanej populacji (liczba jednostek obserwacyjnych).
Ryż. 5.3. Budowanie trendu metodą najmniejszych kwadratów
Wartości stałych b i a lub współczynnika zmiennej X i wolnego członu równania określa wzór:
W tabeli 5.1 pokazuje przykład obliczenia trendu liniowego na podstawie danych.
Tabela 5.1. Obliczanie trendu liniowego
Metody wygładzania oscylacji.
Jeżeli pomiędzy sąsiednimi wartościami występują duże rozbieżności, trend uzyskany metodą regresji jest trudny do analizy. Prognozując, gdy seria zawiera dane o dużym rozrzucie wahań wartości sąsiednich, należy je wygładzić według pewnych zasad, a następnie szukać znaczenia w prognozie. Do metody wygładzania oscylacji
obejmują: metodę średniej ruchomej (obliczana jest średnia n-punktowa), metodę wygładzania wykładniczego. Przyjrzyjmy się im.
Metoda średniej ruchomej (MAM).
MSS pozwala wygładzić serię wartości w celu podkreślenia trendu. W tej metodzie obliczana jest średnia (zwykle średnia arytmetyczna) ustalonej liczby wartości. Na przykład trzypunktowa średnia krocząca. Przyjmuje się pierwsze trzy wartości, zebrane na podstawie danych za styczeń, luty i marzec (10 + 12 + 13), i ustala się, że średnia wynosi 35: 3 = 11,67.
Wynikową wartość 11,67 umieszcza się w środku przedziału, tj. zgodnie z linią lutową. Następnie „przesuwamy się o jeden miesiąc” i bierzemy trzy kolejne liczby, począwszy od lutego do kwietnia (12 + 13 + 16), i obliczamy średnią równą 41:3 = 13,67 i w ten sposób przetwarzamy dane dla cała seria. Uzyskane średnie stanowią nową serię danych do konstruowania trendu i jego przybliżenia. Im więcej punktów zostanie przyjętych do obliczenia średniej ruchomej, tym silniejsze będzie wygładzenie wahań. Przykład konstrukcji trendu z MBA podano w tabeli. 5.2 i na ryc. 5.4.
Tabela 5.2 Obliczanie trendu metodą trzypunktowej średniej ruchomej
Charakter wahań danych pierwotnych i danych uzyskanych metodą średniej ruchomej ilustruje rys. 5.4. Z porównania wykresów serii wartości początkowych (seria 3) i trzypunktowych średnich kroczących (seria 4) widać, że wahania można wygładzić. Jak większa liczba punkty będą ujęte w przedziale obliczania średniej kroczącej, tym wyraźniej pojawi się trend (wiersz 1). Jednak procedura zwiększania zakresu prowadzi do zmniejszenia liczby wartości końcowych, a to zmniejsza dokładność prognozy.
Prognozy należy sporządzać w oparciu o szacunki linii regresji w oparciu o wartości danych początkowych lub średnie kroczące.
Ryż. 5.4. Charakter zmian wolumenu sprzedaży w poszczególnych miesiącach roku:
dane początkowe (wiersz 3); średnie kroczące (wiersz 4); wygładzanie wykładnicze(wiersz 2); trend skonstruowany metodą regresji (wiersz 1)
Metoda wygładzania wykładniczego.
Alternatywnym podejściem do ograniczenia rozrzutu wartości szeregów jest zastosowanie metody wygładzania wykładniczego. Metodę tę nazywa się „wygładzaniem wykładniczym” ze względu na fakt, że każda wartość okresów przechodzących w przeszłość jest zmniejszana o współczynnik (1 – α).
Każdą wygładzoną wartość oblicza się za pomocą wzoru w postaci:
St =aYt +(1−α)St−1,
gdzie St jest bieżącą wartością wygładzoną;
Yt – bieżąca wartość szeregu czasowego; St – 1 – poprzednia wartość wygładzona; α jest stałą wygładzania, 0 ≤ α ≤ 1.
Jak mniejsza wartość stała α, tym mniej jest wrażliwa na zmiany trendu w danym szeregu czasowym.
Jest tendencja. Jednym z najpopularniejszych sposobów modelowania trendu szeregu czasowego jest znalezienie funkcji analitycznej charakteryzującej zależność poziomów szeregu od czasu. Metoda ta nosi nazwę analitycznego wyrównywania szeregów czasowych.
Zależność wskaźnika od czasu może zająć różne kształty, więc znajdują różne funkcje: liniowy, hiperbolowy, wykładniczy, funkcja zasilania, wielomiany różne stopnie. Szereg czasowy bada się podobnie jak w regresji liniowej.
Parametry dowolnego trendu można wyznaczyć zwykłą metodą najmniejszych kwadratów, stosując czas t = 1, 2,…, n jako współczynnik i poziomy szeregów czasowych jako zmienną zależną. Dla trendy nieliniowe W pierwszej kolejności przeprowadzana jest procedura linearyzacji.
Do najpopularniejszych sposobów określenia rodzaju trendu zalicza się: analiza jakościowa badanych serii, budowa i analiza wykresu zależności poziomów szeregów od czasu, obliczanie głównych wskaźników dynamiki. Do tych samych celów często można używać i.
Trend liniowy
Rodzaj trendu określa się poprzez porównanie współczynników autokorelacji pierwszego rzędu. Jeśli szereg czasowy ma trend liniowy, to sąsiednie poziomy yt i yt-1 są ściśle skorelowane. W takim przypadku współczynnik autokorelacji pierwszego rzędu poziomów szeregu pierwotnego powinien być maksymalny. Jeżeli szereg czasowy zawiera trend nieliniowy, to im silniej trend nieliniowy zostanie zaakcentowany w szeregu czasowym, tym bardziej będą się różnić wartości wskazanych współczynników.
Wyboru najlepszego równania, jeśli szereg zawiera , można dokonać poprzez przeszukanie głównych typów trendów, obliczenie współczynnika korelacji dla każdego równania i wybranie równania trendu o maksymalnej wartości współczynnika.
Opcje trendów
Najprostszą interpretację mają parametry trendów wykładniczych i liniowych.
Opcje trendu liniowego interpretować w następujący sposób: linia bazowa szeregi czasowe w chwili t = 0; b - średni bezwzględny wzrost poziomu rad w okresie.
Parametry trendu wykładniczego mieć taką interpretację. Parametr a jest początkowym poziomem szeregu czasowego w chwili t = 0. Wartość exp(b) jest średnią na jednostkę czasu tempo wzrostu poziomy serii.
Analogicznie do modelu liniowego, obliczone wartości poziomów rad według trendu wykładniczego można wyznaczyć wstawiając do równania trendu wartości czasu t = 1,2,..., n lub zgodnie z interpretacja parametrów trendu wykładniczego: każdy kolejny poziom takiego szeregu jest iloczynem poziomu poprzedniego przez odpowiednią stopę wzrostu
Jeżeli występuje ukryty trend nieliniowy, konieczne jest uzupełnienie opisanych powyżej metod wyboru najlepszego równania trendu o jakościową analizę dynamiki badanego wskaźnika, aby uniknąć błędów specyfikacji przy wyborze rodzaju trendu. Analiza jakościowa polega na studiowaniu problemów możliwa dostępność w badanym szeregu punktów zwrotnych i zmian tempa wzrostu, począwszy od określonego momentu w czasie pod wpływem szeregu czynników itp. Jeżeli równanie trendu zostanie wybrane nieprawidłowo przy dużych wartościach t, wyniki prognozowania dynamika szeregu czasowego wykorzystująca badane równanie będzie niewiarygodną przyczyną błędu specyfikacji.
Ilustracja możliwy wygląd Błędy specyfikacji pokazano na rysunku.
Jeśli optymalnym kształtem trendu jest parabola, podczas gdy w rzeczywistości istnieje trend liniowy, to w zasadzie parabola i funkcja liniowa w naturalny sposób inaczej opisują trend na poziomach szeregu.
Krzywe wzrostu opisujące wzorce rozwoju zjawisk w czasie są wynikiem analitycznego dopasowania szeregów czasowych. Wyrównanie szeregu za pomocą określonych funkcji w większości przypadków okazuje się wygodnym sposobem opisu danych empirycznych. Narzędzie to, po spełnieniu szeregu warunków, może być również wykorzystywane do prognozowania. Proces poziomowania składa się z następujących głównych etapów:
Wybór rodzaju krzywej, której kształt odpowiada charakterowi zmiany szereg czasowy;
Wyznaczanie wartości liczbowych (oszacowanie) parametrów krzywych;
Kontrola jakości a posteriori wybranego trendu.
We współczesnym PPP wszystkie wymienione etapy realizowane są jednocześnie, najczęściej w ramach jednej procedury.
Wygładzanie analityczne za pomocą tej lub innej funkcji pozwala uzyskać wyrównane lub, jak to się czasami nie do końca słusznie nazywa, teoretyczne wartości poziomów szeregu czasowego, tj. Poziomów, które można by zaobserwować, gdyby dynamika zjawiska całkowicie pokrywała się z krzywą. Ta sama funkcja, z pewnymi korektami lub bez, służy jako model do ekstrapolacji (prognozy).
Kwestia wyboru rodzaju krzywej jest główną kwestią przy wyrównywaniu szeregu. Przy założeniu niezmienionych warunków błąd w rozwiązaniu tego zagadnienia okazuje się bardziej znaczący w skutkach (zwłaszcza dla prognozowania) niż błąd związany ze statystyczną estymacją parametrów.
Ponieważ postać trendu obiektywnie istnieje, identyfikując go, należy wyjść od materialnej natury badanego zjawiska, eksplorując powodów wewnętrznych jego rozwój, a także warunki zewnętrzne i czynniki na to wpływające. Dopiero po głębokiej, znaczącej analizie możesz przystąpić do korzystania specjalne techniki, opracowane przez statystyki.
Bardzo powszechną techniką identyfikowania kształtu trendu jest graficzna reprezentacja szeregu czasowego. Ale jednocześnie wpływ czynnika subiektywnego jest duży, nawet przy wyrównanym poziomie.
Najbardziej niezawodne metody wyboru równania trendu opierają się na właściwościach różnych krzywych używanych w wyrównaniu analitycznym. Takie podejście pozwala powiązać rodzaj trendu z określonymi właściwościami jakościowymi rozwoju zjawiska. Wydaje nam się, że w większości przypadków praktycznie akceptowalną metodą jest metoda polegająca na porównaniu charakterystyk zmian tempa wzrostu badanego szeregu dynamicznego z odpowiadającymi im charakterystykami krzywych wzrostu. W celu wyrównania wybiera się krzywą, której prawo zmiany wzrostu jest najbliższe prawu zmian rzeczywistych danych.
Wybierając kształt krzywej, należy pamiętać o jeszcze jednej okoliczności. Zwiększanie złożoności krzywej w wielu przypadkach może rzeczywiście zwiększyć dokładność opisu trendu w przeszłości, jednak ze względu na to, że bardziej złożone krzywe zawierają więcej parametrów i większe potęgi zmiennej niezależnej, ich przedziały ufności będą na ogół znacznie szersze niż prostsze krzywe dla tego samego okresu wyprzedzenia.
Obecnie podczas używania specjalne programy bez większego wysiłku pozwala na jednoczesne konstruowanie kilku rodzajów równań, powszechnie stosowane są równania formalne kryteria statystyczne w celu określenia najlepszego równania trendu.
Z powyższego najwyraźniej możemy wywnioskować, że wybór kształtu krzywej do niwelacji jest zadaniem, którego nie można rozwiązać jednoznacznie, ale sprowadza się do uzyskania szeregu alternatyw. Ostateczny wybór nie może należeć do obszaru analizy formalnej, zwłaszcza jeśli za pomocą niwelacji ma się na celu nie tylko statystyczne opisanie wzorca zachowań na poziomie w przeszłości, ale także ekstrapolację znalezionego wzorca na przyszłość. Jednocześnie różne techniki statystyczne przetwarzania danych obserwacyjnych mogą przynieść znaczne korzyści; przynajmniej przy ich pomocy można odrzucić oczywiście nieodpowiednie opcje, a tym samym znacznie ograniczyć pole wyboru.
Rozważmy najczęściej używane typy równań trendu:
1. Postać trendu liniowego:
gdzie jest poziomem rzędu uzyskanym w wyniku wyrównania linii prostej; – Pierwszy poziom tendencja; – średni wzrost bezwzględny, stała trendu.
Liniową postać trendu charakteryzuje równość tzw. różnic pierwszych (wzrostów bezwzględnych) i różnic zerowych sekund, czyli przyspieszeń.
2. Postać trendu parabolicznego (wielomian drugiego stopnia):
(3.6)
Dla tego typu krzywej druga różnica (przyspieszenie) jest stała, a trzecia różnica wynosi zero.
Paraboliczny kształt trendu odpowiada przyspieszonej lub powolnej zmianie poziomów szeregu stałe przyspieszenie. Jeśli< 0 и >0, wówczas parabola kwadratowa ma maksimum, jeśli > 0 i< 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по T przyrównujemy do 0 i rozwiązujemy równanie T.
3. Formularz trendu logarytmicznego:
, (3.7)
gdzie jest stała trendu.
Trend logarytmiczny może opisywać tendencję, która objawia się spowolnieniem wzrostu poziomów szeregu dynamiki przy braku ekstremalnych możliwe znaczenie. Kiedy jest wystarczająco duży T krzywa logarytmiczna staje się nie do odróżnienia od linii prostej.
4. Multiplikatywna (potęga) forma trendu:
(3.8)
5. Wielomian III stopnia:
Krzywych opisujących główne trendy jest oczywiście znacznie więcej. Jednak format pomoc nauczania nie pozwala opisać całej ich różnorodności. Przedstawione poniżej techniki konstruowania modeli pozwolą użytkownikowi na samodzielne korzystanie z innych funkcji, w szczególności funkcji odwrotnych.
Aby rozwiązać zadanie analitycznego wygładzania szeregów czasowych w systemie STATISTICA będziemy musieli utworzyć na arkuszu dodatkową zmienną z początkowymi danymi zmiennej „VG2001-2010”, którą należy uaktywnić.
Musimy skonstruować równanie trendu, które jest zasadniczo równaniem regresji, w którym czynnikiem jest „czas”. Tworzymy zmienną „T” zawierającą przedziały czasowe 10-letnie (od 2001 do 2010). Zmienna „T” będzie składać się z liczb naturalnych od 1 do 10, odpowiadających określonym latom.
Rezultatem jest następujący arkusz (ryc. 3.6)
Ryż. 3.6. Arkusz z utworzoną zmienną czasową
Następnie rozważ procedurę, która pozwala budować modele regresji zarówno typy liniowe, jak i nieliniowe. Aby to zrobić, wybierz: Statystyki/Zaawansowane modele liniowe/nieliniowe/Estymacja nieliniowa (ryc. 3.7). W wyświetlonym oknie (ryc. 3.8) wybierz funkcję Regresja określona przez użytkownika, metodą najmniejszych kwadratów (ręczne budowanie modeli regresji przez użytkownika, parametry równań wyznaczane są metodą najmniejszych kwadratów (LSM)).
W kolejnym oknie dialogowym (rys. 3.9) kliknij przycisk Funkcja do oszacowania aby przejść do ekranu ręcznego określenia modelu (ryc. 3.10).
Ryż. 3.7. Uruchomienie procedury Statystyki/Zaawansowane Liniowe/
Modele nieliniowe/estymacja nieliniowa
Ryż. 3.8. Okno procedury Oszacowanie nieliniowe
Ryż. 3.9 Okno procedury Regresja określona przez użytkownika, metoda najmniejszych kwadratów
Ryż. 3.10. Okno realizacji procedury
ręczne określenie równania trendu
U góry ekranu znajduje się pole do wpisania funkcji, na dole znajdują się przykłady wprowadzania funkcji dla różnych sytuacji.
Przed utworzeniem interesujących nas modeli konieczne jest wyjaśnienie niektórych konwencji. Zmienne równania są określone w formacie „ w№”, gdzie „ w» oznacza zmienną ( z angielskiego « zmienny„), a „Nie” to numer kolumny, w której znajduje się tabela w arkuszu z danymi źródłowymi. Jeśli zmiennych jest dużo, po prawej stronie znajduje się przycisk Przejrzyj var , co pozwala na wybranie ich z listy według nazwy i podgląd ich parametrów za pomocą przycisku Powiększenie (ryc. 3.11).
Ryż. 3.11. Okno wyboru zmiennej za pomocą przycisku Przejrzyj var
Parametry równań oznacza się dowolnymi literami łacińskimi, które nie oznaczają żadnej operacji matematycznej. Dla uproszczenia pracy proponuje się oznaczenie parametrów równania jak w opisie równań trendu - Litera łacińska « A”, przypisując im kolejno numery seryjne. Oznaki operacje matematyczne(odejmowanie, dodawanie, mnożenie itp.) są określone w zwykły sposób Okna-forma wniosku. Pomiędzy elementami równania nie są wymagane żadne spacje.
Rozważmy więc pierwszy model trendu – liniowy.
Dlatego po wpisaniu będzie wyglądać tak:
,
Gdzie w 1 to kolumna w arkuszu z danymi źródłowymi, która zawiera wartości pierwotnego szeregu dynamicznego; A 0 i A 1 – parametry równania; w 2 – kolumna na arkuszu z danymi pierwotnymi, która zawiera wartości przedziałów czasowych (zmienna T) (rys. 3.12).
Następnie naciśnij dwukrotnie przycisk OK .
Ryż. 3.12. Okno do ustawiania równania trendu liniowego
Ryż. 3.13. Zakładka Szybki procedury estymacji równania trendu.
W wyświetlonym oknie (ryc. 3.13) możesz wybrać metodę estymacji parametrów równania regresji ( Metoda szacowania ), Jeśli to konieczne. W naszym przypadku musimy przejść do zakładki Zaawansowany i naciśnij przycisk Wartości początkowe (ryc. 3.14). W tym oknie dialogowym podaje się wartości początkowe parametrów równania w celu ich znalezienia metodą najmniejszych kwadratów, tj. ich minimalne wartości. Początkowo dla wszystkich parametrów są one ustawione na 0,1. W naszym przypadku możemy pozostawić te wartości w tej samej postaci, jednak jeśli wartości w naszych danych źródłowych są mniejsze od jedności, to musimy je ustawić w postaci 0,001 dla wszystkich parametrów równania trendu ( Ryc. 3.15). Następnie naciśnij przycisk OK .
Ryż. 3.14. Zakładka Zaawansowany Procedury estymacji równań trendu
Ryż. 3.15. Okno do ustawiania wartości początkowych parametrów równania trendu
Ryż. 3.16. Zakładka Szybki okna wyników analizy regresji
Na zakładkę Szybki (ryc. 3.16) znaczenie linii jest bardzo ważne Uwzględniono proporcję wariancji , co odpowiada współczynnikowi determinacji; Lepiej zapisać tę wartość osobno, ponieważ nie będzie ona wyświetlana w przyszłości, a użytkownik będzie musiał ręcznie obliczyć współczynnik, a wystarczą trzy miejsca po przecinku. Następnie naciśnij przycisk Podsumowanie: Szacunki parametrów w celu uzyskania danych parametrów równanie liniowe trend (ryc. 3.17).
Ryż. 3.17. Wyniki obliczeń parametrów modelu trendu liniowego
Kolumna Oszacować – wartości liczbowe parametry równania; Standardowy błąd – błąd standardowy parametru; wartość t – obliczona wartość T-kryteria; zm – liczba stopni swobody ( N-2); poziom p – obliczony poziom istotności; Lo. Konf. Limit I W górę. Konf. Limit – odpowiednio niższe i Górna granica przedziały ufności dla parametrów równania z określonym prawdopodobieństwem (określonym jako Poziom zaufania w górnym polu tabeli).
W związku z tym równanie modelu trendu liniowego ma postać .
Następnie wracamy do analizy i klikamy przycisk Analiza wariancji (analiza wariancji) na tej samej karcie Szybki (patrz ryc. 3.16).
Ryż. 3.18. wyniki analiza wariancji model trendu liniowego
W górnym wierszu nagłówka tabeli znajduje się pięć ocen:
Suma kwadratów – suma kwadratów odchyleń; zm – liczba stopni swobody; Średnie kwadraty – średni kwadrat; Wartość F – kryterium Fishera; wartość p – obliczony poziom istotności F-kryteria.
Lewa kolumna wskazuje źródło zmienności:
Regresja – zmienność wyjaśniona równaniem trendu; Pozostały – zmienność reszt – odchylenia wartości rzeczywistych od skorygowanych (uzyskanych z równania trendu); Całkowity – całkowita zmienność zmiennej.
Na przecięciu kolumn i wierszy otrzymujemy jednoznacznie zdefiniowane wskaźniki, formuły obliczeniowe dla których przedstawiono w tabeli. 3.2,
Tabela 3.2
Obliczanie wskaźników zmienności modeli trendów
| Źródło | zm | Suma kwadratów | Średnie kwadraty | Wartość F |
| Regresja | M |  |  |  |
| Pozostały | n-m |  |  | |
| Całkowity | N |  | ||
| Skorygowana suma | n-1 |  |  | |
| Regresja vs. Skorygowana suma | M | SSR | MSR |  |
gdzie są wyrównane wartości poziomów serii dynamicznej; – rzeczywiste wartości poziomów szeregu dynamicznego; – średnia wartość poziomów szeregu dynamicznego.
SSR (regresyjna suma kwadratów) – suma kwadratów przewidywanych wartości; SSE (resztowa suma kwadratów) – suma kwadratów odchyleń wartości teoretycznych i rzeczywistych (w celu obliczenia rezydualnej, niewyjaśnionej wariancji); SST (całkowita suma kwadratów) – suma pierwszej i drugiej linii (suma kwadratów wartości rzeczywistych); SSCT (skorygowana całkowita suma kwadratów) – suma kwadratów odchyleń wartości rzeczywistych od wartości średniej (w celu obliczenia rozrzutu całkowitego); Regresja vs. Skorygowana całkowita suma kwadratów – powtórzenie pierwszej linijki; MSR (regresja średnich kwadratów) – wyjaśniona wariancja; MSE (resztkowe średnie kwadraty) – wariancja resztkowa, niewyjaśniona; MSCT (łączna wartość skorygowana o średnie kwadraty) – skorygowana wariancja całkowita; Regresja vs. Skorygowane całkowite średnie kwadraty – powtórzenie pierwszej linijki; Wartość F regresji – obliczona wartość F-kryteria; Regresja vs. Skorygowana całkowita wartość F – skorygowana obliczona wartość F-kryteria; N– liczba poziomów serii; M– liczba parametrów równania trendu.
Dalej ponownie w zakładce Szybki (patrz rys. 3.16) naciśnij przycisk Przewidywane wartości, reszty itp . Po kliknięciu system buduje tabelę składającą się z trzech kolumn (rys. 3.19).
Zauważony – wartości obserwowane (czyli poziomy pierwotnego szeregu czasowego);
